第二节 常数项级数的审敛法

un1 则 1时级数收敛; 1（或 n un ）时， lim
级数发散; 1时级数可能收敛也可能发散.
2013-1-1 第十二章 无穷级数
11
比值审敛法的优点: 不必找参考级数.
两点注意:
（1） 1时， 当 比值审敛法失效;
1 例 级数 发散, n 1 n
则级数收敛，且其和
的绝对值 rn un1 .
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s u1 , 其余项 rn
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第十二章 无穷级数
证明
un1 un 0,
s2n (u1 u2 ) (u3 u4 ) (u2n1 u2n )
数列 S 2n 是单调增加的，
又 s2n u1 (u2 u3 ) (u2n2 u2n1 ) u2n u1 数列 S 2n 是有界的，
lim a2 n
n
1 , 6
lim a2 n1
n
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3 , 2
un1 lim lim an 不存在. n u n n
第十二章 无穷级数
13
例 4 判别下列级数的收敛性:
1 (1) ; n 1 n!
解

n! 1 (2) n ; (3) . n 1 10 n 1 ( 2n 1) 2n 1 un1 ( n 1)! 1 (1) 0 ( n ), 1 un n1 n! 1 故级数 收敛. n 1 n!
4
推论 设
u 和 v 都是正项级数，如果级数
n 1 n


v
n 1

n 1
n
n 收敛，且存在自然数N,使得当
nN
时有 u
n
kvn k 0
成立，则级数
收敛；如果级数
v
n 1

u
n 1


n
n
发散，且当
nN
时有 u
发散.
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n kvn k 0 成立，则级数
第十二章 无穷级数
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2013-1-1
思考题
设正项级数 un 收敛, 能否推得 un 收敛?
2 n 1 n 1
反之是否成立?
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第十二章 无穷级数
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思考题解答
由正项级数 un 收敛，可以推得 un 收敛,
2 n1 n1
第二节
常数项级数的审敛法
一、正项级数及其审敛法 二、交错级数及其审敛法 三、绝对收敛与条件收敛
(Test for Convergence of the Constant Series)
四、小结常数项级数的审敛法
2013-1-1 第十二章 无穷级数
1
一、正项级数及其审敛法
1.定义: 如果级数 un中各项均有un 0，

解
sin n 2 收敛, n n1
故由定理8知,原级数收敛.
2013-1-1 第十二章 无穷级数
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四、小结常数项级数的审敛法
正 项 级 数
1.若 Sn S , 则级数收敛 ;
任意项级数
审
敛 法
2.当 n , un 0, 则级数发散 ;
3.按收敛级数的基本性质; 4.充要条件（定理1） 4.绝对收敛（定理8） 5.比较审敛法（定理2） 5.交错级数 6.比值审敛法（定理4） (莱布尼茨定理) 7.根值审敛法（定理5）
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第十二章 无穷级数
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二、交错级数及其审敛法
1.定义: 正、负项相间的级数称为交错级数.
( ( 1)n1un或 ( 1)n un 其中un 0)
n 1 n 1


2.定理7(莱布尼茨定理)
如果交错级数
1
n 1

n 1
un 满足条件
n
(1)un un1 n 1, 2, ; (2) lim un 0,
n

lim n un ，,
1 时级数收敛； 1（或 limn un ） 则 n 时级数发散; 1时级数可能收敛也可能发散.
1 例如, 设级数 n , n1 n

1 1 un n n 0 ( n ) 级数收敛. n n
n

x 故函数 f x 单调递减. un x 1
un1 ,
n 0. 又 lim un lim n n n 1
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原级数收敛.
22
三、绝对收敛与条件收敛
1.定义:
正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.
定义:若 un 收敛, 则称 un 为绝对收敛;
n 1
即部分和数列有界
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un收敛. n 1
3

第十二章 无穷级数
(2) 设 sn (n ) 且 un vn ,
则 n sn

不是有界数列
定理证毕.
vn发散. n 1

比较审敛法的缺点: 必须有参考级数.
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第十二章 无穷级数


且 u n vn n 1, 2, ，若 收敛；反之，若
u
n 1


v
n 1

n
收敛，则
n 1 n
u
n 1

n
n
发散，则
v
发散.
证明 (1) 设 vn un vn ,
且 sn u1 u2 un v1 v2 vn ,
常用的参考级数:几何级数,p级数, 调和级数.
2013-1-1 第十二章 无穷级数
7
例 2 证明级数
证明

n 1

1 是发散的. n( n 1)
1 1 , n( n 1) n 1
1 而 级 数 发 散, n 1 n 1

由比较审敛法知， 级数
n 1

1 发散. n(n 1)
un 收敛.
n 1

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第十二章 无穷级数
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练习：判别下列级数的收敛性.
1 x 2
n n 1



n 1
n1 5 1 3 n 2n n 1

n
n n n 1 8 n 4 1 9 n1 n 1
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n 1
n1
n
n1
第十二章 无穷级数
9
例 3 判定下列级数的敛散性:
1 sin 解 (1) lim n sin 1 lim n 1, 原级数发散. n n n 1 n 1 3 n n lim 1 1, ( 2) lim n n n 1 1 n n 3 3
1 (1) sin ; n n 1

