14-3 磁高斯定理 安培环路定理

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高斯定理和环路定理

高斯定理和环路定理

高斯定理和环路定理高斯定理和环路定理是电磁学中两个重要的基本定律。

它们描述了电场和磁场的分布和变化规律,是理解电磁现象的基础。

本文将对高斯定理和环路定理进行详细介绍。

一、高斯定理高斯定理又称为高斯电场定理,它是描述电场分布的基本原理之一。

高斯定理表明,电场通过一个闭合曲面的通量等于该曲面内部电荷的代数和与真空介电常数的乘积。

具体来说,如果一个闭合曲面内部有正电荷和负电荷,那么通过这个曲面的电场通量将等于正电荷和负电荷的代数和除以真空介电常数。

高斯定理的数学表达式为:∮E·dA = Q/ε0其中,∮E·dA表示曲面上的电场通量,Q表示曲面内部的电荷总量,ε0为真空介电常数。

高斯定理的应用非常广泛。

例如,在计算电场分布时,可以通过选择适当的高斯曲面来简化计算。

通过高斯定理,可以快速得到电场在各个位置的大小和方向。

高斯定理也被用于推导其他电场分布的公式,如电偶极子和球壳电场的公式。

二、环路定理环路定理又称为安培环路定理,它是描述磁场分布的基本原理之一。

环路定理表明,磁场沿着一个闭合回路的线积分等于该回路内部电流的代数和乘以真空磁导率。

具体来说,如果一个闭合回路内部有电流通过,那么沿着这个回路的磁场线积分将等于电流的代数和除以真空磁导率。

环路定理的数学表达式为:∮B·dl = μ0I其中,∮B·dl表示回路上的磁场线积分,μ0为真空磁导率,I表示回路内部的电流。

环路定理的应用也非常广泛。

例如,在计算磁场分布时,可以通过选择适当的环路来简化计算。

通过环路定理,可以快速得到磁场在各个位置的大小和方向。

环路定理也被用于推导其他磁场分布的公式,如长直导线和环形线圈的磁场公式。

三、高斯定理与环路定理的关系高斯定理和环路定理是电磁学中两个基本定理,它们描述了电场和磁场的分布与变化规律。

虽然它们描述的是不同的物理量,但在某些情况下,它们是相互关联的。

例如,在静电场中,高斯定理可以推导出库仑定律,即电荷间的相互作用力与它们之间的距离成反比。

磁场的高斯定理和安培环路定理

磁场的高斯定理和安培环路定理
L
解:
Bp
发生变化. 发生变化.
I2 I1

L
B dl 不发生变化 P
L
例如: 例如: I1 >0 L I2<0 I1 I2 I3 L I L
I3

L
B dl = o ( I1 I 2 )

L
B dl = o ( I1 + I 3 )
∫ B dl
l
= 4 0 I
二,安培环路定理
∑Ii
i =0
§8-4
稳恒磁场的高斯定理与 安培环路定理
一,稳恒磁场的高斯定理
由磁感应线的闭合性可知, 对任意闭合曲面, 由磁感应线的闭合性可知 , 对任意闭合曲面 , 穿入的磁感应线条数与穿出的磁感应线条数相同, 穿入的磁感应线条数与穿出的磁感应线条数相同 , 因此,通过任何闭合曲面的磁通量为零. 因此,通过任何闭合曲面的磁通量为零.
Φ = BS 2 = (6i + 3 j + 1.5k ) (0.15) i = 0.135Wb ( 2) z Φ = ∫∫ B dS = 0
S
O l
x
l
l
一长直导线通有电流I 距其d 例,一长直导线通有电流I,距其d处有 一长为a 宽为b的长方形, 一长为a,宽为b的长方形,求通过这个 长方形的磁通量. 长方形的磁通量.
n
闭合回路所包围的所有电流 的代数和. 的代数和. 所取的闭合路径上各点的磁 感强度值, 感强度值,是由闭合路径内 外所有的电流产生的. 外所有的电流产生的.即是 由空间所有的电流产生的. 由空间所有的电流产生的.
B
二,安培环路定理
定理的物理意义 由安培环路定理可以看出, 由安培环路定理可以看出,由于 磁场中的磁感强度的环流一般不 为零,所以磁场是非保守场 非保守场. 为零,所以磁场是非保守场.

磁介质中的高斯定理和安培环路定理.

磁介质中的高斯定理和安培环路定理.


