直线和圆的位置关系
直线与圆的位置关系—知识讲解
直线与圆的位置关系—知识讲解责编：常春芳【学习目标】1.理解并掌握直线与圆的三种位置关系；2.理解切线的判定定理和性质定理.【要点梳理】要点一、直线与圆的位置关系1．直线和圆的三种位置关系：(1) 相交：当直线与圆有两个公共点时，叫做直线与圆相交．(2) 相切：当直线与圆有唯一公共点时，叫做直线与圆相切．这条直线叫做圆的切线，公共点叫做切点．(3) 相离：当直线与圆没有公共点时，叫做直线与圆相离．2．直线与圆的位置关系的判定和性质．直线与圆的位置关系能否像点与圆的位置关系一样通过一些条件来进行分析判断呢？由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点(圆心)的位置关系．下面图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与圆心的距离等于半径；图(3)中直线与圆心的距离大于半径．一般地，直线与圆的位置关系有以下定理：如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么，（1）d＜r直线l与⊙O相交；（2）d=r直线l与⊙O相切；（3）d＞r直线l与⊙O相离.要点诠释：这三个命题从左边到右边反映了直线与圆的位置关系所具有的性质；从右边到左边则是直线与圆的位置关系的判定．要点二、切线的判定定理和性质定理1．切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.要点诠释：切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可. 2．切线的性质定理：经过切点的半径垂直于圆的切线.【典型例题】类型一、直线与圆的位置关系【高清ID号：356966 关联的位置名称（播放点名称）：经典例题1-2】1．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3厘米，BC=4厘米，以C为圆心，r为半径的圆与AB有怎样的位置关系？为什么？(1)r=2厘米； (2)r=2.4厘米； (3)r=3厘米【答案与解析】解：过点C作CD⊥AB于D，在Rt△ABC中，∠C=90°， AC=3，BC=4，得AB=5，，∴AB·CD=AC·BC，∴AC BC34CD===2.4AB5∙⨯(cm)，（1）当r=2cm时，CD＞r，∴圆C与AB相离；（2）当r=2.4cm时，CD=r，∴圆C与AB相切；(3）当r=3cm时，CD＜r，∴圆C与AB相交．【总结升华】欲判定⊙C与直线AB的关系，只需先求出圆心C到直线AB的距离CD的长，然后再与r比较即可．举一反三：【变式】已知⊙O的半径为10cm，如果一条直线和圆心O的距离为10cm，那么这条直线和这个圆的位置关系为（）A. 相离B. 相切C. 相交D. 相交或相离【答案】B.类型二、切线的判定与性质2．如图所示，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A的平分线交BC于D，以D为圆心，DB长为半径作⊙D．求证：AC是⊙D的切线．【思路点拨】作垂直，证半径．【答案与解析】证明：过D作DF⊥AC于F．∵∠B＝90°，∴DB⊥AB．又AD平分∠BAC，∴ DF＝BD＝半径．∴ AC与⊙D相切．【总结升华】如果已知条件中不知道直线与圆有公共点，其证法是过圆心作直线的垂线段，再证明垂线段的长等于半径的长即可．3．（2016•三明）如图，在△ABC中，∠C=90°，点O在AC上，以OA为半径的⊙O交AB于点D，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AC=6，BC=8，OA=2，求线段DE的长．【思路点拨】（1）直线DE与圆O相切，理由如下：连接OD，由OD=OA，利用等边对等角得到一对角相等，等量代换得到∠ODE为直角，即可得证；（2）连接OE，设DE=x，则EB=ED=x，CE=8﹣x，在直角三角形OCE中，利用勾股定理列出关于x 的方程，求出方程的得到x的值，即可确定出DE的长．【答案与解析】解：（1）直线DE与⊙O相切，理由如下：连接OD，∵OD=OA，∴∠A=∠ODA，∵EF是BD的垂直平分线，∴EB=ED，∴∠B=∠EDB，∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°，∴∠ODA+∠EDB=90°，∴∠ODE=180°﹣90°=90°，∴直线DE与⊙O相切；（2）连接OE，设DE=x，则EB=ED=x，CE=8﹣x，∵∠C=∠ODE=90°，∴OC2+CE2=OE2=OD2+DE2，∴42+（8﹣x）2=22+x2，解得：x=4.75，则DE=4.75．【总结升华】此题考查了直线与圆的位置关系，以及线段垂直平分线定理，熟练掌握直线与圆相切的性质是解本题的关键．4．如图，AB为⊙O的直径，AC为⊙O的弦，AD平分∠BAC，交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E．（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AE＝8，⊙O的半径为5，求DE的长．【思路点拨】（1）连接OD，证明OD∥AD即可；（2）作DF⊥AB于F，证明△EAD≌△FAD，将DE转化成DF来求.【答案与解析】解：（1）直线DE与⊙O相切．理由如下：连接OD．∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠OAD．∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD．∴∠ODA＝EAD．∴EA∥OD．∵DE⊥EA，∴DE⊥OD．又∵点D在⊙O上，∴直线DE与⊙O相切．（2）如上图，作DF⊥AB，垂足为F．∴∠DFA＝∠DEA＝90°．∵∠EAD＝∠FAD，AD＝AD，∴△EAD≌△FAD．∴AF＝AE＝8，DF＝DE.∵OA＝OD＝5，∴OF＝3．。
直线和圆的位置关系
1 O C2 x
y
∴
| 3k - 2 + 1 | k +1
2
2 2
解之，得 -1≤ k ≤7 即 k 的取值范围是 [-1,7] .
例2 已知圆C: ( x - a ) 2 + ( y - 2) 2 4 ( a 0) 及 直线 l : x - y + 3 0 ，当直线 l 被圆C截 得的弦长为 2 3 时，则 a 等于 2 - 1 .
