贵州省遵义航天高级中学2019年新高一入学分班考试数学试题-含解析

贵州省遵义航天高级中学2019年新高一入学分班考试数学试题及解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．－3的倒数是（）A．3B．－3 C．31D．31-【答案】D【解析】试题分析：由倒数的定义可得3-的倒数是31-,故应选D.考点：倒数的概念.2．下列运算中，正确的是（）A．523xxx=⋅B．32xxx=+C．xxx=÷232D．2)2(33xx=【答案】A考点：指数运算的法则及运用.3．下列图形是几家电信公司的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）【答案】C【解析】试题分析：由轴对称图形和中心对称图形的性质可知既是轴对称图形也是中心对称图形,故应选C.考点：中心对称图形和轴对称图形的概念.4．中央电视台有一个非常受欢迎的娱乐节目：墙来了！选手需按墙上的空洞造型摆出相同姿势，才能穿墙而过，否则会被墙推入水池．类似地，有一个几何体恰好无缝隙地以三个不同形状的“姿势”穿过“墙”上的三个空洞，则该几何体为（）A B C DA ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】试题分析：由题设中的要求可知几何体具备题设要求,所以应选A. 考点：几何体的特征. 5．不等式组⎩⎨⎧≤+<-5148x x x 的解集是（ ）A ．5≤xB ．53≤<-xC ．53≤<xD ．3-<x 【答案】B考点：一元一次不等式(组)的解法.6．为灾区儿童献爱心活动中，某校26个班级捐款数统计如下表,则捐款数众数是（ ）捐款数/元 350 360 370 380 390 400 410 班级个数/个3169421A ．370元B ．380元C ．390元D ．410元 【答案】B 【解析】试题分析：依据众数的定义可知380是众数,故应选B. 考点：众数的定义.7．已知一次函数2-=x y ，当函数值0>y 时，自变量x 的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）A BCD【答案】B 【解析】试题分析：因0>y ,则02>-x ,即2>x ,故应选B. 考点：一次函数的图象与不等式的关系.0 0 28．如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 为圆上两点，∠AOC =130°，则∠D 等于（ ）A ．25°B ．30°C ．35°D ．50°【答案】A考点：同弧所对圆周心角等于圆周角的一半.【易错点晴】圆是初中平面几何中的最完美的几何图形之一,由于圆内的圆周角和圆心角之间有着许多重要性质,且在解题中有着重要的作用.因此成为中考和各级各类考试的重要内容与考点.解答本题时要充分利用题设中提供的图形信息,先利用平角的定义求得050130180=-=∠BOC ,再利用同弧所对圆周角是同弧所对圆心角的一半这一性质和结论求得00255021=⨯=∠BDC ,从而使得本题获解. 9．如图所示，在矩形ABCD 中，AB =2，BC =2，对角线AC 、BD 相交于点O ，过点O 作OE 垂直AC 交AD 于点E ，则AE 的长是（ ） A ．3B ．2C ．1D ．23【答案】D 【解析】试题分析：因ADC AOE ∆∆~,则AD AO AC AE =,故232126=⨯=⋅=AD AO AC AE ,应选D. 考点：相似三角形的性质及运用.【易错点晴】相似三角形是初中平面几何中的知识点之一,由于许多重要性质在解题中有着重要的作用.因此成为中考和各级各类考试的重要内容与考点.解答本题时要充分利用题设中提供的有关信息,判定出ADC AOE ∆∆~,然后运用相似三角形的对边成比例建立方程AD AO AC AE =,求得232126=⨯=⋅=AD AO AC AE ,从而使得问题获解. 