初二数学下册因式分解训练题型
北师大版八年级下册因式分解100题及答案
北师大版八年级下册因式分解100题及答案一、提取公因式(1)(75)(4)(75)(45)(75)(92)++++--++-+m n m n m n(2)(71)(83)(92)(71)--+---x x x x(3)(43)(5)(43)(73)(43)(1)---+--+---m n m n m n(4)(2)(83)(93)(2)+--+-+m n n m(5)(71)(4)(71)(21)+---++m x m x(6)42224+a x y x y412(7)2443-+x yz y z xyz639(8)3444-abc a b c2718(9)(45)(53)(45)(62)+-+++-a b a b(10)(72)(21)(84)(72)++--+x x x x(11)(1)(92)(1)(1)x x x x------(12)(5)(45)(73)(5)+-+-++a b b a(13)(85)(94)(85)(85)---+-+x y x y(14)2422-x y x yz2(15)(3)(52)(3)(51)(3)(93)---+--++-+a b a b a b(16)(83)(75)(83)(31)(83)(4)++++--++-+a b a b a b(17)(3)(52)(3)(64)+-+-+-m x m x(18)(5)(1)(5)(65)(5)(64)-++---+-+a b a b a b(19)(3)(81)(75)(3)x x x x+--+++(20)2223-153a b c c二、公式法(21)22-x y19664(22)22-+-m n m441(23)2-+x x49266361(24)22-+a ab b169468324(25)22-+a ab b60900(26)236418121x x ++(27)22169494361x xy y ++(28)229644249m n m ---(29)221625309m n n -+-(30)22649161a b a ---三、分组分解法(31)7014408xy x y ----(32)2212351525x z xy yz zx--++(33)22351642248a c ab bc ca-++-(34)36451620--+ab a b(35)22++++x z xy yz zx1828153554 (36)22--+-x y xy yz zx4542193630 (37)49147020mx my nx ny+--(38)22--++xy x y(39)22x y xy yz zx---+403191830 (40)56483530-+-+xy x y(41)22-+-+a c ab bc ca8158519 (42)22-+-+a b ab bc ca721029418(43)22352301219a c ab bc ca++--(44)221676322x z xy yz zx+-+-(45)49144212mn m n --+(46)48163612mx my nx ny-+-(47)40722036mx my nx ny-+-(48)22825355a b ab bc ca-+++(49)30103612mx my nx ny+--(50)70704242xy x y +--四、拆添项(51)221616644039m n m n -+-+(52)22649801816a b a b ---+(53)22252023a b a b -+++(54)2236121880m n m n --+-(55)2264961011x y x y --++(56)4224165749a a b b -+(57)4224429m m n n -+(58)22811081413x y x y --+-(59)221694836m n m n--+(60)4224493164a a b b ++五、十字相乘法(61)2--++x xy x y5635892535 (62)222+----96152122a b c ab bc ac(63)222+---+2146201039x y z xy yz xz (64)29961535-++-x xy x y(65)222+++--x y z xy yz xz2146201445 (66)22x xy y x y-+-+-1845734621 (67)22x xy y x y+--+1437423530 (68)222+-+-+20156352x y z xy yz xz(69)2482446205x xy x y +--+(70)24614912p pq p q -+-+(71)2263024372235x xy y x y -+-+-(72)2222456143132x y z xy yz xz--+--(73)222201634817a b c ab bc ac-++--(74)2220113541236u uv v u v --+-+(75)22122035842a ab b a b -----(76)22232425242060x y z xy yz xz+++++(77)22204161783a ab b a b +---+(78)22-++-+x xy y x y16263521212(79)222a b c ab bc ac+++++ 212420464647 (80)22-++-+x xy y x y672241424六、双十字相乘法(81)222a b c ab bc ac-++++121237913 (82)22--+-+x xy y x y16421822397 (83)222x y z xy yz xz--++-41036114 (84)22x xy y x y+-+--2748356121 (85)22+---+401125515x xy y x y(86)2262315361742a ab b a b ++---(87)2227364911x y z xy yz xz-----(88)221051523285a ab b a b -----(89)222646356932x y z xy yz xz+++++(90)22352231241x xy y x y +++++七、因式定理(91)32152234x x x -++(92)3224221715x x x +--(93)321021256x x x +-+(94)32466m m m ---(95)32273318x x x --+(96)326583y y y --+(97)32313106x x x -++(98)32376x x x +--(99)321110x x x ---(100)32311212x x x ++-北师大版八年级下册因式分解100题答案一、提取公因式(1)(75)(121)m n+-+ (2)(71)(175)x x---(3)(43)(59)m n--(4)(2)(6)m n+-(5)(71)(35)m x-++ (6)22424(3)x y a y+(7)23323(23)yz x z y z x-+ (8)3339(32)abc a b c-(9)(45)(1)a b++ (10)(72)(65)x x-+-(11)(1)(81)x x--(12)(5)(112)a b-+-(13)(85)(1)x y---(14)232(2)x y y z-(15)(3)(2)a b--+(16)(83)(38)a b++ (17)(3)(116)m x-+-(18)(5)(0)a b-+ (19)(3)(4)x x-+-(20)2223(5)c a b c-二、公式法(21)(148)(148)x y x y+-(22)(21)(21)m n m n++-+ (23)2(719)x-(24)2(1318)a b-(25)2(30)a b-(26)2(1911)x+(27)2(1319)x y+(28)(387)(387)m n m n+---(29)(453)(453)m n m n+--+(30)(831)(831)a b a b+---三、分组分解法(31)2(74)(51)x y-++ (32)(457)(35)x y z x z-+-(33)(564)(74)a b c a c+-+(34)(94)(45)a b--(35)(654)(37)x y z x z+++ (36)(976)(56)x y z x y+--(37)(710)(72)m n x y-+ (38)(2)(1)x y--+(39)(53)(86)x y x y z-++(40)(85)(76)x y-+-(41)(3)(85)a b c a c++-(42)(92)(852)a b a b c-++(43)(52)(76)a c ab c-+-(44)(2)(837)x z x y z---(45)(76)(72)m n--(46)4(43)(3)m n x y+-(47)4(2)(59)m n x y+-(48)(5)(85)a b a b c+-+(49)2(56)(3)m n x y-+(50)14(53)(1)x y-+四、拆添项(51)(4413)(443)m n m n++-+(52)(832)(838)a b a b+---(53)(51)(53)a b a b++-+(54)(610)(68)m n m n+--+(55)(811)(81)x y x y+---(56)2222(47)(47)a ab b a ab b+---(57)2222(25)(25)m mn n m mn n+---(58)(913)(91)x y x y+--+(59)(4312)(43)m n m n+--(60)2222(798)(798)a ab b a ab b++-+五、十字相乘法(61)(75)(857)x x y---(62)(23)(935)a b c a b c---+(63)(72)(326)x y z x y z---+(64)(35)(337)x x y--+(65)(326)(72)x y z x y z+-+-(66)(373)(67)x y x y-+--(67)(275)(76)x y x y+--(68)(432)(553)x y z x y z+-++ (69)(841)(65)x y x+--(70)(23)(234)p p q+-+(71)(47)(665)x y x y---+(72)(46)(65)x y z x y z--++(73)(543)(44)a b c a b c--+-(74)(56)(436)u v u v++-+(75)(346)(457)a b a b--++(76)(425)(825)x y z x y z++++(77)(543)(441)a b a b--+-(78)(236)(82)x y x y-+-+(79)(345)(764)a b c a b c++++ (80)(24)(326)x y x y-+-+六、双十字相乘法(81)(34)(433)a b c a b c++-+ (82)(837)(261)x y x y++-+ (83)(22)(253)x y z x y z-++-(84)(371)(951)x y x y++--(85)(83)(525)x y x y--+-(86)(656)(37)a b a b+++-(87)(733)(2)x y z x y z++--(88)(235)(551)a b a b--++ (89)(863)(8)x y z x y z++++(90)(731)(51)x y x y++++七、因式定理(91)(1)(31)(54)x x x-+-(92)(1)(65)(43)x x x+-+ (93)(3)(21)(52)x x x+--(94)2(2)(423)m m m-++ (95)(3)(6)(21)x x x+--(96)(1)(23)(31)y y y+--(97)2(3)(342)x x x---(98)2(2)(53)x x x-++ (99)2(2)(35)x x x+--(100)2(3)(324)x x x++-。
初二数学,超经典的因式分解 练习题有答案
因式分解练习题一、填空题：2．(a－3)(3－2a)=_______(3－a)(3－2a)；12．若m2－3m＋2=(m＋a)(m＋b)，则a=______，b=______；15．当m=______时，x2＋2(m－3)x＋25是完全平方式．二、选择题：1．下列各式的因式分解结果中，正确的是A．a2b＋7ab－b＝b(a2＋7a) B．3x2y－3xy－6y=3y(x－2)(x ＋1)C．8xyz－6x2y2＝2xyz(4－3xy) D．－2a2＋4ab－6ac＝－2a(a ＋2b－3c)2．多项式m(n－2)－m2(2－n)分解因式等于A．(n－2)(m＋m2) B．(n－2)(m－m2) C．m(n－2)(m＋1) D．m(n－2)(m－1)3．在下列等式中，属于因式分解的是A．a(x－y)＋b(m＋n)＝ax＋bm－ay＋bn B．a2－2ab＋b2＋1=(a－b)2＋1C．－4a2＋9b2＝(－2a＋3b)(2a＋3b) D．x2－7x－8=x(x－7)－84．下列各式中，能用平方差公式分解因式的是A．a2＋b2 B．－a2＋b2 C．－a2－b2 D．－(－a2)＋b2 5．若9x2＋mxy＋16y2是一个完全平方式，那么m的值是A．－12 B．±24 C．12 D．±126．把多项式a n+4－a n+1分解得A．a n(a4－a) B．a n-1(a3－1) C．a n+1(a－1)(a2－a＋1) D．a n+1(a－1)(a2＋a＋1)7．若a2＋a＝－1，则a4＋2a3－3a2－4a＋3的值为A．8 B．7 C．10 D．128．已知x2＋y2＋2x－6y＋10=0，那么x，y的值分别为A．x=1，y=3 B．x=1，y=－3 C．x=－1，y=3 D．x=1，y=－39．把(m2＋3m)4－8(m2＋3m)2＋16分解因式得A．(m＋1)4(m＋2)2 B．(m－1)2(m－2)2(m2＋3m－2)C．(m＋4)2(m－1)2 D．(m＋1)2(m＋2)2(m2＋3m－2)2 10．把x2－7x－60分解因式，得A．(x－10)(x＋6) B．(x＋5)(x－12) C．(x＋3)(x－20) D．(x－5)(x＋12)11．把3x2－2xy－8y2分解因式，得A．(3x＋4)(x－2) B．(3x－4)(x＋2) C．(3x＋4y)(x－2y) D．(3x－4y)(x＋2y)12．把a2＋8ab－33b2分解因式，得A．(a＋11)(a－3) B．(a－11b)(a－3b) C．(a＋11b)(a－3b) D．(a－11b)(a＋3b)13．把x4－3x2＋2分解因式，得A．(x2－2)(x2－1) B．(x2－2) (x＋1)(x－1)C．(x2＋2)(x2＋1) D．(x2＋2) (x＋1)(x－1)14．多项式x2－ax－bx＋ab可分解因式为A．－(x＋a)(x＋b) B．(x－a)(x＋b) C．(x－a)(x－b) D．(x＋a)(x＋b)15．一个关于x的二次三项式，其x2项的系数是1，常数项是－12，且能分解因式，这样的二次三项式是A．x2－11x－12或x2＋11x－12 B．x2－x－12或x2＋x－12C．x2－4x－12或x2＋4x－12 D．以上都可以16．下列各式x3－x2－x＋1，x2＋y－xy－x，x2－2x－y2＋1，(x2＋3x)2－(2x＋1)2中，不含有(x－1)因式的有A．1个 B．2个 C．3个 D．4个17．把9－x2＋12xy－36y2分解因式为A．(x－6y＋3)(x－6x－3) B．－(x－6y＋3)(x－6y－3)C．－(x－6y＋3)(x＋6y－3) D．－(x－6y＋3)(x－6y＋3)18．下列因式分解错误的是A．a2－bc＋ac－ab=(a－b)(a＋c) B．ab－5a＋3b－15=(b－5) (a＋3)C．x2＋3xy－2x－6y=(x＋3y)(x－2) D．x2－6xy－1＋9y2=(x＋3y＋1)(x＋3y－1)19．已知a2x2±2x＋b2是完全平方式，且a，b都不为零，则a与b的关系为A．互为倒数或互为负倒数 B．互为相反数C．相等的数 D．任意有理数20．对x4＋4进行因式分解，所得的正确结论是A．不能分解因式 B．有因式x2＋2x＋2 C．(xy＋2)(xy－8) D．(xy－2)(xy－8)21．把a4＋2a2b2＋b4－a2b2分解因式为A．(a2＋b2＋ab)2 B．(a2＋b2＋ab)(a2＋b2－ab) C．(a2－b2＋ab)(a2－b2－ab) D．(a2＋b2－ab)222．－(3x－1)(x＋2y)是下列哪个多项式的分解结果A．3x2＋6xy－x－2y B．3x2－6xy＋x－2yC．x＋2y＋3x2＋6xy D．x＋2y－3x2－6xy23．64a8－b2因式分解为A．(64a4－b)(a4＋b) B．(16a2－b) (4a2＋b)C．(8a4－b)(8a4＋b) D．(8a2－b) (8a4＋b)24．9(x－y)2＋12(x2－y2)＋4(x＋y)2因式分解为A．(5x－y)2 B．(5x＋y)2 C．(3x－2y)(3x＋2y) D．(5x－2y)225．(2y－3x)2－2(3x－2y)＋1因式分解为A．(3x－2y－1)2 B．(3x＋2y＋1)2C．(3x－2y＋1)2 D．(2y－3x－1)226．把(a＋b)2－4(a2－b2)＋4(a－b)2分解因式为A．(3a－b)2 B．(3b＋a)2 C．(3b－a)2 D．(3a＋b)227．把a2(b＋c)2－2ab(a－c)(b＋c)＋b2(a－c)2分解因式为A．c(a＋b)2 B．c(a－b)2 C．c2(a＋b)2 D．c2(a－b)28．若4xy－4x2－y2－k有一个因式为(1－2x＋y)，则k的值为A．0 B．1 C．－1 D．429．分解因式3a2x－4b2y－3b2x＋4a2y，正确的是A．－(a2＋b2)(3x＋4y) B．(a－b)(a＋b)(3x＋4y)C．(a2＋b2)(3x－4y) D．(a－b)(a＋b)(3x －4y)30．分解因式2a2＋4ab＋2b2－8c2，正确的是A．2(a＋b－2c) B．2(a＋b＋c)(a＋b －c)C．(2a＋b＋4c)(2a＋b－4c) D．2(a＋b＋2c)(a＋b －2c)三、因式分解：1．m2(p－q)－p＋q；2．a(ab＋bc＋ac)－abc；3．x4－2y4－2x3y＋xy3；4．abc(a2＋b2＋c2)－a3bc＋2ab2c2；5．a2(b－c)＋b2(c－a)＋c2(a－b)；6．(x2－2x)2＋2x(x－2)＋1；7．(x－y)2＋12(y－x)z＋36z2；8．x2－4ax＋8ab－4b2；9．(ax＋by)2＋(ay－bx)2＋2(ax＋by)(ay－bx)；10．(1－a2)(1－b2)－(a2－1)2(b2－1)2；11．(x＋1)2－9(x－1)2；12．4a2b2－(a2＋b2－c2)2；13．ab2－ac2＋4ac－4a；14．x3n＋y3n；15．(x＋y)3＋125；16．(3m－2n)3＋(3m＋2n)3；17．x6(x2－y2)＋y6(y2－x2)；18．8(x＋y)3＋1；19．(a＋b＋c)3－a3－b3－c3；20．x2＋4xy＋3y2；21．x2＋18x－144；22．x4＋2x2－8；23．－m4＋18m2－17；24．x5－2x3－8x；25．x8＋19x5－216x2；26．(x2－7x)2＋10(x2－7x)－24；27．5＋7(a＋1)－6(a＋1)2；28．(x2＋x)(x2＋x－1)－2；29．x2＋y2－x2y2－4xy－1；30．(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)－48；31．x2－y2－x－y；32．ax2－bx2－bx＋ax－3a＋3b；33．m4＋m2＋1；34．a2－b2＋2ac＋c2；35．a3－ab2＋a－b；36．625b4－(a－b)4；37．x6－y6＋3x2y4－3x4y2；38．x2＋4xy＋4y2－2x－4y－35；39．m2－a2＋4ab－4b2；40．5m－5n－m2＋2mn－n2．四、证明(求值)：1．已知a＋b=0，求a3－2b3＋a2b－2ab2的值．2．求证：四个连续自然数的积再加上1，一定是一个完全平方数．3．证明：(ac－bd)2＋(bc＋ad)2=(a2＋b2)(c2＋d2)．4．已知a=k＋3，b=2k＋2，c=3k－1，求a2＋b2＋c2＋2ab－2bc－2ac的值．5．若x2＋mx＋n=(x－3)(x＋4)，求(m＋n)2的值．6．当a为何值时，多项式x2＋7xy＋ay2－5x＋43y－24可以分解为两个一次因式的乘积．7．若x，y为任意有理数，比较6xy与x2＋9y2的大小．8．两个连续偶数的平方差是4的倍数．参考答案:一、填空题：7．9，(3a－1)10．x－5y，x－5y，x－5y，2a－b11．＋5，－212．－1，－2(或－2，－1)14．bc＋ac，a＋b，a－c15．8或－2二、选择题：1．B 2．C 3．C 4．B 5．B 6．D 7．A 8．C 9．D 10．B 11．C 12．C 13．B 14．C 15．D 16．B 17．B 18．D 19．A 20．B 21．B 22．D 23．C 24．A 25．A 26．C 27．C 28．C 29．D 30．D三、因式分解：1．(p－q)(m－1)(m＋1)．8．(x－2b)(x－4a＋2b)．11．4(2x－1)(2－x)．20．(x＋3y)(x＋y)．21．(x－6)(x＋24)．27．(3＋2a)(2－3a)．31．(x＋y)(x－y－1)．38．(x＋2y－7)(x＋2y＋5)．四、证明(求值)：2．提示：设四个连续自然数为n，n＋1，n＋2，n＋36．提示：a=－18．∴a=－18．。
初二数学因式分解精选100题
