浙江省诸暨市牌头中学2020届高考数学 国庆假期作业(含解析)
浙江省诸暨市牌头中学高中数学人教A版必修5练习：1.1.4正弦定理余弦定理习题课 含答案
习题课1一、选择题1、在△ABC 中，已知A=60°，3=a ，1=b ，则=c （)（A ）1 （B ）2（C ）3 （D ）22、在△ABC 中，已知()ac B b c a 3tan 222=-+，则B= ( ）(A ）30° （B ）60° （C)30°或150° （D ）60°或120°3、在△ABC 中,已知B=30°,22=b ，4=a ，则=c （ ） （A ）232±(B)232+ （C ）232- （D)213- 4、已知锐角△ABC 的边长分别为3，4，x ，则x 的取值范围是 ( ）（A ）51<<x （B)71<<x （C ）57<<x（D ）77<<x5、在△ABC 中，已知23cos )cos(=+-B C A ,ac b=2，则B= （ ）（A ）30° (B ）60° （C)30°或150° （D ）60°或120°6、在△ABC 中，已知cC b B a A cos cos sin ==，则△ABC 的形状是 （ ）(A)等腰三角形 （B)等边三角形 （C ）直角三角形 （D ）等腰直角三角形 二、填空题7、在△ABC 中，已知AB=2,AC=1，则角B 的取值范围是__________. 8、已知等边△ABC 内接于圆O ，点P 在圆上，且PC 交AB 于D ，满足AD ：DB=3：5，若AP=6，则BP=__________。
9、在△ABC 中，已知A=120°，5=c ，7=a ，则△ABC 的面积为________.10、在△ABC 中，AD 是角A 的平分线，A=60°，AD=AB=2，则CD=______。
三、解答题11、在△ABC 中,已知b c a222=-，C A C A sin cos 3cos sin =，求b 。
浙江省诸暨市牌头中学2020-2021学年高二下学期数学(理)试题
浙江省诸暨市牌头中学2020-2021学年高二下学期数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若集合{}|1A x x =<，{}0,1,2B =，()R C A B ⋂=A ．{}1,2B ．{}0,1C ．{}0,1,2D ．{}|1x x ≥ 2．已知复数z 满足2z i i ⋅=-，则z =A ．12i --B ．12i -+C ．12i -D ．12i + 3．“11x<”是“1x >”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 4．下列函数中值域为（0，+∞）的是A ．12x y =B ．y =C ．y =D ．212x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭5．若12log 1x >，则x 的取值范围是 A ．12x < B ．102x << C ．12x > D ．0x < 6．观察2'()2x x =，4'3()4x x =，'(cos )sin x x =-，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，记()g x 为()f x 的导函数，则()g x -=A ．()f xB ．()f x -C ．()g xD ．()g x -7．函数(01)||xxa y a x =<<的图像的大致形状是（ ）A ．B ．C ．D ．8．若3n x ⎛⎫ ⎝展开式中二项式系数之和为128，则展开式中31x 的系数是 A ．21 B ．－21 C ．12- D ．129．若,,,a b t x 都是实数，且1,0a b t <，x a a t =+，则x b 与b t +的大小关系是 A ．x b b t >+ B ．x b b t =+ C ．x b b t <+ D ．不能确定 10．由两个1、两个2、一个3、一个4这六个数字组成6位数，要求相同数字不能相邻，则这样的6位数有A ．12个B ．48个C ．84个D ．96个二、填空题11．设某气象站天气预报准确率为，则在3次预报中恰有2次预报准确的概率是 ．12．设函数()21,1{,1x x f x ax x +<=≥，满足()()0f f 2a =，则a 的值是__________。
浙江省绍兴市诸暨市2020届高三数学上学期期末考试试题(含解析)
浙江省绍兴市诸暨市2020届高三数学上学期期末考试试题（含解析）一、选择题1.若{}|1P x x =<，{}|0Q x x =>，全集为R ，则（ ） A. P Q ⊆B. Q P ⊆C. R Q C P ⊆D.R C P Q ⊆【答案】D 【解析】 【分析】根据集合的基本关系和补集运算，即可求出结果.【详解】因为{}|1P x x =<，所以{}=|1R C P x x ≥，又{}|0Q x x =>， 所以R C P Q ⊆， 故选：D.【点睛】本题主要考查集合之间的基本关系，熟练掌握集合间的基本关系是解题的关键.2.双曲线2213y x -=的焦点坐标为（ ）A. ()B. ()2,0±C. (0,D. ()0,2±【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线方程的标准形式，得到,,a b c 的值，即可得到焦点坐标.【详解】由双曲线方程2213y x -=可知，1,a b ==所以2c =，所以双曲线2213y x -=的焦点坐标为()2,0±，故选：B.【点睛】本题主要考查双曲线的基本性质，考查基础知识的简单应用，熟练掌握双曲线的基本性质是解题的关键．3.已知,a b ∈R ，i 是虚数单位，a ibi a i-=+，则b 可取的值为（ ） A. 1 B. -1C. 1或-1D. 任意实数【答案】C 【解析】 【分析】首先根据复数的除法运算求出22212=11a i a ai a i a a --=-+++，然后再根据复数相等，可得2221=012=1a a ab a ⎧-⎪⎪+⎨⎪-⎪+⎩，据此即可求出结果. 【详解】由于()()()222212=11a i a i a a i a i a i a i a a ---=-++-++，所以22212=11a a i bi a a --++，所以2221=01112=1a a ab a b a ⎧-⎪=⎧⎪+⇒⎨⎨=-⎩⎪-⎪+⎩ 或11a b =-⎧⎨=⎩ ，所以b 可取的值为1或-1， 故选：C ．【点睛】本题主要考查复数的基本运算和相关性质，熟练掌握运算公式和相关性质是解题的关键．4.已知公比为q 的等比数列{}n a 的首项10a >，则“1q >”是“53a a >”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】根据等比数列的性质可得530,0a a >>，若53a a >，可得21q >，然后再根据充分条件和必要条件的判断方法即可得到结果．【详解】由于公比为q 的等比数列{}n a 的首项10a >， 所以530,0a a >>，若53a a >，则233a q a >，所以21q >，即1q >或1q <-，所以公比为q 的等比数列{}n a 的首项10a >， 则“1q >”是“53a a >”的充分不必要条件， 故选：A.【点睛】本题主要考查了等比数列的相关性质和充分必要条件的判断方法，熟练掌握等比数列的性质是解题的关键. 5.已知023a <<，随机变量ξ的分布列如图：则当a 增大时，ξ的期望()E ξ变化情况是（ ）A. ()E ξ增大B. ()E ξ减小C. ()E ξ先增后减D. ()E ξ先减后增 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据随机变量的分布列的性质可知()1=3113E b a b ξ⎧-+⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩，进而得到()1=3E a ξ-，据此即可求出结果.【详解】由题意可知()()1=1213=133313E b E a a a b ξξ⎧-+⎪⎪⇒-+-=-⎨⎪++=⎪⎩， 所以则当a 增大时，ξ的期望()E ξ减小， 故选：B.【点睛】本题主要考查了随机变量的分布列的性质，熟练掌握随机变量的分布列的性质是解题的关键.6.若函数()()2sin 06,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+<<<⎪⎝⎭的图象经过点,26π⎛⎫⎪⎝⎭和2,23π⎛⎫- ⎪⎝⎭，则要得到函数()2sin g x x ω=的图象，只需把()f x 的图象（ ） A .向左平移6π个单位 B. 向左平移12π个单位 C. 向右平移6π个单位 D. 向右平移12π个单位【答案】D 【解析】 【分析】首先根据函数()f x 的条件可求出 =T π，再根据2=T πω，即可求出=2ω，将()()2sin 2f x x ϕ=+可得=6πϕ，再根据三角函数图像平移的特点即可得到结果.【详解】因为函数()()2sin 06,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+<<<⎪⎝⎭图象经过点,26π⎛⎫⎪⎝⎭和2,23π⎛⎫- ⎪⎝⎭，可知这两个点分别是函数的最高点和最低点， 则有2==2362T T ππππ-=⇒， 由2=T πω可得=2ω，满足06ω<<（注：若这两个点不是相邻的最高点和最低点，则ω不满足06ω<<）；再将点,26π⎛⎫⎪⎝⎭带入函数()()2sin 2f x x ϕ=+，可得=6πϕ；所以()2sin 2=2sin 2612f x x x π⎡π⎤⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦向右平移12π个单位， 可得到函数2sin 2g x x 的图象.故选：D.【点睛】本题主要考查了三角函数的解析式的求法和三角函数图像的平移，本题的关键是判断点,26π⎛⎫⎪⎝⎭和2,23π⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数的相邻两个点，如果不是则ω不满足06ω<<，这是解决本题的突破口.7.某几何体的正视图与侧视图如图所示：则下列两个图形①②中，可能是其俯视图的是（ ）A. ①②都可能B. ①可能，②不可能C. ①不可能，②可能D. ①②都不可能【答案】A 【解析】 【分析】由三视图的正视图和侧视图分析，几何体上部、中部、下部的形状，判断，可得出选项． 【详解】若是①，可能是三棱锥； 若是②，可能是棱锥和圆锥的组合； 所以①②都有可能， 故选：A.【点睛】本题考查简单空间图形的三视图，考查空间想象能力，是基础题． 8.已知,0a b >，1a b +=，则12211a b +++的最小值是（ ）A. 95B.116C.75D.221+【答案】A 【解析】【分析】由权方和不等式可得，212212121112a b a b⎛⎫+⎪⎝⎭+≥+++++，将1a b+=代入，即可求出结果. 【详解】由权方和不等式,0a b>，1a b+=，2192212292=+11521115122221a b ba a b⎛⎫+⎪⎝⎭+≥==+++++++，当且仅当2=11212ba++时，取等号；故选：A.【点睛】本题主要考查了权方和不等式，权方和不等式：若0,0i ia b>>，则222212121212()()n nn na a a aa ab b b b b b++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+≥++⋅⋅⋅成立；当i ia bλ=时，等号成立.9.正四面体A BCD-中，BCD在平面α内，点E在线段AC上，2AE EC=，l是平面α的垂线，在该四面体绕CD旋转的过程中，直线BE与l所成角为θ，则sinθ的最小值是（）732217【答案】A 【解析】 【分析】根据相对运动，让正四面体A BCD -保持静止，平面α绕着CD 旋转，故其垂直线l 也绕着CD 旋转，取AD 上的点F ，使得2AFDF= ，连接EF ，则//EF CD ，等价于平面α绕着EF 旋转，在BEF 中，由余弦定理可得7cos 7BEF ∠=； 再将原问题抽象为几何模型，平面的垂线可以看做圆锥底面半径EP ，绕着圆锥的轴EF 旋转，可得22BEF PEB BEF ππ-∠≤∠≤+∠，进而求出结果.【详解】由题意可知，根据相对运动，让正四面体A BCD -保持静止，平面α绕着CD 旋转， 故其垂直线l 也绕着CD 旋转，取AD 上的点F ，使得2AFDF= ， 连接EF ，则//EF CD ，等价于平面α绕着EF 旋转， 在BEF 中，2723BC BE BF ===,， 22227427+3337cos 7274233BEF ⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∠==⨯⨯；如下图所示，将问题抽象为几何模型，平面的垂线可以看做圆锥底面半径EP ，绕着圆锥的轴EF 旋转，显然7sin 1227BEF PEB BEF ππθ-∠≤∠≤+∠⇒≤≤ ， 故选:A.【点睛】本题考查了空间几何体中的动态问题，同时考查了数学转化思想，解题时要注意空间思维能力的培养，注意旋转问题的合理运用．10.已知函数()2f x x x b =-++的定义域为[]0,1，值域包含于区间[]0,1，且存在实数00102x y ≤<≤满足：()002f x y =，()002f y x =，则实数b 的取值范围是（ ） A. 30,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 13,44⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. 33,164⎛⎤⎥⎝⎦ D. 31,164⎛⎤⎥⎝⎦ 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据题意可得20000(2)42,f x x x b y =-++=20000(2)42f y y y b x =-++= 两式相减可得0034x y +=，可得00313,448x y ⎡⎫=-∈⎪⎢⎣⎭，进而可得2003434b x x =-+，据此即可求出结果.【详解】解: 函数()2f x x x b =-++的定义域为[]0,1，可得值域为：,41b b ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦∴0114b b ≥⎧⎪⎨+≤⎪⎩，即304b ≤≤，两式相减可得()()22000000003424x y xy y x x y --+-=-⇒+=，故可得00313,448x y ⎡⎫=-∈⎪⎢⎣⎭，代入可得2003434b x x =-+，故可得31,164b ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦， 综上：31,164b ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦ 故选:D.【点睛】本题主要考查了二次函数的相关性质和转化思想，本题属于中等题. 二、填空题11.已知函数()221,1,1x x f x x x +<⎧=⎨≥⎩，则12f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭______；若()1f a =，则a =______. 【答案】 (1). 4 (2). 0或1 【解析】【分析】根据分段函数的性质即可求出12f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭值；对a 进行分类讨论，判断1a <和1a ≥，即可求出结果. 【详解】()112,2422f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=∴== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；故142f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 若1a <，则2110a a +=⇒=；若1a ≥，则211a a =⇒=，故0a =或1a =. 故答案为：4，0或1【点睛】本题主要考查分段函数的相关性质，以及分段函数值的求法，掌握分段函数每段的定义域是解题关键.12.若二项式3nx ⎛⎝展开式各项系数和为64，则n =______；常数项为______.【答案】 (1). 6 (2). 135 【解析】 【分析】利用二项式系数和公式列出方程求出n 的值，将n 的值代入二项式，利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令x 的指数为0求出r 的值，将r 的值代入通项求出常数项． 【详解】令1x =，则2646n n =⇒=；()()1366622166313rr r r r r r r T C x x C x ----+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，36042r r -=⇒=，故常数项为()442613135C -=.故答案为：6，135【点睛】解决二项展开式的特定项问题一般利用二项展开式的通项公式；二项式系数和公式为2n ．13.若实数x ，y 满足约束条件24010x y x y x y +-≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩，则2x y +的最大值是______；若01a <<，且ax y +的最大值为3，则a =______.【答案】 (1). 5 (2). 14【解析】 【分析】由约束条件作出可行域，联立方程组求出交点、、A B C 的坐标，由数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数求出2x y +的最大值．对a 进行分类讨论，分112a -<-≤-和102a -<-<，利用数形结合，即可求出结果. 【详解】由约束条件作出可行域，如下图：可行域的三个交点分别为()()11,,2,1,4,422A B C ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,则2x y +在()2,1B 处取到最大值，故2x y +的最大值为5；,10y ax a =--<-<；若112a -<-≤-，点()2,1B 处取到最大值，则2131a a +=⇒=（舍）； 若102a -<-<，点()4,4C -处取到最大值，则14434a a -+=⇒=；故14a =.故答案为： （1）5；（2）14.【点睛】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，属中档题．14.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，点D 为边AC 上的中点，已知5a =，7b =，8c =，则cos B =______；BD =______.【答案】 (1). 12129【解析】 【分析】对于第一空，根据余弦定理的推论即可求出cos B 的值；对于第二空：方法一，利用向量法()1=2BD BA BC +，两边平方可得()2212cos BD BA BC BA BC B =++⋅果；方法二，倍长中线，由平行四边形法则，得到()22222BD AC BA BC +=+，即可求出结果；方法三，因为cos ADB cos DB 0∠+∠=C ，由余弦定理的推论可知222222022AD BD AB DC BD BC BD AD BD DC+-+-+=⋅⋅，即可求出BD 的值.【详解】解法一：向量法由题意2222564491cos =22582a cb B ac +-+-==⨯⨯，又()1=2BD BA BC +，两边平方可得()2212cos 4BD BA BC BA BC B =++⋅=故答案为:12解法二：平行四边形法则倍长中线，由平行四边形法则，得到()22222BD AC BA BC +=+,即BD =解法三：余弦定理由题意2222564491cos =22582a cb B ac +-+-==⨯⨯，因为cos ADB cos DB 0∠+∠=C ， 则222222022AD BD AB DC BD BC BD AD BD DC+-+-+=⋅⋅代入数据，得到21294BD =，即2BD =，故答案为:12，2. 【点睛】本题主要考查利用余弦定理解三角形；本题可以用多种方法解决，考查了平面向量在解三角形中的应用，考生务必掌握这些基本解题思路解决三角形问题. 