椭圆的几何性质(1)
高二数学椭圆的几何性质1
e越接近1，椭圆越扁；e越接近 于0，椭圆越接近于圆。
2 2 例1：椭圆25x +16y =400
的长轴长为____，短轴长 为____，焦点坐标为___， 顶点坐标为____，离心率 为 ______。
x y 练习：若椭圆 1的离心率 a8 9 1 为 ，求a的值。 2
2
2
x y (2)若 2 2 1( a b 0 ) 的左焦 a b
x y 2 1 2 a b ( a b 0)
y B2(0,b) o x A2(a,0) B1(0,-b)
2
2
A1(-a,0)
a、b分别叫做椭圆的 长半轴长和短半轴长。
四、椭圆的离心率
离心率：椭圆的焦距与长轴长的比, 2c c 叫做椭圆的离心率。 e y 2a a
0<e<1
o x
变式： (08江西)已知F1，F2椭圆的两 个焦点，满足 MF1 MF2 0 ，点 M总在椭圆的内部，则椭圆的离心率 的取值范围是___________。
2
2
练习：
2 2
x y 1 ( a b 0 ) 已知 2 2 a b 的长轴两端点为A，B，如果椭圆 上存在一点Q，使∠F1QF2=120°， 求离心率e的取值范围。
一、椭圆的范围 二、椭圆的对称性 三、椭圆的顶点
变量x，y的取 值范围 方程的对称性 x=0或y=0时 方程的解
四、椭圆2 2 2 2 x y x y 由 2 1 2 1和 2 1 2 a b a b
即
x a和 y b
o
y
说明：椭圆位于矩 形之中。
x
二、椭圆的对称性 2 2
椭圆关于x轴对称； 椭圆关于y轴对称； 椭圆关于原点对称；
2.2.2椭圆的几何性质1(高二数学精品课件)
B2
A1
F1
b
oc
a
A2
F2
B1
结论 ：通过上面的分析,我们得到判断曲线 是否对称的方法：
以－x代换x,若方程不变,则曲线关于y轴对称；若以
-y代换y,方程不变,曲线关于x轴对称;
同时以－ x代换x,以－ y代换y,方程不变,则方 程关于坐标原点对称.
二、椭圆
简单的几何性质
1 b2
1得：
-b≤y≤b 知
椭圆落在x=±a,y= ± b组成的矩形中 y
B2
A1
F1
b
oc
a
A2
F2
B1
椭圆的对称性
Y
P1（-x，y）
P（x，y）
O
X
P2（-x，-y）
2、对称性：
从图形上看，椭圆关于x轴、y轴、原点对称。 从方程上看： （1）把x换成-x方程不变，图象关于y轴对称； （2）把y换成-y方程不变，图象关于x轴对称；
长半轴长为a,短 半轴长为b. a>b
e c a
a2=b2+c2
x2 b2
y2 a2
1(a
b
0)
|x|≤ b,|y|≤ a
同前 (b,0)、(-b,0)、 (0,a)、(0,-a) (0 , c)、(0, -c)
同前
同前
同前
例1已知椭圆方程为9x2+25y2=225,
它的长轴长是： 10 。短轴长是： 6 。
(1) x2 y2 1
32
(2)
x2 y2 1 36 100
(3) 16x2+25y2=400
椭圆及其简单几何性质(1)
§2.2.2 椭圆及其简单几何性质（1）【使用说明】1、课前完成预习学案，掌握基本题型；2、认真限时规范书写，课上小组合作探讨，答疑解惑。
3、A、B层全部掌握，C层选做。
【学习目标】1．根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形；2．根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质，画图．【问题导学】（预习教材理P43~ P46，文P37~ P40找出疑惑之处）复习1：椭圆2211612x y+=上一点P到左焦点的距离是2，那么它到右焦点的距离是．复习2：方程2215x ym+=表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是．【合作探究】问题1：椭圆的标准方程22221x ya b+=(0)a b>>，它有哪些几何性质呢？图形：范围：x：y：对称性：椭圆关于轴、轴和都对称；顶点：（），（），（），（）；长轴，其长为；短轴，其长为；离心率：刻画椭圆程度．椭圆的焦距与长轴长的比ca称为离心率，记cea=，且01e<<．试试：椭圆221169y x+=的几何性质呢？图形：范围：x：y：对称性：椭圆关于轴、轴和都对称；顶点：（），（），（），（）；长轴，其长为；短轴，其长为；离心率：cea== ．反思：ba或cb的大小能刻画椭圆的扁平程度吗？我的疑惑：记录下你的疑惑，让我们在课堂上共同解决。
