4-1 复域：根轨迹法1
第四章控制系统的根轨迹法
应掌握的内容
180度，0度根轨迹的绘制 参数根轨迹的绘制 增加开环零、极点对根轨迹和系统性能的影响 分析系统的稳定性 分析系统的瞬态和稳态性能 对于二阶系统（及具有闭环主导共轭复数极点的高阶 系统），根据性能指标的要求在复平面上划出满足这一 要求的闭环极点（或高阶系统主导极点）应在的区域。
11
第四章 控制系统的根轨迹法
1
根轨迹概念
根据系统的零极点分布可间接地研究控制系统的性 能。在复平面上由开环零极点确定闭环零极点的图解方 法称为根轨迹法。 根轨迹定义：开环系统某一参数从零变化到无穷大时，
闭环系统特征方程的根在s平面上变化的轨迹。
根轨迹的类型：
常规根轨迹：包括180度等相角根轨迹和零度等相角根 轨迹。轨迹增益kg从0变化到无穷大时的根轨迹称为180度 根轨迹； kg从0变化到负无穷大时的根轨迹称为0度根轨迹。
分别为-2.93和-17.1，
分离（会合）角为90
45
度。根轨迹为圆，如
右图所示。
13
当
OB,其方程为
2 2
时，阻尼角 45，表示45 角的直线为
，代入闭环特征方程整理后得：
5 k10k j 2 2 5 k 0
令实部和虚部分别为零，有
5 k10k 0
2 5 k 0
增加开环极点对根轨迹的影响 （1）一般可使根轨迹向右半s平面弯曲或移动，降低 系统的相对稳定性，减小系统的阻尼。 （2）改变渐近线的倾角，增加渐近线的条数。
8
利用根轨迹分析系统性能
利用根轨迹可确定使系统稳定的参数范围 根轨迹处于s左半平面部分的系统是稳定的。
瞬态性能分析 闭环系统的零、极点和瞬态响应的关系在前面已讨
9
利用根轨迹分析系统性能(续)
第四章 根轨迹法
4－1根轨迹的基本概念
制作：储春华
cchxmw@
一、根轨迹定义
定义：根轨迹是指系统开环传递函数中某个参数
（如开环增益K）从零变到无穷时，闭环特征根在 s平面上移动的轨迹。
③ 系统的动态性能
4－2 绘制根轨迹的基本 法则
系统的开环传递函数为：
As 1 G( s) K g s ( s 2)( s 3)
当A和kg取不同值时，绘出的根轨迹是什么类型的根轨迹。
分以下几种情况说明： Kg为常数，A为变数时，为参量根轨迹；
A为常数，kg为变数时，为常规根轨迹（包括180 度和0度根轨迹）；
描述闭环系统特征方程的根（即闭环极点）在S平面上
的分布，根轨迹的分支数就应等于系统特征方程的阶
数。
系统开环根轨迹增益 K * ( 实变量）与复变量 s 有一
一对应的关系，当 K * 由零到无穷大连续变化时，描述 因此，根轨迹是n条连续的曲线。
制作：储春华 cchxmw@
系统特征方程根的复变量s在平面上的变化也是连续的。
制作：储春华 cchxmw@
下面分三种情况讨沦。
1．当m=n时，即开环零点数与极点数相同时，根轨迹的起 点与终点均有确定的值。 2 ．当 m<n 时，即开环零点数小于开环极点数时，除有 m 条 根轨迹终止于开环零点 ( 有限零点 ) 外，还有 n-m 条根轨迹终 止于无穷远点(无限零点)。 3 ．当 m>n 时，即开环零点数大于开环极点数时，除有 n 条
l
j
) )
j
* K
( s z (s s
第四章控制系统的根轨迹法
应掌握的内容
180度，0度根轨迹的绘制 参数根轨迹的绘制 增加开环零、极点对根轨迹和系统性能的影响 分析系统的稳定性 分析系统的瞬态和稳态性能 对于二阶系统（及具有闭环主导共轭复数极点的高阶 系统），根据性能指标的要求在复平面上划出满足这一 要求的闭环极点（或高阶系统主导极点）应在的区域。
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[例4-1]系统的开环传递函数为：Gk (s)
由根轨迹图可知，当0 k 0.858时，闭环系统有一对
不等的负实数极点，其瞬态响应呈过阻尼状态。当 0.858 k 29.14 时，闭环系统有一对共轭复数极点，其瞬 态响应呈欠阻尼状态。当29.14 k 时，闭环系统又有一 对不等的负实数极点，瞬态响应又呈过阻尼状态。
14
[例4-3]控制系统的结构图如下图所示。试绘制以a为参变 量时的根轨迹。
解得 k 5, 5 由图可知当k 5 时直线OB与圆相切，系统的阻 尼比 1 ，特征根为 5 j5 。
2
13
对于分离点 2.93 ，由幅值条件可知