15.用0，1，2，3，4组成没有重复数字的四位数，其中奇数有______个. 【答案】36 【解析】 【分析】根据特殊位置优先考虑，先考虑末尾数，有12C 种，在考虑首位非零有13C 种，剩下的两个位置有23A ，然后再根据分步计数原理即可求出结果.【详解】特殊位置优先考虑，先考虑末尾，有12C 种，在考虑首位非零有13C 种， 剩下的两个位置有23A 种，则由分布乘法计数原理，得到共有奇数11223336C C A =种，故答案为:36.【点睛】本题主要考查排列组合和分步计数原理等知识，属于基础题.16.已知a ，b 是不共线的两个向量，若对任意的,m n R ∈，a mb +的最小值为1，()12nn a b -+的最小值为1，若4a b ⋅=，则a ，b 所成角的余弦值为______.【解析】 【分析】对a mb +两边平方，可得()222=8,a mbb m m a m R +++∈,根据二次函数的性质可知，当24m b=-时，()222min161,a mba b+=-+=即222=+16a b b ⋅，同理可得当2222=44a n ba -+-时，()()222222min21==1244a n n ab n a ba -⎡⎤-+=+⎢⎥⎣⎦+-，即2222=+4a b b a ⋅，联立方程组2222222=+16=+4a b b a b b a ⎧⋅⎨⋅⎩即可求出=2=3a b ⎧⎪⎨⎪⎩， 再根据向量的夹角公式即可求出结果. 【详解】因为()222=8,a mb b m m a m R +++∈,所以当24m b=-时，()222min161,a mba b+=-+=即222=+16a b b ⋅，因为()()2222221=42,24n b n a b a n a n a n R ⎛⎫⎡⎤⎪-++---+∈⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭， 所以当2222=44a nb a -+-时，()()222222min21==1244a n n ab n a ba -⎡⎤-+=+⎢⎥⎣⎦+-，即2222=+4a b b a ⋅，所以2222222=2=+16==+43a a b b b a b b a ⎧⎧⋅⎪⇒⎨⎨⋅⎩⎪⎩， 所以3cos =2a b a b θ⋅=⋅. 故答案为：2【点睛】本题主要考查了向量的基本知识，解决本题的关键是利用二次函数的性质求出a mb +的最小值，()12nn a b -+的最小值，是解题的关键.17.已知A ，B 分别是椭圆2212x y +=的右顶点，上顶点，P 是椭圆在第三象限一段弧上的点，PA 交y 轴于M 点，PB 交x 轴于N 点，若//MN AB ，则P 点坐标为__.【答案】1,⎛- ⎝⎭【解析】 【分析】根据椭圆2212x y +=，设,m x n y ==，可得221+=m n ，由题意可知P 是圆在第三象限弧的中点22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，即可得到即m x n y ====.【详解】设,2m x n y ==，从而得到圆方程：221+=m n ；显然P 是圆在第三象限弧的中点22⎛-- ⎝⎭，满足题意，即222m x n y ==-==-，可得1,x y =-=故答案为：1,2⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查了椭圆的相关性质，解答过程采用了换元的思路解题，是解题的关键和突破口. 三、解答题18.已知函数()22sin cos x x f x x =-（1）求函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域；（2）设,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，10213f α⎛⎫= ⎪⎝⎭，求sin α的值.【答案】（1）2⎡⎤⎣⎦,（2 【解析】 【分析】（1）根据题意可知，()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭当0.2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，42333x πππ≤+≤，根据三角函数的性质即可求出()f x 的值域.（2）因为10213f α⎛⎫=⎪⎝⎭，所以5sin 313πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又54633πππα<+<，所以12cos 313πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，根据三角函数的两角差正弦公式sin sin 33ππαα⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，进而求出结果.【详解】（1）()sin 23cos 22sin 23f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，当0.2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，42333x πππ≤+≤， 所以，此时()f x 的值域为3,2⎡⎤-⎣⎦.（2）因为102sin 2313f απα⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以5sin 313πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 54633πππα<+<，所以12cos 313πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，sin sin 33ππαα⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦5123sin cos cos sin 333326ππππαα+⎛⎫⎛⎫=+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的性质，两角差的正弦函数公式的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．19.已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，2PA PD AD ===，点E ，F 分别是PD ，AB 的中点.（1）求证：//AE 平面PFC ；（2）若CF 与平面PCD 6AB 的长. 【答案】（1）证明见解析，（2）2a =【解析】 【分析】（1）取PC 的中点M ，连接MF ，NE ，可得//EM DC ，12EM DC =，进而//EM AF ，EM AF =，所以四边形AFEM 是平行四边形，再根据线面平行的判定定理即可求证.（2）取AD 的中点O ，根据勾股定理和线面垂直的判定定理可得PO ⊥平面ABCD ，再建立空间直角坐标系，利用空间向量即可求出线面角. 【详解】（1）取PC 的中点M ，连接MF ，NE ，∵E ，M 分别为PD ，PC 的中点， ∴//EM DC ，12EM DC =， ∵ABCD 为矩形，∴//EM AF ，EM AF =， ∴四边形AFEM 是平行四边形， ∴//AE FM ，AE ⊄平面PFC ，又∵FM ⊂平面PFC ，∴//AE 平面PFC . （2）取AD 的中点O ，∵2PA PD AD ===，∴PO AD ⊥，3PO =， ∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，∴PO ⊥平面ABCD ， 建立如图坐标系，设2AB a =，则()0,0,3P ，()1,0,0D -，()1,2,0C a -，()1,,0F a ， ∴()1,0,3PD =--，()0,2,0DC a =， ∴平面PCD 的法向量()3,0,1n =-，()2,,0FC a =-，若CF 与平面PCD 所成角为α， ∴2236sin 424a α-==⨯+，∴2a =. 【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理和线面角的求法，本题主要利用空间向量法求线面角，其一般解题技巧如下：求直线与平面所成的角θ (0)2πθ≤≤，设θ为直线l 与平面α所成的角，ω为直线l 的方向向量v 与平面α的法向量n 之间的夹角，则有2πωθ=-（图1）或2πωθ=+（图2）图1 图2即直线l 与平面α所成的角θ可看成是向量v 与平面α的法向量n 所成的锐角的余角，所以有sin cos cos ,v n v n v nθφ⋅===⋅.特别地0φ=时，2πθ=，l α⊥；2πφ=时，0θ=，l α⊆或//l α.20.数列{}n a 是公比为正数的等比数列，12a =，2312a a +=；数列{}n b 前n 项和为n S ，满足23b =，()()12n n nS b n N +=+∈. （1）求1b ，3b 及数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）求112233n n a b a b a b a b ++++.【答案】（1）11b =，35b =，2nn a =，n N +∈，21n b n =-，n N +∈，（2）()12326n n +-+，n N +∈【解析】 【分析】（1）方法一：（数列定义）易知()223112a a a q q+=+=，可得2q，故2n n a =，n N +∈；()1111112S b b =+⇒=，()333334152S b b b =+=+⇒=，()12n n nS b =+，则()11112n n n S b ---=+，2n ≥，两式相减得()()1211n n n b n b --=--，则()()12321n n n b n b ---=--，3n ≥，同理两式相减得122n n n b b b --=+，3n ≥，则{}n b 为等差数列，故21n b n =-，n N +∈. （1）方法二：（数学归纳法）同方法一，猜想21n b n =-，n N +∈，然后再利用数学归纳法证明. （2）方法一：利用错位相减法求和，由（1）可知()212nn n a b n =-，1122n n n T a b a b a b =+++()21232212n n =⋅+⋅+⋅⋅⋅+-，则()()23121232232212n n n T n n +=⋅+⋅++-+-，两式相减整理得， n T ()12326n n +=-+，n N +∈.（2）方法二：利用裂项求和，由（1）可知()212nn n a b n =-，注意到()()()1212232252n n n n n n +-=---，再采用裂项相消法求和.【详解】（1）方法一：（数列定义） 易知()223112a a a q q+=+=，解得2q或3q =-，又公比为正数，则2q ，故112n n n a a q -==，n N +∈；()1111112S b b =+⇒=，()333334152S b b b =+=+⇒=，()12n n n S b =+，则()11112n n n S b ---=+，2n ≥，两式相减得()()1211n n n b n b --=--，则()()12321n n n b n b ---=--，3n ≥，同理两式相减得122n n n b b b --=+，3n ≥（注：1b ，3b 也符合），则{}n b 为等差数列，故21n b n =-，n N +∈.（1）方法二：（数学归纳法） 易知()223112a a a q q+=+=，解得2q或3q =-，又公比为正数，则2q ，故112n n n a a q -==，n N +∈；()1111112S b b =+⇒=，()333334152S b b b =+=+⇒=，猜想21n b n =-，n N +∈，用数学归纳法证明. ①当1n =时，11b =成立；②假设当n k =时，21k b k =-成立， 当1n k =+时，()21111112k k k k k k S b k b S b +++++=+=+=+，则()21121k k b k k +-=--，即121k b k +=+，故当1n k =+时，结论也成立.由①②可知，对于任意的n N +∈，21n b n =-均成立.（2）方法一：（错位相减法求和）由（1）可知()212nn n a b n =-，1122n n n T a b a b a b =+++()21232212n n =⋅+⋅+⋅⋅⋅+-，则()()23121232232212n n n T n n +=⋅+⋅++-+-，两式相减整理得， ()23122222(21)2n n n T n +=--⋅++++-()12326n n +=-+，n N +∈.（2）方法二：（裂项求和）由（1）可知()212nn n a b n =-，注意到()()()1212232252nn n n n n +-=---，故1122n n n T a b a b a b =+++()()()1112322522326ni i n i i i n ++=⎡⎤=---=-+⎣⎦∑，n N +∈. 【点睛】本题主要考查了数列通项公式和求和的常见方法，针对数列{}n n a b ⋅（其中数列{}{},n n a b 分别是等差数列和等比数列（公比1q ≠）），一般采用错位相减法求和，错位相减的一般步骤是:1.112233...n n n S a b a b a b a b =++++…①；2.等式112233...n n n S a b a b a b a b =++++两边同时乘以等比数列{}n b 的公比，得到112233...n n n qS a b q a b q a b q a b q =++++…②；3.最后①-②，化简即可求出结果.21.已过抛物线C ：24x y =的焦点F 作直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，以A ，B 两点为切点作抛物线的切线，两条直线交于P 点. （1）当直线l 平行于x 轴时，求点P 的坐标； （2）当2PA PB=时，求直线l 的方程.【答案】（1）()0,1P -，（2）314y x =±+ 【解析】 【分析】（1）依题l 的方程为1y =，联立抛物线方程可得()2,1A ，()2,1B -，利用导数求出 在A ，B 处的切线，再联立切线方程即可求出P 点坐标.（2）设l 的方程为1y kx =+，()11,A x y ，()22,B x y ，利用切线方程联系即可求出12,12x x P +⎛⎫- ⎪⎝⎭. 法一：根据弦长公式可得，PA 2112x x =-，PB 2112x x =-，再根据2PA PB=()2212444x x ⇒+=+，将124x x =-代入即可求出结果.法二：依题：()()()()22121221222214414x x y PA PBx x y -++=-++=，化简可得2212412x x =+，结合124x x =-，进而求出结果.得【详解】（1）依题可知()0,1F ，当直线l 平行于x 轴时，则l 的方程为1y =，所以可得()2,1A ，()2,1B -，又22114'42x y y x y x =⇒=⇒=； 所以在A ，B 处的切线分别为：()2122y x -=-，()2122y x --=+，即1y x =-，1y x =--，联立两切线可得1011y x x y x y ⎧=-=⎧⇒⎨⎨=--=-⎩⎩，所以()0,1P -. （2）设l 的方程为1y kx =+，()11,A x y ，()22,B x y ，则联立有2214404y kx x kx x y =+⎧⇒--=⎨=⎩，所以121244x x k x x +=⎧⎨=-⎩，在A 处的切线为：()221111111114224y x x x x y x x x -=-⇒=-， 同理可得，在B 处切线：()222222211114224y x x x x y x x x -=-⇒=-， 联立有：212112221124211124x x y x x x x y y x x x ⎧+=-⎧⎪=⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪=-=-⎩⎪⎩，即点12,12x x P +⎛⎫- ⎪⎝⎭.法一：1x PA -=2112x x =-，同理可得：2x PB =-2112x x =-，所以2PA PB===()2212444x x ⇒+=+，又因为124x x =-， 所以解得221x =，所以21x =±，得14x =-，21x =或14x =，21x =-.所以直线方程为：314y x =±+.法二：依题：()()()()22121221222214414x x y PAPB x x y -++=-++=()()()()221212222212122144x x x x x x x x x x --+=--+，解得2212412x x =+，结合124x x =-得14x =，21x =-或14x =-，21x =.所以直线方程为：314y x =±+. 【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，以及圆锥曲线中弦长公式的应用. 22.已知函数()11114x x ee ax af x ++⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，其中 2.718e =⋅⋅⋅是自然对数的底数，()()'g x f x =是函数()f x 的导数.（1）若()g x 是R 上的单调函数，求a 的值； （2）当78a时，求证：若12x x ≠，且122x x +=-，则()()122f x f x +>. 【答案】（1）1a =，（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）对()()'g x f x =求导，可得()()11'1x x eex g x a a ++=---，令()11x e x a G x a +=---，则()0G x ≥恒成立，由于()10G -=，所以()'10G -=，即可求出结果. （2）方法一：利用消元求导，由题意可得()()111731484x x ee xf x ++⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭， 令1x t ，120t t +=，不妨设210t x =+>，()173484tt h e e t t ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，令()()()H t h t h t =+-173173484484tt t t e e t e e t --⎛⎫⎛⎫=-++++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，原题即证明当0t >时，()2H t >，利用导数在不等式中应用，即可求出结果. 方法二：利用切线放缩法，化解过程同方法一，原题即证明当0t >时，()()()2H t h t h t =+->，()173484t t h e e t t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，注意到()00173014840e h e ⎛⎫=-⨯+= ⎪⎝⎭，求出()173484t t h e e t t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在()0,1处的切线方程为318y t =+.下面证明()318h t t ≥+恒成立（0t >）；令()()318F t h t t =--，然后再利用导数在不等式中应用，和不等式放缩即可证明结果. 【详解】（1）()()1112'1x x e e ax g x f x ++⎛⎫=-- ⎝=⎪⎭，()()11'1x x e e x g x a a ++=---，由题意()110x eax a G x +=---≥恒成立，由于()10G -=，所以()'10G -=，解得1a =.