B 0(H M ) 0(H mH) 0(1 m)H
在各B向0H同r0H性r H介质r中H10B.rH为m磁相关导对系 率磁:B导 率。0D r电H介0质rHE中

E
在真空 中 r 1, B0 0H
3.明确几点:
①. H 是 一辅助物理量,描述磁场的基本物理量仍然
是 B。H是 为消除磁化电流的影响而引入的,
B 和H 的名字张冠李戴了。
4



②. H 既与磁感应强度B 有关,又与磁化强度M 有
关,所以H 又是混合物理量。
③.磁场强度 的单 位与磁化强度相同,安培/米,A/m
④.若 H dl 0不一定环路内无电流。
或由 I s (r 1)I c
求 Is;
9
例1:长直螺线管半径为 R ,通有电流 I,线圈密度 为 n , 管内插有半径为 r ,相对磁导率为 r 磁介质, 求介质内和管内真空部分的磁感应强度 B 。
解: 由螺线管的磁场分布 可知,管内的场各处均匀
R
r
a Bb
一致,管外的场为0;
H
1.介质内
10

H dl H dl 0
bc
da
因为 cd 段处在真空中,真
a
B ab H b
空中的 M = 0;B = 0 ,
有 H dl 0
d
c d
Ic
cd H dl

H dl
Hdl cos H dl H ab I c
§12.2 磁介质中的高斯定理和安培环路定理
1
一、磁介质中的高斯定理
磁介质放在磁场中,磁介质受到磁场的作用要产

3 磁场的高斯定理 安培环路定理

3 磁场的高斯定理  安培环路定理
在管内作半径为 r 的环路
B dl
L
o
r
Bdl
L
B dl B2r L
0 NI
B2r 0 NI
0 NI B 2r
当 r >> ( R2 – R1) 时
N n 2r
为沿轴向线圈密度;
o R1 rR
2
B 0nI与直螺管的公式一致。
例3:圆柱形载流导体半径为 R ,通有电流为 I ,电流在导 体横载面上均匀分布,求圆柱 体内、外的磁感应强度的分布。 解:圆柱形载流导体内外磁场 的磁力线为以轴线为圆心、圆 周平面与轴线垂直的圆,磁力 线上各点的磁感强度相等。 1.圆柱体内部区域作一半径为r、 以轴线为圆心、圆周平面与轴 线垂直的圆作为环路,有: B dl Bdl B 2r
3 磁场中的高斯定理 安培环路定理
1 磁场的高斯定理
为了形象地描述磁场中磁感应 强度的分布,引入磁力线。 磁力线的特点: 1.闭合曲线 2.与电流相互套连 3.方向与电流的方向服从右手螺旋关系 磁通量: m B d S
s
m B d S
s
磁场中的高斯定理
直线电流的磁力线分布
B
dl
L2 L1
Brd Brd
L1 L2
I
d1 B0 I 来自 d1 d 2 2
0
dl
利用安培环路定理可计算具有高度对称性 的磁场的磁感强度。 环路选取原则 (1)要求环路上各点 B 大小相等,B 的方向与环 路方向一致;或者让环路方向与 B 的方向垂直。 (2)环路要经过所研究的场点。
I2
I1
I3
例:

磁场的高斯定理和安培环路定理

磁场的高斯定理和安培环路定理

. . . . . . . . ..
第4节
. . . .. . .. B . ∮H ·dl = 2rH = NI . . . . . H = NI/2r, r . . . . R 1 . . B = o NI/2r . . R 2 . . .. . 环管截面 r R, . .. . . ... B o NI/2R = o n I 解:1、环管内:
第八章
I
R
r B
R
r
第4节
第八章
直线电流的磁力线
I
I B
第4节
例8-5 求通电螺绕环的磁场分布。设环管 的轴线半径为 R,环上均匀密绕 N 匝线圈, 线圈中通有电流 I,管内磁导率为 o 。
第八章
I
I
. . . . . . ..
. . . .. . .. . . R1 R2
..
. . . ...
第八章
第4节
第八章
通电螺线管的模型
I
第4节
思考题: 如果通电螺线管的磁力线如下所示,图 中环路积分 ∮H ·dl = ?
第八章
I
L
I
二、磁场的安培环路定理 1、真空中 根据闭合电流产生的磁场公式,即安 培 — 拉普拉氏定律,可证明真空中磁场 B 沿闭合回路 L 的积分,即环流为: ∮L B ·dl =μoΣI 此式称为真空中磁场的安培环流定理,式 中ΣI 是闭合回路 L 所包围的所有闭合电流 I 的代数和。 物理意义:磁场 B 是有旋场,非保守场
第八章
I
R
o dS
B
Io
r
第4节
2、r>R ∮H ·dl =∮H dl = 2rH ΣIo = I H = I /2r ,B = oI /2r 上式表明,从导线外部看, 磁场分布与全部电流 I 集中 在轴线上相同。 μ I B H 2 πR I μ 0I 2 R π 2 πR 0 r 0