【深化提高】例1 求椭圆221625400x y+=的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．变式：若椭圆是22981x y+=呢？学案编号：B51 第1 页共2 页成功的秘诀公式是A x y z =++其中A 代表成功，x 代表艰苦的劳动，y 代表正确的方法，z 代表少说空话. ——爱因斯坦第 2 页 共 2 页小结：①先化为标准方程，找出,a b ，求出c ； ②注意焦点所在坐标轴． 例2 点(,)M x y 与定点(4,0)F 的距离和它到直线25:4l x =的距离的比是常数45，求点M 的轨迹．小结：到定点的距离与到定直线的距离的比为常数（小于1）的点的轨迹是椭圆 ．※ 动手试试练1．求适合下列条件的椭圆的标准方程：⑴焦点在x 轴上，6a =，13e =；⑵焦点在y 轴上，3c =，35e =；⑶经过点(3,0)P -，(0,2)Q -；⑷长轴长等到于20，离心率等于35．【当堂检测】1．若椭圆2215x y m+=的离心率105e =，则m 的值是（ ）． A ．3 B ．3或253C ．15D ．15或51532．若椭圆经过原点，且焦点分别为1(1,0)F ，2(3,0)F ，则其离心率为（ ）．A ．34B ．23C ．12D ．143．短轴长为5，离心率23e =的椭圆两焦点为12,F F ，过1F 作直线交椭圆于,A B 两点，则2ABF ∆的周长为（ ）．A ．3B ．6C ．12D ．244．已知点P 是椭圆22154x y +=上的一点，且以点P 及焦点12,F F 为顶点的三角形的面积等于1，则点P 的坐标是 ．5．某椭圆中心在原点，焦点在x 轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是 ．【小结】（1）知识与方法方面 。
2020高中数学 10 椭圆的几何性质(一)(含解析)2-1
课时分层作业（十）椭圆的几何性质(一）(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．已知椭圆错误!＋错误!＝1（m〉0)的左焦点为F1（－4，0)，则m 等于（)A．2 B．3 C．4 D．9B ［由题意知25－m2＝16，解得m2＝9,又m〉0，所以m＝3.]2．已知椭圆C的短轴长为6，离心率为错误!，则椭圆C的焦点F到长轴的一个端点的距离为（)A．9 B．1C．1或9 D．以上都不对C [错误!解得a＝5，b＝3，c＝4。
∴椭圆C的焦点F到长轴的一个端点的距离为a＋c＝9或a－c ＝1.］3．如图所示，底面直径为12 cm的圆柱被与底面成30°角的平面所截，截口是一个椭圆，则这个椭圆的离心率为( )A.12 B 。
34C 。
错误!D 。
错误!A ［由题意得2a ＝错误!＝8错误!(cm)，短轴长即2b 为底面圆直径12 cm ，∴c ＝错误!＝2错误! cm ，∴e ＝错误!＝错误!.故选A 。
］4．曲线错误!＋错误!＝1与曲线错误!＋错误!＝1（k 〈9）的（ ）A ．长轴长相等B ．短轴长相等C ．焦距相等D ．离心率相等C ［曲线错误!＋错误!＝1的焦点在x 轴上，长轴长为10，短轴长为6，离心率为45，焦距为8.曲线错误!＋错误!＝1（k 〈9)的焦点在x 轴上，长轴长为2错误!,短轴长为2错误!，离心率为错误!，焦距为8.则C 正确．]5．已知椭圆C ：错误!＋错误!＝1(a 〉b 〉0）的左，右焦点为F 1，F 2，离心率为错误!，过F 2的直线l 交C 于A 、B 两点,若△AF 1B 的周长为43,则C 的方程为( ）A 。
错误!＋错误!＝1B 。
错误!＋y 2＝1C 。
错误!＋错误!＝1D 。
错误!＋错误!＝1A [∵△AF 1B 的周长为4错误!，∴4a ＝4错误!，∴a＝3，∵离心率为错误!，∴c＝1，∴b＝错误!＝错误!，∴椭圆C的方程为错误!＋错误!＝1。
2.2.2椭圆的简单几何性质(1)
研一研· 问题探究、课堂更高效
2.2.2
问题 5 比较下列椭圆的形状， 哪一个更圆， 哪一个更扁？ 为什么？
2 2 x y 4x2＋9y2＝36 与 ＋ ＝1 25 20 2 2 x y 答案 将椭圆方程 4x2＋9y2＝36 化为标准方程 9 ＋ 4 ＝1，
则 a2＝9，b2＝4，所以 a＝3，c＝ a2－b2＝ 5，故离心 5 x 2 y2 率 e＝ 3 ；椭圆25＋20＝1 中，a2＝25，b2＝20，则 a＝5， 5 2 2 c＝ a －b ＝ 5，故离心率 e＝ 5 .