方法一：消元求导死算 （2）()11171488x x ex e f x ++⎛⎫=-- ⎪⎝⎭()111731484x x e e x ++⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，令1x t ，120t t +=，不妨设210t x =+>，()173484tt h e e t t ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，令()()()H t h t h t =+-173173484484tt t t e e t e e t --⎛⎫⎛⎫=-++++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，原题即证明当0t >时，()2H t >，()171171288288'tt t t e e t e e H t t --⎛⎫⎛⎫=---+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()()171288t t t t t t t te e e e t e e e e ----=+--+-- ()()()()711208216t t t t t t t t e e e e t e e e e ----⎡⎤⎡⎤=+--+-+-≥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，其中 ()()11'1022t t t t e e t e e --⎡⎤--=+-≥⎢⎥⎣⎦，因为()02H =，所以当0t >时，()2H t >，得证. 方法二：切线放缩化解过程同上，原题即证明当0t >时，()()()2H t h t h t =+->，()173484tt h e e t t ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，注意到()00173014840e h e ⎛⎫=-⨯+=⎪⎝⎭，求出()173484t t h e e t t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在()0,1处的切线方程，则()171288'tt h e e t t ⎛⎫=--⎪⎝⎭，即()3'08h =，则：切线方程为318y t =+.下面证明()318h t t ≥+恒成立（0t >）；令()()318F t h t t =--，则()1713002888't t e e t t F t ⎛⎫=---=⇒= ⎪⎝⎭，得()'0F t >在0t >恒成立，故()F t 在（0t >）上单调递增，()()()31008F t h t t F =-->=恒成立，故()318h t t ≥+恒成立，同理可证()h t -始终位于()h t -在()0,1处的切线318y t =-+的上方，即：()318h t t -≥-+（实际上()h t 与()h t -关于y 轴对称），故()()()H t h t h t =+-3311288t t ⎛⎫>++-+= ⎪⎝⎭恒成立，原不等式得证.【点睛】本题主要考查了导数在恒成立和不等式证明中的应用；本题第（2）问中的方法一，对()()111731484x x ee xf x ++⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭这一步化简和后面的换元是关键；方法二的切线放缩是难点，平时学生们要加强训练.。
2020年高考数学真题试题(浙江卷)(Word版+答案+解析)
2020年高考数学真题试卷（浙江卷）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合P ＝{x|1＜x ＜4}，Q ＝{x|2＜x ＜3}，则P∩Q ＝（ ） A. {x|1＜x≤2} B. {x|2＜x ＜3} C. {x|3≤x ＜4} D. {x|1＜x ＜4}2.已知a ∈R ，若a ﹣1+（a ﹣2）i （i 为虚数单位）是实数，则a ＝（ ） A. 1 B. ﹣1 C. 2 D. ﹣23.若实数x ，y 满足约束条件 {x −3y +1≤0x +y −3≥0 ，则z ＝x+2y 的取值范围是（ ）A. （﹣∞，4]B. [4，+∞）C. [5，+∞）D. （﹣∞，+∞） 4.函数y ＝xcosx+sinx 在区间[﹣π，+π]的图象大致为（ ）A. B.C. D.5.某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积（单位：cm 3）是（ ）A. 73B. 143 C. 3 D. 66.已知空间中不过同一点的三条直线m ，n ，l ，则“m ，n ，l 在同一平面”是“m ，n ，l 两两相交”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 7.已知等差数列{a n }的前n 项和S n ， 公差d≠0， a 1d≤1．记b 1＝S 2 ， b n+1＝S n+2﹣S 2n ， n ∈N*，下列等式不可能成立的是（ ）A. 2a 4＝a 2+a 6B. 2b 4＝b 2+b 6C. a 42＝a 2a 8D. b 42＝b 2b 88.已知点O （0，0），A （﹣2，0），B （2，0）．设点P 满足|PA|﹣|PB|＝2，且P 为函数y ＝3 √4−x 2 图象上的点，则|OP|＝（ ）A. √222B. 4√105C. √7D. √109.已知a ，b ∈R 且ab≠0，若（x ﹣a ）（x ﹣b ）（x ﹣2a ﹣b ）≥0在x≥0上恒成立，则（ ） A. a ＜0 B. a ＞0 C. b ＜0 D. b ＞0 10.设集合S ，T ，S ⊆N*，T ⊆N*，S ，T 中至少有两个元素，且S ，T 满足：①对于任意x ，y ∈S ，若x≠y ，都有xy ∈T ；②对于任意x ，y ∈T ，若x ＜y ，则 yx ∈S ；下列命题正确的是（ ）A. 若S 有4个元素，则S ∪T 有7个元素B. 若S 有4个元素，则S ∪T 有6个元素C. 若S 有3个元素，则S ∪T 有4个元素D. 若S 有3个元素，则S ∪T 有5个元素二、填空题：本大题共7小题，共36分。
2020年高考数学浙江卷(附答案与解析)
数学试卷 第1页（共18页） 数学试卷 第2页（共18页）绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数 学分别表示台体的上、下底面积，h 选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|14}x P x =＜＜，{}23Q x =＜＜，则P Q （ ）A .{|12}x x ＜≤B .{|23}x x ＜＜C .{|34}x x ≤＜D .{|14}x x ＜＜ 2.已知a ∈R ，若()–12i a a +-(i 为虚数单位)是实数，则a =（ ）A .1B .–1C .2D .–23.若实数x ，y 满足约束条件31030x y x y -+⎧⎨+-⎩≤≥，则2z x y =+的取值范围是（ ）A .(,4]-∞B .[4,)+∞C .[5,)+∞D .(,)-∞+∞4.函数cos sin y x x x =+(,)-∞+∞区间[–π,]π+的图象大致为（ ）ABCD5.某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积（单位：3cm ）是（ ）A .73B.143C .3D .66.已知空间中不过同一点的三条直线m ，n ，l ，则“m ，n ，l 在同一平面”是“m ，n ，l 两两相交”的 （ ）A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件7.已知等差数列{}n a 的前n 项和n S ，公差0d ≠，11a d≤．记12b S =，1222–n n n S S ++=，n *∈N ，下列等式不可能成立的是（ ）A .4262a a a =+B .4262b b b =+-------------在------------------此------------------卷------------------上------------------答------------------题--------------------无------------------效---------------毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________________________ _____________数学试卷 第3页（共18页） 数学试卷 第4页（共18页）C .2428a a a =D .2428b b b = 8.已知点()0,0O ，()–20A ,，()20B ，．设点P 满足–2PA PB =，且P 为函数y =图像上的点，则OP =（ ）ABCD9.已知a ，b ∈R 且0ab ≠，若()()()–––20x a x b x a b -≥在0x ≥上恒成立，则（ ）A .0a ＜B .0a ＞C .0b ＜D .0b ＞10.设集合S ，T ，*S ⊆N ，*T ⊆N ，S ，T 中至少有两个元素，且S ，T 满足： ①对于任意x ，y S ∈，若x y ≠，都有xy T ∈ ②对于任意x ，y T ∈，若x y ＜，则yS x∈； 下列命题正确的是（ ）A .若S 有4个元素，则S T 有7个元素B .若S 有4个元素，则S T 有6个元素C .若S 有3个元素，则S T 有4个元素D .若S 有3个元素，则ST 有5个元素非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，共36分.多空题每小题6分，单空题每小题4分. 11.我国古代数学家杨辉，朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题，如数列(1)2n n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭就是二阶等差数列，数列(1)2n n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭(N )n *∈的前3项和是________．12.设()2345123455612x a a x a x a x a x a x +=+++++，则5a = ________；123a a a ++=________．13.已知tan 2θ=，则cos2θ=________；πtan()4θ-=______．14.已知圆锥的侧面积（单位：2cm ）为2π，且它的侧面积展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单位：cm ）是_______．15.设直线:(0)l y kx b k =+＞，圆221:1C x y +=，222:(4)1C x y -+=，若直线l 与1C ，2C 都相切，则k =_______；b =______．16.盒子里有4个球，其中1个红球，1个绿球，2个黄球，从盒中随机取球，每次取1个，不放回，直到取出红球为止.设此过程中取到黄球的个数为ξ，则(0)P ξ==_______；()E ξ=______．17.设1e ，2e 为单位向量，满足12|22|e e -≤，12a e e =+，123b e e =+，设a ，b 的夹角为θ，则2cos θ的最小值为_______．三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.在锐角ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2sin 0b A ==． （I ）求角B 的大小；（II ）求cos cos cos A B C ++的取值范围．19.如图，三棱台—ABC DEF 中，面ACFD ⊥面ABC ，45ACB ACD ∠=∠=︒，2DC BC =.（I ）证明：EF DB ⊥；（II ）求DF 与面DBC 所成角的正弦值．数学试卷 第5页（共18页） 数学试卷 第6页（共18页）20.已知数列{}n a ，{}n b ，{}n c 中，1111a b c ===，112,()nn n n n n n b c a a c c n b +++=-=⋅∈*N ． （Ⅰ）若数列{}n b 为等比数列，且公比0q ＞，且1236b b b +=，求q 与n a 的通项公式； （Ⅱ）若数列{}n b 为等差数列，且公差0d ＞，证明：*1211()n c c c n N d++++∈＜．21.如图，已知椭圆221:12x C y +=，抛物线()22:20C y px p =＞，点A 是椭圆1C 与抛物线2C 的交点，过点A 的直线l 交椭圆1C 于点B ，交抛物线2C 于M （B ，M 不同于A ）．（Ⅰ）若116p =，求抛物线2C 的焦点坐标； （Ⅱ）若存在不过原点的直线l 使M 为线段AB 的中点，求p 的最大值．22.已知12a ＜≤，函数()e x f x x a =--，其中 2.71828e =为自然对数的底数．（Ⅰ）证明：函数()y f x =在()0+∞，上有唯一零点； （Ⅱ）记0x 为函数()y f x =在()0+∞,上的零点，证明： （i0x ； （ii ）()()()00e e 11x x f a a --≥．-------------在------------------此-------------------卷------------------上-------------------答-------------------题-------------------无------------------效----------------毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________数学试卷 第7页（共18页） 数学试卷 第8页（共18页）2020年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学答案解析一、选择题 1.【答案】B 【解析】()()()1,42,32,3P Q ==故选：B【考点】交集概念 【考查能力】基本分析求解 2.【答案】C【解析】因为()()12i a a -+-为实数，所以20a -=，2a =∴ 故选：C【考点】复数概念 【考查能力】基本分析求解 3.【答案】B【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数即：1122y x z =-+，其中z 取得最大值时，其几何意义表示直线系在y 轴上的截距最大，z 取得最小值时，其几何意义表示直线系在y 轴上的截距最小，据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A 处取得最小值， 联立直线方程：31030x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，可得点A 的坐标为：()2,1A ，据此可知目标函数的最小值为：min 2214z =+⨯= 且目标函数没有最大值故目标函数的取值范围是[)4,+∞. 故选：B .4.【答案】A【解析】因为()cos sin f x x x x =+，则()()cos sin f x x x x f x -=--=-， 即题中所给的函数为奇函数，函数图象关于坐标原点对称， 据此可知选项CD 错误；且πx =时，πcos πsin ππ0y =+=-＜，据此可知选项B 错误. 故选：A . 5.【答案】A【解析】由三视图可知，该几何体是上半部分是三棱锥，下半部分是三棱柱， 且三棱锥的一个侧面垂直于底面，且棱锥的高为1， 棱柱的底面为等腰直角三角形，棱柱的高为2， 所以几何体的体积为： 11117211212232233⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：A【考点】根据三视图计算几何体的体积 6.【答案】B【解析】依题意m ，n ，l 是空间不过同一点的三条直线，当m ，n ，l 在同一平面时，可能m n l ∥∥，故不能得出m ，n ，l 两两相交. 当m ，n ，l 两两相交时，设mn A =，m l B =，n l C =，根据公理2可知m ，n确定一个平面α，而,B m C n αα∈⊂∈⊂，根据公理1可知，直线BC 即l α⊂，所以m ，n ，l 在同一平面.综上所述，“m ，n ，l 在同一平面”是“m ，n ，l 两两相交”的必要不充分条件. 故选：B【考点】充分，必要条件的判断 7.【答案】D.数学试卷 第9页（共18页） 数学试卷 第10页（共18页）【解析】对于A ，因为数列{}n a 为等差数列，所以根据等差数列的下标和性质，由4426+=+可得，4262a a a =+，A 正确；对于B ，由题意可知，21212222n n n n n b S a a S ++++=+=-，1212b S a a ==+，234b a a =+∴，478b a a =+，61112b a a =+，81516b a a =+．()47822b a a =+∴，26341112b b a a a a +=+++．根据等差数列的下标和性质，由31177+=+，41288+=+可得()26341112784=2=2b b a a a a a a b +=++++，B 正确；对于C ，()()()()2224281111137222a a a a d a d a d d a d d d a -=+-++=-=-， 当1a d =时，2428a a a =，C 正确； 对于D ，()()22222478111213452169b a a a d a a d d =+=+=++，()()()()2228341516111125229468145b b a a a a a d a d a a d d =++=++=++，()22428112416832b b b d a d d d a -=-=-．当0d ＞时，1a d ≤，()113220d a d d a -=+-∴＞即24280b b b -＞； 当0d ＜时，1a d ≥，()113220d a d d a -=+-∴＜即24280b b b -＞，所以24280b b b -＞，D 不正确． 故选：D .【考点】等差数列的性质应用 8.【答案】D【解析】因为||||24PA PB -=＜，所以点P 在以,A B 为焦点，实轴长为2，焦距为4的双曲线的右支上，由2c =，1a =可得，222413b c a =-=-=，即双曲线的右支方程为()22103y x x -=＞，而点P还在函数y =由()22103y x x y ⎧⎪⎨-⎪==⎩＞，解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即OP ==． 故选：D .【考点】双曲线的定义的应用，二次曲线的位置关系的应用 【考查能力】数学运算 9.【答案】C【解析】因为0ab ≠，所以0a ≠且0b ≠，设()()()(2)f x x a x b x a b =----，则()f x 的零点1x a =，2x b =，32x a b =+当0a ＞时，则23x x ＜，10x ＞，要使()0f x ≥，必有2a b a +=，且0b ＜， 即b a =-，且0b ＜，所以0b ＜；当0a ＜时，则23x x ＞，10x ＜，要使()0f x ≥，必有0b ＜. 综上一定有0b ＜. 故选：C【考点】三次函数在给定区间上恒成立问题 【考查能力】分类讨论思想10.【答案】A【解析】首先利用排除法：若取{}1,2,4S =，则{}2,4,8T =，此时{}1,2,4,8S T =，包含4个元素，排除选项D ；若取{}2,4,8S =，则..，此时{}2,4,8,16,32ST =，包含5个元素，排除选项C ；若取{}2,4,8,16S =，则{}8,16,32,64,128T =，此时{}2,4,8,16,32,64,128ST =，包含7个元素，排除选项B ； 下面来说明选项A 的正确性：设集合{}1234,,,S p p p p =，且1234p p p p ＜＜＜，1234,,,p p p p ∈*N ，则1224p p p p ＜，且1224,p p p p T ∈，则41p S p ∈， 同理42p S p ∈，43p S p ∈，32p S p ∈，31p S p ∈，21pS p ∈，若11p =，则22p ≥，则332p p p ＜，故322pp p =即232p p =，又444231p p p p p ＞＞＞，故442232p pp p p ==，所以342p p =，故{}232221,,,S p p p =，此时52p T ∈，2p T ∈，故42p S ∈，矛盾，舍.