提升课堂托辅中心初二数学因式分解精选100题2013年1月25日一、选择题1.下列各式中从左到右的变形，是因式分解的是（ ）A (a +3)(a -3)=a 2-9B x 2+x -5=(x -2)(x +3)+1C a 2b +ab 2=ab (a +b ) (D)x 2+1=x (x +x1) 2.下列各式的因式分解中正确的是（ ）A -a 2+ab -ac = -a (a +b -c )B 9xyz -6x 2y 2=3xyz (3-2xy )C 3a 2x -6bx +3x =3x (a 2-2b ) D21xy 2+21x 2y =21xy (x +y ) 3.把多项式m 2(a -2)+m (2-a )分解因式等于（ ）(A)(a -2)(m 2+m ) (B)(a -2)(m 2-m ) (C)m (a -2)(m -1) (D)m (a -2)(m+1) 4.下列多项式能分解因式的是（ ）(A)x 2-y (B)x 2+1 (C)x 2+y +y 2 (D)x 2-4x +45.下列多项式中，不能用完全平方公式分解因式的是（ ）(A)412m m ++ (B)222y xy x -+- (C)224914b ab a ++- (D)13292+-n n 6.多项式4x 2+1加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，则加上的单项式不可以是（ ）(A)4x (B)-4x (C)4x 4 (D)-4x 4 7.下列分解因式错误的是（ ）(A)15a 2+5a =5a (3a +1) (B)-x 2-y 2= -(x 2-y 2)= -(x +y )(x -y )(C)k (x +y )+x +y =(k +1)(x+y ) (D)a 3-2a 2+a =a (a -1)2 8.下列多项式中不能用平方差公式分解的是（ ）(A)-a 2+b 2 (B)-x 2-y 2 (C)49x 2y 2-z 2 (D)16m 4-25n 2p 29.下列多项式：①16x 5-x ；②(x -1)2-4(x -1)+4；③(x +1)4-4x (x +1)+4x 2；④-4x 2-1+4x ，分解因式后，结果含有相同因式的是（ ）(A)①② (B)②④ (C)③④ (D)②③ 10.两个连续的奇数的平方差总可以被 k 整除，则k 等于（ ） (A)4 (B)8 (C)4或-4 (D)8的倍数11下列各式中从左到右的变形属于分解因式的是（ ）A a(a ＋b －1)=a 2＋ab －aB a 2 –a －2=a(a －1)－2C －4 a 2＋9b 2=(－2a ＋3b)(2a ＋3b)D ． 2x ＋1=x(2＋1/x) 12下列各式分解因是正确的是（ ）A ．x 2y ＋7xy ＋y=y(x 2＋7x)B ． 3 a 2b ＋3ab ＋6b=3b(a 2＋a ＋2)C ． 6xyz －8xy 2=2xyz(3－4y)D ． －4x ＋2y －6z=2(2x ＋y －3z) 13下列多项式中，能用提公因式法分解因式的是（ ）A ． x 2－yB ． x 2＋2xC ． x 2＋y 2D ．x 2－xy ＋y 2 14 2(a －b)3－(b － a)2分解因式的正确结果是（ ）A ． (a －b)2(2a －2b ＋1)B ． 2(a －b)(a －b －1)C ． (b －a)2(2a －2b －1)D ． (a －b)2(2a －b －1) 15下列多项式分解因式正确的是（ ）A ． 1＋4a －4a 2=(1－2a)2B ． 4－4a ＋a 2=(a －2)2C ． 1＋4x 2=(1＋2x)2D ．x 2＋xy ＋y 2=(x ＋y)2 16 运用公式法计算992，应该是（ ）A ．(100－1)2B ．(100＋1)(100－1)C ．(99＋1)(99－1)D ． (99＋1)217 多项式：①16x 2－8x ；②(x －1)2 －4(x －1)2；③(x ＋1)4－4(x ＋1)2＋4x 2 ④－4x 2－1＋4x 分解因式 结果中含有相同因式的是（ ）Ａ．①和②Ｂ．③和④Ｃ．①和④Ｄ．②和③18无论x、y取何值，x2＋y2－2x＋12y＋40的值都是（）Ａ．正数Ｂ．负数Ｃ．零Ｄ．非负数19下列正确的是（）Ａ．x2＋y2=(x＋y)(x－y) Ｂ．x2－y2=(x＋y)(x－y)Ｃ．－x2＋y2=(－x＋y)(－x－y) Ｄ．－x2－y2=－(x＋y)(x－y)二、填空题20.分解因式：m3-4m= .21.已知x+y=6，xy=4，则x2y+xy2的值为.22.将x n-y n分解因式的结果为(x2+y2)(x+y)(x-y)，则n的值为.23.若ax2+24x+b=(mx-3)2，则a= ，b= ，m= .24.根据图形面积关系，不连其他线，便可以得到一个分解因式的公式是.25多项式－9x2y＋36xy2－3xy提公因式后的另一个因式是___________；26把多项式－x4＋16分解因式的结果是_____________；27已知xy=5,a－b=3,a＋b=4,则xya2－yxb2的值为_______________；28若x2＋2mx＋16是完全平方式，则m=______;(第24题图) 29分解因式：－x２＋4x－4= ;30 ＋3mn＋9n2=( ＋3n)2；31若x＋y=1则1/2x2＋xy＋1/2y2= ;三、因式分解32. －24x3－12x2＋28x 33. 6(m－n)3－12(n－m)2 34.3(a－b)2＋6(b－a)35. 18(a＋b)3－12b(b－a)236. (2a＋b)(2a－3b)－3a(2a＋b) 37.(x2＋6x)2－(2x－4)238. 9(m＋n)2－(m－n)239. (2x＋3y)2－1 40. 9(a－b)2－16(a＋b)2 41. (x＋y)2－16(x－y)2 42. －16x4＋81y4 43.3ax2－3ay244.2x3－8x 45. 7x2－63 46. (a2＋b2)2－4a2b247. (m ＋n)2－6(m ＋n)＋9 48. (3)(a －b)2－2(a －b)＋1; 49. 4xy 2－4x 2y －y 350. －x 2－4y 2＋4xy 51. 25)(10)(2++++y x y x ； 52. 4224817216b b a a +-；53. (a 2＋4)2－16a 2 54. -4x 3+16x 2-26x 56. 21a 2(x -2a )2-41a (2a -x )357. 56x 3yz+14x 2y 2z －21xy 2z 2 58. mn(m －n)－m(n －m) 59. -41(2a -b )2+4(a -21b )260. 4xy –(x 2-4y 2) 61. -3ma 3+6ma 2-12ma 62. a 2(x -y )+b 2(y -x )63. 23)(10)(5x y y x -+- 64. 32)(12)(18b a b a b --- 65. –2x 2n -4x n66. )(6)(4)(2a x c x a b a x a ---+- 67. 4416n m - 68.22)(16)(9n m n m --+；69. 21ax 2y 2+2axy +2a 70. (x 2-6x )2+18(x 2-6x )+81 71. 24)4)(3)(2)(1(-++++x x x x72．9x 2－y 2－4y －4 73.22414y xy x +-- 74.811824+-x x75. 2ax a b ax bx bx -++--2 76.1235-+-x x x 77. )()()(23m n n m n m +--+78. 3)2(2)2(222-+-+a a a a 79. 2222224)(b a b a c ---四．特殊的因式分解 80.),(3127123且均为自然数n m b a a nn m n m >--- 81.13112121132-+-+-+++n n n n n n y x y x y x五.用简便方法计算：82. 57.6×1.6+28.8×36.8-14.4×80 83. 13.731175.231178.193117⨯-⨯+⨯84. 39×37-13×34 85)1011)(911()311)(211(2232----六.解答题86若n m y x -=))()((4222y x y x y x +-+，求m ，n 的值87已知,01200520042=+++++x x x x 求2006x 的值88若6,422=+=+y x y x 求xy 的值89已知312=-y x ，2=xy ，求 43342y x y x -的值。
初二数学因式分解100题
提升课堂托辅中心初二数学因式分解精选100题2013年1月25日一、选择题1.下列各式中从左到右的变形，是因式分解的是（ ）A (a +3)(a -3)=a 2-9B x 2+x -5=(x -2)(x +3)+1C a 2b +ab 2=ab (a +b ) (D)x 2+1=x (x +x1) 2.下列各式的因式分解中正确的是（ ）A -a 2+ab -ac = -a (a +b -c )B 9xyz -6x 2y 2=3xyz (3-2xy )C 3a 2x -6bx +3x =3x (a 2-2b ) D21xy 2+21x 2y =21xy (x +y ) 3.把多项式m 2(a -2)+m (2-a )分解因式等于（ ）(A)(a -2)(m 2+m ) (B)(a -2)(m 2-m ) (C)m (a -2)(m -1) (D)m (a -2)(m+1) 4.下列多项式能分解因式的是（ ）(A)x 2-y (B)x 2+1 (C)x 2+y +y 2 (D)x 2-4x +45.下列多项式中，不能用完全平方公式分解因式的是（ ）(A)412m m ++ (B)222y xy x -+- (C)224914b ab a ++- (D)13292+-n n 6.多项式4x 2+1加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，则加上的单项式不可以是（ ）(A)4x (B)-4x (C)4x 4 (D)-4x 4 7.下列分解因式错误的是（ ）(A)15a 2+5a =5a (3a +1) (B)-x 2-y 2= -(x 2-y 2)= -(x +y )(x -y )(C)k (x +y )+x +y =(k +1)(x+y ) (D)a 3-2a 2+a =a (a -1)2 8.下列多项式中不能用平方差公式分解的是（ ）(A)-a 2+b 2 (B)-x 2-y 2 (C)49x 2y 2-z 2 (D)16m 4-25n 2p 29.下列多项式：①16x 5-x ；②(x -1)2-4(x -1)+4；③(x +1)4-4x (x +1)+4x 2；④-4x 2-1+4x ，分解因式后，结果含有相同因式的是（ ）(A)①② (B)②④ (C)③④ (D)②③ 10.两个连续的奇数的平方差总可以被 k 整除，则k 等于（ ） (A)4 (B)8 (C)4或-4 (D)8的倍数11下列各式中从左到右的变形属于分解因式的是（ ）A a(a ＋b －1)=a 2＋ab －aB a 2 –a －2=a(a －1)－2C －4 a 2＋9b 2=(－2a ＋3b)(2a ＋3b)D ． 2x ＋1=x(2＋1/x) 12下列各式分解因是正确的是（ ）A ．x 2y ＋7xy ＋y=y(x 2＋7x)B ． 3 a 2b ＋3ab ＋6b=3b(a 2＋a ＋2)C ． 6xyz －8xy 2=2xyz(3－4y)D ． －4x ＋2y －6z=2(2x ＋y －3z) 13下列多项式中，能用提公因式法分解因式的是（ ）A ． x 2－yB ． x 2＋2xC ． x 2＋y 2D ．x 2－xy ＋y 2 14 2(a －b)3－(b － a)2分解因式的正确结果是（ ）A ． (a －b)2(2a －2b ＋1)B ． 2(a －b)(a －b －1)C ． (b －a)2(2a －2b －1)D ． (a －b)2(2a －b －1) 15下列多项式分解因式正确的是（ ）A ． 1＋4a －4a 2=(1－2a)2B ． 4－4a ＋a 2=(a －2)2C ． 1＋4x 2=(1＋2x)2D ．x 2＋xy ＋y 2=(x ＋y)2 16 运用公式法计算992，应该是（ ）A ．(100－1)2B ．(100＋1)(100－1)C ．(99＋1)(99－1)D ． (99＋1)217 多项式：①16x 2－8x ；②(x －1)2 －4(x －1)2；③(x ＋1)4－4(x ＋1)2＋4x 2 ④－4x 2－1＋4x 分解因式 结果中含有相同因式的是（ ）Ａ．①和②Ｂ．③和④Ｃ．①和④Ｄ．②和③18无论x、y取何值，x2＋y2－2x＋12y＋40的值都是（）Ａ．正数Ｂ．负数Ｃ．零Ｄ．非负数19下列正确的是（）Ａ．x2＋y2=(x＋y)(x－y) Ｂ．x2－y2=(x＋y)(x－y)Ｃ．－x2＋y2=(－x＋y)(－x－y) Ｄ．－x2－y2=－(x＋y)(x－y)二、填空题20.分解因式：m3-4m= .21.已知x+y=6，xy=4，则x2y+xy2的值为.22.将x n-y n分解因式的结果为(x2+y2)(x+y)(x-y)，则n的值为.23.若ax2+24x+b=(mx-3)2，则a= ，b= ，m= .24.根据图形面积关系，不连其他线，便可以得到一个分解因式的公式是.25多项式－9x2y＋36xy2－3xy提公因式后的另一个因式是___________；26把多项式－x4＋16分解因式的结果是_____________；27已知xy=5,a－b=3,a＋b=4,则xya2－yxb2的值为_______________；28若x2＋2mx＋16是完全平方式，则m=______;(第24题图) 29分解因式：－x２＋4x－4= ;30 ＋3mn＋9n2=( ＋3n)2；31若x＋y=1则1/2x2＋xy＋1/2y2= ;三、因式分解32. －24x3－12x2＋28x 33. 6(m－n)3－12(n－m)2 34.3(a－b)2＋6(b－a)35. 18(a＋b)3－12b(b－a)236. (2a＋b)(2a－3b)－3a(2a＋b) 37.(x2＋6x)2－(2x－4)238. 9(m＋n)2－(m－n)239. (2x＋3y)2－1 40. 9(a－b)2－16(a＋b)2 41. (x＋y)2－16(x－y)2 42. －16x4＋81y4 43.3ax2－3ay244.2x3－8x 45. 7x2－63 46. (a2＋b2)2－4a2b247. (m ＋n)2－6(m ＋n)＋9 48. (3)(a －b)2－2(a －b)＋1; 49. 4xy 2－4x 2y －y 350. －x 2－4y 2＋4xy 51. 25)(10)(2++++y x y x ； 52. 4224817216b b a a +-；53. (a 2＋4)2－16a 2 54. -4x 3+16x 2-26x 56. 21a 2(x -2a )2-41a (2a -x )357. 56x 3yz+14x 2y 2z －21xy 2z 2 58. mn(m －n)－m(n －m) 59. -41(2a -b )2+4(a -21b )260. 4xy –(x 2-4y 2) 61. -3ma 3+6ma 2-12ma 62. a 2(x -y )+b 2(y -x )63. 23)(10)(5x y y x -+- 64. 32)(12)(18b a b a b --- 65. –2x 2n -4x n66. )(6)(4)(2a x c x a b a x a ---+- 67. 4416n m - 68.22)(16)(9n m n m --+；69. 21ax 2y 2+2axy +2a 70. (x 2-6x )2+18(x 2-6x )+81 71. 24)4)(3)(2)(1(-++++x x x x72．9x 2－y 2－4y －4 73.22414y xy x +-- 74.811824+-x x75. 2ax a b ax bx bx -++--2 76.1235-+-x x x 77. )()()(23m n n m n m +--+78. 3)2(2)2(222-+-+a a a a 79. 2222224)(b a b a c ---四．特殊的因式分解 80.),(3127123且均为自然数n m b a a nn m n m >--- 81.13112121132-+-+-+++n n n n n n y x y x y x五.用简便方法计算：82. 57.6×1.6+28.8×36.8-14.4×80 83. 13.731175.231178.193117⨯-⨯+⨯84. 39×37-13×34 85)1011)(911()311)(211(2232----六.解答题86若n m y x -=))()((4222y x y x y x +-+，求m ，n 的值87已知,01200520042=+++++x x x x 求2006x 的值88若6,422=+=+y x y x 求xy 的值89已知312=-y x ，2=xy ，求 43342y x y x -的值。
初二因式分解练习题和答案
初二因式分解练习题和答案一、基础题型1. 将下列多项式进行因式分解：(1) $x^2 + 4x + 4$解析：观察多项式可知，常数项为4，且平方项系数为1，因此可以直接得出该多项式的因式分解形式为$(x+2)(x+2)$或$(x+2)^2$。
(2) $9a^2 - 16$解析：根据平方差公式可知，$9a^2 - 16$可以分解为$(3a+4)(3a-4)$。
2. 分解下列多项式：(1) $3x^2 + 12x + 9$解析：观察多项式可知，常数项为9，且平方项系数为3。
因此，这个多项式可以进行因式分解为$(x+3)(3x+3)$或$(x+3)^2$。
(2) $4x^2 - 5xy + y^2$解析：该多项式是一个二次三项式，根据二次三项式的平方公式，可以得到它的因式分解形式为$(2x-y)^2$。
二、综合题型1. 分解下列多项式：(1) $3x^2 - 8$解析：观察多项式可知，平方项系数为3，常数项为-8。
根据常数项为负数的特点，我们可以尝试将-8分解成两个因数的乘积。
考虑到平方项系数为3，我们可以写成$(3x)^2 - 2^2$。
利用二次差公式，得到$(3x+2)(3x-2)$。
(2) $6x^2 + 17x + 10$解析：我们可以使用因式分解法或求根法进行分解，为了简便起见，我们选择因式分解法。
将多项式划分为三个项，得到$(2x+5)(3x+2)$。
2. 分解下列多项式：(1) $4x^2 - 12xy + 9y^2$解析：观察多项式可知，平方项系数为4，常数项为$9y^2$。
考虑到常数项为平方形式，我们可以尝试进行“凑平方”的操作。
$(2x-3y)^2$即为所求解。
(2) $x^3 - 3x^2 + 2x$解析：观察多项式可知，这是一个三次多项式。
我们可以尝试提取公因式，并进行因式分解。
将每一项提取公因式，得到$x(x^2 - 3x + 2)$。
进一步分解，我们得到$x(x-1)(x-2)$。
初二数学因式分解50道题及答案
初中因式分解50题及答案学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题1．因式分解(1)22363ax axy ay +﹣(2)()44m m -+．2．（1）计算：()3222x x x ⋅⋅- （2）计算：()()3223x x +-（3）因式分解：32x xy -（4）因式分解：244a b ab b -+3．（1）计算：2(3)(2)(4)(4)a a a a -+-+-；（2）分解因式：229()4()a x y b y x -+-；4．因式分解：244x y xy y -+．5．因式分解(1)22312x y -；(2)29124m m -+．6．分解因式：(1)22x xy xy -+(2)()222224a b a b +- (3)()()269x y x y ---+7．因式分解：(1)39x x -(2)244m m -+-8．分解因式(1)21236x x -+；(2)32312a ab -．9．因式分解(1)224a a -(2)22169mn m n -+10．因式分解(1)()222224x y x y +- (2)22369xy x y y --11．分解因式(1)3228a ab -．(2)()()269b a a b ---+．12．分解因式：(1)2269m n n -+-(2)()226(2)714x y x x y x x y +++--． 13．分解因式：22944a ab b -+-.14．因式分解：(1)3223242x y x y xy -+-；(2)()()222211a b b b -+-．15．因式分解：(1)282abc bc -；(2)()()26x x y x y +-+；16．在实数范围内分解下列因式：(1) 4265y y -+；(2) 211x -；(3) 23-+a ；(4)252x -．17．分解因式∶(1)26mx my -；(2)222510m mn n -+(3)()()229a x y b y x -+-．18．把下列多项式分解因式．(1)329a ab -；19．分解因式：(1)22364m n -(2)22(()())x x y x y x y x ----+．20．分解因式(1)216x -(2)3a a -(3)24(2)4(2)1a b a b +-++；(4)2221y y x ++-21．将下列各式因式分解：(1)24xy xy -．(2)4224816x x y y -+．(3)()()222x x y y x -+-．22．因式分解：(1)()()2222x a y a -+-(2)()()22211216x x x x -+-+ 23．因式分解：()()22254a x y b y x -+-．24．分解因式(1)32x xy -(2)(2)(4)1x x +++25．分解因式：(1)323812a b ab c +(2)22344ab a b b --．26．分解因式．(1)2()4()a x y y x -+-；(2)()222221664x y x y +-． 27．分解因式(2)22()()x a x b +--(3)22(32)(27)x x --+28．分解因式：(1)2344x x x --；(2)2(2)(3)(2)x y x y x y -+--；(3)22222()4x y x y +-．29．分解因式：(1)22338124a b ab a b -+-(2)()()24a x y y x -+-30．分解因式2812x x -+：．31．分解因式：()()229x y z x y z -++--．32．因式分解(直接写出结果)(1)2()()y x y x y ---=_________；(2)41x -=_____________；(3)2(1)4x x +-=____________．33．把下列各式分解因式：(1)()()26a x y b y x ---；(2)()()2221619y y ---+ 34．分解因式：(1)2961x x ++(2)322321218x y x y xy -+35．分解因式：()()()111xy x y xy ++++36．因式分解(1)3x y xy -；(2)()()21449x y x y -+++-．37．分解因式：(1)22363a ab b -+-；(2)()()2294a x y b y x -+-．38．因式分解：(1)24ab a -；(2)()()22258516x x +--+． 39．分解因式：(1)29x -(2)222050x x -+40．分解因式：2(()9)x m n n m -+-41．把下列各式因式分解：(1)323812a b ab c +；(2)2231212x xy y -+；(3)()()229+4a x y b y x --；(4)44x y -+；(5)292)(2a x y x y +--．42．因式分解(1)22862ab a b ab -+-； (2)214x x -+；(3)()22214x x +-． 43．把下列各式因式分解：(1)()222416a a +-． (2)()()229m n m n +--．(3)222232448a x a x a -+-．44．分解因式(1)2221a b a --+；(2)3-a b ab ．45．分解因式：(1)2ax a -；(2)2363x y xy y -+．46．把下列多项式分解因式：(1)34x x -(2)2292a b ab +-+47．因式分解(1)32m mn(2)22288x xy y -+48．因式分解：(1)29x -；(2)232a a a -+；(3)()()22258516x x +--+． 49．分解因式：223242x y xy y ++．50．分解因式：(1)321510x x +；(2)269x y xy y -+；(3)22()4()a x y b y x -+-．参考答案：1．(1)()23-a x y(2)()22m -【分析】（1）先提公因式，再运用完全平方公式即可作答；（2）先去括号，再运用完全平方公式即可作答．【详解】（1）223-63ax axy ay +()2232a x xy y =-+()23a x y =-； （2）()44m m -+244m m =-+()22m =-．