初数论等教案(同余的概念及其基本性质)
初中数学教案：同余与同余方程
初中数学教案：同余与同余方程一、引言同余与同余方程是初中数学中的重要概念。
在代数与数论中具有广泛的应用。
本教案将介绍同余的定义及性质，以及如何解决同余方程。
二、同余的概念及性质1. 同余的定义：对于给定的整数a、b和正整数m，如果m能整除(a-b)，则称a与b关于模m同余，记作a≡b(mod m)。
2. 同余的性质：2.1 传递性：若a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，则a≡c(mod m)。
2.2 对称性：若a≡b(mod m)，则b≡a(mod m)。
2.3 自反性：对于任意整数a和正整数m，有a≡a(mod m)。
三、同余方程的解法1. 同余方程定义：形如ax ≡ b (mod m)的方程称为同余方程。
2. 求解同余方程的一般步骤：2.1 将同余方程转化为线性方程。
2.2 解线性方程求得特解x0。
2.3 根据特解x0，构造出所有满足原始条件(ax ≡ b mod m ) 的解。
3. 解法示例：示例1: 解决方程5x≡3(mod 7)。
解法：3.1 将同余方程转化为线性方程：5x - 3 = 7k，其中k为整数。
3.2 解线性方程求得特解x0：令k=1，得到 x0 = 8。
3.3 利用特解x0，构造出所有满足原始条件的解：x = x0 + m×t，其中t为整数，m为模数。
代入关系中得到最终的解集{x|x≡8(mod 7)}。
四、同余运算及其应用1. 同余运算的定义：对于给定的正整数m，在整数集上定义一个等价关系∼ m ，如果两个整数a和b满足a ≡ b (mod m)，则称 a 和 b在模 m 下同余。
即∼是一个模m下的等价关系。
2. 同余运算与加、减、乘法的性质：2.1 同余运算与加减法：若a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，则有(a±c) ≡ (b±d)(mod m)。
2.2 同余运算与乘法：若a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，则有ac ≡ bd (mod m)。
1.同余的概念-人教A版选修4-6初等数论初步教案
同余的概念-人教A版选修4-6 初等数论初步教案一、教学目标1.了解同余的概念。
2.掌握同余运算的性质。
3.能够使用同余运算的性质解决初等数论问题。
二、教学重点1.同余的概念。
2.同余运算的性质。
三、教学难点1.应用同余运算的性质解决初等数论问题。
四、教学内容及进度安排课时教学内容学时第一课时同余的概念1学时第二课时同余运算的性质1学时第三课时应用同余运算的性质解决初等数论问题1学时五、教学步骤第一课时-同余的概念1.引入：回顾模运算的概念、性质及应用。
2.学习：同余的概念及其表示法，同余数的概念。
3.总结：总结同余的概念及其表示法。
第二课时-同余运算的性质1.引入：引入同余运算的性质及其证明方法。
2.学习：同余运算的基本性质，同余运算的逆元及其应用。
3.总结：总结同余运算的性质及其应用。
第三课时-应用同余运算的性质解决初等数论问题1.引入：引入应用同余运算的性质解决初等数论问题的方法。
2.学习：应用同余运算的性质解决初等数论问题的例子。
3.总结：总结应用同余运算的性质解决初等数论问题的方法。
六、教学评估1.在课堂上布置练习题，检查学生对同余运算的掌握情况。
2.布置一道探究题，让学生归纳总结同余运算的性质和应用。
3.综合考虑学生的平时表现、作业和考试情况，评估其对同余运算的掌握情况。
七、拓展阅读1.同余式及其应用2.解一元高次同余方程八、参考资料1.《数学（高中必修）》人教版下册2.《初等数论》程开甲著。
同余的基本概念和性质
模相等的同余关系的运算性质
模相等的同余关系满足交换律和结合律 模相等的同余关系满足消去律 模相等的同余关系满足分配律 模相等的同余关系满足幂等律
同余的应用
同余在模方程中的应用
模方程的同余解法 同余在模方程中的应用实例 同余在模方程中的求解步骤 同余在模方程中的优势与局限性
同余在数论中的应用
整除理论：同余是整除理论中的重要概念，用于研究整数之间的除法关系。
● - 同余关系具有反身性，即任意整数a都与自身对模m同余，即a≡a(mod m)。 ● - 同余关系具有对称性，即如果a≡b(mod m)，则b≡a(mod m)。 ● - 同余关系具有传递性，即如果a≡b(mod m)且b≡c(mod m)，则a≡c(mod m)。 ● - 对于任意整数a、b和c，若a≡b(mod m)且b≡c(mod m)，则a≡c(mod m)。
同余的性质
模相等的同余关系
● 定义：如果两个整数a和b除以同一个正整数m的余数相同，则称a和b对模m同余，记作 a≡b(mod m)。
● 性质： - 同余关系具有反身性，即任意整数a都与自身对模m同余，即a≡a(mod m)。 - 同余关 系具有对称性，即如果a≡b(mod m)，则b≡a(mod m)。 - 同余关系具有传递性，即如果 a≡b(mod m)且b≡c(mod m)，则a≡c(mod m)。 - 对于任意整数a、b和c，若a≡b(mod m)且 b≡c(mod m)，则a≡c(mod m)。
同余的基本概念和性质
汇报人：XX
目录
同余的定义
同余的性质
01
02
同余的应用
同余的证明方法
03
04
同余的定义
