2019-2020学年高中物理 专题09 牛顿运动定律的应用之动力学中的临界和极值问题学案 新人教版必修1

专题09 牛顿运动定律的应用之动力学中的临界和极值问题重难讲练临界与极值问题是中学物理中的常见题型，结合牛顿运动定律求解的也很多，临界是一个特殊的转换状态，是物理过程发生变化的转折点，在这个转折点上，系统的某些物理量达到极值.临界点的两侧，物体的受力情况、变化规律、运动状态一般要发生改变.1. 临界或极值条件的标志(1)有些题目中有“刚好”、“恰好”、“正好”等字眼，即表明题述的过程存在着临界点。

(2)若题目中有“取值范围”、“多长时间”、“多大距离”等词语，表明题述的过程存在着“起止点”，而这些起止点往往对应临界状态。

(3)若题目中有“最大”、“最小”、“至多”、“至少”等字眼，表明题述的过程存在着极值，这个极值点往往是临界点。

(4)若题目要求“最终加速度”、“稳定速度”等，即是求收尾加速度或收尾速度。

2. 常见的三类临界问题的临界条件：(1)相互接触的两个物体将要脱离的临界条件是：相互作用的弹力为零．(2)绳子松弛的临界条件是：绳的拉力为零．(3)存在静摩擦的系统，当系统外力大于最大静摩擦力时，物体间不一定有相对滑动，相对滑动与相对静止的临界条件是：静摩擦力达到最大值．3. 临界问题的常用解法(1)极限法：把物理问题(或过程)推向极端，从而临界现象(或状态)暴露出来，以达到正确解决问题的目的。

(2)假设法：临界问题存在多种可能，特别是非此即彼两种可能时，或变化过程中可能出现临界条件，也可能不出现临界条件时，往往用假设法解决问题。

(3)数学方法：将物理过程转化为数学公式，根据数学表达式解出临界条件。

【典例1】如图所示，质量m＝2 kg的小球用细绳拴在倾角θ＝37°的光滑斜面上，此时，细绳平行于斜面。

取g＝10 m/s2。

下列说法正确的是( )A.当斜面以5 m/s2的加速度向右加速运动时，绳子拉力为20 NB.当斜面以5 m/s2的加速度向右加速运动时，绳子拉力为30 NC.当斜面以20 m/s2的加速度向右加速运动时，绳子拉力为40 ND.当斜面以20 m/s2的加速度向右加速运动时，绳子拉力为60 N【答案】 A【解析】小球刚好离开斜面时的临界条件是斜面对小球的弹力恰好为零。

斜面对小球的弹力恰好为零时，设绳子的拉力为F，斜面的加速度为a0。

以小球为研究对象，根据牛顿第二定律有F cos θ＝ma0，F sin θ－mg＝0代入数据解得a0＝13.3 m/s2。

甲代入数据解得F1＝20 N。

选项A正确，B错误。

乙(2)由于a2＝20 m/s2>a0，可见小球离开了斜面，此时小球的受力情况如图乙所示。

设绳子与水平方向的夹角为α。

以小球为研究对象，根据牛顿第二定律有F2cos α＝ma2，F2sin α－mg＝0代入数据解得F2＝20 5 N。

选项C、D错误。

【典例2】如图所示，质量为m的球置于斜面上，被一个竖直挡板挡住。

现用一个力F拉斜面，使斜面在水平面上做加速度为a的匀加速直线运动，忽略一切摩擦，以下说法正确的是( )A.若加速度足够小，竖直挡板对球的弹力可能为零B.若加速度足够大，斜面对球的弹力可能为零C.斜面和挡板对球的弹力的合力等于maD.斜面对球的弹力不仅有，而且是一个定值 【答案】 D不可能为零，选项A 错误；斜面和挡板对球的弹力的合力即为竖直方向的分力F N2cos α与水平方向的合力ma 的合成，因此大于ma ，选项C 错误。