A. 2 x + 4 y - 1 0
C. 2 x - 3 y - 1 0 短时，直线AB的方程是
B. 4 x + 3 y - 1 0
D. 3 x + 2 y 0
2. 过圆C: ( x - 1) 2 + y 2 25 内一点P(2,-1)的弦AB最
x-y-3=0 .
例3.直线y=x+b与曲线x= 1-y2 有且仅有 一个公共点，求b的取值范围．
y
O
－２
x
例4 圆 x 2 + y 2 + 2 x + 4 y - 3 0 上到直线 x + y + 1 0
的距离为 5 的点共有 2 个.
练习２：
圆 x 2 + y 2 + 2 x + 4 y - 3 0 上到直线 x + y + 1 0 的距离为h的点有且只有3个， 则h = . 2
练习3:已知圆 C:x2+y2=1 和过点P( -1 ,2) 的直 线 L.
直线与圆的位置关系
直线与圆、圆与圆的位置关系【知识梳理】1.点与圆的位置关系: 有三种：点在圆外，点在圆上，点在圆内.设圆的半径为r ，点到圆心的距离为d ，则点在圆外⇔d ＞r ．点在圆上⇔d=r ．点在圆内⇔d ＜r ．2.直线和圆的位置关系有三种：相交、相切、相离．设圆的半径为r ，圆心到直线的距离为d ，则直线与圆相交⇔d ＜r ，直线与圆相切⇔d=r ，直线与圆相离⇔d ＞r3.圆与圆的位置关系(1)同一平面内两圆的位置关系：①相离:如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离．②若两个圆心重合，半径不同观两圆是同心圆.③相切:如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切．④相交:如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交．(2)圆心距：两圆圆心的距离叫圆心距．(3)设两圆的圆心距为d ，两圆的半径分别为R 和r ，则①两圆外离⇔d ＞R+r ；有4条公切线；②两圆外切⇔d=R ＋r ；有3条公切线；③两圆相交⇔R －r ＜d ＜R+r （R ＞r ）有2条公切线；④两圆内切⇔d=R －r （R ＞r ）有1条公切线；⑤两圆内含⇔d ＜R —r （R ＞r ）有0条公切线．（注意：两圆内含时，如果d 为0，则两圆为同心圆）4.切线的性质和判定(1)切线的定义：直线和圆有唯一公共点门直线和圆相切时，这条直线叫做圆的切线．(2)切线的性质：圆的切线垂直于过切点的直径．(3)切线的判定：经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线．【例题精讲】例1.⊙O 的半径是6，点O 到直线a 的距离为5，则直线a 与⊙O 的位置关系为（ ）A ．相离B ．相切C ．相交D ．内含例2. 如图1，⊙O 内切于ABC △，切点分别为D E F ，，．50B ∠=°，60C ∠=°，连结OE OF DE DF ，，，，则EDF ∠等于（ ）例题2图A ．40°B ．55°C ．65°D ．70°例3. 如图，已知直线L 和直线L 外两定点A 、B ，且A 、B 到直线L 的距离相等，则经过A 、B 两点且圆心在L 上的圆有（ ）A ．0个B ．1个C ．无数个D ．0个或1个或无数个例4．已知⊙O 1半径为3cm ，⊙O 2半径为4cm ，并且⊙O 1与⊙O 2相切，则这两个圆的圆心距为（ ） A.1cm B.7cm C.10cm D. 1cm 或7cm例5．两圆内切，圆心距为3，一个圆的半径为5，另一个圆的半径为 例6．两圆半径R=5，r=3，则当两圆的圆心距d 满足___ ___•时，•两圆相交；• 当d•满足___ ___时，两圆不外离．例7．⊙O 半径为6.5cm ，点P 为直线L 上一点，且OP=6.5cm ，则直线与⊙O•的位置关系是____例8．如图，P A 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，⊙O 的切线EF 分别交P A 、PB 于点E 、F ，切点C 在弧AB 上，若PA 长为2，则△PEF 的周长是 _．例9. 如图，⊙M 与x 轴相交于点(20)A ，，(80)B ，，与y 轴切于点C ，则圆心M 的坐标是 例10. 如图，四边形ABCD 内接于⊙A ，AC 为⊙O 的直径，弦DB ⊥AC ，垂足为M ，过点D 作⊙O 的切线交BA 的延长线于点E ，若AC=10，tan ∠DAE=43，求DB 的长．【当堂检测】1.如果两圆半径分别为3和4，圆心距为7，那么两圆位置关系是（ ）A ．相离B ．外切C ．内切D ．相交2.⊙A 和⊙B 相切，半径分别为8cm 和2cm ，则圆心距AB 为（ ）A ．10cmB ．6cmC ．10cm 或6cmD ．以上答案均不对3.如图，P 是⊙O 的直径CB 延长线上一点，PA 切⊙O 于点A ，如果PA ＝3，PB ＝1，那么∠APC 等于（ ）A. 15 B. 30 C. 45 D.604. 