什么是同余
同余的定义：两个整数除以某 个固定整数得到的余数相同， 则称这两个整数同余。
2.1 同余的概念与基本性质
2 同余同余是由大数学家高斯引入的一个概念．我们可以将它理解为“余同”，即余数相同．正如奇数与偶数是依能否被2整除而得到的关于整数的分类一样，考虑除以m （≥2）所得余数的不同，可以将整数分为m 类．两个属于同一类中的数相对于“参照物”m 而言，具有“余数相同”这个性质．这种为对比两个整数的性质，引入一个参照物的思想是同余理论的一个基本出发点．同余是初等数论中的一门语言，是一件艺术品．它为许多数论问题的表述赋予了统一的、方便的和本质的形式．2．1 同余的概念与基本性质定义 如果a 、b 除以m （≥1）所得的余数相同，那么称a 、b 对模m 同余，记作a ≡b （mod m ）．否则，称a 、b 对模m 不同余，记作a b ≡（mod m ）．性质1 a ≡b （mod m ）的充要条件是|m a b －．性质2 若a ≡b （mod m ），c ≡d （mod m ），则a ＋c ≡b ＋d （mod m ），a －c ≡b －d （mod m ），ac ≡bd （mod m ）． 证明 这些结论与等式的一些相关结论极其相似，它们都容易证明．我们只给出第3个式子的证明． 只需证明：|m ac bd －．因为ac －bd ＝ac －bc ＋bc －bd＝（a －b ）c ＋b （c －d ）由条件|m a b －，|m c d －，知|m ac bd －．说明 与同余有关的许多结论都要用到性质1，事实上，很多数论教材中利用性质1来引入同余的定义．性质3 若a ≡b （mod m ），n 为正整数，则()mod n n a b m ≡．性质4 若a ≡b （mod 1m ），a ≡b （mod 2m ），则a ≡b （mod ［1m ，2m ］）．性质5 若ab ≡ac （mod m ），则()mod m b c a m ⎛⎫≡ ⎪ ⎪⎝⎭，． 在同余式两边约去一个数时，应将该数与m 的最大公因数在“参照物”中同时约去．性质6 如果（a ，m ）＝1，那么存在整数b ，使得ab ≡1（mod m ）．这个b 称a 对模m 的数论倒数，记为()1mod a m －，在不会引起误解时常常简记为1a －．证明 利用贝祖定理，可知存在整数x 、y 使得ax ＋my ＝1．于是，|1m ax －，即()1mod ax m ≡，故存在符合条件的b ． 说明 由数论倒数的定义，易知当（a ，m ）＝1时，()()11mod aa m ≡－－．例1 求所有的素数p 、q 、r （p ≤q ≤r ），使得pq ＋r ，pq ＋2r ，qr ＋p ，qr ＋2p ，rp ＋q ，rp ＋2q 都是素数． 解：若p ＞2，则p 、q 、r 都是奇数，此时pq ＋r 是一个大于2的偶数，矛盾，故p ＝2．现在，数2q ＋r ，2q ＋2r ，qr ＋2，qr ＋4，2r ＋q ，2r ＋2q 都是素数．若q 、r 中有偶数，则qr ＋2为一个大于2的偶数，矛盾，故q 、r 都是奇素数．若q ＞3，则3qr ．此时，若()1mod3qr ≡，则()20mod3qr ≡＋，与qr ＋2为素数矛盾；若qr ≡2()mod3，则()40mod3qr ≡＋，与qr ＋4为素数矛盾，故q ＝3．这样，数6＋r ，6＋2r ，3r ＋2，3r ＋4，2r ＋3，2r ＋9都是素数．若r ≠5，则()0mod5r ≡，但分别当1r ≡，2，3，4（mod5）时，对应地，数3r ＋2，3r ＋4，2r ＋9，6＋r 为5的倍数，矛盾，故r ＝5．直接验证，可知它们满足条件，所求的素数为p ＝2，q ＝3，r ＝5．例2 设n 为大于1的正整数，且1！，2！，…，n ！中任意两个数除以n 所得的余数不同．证明：n 是一个素数．证明：注意到，()!0mod n n ≡，而n ＝4时，有2！()3mod4≡！．因此，如果能够证明：当n 为大于4的合数，都有()()1!0mod n n ≡－，就能依题中的条件导出矛盾，从而证出n 为素数．事实上，若n 为大于4的合数，则可对n 作分解，变为下述两种情形．情形一 可写n ＝pq ，2≤p ＜q ，p 、q 为正整数，这时1＜p ＜q ＜n －1，从而()|1!pq n －， 即()()1!0mod n n ≡－．情形二 当2n p ＝，p 为素数时，由n ＞4，知p ≥3，故11＜p ＜2q ＜（n －1），从而p · （2p ） ()|1!n －，于是，()()1!0mod n n ≡－．综上可知，n 只能是素数．说明 反过来，当n 为素数时，并不能保证1！，2！，…，n ！中任意两个数对模n 不同余．例如p ＝5时，()31mod5≡！！．例3 设整数x 、y 、z 满足()()()x y y z z x x y z －－－＝＋＋． ①证明：x ＋y ＋z 是27的倍数．证明：考虑x 、y 、z 除以3所得的余数，如果x 、y 、z 中任意两个对模3不同余，那么()0120mod3x y z ≡≡＋＋＋＋，但是()()()3x y y z z x －－－，这与①矛盾．现在x 、y 、z 中必有两个对模3同余，由对称性，不妨设()mod3x ≡，这时由①式知 3|x y z ＋＋，于是 ()()2mod3z x y x x ≡≡≡－＋－，这表明 ()mod3x y z ≡≡，从而由①式知 27|x y z ＋＋．例4 是否存在19个不同的正整数，使得在十进制表示下，它们的数码和相同，并且这19个数之和为1999？