第二十二章 曲面积分

−zy = cos β ， 1 cosγ
上式两边分别乘以等式 dxdy = cos γ dS 的两边，得
−zy dxdy = cos β dS = dzdx ，
从而
∫∫ ∫∫ dS =
1
a
dxdy
S z D a2 − x2 − y2 a2 − x2 − y2
∫∫ ∫ ∫ =
adxdy = 2π dθ a2 −h2 ar dr
D a2 − x2 − y2 0
0
a2 − r2
∫ ( ) ( ) = aπ
d r2
a2 −h2
= aπ ln a2 − r2
0
a2 − r2
R ( x, y, z ) 在V 上连续，且有一阶连续偏导数，则
∫∫
S
Pdydz
+
Qdzdx
+
Rdxdy
=
∫∫∫ V
( ∂P ∂x
+
∂Q ∂y
+
∂R )dV ∂z
，
其中 S 取外侧为正侧。
证明：无妨设V 是 xy 型域，如前图 22.4，那么
∫∫ Rdxdy = ∫∫ R ( x, y, z)dxdy + ∫∫ R ( x, y, z)dxdy + ∫∫ R ( x, y, z)dxdy
→
V
=
(
P
(
x,
y,
z
)
,
Q( x, y, z),
R ( x, y, z)) ；
又设 S 为有侧曲面，它的正侧单位法向量为
→
n
=
(cosα
,
cos
β
,
cos
r
)，
下面求单位时间内，流体从负侧流向正侧的流量。
现对曲面 S 作分割
T ： S1, S2 , S3 , ， Sn ；
那么单位时间内流经小曲面 Si 的净流量近似为
)dxdy
+
(
∂R ∂y
−
∂Q ∂z
)dydz
+
(
∂P ∂z
−
∂R ∂x
)dzdx
其中 S 的侧与 L 的方向按右手法则确定。
证明：为了使证明简洁，不妨设曲面 S 为
S ： z = z ( x, y), ( x, y)∈ D ，
如图 22.6，易知（评注：下面第一个等号成立的理由是，先取两ΔSi
∑ = lim T →0
Pi cosαiΔSi + Qi cos βiΔSi + Ri cos riΔSi
∑ = lim T →0
Pi ΔSi
yz
+
Qi
ΔS i
zx
+
Ri
ΔS i
xy
，
这个极限记作
∫∫ P ( x, y, z)dydz + Q ( x, y, z) dzdx + R ( x, y) dxdy 。
2．有侧曲面的投影面积
如图 22.2，曲面 S 在 xy 平面的投影为平面区域 D ，其面积记为 ΔD ，据面积定义知
→
ΔD ≥ 0 ； 当曲面 S 被规定了正侧时（图中的 n 表示曲面 S 的正侧法向量），规定曲面 S 在
xy 平面的投影面积为
ΔS xy
=
⎪⎧ ΔD, ⎨ ⎪⎩−ΔD,
因此，用 ΔS 表示曲面 S 的面积时有
S
2．第二型曲面积分定义
定义 1（第二型曲面积分，见教材）简言之，
∫∫ P ( x, y, z)dydz
S
∫∫ Q ( x, y, z)dzdx
S
∫∫ R ( x, y, z)dxdy
S
∑ ( ) lim
T →0
P ξi ,ηi ,ζ i ΔSi yz
∑ ( ) lim
T →0
Q ξi ,ηi ,ζ i ΔSi zx
cos(n, z) ≥ 0
，
cos(n, z) < 0
ΔSxy ≈ ΔS cos(n, z) ；
同理规定 ΔS yz 和 ΔSzx ，同样有
ΔSyz ≈ cos(n, x)ΔS ；
ΔSzx ≈ cos(n, y)ΔS 。
二 第二型曲面积分概念
1．第二型曲面积分的引入
设 xyz 空间中某种流体的流速为连续的向量函数
S
D
∫∫ 例 1 计算 xyzdxdy ， 其中曲面 S ： x2 + y2 + z2 = 1, x ≥ 0, y ≥ 0 ，取外侧为正侧。 S
解：如图 22.3，
{ } D = x2 + y2 ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0 ，
S1 ： z = 1− x2 − y2 ，
( x, y)∈ D ，
限）：
∫L P ( x, y, z)dx = ∫Γ P ( x, y, z ( x, y))dx
=
−∫∫ D
∂ ∂y
P
(
x,
y,
z
(
x,
y