解
x y 把椭圆的方程化为标准方程 9 ＋ 4 ＝1.
可知此椭圆的焦点在 x 轴上，且长半轴长 a＝3， 短半轴长 b＝2；又得半焦距 c＝ a2－b2＝ 9－4＝ 5 因此，椭圆的长轴长 2a＝6，短轴长 2b＝4；两个焦点 的坐标分别是(－ 5，0)，( 5，0)；四个顶点的坐标分 5 c 别是(－3,0)，(3,0)，(0，－2)，(0,2)；离心率 e＝a＝ 3 .
研一研· 问题探究、课堂更高效
b c 问题 4(1)a或b的大小能刻画椭圆的扁平程度吗？为什么？ c (2)你能运用三角函数的知识解释，为什么 e＝a越大，椭 c 圆越扁？e＝a越小，椭圆越圆吗？ a2－c2 b 2 答案 (1)都能．由a＝ 2 ＝ 1－e (0<e<1)可知， a
b 当 e 越趋近于 1 时，a越趋近于 0，椭圆越扁；当 e 越趋 b 近于 0 时，a越趋近于 1，椭圆越接近于圆．当且仅当 a ＝b 时，c＝0，两焦点重合，图形变为圆。 c (2)如图，在 Rt△ BF2O 中，cos∠ BF2O＝ ， a c c 越大，∠BF2O 越小，椭圆越扁； 越小， a a
由于前一个椭圆的离心率较大， 因此前一个椭圆更扁， 后 一个椭圆更圆．
2015.9.15椭圆的几何性质(1)
焦点坐标、顶点坐标。
x2 y2 例3： 椭 圆 2 2 1(a b 0)的 左 焦 点 为 F （ 0） , A( a ,0), B(0, b) 1 - c， a b b 是两个顶点，如果 F1到 直 线 AB的 距 离 为 , 求 椭 圆 的 离 心 率 . 7
例 4：
x2 y2 1. P 为椭圆 2 2 =1 上一点， F1、 F2 为焦点 ,如果 a b
3 (C) 2
2 (D) 3
60
2 .1,1 则该椭圆的离心率的取 值范围为_______
x2 y2 (6)已知椭圆 2 2 1(a b 0)的左右焦点分别为F1 , F2 , a b a c 若在椭圆上存在一点 P, 使 , sinPF1 F2 sinPF2 F1
例5.已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点， 线段BF的延长线交C于点D，且 BF 2 FD .求C的离心率e .
c e (0 e 1) a c e (0 e 1) a
离心率
例1:求椭圆 16 x2 + 25y2 =400的长轴和短轴的长、
离心率、焦点和顶点坐标
能标出图中椭圆焦点的位置吗?依据是什么?
