线性规划
第二章线性规划
线性规划要研究的两类问题中都包含有约束条件和目 标函数。用数学的方式描述，规划的目的就是在给定 的限制条件（或称约束条件）下，求目标函数的极值 问题（包括极小值和极大值）。
2
线性规划的数学模型
3
解： 设产品 的产量为：1 , 产品 的产量为：x2 x
4
5
6
7
配料问题：由若干种不同价格、不同成分含量的原料，用 不同的配比混合调配出一些不同规格的产品，在原料的供 应量限制和保证产品成分含量的前提下，如何进行配料来 获取最大利润或使总成本最低。
15
2.2.3 线性规划求解的可能结局
1、有唯一的最优解
2、有无穷多个最优解 （将目标函数改为 z=4x1+3x2 ）
x2
max z 4 x1 3 x2 x1 2 x2 5 2 x x 4 1 2 s.t. 4 x1 3 x2 9 x1 , x2 0
3x1 2 x2 4 x3 3
3x1 2 x2 4 x3 xs 3
剩余变量
变量xs实际上是原式左端减去右端的差，即 ：
xs 3x1 2 x2 4 x3 3
当约束条件是“ ”型的不等式时，只要将该约 束条件左端减去一个非负的剩余变量即可化为等式。 无论是松弛变量还是剩余变量在决策中都不产生实际价 值，因此它们在目标函数中的系数都应该为零。有时也将松 29 弛变量和剩余变量统称为松弛变量。
2x1+x2=4 D C
x1+2x2=5 B 4x1+3x2=9 O A x1
16
3、无界解
指线性规划问题有可行解，但是 在可行域，目标函数值是无界的， 因而达不到有限最优值。因此线 性规划问题不存在最优解。
线性规划知识点总结
线性规划知识点总结标题：线性规划知识点总结引言概述：线性规划是运筹学中的一种最基本的数学规划方法，广泛应用于生产、运输、金融等领域。
通过线性规划，可以优化资源分配，最大化利润或者最小化成本。
本文将对线性规划的基本概念、线性规划模型、解决方法、应用领域和优缺点进行总结。
一、基本概念1.1 线性规划的定义：线性规划是一种数学优化方法，其目标是在一组线性约束条件下，找到使目标函数取得最大值或者最小值的决策变量的取值。
1.2 决策变量和目标函数：线性规划中，决策变量是需要确定的未知数，而目标函数则是需要优化的目标，通常是最大化利润或者最小化成本。
1.3 约束条件：线性规划模型中的约束条件是对决策变量的限制，可以是等式约束或者不等式约束，用来限制决策变量的取值范围。
二、线性规划模型2.1 标准形式和非标准形式：线性规划模型可以分为标准形式和非标准形式，标准形式要求目标函数是最小化形式，约束条件是等式约束；非标准形式则没有这些限制。
2.2 线性规划的矩阵形式：线性规划可以用矩阵形式表示，目标函数和约束条件可以用矩阵的乘法来表示，这样可以简化问题的求解过程。
2.3 整数规划和混合整数规划：在实际应用中，有时需要考虑变量的取值只能是整数的情况，这时就需要用到整数规划或者混合整数规划。
三、解决方法3.1 单纯形法：单纯形法是解决线性规划问题的经典方法，通过不断挪移顶点来找到最优解，是一种高效的求解方法。
3.2 对偶理论：对偶理论是线性规划的重要理论基础，通过对原问题的对偶问题进行求解，可以得到原问题的最优解。
3.3 整数规划的分支定界法：对于整数规划问题，可以采用分支定界法来求解，通过不断分支和剪枝来逐步逼近最优解。
四、应用领域4.1 生产计划优化：线性规划可以用来优化生产计划，确定最佳生产量和资源分配，以最大化利润或者最小化成本。
4.2 运输网络优化：在物流领域，线性规划可以用来优化运输网络，确定最佳的运输路径和运输量，以提高运输效率。
线性规划知识点
线性规划知识点一、概述线性规划是一种数学优化方法，用于求解线性约束条件下的最优解。
它在经济、管理、工程等领域有着广泛的应用。
线性规划的基本思想是在一组线性约束条件下，寻找使目标函数达到最大或最小的变量取值。
二、线性规划模型线性规划模型由三部分组成：决策变量、目标函数和约束条件。
1. 决策变量决策变量是问题中需要决策的量，通常用符号x表示。
决策变量的取值会影响目标函数的值。
2. 目标函数目标函数是需要优化的函数，通常用符号f(x)表示。
线性规划中的目标函数是线性的，可以是最大化或最小化。
3. 约束条件约束条件是对决策变量的限制条件，通常用不等式或等式表示。
线性规划中的约束条件也是线性的。
三、线性规划的解法线性规划可以使用不同的解法求解，常见的有图形法、单纯形法和内点法。
1. 图形法图形法适用于二维线性规划问题，通过绘制约束条件的直线和目标函数的等值线，找到最优解的图形位置。
2. 单纯形法单纯形法适用于多维线性规划问题，通过迭代计算，从初始可行解出发，逐步靠近最优解。
3. 内点法内点法是一种近年来发展起来的线性规划求解方法，通过在可行域内不断搜索，逐步趋近最优解。
四、线性规划的应用线性规划在实际问题中有着广泛的应用，以下是一些常见的应用领域：1. 生产计划线性规划可以用于确定生产计划中各种资源的最优分配，以满足生产需求并最大化利润。
2. 运输问题线性规划可以用于解决运输问题，确定各个供应点到需求点的最优运输方案，以最小化总运输成本。
3. 金融投资线性规划可以用于优化投资组合，确定不同资产的投资比例，以最大化投资收益或最小化风险。
4. 人力资源管理线性规划可以用于人力资源管理，确定员工的最优分配方案，以满足工作需求并最小化成本。
五、线性规划的局限性线性规划虽然在很多问题中有着广泛的应用，但也存在一些局限性：1. 线性假设线性规划要求目标函数和约束条件都是线性的，这在某些实际问题中可能不符合实际情况。
2. 单一最优解线性规划只能得到一个最优解，而在某些问题中可能存在多个最优解。
线性规划
矿物质（g）
维生素(mg）
0.1
0.05
0.05
0.1
0.02
0.02
0.2
0.2
0.05
0.08