磁场的高斯定理和 安培环路定理.ppt

磁场的高斯定理和 安培环路定理.ppt

B d S B d S
S1
磁通量仅由 的共同边界线所决定

S2
能否找到一个矢量A,它沿L作 线积分等于通过S的通量?

A dl B dS (a)
L
S
数学上可以证明,这样的矢量A的确存在,对
于磁感应强度B,A叫做磁矢势,A在空间的
分布也构成矢量场,简称矢势。
2π R
oR r

解 0 r R, B d l 0 l r R, l B d l 0I
B0 B 0I
2π r
§3 §4 磁场的高斯定理和安培环路定理
第二章 恒磁场
例5 无限长圆柱电缆的磁场(两空心圆筒)

解 0 r R1, B d l 0 B 0
第二章 恒磁场
例3 无限长载流圆柱体的磁场
I
解 1)对称性分析 2) 选取回路
RR
rR
Bdl l
0I
L
2π rB 0I
B 0I
2π r
r B
0 r R
l
B
d
l

0
π π
r2 R2
I
2π rB 0r2 I
R2
B

0Ir
2π R2

I . dB
ABLCDLA
B dl
AB B dl,
BLC
B dl

CD
DLA
B dl, B dl

B dl
AB

CD
BLC

CLB
DLA

L
B dl B dl 0,即 B dl B dl

磁场的高斯定理和安培环路定律

磁场的高斯定理和安培环路定律

0I
是否成立???
设任意回路L在垂直于导线的平面内,与电流
成右手螺旋。
l B dl Bdl cos
0I
2πr
dlc
os
d
B
I
dl
r
0I
2πr
rd
0I

d
l
B dl
l
0I
dl cos rd
闭合回路不环绕电流时
B1
0I
2 π r1
B2
0I
2 π r2
B1
B2
d
I
dl1
r1
dl2
I
I
解:取垂直纸面向里为法
B
线方向,以导线1所在位
置为坐标原点,建立如图 所示的坐标轴。
x
l
取细长条面元,面元内为
均匀磁场
a aa
B
0I 2x
2
0I
3a
x
o
x
窄条形面元的元磁通为
dm B dS BdS Bldx I
通过矩形面积内的磁通量
m
dm
2a
Bldx
a1
2a
a
0I 2x
2
0I
o
B 0I
2π x
B // S
x
方向垂直于纸面向里
dΦ BdS 0I ldx I
2π x
B
Φ
S
B dS
0Il

d2
d1
dx x
l
Φ 0Il ln d2
2π d1
d1 d2
o
x
例2 两平行的无限长直导线通有电流 I , 相距3a,
矩形线框宽为a,高为l与直导线共面,求通过线框的

磁场的高斯定理和安培环路定理.

磁场的高斯定理和安培环路定理.

第二4节 、磁场的安培环路定理
第八章
1、真空中
根据闭合电流产生的磁场公式,即安
培 — 拉普拉氏定律,可证明真空中磁场 B
沿闭合回路 L
∮L B ·dl =μoΣI 此式称为真空中磁场的安培环流定理,式
中ΣI 是闭合回路 L 所包围的所有闭合电流
I 的代数和。
物理意义:磁场 B 是有旋场,非保守场
第4节
第八章
电流正负符号按右手螺旋定则:
电流方向与 L 的绕行方向符合右手螺
旋关系时,此电流为正,否则为负。
举例说明:
+I I
+ I1 + I2
- I3
L
第24、节 有磁介质
第八章
∮L B ·dl =μoΣI = μoΣIo +μoΣI’
式中ΣIo 和ΣI’ 分别是穿过安培环路 L 的自 由电流和束缚电流的总和。
其中 n = N/2R 为螺绕环单位长度的匝数。
2、环管外:ΣIo = 0,H// = 0,B// = 0 此式说明密绕螺绕环外部无磁场。
第特4节 例:当
R