10．如图，在□ABCD 中，E 为CD 上一点，连接AE 、BD ，且AE 、BD 交于点F ，S △DEF ：S △ABF =4：25，则DE：EC的值为（）A．2:5B．2:3C．3:5D．3:2【答案】B考点：相似三角形的性质及运用.【易错点晴】相似三角形是初中平面几何中的知识点之一,由于许多重要性质在解题中有着重要的作用.因此成为中考和各级各类考试的重要内容与考点.解答本题时要充分利用题设中提供的有关信息,运用相似三角形的判定定理判定出BAFDEF∆∆~,然后运用相似三角形的对边成比例建立方程52=ABDE,进而求得32=ECDE,从而使得问题获解.第Ⅱ卷（非选择题共120分）二、填空题（本大题共8小题，每题4分，满分32分．）11．我国南海海域的面积约为3600000km2，该面积用科学记数法应表示为km2．【答案】6106.3⨯【解析】试题分析：因6106.33600000⨯=,故应填6106.3⨯.考点：科学计数法及运用．12．分解因式=-822a．【答案】)2)(2(2-+aa考点：提取公因式及平方差公式的运用．13．如图，有一块含有60°角的直角三角板的两个顶点放在矩形的对边上．如果∠1＝18°，那么∠2的度数是．第10题图【答案】012【解析】试题分析：由图形可知3021=∠+∠,而0181=∠,故0122=∠,应填012.考点：平行线的性质及运用．14．2，3，4，5，6这五个数的方差是．【答案】2【解析】试题分析：因4565432=++++=x,故方差2541142=++++=S.考点：方差公式及运用．15.如图，△ABC的三个顶点都在5×5的网格（每个小正方形的边长均为1个单位长度）的格点上，将△ABC绕点B逆时针旋转到△A′BC′的位置，且点A′、C′仍落在格点上，则图中阴影部分的面积是．【答案】3413-π考点：扇形的面积及三角形面积的运用．【易错点晴】平面图形的旋转是初中平面几何中的重要知识点之一,也是中考考试的重要内容与考点.解答本题时要充分利用题设中提供的图形信息,运用直角三角形的勾股定理算出扇形的半径1394=+=r,再运用其面积公式求得其面积413412ππ==rS,再从该扇形中去除一个直角三角形的面积3//=∆BCAS,求得阴影部分的面积为第13题图3413-π,从而使得问题获解. 16.函数x y 2=和5+=ax y 的图象交于A(m ，3),则不等式52+<ax x 的解集为 ． 【答案】23<x 【解析】试题分析：将点)3,(m A 代入x y 2=可得23=m ；再将其代入5+=ax y 可得34-=a ,所以解不等式5342+-<x x 可得23<x ,应填23<x . 考点：一次函数的图象及一次不等式的解法．17．如图，AD 是△ABC 的角平分线，DF ⊥AB ，垂足为F ，DE=DG ，△ADG 和△AED 的面积分别为50和 38，则△EDF 的面积为 ．【答案】6 【解析】试题分析：过点D 作AG DH ⊥,由角平分线的性质可得DH DF =,则DHG DFE ∆≅∆.设△EDF 的面积为S ,结合图形可知x x +=-3850,解之得6=x ,应填6. 考点：角平分线的性质及全等三角形的性质．18．如图，矩形AOCB 的两边OC 、OA 分别位于x 轴、y 轴上,点B 的坐标为B （－320，5），D 是 AB 边上的一点，将△ADO 沿直线OD 翻折，使A 点恰好落在对角线OB 上的点E 处，若点E 在一反比例函 数的图像上，那么该函数的解析式是 ．【答案】xy 12-= 第18题图G F E CBA 第17题图考点：相似三角形的性质和反比例函数的解析式及运用．【易错点晴】反比例函数是初中数学的重要知识点之一,也是中考考试的重要内容与考点.