希望建立数学模型，既能满足动物需要，又使总成 本最低的饲料配方
模型
饲料 符号 A1 x1 A2 x2 A3 x3 A4 x4 A5 x5
约 l2 : 12x1 8x2 480 束 12x1 8x2 480 l4 条 3x1 100 l3 : 3x1 100 件 c l4 : x1 0, l5 : x2 0 x1 , x2 0 目标 函数
l1 : x1 x2 50
x2 A
l1 B l2 C Z=3600 l3
线性规划问题的数学模型的一般形式
（ 1）列出约束条件及目标函数 （2）画出约束条件所表示的可行域 （3）在可行域内求目标函数的最优解及最优值
线性规划问题的标准形式
{
max y=cTx s.t. Ax=b x≥0
求解方法： （1）单纯形法 （2）软件求解:Lindo， Lingo, matlab，sas
RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 X2 ROW 72.000000 24.000000 8.000000
Max z 72x1 64x2
z=c (常数) ~等值线
0
l5
Z=0
x1 D Z=2400
运筹学基础-线性规划(方法)
线性规划问题通常由三个基本部分组成，即决策变量、约束条件 和目标函数。决策变量是问题中需要求解的未知数，约束条件是 限制决策变量取值的条件，目标函数是要求最大或最小的函数。
线性规划的应用领域
01
02
03
04
生产计划
在制造业中，线性规划可以用 于制定最优的生产计划，以最 大化利润或最小化成本。
02
线性规划的基本概念
线性方程组
线性方程组是由多个线性方程组成的数学模型，描 述了多个变量之间的线性关系。
线性方程组可以用矩阵和向量表示，通过矩阵运算 和代数方法求解。
线性方程组有多种解法，如高斯消元法、LU分解、 迭代法等。
约束条件与目标函数
02
01
03
约束条件是限制变量取值的条件，通常表示为变量的 上界、下界或等式约束。
目标函数是描述问题目标的数学表达式，通常是最小 化或最大化的线性或非线性函数。
约束条件和目标函数共同构成了线性规划问题的数学 模型。
线性规划的解
线性规划的解是指满足 所有约束条件并使目标 函数取得最优值的变量 取值。
线性规划问题可能有多 个解，也可能无解或无 界解。
最优解的性质包括最优 性、可行性和唯一性。
最优解可以通过求解线 性方程组或使用专门的 优化软件获得。
03
线性规划的求解方法
单纯形法
01
基本概念
单纯形法是一种求解线性规划问题的迭代算法，通过 不断迭代寻找最优解。
02 1. 初始化 选择一个初始可行解，并确定初始基可行解。
03
2. 迭代
根据目标函数系数和约束条件系数，计算出单纯形表 格，然后进行迭代更新。
运筹学基础-线性规划(方法)
线性规划基本模型
在每次迭代中，单纯形法会根据目标函数的 系数和约束条件，通过一系列的数学运算， 将问题转化为更简单的形式，直到找到最优 解或确定无解。
单纯形法具有简单易懂、易于实现 的特点，是解决线性规划问题最常 用的方法之一。
对偶问题
等式约束
等式约束优化是指在优化问题中包含等式约束的线性规划问题。等式约束通常 表示决策变量之间的关系，满足等式约束是找到最优解的必要条件。
求解算法
对于包含等式约束的线性规划问题，可以采用一些特殊的算法进行求解，如消 元法或拉格朗日乘子法。这些算法能够更高效地处理等式约束，并找到最优解。
05
线性规划的扩展模型
线性规划基本模型
• 线性规划概述 • 线性规划的基本概念 • 线性规划的求解方法 • 线性规划的优化方法 • 线性规划的扩展模型 • 线性规划的实际应用案例
01
线性规划概述
定义与特点
定义
线性规划是一种数学优化方法，通过 在一定的约束条件下最大化或最小化 一个线性目标函数，来找到一组变量 的最优解。
现状
目前，线性规划已经发展成为一 个成熟的学科分支，有许多成熟 的算法和软件工具可用于解决各 种实际问题。
02
线性规划的基本概念
线性方程组
线性方程组
01
线性规划问题通常由一组线性方程组成，这些方程描述了决策
变量之间的关系。
线性方程的解
02
线性方程组可能有多个解，但在线性规划中，我们通常只关心
满足特定约束条件的解。
资源利用
线性规划可以确定最佳的资源利用方案，包括原材料、设备、劳动力等，以最小化生产成本或最大化 利润。
线性规划的定义及解题方法
线性规划的定义及解题方法线性规划是一种数学建模技术，旨在解决在约束条件下，寻求最优解的问题。
它的实际应用十分广泛，例如管理学、经济学、物流学等领域。
线性规划可以分为单目标和多目标两种，但其中比较常见的是单目标线性规划。
本文将从线性规划的定义、模型建立、求解方法等方面阐述其原理与应用。
一、线性规划的定义线性规划的定义是：在有限约束条件下，目标函数为线性的最优化问题。
它通过数学模型的建立，将涉及到的变量、约束条件与目标函数转化为线性等式或不等式的形式，从而寻找最优解。
通常，线性规划的目标是最大化或最小化某个变量，可以用以下的形式去表示：$$Z=C_1X_1+C_2X_2+……+C_nX_n $$其中，$Z$为目标函数值，$X_1, X_2,……,X_n$为待求变量，$C_1, C_2,……,C_n$为相应的系数。
在线性规划中，会涉及到许多变量，这些变量需要受到一些限制。
这些限制可以用不等式或等式来表示，这些方程式被称为约束条件。
例如：$$A_1X_1+A_2X_2+……+A_nX_n≤B$$$$X_i≥0, i=1,2,……, n $$这两个方程就代表了一些约束条件，例如目标函数系数的和不能超过某个值，若$X_i$为生产的产品数量，则需保证产量不能小于零等。
这些约束条件用于限制变量的取值范围，而目标函数则用于求解最优解。
二、线性规划的模型建立在建立线性规划模型时，需要考虑几个要素：1. 决策变量：它是模型求解的关键。
