北京市朝阳区2019届高三数学下册第一次模拟试题3
2019北京朝阳区高三一模
2019北京市朝阳区高三一模数 学（文）2019．3本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 在复平面内，复数12iiz +=对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限2. 设实数,x y 满足不等式组01010.y x y x y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，， 则2x y +的最大值是A. 1B. 2C. 3D. 4 3. 已知集合{1,2,3,4,5}A =，且A B A =I ，则集合B 可以是A. {|21}x x >B. 2{|1}x x > C. 2{|log 1}x x > D. {1,2,3}4. 已知ABC △中， 120A ∠=o，a =ABC且b c <.则c b -=B. 3C. 3-D. 5. 已知,,a b c ∈R ，给出下列条件：①22a b >；②11a b<；③22ac bc >,则使得a b >成立的充分而不必要条件是 A. ① B. ② C. ③ D. ①②③6. 某三棱锥的三视图如图所示，若网格纸上小正方形的边长为1，则该三棱锥的体积为 A ．4 B ．2C ．83D ．43正（主）视图 俯视图侧（左）视图7. 已知圆22:(2)2C x y -+=，直线:2l y kx =-. 若直线l 上存在点P ，过点P 引圆的两条的切线12,l l ，使得12l l ⊥，则实数k 的取值范围是A. [0,2-3)2+3,+∞（）UB. 2323[-,+] C. ∞(-,0) D. )∞[0,+ 8. 某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是14，10，8.若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数至多是 A. 5 B. 6 C. 7 D. 8第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． 9. 已知平面向量(2,1)-a =，(1,)x b =.若a P b ，则x = ． 10. 执行如图所示的程序框图，则输出的x 值为 ．11．双曲线2214x y -=的右焦点到其一条渐近线的距离是 . 12. 能说明“函数()f x 的图象在区间[0,2]上是一条连续不断的曲线，若(0)(2)0f f ⋅>，则()f x 在区间(0,2)内无零点”为假命题的一个函数是 ． 13．天坛公园是明、清两代皇帝“祭天”“祈谷”的场所．天坛公园中的圜丘台共有三层（如图1所示），上层坛的中心是一块呈圆形的大理石板，从中心向外围以扇面形石铺成（如图2所示）．上层坛从第一环至第九环共有九环，中层坛从第十环至第十八环共有九环，下层坛从第十九环至第二十七环共有九环；第一环的扇面形石有9块，从第二环起，每环的扇面形石块数比前一环多9块，则第二十七环的扇面形石块数是______；上、中、下三层坛所有的扇面形石块数是 ．图1 图214. 若不等式log 40a x x +->（0a >且1a ≠）在区间(0,2)内有解，则实数a 的取值范围是 . 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.（本小题满分13分）已知函数2()cos cos f x x x x =. （Ⅰ）求()3f π的值及()f x 的最小正周期； （Ⅱ）若函数()f x 在区间[0,]m 上单调递增，求实数m 的最大值．16. （本小题满分13分） 在等比数列{}n a 中，141,42a a ==，n ∈N *. （I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）设6n n b a n =+-，数列{}n b 的前n 项和为n S ，若0n S >，求n 的最小值.17. （本小题满分13分）某部门在同一上班高峰时段对甲、乙两座地铁站各随机抽取50名乘客，统计其乘车等待时间（指乘客从进站口到乘上车的时间，乘车等待时间不超过40分钟）．将统计数据按[5,10),[10,15),[15,20),,[35,40]L 分组，制成频率分布直方图：乙站甲站（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）记A 表示事件“在上班高峰时段某乘客在甲站乘车等待时间少于20分钟”，试估计A 的概率；（Ⅲ）假设同组中的每个数据用该组区间的左端点值来估计，记在上班高峰时段甲、乙两站各抽取的50名乘客的平均等待时间分别为1X ,2X ,求1X 的值，并直接写出1X 与2X 的大小关系.18. （本小题满分14分）如图，在多面体ABCDEF 中，平面ADEF ⊥平面ABCD ，四边形ADEF 为正方形，四边形ABCD 为梯形，且//AD BC ，90BAD ∠=︒，1AB AD ==，2BC =． （Ⅰ）求证：AF CD ⊥；（Ⅱ）若M 为线段BD 的中点，求证：CE //平面AMF ； （Ⅲ）求多面体ABCDEF 的体积．19. （本小题满分13分）已知函数()e 4xf x a x =-，a ∈R . （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当1a =时，求证：曲线()y f x =在抛物线21y x =--的上方.20. （本小题满分14分）已知点00(,)M x y 为椭圆22:12x C y +=上任意一点，直线00:22l x x y y +=与圆22(1)6x y -+=交于,A B 两点，点F 为椭圆C 的左焦点．（Ⅰ）求椭圆C 的离心率及左焦点F 的坐标；EDCB AFM（Ⅱ）求证：直线l与椭圆C相切；（Ⅲ）判断AFB是否为定值，并说明理由．数学试题答案一、选择题（40分）15. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）由已知2()coscos 3333f ππππ=+13144=+=. 因为()f x 1cos 2sin 222x x +=+π1sin(2)62x =++， 所以函数()f x 的最小正周期为π．………………………..7分 （II ）由πππ2π22π262k x k -++≤≤得, ππππ36k x k -+≤≤，k ∈Z .所以，函数()f x 的单调增区间为πππ,π36k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ． 当0k =时, 函数()f x 的单调增区间为ππ,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 若函数()f x 在区间[0,]m 上单调递增，则ππ[0,],36m ⎡⎤⊆-⎢⎥⎣⎦， 所以实数m 的最大值为π6. ………………………..13分 16. （本小题满分13分） 解：（I ）由数列{}n a 为等比数列，且112a =,44a =，得3414a a q ==，解得2q =.则数列{}n a 的通项公式1212n n n a a q --==,n *∈N . ………………..5分（II ） 2662n n n b a n n -=+-=-+102(546)(222)n n S n --=--++-++++L L (11)2122n n n --=+.当5n ≥时，(11)152n n -≥-，213122n -≥，所以0n S >； 当4n =时，44472102S -⨯+-=<； 当3n =时，33382102S -⨯+-=<； 当2n =时，22292102S -⨯+-=<； 当1n =时，111102102S -⨯+-=<. 所以，n 的最小值为5 .………………………..13分 17. （本小题满分13分）（Ⅰ）因为0.012530.040520.048551a ⨯⨯+⨯⨯+⨯+⨯=， 所以0.036=a .………………………..4分 （Ⅱ）由题意知，该乘客在甲站平均等待时间少于20分钟的频率为0.0120.0400.048)50.5(++⨯=，故()P A 的估计值为0.5 .…………..8分（Ⅲ）1=X 0.012⨯5+0.040⨯10+0.048⨯15+0.040⨯20+0.036⨯25+0.012⨯30+0.012⨯35⨯5（）=18.3.由直方图知：12X X < ………………………..13分 18. （本小题满分14分）解：（Ⅰ）证明：因为四边形ADEF 为正方形，所以AF AD ⊥．且平面ADEF I 平面ABCD AD =，AF ⊂平面ADEF ， 所以AF ⊥平面ABCD ．又CD ⊂平面ABCD ，所以AF CD ⊥． ……………………….4分 （Ⅱ）延长AM 交BC 于点G ，因为//AD BC ，M 为BD 中点， 所以BGM ∆≌DAM ∆， 所以1BG AD ==． 因为2BC =，所以1GC =． 由已知1FE AD ==，且//FE AD ,又因为//AD GC ，所以//FE GC ，且FE GC =， 所以四边形GCEF 为平行四边形，所以//CE GF ． 因为CE ⊄平面AMF ，GF ⊂平面AMF ，所以//CE 平面AMF ． ……………………….9分 （Ⅲ）设G 为BC 中点，连接DG ，EG ．由已知//DG AB ，所以//DG 平面AFB ． 又因为//DE AF ，所以//DE 平面AFB ， 所以平面//DEG 平面AFB ．因为AD AB ⊥，AD AF ⊥，所以AD ⊥平面ABF ， 所以多面体AFB DEG -为直三棱柱． 因为1AB AF AD ===，且90BAF ∠=︒，所以11111122AFB AFB DEG V V S AD ∆-==⋅=⨯⨯⨯=三棱柱． 由已知//DG AB ，且DG AB =， 所以DG GC ⊥，且1DG GC ==．EDCBA FMG所以DE ⊥平面CDG ． 因为1DE AF ==， 所以211111113326CDG E CDG V V S DE ∆-==⋅=⨯⨯⨯⨯=三棱锥， 所以12112263ABCDEF V V V =+=+=多面体． ……………………….14分 19. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）求导得()e 4xf x a '=-.定义域x ∈R .当0a ≤时，()0f x '<,函数()f x 在R 上为减函数. 当0a >时，令()0f x '>得4lnx a>,()f x 为增函数； 令()0f x '<得4lnx a<,()f x 为减函数. 所以0a ≤时，函数()f x 减区间是(,)-∞+∞. 当0a >时，函数()f x 增区间是 4(ln,)a +∞；减区间是4(,ln )a-∞. ………5分 （Ⅱ）依题意，只需证2e 410x x x -++>.设2()e 41xF x x x =-++.则()e 42xF x x '=-+，设()()G x F x '=.因为()e 20xG x '=+>，所以()G x 在(,)-∞+∞上单调递增.又因为(0)30,(1)e 20G G =-<=->，所以()0G x =在(0,1)内有唯一解，记为0x 即00e42x x =-.当0x x <时，()0F x '<，()F x 单调递减；当0x x >时，()0F x '>，()F x 单调递增；所以022min 000000()()e 4165,(0,1)xF x F x x x x x x ==-++=-+∈.设22()65(3)4g x x x x =-+=--，(0,1)x ∈.则()(1)0g x g >=.所以0()0F x >. 所以()0F x >，即曲线()y f x =在抛物线21y x =--上方.………13分20. （本小题满分14分）（Ⅰ）由题意a 1b =，1c ==所以离心率2c e a ==，左焦点(1,0)F -． …………4分（Ⅱ）由题知，220012x y +=，即220022x y +=. 当00y =时直线l方程为x =x =l 与椭圆C 相切． 当00y ≠时，由22001,222x y x x y y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩得2222000(2)4440y x x x x y +-+-=， 即22002220x x x y -+-= 所以 2200(2)4(22)x y ∆=---22004+880x y =-= 故直线l 与椭圆C 相切． …………8分 （Ⅲ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，当00y =时，12x x =，12y y =-，1x =2211(1)FA FB x y ⋅=+-u u u r u u u r 2211(1)6(1)x x =+-+-21240x =-=， 所以FA FB ⊥u u u r u u u r，即90AFB ∠=o ．当00y ≠时，由220(1)6,22x y x x y y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩ 得2222000(1)2(2)2100y x y x x y +-++-=， 则20012202(2)1y x x x y ++=+，21222101y x x y -=+， 2001212122220001()42x x y y x x x x y y y =-++2002054422x x y --+=+． 因为1122(1,)(1,)FA FB x y x y ⋅=+⋅+u u u r u u u r1212121x x x x y y =++++2222000000220042084225442222y y x y x x y y -++++--+=+++ 220025(2)10022x y y -++==+． 所以FA FB ⊥u u u r u u u r，即90AFB ∠=o ．故AFB ∠为定值90o ． …………14分。
北京市朝阳区2019届高三第一次(3月)综合练习(一模)数学(文)试卷Word版含解析
2019北京朝阳高三一模数学（文）第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1.在复平面内，复数对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】由题意可得：，据此确定复数所在的象限即可.【详解】由题意可得：，则复数z对应的点为，位于第四象限.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查复数的运算法则，各个象限内复数的特征等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2.设实数满足不等式组，则的最大值是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】首先绘制出不等式组表示的平面区域，然后结合目标函数的几何意义确定目标函数取得最值的点的位置，最后求解目标函数的最值即可.【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数即：，其中z取得最大值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最大，据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点B处取得最大值，联立直线方程：，可得点的坐标为：，据此可知目标函数的最大值为：.本题选择B选项.【点睛】求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.3.已知集合，且，则集合可以是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由可知，，据此逐一考查所给的集合是否满足题意即可.【详解】由可知，，对于A：＝，符合题意.对于B：＝，没有元素1，所以不包含A；对于C：＝，不合题意；D显然不合题意，本题选择A选项.【点睛】本题主要考查集合的表示方法，集合之间的关系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4.已知中，，三角形的面积为，且，则（）A. B. 3 C. D. -【答案】B【解析】【分析】由三角形面积公式可得＝4，据此结合余弦定理和已知条件求解的值即可.【详解】依题意可得：，所以＝4，由余弦定理，得：，即：，据此可得：.结合可得 3.本题选择B选项.【点睛】本题主要考查余弦定理的应用，三角形面积公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5.已知,给出下列条件：①；②；③，则使得成立的充分而不必要条件是（）A. ①B. ②C. ③D. ①②③【答案】C【解析】【分析】由题意逐一考查所给的三个条件是否是成立的充分而不必要条件即可.【详解】由①，得：，不一定有成立，不符；对于②，当时，有，但不成立，所以不符；对于③，由，知c≠0，所以，有成立，当成立时，不一定有，因为c可以为0，符合题意；本题选择C选项.【点睛】本题主要考查不等式的性质及其应用，充分条件和必要条件的判定等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6.某三棱锥的三视图如图所示（网格纸上小正方形的边长为），则该三棱锥的体积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先由三视图还原几何体，然后由几何体的空间结构特征求解三棱锥的体积即可.【详解】由三视图可知，在棱长为2的正方体中，其对应的几何体为棱锥，该棱锥的体积：.本题选择D选项.【点睛】(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．7.已知圆,直线,若直线上存在点，过点引圆的两条切线,使得,则实数的取值范围是（）A. B. [,]C. D. ）【答案】D【解析】【分析】由题意结合几何性质可知点P的轨迹方程为，则原问题转化为圆心到直线的距离小于等于半径，据此求解关于k的不等式即可求得实数k的取值范围.【详解】圆C（2,0），半径r＝，设P（x，y），因为两切线，如下图，PA⊥PB，由切线性质定理，知：PA⊥AC，PB⊥BC，PA＝PB，所以，四边形PACB为正方形，所以，｜PC｜＝2，则：，即点P的轨迹是以（2,0）为圆心，2为半径的圆.直线过定点（0，－2），直线方程即，只要直线与P点的轨迹（圆）有交点即可，即大圆的圆心到直线的距离小于等于半径，即：，解得：，即实数的取值范围是）.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，轨迹方程的求解与应用，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8.某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是14，10，8．若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数至多是（）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】B【解析】【分析】将原问题转化为Venn的问题，然后结合题意确定这三天都开车上班的职工人数至多几人即可. 【详解】如图所示，（a+b+c+x）表示周一开车上班的人数，（b+d+e+x）表示周二开车上班人数，（c+e+f+x）表示周三开车上班人数，x表示三天都开车上班的人数，则有：，即，即，当b=c=e＝0时，x的最大值为6，即三天都开车上班的职工人数至多是6.【点睛】本题主要考查Venn图的应用，数形结合的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上9.已知平面向量,若,则________.【答案】【解析】【分析】由向量垂直的充分必要条件可得：，据此确定x的值即可.【详解】由向量垂直的充分必要条件可得：，解得：.故答案为：．【点睛】本题主要考查向量平行的充分必要条件及其应用，属于基础题.10.执行如图所示的程序框图，输出的值为__________.【答案】【解析】【分析】由题意可知，流程图对应的程序首先初始化数据：，然后执行循环体2次得到输出值，据此计算输出值即可.【详解】由题意可知，流程图对应的程序运行过程如下：首先初始化数据：，此时满足，执行，此时满足，执行，此时不满足，输出.故答案为：．【点睛】识别、运行程序框图和完善程序框图的思路：(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构．(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题．(3)按照题目的要求完成解答并验证．11.双曲线的右焦点到其一条渐近线的距离是_____．【答案】1【解析】【分析】由题意可知，双曲线的右焦点坐标为，渐近线方程为，结合点到直线距离公式求解距离即可.【详解】由题意可知，双曲线的右焦点坐标为，渐近线方程为：，即，则焦点到渐近线的距离为：.故答案为：．【点睛】本题主要考查双曲线渐近线方程的求解，点到直线距离公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12.能说明“函数的图象在区间上是一条连续不断的曲线．若，则在内无零点”为假命题的一个函数是_________．【答案】【解析】【分析】由题意给出一个满足题意的函数解析式，然后绘制函数图像说明命题为假命题即可.【详解】考查函数，绘制函数图像如图所示，该函数的图像在区间上是一条连续不断的曲线，,但是函数在内存在零点，故该函数使得原命题为假命题.【点睛】本题主要考查函数零点存在定理应用的条件，注意所有的条件都满足时才能利用函数零点存在定理，否则可能会出现错误.13.天坛公园是明、清两代皇帝“祭天”“祈谷”的场所．天坛公园中的圜丘台共有三层（如图1所示），上层坛的中心是一块呈圆形的大理石板，从中心向外围以扇面形石（如图2所示）．上层坛从第一环至第九环共有九环，中层坛从第十环至第十八环共有九环，下层坛从第十九环至第二十七环共有九环；第一环的扇面形石有9块，从第二环起，每环的扇面形石块数比前一环多9块，则第二十七环的扇面形石块数是______；上、中、下三层坛所有的扇面形石块数是_______．