解答本题时要充分利用题设中提供的图形信息,先运用相似三角形的判定定理推断出AOB ∆与EDB ∆相似,再运用相似三角形的性质算得OBn 55=,进而算出点)0,0)(,(>>-n m n m E 的纵坐标3=n ,最后运用勾股定理求得4=m ,然后将点)3,4(-E 代入x ky =可得12-=k ,从而使得问题获解.三、解答题（本大题共9小题，共88分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）19．（6分）计算：)223()21(45sin 4|2|1---︒---．【答案】3-. 【解析】试题分析：直接运用相关知识计算. 试题解析：)223()21(45sin 4|2|1---︒---223-2-224-2+⨯= 3-=考点：绝对值、正弦函数、指数运算等有关知识的综合运用．20．（8分）先化简，再求值：)252(63922--+÷--a a aa a ，其中a 是方程0542=-+x x 的根． 【答案】a 31，31或151-.考点：分式的运算性质及一元二次方程的求解等有关知识的综合运用．21．（8分）下面图①、图②是某校调查部分学生是否知道父母亲生日情况的扇形和条形统计图：根据上图信息，解答下列问题：（1）求本次被调查学生的人数，并补全条形统计图；（2）若全校共有2700名学生，你估计这所学校有多少名学生知道父母亲的生日？ （3）通过对以上数据的分析，你有何感想？（用一句话回答） 【答案】(1)90；(2)1500；(3)略.120°40° 记不清不知道知道图①选项1030 50 学生数/名20 40 知道 记不清 图②考点：扇形统计图和条形统计图及有关知识的综合运用．22．（10分）如图，桌面上放置了红、黄、蓝三个不同颜色的杯子，杯子口朝上，我们做蒙眼睛翻 杯子（杯口朝上的翻为杯口朝下，杯口朝下的翻为杯口朝上）的游戏． （1）随机翻一个杯子，求翻到黄色杯子的概率；（2）随机翻一个杯子，接着从这三个杯子中再随机翻一个，请利用树状图求出此时恰好有一个杯口朝上 的概率．【答案】(1)31；(2) 32. （第22题图）考点：列举法及概率公式等有关知识的综合运用．23．（10分）某校为实施国家“营养早餐”工程，食堂用甲、乙两种原料配制成某种营养食品，已 知这两种原料的维生素C 含量及购买这两种原料的价格如下表：现要配制这种营养食品20千克，要求每千克至少含有480单位的维生素C ．设购买甲种原料x 千克． （1）至少需要购买甲种原料多少千克?（2）设食堂用于购买这两种原料的总费用为y 元，求y 与x 的函数关系式．并说明购买甲种原料多少千 克时，总费用最少?【答案】(1)kg 8；(2),)20(59x x y -+=，kg 8.甲种原料 乙种原料 维生素C （单位/千克） 600 400原料价格（元/千克）95原维生素C 及价格考点：不等式及不等式的性质等有关知识的综合运用．24．（10分）钓鱼岛自古以来就是我国的神圣领土．为维护国家主权和海洋权利，我国海监和渔政部门对钓鱼岛海域实现了常态化巡航管理．如图，某日在我国钓鱼岛附近海域有两艘自西向东航行的海监船A、B，B船在A船的正东方向，且两船保持40海里的距离，某一时刻两海监船同时测得在A的东北方向，B的北偏东15°方向有一艘某国海上保安厅舰船C．（1）求cos∠ACB的值；（保留2个有效数字，2 1.4≈14，3 1.7≈32）（2）海监船B奉命以每小时45海里的速度前往C处对某国舰船进行驱逐，那么海监船B到达C处最少需要多少时间？（假定舰船C在原处不动，结果保留一位小数）【答案】(1)87.0；(2)3.1.【解析】试题分析：(1)借助题设条件运用正弦定理求解；(2)借助题设条件运用余弦定理和三角形面积公式求解.