一元二次方程复习讲义
一元二次方程复习课(绝对经典)
2
关于 x的一元二次方程 x (2k 3) x k 0有
2 2
两个不相等的实数根 、
(1)求k的取值范围； （ ）若 6, 求（ ） 3 5的值 2 解： )由题意得， (2
2
解得， k1 1, k 2 3 3 k , k 1 4
2 8、x 2 4 x 2 0, 请用配方法转化成（ m） n的 x
形式，则
( x 2) 2
2
9、请写出一个一元二次方程，
它的根为-1和2
(x+1)(x-2)=0
将4个数a、b、c、d排成2行2列，两边各加一条竖线记成
a b a b , 定义 ad bc，这个式子叫做2阶行列式。 c d c d 若 x+1 x-1 1-x x+1 =6则x=
的一个根是-1，则
4 , 另一根为______ x=-3
若a为方程 x2 x 5 0 的解，则 a 2 a 1 的值 为 6
6、若a是方程x 3x 3 0的一个根，则
2
3a 9a 2
2
11
2
7、n是方程x m x n 0一个根（n 0）， n m -1
2、若（m+2）x 2 +（m-2） x -2=0是关于x的一元二 ≠－ 2 次方程则m 。
一元二次方程的一般式
ax bx c 0 （a≠0）
2
一元二次方程 一般形式 二次项系 一次项 常数项 数 系数
3x²=1
2y(y-3)= -4
3x²-1=0
2y2-6y+4=0
3 2
0
-6
-1 4
一元二次方程讲义全
一元二次方程讲义全一元二次方程讲义考点一、概念1)定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程就是一元二次方程。
2)一般表达式：ax^2+bx+c=(a≠0)注：当b=0时可化为ax^2+c=0，这是一元二次方程的配方式。
3)四个特点：只含有一个未知数；且未知数次数最高次数是2；是整式方程。
要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理。
如果能整理为ax^2+bx+c=(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程。
4)将方程化为一般形式：ax^2+bx+c=0时，应满足(a≠0)。
4)难点：如何理解“未知数的最高次数是2”：①该项系数不为0；②未知数指数为2；③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。
典型例题：例1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）A。
(x+1)^3=2(x+1)B。
2√x+1-11=0C。
ax^2+bx+c=0D。
x^2+2x=x^2+1变式：当k≠0时，关于x的方程kx^2+2x=x^2+3是一元二次方程。
例2、方程(m+2)x^m+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则m的值为。
考点二、方程的解⑴概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。
⑵应用：利用根的概念求代数式的值；典型例题：例1、已知2y^2+y-3的值为2，则4y^2+2y+1的值为。
例2、关于x的一元二次方程(a-2)x^2+x+(a^2-4)=0的一个根为-2，则a的值为。
说明：任何时候，都不能忽略对一元二次方程二次项系数的限制。
例3、已知关于x的一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)的系数满足a+c=b，则此方程必有一根为-1.说明：本题的关键点在于对“代数式形式”的观察，再利用特殊根“-1”巧解代数式的值。
例4、已知a,b是方程x^2-4x+m=0的两个根，b,c是方程y^2-8y+5m=0的两个根，则m的值为。
一元二次方程解法讲义(全4讲)
一元二次方程解法讲义（全四讲）第一讲 直接开平一、学习目标了解形如()()20x h k k +=≥的一元二次方程的解法——直接开平方法；能够熟练而准确的运用开平方法求一元二次方程的解．二、知识回顾1．什么叫做平方根?平方根有哪些性质？平方根的定义：如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根．用式子表示：若x 2=a ，则x 叫做a 的平方根．记作x=如：9的平方根是3±；425的平方根是25±．平方根的性质：（1）一个正数有两个平方根，这两个平方根是互为相反数的； （2）0的平方根是0； （3）负数没有平方根．2．x 2=4，则x=±2.想一想：求x 2=4的解的过程，就相当于求什么的过程？三、新知讲解四、典例探究1．用直接开平方法求一元二次方程的解【例1】解方程：（1）2x 2﹣8=0；（2）（2x ﹣3）2=25．分析：（1）先变形得到x 2=4，然后利用直接开平方法求解；（2）首先两边直接开平方可得2x ﹣3=±5，再解一元一次方程即可．解答：解：（1）x 2=4，两边直接开平方，得x1=2，x2=﹣2．（2）两边直接开平方，得2x﹣3=±5，则2x﹣3=5，2x﹣3=﹣5，所以x=4，x=﹣1．点评：本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法求解．总结：运用直接开平方法解一元二次方程，首先要将一元二次方程的左边化为含有未知数的完全平方式，右边化为非负数的形式，然后直接用开平方的方法求解．练1．（2015•东西湖区校级模拟）解方程：（2x+3）2﹣25=0分析：先移项，写成（x+a）2=b的形式，然后利用数的开方解答．解答：解：移项得，（2x+3）2=25，开方得，2x+3=±5，解得x1=1，x2=﹣4．