解：此题需要用到一个熟知的结论：在十进制表示下，每个正整数与它的数码和对模9同余．（这个结论只需利用()101mod9k ≡即可得证）若存在19个满足条件的不同正整数，则由它们的数码和相同（设这个相同的数码和为k ），可知()199919mod9k ≡，故()1mod9k ≡．又这19个数之和为1999，故其中必有一个数不大于199919，即有一个数≤105，所以k ≤18．结合()1mod9k ≡，知k ＝1或10． 若k ＝1，则这19个数为1，10，100，…，和不可能为1999，所以，k ＝10．而当k ＝10时，最小的数码和为10的20个正整数是19，28，37，…，91，109，118，127，…，190，208．前面19个数之和为1990，故符合要求的19个正整数中必有一个≥208，此时这19个数之和≥208＋（19＋28＋…＋91）＋（109＋118＋127＋…＋181）＝2198＞1999， 矛盾．所以不存在19个不同的整数满足条件．例5 设m 、n 、k 为正整数，n ≥m ＋2，k 为大于1的奇数，并且×21np k ＝＋为素数， 2|21m p ＋．证明：()121mod n k p ≡－．证明：由条件知()221mod mp ≡－，而n ≥m ＋2，故12m ＋是12n n •－的因数，所以， ()()122211mod n t n p •≡－－＝（这里22n m t n •－－＝）． 现在，由()21mod n k p •≡－，知()()111222211mod n n n n k p ••≡－－－－＝，结合上面的结论，即可得()121mod n k p ≡－．说明 本题的背景是讨论费马数（形如221m m F ＝＋的数为费马数）的素因数的性质．例6 设m 为正整数，证明：存在整数a 、b 、k ，使得a 、b 都是奇数，而k ≥0，并且2011201122m a b k •＝＋＋． ①证明：①式等价于（在左边不小于右边的情形下）()201120112mod 2m a b ＝＋． ② 我们先证明：满足②的奇数a 、b 是存在的．注意到，对任意奇数x 、y ，有()()111110910x y x y x x y y ⋯－＝－＋＋＋，上式右边10910x x y y ⋯＋＋＋是11个奇数之和，它应为奇数，因此，()111120110mod 2x y ≡－ ()2011mod 2x y ⇔≡．这表明：在2011mod 2的意义下，数20111，20113，…，20111121（－）是 数1，3，5，…，201121－的一个排列，从而，存在奇数0b ，使得()112011021mod 2b m ≡－．现在，取一个充分小的负奇数b ，使得 ()20110mod 2b b ≡，且1121m b －－≥0，则 ()11112011021210mod 2m b m b ≡≡－－－－，于是，令()1120112112m b a b k b ⎛⎫ ⎪⎝⎭－－，，＝，，，则符合①．所以，满足条件的a 、b 、k 存在．。
2.同余的性质-人教A版选修4-6初等数论初步教案
同余的性质-人教A版选修4-6 初等数论初步教案教学目标1.了解同余的定义和常见性质2.能够通过同余的性质简化计算3.能够应用同余的性质解决实际问题教学重点1.同余的定义和性质2.同余的应用教学难点1.同余的性质证明2.同余的应用题目解题教学过程导入同学们在学习取模运算时，一定还记得取模运算的定义：对于任意整数a、b和正整数n，称a与b模n同余，当且仅当n|(a-b)，记作a≡b(mod n)。
这个定义中的“≡”是同余符号，n称为模数。
换句话说，a与b模n同余，表示a和b除以n所得的余数相同。
了解同余的性质同余具有如下性质：1.自反性：a≡a(mod n)，即任意整数a在模n下与自己同余。
2.对称性：若a≡b(mod n)，则必有b≡a(mod n)，即两个整数在模n下同余，互相转换不影响同余关系。
3.传递性：若a≡b(mod n)，b≡c(mod n)，则必有a≡c(mod n)，即若两个整数在模n下同余，而它与另一个整数又同余，则三个整数在模n下同余。
4.加法性：若a≡b(mod n)，c≡d(mod n)，则a+c≡b+d(mod n)，即两个同余的整数相加或相减，其结果也与模数取模后同余。
5.乘法性：若a≡b(mod n)，c≡d(mod n)，则ac≡bd(mod n)，即两个同余的整数相乘，其结果与模数取模后同余。
应用同余的性质同余简化计算同余关系具有加减乘除的性质，可以通过同余简化计算或判断两个数是否同余。
例如：1.计算3^2019的个位数由于3^4≡1(mod 10)，因此32019≡33(mod 10)，即32019的个位数等于33=27的个位数2。
2.判断134和53是否同余由于13≡3(mod 5)，因此134≡34(mod 5)，即134和34在模5下同余。
而5^3≡0(m od 5)，因此134和53不在模5下同余。
同余判定同余关系可用于判断整数是否能整除，或整数的奇偶性等。
初等数论_第二章__同_余教案
(ⅰ){0, 1, 2,,m1}是模m的最小非负完全剩余系；
(ⅱ) 或
是模m的绝对最小完全剩余系。
例如，集合{0, 6, 7, 13, 24}是模5的一个完全剩余系，集合{0, 1, 2, 3, 4}是模5的最小非负完全剩余系。
定理1整数集合A是模m的完全剩余系的充要条件是
证明过程。