如图，⊙O 半径为5，PC 切⊙O 于点C ，PO 交⊙O 于点A ，PA ＝4，那么PC 的长等于 （ ） A ）6 （B ）25 （C ）210 （D ）2145.如图，在10×6的网格图中(每个小正方形的边长均为1个单位长)．⊙A 半径为2，⊙B 半径为1，需使⊙A 与静止的⊙B 相切，那么⊙A 由图示的位置向左平移个单位长. OD C B Ax y M B A O C l B A 例题3图 例题8图 例题9图 •A B P C EF •O 例题10图 第3题图 第4题图 第5题图 第6题图OO2O16. 如图，⊙O为△ABC的内切圆，∠C＝90，AO的延长线交BC于点D，AC＝4，DC ＝1，，则⊙O的半径等于（）A.45B.54C.43D.657.⊙O的半径为6，⊙O的一条弦AB长63，以3为半径⊙O的同心圆与直线AB的位置关系是( ) A.相离 B.相交 C.相切 D.不能确定8.如图，在ABC△中，12023AB AC A BC=∠==，°，，A⊙与BC相切于点D，且交AB AC、于M N、两点，则图中阴影部分的面积是（保留π）．9.如图，B是线段AC上的一点，且AB：AC=2：5，分别以AB、AC为直径画圆，则小圆的面积与大圆的面积之比为_______．10. 如图，从一块直径为a+b的圆形纸板上挖去直径分别为a和b的两个圆，则剩下的纸板面积是___．11. 如图，两等圆外切，并且都与一个大圆内切．若此三个圆的圆心围成的三角形的周长为18cm．则大圆的半径是______cm．12.如图，直线AB切⊙O于C点，D是⊙O上一点，∠EDC=30º，弦EF∥AB，连结OC交EF于H点，连结CF，且CF=2，则HE的长为_________．13. 如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别为A、B，若直径AC=12cm，∠P=60°．求弦AB的长．中考题型一、选择题1.（2009年·宁德中考）如图，直线AB与⊙O相切于点A，⊙O的半径为2，若∠OBA = 30°，则OB的长为（）A．43 B．4 C．23 D．2（第1题图）（第2题图）2.（2009年·潍坊中考）已知圆O的半径为R，AB是圆O的直径，D是AB延长线上一点，DC是圆O的切线，C是切点，连结AC，若∠CAB=30°，则BD的长为（）A．2R B．3R C．R D．32RBPAOC第8题图第9题图第11题图第10题图第12题图第13题图3.（2009年·襄樊中考）如图，AB 是⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，DC 切⊙O 于C,若∠A=25°则∠D 等于（ ）A ．40°B ．50°C ．60° D．70°（第3题图） （第4题图）4．（2009年湖南省邵阳市）如图AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，，A 为切点，连结BC 交圆0于点D,连结AD,若∠ABC ＝450,则下列结论正确的是（ ） A.AD ＝21BC B.AD ＝21AC C.AC ＞AB D.AD ＞DC二、填空题5.（2009年·綦江县中考）如图，AB 与⊙O 相切于点B ，AO 的延长线交O ⊙于点C ，连结BC ，若34A ∠=°，则C ∠= ．（第5题图） （第6题图）6.（2009年·庆阳市中考）如图直线AB 与⊙O 相切于点B ，BC 是⊙O 的直径，AC 交⊙O 于点D ，连结BD ，则图中直角三角形有 个．三、解答题7.（2009桂林百色）如图，△ABC 内接于半圆，AB 是直径，过A 点作直线MN ，若∠MAC＝∠ABC ．（1）求证：MN 是半圆的切线； （2）设D 是弧AC 的中点，连结BD 交AC 于G ，过D 作DE⊥AB 于E ，交AC 于F ．求证：FD ＝FG ．（3）若△DFG 的面积为4.5，且DG ＝3，GC ＝4，试求△BCG 的面积．课后练习题一、填空题：1、在直角坐标系中，以点（1,2）为圆心，1为半径的圆必与y轴，与x轴2、直线m上一点P与O点的距离是3，⊙O的半径是3，则直线m与⊙O的位置关系是3、R T⊿ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，则以2.4cm为半径的⊙C与直线AB的位置关系是4、如图1，AB为⊙O的直径，CD切⊙O于D，且∠A=30°，⊙O半径为2cm，则CD=5、如图2，AB切⊙O于C，点D在⊙O上，∠EDC=30°，弦EF∥AB，CF=2，则EF=6、如图3，以O为圆心的两个同心圆中，大圆半径为13cm,小圆半径为5cm，且大圆的弦AB切小圆于P，则AB=7、如图4，直线AB与CD相交于点O，∠AOC=30°，点P在射线OA上，且OP=6cm，以P为圆心，1cm为半径的⊙P以1cm/s的速度沿射线PB方向运动。
直线和圆的位置关系
2. 已知直线 l :(2m+1)x+(m+1)y = 7m+4 (m∈R） 圆C：(x-1)2+(y-2)2 = 25. （1）证明：不论m取什么实数直线 l 与圆C总
相交；
（2）求直线 l被圆C截得的弦的最短长度及此 时的直线方程.
