余弦函数的图像和性质ppt课件
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余弦函数的图像与性质PPT
所以 cos 3＜sin 1 ＜ cos 7 .
2
10
4
答案: cos 3＜sin 1 ＜ cos 7
2
10
4
类型一 余弦函数的图像及应用 【典例】用“五点法”作函数y=1-cosx(0≤x≤2π)的 简图.
世纪金榜导学号70034021
【审题路线图】用“五点法”作函数y=1-cosx(0≤x≤2π) 的简图⇒根据余弦函数图像的五个关键点列表⇒在坐标 系中描出五个关键点⇒用平滑的曲线连接五个点.
2.比较下列各组数的大小.
(1)-sin46°与cos221°.
2cos( 23 )与cos( 17 ).
5
4
【审题路线图】1.配方法⇒求出最值⇒写出值域. 2.用诱导公式化角在同一单调区间内⇒利用正(余)弦函 数单调性⇒写出答案.
【解析】1.y (cos x 1 )2 1 .
24
因为-1≤cosx≤1,
所以当cosx=1
2
时,ymax=
1 4
.
当cosx=-1时,ymin=-2.
所以函数y=-cos2x+cosx的值域是[2，1 ].
4
答案: [2，1]
4
2.(1)-sin46°=-cos44°=cos136°, cos221°=-cos41°=cos139°. 因为180°>139°>136°>0°, 所以cos139°<cos136°,即-sin46°>cos221°.
【解析】列表:
x cosx
0
π 3
2π
2
2
1
0
-1
0
1
1-cosx
01
2
正弦函数、余弦函数的图象和性质 PPT
x0
2
3 2 2
sin x 0 1 0 1 0
1+sin x 1 2 1 0 1
2.画出函数y cos x, x0,2 的简图.
x0
2
3 2 2
cos x 1 0 1 0 1
cos x 1 0 1 0 1
1.已知函数y 2cos x 1,作出函数的图象，并根据图象 写出函数的定义域、值域、单调区间、对称轴、对称中 心，并解不等式 2cos x 1 0.
对称中 心 周期
R
1，1
增：
2
2k
,
2
2k
,
k
Z
减：2
2k ,
3 2
2k
,
k
Z
奇函数
x k , k Z
2
k,0, k Z
2
R
1，1
增： 2k，2k ,k Z
减：2k, 2k , k Z
偶函数
x k , k Z
2
k
,
0
,
k
Z
2
1.画出函数y 1sin x, x0,2 的简图.
函数名sin 后面跟的是角，无论角 以何种形式出现，只要整体取定一 个值，就可以得一个正弦值。
根据正弦函数的图象填写下面的表格
函数
y sin x
y cos x
图象
定义域 值域 单调区 间
奇偶性 对称轴
对称中 心 周期
R
1，1
增：
2
2k
,
2
2k
,
k
Z
减：2
2k ,
3 2
2k
,
k
Z
奇函数
x k , k Z
正弦函数和余弦函数的图像与性质.ppt
, 0), (2 ,1)
2
2
并注意-4 曲线的“凹凸”变化.
课堂练习
1.作函数 y sin x 与 y sin x 1在 [0, 2 ]
上的大致图像. 2.指出1.中各图像与正弦函数图像的位置关系.
3.作函数 y cos x, x [ , ]的大致图像.
4.利用3.解不等式：cos x sin x, x [ , ]
-2
五个关键点：(0, 0), ( ,1), ( , 0), (3 , 1), (2 , 0)
2
2
利用五个关-4键点作简图的方法称为“五点法”
10
三、余弦函数的图像
根据诱导公式
cos
8
x
sin(
x) 可知余弦函数
y
cos
6
x的图像可由
y
2 sin
x
的图像向左平移
2
4
个单位得到.