定理1下面的三个叙述是等价的：
(ⅰ)ab(modm)；
(ⅱ)存在整数q，使得a=bqm；
(ⅲ)mab。
证明留作习题。
对给定的整数b和模m，所有对模m同余b的整数的集合是
{b+km}）（k为整数）。
根据带余除法，a=q1mr，0r<m。全体整数按整数m为标准分为m类。
定理2同余具有下面的性质：
解由
42n+13n+2=442n93n=416n93n
43n93n= 133n0 (mod 13)
得证。
。
例6设p是素数，a是整数，则由a21(modp)可以推出
a1或a1(modp)。
解由
a21(modp)pa21 = (a1)(a1)，
所以必是
pa1或pa1，
即a1(modp)或a1(modp)。
[7(1)164]26=(74)26
=326= 3(35)53(7)5=37(72)2
2129(mod 50)，
即所求的余数是29。
例3设n的十进制表示是 ，若792n，求x，y，z。
解因为792 =8911，故
792n8n，9n及11n。
我们有
8n8 z= 6，
以及
9n913xy45z= 19xy9xy1，(5)
2同余教案
第五节：同余一、基本性质整除的性质非常重要，但是并不能解释所有的问题，为此我们进行了推广——同余。
同余最早是由数学家Gauss 引入的概念，我们可以将其理解为“余同”（余数相同）。
首先来看一下同余的表达方式和定义。
定义1：如果a 、b 除以m(m>1)得到的余数相同，那么称a 、b 对于模m 同余，记作(mod )a b m ≡。
否则称a 、b 对模m 不同余。
性质1：(mod )a b m ≡也就是说m | a-b 性质1非常重要，由性质1可证得其余性质。
性质2：可加性：若(mod ),(mod )a b m c d m ≡≡，那(mod ),a c b d m +≡+(mod )a c a d m -≡-；性质3：可乘性：若(mod ),(mod )a b m c d m ≡≡则(mod )ac bd m ≡ 性质4：可乘方性：若(mod )a b m ≡，那么(mod )nna b m ≡ 性质5：若(mod ),(mod ),a b m a b n ≡≡那么(mod [,])a b m n ≡ 性质6：如果(,)1a m =，那么存在一个整数b ，使得1(mod )ab m ≡性质7：如果(mod )(mod)(,)mab ac m b c a m ≡⇒≡特别的，若（a,m ）=1则第六节：同余应用及常见的题型一、求余数问题常见的问题如求星期几之类的题型，其实也就求被7整除的余数。
通过同余的运算，可以很快地求得结果。
24天以后是星期几？例1：如果今天是周六，求2009例2：某数除680,970和1521余数相同，这个数最大是几？例3:126547+324除以13的余数是多少？二、整除特征判别法：注意：一个数能否被2、3、4、5、6、7、8、9、11、13等数整除，都有其特别的判别方法。
如何选取合适的方法，并对此作为推广是我们必须要学会的内容。
（1）可以被2整除的数：最末一位数是2的倍数。
同余的概念及其基本性质
4.证明：641 232 1 解：依次计算对模641的同余数
22 4，24 16，28 256， 216 256 256 154(mod641) 232 154 154 1(mod641) 232 1 0(mod641)
5.设a为奇数，则a2n 1(mod 2n2 ) (n 1). 解：设a = 2m 1， 当n = 1时，有 a2 = (2m 1)2 = 4m(m 1) 1 1 (mod 23)（*）成立。 设式(*)对于n = k成立，则有
a2k 1(mod 2k2 ) a2k 1 q 2k2 所以 a2k1 (1 q 2k2 )2 1 q 2k3 q2 2(k2)2 记 1 q'2k3 1(mod 2k3 ),q' Z. 这说明式(*)当n = k 1也成立。由归纳法得证.
一般地，求a bc 对模m的同余的步骤如下： ① 求出整数k，使ak 1 (mod m)；
② 求出正整数r，r < k，使得bc r (mod k)；
③ abc ar (mod m)
——减小幂指数
练习：若a Z ,证明 10|a1985 a1949 . 提示：a5 a(mod10)
一、问题的提出 1、今天是星期一，再过100天是星期几？ 再过1010 天呢？ 2、3145×92653=2910 93995的横线处漏写了一个 数字，你能以最快的办法补出吗？
3、13511，13903，14589被自然数m除所得余数 相同，问m最大值是多少？
【最新整理】初等数论同余
例2：证明5y+3=x2无解 证明：若5y+3=x2有解，则两边关于模5同余 有5y+3≡x2(mod 5) 即3≡x2(mod 5)
而任一个平方数x2≡0,1,4(mod 5) ∴ 3 ≡ 0,1,4(mod 5)，不可能 ∴ 即得矛盾，即5y+3=x2无解 注：在证明方程无解时，经常用不同余就不相等的 方法。
性质7 a b(modm).d|(a,b),(d,m)=1 则
a b (modm). dd
证： 因为 m | d( a b ) ，(d,m)=1 ，所以有
dd
m| a b dd
性质8 若a b(modm).则 (a,m)=(b,m) 证：由已知a=b+mt,故 (a,m)|a, (a,m)|m, 有(a,m)|b,所以有 (a,m)|(b,m), 同理可证(b,m)|(a,m), 即(a,m)=(b,m).
