福建厦门湖滨中学2017-2018年高二下文科期中考试数学试卷-扫描版-无答案
福建省厦门市湖滨中学2017-2018学年高二下学期期中考试英语试题Word版附参考答案
厦门市湖滨中学2017-2018学年第二学期期中考高二英语试题本试卷分第I卷和第II卷两部分，满分150分，时间120分钟I卷（共100分）第一部分听力（共两节，满分30分）做题时,先将答案标在试卷上。
录音内容结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。
第一节听下面5段对话。
每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
听完每段对话后，你都有10秒钟时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
1. What does the man want to do?A. To write a check.B. To read the newspaper.C. To cook dinner.2. When will the film probably start?A. At 12:45.B. At 12:00.C. At 12:15.3. How did the man hear about the accident?A. In the newspaper.B. From Mary.C. On the television.4. What can we learn from the conversation?A. The man is free on Tuesday evening.B. The woman is busy on Tuesday evening.C. The man is free on Wednesday afternoon.5. What is the man dissatisfied with about the hotel?A. The noisy environment.B. The dirty room.C. The awful dinner.第二节听下面5段对话或独白，每段对话或独白后有几个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
福建省厦门第二中学2017-2018学年高二下学期期中考试数学试题含答案
参考答案1．D 【解析】复数()()11111111222i i z i i i i --====-++-.，对应的点为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭第四象限.故选D.2．C 【解析】()2'32f x x bx c =++，函数()32f x x bx cx d =+++的单调减区间为()12-，， ()2'320f x x bx c ∴=++≤的解集是[]12-，，12∴-，是2320x bx c ++=的两个实数根．2121233b c ∴-+=--⨯=，．解得315622b c b c =-=-⇒+=-，． 故选C ．3．B 【解析】因为27.069K = ，对照表格， 7.069 6.635>， ∴认为“喜欢数学与性别有关”犯错误的概率不超过010，故选B. 4．C 【解析】 项，当 时， ，所以 在 上为增函数，故 项错误；项，由 图象可知， 在 处取得极大值，故 项错误；项，当 时， ，所以 在 上为减函数，故 项正确；项， 时， ， 时， ， 在 处取得极小值，故 项错误．综上所述．故选 ．5.B 【解析】因为()()114810123455x m m =++++=+， ()1171235655y =++++=所以将其代入0.65.8ˆ1yx =-可得6m =,应选答案B 。
6．B 【解析】用反证法证明命题时，应假设命题的反面成立，“a ， b 中至少有一个能被3整除”的反面是：“a ， b 中都不能能被3整除”，因此，应假设a ， b 都不能能被3整除．故选B ．7．A 【解析】∵()x x f x e =，∴()1xx f x e ='-， ∴当1x <时， ()()0,f x f x '>单调递增；当1x >时， ()()0,f x f x '<单调递减． ∴()()max 11f x f e==．选A ． 8．C 【解析】①图1，0×3+1=1；②图2,1×3+1=4；③图3,133312=++；④图4,40333132=+++；⑤图5,12133331432=++++；⑥图6,3643333315432=+++++；故选C9．D 【解析】因为()1(0)x f x e x x '=->，令()1=0x f x e x '=-，即1=x e x，在平面直角坐标系画出1,x y e y x==的图象，如图：根据图象可知， ()()()()000,,0,,,0x x f x x x f x '∞'∈∈+，所以 ()0f a '<， ()0f b '>，故选D.10．B 【解析】由已知代数式的求值方法：先换元，再列方程，解方程，求解（舍去负根），可得要求的式子，()0m m =>，则两边平方得，得23m =，即23m m +=，解得m m == B. 11．D 【解析】 设()()h x xf x =，所以()()()h x f x xf x ='+'，因为()y f x =是定义域上的奇函数，所以()h x 是定义在实数集上的偶函数，当0x >时， ()()()0h x f x xf x =+'>'，此时()h x 为单调递增函数，又由11e e <<-，所以()()()111f f ef e ef e e e ⎛⎫<<=-- ⎪⎝⎭， 即a c b <<，故选D. 12．A 【解析】不等式即()ln 1,x x a x <- 设()()ln ,1ln ,g x x x g x x =+'= 则()g x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， ()()10,g g x =的图像如图所示，，由图可知， 0a >且不等式有唯一的整数解2，设()()1,h x a x =- 则()()()22223{ ,,{ ,2ln2ln3.333322g h ln aa g ln a <<∴∴<≤≥≥ 故选A 。
福建省厦门市湖滨中学2018-2019学年高二下学期期中考试数学(理)
厦门市湖滨中学2018---2019学年第二学期期中考高二理科数学试卷一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．在答题卷上相应题目的答题区域内作答． 1．若复数z 满足2z ＋z ＝3－2i ，其中i 为虚数单位，则z ＝( )A ．1＋2iB ．1－2iC ．－1＋2iD ．－1－2i 2．设命题p ：∀x >0，2x>log 2x ，则¬p 为( )A ．∀x >0，2x<log 2x B ．∃x >0，2x≤log 2x C ．∃x >0，2x<log 2x D ． ∃x >0，2x≥log 2x 3.已知t >0，若()022d t x x-⎰，则t =( )A ．1B ．－2C ．－2或4D ．4 4．设曲线x x f cos 1)(+=在点))4(,4(ππf 处的切线与直线01=+-ay x 平行，则实数a 等于（ ） A ．22 B ．22- C ．2 D ．2- 5.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则( )A ．乙可以知道四人的成绩B ．丁可以知道四人的成绩C ．乙、丁可以知道对方的成绩D ．乙、丁可以知道自己的成绩6．若p ：x ＋5x －3≤0，q ∶x 2－5x ＋6＜0，则¬q 是¬p 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件7．某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析，规定：大于或等于120分为优秀， 120分以下为非优秀．统计成绩后，得到如下的2×2列联表．根据列联表的数据判断有多 少的把握认为“成绩与班级有关系”．（ ）参考公式与临界值表：))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=．A ．90%B ．95%C ．99%D ．99.9%8．方程(x ＋y －3)y 2－4x ＝0表示的曲线是( )A ．两条射线B ．抛物线和一条线段C ．抛物线和一条直线D ．抛物线和两条射线 9．已知2＋23＝223， 3＋38＝338， 4＋415＝4415，…， 6＋a b＝6a b(a ，b 均为实数)，则推测a ，b 的值分别是( )A ．a ＝6，b ＝18B ．a ＝6，b ＝25C ．a ＝6，b ＝30D ．a ＝6，b ＝35 10．设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(1－x )f ′(x )的图像如图(9)所示，则下列结论中一定成立的是( )A ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1)B ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1) 图(9）C ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)D ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2)11．已知椭圆C: x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则椭圆C 的离心率为( )A.63 B.33 C.23 D.1312．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx －a 2－7a 在x ＝1处取得极大值10，则a b的值为( )A ．－23B ．－2C ．－2或－23D ．2或－23第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．在答题卷上的相应题目的答题区域内作答．13．已知a ，b ∈R ，(a ＋bi )2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则a 2＋b 2＝____________． 14．函数f (x )＝ln x －x 在区间(0，e]上的最大值为________．15．已知整数对的序列如下：(1，1)，(1，2)，(2，1)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(1，4)， (2，3)，(3，2)，(4，1)，(1，5)，(2，4)，…，按规律，第600个整数对为________． 16．已知⊙O 的方程是x 2＋y 2－2＝0，⊙O ′的方程是x 2＋y 2－8x ＋10＝0.由动点P 向⊙O 和⊙O ′所引的切线长相等，则动点P 的轨迹方程是________．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤，在答题卷上相应题目的答题区域内作答．17．（本小题满分8分）已知椭圆过点M (2，6)，且与椭圆9x 2＋5y 2＝45有相同的焦点,求椭圆的标准方程．18．（本小题满分12分）．已知函数f (x )＝－x 3＋3x 2＋9x ＋a .(1)求f (x )的单调递减区间；(2)若f (x )在区间 [－2,2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．19.（本小题满分12分）设非等腰△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c 且A ，B ，C 成等差数列，用分析法证明：1a －b ＋1c －b ＝3a －b ＋c.20．（本小题满分14分）新能源汽车的春天来了！2018年3月5日上午，李克强总理做政府工作报告时表示，将新能源汽车车辆购置税优惠政策再延长三年，自2018年1月1日至2020年12月31日，对购置的新能源汽车免征车辆购置税．某人计划于2018年5月购买一辆某品牌新能源汽车，他从当地该品牌销售网站了解了近五个月的实际销量如下表：(Ⅰ)经分析，可用线性回归模型拟合当地该品牌新能源汽车实际销量y (万辆)与月份编号t 之间的相关关系．请用最小二乘法求y 关于t 的线性回归方程∧∧∧+=a t b y ，并预测2018年5月份当地该品牌新能源汽车的销量；(Ⅱ)2018年6月12日，中央财政和地方财政将根据新能源汽车的最大续航里程(新能源汽车的最大续航里程是指理论上新能源汽车所装的燃料或电池所能够提供给车跑的最远里程)对购车补贴进行新一轮调整．已知某地拟购买新能源汽车的消费群体十分庞大，某调研机构对其中的200名消费者的购车补贴金额的心理预期值进行了一个抽样调查，得到如下一份频数表：求这200位拟购买新能源汽车的消费者对补贴金额的心理预期值x 的方差s 2及中位数的估计值(同一区间的预期值可用该区间的中点值代替，估计值精确到0.1)；附：①回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：;,1221t b y a tn ty t n yt b ni ini ii ∧∧==∧-=--=∑∑② ∑==518.18i i i y t .21.