点评：（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．（2）运用整体思想，会把被开方数看成整体．（3）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．练2．（2014秋•昆明校级期中）解方程：9（x+1）2=4（x﹣2）2．分析：两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．解答：解：两边开方得：3（x+1）=±2（x﹣2），即3（x+1）=2（x﹣2），3（x+1）=﹣2（x﹣2），解得：x1=﹣7，x2=．点评：本题考查了解一元二次方程和解一元一次方程的应用，解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程．2．用直接开平方法判断方程中字母参数的取值范围【例2】（2015春•南长区期末）若关于x的一元二次方程x2﹣k=0有实数根，则（）A．k＜0 B．k＞0 C．k≥0 D．k≤0分析：根据直接开平方法的步骤得出x2=k，再根据非负数的性质得出k≥0即可．解答：解：∵x2﹣k=0，∴x2=k，∵一元二次方程x2﹣k=0有实数根，∴k≥0，故选：C．．点评：此题考查了直接开平方法解一元二次方程，用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a （a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”总结：先把方程化为“左平方，右常数”的形式，且把系数化为1，再根据一元二次方程有无解来求方程中字母参数的取值范围.练3．（2015春•利辛县校级月考）已知一元二次方程mx2+n=0（m≠0，n≠0），若方程有解，则必须（）A．n=0 B．m，n同号 C．n是m的整数倍 D．m，n异号分析：首先求出x2的值为﹣，再根据x2≥0确定m、n的符号即可．解答：解：mx2+n=0，x2=﹣，∵x2≥0，∴﹣≥0，∴≤0，∵n≠0，∴mn异号，故选：D．点评：此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，关键是表示出x2的值，根据x2的取值范围确定m、n的符号．练4．（2015•岳阳模拟）如果关于x的方程mx2=3有两个实数根，那么m的取值范围是．解：∵关于x的方程mx2=3有两个实数根，∴m＞0．故答案为：m＞0．五、课后小测一、选择题1．（2015•石城县模拟）方程x2﹣9=0的解是（）A．x=3 B．x=9 C．x=±3 D．x=±92．（2015•河北模拟）已知一元二次方程x2﹣4=0，则该方程的解为（）A．x1=x2=2 B．x1=x2=﹣2 C．x1=﹣4，x2=4 D．x1=﹣2，x2=23．（2015•杭州模拟）关于x的方程a（x+m）2+n=0（a，m，n均为常数，m≠0）的解是x1=﹣2，x2=3，则方程a（x+m﹣5）2+n=0的解是（）A．x1=﹣2，x2=3 B．x1=﹣7，x2=﹣2 C．x1=3，x2=﹣2 D．x1=3，x2=84．（2015•江岸区校级模拟）如果x=﹣3是一元二次方程ax2=c的一个根，那么该方程的另一个根是（）A．3 B．﹣3 C．0 D．15．（2014•枣庄）x1、x2是一元二次方程3（x﹣1）2=15的两个解，且x1＜x2，下列说法正确的是（）A．x1小于﹣1，x2大于3 B．x1小于﹣2，x2大于3C．x1，x2在﹣1和3之间 D．x1，x2都小于36．（2014春•淮阴区校级月考）方程（1﹣x）2=2的根是（）A．﹣1，3 B．1，﹣3 C．， D．，7．（2012秋•内江期末）已知a2﹣2ab+b2=6，则a﹣b的值是（）A． B．或 C．3 D．8．方程x2=0的实数根有（）A．1个 B．2个 C．无数个 D．0个9．方程5y2﹣3=y2+3的实数根的个数是（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个二、填空题10．（2015•泉州）方程x2=2的解是．11．（2014•怀化模拟）方程8x2﹣72=0解为．三、解答题12．（2014•祁阳县校级模拟）解方程：（x ﹣2）2﹣16=0．13．（2014秋•青海校级月考）解方程：．14．已知一元二次方程x 2﹣4x+1+m=5请你选取一个适当的m 的值，使方程能用直接开平方法求解，并解这个方程．（1）你选的m 的值是 ；（2）解这个方程．第二讲 配方法一、 学习目标1.掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤； 2．学会利用配方法解一元二次方程. 二、知识回顾1．形如2()x m n +=(n ≥0)的一元二次方程，利用求平方根的方法，立即可得而解出方程的根，这种解一元二次方程的方法叫“直接开平方法”.2．如果方程能化成x 2＝p 或(mx ＋n )2＝p (p ≥0)的形式,那么利用直接开平方法可得xmx＋n三、新知讲解 1．配方法的依据配方法解一元二次方程的依据是完全平方公式2222()a ab b a b ±+=±及直接开平方法．2．配方法的步骤（1）化—— 化二次项系数为1如果一元二次方程的二次项系数不是1，那么在方程的两边同时除以二次项系数，把二次项系数化为1. （2）移——移项通过移项使方程左边为 二次项 和 一次项 ，右边为 常数项 . （3）配——配方1．形如2()x m n +=(n ≥0)的一元二次方程，利用求平方根的方法，立即可得而解出方程的根，这种解一元二次方程的方法叫“直接开平方法”.在方程两边都加上 一次项系数一半的平方 ，根据完全平方公式把原方程变为2()x m n +=(n ≥0)的形式．（4）解——用直接开平方法解方程. 