练习: 2.求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)焦点在y轴上,c=3,e=3/5; (2)经过点P(-3,0),Q(0,-2); (3)长轴长等于20,离心率等于3/5. (4)长轴长是短轴长的2倍，且过点（2，-6） (5)在x轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂 直，且焦距为6
一、椭圆的范围
x y x 2 1 2 由 2 a a b
即 x a和 y b 说明：椭圆位于直 线X=±a和y=±b所 围成的矩形之中。
1.椭圆的几何性质(简单性质)
e =
c a
a2=b2+c2
已知椭圆方程为16x =400， 例1、已知椭圆方程为16x2+25y2=400，则 它的长轴长是： 10 ；短轴长是 短轴长是： 8 ； 它的长轴长是 短轴长是
焦距是： 焦距是
6
；离心率等于 离心率等于： 离心率等于
焦点坐标是： 焦点坐标是
(±3, 0) ；顶点坐标是 (±5, 0) (0, ±4) ； 顶点坐标是： 顶点坐标是
x2 y2 + = 1 的两个焦点为 1 、F2 ，过左焦点作 的两个焦点为F 椭圆 45 20
直线与椭圆交于A， 两点， 的面积为20， 直线与椭圆交于 ，B 两点，若△ AB F2 的面积为 ， 求直线的方程。 求直线的方程。
y
（x1 , y1） A
o
（x2 , y2） B F1 F2
x
作业
1.已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，长 已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上， 已知椭圆的中心在原点 轴是短轴的三倍，且椭圆经过点P（ ， ）， ），求 轴是短轴的三倍，且椭圆经过点 （3，0），求 椭圆的方程. 椭圆的方程 2 2 x + 2 y = 4 的左焦点作倾斜角为 30 0 2.过椭圆 过椭圆 的直线AB， 求线段AB的长度 的长度. 的直线 ， 求线段 的长度
B2
A1
b F1
a F2
A2
o c
B1
3、椭圆的顶点 、
x a
2 2
y2 + = 1( a > b > 0 ) 2 b
顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭圆的顶点。 顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭圆的顶点。 长轴、短轴：线段 长轴、短轴：线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短 轴。 a、b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 a、b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长 y
椭圆的几何性质1
C与另一点N，求 F1BN 的面积。
问题1：如何计算三角形的面积？ 问题2：在 F1BN 中知道哪些量？下面怎么 算？ 问题3：有其他方法吗？还有哪些已知量？ 问题4：如何转化所求面积？
2
解题反思
1、明确解椭圆问题主要是“定位，定量”前 者是指通过判断比较得出椭圆的图形（及焦 点所在坐标轴），后者是指得到参数的具体 数值。 2、要注意数形结合思想和化归思想在解题中 的应用
3 3 心率e ,已知点 P (0, ) 到这个椭圆上的 2 2
点的最远距离为 7 求这个椭圆方程。
分析：(1)强调先设出方程，由离心率得出方程 a 2b (2)使用消元法带入方程可得 1 2 2 PM 3( y ) 4b 2 3(b y b) 2
1 1 (3)分 b 与 b 两种情况讨论求解。 2 2
x2 y 2 例3 在直角坐标系 xoy中，设椭圆 C: 2 2 1(a b 0) a b
的左右两个焦点分别为F1 , F2 过右焦点F2且与 x轴垂直 的直线 与椭圆 C 相交，其中一个交点为 M ( 2 ,1) (1)求椭圆 C的方程
l
(2)设椭圆 C:的一个顶点为
B(0,b) ，直线 BF2交椭圆
第15课 椭圆的几何性质1
典型例题
x 25 y 例 1、已知 A、B 是椭圆 2 1 上的两点， 2 a 9a 8a F2 是右焦点，若 | AF2 | | BF2 | ，AB 中点到 5 3 椭圆左准线的距离为 ，求该椭圆的方程。 2