))dxdy
（格林公式）
= −∫∫ ⎣⎡Py ( x, y, z ( x, y)) + Pz ( x, y, z ( x, y)) zy ( x, y)⎦⎤dxdy D
0
0
（极坐标变换）
（令 r = sin t ）
∫ ∫ =
π
2 sin3t cos2 tdt =
π
2 (sin3t − sin5 t)dt =
2
。
0
0
15
四 两类曲面积分的联系
两类曲面积分的联系（详见教材 P288）：设光滑曲面 S 的正侧法向量为
→
n
=
(cosα
,
cos
β
,
cos
r
)，
那么
∫∫ P(x, y, z)dydz = ∫∫ P(x, y, z) cosαdS ，
上式令 T → 0 ，因为 S 是光滑曲面且 D 是有界闭域，故有 Txy → 0 ，此时据二重积分存
∫∫ 在性（§21.1 定理 21.6）知上式右端极限存在，且为 R ⎡⎣x, y, z ( x, y)⎤⎦dxdy ，故左端极限 D
也存在，这就推出
∫∫ R(x, y, z)dxdy = ∫∫ R ⎡⎣x, y, z ( x, y)⎤⎦dxdy 。
面元，允许取负值。
三 第二型曲面积分的计算
注 2 当曲面 S 的方程为 x = x0 或 y = y0 时，有
∫∫ R(x, y, z)dxdy = 0 ，
S
这是因为投影面积 ΔS xy = 0 。
定理 22.2 设光滑曲面 S ： z = z ( x, y) ,( x, y) ∈ D 的上侧是正侧，函数 R(x, y, z) 在曲
0 = 2aπ ln a 。
a2 −h2
h
§22.2 第二型曲面积分
一 曲面的侧 空间曲面“莫比乌斯带”是单侧曲面，如下图，（也可以参见动画图片库“莫比乌斯带”）。 本章仅讨论双侧曲面。
1．约定：若双侧曲面 S 的正侧未指明，则认为：当 S 为封闭曲面时，外侧为正侧；当
S 由函数 z = f ( x, y), ( x, y) ∈ D 表示时，上侧为正侧。
S
S2 ↑
S1 ↓
S3
= ∫∫ R ( x, y, z2 ( x, y))dxdy − ∫∫ R ( x, y, z1 ( x, y))dxdy + 0
D
D
∫∫ ∫∫ ∫ = R ( x, y, z) z2 dxdy = dxdy z2 ∂Rdz
D
z1
D
z1 ∂z
=
∫∫∫ V
∂Rdxdydz ∂z
。
一 高斯公式
§22.3 高斯公式与斯托克斯公式
注 1 图 22.4 中立体V 称为 xy 型区域，类似有 yz 型域， zx 型域。一般来说，空间立 体都可以分拆为若干个 xy − yz − zx 型域（指 xy 型且 yz 型且 zx 型域）。
定理 22.3 设空间区域V 由光滑的双侧封闭曲面 S 围成，函数 P ( x, y, z ) 、Q ( x, y, z ) 、
S
S
∫∫ Q(x, y, z)dzdx = ∫∫ Q(x, y, z) cos β dS ，
S
S
∫∫ R(x, y, z)dxdy = ∫∫ R(x, y, z) cos rdS 。
S
S
两类曲面积分的联系也简记为
ndS = (cosα, cos β , cos r ) dS
= (dydz, dzdx, dxdy)
其余类似可证。
∫∫ ( ) 例 1 计算 y ( x − z )dydz + x2dzdx + y2 + zx dxdy ，其中曲面 S 如图 22.5，取外侧 S
为正侧。
解：由高斯公式知
∫∫ y ( x − z)dydz + x2dzdx + ( y2 + zx) dxdy
S
=
∫∫∫ (
y
+
0+
( ) 在 Si 上任取点 Pi ( xi , yi , zi ) ，在σ i 上相应得到点 Qi ( xi , yi ) ，显然这里的 zi = z xi , yi ，
于是
∑ ∑ ( ) R ( xi , yi , zi ) ΔSi xy = R xi , yi , z ( xi , yi ) Δσi ，
。
二 斯托克斯公式
定 理 22.4 设光滑曲面 S 的边界 L 是按段光滑的连续曲线，若函数 P ( x, y, z ) 、
Q ( x, y, z) 、 R ( x, y, z) 在 S （连同 L ）上连续，且有一阶连续偏导数，则