【答案】 (1). (2).【解析】【分析】由题意可知每环的扇面形石块数是一个以9为首项，9为公差的等差数列，据此确定第二十七环的扇面形石块数和上、中、下三层坛所有的扇面形石块数即可.【详解】第一环的扇面形石有9块，从第二环起，每环的扇面形石块数比前一环多9块，则依题意得：每环的扇面形石块数是一个以9为首项，9为公差的等差数列，所以，a n＝9＋（n－1）×9＝9n，所以，a27＝9×27＝243，前27项和为：＝3402.【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，等差数列的前n项和及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.14.若不等式 (且且)在区间内有解，则实数的取值范围是________.【答案】【解析】【分析】原问题即在区间内有解，分别画出的图象，分类讨论＞1和0＜＜1两种情况确定实数的取值范围即可.【详解】，即，在区间内有解，分别画出的图象.（1）当＞1时，由图可知，当x＝2时，，即时，，在区间内有解，所以，.（1）当0＜＜1时，由下图可知，，在区间内有解，所以，.所以，则实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查对数的运算法则，分类讨论的数学思想，数形结合的数学思想及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15.已知函数.（1）求的值及的最小正周期；（2）若函数在区间上单调递增，求实数的最大值.【答案】（1）1；；（2）.【解析】【分析】（1）由函数的解析式求解的值即可，整理函数的解析式为的形式，然后由最小正周期公式确定函数的最小正周期即可；（2）由(1)中函数的解析式可知函数的单调增区间为，．据此结合题意可得实数的最大值.【详解】（1）由已知.因为，所以函数的最小正周期为．（2）由得，.所以，函数的单调增区间为，．当时,函数的单调增区间为，若函数在区间上单调递增，则，所以实数的最大值为.【点睛】本题主要考查辅助角公式的应用，三角函数的单调性及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.16.在等比数列中，.（1）求数列的通项公式；（2）设,数列的前项和为，若，求的最小值.【答案】（1）；（2）5.【解析】【分析】（1）由题意可得数列的公比，结合首项确定数列的通项公式即可.（2）由题意可得，分组求和可得，据此确定的最小值即可.【详解】（1）由数列为等比数列，且,，得，解得.则数列的通项公式,.（2）.当时，，，所以；当时，；当时，；当时，；当时，.所以，的最小值为.【点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算，等比数列的通项公式，分组求和的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.17.某部门在同一上班高峰时段对甲、乙两座地铁站各随机抽取了50名乘客，统计其乘车等待时间（指乘客从进站口到乘上车的时间，乘车等待时间不超过40分钟）.将统计数据按，，，分组，制成频率分布直方图：（1）求的值；（2）记表示事件“在上班高峰时段某乘客在甲站乘车等待时间少于20分钟”，试估计的概率；（3）假设同组中的每个数据用该组区间左端点值来估计，记在上班高峰时段甲、乙两站各抽取的50名乘客乘车的平均等待时间分别为,,求的值，并直接写出与的大小关系. 【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图小长方形面积之和为1确定a的值即可；（2）由题意，利用频率近似概率值，计算事件A的概率即可；（3）结合直方图中的数据首先求得的值，然后比较与的大小关系即可.【详解】（1）因为，所以.（2）由题意知，该乘客在甲站平均等待时间少于20分钟的频率为：，故的估计值为（3）.由直方图知：.【点睛】利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时，应注意三点：①最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；②中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；③平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.18.如图，在多面体中，平面平面，四边形为正方形，四边形为梯形，且.（1）求证：；（2）若为线段的中点，求证：平面；（3）求多面体的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.【解析】【分析】（1）由题意结合几何关系可证得平面，由线面垂直的定义即可证得．（2）延长交于点，由题意可证得四边形为平行四边形，据此结合线面平行的判定定理证明题中的结论即可；（3）设为中点，连接，．将多面体分割为两部分，分别求解对应的体积，然后相加即可确定多面体的体积.【详解】（1）证明：因为四边形为正方形，所以．又因为平面平面，且平面平面，平面，所以平面．又平面，所以．（2）延长交于点，因为，为中点，所以≌，所以．因为，所以．由已知，且,又因为，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以．因为平面，平面，所以平面．（3）设为中点，连接，．由已知，所以平面．又因为，所以平面，所以平面平面．因为，，所以平面，所以多面体为直三棱柱．因为，且，所以．由已知，且，所以，且．又因为，平面，所以平面．因为，所以，所以．【点睛】本题主要考查线面垂直证明线线垂直的方法，线面平行的判定定理，组合体体积的求解方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19.已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）当时，求证：曲线在抛物线的上方.【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由题意可得.且函数的定义域.据此分类讨论确定函数的单调区间即可；（2）原问题等价于.设.利用导函数研究函数的最值，证明结论即可证得题中的结论.【详解】（1）求导得.定义域.当时，,函数在上为减函数.当时，令得,为增函数；令得,为减函数.所以时，函数减区间是.当时，函数增区间是；减区间是.（2）依题意，只需证.设.则，设.因为，所以在上单调递增.又因为，所以在内有唯一解，记为即. 当时，，单调递减；当时，，单调递增；所以.设，.则.所以.所以，即曲线在抛物线上方.【点睛】本题主要考查导数研究函数的单调性，导数证明不等式的方法，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.20.已知点为椭圆上任意一点，直线与圆交于两点，点为椭圆的左焦点．(1)求椭圆的离心率及左焦点的坐标；(2)求证：直线与椭圆相切；(3)判断是否为定值，并说明理由．【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）答案见解析.【解析】【分析】（1）由题意可得，，据此确定离心率即可；（2）由题意可得.分类讨论和两种情况证明直线与椭圆相切即可；（3）设，，当时，易得．当时，联立直线方程与椭圆方程可得，结合韦达定理和平面向量的数量积运算法则计算可得．据此即可证得为定值．【详解】（1）由题意，，所以离心率，左焦点．（2）由题知，，即.当时直线方程为或，直线与椭圆相切．当时，由得，即所以故直线与椭圆相切．（3）设，，当时，，，，，所以，即．当时，由得，则，，．因为．所以，即．故为定值．【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．。
北京市12区2019届高三第一次模拟(3、4月)数学理试题分类汇编：平面向量
北京市12区2019届高三第一次模拟（3、4月）数学理试题分类汇编平面向量1、（朝阳区2019届高三一模）在平面内，点A 是定点，动点C B ,满足||||1AB AC ==，0AB AC ⋅=，则集合{=+,12}|P AP AB AC λλ≤≤所表示的区域的面积是 ．2、（东城区2019届高三一模）已知向量(1,3)=a ，向量b 为单位向量，且1⋅=a b ，则2-b a 与2b 夹角为 .3、（丰台区2019届高三一模）已知平面向量(13)=-，a ，(2,)m =-b ，且∥a b ，那么m =____．4、（海淀区2019届高三一模）已知向量a r =（1，-2），同时满足条件①a r ∥b r ，②a b a +<r r r 的一个向量b r 的坐标 为5、（怀柔区2019届高三一模）已知a b ,是两个非零向量，则“=a b ”是“=a b 且a b ”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6、（门头沟区2019届高三一模）已知向量,a b →→满足1a b →→==，且其夹角为θ，则“1a b →→->”是“(,]3πθπ∈”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7、（石景山区2019届高三一模）6. 已知平面向量(,2),(1,),a k b k k ==∈R ，则2k =是a 与b 同向的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8、（顺义区2019届高三第二次统练（一模））已知向量a ，b 满足| a |=1，| b |=2，且()0a a b -=，则a 与b 的夹角为_________9、（延庆区2019届高三一模）如右图，正方形ABCD 中，E 为DC 的中点，若AB AC AE λμ=+，则λμ+的值为_____10、（房山区2019届高三一模）已知a 为单位向量，且,a b 的夹角为3π，=1a b ⋅，则=b (A) 2 (B) 1 (C) 32 (D) 1211、（丰台区2019届高三一模）若ABC △的面积为23，且3A π=，则AB AC =____． 12、（平谷区2019届高三一模）如图，在菱形ABCD 中，∠B ＝3π， AB ＝4。
2019朝阳区高三一模文科数学试题及答案
北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学学科测试（文史类） 2019.4（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. （1）i 为虚数单位，复数11i-的虚部是 A ．12 B ．12- C ．1i 2- D . 1i 2（2）若集合{}23M x x =-<<，{}121x N x +=≥，则MN =A. (3,)+∞B. (1,3)-C. [1,3)-D. (2,1]-- （3）已知向量()()3,4,6,3OA OB =-=-，()2,1OC m m =+.若//AB OC ，则实数m 的值为 A ．15 B ．3- C ．35- D ．17- （4）已知命题p ：x ∀∈R ，210x x +->；命题q ：x ∃∈R ，sin cos 2x x +=.则下列判断正确的是A ．p ⌝是假命题B ．q 是假命题C ．p q ∨⌝是真命题D ．()p q ⌝∧是真命题（5）若直线y x m =+与圆22420x y x +++=有两个不同的公共点，则实数m 的取值范围是A ．()22,22-+ B ．()4,0-C ．()22,22---+ D . ()0,4（6）“3m ≥”是“关于,x y 的不等式组0,20,10,0x x y x y x y m ≥⎧⎪-≤⎪⎨-+≥⎪⎪+-≤⎩表示的平面区域为三角形”的A ．充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件（7）某个长方体被一个平面所截，得到的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为A. 4B. 22C.203D. 8（8）已知函数*()21,f x x x =+∈N .若*0,x n ∃∈N ，使00()(1)()63f x f xf x n +++++=，则称0(,)x n 为函数()f x 的一个“生成点”.函数()f x 的“生成点”共有A. 1个 B .2个 C .3个 D .4个第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.（9）以双曲线2213x y -=的右焦点为焦点，顶点在原点的抛物线的标准方程是 .（10）执行如图所示的程序框图，输出结果S= .开始i =0S =0 S =S +2i -1 i ≥6? 输出S结束是 i =i +2否2222 １１ １ 正视图侧视图俯视图（11） 在等比数列{}n a 中，32420a a a -=，则3a = ，若{}n b 为等差数列，且33b a =，则数列{}n b 的前5项和等于 .（12）在ABC ∆中，a ,b ,c 分别为角A ,B ,C 所对的边，且满足7sin b a B =，则sin A = ，若60B =，则sin C = .（13） 函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，且满足(2)()f x f x +=.当[0,1]x ∈时，()2f x x =.若在区间[2,2]-上方程()0ax a f x +-=恰有三个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是 .（14）在平面直角坐标系xOy 中，点A 是半圆2240x x y -+=（2≤x ≤4）上的一个动点，点C 在线段OA 的延长线上．当20OA OC ⋅=时，则点C 的纵坐标的取值范围是 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. （15）（本小题满分13分）已知函数231()sin sin 222x f x x ωω=-+（0ω>）的最小正周期为π. （Ⅰ）求ω的值及函数()f x 的单调递增区间； （Ⅱ）当[0,]2x π∈时，求函数()f x 的取值范围.（16） （本小题满分13分）国家环境标准制定的空气质量指数与空气质量等级对应关系如下表：由全国重点城市环境监测网获得2月份某五天甲城市和乙城市的空气质量指数数据用茎叶图表示如下：空气质量指数0-5051-100101-150151-200201-300300以上空气质量等级 1级优 2级良 3级轻度污染 4级中度污染 5级重度污染 6级严重污染（Ⅰ）试根据上面的统计数据，判断甲、乙两个城市的空气质量指数的方差的大小关系（只需写出结果）；（Ⅱ）试根据上面的统计数据，估计甲城市某一天空气质量等级为2级良的概率；（Ⅲ）分别从甲城市和乙城市的统计数据中任取一个，试求这两个城市空气质量等级相同的概率．(注：])()()[(1222212x x x x x x ns n -++-+-=，其中x 为数据n x x x ,,,21 的平均数.)（17） （本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAC ⊥平面A B C D ，且P A A C ⊥， 2PA AD ==．四边形ABCD 满足BC AD ，AB AD ⊥，1AB BC ==．E 为侧棱PB的中点，F 为侧棱PC 上的任意一点. （Ⅰ）若F 为PC 的中点，求证：EF平面PAD ；（Ⅱ）求证：平面AFD ⊥平面PAB ；（Ⅲ）是否存在点F ，使得直线AF 与平面PCD 垂直？若存在， 写出证明过程并求出线段PF 的长；若不存在，请说明理由．（18） （本小题满分13分）已知函数2()(2)ln f x x a x a x =-++，其中a ∈R ．（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线的斜率为1，求a 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间.（19） （本小题满分14分）甲城市 2 4 57109 7 35 63 1 5 8 8乙城市PDAB CFE已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>过点(2,0)A ,离心率为32.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点(1,0)B 且斜率为k （0k ≠）的直线l 与椭圆C 相交于,E F 两点，直线AE ，AF分别交直线3x = 于M ，N 两点,线段MN 的中点为P .记直线PB 的斜率为k '，求证: k k '⋅为定值.（20）（本小题满分13分）由1,2,3,4,5,6,7,8,9,10按任意顺序组成的没有重复数字的数组，记为1210(,,,)x x x τ=，设1011()|23|k k k S x x τ+==-∑，其中111x x =.（Ⅰ）若(10,9,8,7,6,5,4,3,2,1)τ=，求()S τ的值； （Ⅱ）求证：()55S τ≥； （Ⅲ）求()S τ的最大值.(注：对任意,a b ∈R ，a b a b a b -≤±≤+都成立.)北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学学科测试答案（文史类） 2019.4一、选择题： 题号 （1）（2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） 答案AC B DD AD B 二、填空题： 题号 （9）（10）（11）（12）（13）（14）答案28y x =20 2；1017 ；1314[)0,1 []5,5-（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分）三、解答题：（15）（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）31cos 1()sin 222x f x x ωω-=-+ (1)分31sin cos 22x x ωω=+ sin()6x ωπ=+. ……………………………………………………4分 因为()f x 最小正周期为π，所以2ω=.………………………………………………5分 于是()sin(2)6f x x π=+.由222262k x k ππππ-≤+≤π+，k ∈Z ，得36k x k πππ-≤≤π+. 所以()f x 的单调递增区间为[,36k k πππ-π+]，k ∈Z .……………………………8分（Ⅱ）因为[0,]2x π∈，所以72[,]666x πππ+∈， …………………………………10分则1sin(2)126x π-≤+≤. …………………………………………………12分所以()f x 在[0,]2π上的取值范围是[1,12-]. ………………………………………13分（16）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）甲城市的空气质量指数的方差大于乙城市的空气质量指数的方差.……………3分（Ⅱ）根据上面的统计数据，可得在这五天中甲城市空气质量等级为2级良的频率为35， 则估计甲城市某一天的空气质量等级为2级良的概率为35．………………6分, （Ⅲ）设事件A ：从甲城市和乙城市的上述数据中分别任取一个，这两个城市的空气质量等级相同，由题意可知，从甲城市和乙城市的监测数据中分别任取一个，共有25个结果，分别记为：（29，43），（29，41），（29，55），（29，58）（29，78） （53，43），（53，41），（53，55），（53，58），（53，78）， （57，43），（57，41），（57，55），（57，58），（57，78）， （75，43），（75，41），（75，55），（75，58），（75，78）， （106，43），（106，41），（106，55），（106，58），（106，78）.其数据表示两城市空气质量等级相同的包括同为1级优的为甲29，乙41，乙43，同为2级良的为甲53，甲57，甲75，乙55，乙58，乙78. 则空气质量等级相同的为： （29，41），（29，43），（53，55），（53，58），（53，78）, （57，55），（57，58），（57，78），（75，55），（75，58），（75，78）.共11个结果. 则11()25P A =.所以这两个城市空气质量等级相同的概率为1125． …………………………………………………………………13分（17）（本小题满分14分） 证明：（Ⅰ）因为,E F 分别为侧棱,PB PC 的中点， 所以 EF BC ． 因为BCAD ，所以EFAD ．而EF ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ， 所以EF平面PAD ． ……………………………………………………4分 （Ⅱ）因为平面ABCD ⊥平面PAC ，平面ABCD平面PAC AC =，且PA AC ⊥，PA ⊂平面PAC .所以PA ⊥平面ABCD ，又AD ⊂平面ABCD ，所以PA AD ⊥． 又因为AB AD ⊥，PA AB A =，所以AD ⊥平面PAB ，而AD ⊂平面AFD ，所以平面AFD ⊥平面PAB ．……………………………………………………8分 （Ⅲ）存在点F ，使得直线AF 与平面PCD 垂直.在棱PC 上显然存在点F ,使得AF PC ⊥. 由已知，AB AD ⊥，BCAD ，1AB BC ==，2AD =．由平面几何知识可得 CD AC ⊥．由（Ⅱ）知，PA ⊥平面ABCD ，所以PA CD ⊥， 因为PAAC A =，所以CD ⊥平面PAC ．而AF ⊂平面PAC ，所以CD AF ⊥． 又因为CDPC C =,所以AF ⊥平面PCD .在PAC ∆中，2,2,90PA AC PAC ==∠=︒，可求得，266,3PC PF ==． 可见直线AF 与平面PCD 能够垂直，此时线段PF 的长为263．……………14分 （18）（本小题满分13分）P DABCFE解：(Ⅰ)由2()(2)ln f x x a x a x =-++可知，函数定义域为{}0x x >， 且()2(2)a f x x a x '=-++.由题意，(2)4(2)12af a '=-++=， 解得2a =.