第八章
时,即为无限长螺线管。
因此,长直螺线管内磁感应强度公式为:
B = o n I 此式表明,理想长直螺线管内部的磁感应强
注意:螺绕环和螺线管的外部磁场为零的结 论是在假定它们由许多不相连的圆环密集排 列组成的模型下得出的。实际上圆环以螺旋 线形式相连形成螺绕环和螺线管,沿螺绕环 和螺线管有一电流分量通过,即等效一圆电 流和长直载流导线,因此它们的外部磁场不 为零。但相比内部磁场而言,则相对很小。
2π R
μ 0I
2π R
第八章
I R
r

磁场的高斯定理和安培环路定理

磁场的高斯定理和安培环路定理
磁场是无源场 磁场是 无源场 比较 静电场 稳恒 磁场 磁感应线闭合成环,无头无尾 不存在磁单极。 磁感应线闭合成环,或两端伸向 不存在磁单极(?) 高斯定理 环路定理

3. 磁场的高斯定理
1 E dS
S
0
q
有源场 无源场
E dl 0
L
保守场
B dS 0
三.安培环路定理的应用
—— 求解具有某些对称性的磁场分布
LB dl 0 I i
( 穿过L )
适用条件:稳恒电流的磁场 求解条件:电流分布(磁场分布)具有某些对称性,
以便可以找到恰当的安培环路L,使 LB dl 能积
出,从而方便地求解 B 。
[例一] 无限长均匀载流圆柱体 I , R 内外磁场.
无限长直螺线管内为均匀磁场
思考: 如果要计管外磁场(非线密绕)对以上结果有无影响?
I

n
B内 0nI


B
I //

0 //
I B 2r
练习: 半径 R 无限长均匀带电圆筒绕轴线匀速旋转
.R. 求: 内部 B ?
已知:
解:


R
等效于长直螺线管 B 0 nI 单位长度上电流 nI ?
I
i
I1 I 2 I 3
(穿过L )
I
i
注意:
LB dl 0 I i
( 穿过L )
B 的环流:只与穿过环路的电流代数和有关 穿过 L 的电流:对 B 和 B dl 均有贡献
L
B : 与空间所有电流有关
不穿过 L 的电流:对 L 上各点 B有贡献; 对 LB dl 无贡献

磁场中的高斯定理及安培环路定理

磁场中的高斯定理及安培环路定理

0
l
l
μI
Ñl 2π0R dl
R
l
v B
r
μI 0
2πR=μ
I
2πR
0
若l 绕行方向与图示方向相反,则
B 0I 2R
dl
v
Ñ B
v dl
Ñ Bdl
cos
π=μ 0
(
I
)
Ñ l
l
赋予电流代数含义,则
v B
dlv=μ
I
0
l
2. 无限长直电流通过垂直平面内的任一回路
r
Ñ B
r dl
Ñ B
cosθdl
若 R1、R2 R2 R1
n N N
2 R1 2 r

B
μ 0
nI
B 0 NI 2 r
I
R2
R1
例题3 :
设在无限大导体薄板中有均匀电流沿平面流动, 在垂直于电流方向的单位长度上流过的电流为i (电流密度)。求此电流产生的磁场。
a
b
B
eeeeeeeeeeeee
d
c
讨论
关于安培环路定理的应用
BdS
0 I
adx
d x
2 x
通过矩形线圈的磁通量为:
dx
d
d b
0I adx
0Ia ln d b
d 2 x
2 d
15.4 安培环路定理
rv
一. 引言:稳恒磁场的环流 Ñl B dl ?
二. 定理推导
1. 无限长直电流通过圆形回路圆心且垂直于该回路
I
v
Ñ B
v dl
Ñ Bdl
cos
当电流分布以至于磁场分布具有高度对称性时, 可以应用安培环路定理计算磁感应强度的分布。

物理-磁场的高斯定理和安培环路定理

物理-磁场的高斯定理和安培环路定理

(1)环路要经过所研究的场点。
(2)环路的长度便于计算;
(3)环路上各点 B 大小相等,B 的方向与环路方向 一致,或 B的方向与环路方向垂直。
五、安培环路定理的应用
例1 无限长均匀载流圆柱体的磁场
解: 对称性分析:磁感应线为同心圆环状
任取一半径为r 的磁感应线为积分回路
L
LB d l LB d l BLd l 2 π rB
的法线 n 的夹角为 ,今以圆周为边界,作一个半
球面 S,S 与圆形平面组成封闭面如图,求通过S 面
的磁通量 。
例4
r2B cos
三、磁场的高斯定理
随堂练习2:
在匀强磁场 B 中,取一半径为 R 的圆,圆面
的法线 n 与 B 成 60°角,如图所示,则通过以该圆
周为边线的如图所示任意曲面S的磁通量。
磁场集中在螺绕环内,
磁感应线为同心圆环状。
任取一半径为r 的磁感线为
积分回路L