四、典例探究1．配方法解一元二次方程 【例1】（2015•科左中旗校级一模）用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ）A ．x 2﹣2x ﹣99=0化为（x ﹣1）2=100B ．x 2+8x+9=0化为（x+4）2=25 C ．2t 2﹣7t ﹣4=0化为（t﹣）2=D ．3x 2﹣4x ﹣2=0化为（x ﹣）2=【解析】配方法的一般步骤： （1）把常数项移到等号的右边； （2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．根据以上步骤进行变形即可．解：A 、∵x 2﹣2x ﹣99=0，∴x 2﹣2x=99，∴x 2﹣2x+1=99+1，∴（x ﹣1）2=100，故A 选项正确．B 、∵x 2+8x+9=0，∴x 2+8x=﹣9，∴x 2+8x+16=﹣9+16，∴（x+4）2=7，故B 选项错误． C 、∵2t 2﹣7t ﹣4=0，∴2t 2﹣7t=4，∴t 2﹣t=2，∴t 2﹣t+=2+，∴（t ﹣）2=，故C 选项正确． D 、∵3x 2﹣4x ﹣2=0，∴3x 2﹣4x=2，∴x 2﹣x=，∴x 2﹣x+=+，∴（x ﹣）2=．故D 选项正确．故选：B ．点评：此题考查了配方法解一元二次方程，选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．练1用配方法解方程： x 2﹣2x ﹣24=0；（2）3x 2+8x-3=0；（3）x （x+2）=120.【解析】（1）移项，得x 2﹣2x=24，配方，得：x 2﹣2x+1=24+1，即：（x ﹣1）2=25， 开方，得：x ﹣1=±5， ∴x 1=6，x 2=﹣4．（2）两边除以3，得： 28103x x +-=, 移项，得：2813x x +=， 配方，得：222844()1()333x x ++=+，即：2245(x )()33+=，开方，得：4533x +=± ∴121,33x x ==- （3）整理，得：22120x x +=， 配方，得：2211201x x ++=+，即：2(1)121x +=，开方，得：111x +=±∴1210,12x x ==-点评：本题考查了解一元二次方程﹣﹣配方法．2．用配方法求多项式的最值【例2】（2015春•龙泉驿区校级月考）当x ，y 取何值时，多项式x 2+4x+4y 2﹣4y+1取得最小值，并求出最小值． 【解析】把所给代数式整理为两个完全平方式子与一个常数的和，最小值应为那个常数，从而确定最小值．解：x 2+4x+4y 2﹣4y+1=x 2+4x+4+4y 2﹣4y+1﹣4=（x+2）2+（2y ﹣1）2﹣4，又∵（x+2）2+（2y ﹣1）2的最小值是0，∴x 2+4x+4y 2﹣4y+1的最小值为﹣4． ∴当x=﹣2，y=时有最小值为﹣4．点评：本题考查配方法的应用；根据﹣4y ，4x 把所给代数式整理为两个完全平方式子的和是解决本题的关键．总结：配方法是求代数式的最值问题中最常用的方法.基本思路是：把代数式配方成完全平方式与常数项的和，根据完全平方式的非负性求代数式的最值.练2（2014•甘肃模拟）用配方法证明：二次三项式﹣8x 2+12x ﹣5的值一定小于0．【解析】将﹣8x 2+12x ﹣5配方，先把二次项系数化为1，然后再加上一次项系数一半的平方，然后根据配方后的形式，再根据a 2≥0这一性质即可证得．解：﹣8x 2+12x ﹣5=﹣8（x 2﹣x ）﹣5=﹣8[x 2﹣x+（）2]﹣5+8×（）2=﹣8（x ﹣）2﹣， ∵（x ﹣）2≥0， ∴﹣8（x ﹣）2≤0， ∴﹣8（x ﹣）2﹣＜0，即﹣8x 2+12﹣5的值一定小于0． 点评：此题考查了学生的应用能力，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值．练3（2014秋•崇州市期末）已知a 、b 、c 为△ABC 三边的长．（1）求证：a2﹣b2+c2﹣2ac＜0．（2）当a2+2b2+c2=2b（a+c）时，试判断△ABC的形状．【解析】（1）将不等式的左边因式分解后根据三角形三边关系判断代数式的符号即可；（2）将等式右边的项移至左边，然后配方即可．解：（1）a2﹣b2+c2﹣2ac=（a﹣c）2﹣b2=（a﹣c+b）（a﹣c﹣b）∵a、b、c为△ABC三边的长，∴（a﹣c+b）＞0，（a﹣c﹣b）＜0，∴a2﹣b2+c2﹣2ac＜0．（2）由a2+2b2+c2=2b（a+c）得：a2﹣2ab+b2+b2﹣2bc+c2=0配方得：（a﹣b）2+（b﹣c）2=0∴a=b=c∴△ABC为等边三角形．点评：本题考查了配方法的应用，解题的关键是对原式正确的配方．五、课后小测一、选择题1．（2015•延庆县一模）若把代数式x2﹣2x+3化为（x﹣m）2+k形式，其中m，k为常数，结果为（）A．（x+1）2+4 B．（x﹣1）2+2C．（x﹣1）2+4 D．（x+1）2+22．（2015•东西湖区校级模拟）一元二次方程x2﹣8x﹣1=0配方后为（）A．（x﹣4）2=17 B．（x+4）2=15C．（x+4）2=17 D．（x﹣4）2=17或（x+4）2=17二、填空题3．（2015春•盐城校级期中）一元二次方程x2﹣6x+a=0，配方后为（x﹣3）2=1，则a= ．4．（2014秋•营山县校级月考）当x= 时，代数式3x2﹣6x的值等于12．三、解答题5．（2015•东西湖区校级模拟）用配方法解方程：x2﹣2x﹣4=0．6．（2013秋•安龙县校级期末）试说明：不论x，y取何值，代数式x2+4y2﹣2x+4y+5的值总是正数．你能求出当x，y取何值时，这个代数式的值最小吗？7．（2014秋•蓟县期末）阅读下面的材料并解答后面的问题：小李：能求出x2+4x﹣3的最小值吗？