【点睛】本题考查因式分解，用到了提公因式法与公式法，解题的关键是注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．2．（1）98x -（2）2656x x --（3）()()x x y x y +-（4）()22b a -【分析】（1）根据积的乘方，同底数幂的乘法运算法则计算即可；（2）根据多项式乘多项式的法则计算即可；（3）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式；（4）先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式；【详解】（1）解：原式()268x x x =⋅⋅- 98x =-；（2）解：原式26946x x x =-+-2656x x =--；（3）解：原式()22x x y =-()()x x y x y =+-；（4）解：原式()244b a a =-+ ()22b a =-． 【点睛】本题考查了积的乘方，同底数幂的乘法，多项式乘多项式，综合提公因式和公式法分解因式，熟练掌握运算法则是解题的关键．3．（1）23228a a --（2）()()()3232x y a b a b -+-【分析】（1）先去括号，再合并同类项即可；（2）先提取公因式，然后利用平方差公式分解即可．【详解】解：（1）原式()22221216a a a =----22221216a a a =---+23228a a =--；（2）原式()()2294a x y b x y =---()()2294x y a b =--()()()3232x y a b a b =-+-．【点睛】本题主要考查整式的乘法以及乘法公式，因式分解，掌握因式分解的方法，整式运算的法则是解题的关键．4．2(21)y x -【分析】先提取y ，再根据公式法分解因式即可．【详解】原式2(441)y x x =-+2(21)y x =-．【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 5．(1)()()322x y x y +-(2)()232m -【分析】（1）先提取公因式，再用平方差公式；（2）用完全平方公式．【详解】（1）解：22312x y -()2234x y =- ()()322x y x y =+-（2）29124m m -+()2232322m m =-⨯⨯+ ()232m =-【点睛】本题主要考查了公式法与提公因式法因式分解；熟练掌握平方差公式与完全平方公式的特征是解题的关键．6．(1)()21x y -(2)()()22a b a b +-(3)()23x y --【分析】（1）先提取公因式x ，再利用完全平方公式进行因式分解即可；（2）先利用平方差公式分解为()()222222a b ab a b ab +++-，再利用完全平方公式分解因式即可；（3）把()x y -看作整体利用完全平方公式进行因式分解即可．【详解】（1）22x xy xy -+()212x y y =-+()21x y =-．（2）()222224a b a b +-()()222222a b ab a b ab =+++-()()22a b a b =+-． （3）()()269x y x y ---+ ()23x y =--．【点睛】此题考查了因式分解，注意因式分解要彻底，熟练掌握因式分解并灵活选择方法是解题的关键．7．(1)()()33x x x +-；(2)()22m --．【分析】（1）先提取公因式x ，再用平方差公式继续分解；（2）先提取公因式1-，再用完全平方公式继续分解．【详解】（1）解：()3299x x x x -=- ()()33x x x =+-；（2）解：244m m -+-()244m m =--+()22m =--．【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 8．(1)()26x -(2)()()322a a b a b -+【分析】（1）式利用完全平方公式分解即可；（2）先提取公因式，再利用平方差公式分解即可．【详解】（1）解：21236x x -+22266x x =-⨯⋅+()26x =-（2）解：32312a ab - ()2234a a b =-()2232a a b ⎡⎤=-⎣⎦()()322a a b a b =-+【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，灵活选择合适的因式分解方法是解本题的关键．9．(1)()22a a -(2)()231mn -【分析】（1）直接提取公因式2a 即可得到答案；（2）利用完全平方公式分解因式即可．【详解】（1）解：224a a -()22a a =-；（2）解：22169mn m n -+()231mn =-．【点睛】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键．10．(1)()()22x y x y +-(2)()23y x y --【分析】（1）先利用平方差公式因式分解，再利用完全平方公式进行因式分解，即可求解；（2）先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解，即可求解．【详解】（1）解：()222224x y x y +- ()()222222x y xy x y xy =+++-()()22x y x y =+-（2）解：22369xy x y y --()2296y x xy y =--+()23y x y =--【点睛】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法——提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法，并会结合多项式的特征，灵活选用合适的方法是解题的关键．11．(1)()()222a a b a b +-(2)()23a b --【分析】（1）先提出公因式2a ，再用平方差公式进行求解即可，（2）先将()()269b a a b ---+转化为()()269a b a b ---+，再利用完全平方公式进行求解即可．【详解】（1）3228a ab - ()2224a a b =-()()222a a b a b =+-（2）()()269b a a b ---+()()269a b a b =---+()23a b =-- 【点睛】本题主要考查因式分解，解题的关键是掌握因式分解的方法——提公因式法和公式法，要注意分解要彻底．12．(1)()()33m n m n +--+(2)()()()271x y x x ++-【分析】（1）通过添括号，将2269m n n -+-转化为()2269m n n --+，再利用平方差公式进行分解因式即可求解．（2）将()226(2)714x y x x y x x y +++--转化为()()226(2)72x y x x y x x y +++-+，先提出公因式，再利用十字相乘法进行分解因式即可求解．【详解】（1）2269m n n -+-()2269m n n =--+()223m n =-- ()()33m n m n =+--+（2）()226(2)714x y x x y x x y +++--()()226(2)72x y x x y x x y =+++-+()()2267x y x x =++-()()()271x y x x =++-【点睛】本题考查分解因式的方法，解题的关键是掌握提公因式法，公式法和十字相乘法． 13．()()3232a b a b +--+【分析】先将多项式分组为()22944a ab b --+，再分别利用完全平方公式和平方差公式分解即可．【详解】解：22944a ab b -+-()22944b a a b =--+()292a b =--()()3232a b a b =+---⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()3232a b a b =+--+．【点睛】本题考查了因式分解-分组分解，熟练掌握完全平方公式和平方差公式，能根据多项式特点进行适当分组是解题关键．14．(1)()22xy x y --(2)()()()()11a b a b b b ++--【分析】（1）先提取公因式2xy -，再利用完全平方公式继续分解即可；（2）先对原式变形，再利用平方差公式进行分解即可．【详解】（1）解：原式()2222xy x xy y =--+()22xy x y =--；（2）解：原式()()222211a b b b =--- ()()2221b a b =--()()()()11a b b b b a =++--．【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：∶提公因式法；∶公式法；∶十字相乘法；∶分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止．15．(1)()24bc a c -(2)()()23x y x +-【分析】（1）用提公因式法解答；（2）用提公因式法解答．【详解】（1）解：原式()24bc a c =-（2）解：原式()()23x y x =+-【点睛】此题考查了因式分解——提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．16．(1)()()(11y y y y +-(2)(x x(3)(2a(4)【分析】（1）原式先利用十字相乘法分解后，再利用平方差公式“()()22a b a b a b -=+-”分解即可；（2）原式利用平方差公式分解即可；（3）原式利用完全平方公式“()2222a ab b a b ±+=±”分解即可；（4）原式利用平方差公式分解即可．【详解】（1）解：原式()()2215y y --= ()()(11y y y y =+-；（2）解：原式22x =- (x x =；（3）解：原式(2a =；（4）解：原式=． 【点睛】本题考查了在实数范围内因式分解，掌握因式分解的方法是解决本题的关键． 17．(1)()23-m x y(2)()25m n -(3)()()()33x y a b a b +--【分析】（1）直接提公因式2m 即可分解；（2）利用完全平方公式分解即可；（3）先提公因式x y -，再利用平方差公式分解．【详解】（1）解：26mx my - ()23m x y =-；（2）222510m mn n -+()25m n =-；（3）()()229a x y b y x -+- ()()229a b x y =--()()()33y a b a b x +-=-【点睛】本题考查的是因式分解，在解答此类题目时要注意乘法公式的运用．18．(1)()()33a a b a b -+(2)23(2)x y -【分析】（1）先提公因式，再用公式法分解因式即可；（2）先提公因式，再用公式法分解因式即可．【详解】（1）解：329a ab -()229a a b =- ()()33a a b a b =-+；（2）解：2231212x xy y -+()22344x xy y =-+23(2)x y =-． 【点睛】本题主要考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．19．(1)()()433m n m n +-(2)()()21x y x --【分析】（1）直接根据平方差公式因式分解即可得到答案；（2）先提取公因式，再利用完全平方公式分解即可得到答案．【详解】（1）解：原式22(6)(2)m n =- ()()6262m n m n =+-()()433m n m n =+-；（2）解：原式22(())()x x y x y x x y =--+-+()()221x y x x =--+()()21x y x =--．【点睛】本题考查因式分解，解题的关键是熟练掌握有公因式先提取公因式，再看符不符合公式，利用公式法分解．20．(1)()()44x x +-(2)()()11a a a +-(3)()2421a b +-(4)()()11y x y x -+--【分析】（1）根据平方差公式进行因式分解即可求解；（2）先提公因式a ，然后根据平方差公式进行因式分解即可求解；（3）根据完全平方公式进行因式分解即可求解；（4）先分组，然后根据完全平方公式与平方差公式因式分解即可求解．【详解】（1）解：216x - ()()44x x =+-；（2）解：3a a -()21a a =-()()11a a a =+-；（3）解：24(2)4(2)1a b a b +-++()2221a b =+-⎡⎤⎣⎦()2421a b =+-； （4）2221y y x ++-()2221y y x ++-=()221y x =-- ()()11y x y x =-+--．【点睛】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．21．(1)(4)xy y -(2)22(2)(2)x y x y -+(3)2()(1)(1)x y x x --+【分析】（1）提取公因式即可．（2）先利用完全平方公式进行因式分解，再利用平方差公式进行因式分解．（3）先提取公因式，再把剩下的部分提取2后，按照平方差公式展开．【详解】（1）解：原式(4)xy y =-（2）解：原式()22222224(4)x x y y =-⋅⋅+ 222(4)x y =-22(2)(2)x y x y =-+（3）解：原式2()(22)x y x =--2()2(1)x y x =-⋅⋅-2()(1)(1)x y x x =--+【点睛】本题考查的是因式分解，解题的关键是要识别出可以使用平方差公式和完全平方公式之处，分解彻底．22．(1)()()()2a x y x y -+- (2)412x ⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】（1）先变形，然后提取公因式，再利用平方差公式因式分解即可；（2）利用完全平方公式进行因式分解即可．【详解】（1）解∶原式()()2222x a y a =---()()222a x y =--()()()2a x y x y =-+-；（2）解：原式2214x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭2212x ⎡⎤⎛⎫=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 412x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭． 【点睛】本题主要考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．23．()(52)(52)x y a b a b --+【分析】将()y x -变形为()x y --，提取公因式，运用平方差公式即可求解．【详解】解：()()22254a x y b y x -+-()()22254a x y b x y =---()22(254)x y a b =--()(52)(52)x y a b a b =--+．【点睛】本题主要考查因式分解，掌握提取公因式，乘法公式进行因式分解是解题的关键． 24．(1)()()x x y x y +-(2)2(3)x +【分析】（1）原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可；（2）原式整理后，利用完全平方公式分解即可．【详解】（1）解：原式22()()()x x y x x y x y =-=+-；（2）解：原式269x x =++2(3)x =+．【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．25．(1)()22423ab a bc +；(2)()22--b a b ．【分析】（1）提取公因式24ab ，即可求解；（2）先提取公因式b -，再利用完全平方公式继续分解即可．【详解】（1）解：323812a b ab c +()22423ab a bc =+；（2）解：22344ab a b b --()2244b ab a b =--++ ()22b a b =--．【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 26．(1)()()()22a a x y +--(2)()()2244x y x y +-【分析】（1）原式提取公因式，再利用平方差公式分解；（2）原式利用平方差公式变形，再利用完全平方公式分解．【详解】（1）解：2()4()a x y y x -+- ()()24a x y =--()()()22a a x y =+--；（2）解：()222221664x y x y +- ()()2222168168x y xy x y xy =+++-()()2244x y x y =+-【点睛】此题考查了因式分解—提公因式法，以及公式法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．27．(1)()2xy x y -(2)()()2x a b a b +-+(3)()()519x x +-【分析】（1）先提取公因式，再用完全平方公式分解；（2）用平方差公式分解即可；（3）先用平方差公式分解，再提取公因式．【详解】（1）32232x y x y xy -+()222xy x xy y =-+()2xy x y =- （2）22()()x a x b +--[][]()()()()x a x b x a x b =++-+--()()x a x b x a x b =++-+-+()()2x a b a b =+-+（3）22(32)(27)x x --+[][](32)(27)(32)(27)x x x x =-++--+()()32273227x x x x =-++---()()559x x =+-()()519x x =+-【点睛】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键．因式分解常用的方法有：∶提公因式法；∶公式法；∶十字相乘法；∶分组分解法．28．(1)2(2)x x --(2)5(2)y x y -(3)22()()x y x y +-【分析】（1）先提公因式x -，再利用完全平方公式即可；（2）先提公因式(2)x y -，再合并同类项即可；（3）先利用平方差公式，再利用完全平方公式进行计算即可．【详解】（1）解：（1）原式2(44)x x x =--+2(2)x x =--；（2）解：原式(2)[(3)(2)]x y x y x y =-+--(2)(32)x y x y x y =-+-+5(2)y x y =-；（3）解：原式22222()4x y x y =+-2222(2)(2)x y x y xy y x ++=+-22()()x y x y =+-．【点睛】本题考查因式分解，掌握提公因式法和公式法是解题的关键．29．(1)()22423ab a b a b --+(2)()()()22x y a a -+-【分析】（1）提取4ab -，即可求解；（2）提取()x y -，再根据平方差公式继续分解即可求解．【详解】（1）解：22338124a b ab a b -+-()22423ab a b a b --+＝；（2）解：()()24a x y y x -+-()()24x y a =-- ()()()22x y a a =-+-．【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 30．()()26x x --【分析】根据十字相乘法，进行因式分解即可．【详解】解：()()281226x x x x -+=--．【点睛】本题考查因式分解．熟练掌握十字相乘法因式分解，是解题的关键．31．()()4222x y z x y z ++++【分析】利用平方差公式先将原式进行分解因式得到()()422244x y z x y z ++++，再提取公因式2即可得到答案．【详解】解：()()229x y z x y z -++-- ()()()()33x y z x y z x y z x y z =+++--++---⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()333333x y z x y z x y z x y z =+++--++-++()()422244x y z x y z =++++()()4222x y z x y z =++++．【点睛】本题主要考查了分解因式，正确利用平方差公式将原式分解成()()422244x y z x y z ++++是解题的关键．32．(1)()(2)x y y x --(2)()21(1)(1)x x x ++-(3)2(1)x -【分析】（1）提取公因式()x y -；（2）利用平方差公式分解；（3）先展开多项式，再利用完全平方公式．【详解】（1）解：原式()[1()]x y x y =---()(1)x y x y =--+；故答案为：()(1)x y x y --+；（2）解：原式22(1)(1)x x =+-2(1)(1)(1)x x x =++-；故答案为：2(1)(1)(1)x x x ++-；（3）解：原式2214x x x =++-221x x =-+2(1)x =-．故答案为：2(1)x -．【点睛】本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法、公式法是解决本题的关键．33．(1)()()23a b x y +-(2)()()2222+-y y【分析】（1）利用提取公因式法分解因式；（2）利用完全平方公式和平方差公式分解因式．【详解】（1）解：()()26a x y b y x --- ()()26a x y b x y =-+-()()26a b x y =+-()()23a b x y =+-；（2）解：()()2221619y y ---+ ()2213y =-- ()2222y =- ()()2222y y =+-．【点睛】本题考查因式分解，属于基础题，掌握提取公因式法和公式法是解题的关键． 34．(1)()231+x(2)()223xy x y -【分析】（1）利用完全平方公式进行因式分解，即可求解；（2）先提出公因式，再利用完全平方公式进行因式分解，即可求解．【详解】（1）解：2296131x x x ； （2）解：322321218x y x y xy -+22269xy x xy y()223xy x y =-．【点睛】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法——提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法，并会结合多项式的特征，灵活选用合适的方法是解题的关键．35．(1)(1)xy x xy y ++++【分析】先展开原式，得()()11xy xy x y xy +++++，令1xy a +=，式子变形为：()2xy a x y a xy a ax ay +++=+++，再根据十字相乘法，即可．