1
2
2
-10
3-5
0
2
1
-2
余弦函数的值域是[1,1] -4
当且仅当 x 2k , k Z 时， -6
余弦函数取得最大值1；-8
5
2
35
x10
2
yP
OM x
当且仅当 x 2k , k-10 Z 时，
余弦函数取得最小值-1-1.2例1.求下列函数的源自大值与最小值，及取到最值6
课堂练习答案
12
1. y sin x, x [0, 2 ] y4
10
x
0
2
3 2
2
2 8
5
-10
余弦函数的图像和性质课件
余弦函数在$x = 2kpi$（$k in Z$）处取得 最大值1。
最小值
余弦函数在$x = (2k+1)pi$（$k in Z$）处 取得最小值-1。
应用举例
振动和波动
余弦函数在描述振动和波动现象 中有着广泛的应用，如简谐振动
。
交流电
交流电的电压和电流通常用余弦函 数表示，用于描述正弦交流电的波 形。
信号处理
在信号处理领域，余弦函数常用于 信号的合成与分解，如傅里叶变换 。
04
余弦函数的扩展和深化理解
三角恒等式和余弦函数的关系
三角恒等式是三角函数之间关 系的总结，它们为余弦函数与 其他三角函数之间的转换提供 了依据。
例如，利用三角恒等式可以将 余弦函数转换为正弦函数，或 者将余弦函数转换为正切函数 。
余弦函数的图像和性质 ppt课件
• 余弦函数的定义和基本性质 • 余弦函数的图像 • 余弦函数的性质和应用 • 余弦函数的扩展和深化理解 • 练习和巩固
01
余弦函数的定义和基本性质
定义
总结词
余弦函数是三角函数的一种，表 示直角三角形中邻边与斜边的比 值。
详细描述
余弦函数定义为cos(x) = 边长邻 边 / 边长斜边，其中x是角度，单 位为弧度。
线性函数
余弦函数具有非线性特性，其图像呈 现曲线形状，而线性函数的图像则为 直线。
03
余弦函数的性质和应用
单调性
单调增区间
余弦函数在$[0, pi]$区间 内单调递增。
单调减区间
余弦函数在$[pi, 2pi]$区 间内单调递减。
周期性
余弦函数具有周期性，周 期为$2pi$。
最大值和最小值
最大值
周期性
最小值
余弦函数在$x = (2k+1)pi$（$k in Z$）处 取得最小值-1。
应用举例
振动和波动
余弦函数在描述振动和波动现象 中有着广泛的应用，如简谐振动
。
交流电
交流电的电压和电流通常用余弦函 数表示，用于描述正弦交流电的波 形。
信号处理
在信号处理领域，余弦函数常用于 信号的合成与分解，如傅里叶变换 。
04
余弦函数的扩展和深化理解
三角恒等式和余弦函数的关系
三角恒等式是三角函数之间关 系的总结，它们为余弦函数与 其他三角函数之间的转换提供 了依据。
例如，利用三角恒等式可以将 余弦函数转换为正弦函数，或 者将余弦函数转换为正切函数 。
余弦函数的图像和性质 ppt课件
• 余弦函数的定义和基本性质 • 余弦函数的图像 • 余弦函数的性质和应用 • 余弦函数的扩展和深化理解 • 练习和巩固
01
余弦函数的定义和基本性质
定义
总结词
余弦函数是三角函数的一种，表 示直角三角形中邻边与斜边的比 值。
详细描述
余弦函数定义为cos(x) = 边长邻 边 / 边长斜边，其中x是角度，单 位为弧度。
线性函数
余弦函数具有非线性特性，其图像呈 现曲线形状，而线性函数的图像则为 直线。
03
余弦函数的性质和应用
单调性
单调增区间
余弦函数在$[0, pi]$区间 内单调递增。
单调减区间
余弦函数在$[pi, 2pi]$区 间内单调递减。
周期性
余弦函数具有周期性，周 期为$2pi$。
最大值和最小值
最大值
周期性
余弦函数的图像和性质
相位
余弦函数的相位表示波形相对于原 点的水平位移。对于形如 y=cos(x+φ)的余弦函数，相位为φ。
与正弦函数图像关系
平移关系
余弦函数图像相对于正弦函数图像沿x轴向左平移π/2个单 位，即y=cosx的图像与y=sin(x+π/2)的图像重合。
对称性
余弦函数图像关于y轴对称，而正弦函数图像关于原点对称。 因此，余弦函数的图像在正半轴和负半轴上具有对称性。