若12p ≥，则32311p p p p p ＜＜，故321p p p =，211pp p =，即331p p =，221p p =， 又44441231p p p p p p p ＞＞＞＞，故441331p pp p p ==，所以441p p =，故{}2341111,,,S p p p p =，此时{}3456711111,,,,p p p p p T ⊆. 若q T ∈，则31q S p ∈，故131i qp p =，1,2,3,4i =，故31i q p +=，1,2,3,4i =，数学试卷 第11页（共18页） 数学试卷 第12页（共18页）即{}3456711111,,,,q p p p p p ∈，故{}3456711111,,,,p p p p p T =，此时{}2345671111111,,,,,,S T p p p p p p p ⋃=即S T 中有7个元素.故A 正确. 故选：A .【考点】“新定义”主要是指即时定义新概念，新公式，新定理，新法则，新运算五种 【考查能力】基础数学知识 二、填空题 11.【答案】10 【解析】因为()12n n n a +=，所以11a =，23a =，36a =．即312313610S a a a =++=++=． 故答案为：10.【考点】利用数列的通项公式写出数列中的项并求和 12.【答案】80 122【解析】()512x +的通项为()15522rr r r r r T C x C x +==，令4r =，则444455280T C x x ==，故580a =；113355135555222122a a a C C C ++=++=. 故答案为：80；122【考点】利用二项式定理求指定项的系数问题 【考查能力】数学运算13.【答案】35-13【解析】2222222222cos sin 1tan 123cos2cos sin cos sin 1tan 125θθθθθθθθθ---=-====-+++， πtan 1211tan()41tan 123θθθ---===++，1故答案为：35-；13【考点】二倍角余弦公式以及弦化切，两角差正切公式 【考查能力】基本分析求解 14.【答案】1【解析】设圆锥底面半径为r ，母线长为l ，则 π2π12π2π2r l r l ⨯⨯=⎧⎪⎨⨯⨯=⨯⨯⨯⎪⎩，解得1r =，2l =. 故答案为：1【考点】圆锥侧面展开图有关计算 15.【答案】3【解析】由题意，1C ，2C1=1=，所以||4b k b =+，所以0k =（舍）或者2b k =-，解得3k =，b =-. ；【考点】直线与圆的位置关系 【考查能力】数学运算 16.【答案】131【解析】因为0ξ=对应事件为第一次拿红球或第一次拿绿球，第二次拿红球，所以1111(0)4433P ξ==+⨯=，随机变量0,1,2ξ=212111211(1)434324323P ξ==⨯+⨯⨯+⨯⨯=，111(2)1333P ξ==--=，所以111()0121333E ξ=⨯+⨯+⨯=.故答案为：13；1.【考点】古典概型概率，互斥事件概率加法公式，数学期望 【考查能力】基本分析求解数学试卷 第13页（共18页） 数学试卷 第14页（共18页）17.【答案】2829【解析】12|2|2e e -∵≤124412e e ∴-⋅+≤，1234e e ⋅∴≥，222121222121212(44)4(1)()cos (22)(106)53e e e e a b e e e e e e a b θ+⋅+⋅⋅===+⋅+⋅+⋅⋅∴12424228(1)(1)3332953534e e =--=+⋅+⨯≥.故答案为：2829.【考点】利用模求向量数量积，利用向量数量积求向量夹角，利用函数单调性求最值 【考查能力】综合分析求解 三、解答题18.【答案】（Ⅰ）π3B=（Ⅱ）32⎤⎥⎝⎦【解析】（Ⅰ）由2sin b A 结合正弦定理可得：2sin sin B A A =，sin B =∴ ABC △为锐角三角形，故π3B =. （Ⅱ）结合（Ⅰ）的结论有：12πcos cos cos cos cos 23A B C A A ⎛⎫++=++- ⎪⎝⎭11cos cos 22A A A =-+11cos 22A A =++1sin 6π2A ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.由20π32π02A A π⎧-⎪⎪⎨⎪⎪⎩＜＜＜＜可得：ππ62A ＜＜，ππ2π363A +＜＜，则πsin 3A ⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦，π13sin 232A ⎤⎛⎫++∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦. 即cos cos cos A B C ++的取值范围是32⎤⎥⎝⎦.【考点】解三角形19.【答案】（Ⅰ）证明见解析 【解析】（Ⅰ）作DH AC ⊥交AC 于H ，连接BH ．∵平面ADFC ⊥平面ABC ，而平面ADFC ⋂平面ABC AC =，DH ⊂平面ADFC ， ∴DH ⊥平面ABC ，而BC ⊂平面ABC ，即有DH BC ⊥．45ACB ACD ∠=∠=︒∵，2CD BC CH ==⇒=∴．在CBH △中，22222cos45BH CH BC CH BC BC =+-⋅︒=，即有222BH BC CH +=，BH BC ⊥∴．由棱台的定义可知，EF BC ∥，所以DH EF ⊥，BH EF ⊥，而BHDH H =，EF ⊥∴平面BHD ，而BD ⊂平面BHD ，EF DB ⊥∴．（Ⅱ）因为DF CH ∥，所以DF 与平面DBC 所成角即为与CH 平面DBC 所成角． 作HG BD ⊥于G ，连接CG，由（I ）可知，BC ⊥平面BHD ，因为所以平面BCD ⊥平面BHD ，而平面BCD⋂平面BHD BD =，HG ⊂平面BHD，HG ⊥∴平面BCD ．即CH 在平面DBC 内的射影为CG ，HCG ∠即为所求角． 在Rt HGC △中，设BC a =，则CH，BH DHHG BD ⋅==， sin HG HCG CH ∠===∴ 故DF 与平面DBC ．【考点】空间点，线，面位置关系，线面垂直的判定定理的应用，直线与平面所成的角的求法数学试卷 第15页（共18页） 数学试卷 第16页（共18页）【考查能力】直观想象能力和数学运算20.【答案】（Ⅰ）12q =，1423n n a -+=.（Ⅱ）证明见解析.【解析】（Ⅰ）依题意11b =，223,b q b q ==，而1236b b b +=，即216q q +=，由于0q ＞，所以解得12q =，所以112n n b -=. 所以2112n n b ++=，故11112412n n n n n c c c -++=⋅=⋅，所以数列{}n c 是首项为1，公比为4的等比数列，所以14n n c -=.所以114n n n n a a c -+==-（2,n n ∈*N ≥）.所以121421443n n n a a --+=+++⋅⋅⋅+=. （Ⅱ）依题意设()111n b n d dn d =+-=+-，由于12n n n n c bc b ++=， 所以111n n n n c b c b --+=()2,n n ∈*N ≥， 故131232211112211143n n n n n n n n n n n c c c b b bc b b c c c c c c c b b b b b ------+-=⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅ 121111111111n n n n n n b b d b b d b b d b b +++⎛⎫⎛⎫+⎛⎫==-=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 所以121223*********n nn c c c d b b b b b b +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+-+-++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦11111n d b +⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.由于0d ＞，11b =，所以10n b +＞，所以1111111n d b d +⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＜.即1211n c c c d++++＜，n ∈*N . 【考点】累加法，累乘法求数列的通项公式，裂项求和法21.【答案】（Ⅰ）1,032⎛⎫⎪⎝⎭（Ⅱ）40【解析】（Ⅰ）当116p =时，2C 的方程为218y x =，故抛物线2C 的焦点坐标为1,032⎛⎫⎪⎝⎭；（Ⅱ）设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,M x y ，:I x y m λ=+，由()22222222220x y y my m x y mλλλ⎧+=⇒+++-=⎨=+⎩， 12222m y y λλ-+=+∴，022m y λλ-=+，00222mx y m λλ=+=+， 由M 在抛物线上，所以()222222244222m pm mp λλλλλ=⇒=+++， 又22222()220y pxy p y m y p y pm x y mλλλ⎧=⇒=+⇒--=⎨=+⎩， 012y y p λ+=∴，2101022x x y m y m p m λλλ+=+++=+∴，2122222mx p m λλ=+-+∴. 由222214222x y x px y px +=⇒+==⎧⎪⎨⎪⎩，即2420x px +-= 12x p ⇒==-+222221822228162p p p m p p pλλλλλ+⇒-++⋅=+++≥，18p ，21160p ≤，p ≤， 所以，p ，此时A . 法2：设直线():0,0l x my t m t =+≠≠，()00,A x y .将直线l 的方程代入椭圆221:12x C y +=得：()2222220m y mty t +++-=，所以点M 的纵坐标为22M mty m =-+.将直线l 的方程代入抛物线22:2C y px =得：2220y pmy pt --=， 所以02M y y pt =-，解得()2022p m y m+=，因此()220222p m x m +=，由220012x y +=解得22212242160m m p m m ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，数学试卷 第17页（共18页） 数学试卷 第18页（共18页）所以当m =，t =时，p.【考点】直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用，涉及到求函数的最值 【考查能力】数学运算22.【答案】（Ⅰ）()1x f x e '=-∵，0x ∵＞，1x e ∴＞，()0f x '∴＞，()f x ∴在()0,+∞上单调递增，12a ∵＜≤，22(2)240f e a e =---∴≥＞，(0)10f a =-＜；所以由零点存在定理得()f x 在()0,+∞上有唯一零点； （Ⅱ）（i ）0()0f x =∵，000x e x a --=∴，()0020000121x xx e x x e x ⇔----≤≤， 令()()2102xg x e x x x =---＜＜，()()21022xx h x e x x =---＜＜一方面：()()11x h x e x h x '=--=，()110x h x e '=-＞，()()00h x h ''=∴＞，()h x ∴在()0,2单调递增，()()00h x h =∴＞，2102xx e x ---∴＞，22(1)x e x x --＞；另一方面：12a ∵＜≤，11a -∴≤；所以当01x ≥0x 成立， 因此只需证明当01x ＜＜时2()10x g x e x x =---≤， 因为()()112x g x e x g x '=--=，()120ln 2x g x e x '=-=⇒= 当(0,ln 2)x ∈时，()10g x '＜，当(ln 2,1)x ∈时，()10g x '＞，所以()()()max{0,1}g x g g '''＜，()00g '=∵，()130g e '=-＜，()0g x '∴＜()g x ∴在()0,1单调递减，()()00g x g =∴＜，21x e x x --∴＜，综上，()002000121xxe x x e x ----∴≤≤，0x （ii ）0000000()()()[(1)(2)]xa a t x x f e x f x a x e x a e ==+=-+-，00()2(1)(2)0a a t x e x a e '=-+-∵＞0x0()(2)](1)(1)2)a a a a t x t e a e e a e =--=--+-∴≥，因为12a ＜≤，所以a e e ＞，()21a a -≥，()()()()011212a t x e a a e --+--∴≥，只需证明()()()221211a a e e a ----≥， 即只需证明224(2)(1)(1)a e e a ---≥，令()()()()224211a s a e e a =----，()12a ＜≤，则()()()()()228218210aas a e e e e e e '=------≥＞，()()()21420s a s e =-+∴＞＞，即()()()224211ae e a ---≥成立， 因此()()()0x 0e e 11xf a a --≥.【考点】利用导数研究函数零点，利用导数证明不等式 【考查能力】综合分析论证与求解。
2020年高考数学真题试题(浙江卷)(Word版+答案+解析)
2020年高考数学真题试卷（浙江卷）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合P ＝{x|1＜x ＜4}，Q ＝{x|2＜x ＜3}，则P∩Q ＝（ ） A. {x|1＜x≤2} B. {x|2＜x ＜3} C. {x|3≤x ＜4} D. {x|1＜x ＜4}2.已知a ∈R ，若a ﹣1+（a ﹣2）i （i 为虚数单位）是实数，则a ＝（ ） A. 1 B. ﹣1 C. 2 D. ﹣23.若实数x ，y 满足约束条件 {x −3y +1≤0x +y −3≥0 ，则z ＝x+2y 的取值范围是（ ）A. （﹣∞，4]B. [4，+∞）C. [5，+∞）D. （﹣∞，+∞） 4.函数y ＝xcosx+sinx 在区间[﹣π，+π]的图象大致为（ ）A. B.C. D.5.某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积（单位：cm 3）是（ ）A. 73B. 143 C. 3 D. 66.已知空间中不过同一点的三条直线m ，n ，l ，则“m ，n ，l 在同一平面”是“m ，n ，l 两两相交”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 7.已知等差数列{a n }的前n 项和S n ， 公差d≠0， a 1d≤1．记b 1＝S 2 ， b n+1＝S n+2﹣S 2n ， n ∈N*，下列等式不可能成立的是（ ）A. 2a 4＝a 2+a 6B. 2b 4＝b 2+b 6C. a 42＝a 2a 8D. b 42＝b 2b 88.已知点O （0，0），A （﹣2，0），B （2，0）．设点P 满足|PA|﹣|PB|＝2，且P 为函数y ＝3 √4−x 2 图象上的点，则|OP|＝（ ）A. √222B. 4√105C. √7D. √109.已知a ，b ∈R 且ab≠0，若（x ﹣a ）（x ﹣b ）（x ﹣2a ﹣b ）≥0在x≥0上恒成立，则（ ） A. a ＜0 B. a ＞0 C. b ＜0 D. b ＞0 10.设集合S ，T ，S ⊆N*，T ⊆N*，S ，T 中至少有两个元素，且S ，T 满足：①对于任意x ，y ∈S ，若x≠y ，都有xy ∈T ；②对于任意x ，y ∈T ，若x ＜y ，则 yx ∈S ；下列命题正确的是（ ）A. 若S 有4个元素，则S ∪T 有7个元素B. 若S 有4个元素，则S ∪T 有6个元素C. 若S 有3个元素，则S ∪T 有4个元素D. 若S 有3个元素，则S ∪T 有5个元素二、填空题：本大题共7小题，共36分。
2020年普通高等学校招生统一考试数学真题(浙江卷)(含详解答案)
2020年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共4页，选择题部分1至2页；非选择题部分3至4页.满分150分.考试用时120分钟. 考生注意：1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上.2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效. 参考公式：选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合P ={|14}<<x x ，{}23Q x =<<，则P Q =（ ） A. {|12}x x <≤ B. {|23}x x << C. {|34}x x ≤<D. {|14}<<x x2.已知a ∈R ，若a –1+(a –2)i (i 为虚数单位)是实数，则a =（ ）A. 1B. –1C. 2D. –23.若实数x ，y 满足约束条件31030x y x y -+≤⎧⎨+-≥⎩，则z =2x +y 的取值范围是（ ）A. (,4]-∞B. [4,)+∞C. [5,)+∞D. (,)-∞+∞4.函数y =x cos x +sin x 在区间[–π，+π]的图象大致为（ ）A. B.C. D.5.某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积（单位：cm 3）是（ ）A.73B.143C. 3D. 66.已知空间中不过同一点的三条直线m ，n ，l ，则“m ，n ，l 在同一平面”是“m ，n ，l 两两相交”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7.已知等差数列{a n }前n 项和S n ，公差d ≠0，11a d≤．记b 1=S 2，b n+1=S n+2–S 2n ，n *∈N ，下列等式不可能成立的是（ ） A. 2a 4=a 2+a 6B. 2b 4=b 2+b 6C. 2428a a a = D. 2428b b b =8.已知点O （0，0），A （–2，0），B （2，0）．设点P 满足|P A |–|PB |=2，且P 为函数y=则|OP |=（ ）A.B.C.D.9.已知a ，b ∈R 且ab ≠0，若(x –a )(x–b )(x–2a–b )≥0在x ≥0上恒成立，则（ ） A. a <0B. a >0C. b <0D. b >010.设集合S ，T ，S ⊆N *，T ⊆N *，S ，T 中至少有两个元素，且S ，T 满足： ①对于任意x ，y ∈S ，若x ≠y ，都有xy ∈T ②对于任意x ，y ∈T ，若x <y ，则yx∈S ； 下列命题正确是（ ）A. 若S 有4个元素，则S ∪T 有7个元素B. 若S 有4个元素，则S ∪T 有6个元素C. 若S 有3个元素，则S ∪T 有4个元素D. 若S 有3个元素，则S ∪T 有5个元素非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，共36分.多空题每小题6分，单空题每小题4分.11.已知数列{a n }满足(1)=2n n n a +，则S 3=________． 12.设()2345125345612 x a a x a x a x a x a x +=+++++，则a 5=________；a 1+a 2 + a 3=________． 13.已知tan 2θ=，则cos2θ=________；πtan()4θ-=______．14.已知圆锥展开图的侧面积为2π，且为半圆，则底面半径为_______．15.设直线:(0)l y kx b k =+>，圆221:1C x y +=，222:(4)1C x y -+=，若直线l 与1C ，2C 都相切，则k =_______；b =______．16.一个盒子里有1个红1个绿2个黄四个相同的球，每次拿一个，不放回，拿出红球即停，设拿出黄球的个数为ξ，则(0)P ξ==_______；()E ξ=______．17.设1e ，2e 为单位向量，满足21|22|-≤e e ，12a e e =+，123b e e =+，设a ，b 的夹角为θ，则2cos θ的最小值为_______．