2.93 5 2.93 k1 10 2.93 0.858
对于会合点17.07 ，有
45
17.07 5 17.0 k2 10 17.07 29.14
论过，利用根轨迹可清楚地看到开环根轨迹增益或其他参 数变化时，闭环系统极点位置及其瞬态性能的改变情况。
利用根轨迹确定系统的有关参数 对于二阶系统（及具有闭环主导共轭复数极点的高阶系 统），通常可根据性能指标的要求在复平面上划出满足 这一要求的闭环极点（或高阶系统主导极点）应在的区 域。如下页图所示，具有实部 和阻尼角 划成的左区域 满足的性能指标为：
17
例4-4（续2）
其分离回合点计算如下：
N(s) s2 3s, N ' (s) 2s 3
自动控制原理第4章根轨迹法精
m
( zj )
K K*
J 1 n
( pi )
i 1
zj
1
j
(j
1,2,, m);
pi
1 Ti
(i
1,2,, n)
可写出幅值方程与相角方程，即
G(s)H (s) 1
G(s)H(s) 1
开环零点: z1 1.5; z2,3 2 j
（1）实轴（0~1.5）和（ 2.5 ~ ）有根轨迹。
（2）渐近线n=4 m=3，故只有一条根轨迹趋向无穷远。由实根
轨迹可知 180 。
（3）根轨迹出射角与入射角。
出射角
3
4
p2 ( 2K 1) ( p2 zi ) ( p2 pi )
d= -3.7
s2 4s 1 0
解法2 用公式有
1 1 1
d 1 j 2 d 1 j 2 d 2
解此方程 d1 3.7, d2 0.3
d1在根轨迹上，即为所求的分离点，d2不在根轨迹上舍去。 因为
z1 2, p1,2 1 j 2 n=2,m=1
系统有两条根轨迹，一条消失于零点，另一条趋于负无穷远 在实轴（－2，－∞）区段有根轨迹。 出射角
4.1根轨迹与根轨迹方程
什么是时域分析? 指控制系统在一定的输入下，根据输出量的时
域表达式，分析系统的稳定性、瞬态和稳态性能。
4.1.1 根轨迹 4.1.2 根轨迹方程
4.1.1 根轨迹
[根轨迹定义]：系统开环传递函数增益K（或某一参数）由零到 无穷大变化时，闭环系统特征根在S平面上移动的轨迹。
例：如图所示二阶系统，
自动控制原理第四章根轨迹法(管理PPT)
根轨迹法的优化建议
结合其他方法
将根轨迹法与其他分析方 法（如频率响应法）相结 合，以获得更全面的系统 性能分析。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ开发软件工具
开发专门用于根轨迹分析 的软件工具，以提高分析 的效率和准确性。
加强实践应用
在实际工程中加强根轨迹 法的应用，通过实践不断 优化和完善该方法。
05
CATALOGUE
根轨迹法与其他控制方法的比较
根轨迹分析的实例
假设一个开环传递函数为 G(s)H(s) = (s+1)(s+2)/(s^2+2s+5)，对其进行 根轨迹分析。
分析根轨迹图，确定系统的稳定性、 动态性能和系统参数的影响。
根据开环传递函数，绘制出根轨迹图 ，并标注出系统的极点和零点。
根据根轨迹图进行系统设计和优化， 例如调整开环传递函数的增益参数， 以改善系统的性能。
对于非线性系统，根轨迹法可能无法给出准确的描述和分析。
04
CATALOGUE
根轨迹法的改进与优化
根轨迹法的局限性与挑战
参数敏感性
根轨迹法对系统参数的微小变化非常敏感，可能导致根轨迹的剧 烈变化，影响系统的稳定性。
无法处理非线性系统
根轨迹法主要适用于线性系统，对于非线性系统的分析存在局限性 。
计算复杂度较高
和设计。
对于具有特定性能指标要求的系统，如 快速响应、低超调量等，可以根据系统 特性和性能要求选择适合的控制方法，
如状态反馈控制器等。
06
CATALOGUE
根轨迹法的实际应用案例
根轨迹法在工业控制系统中的应用
根轨迹法在工业控制系统中广泛应用于系统的分析和设计。通过绘制根轨迹图，可以直观地 了解系统性能的变化，如稳定性、响应速度和超调量等。
自动控制原理-胡寿松-第四章-线性系统的根轨迹法.详解
系统的信号流图见图4-28，从信号流图中看出，系统中含有一个积分环节， 因此为1型系统，因此系统对阶跃输入信号的稳态误差为0。
K m 变化时系统的根轨迹， 2）为了绘制电动机传递系数（含放大器附加增益） 可将有关参数代入传递函数中，并将系统的特征方程进行整理，等价根轨迹增 益方程为：