如果能，其最小值是多少？小华：能．求解过程如下：因为x2+4x﹣3=x2+4x+4﹣4﹣3=（x2+4x+4）﹣（4+3）=（x+2）2﹣7而（x+2）2≥0，所以x2+4x﹣3的最小值是﹣7．问题：（1）小华的求解过程正确吗？（2）你能否求出x2﹣3x+4的最小值？如果能，写出你的求解过程．8．（2014秋•安陆市期末）阅读下面的解答过程，求y2+4y+8的最小值．解：y2+4y+8=y2+4y+4+4﹣（y+2）2+4∵（y+2）2≥0∴（y+2）2+4≥4∴y2+4y+8的最小值为4仿照上面的解答过程，求m2+m+4的最小值和4﹣2x﹣x2的最大值．9．（2014春•乳山市期末）已知代数式x2﹣2mx﹣m2+5m﹣5的最小值是﹣23，求m的值．10．（2014秋•江阴市期中）配方法可以用来解一元二次方程，还可以用它来解决很多问题．例如：因为3a2≥0，所以3a2+1≥1，即：3a2+1有最小值1，此时a=0；同样，因为﹣3（a+1）2≤0，所以﹣3（a+1）2+6≤6，即﹣3（a+1）2+6有最大值6，此时 a=﹣1．①当x= 时，代数式﹣2（x﹣1）2+3有最（填写大或小）值为．②当x= 时，代数式﹣x2+4x+3有最（填写大或小）值为．③矩形花园的一面靠墙，另外三面的栅栏所围成的总长度是16m，当花园与墙相邻的边长为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？第三讲公式法一、学习目标了解掌握一元二次方程根的判别式，不解方程能判定一元二次方程根的情况；理解一元二次方程求根公式的推导过程；掌握公式结构，知道使用公式前先将方程化为一般形式，通过判别式判断根的情况；学会利用求根公式解简单数字系数的一元二次方程．二、知识回顾1．什么是配方法?配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？配方法：通过配方，先把方程的左边配成一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负数，然后运用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法．配方法解一元二次方程的一般步骤：（1）移常数项到方程右边； （2）化二次项系数为1；（3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方； （4）化方程左边为完全平方式；（5）若方程右边为非负数，则利用直接开平方法解得方程的根．2．怎样用配方法解形如一般形式ax 2+bx +c =0(a ≠0)的一元二次方程？ 解：移项，得2,ax bx c +=-二次项系数化为1，得2,b c x x a a +=-配方，得222()(),22b b c bx x a a a a++=-+ 即：222424b b ac x a a -⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 因为0,a ≠所以当240b ac ->时，2b x a-=；当240;2b b ac a -==-12时，x =x240b ac -=当时，原方程无解.三、新知讲解一元二次方程根的判别式24b ac -叫做一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)根的判别式，通常用希腊字母∆表示它，即24b ac ∆=-．一元二次方程根的情况与判别式的关系（1）240b ac ∆=->⇔方程有两个不相等的实数根； （2）240b ac ∆=-=⇔方程有两个相等的实数根； （3）240b ac ∆=-<⇔方程没有实数根． 公式法解一元二次方程一般地，对于一般形式的一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)，当240b ac -≥时，它的两个根分别是1x =，2x =，这里，()2402b x b ac a-±=-≥叫做一元二次方程的求根公式，利用它解一元二次方程的方法叫做公式法．公式法解一元二次方程的一般步骤把方程化成一般形式：ax 2+bx +c =0(a ≠0)；确定a ，b ，c 的值；求出24b ac -的值，并判断方程根的情况：当240b ac ->时，方程有两个不相等的实数根； 当240b ac -=时，方程有两个相等的实数根； 当240b ac -<时，方程没有实数根．当240b ac -≥时，将a ，b ，c 和24b ac -的值代入公式2b x a-=（注意符号）．四、典例探究1．根据根的判别式判断一元二次方程根的情况【例1】（2015•重庆）已知一元二次方程2x 2﹣5x+3=0，则该方程根的情况是（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 两个根都是自然数 D ．无实数根分析：判断方程的根的情况，只要看根的判别式△=b 2﹣4ac 的值的符号就可以了． 解答：解：∵a=2，b=﹣5，c=3，∴△=b 2﹣4ac=（﹣5）2﹣4×2×3=1＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A ．点评：此题主要考查了一元二次方程根的判别式，要熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．总结：求根的判别式时，应该先将方程化为一般形式，正确找出a ，b ，c 的值.根的判别式与一元二次方程根的情况的关系如下：当240b ac ->时，方程有两个不相等的实数根；当240b ac -=时，方程有两个相等的实数根；当240b ac -<时，方程没有实数根．练1．（2015•铜仁市）已知关于x 的一元二次方程3x 2+4x ﹣5=0，下列说法不正确的是（ ） A ．