决策变量是指在模型中未知的数量，也就是需要我们寻找最优解的那些变量。
2. 目标函数：确定目标函数，既要知道最大化还是最小化，还要知道哪些变量是影响目标函数的。
3. 约束条件：约束条件通常是一组等式或不等式，代表问题的限制。
例如在一个工厂中最大的生产量、原材料的数量限制、人工的数量等等，这些都是约束条件。
4. 模型的参数：模型参数是指约束条件的系数和模型中的常数。
它们是从现实问题中提取出来的，由于模型的解法通常是数学的，因此需要具体的数值。
最优化方法：第2章 线性规划
Z=CBB-1b+(σm+1,
σm+k ,
xm+1
σn
)
CB B-1b+σ m+k
xn
因为 m+k 0，故当λ→+∞时，Z→+∞。
用初等变换求改进了的基本可行解
假设Ｂ是线性规划 maxZ=CX,AX=b,X 0的可行基，则
AX=b
(BN)
XB XN
b
(I,B-1 N)
➢ 若在化标准形式前，m个约束方程都是“≤”的形式， 那么在化标准形时只需在一个约束不等式左端都加上一个松弛变 量xn+i (i=12…m)。
➢ 若在化标准形式前，约束方程中有“≥”不等式， 那么在化标准形时除了在方程式左端减去剩余变量使不等式变 成等式以外，还必须在左端再加上一个非负新变量，称为 人工变量．
单纯形法简介
考虑到如下线性规划问题 maxZ=CX AX=b X 0
其中Ａ一个m×n矩阵，且秩为m，ｂ总可以被调整为一 个m维非负列向量，Ｃ为n维行向量，Ｘ为n维列向量。
根据线性规划基本定理： 如果可行域Ｄ={ Ｘ∈Ｒn / ＡＸ=ｂ，Ｘ≥0}非空有界， 则Ｄ上的最优目标函数值Ｚ=ＣＸ一定可以在Ｄ的一个顶 点上达到。 这个重要的定理启发了Dantzig的单纯形法， 即将寻优的目标集中在D的各个顶点上。
非基变量所对应的价值系数子向量。
要判定 Z=CBB-1b 是否已经达到最大值，只需将
XB =B-1b-B-1NX N 代入目标函数，使目标函数用非基变量
表示，即：
Z=CX=(CBCN
)
XB XN
=CBXB +CNXN =CB (B-1b-B-1NXN )+CNXN
线性规划
线性规划是一类最简单的优化问题，同时也是 具有普遍实际意义的一类优化问题。
线性规划模型的一般形式为：
max(min) z c1 x1 c2 x2 cn xn
s.t.
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 a x a x a x b mn n m m1 1 m 2 2 x1 , x2 , , xn 0
约束条件 每套钢架所需的三种长度的元钢数目是相 同的，而100套钢架需要三种长度的元钢都是 100根，因此有
长度为2.9m的元钢数： x1 2 x2 x4 x6 100 长度为2.1m的元钢数：2 x3 2 x4 x5 x6 3 x7 100 长度为1.5m的元钢数：3 x1 x2 2 x3 3 x5 x6 4 x8 100
车床B上的加工台时限制: x1 2 x2 8
车床C上的加工台时限制: 4 x1
车床D上的加工台时限制:
16
4 x2 12
非负条件：x1 , x2 0
第三步——明确目标函数 利润最大： max : z 2 x1 3 x2 该问题的数学模型为：
返回
结束
线性规划
目标函数：
max z 2 x2 3 x2
该问题所涉及的因素以及之间的数量关系可 以用表1-1表示
返回 结束
线性规划
产品 单位产品所需资源 资源
A1 A2 An
可供应的资源量
B1 B2 Bm
单位产品所得利润
a11 a12 a1n a 21 a 22 a 2 n a m 1 a m 2j 1
线性规划知识点归纳总结
线性规划知识点归纳总结一、知识梳理1 目标函数：P=2x＋y是一个含有两个变量x和y的函数，称为目标函数。
2 可行域：约束条件表示的平面区域称为可行域。
3 整点：坐标为整数的点叫做整点。
4 线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，通常称为线性规划问题。
只含有两个变量的简单线性规划问题可用图解法来解决。
5 整数线性规划：要求量整数的线性规划称为整数线性规划。
二、疑难知识导析线性规划是一门研究如何使用最少的人力、物力和财力去最优地完成科学研究、工业设计、经济管理中实际问题的专门学科，主要在以下两类问题中得到应用：一是在人力、物力、财务等资源一定和条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务。
1 对于不含边界的区域，要将边界画成虚线。
2 确定二元一次不等式所表示的平面区域有种方法，常用的一种方法是“选点法”：任选一个不在直线上的点，检验它的坐标是否满足所给的不等式，若适合，则该点所在的一侧即为不等式所表示的平面区域；否则，直线的另一端为所求的平面区域。
若直线不过原点，通常选择原点代入检验。
3 平移直线y=-kx+P时，直线必须经过可行域。
4 对于有实际背景的线性规划问题，可行域通常是位于第一象限内的一个凸多边形区域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的顶点。
5 简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等于表示的平面区域做出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解。
积储知识：一、1．占P（x0，y0）在直线Ax+By+C=0上，则点P坐标适合方程，即Ax0+ y0+C=02．点P（x0，y0）在直线Ax+By+C=0上方（左上或右下），则当B>0时，Ax0+ y0+C >0；当B<0时，Ax0+ y0+C<0 3．点P（x0+，y0）D在直线Ax0+ y0+C=0下方（左下或右下），当B>0时，Ax0+ y0+C<0；当B>0时，Ax0+ y0+C>0 注意：（1）在直线Ax+ By+C=0同一侧的所有点，把它的坐标（x，y）代入Ax+ By+C=0，所得实数的符号都相同。