1 K* P( s ) ( s 6.93 j 6.93)( s 6.93 j 6.93) 1 K * Q( s ) s 2 ( s 13.86)
当所有根轨迹分支都在左半平面时，系统稳定。 2) 稳态性能：
回忆：稳态性能主要取决于系统的开环增益和积分环节个数。
由根轨迹图不仅可以方便的确定开环增益和积分环节个数，而且可以根据给定系统 的稳态误差要求, 确定闭环极点位置的容许范围。
3)动态性能： 回忆：动态性能形态主要取决于系统的——闭环极点。 从根轨迹图上，可以直观地看到特征根随着参数的变化情况，从而，可以方便地 确定动态性能随着参数的变化情况。
K * lim
s
j 1 i 1 m
n
s pi s zj
lim s
s
nm
, 0 ,
nm nm
（无穷零点）
（无穷极点）
(n m 1)
（续）
且均为实数开环零、极点。
（续）
（续）
小结论： 由两个极点（实数极点或者复数极点）和一个有限零点组成的开环系 统，只要有限零点没有位于两个实数极点之间，当 K * 从零变化到无穷时， 闭环根轨迹的复数部分，是以有限零点为圆心，以有限零点到重根点的距 离为半径的一个圆，或圆的一部分。这在数学上是可以严格证明的。
例如，在上列程序之后增加语句： [k,p]=rlocfind(num,den)
根轨迹法根轨迹法
看出：模值方程与K*有关，而相角方程 与K*无关。因此，相角方程是决定闭环 根轨迹的充分必要条件，而模值方程是 用来确定根轨迹上各点对应的K*值。
自动控制原理
第四章 复域分析法－根轨迹法
4.2 绘制根轨迹图的基本法则 法则1 根轨迹的分支数：
n 阶系统根轨迹有 n 条分支。
法则2 根轨迹的对称性： 根轨迹是关于实轴对称的。
K
j
K=2.5
2
K=1
1
K=0
K=0.5 K=0
-2 -1
K=1
-1
K=2.5
-2
K
自动控制原理
第四章 复域分析法－根轨迹法
二、根轨迹与系统的性能
稳 定 性 ： 只 要 K>0， 则根轨迹在s平面的左
K
j
K=2.5
2
半平面，因此，系统 是稳定的。
K=1
1
稳态性能：有一个开
K=0
K=0.5 K=0
法则3 根轨迹的起点、终点： 根轨迹起于开环极点 pi， 终止于开环零点 zj (m条)， 或趋于无穷
远点(n-m条)。
自动控制原理
第四章 复域分析法－根轨迹法
证明： 由根轨迹方程，得
m
j1 n
(s (s
zj) pi )
1 K*
i 1
令K* =0，得
m
j1 n
(s (s
zj) pi )
1 K*
自动控制原理
第四章 复域分析法－根轨迹法
4.1 根轨迹的基本概念
一、根轨迹的定义
根轨迹：是指系统开环传递函数中某个参数 (如开环增益K)从零变到无穷时，闭环特征 根在s平面上移动所画出的轨迹。
(完整版)第四章根轨迹法
j
8K * (1 K * )2 j
2
2
(1 K * ) K * 2 1
2
2 8K * (1 K * )2 8(2 1) 4 2 2 4 2
4
4
2 4 4 2 2
( 2)2 2
第四章 根轨迹法
自动控制原理课程的任务与体系结构
时域：微分方程 复域：传递函数 频域：频率特性
描述
控制系统
校正
时域法 复域法 频域法
评价系统的性能指标 稳定性 快速性（动态性能） 准确性（稳态性能）
分析
自动控制原理
§4 根轨迹法
§4.1 根轨迹法的基本概念 §4.2 绘制根轨迹的基本法则 §4.3 广义根轨迹 §4.4 利用根轨迹分析系统性能
• s平面上满足相角条件的点（必定满足模值条件） 一定在根轨迹上。 满足相角条件是s点位于根轨迹上的充分必要条件。
• 根轨迹上某点对应的 K* 值，应由模值条件来确定。
§4.2
m
绘制根轨迹的基本法则（1） G(s)H(s) =
K* s - z1 L s - zm s - p1 s - p2 L s - pn
K*
(s zi )
i 1 n
1
(s pj)
— 模值条件
j 1
m
n
G(s)H (s) (s zi ) (s p j ) (2k 1)
i 1
j1
— 相(s)H(s) =
K* s - z1 L s - zm s - p1 s - p2 L s - pn
§4 根 轨 迹 法
根轨迹法: 三大分析校正方法之一
特点： （1）图解方法，直观、形象。 （2）适合于研究当系统中某一参数变化时，系统性能的变化