（本小题满分14分）设点P (x ，y )(y ≥0)为平面直角坐标系xOy 内的一个动点(其中O 为坐标原点)，点P 到定点），（210的距离比点P 到x 轴的距离大12. (Ⅰ)求点P 的轨迹方程；(Ⅱ)若直线l ：y ＝kx ＋1与点P 的轨迹相交于A ，B 两点，且||AB ＝26，求实数k 的值．22.（本小题满分14分）函数xe a ax x xf )()(2++-=（a ＞0，e 是自然常数）.（1）当x ∈[0，1]时，函数)(x f 的最大值是2e，求a 的值； （2）当x ∈（0，1]时，证明：xe x x e x x x )(ln 223->--．厦门市湖滨中学2018---2019学年第二学期期中考高二理科数学试卷参考答案一，选择题：（每小题5分}1-5 BBDDD 6-10 BCDDD 11-12 AA 二．填空题13.5 14.-1 15.（5,31） 16. x ＝32三．.解答题17.（本小题满分8分）解：(法一)由9x 2＋5y 2＝45，得x 25＋y 29＝1，其焦点分别为F 1(0，2)，F 2(0，－2)．设所求椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)．∵点M (2，6)在所求椭圆上，∴|MF 1|＋|MF 2|＝2a ，即2a ＝（2－0）2＋（6－2）2＋（2－0）2＋（6＋2）2＝43，解得a ＝2 3.又∵c ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝8，∴所求椭圆的标准方程是y 212＋x 28＝1.(法二)∵所求椭圆与椭圆x 25＋y 29＝1有相同的焦点，∴可设所求椭圆的标准方程为x 25＋λ＋y 29＋λ＝1(λ>－5)．又∵所求椭圆过点(2，6)，∴45＋λ＋69＋λ＝1，解得λ＝3或λ＝－7(舍去)， ∴所求椭圆的标准方程是x 28＋y 212＝1.18.（本小题满分12分） 解：(1)f ′(x )＝－3x 2＋6x ＋9.令f ′(x )<0，解得x <－1，或x >3，∴函数f (x )的单调递减区间为(－∞，－1)和(3，＋∞)． (2)∵f (－2)＝8＋12－18＋a ＝2＋a ，f (2)＝－8＋12＋18＋a ＝22＋a ，∴f (2)>f (－2)．∵在(－1,3)上f ′(x )>0， ∴f (x )在(－1,2]上单调递增．又由于f (x )在[－2，－ 1]上单调递减，因此f (2)和f (－1)分别是f (x )在区间[－2,2]上的最大值和最小值．于是有22＋a ＝20，解得a ＝－2， ∴f (x )＝－x 3＋3x 2＋9x －2.∴f (－1)＝1＋3－9－2＝－7，即函数f (x )在区间[－2，2]上的最小值为－7.19.（本小题满分12分） 证明：要证明1a －b ＋1c －b ＝3a －b ＋c， 只要证明()()()2a c b a b c b +---＝3a －b ＋c， 只要证明(a ＋c －2b )(a －b ＋c )＝3(a －b )(c －b )， 只要证明(a ＋c －b )2－b (a ＋c －b )＝3(ac ＋b 2－bc －ab )， 只要证明a 2＋c 2－b 2＝ac ，只要证明cos B ＝2222a c b ac+-＝12，只要证明B ＝60°， 考虑到A ＋B ＋C ＝180°，所以只要证明A ＋C ＝2B ，即证A ，B ，C 成等差数列． 因为A ，B ，C 成等差数列，故结论成立．20（本小题满分14分）解：(Ⅰ)由表格数据可知，__t ＝1＋2＋3＋4＋55＝3，__y ＝0.5＋0.6＋1＋1.4＋1.75＝1.04，,2.304.1358.185))((____5151____=⨯⨯-=-=--∑∑==y t y t y y t ti i i i i i,1045555)(2__512512__=-=-=-∑∑==t t t ti i i i∴,32.0102.3)())((512__51____==---=∑∑==∧i ii i it ty y t tb ;____t b y a ∧∧-= ＝1.04－0.32×3＝0.08，∴y 关于t 的线性回归方程为∧y ＝0.32t ＋0.08.根据t 的含义，2018年5月时，t ＝6，代入可得∧y ＝0.32×6＋0.08＝2(万辆)，即2018年5月销量的预测值为2万辆．(Ⅱ)(ⅰ)由表中数据可知各组频率依次为0.1，0.3，0.3，0.15，0.1，0.05，平均值x ＝1.5×0.1＋2.5×0.3＋3.5×0.3＋4.5×0.15＋5.5×0.1＋6.5×0.05＝3.5，∴s 2＝(1.5－3.5)2×0.1＋(2.5－3.5)2×0.3＋(3.5－3.5)2×0.3＋(4.5－3.5)2×0.15＋(5.5－3.5)2×0.1＋(6.5－3.5)2×0.05＝1.7.∵0.1＋0.3＝0.4<0.5，0.4＋0.3＝0.7>0.5，∴中位数在区间[3，4)内．设中位数为m ，有20＋60＋m －34－3×60＝100，解得m ≈3.3，∴中位数m ≈3.3万元．21. （本小题满分14分）解：(Ⅰ)设点P (x ，y )，过点P 作x 轴的垂线且垂足为点N ，则||PN ＝y ，由题意知||PM －||PN ＝12，∴x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫y －122＝y ＋12，化简得x 2＝2y .故点P 的轨迹方程为x 2＝2y .(Ⅱ)由题意设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立直线与点P 的轨迹方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝2y ，消去y ，化简得x 2－2kx －2＝0， ∴x 1＋x 2＝2k ，x 1x 2＝－2.∵||AB ＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝1＋k 2·4k 2＋8＝26，∴k 4＋3k 2－4＝0，(11分)又k 2≥0，∴k 2＝1，解得k ＝±1.22.（本小题满分14分）解：（1）由题意得：f′（x）=﹣（x+2）（x﹣a）e x，a＞0时，由f′（x）≥0，解得：﹣2≤x≤a，∴f（x）在[﹣2，a]递增，在（﹣∞，﹣2]，[a，+∞）递减，a≥1时，f（x）在[0，1]递增，∴f（x）max=f（1）=（2a﹣1）e=，解得：a=+＜1，不合题意，舍，0≤a＜1时，f（x）在[0，a]递增，在[a，1]递减，∴f（x）max=f（a）=ae a=，解得：a=，符合题意，综上，存在a=，使得x∈[0，1]时，f（x）的最大值是；（2）当x∈（0，1]时，要证：2x3﹣x2﹣x＞，即证（﹣x2+x+）e x＜（1﹣），设g（x）=﹣x2+x+）e x，由（1）可得g（x）max=g（）=，设h（x）=（1﹣），h′（x）=，h（x）在（0，1]递减，h（x）min=h（1）=，∴（﹣x2+x+）e x＜（1﹣），即2x3﹣x2﹣x＞．。
福建省厦门市湖滨中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题
福建省厦门市湖滨中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设函数()3f x x =，则()()11limx f x f x∆→+∆-=∆（ ） A ．3 B ．2C ．1D ．1-2．在等差数列{}n a 中，若46710,9a a a +==，则公差d =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．43．已知直线l 与曲线3y x x =-在原点处相切，则l 的倾斜角为（ ）A ．π6B ．π4C ．3π4D ．5π64．已知离散型随机变量ξ的概率分布列如下表：则数学期望()E ξ等于（ ）A ．1B ．0.6C ．23m +D ．2.45．2023年苏迪曼杯世界羽毛球混合团体锦标赛半决赛中，中国队与日本队鏖战7小时，双方打满五局，最终中国队逆转战胜了日本队进入决赛.这项比赛是五局三胜制，已知中国队每局获胜的概率为23，则中国队打满5局且最终获胜的概率为（ ） A ．8243B ．881C ．1681D ．8276．已知()()()()52501252111x a a x a x a x -=+-+-++-L ，则0a =（ ） A ．1-B ．0C ．1D ．327．质数（prime number ）又称素数，一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则这个数为质数，数学上把相差为2的两个素数叫做“孪生素数”.在不超过30的自然数中，随机选取两个不同的数，记事件A =“这两个数都是素数”；事件B =“这两个数不是孪生素数”，则()|P B A =（ ）A ．1115B ．3745C ．4145D ．43458．若函数()24ln bf x a x x x=++（0a ≠）既有极大值也有极小值，则下列结论一定正确的是（ ） A ．a<0B ．0b <C ．1ab >-D ．0a b +>二、多选题9．有甲、乙两个小组参加某项测试，甲组的合格率为70%，乙组的合格率为90%．已知甲、乙两组的人数分别占这两组总人数的70%，30%．从这两组组成的总体中任选一个人，用事件1A ，2A 分别表示选取的该人来自甲、乙组，事件B 表示选取的该人测试合格，则（ ） A ．()10.49P A B = B ．()10.9P B A = C ．()20.21P A B =D ．()0.76P B =10．已知12,F F 分别是椭圆C ：22195x y +=的左､右焦点，P 为椭圆C 上异于长轴端点的动点，则下列结论正确的是（ ）A ．12PF F △的周长为10B ．12PF F △面积的最大值为25C ．1PF 的最小值为1D ．椭圆C 的离心率为2311．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，下列四个结论中正确的是（ ）A ．直线1BC 与直线1AD 所成的角为90oB ．直线1BC 与平面1ACD C ．1B D ⊥平面1ACDD ．点1B 到平面1ACD三、填空题12．若随机变量X 服从正态分布()23,N σ，()150.6P X ≤≤=，则()5P X >= .13．已知函数()f x 导函数为()f x '，且()2πsin 2f x x f x ⎛⎫=+ ⎪⎭'⎝，则π2f ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 14．有5位大学生要分配到,,A B C 三个单位实习，每位学生只能到一个单位实习，每个单位至少要接收一位学生实习，已知这5位学生中的甲同学分配在A 单位实习，则这5位学生实习的不同分配方案有 种．（用数字作答）四、解答题15．在ABC V 中，已知30B =︒，b 2c =， (1)求角C(2)若角C 为锐角，求边a ； (3)求ABC S V ．16．已知数列{}n a 满足12a =，13(1)n n na n a +=+，设nn a b n=. (1)求1b ，2b ，3b ；(2)判断数列{}n b 是否为等比数列，并说明理由； (3)求{}n a 的通项公式17．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC ⊥侧面111,2,1,90ACC A AC AA BC ACB ===∠=︒.(1)证明：1AC ⊥平面11AB C ； (2)若160A AC ∠=︒，求三棱锥1A BB C -的体积；(3)在（2）的条件下，求平面11AB C 与平面1ABB 的夹角的余弦值.18．某商场为促进消费，规定消费满一定金额可以参与抽奖活动.抽奖箱中有4个蓝球和4个红球，这些球除颜色外完全相同.有以下两种抽奖方案可供选择：(1)若顾客选择方案A ，求其所获得奖池金额X 的分布列及数学期望. (2)以获得奖池金额的期望值为决策依据，顾客应该选择方案A 还是方案B?19．已知函数1()e ax f x x=+．(1)当0a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； (2)设2()()g x f x x '=⋅，求函数()g x 的极大值； (3)若e a <-，求函数()f x 的零点个数．。
福建省厦门市湖滨中学2018-2019学年高二3月月考数学(文)试题(附答案)