方程有两个相等的实数根 B ．方程有两个不相等的实数根 C ．没有实数根 D ．无法确定 分析：先求出△的值，再判断出其符号即可．解答：解：∵△=42﹣4×3×（﹣5）=76＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选B ．点评：本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根与△的关系是解答此题的关键．练2．（2015•泰州）已知：关于x 的方程x 2+2mx+m 2﹣1=0 （1）不解方程，判别方程根的情况； （2）若方程有一个根为3，求m 的值． 分析：（1）找出方程a ，b 及c 的值，计算出根的判别式的值，根据其值的正负即可作出判断； （2）将x=3代入已知方程中，列出关于系数m 的新方程，通过解新方程即可求得m 的值．解答：解：（1）∵a=1，b=2m ，c=m 2﹣1，∵△=b 2﹣4ac=（2m ）2﹣4×1×（m 2﹣1）=4＞0，∴方程x2+2mx+m2﹣1=0有两个不相等的实数根；（2）∵x2+2mx+m2﹣1=0有一个根是3，∴32+2m×3+m2﹣1=0，解得，m=﹣4或m=﹣2．点评：此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．也考查了一元二次方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．2．根据一元二次方程根的情况求参数的值或取值范围【例2】（2015•温州）若关于x的一元二次方程4x2﹣4x+c=0有两个相等实数根，则c的值是（）A．﹣1 B．1 C．﹣4 D．4分析：根据方程根的情况与判别式的关系知△=42﹣4×4c=0，然后解一次方程即可．解答：解：∵一元二次方程4x2﹣4x+c=0有两个相等实数根，∴△=42﹣4×4c=0，∴c=1，故选B．点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．总结：已知方程根的情况求字母的值或取值范围时：先计算根的判别式；再根据方程根的情况列出关于根的判别式的等式或不等式求解；若二次项系数出现了字母，应注意“二次项系数不为0”．练3．（2015•凉山州）关于x的一元二次方程（m-2）x2+2x+1=0有实数根，则m的取值范围是（）A．m≤3 B．m＜3 C．m＜3且m≠2 D．m≤3且m≠2分析：根据一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac的意义得到m-2≠0且△≥0，即22-4×（m-2）×1≥0，然后解不等式组即可得到m的取值范围．解答：解：∵关于x的一元二次方程（m-2）x2+2x+1=0有实数根，∴m-2≠0且△≥0，即22-4×（m-2）×1≥0，解得m≤3，∴m的取值范围是 m≤3且m≠2．故选：D．点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．3．用公式法解一元二次方程【例3】用公式法解下列方程：（1）x2+2x﹣2=0；（2）y2﹣3y+1=0；（3）x2+3=2x．分析：（1）求出b2﹣4ac的值，代入公式x=求出即可；（2）求出b2﹣4ac的值，代入公式y=求出即可；（3）求出b2﹣4ac的值是负数，即可得出原方程无解．解答：解：（1）这里a=1，b=2，c=﹣2，∵b2﹣4ac=22﹣4×1×（﹣2）=12＞0，∴x==﹣1，∴x1=﹣1+，x2=﹣1﹣；（2）这里a=1，b=﹣3，c=1．∵b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×1×1=5＞0，y=，∴y1=，y2=；（3）移项，得x2﹣2x+3=0，这里a=1，b=﹣2，c=3．∵b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×3=﹣4＜0．∴原方程没有实数根．点评：本题主要考查学生运用公式法正确解方程的能力，前提是先判断判别式的符号，再根据情况代入求根公式求解．总结：公式法的实质是配方法，只不过省去了配方的过程，而直接利用了配方的结论；运用公式法求解一元二次方程要注意两个前提：（1）先将一元二次方程化为一般形式，即确定a，b，c的值；（2）必须保证b2-4ac≥0．练4．（2014•锦江区模拟）解方程：x（x﹣2）=3x+1．分析：整理后求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可．解答：解：x（x﹣2）=3x+1，整理得：x2﹣5x﹣1=0，b2﹣4ac=（﹣5）2﹣4×1×（﹣1）=29，x=，x1=，x2=．点评：本题考查了解一元二次方程的应用，能正确运用公式法解一元二次方程是解此题的关键，难度适中．练5．当x是何值时，3x2+4x﹣8的值和2x2﹣1的值相等？分析：根据3x2+4x﹣8的值和2x2﹣1的值相等，即可列出方程，然后利用公式法即可求解．解答：解：根据题意得：3x2+4x﹣8=2x2﹣1，即x2+4x﹣7=0，a=1，b=4，c=﹣7，△=b2﹣4ac=16+28=44＞0，则x==﹣2．点评：本题考查了公式法解一元二次方程，注意公式运用的条件：判别式△≥0．五、课后小测一、选择题1．（2015•云南）下列一元二次方程中，没有实数根的是（）A．4x2﹣5x+2=0 B．x2﹣6x+9=0 C．5x2﹣4x﹣1=0 D．3x2﹣4x+1=02．（2015•贵港）若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+2=0有实数根，则整数a的最大值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．