R 1
<
r
<
R2

B dl L
2πrB
μ0 NI
结果:
B外 0
R2
R1
r
五、安培环路定理的应用
例3 载流螺绕环内的磁场
( R1 < r < R2 )
非均匀磁场,磁感应线内疏外密。
讨论
如果螺绕环截面积很小,则:
B
0 NI 2r
一、磁感应性
直电流的磁感应线
圆形电流的磁感应线
一、磁感应性
直螺线管电流的磁感线
环形螺线管电流的磁感线
磁 (1)磁感应线为闭合曲线或两头伸向无穷远;
力 线
(2)任意两条磁感应线不相交;

磁介质中的高斯定理和安培环路定理

磁介质中的高斯定理和安培环路定理

r R1
H1
2rH1
I
2R12
I
R12
r
r 2
B1
r10 I 2R12
r
同理 R1 r R1
I
H2 2r
B2
r 2 0 I 2r
R2 r H3 0 B3 0
I
R1 R2
I
H
r
R1
R2
9
B 0r H H
0
r
为磁导率
B 0r H H
在各向同性介质中
B.H
关系:B
• 定义:H磁场 强B度
0r
电介质中
D
0
r
E
E
0r H H
在真空中 r 1, B0 0H
3.应用介质中安培环路定理解题方法
1.场对称性分析; 2.选取环路;
3.求环路 内传导电流的代数和 Ic;
4.由 H dl Ic 求 H; 由 B 0r H
磁介质的分类
顺磁介质: B
B0, r
1
抗磁介质: B B0,0 r 1
是真空中的r倍。
铁磁介质: B B0, r 1
2
二、介质中的高斯定理
磁介质放在磁场中,磁介质受到磁场的作用产生
附任加一磁点场的。总磁强为:B
B0
B'
量为磁零力。线无头B无dS尾。0穿过任何一个闭合曲面的磁通 s 二、磁介质中的安培环路定理
有 H dl 0
d
c d
Ic
cd H dl
H dl
Hdl cos H dl H ab I c
ab
ab
ab
H ab Ic nabI, H nI
B 0r H 0rnI

磁场高斯定理 安培环路定理

磁场高斯定理 安培环路定理
l
Amperian loop
µ0 NI ∴B = 2πr
磁场不均匀
B
µ0 NI B= 2π r
o
R1
R2
r
o
R1
R2
r
若 R1、R2 >> R2 − R1 N n= 2π R1
则:
B = µ0nI
当 2R >> d 时,螺绕环内可视为均匀场 。
已知: 例题 已知:I 、R,电流沿轴向在截面上均匀分 , 无限长”载流圆柱导体内外磁场的分布。 布,求“无限长”载流圆柱导体内外磁场的分布。 解: 首先分析对称性 电流分布——轴对称 电流分布 轴对称 磁场分布——轴对称 磁场分布 轴对称
r<R r>R
I
R
r<R 0 B = µ0 I r>R 2π r
µ0I B 2πR
r
O
R
无限大平板电流的磁场分布。 例题 无限大平板电流的磁场分布。设一无限大导体 薄平板垂直于纸面放置, 薄平板垂直于纸面放置,其上有方向垂直于纸面朝外 的电流通过,面电流密度( 的电流通过,面电流密度(即指通过与电流方向垂直 的单位长度的电流)到处均匀。 的单位长度的电流)到处均匀。大小为 j 。 解:视为无限多平行长 直电流的场。 直电流的场。 分析求场点p的对称性 垂线, 做 po 垂线,取对称的 长直电流元, 长直电流元,其合磁场 方向平行于电流平面。 方向平行于电流平面。
r r (3)要求环路上各点 B大小相等,B的方向与环路方向 要求环路上各点 r大小相等, r 一致,目的是将: B ⋅ dl = µ0 ∑ I 写成 B = µ0 ∑ I 一致,目的是将 ∫L r ∫ dl 的方向与环路方向垂直, 或 B 的方向与环路方向垂直, r r r r B ⊥ dl , cosθ = 0 ∫ B ⋅ dl = 0