厦门湖滨中学高二文科数学3月试卷第一卷（客观题）一、选择题1.(5.0分)已知i是虚数单位，若复数，则复数|z|=（）A.B.C.3D.52.(5.0分)用反证法证明命题：“若a， b，c为不全相等的实数，且a+b+c=0，则a，b，c至少有一个负数”，假设原命题不成立的内容是（）A.a，b，c都大于0B.a，b，c都是非负数C.a，b，c至多两个负数D.a，b，c至多一个负数3.(5.0分)已知命题p：∀x∈R，x2+x+1≤0，则（）A.p是真命题，￢p：∃，使得B.p是真命题，￢p：∀x∈R，使得x2+x+1＞0C.p是假命题，￢p：∃，使得D.p是假命题，￢p：∀x∈R，使得4.(5.0分)函数的导函数为，若，则下列等式正确的是（）A.B.C.D.5.(5.0分)2016法国欧洲杯比赛于6月中旬揭开战幕，随机询问100人是否喜欢足球，得到如下的列联表：参考公式，（其中）临界值表：参照临界值表，下列结论正确的是（）A.有95%的把握认为“喜欢足球与性别相关”B.有95%的把握认为“喜欢足球与性别无关”C.在犯错误的概率不超过2.5%的前提下，认为“喜欢足球与性别无关”D.在犯错误的概率不超过2.5%的前提下，认为“喜欢足球与性别有关”6.(5.0分)下列选项中，与其他三个选项所蕴含的数学推理不同的是（）A.独脚难行，孤掌难鸣B.前人栽树，后人乘凉C.物以类聚，人以群分D.飘风不终朝，骤雨不终日7.(5.0分)以下是解决数学问题的思维过程的流程图：在此流程图中，①、②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法匹配正确的是( )A.①—综合法，②—分析法B.①—分析法，②—综合法C.①—综合法，②—反证法D.①—分析法，②—反证法8.(5.0分)有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是（）A.甲B.乙C.丙D.丁9.(5.0分)观察下列数的排列规律：回答第23个数是（）A.B.C.D.10.(5.0分)函数的大致图象是（）A. B.C. D.11.(5.0分)已知函数的图像如图所示（其中是定义域为R函数的导函数）,则以下说法错误的是（）A.B.当时, 函数取得极大值C.方程与均有三个实数根D.当时,函数取得极小值12.(5.0分)已知抛物线的焦点F和点为抛物线上一点，则的最小值是（）A.16B.12C.9D.6第二卷（主观题）二、填空题13.(5.0分)在数列1，1，2，3，5，8，13，x，34，55……中的x的值是__________.14.(5.0分)焦点为且与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程是__________.15.(5.0分)若函数，则__________.16.(5.0分)已知点P是椭圆D：上的一点，为椭圆的左、右焦点，若，且的面积为，则椭圆的离心率是__________.三、解答题17.(10.0分)已知，且，求复数.18.(12.0分)已知函数.（1）若函数在点处的切线方程为，求的值；（2）求函数的极值．19.(12.0分)网购已成为当今消费者喜欢的购物方式，某机构对A、B、C、D四家同类运动服装网店的关注人数x（千人）与其商品销售件数y（百件）进行统计对比，得到表格：由散点图得知，可以用回归直线方程y=bx+a来近似刻画它们之间的关系.（1）求y与x的回归直线方程；（2）在（1）的回归模型中，请用说明，销售件数的差异有多大程度是由关注人数引起的？（精确到0.01）参考公式：：；；参考数据：.20.(12.0分)椭圆C：过点，且直线l过椭圆C的上顶点和左焦点，椭圆中心到直线l的距离等于焦距长的．（1）求椭圆C的方程；（2）若一条与坐标轴不平行且不过原点的直线交椭圆Г于不同的两点M、N，点P为线段MN的中点，求证：直线MN 与直线OP不垂直．21.(12.0分)抛物线的焦点为F，直线y=4与抛物线和y轴分别交于点P、Q，且.（1）求抛物线的方程；（2）过点F作互相垂直的两直线分别交抛物线于点A、B、C、D，求四边形ACBD面积的最小值．22.(12.0分)已知函数，的图象在点处的切线为.（1）求函数的解析式；（2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围．答案解析第一卷（客观题）一、选择题1.(5.0分)【解析】由复数，所以.【答案】B2.(5.0分)【解析】解:“a,b,c中至少有一个负数”的否定为“a,b,c都是非负数”,由用反证法证明数学命题的方法可得,应假设“a,b,c都是非负数”,所以B选项是正确的.解析用反证法证明数学命题时,应先假设结论的否定成立.【答案】B3.(5.0分)【解析】【解答】解：命题是全称命题，∵判别式△=1﹣4=﹣3＜0，∴∀x∈R，，故命题p是假命题，∵命题是全称命题则命题的否定是￢p：，使得，故选：C．【答案】C4.(5.0分)【解析】解:,,若,,,,所以D选项是正确的.解析根据基本导数公式求导,再根据各选项可知若,则,判断即可.【答案】D5.(5.0分)【解析】解:由题意, 由于, 有95%把握认为“喜欢足球与性别相关”. 所以A选项是正确的.解析根据条件求出观测值,同所给的临界值进行比较,根据,即可得到结论.【答案】A6.(5.0分)【解析】解:由题意,根据归纳推理是由特殊到一般的推理过程,可得A,C,D是归纳推理,B是演绎推理,所以B选项是正确的.解析利用归纳推理、演绎推理的定义,即可得出结论.【答案】B7.(5.0分)【解析】本题主要考查综合法和分析法的概念。
2017-2018年福建省厦门外国语学校高二(下)期中数学试卷(文科)和答案
2017-2018学年福建省厦门外国语学校高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的．）1．（5分）复数z=（i是虚数单位）在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）随机调查某校110名学生是否喜欢跳舞，由列联表和公式K2=计算出K2，并由此作出结论：“有99%的可能性认为学生喜欢跳舞与性别有关”，则K2可以为（）附表：A．3.565B．4.204C．5.233D．6.8423．（5分）一个算法的程序框图如图所示，如果输出y的值是1，那么输入x的值是（）A．﹣2或2B．﹣2或C．﹣或D．﹣或2 4．（5分）有以下结论：①已知p3+q3=2，求证p+q≤2，用反证法证明时，可假设p+q≥2；②已知a，b∈R，|a|+|b|＜1，求证方程x2+ax+b=0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1．下列说法中正确的是（）A．①与②的假设都错误B．①与②的假设都正确C．①的假设正确；②的假设错误D．①的假设错误；②的假设正确5．（5分）设f（x）=x2﹣4x（x∈R），则f（x）＞0的一个必要而不充分的条件是（）A．x＜0B．x＜0或x＞4C．|x﹣1|＞1D．|x﹣2|＞36．（5分）已知曲线y=在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a 的值为（）A．2B．C．﹣D．﹣27．（5分）已知=2，=3，=4，=5，…=10，则推测a+b=（）A．1033B．109C．199D．298．（5分）已知函数f（x）=在[1，+∞）上为减函数，则实数a的取值范围是（）A．a≤e B．0＜a≤e C．a≥e D．0＜a＜9．（5分）已知圆C：（x﹣2）2+（y﹣1）2=25，过点M（﹣2，4）的圆C的切线l1与直线l2：ax+3y+2a=0平行，则l1与l2间的距离是（）A．B．C．D．10．（5分）函数y=xln|x|的大致图象是（）A．B．C．D．11．（5分）已知圆M：（x﹣1）2+（y﹣1）2=4，直线l：x+y﹣6=0，A为直线l 上一点，若圆M上存在两点B，C，使得∠BAC=60°，则点A的横坐标的取值范围为（）A．[1，5]B．[2，6]C．[﹣1，1]D．[﹣4，2] 12．（5分）已知函数f（x）=ae x﹣x2﹣（2a+1）x，若函数f（x）在区间（0，ln2）上有极值，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，0）C．（﹣2，﹣1）D．（﹣∞，0）∪（0，1）二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）命题p：∀x∈R，sin x≤1的否定¬p是．14．（5分）已知i为虚数单位，a∈R，z 1=2﹣i，z2=a+i，若z1为纯虚数，则复数z=a+的模等于15．（5分）函数f（x）=e x（x﹣ae x）恰有两个极值点x1，x2（x1＜x2），则a的取值范围是．16．（5分）已知圆x2+y2﹣4x﹣5=0的弦AB的中点为Q（3，1），直线AB交x 轴于点P，则|P A|•|PB|=三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）设命题p：实数m使曲线x2+y2﹣4x﹣2y﹣m2+6m+12=0表示一个圆；命题q：直线（m﹣1）x﹣my+1=0的倾斜角为锐角；（1）若p∧q为真命题，求m的取值范围；（2））是否存在m使得￢p∨q为假命题，若存在求m的取值范围，若不存在说明理由．18．（12分）设函数f（x）=﹣ax+2lnx（a∈R）在x=1时取得极值．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间及极值．19．（12分）一只药用昆虫的产卵数y与一定范围内的温度x有关，现收集了该种药用昆虫的6组观测数据如表：经计算得：，，，，，线性回归模型的残差平方和，e8.0605≈3167，其中x i，y i分别为观测数据中的温度和产卵数，i=1，2，3，4，5，6．（Ⅰ）若用线性回归模型，求y关于x的回归方程=x+（精确到0.1）；（Ⅱ）若用非线性回归模型求得y关于x的回归方程为=0.06e0.2303x，且相关指数R2=0.9522．（i）试与（Ⅰ）中的回归模型相比，用R2说明哪种模型的拟合效果更好．（ii）用拟合效果好的模型预测温度为35°C时该种药用昆虫的产卵数（结果取整数）．附：一组数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n），其回归直线=x+的斜率和截距的最小二乘估计为，=﹣；相关指数R2=．20．（12分）已知矩形ABCD的对角线交于点P（2，0），边AB所在直线的方程为x﹣3y﹣6=0，点（﹣1，1）在边AD所在的直线上，（1）求矩形ABCD的外接圆的方程；（2）已知直线l：（1﹣2k）x+（1+k）y﹣5+4k=0（k∈R），求证：直线l与矩形ABCD的外接圆恒相交，并求出相交的弦长最短时的直线l的方程．21．（12分）现有一块大型的广告宣传版面，其形状是如图所示的直角梯形ABCD．某厂家因产品宣传的需要，拟出资规划出一块区域（图中阴影部分）为产品做广告，形状为直角梯形DEFG（点F在曲线段AC上，点E在线段AD上）．已知BC=12cm，AB=AD=6cm，其中曲线段AC是以A为顶点，AD 为对称轴的抛物线的一部分．（Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，分别求出曲线段AC与线段DC的方程；（Ⅱ）求该厂家广告区域DEFG的最大面积．22．（12分）已知函数f（x）=x﹣lnx．（1）若曲线y=f（x）在x=x0处的切线经过坐标原点，求x0及该切线的方程；（2）设g（x）=（e﹣1）x，若函数F（x）=的值域为R，求实数a 的取值范围．2017-2018学年福建省厦门外国语学校高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的．）1．（5分）复数z=（i是虚数单位）在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义；A5：复数的运算．【解答】解：====i（1+i）=i+i2=﹣1+i，∴复数（i是虚数单位）在复平面上对应的点（﹣1，1）位于第二象限．故选：B．2．（5分）随机调查某校110名学生是否喜欢跳舞，由列联表和公式K2=计算出K2，并由此作出结论：“有99%的可能性认为学生喜欢跳舞与性别有关”，则K2可以为（）附表：A．3.565B．4.204C．5.233D．6.842【考点】BL：独立性检验．【解答】解：∵有99%的可能性认为学生喜欢跳舞与性别有关，∴K2＞6.635，故选：D．3．（5分）一个算法的程序框图如图所示，如果输出y的值是1，那么输入x的值是（）A．﹣2或2B．﹣2或C．﹣或D．﹣或2【考点】EF：程序框图．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出分段函数y=的函数值，当x＜0时，y=|x|﹣1=1，解得：x=﹣2当x≥0时，y=x2﹣1=1，解得：x=，故选：B．4．（5分）有以下结论：①已知p3+q3=2，求证p+q≤2，用反证法证明时，可假设p+q≥2；②已知a，b∈R，|a|+|b|＜1，求证方程x2+ax+b=0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1．下列说法中正确的是（）A．①与②的假设都错误B．①与②的假设都正确C．①的假设正确；②的假设错误D．①的假设错误；②的假设正确【考点】R9：反证法与放缩法证明不等式．