【详解】()()()()()11111xy x y xy xy xy x y xy ++++=+++++，令1xy a +=，∶()()()111xy x y xy ++++()xy a x y a =+++2xy a ax ay =+++()2a a x y xy =+++()()a x a y =++，把1xy a +=代入()()a x a y ++，∶()()()()11a x a y xy x xy y ++=++++，∶()()()()()11111xy x y xy xy x xy y ++++=++++．【点睛】本题考查因式分解的知识，解题的关键是把1xy +看成一个整体，熟练掌握因式分解-十字相乘法的运用．36．(1)()()11xy x x -+(2)()27x y -+-【分析】（1）先提取公因式，再用平方差公式展开即可（2）直接用完全平方公式即可【详解】（1）解：3x y xy -()21xy x =-()()11xy x x =-+（2）解：()()21449x y x y -+++-()()21449x y x y ⎡⎤=-+-++⎣⎦ ()27x y =-+-【点睛】本题考查了用平方差公式和完全平方公式因式分解，熟练掌握公式是解决问题的关键37．(1)()23a b --；(2)()()()3232x y a b a b -+-．【分析】（1）先提公因式，再利用完全平方公式分解因式，即可；（2）先提公因式，再利用平方差公式分解因式，即可．【详解】（1）解：原式()2232a ab b =--+ ()23a b =--；（2）解：原式()()2294a x y b x y =--- ()()2294x y a b =--()()()3232x y a b a b =-+-．【点睛】本题考查了因式分解，掌握提公因式与公式法分解因式是解题的关键． 38．(1)()()22a b b +-(2)()()2233+-x x【分析】（1）先提取公因式a ，再利用平方差公式分解因式即可；（2）利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可．【详解】（1）解：24ab a -()24a b =-()()22a b b =+-；（2）解：()()22258516x x +--+ ()2254x ⎡⎤=--⎣⎦ ()229x =- ()()2233x x =+-． 【点睛】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键．39．(1)()()33x x +-；(2)225x -（）．【分析】（1）根据平方差公式直接分解因式；（2）先题公因式，在用完全平方差公式分解．【详解】（1）解：29x -()()33x x =+-；（2）222050x x -+()221025x x =-+225x =-（）． 【点睛】本题考查因式分解，熟练运用提公因式法和公式法进行因式分解是解题的关键． 40．()()()33m n x x -+-【分析】先提公因式()m n -，然后根据平方差公式因式分解即可求解．【详解】解：2(()9)x m n n m -+-()()29x m n m n =---()()29m n x =--()()()33m n x x =-+-．【点睛】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．41．(1)224(23)ab a bc +(2)23(2)x y -(3)()(32)(32)x y a b a b -+-(4)()()()22x y x y y x ++-(5)(2)(31)(31)x y a a ++-【分析】（1）原式提取公因式即可；（2）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；（3）原式变形后，提取公因式，再利用平方差公式分解即可；（4）原式利用平方差公式分解即可；（5）原式变形后，提取公因式，再利用平方差公式分解即可．【详解】（1）解：原式224(23)ab a bc =+；（2）解：原式223(44)x xy y =-+23(2)x y =-；（3）解：原式229()4()a x y b x y =---22()(94)x y a b =--()(32)(32)x y a b a b =-+-；（4）解：原式()()2222x y y x =+-()()()22x y x y y x =++-；（5）解：原式292)(2)(a x y x y =+-+22)(91)(x y a =+-(2)(31)(31)x y a a =++-．【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解决本题的关键．42．(1)()2431ab b a --+(2)212x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ (3)()()2211x x +-【分析】（1）提取公因式2ab -进行分解因式即可；（2）利用完全平方公式分解因式即可；（3）利用平方差公式和完全平方公式分解因式即可．【详解】（1）解：22862ab a b ab -+-()2431ab b a =--+ （2）解：214x x -+212x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭； （3）解：()22214x x +- ()()221212x x x x =+++-()()2211x x =+-． 【点睛】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键．43．(1)()()2222a a +-(2)()()422m n m n ++(3)()2234a x --【分析】（1）首先利用平方差公式分解因式，然后利用完全平方公式分解因式；（2）首先利用平方差公式分解因式，然后利用提公因式法分解因式；（3）首先利用提公因式法分解因式，然后利用完全平方公式分解因式．【详解】（1）()222416a a +- ()()224444a a a a =+++-()()2222a a =+-；（2）()()229m n m n +-- ()()3333m n m n m n m n =++-+-+()()4224m n m n =++()()422m n m n =++；（3）222232448a x a x a -+-()223816a x x =--+()2234a x =--． 【点睛】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．44．(1)())11(a b a b -+--(2)()()11ab a a +-【分析】（1）根据平方差公式和完全平方公式，分解因式即可；（2）先提公因式，然后用平方差公式分解因式即可．【详解】（1）解：2221a b a --+2221a a b =-+-()221a b =-- ()()11a b a b -+--=；（2）解：3-a b ab()21ab a =-()()11ab a a =+-．【点睛】本题主要考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握平方差公式和完全平方公式． 45．(1)()()11a x x +-(2)()231y x -【分析】(1)首先提取公因式，再利用平方差公式，即可分解因式；(2)首先提取公因式，再利用完全平方公式，即可分解因式．【详解】（1）解：2ax a -()21a x =- ()()11a x x =+-（2）解：2363x y xy y -+()2321y x x =-+()231y x =-【点睛】本题考查了因式分解的方法，熟练掌握和运用因式分解的方法是解决本题的关键． 46．(1)()()22-+x x x ；(2)()()33a b a b +++-．【分析】（1）先提取公因式，再利用平方差公式即可得到结果；（2）原式利用完全平方公式与平方差公式分解即可得到结果．【详解】（1）解：34x x - ()24x x =-()()22x x x =-+；（2）解：2292a b ab +-+()2229a b ab =++-()29a b =+- ()()33a b a b =+++-．【点睛】此题考查了因式分解，提公因式法和运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．47．(1)()()m m n m n -+(2)22(2)x y -【分析】（1）提取公因式m ，运用平方差公式即可得；（2）提取公因数2，运用完全平方公式即可得．【详解】（1）解：原式＝22()m m n -＝()()m m n m n -+；（2）解：原式＝222(44)x xy y -+＝22(2)x y -．【点晴】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握因式分解，平方差公式，完全平方公式． 48．(1)()()33x x +-(2)21a a -（）(3)()()2233x x +-【分析】（1）直接运用平方差公式因式分解即可；（2）先提取有公因式，然后运用完全平方公式进行因式分解即可；（3）先提取有公因式，然后运用完全平方公式，再运用完全平方公式进行因式分解即可．【详解】（1）解：29x - ()()33x x =+-，（2）解：232a a a -+=212a a a -+（）=21a a -（）（3）解：()()22258516x x +--+ =()()22258516x x ---+=()2254x -- ()()2233x x =+- 【点睛】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．49．()22y x y +【分析】先提出公因式，再利用完全平方公式进行因式分解，即可求解．【详解】解：223242x y xy y ++()2222y x xy y =++()22y x y =+ 【点睛】本题考查了提取公因式与公式法分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．50．(1)()2532x x +(2)()23y x -(3)()()()22x y a b a b -+-【分析】（1）直接提取公因式即可求解；（2）先提取公因式y ，然后利用完全平方公式分解因式即可；（3）先提取公因式x y -，然后利用平方差公式分解因式即可．【详解】（1）321510x x + ()2532x x =+（2）269x y xy y -+()269y x x =-+()23y x =-（3）22()4()a x y b y x -+-22()4()a x y b x y =--- ()22()4x y a b =--()()()22x y a b a b =-+-【点睛】本题主要考查了因式分解，解题的关键是熟知因式分解的方法．。
八年级因式分解练习题有答案
因式分解练习题一、填空题：2．(a－3)(3－2a)=_______(3－a)(3－2a)；12．若m2－3m＋2=(m＋a)(m＋b)，则a=______，b=______；15．当m=______时，x2＋2(m－3)x＋25是完全平方式．二、选择题：1．下列各式的因式分解结果中，正确的是A．a2b＋7ab－b＝b(a2＋7a)B．3x2y－3xy－6y=3y(x－2)(x＋1) C．8xyz－6x2y2＝2xyz(4－3xy)D．－2a2＋4ab－6ac＝－2a(a＋2b －3c)2．多项式m(n－2)－m2(2－n)分解因式等于A．(n－2)(m＋m2) B．(n－2)(m－m2)C．m(n－2)(m＋1) D．m(n －2)(m－1)3．在下列等式中，属于因式分解的是A．a(x－y)＋b(m＋n)＝ax＋bm－ay＋bn B．a2－2ab＋b2＋1=(a－b)2＋1C．－4a2＋9b2＝(－2a＋3b)(2a＋3b)D．x2－7x－8=x(x－7)－8 4．下列各式中，能用平方差公式分解因式的是A．a2＋b2 B．－a2＋b2C．－a2－b2 D．－(－a2)＋b25．若9x2＋mxy＋16y2是一个完全平方式，那么m的值是A．－12 B．±24C．12 D．±126．把多项式a n+4－a n+1分解得A．a n(a4－a) B．a n-1(a3－1)C．a n+1(a－1)(a2－a＋1) D．a n+1(a －1)(a2＋a＋1)7．若a2＋a＝－1，则a4＋2a3－3a2－4a＋3的值为A．8 B．7C．10 D．128．已知x2＋y2＋2x－6y＋10=0，那么x，y的值分别为A．x=1，y=3 B．x=1，y=－3C．x=－1，y=3 D．x=1，y=－39．把(m2＋3m)4－8(m2＋3m)2＋16分解因式得A．(m＋1)4(m＋2)2 B．(m－1)2(m－2)2(m2＋3m－2)C．(m＋4)2(m－1)2 D．(m＋1)2(m＋2)2(m2＋3m－2)210．把x2－7x－60分解因式，得A．(x－10)(x＋6) B．(x＋5)(x－12)C．(x＋3)(x－20) D．(x－5)(x＋12)11．把3x2－2xy－8y2分解因式，得A．(3x＋4)(x－2) B．(3x－4)(x＋2)C．(3x＋4y)(x－2y) D．(3x－4y)(x＋2y)12．把a2＋8ab－33b2分解因式，得A．(a＋11)(a－3) B．(a－11b)(a－3b)C．(a＋11b)(a－3b) D．(a－11b)(a＋3b)13．把x4－3x2＋2分解因式，得A．(x2－2)(x2－1) B．(x2－2)(x＋1)(x－1)C．(x2＋2)(x2＋1) D．(x2＋2)(x＋1)(x－1)14．多项式x2－ax－bx＋ab可分解因式为A．－(x＋a)(x＋b) B．(x－a)(x＋b)C．(x－a)(x－b) D．(x＋a)(x＋b)15．一个关于x的二次三项式，其x2项的系数是1，常数项是－12，且能分解因式，这样的二次三项式是A．x2－11x－12或x2＋11x－12B．x2－x－12或x2＋x－12C．x2－4x－12或x2＋4x－12D．以上都可以16．下列各式x3－x2－x＋1，x2＋y－xy－x，x2－2x－y2＋1，(x2＋3x)2－(2x＋1)2中，不含有(x－1)因式的有A．1个 B．2个C．3个D．4个17．把9－x2＋12xy－36y2分解因式为A．(x－6y＋3)(x－6x－3)B．－(x－6y＋3)(x－6y－3)C．－(x－6y＋3)(x＋6y－3)D．－(x－6y＋3)(x－6y＋3)18．下列因式分解错误的是A．a2－bc＋ac－ab=(a－b)(a＋c)B．ab－5a＋3b－15=(b－5)(a ＋3)C．x2＋3xy－2x－6y=(x＋3y)(x－2)D．x2－6xy－1＋9y2=(x＋3y ＋1)(x＋3y－1)19．已知a2x2±2x＋b2是完全平方式，且a，b都不为零，则a与b的关系为A．互为倒数或互为负倒数 B．互为相反数C．相等的数 D．任意有理数20．对x4＋4进行因式分解，所得的正确结论是A．不能分解因式B．有因式x2＋2x＋2C．(xy＋2)(xy－8) D．(xy－2)(xy－8)21．把a4＋2a2b2＋b4－a2b2分解因式为A．(a2＋b2＋ab)2 B．(a2＋b2＋ab)(a2＋b2－ab)C．(a2－b2＋ab)(a2－b2－ab) D．(a2＋b2－ab)222．－(3x－1)(x＋2y)是下列哪个多项式的分解结果A．3x2＋6xy－x－2y B．3x2－6xy＋x－2yC．x＋2y＋3x2＋6xy D．x＋2y－3x2－6xy 23．64a8－b2因式分解为A．(64a4－b)(a4＋b) B．(16a2－b)(4a2＋b)C．(8a4－b)(8a4＋b) D．(8a2－b)(8a4＋b)24．9(x－y)2＋12(x2－y2)＋4(x＋y)2因式分解为A．(5x－y)2 B．(5x＋y)2B．C．(3x－2y)(3x＋2y) D．(5x－2y)225．(2y－3x)2－2(3x－2y)＋1因式分解为A．(3x－2y－1)2 B．(3x＋2y＋1)2C．(3x－2y＋1)2 D．(2y－3x－1)226．把(a＋b)2－4(a2－b2)＋4(a－b)2分解因式为A．(3a－b)2 B．(3b＋a)2C．(3b－a)2 D．(3a＋b)227．把a2(b＋c)2－2ab(a－c)(b＋c)＋b2(a－c)2分解因式为A．c(a＋b)2 B．c(a－b)2C．c2(a＋b)2 D．c2(a－b) 28．若4xy－4x2－y2－k有一个因式为(1－2x＋y)，则k的值为A．0 B．1C．－1 D．429．分解因式3a2x－4b2y－3b2x＋4a2y，正确的是A．－(a2＋b2)(3x＋4y) B．(a－b)(a＋b)(3x＋4y) C．(a2＋b2)(3x－4y) D．(a－b)(a＋b)(3x－4y)30．分解因式2a2＋4ab＋2b2－8c2，正确的是A．2(a＋b－2c) B．2(a＋b＋c)(a＋b－c) C．(2a＋b＋4c)(2a＋b－4c)D．2(a＋b＋2c)(a＋b－2c) 三、因式分解：1．m2(p－q)－p＋q；2．a(ab＋bc＋ac)－abc；3．x4－2y4－2x3y＋xy3；4．abc(a2＋b2＋c2)－a3bc＋2ab2c2；5．a2(b－c)＋b2(c－a)＋c2(a－b)；6．(x2－2x)2＋2x(x－2)＋1；7．(x－y)2＋12(y－x)z＋36z2；8．x2－4ax＋8ab－4b2；9．(ax＋by)2＋(ay－bx)2＋2(ax＋by)(ay－bx)；10．(1－a2)(1－b2)－(a2－1)2(b2－1)2；11．(x＋1)2－9(x－1)2；12．4a2b2－(a2＋b2－c2)2；13．ab2－ac2＋4ac－4a；14．x3n＋y3n；15．(x＋y)3＋125；16．(3m－2n)3＋(3m＋2n)3；17．x6(x2－y2)＋y6(y2－x2)；18．8(x＋y)3＋1；19．(a＋b＋c)3－a3－b3－c3；20．x2＋4xy＋3y2；21．x2＋18x－144；22．x4＋2x2－8；23．－m4＋18m2－17；24．x5－2x3－8x；25．x8＋19x5－216x2；26．(x2－7x)2＋10(x2－7x)－24；27．5＋7(a＋1)－6(a＋1)2；28．(x2＋x)(x2＋x－1)－2；29．x2＋y2－x2y2－4xy－1；30．(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)－48；31．x2－y2－x－y；32．ax2－bx2－bx＋ax－3a＋3b；33．m4＋m2＋1；34．a2－b2＋2ac＋c2；35．a3－ab2＋a－b；36．625b4－(a－b)4；37．x6－y6＋3x2y4－3x4y2；38．x2＋4xy＋4y2－2x－4y－35；39．m2－a2＋4ab－4b2；40．5m－5n－m2＋2mn－n2．四、证明(求值)：1．已知a＋b=0，求a3－2b3＋a2b－2ab2的值．2．求证：四个连续自然数的积再加上1，一定是一个完全平方数．3．证明：(ac－bd)2＋(bc＋ad)2=(a2＋b2)(c2＋d2)．4．已知a=k＋3，b=2k＋2，c=3k－1，求a2＋b2＋c2＋2ab－2bc－2ac的值．5．若x2＋mx＋n=(x－3)(x＋4)，求(m＋n)2的值．6．当a为何值时，多项式x2＋7xy＋ay2－5x＋43y－24可以分解为两个一次因式的乘积．7．若x，y为任意有理数，比较6xy与x2＋9y2的大小．8．两个连续偶数的平方差是4的倍数．参考答案:一、填空题：7．9，(3a－1)10．x－5y，x－5y，x－5y，2a－b11．＋5，－212．－1，－2(或－2，－1)14．bc＋ac，a＋b，a－c15．8或－2二、选择题：1．B 2．C 3．C 4．B 5．B 6．D 7．A 8．C 9．D10．B 11．C 12．C 13．B 14．C 15．D 16．B 17．B18．D 19．A 20．B 21．B 22．D 23．C 24．A 25．A 26．C27．C 28．C 29．D 30．D三、因式分解：1．(p－q)(m－1)(m＋1)．8．(x－2b)(x－4a＋2b)．11．4(2x－1)(2－x)．20．(x＋3y)(x＋y)．21．(x－6)(x＋24)．27．(3＋2a)(2－3a)．31．(x＋y)(x－y－1)．38．(x＋2y－7)(x＋2y＋5)．四、证明(求值)：2．提示：设四个连续自然数为n，n＋1，n＋2，n＋36．提示：a=－18．∴a=－18．。
八年级下册因式分解
八年级下册因式分解第一篇：八年级下册因式分解第二章因式分解练习题1.因式分解：9a2-4b2+4bc-c2=_________2.分解因式：a3c-4a2bc+4ab2c=_________3.若|x-2|+x2-xy+1y2=0，则x＝_______，y＝________ 44.若a=99，b=98，则a2-2ab+b2-5a+5b=_________5.计算12798.⨯0125.-0125.⨯4798.=________6.若a+b=5，ab=-14，则a3+a2b+ab2+b3=__________mm-1(-a)+a(-a)7.的值是（）m+1D.(-1)A.1B.-1C.0228.若n为任意整数，(n+11)-n的值总可以被k整除，则k等于（）A.11B.22C.11或22D.11的倍数-x3+x2-1x4229、把下列各式分解因式：（1）x-4-4xy+4y（2）32x(x+1)+x(x+1)+x(x+1)+x+1（5）24.计算：9998322-22004-2⨯2004-2002 12（）（）2101-210020043+20042-200525.已知m+n=3，mn=2，求m3n-m2n2+mn3的值。
（10分）3第二篇：八年级数学《因式分解》说课稿八年级数学《因式分解》说课稿八年级数学《因式分解》说课稿各位评委老师：上午好！我是最后一号，非常不好意思，因为我让大家痛苦而充实的等到现在。
我今天说课的课题是因式分解（板书课题§4.1因式分解）。
我将主要从教材分析，教法分析，学法指导，教学过程及补充说明等五个方面来具体阐述这节课。
下面开始我的说课。
一、教材分析（一）教材的地位与作用本节课是初中数学人教北师大版八年级下册第四章第一节的内容。
在此之前，学生已经学习了整式乘法的相关知识，这为过渡到本节的学习起了铺垫作用。
同时本节课也为后续知识一元二次方程求解方法的学习奠定一定的作用，因此在教材中本节课起着承上启下的过渡作用，而且本节课镶嵌着深刻的数形结合思想、类比思想，有利于学生思维的深化。
初二数学下册因式分解训练题型
初中数学因式分解训练题型1．将下列各式分解因式（1）3p2﹣6pq （2）2x2+8x+82．将下列各式分解因式（1）x3y﹣xy （2）3a3﹣6a2b+3ab2．3．分解因式（1）a2（x﹣y）+16（y﹣x）（2）（x2+y2）2﹣4x2y24．分解因式：（1）2x2﹣x （2）16x2﹣1 （3）6xy2﹣9x2y﹣y3 （4）4+12（x﹣y）+9（x﹣y）25．因式分解：（1）2am2﹣8a （2）4x3+4x2y+xy26．将下列各式分解因式：（1）3x﹣12x3（2）（x2+y2）2﹣4x2y27．因式分解：（1）x2y﹣2xy2+y3 （2）（x+2y）2﹣y28．因式分解：（1）2x3﹣4x2y3+6x2y2 （2）3a2﹣27 （3）（x+2y﹣z）2﹣（x﹣2y+z）2 （4）﹣4a2x2+8ax﹣49．把下列各式分解因式：（1）3a（x﹣y）﹣5b（y﹣x）（2）a4﹣1 （3）﹣b3+4ab2﹣4a2b．10．对下列代数式分解因式：（1）n2（m﹣2）﹣n（2﹣m）（2）（x﹣1）（x﹣3）+111．分解因式：（1）x2（x﹣y）+（y﹣x）（2）4（a+b）2﹣（2a﹣3b）212．分解因式：a2﹣4a+4﹣b225．分解因式：a2﹣b2﹣2a+113．分解因式：（1）﹣4+x2（2）﹣4x2y+4xy2﹣y3（3）9（a﹣b）2﹣4（a+b）2（4）3a2+bc﹣3ac﹣ab14．把下列各式分解因式：（1）x4﹣7x2+1 （2）x4+x2+2ax+1﹣a2（3）（1+y）2﹣2x2（1﹣y2）+x4（1﹣y）2（4）x4+2x3+3x2+2x+115．把下列各式分解因式：（1）4x3﹣31x+15；（2）2a2b2+2a2c2+2b2c2﹣a4﹣b4﹣c4；（3）x5+x+1；（4）x3+5x2+3x﹣9；（5）2a4﹣a3﹣6a2﹣a+2．答案与评分标准二．解答题（共16小题）13．将下列各式分解因式（1）3p2﹣6pq；（2）2x2+8x+8考点：提公因式法与公式法的综合运用。