第4章线性规划
f ( X ) 5 x1 4 x 2 4 x1 x 2 60 x1 x 2 24 x1 0 x2 0
(1) ( 2) ( 3) ( 4) ( 5)
例题21： • 首先由(4)，(5)二式（x1≥ 0、x2 ≥ 0）知， 其解
在第一象限所在的范围，所以在画图时将第二、
产品Ⅰ 产品Ⅱ 资源总量
设 备（台时）
原料A（公斤） 原料B（公斤）
1
4 0
2
0 4
8
16 12
利 润（百元）
2
3
线性规划范例
• 例B. 任务分配问题
表2
产品
1 23
2 21
3 19
4 17
某公司拟生产4种产品， 可分配给下属的3个工厂 生产，由于工厂的地理位 置和设备不同，每个工厂 生产每种产品的成本不相 同，加工能力也不相同。 有关数据分别由表2和表3 给出。公司应如何给下属 各工厂分配任务，才能在 保证完成每种产品的任务 的条件下，使得公司所花 费的成本最少？
例 : x2 0 y 0, y x2
对于无限制变量的处理：同时引进两个非负变量， 然后用它们的差代替无限制变量。
例 : x2无限制 x2 y1 y2 y1 , y2 0
例题20： 将下述线性规划问题化为标准形
m i n s .t . f ( X ) x1 2 x 2 3 x 3 2 x1 x 2 x 3 9 3 x1 x 2 2 x 3 4 3 x1 2 x 2 3 x 3 6 x1 0, x 2 0, x 3无限制
含量限制 原 A B C 加工费（元/kg） 料 纱线1 ≥60% 无 ≤20% 1.5 纱线2 ≥15% ≥10% ≤60% 1.2 纱线3 无 无 50% 0.9 （元/kg） 6 4.5 3 （kg/月） 2000 2500 1200 原料成本 原料限量
第一章 线性规划
线性规划
【开篇案例】
一、人力资源分配的问题
某旅行社为了迎接旅 游黄金周的到来，对一日 游导游人员的需求经过统 计分析如表所示。为了保 证导游充分休息，导游每 周工作 5天，休息两天， 并要求休息的两天是连续 的。问应该如何安排导游 人员的作息，既满足工作 需要，又使配备的导游人
下午5时14分
什么是规划？
• 以上问题无一例外都属于规划问题，涉及到求解最大值 和最小值
• 人们经常谈规划，比如国家有5年规划、10年规划、城市 有城市规划，个人有自己的人生规划.
• 规划是在现有的人力、物力水平下，使得目标达到最优 的全面、理性的计划
下午5时14分
线性规划
• 线性规划简介： • 运筹学中最成熟的一个分支 • 静态规划：单周期决策
第一节 下午5时14分 线性规划的一般模型
三、线性规划模型的特征
1. 模型隐含假定
作为严密的数学模型，线性规划蕴含着以下假定： （1）线性化假定
函数关系式f(x)= c1x1+c2x2+… +cnxn，称线性函数。 经济学中大多数函数都是非线性，通过偏导求最优。但在企业
运营决策中，经常考虑比较短时间内的计划安排，通过线性化 更便于应用。
乙两种产品的铸造中，由本公司铸造和由外包协作各应多少件？
甲
乙
丙
资源限制
铸造工时(小时/件)
5
10
7
8000
机加工工时(小时/件)
6
4
8
12000
装配工时(小时/件)
3
2
2
10000
自产铸件成本(元/件)
3
5
4
外协铸件成本(元/件)
线性规划
x12 x13
线性规划的典型实例
运输问题
数学模型
10x11 min f s.t. x11 x12 x 21 x 22 x11 x 21 x12 x13 x ij x 22 x 23 0 (i 1, 2; j 12x12 9x13 x13 35 x 23 55 26 38 26 1, 2, 3) 8x 21 11x 22 13x 23
基本解不是线性规划问题的解，而是仅满足约束方程组的解
线性规划问题中解的概念
可行解、可行域
上面的分析仅考虑了约束方程组Ax=b，下面进一步考虑线性规划问题的非负 约束。我们称既满足约束方程组Ax=b，又满足非负约束x≥0的解为线性规划 问题的可行解，即可行解满足线性规划问题的所有约束。可行解的集合称为可 行域，记作：
下面将分步骤详细分析如何获得这个线性规划问题的解，同时介绍在这类问题 中的几个概念
线性规划问题中解的概念
基本解
如果线性规划问题的解存在，则它必定是满足Ax=b的有限多个“基本解”中 选出的，那么我们的第一个任务就是找出满足方程Ax=b的基本解 假设独立方程的个数为m个，故Ax=b的系数矩阵A的秩为m，于是A中必有m 个列向量是线性无关的，不妨假设A中的前m个列向量线性无关，则这m个列 向量可以构成矩阵A的m阶非奇异子矩阵，用矩阵B表示：
D x | Ax b, x 0
基本可行解
特别的，若线性规划问题的基本解能够满足线性规划问题中的非负约束，即：
xB B 1b 0
则称该解xB为基本可行解，简称基可行解，称B为可行基。基可行解的数量不 m 会超过 C n 个。显然，基本可行解一定是可行解，基可行解是可行域中一种特 殊的解
最优解
线性规划知识点
线性规划知识点一、什么是线性规划线性规划是一种数学优化方法，用于解决在给定约束条件下的线性目标函数的最优化问题。
线性规划的目标函数和约束条件都是线性的，因此可以通过线性代数的方法进行求解。
线性规划在实际问题中有广泛的应用，如生产计划、资源分配、运输问题等。
二、线性规划的基本要素1. 目标函数：线性规划的目标是最大化或最小化一个线性函数，通常表示为Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙ，其中 Z 为目标函数值，c₁, c₂, ..., cₙ 为系数，x₁,x₂, ..., xₙ 为决策变量。