……………………………………………………………………………4分（Ⅱ）(2)(1)()2(2)a x a x f x x a x x--'=-++=(0)x >. 令()0f x '=，得11x =，22ax =.（1）当0a ≤时，02a≤，令()0f x '>，得1x >;令()0f x '<，得01x <<.则函数()f x 的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞.（2）当012a <<，即02a <<时，令()0f x '>，得02ax <<或1x >. 则函数()f x 的单调递增区间为(0,)2a，(1,)+∞.令()0f x '<，得12ax <<.则函数()f x 的单调递减区间为(,1)2a.（3）当12a =，即2a =时，()0f x '≥恒成立，则函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞.（4）当12a>，即2a >时，令()0f x '>，得01x <<或2a x >，则函数()f x 的单调递增区间为(0,1)，(,)2a+∞.令()0f x '<，得12ax <<.则函数()f x 的单调递减区间为(1,)2a. ……………………………………13分（19）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）依题得222,3,22.a b c c a a ⎧=+⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩解得24a =，21b =. 所以椭圆C 的方程为2214x y +=. …………………………………………………4分 （Ⅱ）根据已知可设直线l 的方程为(1)y k x =-.由22(1),440y k x x y =-⎧⎨+-=⎩得2222(41)8440k x k x k +-+-=. 设1122(,),(,)E x y F x y ,则22121222844,4141k k x x x x k k -+==++. 直线AE ，AF 的方程分别为：1212(2),(2)22y y y x y x x x =-=---， 令3x =， 则1212(3,),(3,)22y y M N x x --,所以12121(3,())222y yP x x +--. 所以122112(1)(2)(1)(2)4(2)(2)k x x k x x k k k x x --+--'⋅=⨯-- 21212121223()442()4k x x x x x x x x -++=⨯-++ 2222222228824164414416164441k k k k k k k k k --+++=⨯--+++ 2241444k k -=⨯=-. ……………………………………………………14分（20）（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）1011()|23|7654321012857kk k S xx τ+==-=+++++++++=∑.………3分（Ⅱ）证明：由a b a b +≥+及其推广可得，12231011()232323S x x x x x x τ=-+-++-121023112()3()x x x x x x ≥+++-+++=121010(110)552x x x ++++==. ……………………………7分 （Ⅲ）10,9,8,7,6,5,4,3,2,1的2倍与3倍共20个数如下：20,18,16,14,12,10,8,6,4,2, 30,27,24,21,18,15,12,9,6,3其中最大数之和与最小数之和的差为20372131-=，所以()131S τ≤， 对于0(1,5,6,7,2,8,3,9,4,10)τ=，0()131S τ=，所以()S τ的最大值为131. ……………………………………………………13分 注：使得()S τ取得最大值的有序数组中，只要保证数字1，2，3，4互不相邻，数字7，8，9，10也互不相邻，而数字5和6既不在7，8，9，10之一的后面，又不在1，2，3，4之一的前面都符合要求.。
北京市朝阳区高三数学第一次(3月)综合练习(一模)试题 理 试题
北京市朝阳区2019届高三数学第一次（3月）综合练习（一模）试题 理本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答 无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{|1}A x x =>，集合2{|4}B x x =<，则AB =A ．{|2}x x >-B ．{|12}x x <<C ．{|12}x x ≤<D ．R 2．在复平面内，复数12iiz +=对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．41()x x-的展开式中的常数项为A ．12-B ．6-C ．6D ． 124．若函数22,1,()log ,1x x f x x x ⎧<=⎨-≥⎩, 则函数()f x 的值域是A ．(,2)-∞B ．(,2]-∞C ．[0,)+∞D ．(,0)(0,2)-∞5．如图，函数()f x 的图象是由正弦曲线或余弦曲线经过变换得到的，则()f x 的解析式可以是A ．()sin(2)3f x x π=+B ．()sin(4)6f x x π=+C ．()cos(2)3f x x π=+D ．()cos(4)6f x x π=+6．记不等式组0,3,y y x y kx ≥⎧⎪≤+⎨⎪≤⎩所表示的平面区域为D ．“点(1,1)D -∈”是“1k ≤-”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．某三棱锥的三视图如图所示（网格纸上小正方形的边长为1），则该三棱锥的体积为 A ．4B ．2C ．83D ．43[8．某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是14，10，8．若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数至多是A ．5B ．6C ．7D ．8第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． 9．双曲线2214x y -=的右焦点到其一条渐近线的距离是 ．10．执行如图所示的程序框图，则输出的x 值为 ．11．在极坐标系中，直线cos 1ρθ=与圆4cos ρθ=相交于,A B 两点，则AB =___．12．能说明“函数()f x 的图象在区间[]0,2上是一条连续不断的曲线．若(0)(2)0f f ⋅>，则()f x 在(0,2)内无零点”为假命题的一个函数是 ．正（主）视图 俯视图侧（左）视图13．天坛公园是明、清两代皇帝“祭天”“祈谷”的场所．天坛公园中的圜丘台共有三层（如图1所示），上层坛的中心是一块呈圆形的大理石板，从中心向外围以扇面形石（如图2所示）．上层坛从第一环至第九环共有九环，中层坛从第十环至第十八环共有九环，下层坛从第十九环至第二十七环共有九环；第一环的扇面形石有9块，从第二环起，每环的扇面形石块数比前一环多9块，则第二十七环的扇面形石块数是______；上、中、下三层坛所有的扇面形石块数是 ．14．在平面内，点A 是定点，动点C B ,满足||||1AB AC ==，0AB AC ⋅=，则集合{=+,12}|P AP AB AC λλ≤≤所表示的区域的面积是 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）在ABC △中，a 120A ∠=︒，ABC △b c <． （Ⅰ）求b 的值； （Ⅱ）求cos2B 的值． 16．（本小题满分13分）某部门在同一上班高峰时段对甲、乙两地铁站各随机抽取了50名乘客，统计其乘车等待时间（指乘客从进站口到乘上车的时间，乘车等待时间不超过40分钟）．将统计数据按[5,10),[10,15),[15,20),,[35,40]分组，制成频率分布直方图：时间（分钟）乙站甲站时间（分钟）假设乘客乘车等待时间相互独立．（Ⅰ）在上班高峰时段，从甲站的乘客中随机抽取1人，记为A ；从乙站的乘客中随机抽取1人，记为B .用频率估计概率，求“乘客A ,B 乘车等待时间都小于20分钟”的概率；（Ⅱ）从上班高峰时段,从乙站乘车的乘客中随机抽取3人，X 表示乘车等待时间小于20分钟的人数，用频率估计概率，求随机变量X 的分布列与数学期望. 17．（本小题满分14分）如图，在多面体ABCDEF 中，平面ADEF ⊥平面ABCD ．四边形ADEF 为正方形，四边形ABCD 为梯形，且//AD BC ，90BAD ∠=︒，1AB AD ==，3BC =． （Ⅰ）求证：AF CD ⊥；（Ⅱ）求直线BF 与平面CDE 所成角的正弦值；[]（Ⅲ）线段BD 上是否存在点M ，使得直线//CE 平面AFM ? 若存在，求BMBD的值；若不存在，请说明理由．18．（本小题满分13分）已知函数ln()()ax f x x=(R a ∈且0)a ≠. （Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）当1a =-时，求证：()1f x x ≥+； （Ⅲ）讨论函数()f x 的极值．19．（本小题满分14分）已知点00(,)M x y 为椭圆22:12x C y +=上任意一点，直线00:22l x x y y +=与圆22(1)6x y -+=交于,A B两点，点F 为椭圆C 的左焦点．（Ⅰ）求椭圆C 的离心率及左焦点F 的坐标； （Ⅱ）求证：直线l 与椭圆C 相切；（Ⅲ）判断AFB ∠是否为定值，并说明理由．20．（本小题满分13分）在无穷数列{}n a 中，12,a a 是给定的正整数，21n n n a a a ++=-，N n ∈*．（Ⅰ）若123,1a a ==，写出910100,,a a a 的值； （Ⅱ）证明：数列{}n a 中存在值为0的项；（Ⅲ）证明：若12,a a 互质，则数列{}n a 中必有无穷多项为1． [北京市朝阳区高三年级第一次综合练习 数学（理）答案2019．3 一、选择题：（本题满分40分）二、填空题：（本题满分30分）三、解答题：（本题满分80分） 15．(本小题满分13分)解：（Ⅰ）由已知得2221=sin 2=2cos120.S bc A b c bc ⎧⎪⎨⎪+-︒⎩整理得22=4,=17.bc b c ⎧⎨+⎩解得=1,=4b c ⎧⎨⎩，或=4,=1.b c ⎧⎨⎩ 因为b c <，所以1b =．………………………………………………….8分（Ⅱ）由正弦定理sin sin a bA B=， 即sin B =．所以2213cos 2=12sin 11414B B -=-= ……………………………….13分16．(本小题满分13分)解：（Ⅰ）设M 表示事件“乘客A 乘车等待时间小于20分钟”，N 表示事件“乘客B 乘车等待时间小于20分钟”，C 表示事件“乘客A,B 乘车等待时间都小于20分钟”．由题意知，乘客A 乘车等待时间小于20分钟的频率为0.0120.0400.048)50.5(++⨯=，故()P M 的估计值为0.5．乘客B 乘车等待时间小于20分钟的频率为0.0160.0280.036)50.4(++⨯=，故()P N 的估计值为0.4．又121()()()()255P C P MN P M P N ==⋅=⨯=. 故事件C 的概率为15．………………………………………………………….6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，乙站乘客乘车等待时间小于20分钟的频率为0.4，[所以乙站乘客乘车等待时间小于20分钟的概率为25. 显然，X 的可能取值为0,1,2,3且2(3,)5~X B .所以033327(0)()5125P X C ===；1232354(1)()55125P X C ==⋅=； 2232336(2)()55125P X C ==⋅=；33328(3)()5125P X C ===.故随机变量X 的分布列为26355EX =⨯= .……………….13分 17．(本小题满分14分)解：（Ⅰ）证明：因为ADEF 为正方形，所以AF AD ⊥．又因为平面ADEF ⊥平面ABCD ， 且平面ADEF平面ABCD AD =，所以AF ⊥平面ABCD ．所以AF CD ⊥．………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，AF ⊥平面ABCD ，所以AF AD ⊥，AF AB ⊥． 因为90BAD ∠=︒，所以,,AB AD AF 两两垂直．分别以,,AB AD AF 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系（如图）． 因为1AB AD ==，3BC =，所以(0,0,0),(1,0,0),(1,3,0),(0,1,0),(0,1,1),(0,0,1)A B C D E F ， 所以(1,0,1),(1,2,0),(0,0,1)BF DC DE =-==． 设平面CDE 的一个法向量为(,,)x yz =n ，则0,0.DC DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即20,0. x y z +=⎧⎨=⎩令2x =，则1y =-， 所以(2,1,0)=-n ．设直线BF 与平面CDE 所成角为θ，则sin |cos ,|BF θ=〈〉==n .9分 （Ⅲ）设( (01])BMBDλλ=∈，， 设()111,,M x y z ，则()1111,,(1,1,0)x y z λ-=-， 所以1111,,0x y z λλ=-==，所以()1,,0M λλ-， 所以()1,,0AM λλ=-．设平面AFM 的一个法向量为000(,,)x y z =m ，则0,0.AM AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m因为()0,0,1AF =，所以000(1)0,0.x y z λλ-+=⎧⎨=⎩令0x λ=，则01y λ=-，所以(,1,0)λλ=-m ．在线段BD 上存在点M ，使得//CE 平面AFM 等价于存在[0,1]λ∈，使得0CE ⋅=m ． 因为()1,2,1CE =--，由0CE ⋅=m ， 所以2(1)0λλ---=， 解得2[0,1]3λ=∈， 所以线段BD 上存在点M ，使得//CE 平面AFM ，且23BM BD =．……………….14分18． (本小题满分13分) 解：（Ⅰ）当1a =时，ln ()x f x x =．所以21ln ()xf x x -'=． 因为(1)1,(1)0f f '==，所以曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为1y x =-．……………….3分（Ⅱ）当1a =-时，ln()()x f x x-=． 函数()f x 的定义域为(,0)-∞． 不等式()1f x x ≥+成立⇔ln()1x x x-≥+成立⇔2ln()0x x x ---≤成立.设2()ln()g x x x x =---((,0))x ∈-∞，则2121(21)(1)()21x x x x g x x x x x--+-++'=--==．当x 变化时，()g x '，()g x 变化情况如下表：所以()(1)g x g ≤-．因为(1)0g -=，所以()0g x ≤，所以ln()1x x x-≥+．………………………………………………………………….8分 （Ⅲ）求导得21ln()()ax f x x -'=. 令()0f x '=，因为0a ≠可得ex a=． 当0a >时，()f x 的定义域为()0,+∞.当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：此时()f x 有极大值e()eaf a =，无极小值． 当0a <时，()f x 的定义域为(),0-∞，当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：此时()f x有极小值e ()eaf a =，无极大值．……………………………………………….13分19． (本小题满分14分)解：（Ⅰ）由题意a =1b =，1c =所以离心率c e a ==，左焦点(1,0)F -．………………………………………….4分 （Ⅱ）当00y =时直线l 方程为x =或x =l 与椭圆C 相切．当00y ≠时，由22001,222x y x x y y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩得2222000(2)4440y x x x x y +-+-=， 由题知，220012x y +=，即220022x y +=， 所以 22220000(4)4(2)(44)x y x y ∆=-+- 220016[2(1)]x y =--=22016(22)0x y +-=． 故直线l 与椭圆C 相切．………………………………………………………….8分（Ⅲ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，当00y =时，12x x =，12y y =-，1x =2211(1)FA FB x y ⋅=+-2211(1)6(1)x x =+-+-21240x =-=，所以FA FB ⊥，即90AFB ∠=．当00y ≠时，由2200(1)6,22x y x x y y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩ 得2222000(1)2(2)2100y x y x x y +-++-=， 则20012202(2)1y x x x y ++=+，21222101y x x y -=+， 2001212122220001()42x x y y x x x x y y y =-++200254422x x y --+=+． 因为1122(1,)(1,)FA FB x y x y ⋅=+⋅+ 1212121x x x x y y =++++2222000000220042084225442222y y x y x x y y -++++--+=+++220025(2)10022x y y -++==+． 所以FA FB ⊥，即90AFB ∠=．故AFB ∠为定值90． ………………………………………………………….14分20． (本小题满分13分)解：(I)9101000,1,1a a a ===．.………………………………………………………….3分 (II)反证法：假设i ∀,0.i a ≠由于21n n n a a a ++=-， 记1,2max{}M a a =.则12,a M a M ≤≤.则32101a a a M <=-≤-，43201a a a M <=-≤-,54302a a a M <=-≤-，65402a a a M <=-≤-，，依次递推，有76503a a a M <=-≤-，87603a a a M <=-≤-…，则由数学归纳法易得21,.k a M k k *+≤-∈N当k M >时，210,k a +<与210k a +>矛盾. 故存在i ，使=0.i a所以，数列{}n a 必在有限项后出现值为0的项．………………………………………….8分 (III)首先证明：数列{}n a 中必有“1”项．用反证法，假设数列{}n a 中没有“1”项，由(II)知，数列{}n a 中必有“0”项，设第一个“0”项是m a (3)m ≥，令1m a p -=，1,p p >∈N *，则必有2m a p -=，于是，由1233||||m m m m p a a a p a ----==-=-，则32m a p -=，因此p 是3m a -的因数， 由2344|||2|m m m m p a a a p a ----==-=-，则4m a p -=或3p ，因此p 是4m a -的因数.依次递推，可得p 是12,a a 的因数，因为1p >，所以这与12,a a 互质矛盾．所以，数列{}n a 中必有“1”项． 其次证明数列{}n a 中必有无穷多项为“1”.假设数列{}n a 中的第一个“1”项是k a ，令1k a q -=，1,q q >∈N *， 则111k k k a a a q +-=-=-，若1k a +=11q -=，则数列中的项从k a 开始，依次为“1，1，0”的无限循环， 故有无穷多项为1；若111k a q +=->，则213212,1k k k k k k a a a q a a a +++++=-=-=-=， 若221k a q +=-=，则进入“1，1，0”的无限循环，有无穷多项为1；若221k a q +=->，则从k a 开始的项依次为1,1,2,1,3,4,1q q q q ----，……，必出现连续两个“1”项，从而进入“1，1，0”的无限循环，故必有无穷多项为1．……13分。
北京市朝阳区2019届高三第一次(3月)综合练习(一模)数学(文)试题
的两条的切线 l1 ,l 2，使得 l1 l 2 ，则实数 k 的取值范围是
A.
U（
） B. [ 2- 3,2+ 3]
C. (- ,0) D. [0,+ )
8. 某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是 14，10，8.若这三天中至
少有一天开车上班的职工人数是 20，则这三天都开车上班的职工人数至多是
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
第二部分（非选择题 共 110 分） 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分．把答案填在答题卡上 ．
9. 已知平面向量 a = (2, 1) ， b = (1, x) .若 a b ，则 x
．
10. 执行如图所示的程序框图，则输出的 x 值为
．
-2-
立的充分而不必要条件是
A. ①
B. ②
C. ③
D. ①②③
-1-
6. 某三棱锥的三视图如图所示， 若网格纸上小正方形的边长为 1，则该三棱锥的体
积为
A． 4
B． 2
C． 8 3
D． 4 3
正（主）视图
侧（左）视图
俯视图
7. 已知圆 C : ( x 2) 2 y2 2 ，直线 l : y kx 2 . 若直线 l 上存在点 P ，过点 P 引圆
1. 在复平面内，复数 z 1 2i 对应的点位于 i
A. 第一象限 B. 第二象限
C. y 满足不等式组 x y 1 0， 则 2x y 的最大值是
x y 1 0.