23．（2015•烟台）等腰直角三角形边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n﹣1=0的两根，则n的值为（）A．9 B．10 C．9或10 D．8或104．（2015•株洲）有两个一元二次方程M：ax2+bx+c=0；N：cx2+bx+a=0，其中a•c≠0，a≠c．下列四个结论中，错误的是（）A．如果方程M有两个相等的实数根，那么方程N也有两个相等的实数根B．如果方程M的两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同C．如果5是方程M的一个根，那么是方程N的一个根D．如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x=15．（2013•日照）已知一元二次方程x2﹣x﹣3=0的较小根为x1，则下面对x1的估计正确的是（）A．﹣2＜x1＜﹣1 B．﹣3＜x1＜﹣2 C．2＜x1＜3 D．﹣1＜x1＜0二、填空题6．（2011秋•册亨县校级月考）用公式法解方程2x2﹣7x+1=0，其中b2﹣4ac= ，x1= ，x2= ．三、解答题7．（2014秋•通山县期中）用公式法解方程：2x2﹣4x=5．8．（2014秋•金溪县校级月考）解方程：2x2﹣2x﹣5=0．9．（2013春•石景山区期末）用公式法解方程：x（x）=4．10．（2015•梅州）已知关于x的方程x2+2x+a﹣2=0．（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；（2）当该方程的一个根为1时，求a的值及方程的另一根．11．（2015•咸宁）已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=0．（1）证明：不论m为何值时，方程总有实数根；（2）m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．12．（2015•昆山市一模）已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1=0．（1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；（2）若x1、x2是原方程的两根，且|x1﹣x2|=2，求m的值．13．（2015•南充一模）已知关于x的一元二次方程kx2﹣2（k﹣1）x+k﹣2=0（k≠0）（1）小明考查后说，它总有两个不相等的实数根．（2）小华补充说，其中一个根与k无关．请你说说其中的道理．第四讲因式分解法一、学习目标1．会用因式分解法解一元二次方程；2．会用换元法解一元二次方程；3．灵活选用简便的方法解一元二次方程.二、知识回顾1.分解因式的常用方法有哪些？（1）提取公因式法：am+bm+cm= m(a+b+c)（2）公式法：22()()-2(-)++=+222a ab b a b+=，a b a b a ba ab b a b-=+-，2222()（3）十字相乘法：2()()()+++=++x a b x ab x a x b三、新知讲解1．因式分解法把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫做分解因式.当一元二次方程的一边是0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们可以使两个一次式分别等于0，从而实现降次. 这种解一元二次方程的方法称为因式分解法.2．因式分解法解一元二次方程的步骤：①把方程的右边化为0；②用提公因式法、公式法（这里指因式分解中的公式法）或十字相乘法把方程左边化成两个一次因式乘积的形式；③令每一个因式分别等于0，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.3．因式分解法的条件、理论依据因式分解法解一元二次方程的条件是：方程右边等于0，而左边易于分解；理论依据是：如果两个因式的积等于零，那么至少有一个因式等于零.四、典例探究1．用因式分解法解一元二次方程【例1】用因式分解法解方程：（1）2(2x －1)2=(1－2x )；（2）4(y ＋2)2=(y －3)2. 【解析】（1）移项，提取公因式；（2）移项并利用平方差公式分解因式求解.解：（1）2(2x －1)2=(1－2x )移项，得2(2x －1)2－(1－2x )=0，即：2(2x －1)2+(2x －1)=0，因式分解，得（2x-1）[2(2x-1)+1]=0， 整理，得(2x-1)(4x-1)=0， 解得x 1=12，x 2=14；（2）4(y ＋2)2=(y －3)2移项，得4(y ＋2)2-(y －3)2=0因式分解，得[2（y+2）+(y-3)][2(y+2)-(y-3)]=0 整理，得(3y+1)(y+7)=0 解得y 1=－13，y 2=－7.总结：用因式分解法解一元二次方程，是利用了“当ab=0时，必有a=0或者b=0”的结论. 因式分解法解一元二次方程的步骤： （1）把方程的右边化为0；（2）用提公因式法、公式法（这里指因式分解中的公式法）或十字相乘法把方程左边化成两个一次因式乘积的形式；（3）令每一个因式分别等于0，得到两个一元一次方程； （4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.练1（2014秋•赵县期末）用因式分解法解方程：x 2﹣6x+9=（5﹣2x ）2解：x 2﹣6x+9=（5﹣2x ）2，（x ﹣3）2﹣（5﹣2x ）2=0， 因式分解得：（x ﹣3+5﹣2x ）（x ﹣3﹣5+2x ）=0， 整理得：（2﹣x ）（3x ﹣8）=0， 解得：x 1=2，x 2=.