的三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c，且2sin b A =． （I ）求角B ；（II ）求cos A +cos B +cos C 取值范围．19.如图，三棱台DEF —ABC 中，面ADFC ⊥面ABC ，∠ACB =∠ACD =45°，DC =2BC ．（I ）证明：EF ⊥DB ；（II ）求DF 与面DBC 所成角的正弦值．20.已知数列{a n }，{b n }，{c n }中，1111121,,()nn n n n n n b a b c c a a c c n b +++====-=⋅∈*N ． （Ⅰ）若数列{b n }为等比数列，且公比0q >，且1236b b b +=，求q 与a n 的通项公式； （Ⅱ）若数列{b n }为等差数列，且公差0d >，证明：1211n c c c d+++<+．的的21.如图，已知椭圆221:12x C y +=，抛物线22:2(0)C y px p =>，点A 是椭圆1C 与抛物线2C 的交点，过点A 的直线l 交椭圆1C 于点B ，交抛物线2C 于M （B ，M 不同于A ）．（Ⅰ）若116=p ，求抛物线2C 的焦点坐标； （Ⅱ）若存在不过原点直线l 使M 为线段AB 的中点，求p 的最大值．22.已知12a <≤，函数()e xf x x a =--，其中e =2.71828…为自然对数的底数．（Ⅰ）证明：函数()y f x =在(0)+∞，上有唯一零点； （Ⅱ）记x 0为函数()y f x =在(0)+∞，上的零点，证明：0x ≤≤；（ⅱ）00(e )(e 1)(1)x x f a a ≥--．参考答案1.B 【详解】(1,4)(2,3)(2,3)P Q ==故选：B2.C 【详解】因为(1)(2)a a i -+-为实数，所以202a a -=∴=，， 故选：C3.B 【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数即：1122y x z =-+， 其中z 取得最大值时，其几何意义表示直线系在y 轴上的截距最大， z 取得最小值时，其几何意义表示直线系在y 轴上的截距最小， 据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A 处取得最小值， 联立直线方程：31030x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，可得点A 的坐标为：()2,1A ，据此可知目标函数的最小值为：min 2214z =+⨯= 且目标函数没有最大值.故目标函数的取值范围是[)4,+∞. 故选：B4.A 【详解】因为()cos sin f x x x x =+，则()()cos sin f x x x x f x -=--=-， 即题中所给的函数为奇函数，函数图象关于坐标原点对称， 据此可知选项CD 错误；.且x π=时，cos sin 0y ππππ=+=-<，据此可知选项B 错误. 故选：A.5.A 【详解】由三视图可知，该几何体是上半部分是三棱锥，下半部分是三棱柱，且三棱锥的一个侧面垂直于底面，且棱锥的高为1， 棱柱的底面为等腰直角三角形，棱柱的高为2， 所以几何体的体积为：11117211212232233⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：A6.B 【详解】依题意,,m n l 是空间不过同一点的三条直线， 当,,m n l 在同一平面时，可能////m n l ，故不能得出,,m n l 两两相交.当,,m n l 两两相交时，设,,m n A m l B n l C ⋂=⋂=⋂=，根据公理2可知,m n 确定一个平面α，而,B m C n αα∈⊂∈⊂，根据公理1可知，直线BC 即l α⊂，所以,,m n l 在同一平面.综上所述，“,,m n l 在同一平面”是“,,m n l 两两相交”的必要不充分条件. 故选：B7.D 【详解】对于A ，因为数列{}n a 为等差数列，所以根据等差数列的下标和性质，由4426+=+可得，4262a a a =+，A 正确；对于B ，由题意可知，21212222n n n n n b S a a S ++++=+=-，1212b S a a ==+， ∴234b a a =+，478b a a =+，61112b a a =+，81516b a a =+． ∴()47822b a a =+，26341112b b a a a a +=+++．根据等差数列的下标和性质，由31177,41288+=++=+可得()26341112784=2=2b b a a a a a a b +=++++，B 正确；对于C ，()()()()2224281111137222a a a a d a d a d d a d d d a -=+-++=-=-，当1a d =时，2428a a a =，C 正确；对于D ，()()22222478111213452169b a a a d a a d d =+=+=++，()()()()2228341516111125229468145b b a a a a a d a d a a d d =++=++=++，()22428112416832b b b d a d d d a -=-=-．当0d >时，1a d ≤，∴()113220d a d d a -=+->即24280b b b ->；当0d <时，1a d ≥，∴()113220d a d d a -=+-<即24280b b b ->，所以24280b b b ->，D 不正确．故选：D8.D 【详解】因为||||24PA PB -=<，所以点P 在以,A B 为焦点，实轴长为2，焦距为4的双曲线的右支上，由2,1c a ==可得，222413b c a=-=-=，即双曲线的右支方程为()22103y x x -=>，而点P还在函数y =由()22103y x x y ⎧⎪⎨->==⎪⎩，解得22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即OP == 故选：D.9.C 【详解】因为0ab ≠，所以0a ≠且0b ≠，设()()()(2)f x x a x b x a b =----，则()f x 零点为123,,2x a x b x a b ===+当0a >时，则23x x <，1>0x ，要使()0f x ≥，必有2a b a +=，且0b <， 即=-b a ，且0b <，所以0b <；当0a <时，则23x x >，10x <，要使()0f x ≥，必有0b <. 综上一定有0b <. 故选：C10.A 【详解】首先利用排除法：若取{}1,2,4S =，则{}2,4,8T =，此时{}1,2,4,8S T =，包含4个元素，排除选项D ；若取{}2,4,8S =，则{}8,16,32T =，此时{}2,4,8,16,32ST =，包含5个元素，排除选项C ；若取{}2,4,8,16S =，则{}8,16,32,64,128T =，此时{}2,4,8,16,32,64,128S T =，包含7个元素，排的除选项B ；下面来说明选项A 的正确性：设集合{}1234,,,S p p p p =，且1234p p p p <<<，*1234,,,p p p p N ∈，则1224p p p p <，且1224,p p p p T ∈，则41p S p ∈， 同理42p S p ∈，43p S p ∈，32p S p ∈，31p S p ∈，21p S p ∈， 若11p =，则22p ≥，则332p p p <，故322p p p =即232p p =， 又444231p p p p p >>>，故442232p p p p p ==，所以342p p =， 故{}232221,,,S p p p =，此时522,p T p T ∈∈，故42p S ∈，矛盾，舍.若12p ≥，则32311p p p p p <<，故322111,p p p p p p ==即323121,p p p p ==， 又44441231p p p p p p p >>>>，故441331p p p p p ==，所以441p p =， 故{}2341111,,,S p p p p =，此时{}3456711111,,,,p p p p p T ⊆. 若q T ∈， 则31q S p ∈，故131,1,2,3,4i q p i p ==，故31,1,2,3,4i q p i +==， 即{}3456711111,,,,q p p p p p ∈，故{}3456711111,,,,p p p p p T =， 此时{}234456711111111,,,,,,,S T p p p p p p p p ⋃=即S T 中有7个元素.故A 正确. 故选：A .11.10【详解】因为()12n n n a +=，所以1231,3,6a a a ===． 即312313610S a a a =++=++=． 故答案为：10. 12. (1). 80 (2). 122【详解】5(12)x +的通项为155(2)2r r r r r r T C x C x +==，令4r =，则444455280T C x x ==，故580a =；113355135555222122a a a C C C ++=++=.故答案为：80；122 13. (1).35 (2). 13【详解】2222222222cos sin 1tan 123cos 2cos sin cos sin 1tan 125θθθθθθθθθ---=-====-+++， tan 1211tan()41tan 123πθθθ---===++，故答案为：31,53-14.1【详解】设圆锥底面半径为r ，母线长为l ，则21222r l r l ππππ⨯⨯=⎧⎪⎨⨯⨯=⨯⨯⨯⎪⎩，解得1,2r l ==. 故答案为：115. (1).3(2). 3- 【详解】由题意，12,C C1=1=，所以||4b k b =+，所以0k =（舍）或者2b k =-，解得33k b ==-.16.(1).13(2). 1 【详解】因为0ξ=对应事件为第一次拿红球或第一次拿绿球，第二次拿红球， 所以1111(0)4433P ξ==+⨯=， 随机变量0,1,2ξ=，212111211(1)434324323P ξ==⨯+⨯⨯+⨯⨯=，111(2)1333P ξ==--=，所以111()0121333E ξ=⨯+⨯+⨯=.故答案为：1;13.17.2829【详解】12|2|2e e -≤， 124412e e ∴-⋅+≤， 1234e e ∴⋅≥， 222121222121212(44)4(1)()cos (22)(106)53e e e e a b e e e e e e a bθ+⋅+⋅⋅∴===+⋅+⋅+⋅⋅12424228(1)(1)3332953534e e =-≥-=+⋅+⨯. 故答案为：2829. 18.【详解】（I ）由2sin b A =结合正弦定理可得：2sin sin ,sin2B A A B =∴= △ABC 为锐角三角形，故3B π=.（II ）结合(1)的结论有：12cos cos cos cos cos 23A B C A A π⎛⎫++=++- ⎪⎝⎭11cos cos 22A A A =-+11cos 22A A =++1sin 62A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.由203202A A πππ⎧<-<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩可得：62A ππ<<，2363A πππ<+<，则sin 32A π⎛⎤⎛⎫+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，113sin ,2232A π⎛⎤⎛⎫++∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦.即cos cos cos A B C ++的取值范围是13,22⎛⎤⎥ ⎝⎦.19.【详解】（Ⅰ）作DH AC ⊥交AC 于H ，连接BH ． ∵平面ADFC ⊥平面ABC ，而平面ADFC平面ABC AC =，DH ⊂平面ADFC ，∴DH ⊥平面ABC ，而BC ⊂平面ABC ，即有DH BC ⊥． ∵45ACB ACD ∠=∠=︒，∴2CD BC CH ==⇒=．在CBH 中，22222cos 45BH CH BC CH BC BC =+-⋅︒=，即有222BH BC CH +=，∴BH BC ⊥．由棱台的定义可知，//EF BC ，所以DH EF ⊥，BH EF ⊥，而BH DH H =，∴EF ⊥平面BHD ，而BD ⊂平面BHD ，∴EF DB ⊥．（Ⅱ）因为//DF CH ，所以DF 与平面DBC 所成角即为与CH 平面DBC 所成角． 作HG BD ⊥于G ，连接CG ，由（1）可知，BC ⊥平面BHD ， 因为所以平面BCD ⊥平面BHD ，而平面BCD平面BHD BD =，HG ⊂平面BHD ，∴HG ⊥平面BCD ．即CH 在平面DBC 内的射影为CG ，HCG ∠即为所求角．在Rt HGC △中，设BC a =，则CH =，BH DH HG BD ⋅===，∴sin3HG HCG CH ∠===．故DF 与平面DBC20.【详解】（I ）依题意21231,,b b q b q ===，而1236b b b +=，即216q q +=，由于0q >，所以解得12q =，所以112n n b -=.所以2112n n b ++=，故11112412n n n n n c c c -++=⋅=⋅，所以数列{}n c 是首项为1，公比为4的等比数列，所以14n n c -=. 所以114n n n n a a c -+==-（*2,n n N ≥∈）.所以12142144.3n n n a a --+=+++⋅⋅⋅+=（II ）依题意设()111n b n d dn d =+-=+-，由于12n n n n c bc b ++=， 所以111n n n n c b c b --+=()*2,n n N ≥∈， 故13211221n n n n n c c c c c c c c c c ---=⋅⋅⋅⋅⋅1232111143n n n n n n b b b b b c b b b b b ---+-=⋅⋅⋅⋅⋅ 121111111111n n n n n n b b d b b d b b d b b +++⎛⎫⎛⎫+⎛⎫==-=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 所以121223*********n nn c c c d b b b b b b +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+-+-++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 11111n d b +⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.由于10,1d b >=，所以10n b +>，所以1111111n d b d +⎛⎫⎛⎫+-<+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 即1211n c c c d++⋯+<+，*n N ∈. 21.【详解】（Ⅰ）当116=p 时，2C 的方程为218y x =，故抛物线2C 的焦点坐标为1(,0)32；（Ⅱ）设()()()112200,,,,,,:A x y B x y M x y I x y m λ=+，由()22222222220x y y my m x y mλλλ⎧+=⇒+++-=⎨=+⎩， 1200022222,,222m m my y y x y m λλλλλλ--∴+===+=+++， 由M 在抛物线上，所以()222222244222m pm mp λλλλλ=⇒=+++，又22222()220y pxy p y m y p y pm x y mλλλ⎧=⇒=+⇒--=⎨=+⎩， 012y y p λ∴+=，2101022x x y m y m p m λλλ∴+=+++=+，2122222mx p m λλ∴=+-+.由2222142,?22x y x px y px ⎧+=⎪⇒+=⎨⎪=⎩即2420x px +-=12x p ⇒==-222221822228162p p p m p p p λλλλλ+⇒-=+⋅=++≥+，18p ≥，21160p ≤，p ≤ 所以，p，此时A . 法2：设直线:(0,0)l x my t m t =+≠≠，()00,A x y .将直线l 的方程代入椭圆221:12x C y +=得：()2222220m y mty t +++-=，所以点M 的纵坐标为22M mty m =-+.将直线l 的方程代入抛物线22:2C y px =得：2220y pmy pt --=，所以02M y y pt =-，解得()2022p m y m+=，因此()220222p m xm+=，由220012x y +=解得22212242160m m p m m ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以当m t ==时，p取到最大值为40.22.【详解】（I ）()1,0,1,()0,()x x f x e x e f x f x ''=->∴>∴>∴在(0,)+∞上单调递增，2212,(2)240,(0)10a f e a e f a <≤∴=--≥->=-<，所以由零点存在定理得()f x 在(0,)+∞上有唯一零点； （II ）（i ）000()0,0xf x e x a =∴--=，002000012(1)xxx e x x e x ≤⇔--≤≤--，令22()1(02),()1(02),2xxx g x e x x x h x e x x =---<<=---<<一方面：1()1(),xh x e x h x '=--= 1()10x h x e '=->，()(0)0,()h x h h x ''∴>=∴在(0,2)单调递增，()(0)0h x h ∴>=，2210,2(1)2xx x e x e x x ∴--->-->，另一方面：1211a a <≤∴-≤，所以当01x ≥0x ≤成立，因此只需证明当01x <<时2()10xg x e x x =---≤， 因为11()12()()20ln 2x x g x e x g x g x e x ''=--==-=⇒=， 当(0,ln 2)x ∈时，1()0g x '<，当(ln 2,1)x ∈时，1()0g x '>， 所以()max{(0),(1)},(0)0,(1)30,()0g x g g g g e g x ''''''<==-<∴<，()g x ∴在(0,1)单调递减，()(0)0g x g ∴<=，21x e x x ∴--<，综上，002000012(1),x xex x e x x ∴--≤≤--≤≤（ii ）0000000()()()[(1)(2)]xa a t x x f e x f x a x e x a e ==+=-+-，00()2(1)(2)0a a t x e x a e '=-+->0x ≤，0()(2)](1)(1)2)a a a a t x t e a e e a e ∴≥=--=--+-，因为12a <≤，所以,2(1)ae e a a >≥-，0()(1)(1)2(2)a t x e a a e ∴≥--+--，只需证明22(2)(1)(1)a a e e a --≥--， 即只需证明224(2)(1)(1)ae e a -≥--，令22()4(2)(1)(1),(12)a s a e e a a =----<≤， 则22()8(2)(1)8(2)(1)0a a s a e e e e e e '=---≥--->，2()(1)4(2)0s a s e ∴>=->，即224(2)(1)(1)a e e a -≥--成立，因此()0x 0e (e 1)(1)x f a a ≥--.。
绍兴市诸暨市诸暨中学高二数学上学期10月月考试题含解析
A。 B。
C。 D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由双曲线的对称性可得 即 ，又 ,从而可得 的渐近线方程。
【详解】设双曲线的另一个焦点为 ，由双曲线的对称性，四边形 是矩形，所以 ，即 ，由 ,得： ，所以 ,所以 ，所以 ， ，所以 , 的渐近线方程为 .