初二因式分解经典题35题
初二因式分解经典题35题一、提取公因式法相关（10题）1. 分解因式：6ab + 3ac- 你看这里面每一项都有个3a呢。
就像大家都有个共同的小秘密一样。
那我们就把3a提出来呀，提出来之后就变成3a(2b + c)啦。
2. 分解因式：15x^2y−5xy^2- 哟，这里面5xy是公共的部分哦。
把5xy提出来，就剩下5xy(3x - y)啦，是不是很简单呢？3. 分解因式：4m^3n - 16m^2n^2+8mn^3- 仔细瞧瞧，8mn是都能提出来的。
提出来后就变成8mn(m^2 - 2mn + n^2)啦。
4. 分解因式：−3x^2y+6xy^2−9xy- 这里面−3xy是公因式哦。
把它提出来，就得到−3xy(x - 2y+3)啦。
5. 分解因式：2a(x - y)-3b(x - y)- 看呀，(x - y)是公共的部分呢。
提出来就变成(x - y)(2a - 3b)啦。
6. 分解因式：a(x - y)^2 - b(y - x)^2- 注意哦，(y - x)^2=(x - y)^2。
那这里面(x - y)^2是公因式，提出来就得到(x - y)^2(a - b)啦。
7. 分解因式：x(x - y)+y(y - x)- 先把y(y - x)变成-y(x - y)，这样公因式就是(x - y)啦，提出来就是(x - y)(x - y)=(x - y)^2。
8. 分解因式：3a(a - b)+b(b - a)- 把b(b - a)变成-b(a - b)，公因式(a - b)提出来，就得到(a - b)(3a - b)啦。
9. 分解因式：2x(x + y)-3(x + y)^2- 公因式是(x + y)，提出来就变成(x + y)[2x-3(x + y)]=(x + y)(2x - 3x - 3y)=(x + y)(-x - 3y)=-(x + y)(x + 3y)。
10. 分解因式：5(x - y)^3+10(y - x)^2- 把(y - x)^2变成(x - y)^2，公因式5(x - y)^2提出来，得到5(x - y)^2[(x -y)+2]=5(x - y)^2(x - y + 2)。
因式分解训练题经典--题型很全
初二数学培优训练-------因式分解一、 填空题：（每小题2分，共24分） 1、把下列各式的公因式写在横线上：①= ； ②=2、 填上适当的式子，使以下等式成立：（1）（2）3、 在括号前面填上“＋”或“－”号，使等式成立：（1）； （2）。
4、 直接写出因式分解的结果：（1）；（2）。
5、 若6、 若，那么m=________。
7、 如果8、简便计算：9、 已知，则的值是 。
10、如果2a+3b=1,那么3-4a-6b= 。
11、若是一个完全平方式，则的关系是 。
12、已知正方形的面积是 （x>0，y>0）,利用分解因式，写出表示该正方形的边长的代数式 。
二、 选择题：（每小题2分，共20分）1、下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ） A 、B 、C 、D 、1．如果，那么p 等于 ( )A ．abB ．a ＋bC ．－abD ．－(a ＋b )y x x 22255-n n x x 4264--()n x 232+)(222⋅=-+xy xy y x xy )(22⋅=+++n n n n a a a a 22)()(y x x y -=-)2)(1()2)(1(--=--x x x x =-222y y x =+-3632a a 。
＝，，则b a b b a ==+-+-01222()22416-=+-x mx x 。
，则=+=+-==+2222,7,0y x xy y x xy y x 。
－=2271.229.731=+a a 221a a +n mx x ++2n m 、2269y xy x ++bx ax b a x -=-)(222)1)(1(1y x x y x ++-=+-)1)(1(12-+=-x x x c b a x c bx ax ++=++)())((2b x a x q px x ++=+-2．如果，则b 为 ( )A ．5B ．－6C ．－5D ．62、一个多项式分解因式的结果是，那么这个多项式是（ ）A 、B 、C 、D 、3、下列各式是完全平方式的是（）A 、B 、C 、D 、4、把多项式分解因式等于（ ） A B C 、m(a-2)(m-1) D 、m(a-2)(m+1)5、因式分解的结果是（）A 、B 、C 、D 、6、下列多项式中，含有因式的多项式是（）A 、B 、C 、D 、7、分解因式得（）A 、B 、C 、D 、8、已知多项式分解因式为，则的值为（）A 、B 、C 、D、9、是△ABC 的三边，且，那么△ABC 的形状是（）A 、直角三角形B 、等腰三角形C 、等腰直角三角形D 、等边三角形10、在边长为a 的正方形中挖掉一个边长为b 的小正方形（a>b ）。
初二数学 超经典的因式分解练习题有答案
因式分解练习题一、填空题：2．(a－3)(3－2a)=_______(3－a)(3－2a)；12．若m2－3m＋2=(m＋a)(m＋b)，则a=______，b=______；15．当m=______时，x2＋2(m－3)x＋25是完全平方式．二、选择题：1．下列各式的因式分解结果中，正确的是A．a2b＋7ab－b＝b(a2＋7a) B．3x2y－3xy－6y=3y(x－2)(x＋1)C．8xyz－6x2y2＝2xyz(4－3xy) D．－2a2＋4ab－6ac＝－2a(a＋2b－3c)2．多项式m(n－2)－m2(2－n)分解因式等于A．(n－2)(m＋m2) B．(n－2)(m－m2) C．m(n－2)(m＋1) D．m(n－2)(m－1) 3．在下列等式中，属于因式分解的是A．a(x－y)＋b(m＋n)＝ax＋bm－ay＋bn B．a2－2ab＋b2＋1=(a－b)2＋1C．－4a2＋9b2＝(－2a＋3b)(2a＋3b) D．x2－7x－8=x(x－7)－84．下列各式中，能用平方差公式分解因式的是A．a2＋b2 B．－a2＋b2 C．－a2－b2 D．－(－a2)＋b25．若9x2＋mxy＋16y2是一个完全平方式，那么m的值是A．－12 B．±24C．12 D．±126．把多项式a n+4－a n+1分解得A．a n(a4－a) B．a n-1(a3－1) C．a n+1(a－1)(a2－a＋1) D．a n+1(a－1)(a2＋a＋1)7．若a2＋a＝－1，则a4＋2a3－3a2－4a＋3的值为A．8 B．7 C．10 D．128．已知x2＋y2＋2x－6y＋10=0，那么x，y的值分别为A．x=1，y=3 B．x=1，y=－3 C．x=－1，y=3 D．x=1，y=－39．把(m2＋3m)4－8(m2＋3m)2＋16分解因式得A．(m＋1)4(m＋2)2 B．(m－1)2(m－2)2(m2＋3m－2)C．(m＋4)2(m－1)2 D．(m＋1)2(m＋2)2(m2＋3m－2)210．把x2－7x－60分解因式，得A．(x－10)(x＋6) B．(x＋5)(x－12) C．(x＋3)(x－20) D．(x－5)(x＋12)11．把3x2－2xy－8y2分解因式，得A．(3x＋4)(x－2) B．(3x－4)(x＋2) C．(3x＋4y)(x－2y) D．(3x－4y)(x＋2y) 12．把a2＋8ab－33b2分解因式，得A．(a＋11)(a－3) B．(a－11b)(a－3b) C．(a＋11b)(a－3b) D．(a－11b)(a＋3b) 13．把x4－3x2＋2分解因式，得A．(x2－2)(x2－1) B．(x2－2)(x＋1)(x－1)C．(x2＋2)(x2＋1) D．(x2＋2)(x＋1)(x－1)14．多项式x2－ax－bx＋ab可分解因式为A．－(x＋a)(x＋b) B．(x－a)(x＋b) C．(x－a)(x－b) D．(x＋a)(x＋b)15．一个关于x的二次三项式，其x2项的系数是1，常数项是－12，且能分解因式，这样的二次三项式是A．x2－11x－12或x2＋11x－12 B．x2－x－12或x2＋x－12C．x2－4x－12或x2＋4x－12 D．以上都可以16．下列各式x3－x2－x＋1，x2＋y－xy－x，x2－2x－y2＋1，(x2＋3x)2－(2x＋1)2中，不含有(x－1)因式的有A．1个 B．2个C．3个D．4个17．把9－x2＋12xy－36y2分解因式为A．(x－6y＋3)(x－6x－3) B．－(x－6y＋3)(x－6y－3)C．－(x－6y＋3)(x＋6y－3) D．－(x－6y＋3)(x－6y＋3)18．下列因式分解错误的是A．a2－bc＋ac－ab=(a－b)(a＋c) B．ab－5a＋3b－15=(b－5)(a＋3)C．x2＋3xy－2x－6y=(x＋3y)(x－2) D．x2－6xy－1＋9y2=(x＋3y＋1)(x＋3y－1) 19．已知a2x2±2x＋b2是完全平方式，且a，b都不为零，则a与b的关系为A．互为倒数或互为负倒数 B．互为相反数C．相等的数 D．任意有理数20．对x4＋4进行因式分解，所得的正确结论是A．不能分解因式B．有因式x2＋2x＋2 C．(xy＋2)(xy－8) D．(xy－2)(xy－8) 21．把a4＋2a2b2＋b4－a2b2分解因式为A．(a2＋b2＋ab)2 B．(a2＋b2＋ab)(a2＋b2－ab)C．(a2－b2＋ab)(a2－b2－ab) D．(a2＋b2－ab)222．－(3x－1)(x＋2y)是下列哪个多项式的分解结果A．3x2＋6xy－x－2y B．3x2－6xy＋x－2yC．x＋2y＋3x2＋6xy D．x＋2y－3x2－6xy23．64a8－b2因式分解为A．(64a4－b)(a4＋b) B．(16a2－b)(4a2＋b)C．(8a4－b)(8a4＋b) D．(8a2－b)(8a4＋b)24．9(x－y)2＋12(x2－y2)＋4(x＋y)2因式分解为A．(5x－y)2 B．(5x＋y)2 C．(3x－2y)(3x＋2y) D．(5x－2y)225．(2y－3x)2－2(3x－2y)＋1因式分解为A．(3x－2y－1)2 B．(3x＋2y＋1)2C．(3x－2y＋1)2 D．(2y－3x－1)226．把(a＋b)2－4(a2－b2)＋4(a－b)2分解因式为A．(3a－b)2 B．(3b＋a)2 C．(3b－a)2 D．(3a＋b)227．把a2(b＋c)2－2ab(a－c)(b＋c)＋b2(a－c)2分解因式为A．c(a＋b)2 B．c(a－b)2 C．c2(a＋b)2 D．c2(a－b)28．若4xy－4x2－y2－k有一个因式为(1－2x＋y)，则k的值为A．0 B．1 C．－1 D．429．分解因式3a2x－4b2y－3b2x＋4a2y，正确的是A．－(a2＋b2)(3x＋4y) B．(a－b)(a＋b)(3x＋4y)C．(a2＋b2)(3x－4y) D．(a－b)(a＋b)(3x－4y)30．分解因式2a2＋4ab＋2b2－8c2，正确的是A．2(a＋b－2c) B．2(a＋b＋c)(a＋b－c)C．(2a＋b＋4c)(2a＋b－4c) D．2(a＋b＋2c)(a＋b－2c)三、因式分解：1．m2(p－q)－p＋q；2．a(ab＋bc＋ac)－abc；3．x4－2y4－2x3y＋xy3；4．abc(a2＋b2＋c2)－a3bc＋2ab2c2；5．a2(b－c)＋b2(c－a)＋c2(a－b)；6．(x2－2x)2＋2x(x－2)＋1；7．(x－y)2＋12(y－x)z＋36z2；8．x2－4ax＋8ab－4b2；9．(ax＋by)2＋(ay－bx)2＋2(ax＋by)(ay－bx)；10．(1－a2)(1－b2)－(a2－1)2(b2－1)2；11．(x＋1)2－9(x－1)2；12．4a2b2－(a2＋b2－c2)2；13．ab2－ac2＋4ac－4a；14．x3n＋y3n；15．(x＋y)3＋125；16．(3m－2n)3＋(3m＋2n)3；17．x6(x2－y2)＋y6(y2－x2)；18．8(x＋y)3＋1；19．(a＋b＋c)3－a3－b3－c3；20．x2＋4xy＋3y2；21．x2＋18x－144；22．x4＋2x2－8；23．－m4＋18m2－17；24．x5－2x3－8x；25．x8＋19x5－216x2；26．(x2－7x)2＋10(x2－7x)－24；27．5＋7(a＋1)－6(a＋1)2；28．(x2＋x)(x2＋x－1)－2；29．x2＋y2－x2y2－4xy－1；30．(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)－48；31．x2－y2－x－y；32．ax2－bx2－bx＋ax－3a＋3b；33．m4＋m2＋1；34．a2－b2＋2ac＋c2；35．a3－ab2＋a－b；36．625b4－(a－b)4；37．x6－y6＋3x2y4－3x4y2；38．x2＋4xy＋4y2－2x－4y－35；39．m2－a2＋4ab－4b2；40．5m－5n－m2＋2mn－n2．四、证明(求值)：1．已知a＋b=0，求a3－2b3＋a2b－2ab2的值．2．求证：四个连续自然数的积再加上1，一定是一个完全平方数．3．证明：(ac－bd)2＋(bc＋ad)2=(a2＋b2)(c2＋d2)．4．已知a=k＋3，b=2k＋2，c=3k－1，求a2＋b2＋c2＋2ab－2bc－2ac的值．5．若x2＋mx＋n=(x－3)(x＋4)，求(m＋n)2的值．6．当a为何值时，多项式x2＋7xy＋ay2－5x＋43y－24可以分解为两个一次因式的乘积．7．若x，y为任意有理数，比较6xy与x2＋9y2的大小．8．两个连续偶数的平方差是4的倍数．参考答案:一、填空题：7．9，(3a－1)10．x－5y，x－5y，x－5y，2a－b11．＋5，－212．－1，－2(或－2，－1)14．bc＋ac，a＋b，a－c15．8或－2二、选择题：1．B 2．C 3．C 4．B 5．B 6．D 7．A 8．C 9．D 10．B 11．C 12．C 13．B 14．C 15．D 16．B 17．B 18．D 19．A 20．B 21．B 22．D 23．C 24．A 25．A 26．C 27．C 28．C 29．D 30．D三、因式分解：1．(p－q)(m－1)(m＋1)．8．(x－2b)(x－4a＋2b)．11．4(2x－1)(2－x)．20．(x＋3y)(x＋y)．21．(x－6)(x＋24)．27．(3＋2a)(2－3a)．31．(x＋y)(x－y－1)．38．(x＋2y－7)(x＋2y＋5)．四、证明(求值)：2．提示：设四个连续自然数为n，n＋1，n＋2，n＋36．提示：a=－18．∴a=－18．。
因式分解60道压轴题型(6大题型)——2023-2024学年八年级数学下册重难点(北师大版)(解析)
因式分解60道压轴题型专训（6大题型）【题型目录】题型一 已知因式分解的结果求参数 题型二 运用公式法分解因式题型三 因式分解在有理数简算中的应用 题型四 十字相乘法 题型五 分组分解法 题型六 因式分解的应用【压轴题型一 已知因式分解的结果求参数】1．已知多项式481x b +可以分解为()()()22492332a b a b b a ++−，则x 的值是（ ）A ．416aB ．416a −C ．24aD ．24a −【答案】B【分析】本题可根据题中条件，多项式分解为单项式，用分解出来的单项式进行相乘后，即可求出x 的值．【详解】解：根据题意可得：()()()224492332=81ab a b b a x b++−+，∵()()()22492332a b a b b a ++− ()()()22=492323a b a b a b −++− ()()2222=4949a b ab −+−()44=1681a b −−44=1681a b −+，∴4=16x a −， 故选：B ．【点睛】本题考查因式分解的基本知识，学生需掌握因式分解的基本知识，做此题就不难．2．如果把二次三项式22x x c ++分解因式得()()2213x x c x x ++=−+，那么常数c 的值是（ ）A ．3B ．-3C ．2D ．-2【答案】B【分析】将因式分解的结果用多项式乘法的展开，其结果与二次三项式比较即可求解． 【详解】解：∵()()2213x x c x x ++=−+∴22223x x c x x ++=+−故3c =− 故选B【点睛】本题考查了因式分解，多项式的乘法运算，掌握多项式乘法与因式分解的关系是解题的关键． 3．若22266−+++x y xy kx 能分解成两个一次因式的积，则整数k= . 【答案】7±【分析】根据题意设多项式可以分解为：（x+ay+c ）（2x+by+d ），则2c+d=k ，根据cd=6，求出所有符合条件的c 、d 的值，然后再代入ad+bc=0求出a 、b 的值，与2a+b=1联立求出a 、b 的值，a 、b 是整数则符合，否则不符合，最后把符合条件的值代入k 进行计算即可．【详解】解：设22266−+++x y xy kx 能分解成：(x ＋ay ＋c)（2x ＋by ＋d)， 即2x2+aby2＋（2a ＋b ）xy ＋（2c ＋d)x ＋（ad ＋bc)y ＋cd ， ∴cd=6，∵6=1×6=2×3=（-2）×（-3）=(-1)×(-6)，∴①c=1，d=6时，ad ＋bc=6a ＋b=0，与2a ＋b=1联立求解得1432a b ⎧=−⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 或c=6，d=1时，ad ＋bc=a ＋6b=0,与2a ＋b=1联立求解得611111a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=−⎪⎩， ②c=2，d=3时，ad ＋bc=3a ＋2b=0，与2a ＋b=1联立求解得23a b =⎧⎨=−⎩，或c=3，d=2时，ad ＋bc=2a ＋3b=0，与2a ＋b=1联立求解得3412a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=−⎪⎩, ③c=-2，d=-3时，ad ＋bc=-3a -2b=0，与2a ＋b=1联立求解得23a b =⎧⎨=−⎩，或c=-3，d=-2，ad ＋bc=-2a -3b=0，与2a ＋b=1联立求解得3412a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=−⎪⎩， ④c=-1，d=-6时，ad ＋bc=-6a -b=0，与2a ＋b=1联立求解得1432a b ⎧=−⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 或c=-6，d=-1时，ad ＋bc=-a -6b=0，与2a ＋b=1联立求解得611111a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=−⎪⎩， ∴c=2，d=3时，c=-2，d=-3时，符合，∴k=2c ＋d=2×2＋3=7，k=2c ＋d=2×（-2）＋（-3)=-7， ∴整数k 的值是7，-7． 故答案为：7±．【点睛】本题考查因式分解的意义，设成两个多项式的积的形式是解题的关键，要注意6的所有分解结果，还需要用a 、b 进行验证，注意不要漏解．4．已知多项式4x mx n ++能分解为()()2223x px q x x +++−，则p = ，q = ．【答案】 2−； 7．【分析】把()()2223xpx q x x +++−展开，找到所有3x 和2x 的项的系数，令它们的系数分别为0，列式求解即可．【详解】解：∵()()2223xpx q x x +++−432322222333x px qx x px qx x px q =+++++−−−()()()432223233x p x q p x q p x q=++++−+−−4x mx n =++．∴展开式乘积中不含3x 、2x 项，∴20230p q p +=⎧⎨+−=⎩，解得：27p q =−⎧⎨=⎩．故答案为：2−，7．【点睛】本题考查了整式乘法的运算、整式乘法和因式分解的关系，将结果式子运用整式乘法展开后，抓住“若某项不存在，即其前面的系数为0”列出式子求解即可． 5．【例题讲解】因式分解：31x −．31x −为三次二项式，若能因式分解，则可以分解成一个一次二项式和一个二次多项式的乘积．故我们可以猜想31x −可以分解成()()21x x ax b −++，展开等式右边得：()32(1)x a x b a x b +−+−−，()()33211x x a x b a x b ∴−=+−+−−恒成立．∴等式两边多项式的同类项的对应系数相等，即1001a b a b −=⎧⎪−=⎨⎪−=−⎩，解得11a b =⎧⎨=⎩，()()32111x x x x ∴−=−++．【方法归纳】设某一多项式的全部或部分系数为未知数，利用当两个多项式为恒等式时，同类项系数相等的原理确定这些系数，从而得到待求的值，这种方法叫待定系数法． 【学以致用】(1)若()()21234x mx x x −−=+−，则m =________；(2)若3233x x x k +−+有一个因式是1x +，求k 的值及另一个因式． 【答案】(1)1(2)5k =−，225x x +−【分析】（1）将()()34x x +−展开，再根据题干的方法即可求解；（2）设多项式3233x x x k +−+另一个因式为()2xax b ++，利用题干给出的待定系数法求解即可．【详解】（1）∵()()21234x mx x x −−=+−，∴221212x mx x x −−=−−，∴1m =，故答案为：1；（2）设多项式3233x x x k +−+另一个因式为()2x ax b ++，则()()()()322323311x x x k x x ax b x a x a b x b+−+=+++=+++++13a ∴+=，3a b +=−，b k =，2a ∴=，=5b −，5k ∴=−，即另一个式子为：225x x +−．【点睛】本题主要考查了多项式的乘法，因式分解等知识，掌握题干给出的待定系数法，是解答本题的关键．6．仔细阅读下面例题，解答问题例题：已知二次三项式24x x m −+有一个因式是()3x +，求另一个因式以及m 的值．解：设另一个因式为()x n +，得()()243x x m x x n −+=++则()22433x x m x n x n −+=+++343n m n +=−⎧∴⎨=⎩解得7n =−，21m =−∴另一个因式为()7x −，m 的值为21−．问题：(1)已知二次三项式26x x a ++有一个因式是()5+x ，求另一个因式以及a 的值： (2)已知二次三项式22x x p −−有一个因式是()23x +，求另一个因式以及p 的值． 