2. 决策变量：决策变量是问题中需要决策的变量，通常表示为x₁, x₂, ..., xₙ。
决策变量的取值决定了目标函数的值。
3. 约束条件：约束条件限制了决策变量的取值范围。
约束条件可以是等式约束或不等式约束，通常表示为 a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≤ b₁，a₂₁x₁ +a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ ≤ b₂，...，aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ ≤ bₙ，其中 a₁₁, a₁₂, ..., aₙₙ 为系数，b₁, b₂, ..., bₙ 为常数。
4. 非负约束：线性规划中通常要求决策变量的取值非负，即 x₁ ≥ 0, x₂ ≥ 0, ...,xₙ ≥ 0。
三、线性规划的解法线性规划可以通过不同的方法进行求解，常见的方法包括图形法、单纯形法和内点法。
1. 图形法：图形法适用于二维或三维的线性规划问题。
首先将目标函数和约束条件转化为几何形式，然后在坐标系中绘制约束条件的图形，最后通过图形的分析找到最优解点。
2. 单纯形法：单纯形法是一种通过迭代寻找最优解的方法。
该方法从一个可行解开始，通过不断移动到相邻的可行解来逐步接近最优解。
单纯形法的核心是单纯形表，通过表格的变换和计算来确定下一个迭代点，直到找到最优解。
3. 内点法：内点法是一种通过迭代寻找最优解的方法。
线性规划知识点
线性规划知识点一、引言线性规划是一种数学优化方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。
它在各个领域中都有广泛的应用，如经济学、工程学、管理学等。
本文将介绍线性规划的基本概念、模型建立、求解方法以及应用领域等知识点。
二、基本概念1. 决策变量：线性规划中需要决策的变量，通常用x1、x2、...、xn表示。
2. 目标函数：线性规划的目标，通常是最大化或最小化某个线性函数。
3. 约束条件：对决策变量的限制条件，通常是一组线性不等式或等式。
4. 可行解：满足所有约束条件的解。
5. 最优解：在所有可行解中使目标函数达到最大或最小值的解。
三、模型建立1. 目标函数的建立：根据实际问题确定最大化或最小化的目标函数。
2. 约束条件的建立：根据实际问题确定决策变量的限制条件。
3. 可行域的确定：将约束条件表示为几何图形，确定可行域的范围。
四、求解方法1. 图形法：通过画出可行域的几何图形，找到目标函数的最优解。
2. 单纯形法：通过迭代计算，逐步接近最优解。
3. 整数规划法：对决策变量引入整数要求，求解整数线性规划问题。
4. 网络流方法：将线性规划问题转化为网络流问题，利用网络流算法求解。
五、应用领域1. 生产计划：线性规划可以用于确定最佳的生产计划，使得生产成本最小化或产量最大化。
2. 运输问题：线性规划可以用于解决物流运输中的最优路径问题，使得运输成本最小化。
3. 资源分配：线性规划可以用于确定资源的最佳分配方案，使得资源利用率最高。
4. 投资组合：线性规划可以用于确定最佳的投资组合，使得收益最大化或风险最小化。
5. 供应链管理：线性规划可以用于优化供应链中的各个环节，实现供应链的高效运作。
六、总结线性规划是一种重要的数学优化方法，广泛应用于各个领域中。
掌握线性规划的基本概念、模型建立、求解方法以及应用领域，对于解决实际问题具有重要意义。
希望本文所介绍的知识点能够对您有所帮助。
如有任何疑问，请随时向我们提问。
线性规划的定义解析
线性规划的定义解析线性规划是数学和计算机科学领域中的一种优化方法，用于解决线性约束条件下的最大化或最小化问题。
它的应用非常广泛，包括生产计划、物流管理、金融投资、资源分配等多个领域。
本文将对线性规划进行详细解析，介绍其基本概念、数学模型和求解方法。
一、基本概念线性规划是在一定的约束条件下，寻找目标函数的最大值或最小值的过程。
为了方便分析，我们首先引入以下几个基本概念：1.决策变量：线性规划中需要决策的量，通常用$x_1, x_2, ...,x_n$表示，它们代表了问题的不同方面或要求。
2.目标函数：线性规划的目标函数是一个线性表达式，用于衡量问题的目标，可以是最大化或最小化一个指标。
常用的形式为$Z =c_1x_1 + c_2x_2 + ... + c_nx_n$。
3.约束条件：线性规划中的约束条件是一组限制性条件，限制了决策变量的取值范围。
常见的约束条件形式为$a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + ... + a_{1n}x_n \leq b_1$，$a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + ... + a_{2n}x_n \leq b_2$，...，$a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + ... + a_{mn}x_n \leq b_m$。
二、数学模型线性规划问题可以通过建立数学模型来描述。
其标准形式可以表示为：最大化：$Z = c_1x_1 + c_2x_2 + ... + c_nx_n$约束条件：$a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + ... + a_{1n}x_n \leq b_1$$a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + ... + a_{2n}x_n \leq b_2$...$a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + ... + a_{mn}x_n \leq b_m$$x_1, x_2, ..., x_n \geq 0$其中，$Z$表示目标函数的值，$c_1, c_2, ..., c_n$为目标函数的系数，$a_{ij}$为约束条件的系数，$b_1, b_2, ..., b_m$为约束条件的常数项。