【典例3】如图所示，一质量m=0.4kg 的小物块，以V 0=2m/s 的初速度，在与斜面成某一夹角的拉力F 作用下，沿斜面向上做匀加速运动，经t=2s 的时间物块由A 点运动到B 点，A 、B 之间的距离L=10m 。

已知斜面倾角θ=30o，物块与斜面之间的动摩擦因数=μ33。

重力加速度g 取10 m/s 2.（1）求物块加速度的大小及到达B 点时速度的大小。

（2）拉力F 与斜面的夹角多大时，拉力F 最小？拉力F 的最小值是多少？ 【答案】（1）3m/s 28m/s (2)N 5313 【解析】（1）设物块加速度的大小为a ，到达B 点时速度的大小为v ，由运动学公式得2021+=at t v L ○1 at t v v +=0 ○2联立○1○2得2s /m 3=a ○3 s /m 8=v ○4（2）设物块所受支持力为NF ，所受摩擦力为fF ，拉力与斜面间的夹角为α，受力分析如图所示，由牛顿第二定律得maF θmg αF f =-sin -cos ○5=cos -+sin θmg F αF N ○6又Nf F μF = ○7联立○5○6○7式得αμαmaθμθmg F sin +cos +)cos +(sin =○8由数学知识得)+°60sin(332=sin 33+cos ααα ○9由○8○9式可知对应F 最小的夹角为 °30=α ○10 联立○3○8○10式，代入数据得F 的最小值为N 5313=m in F ○11【跟踪训练】1. 如图所示，在粗糙的水平路面上，一小车以v 0＝4 m/s 的速度向右匀速行驶，与此同时，在小车后方相距s 0＝40 m 处有一物体在水平向右的推力F ＝20 N 作用下，从静止开始做匀加速直线运动，当物体运动了x 1＝25 m 撤去。

已知物体与地面之间的动摩擦因数μ＝0.2，物体的质量m ＝5 kg ，重力加速度g ＝10 m/s 2。

求(1)推力F 作用下，物体运动的加速度a 1大小； (2)物体运动过程中与小车之间的最大距离； (3)物体刚停止运动时与小车的距离d 。

【答案】 (1)2 m/s 2(2)44 m (3)30 m【解析】 (1)对物体，根据牛顿第二定律得F －μmg ＝ma 1 代入数据得a 1＝2 m/s 2。

(2)当物体速度v 1＝v 0时，物体与小车间距离最大，即t 1＝v 1a 1＝42 s ＝2 s 时，两者之间最大距离x max ＝s 0＋v 0t 1－v 12t 1＝40 m ＋4×2 m－4 m ＝44 m 。

(3)设推力作用的时间为t 2，根据位移公式得x 1＝12a 1t 22则t 2＝2x 1a 1＝2×252s ＝5 s 速度v 2＝a 1t 2＝2×5 m/s＝10 m/s而t 3＝v 2a 2＝102s ＝5 s 。

物体运动的总时间t ＝t 2＋t 3＝10 s 则d ＝v 0t ＋s 0－(x 1＋x 2)＝30 m 。

2. 一根劲度系数为k ，质量不计的轻弹簧，上端固定，下端系一质量为m 的物体，有一水平板将物体托住，并使弹簧处于自然长度．如图所示．现让木板由静止开始以加速度a(a ＜g)匀加速向下移动．求经过多长时间木板开始与物体分离．【答案】kaa g m )(2【解析】 设物体与平板一起向下运动的距离为x 时，物体受重力mg 、弹簧的弹力F=kx 、平板的支持力N 的作用。

根据牛顿第二定律有：mg-kx-N=ma ，得N=mg-kx-ma.当物体与平板分离的瞬间，N=0，但此瞬时物体与平板仍有相同的加速度，故此时ka g m x )(-=。