高斯定理和安培环路定理

高斯定理和安培环路定理

r R 时在圆柱面内做一圆周
B cos dl B dl B 2r 0
L L
dI ' dI
P
B0
例 无限大平面电流的磁场.有一无限大的导体平面,均匀地 流着自下而上的面电流.设其电流线密度(垂直于电流线的单 位长度上的电流)为a,求距平面为d的任一点的磁感应强度B.
(1)设闭合曲线L在垂直于无限长载流导线的平面内,电流I穿 过L. 设闭合回路 L为圆形回路( L 与 I 成右螺旋)
载流长直导线的磁感强 度为 0I B 2π R 0I l B d l 2 π R d l 0I l B d l 2 π R l d l
l
I
R R
L
r
2 π rB 0 I
0 r R
2 π rB
B
0I
2π r
B
2 π r l B d l 0 π R 2 I
I
.
dI
dB
0r
R
2
2
I
B
0 Ir
2π R
2
B
B 的方向与 I 成右螺旋
0 r R,
B
0 Ir
B dl μ 0 Ii
L

—— 安培环路定律
恒定电流的磁场中,磁感应强度沿一闭合路径 L 的线积分 等于路径 L 包围的电流强度的代数和的 μ 0 倍
安培环路定理

n B dl 0 Ii i 1
一闭合路径的积分的值,等于 0 乘以该闭合路径 所包围的各电流的代数和.
回路绕向化为逆时针时则对任意形状的回路设闭合回路l为圆形回路l与i不成右螺旋安培环路定律恒定电流的磁场中磁感应强度沿一闭合路径l的线积分等于路径l包围的电流强度的代数和的环路上各点的磁场为所有电流的贡献安培环路定理一闭合路径的积分的值等于乘以该闭合路径所包围的各电流的代数和

磁的高斯定理和安培环路定理讲述

磁的高斯定理和安培环路定理讲述
S
3. 磁场的高斯定理(磁通连续原理) (Gauss law of magnetic field )
通过任意闭合曲面的 磁通量恒为零。
B dS 0
S
此式说明磁场是无源场, 磁感应线是闭合曲线,磁 单极即磁荷不存在。
真空中稳恒磁场的安培环路定理
从静电场的电场线是非闭合的,静电场的环流
E dl 0 E 是保守场 →电势
③ 安培环路定律中的 B 是空间总磁感应强
度 ——空间所有电流都对 B 有贡献,但公式右
边只有环路内所包围的 I内 对 环流有贡献。
I1
I2
B dl 0 Ii
L
i
L
I3
P
0 (I1 I2 )
I4
P点的 BP是这四个电流 共同产生的 ,且随电流
分布的变化而变化。
三、环路定律的应用
在静电场中:
B dl 0 Ii
L
i
——磁场为涡旋场 (有旋场)
——磁场为非保守场
证明:
我们以无限长直导线的特例来证明。
I
1. 安培环路包围导线(电流)
且在垂直于导线的平面内
o
L
在L路径上取一线元
d
L d L d cos
0rd
L 2r
(d cos rd)
B
0
2
d 0
I○· d r
dl
若I反向,则 为 钝角,d cos rd
第三节
Gauss theorem and Ampere circuital theorem in magnetic field
磁场的高斯定理 ( Gauss law of magnetic field )
1.磁感应线(magnetic induction line)

磁通量 磁场的高斯定理

磁通量 磁场的高斯定理

B
B
0 I
dl
(5)多电流情况
I1
I2
I3
B B1 B2 B3 B d l 0 ( I 2 I 3 )
l
l
以上结果对任意形状 的闭合电流(伸向无限远 的电流)均成立.
n B dl 0 Ii i 1
安培环路定理
B
0 I
B
dB
I
.
dI
B
B
的方向与 I 成右螺旋
0 r R,
r R,
I
2π R 0 I B 2π r
B
0 Ir
2
0 I
2π R
B
R
o R
r
rR
0 I B 2r
区域:
rR
0 Ir B 2R 2
区域:
I
思考:具有一圆柱形空腔的无限长载流 圆柱,求空腔内的磁场?
B dl B (d l d l// )
L L
(4) 如果闭合曲线不在垂直 于导线的平面内:
B cos 90 dl B cos dl//
L L
I
0 Br d
L
dl
dl
dl


2
0
0 I r d 2 r
结果一样!
I
L 成右螺旋时,
二 安培环路定理的证明 (1)载流长直导线的情况
0 I l B dl 2π Rdl 0 I l B dl 2π R l dl B dl 0 I
l
0 I B 2πR
I
o
B
R