A N M2Βιβλιοθήκη 2F1F2
B
例2 设椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离
人教版高中数学必修第二册椭圆的几何性质(1)
椭圆的几何性质（一）教学目标1．熟悉椭圆的几何性质（对称性、范围、顶点、离心率）。
2．能说明离心率的大小对椭圆形状的影响。
3．能利用椭圆的曲线特征、几何性质求椭圆方程。
教学重点椭圆的几何性质教学过程一．引入问题：解析几何研究的两个问题是什么？我们知道椭圆的方程及图形，今天我们就从定义、方程出发研究椭圆的性质。
二．讲授新课1.焦点在x轴上的椭圆的性质（1）对称性：关于x轴、y轴、原点对称口答：下列方程所表示的曲线中，关于x轴、y轴都对称的是（）A x2=4yB x2+2xy+y=0C x2-4y2=5xD 9x2+y2=4(2)范围：椭圆上的点的横坐标、纵坐标的范围（3）顶点：椭圆与对称轴的交点长轴长、短轴长、半长轴长、半短轴长2．焦点在y轴上的椭圆的性质学生讨论，在此基础上教师板书有关内容练习：指出下列椭圆的范围、对称性、顶点坐标、长短轴长（1）192522=+y x （2）81922=+y x3．离心率：椭圆的焦距与长轴长的比，即e=a c思考：（1）e 的范围。
（2）e 的大小对椭圆形状的影响？三．例题选讲1求满足下列条件的椭圆的标准方程（1） a=6,e=1/3，焦点在x 轴上；（2） （2）椭圆过点P （-22，0）Q （0，5）；（3）一短轴的一个顶点B 与焦点F 1、F 2组成三角形周长为4+23且21BF F ∠=32π；（3） 长轴长为短轴长的2倍，且椭圆过（-2，-4）； 2．已知椭圆的对称轴是坐标轴，中心是坐标原点，F 是一个焦点，A 是一个顶点，若椭圆的长轴长为6且cos OFA ∠=2/3，求椭圆的方程。
思考；已知椭圆192522=+y x ，F 1、F 2分别是它的焦点，过F 1的弦CD 与x 轴所成角为α(0<α<π)求CD F 2∆的周长。
三．小结：1椭圆的几何性质2．求椭圆方程四．作业。
2.1.2《椭圆的简单几何性质(一)》ppt课件
y
B2
b
A1
A2
F1 O c F2
x
B1
讲授新课 3．顶点 线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和 短轴. 长轴的长等于2a. 短轴的长等于2b.
a叫做椭圆的长半轴长． b叫做椭圆的短半轴长．
|B1F1|＝|B1F2|＝|B2F1| ＝|B2F2|＝a．
y
B2
b
a
A1
A2
F1 O c F2
x
B1
a叫做椭圆的长半轴长． b叫做椭圆的短半轴长．
y
B2
b
A1
A2
F1 O c F2
x
B1
讲授新课 3．顶点 线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和 短轴. 长轴的长等于2a. 短轴的长等于2b.
a叫做椭圆的长半轴长． b叫做椭圆的短半轴长．
|B1F1|＝|B1F2|＝|B2F1| ＝|B2F2|＝
讲授新课 2．对称性
x2 a2
y2 b2
1
(a＞b＞0)．
y
F1 O
F2
x
讲授新课
2．对称性
x2 a2
y2 b2
1
(a＞b＞0)．
在椭圆的标准方程里，把x换成－x，或 把y换成－y，或把x、y同时换成－x、－y时， 方程有变化吗？这说明什么？
y
F1 O
F2
x
Y 关于y轴对称
P2（-x，y）
x2 a2
y2 b2
1,
y b B2
A1
-a F1 O
F2
椭圆位于直线x＝±a和 y＝±b围成的矩形里．
-b B1
A2 ax
练习1：分别说出下列椭圆方程中x，y的取值范围
高中数学选择性必修一课件：椭圆的简单几何性质(第1课时)
由①得 c2≥b2，即 c2≥a2－c2，
∴a2≤2c2，∴e2＝ac22≥12.
又 0<e<1，∴e∈ 22，1. 由②得 c2－b2<c2，此式恒成立．
综上所述，椭圆的离心率 e 的取值范围是 22，1. 方法三：设椭圆与 y 轴的一个交点为 P，连接 PF1，PF2. ∵椭圆上存在一点 M，使∠F1MF2＝90°， ∴∠F1PF2≥90°，则 c≥b， ∴c2≥b2＝a2－c2，∴ac22≥12，∴e≥ 22或 e≤－ 22， 又 0<e<1，∴椭圆的离心率 e 的取值范围为 22，1.