利用三角函数表或计算器，可以求出已知角度 的余弦值。
已知余弦值求角度
通过反余弦函数或三角函数表，可以求出已知 余弦值对应的角度。
复合角的三角函数求值
利用三角函数的和差化积公式，可以求出复合角的三角函数值。
三角函数不等式求解
余弦函数的有界性
余弦函数的值域为[-1,1]，因此可 以利用这个性质求解一些与余弦 函数相关的不等式。
周期性
周期
余弦函数具有周期性，其最小正周期为 $2pi$。即对于任意整 数 $k$，都有 $cos(x + 2kpi) = cos(x)$。
波形
余弦函数的图像呈现周期性的波动，形状类似于正弦波，但 相位相差 $pi/2$。
奇偶性
偶函数
余弦函数是偶函数，即满足 $cos(-x) = cos(x)$。这意味着余弦函数的图像关 于 y 轴对称。
将余弦函数转换为正弦函数，利用正 弦函数的图像进行平移和伸缩变换， 得到余弦函数的图像。
振幅、周期与相位
振幅
余弦函数的振幅表示波形的最大 偏离程度，即函数值域的一半。 对于标准余弦函数y=cosx，振幅
为1。
周期
余弦函数的周期表示波形重复出现 的最小正周期。对于标准余弦函数 y=cosx，周期为2π。
余弦函数的相位表示波形相对于原 点的水平位移。对于形如 y=cos(x+φ)的余弦函数，相位为φ。
与正弦函数图像关系
平移关系
余弦函数图像相对于正弦函数图像沿x轴向左平移π/2个单 位，即y=cosx的图像与y=sin(x+π/2)的图像重合。
对称性
余弦函数图像关于y轴对称，而正弦函数图像关于原点对称。 因此，余弦函数的图像在正半轴和负半轴上具有对称性。
利用三角函数表或计算器，可以求出已知角度 的余弦值。
已知余弦值求角度
通过反余弦函数或三角函数表，可以求出已知 余弦值对应的角度。
复合角的三角函数求值
利用三角函数的和差化积公式，可以求出复合角的三角函数值。
三角函数不等式求解
余弦函数的有界性
余弦函数的值域为[-1,1]，因此可 以利用这个性质求解一些与余弦 函数相关的不等式。
周期性
周期
余弦函数具有周期性，其最小正周期为 $2pi$。即对于任意整 数 $k$，都有 $cos(x + 2kpi) = cos(x)$。
波形
余弦函数的图像呈现周期性的波动，形状类似于正弦波，但 相位相差 $pi/2$。
奇偶性
偶函数
余弦函数是偶函数，即满足 $cos(-x) = cos(x)$。这意味着余弦函数的图像关 于 y 轴对称。
将余弦函数转换为正弦函数，利用正 弦函数的图像进行平移和伸缩变换， 得到余弦函数的图像。
振幅、周期与相位
振幅
余弦函数的振幅表示波形的最大 偏离程度，即函数值域的一半。 对于标准余弦函数y=cosx，振幅
为1。
周期
余弦函数的周期表示波形重复出现 的最小正周期。对于标准余弦函数 y=cosx，周期为2π。
正弦函数 余弦函数的图像和性质ppt
1
1
0 0
0
y
2 1 -
1
0
1
1 -
o
2
3 2
2
x
作函数 y= sinx + 小值
y= sinx+
1 2
1 2
3 2
cosx草图，求y的最大值和最
解：用辅角公式化简函数
3 cosx 2
= sinxcos 3 + cosxsin 3 = sin(x+ 3 )
X+ 3
0 －
3
o
1-
x
6
-
4
-
2
2
-1 -
4
6
-
因为终边相同的角的三角函数值相同，所以y=sinx的图象在……， 4 ,2 , 2 , 0 , 0 , 2 , 2 , 4 , y ……与y=sinx,x∈[0,2π ]的图象相同
2
1 2
1
1
1
0
0 1
1 -
o
2
3 2
2
x
练习 : 作函数 y=－cosx，x∈[0,2π]的草图
作函数 y= sinx + 小值
1 2
3 2
cosx草图，求y的最大值和最
练习：作函数y= －cosx,x∈[0,2π]的草图 解: 列表
X
0
2
1
3 2
2
1
cosx -cosx
描点法: 查三角函数表得三角函数值,描点 ( x, sin x),连线.