; https:///?spm=a220o.1000855.w5001-14491500306.2.5c90c348UgRMhX&scene=taobao_shop 内衣 无钢圈内衣 小胸 内衣 蒛一 veg19whv 一个美丽富饶的地方，是一个福地，镇上的人们简直就是生活在天堂里了！居住在小镇上的人们也会油然而生出来无比的优越感，自认 为高人一等。这个美丽的小镇被这一方的人们亲切地誉为“三六九镇”！至于为什么会得到这么一个雅号，那还得从“三六九”集市日 说起了河边之战|自从穿越到古代，我已经晕死过去两次了，第一次是在禁地被某人敲晕，这一次倒好，是自己眼前一黑晕过去的，但是 有一个共同点，那就是每次醒来之后并没有回到现代，而是还留在傅府里。不过这一次醒来之后的地点就真的出乎预料了，我被关在一 个牢房里，然后，我身边的是水胖。水胖一脸憔悴，我更是云里雾里：这是什么地方，我们为啥会在这里，我们不应该是在丑妇人的专 用饭厅那里伺候她们吃饭的吗？水胖见我一脸疑惑，还是勉强打起精神来和我说现状的来龙去脉。从水胖口中得知，我们已经被关了一 天一夜了，那是因为我在前天少奶奶们聚会的宴席上，打翻了大锅菜而至。当时的情形可以说是千钧一发，我是失去了意识倒了下去， 并没有接住大锅菜，而里面滚烫的菜洒了一部分出来而落到了二少爷第三位妻子曾氏的腿上，幸好最后的大锅被琳夫人千钧一发的接住 了，才是伤害降得最低。但是这种事情一旦发生，就必定会追究责任。气坏了的曾氏和丑妇人想当场把我打死，好在仁玉为我下跪求情， 并且答应了她们一些不知道什么条件，才让我得以留住性命，这倒好，仁玉辛辛苦苦建立起来的一点点威信也被我弄没了。最后主子们 对我的惩罚就是把我关押在傅家最北边的地牢里，而且并没有说何时才能把我放出来。而水胖则是连带责任也被关了进来。哎，实在是 我害了水胖啊，看着水胖面黄肌瘦的样子，想必这几天在牢里饭菜都吃不饱了吧？没想到才来古代不满半个月，就开始坐牢了，而且还 是别人家的私家牢房，最起码也给我坐一个天牢或者更高级的牢房吧。正当我发愁的时候，从笼子外面传来了脚步声。等人影逐渐清晰 的时候，才发现来者竟是琳夫人！琳夫人手里拿着一大盒子，但是隔着盒子也能闻出来是烧鸡腿的味道。水胖此时也直流口水，身为家 丁的他，要数最近一次吃烧鸡腿的日子，恐怖要追溯到还没卖进来做家丁的时候了吧。果不其然，琳夫人将盒子交给了水胖，并让水胖 去角落用餐，水胖似乎也知道琳夫人的一些事情，这时候就很机灵的走到了牢房最角落，但是水胖接过盒子后离开给了我一个奇怪的眼 神和神情，这让我既感到疑惑也触发了我的不详第六感觉。这时候，只剩下琳夫人和我了。琳夫人先开口，“你是新来的家丁，叫傅莲 对吧。”“是的，夫人”这几日我已经习惯作为一个家丁去回答领导的问话了。“你是个聪明人，那我就直奔主题了”琳夫人讲话豪爽， 一点
直线与圆的位置关系取值范围
直线与圆的位置关系取值范围
直线与圆的位置关系可以从以下几种情况进行描述：
1. 直线与圆相离：直线与圆无交点，直线在圆的外部。
此时直线与圆的位置关系可以通过计算直线到圆心的距离和圆的半径来确定。
如果直线到圆心的距离大于圆的半径，则直线与圆相离。
2. 直线与圆相切：直线与圆有且仅有一个交点，直线切到圆的边界上。
此时直线与圆的位置关系可以通过计算直线到圆心的距离和圆的半径来确定。
如果直线到圆心的距离等于圆的半径，则直线与圆相切。
3. 直线与圆相交：直线与圆有两个交点，直线穿过圆的内部。
此时直线与圆的位置关系可以通过计算直线到圆心的距离和圆的半径来确定。
如果直线到圆心的距离小于圆的半径，则直线与圆相交。
对于直线与圆的位置关系取值范围来说，并没有明确的数学表达式或范围，因为这会受到直线方程和圆的方程具体形式的影响。
在具体问题中，可以根据直线和圆的方程，通过求解方程组或使用几何方法，来确定直线与圆的位置关系。
直线和圆的位置关系
(6)直线与圆最多有两个公共点
（√ ）
(× )
(7)若直线与圆相交，则直线上的点都在圆内
(8)若A、B是⊙O外两点， 则直线AB与⊙O相离( × ) (9)若C为⊙O内与O点不重合的一点，则直线CO与⊙O 相交 （√ ） (10)若线段和圆没有公共点,该圆圆心到线段的距离大于 半径 （× ）
2.已知圆的直径为13cm，设直线和圆心的距离为d ： 2 个公共点. 1)若d=4.5cm ,则直线与圆 相交 , 直线与圆有____ 1 个公共点. 相切 , 直线与圆有____ 2)若d=6.5cm ,则直线与圆______ 相离 , 直线与圆有____ 0 个公共点. 3)若d= 8 cm ,则直线与圆______ 3.已知⊙O的半径为5cm, 圆心O与直线AB的距离为d, 根据 条件填写d的范围: 1)若AB和⊙O相离, 则 d > 5cm 2)若AB和⊙O相切, 则 d = 5cm ; 3)若AB和⊙O相交,则 0cm≤ d < 5cm . ;
为什么？
解：BD是⊙O的切线 . 证明如下：连结OD. D A
●
∵ ∠BAD＝30°(已知) ∴∠BOD＝2∠BAD＝60° 又∵∠B ＝ 30°
O
C
B
∴∠BDO＝180°－∠B－∠BOD＝90° ∴ 直线BD⊥BC中,AB=AC,AO⊥BC于O，
这两个公共点叫交点。
(2)直线和圆有唯一个公共点, 叫做直线和圆相切, 这条直线叫圆的切线， 这个公共点叫切点。 (3)直线和圆没有公共点时, 叫做直线和圆相离。
O
O
O
l
相交
A
l
相离
l
相切
上述变化过程中，除了公共点的个数发生了变化， 还有什么量在改变？你能否用数量关系来判别直线 与圆的位置关系？
九年级数学直线与圆的位置关系
点和圆的位置关系有几种？
A B C
点到圆心的距离为d， 圆的半径为r，则： 点在圆外 点在圆上 点在圆内 d>r; d=r； d<r.
直线与圆的位置关系
(地平线)
● ● ●
O
● ●
O
O
a(地平线)
O
O
一、直线与圆的位置关系
（用公共点的个数来区分）
特点： 直线和圆没有公共点， 叫直线和圆相离 特点： 直线和圆有惟一的公共点， 叫做直线和圆相切。 C
C
x
A
图形 直线与圆的 位置关系
．Ｏ r d ┐ l
．ｏ d r ┐ l .
A
. B
．O d r ┐ . lC
相离
0 d>r
相切
1 d=r
相交பைடு நூலகம்
2 d<r
公共点的个数
圆心到直线的距离 d 与半径 r 的关系
公共点的名称 直线名称
切点
切线
已知⊙O的半径r=7cm,直线l1 // l2, 且l1与⊙O相切,圆心O到l2的距离为9cm. 求l1与l2的距离m.