【点睛】本题主要考查了命题的否命题和真假判断，其中解答中熟记四种命题的概念，正确书写命题的否命题是解答的关键，着重考查了判断能力和推理能力，是一道基础题．
12.已知椭圆中心在原点,一个焦点为 ，且长轴长是短轴长的2倍。则该椭圆的长轴长为______；其标准方程是________．
【答案】 （1）. 8 （2).
即为 ，
化为 ，
可得 ,
,
则该椭圆的离心率为 ．
故选：B．
【点睛】本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用椭圆的定义和方程思想,考查运算能力，属于中档题．
9。在 九章算术 中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马 如图，已知四棱锥 为阳马，且 ， 底面 若E是线段AB上的点 含端点 ，设SE与AD所成的角为 ,SE与底面ABCD所成的角为 ，二面角 的平面角为 ，则
【答案】2
【解析】
设直线 与 轴交于H点，设 ，则 ，而 ，所以 ，化简得 ，解得 ，则双曲线的离心率的最小值为2。
点睛：本题主要考查双曲线的方程和性质，两角差的正切公式,离心率的求法，基本不等式的应用，考查运算能力，属于中档题。
17。在正方体 中边长AB为2，P为正方形A1B1C1D1四边上的动点,O为底面正方形ABCD的中心，Q为正方形ABCD内一点，M,N分别为AB，BC上靠近A和C的三等分点，若线段 与OP相交且互相平分,则点Q的轨迹与线段MN形成的封闭图形的面积为____．
浙江省诸暨市牌头中学高考数学国庆假期作业(含解析)
2014年高三国庆假期作业一、选择题1.已知集合2{|22},{|log (1)},M x x N x y x M N =-≤<==-则=A ．{|20}x x -≤<B ．{|10}x x -<<C ．{|12}x x <<D ．{—2，0}2.．若函数f (x ) (x ∈R )是奇函数，函数g (x ) (x ∈R )是偶函数，则 ( )A ．函数f (x )⋅g (x )是偶函数B ．函数f (x )⋅g (x )是奇函数C ．函数f (x )＋g (x )是偶函数D ．函数f (x )＋g (x )是奇函数 3.已知,αβ的终边在第一象限，则“αβ>”是“sin sin αβ>” （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分与不必要条件4. 已知0a b >>，则下列不等式中总成立的是 ( )A 11a b b a +>+ B 11a b a b +>+ C 11b b a a +>+. D 11b a b a->- 5. 已知cos 23θ=44sin cos θθ-的值为 ( )A 3B 3-C 1811D 29-6.在数列{a n }中，a 1=1,a n a n-1=a n-1+(-1)n (n ≥2,n ∈N *),则35a a 的值是 ( )(A)1516(B)158(C)34(D)387.已知各项不为0的等差数列{a n }满足2a 3-27a +2a 11=0,数列{b n }是等比数列，且b 7=a 7，则b 6·b 8= ( )(A)2 (B)4 (C)8 (D)168．已知数列{a n }的通项公式a n =log 2 n 1n 2++(n ∈N *)，设{a n }的前n 项和为S n ,则使S n ＜-5成立的自然数n (A)有最大值63(B)有最小值63 (C)有最大值31(D)有最小值31 ( )9．若关于x 的不等式220x ax +->在区间[]1,5上有解，则实数a 的取值范围为 （ ） A ．),523(+∞-B ．]1,523[-C ．(1,+∞)D ．)1,(--∞10. 在ABC ∆中，点D 在线段BC 的延长线上，且CD BC =，点O 在线段CD 上（与点C,D 不重合）若 x x )1(-+=则x 的取值范围 （ ） A ． )1,0( B ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．)0,1(- D ．1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭二、填空题11．等差数列}{n a 中20131=a ，前n 项和为n S ，10121210S S -2-=，则2013S 的值为 12．在锐角△ABC 中，若A=2B ，则的取值范围是 ．13．已知2,0,()(1),0.x x f x f x x >⎧=⎨+≤⎩则4()3f -的值等于 ．14. 已知实数,a b 满足：102102210a b a b a b -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，z a b =-，则z 的最大值是___________15.如图所示，BC 3CD =，O 在线段CD 上，且O 不与端点C 、D 重合，若()AO mAB 1m AC =+-,则实数m 的取值范围为______.16.．定义：区间)](,[2121x x x x <长度为12x x -.已知函数|log |5.0x y =定义域为],[b a ，值域为]2,0[，则区间],[b a 长度的最小值为 .17. 若至少存在一个0x >，使得关于x 的不等式22||x x a <--成立，则实数a 的取值范围为 ． 三、解答题 18．已知函数，其中=，．（1）求函数f （x ）在区间上的单调递增区间和值域；（2）在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，f （A ）=﹣1，且b=1，△ABC 的面积，求边a 的值．19．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n =2﹣a n ，n=1，2，3，…． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）若数列{b n }满足b 1=1，且b n+1=b n +a n ，求数列{b n }的通项公式； （3）设c n =n （3﹣b n ），求数列{c n }的前n 项和为T n ．20．已知函数．（1）若a=1，求函数f（x）的极值；（2）若函数f（x）在[2，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围；（3）若函数f（x）在[1，e]上的最小值为3，求实数a的值．21．已知二次函数f（x）=ax2+bx+c．（1）设f（x）在[﹣2，2]上的最大值、最小值分别是M、m，集合{x|f（x）=x}={1}，且a≥1，记h（a）=M+m，求h（a）的最小值．（2）当a=2，c=﹣1时，C ，求实数b的取值范围；①设A=[﹣1，1]，不等式f（x）≤0的解集为C，且A②设g（x）=|x﹣t|﹣x2﹣bx（t∈R），求f（x）+g（x）的最小值．高三放假作业 班级 姓名一、选择题1.已知集合2{|22},{|log (1)},M x x N x y x M N =-≤<==-则=（ C ）A ．{|20}x x -≤<B ．{|10}x x -<<C ．{|12}x x <<D ．{—2，0} 2.．若函数f (x ) (x ∈R )是奇函数，函数g (x ) (x ∈R )是偶函数，则( B )A ．函数f (x )⋅g (x )是偶函数B ．函数f (x )⋅g (x )是奇函数C ．函数f (x )＋g (x )是偶函数D ．函数f (x )＋g (x )是奇函数 3.已知,αβ的终边在第一象限，则“αβ>”是“sin sin αβ>” （ D ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分与不必要条件 4. 已知0a b >>，则下列不等式中总成立的是 （ A ）A 11a b b a +>+ B 11a b a b +>+ C 11b b a a +>+. D 11b a b a->- 5.已知cos 2θ=44sin cos θθ-的值为（ B ）ABC 1811D 29-3.（易错题）在数列{a n }中，a 1=1,a n a n-1=a n-1+(-1)n (n ≥2,n ∈N *),则35a a 的值是( )(A)1516 (B)158(C)34(D)383.【解析】选C.当n=2时，a 2·a 1=a 1+(-1)2，∴a 2=2； 当n=3时，a 3a 2=a 2+(-1)3， ∴a 3=12； 当n=4时，a 4a 3=a 3+(-1)4， ∴a 4=3；当n=5时，a 5a 4=a 4+(-1)5， ∴a 5=23， ∴35a a =34.6.已知各项不为0的等差数列{a n }满足2a 3-27a +2a 11=0,数列{b n }是等比数列，且b 7=a 7，则b 6·b 8=( D )(A)2 (B)4 (C)8 (D)163．已知数列{a n }的通项公式a n =log 2 n 1n 2++(n ∈N *)，设{a n }的前n 项和为S n ,则使S n ＜-5成立的自然数n( ) (A)有最大值63 (B)有最小值63 (C)有最大值31(D)有最小值31选B.S n =a 1+a 2+…+a n =l og 223+log 234+…+log 2n 1n 2++=log 2(23n 134n 2+⨯⨯⋯⨯+) =log 22n 2+＜-5 ∴2n 2+＜2-5,∴n+2＞26,∴n ＞62. 又n ∈N *，∴n 有最小值63.8．若关于x 的不等式220x ax +->在区间[]1,5上有解，则实数a 的取值范围为 （ A ）A ．),523(+∞- B ．]1,523[-C ．(1,+∞)D ．)1,(--∞10. 在ABC ∆中，点D 在线段BC 的延长线上，且CD BC =，点O 在线段CD 上（与点C,D 不重合）若x x )1(-+=则x 的取值范围 （C ） A ． )1,0( B ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．)0,1(- D ．1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭二、填空题14．等差数列}{n a 中20131=a ，前n 项和为n S ，10121210S S -2-=，则2013S 的值为 2013 10．（5分）在锐角△A BC 中，若A=2B ，则的取值范围是 （，） ．∴根据正弦定理=得：===2cosB＜，即＜则的取值范围是（，）．（）14．已知2,0,()(1),0.x x f x f x x >⎧=⎨+≤⎩则4()3f -的值等于 ．3415. 已知实数,a b 满足：102102210a b a ba b -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，z a b =-，则z 的最大值是___________答案：128.【解析】∵PA =(2,2)-(1,1)=(1,1), PB =(1,0), ∴PA -t PB =(1,1)-t(1,0)=(1-t,1), ∴|PA -t PB ≤∴(t-1)2+1≤5,∴-1≤t ≤3. 答案：［-1,3］11.如图所示，BC 3CD =，O 在线段CD 上，且O 不与端点C 、D 重合，若()AO mAB 1m AC =+-,则实数m 的取值范围为______.9.【解析】设CO kBC =，则k ∈(0,13) ∴AO AC CO AC kBC AC k(AC AB)=+=+=+- =(1+k)AC -k AB又()AO mAB 1m AC =+- ∴m=-k ∵k ∈(0,13),∴m ∈(13-,0). 答案：（13-，0）16.(P182B-4)12．定义：区间)](,[2121x x x x <长度为12x x -.已知函数|log |5.0x y =定义域为],[b a ，值域为]2,0[，则区间],[b a 长度的最小值为 .43 17. 若至少存在一个0x >，使得关于x 的不等式22||x x a <--成立，则实数a 的取值范围为 ．9(2,)4- 三、解答题16．已知函数，其中=，．（1）求函数f （x ）在区间上的单调递增区间和值域；（2）在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，f （A ）=﹣1，且b=1△ABC 的面积，求边a 的值． 正弦函数的定义域和值域；三角函数中的恒等变换应用；解三角形．，求得得∴单调增区间为．∴﹣1≤f（（2）∵f（A ）=﹣1，∴，（8分） 2bccosA=1317．（15分）设数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n =2﹣a n ，n=1，2，3，…． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）若数列{b n }满足b 1=1，且b n+1=b n +a n ，求数列{b n }的通项公式； （3）设c n =n （3﹣b n ），求数列{c n }的前n 项和为T n ．分析：（1）利用数列中a n与 Sn关系解决．（2）结合（1）所求得出b n+1﹣b n=．利用累加法求b n（3）由上求出c n=n （3﹣b n）=，利用错位相消法求和即可．解答：解：（1）因为n=1时，a1+S1=a1+a1=2，所以a1=1．因为S n=2﹣a n，即a n+S n=2，所以a n+1+S n+1=2．两式相减：a n+1﹣a n+S n+1﹣S n=0，即a n+1﹣a n+a n+1=0，故有2a n+1=a n．因为a n≠0，所以=（ n∈N*）．所以数列{a n}是首项a1=1，公比为的等比数列，a n=（ n∈N*）．（2）因为b n+1=b n+a n（ n=1，2，3，…），所以b n+1﹣b n=．从而有b2﹣b1=1，b3﹣b2=，b4﹣b3=，…，b n﹣b n﹣1=（ n=2，3，…）．将这n﹣1个等式相加，得b n﹣b1=1+++…+==2﹣．又因为b1=1，所以b n=3﹣（ n=1，2，3，…）．（3）因为c n=n （3﹣b n）=，所以T n=．①=．②①﹣②，得=﹣．故T n=﹣=8﹣﹣=8﹣（ n=1，2，3，…）．点评：本题考查利用数列中a n与 Sn关系求数列通项，累加法、错位相消法求和，考查转化、变形构造、计算能力．19．（16分）已知函数．（1）若a=1，求函数f（x）的极值；（2）若函数f（x）在[2，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围；（3）若函数f（x）在[1，e]上的最小值为3，求实数a的值．考点：函数模型的选择与应用；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（1）把a=1代入函数解析式，求导后由导函数等于0把定义域分段，判断出各区间段内的导函数的符号，由导函数的符号得到原函数的单调性，从而判断出极值点并求出极值；=lnx+．）由，所以若函数f（x）在[2，+∞）上是增函数，则在[2，+∞）恒成立，，+∞）恒成立，也就是）知，以时，，时，最小值为f（e）=1+=3，a=e，符合题意；，即a=20．（16分）已知二次函数f（x）=ax2+bx+c．（1）设f（x）在[﹣2，2]上的最大值、最小值分别是M、m，集合{x|f（x）=x}={1}，且a≥1，记h（a）=M+m，求h（d）的最小值．（2）当a=2，c=﹣1时，①设A=[﹣1，1]，不等式f（x）≤0的解集为C，且C⊆A，求实数b的取值范围；②设g（x）=|x﹣t|﹣x2﹣bx（t∈R），求f（x）+g（x）的最小值．﹣﹣②根据f （x ）+g （x ）=x 2+|x ﹣t|﹣1，分t ＜﹣时、当﹣≤t≤ 时、t ＞ 时三种情况分别求得2+bx+c=x =a ，它的对称轴为∈，﹣﹣．②f（x ）+g （x ）=x 2+|x ﹣t|﹣1=．时，最小值为﹣，当﹣≤t≤ ＞﹣.22. (本题满分15分)已知函数()ln f x x x a x =--，a ∈R .(Ⅰ)若2a =，求函数()f x 在区间[]1e ，上的最值；(Ⅱ)若()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围.注：e 是自然对数的底数. 解：(Ⅰ) 若2a =，则()2ln f x x x x =--. 当[2]x e ∈，时，()22ln f x x x x =--，()22211220x x f x x x x --'=--=>，所以函数()f x 在[]2e ，上单调递增；当[]12x ∈，时，()22ln f x x x x =-+-，()22211220x x f x x x x -+-'=-+-=<.所以函数()f x 在区间[]12，上单调递减，所以()f x 在区间[]12，上有最小值()2ln 2f =-，又因为()11f =， ()()21f e e e =--，而()211e e --<，所以()f x 在区间[]1e ，上有最大值()11f =.(Ⅱ) 函数()f x 的定义域为()0+∞，．由()0f x ≥，得ln x x a x -≥． （*）（ⅰ）当()01x ∈，时，0x a -≥，ln 0x x <，不等式（*）恒成立，所以a ∈R ；（ⅱ）当1x ≥时，①当1a ≤时，由ln x x a x -≥得ln x x a x -≥，即ln x a x x ≤-， 现令()ln x h x x x =-， 则221ln ()x xh x x -+'=，因为1x ≥，所以()0h x '≥，故()h x 在[)1+∞，上单调递增， 从而()h x 的最小值为1，因为ln x a x x <-恒成立等价于()min a h x ≤， 所以1a ≤；②当1a >时，x a -的最小值为0，而()ln 01x x x >>，显然不满足题意. 综上可得，满足条件的a 的取值范围是(]1-∞，.。
浙江省诸暨市牌头中学高三数学 期末综合练习六