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
3. 已知集合 A {1,2,3,4,5} ，且 A B A ，则集合 B 可以是
朝阳区高三一模试卷及答案(数学文)
北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学试卷（文史类） 2019.3（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）注意事项：考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上答无效.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 复数10i12i=- A.42i - B. 42i -+ C. 24i + D. 24i -2. 若集合{}21,A m =，{}3,4B =，则“2m =”是“{}4=B A ”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 3. 已知平面向量,a b 满足()=3a a +b ⋅，且2,1==a b ，则向量a 与b 的夹角为A.6π B. 3π C. 32π D. 65π 4. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21()n n S a n *=-∈N ，则5a =A. 16-B. 16C. 31D. 325. 关于两条不同的直线m ,n 与两个不同的平面α,β，下列命题正确的是 A ．βα//,//n m 且βα//，则n m // B ．βα⊥⊥n m ,且βα⊥，则m //n C ．βα//,n m ⊥且βα//，则n m ⊥D ．βα⊥n m ,//且βα⊥，则n m //6. 已知中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的离心率e =，其焦点到渐近线的距离为1，则此双曲线的方程为A ．2212x y -= B ．22123x y -= C. 2214x y -= D. 221x y -=7. 某工厂生产的A 种产品进入某商场销售，商场为吸引厂家第一年免收管理费，因此第一年A 种产品定价为每件70元，年销售量为11.8万件. 从第二年开始，商场对A 种产品 征收销售额的%x 的管理费（即销售100元要征收x 元），于是该产品定价每件比第一年增加了70%1%x x ⋅-元，预计年销售量减少x 万件，要使第二年商场在A 种产品经营中收取的管理费不少于14万元，则x 的最大值是A. 2B. 6.5C. 8.8D. 108. 函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R ，都有(2)()f x f x +=.当01x ≤≤时，2()f x x =.若直线y x a =+与函数()y f x =的图象有两个不同的公共点，则实数a 的值为 A.n ()n ∈Z B.2n ()n ∈Z C. 2n 或124n - ()n ∈Z D. n 或14n -()n ∈Z第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在答题卡上. 9.若sin 3θ=,(,)2θπ∈π，则tan θ= . 10.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 .（第10题图）11. 执行如图所示的程序框图，若输入k 的值是4，则输出S 的值是 .（第11题图）12. 设,x y 满足约束条件0, , 230,y y x x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+-≤⎩则目标函数2z x y =-的最大值是 ；使z 取得最大值时的点(,)x y 的坐标是 .正视图 侧视图13. 已知函数213(),2,()24log ,02x x f x x x ⎧+≥⎪=⎨⎪<<⎩，则((2))f f 的值为 ；函数()()g x f x k =-恰有两个零点，则实数k 的取值范围是 . 14. 已知集合{}22(,)4A x y x y =+≤，集合B =(){},,x y y m x m ≥为正常数.若O 为坐标原点，M ，N 为集合A 所表示的平面区域与集合B 所表示的平面区域的边界的交点,则MON ∆的面积S 与m 的关系式为 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 把答案答在答题卡上. 15. （本题满分13分）已知函数π()cos()4f x x =-. （Ⅰ）若3()5f α=，其中π3π,44α<< 求πsin 4α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值；（II ）设()()2g x f x f x π⎛⎫=⋅+⎪⎝⎭，求函数()g x 在区间ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 16. （本题满分13分）某企业员工500人参加“学雷锋”志愿活动，按年龄分组：第1组[25，30)，第2组[30，35)，第3组[35，40)，第4组[40，45)，第5组[45，50]，得到的频率分布直方图如右图所示．(Ⅰ)下表是年龄的频数分布表，求正整数,a b 的值；(Ⅱ)现在要从年龄较小的第1,2,3组中用分层抽样的方法抽取6人，年龄在第1,2,3组的人数分别是多少？(Ⅲ)在(Ⅱ)的前提下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求至少有1人年龄在第3组的概率． 17. （本题满分13分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形，=90ABD ∠︒，EB ⊥平面ABCD ，EF//AB ，2AB=，=1EF，=BC （Ⅰ）求证：//EM 平面ADF ；（Ⅱ）在EB 上是否存在一点P ，使得∠ 若存在，请求出CPD ∠请说明理由.18. （本题满分14分）已知函数()2()1e x f x ax =-⋅,a ∈R .（Ⅰ）若函数()f x 在1x =时取得极值，求a 的值； （Ⅱ）当0a ≤时，求函数()f x 的单调区间. 19.（本题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点分别为1(F ，2F ，点(1,0)M 与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点(1,0)M 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点,设点(3,2)N ，记直线AN ，BN的斜率分别为1k ，2k ，求证：12k k +为定值. 20（本题满分13分）已知各项均为非负整数的数列001:,,,n A a a a （n *∈N ），满足00a =，1n a a n ++=．若存在最小的正整数k ，使得(1)k a k k =≥，则可定义变换T ，变换T 将数列0A 变为00111():1,1,,1,0,,,k k n T A a a a a a -++++．设1()i i A T A +=，0,1,2i =．（Ⅰ）若数列0:0,1,1,3,0,0A ，试写出数列5A ；若数列4:4,0,0,0,0A ，试写出数列0A ； （Ⅱ）证明存在数列0A ，经过有限次T 变换，可将数列0A 变为数列,0,0,,0n n 个；（Ⅲ）若数列0A 经过有限次T 变换，可变为数列,0,0,,n n 个．设1m m m n S a a a +=+++，1,2,,m n =，求证[](1)1mm m S a S m m =-++，其中[]1m S m +表示不超过1m Sm +的最大整数. 北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学试卷答案（文史类） 2019.3注：若有两空，则第一个空第二个空三、解答题：（15）（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）因为π3()cos()45f αα=-=，且ππ042α<-<， …………1分 所以π4sin 45α⎛⎫-= ⎪⎝⎭. .…………5分. （II ）()π()2g x f x f x ⎛⎫=⋅+⎪⎝⎭=ππcos()cos()44x x -⋅+=ππsin()cos()44x x +⋅+ =1πsin(2)22x +=1cos 22x . .…….…..10分 当ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，π2π2,33x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦. 则当0x =时，()g x 的最大值为12；当π3x =时，()g x 的最小值为14-. ………13分 （16）（本小题满分13分）解：(Ⅰ)由题设可知，0.085500200a =⨯⨯=， 0.02550050b =⨯⨯=.……………2分(Ⅱ) 因为第1，2，3组共有50+50+200=300人，利用分层抽样在300名学生中抽取6名学生，每组抽取的人数分别为：第1组的人数为5061300⨯=， 第2组的人数为5061300⨯=，第3组的人数为20064300⨯=， 所以第1，2，3组分别抽取1人，1人，4人． ………………6分(Ⅲ)设第1组的1位同学为A ，第2组的1位同学为B ，第3组的4位同学为1234,,,C C C C ，则从六位同学中抽两位同学有：1234(,),(,),(,),(,),(,),A B A C A C A C A C 1234(,),(,),(,),(,),B C B C B C B C 12(,),C C13(,),C C 142324(,),(,),(,),C C C C C C 34(,),C C 共15种可能． ………… 10分其中2人年龄都不在第3组的有：(,),A B 共1种可能， ……… ………12分 所以至少有1人年龄在第3组的概率为11411515-=． ………………13分 （17）（本小题满分13分）（Ⅰ）证明：取AD 的中点N ，连接,MN NF .在DAB ∆中，M 是BD 的中点，N 是AD 的中点，所以MN//AB,MN 12=AB . ……………2分 又因为EF//AB,EF 12=AB ，所以MN//EF 且MN =EF .所以四边形MNFE 为平行四边形，所以EM//FN . ………………4分 又因为FN ⊂平面ADF ，EM ⊄平面ADF ，故EM//平面ADF . ……………………6分 （Ⅱ）解：假设在EB 上存在一点P ，使得CPD ∠最大.因为EB ⊥平面ABD ，所以EB CD ⊥.又因为CD BD ⊥，所以CD ⊥平面EBD . ………………………8分 在Rt CPD ∆中，tan =CDCPD DP∠. 因为CD 为定值，且CPD ∠为锐角，则要使CPD ∠最大，只要DP 最小即可. 显然，当DP EB ⊥时，DP 最小.因为DB EB ⊥，所以当点P 在点B 处时，使得CPD ∠最大. …………11分 易得tan CD CPD =DB ∠=23. 所以CPD ∠的正切值为23. ……………………13分 （18）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）()2()21e xf x ax ax '=+-⋅.x ∈R ……………………2分 依题意得(1)(31)e =0f a '=-⋅，解得13a =. 经检验符合题意. ………4分 （Ⅱ）()2()21e xf x ax ax '=+-⋅，设2()21g x ax ax =+-，（1）当0a =时，()e xf x =-，()f x 在(),-∞+∞上为单调减函数. ……5分NCA F EB MD（2）当0a <时，方程2()21g x ax ax =+-=0的判别式为244a a ∆=+，令0∆=, 解得0a =（舍去）或1a =-.1°当1a =-时，22()21(1)0g x x x x =---=-+≤， 即()2()21e 0x f x ax ax '=+-⋅≤，且()f x '在1x =-两侧同号，仅在1x =-时等于0，则()f x 在(),-∞+∞上为单调减函数. ……………………7分 2°当10a -<<时，0∆<，则2()210g x ax ax =+-<恒成立，即()0f x '<恒成立，则()f x 在(),-∞+∞上为单调减函数. ……………9分 3°1a <-时，2440a a ∆=+>，令()0g x =， 方程2210ax ax +-=有两个不相等的实数根11x a =-+，21x a =--，作差可知11a a-->-+，则当1x <-+时，()0g x <，()0f x '<，()f x 在(,1-∞-上为单调减函数；当11x a a -+<<--时，()0g x >，()0f x '>，()f x 在(11a a-+--上为单调增函数；当1x >-时，()0g x <，()0f x '<，()f x 在(1)--+∞上为单调减函数. ……………………………………………………………………13分 综上所述，当10a -≤≤时，函数()f x 的单调减区间为(),-∞+∞；当1a <-时，函数()f x 的单调减区间为(,1-∞-，(1)--+∞，函数()f x 的单调增区间为(11-+-. …………………………14分 （19）（本小题满分14分） 解:（Ⅰ）依题意，由已知得c =，222a b -=，由已知易得1b OM ==,解得a =………………………3分则椭圆的方程为2213x y +=. ………………………4分 (II) ①当直线l 的斜率不存在时，由221,13x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得1,x y ==.设(1,)3A，(1,3B -，则122233222k k +=+=为定值. ………5分 ②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为：(1)y k x =-.将(1)y k x =-代入2213x y +=整理化简，得2222(31)6330k x k x k +-+-=.…6分 依题意，直线l 与椭圆C 必相交于两点，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2122631k x x k +=+，21223331k x x k -=+. ……………………7分 又11(1)y k x =-，22(1)y k x =-， 所以1212122233y y k k x x --+=+-- ………………………8分 122112(2)(3)(2)(3)(3)(3)y x y x x x --+--=--12211212[2(1)](3)[2(1)](3)93()k x x k x x x x x x ---+---=-++1212121212122()[24()6]93()x x k x x x x x x x x -++-++=-++2212222222336122()[246]3131633933131k k x x k k k k k k k --++⨯-⨯+++=--⨯+++ 2212(21) 2.6(21)k k +==+ .…….………………13分 综上得12k k +为常数2. .…….………………14分 （20）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）若0:0,1,1,3,0,0A ，则1:1,0,1,3,0,0A ；2:2,1,2,0,0,0A ； 3:3,0,2,0,0,0A ；4:4,1,0,0,0,0A ； 5:5,0,0,0,0,0A ．若4:4,0,0,0,0A ，则 3:3,1,0,0,0A ； 2:2,0,2,0,0A ； 1:1,1,2,0,0A ；0:0,0,1,3,0A ． .……….………………4分（Ⅱ）若数列001:,,,n A a a a 满足0k a =及0(01)i a i k >≤≤-，则定义变换1T -，变换1T -将数列0A 变为数列10()T A -：01111,1,,1,,,,k k n a a a k a a -+---．易知1T -和T 是互逆变换． 对于数列,0,0,,0n 连续实施变换1T -（一直不能再作1T -变换为止）得,0,0,,0n 1T -−−→1,1,0,,0n -1T-−−→2,0,2,0,,0n -1T-−−→3,1,2,0,,0n -1T-−−→1T-−−→01,,,n a a a ，则必有00a =（若00a ≠，则还可作变换1T -）．反过来对01,,,n a a a 作有限次变换T ，即可还原为数列,0,0,,0n ，因此存在数列0A 满足条件．…………………………8分（Ⅲ）显然i a i ≤(1,2,,)i n =，这是由于若对某个0i ，00i a i >，则由变换的定义可知，0i a 通过变换，不能变为0.由变换T 的定义可知数列0A 每经过一次变换，k S 的值或者不 变，或者减少k ，由于数列0A 经有限次变换T ，变为数列,0,,0n 时，有0m S =，1,2,,m n =，所以m m S mt =(m t 为整数)，于是1m m m S a S +=+1(1)m m a m t +=++，0m a m ≤≤，所以m a 为m S 除以1m +后所得的余数，即[](1)1mm m S a S m m =-++．………13分。
2019年3月北京市朝阳区2019届高三第一次综合练习(一模)数学(理)试题(解析版)
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北京市朝阳区2019届高三第一次综合练习（一模）
数学（理）试题
（解析版）
2019年3月
第一部分（选择题共40分）
一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分．在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项．
1.已知集合,集合,则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
解一元二次不等式求得集合,由此求得两个集合的交集.
【详解】由解得,故,故选B.
【点睛】本小题主要考查集合的交集,考查一元二次不等式的解法,属于基础题.
2.在复平面内,复数对应的点位于（）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意可得：,据此确定复数所在的象限即可.
【详解】由题意可得：,
则复数z对应的点为,位于第四象限.
本题选择D选项.
【点睛】本题主要考查复数的运算法则,各个象限内复数的特征等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
3.的展开式中的常数项为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
化简二项式的展开式,令的指数为零,求得常数项.
【详解】二项式展开式的通项为,令,故常数项为,故选C.
【点睛】本小题主要考查二项式展开式的通项公式,考查二项式展开式中的常数项,属于基础题.
4.若函数则函数的值域是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
画出函数的图像,由此确定函数的值域.