【解答】解：①用反证法证明时，假设命题为假，应为全面否定．所以p+q≤2的假命题应为p+q＞2．故①错误；②已知a，b∈R，|a|+|b|＜1，求证方程x2+ax+b=0的两根的绝对值都小于1，根据反证法的定义，可假设|x1|≥1，故②正确；故选：D．5．（5分）设f（x）=x2﹣4x（x∈R），则f（x）＞0的一个必要而不充分的条件是（）A．x＜0B．x＜0或x＞4C．|x﹣1|＞1D．|x﹣2|＞3【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【解答】解：由f（x）=x2﹣4x＞0，解得x＞4，或x＜0．由|x﹣1|＞1，解得x＜0或x＞2．由|x﹣2|＞3，解得x＜﹣1或x＞5．∴f（x）＞0的一个必要而不充分的条件是|x﹣1|＞1，故选：C．6．（5分）已知曲线y=在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a 的值为（）A．2B．C．﹣D．﹣2【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【解答】解：∵y=，∴y′==，∴曲线y=在点（3，2）处的切线的斜率k=﹣，∵曲线y=在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，∴直线ax+y+1=0的斜率k′=﹣a×=﹣1，即a=﹣2．故选：D．7．（5分）已知=2，=3，=4，=5，…=10，则推测a+b=（）A．1033B．109C．199D．29【考点】F1：归纳推理．【解答】解：由给出的几个等式可以推测：，（n≥2且n是正整数），在，b=102﹣1=99，于是a+b=109．故选：B．8．（5分）已知函数f（x）=在[1，+∞）上为减函数，则实数a的取值范围是（）A．a≤e B．0＜a≤e C．a≥e D．0＜a＜【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【解答】解：f′（x）=，由f'（x）≤0在[1，+∞）上恒成立，即1﹣lna﹣lnx≤0在[1，+∞）上恒成立，∴lnx≥ln恒成立，∴ln≤0，即≤1，∴a≥e故选：C．9．（5分）已知圆C：（x﹣2）2+（y﹣1）2=25，过点M（﹣2，4）的圆C的切线l1与直线l2：ax+3y+2a=0平行，则l1与l2间的距离是（）A．B．C．D．【考点】IU：两条平行直线间的距离；J7：圆的切线方程．【解答】解：法一：∵过点M（﹣2，4）的圆C的切线l1与直线l2：ax+3y+2a=0平行，∴可设切线l1的方程为ax+3y+m=0，把点M的坐标代入得到﹣2a+3×4+m=0，解得m=2a﹣12．即切线方程为ax+3y+2a﹣12=0．由圆C：（x﹣2）2+（y﹣1）2=25，得到圆心C（2，1），半径r=5．∴圆心C（2，1）到切线的距离d=，化为a2+8a+16=0，解得a=﹣4．∴l1的方程为：﹣4x+3y﹣20=0，即4x﹣3y+20=0．又l2的方程为：﹣4a+3y﹣8=0，即4x﹣3y+8=0．∴l1与l2间的距离d==．法二：经验证点M（﹣2，4）在圆上，由k CM==﹣，可得切线l1的斜率k=，又切线l1与直线l2：ax+3y+2a=0平行，∴，解得a=﹣4．以下同解法一．故选：D．10．（5分）函数y=xln|x|的大致图象是（）A．B．C．D．【考点】3A：函数的图象与图象的变换．【解答】解：令f（x）=xln|x|，易知f（﹣x）=﹣xln|﹣x|=﹣xln|x|=﹣f（x），所以该函数是奇函数，排除选项B；又x＞0时，f（x）=xlnx，容易判断，当x→+∞时，xlnx→+∞，排除D选项；令f（x）=0，得xlnx=0，所以x=1，即x＞0时，函数图象与x轴只有一个交点，所以C选项满足题意．故选：C．11．（5分）已知圆M：（x﹣1）2+（y﹣1）2=4，直线l：x+y﹣6=0，A为直线l 上一点，若圆M上存在两点B，C，使得∠BAC=60°，则点A的横坐标的取值范围为（）A．[1，5]B．[2，6]C．[﹣1，1]D．[﹣4，2]【考点】JE：直线和圆的方程的应用．【解答】解：根据题意，从直线上的点向圆上的点连线成角，当且仅当两条线均为切线时才是最大的角，不妨设切线为AP，AQ，则∠P AQ为60°时，∠PMQ为120°，所以MA的长度为4，故问题转化为在直线上找到一点，使它到点M的距离为4．设A（x0，6﹣x0），则∵M（1，1），∴（x0﹣1）2+（5﹣x0）2=16∴x0=1或5，∴点A的横坐标x0的取值范围是[1，5]；故选：A．12．（5分）已知函数f（x）=ae x﹣x2﹣（2a+1）x，若函数f（x）在区间（0，ln2）上有极值，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，0）C．（﹣2，﹣1）D．（﹣∞，0）∪（0，1）【考点】6E：利用导数研究函数的最值．【解答】解：f′（x）=ae x﹣2x﹣（2a+1）=g（x），由函数f（x）在区间（0，ln2）上有极值⇔g（x）在区间（0，ln2）上单调且存在零点．∴g（0）g（ln2）=（a﹣2a﹣1）（2a﹣2ln2﹣2a﹣1）＜0，可得a+1＜0，解得a＜﹣1．此时g′（x）=ae x﹣2在区间（0，ln2）上单调递减．∴实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1）．故选：A．二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）命题p：∀x∈R，sin x≤1的否定¬p是∃x∈R，sin x＞1．【考点】2J：命题的否定．【解答】解：根据全称命题的否定是特称命题知：命题p的否定￢p是：∃x∈R，sin x＞1．故答案为：¬p：∃x∈R，sin x＞114．（5分）已知i为虚数单位，a∈R，z 1=2﹣i，z2=a+i，若z1为纯虚数，则复数z=a+的模等于【考点】A8：复数的模．【解答】解：∵z1=2﹣i，z2=a+i，∴，∴=2a﹣1﹣（2+a）i，又z 1为纯虚数，∴，解得a=．∴．则．故答案为：．15．（5分）函数f（x）=e x（x﹣ae x）恰有两个极值点x1，x2（x1＜x2），则a的取值范围是（0，）．【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【解答】解：∵函数f（x）=e x（x﹣ae x），求导，f′（x）=（x+1﹣2a•e x）e x，由于函数f（x）的两个极值点为x1，x2，即x1，x2是方程f′（x）=0的两不等实根，即方程x+1﹣2ae x=0，且a≠0，=e x；设y1=（a≠0），y2=e x，在同一坐标系内画出这两个函数的图象，如图所示：要使这两个函数有2个不同的交点，应满足，解得：0＜a＜，∴a的取值范围是（0，），故答案为：（0，）．16．（5分）已知圆x2+y2﹣4x﹣5=0的弦AB的中点为Q（3，1），直线AB交x 轴于点P，则|P A|•|PB|=5【考点】J9：直线与圆的位置关系．【解答】解：圆x2+y2﹣4x﹣5=0的圆心（2，0），半径为3，弦AB的中点为Q （3，1），则AB的斜率为：﹣1，AB的方程为：y﹣1=﹣（x﹣3），即x+y﹣4=0，则P（4，0），如图：由相交弦定理可知：|P A|•|PB|=|PC||PD|=（3﹣2）（3+2）=5．故答案为：5．三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）设命题p：实数m使曲线x2+y2﹣4x﹣2y﹣m2+6m+12=0表示一个圆；命题q：直线（m﹣1）x﹣my+1=0的倾斜角为锐角；（1）若p∧q为真命题，求m的取值范围；（2））是否存在m使得￢p∨q为假命题，若存在求m的取值范围，若不存在说明理由．【考点】2E：复合命题及其真假；2K：命题的真假判断与应用．【解答】解：命题p：实数m使曲线x2+y2﹣4x﹣2y﹣m2+6m+12=0表示一个圆，则（﹣4）2+（﹣2）2﹣4×（﹣m2+6m+12）＞0，m2﹣6m﹣7＞0，解得m＜﹣1或m＞7；命题q：直线（m﹣1）x﹣my+1=0的倾斜角为锐角，则k=＞0，解得m＜0或m＞1；（1）若p∧q为真命题，则m的取值范围是m＜﹣1或m＞7；（2））￢p是﹣1≤m≤7，则￢p∨q是m∈R，若￢p∨q为假命题，则m的取值范围是∅，∴￢p∨q为假命题时，m的值不存在．18．（12分）设函数f（x）=﹣ax+2lnx（a∈R）在x=1时取得极值．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间及极值．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=x﹣a+，当x=1时取得极值，则f′（1）=0，即：1﹣a+2=0，解得：a=3，经检验，符合题意．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得函数f（x）=﹣3x+2lnxf′（x）=x﹣3+==，x＞0，令f′（x）＞0解得：0＜x＜1或x＞2，令f′（x）＜0解得：1＜x＜2，∴f（x）的单调递增区间为（0，1），（2，+∞）；单调递减区间为（1，2），当x=1时函数有极大值，极大值为f（1）=﹣，当x=2时函数有极小值，极小值为f（1）=﹣4+2ln2，19．（12分）一只药用昆虫的产卵数y与一定范围内的温度x有关，现收集了该种药用昆虫的6组观测数据如表：经计算得：，，，，，线性回归模型的残差平方和，e8.0605≈3167，其中x i，y i分别为观测数据中的温度和产卵数，i=1，2，3，4，5，6．（Ⅰ）若用线性回归模型，求y关于x的回归方程=x+（精确到0.1）；（Ⅱ）若用非线性回归模型求得y关于x的回归方程为=0.06e0.2303x，且相关指数R2=0.9522．（i）试与（Ⅰ）中的回归模型相比，用R2说明哪种模型的拟合效果更好．（ii）用拟合效果好的模型预测温度为35°C时该种药用昆虫的产卵数（结果取整数）．附：一组数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n），其回归直线=x+的斜率和截距的最小二乘估计为，=﹣；相关指数R2=．【考点】BK：线性回归方程．【解答】解：（Ⅰ）依题意，n=6，，…．…（2分）≈33﹣6.6×26=﹣138.6，…（3分）∴y关于x的线性回归方程为=6.6x﹣138.6…（4分）（Ⅱ）（i）利用所给数据，，得，线性回归方程=6.6x﹣138.6的相关指数R2=．…（6分）∵0.9398＜0.9522，…（7分）因此，回归方程=0.06e0.2303x比线性回归方程=6.6x﹣138.6拟合效果更好…..…（8分）（ii）由（i）得温度x=35°C时，=0.06e0.2303×35=0.06×e8.0605…..…..…（9分）又∵e8.0605≈3167，…（10分）∴≈0.06×3167≈190（个）…（11分）所以当温度x=35°C时，该种药用昆虫的产卵数估计为190个…（12分）20．（12分）已知矩形ABCD的对角线交于点P（2，0），边AB所在直线的方程为x﹣3y﹣6=0，点（﹣1，1）在边AD所在的直线上，（1）求矩形ABCD的外接圆的方程；（2）已知直线l：（1﹣2k）x+（1+k）y﹣5+4k=0（k∈R），求证：直线l与矩形ABCD的外接圆恒相交，并求出相交的弦长最短时的直线l的方程．【考点】J1：圆的标准方程；J8：直线与圆相交的性质；JF：圆方程的综合应用．【解答】解：（1）由l AB：x﹣3y﹣6=0且AD⊥AB，点（﹣1，1）在边AD所在的直线上∴AD所在直线的方程是：y﹣1=﹣3（x+1）即3x+y+2=0由得A（0，﹣2）…（3分）∴∴矩形ABCD的外接圆的方程是：（x﹣2）2+y2=8…（6分）（2）直线l的方程可化为：k（﹣2x+y+4）+x+y﹣5=0l可看作是过直线﹣2x+y+4=0和x+y﹣5=0的交点（3，2）的直线系，即l恒过定点Q（3，2）由于（3﹣2）2+22=5＜8知点在圆内，∴直线与圆恒有交点，设PQ与l的夹角为θ，则d=|PQ|sinθ=当θ=90°时，d最大，|MN|最短，此时l的斜率为PQ斜率的负倒数﹣，∴l：y﹣2=﹣（x﹣3）即x+2y﹣7=021．（12分）现有一块大型的广告宣传版面，其形状是如图所示的直角梯形ABCD．某厂家因产品宣传的需要，拟出资规划出一块区域（图中阴影部分）为产品做广告，形状为直角梯形DEFG（点F在曲线段AC上，点E在线段AD上）．已知BC=12cm，AB=AD=6cm，其中曲线段AC是以A为顶点，AD为对称轴的抛物线的一部分．（Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，分别求出曲线段AC与线段DC的方程；（Ⅱ）求该厂家广告区域DEFG的最大面积．【考点】KN：直线与抛物线的综合．【解答】解：（Ⅰ）以AB为x轴，AD为y轴建立平面直角坐标系，则A（0，0），B（6，0），C（6，﹣12），D（0，﹣6）．设曲线AC的方程x2=﹣2py，（p＞0，0≤x≤6）．∵点C（6，﹣12）在曲线AC上，∴62=﹣2p×（﹣12），∴2p=3∴曲线AC的方程为x2=﹣3y．，（0≤x≤6）．k DC=，直线DC方程为：y=﹣x﹣6∴线段DC的方程为：y=﹣x﹣6，．（0≤x≤6）．（Ⅱ）由（Ⅰ）可设F（a，﹣a2），G（a，﹣a﹣6），E（0，﹣a2）．∴DE=﹣a2+6，EF=a，FG=﹣a2+a+6则公园的面积为f（a）=（﹣+a+12）×a×=﹣，（0≤a≤6）λf′（a）=﹣a2+a+6，a∈（0，3）时，f′（a）＞0，a∈（3，6）时，f′（a）＜0∴f（a）在（0，3）上是增函数，在[3，6）上是减函数．．∴该厂家广告区域DEFG的最大面积为．22．（12分）已知函数f（x）=x﹣lnx．（1）若曲线y=f（x）在x=x0处的切线经过坐标原点，求x0及该切线的方程；（2）设g（x）=（e﹣1）x，若函数F（x）=的值域为R，求实数a的取值范围．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【解答】解：（1）由已知得（x＞0），则，所以x0=e，所以所求切线方程为．（2）令，得x＞1；令f'（x）＜0，得0＜x＜1．所以f（x）在（0，1）上单调递减，在[1，+∞）上单调递增，所以f（x）min=f（1）=1，所以f（x）∈[1，+∞）．而g（x）=（e﹣1）x在（﹣∞，a）上单调递增，所以g（x）∈（﹣∞，（e﹣1）a）．欲使函数的值域为R，须a＞0．①当0＜a≤1时，只须（e﹣1）a≥1，即，所以．②当a＞1时，f（x）∈[a﹣lna，+∞），g（x）∈（﹣∞，（e﹣1）a），只须a﹣lna≤（e﹣1）a对一切a＞1恒成立，即lna+（e﹣2）a≥0对一切a＞1恒成立，令φ（x）=lnx+（e﹣2）x（x＞1），得，所以φ（x）在（1，+∞）上为增函数，所以φ（x）＞φ（1）=e﹣2＞0，所以a﹣lna≤（e﹣1）a对一切a＞1恒成立．综上所述：．。