磁高斯定理

磁高斯定理

磁高斯定理磁高斯定理(也称为安培定理)是电磁学中的一条基本定理,描述了磁感应强度的分布与电流产生的磁场之间的关系。

磁高斯定理是由法国物理学家安培在19世纪初期提出的。

磁高斯定理是电磁学中的一个重要定理,类似于电学中的电高斯定理。

它描述了磁感应强度的散度与电流之间的关系,用数学形式表达为:∮B·dA = μ0I其中,∮B·dA表示磁感应强度B的散度在任意闭合曲面S上的面积分,μ0是真空中的磁导率(等于4π×10^-7 N/A^2),I表示通过曲面S的总电流。

根据磁高斯定理,曲面S内部的磁感应强度的散度等于通过曲面S的总电流的代数和除以真空中的磁导率。

例如,如果曲面S内部没有电流通过,则曲面S内的磁感应强度的散度为零,即在曲面S内部磁感应强度保持不变。

磁高斯定理的推导可以类比于电高斯定理。

首先,假设有一个闭合曲面S,磁感应强度B在曲面S上的面积分∮B·dA。

然后,我们将曲面S划分为许多小面元dA,通过每一个小面元dA的磁感应强度B·dA就是通过该小面元的磁通量。

根据磁通量的定义,磁通量可以表示为B·dA的面积分。

因此,整个曲面S上的磁通量就是将所有小面元上的磁通量进行积分。

根据安培环路定理,通过曲面S的总电流可以表示为∮B·dl,其中dl表示曲面S上的线元。

如果曲面S内没有电流通过,则通过曲面S的总电流为零。

因此,根据高斯定理,∮B·dA = μ0I。

这表明曲面S内部的磁感应强度的散度等于通过曲面S的总电流。

磁高斯定理不仅适用于静电场情况下的电流分布,还适用于稳恒磁场情况下的电流分布。

在稳恒磁场中,电流分布是不随时间变化的,因此通过曲面S的总电流可以表示为I。

因此,磁高斯定理可以简化为∮B·dA = μ0I。

磁高斯定理的应用非常广泛。

例如,在电动机中,磁高斯定理可以用来分析电流线圈的磁感应强度分布。

在变压器中,磁高斯定理可以用来计算铁芯中的磁感应强度。

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I 例 如图载流长直导线的电流为 ,试求通过矩形面积 的磁通量。 解: 先求 B ,对变磁场给出 d Φ 后积分求 Φ
B
0 I B 2π x
l
dΦ B dS
B // S
0 I
ld x
I
d1
d2
o
x
2π x 0 Il d2 dx Φ B dS S 2 π d1 x 0 Il d 2 Φ ln 2π d1
B dl B dl 穿过积分回路的电 I B dl 0中,磁感应强度 B 沿任一闭 合路径的积分的值,等于0 乘以该闭合路径所包 围的各电流的代数和。
第章 11章 静电场 第14 稳恒磁场
但安培环路定理表达式 中的电流强度是指穿过闭合 曲线的电流,不包括闭合曲 线以外的电流。
B dl ?
L
(I I )
o
2 上述讨论不是严格证明,只是说明。 3
I 时
i
B dl
L
磁场为有旋场!磁场是非保守场,不能引入势能。 电流是磁场的涡旋中心 4 仅适用稳恒电流产生的磁场
B 0 ( r R)
第章 11章 静电场 第14 稳恒磁场
dI o dI
B
0 I 2 R
r
R
o
11-2 库仑定律 14-3 磁高斯定理 安培环路定理
2 螺绕环电流的磁场 (环内)
l
B dl B R NI

R N
(环外)
l
B dl B R
B0
第章 11章 静电场 第14 稳恒磁场
I
11-2 库仑定律 14-3 磁高斯定理 安培环路定理
3 无限大平面电流的磁场

:电流线密度
ΔI Δl
单位长度的电流强度

I l
dB
对于矩形回路
dB
第章 11章 静电场 第14 稳恒磁场
11-2 库仑定律 14-3 磁高斯定理 安培环路定理
第章 11章 静电场 第14 稳恒磁场
11-2 库仑定律 14-3 磁高斯定理 安培环路定理
用长直电流的磁场来讨论:
I l
L
d
r
dl
B
B
0 I
2π r

e
B dl Bdl cos Brd

L
L
B dl

o I
L
绕向相反或电流反向, B dl I

d
0 I B r12 dl1 B2 dl2 2 π d
l
B1 dl1 B2 dl2 0
B dl
L
第章 11章 静电场 第14 稳恒磁场
11-2 库仑定律 14-3 磁高斯定理 安培环路定理
N次链套:
如空间有多个电流,则:
L L
B dS 0
S
磁感应线是闭合的,因此有多少条磁感应线进入闭合 曲面,就一定有多少条磁感应线穿出该曲面。 说明