【详解】画出函数的图像如下图所示,由图可知,函数的值域为,故选A.。
2019年北京市朝阳区高考数学一模试卷和答案(文科)
2019年北京市朝阳区高考数学一模试卷（文科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）在复平面内，复数z＝对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）设实数x，y满足不等式组，则2x+y的最大值是（）A．1B．2C．3D．43．（5分）已知集合A＝{1，2，3，4，5}，且A∩B＝A，则集合B可以是（）A．{x|2x＞1}B．{x|x2＞1}C．{x|log2x＞1}D．{1，2，3} 4．（5分）已知△ABC中，∠A＝120°，a＝，三角形ABC的面积为，且b＜c，则c﹣b＝（）A．B．3C．﹣3D．5．（5分）已知a，b，c∈R，给出下列条件：①a2＞b2；②；③ac2＞bc2，则使得a ＞b成立的充分而不必要条件是（）A．①B．②C．③D．①②③6．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，若网格纸上小正方形的边长为1，则该三棱锥的体积为（）A．4B．2C．D．7．（5分）已知圆C：（x﹣2）2+y2＝2，直线l：y＝kx﹣2．若直线l上存在点P，过点P引圆的两条切线11，l2，使得l1⊥l2，则实数k的取值范围是（）A．[0，2）∪（2，+∞）B．[2]C．（﹣∞，0）D．[0，+∞）8．（5分）某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是14，10，8．若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数至多是（）A．5B．6C．7D．8二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）已知平面向量＝（2，﹣1），＝（1，x）．若∥，则x＝．10．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的x值为．11．（5分）双曲线﹣y2＝1的右焦点到其一条渐近线的距离是．12．（5分）能说明“函数（x）的图象在区间[0，2]上是一条连续不断的曲线，若f（0）•f（2）＞0，则f（x）在（0，2）内无零点”为假命题的一个函数是．13．（5分）天坛公园是明清两代皇帝“祭天”“祈谷”的场所•天坛公园中的圜丘台共有三层（如图1所示），上层坛的中心是一块呈圆形的大理石板，从中心向外围以扇面形石铺成（如图2所示）．上层坛从第一环至第九环共有九环，中层坛从第十环至第十八环共有九环，下层坛从第十九环至第二十七环共有九环；第一环的扇面形石有9块，从第二环起，每环的扇面形石块数比前一环多9块，则第二十七环的扇面形石块数是；上、中、下三层坛所有的扇面形石块数是．14．（5分）若不等式log a x+x﹣4＞0（a＞0且a≠1）在区间（0，2）内有解，则实数a的取值范围是．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知函数f（x）＝cos2x+sin x cos x．（Ⅰ）求f（）的值及f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若函数f（x）在区间[0，m]上单调递增，求实数m的最大值．16．（13分）在等比数列{a n}中，a1＝，a4＝4，n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝a n+n﹣6，数列{b n}的前n项和为S n，若S n＞0，求n的最小值．17．（13分）某部门在同一上班高峰时段对甲、乙两座地铁站各随机抽取了50名乘客，统计其乘车等待时间（指乘客从进站口到乘上车的时间，乘车等待时间不超过40分钟）．将统计数据按[5，10），[10，15），[15，20），…，[35，40]分组，制成频率分布直方图：（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）记A表示事件“在上班高峰时段某乘客在甲站乘车等待时间少于20分钟“，试估计A的概率；（Ⅲ）假设同组中的每个数据用该组区间左端点值来估计，记在上班高峰时段甲、乙两站各抽取的50名乘客乘车的平均等待时间分别为，，求的值，并直接写出与的大小关系．18．（14分）如图，在多面体ABCDEF中平面ADEF⊥平面ABCD，四边形ADEF为正方形，四边形ABCD为梯形，且AD∥BC，∠BAD＝90°，AB＝AD＝1，BC＝2．（Ⅰ）求证：AF⊥CD；（Ⅱ）若M为线段BD的中点，求证：CE∥平面AMF；（Ⅲ）求多面体ABCDEF的体积．19．（13分）已知函数f（x）＝ae x﹣4x，a∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当a＝1时，求证：曲线y＝f（x）在抛物线y＝﹣x2﹣1的上方．20．（14分）已知点M（x0，y0）为椭圆C：+y2＝1上任意一点，直线l：x0x+2y0y＝2与圆（x﹣1）2+y2＝6交于A，B两点，点F为椭圆C的左焦点．（Ⅰ）求椭圆C的离心率及左焦点F的坐标；（Ⅱ）求证：直线l与椭圆C相切；（Ⅲ）判断∠AFB是否为定值，并说明理由．2019年北京市朝阳区高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）在复平面内，复数z＝对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：＝＝﹣i+2所对应的点为（2，﹣1），该点位于第四象限故选：D．2．（5分）设实数x，y满足不等式组，则2x+y的最大值是（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：作出实数x，y满足不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z＝2x+y得y＝﹣2x+z，平移直线y＝﹣2x+z，由图象可知当直线y＝﹣2x+z经过点A时，直线y＝﹣2x+z的截距最大，此时z最大由，解得A（1，0），代入目标函数z＝2x+y得z＝2×1+0＝2．即目标函数z＝2x+y的最大值为2．故选：B．3．（5分）已知集合A＝{1，2，3，4，5}，且A∩B＝A，则集合B可以是（）A．{x|2x＞1}B．{x|x2＞1}C．{x|log2x＞1}D．{1，2，3}【解答】解：∵A∩B＝A；∴A⊆B，且A＝{1，2，3，4，5}；∴A．{x|2x＞1}＝{x|x＞0}，满足A⊆{x|x＞0}；B．{x|x2＞1}＝{x|x＜﹣1，或x＞1}，不满足A⊆{x|x＜﹣1，或x＞1}；C．{x|log2x＞1}＝{x|x＞2}，不满足A⊆{x|x＞2}；D．不满足A⊆{1，2，3}．故选：A．4．（5分）已知△ABC中，∠A＝120°，a＝，三角形ABC的面积为，且b＜c，则c﹣b＝（）A．B．3C．﹣3D．【解答】解：△ABC中，∵S＝bc sin A＝bc＝，∴bc＝4．由余弦定理可得cos A＝＝＝﹣，∴＝﹣，解得（c﹣b）2＝9，又b＜c，∴c﹣b＝3．故选：B．5．（5分）已知a，b，c∈R，给出下列条件：①a2＞b2；②；③ac2＞bc2，则使得a ＞b成立的充分而不必要条件是（）A．①B．②C．③D．①②③【解答】解：①由a2＞b2；得a，b关系不确定，无法得a＞b成立，②当a＜0，b＞0时，满足但a＞b不成立；③若ac2＞bc2，得c≠0，则a＞b，反之不成立，即③是a＞b成立的充分不必要条件，故选：C．6．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，若网格纸上小正方形的边长为1，则该三棱锥的体积为（）A．4B．2C．D．【解答】解：由题意可知：几何体是正方体的一部分，是三棱锥，所以该三棱锥的体积为：＝．故选：D．7．（5分）已知圆C：（x﹣2）2+y2＝2，直线l：y＝kx﹣2．若直线l上存在点P，过点P引圆的两条切线11，l2，使得l1⊥l2，则实数k的取值范围是（）A．[0，2）∪（2，+∞）B．[2]C．（﹣∞，0）D．[0，+∞）【解答】解：如图所示，直线l上存在点P，过点P引圆的两条切线11，l2，使得l1⊥l2，则∠CP A＝45°，∴|CP|＝×＝2．设P（x，y），则点P满足：（x﹣2）2+y2＝4，与y＝kx﹣2联立化为：（1+k2）x2﹣（4k+4）x+4＝0，∴△＝（4k+4）2﹣4×4（1+k2）≥0，解得k≥0．∴实数k的取值范围是[0，+∞）．故选：D．8．（5分）某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是14，10，8．若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数至多是（）A．5B．6C．7D．8【解答】解：设周一，周二，周三开车上班的职工组成的集合分别为A，B，C，集合A，B，C中元素个数分别为n（A），n（B），n（C），∩B∩C则n（A）＝14，n（B）＝10，n（C）＝8，n（A∪B∪C）＝20，因为n（A∪B∪C）＝n（A）+n（B）+n（C）﹣n（A∩B）﹣n（A∩C）﹣n（B∩C）+n （A∩B∩C），且n（A∩B）≥n（A∩B∩C），n（A∩C）≥n（A∩B∩C），n（B∩C）≥n（A∩B∩C），所以14+10+8﹣20+n（A∩B∩C）≥3n（A∩B∩C），即n（A∩B∩C）≤＝6．故选：B．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）已知平面向量＝（2，﹣1），＝（1，x）．若∥，则x＝﹣．【解答】解：∵；∴2x+1＝0；∴．故答案为：．10．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的x值为．【解答】解：当x＝2，n＝1时，n≤2成立，则x＝＝，n＝2，此时n≤2成立，则x＝＝，n＝3，此时n≤2不成立，输出x＝，故答案为：11．（5分）双曲线﹣y2＝1的右焦点到其一条渐近线的距离是1．【解答】解：双曲线﹣y2＝1的右焦点坐标为（，0），一条渐近线方程，x﹣2y＝0∴双曲线﹣y2＝1的右焦点到一条渐近线的距离为＝1．故答案为：1．12．（5分）能说明“函数（x）的图象在区间[0，2]上是一条连续不断的曲线，若f（0）•f（2）＞0，则f（x）在（0，2）内无零点”为假命题的一个函数是f（x）＝（x﹣1）2．【解答】解：“若f（0）•f（2）＞0，则f（x）在（0，2）内无零点”为假命题，即“若f（0）•f（2）＞0，则f（x）在（0，2）有零点”为真命题，取函数f（x）＝（x﹣1）2，可得：f（0）•f（2）＝1×1＝1＞0，f（1）＝0，故答案为：f（x）＝（x﹣1）213．（5分）天坛公园是明清两代皇帝“祭天”“祈谷”的场所•天坛公园中的圜丘台共有三层（如图1所示），上层坛的中心是一块呈圆形的大理石板，从中心向外围以扇面形石铺成（如图2所示）．上层坛从第一环至第九环共有九环，中层坛从第十环至第十八环共有九环，下层坛从第十九环至第二十七环共有九环；第一环的扇面形石有9块，从第二环起，每环的扇面形石块数比前一环多9块，则第二十七环的扇面形石块数是243；上、中、下三层坛所有的扇面形石块数是3402．【解答】解：由题意知每环石块数构成等差数列，首项a1＝9，d＝9，则a27＝a1+26d＝9+26×9＝243，上、中、下三层坛所有的扇面形石块数为前27项和，即S27＝＝＝＝3402，故答案为：243，340214．（5分）若不等式log a x+x﹣4＞0（a＞0且a≠1）在区间（0，2）内有解，则实数a的取值范围是（0，1）∪（1，）．【解答】解：当a＞1时，函数y＝log a x+x﹣4是增函数，可得f（2）＝log a2+2﹣4＞0．解得1＜a．当a∈（0，1）时，x→0时，f（x）＞0，x→2时，f（2）＝log a2+2﹣4＜0，满足题意，所以实数a的取值范围是（0，1）∪（1，）．故答案为：（0，1）∪（1，）三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知函数f（x）＝cos2x+sin x cos x．（Ⅰ）求f（）的值及f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若函数f（x）在区间[0，m]上单调递增，求实数m的最大值．【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝cos2x+sin x cos x＝+sin2x＝sin（2x+）+，则f（）＝sin（2×+）+＝sin+＝＝1，函数的最小周期T＝＝π．（Ⅱ）由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，即函数的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z，当k＝0时，函数的单调递增区间为[﹣，]，若函数f（x）在区间[0，m]上单调递增，则[0，m]⊆[﹣，]，即0＜m≤，即实数m的最大值为．16．（13分）在等比数列{a n}中，a1＝，a4＝4，n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝a n+n﹣6，数列{b n}的前n项和为S n，若S n＞0，求n的最小值．【解答】解：（Ⅰ）由数列{a n}为等比数列，且a1＝，a4＝4，得，∴，即：q3＝8．解得q＝2．∴数列{a n}的通项公式\（Ⅱ）由题意，可知：，∴S n＝b1+b2+…+b n＝（﹣5+2﹣1）+（﹣4+20）+…+（n﹣6+2n﹣2）∴+…+2n﹣2）＝．当n≥5时，，，∴S n＞0；当n＝4时，；当n＝3时，；当n＝2时，；当n＝1时，．∴n的最小值为5．17．（13分）某部门在同一上班高峰时段对甲、乙两座地铁站各随机抽取了50名乘客，统计其乘车等待时间（指乘客从进站口到乘上车的时间，乘车等待时间不超过40分钟）．将统计数据按[5，10），[10，15），[15，20），…，[35，40]分组，制成频率分布直方图：（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）记A表示事件“在上班高峰时段某乘客在甲站乘车等待时间少于20分钟“，试估计A的概率；（Ⅲ）假设同组中的每个数据用该组区间左端点值来估计，记在上班高峰时段甲、乙两站各抽取的50名乘客乘车的平均等待时间分别为，，求的值，并直接写出与的大小关系．【解答】解：（Ⅰ）∵0.012×5×3+0.040×5×2+0.048×5+a×5＝1，∴a＝0.036．（Ⅱ）由题意知该乘客在甲站平均等待时间少于20分钟的频率为：（0.012+0.040+0.048）×5＝0.5，∴估计A的概率P（A）＝0.5．（Ⅲ）＝（0.012×5+0.040×10+0.048×15+0.040×20+0.036×25+0.012×30+0.012×35）×5＝18.3．由频率分布直方图得＜．18．（14分）如图，在多面体ABCDEF中平面ADEF⊥平面ABCD，四边形ADEF为正方形，四边形ABCD为梯形，且AD∥BC，∠BAD＝90°，AB＝AD＝1，BC＝2．（Ⅰ）求证：AF⊥CD；（Ⅱ）若M为线段BD的中点，求证：CE∥平面AMF；（Ⅲ）求多面体ABCDEF的体积．【解答】（Ⅰ）证明：∵四边形ADEF为正方形，∴AF⊥AD，又∵平面ADEF⊥平面ABCD，且平面ADEF∩平面ABCD＝AD，AF⊂平面ADEF，∴AF⊥平面ABCD，又CD⊂平面ABCD，∴AF⊥CD；（Ⅱ）证明：延长AM，交BC于G，∵AD∥BC，M为BD的中点，∴△BGM≌△DAM，∴BG＝AD＝1，∵BC＝2，∴GC＝1，由已知FE＝AD＝1且FE∥AD，又∵AD∥GC，∴FE∥GC，且FE＝GC．∴四边形GCEF为平行四边形，则CE∥GF，∵CE⊄平面AMF，GF⊂平面AMF，∴CE∥平面AMF；（Ⅲ）解：设G为BC中点，连接DG，EG，由已知DG∥AB，∴DG∥平面AFB，又∵DE∥AF，∴DE∥平面AFB，∴平面DEG∥平面AFB．∵AD⊥AB，AD⊥AF，∴AD⊥平面ABF，∴多面体AFB﹣DEG为直三棱柱．∵AB＝AF＝AD＝1，且∠BAF＝90°，∴V1＝V三棱柱AFB﹣DEG＝S△AFB•AD＝，由已知DG∥AB，且DG＝AB，∴DG⊥GC且DG＝GC＝1，又∵DE∥AF，AF⊥平面CDG，∴DE⊥平面CDG，∵DE＝AF＝1，∴＝．∴．19．（13分）已知函数f（x）＝ae x﹣4x，a∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当a＝1时，求证：曲线y＝f（x）在抛物线y＝﹣x2﹣1的上方．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）＝ae x﹣4，定义域是R，当a≤0时，f′（x）＜0，函数f（x）在R递减，当a＞0时，令f′（x）＞0，解得：x＞ln，f（x）递增，令f′（x）＜0，解得：x＜ln，f（x）递减，故a≤0时，函数f（x）在R递增，当a＞0时，函数f（x）在（ln，+∞）递增，在（﹣∞，ln）递减；（Ⅱ）由题意，只需证明e x﹣4x+x2+1＞0，设F（x）＝e x﹣4x+x2+1，则F′（x）＝e x﹣4+2x，设G（x）＝F″（x），∵G′（x）＞0，故G（x）在R递增，又G（0）＝﹣3＜0，G（1）＝e﹣2＞0，故G（x）＝0在（0，1）内有唯一解，即为x0，即＝4﹣2x0，当x＜x0时，F′（x）＜0，F（x）递减，当x＞x0时，F′（x）＞0，F（x）递增，故F（x）min＝F（x0）＝﹣4x0++1＝﹣6x0+5，x0∈（0，1），设g（x）＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4，x∈（0，1），则g（x）＞g（1）＝0，故F（x0）＞0，故F（x）＞0，即曲线y＝f（x）在抛物线y＝﹣x2﹣1上方．20．（14分）已知点M（x0，y0）为椭圆C：+y2＝1上任意一点，直线l：x0x+2y0y＝2与圆（x﹣1）2+y2＝6交于A，B两点，点F为椭圆C的左焦点．（Ⅰ）求椭圆C的离心率及左焦点F的坐标；（Ⅱ）求证：直线l与椭圆C相切；（Ⅲ）判断∠AFB是否为定值，并说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得a＝，b＝1，则c＝＝1，∴椭圆C的离心率e＝＝，左焦点F的坐标（﹣1，0），证明：（Ⅱ）由题意可得+y02＝1，当y0＝0时，直线l的方程为x＝或x＝﹣，直线l与椭圆相切，当y0≠0时，由可得（2y02+x02）x2﹣4x0x+4﹣4y02＝0，即x2﹣2xx0+2﹣2y02＝0，∴△＝（﹣2x0）2﹣4（2﹣2y02）＝4x02+8y02﹣8＝0，故直线l与椭圆C相切．（Ⅲ）设A（x1，y1），B（x2，y2），当y0＝0时，x1＝x2，y1＝﹣y2，x1＝±，∴•＝（x1+1）2﹣y12＝（x1+1）2﹣6+（x1﹣1）2＝2x12﹣4＝0，∴⊥，即∠AFB＝90°当y0≠0时，由，（y02+1）x2﹣2（2y02+x0x）x+2﹣10y02＝0，则x1+x2＝，x1x2＝，∴y1y2＝x1x2﹣（x1+x2）+＝，∴•＝（x1+1，y1）•（x2+1，y2）＝x1x2+x1+x2+1+y1y2＝++＝＝0，∴⊥，即∠AFB＝90°综上所述∠AFB为定值90°．。
北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学理2019年3月
北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学 （理）2019．3第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{|1}A x x =>，集合2{|4}B x x =<，则AB =A ．{|2}x x >-B ．{|12}x x <<C ．{|12}x x ≤<D ．R 2．在复平面内，复数12iiz +=对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．41()x x-的展开式中的常数项为A ．12-B ．6-C ．6D ． 124．若函数22,1,()log ,1x x f x x x ⎧<=⎨-≥⎩,则函数()f x 的值域是A ．(,2)-∞B ．(,2]-∞C ．[0,)+∞D ．(,0)(0,2)-∞5．如图，函数()f x 的图象是由正弦曲线或余弦曲线经过变换得到的，则()f x 的解析式可以是A ．()sin(2)3f x x π=+B ．()sin(4)6f x x π=+C ．()cos(2)3f x x π=+D ．()cos(4)6f x x π=+6．记不等式组0,3,y y x y kx ≥⎧⎪≤+⎨⎪≤⎩所表示的平面区域为D ．“点(1,1)D -∈”是“1k ≤-”的12π1-1O 3π xy712πA ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．某三棱锥的三视图如图所示（网格纸上小正方形的边长为1），则该三棱锥的体积为 A ．4B ．2C ．83D ．438．某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是14，10，8．若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数至多是A ．5B ．6C ．7D ．8第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． 9．双曲线2214x y -=的右焦点到其一条渐近线的距离是 ．10．执行如图所示的程序框图，则输出的x 值为 ．11．在极坐标系中，直线cos 1ρθ=与圆4cos ρθ=相交于,A B12．能说明“函数()f x 的图象在区间[]0,2上是一条连续不断的曲线．若(0)(2)0f f ⋅>，则()f x 在(0,2)内无零点”为假命题的一个函数是 ．正（主）视图 俯视图侧（左）视图13．天坛公园是明、清两代皇帝“祭天”“祈谷”的场所．天坛公园中的圜丘台共有三层（如图1所示），上层坛的中心是一块呈圆形的大理石板，从中心向外围以扇面形石（如图2所示）．上层坛从第一环至第九环共有九环，中层坛从第十环至第十八环共有九环，下层坛从第十九环至第二十七环共有九环；第一环的扇面形石有9块，从第二环起，每环的扇面形石块数比前一环多9块，则第二十七环的扇面形石块数是______；上、中、下三层坛所有的扇面形石块数是 ．14．在平面内，点A 是定点，动点C B ,满足||||1AB AC ==，0AB AC ⋅=，则集合{=+,12}|P AP AB AC λλ≤≤所表示的区域的面积是 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）在ABC △中，a ，120A ∠=︒，ABC △b c <． （Ⅰ）求b 的值； （Ⅱ）求cos 2B 的值． 16．（本小题满分13分）某部门在同一上班高峰时段对甲、乙两地铁站各随机抽取了50名乘客，统计其乘车等待时间（指乘客从进站口到乘上车的时间，乘车等待时间不超过40分钟）．将统计数据按[5,10),[10,15),[15,20),,[35,40]分组，制成频率分布直方图：图1图2时间（分钟）乙站甲站时间（分钟）假设乘客乘车等待时间相互独立．（Ⅰ）在上班高峰时段，从甲站的乘客中随机抽取1人，记为A；从乙站的乘客中随机抽取1人，记为B.用频率估计概率，求“乘客A,B乘车等待时间都小于20分钟”的概率；（Ⅱ）从上班高峰时段,从乙站乘车的乘客中随机抽取3人，X表示乘车等待时间小于20分钟的人数，用频率估计概率，求随机变量X的分布列与数学期望.17．（本小题满分14分）如图，在多面体ABCDEF中，平面ADEF⊥平面A B C D．四边形ADEF为正方形，四边形ABCD为梯形，且//AD BC，90BAD∠=︒，1AB AD==，3BC=．（Ⅰ）求证：AF CD⊥；（Ⅱ）求直线BF与平面CDE所成角的正弦值；（Ⅲ）线段BD上是否存在点M，使得直线//CE平面AFM?若存在，求BMBD的值；若不存在，请说明理由．18．（本小题满分13分）已知函数ln()()axf xx=(Ra∈且0)a≠.（Ⅰ）当1a=时，求曲线()y f x=在点(1,(1))f处的切线方程；（Ⅱ）当1a=-时，求证：()1f x x≥+；（Ⅲ）讨论函数()f x的极值．EDCB A F19．（本小题满分14分）已知点00(,)M x y 为椭圆22:12x C y +=上任意一点，直线00:22l x x y y +=与圆22(1)6x y -+=交于,A B 两点，点F 为椭圆C 的左焦点．（Ⅰ）求椭圆C 的离心率及左焦点F 的坐标； （Ⅱ）求证：直线l 与椭圆C 相切；（Ⅲ）判断AFB ∠是否为定值，并说明理由．20．（本小题满分13分）在无穷数列{}n a 中，12,a a 是给定的正整数，21n n n a a a ++=-，N n ∈*． （Ⅰ）若123,1a a ==，写出910100,,a a a 的值； （Ⅱ）证明：数列{}n a 中存在值为0的项；（Ⅲ）证明：若12,a a 互质，则数列{}n a 中必有无穷多项为1．。