试题解析：（1）过B作BD⊥AC 于D，由题意可知，∠BAC＝45°，∠ABC＝105°,∴∠ACB＝180°－∠BAC－∠ABC＝30°,所以cos∠ACB=≈230.87（2）在Rt△ABD中BD=AB·sin∠BAD=40×22022=（海里）第24题图在Rt △BCD 中，BC=24021220sin ==∠BCDBD （海里）∴ 海监船B 需要≈45240 1.3小时 答：海监船B 赶往C 处最少需要1.3小时．考点：勾股定理及有关知识的综合运用．25．（10分）如图，在⊙O 中，点P 为直径BA 延长线上一点，直线PD 切⊙O 于点D ，过点B 作BH ⊥PD ， 垂足为H ，BH 交⊙O 于点C ，连接BD ．（1）求证：BD 平分∠ABH ；（2）如果AB ＝10，BC ＝6，求BD 的长；（3）在(2)的条件下，当E 是弧AB 的中点，DE 交AB 于点F ，求DE·DF 的值．【答案】(1)证明见解析；(2)54；(3)40.试题解析：(1) 证明：连接OD ．∵PD 是⊙O 的切线，∴OD ⊥PD ．又∵BH ⊥PD ，∴∠PDO ＝∠PHB ＝90°，∴OD ∥BH ，∴∠ODB ＝∠DBH ．而OD ＝OB ，∴∠ODB ＝∠OBD ，∴∠OBD ＝∠DBH ，∴BD 平分∠ABH ．(2) 过点O 作OG ⊥BC ，G 为垂足，则BG ＝CG ＝3，在Rt △OBG 中，OG 22G OB -B 4．∵∠ODH ＝∠DHG A BCD O P F 第25题图＝∠HGO ＝90°，∴四边形ODHG 是矩形．∴OD ＝GH ＝5，DH ＝OG ＝4，BH ＝8．在Rt △DBH 中，BD ＝45．(3) 连接AD ，AE ，则∠AED ＝∠ABD ，∠ADB ＝90°．在Rt △ADB 中，AD ＝25．又∵E 是AB 的中点，即AE ＝BE ，∴∠ADE ＝∠EDB ，∴△ADE ∽△FDB ．即D DE B ＝D FDA ，∴DE ·DF ＝DB ·AD ＝40．考点：勾股定理、相似三角形及圆幂定理等有关知识的综合运用．26．（12分）如图，已知△ABC 是等边三角形，D 、E 分别在边BC 、AC 上，且CD =CE ，连接DE 并延 长至点F ，使EF =AE ，连接AF 、BE 和CF ．（1）请在图中找出一对全等三角形，用符号“≌”表示，并加以证明．（2）判断四边形ABDF 是怎样的四边形，并说明理由．（3）若AB =6，BD =2DC ，求四边形ABEF 的面积．【答案】(1)BDE FEC △≌△，BCE FDC △≌△，ABE ACF △≌△，证明见解析；(2) 平行四边形；(3)310.【解析】第26题图又EF AE BD FE =∴=，．BDE FEC ∴△≌△．（选证二）BCE FDC △≌△． 证明：ABC △是等边三角形，60BC AC ACB ∴=∠=，．又CD CE =，EDC ∴△是等边三角形．60BCE FDC DE CE ∴∠=∠==，．EF AE EF DE AE CE =∴+=+，．FD AC BC ∴==．BCE FDC ∴△≌△．（选证三）ABE ACF △≌△． 证明：ABC △是等边三角形，60AB AC ACB BAC ∴=∠=∠=，．CD CE =，EDC ∴△是等边三角形．60AEF CED ∴∠=∠=．EF AE =，AEF ∴△是等边三角形． 60AE AF EAF ∴=∠=，．ABE ACF ∴△≌△．（2）解：四边形ABDF 是平行四边形．理由：由（1）知，ABC △、EDC △、AEF △都是等边三角形．60CDE ABC EFA ∴∠=∠=∠=．AB DF BD AF ∴∥，∥．∴四边形ABDF 是平行四边形．（注：此题有多种方法，请参照评分．）（3）解：由（2）知，四边形ABDF 是平行四边形．EF AB EF AB ∴≠∥，．∴四边形ABEF 是梯形．过E 作EG AB ⊥于G ，则2323sin 606233232EG AE BC ===⨯⨯=． 