周期信号的频谱分析——傅里叶级数

由积分可知

T , cosn1t cosm1t dt 2 0, T T , 2 sin n1t sin m1t dt 2 T2 0,
T 2 T 2 T 2 T 2
cosn1t sin m1t dt 0
jn
an Fn F n bn j( Fn F n ) cn 4Fn F n
X
幅频特性和相频特性
幅频特性 相频特性
1 2 1 2 F ( n 1 ) a n bn c n 2 2
bn n arctan a n
关于的偶函数（实际 n 取正值） 关于的奇函数（实际 n 取正值） 关于的偶函数 关于 的奇函数
X
(1)周期信号f(t)的傅里叶级数有两种形式
三角形式
f ( t ) a0 an cosn 1t bn sinn 1t
n 1
= c0 cn cos(n 1 t n )
n 1

指数形式
f (t )
n
F ( n )
1

e
1 an j bn 2 1 T 1 T f (t ) cos n1t d t j f (t )sin n1t d t T 0 T 0
1 T j n1t f (t )e d t T 0 1 t0 T1 因此 F n1 f (t ) e j n1t d t T t0
n 1
考虑到：
F (n1 ) e
n 1

j n1t
=
n 1
F (n1 ) e jn1t

得到f ( t )的指数形式傅里叶级数：
f (t )
n
F ( n 1 ) e j n1t

4
5
X
1 t0 T1 F n1 f (t ) e jn1t d t T t0
傅里叶级数中无余弦分 量，F (n1 )为虚函数。
X
3．奇谐函数
若f(t)前半周期波形平移半 个周期后，与后半周期波形 相对于横轴对称： T T f (t ) f t 2 f(t)的傅氏级数偶次谐波为零，即 a0 0
f (t )

O T 2
T
t
n 2,4,6时
1 t 0 T 直流分量 a0 f (t ) d t t0 T 2 t 0 T 余弦分量的幅度 an t f (t ) cosn 1t d t T 0 2 t 0 T 正弦分量的幅度 bn f (t ) sinn1t d t T t0
X
其他形式
余弦形式
f ( t ) c 0 c n cosn 1 t n
§3.2 周期信号傅里叶 级数分析
主要内容
•三角函数形式的傅氏级数 • 指数函数形式的傅氏级数
•两种傅氏级数的关系
• 频谱图
•函数的对称性与傅里叶级数的关系
•周期信号的功率
X
一．三角函数形式的傅里叶级数
1.三角函数集 cosn1t , sinn1t 是一个完备的正交函数集
t 在一个周期内，n=0,1,...
n ~ 关系曲线称为相位频谱图。
周期信号频谱具有离散性、谐波性、收敛性 。
cn c0
c1
φn c2 c3 nω1 π
0
ω1
3ω1
ω
0 ω1 3ω1 nω1
ω
X
二．指数函数形式的傅里叶级数
1．复指数正交函数集 2．级数形式 3．系数推导
f (t )
e j n1t
n

mn mn mn mn
X
2．级数形式
2 周期信号 f t , 周期为T1 , 基波角频率为 1 T1 在满足狄氏条件时，可展成
f ( t ) a0 an cosn 1t bn sinn 1t
n 1
1
称为三角形式的傅里叶级数其系数
X
an bn F ( n 1 )
n 1
复数频谱图
幅度谱
Fn
Fn
a
相位谱

2
0
2


0

4

n1
0
2
n1
n

c
n1

b
X
四．总结
（1）周期信号f(t)的傅里叶级数有两种形式
（2）两种频谱图的关系 （3）周期信号的频谱是离散谱，三个性质 （4）引入负频率
n 1
2
c0 a0
cn a b
2 n

2 n
an cn cos n bn cn sin n
正弦形式
n 1
bn n arctan a n
f (t ) d 0 d n sin n1t n
2 2 d n an bn
5
X
说明
f (t )
n
F ( n 1 ) e j n1t