北京市朝阳区2019届高三第一次(3月)综合练习(一模)数学理试卷 含解析
北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学（理）2019．3第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】解一元二次不等式求得集合，由此求得两个集合的交集.【详解】由解得，故，故选B.【点睛】本小题主要考查集合的交集，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.2.在复平面内，复数对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】由题意可得：，据此确定复数所在的象限即可.【详解】由题意可得：，则复数z对应的点为，位于第四象限.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查复数的运算法则，各个象限内复数的特征等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3.的展开式中的常数项为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】化简二项式的展开式，令的指数为零，求得常数项.【详解】二项式展开式的通项为，令，故常数项为，故选C.【点睛】本小题主要考查二项式展开式的通项公式，考查二项式展开式中的常数项，属于基础题.4.若函数则函数的值域是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】画出函数的图像，由此确定函数的值域.【详解】画出函数的图像如下图所示，由图可知，函数的值域为，故选A.【点睛】本小题主要考查指数函数和对数函数的图像，考查分段函数的值域，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.5.如图，函数的图象是由正弦曲线或余弦曲线经过变换得到的，则的解析式可以是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】将图像上特殊点的坐标代入选项进行排除，由此得出正确选项.【详解】对于B选项，由于，不正确；对于C选项，由于，不正确；对于D选项，由于，不正确.故本题选A.【点睛】本小题主要考查已知三角函数图像判断函数的解析式，利用特殊值排除法，可快速得出正确选项，属于基础题6.记不等式组所表示的平面区域为．“点”是“”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】画出可行域和点，将旋转到点的位置，求得的值，由此求得的取值范围，进而判断出充分、必要性.【详解】画出可行域和点如下图所示，将旋转到点的位置，得，当时，；当时，.故“点”是“”的充分必要条件.故选C.【点睛】本小题主要考查线性规划可行域的画法，考查充分、必要条件的判断，属于基础题.7.某三棱锥的三视图如图所示（网格纸上小正方形的边长为），则该三棱锥的体积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先由三视图还原几何体，然后由几何体的空间结构特征求解三棱锥的体积即可.【详解】由三视图可知，在棱长为2的正方体中，其对应的几何体为棱锥，该棱锥的体积：.本题选择D选项.【点睛】(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．8.某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是14，10，8．若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数至多是（）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】B【解析】【分析】将原问题转化为Venn的问题，然后结合题意确定这三天都开车上班的职工人数至多几人即可.【详解】如图所示，（a+b+c+x）表示周一开车上班的人数，（b+d+e+x）表示周二开车上班人数，（c+e+f+x）表示周三开车上班人数，x表示三天都开车上班的人数，则有：，即，即，当b=c=e＝0时，x的最大值为6，即三天都开车上班的职工人数至多是6.【点睛】本题主要考查Venn图的应用，数形结合的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9.双曲线的右焦点到其一条渐近线的距离是_____．【答案】1【解析】【分析】由题意可知，双曲线的右焦点坐标为，渐近线方程为，结合点到直线距离公式求解距离即可.【详解】由题意可知，双曲线的右焦点坐标为，渐近线方程为：，即，则焦点到渐近线的距离为：.故答案为：．【点睛】本题主要考查双曲线渐近线方程的求解，点到直线距离公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10.执行如图所示的程序框图，则输出的值为_____．【答案】【解析】【分析】运行程序，当时退出循环，计算得输出的值.【详解】运行程序，，判断是，，判断是，，判断否，输出. 【点睛】本小题主要考查程序框图，考查计算程序框图输出的结果，属于基础题.11.在极坐标系中，直线与圆相交于两点，则___．【答案】【解析】【分析】将极坐标方程转化为直角坐标方程，将直线方程代入圆的方程，求得的坐标，由此求得..【详解】直线即.圆两边乘以得，即，令，解得，故，所以.【点睛】本小题主要考查极坐标方程化为直角坐标方程，考查直线和圆的交点坐标的求法，属于基础题.12.能说明“函数的图象在区间上是一条连续不断的曲线．若，则在内无零点”为假命题的一个函数是_________．【答案】【解析】【分析】由题意给出一个满足题意的函数解析式，然后绘制函数图像说明命题为假命题即可.【详解】考查函数，绘制函数图像如图所示，该函数的图像在区间上是一条连续不断的曲线，,但是函数在内存在零点，故该函数使得原命题为假命题.【点睛】本题主要考查函数零点存在定理应用的条件，注意所有的条件都满足时才能利用函数零点存在定理，否则可能会出现错误.13.天坛公园是明、清两代皇帝“祭天”“祈谷”的场所．天坛公园中的圜丘台共有三层（如图1所示），上层坛的中心是一块呈圆形的大理石板，从中心向外围以扇面形石（如图2所示）．上层坛从第一环至第九环共有九环，中层坛从第十环至第十八环共有九环，下层坛从第十九环至第二十七环共有九环；第一环的扇面形石有9块，从第二环起，每环的扇面形石块数比前一环多9块，则第二十七环的扇面形石块数是______；上、中、下三层坛所有的扇面形石块数是_______．【答案】(1). (2).【解析】【分析】由题意可知每环的扇面形石块数是一个以9为首项，9为公差的等差数列，据此确定第二十七环的扇面形石块数和上、中、下三层坛所有的扇面形石块数即可.【详解】第一环的扇面形石有9块，从第二环起，每环的扇面形石块数比前一环多9块，则依题意得：每环的扇面形石块数是一个以9为首项，9为公差的等差数列，所以，a n＝9＋（n－1）×9＝9n，所以，a27＝9×27＝243，前27项和为：＝3402.【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，等差数列的前n项和及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.14.在平面内，点是定点，动点满足，，则集合所表示的区域的面积是_______．【答案】【解析】【分析】以为原点建立平面直角坐标系，根据设出两点的坐标，利用向量运算求得点的坐标，化简后可求得点的轨迹也即表示的区域，由此计算出区域的面积.【详解】以为原点建立平面直角坐标系，由于，，即,故设，即，设，由得，即，则，故表示的是原点在圆心，半径为的圆，由于，故点所表示的区域是圆心在原点，半径为的两个圆之间的扇环，故面积为.【点睛】本小题主要考查数形结合的数学思想方法，考查向量的坐标运算，考查化归与转化的数学思想方法，考查分析求解能力，属于中档题.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.在中，，，的面积等于，且．(1)求的值；(2)求的值．【答案】（Ⅰ）1；（Ⅱ）.【解析】【分析】（I）利用三角形的面积公式和余弦定理列方程组，解方程组求得的值.（II）利用正弦定理求得的的值，利用二倍角公式求得的值.【详解】解：（Ⅰ）由已知得整理得解得或因为，所以．（Ⅱ）由正弦定理，即．所以【点睛】本小题主要考查三角形的面积公式，考查余弦定理解三角形，考查正弦定理解三角形，考查二倍角公式，属于中档题.16.某部门在同一上班高峰时段对甲、乙两地铁站各随机抽取了50名乘客，统计其乘车等待时间（指乘客从进站口到乘上车的时间，乘车等待时间不超过40分钟）．将统计数据按分组，制成频率分布直方图：假设乘客乘车等待时间相互独立．(1)在上班高峰时段，从甲站的乘客中随机抽取1人，记为；从乙站的乘客中随机抽取1人，记为.用频率估计概率，求“乘客,乘车等待时间都小于20分钟”的概率；(2)从上班高峰时段,从乙站乘车的乘客中随机抽取3人，表示乘车等待时间小于20分钟的人数，用频率估计概率，求随机变量的分布列与数学期望.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.【解析】【分析】（I）根据频率分布直方图分别计算出两个乘客等待时间小于分钟的频率，按照相互独立事件概率计算公式，计算出“乘客,乘车等待时间都小于20分钟”的概率.（II）根据二项分布概率计算公式以及数学期望计算公式，求得的分布列和数学期望.【详解】解：（Ⅰ）设表示事件“乘客乘车等待时间小于20分钟”，表示事件“乘客乘车等待时间小于20分钟”，表示事件“乘客乘车等待时间都小于20分钟”．由题意知，乘客乘车等待时间小于20分钟的频率为，故的估计值为．乘客乘车等待时间小于20分钟的频率为，故的估计值为．又.故事件的概率为．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，乙站乘客乘车等待时间小于20分钟的频率为，所以乙站乘客乘车等待时间小于20分钟的概率为.显然，的可能取值为且.所以；；；.故随机变量的分布列为【点睛】本小题主要考查相互独立事件概率计算，考查二项分布分布列和数学期望的计算，还考查了由频率分布直方图求频率的方法，属于中档题.17.如图，在多面体中，平面平面．四边形为正方形，四边形为梯形，且，，，．(1)求证：；(2)求直线与平面所成角的正弦值；(3)线段上是否存在点，使得直线平面若存在，求的值；若不存在，请说明理由．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）线段上存在点，使得平面，且．【解析】【分析】（I）根据面面垂直的性质定理，证得平面，由此证得.（II）以为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，通过计算直线的方向向量和平面的法向量，由此计算出线面角的正弦值.（III）设,用表示出点的坐标，利用直线的方向向量和平面的法向量垂直列方程，解方程求得的值，由此判断存在符合题意的点.【详解】解：（Ⅰ）证明：因为为正方形，所以．又因为平面平面，且平面平面，所以平面．所以．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，平面，所以，．因为，所以两两垂直．分别以为轴，轴，轴建立空间直角坐标系（如图）．因为，，所以，所以．设平面的一个法向量为，则即令，则，所以．设直线与平面所成角为，则．（Ⅲ）设，设，则，所以，所以，所以．设平面的一个法向量为，则因为，所以令，则，所以．在线段上存在点，使得平面等价于存在，使得．因为，由，所以，解得，所以线段上存在点，使得平面，且．【点睛】本小题主要考查面面垂直的性质定理，考查利用空间向量法求解线面所成角的正弦值，考查线面平行的向量表示，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.18.已知函数且.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)当时，求证：；(3)讨论函数的极值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）详见解析.【解析】【分析】（I）求得切点坐标和斜率，由此求得切线方程.（II）将原不等式转化为成立，构造函数，利用导数求得的最大值为零，由此证得不等式成立.（III）对求导后，对分成两类，结合函数的单调区间，讨论得出函数的极值.【详解】解：（Ⅰ）当时，．所以．因为，所以曲线在处的切线方程为．（Ⅱ）当时，．函数的定义域为．不等式成立成立成立.设，则．当变化时，，变化情况如下表：所以．因为，所以，所以．（Ⅲ）求导得. 令，因为可得．当时，的定义域为.当变化时，，变化情况如下表：此时有极大值，无极小值．当时，的定义域为，当变化时，，变化情况如下表：此时有极小值，无极大值．【点睛】本小题主要考查利用导数求曲线的切线方程，考查利用导数证明不等式，考查利用导数研究函数的极值，考查化归与转化的数学思想方法，综合性较强，属于中档题.19.已知点为椭圆上任意一点，直线与圆交于两点，点为椭圆的左焦点．(1)求椭圆的离心率及左焦点的坐标；(2)求证：直线与椭圆相切；(3)判断是否为定值，并说明理由．【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）答案见解析.【解析】【分析】（1）由题意可得，，据此确定离心率即可；（2）由题意可得.分类讨论和两种情况证明直线与椭圆相切即可；（3）设，，当时，易得．当时，联立直线方程与椭圆方程可得，结合韦达定理和平面向量的数量积运算法则计算可得．据此即可证得为定值．【详解】（1）由题意，，所以离心率，左焦点．（2）由题知，，即.当时直线方程为或，直线与椭圆相切．当时，由得，即所以故直线与椭圆相切．（3）设，，当时，，，，，所以，即．当时，由得，则，，．因为．所以，即．故为定值．【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．20.在无穷数列中，是给定的正整数，，．(1)若，写出的值；(2)证明：数列中存在值为的项；(3)证明：若互质，则数列中必有无穷多项为．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）详见解析.【解析】【分析】（I）根据以及的值，由此求得的值，找出规律，求得的值.（II）利用反证法，先假设，利用递推关系找出规律，推出矛盾，由此证明原命题成立.（III）首先利用反证法证明数列中必有“1”项，其次证明数列中必有无穷多项为“1”,由此证得原命题成立.【详解】解：(I)由，以及，可知，，，从开始，规律为两个和一个，周期为，重复出现，故.(II)反证法：假设,由于，记.则.则，,，，，依次递推，有，…，则当时，与矛盾.故存在，使所以，数列必在有限项后出现值为的项．(III)首先证明：数列中必有“1”项．用反证法，假设数列中没有“1”项，由(II)知，数列中必有“0”项，设第一个“0”项是，令，，则必有，于是，由，则，因此是的因数，由，则或，因此是的因数.依次递推，可得是的因数，因为，所以这与互质矛盾．所以，数列中必有“1”项．其次证明数列中必有无穷多项为“1”.假设数列中的第一个“1”项是，令，，则，若，则数列中的项从开始，依次为“1，1，0”的无限循环，故有无穷多项为1；若，则，若，则进入“1，1，0”的无限循环，有无穷多项为1；若，则从开始的项依次为，必出现连续两个“1”项，从而进入“1，1，0”的无限循环，故必有无穷多项为1．【点睛】本小题主要考查递推数列，考查合情推理，考查与数列有关的证明，考查分析问题与解决问题的能力，综合性很强，属于难题.。
北京市朝阳区2019届高三第一次(3月)综合练习(一模)数学(文)试卷Word版含解析
2019北京朝阳高三一模数学（文）第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1.在复平面内，复数对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】由题意可得：，据此确定复数所在的象限即可.【详解】由题意可得：，则复数z对应的点为，位于第四象限.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查复数的运算法则，各个象限内复数的特征等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2.设实数满足不等式组，则的最大值是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】首先绘制出不等式组表示的平面区域，然后结合目标函数的几何意义确定目标函数取得最值的点的位置，最后求解目标函数的最值即可.【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数即：，其中z取得最大值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最大，据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点B处取得最大值，联立直线方程：，可得点的坐标为：，据此可知目标函数的最大值为：.本题选择B选项.【点睛】求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.3.已知集合，且，则集合可以是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由可知，，据此逐一考查所给的集合是否满足题意即可.【详解】由可知，，对于A：＝，符合题意.对于B：＝，没有元素1，所以不包含A；对于C：＝，不合题意；D显然不合题意，本题选择A选项.【点睛】本题主要考查集合的表示方法，集合之间的关系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4.已知中，，三角形的面积为，且，则（）A. B. 3 C. D. -【答案】B【解析】【分析】由三角形面积公式可得＝4，据此结合余弦定理和已知条件求解的值即可.【详解】依题意可得：，所以＝4，由余弦定理，得：，即：，据此可得：.结合可得 3.本题选择B选项.【点睛】本题主要考查余弦定理的应用，三角形面积公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5.已知,给出下列条件：①；②；③，则使得成立的充分而不必要条件是（）A. ①B. ②C. ③D. ①②③【答案】C【解析】【分析】由题意逐一考查所给的三个条件是否是成立的充分而不必要条件即可.【详解】由①，得：，不一定有成立，不符；对于②，当时，有，但不成立，所以不符；对于③，由，知c≠0，所以，有成立，当成立时，不一定有，因为c可以为0，符合题意；本题选择C选项.【点睛】本题主要考查不等式的性质及其应用，充分条件和必要条件的判定等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6.某三棱锥的三视图如图所示（网格纸上小正方形的边长为），则该三棱锥的体积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先由三视图还原几何体，然后由几何体的空间结构特征求解三棱锥的体积即可.【详解】由三视图可知，在棱长为2的正方体中，其对应的几何体为棱锥，该棱锥的体积：.本题选择D选项.【点睛】(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．7.已知圆,直线,若直线上存在点，过点引圆的两条切线,使得,则实数的取值范围是（）A. B. [,]C. D. ）【答案】D【解析】【分析】由题意结合几何性质可知点P的轨迹方程为，则原问题转化为圆心到直线的距离小于等于半径，据此求解关于k的不等式即可求得实数k的取值范围.