自动控制原理第四章根轨迹法
第四章 根轨迹法反馈系统的稳定性由系统的闭环极点确定。
研究系统参数变化对闭环系统特性的影响，是分析系统和设计控制器的重要内容。
参数变化的作用，体现在对闭环极点的影响上。
对于高阶系统，用解析方法说明这种影响，很困难，且不易理解。
图解法是一种方便的近似方法。
l 、基本内容和要点 （l ）根轨迹的基本概念根轨迹的定义。
以二阶系统为例说明什么是根轨迹，怎样从根轨迹分析闭环零、极点与系统的性能。
（2）绘制根轨迹的基本规则根轨迹的特点和性质。
绘制以系统开环增益K 为变量的根轨迹的规则与方法。
常见的几种典型系统的根轨迹图。
（3）参数根轨迹参数根轨迹的定义。
多参变量根轨迹。
多环系统的根轨迹。
（4）非最小相位系统的根轨迹最小相位和非最小相位系统的定义和特点。
非最小相位系统根轨迹的特点和绘制规则。
（5）含有延迟环节的系统的根轨迹有延迟环节的系统的极轨迹特点及绘制规则。
延迟环节的近似表达式及使用条件。
（6）基于根轨迹分析系统的响应根轨迹的形状，零极点的位置与系统时域响应性能指标间的关系。
几种常见的典型系统的零、极点分布与其暂态响应性能指标。
2、重点（l ）最小相位系统的以开环增益K 为变量的根轨迹的特点及其绘制的规则和方法。
（2）系统根轨迹的形状，零、极点的分布与其时域响应性能指标的关系。
3、难点对“根轨迹上所有的点只是可能的闭环极点”的理解以及非最小相位系统中含最高次冥项系数为负的因子时根轨迹的绘制。
4-1 根轨迹法的基本概念1． 根轨迹概念根轨迹法：根据参数变化∞→0，研究系统闭环极点变化轨迹的一种图解方法。
即在参数变化时图解特征方程。
近似作图；重要区域，如与虚轴的交点与实轴的交点等，根轨迹要准确；依据根轨迹图，可以确定合适的系统参数，为设计控制器提供依据。
例图4-1，研究系统的开环增益K 的变化∞→0， 对闭环极点的影响。
开环传递函数)15.0()(+=s s Ks G ，闭环传递函数Ks s K s 222)(2++=Φ，特征方程0222=++K s s ，根轨迹方程1)2(-=+s s k ，∞→=0,2K k 。
自动控制原理第四章根轨迹法
根轨迹法可用于仿真和实验研究，通过模拟和实验 验证系统的性能和稳定性，为实际系统的设计和优 化提供依据。
根轨迹法的历史与发展
历史
根轨迹法最早由美国科学家威纳于1940年提出，经过多年的 发展与完善，已经成为自动控制领域中一种重要的分析和设 计方法。
发展
随着计算机技术和数值分析方法的不断发展，根轨迹法的应 用范围和精度得到了进一步拓展和提高。未来，根轨迹法有 望与其他控制理论和方法相结合，形成更加完善和高效的控 制系统分析和设计体系。
根轨迹的性能分析
根轨迹的增益敏感性和鲁棒性
通过分析根轨迹在不同增益下的变化情况，可以评估系统的性能和鲁棒性。
根轨迹与性能指标的关系
通过比较根轨迹与某些性能指标（如超调量、调节时间等），可以评估系统的 性能。
04
根轨迹法与其他控制方法的比较
根轨迹法与PID制根轨迹图，直观地分析系统的稳定性、响应速度和超调量等性
特点
根轨迹法具有直观、简便、易于掌握等优点，特别适合用于分析 开环系统的稳定性和性能。
根轨迹法的应用场景
控制系统设计
根轨迹法可用于控制系统设计，通过调整系统参数 ，优化系统的性能指标，如稳定性、快速性和准确 性等。
故障诊断与排除
根轨迹法可用于故障诊断与排除，通过观察系统根 轨迹的变化，判断系统是否出现故障，以及故障的 类型和程度。
在绘制根轨迹时，需要遵循一定 的规则，如根轨迹与虚轴的交点 、根轨迹的分离点和汇合点等。
03
根轨迹分析方法
根轨迹的形状分析
根轨迹的起点和终点
根轨迹的起点是开环极点的位置，而 终点是闭环极点的位置。通过分析起 点和终点的位置，可以判断根轨迹的 形状。
根轨迹的分支数
闭环传递函数有三个极点
性质： 1）分离点实质是特征方程的重根； 2）分离点关于实轴对称； 3）如果实轴上两相邻开环极点之间的线段属于根 轨迹，那么这两个极点之间必定存在分离点；
K*：根轨迹增益；K*/4：开环增益。 开环极点：-p1= 0，-p2= 4；开环零点：无。
自动控制原理
特征方程：
Ds s2 4s K* 0
特征根：
s1.2 2 4 K *
第四章 复域分析法－根轨迹法