如: x 查表 y sin 3 0.8660 3 ) 描点 ( ,0.8660 3
余弦函数的图像和性质ppt课件
(2)y=cos(x+φ)，当φ=kπ+ (k∈Z)时是奇函数；
2
y=sin(x+φ)，当φ=kπ+ (k∈Z)时是偶函数.
2
(3)余弦函数的对称轴和对称中心
①对称轴方程为x=kπ(k∈Z).
②对称中心的坐标为( +kπ,0)(k∈Z).
2
【变式训练】函数f(x)=x2+cos x的奇偶性为______. 【解析】因为x∈R，且f(-x)=(-x)2+cos(-x)=x2+cos x=f(x), 所以函数f(x)是偶函数. 答案：偶函数
33 3
3
3
THANK YOU
SUCCESS
2019/5/10
类型二 余弦函数的奇偶性及应用
【典例2】
(1)(2013·佛山高一检测)函数f(x)=sin(x+φ)(0≤φ≤π)是
R上的偶函数，则φ的值为( )
A.0
B.
C.
D.π
4
2
(2)(2014·绵阳高一检测)函数f(x)=sin(2x+ 3 )的奇偶性为
2.对余弦函数单调性的三点说明 (1)余弦函数在定义域R上不是单调函数，但存在单调区间. (2)求解或判断余弦函数的单调区间(或单调性)，是求与之相 关的值域(或最值)的关键，通常借助其求值域(或最值). (3)确定较复杂函数的单调性，要注意使用复合函数单调性的 判断方法.
3.余弦函数的最值 (1)明确余弦函数的有界性，即|cos x|≤1,解题时常会用到. (2)对有些函数，其最值不一定就是1或-1，要依赖函数的定义 域来确定. (3)形如y=Acos(ωx+φ)(A＞0,ω＞0)的函数求最值时，通常 利用“整体代换”，即令ωx+φ=z,将函数转化为y=Acos z的 形式求最值.
2
y=sin(x+φ)，当φ=kπ+ (k∈Z)时是偶函数.
2
(3)余弦函数的对称轴和对称中心
①对称轴方程为x=kπ(k∈Z).
②对称中心的坐标为( +kπ,0)(k∈Z).
2
【变式训练】函数f(x)=x2+cos x的奇偶性为______. 【解析】因为x∈R，且f(-x)=(-x)2+cos(-x)=x2+cos x=f(x), 所以函数f(x)是偶函数. 答案：偶函数
33 3
3
3
THANK YOU
SUCCESS
2019/5/10
类型二 余弦函数的奇偶性及应用
【典例2】
(1)(2013·佛山高一检测)函数f(x)=sin(x+φ)(0≤φ≤π)是
R上的偶函数，则φ的值为( )
A.0
B.
C.
D.π
4
2
(2)(2014·绵阳高一检测)函数f(x)=sin(2x+ 3 )的奇偶性为
2.对余弦函数单调性的三点说明 (1)余弦函数在定义域R上不是单调函数，但存在单调区间. (2)求解或判断余弦函数的单调区间(或单调性)，是求与之相 关的值域(或最值)的关键，通常借助其求值域(或最值). (3)确定较复杂函数的单调性，要注意使用复合函数单调性的 判断方法.
3.余弦函数的最值 (1)明确余弦函数的有界性，即|cos x|≤1,解题时常会用到. (2)对有些函数，其最值不一定就是1或-1，要依赖函数的定义 域来确定. (3)形如y=Acos(ωx+φ)(A＞0,ω＞0)的函数求最值时，通常 利用“整体代换”，即令ωx+φ=z,将函数转化为y=Acos z的 形式求最值.