3.1.2 椭圆的简单几何性质(第1课时)
要点 1 椭圆的简单几何性质
焦点的位置
焦点在 x 轴上
图形 标准方程
ax22＋by22＝1(a>b>0)
焦点在 y 轴上 ay22＋bx22＝1(a>b>0)
范围 顶点 轴长 焦点 焦距 对称性
离心率
|x|≤a，|y|≤b
|x|≤b，|y|≤a
(±a，0)，(0，±b)
c趋近于a，b＝ a2－c2越小 ―→ 椭圆越__扁_平__
1．下列说法是否正确？ ①椭圆的中心一定是原点； ②椭圆有一个对称中心及无数条对称轴； ③椭圆的长轴一定比短轴长． 答：①不正确，②不正确，③正确．
2．椭圆性质的补充 (1)椭圆上到中心距离最小的点是短轴的两个端点(即椭圆上的点到椭圆中心 的距离的最小值为短半轴长 b)，到中心距离最大的点是长轴的两个端点(即椭圆 上的点到椭圆中心的距离的最大值是长半轴长 a)． (2)椭圆上到焦点距离最大的点(称为“远日点”)和最小的点(称为“近日 点”)是长轴的两个端点，最大距离为 a＋c，最小距离为 a－c.
3.1.2椭圆的简单几何性质(第1课时)课件(人教版)
基础巩固2：由椭圆的几何性质求方程
[例2]求适合下列条件的椭圆的标准方程.
(1)焦点在x轴上, a 6, e 1 ; c 2 b2 32 x2 y2 1
3
36 32
(2)焦点在y轴上, c 3, e 3 ; 5
a 5 b2
16
y2 x2 1 25 16
(3)过P(3,0), Q(0,2)两点;
-a≤x≤a，-b≤y≤b
-b≤x≤b，-a≤y≤a
长轴为A1A2=2a，短轴为B1B1=2b 关于x轴、y轴、原点对称
e c a
1
b2 a2
| F1F2 | | PF1 | | PF2
|
0 e 1
e越接近1, 椭圆越扁平; e越接近0, 椭圆越接近圆.
基础巩固1：由方程确定椭圆的几何性质
x2 36
y2 20
1上在第一象限的点, 且MF1F2
为等腰三角形, 则M的坐标为_(_3,__1_5_)___.
y
M
析: MF1 F1F2 8
由焦半径的公式得MF1
a exM
6
4 6
xM
8
xM 3, 代入方程yM 15.
y
F1 O
x F2
a2 36 a 6
析:S 14 2
82
P3(x, y)
设P(
x,
y
)是椭圆上任一点,
则P满足
x a
2 2
y2 b2
1,
P1(x, y)也满足方程 任一点P关于x轴的对称点也在椭圆上
椭圆关于x轴对称
P2 (x, y)也满足方程 椭圆关于y轴对称 P3(x, y)也满足方程 椭圆关于原点对称
P1(x, y)
§2.2.2椭圆的几何性质(第1课时)
x y 1 的两个焦点,过 F1 的直线与椭圆交于 A 、 16 9 B 两点,则 AF2 B 的周长为______________.
2.求满足下列条件的椭圆的标准方程: (1)短轴一个端点与两焦点组成正三角形,焦点到同侧顶点的距离为 3 ; (2)经过点 P(2 3,1) , Q( 3, 2) .
编号:X2-1002 学习 目标
§2.2.2 椭圆的几何性质(第 1 课时)
(1)掌握椭圆的简单的几何性质; (2)感受运用方程研究曲线方程几何性质的思想方法; (3)运用椭圆的方程和几何性质处理简单的实际问题. 二次总结栏
一.课前复习 1.如果方程 x2 ky 2 k 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则实数 k 的取值范围 是 . 2 2 x y 1 有相同焦点且过点 ( 6,1) 的椭圆的标准方程. 2.求与椭圆 9 5
二.知识点总结 标准方程
图形
焦点 顶点 轴长 对称性 范围 离心率
三.典型例题
x2 y2 1 的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐Biblioteka 25 9 标,并用描点法画出这个椭圆.
【例 1】求椭圆
第1页
江苏省大港中学高二数学学案
选修 2-1 选修 1-1 错误！链接无效。
【练习 1】 (1)求椭圆 9 x 2 y 2 81的长轴长、短轴长和顶点坐标. (2)求椭圆 x 2 4 y 2 16 的长轴长、短轴长和顶点坐标.