K* 20j 4
K* 8
2
p2
K* 4 p1
自动控制原理
第四章 复域分析法－根轨迹法
4.2 绘制根轨迹图的基本法则
法则1 根轨迹的分支数(n>=m)：
分支数=开环极点数=闭环极点数=系统阶数
法则2 根轨迹的对称性：关于实轴对称的
实数：在是实轴上；共轭复数：对称于实轴
法则3 根轨迹的起点、终点：
起始于开环极点，
终止于开环零点 (m条)， 或趋于无穷远处(nm条)。
自动控制原理
第四章 复域分析法－根轨迹法
证明： 特征方程为
m
n
K * (s z j ) (s pi ) 0
j 1
i 1
起点： K * 0 s pi
终点： K * s z j
K * s
n
(s pi )
K*
i 1 m
–6
–4
–2
0K * 0
-2
-4
自动控制原理
第四章 复域分析法－根轨迹法
二、根轨迹与系统的性能
稳定性： K*>0稳定
稳态性能： 1
控制系统根轨迹法
控制系统根轨迹法控制系统的设计和分析是现代工程领域中的重要任务。
为了实现系统的稳定性和性能要求，控制系统工程师采用了多种方法和技术。
其中，根轨迹法是一种常用且有效的方法，用于评估和改进系统的动态响应。
1. 系统根轨迹方法概述控制系统根轨迹方法是基于系统的传递函数，通过分析系统在复平面上的极点和零点位置来评估系统的稳定性和动态性能。
在根轨迹图中，系统的极点和零点以及传递函数的增益可以直观地展示出来，从而帮助工程师定量地了解系统的响应特性。
2. 根轨迹图的构造根轨迹图通常由两个主要的部分组成：实部为-1的轴线和虚部为0的轴线。
系统的传递函数通常表示为连续时间的形式，并且可以表示为一个或多个一阶和二阶传递函数的乘积。
根轨迹图的构造基于这些传递函数的极点和零点。
极点和零点对应于根轨迹图上的曲线，其中极点表示系统的稳定性，而零点则表示系统的过渡性能。
3. 根轨迹与稳定性根轨迹图提供了系统稳定性的重要信息。
通过观察根轨迹图，可以确定系统的稳定性。
如果根轨迹图上的所有的极点都位于左半平面，那么系统是稳定的。
相反，如果存在极点位于右半平面，系统是不稳定的。
通过调整参数或者设计控制器，可以将系统的极点移动到左半平面，从而提高系统的稳定性。
4. 根轨迹与动态响应除了稳定性，根轨迹图还提供了关于系统动态响应的信息。
通过观察根轨迹图上的曲线形状，可以了解系统的过渡特性。
例如，当根轨迹密集且靠近虚部为0的轴线时，说明系统的过渡响应非常快。
相反，当根轨迹离散且远离虚部为0的轴线时，说明系统的过渡响应比较慢。
通过分析根轨迹图，工程师可以调整系统参数来改善系统的动态响应性能。
5. 根轨迹的应用根轨迹方法是控制系统分析和设计中常用的工具之一。
它可以用于多个方面，包括控制器的设计、系统的稳定性分析和性能优化。
使用根轨迹方法，工程师可以确定合适的控制器增益、相位补偿器和频率补偿器来满足系统的设计要求。
6. 根轨迹法的局限性尽管根轨迹法在控制系统领域中被广泛应用，但它也有一些局限性。
根轨迹分析法
第四章根轨迹分析法一、主要内容<1）根轨迹法的基本概念<2）绘制180o根轨迹的基本法则<3）绘制0o根轨迹的基本法则<4）参变量系统的根轨迹<5）非最小相位系统的根轨迹<6）控制系统的根轨迹分析二、基本要求<1）理解根轨迹法、根轨迹、根轨迹方程、180o根轨迹和0o根轨迹等概念。
<2）掌握180o根轨迹的绘制方法，理解和熟记根轨迹的绘制法则，会用幅值方程求对应的<或）值。
<3）了解闭环零、极点分布和系统阶跃响应的定性关系，掌握系统根轨迹分析的基本思路。
<4）掌握0o根轨迹、参变量系统根轨迹和非最小相位系统根轨迹绘制的方法。
三、内容提要1、根轨迹法的基本概念<1）根轨迹：当系统开环传递函数中某参数<如根轨迹增益）在某一范围内<如）连续变化时，闭环特征根在S平面上移动的轨迹，称为根轨迹。
b5E2RGbCAP<2）根轨迹方程幅值方程：相角方程：。
相角方程是根轨迹的充分必要条件，而幅值方程的作用主要用来确定对应点的增益。
2、绘制180o根轨迹的基本法则法则1：根轨迹的起点和终点根轨迹起始于系统的开环极点<包括重极点），m条根轨迹终止于开环零点，条根轨迹分支终止于无穷远处。
法则2：根轨迹的连续性和分支数根轨迹具有连续性，且对称于实轴。
法则3：根轨迹的分支数根轨迹的分支数等于，即系统的阶数。