【详解】圆C（2,0），半径r＝，设P（x，y），因为两切线，如下图，PA⊥PB，由切线性质定理，知：PA⊥AC，PB⊥BC，PA＝PB，所以，四边形PACB为正方形，所以，｜PC｜＝2，则：，即点P的轨迹是以（2,0）为圆心，2为半径的圆.直线过定点（0，－2），直线方程即，只要直线与P点的轨迹（圆）有交点即可，即大圆的圆心到直线的距离小于等于半径，即：，解得：，即实数的取值范围是）.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，轨迹方程的求解与应用，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8.某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是14，10，8．若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数至多是（）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】B【解析】【分析】将原问题转化为Venn的问题，然后结合题意确定这三天都开车上班的职工人数至多几人即可. 【详解】如图所示，（a+b+c+x）表示周一开车上班的人数，（b+d+e+x）表示周二开车上班人数，（c+e+f+x）表示周三开车上班人数，x表示三天都开车上班的人数，则有：，即，即，当b=c=e＝0时，x的最大值为6，即三天都开车上班的职工人数至多是6.【点睛】本题主要考查Venn图的应用，数形结合的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上9.已知平面向量,若,则________.【答案】【解析】【分析】由向量垂直的充分必要条件可得：，据此确定x的值即可.【详解】由向量垂直的充分必要条件可得：，解得：.故答案为：．【点睛】本题主要考查向量平行的充分必要条件及其应用，属于基础题.10.执行如图所示的程序框图，输出的值为__________.【答案】【解析】【分析】由题意可知，流程图对应的程序首先初始化数据：，然后执行循环体2次得到输出值，据此计算输出值即可.【详解】由题意可知，流程图对应的程序运行过程如下：首先初始化数据：，此时满足，执行，此时满足，执行，此时不满足，输出.故答案为：．【点睛】识别、运行程序框图和完善程序框图的思路：(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构．(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题．(3)按照题目的要求完成解答并验证．11.双曲线的右焦点到其一条渐近线的距离是_____．【答案】1【解析】【分析】由题意可知，双曲线的右焦点坐标为，渐近线方程为，结合点到直线距离公式求解距离即可.【详解】由题意可知，双曲线的右焦点坐标为，渐近线方程为：，即，则焦点到渐近线的距离为：.故答案为：．【点睛】本题主要考查双曲线渐近线方程的求解，点到直线距离公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12.能说明“函数的图象在区间上是一条连续不断的曲线．若，则在内无零点”为假命题的一个函数是_________．【答案】【解析】【分析】由题意给出一个满足题意的函数解析式，然后绘制函数图像说明命题为假命题即可.【详解】考查函数，绘制函数图像如图所示，该函数的图像在区间上是一条连续不断的曲线，,但是函数在内存在零点，故该函数使得原命题为假命题.【点睛】本题主要考查函数零点存在定理应用的条件，注意所有的条件都满足时才能利用函数零点存在定理，否则可能会出现错误.13.天坛公园是明、清两代皇帝“祭天”“祈谷”的场所．天坛公园中的圜丘台共有三层（如图1所示），上层坛的中心是一块呈圆形的大理石板，从中心向外围以扇面形石（如图2所示）．上层坛从第一环至第九环共有九环，中层坛从第十环至第十八环共有九环，下层坛从第十九环至第二十七环共有九环；第一环的扇面形石有9块，从第二环起，每环的扇面形石块数比前一环多9块，则第二十七环的扇面形石块数是______；上、中、下三层坛所有的扇面形石块数是_______．【答案】 (1). (2).【解析】【分析】由题意可知每环的扇面形石块数是一个以9为首项，9为公差的等差数列，据此确定第二十七环的扇面形石块数和上、中、下三层坛所有的扇面形石块数即可.【详解】第一环的扇面形石有9块，从第二环起，每环的扇面形石块数比前一环多9块，则依题意得：每环的扇面形石块数是一个以9为首项，9为公差的等差数列，所以，a n＝9＋（n－1）×9＝9n，所以，a27＝9×27＝243，前27项和为：＝3402.【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，等差数列的前n项和及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.14.若不等式 (且且)在区间内有解，则实数的取值范围是________.【答案】【解析】【分析】原问题即在区间内有解，分别画出的图象，分类讨论＞1和0＜＜1两种情况确定实数的取值范围即可.【详解】，即，在区间内有解，分别画出的图象.（1）当＞1时，由图可知，当x＝2时，，即时，，在区间内有解，所以，.（1）当0＜＜1时，由下图可知，，在区间内有解，所以，.所以，则实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查对数的运算法则，分类讨论的数学思想，数形结合的数学思想及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15.已知函数.（1）求的值及的最小正周期；（2）若函数在区间上单调递增，求实数的最大值.【答案】（1）1；；（2）.【解析】【分析】（1）由函数的解析式求解的值即可，整理函数的解析式为的形式，然后由最小正周期公式确定函数的最小正周期即可；（2）由(1)中函数的解析式可知函数的单调增区间为，．据此结合题意可得实数的最大值.【详解】（1）由已知.因为，所以函数的最小正周期为．（2）由得，.所以，函数的单调增区间为，．当时,函数的单调增区间为，若函数在区间上单调递增，则，所以实数的最大值为.【点睛】本题主要考查辅助角公式的应用，三角函数的单调性及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.16.在等比数列中，.（1）求数列的通项公式；（2）设,数列的前项和为，若，求的最小值.【答案】（1）；（2）5.【解析】【分析】（1）由题意可得数列的公比，结合首项确定数列的通项公式即可.（2）由题意可得，分组求和可得，据此确定的最小值即可.【详解】（1）由数列为等比数列，且,，得，解得.则数列的通项公式,.（2）.当时，，，所以；当时，；当时，；当时，；当时，.所以，的最小值为.【点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算，等比数列的通项公式，分组求和的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.17.某部门在同一上班高峰时段对甲、乙两座地铁站各随机抽取了50名乘客，统计其乘车等待时间（指乘客从进站口到乘上车的时间，乘车等待时间不超过40分钟）.将统计数据按，，，分组，制成频率分布直方图：（1）求的值；（2）记表示事件“在上班高峰时段某乘客在甲站乘车等待时间少于20分钟”，试估计的概率；（3）假设同组中的每个数据用该组区间左端点值来估计，记在上班高峰时段甲、乙两站各抽取的50名乘客乘车的平均等待时间分别为,,求的值，并直接写出与的大小关系. 【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图小长方形面积之和为1确定a的值即可；（2）由题意，利用频率近似概率值，计算事件A的概率即可；（3）结合直方图中的数据首先求得的值，然后比较与的大小关系即可.【详解】（1）因为，所以.（2）由题意知，该乘客在甲站平均等待时间少于20分钟的频率为：，故的估计值为（3）.由直方图知：.【点睛】利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时，应注意三点：①最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；②中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；③平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.18.如图，在多面体中，平面平面，四边形为正方形，四边形为梯形，且.（1）求证：；（2）若为线段的中点，求证：平面；（3）求多面体的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.【解析】【分析】（1）由题意结合几何关系可证得平面，由线面垂直的定义即可证得．（2）延长交于点，由题意可证得四边形为平行四边形，据此结合线面平行的判定定理证明题中的结论即可；（3）设为中点，连接，．将多面体分割为两部分，分别求解对应的体积，然后相加即可确定多面体的体积.【详解】（1）证明：因为四边形为正方形，所以．又因为平面平面，且平面平面，平面，所以平面．又平面，所以．（2）延长交于点，因为，为中点，所以≌，所以．因为，所以．由已知，且,又因为，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以．因为平面，平面，所以平面．（3）设为中点，连接，．由已知，所以平面．又因为，所以平面，所以平面平面．因为，，所以平面，所以多面体为直三棱柱．因为，且，所以．由已知，且，所以，且．又因为，平面，所以平面．因为，所以，所以．【点睛】本题主要考查线面垂直证明线线垂直的方法，线面平行的判定定理，组合体体积的求解方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19.已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）当时，求证：曲线在抛物线的上方.【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由题意可得.且函数的定义域.据此分类讨论确定函数的单调区间即可；（2）原问题等价于.设.利用导函数研究函数的最值，证明结论即可证得题中的结论.【详解】（1）求导得.定义域.当时，,函数在上为减函数.当时，令得,为增函数；令得,为减函数.所以时，函数减区间是.当时，函数增区间是；减区间是.（2）依题意，只需证.设.则，设.因为，所以在上单调递增.又因为，所以在内有唯一解，记为即. 当时，，单调递减；当时，，单调递增；所以.设，.则.所以.所以，即曲线在抛物线上方.【点睛】本题主要考查导数研究函数的单调性，导数证明不等式的方法，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.20.已知点为椭圆上任意一点，直线与圆交于两点，点为椭圆的左焦点．(1)求椭圆的离心率及左焦点的坐标；(2)求证：直线与椭圆相切；(3)判断是否为定值，并说明理由．【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）答案见解析.【解析】【分析】（1）由题意可得，，据此确定离心率即可；（2）由题意可得.分类讨论和两种情况证明直线与椭圆相切即可；（3）设，，当时，易得．当时，联立直线方程与椭圆方程可得，结合韦达定理和平面向量的数量积运算法则计算可得．据此即可证得为定值．【详解】（1）由题意，，所以离心率，左焦点．（2）由题知，，即.当时直线方程为或，直线与椭圆相切．当时，由得，即所以故直线与椭圆相切．（3）设，，当时，，，，，所以，即．当时，由得，则，，．因为．所以，即．故为定值．【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．。
北京市朝阳区2019届高三第一次(3月)综合练习(一模)数学(文)试卷 含解析
2019北京朝阳高三一模数学（文）第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1.在复平面内，复数对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】由题意可得：，据此确定复数所在的象限即可.【详解】由题意可得：，则复数z对应的点为，位于第四象限.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查复数的运算法则，各个象限内复数的特征等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2.设实数满足不等式组，则的最大值是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】首先绘制出不等式组表示的平面区域，然后结合目标函数的几何意义确定目标函数取得最值的点的位置，最后求解目标函数的最值即可.【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数即：，其中z取得最大值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最大，据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点B处取得最大值，联立直线方程：，可得点的坐标为：，据此可知目标函数的最大值为：.本题选择B选项.【点睛】求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.3.已知集合，且，则集合可以是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由可知，，据此逐一考查所给的集合是否满足题意即可.【详解】由可知，，对于A：＝，符合题意.对于B：＝，没有元素1，所以不包含A；对于C：＝，不合题意；D显然不合题意，本题选择A选项.【点睛】本题主要考查集合的表示方法，集合之间的关系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4.已知中，，三角形的面积为，且，则（）A. B.3 C. D. -【答案】B【解析】【分析】由三角形面积公式可得＝4，据此结合余弦定理和已知条件求解的值即可.【详解】依题意可得：，所以＝4，由余弦定理，得：，即：，据此可得：.结合可得 3.本题选择B选项.【点睛】本题主要考查余弦定理的应用，三角形面积公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5.已知,给出下列条件：①；②；③，则使得成立的充分而不必要条件是（）A. ①B. ②C. ③D. ①②③【答案】C【解析】【分析】由题意逐一考查所给的三个条件是否是成立的充分而不必要条件即可.【详解】由①，得：，不一定有成立，不符；对于②，当时，有，但不成立，所以不符；对于③，由，知c≠0，所以，有成立，当成立时，不一定有，因为c可以为0，符合题意；本题选择C选项.【点睛】本题主要考查不等式的性质及其应用，充分条件和必要条件的判定等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6.某三棱锥的三视图如图所示（网格纸上小正方形的边长为），则该三棱锥的体积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先由三视图还原几何体，然后由几何体的空间结构特征求解三棱锥的体积即可.【详解】由三视图可知，在棱长为2的正方体中，其对应的几何体为棱锥，该棱锥的体积：.本题选择D选项.【点睛】(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．7.已知圆,直线,若直线上存在点，过点引圆的两条切线,使得,则实数的取值范围是（）A. B. [,]C. D. ）【答案】D【解析】【分析】由题意结合几何性质可知点P的轨迹方程为，则原问题转化为圆心到直线的距离小于等于半径，据此求解关于k的不等式即可求得实数k的取值范围.【详解】圆C（2,0），半径r＝，设P（x，y），因为两切线，如下图，P A⊥PB，由切线性质定理，知：P A⊥AC，PB⊥BC，P A＝PB，所以，四边形P ACB为正方形，所以，｜PC｜＝2，则：，即点P的轨迹是以（2,0）为圆心，2为半径的圆.直线过定点（0，－2），直线方程即，只要直线与P点的轨迹（圆）有交点即可，即大圆的圆心到直线的距离小于等于半径，即：，解得：，即实数的取值范围是）.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，轨迹方程的求解与应用，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8.某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是14，10，8．若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数至多是（）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】B【解析】【分析】将原问题转化为Venn的问题，然后结合题意确定这三天都开车上班的职工人数至多几人即可.【详解】如图所示，（a+b+c+x）表示周一开车上班的人数，（b+d+e+x）表示周二开车上班人数，（c+e+f+x）表示周三开车上班人数，x表示三天都开车上班的人数，则有：，即，即，当b=c=e＝0时，x的最大值为6，即三天都开车上班的职工人数至多是6.【点睛】本题主要考查Venn图的应用，数形结合的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上9.已知平面向量,若,则________.【答案】【解析】【分析】由向量垂直的充分必要条件可得：，据此确定x的值即可.【详解】由向量垂直的充分必要条件可得：，解得：.故答案为：．【点睛】本题主要考查向量平行的充分必要条件及其应用，属于基础题.10.执行如图所示的程序框图，输出的值为__________.【答案】【解析】【分析】由题意可知，流程图对应的程序首先初始化数据：，然后执行循环体2次得到输出值，据此计算输出值即可.【详解】由题意可知，流程图对应的程序运行过程如下：首先初始化数据：，此时满足，执行，此时满足，执行，此时不满足，输出.故答案为：．【点睛】识别、运行程序框图和完善程序框图的思路：(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构．(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题．(3)按照题目的要求完成解答并验证．11.双曲线的右焦点到其一条渐近线的距离是_____．【答案】1【解析】【分析】由题意可知，双曲线的右焦点坐标为，渐近线方程为，结合点到直线距离公式求解距离即可.【详解】由题意可知，双曲线的右焦点坐标为，渐近线方程为：，即，则焦点到渐近线的距离为：.故答案为：．【点睛】本题主要考查双曲线渐近线方程的求解，点到直线距离公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12.能说明“函数的图象在区间上是一条连续不断的曲线．若，则在内无零点”为假命题的一个函数是_________．【答案】【解析】【分析】由题意给出一个满足题意的函数解析式，然后绘制函数图像说明命题为假命题即可.【详解】考查函数，绘制函数图像如图所示，该函数的图像在区间上是一条连续不断的曲线，,但是函数在内存在零点，故该函数使得原命题为假命题.【点睛】本题主要考查函数零点存在定理应用的条件，注意所有的条件都满足时才能利用函数零点存在定理，否则可能会出现错误.13.天坛公园是明、清两代皇帝“祭天”“祈谷”的场所．天坛公园中的圜丘台共有三层（如图1所示），上层坛的中心是一块呈圆形的大理石板，从中心向外围以扇面形石（如图2所示）．上层坛从第一环至第九环共有九环，中层坛从第十环至第十八环共有九环，下层坛从第十九环至第二十七环共有九环；第一环的扇面形石有9块，从第二环起，每环的扇面形石块数比前一环多9块，则第二十七环的扇面形石块数是______；上、中、下三层坛所有的扇面形石块数是_______．【答案】(1). (2).【解析】【分析】由题意可知每环的扇面形石块数是一个以9为首项，9为公差的等差数列，据此确定第二十七环的扇面形石块数和上、中、下三层坛所有的扇面形石块数即可.【详解】第一环的扇面形石有9块，从第二环起，每环的扇面形石块数比前一环多9块，则依题意得：每环的扇面形石块数是一个以9为首项，9为公差的等差数列，所以，a n＝9＋（n－1）×9＝9n，所以，a27＝9×27＝243，前27项和为：＝3402.【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，等差数列的前n项和及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.14.若不等式(且且)在区间内有解，则实数的取值范围是________.【答案】【解析】【分析】原问题即在区间内有解，分别画出的图象，分类讨论＞1和0＜＜1两种情况确定实数的取值范围即可.【详解】，即，在区间内有解，分别画出的图象.（1）当＞1时，由图可知，当x＝2时，，即时，，在区间内有解，所以，.（1）当0＜＜1时，由下图可知，，在区间内有解，所以，.所以，则实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查对数的运算法则，分类讨论的数学思想，数形结合的数学思想及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15.已知函数.（1）求的值及的最小正周期；（2）若函数在区间上单调递增，求实数的最大值.【答案】（1）1；；（2）.【解析】【分析】（1）由函数的解析式求解的值即可，整理函数的解析式为的形式，然后由最小正周期公式确定函数的最小正周期即可；（2）由(1)中函数的解析式可知函数的单调增区间为，．据此结合题意可得实数的最大值.【详解】（1）由已知.因为，所以函数的最小正周期为．（2）由得，.所以，函数的单调增区间为，．