福建省厦门市湖滨中学2017-2018学年高二下学期第二次月考物理(理)试题+Word版含答案
厦门湖滨中学2017--2018年第二学期第二次月考高二物理（理科）试卷 2018．6．1.一、单项选择题：（每题只有一个正确答案。
每小题3分，共45分） 1. 关于半衰期，以下说法正确的是 （ ）A ．同种放射性元素在化合物中的半衰期比单质中长。
B ．升高温度可以使半衰期缩短C ．氡的半衰期为3.8天，若有四个氡原子核，经过7.6天就只剩下一个D ．氡的半衰期为3.8天，4克氡原子核，经过7.6天就只剩下1克2．一个在磁场中的放射性同位素原子核3015P ,放出一个正电子后变成原子核3014Si,在下图中近似反映正电子和Si 核轨迹的图是 ( )3. 23290Th (钍)经过一系列α和β衰变，成为20882Pb （铅），则（ ） ①铅核比钍核少了8个质子 ②铅核比钍核少了16个中子 ③共经过4次α衰变和6次β衰变 ④共经过6次α衰变和4次β衰变A ．①②③B ．③④①C ．④②③D ．①②④ABCD4. 小明在平静的湖水中泛舟时不小心把浆弄丢了，因有急事，他决定将船中的一块5kg 的石头扔入湖中使自己能在1分钟内到达离船20米的对岸，假设扔前船是静止的，船的质量120kg ，小明质量60kg ，不计湖水的阻力，则小明扔出石头的速度大小与方向应为（ ）。
（填选项前的字母）A ．以大小12m/s ；正对对岸方向水平扔出B ．以大小12m/s ；背对对岸方向水平扔出C ．以大小4m/s ；正对对岸方向水平扔出D ．以大小4m/s ；背对对岸方向水平扔出5. 分别用波长为λ和34λ的单色光照射同一金属板，发出的光电子的最大初动能之比为1:2，以h 表示普朗克常量，c 表示真空中的光速，则此金属板的逸出功为（ ）A ．12hcλB ．23hc λC ．34hc λ D ．45h cλ6. 一个质子和一个中子聚变结合成一个氘核，同时辐射一个γ光子.已知质子、中子、氘核的质量分别为m 1、m 2、m 3，普朗克常量为h ，真空中的光速为c .下列说法正确的是（ ）A.核反应方程是11H+10n →31H+γB.聚变反应中的质量亏损m m ∆=1+m 2-m 3C.辐射出的γ光子的能量E=(m 3-m 1-m 2)cD.γ光子的波长2123()hm m m cλ=+-7. 某作匀加速直线运动的物体，设它运动全程的平均速度是v 1，运动到中间时刻的速度是v 2，经过全程一半位置时的速度是v 3，则下列关系中正确的是 ( )A.v 1＞v 2＞v 3B.v 1＜v 2=v 3C.v 1=v 2＜v 3D.v 1＞v 2=v 38．汽车以大小为20m/s 的速度做匀速直线运动,刹车后的加速的大小为5m/s 2,那么刹车后2s 内与刹车后6s 内汽车通过的位移大小之比为( )A.1︰1B.3︰1C.4︰3D.3︰49．某军事试验场正在平地上试射地对空导弹，若某次竖直向上发射导弹时发生故障，造成导弹的v －t 图象如图所示，则下述说法中正确的是( )A ．0～1 s 内导弹匀速上升B ．1～2 s 内导弹静止不动C ．3 s 末导弹回到出发点D ．5 s 末导弹恰好回到出发点10. 在街头的理发店门口，常可以看到有这样的标志：一个转动的圆筒，外表有彩色螺旋斜条纹，我们感觉条纹在沿竖直方向运动，但实际上条纹在竖直方向并没有升降，这是由于圆筒的转动而使我们的眼睛产生的错觉。
厦门市湖滨中学高二下学期期中考试数学试题-含答案
厦门市湖滨中学2020---2021学年第二学期期中考高二数学试卷一、单选题1．已知i 为虚数单位，复数z 满足()11z i +=，则z 的共轭复数z =( )A ．1122i + B ．1122i - C ．1122-+i D ．1122i -- 2．已知向量()2,1,2a =-， ()1,,1A x -， ()1,1,1B -，若a AB ⊥，则实数x 的值为( ) A ．5-B ．0C ．1-D ．53．如图所示，已知1111ABCD A B C D -是平行六面体.设AC BD M =， N 是1BC 上靠近点1C 的四等分点，若1MN xAB yAD zAA =++，则,,x y z 的值为（ ） A ．113,,244x y z === B ．113,,424x y z === C ．131,,244x y z === D ．311,,424x y z === 4．函数y ＝x ln x 在(0，5)上是( )A ．单调增函数B ．在1(0,)e 上单调递增，在1(5)e，上单调递减 C ．单调减函数 D ．在1(0,)e 上单调递减，在1(5)e，上单调递增 5．已知R 上可导函数()f x 的图象如图，则不等式()0f x '＞的解集是（ ） A ．()()2,02,-+∞ B ．()(),22,-∞-+∞ C ．()()2,11,2--⋃D ．()(),11,-∞-+∞6．在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，且AB =BC =CD ，则异面直线AC 与BD所成角的余弦值为（ ） A ．12B ．-12C ．2D ．32-7．若322()7f x x ax bx a a =++--在x=1处取得极大值10，则ba的值为（ ） A ．32-或12- B ．32-或12C ．32-D ．12-8．我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难人微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学的学习和研究中，常用函数的图像研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象特征.如函数()2sin f x x x x =+的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．二、多选题9．下列导数运算正确的有（ ）A ．211x x'⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．()(1)x x xe x e '=+C ．()222x x e e '=D ．()2ln 2x x'=10．函数()y f x =的导函数的图象如图所示，则下列说法错误的是 A ．()1,3-为函数()y f x =的单调递增区间 B ．()3,5为函数()y f x =的单调递减区间 C ．函数()y f x =在5x =处取得极小值 D ．函数()y f x =在0x =处取得极大值11．已知i 为虚数单位，以下四个说法中正确的是（ ）A ．2340i i i i +++=B ．复数3z i =-的虚部为i -C ．若2(12)z i =+，则复平面内z 对应的点位于第二象限D ．已知复数z 满足11z z -=+，则z 在复平面内对应的点的轨迹为直线12．已知空间四点(0,0,0),(0,1,2),(2,0,1),(3,2,1)O A B C -，则下列说法正确的是（ ）A ．2OA OB ⋅=-B ．2cos ,5OA OB <>=-C ．点O 到直线BCD ．O ，A ，B ，C 四点共面三、填空题13．若()1,1,4A -，()1,2,3B ，()3,0,3C ，D 为BC 的中点，AD =________. 14．函数()ln f x a x x =-的图象在1x =处的切线方程为2y x =-，则a =______. 15．定义在R 上的连续函数()f x 满足()12f =，且()f x 在R 上的导函数()'1f x <，则不等式()1f x x <+的解集为__________．16．已知()2ln 1f x x x mx =++-在区间()1,2上为单调递增函数，则实数m 的取值范围是__________． 四、解答题17．已知向量a 与b 的夹角34πθ=，且3a =，22b =． （1）求a b ⋅，a b +；（2）求a 与a b +的夹角的余弦值．18．如图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，点,E F 分别为,AD PC 的中点，且1DC =，2PC =.（1）证明：//DF 平面PBE ； （2）求二面角A PB C --的大小.19．已知函数3()f x ax bx c =++在2x =处取得极值为16c -. （1）求a 、b 的值；（2）若()f x 有极大值28，求()f x 在[33]-，上的最大值.20．某偏远贫困村积极响应国家“扶贫攻坚”政策，在对口帮扶单位的支持下建了一个工厂，已知每件产品的成本为a 元，预计当每件产品的售价为x 元()38x ≤≤时，年销量为()29x -万件.若每件产品的售价定为6元时，预计年利润为27万元 （1）试求每件产品的成本a 的值；（2）当每件产品的售价定为多少元时？年利润y （万元）最大，并求最大值．21．如图1，在边长为2的菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，DE AB ⊥于点E ，将ADE ∆沿DE 折起到1A DE ∆的位置，使1A D BE ⊥，如图2.（1）求证：1A E ⊥平面BCDE ；（2）在线段BD 上是否存在点P ，使平面1A EP ⊥平面1A BD ？若存在，求BPBD的值；若不存在，说明理由．22．设函数2()ln ,()(1)2x f x a x g x a x =-=-．（1）当1,12a x =>时，求证：()()f x g x >； （2）若[1,]x e ∃∈，使得不等式()()f x g x a +≤成立，求实数a 的取值范围．高二数学试卷答案一、单选题1．已知i 为虚数单位，复数z 满足()11z i +=，则z 的共轭复数z =A ．1122i + B ．1122i - C ．1122-+i D ．1122i -- 【答案】A【详解】由()1i 1z +=，得()()11i 1111i,i 1i 1i 1i 2222z z -===-∴=+++-，故选A. 2．已知向量()2,1,2a =-， ()1,,1A x -， ()1,1,1B -，若a AB ⊥，则实数x 的值为( ) A ．5- B ．0C ．1-D ．5【答案】A3．如图所示，已知1111ABCD A B C D -是平行六面体.设AC BD M =， N 是1BC 上靠近点1C 的四等分点，若1MN xAB yAD zAA =++，则,,x y z 的值为（ ）A ．113,,244x y z === B ．113,,424x y z === C ．131,,244x y z === D ．311,,424x y z === 【答案】A 【分析】用空间向量运算法则，用基1,,AB AD AA 表示出MN 即可获解. 【详解】由题知M 是BD 的中点,所以 1,2MB DB = 又N 是 1BC 上靠近点 1C 的四等分点, 所以 134BN BC =所以 11324MN MB BN DB BC =+=+ ()113()24AB AD BC BB =-++111332244AB AD AD AA =-++ 1113244AB AD AA =++ 又1MN xAB yAD zAA =++ 所以 113,,.244x y z === 故选：A4．函数y ＝x ln x 在(0，5)上是( ) A ．单调增函数 B ．在1(0,)e 上单调递增，在1(5)e，上单调递减C ．