因为221at x =，故kaa g m t )(2-=3. 如图所示，水平地面上的矩形箱子内有一倾角为θ的固定斜面，斜面上放一质量为m 的光滑球。

静止时，箱子顶部与球接触但无压力。

箱子由静止开始向右做匀加速运动，然后改做加速度大小为a 的匀减速运动直至静止，经过的总路程为s ，运动过程中的最大速度为v 。

图9(1)求箱子加速阶段的加速度大小a ′；(2)若a ＞g tan θ，求减速阶段球受到箱子左壁和顶部的作用力。

【答案】 (1)av 22as －v 2 (2)0 m (atan θ－g ) 【解析】 (1)由匀变速直线运动的公式有v 2＝2a ′x 1，v 2＝2ax 2，且x 1＋x 2＝s解得：a ′＝av 22as －v2(2)假设球刚好不受箱子作用，应满足F N sin θ＝ma 0，F N cos θ＝mg ，解得a 0＝g tan θ，箱子减速时加速度水平向左，当a ＞g tan θ时，箱子左壁对球的作用力为零，顶部对球的力不为零。

此时球受力如图，由牛顿第二定律得F N ′cos θ＝F ＋mgF N ′sin θ＝ma解得F ＝m (atan θ－g )模拟提升1．（2019届吉林省长春市田家炳实验中学高三上第一次调研）如图所示，一细线的一端固定于倾角为45°的光滑楔形滑块A 上的顶端O 处，细线另一端拴一质量为m=0.2kg 的小球静止在A 上。

若滑块从静止向左匀加速运动时加速度为a 。

(取）则（）A．当a=5m/s2时，线中拉力为B．当a=10m/s2时, 小球受的支持力为C．当a=12m/s2时, 经过1秒钟小球运动的水平位移是6mD．在稳定后，地面对A的支持力一定小于两个物体的重力之和【答案】A【解析】当小球对斜面的压力恰为零时，对小球受力分析，受重力、拉力，根据牛顿第二定律与力的平行四边形定则，将拉力和重力合成，合力即为mg，有：水平方向：F合=Fcos45°=ma；竖直方向：Fsin45°=mg；解得：a=g=10m/s2；当a=5m/s2时，小球没有脱离斜面，此时对小球：Fcos450-F N sin450=ma；Fsin450+F N cos450=mg，解得线中拉力为,选项A正确；项C错误；虽然水平方向有加速度，但是对整体竖直方向处于平衡状态，则在稳定后，地面对A的支持力一定等于两个物体的重力之和，选项D错误；故选A.2．（2019届湖南省衡阳市第八中学高三上第二次月考）如图所示，A、B两物块的质量分别为2m和m，静止叠放在水平地面上。

A、B间的动摩擦因数为μ，B与地面间的动摩擦因数为μ。

最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。

现对A施加一水平拉力F，则下列说法中正确的是（）A．当F<2μmg时，A、B都相对地面静止B．当F=μmg时，A的加速度为μgC．当F>3μmg时，A相对B滑动D．无论F为何值，B的加速度不会超过μg【答案】BCD【解析】A、设B对A的摩擦力为f1，A对B的摩擦力为f2，地面对B的摩擦力为f3，由牛顿第三定律可知f1与f2大小相等，方向相反，f1和f2的最大值均为2μmg，f3的最大值为．故当时，A、B均保持静止；继续增大F，在一定范围内A、B将相对静止以共同的加速度开始运动，故A错误；B、设当A、B恰好发生相对滑动时的拉力为F′，加速度为a′，则对A，有F′-2μmg=2ma′，对A、B整体，D、对B来说，其所受合力的最大值，即B的加速度不会超过，故D正确.故选BCD.3．（2019届江西省分宜中学高三第一次段考）如图所示，质量均为M的物块A、B叠放在光滑水平桌面上，质量为m的物块C用跨过轻质光滑定滑轮的轻绳与B连接，且轻绳与桌面平行，A、B之间的动摩擦因数为μ，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小为g，下列说法正确的是（）A．物块A运动的最大加速度为B．要使物块A、B发生相对滑动，应满足关系C．若物块A、B未发生相对滑动，物块A受到的摩擦力为D．轻绳对定滑轮的作用力为【答案】ACD【解析】设A、B相对静止时A、B的共同加速度为a，绳对C的拉力为T，B对A的摩擦力为f。