磁场是有旋/无散场(非保守场);电场是有源场,保守场 磁极相对出现,不存在磁单极; 单独存在正负电荷
第章 11章 静电场 第14 稳恒磁场
11-2 库仑定律 14-3 磁高斯定理 安培环路定理
11-2 库仑定律 14-3 磁高斯定理 安培环路定理
14.3.1 磁通量
1 磁感应线

用来形象描述磁场分布的曲线。
磁感应线上任一点切线的方向——B的方向。
B的大小可用磁感应线的疏密程度表示。
磁感应线密度:在与磁感应线垂直的单位面积
上的穿过的磁感应线的数目。
第章 11章 静电场 第14 稳恒磁场
根据毕萨定律,电流元的磁场以其为轴对称分布,电流 元平面内磁感线是头尾相接的闭合同心圆。穿入或穿出 闭合曲面的磁感应线的净条数必等于零,任意闭合曲面 的都为零。
第章 11章 静电场 第14 稳恒磁场
11-2 库仑定律 14-3 磁高斯定理 安培环路定理
14.3.2 磁高斯定理 通过任意闭合曲面的磁通量必等于零。
第章 11章 静电场 第14 稳恒磁场
11-2 库仑定律 14-3 磁高斯定理 安培环路定理
14.3.4 安培环路定理的应用 1 无限长圆柱面电流的磁场 对称性分析结论:
磁场沿回路切线,各点大小相等
I
R
dB
r
dB
P
Bd dll B 2πr 0 I B
L l
0 I B (r R) 2 r
第章 11章 静电场 第14 稳恒磁场
11-2 库仑定律 14-3 磁高斯定理 安培环路定理
14.3.3 安培环路定理 静电场:
E dl 0 B dl ??
无旋场
稳恒磁场:
??? 有旋场
若任选一根磁力线为闭合回路
B dl B dl 0
11-2 库仑定律 14-3 磁高斯定理 安培环路定理
2 磁通量计算
通过小面元磁通量
B
dS

d B cos d S B d S m B
s
Φm dΦm B cos dS
s s
B dS
s
在国际单位制中,磁通量的单位是Tm2,也 称为Wb (韦伯)。 1Wb=1T· m2
L 0
2πr
rd 0 I
第章 11章 静电场 第14 稳恒磁场
11-2 库仑定律 14-3 磁高斯定理 安培环路定理
电流在回路之外
d
B1
I
r1
B2 dl 2 dl1
B1 dl1 B2 dl2
0 I 0 I B1 , B2 2 π r1 2 π r2 0 I
第章 11章 静电场 第14 稳恒磁场
11-2 库仑定律 14-3 磁高斯定理 安培环路定理
闭合面说明
•规定n的方向垂直于曲面向外
磁感应线从曲面内穿出时,磁通量为正(θ<π/2, cosθ>0) 磁感应线从曲面出穿入时,磁通量为负(θ>π/2, cosθ<0) •穿过曲面通量可直观地理解为穿过该面的磁感应线条数
11-2 库仑定律 14-3 磁高斯定理 安培环路定理
讨论
1 电流方向与L的环绕方向服从右手关系的 I 为正,否则为负。
所有电流的 总磁场 指定回路
B d l I o i
L i
穿过回路的电流
B由所有电流共同产生
I1
I3
第章 11章 静电场 第14 稳恒磁场
I2
11-2 库仑定律 14-3 磁高斯定理 安培环路定理
d
B
c
l2
B dl B dl B dl
l l l
a
B l1
b
l


2Bl1 0 l1 B 0 2
第章 11章 静电场 第14 稳恒磁场
11-2 库仑定律 14-3 磁高斯定理 安培环路定理
π r π a 解 l B dl B2πr 0 πb2 πa 2 I 2 2 0 I r a B ( a r b) 2 2 2π(b a ) r 0 I B 2 π r I 当 a 0时, B r 0 2 2πb 0 I 当 r b时,B 2 πr
2 2
第章 11章 静电场 第14 稳恒磁场
例 空心柱形导体的内、外半径分别为a和b,导体内载 有电流I,设电流I均匀分布在导体横街面上。求导体内 部各点 (a r b) 的磁感应强度大小,并试讨论 a 0 和 r b 时的情况。
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