当时,函数的单调增区间为，若函数在区间上单调递增，则，所以实数的最大值为.【点睛】本题主要考查辅助角公式的应用，三角函数的单调性及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.16.在等比数列中，.（1）求数列的通项公式；（2）设,数列的前项和为，若，求的最小值.【答案】（1）；（2）5.【解析】【分析】（1）由题意可得数列的公比，结合首项确定数列的通项公式即可.（2）由题意可得，分组求和可得，据此确定的最小值即可. 【详解】（1）由数列为等比数列，且,，得，解得.则数列的通项公式,.（2）.当时，，，所以；当时，；当时，；当时，；当时，.所以，的最小值为.【点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算，等比数列的通项公式，分组求和的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.17.某部门在同一上班高峰时段对甲、乙两座地铁站各随机抽取了50名乘客，统计其乘车等待时间（指乘客从进站口到乘上车的时间，乘车等待时间不超过40分钟）.将统计数据按，，，分组，制成频率分布直方图：（1）求的值；（2）记表示事件“在上班高峰时段某乘客在甲站乘车等待时间少于20分钟”，试估计的概率；（3）假设同组中的每个数据用该组区间左端点值来估计，记在上班高峰时段甲、乙两站各抽取的50名乘客乘车的平均等待时间分别为,,求的值，并直接写出与的大小关系.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图小长方形面积之和为1确定a的值即可；（2）由题意，利用频率近似概率值，计算事件A的概率即可；（3）结合直方图中的数据首先求得的值，然后比较与的大小关系即可.【详解】（1）因为，所以.（2）由题意知，该乘客在甲站平均等待时间少于20分钟的频率为：，故的估计值为（3）.由直方图知：.【点睛】利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时，应注意三点：①最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；②中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；③平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.18.如图，在多面体中，平面平面，四边形为正方形，四边形为梯形，且.（1）求证：；（2）若为线段的中点，求证：平面；（3）求多面体的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.【解析】【分析】（1）由题意结合几何关系可证得平面，由线面垂直的定义即可证得．（2）延长交于点，由题意可证得四边形为平行四边形，据此结合线面平行的判定定理证明题中的结论即可；（3）设为中点，连接，．将多面体分割为两部分，分别求解对应的体积，然后相加即可确定多面体的体积.【详解】（1）证明：因为四边形为正方形，所以．又因为平面平面，且平面平面，平面，所以平面．又平面，所以．（2）延长交于点，因为，为中点，所以≌，所以．因为，所以．由已知，且,又因为，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以．因为平面，平面，所以平面．（3）设为中点，连接，．由已知，所以平面．又因为，所以平面，所以平面平面．因为，，所以平面，所以多面体为直三棱柱．因为，且，所以．由已知，且，所以，且．又因为，平面，所以平面．因为，所以，所以．【点睛】本题主要考查线面垂直证明线线垂直的方法，线面平行的判定定理，组合体体积的求解方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19.已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）当时，求证：曲线在抛物线的上方.【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由题意可得.且函数的定义域.据此分类讨论确定函数的单调区间即可；（2）原问题等价于.设.利用导函数研究函数的最值，证明结论即可证得题中的结论.【详解】（1）求导得.定义域.当时，,函数在上为减函数.当时，令得,为增函数；令得,为减函数.所以时，函数减区间是.当时，函数增区间是；减区间是.（2）依题意，只需证.设.则，设.因为，所以在上单调递增.又因为，所以在内有唯一解，记为即.当时，，单调递减；当时，，单调递增；所以.设，.则.所以.所以，即曲线在抛物线上方.【点睛】本题主要考查导数研究函数的单调性，导数证明不等式的方法，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.20.已知点为椭圆上任意一点，直线与圆交于两点，点为椭圆的左焦点．(1)求椭圆的离心率及左焦点的坐标；(2)求证：直线与椭圆相切；(3)判断是否为定值，并说明理由．【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）答案见解析.【解析】【分析】（1）由题意可得，，据此确定离心率即可；（2）由题意可得.分类讨论和两种情况证明直线与椭圆相切即可；（3）设，，当时，易得．当时，联立直线方程与椭圆方程可得，结合韦达定理和平面向量的数量积运算法则计算可得．据此即可证得为定值．【详解】（1）由题意，，所以离心率，左焦点．（2）由题知，，即.当时直线方程为或，直线与椭圆相切．当时，由得，即所以故直线与椭圆相切．（3）设，，当时，，，，，所以，即．当时，由得，则，，．因为．所以，即．故为定值．【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．。
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北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学试卷（文史类） 2018.3（考试时间120分钟 满分150分）第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知全集U =R ，集合{}3A x x =≤，{}2B x x =<，则()U B A =ðA ．{}2x x ≤B ．{}13x x ≤≤ C. {}23x x <≤ D ．{}23x x ≤≤ 答案：D解析：考查补集与交集的运算。
因为{}U C B ≥＝x|x 2，所以，()U B A =ð{}23x x ≤≤。
2.已知i 为虚数单位,则复数2i1i+= A ．1i + B ．1i - C ．1i -+ D ．1i --答案：A解析：分母实数化，即分子与分母同乘以分母的其轭复数：222(1)111i i i i i i -==++-。
3.已知非零平面向量,a b ，“+=-a b a b ”是“⊥a b ”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案：C解析：因为||||a b a b +=-，平方：22()()a b a b +=-，展开，合并同类项，得：0a b =， 所以，a b ⊥。
4.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为A. 42B. 19C. 8D. 3 答案：B解析：依次执行结果如下：S ＝2×1＋1＝3，i ＝1＋1＝2，i ＜4； S ＝2×3＋2＝8，i ＝2＋1＝3，i ＜4； S ＝2×8＋1＝19，i ＝3＋1＝4，i ≥4；所以，S ＝19，选B 。
5.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，o s s i n 0B b A +=，则B =A.π6B.π3C. 2π3D.5π6答案：C解析cos sin 0B b A +=cos sin sin 0A B B A +=sin 0B B +=，即2sin()3B π+＝0，所以，B ＝2π3。
6.已知某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是A. 3+B.C. 1+D.1+答案：B解析：四棱锥如下图所示，7. 某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示,下列说法中错误．．的是A. 收入最高值与收入最低值的比是3:1B. 结余最高的月份是7月份C.1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D. 前6个月的平均收入为40万元 （注：结余=收入-支出）答案：D解析：读图可知A 、B 、C 均正确，对于D ，前6 个月的平均收入＝45万元．8. 若圆222(1)x y r +-=与曲线(1)1x y -=的没有公共点，则半径r 的取值范围是A ．0r < B ．0r <<C ．0r <<D ．0r < 答案：C解析：只需求圆心（0，1）到曲线11y x =-上的点的最短距离，取曲线上的点1(,)1a a -，1a ≠，距离d =所以，若圆与曲线无公共点，则0＜r第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.9.已知函数22log (3),0,(), 0,x x f x x x +≥⎧=⎨<⎩则((1))f f -= .答案：2解析：因为(1)f -＝1，所以，f （f （－1））＝2log 4＝2。
10.已知双曲线221x y m-=过抛物线28y x =的焦点，则此双曲线的渐近线方程为 . 答案：12y x =±解析：抛物线28y x =的焦点抛物线28y x =的焦点为（2,0），代入双曲线方程， 所以，41m=，所以，4m =，渐近线方程为：12y x =±11.已知递增的等差数列}{n a ()n *∈N 的首项11=a ，且1a ,2a ,4a 成等比数列，则数列}{n a 的通项公式n a = ；48124+4+n a a a a +++=____.答案：n a n =，2264n n ++解析：，即12.已知不等式组0,,290y y x x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+-≤⎩表示的平面区域为D .若直线()1y a x =+与区域D 有公共点，则实数a 的取值范围是 . 答案：3[0,]4解析：画出不等式表示的平面区域，如图所示，即B （3,3），A （1,1），13.已知圆22:(3)(5)5C x y -+-=，过圆心C 的直线l 交圆C 于,A B 两点，交y 轴于点P . 若A 恰为PB 的中点，则直线l 的方程为 .答案：210x y --=或2110x y +-= 解析：由｜PA ｜＝｜PB ｜则｜AC ｜＝12｜PA ｜，即 A 是PC 的三等分点 x A ＝2，代入圆方程5即 A(2，3)或(2，7)，故直线l 的方程为：210x y --=或2110x y +-= 14.甲乙两人做游戏，游戏的规则是：两人轮流从1（1必须报）开始连续报数，每人一次最少要报一个数，最多可以连续报7个数（如，一个人先报数“1，2”，则下一个人可以有“3”， “3，4”，…，“3，4，5，6，7，8，9”等七种报数方法），谁抢先报到“100”则谁获胜.如果从甲开始，则甲要想必胜，第一次报的数应该是 . 答案：1，2，3，4 解析：1，2，3，4甲先报1，2，3，4，然后不管乙报几个数，甲只需要每次报的数的个数与乙的个数和为8（显然这可以做到），因为100－4＝96＝8×12 ，于是12轮过后，甲获胜．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15.（本小题满分13分）已知函数()2sin cos()3f x x x ωωπ=+（0ω>）的最小正周期为π.（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求()f x 在区间[,]62ππ-上的最大值和最小值. 解析：解：（Ⅰ）()2sin cos()3f x x x ωωπ=+12sin (cos )2x x x ωωω=2sin cos x x x ωωω=1sin 22x x ωω=sin(2)3x ωπ=+-因为()f x 的最小正周期为2T ω2π==π，则1ω=. …………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知()sin(2)32f x x π=+-. 因为,6x ππ-≤≤2所以0233x π4π≤+≤.则sin(2)123x π-≤+≤.当232x ππ+=，即12x π=时，()f x 取得最大值是1；当233x π4π+=，即2x π=时，()f x 取得最小值是()f x 在区间[,]62ππ-的最大值为1 …………………13分16.(本小题满分13分）已知数列{}n a 的前n 项和22n S n n =-,n *∈N . （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若()1n n n b a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T . 解析：（Ⅰ）由22n S n n =-，当2n ≥时，()()221=22114 3.-⎡⎤=------=-⎣⎦n n n a S S n n n n n 当1n =时，111,a S ==而4131⨯-=， 所以数列{}n a 的通项公式43n a n =-，n *∈N . ………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可得()(1)(1)43,=-=--n n n n b a n当n 为偶数时，()159********,2n n T n n =-+-+-++-=⨯=当n 为奇数时，1n +为偶数，112(1)(41)2 1.n n n T T b n n n ++=-=+-+=-+综上，2,,21,.n n n T n n ⎧=⎨-+⎩为偶数为奇数 …………………………13分17. (本小题满分13分)某班倡议假期每位学生至少阅读一本名著，为了解学生的阅读情况，对该班所有学生进行了调查.调查结果如下表:（Ⅰ）试根据上述数据，求这个班级女生阅读名著的平均本数; （Ⅱ）若从阅读5本名著的学生中任选2人交流读书心得，求选到男生和女生各1人的概率；（Ⅲ）试判断该班男生阅读名著本数的方差21s 与女生阅读名著本数的方差22s 的大小（只需写出结论）．（注：方差2222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-++-，其中x 为1x 2x ，…… n x 的平均数）解析：（Ⅰ）女生阅读名著的平均本数11323314+25310x ⨯+⨯+⨯+⨯⨯==本.…………………………3分（Ⅱ）设事件A ={从阅读5本名著的学生中任取2人，其中男生和女生各1人}.男生阅读5本名著的3人分别记为123,,a a a ，女生阅读5本名著的2人分别记为12,.b b从阅读5本名著的5名学生中任取2人，共有10个结果，分别是： {}12,a a ，{}13,a a ，{}23,a a ，{}12,b b ，{}11,a b ，{}12,a b ，{}21,a b ，{}22,a b ，{}31,a b ，{}32,a b .其中男生和女生各1人共有6个结果，分别是：{}11,a b ，{}12,a b ，{}21,a b ，{}22,a b ，{}31,a b ，{}32,a b .则63105P A ==（）. …………………………10分 （III ）2212s s >. …………………………13分18.（本小题共14分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC ，90BAC ∠=︒，2AB AC ==，1AA =,M N 分别为BC 和1CC 的中点，P 为侧棱1BB 上的动点．（Ⅰ）求证：平面APM ⊥平面11BB C C ；NAPBAC B（Ⅱ）若P 为线段1BB 的中点，求证：1//A N 平面APM ； （Ⅲ）试判断直线1BC 与平面APM 是否能够垂直.若能垂直，求PB 的值；若不能垂直，请说明理由．解析：（Ⅰ）由已知，M 为BC 中点，且AB AC =，所以AM BC ⊥．又因为11//BB AA ，且1AA ⊥底面ABC ，所以1BB ⊥底面ABC ． 因为AM ⊂底面ABC ，所以1BB AM ⊥， 又1BB BC B =， 所以AM ⊥平面11BB C C ． 又因为AM ⊂平面APM ， 所以平面APM ⊥平面11BB C C ． ……………………5分（Ⅱ）取11C B 中点D ，连结1A D ，DN ，DM ，1B C . 由于D ，M 分别为11C B ，CB 的中点， 所以DM //1A A ,且DM =1A A . 则四边形1A AMD 为平行四边形，所以1A D //AM .又1A D ⊄平面APM ，AM ⊂平面APM ， 所以1A D //平面APM .由于D ，N 分别为11C B ，1C C 的中点， 所以DN //1B C .N AMPCBA CB D又P ，M 分别为1B B ，CB 的中点， 所以MP //1B C . 则DN //MP .又DN ⊄平面APM ，MP ⊂平面APM ， 所以DN //平面APM . 由于1A D=DN D ,所以平面1A DN //平面APM .由于1A N ⊂平面1A DN ， 所以1//A N 平面APM . ……………10分（III ）假设1BC 与平面APM 垂直， 由PM ⊂平面APM ， 则1BC PM ⊥． 设PB x =，x ∈．当1BC PM ⊥时，11BPM B C B ∠=∠， 所以Rt PBM ∆∽11Rt B C B ∆∠，所以111C B PB MB BB =．由已知111MB C B BB ==，得x =由于3x =∉， 因此直线1BC 与平面APM不能垂直． …………………………………………14分19.(本小题共14分）已知椭圆:C 22142x y +=的焦点分别为12,F F . （Ⅰ）求以线段12F F 为直径的圆的方程；（Ⅱ）过点(4,0)P 任作一条直线l 与椭圆C 交于不同的两点,M N .在x 轴上是否存在点Q ，使得180PQM PQN ∠+∠=︒？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.解析：（I ）因为24a =，22b =，所以22c =.所以以线段12F F 为直径的圆的方程为222x y +=.……………………………3分 （II ）若存在点(,0)Q m ，使得180PQM PQN ∠+∠=︒， 则直线QM 和QN 的斜率存在,分别设为1k ,2k . 等价于120k k +=.依题意，直线l 的斜率存在，故设直线l 的方程为(4)y k x =-.由22(4)142y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2222(21)163240k x k x k +-+-=.因为直线l 与椭圆C 有两个交点，所以0∆>.即2222(16)4(21)(324)0k k k -+->，解得216k <. 设11(,)M x y ，22(,)N x y ,则21221621k x x k +=+，212232421k x x k -=+， 11(4)y k x =-，22(4)y k x =-.令1212120y y k k x m x m+=+=--， 1221()()0,x m y x m y -+-=1221()(4)()(4)0x m k x x m k x --+--=,当k ≠时，122(4)()8x x m x x m -+++=，所以22324221k k -⨯+2216(4)8021k m m k -+⨯+=+， 化简得，28(1)021m k -=+， 所以1m =.当0k =时，也成立.所以存在点(1,0)Q ，使得180PQM PQN ∠+∠=︒.……………………………14分20. （本题满分13分） 已知函数()e xk x f x k x+=⋅-()k ∈R . （Ⅰ）若1,k =求曲线()y f x =在点()0(0)f ，处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）设0k ≤，若函数()f x 在区间上存在极值点，求k 的取值范围.解析：(Ⅰ)若1k =，函数()f x 的定义域为{}1x x ≠，22e (3)()=1)x x f x x -'-（. 则曲线()y f x =在点()0(0)f ，处切线的斜率为(0)=3f '. 而(0)=1f ，则曲线()y f x =在点()0(0)f ，处切线的方程为31y x =+.……………3分（Ⅱ）函数()f x 的定义域为{}x x k ≠，222e (2)()=)x k k x f x k x +-'-（.（1）当0k >时，由x k ≠,k >，可得k <<令()0f x '<，解得x <或x >，函数()f x 为减函数；令()0f x '>，解得x <<x k ≠，所以当x k <<，k x <<()f x 也为增函数.所以函数()f x 的单调减区间为∞（-，，+)∞，单调增区间为)k （，k （.（2）当0k =时，函数()f x 的单调减区间为∞（-,0)，+∞（0,). 当2k =-时，函数()f x 的单调减区间为2∞（-,-)，2+∞（-，). 当20k -<<时，由220k k +<，所以函数()f x 的单调减区间为k ∞（-,)，+k ∞（,).即当20k -≤≤时，函数()f x 的单调减区间为k ∞（-,)，+k ∞（,).（3）当2k <-时，此时k >.令()0f x '<，解得x <或x >，但x k ≠，所以当x k <，k x <<x >时，函数()f x 为减函数；令()0f x '>，解得x <<()f x 为增函数.所以函数()f x 的单调减区间为k ∞（-,)，k （，)+∞，函数()f x 的单调增区间为（. …………9分（Ⅲ）（1）当20k -≤≤时，由（Ⅱ）问可知，函数()f x 在上为减函数，所以不存在极值点;（2）当2k <-时，由（Ⅱ）可知，()f x 在（上为增函数，在)+∞上为减函数.上存在极值点，则若函数()f x在区间2)<<2解得43<<,kk-<<-或12所以43-<<-.k综上所述，当43-<<-时，函数()kf x在区间上存在极值点.…………13分。