4
5
1
1 t0 T1 F n1 f (t ) e jn1t d t T t0
周期信号可分解为 的线性组合。
, 区间上的指数信号 e jn t
如给出F (n1 )，则f t 唯一确定， )、 )式是一对 (4 (5 变换对。
●
相位频谱为奇函数
( n 1 ) ( n 1 )
X
(3)三个性质（周期信号频谱）
收敛性： n , F n1 谐波性： （离散性），频率只出现在n1处 唯一性： f (t )的谱线唯一 注意：冲激函数序列的频谱不满足收敛性
(4)引入负频率
对于双边频谱，负频率 ( n 1 ) ，只有数学意义，而无 物理意义。为什么引入负频率?
E

T
O

T t

T 2 0
f ( t ) cosn 1t d t 0
1 1 F n F ( n 1 ) an jbn an 2 2
F ( n 1 )为实函数。
n 0
傅里叶级数中不含正弦 项，只含直流项和余弦 项。
X
2．奇函数
波形相对于纵坐标是反 对称的：f (t ) f (t ) 1 T f (t ) 2 a0 T f ( t ) d t = 0 1 T 2
n 0, 1, 2
F ( n 1 ) e j n1t
4
f (t ) a0 an cos n1t bn sin n1t
n 1
利用欧拉公式
1 jn1t jn1t sin n1t e e 2j
cos n1t 1 jn1t e e jn1t 2
X
三．两种系数之间的关系及频谱图
F0 c0 d0 a0
(n 1, 2,...)
1 Fn Fn e an jbn 2 1 jn F n F n e an +jbn 2 1 1 1 2 2 Fn F n cn d n an bn 2 2 2
二．指数函数形式的傅里叶级数
1 F (n1 ) an jbn 2 1 T n1t d t j 1 f ( t ) cos T 0 T

T
0
f ( t ) sinn 1t d t
利用欧 拉公式
1 T f (t )e jn1t d t T 0
F (n1 )
(3)
d 0 a0 an d n sin n
bn d n cos n
bn n arctan a n
X
幅度频率特性和相位频率特性
周期信号可分解为直流 ，基波（ 1 ）和各次谐波 （n 1 : 基波角频率的整数倍） 的线性组合。
cn ~ 关系曲线称为幅度频谱图；
Fn ~ 绘成的线状图形，表示 各次谐波的平均功 率随频率分布的情况，称为功率谱系数。
2
X
f t 是实函数，分解成虚指 数，必须有共轭对 e j n1 和e－j n1，才能保证 ( t )的实函数的性质不变。 f
X
五．函数的对称性与傅里叶级数的关系
偶函数
奇函数
奇谐函数 偶谐函数
X
1．偶函数
信号波形相对于纵轴是对称的
f (t )
f (t ) f ( t )
bn 0
4 an T
T1 2 0
X
六．周期信号的功率
1 P T

T
0
1 1 2 2 2 2 2 2 f ( t ) d t a0 an bn a0 cn Fn 2 n 1 2 n 1 n 2


这是帕塞瓦尔定理在傅里叶级数情况下的具体体现; 表明： 周期信号平均功率=直流、基波及各次谐波分 量有效值的平方和； 也就是说，时域和频域的能量是守恒的。
n 1,3,5时
an bn 0 4 T an 2 f ( t ) cosn 1t d t T 0 4 T bn 2 f ( t ) sinn 1t d t T 0
X
4．偶谐函数
T1 波形移动 与原波形重合， 2 称为偶谐函数。
T1 f t f t 2
f (t )

T1 O 2 T1 2
T1
1
2 T1
T1
t
f(t)的傅氏级数奇次谐波为零，只有偶次谐波分量
当n 1,3,5时
当n 2,4,6时
an bn 0
4 an f ( t ) cosn 1t d t T1 T1 4 2 bn f ( t ) sinn 1t d t T1 0