【答案】(1)另一个因式为1x +，a 的值为5 (2)另一个因式为()2x −，p 的值为6【分析】（1）设另一个因式为()x n +，根据例题的方法，列出等式并将等式右侧展开，然后利用对应系数法即可求出结论； （2）设另一个因式为()x q +，根据例题的方法，列出等式并将等式右侧展开，然后利用对应系数法即可求出结论．【详解】（1）解：设另一个因式为()x n +，得()()265x x a x x n ++=++，则()22655x x a x n x n++=+++，565n n a +=⎧∴⎨=⎩，解得：15n a =⎧⎨=⎩，∴另一个因式为1x +，a 的值为5；（2）解：设另一个因式为()x q +，得()()2223x x p x q x −−=++，则()2222233x x p x q x q−−=+++，2313q q p +=−⎧∴⎨=−⎩，解得：26q p =−⎧⎨=⎩， ∴另一个因式为()2x −，p 的值为6．【点睛】本题考查了因式分解的意义，正确理解因式分解与整式的乘法互为逆运算是解题的关键． 7．1637年笛卡尔（R ．Descartes ，1596－1650）在其《几何学》中，首次应用待定系数法最早给出因式分解定理．关于笛卡尔的“待定系数法”原理，举例说明如下： 分解因式：3235x x x ++−．解：观察可知，当1x =时，原式0=． ∴原式可分解为()1x −与另一个整式的积．设另一个整式为2x bx c ++．则()()322351x x x x x bx c ++−=−++， ∵()()()()23211x x bx c x b x c b x c −++=+−+−−，∴()()3232351x x x x b x c b x c ++−=+−+−−∵等式两边x 同次幂的系数相等，则有：1135b c b c −=⎧⎪−=⎨⎪−=−⎩，解得25b c =⎧⎨=⎩．∴()()32235125x x x x x x ++−=−++．根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题：(1)根据以上材料的方法，分解因式3223x x +−的过程中，观察可知，当x =______时，原式0=，所以原式可分解为______与另一个整式的积．若设另一个整式为2x bx c ++．则b =______，c =______． (2)已知多项式31x ax ++（a 为常数）有一个因式是1x +，求另一个因式以及a 的值． 下面是小明同学根据以上材料方法，解此题的部分过程，请帮小明完成他的解答过程．解：设另一个因式为2x bx c ++，则()()3211x ax x x bx c ++=+++．……(3)已知二次三项式223x x k +−（k 为常数）有一个因式是4x +，则另一个因式为______，k 的值为______． 【答案】(1)1；(1)x −；3；3(2)解题过程见详解，321(1)(1)x x x x +=+−+(3)(25)x −；20【分析】（1）根据材料提示，当1x =时，3223x x +−的值为0，由此即可求解；（2）多项式31x ax ++（a 为常数）有一个因式是1x +，设另一个因式为2x bx c ++，根据材料提示，即可求解；（3）多项式223x x k +−（k 为常数）有一个因式是4x +，则另一个因式为mx n +，根据材料提示，即可求解．【详解】（1）解：当1x =时，3223x x +−的值为0，∴原式可分解为(1)x −与另一个整式的积，设另一个整式为2x bx c ++，∴32223(1)()x x x x bx c +−=−++，∵232(1)()()()x x bx c x b c x c b x c −++=+−+−−， ∴323223(1)()x x x b x c b x c +−=+−+−−，∴1203b c b c −=⎧⎪−=⎨⎪−=−⎩，解得，33b c =⎧⎨=⎩，∴32223(1)(33)x x x x x +−=−++，故答案为：1；(1)x −；3；3．（2）解：多项式31x ax ++（a 为常数）有一个因式是1x +，设另一个因式为2x bx c ++，则()()3211x ax x x bx c ++=+++，∵()()2321(1)()x x bx c x b x c b x c +++=+++++，∴3321(1)()x ax x b x c b x c ++=+++++， ∴101b c b a c +=⎧⎪+=⎨⎪=⎩，解方程得，011a b c =⎧⎪=−⎨⎪=⎩，∴多项式31x ax ++（a 为常数）为31x +，∴31x +因式分解为321(1)(1)x x x x +=+−+．（3）解：多项式223x x k +−（k 为常数）有一个因式是4x +，设另一个因式为mx n +，∴223(4)()x x k x mx n +−=++， ∵2(4)()(4)4x mx n mx n m x n ++=+++， ∴2223(4)4x x k mx n m x n +−=+++，∴2434m n m n k =⎧⎪+=⎨⎪=−⎩，解方程组得，2520m n k =⎧⎪=−⎨⎪=⎩，∴多项式223x x k +−（k 为常数）为22320x x +−，∴22320x x +−因数分解为22320(4)(25)x x x x +−=+−，故答案为：(25)x −，20．【点睛】本题主要考查因数分解，掌握整式的混合运算是解题的关键． 8．仔细阅读下面例题：例题：已知二次三项式25x x m ++有一个因式是x ＋2，求另一个因式以及m 的值． 解：设另一个因式px ＋n ，得25x x m ++＝（x ＋2）（px ＋n ），对比等式左右两边x 的二次项系数，可知p ＝1，于是25x x m ++＝（x ＋2）（x ＋n ）． 则25x x m ++＝2x ＋（n ＋2）x ＋2n ，∴n ＋2＝5，m ＝2n ， 解得n ＝3，m ＝6，∴另一个因式为x ＋3，m 的值为6 依照以上方法解答下面问题：（1）若二次三项式2x ﹣7x ＋12可分解为（x ﹣3）（x ＋a ），则a ＝ ； （2）若二次三项式22x ＋bx ﹣6可分解为（2x ＋3）（x ﹣2），则b ＝ ； （3）已知代数式23x ＋2x ＋kx ﹣3有一个因式是2x ﹣1，求另一个因式以及k 的值． 【答案】（1）-4；（2）-1；（3）另一个因式为2x ＋x ＋3，k 的值为5． 【分析】（1）仿照题干中给出的方法计算即可； （2）仿照题干中给出的方法计算即可；（3）设出另一个因式为（2ax bx c ++），对比两边三次项系数可得a ＝1，再参照题干给出的方法计算即可．【详解】解：（1）∵2(3)()33x x a x x ax a −+=−+−＝2(3)3x a x a +−−＝2712x x −+．∴a ﹣3＝﹣7，﹣3a ＝12， 解得：a ＝﹣4.（2）∵2(23)(2)2346x x x x x +−=+−−＝226x x −−．＝226x bx +−．∴b ＝﹣1．（3）设另一个因式为（2ax bx c ++），得32223(21)()x x kx x ax bx c ++−=−++． 对比左右两边三次项系数可得：a ＝1．于是32223(21)()x x kx x x bx c ++−=−++．则3232232232222(21)(2)x x kx x x bx bx cx c x b x c b x c ++−=−+−+−=+−+−−．∴﹣c ＝﹣3，2b ﹣1＝1，2c ﹣b ＝k ． 解得：c ＝3，b ＝1，k ＝5．故另一个因式为23x x ++，k 的值为5．【点睛】本题以阅读材料给出的方法为背景考查了因式分解、整式乘法、合并同类项等知识，熟练掌握以上知识是解题关键．9．仔细阅读下面的例题：例题：已知二次三项式25x x m ++有一个因式是2x +，求另一个因式及m 的值． 解：设另一个因式为x n +，得25(2)()x x m x x n ++=++， 则225(2)2x x m x n x n ++=+++， 25n ∴+=，2m n =，解得3n =，6m =，∴另一个因式为3x +，m 的值为6． 依照以上方法解答下列问题：（1）若二次三项式254x x −+可分解为(1)()x x a −+，则=a ________； （2）若二次三项式226x bx +−可分解为(23)(2)x x +−，则b =________； （3）已知二次三项式229x x k +−有一个因式是21x −，求另一个因式以及k 的值． 【答案】（1）4−；（2）1−；（3）另一个因式为5x +，k 的值为5．【分析】（1）将(1)()x x a −+展开，根据所给出的二次三项式即可求出a 的值； （2）（2x+3）（x ﹣2）展开，可得出一次项的系数，继而即可求出b 的值；（3）设另一个因式为（x+n ），得2x2+9x ﹣k ＝（2x ﹣1）（x+n ），可知2n ﹣1＝9，﹣k ＝﹣n ，继而求出n 和k 的值及另一个因式．【详解】解：（1）∵(1)()x x a −+＝x2+（a ﹣1）x ﹣a ＝254x x −+，∴a ﹣1＝﹣5， 解得：a ＝﹣4； 故答案是：﹣4（2）∵（2x+3）（x ﹣2）＝2x2﹣x ﹣6＝2x2+bx ﹣6， ∴b ＝﹣1． 故答案是：﹣1．（3）设另一个因式为（x+n ），得2x2+9x ﹣k ＝（2x ﹣1）（x+n ）， 则2x2+9x ﹣k ＝2x2+（2n ﹣1）x ﹣n ， ∴2n ﹣1＝9，﹣k ＝﹣n ， 解得n ＝5，k ＝5，∴另一个因式为x+5，k 的值为5．【点睛】本题考查因式分解的意义，解题关键是对题中所给解题思路的理解，同时要掌握因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．10．仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式24x x m −+有一个因式是()3x +，求另一个因数及m 的值．解：设另一个因式为()x n +，由题意，得()()243x x m x x n −+=++，化简、整理，得()22433x x m x n x n −+=+++，于是有343n m n +=−⎧⎨=⎩解得217m n =−⎧⎨=−⎩， ∴另一个因式为()7x −，m 的值为21−．问题：仿照上述方法解答下面的问题：已知二次三项式223x x k +−有一个因式是()4x +，求另一个因式及k 的值．【答案】另一个因式为()25x −，k 的值为20．【分析】根据所求的式子223x x k +−的二次项系数是2，因式是（x+4）的一次项系数是1，可知另一个因式的一次项系数一定是2，设另一个因式为()2x a +，仿照例题计算即可． 【详解】解：设另一个因式为()2x a +， ∴()()22342x x k x x a +−=++， ∴()2223284x x k x a x a+−=+++， ∴834a a k +=⎧⎨=−⎩ ，解得：5a =−，20k =，故另一个因式为()25x −，k 的值为20．【点睛】考查了因式分解的应用，正确读懂例题，理解题意是解题的关键．【压轴题型二 运用公式法分解因式】1．若20192020,20192021,20192022a x b x c x =+=+=+，则代数式222a b c ab ac bc ++−−−的值是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D【分析】此题考查了因式分解的应用，由a ，b ，c 的代数式，求出a b −，a c −，b c −的值，原式利用完全平方公式变形后代入计算即可求出值．【详解】解：20192020a x =+，20192021b x =+，20192022c x =+，1a b ∴−=−，2a c −=−，1b c −=−，则222a b c ab ac bc ++−−− 2221(222222)2a b c ab ac bc =++−−−2222221[(2)(2)(2)]2a ab b a ac c b bc c =−++−++−+2221[()()()]2a b a c b c =−+−+−，当1a b −=−，2a c −=−，1b c −=−时，原式1(141)32=⨯++=．故选：D ． 2．已知x y z 、、满足12x z −=，236xz y +=−，则2x y z ++的值为（ ）A ．4B ．1C ．0D ．-8【答案】C 【分析】根据题目条件可用x 来表示z ，并代入代数式中，运用公式法因式分解可得()226x y −=−，再根据平方数的非负性可分别求出x ，z 的值，最后运算即可． 【详解】解：12x z −=，∴12z x =−，又236xz y +=−，∴()21236x x y −+=−，∴2212+36=-y x x −，()226x y −=−， ()22600x y −≥−≤，，600x y ∴−==，，606x y z ∴===−，，，代入2x y z ++得，2x y z ++=0．故选：C ．【点睛】本题考查了运用公式法进行因式分解，平方数的非负性，熟练掌握运用公式法因式分解是解决本题的关键．3．已知a ，b 为自然数，且a b >，若4364()()a a b a ab b b+++−+=，则=a ，b = ． 【答案】 8 2【分析】化简原式可得：2264()a b b +=，设a kb =，则2264()kb b b +=，再根据22226416244()k b ∴+==⨯=⨯可求a ，b ． 【详解】4364()()a a b a ab b b +++−+=， 4364a a b a ab b b ∴+++−+=， 24464ab ab a b ∴++=，2264()a b b ∴+=．设a kb =，则2264()kb b b +=， a ，b 为自然数，0a ∴≠，0b ≠，22226416244()k b ∴+==⨯=⨯16k ∴=，22b +=或4k = ，24+=b ，160,k b ∴==(不合题意，舍去)或4k =，2b =，428a ∴=⨯=．故答案为：8，2．【点睛】本题主要考查了分式的加减，因式分解的应用，熟记完全平方公式是解决本题的关键．4．如果22344421x y xy y x −−++−因式分解的结果为 ．【答案】()()32121x y x y +−−+【分析】把21y −当成一个整体，再因式分解即可．【详解】原式22342441x xy x y y =−+−+− ()()22322121x x y y =−−−−()()32121x y x y =+−−−⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()32121x y x y =+−−+ 故答案为：()()32121x y x y +−−+．【点睛】题目主要考查利用整体法及公式法进行因式分解，理解题中的整体思想是解题关键．5．阅读材料，解决问题【材料1】教材中这样写道：“我们把多项式222a ab b ++及222a ab b −+叫做完全平方式”，如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．例如：分解因式223x x +−．原式()()()()()22223211314121231x x x x x x x x x =+−=++−−=+−=+++−=+−．【材料2】因式分解：()()221x y x y ++++解：把x y +看成一个整体，令x y A +=，则原式()22211A A A =++=+，再将A x y =+重新代入，得：原式()21x y =++上述解题用到的“整体思想”是数学解题中常见的思想方法．请你解答下列问题：(1)根据材料1，利用配方法进行因式分解：268x x −+；(2)根据材料2，利用“整体思想”进行因式分解：()()244x y x y −−−+；(3)当a ，b ，c 分别为ABC 的三边时，且满足222464170a b c a b c ++−−−+=时，判断ABC 的形状并说明理由．【答案】(1)()()24x x −−；(2)()22x y −−；(3)ABC 是等腰三角形，理由见解析．【分析】（1）凑完全平方公式，再用平方差公式进行因式分解；（2）利用完全平方进行因式分解；（3）先因式分解，判断字母a 、b 、c 三边的关系，再判定三角形的形状．【详解】（1）解：268x x −+26998x x =−+−+()231x =−−()()3131x x =-+-- ()()24x x =−−；（2）解：设A x y =−，()()244x y x y −−−+244A A =−+()22A =−∴()()244x y x y −−−+()22x y =−−；（3）解：ABC 是等腰三角形．理由如下：222464170a b c a b c ++−−−+=，∴2224469440a a b b c c −++−++−+=，∴()()()2222320a b c −+−+−=，∴20a −=，30b −=，20c −=，得，2a =，3b =，2c =．∴a b =，∴ABC 是等腰三角形．【点睛】此题考查了因式分解的应用，乘法公式，配方法的应用以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．6．19世纪的法国数学家苏菲·热门给出了一种分解因式44x +的方法：他抓住了该式只有两项，而且属于平方和()2222x +的形式，要使用公式就必须添一项24x ，随即将此项24x 减去，即可得()()()()()222442222222444424222222x x x x x x x x x x x x +=++−=+−=+−=++−+，人们为了纪念苏菲·热门给出这一解法，就把它叫做“热门定理”．根据以上方法，把下列各式因式分解：(1)444x y +；(2)2244a am n mn −−+．【答案】(1)()()22222222x y xy x y xy +++−； (2)()()4a n a m n −−+．【分析】（1）根据苏菲·热门的做法，将原式配上224x y 后，根据完全平方公式和平方差公式即可进行因式分解；（2）先分组，再利用提公因式法因式分解．【详解】（1）原式442222444x y x y x y =++−()2222224x y x y =+−()()22222222x y xy x y xy =+++−； （2）原式22224444a am m m n mn =−+−−+()()22224444a am m m n mn =−+−+−()()2222a m m n =−−−()()2222a m m n a m m n =−+−−−+ ()()4a n a m n =−−+.【点睛】本题考查因式分解，掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征是正确应用的前提，理解苏菲·热门的做法是正确进行因式分解的关键．7．定义一种新运算“a b ⊗”：当a b ≥时，2a b a b ⊗=+；当a b <时，2a b a b ⊗=−．例如：3(4)3(8)(5)⊗−=+−=−，(6)1262430−⊗=−−=−(1)填空：(3)(2)−⊗−=______．(2)若(34)(5)(34)2(5)x x x x −−+⊗+=+，则x 的取值范围为______．(3)利用以上新运算化简：2(23)m m ⊗−(4)已知(57)(2)1x x ⊗−−>，求x 的取值范围．【答案】(1)1 (2)92x ≥(3)246m m +−(4)x 的取值范围为：8x >或819x <<.【分析】（1）由32−<−，利用2a b a b ⊗=−进行计算即可；（2）结合新定义与(34)(5)(34)2(5)x x x x −−+⊗+=+，可得345x x −≥+，再解不等式即可；（3）由()2223120m m m −+=−+>，可得223m m >−，再利用新定义运算即可；（4）分两种情况讨论：当572x x −≥−时，即1x ≥；可得()(57)(2)57221x x x x −−=−+⨯−>⊗，当572x x −<−时，即1x <；可得()(57)(2)57221x x x x −−=−−⨯−>⊗，再解不等式即可.【详解】（1）解：由题意可得：()(3)(2)322341−⊗−=−−⨯−=−+=； （2）解：∵(34)(5)(34)2(5)x x x x −−+⊗+=+，∴345x x −≥+，∴29x ≥， 解得：92x ≥；（3）解：∵()2223120m m m −+=−+>，∴223m m >−，∴()222(23)22346m m m m m m ⊗−=+−=+−；（4）解：当572x x −≥−时，∴77x ≥，即1x ≥；∴()(57)(2)57221x x x x −−=−+⨯−>⊗，∴8x >，综上，此时8x >；当572x x −<−时，∴77x <，即1x <；∴()(57)(2)57221x x x x −−=−−⨯−>⊗，∴98x >， 解得：89x >， 综上：此时819x <<； 综上：x 的取值范围为：8x >或819x <<.【点睛】本题考查的是新定义运算，整式的加减运算，利用完全平方公式分解因式，一元一次不等式的应用，理解新定义的运算法则是解本题的关键.8．【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛的应用．例1 用配方法因式分解：a 2＋6a ＋8．原式＝ a 2＋6a ＋9－1＝（a ＋3）2－1＝（a ＋3－1）（a ＋3＋1）＝（a ＋2）（a ＋4）．例2若M ＝a 2－2ab ＋2b 2－2b ＋2，利用配方法求M 的最小值；a 2－2ab ＋2b 2－2b ＋2＝a 2－2ab ＋b 2＋b 2－2b ＋1＋1＝（a －b ）2＋（b －1）2＋1；∵（a －b ）2≥0，（b －1）2≥0， ∴当a ＝b ＝1时，M 有最小值1．请根据上述自主学习材料解决下列问题：(1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a 2＋10a ＋________；(2)用配方法因式分解：a 2－12a ＋35．(3)若M ＝a 2－3a +1，则M 的最小值为________；(4)已知a 2＋2b 2＋c 2－2ab ＋4b －6c ＋13＝0，则a ＋b ＋c 的值为________；【答案】(1)25；(2)(5)(7)a a −−； (3)54−； (4)1−．【分析】（1）利用完全平方公式的结构特征判断即可；（2）原式常数项35分为361−，利用完全平方公式化简，再利用平方差公式分求解即可；（3）M 配方后，利用非负数的性质确定出最小值即可；（4）将已知等式利用完全平方公式配方后，再根据非负数的性质求出a ，b ，c 的值，代入原式计算即可．【详解】（1）解：221025(5)a a a ++=+；故答案为：25；（2）解：21235a a −+212361a a =−+−2(6)1a =−−(61)(61)a a =−+−−(5)(7)a a =−−；（3）解：295(3)44M a a =−+−235()24a =−−， 当302a −=，即32a =时，M 取最小值，最小值为54−； 故答案为：54−； （4）解：2222246130a b c ab b c ++−+−+=，2222(2)(44)(69)0a ab b b b c c ∴−+++++−+=，即222()(2)(3)0a b b c −+++−=，2()0a b −…，2(2)0b +…，2(3)0c −…，0a b ∴−=，20b +=，30c −=，解得：2a b ==−，3c =，则2231a b c ++=−−+=−．