正弦余弦函数的图像性质(周期、对称、奇偶)经典课件25页PPT
新知探究 ：
1、正弦函数的单调性 y
1
y
1
2
o
2
o
-1
-1
3
2
2
x x
y=sinx x[0,2]
y
y=sinx xR
-4 -3
-2
1
- o
-1
正弦曲 线
2
3
4
5 6 x
新知探究：
1、正弦函数的单调性
y
-4 -3
-2
- 2
1
o
-1
2
2
3
4
5 6 x
x
2
…
0
…
正 正弦弦函数余.余弦弦函函数的数图象对和称性质性
-
-
-
6
4
2
对称轴：无数条
xk，kZ
2
-
-
-
6
4
2
对称轴：无数条 x=kπ，k∈Z
-
y
正弦 函数 y=sinx的 图象
1-
-
-
-
o - 1-
2
4
6
x
对称中心：无数个
（kπ，0）,k∈Z
y
余 弦函 数 y =co sx的 图象
1-
-
-
-
o
复习回顾
一、正弦函数、余弦函数的图像及画法
正弦曲线
y
1-
-
-
6
4
2
o
-1-
2
4
6
x
6
4
余弦曲线
y-
1
2
o-
-1
2
4
6
探索发现
正余弦函数图像和性质PPT课件
（2）余弦函数“五点作图法”：
y 1 y=cosx
3 2
2
o
2
-1
3 2
Y=sinx 2 5 3 x
2
五个关 键点：
( 0 ,1),
( ,0 ), 2
( , 1), ( 3 , 0 ) , ( 2 ,1)
2
（3）正、余弦函数图象的关系
cosx=sin(x+
2
y=cosx
y
) sinx=cos( -x)=cos(x- )
定义域 值域 周期性 对称性 单调性
性质的应. 用
3
一.基础知识复习
（一）正、余弦函数图象
“五点作图法”
（1）正弦函数“五点作图法”：
y
1
4
3
2
-
3 2
-
-
2
o
2
3 2
2
3
4 x
-1
五个关键点：
( 0 , 0 ) ,(
2
, 1 ) , ( , 0 ) ,( 3
2
, 1)(, 2 , 0 )
正 余弦函数的图象与性质(1)
y
1
ysinx,x[0,2
3p
π
2
2π
O
p
x
2
-1
思考4：观察函数y=sin在[0，2π]内的 图象，其形状、位置、凸向等有何变化 规律？
《正弦函数、余弦函数的图象和性质》的知识框架
正弦线 正弦函数的图象 平移变换 余弦函数的图象
正弦函数的性质 “五点法”作 图
余弦函数的性质
⑤奇偶性:
奇偶性的y1定义y=：sif f n( ( x x x ) ) ( x ff R( ( x x )) ) ff( ( x x ) ) 为 为 偶 奇 函 函 数 数
余弦函数的图像和性质PPT
余弦函数的图像及性质
一、余弦函数图像
y=cos x x [0, 2 ]
x
y cos x
y
0
1
2
0
2
1
3 2
2
0 1
3 2
1
0
-1ຫໍສະໝຸດ x 2例1 画出函数[0，2π]上的图像
y=1-cos x
y sin x
x
cosx
y 1 cos x
2 0 2 1 0 -1 0 1 0 1 2 1 0
在x 2k ,2k 上是增函数；
在x 2k , 2k 上是减函数；
例2 求出使下列函数取得最值的x的集合，
并写出最值，定义域和值域
• y=2-3cos x
解： 当x k 2 , k Z时 cosx取得最大值1
此时y 2 3cosx的最小值2－3 ＝ 1
x
3 2
2 1
y
0
2
3 2
2
练习：画出函数[0，2π]上的图像
y=2cos x -3
二、余弦函数y cosx的性质
1、定义域 2、值域 3、周期性 4、最值
5、单调性
y cos x , x R
y 1
2
2
-1
0
3 2
2
4x
y cos x , x R
y 1
2
2
-1
0
3 2
2
4
x
二、正弦函数y cosx的性质
1、定义域 2、值域 3、周期性 4、最值
xR y 1,1
一、余弦函数图像
y=cos x x [0, 2 ]
x
y cos x
y
0
1
2
0
2
1
3 2
2
0 1
3 2
1
0
-1ຫໍສະໝຸດ x 2例1 画出函数[0，2π]上的图像
y=1-cos x
y sin x
x
cosx
y 1 cos x