法则4：根轨迹的渐近线有条渐近线，渐近线与实轴正方向的夹角为：，渐近线与实轴的交点为：法则5：实轴上根轨迹的分布实轴上某区域，若其右边的开环零点和开环极点个数之和为奇数，则该区域必是根轨迹。
法则6：根轨迹的分离<会合）点根轨迹的分离<会合）点实质上闭环特征方程的重根，因而可以用求解方程式重根的方法来确定其在复平面上的位置。
p1EanqFDPw 设系统闭环特征方程为：满足以下任何一个方程，且保证为正实数的解，即是根轨迹的分离<会合）点。
自动控制原理第4章
z2 ) p2 )
m
sm z j n1
i 1
(s zm )
(s pn )
m
(zj)
j 1
n
( pi )
i 1
自动控制原理
第四章 复域分析法－根轨迹法
如果开环零、极点的数目满足n-m 2，则 闭环特征方程为
snnp isn 1 n( p i)K *m( zj) 0
证明：系统的闭环特征方程
n
m
D(s) (spi)K* (szj)0
i1
j1
根轨迹有分离点，说明闭环特征方程有重
根。因此，
n
m
(s pi ) K* (s zj ) 0
i1
j1
d
ds
n i1
(s
pi )
K*
m j1
(s zj )
0
自动控制原理
第四章 复域分析法－根轨迹法
将上面两式相除，整理得
自动控制原理
第四章 复域分析法－根轨迹法
4.1 根轨迹的基本概念
一、根轨迹的定义
根轨迹：是指系统开环传递函数中某个参数 (如开环增益K)从零变到无穷时，闭环特征 根在s平面上移动所画出的轨迹。
常规根轨迹：当变化的参数为开环增益时 所对应的根轨迹。
广义根轨迹：当变化的参数为开环传递函 数中其它参数时所对应的根轨迹。
自动控制原理
第四章 复域分析法－根轨迹法
证明： 由根轨迹方程，得
m
(s
j 1
n
(s
zj) pi )
1 K*
i1
令K* =0，得
m
j 1 n
(s (s
zj) pi )
1 K*
根轨迹法应用 -回复
根轨迹法应用-回复根轨迹法应用：从原理到实际应用案例解析根轨迹法是一种重要的控制系统分析与设计方法，通过绘制系统极点随参数变化而形成的轨迹来分析系统的稳定性、动态特性和稳态误差。
它广泛应用于工业自动化、航空航天、电力电子等领域的控制系统设计与优化中。
本文将从根轨迹法的基本原理、步骤和实际应用案例等方面进行详细解析，希望能为读者加深对这一方法的理解。
一、根轨迹法的基本原理根轨迹法基于控制系统的传递函数，通过绘制系统特征根（极点）的轨迹来分析系统的稳定性和响应特性。
控制系统传递函数通常表示为G(s)=N(s)/D(s)，其中N(s)和D(s)分别为系统的分子多项式和分母多项式。
根轨迹法的基本原理是：对于特定的参数范围，控制系统的特征根随参数变化而移动，并形成一条曲线，称为根轨迹。
在实际应用中，我们通常关注控制系统的稳定性和响应速度。
根据根轨迹的形状，我们可以判断系统是否稳定，以及系统的过冲、振荡、超调量等动态特性。
通过调节参数，我们可以改变根轨迹的形状，从而优化系统的性能。
二、根轨迹法的步骤采用根轨迹法进行控制系统分析与设计需要以下步骤：1. 确定系统的传递函数。
根轨迹法适用于线性时不变系统，因此需要先将非线性元件近似为线性元件，以得到系统的传递函数。
2. 根轨迹绘制。
绘制根轨迹需要以下步骤：a. 确定系统的极点和零点。
将系统传递函数的分母和分子多项式进行因式分解，得到系统的极点和零点。
b. 确定根轨迹起点和终点。
根轨迹的起点和终点分别为系统的极点和零点，通过分析传递函数的分子和分母多项式来确定。
c. 绘制根轨迹曲线。
通过改变参数的取值范围，将参数代入系统的传递函数，得到特征根的位置，绘制根轨迹曲线。
3. 根轨迹分析。
根据根轨迹的形状和位置，可以得到以下信息：a. 稳定性判断。
若根轨迹全部位于左半平面，则系统稳定；若根轨迹与虚轴交叉，则系统不稳定。
b. 动态特性判断。
根轨迹的形状与动态特性有关，如振荡、过冲量等。
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第四章
n
根轨迹法
（2）渐近线与实轴的交点
幅值条件：
Kr
s p
j 1 m i 1
j
s zi
Kr
s p1 s pn s z1 s zm
当 K r ，则对应于 s ，此时 s zi s p j ，上式可写成：