故答案为：1−．【点睛】本题考查了整式的混合运算，非负数的性质：偶次方，完全平方式，以及因式分解−分组分解法，解题的关键是熟练掌握各自的运算法则及公式．9．阅读材料：若2222440m mn n n −+−+=，求m ，n 的值．解：∵2222440m mn n n −+−+=，∴()()2222440m mn n n n −++−+=，∴22()(2)0m n n −+−=，∴2()0m n −=，2(2)0n −=，∴2n =，2m =．根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知22228160x y xy y +−++=，则x =________，y =________；（2）已知ABC 的三边长a 、b 、c 都是正整数，且满足22248180a b a b +−−+=，求ABC 的周长．【答案】（1）-4，-4；（2）ABC 的周长为9．【分析】（1）利用完全平方公式配方，再根据非负数的性质即可得出x 和y 的值；（2）利用完全平方公式配方，再根据非负数的性质即可得出a 和b 的值，从而得出c 的取值范围，根据c 为整数即可得出c 的值，从而求得三角形的周长．【详解】解：（1）由22228160x y xy y +−++=得 222)((2816)0x xy y y y −+++=+，22()(4)0x y y −++=，∴0x y −=，40y +=，∴4x y ==−，故答案为：-4，-4；（2）由22248180a b a b +−−+=得：222428160a a b b −++−+=，222(1)(4)0a b −+−=，∴a -1=0，b -4=0，∴a=1，b=4，∴3＜c ＜5，∵△ABC 的三边长a 、b 、c 都是正整数，∴c=4，∴ABC 的周长为9．【点睛】本题主要考查了配方法的应用及偶次方的非负性，同时考查了三角形的三边关系，本题难度中等． 10．把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法． 如：①用配方法分解因式：a 2+6a +8，解：原式=a 2+6a +8+1-1=a 2+6a +9-1=(a +3)2－12=[(3)1][(3)1](4)(2)a a a a +++−=++②M =a 2-2a －1，利用配方法求M 的最小值．解：22221212(1)2a a a a a −−=−+−=−−∵(a -b )2≥0，∴当a =1时，M 有最小值－2．请根据上述材料解决下列问题：（1）用配方法．．．因式分解：223x x +−． （2）若228M x x =−，求M 的最小值．（3）已知x 2+2y 2+z 2-2xy -2y -4z +5=0，求x +y +z 的值．【答案】（1）(3)(1)x x +−；（2）8−；（3）4．【分析】（1）根据配方法，配凑出一个完全平方公式，再利用公式法进行因式分解即可；（2）先利用配方法，配凑出一个完全平方公式，再根据偶次方的非负性求解即可；（3）先利用配方法进行因式分解，再利用偶次方的非负性求出x 、y 、z 的值，然后代入求解即可．【详解】（1）原式22344x x =+−+−2214x x =++−22(1)2x =+−[][](1)2(1)2x x =+++−(3)(1)x x =+−； （2）22282(4)x x x x −=−22(444)x x =−+−22(2)4x ⎡⎤=−−⎣⎦22(2)8x =−−2(2)0x −≥∴当2x =时，M 有最小值8−；（3）22222245x y z xy y z ++−−−+ 2222(2(21)()44)x xy y y y z z =−++−++−+222()(1)(2)x y y z =−+−+−222()(1)(20)x y y z −+−+−=01020x y y z −=⎧⎪∴−=⎨⎪−=⎩，解得112x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩则1124x y z ++=++=．【点睛】本题考查了利用配方法进行因式分解、偶次方的非负性等知识点，读懂题意，掌握配方法是解题关键．【压轴题型三 因式分解在有理数简算中的应用】1．计算22222111111111123456⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫−⨯−⨯−⨯−⨯− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值为（ ）． A ．512 B ．12 C ．712D ．1130 【答案】C【分析】原式各括号利用平方差公式变形，约分即可得到结果． 【详解】原式111111111111111111112233445566⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=−⨯+⨯−⨯+⨯−⨯+⨯−⨯+⨯−⨯+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，13243546572233445566=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯，1726=⨯， 712=，故选：C ．【点睛】本题考查的是平方差公式，掌握运算法则和平方差公式是解题关键．2．已知()()22113(21)a b ab ++=−，则1b a a ⎛⎫− ⎪⎝⎭的值是（ ） A ．0B ．1C ．-2D ．-1【答案】D 【分析】先对()()22113(21)a b ab ++=−进行变形，可以解出a ，b 的关系，然后在对1b a a ⎛⎫− ⎪⎝⎭进行因式分解即可．【详解】∵()()22113(21)a b ab ++=−，∴2222163a b a b ab +++=−，22222440a b ab a b ab +−+−+=，()()2220a b ab −+−=，∴a b =，2ab =， ∴1121b b a ab a a ⎛⎫−=−=−=− ⎪⎝⎭故选：D ．【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，在解题时要注意符号变换，同时掌握正确的运算是解答本题的关键．3．若2023a =，2022b =，则计算221122a b −的结果为 ． 【答案】2022.5【分析】先提公因式，再用平方差公式进行计算即可． 【详解】221122a b − 22112023202222=⨯−⨯()222023212022=−⨯1=(20232022)(20232022)2⨯+− 140452=⨯2022.5=．故答案为：2022.5．【点睛】本题主要考查了利用平方差公式因式分解进行简便运算，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 4．某同学自己设计了一个运算程序，任意输入一个三位数，如567，重复该数，得到567567，将该数除以7，然后除以质数a ，再除以质数b ，结果又得到了567，则a b += ．【答案】24【分析】根据题意可知567567÷7÷567=ab ，然后即可得到ab 的值，再将ab 的积分解为两个质数的积，即可得到a 、b 的值，然后作和即可．【详解】解：由题意可得，567567÷7÷567=ab ，解得ab=143，∵143=11×13，∴a=11，b=13或a=13，b=11，∴a+b=24，故答案为：24．【点睛】本题考查有理数的混合运算、质数与合数，解答本题的关键是明确题意，求出a 、b 的值． 5．整体思想是数学解题中常见的一种思想方法．下面是对多项式222(21)2)(a a a a ++++进行因式分解的解题思路：将“22a a +”看成一个整体，令22a a x +=，则原式22(2)121(1)x x x x x =++=++=+．再将“x ”还原为“22a a +”即可．解题过程如下：解：设22a a x +=，则原式()21x x =++（第一步）221x x =++（第二步）2(1)x =+（第三步）()2221a a +=+（第四步）． 问题：(1)①该同学完成因式分解了吗？如果没完成，请你直接写出最后的结果；②请你模仿以上方法尝试对多项式()()2244816a a a a −−++进行因式分解；(2)请你模仿以上方法尝试计算：(1232023)(232024)(1232024)(232023)−−−−⨯+++−−−−−⨯+++．【答案】(1)①该同学没有完成因式分解；最后的结果为4(1)a +；②4(2)a −(2)2024【分析】本题考查公式法分解因式，理解整体思想是解决问题的前提，掌握完全平方公式的结构特征和必要的恒等变形是正确解答的关键．（1）①根据因式分解的意义进行判断，再利用完全平方公式分解因式即可；②利用换元法进行因式分解即可；（2）设1232023a =−−−−，232024x =+++，则原式(2024)(2024)ax a x =−−−，整体代入计算即可．【详解】（1）①该同学没有完成因式分解；设22a a x +=，则原式()21x x =++（第一步）221x x =++（第二步）2(1)x =+（第三步）()2221a a +=+（第四步）22(1)a =+⎡⎤⎣⎦4(1)a =+．∴最后的结果为4(1)a +．②设24a a x −=， 原式(8)16x x =++2816x x =++．2()4x =+()2244a a =−+4()2a =−；（2）设1232023a =−−−−，232024x =+++， 则123202320242024,2320232024a x −−−−−=−+++=−， 120242025a x +=+=，原式(2024)(2024)ax a x =−−−22024()2024ax ax a x =−++−2202420252024=⨯−22024(20241)2024=⨯+−22202420242024=+−2024=．6．（1）若100799611A =⨯⨯，119951008B =⨯⨯，求A B −；（2）证明5799449999⨯+⨯−能被100整除．【答案】（1）132；（2）证明见解析【分析】（1）先提取公因数11，再把1007996⨯化成()()1001.5 5.51001.5 5.5+⨯−，把9951008⨯化成()()1001.5 6.51001.5 6.5+⨯−，进而利用平方差公式进行求解即可；（2）把原式提取公因式99，进而得579944999999100⨯+⨯−=⨯，由此即可证明结论．【详解】解：（1）∵100799611A =⨯⨯，119951008B =⨯⨯，∴A B −100799611119951008=⨯⨯−⨯⨯()()()()111001.5 5.51001.5 5.51001.5 6.51001.5 6.5=⨯+⨯−−+⨯−⎡⎤⎣⎦()()2222111001.5 5.51001.5 6.5⎡⎤=⨯−−+⎣⎦()()11 6.5 5.5 6.5 5.5=⨯+⨯−11121=⨯⨯132=； （2）5799449999⨯+⨯−()9957441=⨯+−99100=⨯，∵99100⨯能被100整除，∴5799449999⨯+⨯−能被100整除．【点睛】本题主要考查了因式分解在有理数简便计算中的应用，熟知因式分解的方法是解题的关键．7．阅读下列材料，解决问题：我们把一个能被17整除的自然数称为“节俭数”．“节俭数”的特征是：若把一个自然数的个位数字截去，再把剩下的数减去截去的那个个位数字的5倍，如果差是17的整数倍（包括0），则原数能被17整除，如果差太大或心算不易看出是否是17的倍数，就继续上述的“截尾，倍尾，差尾，验差”的过程，直到能方便判断为止．例如：判断1675282是不是“节俭数”，判断过程：16752825167518−⨯=，167518516711−⨯=，1671151666−⨯=，16665136−⨯=，到这里如果你仍然观察不出来，就继续136517−⨯=−，17−是17的整数倍，所以1675282能被17整除，所以1675282是“节俭数”．(1)请用上述方法判断7259和2098752是否是“节俭数”，并说明理由．(2)一个五位节俭数213ab ，其中千位上的数字为b ，万位上的数字为a ，且1b a =−，请利用上面方法求出这个数．【答案】(1)7259是“节俭数”； 2098752是“节俭数”(2)54213【分析】（1）模仿例题解决问题即可；（2）模仿例题采用 “截尾，倍尾，差尾，验差”的过程，解决问题即可；【详解】（1）72595680−⨯=，680568−⨯=，68174÷=，所以7259能被17整除，是“节俭数”；20987525209865−⨯=，209865520961−⨯=，2096152091−⨯=，20915204−⨯=，2041712÷=， 所以2098752能被17整除，是“节俭数”；（2）解：∴213506ab ab ⨯=−，300ab −能被17整除∴1b a =−，∴()1001013011040a a a +−−=−能被17整除∴19a ≤≤∴当1a =时，1104070−=，不能被17整除，当2a =时，22040180−=，不能被17整除，当3a =时，33040290−=，不能被17整除，当4a =时，44040400−=，不能被17整除，当5a =时，55040510−=，能被17整除，当6a =时，66040620−=，不能被17整除，当7a =时，77040730−=，不能被17整除，当8a =时，88040840−=，不能被17整除，当9a =时，99040950−=，不能被17整除，∴5a =，4b =∴这个数为54213．【点睛】本题考查了因式分解的应用，数的整除，理解题意，仿照例题的方法是解题的关键．8．观察下列等式，并回答有关问题：22123415(141)⨯⨯⨯+==⨯+222345111(251)⨯⨯⨯+==⨯+223456119(361.......)⨯⨯⨯+==⨯+(1)填空：56781⨯⨯⨯+=（________）2(2)若n 为正整数，猜想(1)(2)(3)1n n n n ++++因式分解的结果并说明理由；(3)利用（2）的结果比较991001011021⨯⨯⨯+与210100的大小．【答案】(1)41(2)22(1)(2)(3)1(31)n n n n n n ++++=++，理由见解析(3)991001011021⨯⨯⨯+210100<【分析】（1）根据式子的规律即可得出答案；（2）根据规律猜想出结果，用因式分解的方法证明即可；（3）应用（2）的结果化简即可得出答案．【详解】（1）根据规律得：256781(581)⨯⨯⨯+=⨯+，故答案为：581⨯+；（2）222(1)(2)(3)1[(3)1](31)n n n n n n n n ++++=++=++， 理由：(1)(2)(3)1n n n n ++++[(3)][(1)(2)]1n n n n =++++22(3)(32)1n n n n =++++222(3)2(3)1n n n n =++++22(31)n n =++；（3）991001011021⨯⨯⨯+22(993991)=+⨯+2(98012971)=++221009910100<=．【点睛】本题考查了规律型−数字的变化类，体现了整体思想，把23n n +看作整体是解题的关键．9．（1）因式分解：①2249a b −②221218x x −+（2）利用因式分解进行简便计算：221.2351 1.2349⨯−⨯【答案】（1）①()()2323a b a b +−；②()223x −；（2）246【分析】（1）①利用平方差公式进行因式分解；②先提取公因式2，再用完全平方公式进行因式分解；（2）先提取公因式1.23，再用平方差公式进行因式分解即可求值．【详解】解：（1）①()()22223934a a b b b a −=+−； ②()()2222121826923x x x x x −+=−+=−；（2）221.2351 1.2349⨯−⨯()2251.14923=⨯−()()1.2351495149=⨯+⨯− 1.231002=⨯⨯246=．【点睛】本题考查了因式分解及因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解决本题的关键．10．（1）按下表已填的完成表中的空白处代数式的值： 2()a b −222a ab b −+ 2a =，1b = 11a =−，3b = 462a =−，=5b −（2）比较两代数式计算结果，请写出你发现的2()a b −与222a ab b −+有什么关系？（3）利用你发现的结论，求：222021404220202020−⨯+的值．【答案】（1）见解析；（2）()2222a b a ab b −=−+；（3）1 【分析】（1）把每组,a b 的值分别代入2()a b −与222a ab b −+进行计算，再填表即可；（2）观察计算结果，再归纳出结论即可；（3）利用结论()2222a b a ab b −=−+可得2021,2020,a b == 再代入进行简便运算即可.【详解】解：（1）填表如下： 2()a b −222a ab b −+ 2a =，1b =1 1 1a =−，3b = 16 162a =−，=5b − 9 9（2）观察上表的计算结果归纳可得：()2222a b a ab b −=−+（3）222021404220202020−⨯+ =2220212202120202020−⨯⨯+=()220212020−=1【点睛】本题考查的是代数式的求值，运算规律的探究，完全平方公式的应用，熟练的利用完全平方公式进行简便运算是解本题的关键.【压轴题型四 十字相乘法】1．已知甲、乙、丙均为x 的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数．若甲与乙相乘的积为29x −，乙与丙相乘的积为26x x +−，则甲与丙相减的结果是( ) A ．5− B ．5 C ．1 D ．1−【答案】D【分析】此题考查了十字相乘法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．把题中的积分解因式后，确定出各自的整式，相减即可．【详解】解：∵甲与乙相乘的积为29(3)(3)x x x −=+−，乙与丙相乘的积为()262(3)x x x x +−=−+，甲、乙、丙均为x 的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数， ∴甲为3x −，乙为3x +，丙为2x -， 则甲与丙相减的差为：()(3)21x x −−−=−；故选：D2．如果多项式432237x x ax x b −+++能被22x x +−整除，那么:a b 的值是（ ） A ． 2− B ． 3−C ．3D ．6【答案】A 【分析】由于()()2221+−=+−x x x x ，而多项式432237x x ax x b −+++能被22x x +−整除，则432237x x ax x b −+++能被()()21x x +−整除．运用待定系数法，可设商是A ，则()()43223721x x ax x b A x x −+++=+−，则2x =−和1x =时，4322370x x ax x b −+++=，分别代入，得到关于a 、b 的二元一次方程组，解此方程组，求出a 、b 的值，进而得到:a b 的值. 【详解】解：∵()()2221+−=+−x x x x ，∴432237x x ax x b −+++能被()()21x x +−整除，设商是A ． 则()()43223721x x ax x b A x x −+++=+−，则2x =−和1x =时，右边都等于0，所以左边也等于0．当2x =−时，43223732244144420x x ax x b a b a b −+++=++−+=++= ①当1x =时，43223723760x x ax x b a b a b −+++=−+++=++= ②−①②，得3360a +=，∴12a =−， ∴66b a =−−=． ∴:12:62a b =−=−， 故选：A ．【点睛】本题主要考查了待定系数法在因式分解中的应用．在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程（或方程组），解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法．本题关键是能够通过分析得出2x =−和1x =时，原多项式的值均为0，从而求出a 、b 的值．本题属于竞赛题型，有一定难度．3．已知()()20192016100x x −−+=，则40352x −的值为 ． 【答案】7±【分析】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是熟练掌握用十字相乘法进行因式分解，将()()20192016100x x −−+=变形后再因式分解为()()20165201620x x −−−+=，求出x 的值，再代入求值即可． 【详解】解：()()20192016100x x −−+=，()()2019201610x x −−=−， ()()2019201610x x −−=， ()()20163201610x x −−−=，()()2201632016100x x −−−−=，()()20165201620x x −−−+=， ()()202120140x x −−=，解得：2021x =或2014x =，当2021x =时，原式4035220217=−⨯=−， 当2014x =时，原式4035220147=−⨯=， 故答案为：7±4．有甲、乙、丙三种纸片若干张（数据如图，a b >）．（1）若用这三种纸片紧密拼接成一个边长为()2a b +大正方形，则需要取乙纸片 张，丙纸片 张． （2）若取甲纸片1张，乙纸片3张，丙纸片2张紧密拼成一个长方形，则这个长方形的长为 ，宽为 ．【答案】 4 1()2a b +/()2b a + ()a b +/()b a + 【分析】（1）根据正方形的面积得出()222244a b a ab b +=++，即可求解；（2）根据题意长方形的面积为()()22322a ab b a b a b ++=++，结合题意，即可求解．【详解】解：（1）∵()222244a b a ab b +=++∴需要取乙纸片4张，丙纸片1张 故答案为：4，1． （2）依题意，()()22322a ab b a b a b ++=++，∴这个长方形的长为()2a b +，宽为()a b +，故答案为：()2a b +，()a b +．【点睛】本题考查了完全平方公式与图形面积，因式分解的应用，数形结合是解题的关键． 5．根据以下素材，完成下列任务：素材1在因式分解习题课上，赵老师“随便”写了几个整系数二次三项式，让同学们因式分解，结果小王发现同学们都能在有理数范围内分解，小王也想试一试，就随便写了两个二次三项式∶243x x ++，2414x x −−让同学们因式分解，结果发现有一个不能因式分解，这到底为什么呢？。
北师大版八年级下册因式分解(分组分解法)100题及答案