.A
.A
.B
这时的直线叫切线
惟一的公共点叫切点。 特点： 直线和圆有两个公共点， 叫做直线和圆相交。
a(地平线)
观察太阳落山的照片,在太阳落山的过程中,太阳与 地平线(直线a)经历了哪些位置关系的变化?
看图判断直线l与 ⊙O的位置关系
（1） （2）
· O · O
l
（3） l l
· O
相离
相交
相切
课堂练习：
2、已知⊙O的半径为5cm, 圆心O与直线AB的距 离为d, 根据条件填写d的范围: 1)若AB和⊙O相离, 则 d > 5cm ; ; 2)若AB和⊙O相切, 则 d = 5cm
直线和圆的位置关系
设⊙O的圆心O到直线的距离为d,半径为r，d， r是方程(m+9)x2－(m+6)x +1=0的两根,且直线与 ⊙O相切时,求m的值?
解:由题意可得 b2－4ac= [-(m+6)]2－4(m+9)=0 解得 m1= -8 m 2= 0 当m=-8时原方程 为x2+2x+1=0 x1=x2= -1 (不符合题意舍去) 当m=0时原方程 为9x2-6x+1=0 x1=x2= 1 3 ∴ m=0
高桥初中 刘方霞
点 与 圆 的 位 置 关 系
点P在圆内 点P在圆上 点P在圆外
d<r
P
d=r
O
P
d>r
r
·
P
A
想想:
思考： 把海平面看作一条直线，太阳看作一 个圆，由此你能得出直线与圆的位置 关系吗？
思考： 把海平面看作一条直线，太阳看作一 个圆，由此你能得出直线与圆的位置 关系吗？
直线和圆的位置关系有三种：
5
D
3
A
例: Rt△ABC,∠C=90°AC=3cm， 解：过C作CD⊥AB，垂足为D。 在Rt△ABC中， BC=4cm，以C为圆心，r为 2 = 2 2 2 半径的圆与AB有怎样的位置 AB= 关系？为什么？ =5（cm） （1）r=2cm；（2）r=2.4cm 根据三角形面积公式有 (3)r=3cm。 CD· AB=AC· BC
l
（二）.直线与圆的位置关系 (数量特征)
.Or
相离
d
B A
直线与圆的位置关系的性质与判定
H
l
r .D
1、直线与圆相离
d>r
相切
.O
直线与圆的位置关系
小试牛刀
1、已知圆的直径为13cm，设直线和圆心的距离为d ： 2 个公共点. 1)若d=4.5cm ,则直线与圆 相交 , 直线与圆有____ 1 个公共点. 相切 , 直线与圆有____ 2)若d=6.5cm ,则直线与圆______ 相离 , 直线与圆有____ 0 个公共点. 3)若d= 8 cm ,则直线与圆______ 2、已知⊙O的半径为5cm, 圆心O与直线AB的距离为d, 根据 条件填写d的范围: 1)若AB和⊙O相离, 则 d > 5cm 2)若AB和⊙O相切, 则 d = 5cm ; ; .
d> r
总结：
两 判定直线 与圆的位置关系的方法有 ____种：
（1）根据定义，由
直线与圆的公共点 ______________
的个数来判断； d与半径r （2）根据性质，由 圆心到直线的距离 _________________ 的关系来判断。 在实际应用中，常采用第二种方法判定。
a(地平线)
观察太阳落山的照片,在太阳落山的过程中,太阳与 地平线(直线a)经历了哪些位置关系的变化?
相关知识点回忆
.A
1.直线外一点到这条直线 的垂线段的长度叫点到直线 的距离。
D
a
2、连结直线外一点与直线所 垂线 。 有点的线段中,最短的是______ 段
二、直线和圆的位置关系（用圆心o到直线l的
距离d与圆的半径r的关系来区分）
d r
直线和圆相交
d< r
d
r
直线和圆相切
d= r
r
d
∟
直线和圆相离
(1)直线和圆有两个公共点, 叫做直线和圆相交， 这条直线叫圆的割线， 这两个公共点叫交点。 (2)直线和圆有唯一个公共点, 叫做直线和圆相切, 这条直线叫圆的切线， 这个公共点叫切点。 (3)直线和圆没有公共点时, 叫做直线和圆相离。
直线和圆的位置关系
直线和圆的位置关系
直线和圆的位置关系有三种，具体如下：
1、相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点；
2、相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，
3、相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。
直线定义：直线是由无数个点构成，两端都没有端点、可以百向两端无限延伸、不可测量长度的一条线。
圆的定义：在一个平面内，围绕一个点并以一定长度为距离旋转一周所形成的封闭曲线叫做圆。
直线和圆的位置关系
小结：直线与圆的位置关系：
图形 直线与圆的 位置关系
．Ｏ r d ┐ l ．ｏ d r ┐ l .
A
. B
．O d r ┐ . lC
相离
0 d>r
相切
1 d=r
相交
2 dቤተ መጻሕፍቲ ባይዱr
公共点的个数
圆心到直线的距离 d 与半径 r 的关系
公共点的名称 直线名称
切点
切线
交点
割线
24.2直线和圆的位置关系
点和圆的位置关系有几种？
A B C
点到圆心的距离为d， 圆的半径为r，则： 点在圆外 点在圆上 点在圆内
数量关系
d>r; d=r； d<r.