二.今日练习 3.求椭圆 4 x2 3 y 2 12 的长轴长,短轴长,离心率,焦距和顶点坐标.
4.若椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍,则离心率为
.
5.若椭圆
x2 y2 1 的一个焦点是 (2,0) ,则 a = a 2 3a
椭圆的几何性质
x y 椭圆 2 2 1(a b 0）的几何性质 a b 2 2 x y 1、范围： 1, 2 1得： 2 a b
-a≤x≤a, -b≤y≤b 知 椭圆位于直线x=±a，y= ± b围成的矩形内 y
y=b x=-a
●
2
2
x=a
F1
o
y=-b
F2
●
x
x y 从方程 2 2 1(a b 0)上看： 2、对称性： a b （1）把x换成-x方程不变，故如果 M(x,y) 是椭圆上 ' 任意一点,则与点M关于y轴对称的点 M ( x, y ) 也在椭 圆上,即椭圆关于y轴对称； （2）把y换成-y方程不变，椭圆关于x轴对称；
（3）把x换成-x，同时把y换成-y方程不变，椭圆关于原点 y 成中心对称。
结论:
M ' ( x, y) ●
●
2
2
●
M ( x, y)
椭圆关于x轴、y轴成轴对称图形,
又是以原点为对称中心的中心对 '' M ( x, y ) 称图形。 椭圆的对称中心叫做椭圆的中心
F1
●
o
●
F2
M ' ( x, y )
离心率、焦点和顶点的坐标，并用描点法画出它 的图形。
x2 y2 解：把椭圆的方程化为标准方程 1 25 16 2 2 2 故 c 9 故椭圆的焦点在x轴上.其中 a 25, b 16
它的长轴长是： 10 。 焦距是： 短轴长是： 离心率等于： 8
3 5
。 。
6
。
焦点坐标是：
(3,0) 。顶点坐标是： (5,0) (0,。 4)
F1 (-a，0)
0046数学课件：椭圆的几何性质(1)
x2 y2 2 1(a b 0) 2 a b
即
x2 y2 1, 2 1 2 a b
y
B2
x a和 y b
A1
F1
O
B1
F2
A2 X
说明：椭圆位于矩形之中。
二、椭圆的对称性
x y 2 1( a b 0) 2 a b y
椭圆关于x轴对称； 椭圆关于y轴对称； 椭圆关于原点对称； 中心：椭圆的对称中心叫做椭圆的中心. o x
由题意,有 2c=8,c=4;2a=10,a=5.
x2 y2 1(a b 0) a 2 b2
又
b2=a2-c2=25-16=9.
故所求方程为x2/25+y2/9=1.
(2)设焦点在y轴上,标准方程为
y2 x2 2 1(a b 0) 2 a b
同(1),可得所求方程为y2/25+x2/9=1.
2
2
三、椭圆的顶点
(-a,0)A1y B2(0, Nhomakorabea) o B1(0,-b) A2 (a,0) x
x y 2 1( a b 0) 2 a b
2
2
顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭圆的顶点。
长、短轴：线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴。
半轴长：a、b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
-b ≤x ≤b -a≤y≤a, 关于x，y轴，原点对称 A1(0 ，-a),A2(0 ，a) B1(-b， 0),B2(b ，0)
离心率
e
c (0 e 1) a
小结：基本元素
（1）基本量：a、b、c、e（共四个量）
（2）基本点：顶点、焦点、中心（共七个点） （3）基本线：对称轴（共两条线） y B1(0,b)
椭圆几何性质
椭圆是平面上的一个几何图形，具有一些特殊的性质。
以下是一些椭圆的几何性质：
1.定义性质：椭圆是一个点到两个焦点距离之和等于常数的点
集合。
这个常数称为椭圆的长轴长度，长轴的中点称为椭圆
的中心。
2.对称性质：椭圆具有两个对称轴，即横轴和纵轴。
横轴和纵
轴互相垂直，并交于椭圆的中心。
3.焦点性质：椭圆的焦点是椭圆的两个特殊点，对于椭圆上的
每一个点，它到两个焦点的距离之和是恒定的，等于椭圆的
长轴长度。
4.直径性质：椭圆的任意一条直径的长度等于椭圆的长轴长度。
5.切线性质：椭圆上的每一条切线与椭圆的两个焦点之间的线
段的长度是相等的。
6.圆锥截面性质：椭圆是一个旋转椭圆曲线，可以通过将一个
圆沿一个不在圆心处的直线截成椭圆来得到。
这些性质为椭圆的研究和应用提供了基础，例如在数学、物理、工程等领域中，椭圆的性质被广泛应用于解决实际问题。
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标、顶点坐标。
x y 1 (4)P为椭圆 上任意一点，F1、F2是焦点， 4 3
2
2
则∠F1PF2的最大值是
.