因为0 X，Y 9，所以有
21 21+X+Y 39，4 X-Y+13 22，由此
可知 21+X+Y=27，X-Y+13=11 或21+X+Y=36，X-Y+13=22 X+Y=6，X-Y=-2，或X+Y=15，X-Y=9， 解得X=2，Y=4。
例3 ：求111 被7除的余数。
50
解：∵111111被7整除，
(2)若 a b c(modm). 则 a c b(modm).
证：由（1）因为 b b(modm), 即得。
注4：性质2相当于等式中的两个等式相加和 移项. 结合前二条性质,我们来看几个例子.
例1:对任意整数a,8a+7不可能 是三个整数的平方.
1.同余的概念-人教A版选修4-6初等数论初步教案
同余的概念-人教A版选修4-6 初等数论初步教案一、教学目标1.了解同余的定义和性质；2.掌握同余的运算规则和推论方法；3.运用同余理论解决实际问题。
二、教学重点1.同余的定义和性质；2.同余的运算规则；3.同余理论的应用。
三、教学难点1.同余的推论方法；2.同余理论在实际问题中的应用。
四、教学过程1. 导入（10分钟）首先引入同余的概念，让学生思考两个数之间应该满足什么条件才能说它们是同余的。
然后与学生一起探讨同余的含义和性质。
2. 定义和性质（20分钟）讲解同余的定义和性质，包括同余关系的传递性、对称性、反身性等，以及同余意义下的等式和不等式的特性。
在讲解的过程中，可以通过一些例子来加强学生的理解。
3. 运算规则（30分钟）讲解同余的运算规则，包括同余的加、减、乘、除、幂次等运算法则，以及同余的推论方法和定理。
在讲解的过程中，可以通过一些练习题来巩固学生的运算能力。
4. 应用实例（30分钟）将同余理论的应用与学生生活中的日常问题联系起来，让学生通过实际例子来理解同余理论的应用。
例如，用同余理论来解决生日问题、购物折扣问题等。
5. 总结归纳（10分钟）对课程内容进行总结归纳，让学生能够理解同余概念的重要性和实际应用的意义。
同时，让学生通过课程总结，确认对同余理论的掌握程度，进一步提高学习兴趣。
五、教学评价通过对学生的课堂表现和作业完成情况的评价，反馈学生对同余概念的掌握和运用能力。
同时，让学生知道如何运用同余理论来解决实际问题的方法和技巧。
六、教学反思在教学中，要注意让学生能够理解同余的含义和性质，并掌握运算规则和应用方法。
在讲解过程中，可以采用一些具体的例子来加深学生的理解，同时也要注意运用不同的教学方式和方法，以便能够满足不同学生的学习需求。
初中数学教案：同余与同余方程
初中数学教案：同余与同余方程一、同余的概念及性质同余是数论中的一个重要概念，它描述了两个整数在某个特定的情况下具有相同的余数。
同余关系在数论、代数、密码学等领域中都有广泛的应用。
1. 同余的定义同余是指两个整数 a 和 b 在除以一个正整数 m 时得到相同的余数。
用符号表示为a ≡ b (mod m)，读作“a 同余于 b 模m”。
2. 同余的性质（1）传递性：如果a ≡ b (mod m) 且b ≡ c (mod m)，那么a ≡ c (mod m)。
（2）反身性：对于任意整数 a，有a ≡ a (mod m)。
（3）对称性：如果a ≡ b (mod m)，那么b ≡ a (mod m)。
二、同余方程的求解方法同余方程是一种特殊的方程，它的未知数是整数，要求解方程时需要找到满足同余关系的整数解。
1. 一元一次同余方程一元一次同余方程形如ax ≡ b (mod m)，其中 a、b 和 m 是已知的整数，要求解x。
方程的解可以用以下步骤求得：（1）对 m 进行质因数分解，得到 m 的素因数分解形式；（2）利用扩展欧几里得算法求出 ax + my = d 的整数解；（3）如果方程有解，则解为x ≡ b/d (mod m)，其中 d 是 ax + my = d 的最大公约数。
2. 一元二次同余方程一元二次同余方程形如ax^2 + bx + c ≡ 0 (mod m)，其中 a、b、c 和 m 是已知的整数，要求解 x。
对于一元二次同余方程，我们可以先尝试利用二次剩余判别法判断方程是否有解，然后再利用求根公式求解方程。
三、同余的应用同余在数论、代数和密码学等领域中具有重要的应用价值，下面介绍其中两个应用案例。
1. 时钟问题时钟问题是同余理论的一个典型应用案例。
以 12 小时制为例，假设现在是凌晨 12 点，需要求 n 小时后的时间。
根据同余关系，我们可以得到表达式n ≡ x (mod 12)，其中 x 为 n 对 12 取模的余数。
同余的概念优秀教学设计
同余的概念【教学目标】1．熟练运用同余解决实际问题2．亲历同余和整除的探索过程，体验分析归纳得出同余和整除的关系，进一步发展学生的探究、交流能力。
【教学重难点】重点：掌握同余的概念。
难点：掌握同余和整除的关系。
【教学过程】一、直接引入师：今天这节课我们主要学习同余，这节课的主要的内容有同余以及同余和整除的关系，并且我们要掌握这些知识的具体应用，能熟练解决相关问题。
二、讲授新课（1）教师引导学生在预习的基础上了解同余内容，形成初步感知。
（2）首先，我们来学习同余的概念，它的具体内容是：一般地，设n为正整数a和b为整数．如果a和b被n除后余数相同．那么称a和b模n同余．记作()a b n≡.若a和b被n除后余数不同，则称a和b模n不同余，记作a≡/() modb n．mod 它是如何在题目中应用的呢？我们通过一道例题来具体说明。