s p1 s p2 s pn s z1 s z2 s zm (s )
i 1 i j 1 j
m
n
当s→∞时，零点-zi、极点-pj与s矢量相角可近似看成相等
(s zi ) (s p j )
m n (2 1) 得到 所以渐近线的倾角：
0,1,2...
0,1,2...
(2 1) nm
共有(n-m)条渐近线，所以只要取(n-m)个不同的倾角即可。
－5.12
－0.48
22
第四章
3、根轨迹的对称性
根轨迹法
根轨迹对称于实轴。 特征方程的根或为实数，或为复数。必对称于实轴。
23
第四章
4、根轨迹的渐近线
根轨迹法
Kr→∞时，根轨迹沿着渐近线趋向开环无限零点。 渐近线共有(n-m)条，且相交于实轴上的同一点。 渐近线与实轴的夹角：
(2 1) nm
20
第四章
根轨迹法
在s=0与s=-z1之间的实轴上 任取一个试验点s1加以説明。
Im
s1+p1
p1
[s]
p1
s1
z1
s1+z1 s1+p2
p2
0
Re
p2
s1
21
第四章 根轨迹法
(s 4) 1 s(s 1)(s 2 2 j )(s 2 2 j ) Kr
13
第四章
根轨迹法
4.2 绘制根轨迹图的基本规则
以Kr为参变量绘制根轨迹的基本规则。
1.根轨迹的分支数，根轨迹的起点和终点
根轨迹的分支数等于开环的极点数。 起点（Kr= 0 ）：起始于开环传递函数的极点； 终点（Kr→∞）：终止于开环传递函数的零点。包括m个 有限远的零点（简称有限零点）和(n-m)个无限远的零 点(简称无限零点)。 当Kr = 0 →∞ 变化时，整个根轨迹的趋向由起点移向终点， 即由开环的极点移向开环的零点。
C (s)
G (s)
H (s)
C ( s) G( s) R( s ) 1 G ( s ) H ( s )
闭环特征方程： 或
1 G ( s) H ( s) 0
G ( s ) H ( s ) 1
3
第四章
设
根轨迹法
K r ( s zi )
i 1 m
G( s) H ( s)
17
第四章
根轨迹法
例4-3 单位反馈系统的开环传递函数如下，绘制系统的根轨迹。
K r (s 4) G (s) s(s 1)(s 2 4s 8)
解：系统的特征方程
1 G(s) 1
K r (s 4) 0 2 s(s 1)(s 4s 8)
(s 4) 1 s(s 1)(s 2 2 j )(s 2 2 j ) Kr
闭环传递函数：
K1 s ( s 1)
C (s)
K1 (s) 2 s s K1
s s K1 0
2
特征方程的根：
s1, 2 0.5 0.5 1 4K1
8
第四章
根轨迹法
若参变量K1从0→∞变化时，特征方程根的变化情况如表
K1 s1 s2 0 0 -1 0.125 -0.146 -0.854 0.25 -0.5 -0.5 0.5 -0.5+j0.5 -0.5-j0.5 …… …… …… ∞ -0.5+j∞ -0.5-j∞
解：按根轨迹绘制的规则： （1）分支数： n=3，起点：0，-1，-2；终点：∞，∞，∞。 （2）根轨迹在实轴上的分布： 0与-1，-2与-∞之间。 （3）根轨迹对称于实轴。 （4）渐近线：因为本系统中，n=3,m=0，所以渐近线共有3条。 渐近线的倾角： (2 1)
30 3 , , 3
14
第四章
起点： 由根轨迹方程
根轨迹法
1
K r ( s zi )
i 1
m
(s p )
j j 1
n
0
(s p ) K (s z ) 0
j r i j 1 i 1
n
m
当Kr= 0时，
-
(s p ) 0
j j 1
n
s pj
( j 1,2,n)
Im
根轨迹图——以系统增益K1 为参变量，当K1由0→∞时， 系统闭环极点在s平面上变化 的轨迹。 根据此图可分析参数K1变化 对系统特性的影响。
K1
K1 0.25
K1 0
1
K1
0 .5
0
Re
9
第四章
根轨迹法
Im
K1
当K1=0 , 系统的开环极点就是闭环极 点。 K1≤0.25 ,闭环极点在负实轴(0,-1) 区间,为两个负实根. K1≤0.25时两个 负实根相等s=-0.5。 K1>0.25 ,闭环极点是两个具有负实部 的共轭复根.随着K1增大,特征方程根的 轨迹沿着s=-0.5垂直与实轴的直线趋 向无穷远. 根轨迹上任意点满足根轨迹的幅值条 件和相角条件.反之凡是满足根轨迹的 幅值条件和相角条件的点必定是根轨 迹上的点.