线性规划知识点
线性规划知识点引言概述：线性规划是一种数学优化方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。
它在工程、经济学、管理学等领域有着广泛的应用。
本文将详细介绍线性规划的相关知识点。
一、线性规划的定义与基本概念1.1 目标函数：线性规划的目标是通过最大化或最小化目标函数来达到最优解。
目标函数是一条线性方程，表示需要优化的目标。
1.2 约束条件：线性规划问题还需要满足一组线性约束条件，这些条件对决策变量的取值范围进行了限制。
1.3 决策变量：决策变量是指在线性规划问题中需要进行决策的变量，其取值将影响目标函数的值。
二、线性规划的基本模型2.1 标准型线性规划：标准型线性规划是指目标函数为最小化问题，约束条件为等式形式的线性规划问题。
2.2 松弛变量与人工变量：为了将约束条件转化为等式形式，我们引入松弛变量和人工变量。
2.3 基变量与非基变量：在标准型线性规划中，基变量和非基变量是用来描述决策变量的状态的。
三、线性规划的解法3.1 单纯形法：单纯形法是一种常用的线性规划解法，通过迭代计算基变量和非基变量的取值，直到找到最优解。
3.2 对偶性理论：线性规划问题与其对偶问题之间存在着对偶关系。
对偶性理论可以帮助我们求解原始问题的最优解。
3.3 整数线性规划：当决策变量需要取整数值时，我们可以使用整数线性规划方法来求解。
整数线性规划问题更加复杂，通常需要使用分支定界等方法求解。
四、线性规划的应用领域4.1 生产计划：线性规划可以用于优化生产计划，通过合理安排生产资源和生产量，实现最大化利润或最小化成本。
4.2 运输问题：线性规划可以用于解决运输问题，通过合理分配运输量和运输路径，实现最优的物流方案。
4.3 资源分配：线性规划可以用于资源分配问题，如人力资源、资金分配等，通过最优化决策，实现资源的合理利用。
五、线性规划的局限性与拓展5.1 非线性规划：线性规划只适用于目标函数和约束条件为线性关系的问题。
对于非线性问题，我们需要使用非线性规划方法进行求解。
线性规划
线性规划在 实际生活中 的应用案例
投资决策
投资目标：最大化收益或最小化风险 投资策略：选择投资项目、分配投资资金、设定投资期限等
投资风险：市场风险、利率风险、汇率风险等 投资评估：使用线性规划模型评估投资方案，比较不同方案的优劣
B
题转化为几何问题，从而找到最
优解。
C
图解法的基本步骤包括：确定可 行域、找出最优解、验证最优解。
图解法适用于求解线性规划问题
D
的特殊情况，如线性规划问题的
约束条件为线性等式或不等式。
单纯形法
基本思想： 通过迭代求 解线性规划 问题的最优
解
步骤：确定初 始基，计算目 标函数值，更 新基，重复以 上步骤直到找
线性规划的优缺点
优点： 缺点：
适用于解决线性 问题
计算速度快，易 于实现
结果精确，易于 解释
只能解决线性问 题，不适用于非
线性问题
计算复杂度高， 对于大规模问题
可能难以求解
结果可能不唯一， 需要进一步分析 才能得到最优解
图解法
A
图解法是一种直观、形象的求解 线性规划问题的方法。
图解法通过画图，将线性规划问
划问题
迭代求解：通过 迭代公式，更新
当前点
重复步骤b-d， 直到找到最优解
生产计划
线性规划在生产计划中 的应用
线性规划可以帮助确定 最优的生产方案
线性规划可以优化生产 成本和生产效率
线性规划可以帮助解决 生产过程中的约束问题
资源分配
线性规划在 资源分配中
的应用
线性规划的 目标函数和
约束条件
线性规划的 求解方法和
线性规划知识点
线性规划知识点一、概述线性规划是数学规划的一种重要方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。
它的基本思想是在一组线性约束条件下，找到使目标函数达到最大或者最小值的变量取值。
二、基本概念1. 目标函数：线性规划的目标是最大化或者最小化一个线性函数，称为目标函数。
通常用字母 Z 表示。
2. 约束条件：线性规划的变量需要满足一组线性不等式或者等式，称为约束条件。
通常用字母 Ai 表示。
3. 变量：线性规划的问题中，需要确定的变量称为决策变量。
通常用字母 Xi表示。
三、标准形式线性规划问题通常可以转化为标准形式，以便于求解。
标准形式的线性规划问题包括以下要素：1. 目标函数：目标函数是一个线性函数，需要最大化或者最小化。
2. 约束条件：约束条件是一组线性不等式或者等式。
3. 变量的非负性：变量需要满足非负性约束，即变量的取值不能为负数。
四、线性规划求解方法线性规划问题可以通过以下方法求解：1. 图形法：对于二维线性规划问题，可以通过绘制约束条件的直线和目标函数的等高线，找到最优解的位置。
2. 单纯形法：单纯形法是一种常用的求解线性规划问题的算法。
它通过迭代计算，逐步接近最优解。
3. 整数规划法：当决策变量需要取整数值时，可以使用整数规划方法求解。
整数规划问题相对于线性规划问题更加复杂，通常需要使用分支定界等方法求解。
五、线性规划的应用线性规划在实际问题中有广泛的应用，包括但不限于以下领域：1. 生产计划：线性规划可以匡助确定最优的生产计划，使得生产成本最低或者产量最高。
2. 运输问题：线性规划可以用于解决货物运输的最优路径问题，以降低运输成本。
3. 金融投资：线性规划可以用于确定最优的投资组合，以最大化收益或者最小化风险。