例：判断76和78是否模4同余？解析：764=19|，784=19÷……2所以76和78模4不同余.根据例题的解题方法，让学生自己动手练习。
练习：判断63和729是否模5同余？解：635=123÷……余数为4，所以63和729模5不同余.÷……余数为3，7295=1454（3）接着，我们再来看下同余和整除的关系内容，它的具体内容是：()«mod≡|-a b n n a b例：模n同余的两个整数,a b，与n什么关系？解析：设,a b 被n 除后的商分别为,'q q 。
余数分别为,'r r ，则 ,''a nq r b nq r =+=+若()mod a b n ≡，则'r r =，并且()'a b n q q -=-，于是n a b |-.反过来，若()''n a b n q q r r |-=-+-，则'n r r |-，而'n r r n -<-<，故'0r r -=，从而'r r =.因此()mod a b n ≡ 根据例题的解题方法，让学生自己动手练习。
同余的概念及其基本性质
学院学术论文题目: 同余的概念及其基本性质学号：学校：专业：班级：姓名：指导老师：时间：摘要：初等数论是研究数的规律，特别是整数性质的数学分支。
它以算术方法为主要研究方法，在日常生活中，我们所要注意的常常不是某些整数，而是这些数用某一固定的数去除所得的余数。
同余概念的产生可以说大大丰富了数学的内容。
同余是数论中的一个基本概念，同余的应用，一：检查因数的一些方法；二：弃九法。
在本专题的学习中，培养我分析推理解决问题的能力，理解问题的实质。
关键字：同余整数算术Summary：The number of elementary number theory is to study the law, in particularinteger nature of the branch of mathematics. It arithmetic method as the main research methods in their daily lives, we are often not to pay attention to some integer, but these numbers with a fixed a number of removal from the remainder. I created the concept of the same can be said to have greatly enriched the content of mathematics. Number theory congruence is a basic concept of the application with more than one: Check factor of some of the ways; 2: abandoned nine law. In the topic of study, training my analysis reasoning ability to solve problems, understand the essence of the problem.Keyword ：Congruence Integer Arithmetic引言数论是研究整数性质的一门学科，它是数学中最古老的分支之一，内容极为丰富，曾被数学家说成是数学的皇后。
第5讲-同余的概念和性质
第5讲同余的概念和性质解题思路：理解并熟记同余的性质，运用同余性质把数化小、化易。
同余定义：假设两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a≡b〔modm〕.性质1：假设a≡b〔mod m〕，b≡c〔mod m〕，那么a≡c〔mod m〕，〔传递性〕。
★性质2：假设a≡b〔mod m〕，c≡d〔mod m〕，那么a±c≡b±d〔mod m〕，〔可加减性〕。
★性质3：假设a≡b〔mod m〕，c≡d〔mod m〕，那么ac≡bd〔mod m〕〔可乘性〕。
性质4：假设a≡b〔mod m〕，那么a n≡b n〔mod m〕，〔其中n为自然数〕。
性质5：假设ac≡bc〔mod m〕，〔c，m〕=1，那么a≡b〔mod m〕，〔记号〔c，m〕表示c 与m的最大公约数〕。
例1 判定288和214对于模37是否同余，74与20呢？例2 求乘积418×814×1616除以13所得的余数。
例3 求14389除以7的余数。
例4 四盏灯如下图组成舞台彩灯，且每30秒钟灯的颜色改变一次，第一次上下两灯互换颜色，第二次左右两灯互换颜色，第三次又上下两灯互换颜色，…，这样一直进行下去.请问开灯1小时四盏灯的颜色如何排列？十位，…上的数码，再设M=0a ＋0a ＋…＋n a ，求证：N ≡M 〔mod 9〕例6 求自然数1002＋1013＋1024的个位数字。
习题1.验证对于任意整数a 、b ，式子a ≡b 〔mod1〕成立，并说出它的含义。
2.已知自然数a 、b 、c ，其中c ≥3，a 除以c 余1，b 除以c 余2，则ab 除以c 余多少？六月一日是星期二，这一年的十月一日是星期几？5555＋55553333被7除的余数。