单调减函数D ．在1(0,)e 上单调递减，在1(5)e，上单调递增 【答案】D 【详解】ln ,'ln 1y x x y x =∴=+，由'ln 10y x =+=，得极值点()1,0,5,x x e=∈∴当10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0f x <，函数是单调递减函数；当1,5x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0f x >，函数是单调递增函数，即函数ln y x x = 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在15e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增，故选D.5．已知R 上可导函数()f x 的图象如图，则不等式()0f x '＞的解集是（ ）A ．()()2,02,-+∞B ．()(),22,-∞-+∞C ．()()2,11,2--⋃D ．()(),11,-∞-+∞【答案】D 【分析】()0f x '＞则函数单调递增，所以从图中确定单调递增区间即可得解. 【详解】由图可知()f x 在()(),1,1,-∞-+∞上单调递增，所以()0f x '＞的解集为()(),11,-∞-+∞.故选：D 【点睛】本题考查导数的符号与函数单调性的关系，属于基础题.6．在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，且AB =BC =CD ，则异面直线AC 与BD 所成角的余弦值为（ ）A ．12B ．-12C ．2D ． 【答案】A 【分析】如图所示，分别取AB ，AD ，BC ，BD 的中点E ，F ，G ，O ，则//EF BD ，//EG AC ，FO OG ⊥，FEG ∠或其补角 为异面直线AC 与BD 所成角．【详解】 解：如图所示，分别取AB ，AD ，BC ，BD 的中点E ，F ，G ，O ，则//EF BD ，//EG AC ，FO OG ⊥，FEG ∴∠或其补角为异面直线AC 与BD 所成角．设2AB a =，则EG EF ==，FG ==，60FEG ∴∠=︒，∴异面直线AC 与BD 所成角的余弦值为12， 故选：A ． 【点睛】平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； ①认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； ①计算：求该角的值，常利用解三角形；①取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．7．若322()7f x x ax bx a a =++--在x=1处取得极大值10，则ba的值为（ ） A ．32-或12- B ．32-或12C ．32-D ．12-【答案】C 【解析】 【分析】由于2'()32f x x ax b =++，依题意知，'(1)320f a b =++=，2(1)1710f a b a a =++--=，于是有32b a =--，代入f （1）=10即可求得,a b ，从而可得答案． 【详解】①322()7f x x ax bx a a =++--，①2'()32f x x ax b =++，又322()7f x x ax bx a a =++--在x=1处取得极大值10，①'(1)320f a b =++=，2(1)1710f a b a a =++--=，①28120a a ++=，①2,1a b =-=或6,9a b =-=．当2,1a b =-=时，3'()341(31)(1)f x x x x x =-+=--，当13＜x ＜1时，'()0f x <，当x ＞1时，'()0f x >， ①f （x ）在x=1处取得极小值，与题意不符；当6,9a b =-=时，2'()31293(1)(3)f x x x x x =-+=--，当x ＜1时，'()0f x >，当＜x ＜3时，'()0f x <，①f （x ）在x=1处取得极大值，符合题意；则9362b a =-=--，【点睛】本题考查函数在某点取得极值的条件，求得2'()32f x x ax b =++，利用'(1)0f =，f（1）=10求得,a b 是关键，考查分析、推理与运算能力，属于中档题．8．我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难人微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学的学习和研究中，常用函数的图像研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象特征.如函数()2sin f x x x x =+的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】利用排除法，先判断函数的奇偶性，再判断函数的单调性即可【详解】由()()f x f x -=可知，该函数为偶函数，B 不对；可考虑0x ≥的情况，()2sin cos f x x x x x '=++，因为(0)0f '=，又sin ,1cos 0x x x -+()sin cos 0f x x x x x x '=+++.函数()f x 在[)0,+∞上为增函数，二、多选题9．下列导数运算正确的有（ ）A ．211x x'⎛⎫= ⎪⎝⎭ B ．()(1)x x xe x e '=+ C ．()222x x e e '=D ．()2ln 2x x'= 【答案】BC【分析】根据导数的运算法则逐项运算排除可得答案.【详解】 对于A ，()12211x x x x --'⎛⎫'==-=- ⎪⎝⎭，故错误； 对于B ， ()()(1)x x x x xe x e x e x e '''==++，故正确； 对于C ， ()()22222x x x e x e e ''==，故正确；对于D ， ()()''11ln 222x x x x==，故错误. 故选：BC.10．函数()y f x =的导函数的图象如图所示，则下列说法错误的是A ．()1,3-为函数()y f x =的单调递增区间B ．()3,5为函数()y f x =的单调递减区间C ．函数()y f x =在5x =处取得极小值D ．函数()y f x =在0x =处取得极大值【答案】D【分析】利用导数和函数的单调性之间的关系，以及函数在某点取得极值的条件，即可求解，得到答案．【详解】由题意，函数()y f x =的导函数的图象可知：当1x <-时，()0f x '<，函数()f x 单调递减；当13x 时，()0f x '>，函数()f x 单调递增；当35x <<时，()0f x '<，函数()f x 单调递减；当5x >时，()0f x '>，函数()f x 单调递增；所以函数()f x 单调递减区间为(,1),(3,5)-∞-，递增区间为(1,3),(5,)-+∞， 且函数()f x 在1x =-和5x =取得极小值，在3x =取得极大值，故选D ．【点睛】本题主要考查了导函数与原函数的关系，以及函数的单调性与极值的判定，其中解答中根据导函数的图象得出原函数的单调性是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于基础题．11．已知i 为虚数单位，以下四个说法中正确的是（ ）A ．2340i i i i +++=B ．复数3z i =-的虚部为i -C ．若2(12)z i =+，则复平面内z 对应的点位于第二象限D ．已知复数z 满足11z z -=+，则z 在复平面内对应的点的轨迹为直线【答案】AD【分析】根据复数的概念、运算对选项逐一分析，由此确定正确选项.【详解】A 选项，234110i i i i i i +++=--+=，故A 选项正确.B 选项，z 的虚部为1-，故B 选项错误.C 选项，214434,34z i i i z i =++=-+=--，对应坐标为()3,4--在第三象限，故C 选项错误.D 选项，()111z z z -=+=--表示z 到1,0A 和()1,0B -两点的距离相等，故z 的轨迹是线段AB 的垂直平分线，故D 选项正确.故选：AD12．已知空间四点(0,0,0),(0,1,2),(2,0,1),(3,2,1)O A B C -，则下列说法正确的是（ ）A ．2OA OB ⋅=- B ．2cos ,5OA OB <>=-C ．点O 到直线BCD ．O ，A ，B ，C 四点共面【答案】ABC【分析】计算数量积判断A ，求向量夹角判断B ，利用向量垂直判断C ，根据空间向量共面定理判断D ．【详解】(0,1,2),(2,0,1)OA OB ==-，02102(1)2OA OB ⋅=⨯+⨯+⨯-=-，A 正确；2cos ,55OA OBOA OB OA OB ⋅<>===-，B 正确； (1,2,2)BC =，2102(1)20OB BC ⋅=⨯+⨯+-⨯=，所以OB BC ⊥，5OB =，所以点O 到直线BC ，C 正确；(3,2,1)OC =，假设若O ，A ，B ，C 四点共面，则,,OA OB OC 共面，设OC xOA yOB =+， 则23221y x x y =⎧⎪=⎨⎪-=⎩，此方程组无解，所以O ，A ，B ，C 四点不共面，D 错．故选：ABC ．第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明三、填空题13．若()1,1,4A -，()1,2,3B ，()3,0,3C ，D 为BC 的中点，AD =________.【分析】由中点坐标公式得出D 点坐标，再由空间两点距离公式得出距离【详解】D 的坐标为13233,,222D ++⎛⎫ ⎪⎝⎭即()2,1,3DAD ==14．函数()ln f x a x x =-的图象在1x =处的切线方程为2y x =-，则a =______.【答案】2【分析】 利用导数和斜率的关系列方程，由此求得a 的值.【详解】依题意()'1a f x x=-，由于函数()ln f x a x x =-的图象在1x =处的切线方程为2y x =-，直线2y x =-的斜率为1，所以()'111121a f a a =-=-=⇒=. 故答案为：2【点睛】本小题主要考查根据切线方程求参数，属于基础题.15．定义在R 上的连续函数()f x 满足()12f =，且()f x 在R 上的导函数()'1f x <，则不等式()1f x x <+的解集为__________．【答案】{}|1x x >【解析】设()()1h x f x x =--，则()()//10h x f x =-<，即()()1h x f x x =--是单调递减函数，而()()11110h f =--=，所以()1f x x >+等价于()10f x x -->，即()()1h x h >，所以1x >，故不等式的解集为{}|1xx >，应填答案{}|1xx >．点睛：本题的解答过程中，充分借助题设条件，巧妙地构造函数()()1h x f x x =--，从而借助导数的求导法则及导数与函数单调性的关系，判断出该函数的单调递减函数，进而为解不等式创造出模型．解答本题的难点在于怎样观察并构造出函数，然后再用导数知识判断其单调性，进而将不等式进行等价转化．16．已知()2ln 1f x x x mx =++-在区间()1,2上为单调递增函数，则实数m 的取值范围是__________．【答案】3m ≥-【分析】求出导函数()'f x ，由()0f x '≥在(1,2)上恒成立可得m 的范围．【详解】2121()2x mx f x x m x x++'=++=，由题意()0f x '≥在(1,2)x ∈时恒成立， 即2210x mx ++≥在(1,2)x ∈时恒成立，22112x m x x x +-≤=+， 由对勾函数性质知12y x x=+在(1,2)单调递增，所以123x x +>， 所以3m -≤，即3m ≥-．故答案为：3m ≥-．【点睛】 本题考查用函数在某个区间上单调性，解题方法是把问题转化为不等式恒成立，再转化为求函数的最值．解题基础求出导函数．四、解答题17．已知向量a 与b 的夹角34πθ=，且3a =，22b =． （1）求a b ⋅，a b +； （2）求a 与a b +的夹角的余弦值．【答案】（1）6a b ⋅=-，5a b +=；（2 【分析】 （1）利用平面向量数量积的定义可计算得出a b ⋅的值，利用平面向量数量积的运算性质计算得出()2a b a b +=+的值； （2）计算出()a a b ⋅+的值，利用平面向量夹角的余弦公式可求得a 与a b +的夹角的余弦值．【详解】（1）由已知，得cos 362a b a b θ⎛⋅=⋅=⨯-=- ⎝⎭，()222223a b a b a a b b +=+=+⋅+=+=（2）设a 与a b +的夹角为α， 则()296cos 535a ab a a ba ab a a b α⋅++⋅-====⨯⋅+⋅+， 因此，a 与a b +. 18．