4. 资源分配：线性规划可以匡助确定资源的最优分配方案，以满足需求并最大化效益。
5. 排产问题：线性规划可以用于解决生产设备的排产问题，以最大化生产效率。
六、线性规划的局限性尽管线性规划具有广泛的应用领域，但它也有一些局限性：1. 线性假设：线性规划假设目标函数和约束条件都是线性的，但实际问题中往往存在非线性关系。
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第三章 线性规划§1 线性规划在人们的生产实践中，经常会遇到如何利用现有资源来安排生产，以取得最大经济效益的问题。
此类问题构成了运筹学的一个重要分支—数学规划，而线性规划(Linear Programming 简记LP)则是数学规划的一个重要分支。
自从1947年G. B. Dantzig 提出求解线性规划的单纯形方法以来，线性规划在理论上趋向成熟，在实用中日益广泛与深入。
特别是在计算机能处理成千上万个约束条件和决策变量的线性规划问题之后，线性规划的适用领域更为广泛了，已成为现代管理中经常采用的基本方法之一。
1.1 线性规划的实例与定义 例1 某机床厂生产甲、乙两种机床，每台销售后的利润分别为4000元与3000元。
生产甲机床需用B A 、机器加工，加工时间分别为每台2小时和1小时；生产乙机床需用C B A 、、三种机器加工，加工时间为每台各一小时。
若每天可用于加工的机器时数分别为A 机器10小时、B 机器8小时和C 机器7小时，问该厂应生产甲、乙机床各几台，才能使总利润最大？上述问题的数学模型：设该厂生产1x 台甲机床和2x 乙机床时总利润最大，则21,x x 应满足（目标函数）2134max x x z += (1)s.t.（约束条件）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤+≤+0,781022122121x x x x x x x （2）这里变量21,x x 称之为决策变量，（1）式被称为问题的目标函数，（2）中的几个不等式是问题的约束条件，记为s.t.(即subject to)。
上述即为一规划问题数学模型的三个要素。
由于上面的目标函数及约束条件均为线性函数，故被称为线性规划问题。
总之，线性规划问题是在一组线性约束条件的限制下，求一线性目标函数最大或最小的问题。
在解决实际问题时，把问题归结成一个线性规划数学模型是很重要的一步，但往往也是困难的一步，模型建立得是否恰当，直接影响到求解。
而选取适当的决策变量，是我们建立有效模型的关键之一。
1.2 线性规划问题的解的概念 一般线性规划问题的标准型为∑==nj j j x c z 1min (3)∑==≤nj ij ij m i b x a 1,,2,1 s.t. (4)可行解 满足约束条件（4）的解),,,(21n x x x x =，称为线性规划问题的可行解，而使目标函数（3）达到最小值的可行解叫最优解。
可行域 所有可行解构成的集合称为问题的可行域，记为R 。
1.3 线性规划的图解法图解法简单直观，有助于了解线性规划问题求解的基本原理。
我们先应用图解法来求解例1。
如上图所示，阴影区域即为LP 问题的可行域R 。
对于每一固定的值z ，使目标函数值等于z 的点构成的直线称为目标函数等位线，当z 变动时，我们得到一族平行直线。
让等位线沿目标函数值减小的方向移动，直到等位线与可行域有交点的最后位置，此时的交点（一个或多个）即为LP 的最优解。
对于例1，显然等位线越趋于右上方，其上的点具有越大的目标函数值。
不难看出，本例的最优解为T x )6,2(*=，最优目标值26*=z 。
从上面的图解过程可以看出并不难证明以下断言：（1）可行域R 可能会出现多种情况。
R 可能是空集也可能是非空集合，当R 非空时，它必定是若干个半平面的交集（除非遇到空间维数的退化）。
R 既可能是有界区域，也可能是无界区域。
（2）在R 非空时，线性规划既可以存在有限最优解，也可以不存在有限最优解（其目标函数值无界）。
（3）R 非空且LP 有有限最优解时，最优解可以唯一或有无穷多个。
（4）若线性规划存在有限最优解，则必可找到具有最优目标函数值的可行域R 的“顶点”。
上述论断可以推广到一般的线性规划问题，区别只在于空间的维数。
在一般的n 维空间中，满足一线性等式∑==ni ii b xa 1的点集被称为一个超平面，而满足一线性不等式∑=≤ni ii b xa 1（或∑=≥ni i i b x a 1）的点集被称为一个半空间（其中),,(1n a a 为一n 维行向量，b 为一实数）。
有限个半空间的交集被称为多胞形，有界的多胞形又被称为多面体。
易见，线性规划的可行域必为多胞形（为统一起见，空集Φ也被视为多胞形）。
在一般n 维空间中，要直接得出多胞形“顶点”概念还有一些困难。
二维空间中的顶点可以看成为边界直线的交点，但这一几何概念的推广在一般n 维空间中的几何意义并不十分直观。
为此，我们将采用另一途径来定义它。
定义 1 称n 维空间中的区域R 为一凸集，若R x x ∈∀21,及)1,0(∈∀λ，有R x x ∈-+21)1(λλ。
定义2 设R 为n 维空间中的一个凸集，R 中的点x 被称为R 的一个极点，若不存在R x x ∈21、及)1,0(∈λ，使得21)1(x x x λλ-+=。
定义1 说明凸集中任意两点的连线必在此凸集中；而定义2 说明，若x 是凸集R 的一个极点，则x 不能位于R 中任意两点的连线上。
不难证明，多胞形必为凸集。
同样也不难证明，二维空间中可行域R 的顶点均为R 的极点（R 也没有其它的极点）。
1.4 求解线性规划的Matlab 解法单纯形法是求解线性规划问题的最常用、最有效的算法之一。
单纯形法是首先由 George Dantzig 于1947年提出的，近60年来，虽有许多变形体已被开发，但却保持着同样的基本观念。