数形结合： 位置关系
同学们，在我们的生活中到处都 蕴含着数学知识，下面老师请同 学们欣赏美丽的
海上日出
从海上日出这种自然现象中可以抽象出哪些 基本的几何图形呢？
距离d与圆的半径r的关系来区分）
d r
直线和圆相交
d< r
d
r
直线和圆相切
d= r
r
d
∟
直线和圆相离 数量关系
d> r
数形结合： 位置关系
总结：
两 判定直线 与圆的位置关系的方法有 ____种：
直线 与圆的公共点 （1）根据定义，由________________
的个数来判断； 圆心到直线的距离d与半径r （2）根据性质，由_________________ 的关系来判断。 在实际应用中，常采用第二种方法判定。
O
O
O
l
A
l
相离
l
相交
相切
上述变化过程中，除了公共点的个数发生了变化， 还有什么量在改变？你能否用数量关系来判别直线 与圆的位置关系？
直线和圆的位置关系
A
3、直线L 和⊙O有公共点，则直线L与⊙O（
D
）.
A、相离；B、相切；C、相交；D、相切或相交。
2、如图，已知∠BAC=30度，M为AC 上一点，且AM=6cm，以M为圆心、 r为半径的圆与直线AB有怎样的 位置关系？为什么？ (1) r=2cm
D
(2) r=4cm
(3) r=3cm
挑战自我 已知⊙A的直径为6，点A的坐标为 （-3，-4），则பைடு நூலகம்轴与⊙A的位置关系是 相离 y轴与⊙A的位置关系是_____ 相切 。 _____,
一、直线与圆的位置关系（用公 共点的个数来区分）
(1)直线和圆有两个公共点, 叫做直线和圆相交， 这条直线叫做圆的割线，
这两个公共点叫做交点。
(2)直线和圆有唯一个公共点, 叫做直线和圆相切, 这条直线叫做圆的切线， 这个公共点叫做切点。 (3)直线和圆没有公共点时, 叫做直线和圆相离。
O
O
O
l
A
l
相离
l
相交
相切
除了用公共点的个数来判断位置关系（观察法）， 你能否像判断点和圆的位置关系那样也找出一个量 来判断直线和圆的位置关系呢？
直线和圆的位置关系（用圆心0到直线l的
距离d与圆的半径r的关系来判断）
d r
直线和圆相交
d< r
d
r
直线和圆相切
d= r
r
d
∟
直线和圆相离
d> r
总结：
两 判定直线 与圆的位置关系的方法有 ____种：
直线和圆的位置关系
瓦屋头镇第二初级中学
点和圆的位置关系有几种？
A B C
点到圆心的距离为d， 圆的半径为r，则： 点在圆外 点在圆上 点在圆内 d>r; d=r； d<r.
直线与圆的位置关系与性质知识点总结
直线与圆的位置关系与性质知识点总结直线与圆是几何中常见的两种基本图形，它们的位置关系与性质对于解决几何问题非常重要。
在这篇文章中，我们将总结直线与圆的常见位置关系，并讨论它们的性质。
一、直线与圆的位置关系1. 直线与圆的相交关系当直线与圆有交点时，我们可以得出以下几种情况：- 直线与圆相交于两点：直线穿过圆的中心，此时直径是直线的特例。
- 直线与圆相交于一个点：直线与圆相切，切点称为切点。
- 直线位于圆的内部，没有交点。
- 直线位于圆的外部，也没有交点。
2. 直线与圆的位置关系特例- 切线：直线与圆相切的情况，称为切线。
与圆相切的直线垂直于半径，切点在直线上的法线与从切点到圆心的半径垂直。
- 弦：直线穿过圆，但不过圆心的情况，称为弦。
通过圆心的弦称为直径，且直径是弦中最长的一条线段。
二、直线与圆的性质1. 切线定理定理一：若一条直线与圆相切于切点A，则以切点A为顶点的两条锐角与此直线所夹的圆弧相等。
定理二：若从圆外一点作直线与圆相切于切点A，则此直线与以此点为端点的弦相交处的两个锐角是一对互补角。
2. 弦长定理定理三：若两条弦相交于切点A，则两条弦分割的圆周上的弧长乘积相等。
3. 直径定理定理四：直径是穿过圆心的弦，正好是弦分割的两条弧的半径之和。
4. 割线定理定理五：若两条割线相交于切点A，则此割线与此切点所在的直线上的弦分割的互补角是一对互补角。
三、直线与圆的应用1. 问题一：判断直线是否与圆相交或相切当我们需要解决直线与圆的位置关系问题时，可以利用以下方法：- 使用坐标系和方程：设定坐标系，写出直线和圆的方程并求解交点。
- 使用定理：利用判断圆内点的方法，或使用切线定理判断直线与圆是否相切。
2. 问题二：求解直线与圆的交点坐标当直线与圆相交于两点时，我们可以利用以下方法求解交点坐标：- 使用坐标系和方程：设定坐标系，写出直线和圆的方程，联立方程并求解交点坐标。
3. 问题三：判断两条直线是否为切线或相交于切点当我们需要判断两条直线是否为切线或相交于切点时，可以利用以下方法：- 使用切线定理：若两条直线与圆相切于同一切点，则可判断它们为切线或相交于切点。
直线和圆位置关系
圆心C(-1,2)到切线的距离等于圆的半径 2 |-1+2-a| 即 2 a 1或a 3 2
切线方程为x y 1 0或x y 3 0
1. 轨迹问题 1. 已知圆C：x 2 y 2 2 x 4 y 3 0 (3)从圆C外一点P(x,y)向该圆引一条 切线，切点为M，O为坐标原点，且
一、直线与圆位置关系 已知:直线l：Ax+By+C=0 圆C： (x-a)2+(y-b)2=r2 几何方法： 圆心到直线 l 的距离： 直线与圆的位置关系?
| Aa Bb C | d 2 2 A B
1、相离 2、相切 3、相交 d>r d=r d dd
d<r
代数方法： 直线 圆 l：Ax+By+C=0 C：x2+y2+Dx+Ey+F=0 mx2+nx+p=0
仅有一组解（Δ=0） 有两组不同的解（Δ>0）
课前练习
1.当圆x y 2ax 2ay 3a 2a 1 0的
2 2 2
面积最大时，圆在y轴上截的弦长是_____.