如图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，点,E F 分别为,AD PC 的中点，且1DC =，PC =（1）证明：//DF 平面PBE ；（2）求二面角A PB C --的大小.【答案】（1）见解析（2）120.【分析】（1）取PB 的中点为G ，连接,EG FG ，可证四边形DEGF 为平行四边形，则//DF EG ，即可得证；（2）以D 为坐标原点，DA 、DC 、DP 所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦值，再由特殊角的三角函数值求出角度；【详解】解：（1）证明：取PB 的中点为G ，连接,EG FG又F 为PC 的中点，所以//FG BC ，且12FG BC =， 因为//DE BC ，且12DE BC =， 所以//DE FG ，且DE FG =，故四边形DEGF 为平行四边形，则//DF EG又DF ⊄平面PBE ，EG ⊂平面PBE ，所以//DF 平面PBE ，（2）因为1DC =，PC =PD ⊥平面ABCD ，所以1PD = 而四边形ABCD 为正方形，所以可如图建立空间直角坐标系D xyz - ()1,0,0A ，()1,1,0B ，()0,0,1P ，()0,1,0C所以()1,1,1PB =-，()1,0,1PA =-，()0,1,1PC =-设平面APB 的一个法向量为(),,m x y z =，则00PB m PA m ⎧⋅=⎨⋅=⎩ ①00x y z x z +-=⎧⎨-=⎩，()1,0,1m ∴=同理可得平面PBC 的一个法向量为()0,1,1n = 所以1cos ,2m nm n m n ⋅==， 由图知二面角A PB C --为钝角，则大小为120.【点睛】本题考查线面平行的判定，利用空间向量法求二面角，属于中档题.19．已知函数3()f x ax bx c =++在2x =处取得极值为16c -. （1）求a 、b 的值；（2）若()f x 有极大值28，求()f x 在[33]-，上的最大值. 【答案】(1) 112a b =⎧⎨=-⎩;(2) 最小值为(2)4f =-.【解析】试题分析：（1）()23f x ax b '=+，有()()20216f f c ⎧==-'⎪⎨⎪⎩，得112a b =⎧⎨=-⎩；（2）()f x 在12x =-处取得极大值()21628f c -=+=，在22x =处取得极小值()2164f c =-=-，最小值为()24f =-. 试题解析：（1）因()3f x ax bx c =++故()23f x ax b '=+由于()f x 在点2x =处取得极值故有()()20216f f c ⎧==-'⎪⎨⎪⎩即1208216a b a b c +=⎧⎨+=-⎩，化简得12048a b a b +=⎧⎨+=-⎩解得112a b =⎧⎨=-⎩ (2).知()312f x x x c =-+，()2312f x x -'=令()0f x '=，得12x =-，22x =当()2x ∈-∞-，时，()0f x '>故()f x 在()2-∞-，上为增函数； 当()22x ∈-，时，()0f x '<故()f x 在()22，-上为减函数； 当()2x ∈+∞，时，()0f x '>，故()f x 在()2+∞，上为增函数． 由此可知()f x 在12x =-处取得极大值()216f c -=+．()f x 在22x =处取得极小值()216f c =-由题设条件知1628c +=得12c =此时()3921f c -=+=，()393f c =-+=，()2164f c =-=-因此()f x 上[]33-，的最小值为()24f =-. 20．某偏远贫困村积极响应国家“扶贫攻坚”政策，在对口帮扶单位的支持下建了一个工厂，已知每件产品的成本为a 元，预计当每件产品的售价为x 元()38x ≤≤时，年销量为()29x -万件.若每件产品的售价定为6元时，预计年利润为27万元 （1）试求每件产品的成本a 的值；（2）当每件产品的售价定为多少元时？年利润y （万元）最大，并求最大值． 【答案】（1）3a =；（2）每件产品的售价定为5元时，年利润y 最大，最大值为32万元. 【分析】（1）求得利润为()()29y x a x =--，代入点()6,27可求得实数a 的值；（2）由（1）可得出()()239y x x =--，()38x ≤≤，利用导数求出y 的最大值及其对应的x 的值，即可得出结论. 【详解】（1）由题意可知，该产品的年利润为()()29y x a x =--，()38x ≤≤，当6x =时，()9627y a =⨯-=，解得：3a =； （2）由()()239y x x =--，()38x ≤≤，得：()()()()()292399315y x x x x x '=-+--=--， 由0y '=，得5x =或9x =（舍）.当[)3,5x ∈时，0y '>，当(]5,8x ∈时，0y '<.所以当5x =时，max 32y =（万元）即每件产品的售价定为5元时，年利润y 最大，最大值为32万元. 【点睛】思路点睛：解函数应用题的一般程序：第一步：审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；第二步：建模——将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型； 第三步：求模——求解数学模型，得到数学结论；第四步：还原——将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义；第五步：反思回顾——对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学解对实际问题的合理性．21．如图1，在边长为2的菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，DE AB ⊥于点E ，将ADE ∆沿DE 折起到1A DE ∆的位置，使1A D BE ⊥，如图2.（1）求证：1A E ⊥平面BCDE ；（2）在线段BD 上是否存在点P ，使平面1A EP ⊥平面1A BD ？若存在，求BPBD的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）存在，且14BP BD = 【分析】（1）1A D BE ⊥，ED BE ⊥，由线面垂直的判定定理得到BE ⊥平面1A DE ，从而有1BE A E ⊥，又1A E DE ⊥，再由线面垂直的判定定理证明。
2016-2017年福建省厦门市湖滨中学高二(下)期中数学试卷(文科)和答案
2016-2017学年福建省厦门市湖滨中学高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题（每题5分）1．（5分）已知z=（m+3）+（m﹣1）i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是（）A．（﹣3，1）B．（﹣1，3）C．（1，+∞）D．（﹣∞，﹣3）2．（5分）用反证法证明命题：“若a，b，c为不全相等的实数，且a+b+c=0，则a，b，c至少有一个负数”，假设原命题不成立的内容是（）A．a，b，c都大于0B．a，b，c都是非负数C．a，b，c至多两个负数D．a，b，c至多一个负数3．（5分）已知函数f（x）=e x（x+1），则f′（1）等于（）A．e B．2e C．3e D．4e4．（5分）在两个变量y与x的回归模型中，选择了4个不同模型，其中拟合效果最好的模型是（）A．相关指数R2为0.95的模型B．相关指数R2为0.81的模型C．相关指数R2为0.50的模型D．相关指数R2为0.32的模型5．（5分）给出演绎推理的“三段论”：直线平行于平面，则平行于平面内所有的直线；（大前提）已知直线b∥平面α．，直线α⊂平面α；（小前提）则直线b∥直线α（结论）那么这个推理是（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误6．（5分）如表是某厂1～4月份用水量（单位：百吨）的一组数据．由散点图可知，用水量y与月份x之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是=﹣0.7x+a，则a=（）A．10.5B．5.15C．5.2D．5.257．（5分）设函数f（x）=+lnx，则（）A．为f（x）的极小值点B．x=2为f（x）的极大值点C．为f（x）的极大值点D．x=2为f（x）的极小值点8．（5分）已知函数f（x）的部分图象如图，则f（x）的解析式可能为（）A．f（x）=x sin x B．f（x）=x cos x﹣sin xC．f（x）=x cos x D．f（x）=x cos x+sin x9．（5分）将正整数按下表排列：则101在（）A．第25行，第1列B．第25行，第4列C．第26行，第1列D．第26行，第4列10．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=（）A．5B．6C．7D．811．（5分）定义在R上的函数f（x），其导函数是f′（x），若x•f′（x）+f（x）＜0，则下列结论一定正确的是（）A．3f（2）＜2f（3）B．3f（2）＞2f（3）C．2f（2）＜3f（3）D．2f（2）＞3f（3）12．（5分）设函数f（x）=e x（2x﹣1）﹣ax+a，其中a＜1，若存在唯一的整数x0使得f（x0）＜0，则a的取值范围是（）A．[）B．[）C．[）D．[）二、填空题（每题5分）13．（5分）i是虚数单位，复数z满足（1+i）z=2，则z的实部为．14．（5分）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是．15．（5分）1854年，地质学家W．K．劳夫特斯在森凯莱（古巴比伦地名）挖掘出两块泥板，其中一块泥板记着：92=81=60+21=1•21102=100=60+40=1•40112=121=2×60+1=2•1122=144=2×60+24=2•24…照此规律，582=．（写成“a•b”的形式）16．（5分）已知函数f（x）=有且仅有三个极值点，则a的取值范围是．三、解答题17．（10分）计算：（1）（2）+．18．（12分）.在某次电影展映活动中，展映的影片类型有科幻片和文艺片两种．统计数据显示，100名男性观众中选择科幻片的有60名，60名女性观众中选择文艺片的有40名．（Ⅰ）根据已知条件完成2×2列联表：（Ⅱ）判断能否在犯错误的概率不超过0.01的情况下认为“观影类型与性别有关”？随机变量（其中n=a+b+c+d）临界值表19．（12分）已知函数f（x）=x3﹣3x2﹣9x﹣3（1）若函数f（x）在点（x0，f（x0））处的切线方程为y=﹣9x+b，求b的值；（2）求函数f（x）的极值．20．（12分）网购已成为当今消费者喜欢的购物方式，某机构对A、B、C、D四家同类运动服装网店的关注人数x（千人）与其商品销售件数y（百件）进行统计对比，得到表格：由散点图得知，可以用回归直线方程y=bx+a来近似刻画它们之间的关系（1）求y与x的回归直线方程；（2）在（1）的回归模型中，请用R2说明，销售件数的差异有多大程度是由关注人数引起的？（精确到0.01）参考公式：：；；R2═1﹣参考数据：x i y i=320；x2=110．21．（12分）已知函数f（x）=﹣2xlnx+x2﹣2ax+a2，其中a＞0．（Ⅰ）设g（x）是f（x）的导函数，讨论g（x）的单调性；（Ⅱ）证明：存在a∈（0，1），使得f（x）≥0恒成立，且f（x）=0在区间（1，+∞）内有唯一解．22．（12分）设函数f（x）=e x﹣ax﹣2．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若a=1，k为整数，且当x＞0时，（x﹣k）f′（x）+x+1＞0，求k的最大值．2016-2017学年福建省厦门市湖滨中学高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每题5分）1．（5分）已知z=（m+3）+（m﹣1）i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是（）A．（﹣3，1）B．（﹣1，3）C．（1，+∞）D．（﹣∞，﹣3）【解答】解：z=（m+3）+（m﹣1）i在复平面内对应的点在第四象限，可得：，解得﹣3＜m＜1．故选：A．2．（5分）用反证法证明命题：“若a，b，c为不全相等的实数，且a+b+c=0，则a，b，c至少有一个负数”，假设原命题不成立的内容是（）A．a，b，c都大于0B．a，b，c都是非负数C．a，b，c至多两个负数D．a，b，c至多一个负数【解答】解：“a，b，c中至少有一个负数”的否定为“a，b，c都是非负数”，由用反证法证明数学命题的方法可得，应假设“a，b，c都是非负数”，故选：B．3．（5分）已知函数f（x）=e x（x+1），则f′（1）等于（）A．e B．2e C．3e D．4e【解答】解：f′（x）=（e x）′（x+1）+e x（x+1）′=e x（x+2），∴f′（1）=e1（1+2）=3e，故选：C．4．