11()23(64)10322ABEF S EG AB EF ∴=+=⨯⨯+=四边形．考点：全等三角形的判定、平行四边形的判定及梯形面积公式等有关知识的综合运用．【易错点晴】全等三角形的判定和性质是初中平面几何中的知识点之一,由于许多重要性质在解题中有着重要的作用.因此成为中考和各级各类考试的重要内容与考点.解答本题的第一问时要充分利用题设中提供的有关信息,运用全等三角形的判定定理自选条件再作出判定.第二问是利用等边三角形的性质得出60CDE ABC EFA ∴∠=∠=∠=,然后运用平行四边形的定义判定其是平行四边形.第三问要先判定四边形ABEF 的形状为梯形,进而运用梯形的面积公式求得起面积为310,从而使得问题获解.27．（14分）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的三个顶点B(1, 0)、C(3, 0)、D(3, 4)．以A 为顶点的抛物线c bx ax y ++=2过点C ．动点P 从点A 出发，沿线段AB 向点B 运动，同时动点Q 从点 C 出发，沿线段CD 向点D 运动．点P 、Q 的运动速度均为每秒1个单位，运动时间为t 秒．过点P 作PE ⊥AB 交AC 于点E ．（1）直接写出点A 的坐标，并求出抛物线的解析式；（2）过点E 作EF ⊥AD 于F ，交抛物线于点G ，当t 为何值时，△ACG 的面积最大？最大值为多少？（3）在动点P 、Q 运动的过程中，当t 为何值时，在矩形ABCD 内（包括边界）存在点H ，使以C 、Q 、E 、H 为顶点的四边形为菱形？请求出t 的值．【答案】(1)322++-=x x y ；(2)1，1；(3)存在, 12013t =、12085t =-.（2）因为PE //BC ，所以2AP AB PE BC ==．因此1122PE AP t ==．所以点E 的横坐标为112t +．将112x t =+代入抛物线的解析式，y ＝－(x －1)2＋4＝2144t -．所以点G 的纵坐标为2144t -．于是得到2211(4)(4)44GE t t t t =---=-+．因此22111()(2)1244ACG AGE CGE S S S GE AF DF t t t ∆∆∆=+=+=-+=--+． 所以当t ＝1时，△ACG 面积的最大值为1．（3）因为FE //QC ，FE ＝QC ，所以四边形FECQ 是平行四边形．再构造点F 关于PE 轴对称的点H ′，那么四边形EH ′CQ 也是平行四边形．再根据FQ ＝CQ 列关于t 的方程，检验四边形FECQ 是否为菱形，根据EQ ＝CQ 列关于t 的方程，检验四边形EH ′CQ 是否为菱形．1(1,4)2E t t +-，1(1,4)2F t +，(3,)Q t ，(3,0)C ． 如图2，当FQ ＝CQ 时，FQ 2＝CQ 2，因此2221(2)(4)2t t t -+-=． 整理，得240800t t -+=．解得12085t =-22085t =+．如图3，当EQ ＝CQ 时，EQ 2＝CQ 2，因此2221(2)(42)2t t t -+-=．整理，得213728000t t -+=．(1320)(40)0t t --=．所以12013t =，240t =（舍去）． 所以，当12013t =、12085t =-时，以C 、Q 、E 、H 为顶点的四边形是菱形．考点：二次函数的解析式和图象性质等有关知识的综合运用．【易错点晴】二次函数是初中数学的重要知识点之一,也是中考考试的重要内容与考点.解答本题的第一问时要充分利用题设中提供的图形信息,先运用二次函数的顶点式4)1(2+-=x a y 待定出解析式4)1(2+-=x a y 中的未知数a 的值.解答第二问时,先建立面积的目标函数,再运用二次函数求出当2=t 时,其面积的最大值为1.第三问先假定菱形存在,再运用题设求得满足题设中的t 的值,从而使得问题获解.。