解 : 当圆面积最大 , 半径r 最大
4r 2 4a 2 4a 2 4(3a 2 2a 1)
1 tan 3 2 tan 3 k ' tan 2 2 1 tan 4
θ o
直线和圆的位置关系
r r
●
●
O ┐d
O
r
●
O
相交
d ┐ 相切
d ┐ 相离
1)直线和圆相交 2) 直线和圆相切 3) 直线和圆相离
d < r; d = r; d > r;
直线与圆的位置关系量化
你能根据d与r的大小关系确定直线与圆的位置关系吗?
过圆心作直线的垂线段
有d=r, （2）当r=2.4cm时, 因此⊙C和AB相切。
D
d
（3）当r=3cm时， 有d<r， 因此，⊙C和AB相交。
D
d
方程 几何综合练习题
设⊙O的圆心O到直线的距离为d,半径为r,d.r是 方程(m+9)x2－ (m+6) x +1=0的两根,且直线与⊙O相切 时,求m的值? 析:直线与⊙O相切 解: ∵ 直线与⊙O相切 ∴ d=r ∴ b2－4ac= [-(m+6)]2－4(m+9)=0 d=r 解得 m1= -8 m2= 0 当m=-8时原方程 为x2+ 2x+1=0 x1=x2= -1 (不符合题意舍去) 当m=0时原方程 为9x2- 6x+1=0 1 x1=x2= 3 ∴ m=0 b2－4ac=0
③当r满足
60 r= 13 60 r﹥ 13
时， 直线ＡＢ与⊙Ｃ相离。
CD=
时，直线ＡＢ与⊙Ｃ相切。
时，直线ＡＢ与⊙Ｃ相交。
60 cm 13
B
13
④当r满足 时, 线段ＡＢ与⊙Ｃ只有一个公共点。
60 r= 或5﹤r≤12 13
12 C
D
5
A
圆与直线的位置关系
圆与直线的位置关系圆与直线是几何中常见的两种图形，它们之间的位置关系有着独特的性质和规律。
本文将详细探讨圆与直线之间的几种常见位置关系，并分析它们的数学特征。
一、切线当直线与圆相切时，我们称这条直线为圆的切线。
切线与圆相交于切点，切点在圆上。
切线的存在条件是直线与圆只有一个交点，且该交点在圆上。
对于给定的圆，与之切线的直线有无数条，它们可以从不同的位置与角度与圆相切。
二、相离当直线和圆没有任何交点时，我们称它们是相离的。
也就是说直线和圆的图形不相交，它们之间存在一定的距离。
三、相交当直线与圆相交于两个不重合的交点时，我们称它们是相交的。
直线与圆相交有三种可能的情况。
1. 直线穿过圆内部的两个交点当直线穿过圆的内部时，直线与圆相交于两个不重合的交点。
这种情况下，直线与圆的位置关系可以用以下公式表达：(x-a)^2 + (y-b)^2 < r^2其中(x, y)是直线上的一点，(a, b)是圆心坐标，r是圆的半径。
2. 直线与圆相切于两个交点当直线与圆相切时，直线与圆只有一个交点。
这种情况下，直线与圆的位置关系可以用以下公式表达：(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^23. 直线穿过圆外部的两个交点当直线穿过圆的外部时，直线与圆相交于两个不重合的交点。
这种情况下，直线与圆的位置关系可以用以下公式表达：(x-a)^2 + (y-b)^2 > r^2四、相切当直线与圆相切时，直线与圆只有一个交点。
这个交点在圆上，直线与圆的位置关系可以用以下公式表达：(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2这种情况下，切点的坐标可通过求解直线方程和圆方程得到。
综上所述，圆与直线之间的位置关系有四种情况，分别是切线、相离、相交和相切。
在解决相关几何问题时，根据具体问题的要求，可以利用相关的数学公式来求解。
掌握圆与直线的位置关系，有助于我们更好地理解几何形状的性质和规律，并能够应用到实际问题的解决中。
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直线与圆的位置关系
一、选择题
1.若直线x ＋y ＝0与圆x 2＋(y －a )2＝1相切，则实数a 的值为( )
A.1
B.±1
C. 2
D.±2
2.若点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝R 2外，则直线x 0x ＋y 0y ＝R 2与圆的位置关系是( )
A.相切
B.相交
C.相离
D.不确定
3.若过点A (4,0)的直线l 与圆C ：(x －2)2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为( )
A.(－3，3)
B.[－3，3]
C.⎝⎛⎭⎫－33，33
D.⎣⎡⎦
⎤－33，33 4.若直线y ＝kx 与圆(x －2)2＋y 2＝1的两个交点关于直线2x ＋y ＋b ＝0对称，则实数k ，b 的值分别为( )
A.12
，－4 B.－12，4 C.12，4 D.－12
，－4 5.若3a 2＋3b 2－4c 2＝0，则直线ax ＋by ＋c ＝0被圆x 2＋y 2＝1所截得的弦长为( ) A.23 B.1 C.12 D.34
二、填空题
6.直线3x ＋4y ＋12＝0与圆(x －1)2＋(y ＋1)2＝9的位置关系是________.
7.过点P (－2,2)且与圆C ：x 2＋y 2＝8相切的直线方程是________.
8.过点(－1，－2)的直线l 被圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0截得的弦长为2，则直线l 的斜率为________.
9.若圆(x －3)2＋(y ＋5)2＝r 2上有且只有两个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于1，则半径r 的取值范围是________.
10.若曲线y ＝1＋4－x 2与直线y ＝k (x －2)＋4有两个交点，则实数k 的取值范围是________.
三、解答题
11.已知圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0.
(1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；
(2)当直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，且AB ＝22时，求直线l 的方程.