点评：此题主要考查了因式分解法解一元二次方程，正确分解因式是解题关键．2．用换元法解一元二次方程【例2】（2014•山西校级模拟）解方程（x ﹣1）2﹣5（x ﹣1）+4=0时，我们可以将x ﹣1看成一个整体，设x ﹣1=y ，则原方程可化为y 2﹣5y+4=0，解得y 1=1，y 2=4．当y=1时，即x ﹣1=1，解得x=2；当y=4时，即x ﹣1=4，解得x=5，所以原方程的解为x 1=2，x 2=5．利用这种方法求方程（2x+5）2﹣4（2x+5）+3=0的解．【解析】先设2x+5=y ，则方程即可变形为y 2﹣4y+3=0，解方程即可求得y （即2x+5）的值，进一步可求出x 的值．解：设x ﹣1=y ，则原方程可化为y 2﹣4y+3=0， 所以（y ﹣1）（y ﹣3）=0 解得y 1=1，y 2=3．当y=1时，即2x+5=1， 解得x=﹣2；当y=3时，即2x+5=3， 解得x=﹣1，所以原方程的解为：x1=﹣2，x2=﹣1．点评：本题运用换元法解一元二次方程．总结：换元法在解特殊一元二次方程的时候用的较多，运用了整体思想.在一元二次方程中，某个代数式几次出现，用一个字母来代替它可以简化问题时，我们可以考虑用换元法来解.解高次方程时，通过换元的方法达到降次的目的．练2（2015•呼和浩特）若实数a、b满足（4a+4b）（4a+4b﹣2）﹣8=0，则a+b=_______．【解析】设a+b=x，则原方程转化为关于x的一元二次方程，通过解该一元二次方程来求x（即a+b）的值．解：设a+b=x，则由原方程，得4x（4x﹣2）﹣8=0，整理，得（2x+1）（x﹣1）=0，解得x1=﹣，x2=1．则a+b 的值是﹣或1．故答案是：﹣或1．点评：本题主要考查了换元法，即把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换．练3解方程：（x2-3）2-5(3-x2)+4=0.【解析】设x2-3=y，则原方程转化为关于y的一元二次方程，通过解该一元二次方程来求y（即x2-3）的值．解：设x2-3=y，则原方程可化为y2-5(-y)+4=0，即：y2+5y+4=0，因式分解得：（y+1）(y+4)=0,解得y1=-1，y2=-4.当y1=-1时，x2-3=-1，即x2=2，解得x=当y2=-4时，x2-3=-4，即x2-3=-1，方程无实数根.综上，x=3．灵活选用方法解一元二次方程【例3】（2014秋•漳县校级期中）选择适当方法解下列方程：（1）x2﹣5x+1=0；（2）3（x﹣2）2=x（x﹣2）；（3）2x2﹣2x﹣5=0；（4）（y+2）2=（3y﹣1）2．【解析】（1）利用配方法得到（x ﹣）2=，然后根据直接开平方法求解；（2）先变形得到3（x﹣2）2﹣x（x﹣2）=0，然后利用因式分解法解方程；（3）先计算判别式的值，然后利用求根公式法求解；（4）先变形得到（y+2）2﹣（3y﹣1）2=0，然后利用因式分解法解方程．解：（1）x2﹣5x=﹣1，x2﹣5x+（）2=﹣1+（）2，（x﹣）2=，x﹣=±，所以x1=，x2=；（2）3（x﹣2）2﹣x（x﹣2）=0，（x﹣2）（3x﹣6﹣x）=0，所以x1=2，x2=3；（3）△=（﹣2）2﹣4×2×（﹣5）=48x===，所以x1=，x2=；（4）（y+2）2﹣（3y﹣1）2=0，（y+2+3y﹣1）（y+2﹣3y+1）=0，y+2+3y﹣1=0或y+2﹣3y+1=0，所以y1=﹣，y2=．点评：本题考查了一元二次方程的四种常见解法．总结：解一元二次方程常用的方法有直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法，根据一元二次方程的特征，灵活选用解方程的方法，可以起到事半功倍的作用.（1）一般地，当一元二次方程一次项系数为0时，即形如ax2+c=0形式的一元二次方程，应选用直接开平方法.（2）若常数项为0，即形如ax2+bx=0的形式，应选用因式分解法.（3）若一次项系数和常数项都不为0，即形如ax2+bx+c=0的形式，看左边的整式是否能够因式分解，如果能，则宜选用因式分解法；不然选用公式法；不过当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时，用配方法也较简单.（4）公式法虽然是万能的，对任何一元二次方程都适用，但不一定是最简单的. 因此在解方程时，我们首先考虑能否应用直接开平方法、因式分解法等简单方法，若不行，则再考虑公式法（适当也可考虑配方法）.练4（2015春•无锡校级期中）选择合适的方法解下列方程.（1）x2﹣5x﹣6=0；（2）3x2﹣4x﹣1=0；（3）x（x﹣1）=3﹣3x；【解析】（1）根据因式分解法，可得方程的解；（2）根据公式法，可得方程的解；（3）根据因式分解法，可得方程的解；（4）根据公式法，可得方程的解．解：（1）因式分解，得 （x ﹣1）（x ﹣6）=0，解得x 1=6，x 2=﹣1； （2）a=3，b=﹣4，c=﹣1，x 1=，x 2=；（3）方程化简得x 2+2x ﹣3=0， 因式分解，得（x+3）（x ﹣1）=0， 解得x 1=1，x 2=﹣3；（4）a=1，b=﹣2，c=1，x 1=1+，x 2=﹣1+．点评：本题考查了解一元二次方程，根据方程的特点选择适当的方法是解题关键．五、课后小测 一、选择题1．方程（x-16）(x+8)=0的根是（ ）A. x 1=-16，x 2=8B. x 1=16，x 2=-8C. x 1=16，x 2=8D. x 1=-16，x 2=-8 2. 方程5x(x+3)=3(x+3)的解为（ ） A.123,35x x == B.35x = C.123,35x x =-=- D.123,35x x ==-3.（2015•滕州市校级模拟）方程x 2﹣2x=3可以化简为（ ）A ．