北师大版八年级下册因式分解(分组分解法)100题及答案(1)2232422122a b ab bc ca+-+-(2)2254491054236a b ab bc ca++++ (3)144144mx my nx ny-+-(4)2256716249a c ab bc ca-+-+ (5)224255025a b b---(6)22781863x y xy yz zx+-+-(7)22324142418a b ab bc ca-++-(8)22366424163x y x y-+-+(9)22487850a c ab bc ca-++-(10)36403640ab a b--+(11)90502715mn m n-+-(12)223635121012x y xy yz zx--++ (13)2128912ab a b+++(14)229129256a c ab bc ca+--+ (15)40401010mn m n-+-(16)813694xy x y-++-(17)2293025a b a -+-(18)39618ab a b --+(19)228116364832a b a b -+--(20)22491070m n m n---(21)18168172xy x y --+(22)2236493612672a b a b --+-(23)30103010mn m n +--(24)751410xy x y -+-(25)422ax ay bx by --+(26)2254463730x z xy yz zx----(27)228114416x y x y--+(28)9090100100ax ay bx by-+-(29)222148621x y xy yz zx-+-+(30)1262010ab a b -+-(31)2754918ab a b +--(32)306306ax ay bx by-+-(33)351573xy x y --++(34)70604236ax ay bx by+--(35)226321453522x z xy yz zx---+ (36)27181812xy x y--++(37)2727mn m n+++(38)2887020xy x y-+-(39)222536701248x y x y--++ (40)49283520xy x y--+(41)226464161a b a---(42)225642615a c ab bc ca++++ (43)12101210mx my nx ny+--(44)22842103520x y xy yz zx-+-+ (45)2262525306a b ab bc ca-+++ (46)35301412ax ay bx by+++ (47)1236618ax ay bx by+--(48)22725543049a c ab bc ca+-+-(49)22493611210817m n m n-+--(50)202456xy x y+--(51)22151682015x y xy yz zx-+--(52)22010xy x y----(53)224218288a b ab bc ca ---+(54)22924361658a c ab bc ca ++++(55)22216569a b ab bc ca --+-(56)56424836mx my nx ny -+-(57)2790620mn m n +++(58)2221227x y xy yz zx-++-(59)2249542749x y xy yz zx+--+(60)2291667280m n m n ----(61)1010ax ay bx by--+(62)2215286841x z xy yz zx+--+(63)223014474236x y xy yz zx+--+(64)2281141848m n m n --++(65)70359045mx my nx ny-+-(66)2242648749a b ab bc ca+-+-(67)224512201651a c ab bc ca++--(68)624520mx my nx ny-+-(69)224512481025x y xy yz zx++++(70)2264961011a b a b ---+(71)221825102535x z xy yz zx-+++ (72)61437ab a b--+(73)221035392820a b ab bc ca+--+ (74)226491284215x y x y-+++ (75)222148828x y xy yz zx-+-+ (76)9218ax ay bx by-+-(77)814595xy x y-++-(78)2215201353x y xy yz zx---+ (79)221810273542x y xy yz zx++++(80)12182436mx my nx ny+--(81)22259904232x y x y---+ (82)224727728a b ab bc ca-++-(83)9327xy x y+--(84)24323648xy x y+--(85)1292418mx my nx ny+++ (86)3232xy x y-+-+(87)22628132015x y xy yz zx----(88)729729mx my nx ny+--(89)22496470649m n m n --++(90)22161449m n m -+-(91)36892xy x y -+-+(92)2256425432a b ab bc ca----(93)2264112445a b a b --++(94)223693025m n n ---(95)2231084x y xy yz zx---+(96)222130573549a b ab bc ca+-+-(97)221524265x y xy yz zx--++(98)4242mx my nx ny+++(99)2281161621677x y x y -+++(100)2040816mn m n +--北师大版八年级下册因式分解(分组分解法)100题答案(1)(342)(6)a b c a b---(2)(67)(976)a b a b c+++ (3)2()(72)m n x y+-(4)(8)(727)a c ab c-++(5)(255)(255)a b a b++--(6)(743)(2)x y z x y---(7)(66)(34)a b c a b+--(8)(683)(681)x y x y++-+(9)(8)(67)a c ab c++-(10)4(1)(910)a b--(11)(103)(95)m n+-(12)(65)(672)x y x y z+-+(13)(73)(34)a b++(14)(92)(6)a c ab c+-+ (15)10(41)(1)m n+-(16)(91)(94)x y---(17)(35)(35)a b a b++-+(18)3(2)(3)a b--(19)(948)(944)a b a b++--(20)(7)(710)m n m n+--(21)(29)(98)x y--(22)(6712)(676)a b a b+--+ (23)10(1)(31)m n-+(24)(2)(75)x y+-(25)(2)(2)a b x y--(26)(674)(9)x y z x z--+ (27)(916)(9)x y x y+--(28)10(910)()a b x y+-(29)(72)(323)x y x y z-++(30)2(35)(21)a b+-(31)9(31)(2)a b-+(32)6()(5)a b x y+-(33)(51)(73)x y--+(34)2(53)(76)a b x y-+ (35)(753)(97)x y z x z--+ (36)3(32)(32)x y--+ (37)(1)(27)m n++(38)2(25)(72)x y+-(39)(568)(566)x y x y+---(40)(75)(74)x y--(41)(881)(881)a b a b+---(42)(7)(86)a c ab c+++ (43)2()(65)m n x y-+(44)(47)(265)x y x y z-++(45)(5)(656)a b a b c+-+(46)(52)(76)a b x y++(47)6(2)(3)a b x y-+(48)(86)(95)a b c a c---(49)(7617)(761)m n m n++--(50)(41)(56)x y-+(51)(34)(545)x y x y z+--(52)(10)(21)x y-++(53)(234)(27)a b c a b++-(54)(94)(46)a c ab c+++(55)(32)(733)a b a b c-+-(56)2(76)(43)m n x y+-(57)(92)(310)m n++(58)(3)(72)x y z x y+--(59)(7)(757)x y x y z--+ (60)(348)(3410)m n m n++--(61)(10)()a b x y--(62)(527)(34)x y z x z-++ (63)(526)(67)x y z x y-+-(64)(98)(96)m n m n+---(65)5(79)(2)m n x y+-(66)(667)(7)a b c a b---(67)(54)(943)a c ab c-+-(68)(65)(4)m n x y+-(69)(52)(965)x y x y z+++(70)(81)(811)a b a b+---(71)(25)(955)x z x y z++-(72)(21)(37)a b--(73)(57)(254)a b a b c--+ (74)(831)(8315)x y x y++-+ (75)(324)(72)x y z x y++-(76)(2)(9)a b x y+-(77)(91)(95)x y---(78)(54)(35)x y z x y++-(79)(327)(65)x y z x y+++ (80)6(2)(23)m n x y-+ (81)(532)(5316)x y x y+---(82)(4)(77)a b a b c-+-(83)(3)(9)x y-+(84)4(23)(34)x y-+ (85)3(2)(43)m n x y++ (86)(1)(32)x y-+-(87)(34)(275)x y x y z+--(88)9()(8)m n x y-+(89)(789)(781)m n m n+---(90)(47)(47)m n m n++-+ (91)(41)(92)x y-+-(92)(8)(744)a b a b c+--(93)(89)(85)a b a b+---(94)(635)(635)m n m n++--(95)(354)(2)x y z x y++-(96)(367)(75)a b c a b---(97)(56)(34)x y x y z+-+ (98)2()(2)m n x y++(99)(947)(9411)x y x y++-+ (100)4(52)(2)m n-+。
初中数学因式分解50题专题训练含答案
初中数学因式分解50题专题训练含答案学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题1．分解因式（1）()()22-1-41-m m m （2）()()23812a a b b a ---2．把下列各式分解因式：（1）22344x y xy y -+；（2）41x -．3．因式分解（1） 322m -8mn（2）a （a+4）+44．因式分解：（1）x 2﹣9（2）4y 2+16y+165．分解因式：（1）22242x xy y -+ （2）()()2m m n n m -+-6．把下列各式因式分解：（1）216y -（2）32232a b a b ab -+7．计算（1）)10122-⎛⎫-- ⎪⎝⎭（2）分解因式：()222224a b a b +-8．分解因式：(1) 3x x -(2) 2363x y xy y -+9．把下列各式分解因式：（1）2221218a ab b -+； （2）222(2)(12)x y y ---．10．因式分解：（1）()()35a x y b y x --- （2）32231025ab a b a b -+11．把下列各式进行因式分解（1）22818x y - （2）322a b a b ab -+12．因式分解：(1) 33a b ab -； (2) 44-b a13．因式分解：(1)3m 2n-12mn+12n ； (2)a 2(x-y)+9(y-x)14．分解因式：（1）269y y -+（2）228x -15．因式分解（1）4a 2-25b 2（2）-3x 3y 2+6x 2y 3-3xy 416．把下面各式分解因式：（1）x 2﹣4xy +4y 2；（2）3a 3﹣27a ．17．将下列各式因式分解：（1）x 3﹣x ；（2）x 4﹣8x 2y 2+16y 4．18．分解因式：（1）ax 2﹣9a ； （2）4ab 2﹣4a 2b ﹣b 3．19．因式分解：（1）ax 2-9a ；（2）(y+2)(y+4)+1．20．分解因式：（1）()()22x x y y y x -+-（2）324812x x x -++21．因式分解：(1)()()323x x x --- ；(2)3231827a a a -+-22．因式分解：（1）m 2（x +y ）﹣n 2（x +y ）；（2）x 4﹣2x 2+1．23．因式分解（1）2(2)(2)m a m a -+- （2）()222224a b a b +-24．（1）分解因式：22344a b ab b -+（2）解方程：1224x x x x -=--25．因式分解：(1)9x 2﹣1 (2)3a 2﹣18a+27．参考答案1．（1）（m －1）（m －2）2；（2） 4（a －b ）2（5a －3b ）【解析】【分析】（1）先提公因式，再用完全平方公式；（2）提公因式法分解因式．【详解】解：（1）原式()()2=-1-44m m m + ()()2=-1-2m m ；（2）原式()()22-343a b a a b -+= ()()245-3a b a b =-．【点睛】本题考查因式分解的方法，熟练掌握提公因式法和完全平方公式是关键．．2．（1）2(2)y x y -；（2）2(1)(1)(1)x x x ++-．【解析】【分析】（1）先提公因式，然后了利用完全平方公式进行因式分解，解题得到答案．（2）利用平方差公式进行因式分解，即可得到答案．【详解】解：（1）原式=22(44)y x xy y -+=2(2)y x y -； （2）原式=22(1)(1)x x +-=2(1)(1)(1)x x x ++-．【点睛】本题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握提公因式法、公式法进行因式分解． 3．（1）2m （m+2n ）（m-2n ）；()22a +．【解析】【分析】本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
八年级数学因式分解练习题及答案
基础巩固一、选择题1、下列从左到右的变形中，属于因式分解的是( )A 、()()2224x x x +-=-B 、()2222a ab b a b -+=- C 、()22333x x x x -=- D 、21234a b a ab =2、多项式3222315520m n m n m n +-的公因式是( )A 、5mnB 、225m nC 、25m nD 、25mn3、在下列多项式中，能用平方差公式分解因式的是( )A 、2216x y +B 、43x y -C 、22949x y -+D 、21x +4、下列各式中不是完全平方式的是( )A 、21664m m -+B 、2242025m mn n ++C 、2224m n mn -+D 、221124964mn m n ++5、已知多项式c bx x ++22分解因式为)1)(3(2+-x x ，则c b ,的值为（ ） A 、6,4-=-=c b ； B 、2,6=-=c b ； C 、4,6-=-=c b ； D 、1,3-==c b二、填空题6、分解因式x （2－x ）+6（x －2）=__________。
7、如果2925x kx ++是一个完全平方式，那么k 的值是___________。
8．计算93－92－8×92的结果是__________。
9．如果a ＋b ＝10，ab ＝21，则a 2b ＋ab 2的值为_________。
三、解答题10、分解因式(1)8a 2-2b 2 (2)4xy 2-4x 2y-y 311、已知12x x -=，求221x x +的值。
12、32000－4×31999＋10×31998能被7整除吗？试说明理由。
能力提升一、选择题1、在下列多项式：①249m -+ ②2294m n - ③24129m m ++④2296m mn n -+中，有一个相同因式的多项式是( )A 、①和②B 、①和④C 、①和③D 、②和④2、已知(19x -31)(13x -17)-(13x -17)(11x -23)可因式分解成(ax +b )(8x +c )，其中a 、b 、c 均为整数，则a +b +c =？A 、-12B 、-32C 、38D 、723、若16)3(22+-+x m x 是完全平方式，则m 的值应为( )A 、7B 、-1C 、-7或1D 、7或-14、可整除3n n -的最大的数是（n 是整数） （ ）A 、2B 、4C 、6D 、85、已知=+b a 10，22b a +＝80，则ab 等于（ ）A 、20B 、10C 、20D 、－10二、填空题6、分解因式2221a b b ---= ．7、若整式142++Q x 是完全平方式，请你写一个满足条件的单项式Q 是 。
八年级因式分解经典题型
八年级因式分解经典题型一、因式分解的概念与方法回顾。
1. 因式分解的定义。
把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
2. 因式分解的方法。
- 提公因式法：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。
例如：ma + mb+mc=m(a + b + c)。
- 公式法。
- 平方差公式：a^2-b^2=(a + b)(a - b)。
- 完全平方公式：a^2±2ab + b^2=(a± b)^2。
二、经典题型及解析。
1. 分解因式x^3-2x^2+x- 解析：首先观察多项式各项都有公因式x，先提取公因式x，得到x(x^2-2x + 1)。
然后对括号内的式子x^2-2x + 1，可以发现它是一个完全平方形式，即(x -1)^2。
所以原式分解因式的结果为x(x - 1)^2。
2. 分解因式9x^2-16y^2- 解析：这个式子符合平方差公式a^2-b^2的形式，其中a = 3x，b=4y。
根据平方差公式可得(3x + 4y)(3x-4y)。
3. 分解因式4x^2+12xy+9y^2- 解析：观察式子，它符合完全平方公式a^2+2ab + b^2的形式，这里a =2x，b = 3y。
所以原式分解因式的结果为(2x+3y)^2。
4. 分解因式x^4-1- 解析：可先利用平方差公式a^2-b^2=(a + b)(a - b)，这里a=x^2，b = 1，得到(x^2+1)(x^2-1)。
而x^2-1还可以继续利用平方差公式分解为(x + 1)(x - 1)，所以最终结果为(x^2+1)(x + 1)(x - 1)。
5. 分解因式2x^2-8- 解析：先提取公因式2，得到2(x^2-4)，然后x^2-4可以利用平方差公式分解为(x + 2)(x - 2)，所以原式分解因式的结果为2(x + 2)(x - 2)。
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初二数学下册因式分解训练题型
一．选择题（共12小题）
1．下列由左边到右边的变形是因式分解的是（）
A．（a+3）（a﹣3）=a2﹣9 B．m2﹣4=（m+2）（m﹣2）C．m2﹣b2+1=（a+b）（a﹣b）+1
D．2πR+2πr+2=2π（R+r）
2．下列各式不能用平方差公式分解因式的是（）
A．﹣x2+y2B．x2﹣（﹣y）2C．﹣m2﹣n2 D．
3．下列等式中，从左到右的变形为分解因式的是（）
A．12a2b=3a2•4b B．（x+1）（x﹣1）=x2﹣1 C．x2﹣2x﹣1=x（x﹣2）﹣1 D．bR+br=b（R+r）
4．下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的为（）
A．a（x+y）=ax+ay B．x2﹣4x+4=x（x﹣4）+4 C．10x2﹣5x=5x（2x﹣1） D．x2﹣16+3x=（x﹣4）（x+4）+3x 5．下面式子从左边到右边的变形是因式分解的是（）
A．x2﹣x﹣2=x（x﹣1）﹣2 B．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2C．x2﹣4=（x+2）（x﹣2） D．x﹣1=x（1﹣）
6．（3a﹣y）（3a+y）是下列哪一个多项式因式分解的结果（）
A．9a2+y2B．﹣9a2+y2C．9a2﹣y2D．﹣9a2﹣y2
7．若x2+6x+k是完全平方式，则k=（）A．9 B．﹣9 C．±9 D．±3
8．已知4x2+4mx+36是完全平方式，则m的值为（）A．2 B．±2 C．﹣6 D．±6
9．如果x2+mx+16是一个完全平方式，那么m的值为（）A．8 B．﹣8 C．±8 D．不能确定10．若9x2+mxy+16y2是一个完全平方式，则m的值为（）A．24 B．﹣12 C．±12 D．±24
11．若4x2+mxy+9y2是一个完全平方式，则m=（）A．6 B．12 C．±6 D．±12
12．如果x2+mx+9是一个完全平方式，则m的值为（）A．3 B．6 C．±3 D．±6
二．解答题（共16小题）
13．将下列各式分解因式
（1）3p2﹣6pq （2）2x2+8x+8
14．将下列各式分解因式
（1）x3y﹣xy （2）3a3﹣6a2b+3ab2．
15．分解因式
（1）a2（x﹣y）+16（y﹣x）（2）（x2+y2）2﹣4x2y2
16．分解因式：
（1）2x2﹣x （2）16x2﹣1 （3）6xy2﹣9x2y﹣y3 （4）4+12（x﹣y）+9（x﹣y）2
17．因式分解：
（1）2am2﹣8a （2）4x3+4x2y+xy2
18．将下列各式分解因式：
（1）3x﹣12x3（2）（x2+y2）2﹣4x2y2
19．因式分解：（1）x2y﹣2xy2+y3 （2）（x+2y）2﹣y2
20．因式分解：
（1）2x3﹣4x2y3+6x2y2 （2）3a2﹣27 （3）（x+2y﹣z）2﹣（x﹣2y+z）2 （4）﹣4a2x2+8ax﹣4
21．把下列各式分解因式：
（1）3a（x﹣y）﹣5b（y﹣x）（2）a4﹣1 （3）﹣b3+4ab2﹣4a2b．
22．对下列代数式分解因式：
（1）n2（m﹣2）﹣n（2﹣m）（2）（x﹣1）（x﹣3）+1
23．分解因式：
（1）x2（x﹣y）+（y﹣x）（2）4（a+b）2﹣（2a﹣3b）2
24．分解因式：a2﹣4a+4﹣b225．分解因式：a2﹣b2﹣2a+1
26．分解因式：
（1）﹣4+x2（2）﹣4x2y+4xy2﹣y3（3）9（a﹣b）2﹣4（a+b）2（4）3a2+bc﹣3ac﹣ab
27．把下列各式分解因式：
（1）x4﹣7x2+1 （2）x4+x2+2ax+1﹣a2
（3）（1+y）2﹣2x2（1﹣y2）+x4（1﹣y）2（4）x4+2x3+3x2+2x+1
28．把下列各式分解因式：
（1）4x3﹣31x+15；（2）2a2b2+2a2c2+2b2c2﹣a4﹣b4﹣c4；（3）x5+x+1；
（4）x3+5x2+3x﹣9 （5）2a4﹣a3﹣6a2﹣a+2．。