5.所有自然数如下列图排列.问300位于哪个字母下面？6. 数，被13除余多少？7.求1993100的个位数字.第五讲同余的概念和性质你会解答下面的问题吗？问题1：今天是星期日，再过15天就是“六·一”儿童节了，问“六·一”儿童节是星期几？这个问题并不难答.因为，一个星期有7天，而15÷7=2…1，即15＝7×2+1，所以“六·一”儿童节是星期一。
初中数学教案数论中的同余定理与证明
初中数学教案数论中的同余定理与证明初中数学教案：数论中的同余定理与证明引言：同余定理是数论中的重要概念，它在数学证明和解题过程中具有广泛的应用。
本教案将介绍同余定理的概念和相关的证明方法，以帮助初中学生更好地理解和应用同余定理。
一、同余定理的概念1.1 同余关系的定义同余关系是指两个整数除以同一个正整数所得的余数相等。
设a、b 和n为任意整数，若n能整除(a-b)，即(a-b)能被n整除，则称a与b对模n同余，记作a≡b(mod n)。
例如：对于整数a=7、b=22和n=5，由于7-22=-15可以被5整除，因此7与22对模5同余，即7≡22(mod 5)。
1.2 同余定理的分类根据同余定理的不同形式和应用场景，同余定理可分为以下几种：（1）互质定理：若整数a与b对模m同余，且a与m互质，则b 与m也互质。
（2）费马小定理：若p为质数，a是任意整数且a与p互质，则a^(p-1)≡1(mod p)。
（3）中国剩余定理：若m1、m2、...、mn为两两互质的正整数，且对于任意给定的整数a1、a2、...、an，关于未知数x的方程组x≡a1(mod m1),x≡a2(mod m2),......x≡an(mod mn)有唯一解x。
二、同余定理的证明方法2.1 基于整数的除法算法证明同余定理可以通过证明整数的除法算法来推导。
除法算法表明，对于任意整数a和正整数n，存在整数q和r使得a=nq+r，并且0≤r<n。
例如：对于整数a=27和n=6，可以通过除法算法得到27=6×4+3，即27除以6的商为4余3。
2.2 利用整数的性质证明同余定理的证明还可以利用整数的性质进行推导。
例如，根据整数的加法和乘法运算的封闭性、结合律、交换律和分配律等性质，可以推导出同余定理的各种形式。
2.3 数学归纳法证明数学归纳法也是证明同余定理常用的方法之一。
通过证明同余定理在某个条件下的成立以及下一步推导的有效性，可以建立起同余定理的递推关系和推导过程，从而得出结论。
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6 0.857142 7
事实上，
但 t 不一定等于 (b) 例如
2 循环节的长度 t =1 3
(3)
பைடு நூலகம்2 ， 0.6 3
虽有10 例如
1(mod 3)
但更有10
1
1(mod 3)
4 循环节的长度 t =3 27
(27)
，
4 0.148 27
则a
n
。
3、若 n 4、求 2
n
2 且 a 2 a(mod d )
a(mod d )
1能被 5 整除的一切正整数 n
课后分析
第三章
授课题目
同余
授课形式 课堂教学
二、剩余类及完全剩余系
节数 函授班 章节 第三章 教学方法
授课时间 授课系、 班级
授课者 课堂教学
教学条件 教学目标 教学重 点、难点
p
p
a (mod p )
a1 a2 (mod p ) ， p 为质数
3、循环小数:既约真分数化为小数 循环小数
纯循环小数 混循环小数
如： 0. a1 a2
at
是纯循环小数；
0.b1b2
bs a1 a2
at 是混循环小数
a1a2
at 叫循环节， t 叫循环节的长度。
a （ b a 1,(a, b) 1 ）能表示纯循环小数： b
t个 s个
bs
0.178
178 17 161 900 900
4、质数模的同余式。
课后分析
授课题目 授课时间 授课系、 班级 教学条件 教学目标 教学重 点、难点
第四章
节数 函授班
同余式
章节 第三章 教学方法 无
授课形式 授课者
课堂教学
课堂教学
一、基本概念及一次同余式 1、定义:设整系数多项式： f ( x) an xn a1x a
原同余式15x 9(mod6) 的解为： x 1,3,5(mod6)
4、如何解同余式，有哪些方法？ 二、孙子定理
三、高次同余式的解数及解法
课后分析
授课题目 授课时间 授课系、 班级
第五章 二次同余式与平方剩余
节数 函授班 章节 第三章 教学方法
授课形式 授课者
课堂教学
课堂教学
教学条件 教学目标 教学重 点、难点
5 ○
b1 b2 (mod m)
若 a b c(mod m) ，则 a c b(mod m)
6 若 a1 b1 (mod m) ， a2 b2 (mod m) ○ 则 a1a2
b1b2 (mod m)
bk (mod m)
特别地，若 a b(mod m) ，则 ak 7 若 A ○ 则
汕头职业技术学院教师教案 第三章
授课题目
同余
授课形式 课堂教学
一、同余的概念及其基本性质
节数 函授班 章节 第三章 教学方法 无
授课时间 授课系、 班级 教学条件
授课者 课堂教学
教学目标 理解同余的概念，掌握判断同余的方法，理解同余的性质。 教学重 重点：同余的概念，判断是否同余。 点、难点 一、同余的概念 P48 1、定义： 给定一正整数 m, 把它叫做模。若用 m 去除任意两个整数 a 和 b 所得余数相同, 我们就称 a， b 为对模 m 同余, 记作 ab(mod m); 若 余数不同, 则称 a，b 为对模 m 不同余, 记作 2、判别法： a b(mod m) 证明：设 b mq2 教学过程 要点