OCBAP 第7题图浙江省诸暨市牌头中学高三数学 期末综合练习六1．已知复数()i i 1i a b +=-（其中,a b ∈R ，i 是虚数单位），则a b +的值为 ( ) A ．2- B ．1- C ． 0 D ．2 2.已知数列，若利用如图所示的程序框图 计算该数列的第10项，则判断框内的条件是 （ ） A ． B ． C ． D ．3、等差数列{n a }（*n N ∈）中，已知15a =，且在前n 项和n S 中， 仅当n ＝10时，10S 最大，则公差d 满足 （ ）A 、2195-<<-d B 、11521-<<-d C 、9521<<d D 、21115<<d 4.函数21122y x x =-++的图象上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列，则下列给定的数中可能是该等比数列的公比的是 ( )A ．13B ．2C ．3D ．31+ 5.定义域为R 的偶函数)(x f 满足对x R ∀∈，有)1()()2(f x f x f -=+，且当]3,2[∈x 时，18122)(2-+-=x x x f ，若函数)1|(|log )(+-=x x f y a 在),0(+∞上至少有三个零点，则a 的取值范围是A ．)22,0( B ．)33,0( C ．)55,0( D ．)66,0(（ ）6．三视图如下的几何体的体积为7.如图，在半径为1的扇形AOB 中，︒=∠60AOB ， C 为弧上的动点，AB 与OC 交于点P ，则OP BP ⋅u u u r u u u r的最小值是8.函数21()2ln 2f x x x x a =+-+在区间(0,2)上恰有一个零点，则实数a 的取值范围是 .9.若9290129(23)x a a x a x a x +=++++L ，则213579(3579)a a a a a ++++-2(2a +2468468)=a a a ++ 10.已知数列{}n a 是单调递增的等差数列， 从7654321,,,,,,a a a a a a a 中取走任意三项， 则剩下四项依然构成单调递增的等差数列的概率=11、过椭圆1422=+y x 上顶点B （0，1），且斜率为k 的直线交椭圆于 另一点D ，交x 轴于点E ，且||BD 、||BE 、||DE 成等比数列，则=2k 。
浙江省诸暨中学2020学年高一数学上学期10月阶段性考试试题(平行班)
浙江省诸暨中学2020学年高一数学上学期10月阶段性考试试题（平行班）、班级_________姓名___________一、选择题: 本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}06,U x x x Z =≤≤∈，A ＝{1,3,6}，B ＝{1,4,5}，则A ∩(C U B )＝（ ）A ．{3,6}B ．{4,5}C ．{1}D ．{1,3,4,5,6} 2．38- 的值是 ( )A ．2B ．-2C ． 2±D ．-43．下列各组函数中，表示同一函数的是( )A ． f (x )＝x －1， 2()=1x g x x - B ． f (x )＝|x |， ()()2=g x xC ． f (x )＝x ， ()33=g x xD ． f (x )＝2x ， ()2=4g x x4．下列函数中，在区间()0,+∞上单调递增的是（ ）A ．1xy x =+ B ．1y x =- C ．2y x x =- D ．21y x =-5．已知)(x f 是奇函数，且当0>x 时，)1()(x x x f -=，则当0<x 时，)(x f 为（）A ．)1(x x --B ．)1(x x - Ｃ．)1(x x + Ｄ．)1(x x +-6．已知集合}2,1{=A ，}4,3{=B ，则从A 到B 的函数共有（ ）A ． 个B ． 个C ． 个D ． 个7．已知两个函数()f x 和()g x 的定义域和值域都是集合{}1,2,3 ，其定义如下表： x 1 2 3 ()f x 2 3 1 则方程(())g f x x =的解集是（ ）（A ）{}3 （B ）{}2 （C ）{}1 （D ）∅8．函数()mf x x x =-（其中m R ∈）的图像不可能．．．是（ ） x 1 2 3()g x 3 2 1A ．B ．C ．D ．9．若函数⎩⎨⎧>+≤++=1,11,32)(2x ax x ax x x f 是一个单调递减函数，则实数a 的取值范围 A ．[]0,1- B ．(]1,-∞- C ．[]1,0 D ．[]1,3--10．函数()()||1f x x x =-在[],m n 上的最小值为41-，最大值为2，则n m -的最大值为（ ）（A ）52 （B ）522 （C ）32 （D ）2 二、填空题:本大题共7小题，共24分．11．00,2,1)(2>≤⎩⎨⎧+=x x x x x f ，_____))1((=-f f ；若10)(=x f ，则____=x ． 12．若函数x x x f 2)12(2-=+，则)3(f =________，=)(x f ．13．函数x x y 422+-+=的最大值是 ，单调递增区间是 ．14．若集合{}2(2)210A x k x kx =+++=有且仅有2个子集，则满足条件的实数k 的个数是 ．15．若函数()21xf x ax ax =++的定义域为R ，则实数a 的取值范围是_______．16．设()f x 为定义在R 上的奇函数，1(1)2f =，(2)()(2)f x f x f +=+，则(5)f =________．17．已知定义在R 上的函数()f x 满足(1)(1)f x f x -=+ ，且()f x 在[)1,+∞ 为递增函数，若不等式(1)()f m f m -< 成立，则m 的取值范围是________．三、解答题: 本大题共5大题，共56分．18的定义域为集合A ，集合{}0,01|><-=a ax x B 集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤-=021|2x x x C （1）求A C U ；（2）若C A I ⊂≠ B ，求a 的取值范围．19．已知二次函数()f x 满足12)()1(-=-+x x f x f ，且4)0(=f ．（1）求函数()f x 的解析式；（2）求)(x f 在区间[]3,0上的最大值和最小值；（3）当0>x 时，0)(>+a xx f 恒成立，求a 的取值范围． 20．如图，已知底角为︒45 的等腰梯形ABCD ，底边BC 长为cm 7，腰长为cm 22，当一条垂直与底边BC （垂足为F ）的直线l 从左至右移动时，直线l 把梯形分成了两部分，令x BF =，左边部分面积为)(x f ．（1）求)1(f ，)3(f ；（2）求函数)(x f 的解析式．C21．已知1)(2+++=bx x a x x f 是定义在[]1,1-上奇函数． （1） 求实数b a ,的值；（2） 判断函数()f x 的单调性，并用定义证明；（3）解不等式: 0)2()1(<++t f t f .22．已知函数||2)(2a x x x f --=．（1）若函数)(x f y =为偶函数，求a 的值；（2，求函数()y f x =的单调递增区间； （3）当0a >时，若对任意的[0,)x ∈+∞，不等式)(2)1(x f x f ≤-恒成立，求实数a 的取值范围．选择题：ABCACDACDB填空题：11、4；-3或5 12、-1；45234)(2+-=x x x f 13、4；[]2,0 14、3 15、[)4,0 16、25 17、⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-21, 18、()+∞=,0A ()a B ,∞-=，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=21,0C ，[)+∞=,0C A Y ，2<a 19、42)(2+-=x x x f ；[]7,3；2->a20、21)1(=f ；;2)2(=f [](]()(]⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈--∈-∈=7,5,27105,2,222,0,21)(22x x x x x x x f 21、（1）0,0==b a ；（2）增函数（3）⎪⎭⎫ ⎝⎛--31,21 22、 (1)0；(2)试题分析：（1）由不等式()()12f x f x -≤可得，再对a 进行分类讨论，目的是去掉绝对值，再根据单a ∴≤②得:。
浙江省绍兴市诸暨综合中学2020年高三数学理联考试卷含解析
浙江省绍兴市诸暨综合中学2020年高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知集合A={0，x}，B={x2，﹣x2，|x|﹣1}，若A?B，则实数x的值为( ) A．1或﹣1 B．1 C．﹣1 D．2参考答案：A【考点】集合的包含关系判断及应用．【专题】计算题；转化思想；综合法；集合．【分析】本题是一元一次方程和集合包含关系结合的题目，利用A?B，建立方程即可．【解答】解：∵集合A={0，x}，B={x2，﹣x2，|x|﹣1}，A?B，∴|x|﹣1=0∴x=1或﹣1；故选：A．【点评】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题．要正确判断两个集合间的关系，必须对集合的相关概念有深刻的理解，善于抓住代表元素，认清集合的特征．2. 在中,是边上的高，则的值等于（）A．0 B．4 C．8D．参考答案：B略3. sin45°?cos15°+cos225°?sin15°的值为（）A．B．C．D．参考答案：C【考点】两角和与差的正弦函数；运用诱导公式化简求值．【分析】先通过诱导公式cos225°=﹣cos45°，再利用正弦两角和公式化简即可得出答案．【解答】解：sin45°?cos15°+cos225°?sin15°=sin45°?cos15°﹣cos45°?sin15°=sin（45°﹣15°）=sin30°=故答案选C4. 函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为（）A．B．C．D．参考答案：：B解：由题意可知A=2，T=4（﹣）=π，ω=2，因为：当x=时取得最大值2，所以：2=2sin（2×+φ），所以：2×+φ=2kπ+，k∈Z，解得：φ=2kπ﹣，k∈Z，因为：|φ|＜，所以：可得φ=﹣，可得函数f（x）的解析式：f（x）=2sin（2x﹣）．故选：B．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．5. 设集合P={1，2，3，4}，集合={3，4，5} ，全集U=R，则集合A. {1，2}B. {3，4}C. {1}D. {-2，-1，0，1，2}参考答案：A,所以，选A.6. 设抛物线的焦点为F，准线为l，点M在C上，点N在l上，且，若，则的值为（）A. B.2 C. D.3参考答案：D过M向准线l作垂线，垂足为M′，根据已知条件，结合抛物线的定义得==，又∴|MM′|=4，又|FF′|=6，∴==，.故选：D．7. 复数的共轭复数为（）A． B． C．D．参考答案：C8. 已知函数f（x）=]，其中表示不超过实数x的最大整数，如=﹣2，=1，若，则f（x）的值域为( )A．{0，1，2} B．{0，1，2，3} C．{﹣2，﹣1，0} D．{﹣1，0，1，2}参考答案：A考点：函数的值域．专题：函数的性质及应用．分析：先对x的取值进行分类讨论，从而求出：，﹣1≤x＜0，0≤x＜1，，然后求出对应的x的范围，从而求出x的范围，进而求出f（x）的取值，从而求得f（x）的值域．解答：解：时，=﹣2，2＜x≤3，∴f（x）=2；﹣1≤x＜0时，=﹣1，0＜x≤1，∴f（x）=0；0≤x＜1时，=0，x=0，∴f（x）=0；1≤x＜时，=1，1，∴f（x）=1；∴f（x）的值域为{0，1， 2}．故选A．点评：考查对定义的理解，为求x的范围，从而需对x的取值进行分类讨论的方法，以及函数值域的概念．9. 如果直线ax+2y+2=0与直线3x－y－2=0平行，那么系数a等于( )A. B. －3 C.－ D. －6参考答案：D10. 若平面向量a,b,c两两所成角相等，且则（）A．2 B．5 C．2或5 D．参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=4，A=，B=，则△ABC的面积S= ．参考答案：6+2【考点】正弦定理．【分析】先求角C，然后由正弦定理可求得b的值，从而可求△ABC的面积．【解答】解：∵A=，B=，∴C=π﹣﹣=，又∵由正弦定理知：b===2，∴S△ABC=absinC==4sin=4cos（）=6+2．故答案为：6+2．12. 已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，若双曲线上存在关于y 轴对称的两点A，B使得等腰梯形满足下底长是上底长两倍，且腰与下底形成的两个底角为60°，则该双曲线的离心率为.参考答案：或若为梯形的上底，连接，设中点为，则长为的一半，，为等腰三角形，为正三角形，，，，，若为梯形的下底，同理可得，可得，，，故答案为或.13. 设奇函数在上是单调函数，且，若函数对所有的都成立，当时，则的取值范围是。
浙江省诸暨市牌头中学高中数学 1.1.3 余弦定理二练习
1．1．3 余弦定理（二）一、选择题1、在△ABC 中，已知8:7:6sin :sin :sin =C B A ，则△ABC 是（）（A ）锐角三角形（B ）直角三角形（C ）钝角三角形（D ）不能确定 2、△ABC 的周长为20，面积为310，A=60°，则=a（）（A ）5（B ）6（C ）7（D ）83、在△ABC 中，已知2=b ， B=60°，且△ABC 有两解，则边a 的取值范围是（ ）（A ）3342<<a （B ）3342≤<a （C ）2<a （D ）2>a4、在△ABC 中，已知AB=3，BC=13，AC=4，则边AC 上的高为（ ）（A ）223 （B ）233 （C ）23（D ）35、在△ABC 中，()()C B C C B B cos cos 4cos sin 3cos sin 3=--，且4=+c b ，则a 的取值范围是（）（A ）()4,2（B ）[)4,2（C ）(]4,2（D ）[]4,26、在△ABC 中，已知2333c cb ac b a =-+-+，且A+C=120°，则△ABC 的形状是（ ）（A ）直角三角形 （B ）等腰三角形（C ）等边三角形（D ）等腰直角三角形二、填空题7、在△ABC 中，已知A=120°，AB=5，BC=7，则=CBsin sin _________。
8、在△ABC 中，已知A=60°，且最大边长和最小边长恰好是方程01172=+-x x 的两根，则第三边的长为_______。
9、圆内接四边形ABCD 中，AB=6，BC=4，CD=6，B=120°，则AD=______。
10、在△ABC 中，已知)cos (sin )cos (sin C a b C B a c B -=-，则△ABC 的形状为______。
三、解答题11、在△ABC 中，已知ac b c a +=+222，且213sin sin +=C A ，求角C 。
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2020年高三国庆假期作业一、选择题1.已知集合2{|22},{|log (1)},M x x N x y x M N =-≤<==-I 则= （ ）A ．{|20}x x -≤<B ．{|10}x x -<<C ．{|12}x x <<D ．{—2，0}2.．若函数f (x ) (x ∈R )是奇函数，函数g (x ) (x ∈R )是偶函数，则 ( )A ．函数f (x )⋅g (x )是偶函数B ．函数f (x )⋅g (x )是奇函数C ．函数f (x )＋g (x )是偶函数D ．函数f (x )＋g (x )是奇函数3.已知,αβ的终边在第一象限，则“αβ>”是“sin sin αβ>” （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分与不必要条件4. 已知0a b >>，则下列不等式中总成立的是 ( )A 11a b b a +>+ B 11a b a b +>+ C 11b b a a +>+. D 11b a b a->- 5. 已知2cos 23θ=，则44sin cos θθ-的值为 ( )A 23B 23-C 1811D 29-6.在数列{a n }中，a 1=1,a n a n-1=a n-1+(-1)n (n ≥2,n ∈N *),则35a a 的值是 ( )(A)1516(B)158(C)34(D)387.已知各项不为0的等差数列{a n }满足2a 3-27a +2a 11=0,数列{b n }是等比数列，且b 7=a 7，则b 6·b 8= ( ) (A)2(B)4(C)8(D)168．已知数列{a n }的通项公式a n =log 2 n 1n 2++(n ∈N *)，设{a n }的前n 项和为S n ,则使S n ＜-5成立的自然数n (A)有最大值63(B)有最小值63 (C)有最大值31(D)有最小值31 ( )9．若关于x 的不等式220x ax +->在区间[]1,5上有解，则实数a 的取值范围为 （ ） A ．),523(+∞-B ．]1,523[-C ．(1,+∞)D ．)1,(--∞10. 在ABC ∆中，点D 在线段BC 的延长线上，且CD BC =，点O 在线段CD 上（与点C,D 不重合）若 AC x AB x AO )1(-+=则x 的取值范围 （ ） A ． )1,0( B ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．)0,1(- D ．1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭二、填空题11．等差数列}{n a 中20131=a ，前n 项和为n S ，10121210S S -2-=，则2013S 的值为 12．在锐角△ABC 中，若A=2B ，则的取值范围是 ．13．已知2,0,()(1),0.x x f x f x x >⎧=⎨+≤⎩则4()3f -的值等于 ．班级：姓名：14. 已知实数,a b 满足：102102210a b a b a b -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，z a b =-，则z 的最大值是___________15.如图所示，BC 3CD =u u u r u u u r ，O 在线段CD 上，且O 不与端点C 、D 重合，若()AO mAB 1m AC =+-u u u r u u u r u u u r,则实数m 的取值范围为______.16.．