2 0 2 1 0 -1 0 1 0 1 2 1 0
在x 2k ,2k 上是增函数；
在x 2k , 2k 上是减函数；
例2 求出使下列函数取得最值的x的集合，
并写出最值，定义域和值域
• y=2-3cos x
解： 当x k 2 , k Z时 cosx取得最大值1
此时y 2 3cosx的最小值2－3 ＝ 1
x
3 2
2 1
y
0
2
3 2
2
练习：画出函数[0，2π]上的图像
y=2cos x -3
二、余弦函数y cosx的性质
1、定义域 2、值域 3、周期性 4、最值
5、单调性
y cos x , x R
y 1
2
2
-1
0
3 2
2
4x
y cos x , x R
y 1
2
2
-1
0
3 2
2
4
x
二、正弦函数y cosx的性质
1、定义域 2、值域 3、周期性 4、最值
xR y 1,1
课件3：1.3.2 余弦函数、正切函数的图像与性质
（5）单调性：
在开区间 k , k k z 内，函数单调递增。
2
2
例1、比较
tan 13
4
与
tan 17 5
的大小。
解：
tan
13
4
tan
4
tan
17
5
tan
2
5
又 0 2 ,
45
y
tan
x在
0,
2
内单调递增，
tan tan 2 , tan tan 2 ,
2 ,0)
( 2 ,0) ( 2 ,0) ( 2 ,0) ( 2 ,0) ( 2 ,0) ( 2 ,0)
y
--
-
4 3 2
定义域
值域
周期
奇偶性
单调性
对称轴 对称中心
1
-
o
-1
2
R
34
5 6x
[-1,1]
2
奇函数
单调递增区间：[ 2k , 2k ] (k Z )
2
2
单调递减区间：[ 2k , 3 2k ] (k Z )
34
3 42
2sin(1 x )
34
小结：
所以这个函数的周期为2
1
6
3
一般地，函数 y Acos(x )( x R)(其中A,,
为常数，且 A 0, 0)的周期为 T 2 .
1、知识要点
定义域 值域 周期 奇偶性
R [-1,1]
2
偶函数
单调性 单调递增区间： [2k , 2k ] (k Z ) 单调递减区间： [2k ,2k 2 ] (k Z)
(A) y=tan 1 x
余弦函数的图象和性质课件(共17张PPT)
4 5
（2）cos 23 与cos 17 .
5 4
巩固练习，提升素养 在在活初初动中中3，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
解 （1）因为 ＜5 ＜7 ＜2 ，且余弦函数在区间
后，向左、右分别平移2π，4π，…就可得y= cos x , x∈R
的图象，这是余弦函数图象的另一种作法，即五点法.
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
情感目标 通过本节课学习，使学生养成乐于学习、勇于探索的良好品质
核心素养
通过思考、讨论等活动，提升学生数学的直观想象、逻辑推理、数据分析、 数学建模的核心素养
创设情境，生成问题 在在活初初动中中1，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
另外，根据余弦函数的图象，我们可以发现(0,1),
（ ,0),(π，-1),（3 ,0),(2π,1)这五个点是确定余弦函数图
2
2
象形状的关键点.这五个点描出后，余弦函数y = cos x ,
x∈[0,2π]的图象形状基本就确定了.又因为角x+k·2π的角
与角x的余弦值相等，于是，得到[0,2π]上余弦函数的图象
函数
y cos x sin x , x R.
2
的图象可以通过正弦函数
（2）cos 23 与cos 17 .
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巩固练习，提升素养 在在活初初动中中3，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
解 （1）因为 ＜5 ＜7 ＜2 ，且余弦函数在区间
后，向左、右分别平移2π，4π，…就可得y= cos x , x∈R
的图象，这是余弦函数图象的另一种作法，即五点法.