由于有如下结论：若线性规划问题有有限最优解，则一定有某个最优解是可行区域的一个极点。
基于此，单纯形法的基本思路是：先找出可行域的一个极点，据一定规则判断其是否最优；若否，则转换到与之相邻的另一极点，并使目标函数值更优；如此下去，直到找到某一最优解为止。
这里我们不再详细介绍单纯形法，有兴趣的读者可以参看其它线性规划书籍。
下面我们介绍线性规划的Matlab 解法。
Matlab5.3中线性规划的标准型为 b Ax x c Tx≤ such that min基本函数形式为linprog(c,A,b)，它的返回值是向量x 的值。
还有其它的一些函数调用形式（在 Matlab 指令窗运行 help linprog 可以看到所有的函数调用形式），如：[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,LB,UB,X 0,OPTIONS) 这里fval 返回目标函数的值，Aeq 和beq 对应等式约束beq x Aeq =*，LB 和UB 分别是变量x 的下界和上界，0x 是x 的初始值，OPTIONS 是控制参数。
例2 求解下列线性规划问题321532m a x x x x z -+=⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+-=++0,,10527321321321x x x x x x x x x 解 （i ）编写M 文件 c=[2;3;-5];a=[-2,5,-1]; b=-10; aeq=[1,1,1]; beq=7;x=linprog(-c,a,b,aeq,beq,zeros(3,1)) value=c'*x（ii ）将M 文件存盘，并命名为example1.m 。
（iii ）在Matlab 指令窗运行example1即可得所求结果。
例3 求解线性规划问题 32132 min x x x z ++=⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+≥++0,,62382432121321x x x x x x x x 解 编写Matlab 程序如下： c=[2;3;1];a=[1,4,2;3,2,0]; b=[8;6];[x,y]=linprog(c,-a,-b,[],[],zeros(3,1))1.5 可以转化为线性规划的问题很多看起来不是线性规划的问题也可以通过变换变成线性规划问题来解决。
如： 例4 问题为bAx x x x n ≤+++ t.s.||||||min 21其中T n x x x ][1 =，A 和b 为相应维数的矩阵和向量。
要把上面的问题变换成线性规划问题，只要注意到事实：对任意的i x ，存在0,>i i v u 满足i i i v u x -=，i i i v u x +=||事实上，我们只要取2||i i i x x u +=，2||ii i x x v -=就可以满足上面的条件。
这样，记T n u u u ][1 =，T n v v v ][1 =，从而我们可以把上面的问题变成∑=+ni i iv u1)(min⎩⎨⎧≥≤-0,)( t.s.v u bv u A§2 运输问题(产销平衡)例5 某商品有m 个产地、n 个销地，各产地的产量分别为m a a ,,1 ，各销地的需求量分别为n b b ,,1 。
若该商品由i 产地运到j 销地的单位运价为ij c ，问应该如何调运才能使总运费最省？解：引入变量ij x ，其取值为由i 产地运往j 销地的该商品数量，数学模型为∑∑==m i nj ijij xc 11mins.t. ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥====∑∑==0,,2,1,,,1,11ij mi j ij nj i ij x n j b x m i a x显然是一个线性规划问题，当然可以用单纯形法求解。
对产销平衡的运输问题，由于有以下关系式存在：∑∑∑∑∑∑=======⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=mi i nj n j m i ij mi n j ij j a x x b 111111其约束条件的系数矩阵相当特殊，可用比较简单的计算方法，习惯上称为表上作业法（由康托洛维奇和希奇柯克两人独立地提出，简称康—希表上作业法）。
表上作业法是单纯形法在求解运输问题时的一种简化方法，其求解工作在运输表上进行逐步迭代如下：先按某一规则找出一个初始解（初始调运方案）；再对现行解作最优性判断；若这个解不是最优的，就在运输表上对它进行调整改进，得一新解；再判断，再改进，直到得到最优解。
§3 指派问题（又称分配问题Assignment Problem ）3.1 指派问题的数学模型例6 拟分配n 人去干n 项工作，每人干且仅干一项工作，若分配第i 人去干第j 项工作，需花费ij c 单位时间，问应如何分配工作才能使工人花费的总时间最少？容易看出，要给出一个指派问题的实例，只需给出矩阵)(ij c C =，C 被称为指派问题的系数矩阵。
引入变量ij x ，若分配i 干j 工作，则取1=ij x ，否则取0=ij x 。
上述指派问题的数学模型为∑∑==n i nj ijij xc 11mins.t. n ,1,2,j i,, 1 0,,2,1,1,,2,1,111⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧======∑∑== 或ij ni ij nj ij x n j x n i x (5)(5)的可行解既可以用一个矩阵(称为解矩阵)表示，其每行每列均有且只有一个元素为1，其余元素均为0，也可以用n ,,1 中的一个置换表示。