定义：区间)](,[2121x x x x <长度为12x x -.已知函数|log |5.0x y =定义域为],[b a ，值域为]2,0[，则区间],[b a 长度的最小值为 .17. 若至少存在一个0x >，使得关于x 的不等式22||x x a <--成立，则实数a 的取值范围为 ． 三、解答题 18．已知函数，其中=，．（1）求函数f （x ）在区间上的单调递增区间和值域；（2）在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，f （A ）=﹣1，且b=1，△ABC 的面积，求边a 的值．19．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n =2﹣a n ，n=1，2，3，…． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）若数列{b n }满足b 1=1，且b n+1=b n +a n ，求数列{b n }的通项公式； （3）设c n =n （3﹣b n ），求数列{c n }的前n 项和为T n ．20．已知函数．（1）若a=1，求函数f（x）的极值；（2）若函数f（x）在[2，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围；（3）若函数f（x）在[1，e]上的最小值为3，求实数a的值．21．已知二次函数f（x）=ax2+bx+c．（1）设f（x）在[﹣2，2]上的最大值、最小值分别是M、m，集合{x|f（x）=x}={1}，且a≥1，记h（a）=M+m，求h（a）的最小值．（2）当a=2，c=﹣1时，C ，求实数b的取值范围；①设A=[﹣1，1]，不等式f（x）≤0的解集为C，且A②设g（x）=|x﹣t|﹣x2﹣bx（t∈R），求f（x）+g（x）的最小值．高三放假作业 班级 姓名一、选择题1.已知集合2{|22},{|log (1)},M x x N x y x M N =-≤<==-I 则= （ C ）A ．{|20}x x -≤<B ．{|10}x x -<<C ．{|12}x x <<D ．{—2，0} 2.．若函数f (x ) (x ∈R )是奇函数，函数g (x ) (x ∈R )是偶函数，则( B )A ．函数f (x )⋅g (x )是偶函数B ．函数f (x )⋅g (x )是奇函数C ．函数f (x )＋g (x )是偶函数D ．函数f (x )＋g (x )是奇函数 3.已知,αβ的终边在第一象限，则“αβ>”是“sin sin αβ>” （ D ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分与不必要条件 4. 已知0a b >>，则下列不等式中总成立的是 （ A ）A 11a b b a +>+ B 11a b a b +>+ C 11b b a a +>+. D 11b a b a->- 5. 已知2cos 23θ=，则44sin cos θθ-的值为（ B ）A 23B 23-C 1811D 29-3.（易错题）在数列{a n }中，a 1=1,a n a n-1=a n-1+(-1)n (n ≥2,n ∈N *),则35a a 的值是( )(A)1516 (B)158(C)34(D)383.【解析】选C.当n=2时，a 2·a 1=a 1+(-1)2，∴a 2=2； 当n=3时，a 3a 2=a 2+(-1)3， ∴a 3=12； 当n=4时，a 4a 3=a 3+(-1)4， ∴a 4=3；当n=5时，a 5a 4=a 4+(-1)5， ∴a 5=23， ∴35a a =34.6.已知各项不为0的等差数列{a n }满足2a 3-27a +2a 11=0,数列{b n }是等比数列，且b 7=a 7，则b 6·b 8=( D )(A)2 (B)4 (C)8 (D)163．已知数列{a n }的通项公式a n =log 2 n 1n 2++(n ∈N *)，设{a n }的前n 项和为S n ,则使S n ＜-5成立的自然数n( ) (A)有最大值63 (B)有最小值63 (C)有最大值31(D)有最小值31选B.S n =a 1+a 2+…+a n =l og 223+log 234+…+log 2n 1n 2++=log 2(23n 134n 2+⨯⨯⋯⨯+) =log 22n 2+＜-5 ∴2n 2+＜2-5,∴n+2＞26,∴n ＞62. 又n ∈N *，∴n 有最小值63.8．若关于x 的不等式220x ax +->在区间[]1,5上有解，则实数a 的取值范围为 （ A ）A ．),523(+∞- B ．]1,523[-C ．(1,+∞)D ．)1,(--∞10. 在ABC ∆中，点D 在线段BC 的延长线上，且CD BC =，点O 在线段CD 上（与点C,D 不重合）若AC x AB x AO )1(-+=则x 的取值范围 （C ） A ． )1,0( B ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．)0,1(- D ．1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭二、填空题14．等差数列}{n a 中20131=a ，前n 项和为n S ，10121210S S -2-=，则2013S 的值为 2020 10．（5分）在锐角△A BC 中，若A=2B ，则的取值范围是 （，） ．考点： 正弦定理． 专题： 解三角形． 分析： 利用正弦定理列出关系式，将A=2B 代入，利用二倍角的正弦函数公式化简，约分得到结果为2cosB ，根据三角形的内角和定理及三角形ABC 为锐角三角形，求出B 的范围，进而确定出cosB 的范围，即可得出所求式子的范围．解答： 解：∵A=2B，∴根据正弦定理=得：====2cosB ，∵A+B+C=180°，∴3B+C=180°，即C=180°﹣3B ， ∵C 为锐角，∴30°＜B ＜60°， 又0＜A=2B ＜90°， ∴30°＜B ＜45°， ∴＜cosB ＜，即＜2cosB ＜，则的取值范围是（，）．故答案为：（，）14．已知2,0,()(1),0.x x f x f x x >⎧=⎨+≤⎩则4()3f -的值等于 ．3415. 已知实数,a b 满足：102102210a b a b a b -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，z a b =-，则z 的最大值是___________答案：128.【解析】∵PA u u u r =(2,2)-(1,1)=(1,1), PB u u u r=(1,0), ∴PA u u u r -t PB u u u r=(1,1)-t(1,0)=(1-t,1),∴|PA u u u r -t PB u u u r |=()221t 15-+≤,∴(t-1)2+1≤5,∴-1≤t ≤3. 答案：［-1,3］11.如图所示，BC 3CD =u u u r u u u r ，O 在线段CD 上，且O 不与端点C 、D 重合，若()AO mAB 1m AC =+-u u u r u u u r u u u r,则实数m 的取值范围为______.9.【解析】设CO kBC =u u u r u u u r ，则k ∈(0,13)∴AO AC CO AC kBC AC k(AC AB)=+=+=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r=(1+k)AC uuu r -k AB u u u r 又()AO mAB 1m AC =+-u u u r u u u r u u u r∴m=-k ∵k ∈(0,13),∴m ∈(13-,0). 答案：（13-，0）16.(P182B-4)12．定义：区间)](,[2121x x x x <长度为12x x -.已知函数|log |5.0x y =定义域为],[b a ，值域为]2,0[，则区间],[b a 长度的最小值为 .43 17. 若至少存在一个0x >，使得关于x 的不等式22||x x a <--成立，则实数a 的取值范围为 ．9(2,)4- 三、解答题16．已知函数，其中=，．（1）求函数f （x ）在区间上的单调递增区间和值域；（2）在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，f （A ）=﹣1，且b=1△ABC 的面积，求边a 的值．考点： 正弦函数的定义域和值域；三角函数中的恒等变换应用；解三角形． 专题： 计算题． 分析： （1）利用向量的数量积，二倍角公式两角差的余弦函数化简函数的表达式，然后结合余弦函数的单调增区间求函数的单调递增区间，确定函数 在上的单调增区间，单调减区间，然后求出函数的最大值最小值，即可确定函数的值域． （2））由于f （A ）=﹣1，求得又求得c=4最后由余弦定理得a 值即可． 解答： 解：（1）==（2分） 由得，又∴单调增区间为．（4分）由∴﹣1≤f（x ）≤2∴f（x ）∈[﹣1，2]（6分） （2）∵f（A ）=﹣1，∴，（8分） 又，∴c=4（10分）由余弦定理得a 2=b 2+c 2﹣2bccosA=13（12分）17．（15分）设数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n =2﹣a n ，n=1，2，3，…． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）若数列{b n }满足b 1=1，且b n+1=b n +a n ，求数列{b n }的通项公式； （3）设c n =n （3﹣b n ），求数列{c n }的前n 项和为T n ．考点： 数列的求和；数列的函数特性；等比数列的通项公式． 专题： 计算题． 分析：（1）利用数列中a n 与 Sn 关系解决．（2）结合（1）所求得出b n+1﹣b n =．利用累加法求b n（3）由上求出c n=n （3﹣b n）=，利用错位相消法求和即可．解答：解：（1）因为n=1时，a1+S1=a1+a1=2，所以a1=1．因为S n=2﹣a n，即a n+S n=2，所以a n+1+S n+1=2．两式相减：a n+1﹣a n+S n+1﹣S n=0，即a n+1﹣a n+a n+1=0，故有2a n+1=a n．因为a n≠0，所以=（ n∈N*）．所以数列{a n}是首项a1=1，公比为的等比数列，a n=（ n∈N*）．（2）因为b n+1=b n+a n（ n=1，2，3，…），所以b n+1﹣b n=．从而有b2﹣b1=1，b3﹣b2=，b4﹣b3=，…，b n﹣b n﹣1=（ n=2，3，…）．将这n﹣1个等式相加，得b n﹣b1=1+++…+==2﹣．又因为b1=1，所以b n=3﹣（ n=1，2，3，…）．（3）因为c n=n （3﹣b n）=，所以T n=．①=．②①﹣②，得=﹣．故T n=﹣=8﹣﹣=8﹣（ n=1，2，3，…）．点评：本题考查利用数列中a n与 Sn关系求数列通项，累加法、错位相消法求和，考查转化、变形构造、计算能力．19．（16分）已知函数．（1）若a=1，求函数f（x）的极值；（2）若函数f（x）在[2，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围；（3）若函数f（x）在[1，e]上的最小值为3，求实数a的值．考点：函数模型的选择与应用；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（1）把a=1代入函数解析式，求导后由导函数等于0把定义域分段，判断出各区间段内的导函数的符号，由导函数的符号得到原函数的单调性，从而判断出极值点并求出极值；（2）求出原函数的导函数，由导函数在[2，+∞）大于等于0恒成立得到x﹣2a≥0在[2，+∞）恒成立，分离变量a后即可得到a的取值范围；（3）由原函数的导函数等于0求出导函数的零点，由零点对定义域分段，然后根据原函数的极值点与给出的区间端点值得大小关系分析原函数在区间[1，e]上的单调性，由单调性求得原函数在[1，e]上的最小值，由最小值等于3解得a的值．解答：解：（1）当a=1时，f（x）=lnx+，定义域为（0，+∞），．所以，当x∈（0，2）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；当x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，所以在（0，+∞）上f（x）有极小值，极小值为f（2）=1+ln2；（2）由，所以．若函数f（x）在[2，+∞）上是增函数，则在[2，+∞）恒成立，即x﹣2a≥0在[2，+∞）恒成立，也就是在[2，+∞）恒成立，所以a≤1．所以使函数f（x）在[2，+∞）上是增函数的实数a的取值范围是（﹣∞，1]；（3）由（2）知，以，若a≤0，则f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上为增函数，f（x）在[1，e]上的最小值为f（1）=2a=3，，不合题意；若a＞0，由f′（x）=0，得x=2a．当x∈（0，2a）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数，当x∈（2a，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，所以当2a≤1，即时，f（x）在[1，e]上为增函数，最小值为f（1）=2a=3，，不合题意；当2a≥e，即a≥时，f（x）在[1，e]上为减函数，最小值为f（e）=1+=3，a=e，符合题意；当1＜2a＜e，即时，f（x）在[1，e]上的最小值为f（2a）=ln2a+1=3，a=不合题意．综上，使函数f（x）在[1，e]上的最小值为3的实数a的值为e．点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求函数在闭区间上的最值，考查了分类讨论的数学思想方法，训练了利用分离变量法求参数的范围，解答的关键是会求基本初等函数的导函数和对变量的正确分类，是难题．20．（16分）已知二次函数f（x）=ax2+bx+c．（1）设f（x）在[﹣2，2]上的最大值、最小值分别是M、m，集合{x|f（x）=x}={1}，且a≥1，记h（a）=M+m，求h（d）的最小值．（2）当a=2，c=﹣1时，①设A=[﹣1，1]，不等式f（x）≤0的解集为C，且C⊆A，求实数b的取值范围；②设g（x）=|x﹣t|﹣x2﹣bx（t∈R），求f（x）+g（x）的最小值．考点：二次函数在闭区间上的最值；集合的包含关系判断及应用；函数的值域．专题：函数的性质及应用．分析：（1）由题意可得方程ax2+bx+c=x存在两等根x1=x2=1，可得 b=1﹣2a，c=a，由此可得f（x）的解析式，可得 h（a）=M+m=f（﹣2）+f（1﹣）=9a﹣﹣1，再利用单调性求出 h（a）的最小值．（2）①由不等式f （x ）≤0的解集为C ，且C ⊆A ，可得 ，由此解得 b 的范围． ②根据f （x ）+g （x ）=x 2+|x ﹣t|﹣1，分t ＜﹣时、当﹣≤t≤ 时、t ＞ 时三种情况分别求得f （x ）+g （x ）的最小值．解答： 解：（1）由题意可得方程ax 2+bx+c=x 存在两等根x 1=x 2=1，可得 b=1﹣2a ，c=a ．∴f（x ）=a +1﹣，它的对称轴为 x=1﹣∈[，1]． ∵x∈[﹣2，2]，∴h（a ）=M+m=f （﹣2）+f （1﹣）=9a ﹣﹣1， ∵a≥1，故函数 h （a ）为增函数，∴函数 h （a ）的最小值为 h （1）=． （2）当a=2，c=﹣1时，f （x ）=2x 2+bx ﹣1，①由不等式f （x ）≤0的解集为C ，且C ⊆A ，可得，解得 b ∈[﹣1，1]．②f（x ）+g （x ）=x 2+|x ﹣t|﹣1=．当 t ＜﹣时，最小值为﹣t ﹣， 当﹣≤t≤ 时，最小值为 t 2﹣1，当t ＞ 时，最小值为t ﹣．点评： 本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质的应用，集合间的包含关系，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．.22. (本题满分15分)已知函数()ln f x x x a x =--，a ∈R . (Ⅰ)若2a =，求函数()f x 在区间[]1e ，上的最值； (Ⅱ)若()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围.注：e 是自然对数的底数. 解：(Ⅰ) 若2a =，则()2ln f x x x x =--.当[2]x e ∈，时，()22ln f x x x x =--，()22211220x x f x x x x--'=--=>， 所以函数()f x 在[]2e ，上单调递增；当[]12x ∈，时，()22ln f x x x x =-+-， ()22211220x x f x x x x -+-'=-+-=<. 所以函数()f x 在区间[]12，上单调递减， 所以()f x 在区间[]12，上有最小值()2ln 2f =-，又因为()11f =， ()()21f e e e =--，而()211e e --<，所以()f x 在区间[]1e ，上有最大值()11f =. (Ⅱ) 函数()f x 的定义域为()0+∞，． 由()0f x ≥，得ln x x a x-≥． （*） （ⅰ）当()01x ∈，时，0x a -≥，ln 0x x<， 不等式（*）恒成立，所以a ∈R ；（ⅱ）当1x ≥时，①当1a ≤时，由ln x x a x -≥得ln x x a x -≥，即ln x a x x≤-， 现令()ln x h x x x =-， 则221ln ()x x h x x-+'=， 因为1x ≥，所以()0h x '≥，故()h x 在[)1+∞，上单调递增， 从而()h x 的最小值为1，因为ln x a x x<-恒成立等价于()min a h x ≤， 所以1a ≤；②当1a >时，x a -的最小值为0，而()ln 01x x x>>，显然不满足题意. 综上可得，满足条件的a 的取值范围是(]1-∞，.。