利用对称性作图 A1
y
4 B2 3 2 1
-5 -4 -3 -2 -1 -1 1 2 3 4 5 -2 -3 -4 B
1
A2
x
例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程
⑴经过点P(－3,0)、Q(0,－2)； ⑵长轴长等于20，离心率3/5。
⑶一焦点将长轴分成２：１的两部分，且经过点 P 3 2, 4
复习：பைடு நூலகம்
1.椭圆的定义: 2.椭圆的标准方程是： 3.椭圆中a,b,c的关系是:
二、椭圆
简单的几何性质
y
B2 A1
b F1
a F2
1、范围： 2、对称性：
o c
B1
A2
3、椭圆的顶点 4、椭圆的离心率e(刻画椭圆扁平程度的量)
根据前面所学有关知识画出下列图形
x y 1 （1 ） 25 16
y
练习
求下列椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离 心率。
（1）x2+9y2=81
(2) 25x2+9y2=225 (4) 4x2+5y2=1
(3) 16x2+y2=25
练习：已知椭圆 x2 (m 3) y 2 m(m 0) 的离心率
3 e , 求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐 2
4 B2 3 2 1
2 2
x2 y2 1 （2） 25 4
y
4 3 B 2 2 1
A1
A2 x
A1
A2 x
-5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4
123 4 5
B1
-5 -4 -3 -2 -1 -1 1 2 3 4 5 -2 -3 B1 -4
标准方程 图形
x y 1(a b 0) 2 2 a b
练习：
1. 根据下列条件，求椭圆的标准方程。
① 长轴长和短轴长分别为8和6，焦点在x轴上 ② 长轴和短轴分别在y轴，x轴上，经过P(-2,0)， Q(0,-3)两点. ③一焦点坐标为（－3，0）一顶点坐标为（0，5） ④两顶点坐标为（0，±6），且经过点（5，4） ⑤焦距是12，离心率是0.6，焦点在x轴上。
|x|≤ b,|y|≤ a
(b,0)、(-b,0)、 (0,a)、(0,-a) (0 , c)、(0, -c) a>b
A1
关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称
长半轴长为a,短半轴长为b.
e c/a
a2=b2+c2
例1 、求椭圆16x2+25y2=400中x,y的取值范围，以及长 轴和短轴的长、焦点和顶点的坐标，离心率大小。
B2 y O
2
2
x2 y 2 2 1(a b 0) 2 b a y
A2 F2 B2 x
A1 F1
F2 A2 x B1
B1 F1
O
范围 顶点坐标 焦点坐标 对称性 半轴长 离心率 a、b、c的关系
|x|≤ a,|y|≤ b
(a,0)、(-a,0)、 (0,b)、(0,-b) (c,0)、(-c,0)
2. 已知椭圆的一个焦点为F（6，0）点B，C是短 轴的两端点，△FBC是等边三角形，求这个椭圆的 标准方程。
小结：
本节课我们学习了椭圆的几个简单几何性质：范围、 对称性、顶点坐标、离心率等概念及其几何意义。 了解了研究椭圆的几个基本量a，b，c，e及顶点、 焦点、对称中心及其相互之间的关系，这对我们解 决椭圆中的相关问题有很大的帮助，给我们以后学 习圆锥曲线其他的两种曲线扎实了基础。在解析几 何的学习中，我们更多的是从方程的形式这个角度 来挖掘题目中的隐含条件，需要我们认识并熟练掌 握数与形的联系。在本节课中，我们运用了几何性 质，待定系数法来求解椭圆方程，在解题过程中， 准确体现了函数与方程以及分类讨论的数学思想。