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
情感目标 通过本节课学习，使学生养成乐于学习、勇于探索的良好品质
核心素养
通过思考、讨论等活动，提升学生数学的直观想象、逻辑推理、数据分析、 数学建模的核心素养
创设情境，生成问题 在在活初初动中中1，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
另外，根据余弦函数的图象，我们可以发现(0,1),
（ ,0),(π，-1),（3 ,0),(2π,1)这五个点是确定余弦函数图
2
2
象形状的关键点.这五个点描出后，余弦函数y = cos x ,
x∈[0,2π]的图象形状基本就确定了.又因为角x+k·2π的角
与角x的余弦值相等，于是，得到[0,2π]上余弦函数的图象
函数
y cos x sin x , x R.
2
的图象可以通过正弦函数
正弦、余弦函数的图象和性质ppt
定 义 域: 值 域:
最 值:
周 期:
奇 偶 性:
单 调 性:
例题讲解：
例1：求使下列函数取得最大值的自变量x的集合， 并说出最大值是什么 （1）y cos x 1, x R;
（2）y
sin 2 x, x R.
例2：求下列函数的定义域： 1 （1） y 1 sin x （2）
正弦、余弦函数的图象和性质
X
正弦函数的图象
-4 -3 -2 -
y
正弦曲线
1
o
-1
234源自56x定义域：R [-1，1] 值 域： 正弦函数 y sin x, x R
2 （2）当且仅当 x 2k , k Z 时，取得最小值-1。 2
（1）当且仅当 x
周期函数：
一般地，对于函数f(x),如果存在一个非零常数T，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就 叫做周期函数。非零常数T叫做这个函数的周期。
知 2 , 4 ,, 2 , 4 ,2k (k Z , k 0) 都是 这两个函数的周期。 对于一个周期函数f(x),如果在它所有的周期中存在一个 最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f(x)的最小正周 期。 根据上述定义可知：正弦函数、余弦函数都是周期函数， 2k (k Z , k 0)都是它的周期，最小正周期是2
y cos x
例3：求函数y=-cosx的单调区间
解：由y=-cosx的图象可知：
y 1
2
o -1
2
3 2
2
x
单调增区间为 [2k ,(2k 1) ](k Z )
单调减区间为 [(2k 1) , 2k ]( k Z )
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【微思考】 (1)由y=sin x，x∈R的图像得到y=cos x,x∈R的图像，平移的 方法唯一吗？ 提示：可向左平移也可向右平移，方法不唯一. (2)形如y=Acos(ωx+φ)(A＞0,x∈R)的值域还是［-1,1］吗？ 提示：不一定是.值域是［-A,A］.
【即时练】 下列关于函数y=-3cos x-1的说法错误的是( ) A.最小值为-4 B.是偶函数 C.当x=kπ，k∈Z时，函数取最大值 D.是周期函数，最小正周期为2π 【解析】选C.当x=kπ,k∈Z时，y=cos x取到最大值1，而函数 y=-3cos x-1取最小值.
2.对余弦函数单调性的三点说明 (1)余弦函数在定义域R上不是单调函数，但存在单调区间. (2)求解或判断余弦函数的单调区间(或单调性)，是求与之相 关的值域(或最值)的关键，通常借助其求值域(或最值). (3)确定较复杂函数的单调性，要注意使用复合函数单调性的 判断方法.
3.余弦函数的最值 (1)明确余弦函数的有界性，即|cos x|≤1,解题时常会用到. (2)对有些函数，其最值不一定就是1或-1，要依赖函数的定义 域来确定. (3)形如y=Acos(ωx+φ)(A＞0,ω＞0)的函数求最值时，通常 利用“整体代换”，即令ωx+φ=z,将函数转化为y=Acos z的 形式求最值.
后描点、连线即可.
【解析】列表：
3
x
0
2
π
2
2π
y=cos x 1
2
成中心对称. (3)错误.在区间［0，2π］上，函数y=cos x在x=0与x=2π 时取得最大值1. 答案：(1)√ (2)√ (3)×
2.(1)y=cos x的图像在x轴上方的不动，将下方部分对称地翻 到x轴上方，即得到函数y=｜cos x｜的图像，如图所示，
由图像可知，函数的最小正周期为π，又因为在 [ , ] 上，
标分别是什么？
2.题(2)中函数y=1+cos x的最大值与最小值分别等于什么？ 【探究提示】1.五个点分别为(0，1)，(，0) ， (π，-1)，
2
(3，0) ，(2π，1).