1 (2) n . n 1 3 n

1 n收敛 , 故原级数收敛. n 1 3 2013-1-1 第十二章 无穷级数
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定理4(比值审敛法,达朗贝尔(D’Alembert)判别法)
设
un 是正项级数,如果 n 1
un1 lim , n u n
rn un1 un 2 ,
满足收敛的两个条件,
rn un1 .
定理证毕.
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第十二章 无穷级数
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( 1) n 例 5 判别级数 的收敛性. n1 n 2 x 解 设 f x x 2 x 1 x (1 x) 0 ( x 2) f x ( ) 2 x 1 2 x ( x 1)

级数
n 1n ( Nhomakorabea 1) 1 收敛, 2
第十二章 无穷级数
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（2）条件是充分的,而非必要.
2 ( 1) 3 例 un n vn , n 2 2
n
2 ( 1)n 级数 un 收敛, n 2 n 1 n 1


un1 2 ( 1)n1 但 an , n un 2( 2 ( 1) )
这种级数称为正项级数.
n 1
2.正项级数收敛的充要条件:
s1 s2 sn
部分和数列 { sn } 为单调增加数列. 3.定理1 正项级数收敛
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部分和数列sn有界．
第十二章 无穷级数
2
定理2(比较审敛法) 设 un和 vn均为正项级数，
n 1 n 1
又 un ( 2v n un ), un 收敛.
n 1 n 1
n 1



n 1
定理8的作用： 任意项级数
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正项级数
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例6
sin n 判别级数 的收敛性. 2 n 1 n
sin n 1 1 2 2 , 而 2 收敛, n1 n n n
y 1 ( p 1) xp
1
2 3 4
6
x
图12-2-1
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第十二章 无穷级数
1 1
n
dx 1 1 1 (1 p1 ) 1 p 1 x p1 n p1
即sn 有界, 则p级数收敛 .
因此， 级数当 1时收敛，当 1时发散 p p p .
n 1
n 1


若 un 发散,而 un 收敛, 则称 un 为条件收敛.
n 1 n 1 n 1



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第十二章 无穷级数
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2.定理8 证明
若
u
n 1

n
收敛，则
u
n 1

n
收敛.
1 令 vn ( un un ) ( n 1,2,), 2 显然 vn 0,且 vn un , 故 由 比 较 审 敛 法 知 vn收 敛,
u
n 1
n
第十二章 无穷级数
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例 1 讨论 p 级数
n dx 1 设 p 1, 由图可知 n p n1 x p 1 1 1 sn 1 p p p 2 3 n 2 dx n dx 1 1 p n1 p o x x
1 1 1 1 1 p p p p 的收敛性( p 0) . 2 3 4 n 1 1 . 解 设 p 1, p , 则p级数发散 n n y
8
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第十二章 无穷级数
定理3(比较审敛法的极限形式)
设
u n 与 1 v n 都是正项级数 n
n 1
n 1


,
un l 0 l , (1)如果 lim n v n 且 v n 收敛,则 un 收敛；
un un (2) 如果 lim l 0 或 lim , n v n v n n 且 v 发散,则 u n 发散.
第十二章 无穷级数
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un1 ( n 1)! 10 n n 1 ( 2) ( n ), n 1 un n! 10 10 n! 故级数 n 发散. n1 10 un1 ( 2n 1) 2n lim 1, ( 3) lim n u n ( 2n 1) ( 2n 2) n
lim s2 n s u1 .
n
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lim u2 n1 0,
n
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第十二章 无穷级数
lim s2 n1 lim( s2 n u2 n1 ) s,
n n
级数收敛于和s, 且s u1 .
余项 rn (un1 un 2 ),
1 1 1 2 , 级数 2 收敛, ( 2n 1) 2n n n 1 n 1 故级数 收敛. n1 2n ( 2n 1)
第十二章 无穷级数
比值审敛法失效, 改用比较审敛法
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定理5（根值审敛法，柯西判别法）
设
un 是正项级数,如果 n 1
n
2013-1-1 第十二章 无穷级数
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定理6(极限审敛法)
设
un 是正项级数
n 1
n

(1)如果 lim nun l 0 或 lim nun , n 则级数
un 发散； n 1
n

(2)如果 p 1,而 lim n p u l 0 l n , 则