训练13 直线与圆的位置关系
一、选择题
1.若直线x ＋y ＝0与圆x 2＋(y －a )2＝1相切，则实数a 的值为( )
A.1
B.±1
C. 2
D.±2
答案 D
解析 由题意知，|a |
2＝1，即|a |＝2，∴a ＝± 2.
2.若点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝R 2外，则直线x 0x ＋y 0y ＝R 2与圆的位置关系是( )
A.相切
B.相交
C.相离
D.不确定
答案 B
解析 因为点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝R 2外，
所以x 20＋y 20＞R 2，
圆心到直线x 0x ＋y 0y ＝R 2的距离为|R 2|x 20＋y 20＜
R 2
R ＝R ，
所以直线与圆相交，故选B.
3.若过点A (4,0)的直线l 与圆C ：(x －2)2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为(
) A.(－3，3) B.[－3，3]
C.⎝⎛⎭⎫－33，33
D.⎣⎡⎦⎤－33，3
3
答案 D
解析 方法一 如图，AB 为圆的切线，BC ＝1，AC ＝2，
∴∠BAC ＝30°， ∴－33≤k ≤3
3.
方法二 设直线l 的方程为y ＝k (x －4)， 则由题意知，|2k －0－4k |1＋k 2≤1，
∴－3
3≤k ≤3
3.
方法三 过A (4,0)的直线l 可设为x ＝my ＋4，
代入(x －2)2＋y 2＝1中，得
(m 2＋1)y 2＋4my ＋3＝0，
由Δ＝16m 2－12(m 2＋1)＝4m 2－12≥0，得
m ≤－3或m ≥ 3.
∴l 的斜率k ＝1m ∈⎣⎡⎭⎫－33，0∪⎝
⎛⎦⎤0，33， 特别地，当k ＝0时，显然有公共点，
∴k ∈⎣⎡⎦
⎤－33，33. 4.若直线y ＝kx 与圆(x －2)2＋y 2＝1的两个交点关于直线2x ＋y ＋b ＝0对称，则实数k ，b 的值分别为( )
A.12
，－4 B.－12，4 C.12
，4 D.－12
，－4 答案 A
解析 由题意可知，2x ＋y ＋b ＝0过圆心(2,0)，
所以b ＝－4.
又因为直线y ＝kx 与圆的两个交点关于直线2x ＋y ＋b ＝0对称，
所以y ＝kx 与2x ＋y ＋b ＝0互相垂直，
故k ＝12
. 5.若3a 2＋3b 2－4c 2＝0，则直线ax ＋by ＋c ＝0被圆x 2＋y 2＝1所截得的弦长为( )
A.23
B.1
C.12
D.34
答案 B
解析 ∵3a 2＋3b 2－4c 2＝0，
∴a 2＋b 2＝43
c 2， 则圆x 2＋y 2＝1的圆心到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离
d ＝
|c |a 2＋b 2＝32. 则直线ax ＋by ＋c ＝0被圆x 2＋y 2＝1所截得的弦长
l ＝2r 2－d 2＝1.故选B.
二、填空题
6.直线3x ＋4y ＋12＝0与圆(x －1)2＋(y ＋1)2＝9的位置关系是________.
答案 相交
解析 ∵圆心(1，－1)到直线的距离d ＝|3－4＋12|32＋42
＝115＜3＝r ，∴直线与圆相交. 7.过点P (－2,2)且与圆C ：x 2＋y 2＝8相切的直线方程是________.
答案 x －y ＋4＝0
解析 方法一 ∵点P (－2,2)在圆x 2＋y 2＝8上，
∴直接代入圆上一点的切线方程得－2x ＋2y ＝8，
即x －y ＋4＝0.
方法二 ∵圆心为C (0,0)，∴k CP ＝
2－2
＝－1， ∴所求直线的斜率为k ＝1.
∴所求切线方程是y －2＝x ＋2，
即x －y ＋4＝0.
8.过点(－1，－2)的直线l 被圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0截得的弦长为2，则直线l 的斜率为________.
答案 1或177
解析 圆心C (1,1)，半径r ＝1，弦长为 2.
∴C 到l 的距离d ＝12－⎝⎛⎭⎫222＝22. 设l ：y ＋2＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k －2＝0. 则|k －1＋k －2|1＋k 2＝22. 解得k ＝1或177
. 9.若圆(x －3)2＋(y ＋5)2＝r 2上有且只有两个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于1，则半径r 的取值范围是________.
答案 (4,6)
解析 圆心到直线4x －3y －2＝0的距离为|3×4－3×(－5)－2|42＋(－3)2
＝5， 若圆(x －3)2＋(y ＋5)2＝r 2上有且只有两个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于1，则d －1<r <d ＋1，
即半径r 的取值范围是(4,6).
10.若曲线y ＝1＋4－x 2与直线y ＝k (x －2)＋4有两个交点，则实数k 的取值范围是________.
答案 ⎝⎛⎦⎤512，34
解析 首先明确曲线y ＝1＋4－x 2表示半圆，直线y ＝k (x －2)＋4过定点(2,4)，
易求得k PB ＝512，k P A ＝34
， 由数形结合可得512＜k ≤34
. 三、解答题
11.已知圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0.
(1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；
(2)当直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，且AB ＝22时，求直线l 的方程. 解 将圆C 的方程x 2＋y 2－8y ＋12＝0配方，
得标准方程为x 2＋(y －4)2＝4，
则此圆的圆心为(0,4)，半径为2.
(1)若直线l 与圆C 相切， 则有|4＋2a |a 2＋1
＝2，解得a ＝－34. (2)圆心C 到直线l 的距离d ＝
|4＋2a |a 2＋1， 则有d 2＋⎝⎛⎭⎫AB 22＝r 2，
即⎝ ⎛⎭
⎪⎫|4＋2a |a 2＋12＋2＝4， 解得a ＝－7或a ＝－1.
故所求直线方程为7x －y ＋14＝0或x －y ＋2＝0.。