2
2.因为cos x∈［-1，1］，所以1+cos x∈［0，2］,即最大
值为2，最小值为0.
【自主解答】(1)选C.由五个点的坐标知第三个关键点为 (π,-1). (2)列表如下：
(3)余弦曲线：y=cos x(x∈［0,2π］)的图像向左、向右平行 移动(每次平移_2_π__个单位)得到余弦函数y=cos x(x∈R)的图
像,此图像叫作余弦曲线.
2.余弦函数的性质 函数
性质
图像
定义域 值域
余弦函数y=cos x
R ［-1,1］
函数 性质
最值
周期性 奇偶性 单调性
余弦函数y=cos x
当x=2kπ (k∈Z)时，ymax=1 当x=(2k+1)π (k∈Z)时，ymin=-1
2π 是周期函数，最小正周期为____
是偶函数，图像关于y轴对称 增加
在［(2k-1)π ,2kπ ］(k∈Z)上是_____的 减少
在［2kπ ,(2k+1)π ］(k∈Z)上是_____的
1．判一判 (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)余弦函数y=cos x是偶函数，图像关于y轴对称，对称轴有 无数多条.( ) (2)余弦函数y=cos x的图像是轴对称图形，也是中心对称图 形.( ) (3)在区间［0，2π］上，函数y=cos x仅在x=0时取得最大值 1.( )
2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)函数y=｜cos x｜的单调增区间是________，单调减区间是 ________，最小正周期是________. (2)函数y=2cos x-1的值域是________. (3)函数y=f(x)=-cos x的奇偶性为________.
【解析】1.(1)正确.由余弦函数的图像可得，对称轴方程为 x=kπ(k∈Z),所以余弦函数的图像的对称轴有无数条. (2)正确.由余弦函数的图像可得函数关于点 ( k，0)(k∈Z)
【题型示范】
类型一 “五点法”画余弦函数的图像
【典例1】
(1)利用“五点法”作余弦函数的图像时，第三个关键点的坐
标为( )
A.(0，1)
B. ( ,0)
2
C.(π,-1)
D. ( 3 ,0)
2
(2)用“五点法”作出y=1+cos x(0≤x≤2π)的简图.
【解题探究】1.对余弦函数而言，五点法作图的五个点的坐
x
0
2
π
3 2
2π
y=cos x 1
0
-1
0
1
y=1+cos x
2
1
0
1
Байду номын сангаас
2
描点连线，可得函数y=1+cos x在［0,2π］上的图像如图所示：
【方法技巧】“五点法”画函数图像的三个步骤
【变式训练】作出函数y=1-cos x(0≤x≤2π)的简图.
【解题指南】将［0,2π］这一区间四等分找到五个关键点然
2
2
(2)因为y=cos x∈［-1,1］，所以2cos x-1∈［-3,1］. 答案：［-3,1］ (3)函数y=-cos x的定义域为R，f(-x)=-cos(-x)=-cos x =f(x)，所以函数为偶函数. 答案：偶函数
【要点探究】 知 识 点 余弦函数的图像与性质 1.余弦函数性质与图像的关系 (1)余弦函数性质的研究可以类比正弦函数的研究方法. (2)余弦函数的性质可以由图像直接观察，但要经过解析式或 单位圆推导才能下结论.
§6 余弦函数的图像与性质
问题 1.如何得到余弦函数的图像？什么是余弦曲线？ 引航 2.余弦函数有哪些性质？如何利用这些性质解题？
1.余弦函数图像的画法 (1)平移法：
左
2
(2)五点法： ①五个关键点：
x
0
1
cos x
__
2
π
3 2
2π
0
-1
0
1
__
___
__
__
②函数y=cos x，x∈［0,2π］的简图：
22
函数的增区间是
[ ,0]，减区间是
2
[0, ]. 2
而函数的周期是
kπ(k∈Z且k≠0)，因此函数y=｜cos x｜的增区间是
[k ,k] (k∈Z)，减区间是 [k,k ] (k∈Z).
2
2
答案：[k ,k]k Z [k,k ]k Z