i 0
n
3、弃九法（只能判断错误的结论，不能判断结论是否正确） 例如 设 a 28997 经计算 a, b 的积
b 39495
p 1145236415
问结论是否正确？ 练习： 1、设 32 11(mod m) 则 m 2、1
5
25 35
1005 被 4 除所得的余数是
k
mk ])
0, d m
四、 同余的一些应用
1、与中学的一些知识结合 例如 已知 x1 x2
求证： x1
5a 8 ， x1 x2 20a 16
x2 (mod a)
证明：
2、检查因数 设 a an ana 则9 a 9
a1a
i
a
i 0
n
3 a 3 ai
max{ , }
例如
5 0.17857142 28
28 22 7
不循环的位数： s max{ , } 2 循环节的长度 t =6
（3） 真分数
a a 【 b a 1,(a, b) 1 】能表示有限小数： = 0.b1b2 b b
bs
b 2 5 ， s max{ , }
证明： 性质○ 10 若 a b(mod m) ，且 d 为 a, b, m 的公因数 则
a b m (mod ) d d d
证明： 性质○ 11 若 a b(mod mi ) ， i 1,2, 则 a b(mod[m1m2 证明： 性质○ 12 若 a b(mod m) ， d 则 a b(mod d ) 证明： 性质○ 13 若 a b(mod m) ，则 (a, m) (b, m) 证明：
无
1、二次同余式的形式，平方剩余及平方非剩余
教学过程 2、质数模的平方剩余及平方非剩余 要点
3、勒让得符号。
课后分析
无
1、剩余类及其性质； 2、完全剩余系（判断、唯一性）及非负、绝对最小，全奇、全偶的完 全剩余系；完全剩余系的性质；
教学过程 要点
课后分析
第三章
授课题目
同余
授课形式 课堂教学
三、简化剩余系及欧拉函数
节数 函授班 章节 第三章 教学方法
授课时间 授课系、 班级
授课者 课堂教学
教学条件 教学目标 教学重 点、难点
则
m 为正整数
f ( x) 0(mod m), 叫做模 m 的同余式。
若 an 0 ，则 n 叫做同余式的次数。
2、定义: 同余式的解
教学过程 要点
3、定理：一次同余式 ax b(mod m) ， a 0 有解 (a, m) b 在有解时，解的个数为 d (a, m) 例1 例2
故
m (r1 r2 ) 但 r1 r2 m, 故 r1 r2
即 a b(mod m)
二、同余的基本性质
由同余的定义, 可得下列简单性质: ①自反性: aa (mod m).
②对称性: 若 ab(mod m), 则 ba(mod m). ③传递性: 若 ab(modm), bc(modm), 则: ac(mod m). 可见, 同余关系是等价关系. 4 若 a1 b1 (mod m) ， a2 b2 (mod m) ○ 则 a1 a2
2x 7(mod10) 3x 2(mod5)
无解 有唯一解
例3
求 15x 9(mod6)
的解
解：因为 (15,6) 3 所以 (15,6) 9 故同余式15x 9(mod6) 有解，且有三个解。 同余式15x 9(mod6)
可化简为
5x 3(mod 2) ，其解为 x 1(mod 2)
无
1、欧拉函数及性质 2、简化剩余系及其判断，性质； 3、欧拉函数的计算； 教学过程 要点
课后分析
第三章
授课题目
同余
授课形式 课堂教学
四、欧拉定理及费马定理及循环小数
授课时间 授课系、 班级 节数 函授班 章节 第三章 教学方法 授课者 课堂教学
教学条件 教学目标 教学重 点、难点
无
1、欧拉定理；若 m 是大于 1 的整数，且 (a, m) 1 则a
n
证明： 63! 61!(mod71)
2
例 2 若 n 的末位数是 d ，则 n 例 3 求3
406
d 2 (mod10)
的末位数
例 4 求3
10
1531 被 7 除所得的余数。
2
练习：1、若 a, b 都不是 3 的倍数，则 a 练习：2、求 45 被 11 除所得的余数。 练习：3、求 2
虽有10
1(mod 27)
但更有10
3
1(mod 27)
（2） 真分数
a 【 b a 1,(a, b) 1 】能表示纯循环小数： b
a = 0.b1b2 b
bs a1 a2
at
b 2 5 b1 ,(b1 ,10) 1, b1 1, , 不全为零。
其中 s
(m)
1(mod m)
证明： 说明： 1 使结论成立的 (m) 不一定最小；
2 条件 (a, m) 1 不能少；
3 作用：求余数，
例 求5
195
被 8 除所得的余数。
例 设 p 是除 2、5 外的质数，证明 教学过程 要点
p 99
9
( p 1) k 个
2、费马定理：若 p 为质数， a 为整数，则 a 例 证明： ( a1 a2 )
例如
7 0.175 40
40 23 51 ， s max{ , } 3
小数化为既约真分数 例如
0. a1 a2
0.21
at
a1a2 at 99 9
21 7 99 33
bs a1 a2
例如
0.b1b2
at
b1b2
bs a1a2 at b1b2 99 900 0