（5分）在两个变量y与x的回归模型中，选择了4个不同模型，其中拟合效果最好的模型是（）A．相关指数R2为0.95的模型B．相关指数R2为0.81的模型C．相关指数R2为0.50的模型D．相关指数R2为0.32的模型【解答】解：相关指数R2越大，拟合效果越好．∵R2=0.95在四个选项中最大，∴其拟合效果最好，故选：A．5．（5分）给出演绎推理的“三段论”：直线平行于平面，则平行于平面内所有的直线；（大前提）已知直线b∥平面α．，直线α⊂平面α；（小前提）则直线b∥直线α（结论）那么这个推理是（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误【解答】解：因为直线平行于平面，所以直线与平面没有公共点，则直线与面内所有的直线平行或异面，所以大前提错误，故选：A．6．（5分）如表是某厂1～4月份用水量（单位：百吨）的一组数据．由散点图可知，用水量y与月份x之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是=﹣0.7x+a，则a=（）A．10.5B．5.15C．5.2D．5.25【解答】解：=（1+2+3+4）=2.5，=（4.5+4+3+2.5）=3.5，将（2.5，3.5）代入线性回归直线方程是：=﹣0.7x+a，可得3.5=﹣1.75+a，故a=5.25，故选：D．7．（5分）设函数f（x）=+lnx，则（）A．为f（x）的极小值点B．x=2为f（x）的极大值点C．为f（x）的极大值点D．x=2为f（x）的极小值点【解答】解：f′（x）=﹣=，当0＜x＜2时，f′（x）＜0；当x＞2时f′（x）＞0，所以x=2为f（x）的极小值点，故选：D．8．（5分）已知函数f（x）的部分图象如图，则f（x）的解析式可能为（）A．f（x）=x sin x B．f（x）=x cos x﹣sin xC．f（x）=x cos x D．f（x）=x cos x+sin x【解答】解：由题意可知函数是奇函数，可知A不正确；f（x）=x cos x，f（x）=x cos x+sin x，当x∈（0，）时，两个函数值都是正数，与函数的图象不符，故选：B．9．（5分）将正整数按下表排列：则101在（）A．第25行，第1列B．第25行，第4列C．第26行，第1列D．第26行，第4列【解答】解：由题意得，每行四个数，奇数行从小到大排列，偶数行从大到小排列，∴101÷4=25余1，∴101这个数为第26行第4列，故选：D．10．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=（）A．5B．6C．7D．8【解答】解：第一次执行循环体后，S=，m=，n=1，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=，m=，n=2，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=，m=，n=3，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=，m=，n=4，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=，m=，n=5，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=，m=，n=6，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=，m=，n=7，满足退出循环的条件；故输出的n值为7，故选：C．11．（5分）定义在R上的函数f（x），其导函数是f′（x），若x•f′（x）+f（x）＜0，则下列结论一定正确的是（）A．3f（2）＜2f（3）B．3f（2）＞2f（3）C．2f（2）＜3f（3）D．2f（2）＞3f（3）【解答】解：设g（x）=xf（x），则g′（x）=[xf（x）]′=xf′（x）+f（x）＜0，即函数g（x）=xf（x）单调递减，显然g（2）＞g（3），则2f（2）＞3f（3），故选：D．12．（5分）设函数f（x）=e x（2x﹣1）﹣ax+a，其中a＜1，若存在唯一的整数x0使得f（x0）＜0，则a的取值范围是（）A．[）B．[）C．[）D．[）【解答】解：设g（x）=e x（2x﹣1），y=ax﹣a，由题意知存在唯一的整数x0使得g（x0）在直线y=ax﹣a的下方，∵g′（x）=e x（2x﹣1）+2e x=e x（2x+1），∴当x＜﹣时，g′（x）＜0，当x＞﹣时，g′（x）＞0，∴当x=﹣时，g（x）取最小值﹣2，当x=0时，g（0）=﹣1，当x=1时，g（1）=e＞0，直线y=ax﹣a恒过定点（1，0）且斜率为a，故﹣a＞g（0）=﹣1且g（﹣1）=﹣3e﹣1≥﹣a﹣a，解得≤a＜1故选：D．二、填空题（每题5分）13．（5分）i是虚数单位，复数z满足（1+i）z=2，则z的实部为1．【解答】解：由（1+i）z=2，得，∴z的实部为1．故答案为：1．14．（5分）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是1和3．【解答】解：根据丙的说法知，丙的卡片上写着1和2，或1和3；（1）若丙的卡片上写着1和2，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3；∴根据甲的说法知，甲的卡片上写着1和3；（2）若丙的卡片上写着1和3，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3；又甲说，“我与乙的卡片上相同的数字不是2”；∴甲的卡片上写的数字不是1和2，这与已知矛盾；∴甲的卡片上的数字是1和3．故答案为：1和3．15．（5分）1854年，地质学家W．K．劳夫特斯在森凯莱（古巴比伦地名）挖掘出两块泥板，其中一块泥板记着：92=81=60+21=1•21102=100=60+40=1•40112=121=2×60+1=2•1122=144=2×60+24=2•24…照此规律，582=56•4．（写成“a•b”的形式）【解答】解：由题意得，92=81=60+21=1•21，102=100=60+40=1•40，112=121=2×60+1=2•1，122=144=2×60+24=2•24，…∴582=3364=56×60+4=56•4，故答案为：56•4．16．（5分）已知函数f（x）=有且仅有三个极值点，则a的取值范围是（0，）．【解答】解：①当a=0时，f（x）=，此时f（x）在（﹣∞，0）上不存在极值点，在（0，+∞）上有且只有一个极值点，显然不成立，②当a＜0时，若x＜0，则f（x）=x2+ax，对称轴，在（﹣∞，0）上不存在极值点，若x＞0，则f（x）=xlnx﹣ax2，f'（x）=lnx+1﹣2ax，令g（x）=lnx+1﹣2ax，（x＞0），则，即g（x）在（0，+∞）上单调递增，∴g（x）有且仅有1个零，即f'（x）有且仅有一个零点，即f（x）只有一个极值点，显然不成立，③当a＞0时若x＜0，则f（x）=x2+ax，对称轴x=﹣＜0，在（﹣∞，0）存在1个极值点若x＞0，则f（x）=xlnx﹣ax2，∴f′（x）=lnx+1﹣2ax，令g（x）=lnx+1﹣2ax，（x＞0），则g′（x）=﹣2a=﹣由g'（x）＞0可得，由g′（x）＜0可得x＞，∴g（x）在上单调递增，在（，0）上单调递减，则，要让（x）=xlnx﹣ax2有2个极值点，须让g（x）=f'（x）有两个零点，即只须让g（x）max＞0，即g（x）max=﹣ln2a＞0，解得得综上所述a的取值范围为（0，）．故答案为：．三、解答题17．（10分）计算：（1）（2）+．【解答】解：（1）化简可得==﹣1﹣3i．（2）+=+=+=﹣1．18．（12分）.在某次电影展映活动中，展映的影片类型有科幻片和文艺片两种．统计数据显示，100名男性观众中选择科幻片的有60名，60名女性观众中选择文艺片的有40名．（Ⅰ）根据已知条件完成2×2列联表：（Ⅱ）判断能否在犯错误的概率不超过0.01的情况下认为“观影类型与性别有关”？随机变量（其中n=a+b+c+d）临界值表【解答】解：（Ⅰ）（Ⅱ）假设观影类型与性别无关，由表中数据可得由表中数据可得．∴能在犯错误的概率不超过0.01的情况下认为“观影类型与性别有关”．19．（12分）已知函数f（x）=x3﹣3x2﹣9x﹣3（1）若函数f（x）在点（x0，f（x0））处的切线方程为y=﹣9x+b，求b的值；（2）求函数f（x）的极值．【解答】解：（1）f′（x）=3x2﹣6x﹣9，根据题意，；∴x0=0，或2；∴①当x0=0时，f（x0）=﹣3；∴切线方程为y =﹣9x ﹣3； ∴b =﹣3；②当x 0=2时，f （x 0）=﹣25； 切线方程为y =﹣9x ﹣7； ∴b =﹣7；（2）f ′（x ）=3（x ﹣3）（x +1）；∴x ＜﹣1时，f ′（x ）＞0，﹣1＜x ＜3时，f ′（x ）＜0，x ＞3时，f ′（x ）＞0； ∴f （x ）的极大值为f （﹣1）=2，f （x ）的极小值为f （3）=﹣30．20．（12分）网购已成为当今消费者喜欢的购物方式，某机构对A 、B 、C 、D 四家同类运动服装网店的关注人数x （千人）与其商品销售件数y （百件）进行统计对比，得到表格：由散点图得知，可以用回归直线方程y =bx +a 来近似刻画它们之间的关系 （1）求y 与x 的回归直线方程；（2）在（1）的回归模型中，请用R 2说明，销售件数的差异有多大程度是由关注人数引起的？（精确到0.01）参考公式：：；；R 2═1﹣参考数据：x i y i =320；x 2=110．【解答】解：（1）由==5，==15，x i y i =320，=110，===2，∴=15﹣2×5=5，∴线性回归方程为=2x+5；（2）（y i﹣）2=54，（y i﹣）2=14，R2═1﹣=1﹣=0.74，说明销售件数的差异有74%程度是由关注人数引起的．21．（12分）已知函数f（x）=﹣2xlnx+x2﹣2ax+a2，其中a＞0．（Ⅰ）设g（x）是f（x）的导函数，讨论g（x）的单调性；（Ⅱ）证明：存在a∈（0，1），使得f（x）≥0恒成立，且f（x）=0在区间（1，+∞）内有唯一解．【解答】（I）解：函数f（x）=﹣2xlnx+x2﹣2ax+a2，其中a＞0．可得：x＞0．g（x）=f′（x）=2（x﹣1﹣lnx﹣a），∴g′（x）==，当0＜x＜1时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减；当1＜x时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增．（II）证明：由f′（x）=2（x﹣1﹣lnx﹣a）=0，解得a=x﹣1﹣lnx，令u（x）=﹣2xlnx+x2﹣2（x﹣1﹣lnx）x+（x﹣1﹣lnx）2=（1+lnx）2﹣2xlnx，则u（1）=1＞0，u（e）=2（2﹣e）＜0，∴存在x0∈（1，e），使得u（x0）=0，令a0=x0﹣1﹣lnx0=v（x0），其中v（x）=x﹣1﹣lnx（x≥1），由v′（x）=1﹣≥0，可得：函数v（x）在区间（1，+∞）上单调递增．∴0=v（1）＜a0=v（x0）＜v（e）=e﹣2＜1，即a0∈（0，1），当a=a0时，有f′（x0）=0，f（x0）=u（x0）=0．再由（I）可知：f′（x）在区间（1，+∞）上单调递增，当x∈（1，x0）时，f′（x）＜0，∴f（x）＞f（x0）=0；当x∈（x0，+∞）时，f′（x）＞0，∴f（x）＞f（x0）=0；又当x∈（0，1]，f（x）=﹣2xlnx＞0．故当x∈（0，+∞）时，f（x）≥0恒成立．综上所述：存在a∈（0，1），使得f（x）≥0恒成立，且f（x）=0在区间（1，+∞）内有唯一解．22．（12分）设函数f（x）=e x﹣ax﹣2．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若a=1，k为整数，且当x＞0时，（x﹣k）f′（x）+x+1＞0，求k的最大值．【解答】解：（I）函数f（x）=e x﹣ax﹣2的定义域是R，f′（x）=e x﹣a，若a≤0，则f′（x）=e x﹣a≥0，所以函数f（x）=e x﹣ax﹣2在（﹣∞，+∞）上单调递增．若a＞0，则当x∈（﹣∞，lna）时，f′（x）=e x﹣a＜0；当x∈（lna，+∞）时，f′（x）=e x﹣a＞0；所以，f（x）在（﹣∞，lna）单调递减，在（lna，+∞）上单调递增．（II）由于a=1，所以，（x﹣k）f′（x）+x+1=（x﹣k）（e x﹣1）+x+1故当x＞0时，（x﹣k）f′（x）+x+1＞0等价于k＜（x＞0）①令g（x）=，则g′（x）=由（I）知，当a=1时，函数h（x）=e x﹣x﹣2在（0，+∞）上单调递增，而h（1）＜0，h（2）＞0，所以h（x）=e x﹣x﹣2在（0，+∞）上存在唯一的零点，故g′（x）在（0，+∞）上存在唯一的零点，设此零点为α，则有α∈（1，2）当x∈（0，α）时，g′（x）＜0；当x∈（α，+∞）时，g′（x）＞0；所以g（x）在（0，+∞）上的最小值为g（α）．又由g′（α）=0，可得eα=α+2所以g（α）=α+1∈（2，3）由于①式等价于k＜g（α），故整数k的最大值为2．。