18
第四章 根轨迹法
(s 4) 1 s(s 1)(s 2 2 j )(s 2 2 j ) Kr
－5.12
－0.48
19
第四章
根轨迹法
2、根轨迹在实轴上的分布
实轴上凡有根轨迹的线段，其右侧的开环零点、极点之 和必为奇数。
(s z ) (s p )
sz
i 1 n j 1
m
i
s p
m i 1
1 Kr
nБайду номын сангаас
j
相角条件：
Gk ( s) H k ( s) ( s zi ) (s p j )
j 1
i j (2 1)
i 1 j 1
m
n
7
第四章 根轨迹法
例 设一系统
R( s)
0,1,2...
也可写为：
1 Gk ( s) H k ( s) Kr
Gk (s) H k (s) (2 1)
6
第四章
用零极点形式
根轨迹法
Gk ( s) H k ( s)
(s z )
i
m
(s p )
j j 1
i 1 n
幅值条件
Gk ( s) H k ( s)
16
第四章
根轨迹法
把一条完整的根轨迹称之为根轨迹的一个分支。
综上所述：n阶系统有n个根轨迹的起点和终点。所有的根
轨迹都是有头有尾 、有始有终。所以其分支数必等于开 环的极点数或系统的阶数。 系统共有n个开环零点，其中m个为有限个零点，（n-m） 个为无限零点。每个开环零点都对应根轨迹的一个终点，
所以共有n个终点。
第四章
根轨迹法（1）
1
第四章 根轨迹法
系统动态响应的基本特征是由闭环极点的位置决定的。
根轨迹法：在已知开环传递函数零、极点分布基础上，通过
图解法研究系统某一个参数变化时，对系统闭环极点在S 平面上变化的轨迹。
4.1 闭环系统的轨迹
2
第四章
根轨迹法
R(s)
4.1.1 根轨迹的定义
闭环传递函数：
W ( s)
(s p )
j j 1 m i i 1 n
n
1
( n m)
令
Gk ( s) H k ( s)
(s z ) (s p )
j j 1
由
G ( s ) H ( s ) 1
得
Kr Gk (s) H k (s) 1
即根轨迹方程。当Kr从0→∞，闭环系统特征根的轨迹就是 根轨迹。
4
第四章 根轨迹法
如果关心的是其他参数a，要将特征方程化为如下形式
1＋aP(s)=0
例4-1 单位反馈系统的开环传递函数如下，画出以a为 参变量的根轨迹。 10
s(s a) 10 解：系统的特征方程 1 G (s) 1 0 s(s a)
G(s)
s as 10 0
2
s 1 a 2 0, s 10
s P(s) 2 s 10
5
第四章
4.1.2
根轨迹法
根轨迹的幅值条件和相角条件
Kr Gk (s) H k (s) 1
闭环特征方程：
由于其s是复数，可用向量表示，将其分成两个方程。
幅值条件：
Kr Gk (s)Hk (s) 1
相角条件：K G (s) H (s) (2 1) r k k
n m
26
第四章
根轨迹法
n m n m1 上式左边展开：s [( p1 p2 pn ) ( z1 z2 zm )]s
上式右边展开 s
nm
(n m)s nm1
比较对应 s 幂项系数相等，求得：
(n m) ( p1 p2 pn ) ( z1 z2 zm )
i 1 i j 1 j i 1 i j 1