（x ﹣3）（x+1）=0B ．（x+3）（x ﹣1）=0C ．（x ﹣1）2=2D ．（x ﹣1）2+4=0 二、填空题4．（2015•丽水）解一元二次方程x 2+2x ﹣3=0时，可转化为解两个一元一次方程，请写出其中的一个一元一次方程 ． 5．（2014•杭州模拟）方程x （x+1）=2（x+1）的解是 ．6．（2013秋•苏州期末）已知（x 2+y 2+1）（x 2+y 2+2）=6，则x 2+y 2的值为 ． 三、解答题 7．（2014秋•静宁县期末）解下列方程：（1）x 2﹣2x+1=0（2）x 2﹣2x ﹣2=0（3）（x ﹣3）2+2（x ﹣3）=0． 8．（2014秋•沧浪区校级期末）解下列方程：（1）x 2﹣4x ﹣3=0（2）（x ﹣2）2=3（x ﹣2） （3）2（﹣x ）2﹣（x ﹣）﹣1=0．9．（2014秋•宛城区校级期中）为了解方程（x 2﹣1）2﹣5（x 2﹣1）+4=0，我们可以将x 2﹣1看作一个整体，然后设x 2﹣1=y ，则（x 2﹣1）2=y 2，那么原方程可化为y 2﹣5y+4=0，解得y 1=1，y 2=4．当y=1时，x 2﹣1=1，x 2=2，x=±．。
一元二次方程讲义
一元二次方程讲义1.解方程2(2)9x -=. 2（3x ﹣1）2=8．例题3：配方法1.已知方程260xx q +=-可以配方成27x p =（-）的形式，那么262x x q +=-可以配方成下列的（ ） A. 25x p =（-） B. 29x p =（-） C. 229x p +=（-） D. 225x p +=（-） 2.用配方法解方程：2420x x ++=练习：1． 用配方法解方程：x 2﹣7x+5=0． 2x 2﹣3x+1=0．x 2﹣6x ﹣7=0．例题4.公式法1.一元二次方程4x 2﹣2x+=0的根的情况是（ ）A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 没有实数根D. 无法判断2.用公式法解方程：03822=+-x x.练习：1．用公式法解方程：3x 2+5（2x+1）=0．练习：1．“在线教育”指的是通过应用信息科技和互联网技术进行内容传播和快速学习的方法．”互联网+”时代，中国的在线教育得到迅猛发展．根据中国产业信息网数据统计分析，2015年中国在线教育市场产值约为1600亿元，2017年中国在线教育市场产值在2015年的基础上增加了900亿元．（1）求2015年到2017年中国在线教育市场产值的年平均增长率；（2）若增长率保持不变，预计2018年中国在线教育市场产值约为多少亿元？例题2：利润问题1.某商店准备进一批季节性小家电，单价40元．经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个，定价每增加1元，销售量净减少10个；定价每减少1元，销售量净增加10个．因受库存的影响，每批次进货个数不得超过180个，商店若将准备获利2000元，则应进货多少个？定价为多少元？练习:1．今年本市蜜桔大丰收，某水果商销售一种蜜桔，成本价为10元/千克，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于18元/千克，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）之间的函数关系如图所示：（1）求y与x之间的函数关系式；（2）该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少？（销售利润=销售价﹣成本价）例题3：面积问题1.某中学标准化建设规划在校园内的一块长36米，宽20米的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的人行道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草（如图所示），若使每一块草坪的面积都为96平方米．求人行道的宽。
《一元二次方程》复习经典讲义--绝对经典实用
《一元二次方程》复习经典讲义基础知识1、一元二次方程方程中只含有一个未知数，而且未知数的最高次数是2的方程，一般地，这样的方程都整理成为形如脳」「冰4；"『：寫占门的一般形式，我们把这样的方程叫一元二次方程。
其中'分别叫做一元二次方程的二次项、一次项和常数项，a b分别是二次项和一次项的系数。
如|满足一般形式「丁：、1，工宀L分别是二次项、一次项和常数项，2,—4分别是二次项和一次项系数。
注：如果方程中含有字母系数在讨论是否是一元二次方程时，则需要讨论字母的取值范围。
2.—元二次方程求根方法(1)直接开平方法形如•的方程都可以用开平方的方法写成' ，求出它的解，这种解法称为直接开平方法。
(2)配方法通过配方将原方程转化为V；工己丿的方程，再用直接开平方法求解。
配方：组成完全平方式的变形过程叫做配方。
配方应注意：当二次项系数为1时，原式两边要加上一次项系数一半的平方，若二次项系数不为1,只需方程两边同时除以二次项系数，使之成为1。
(3)公式法求根公式：方程小* X 「的求根公式_b 丄v b2-4ac2ti步骤:1）把方程整理为一般形式：：匚『“甩.m」：，确定a b、c。
2）计算式子卜In的值。
3）当八心心-时，把a、b和卜L LI的值代入求根公式计算，就可以求出方程的解。
（4）因式分解法把一元二次方程整理为一般形式后，方程一边为零，另一边是关于未知数的二次三项式，如果这个二次三项式可以作因式分解，就可以把这样的一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解，这种解方程的方法叫因式分解法。
3、一兀二次方程根的判别式的定义运用配方法解一元二次方程过程中得到显然只有当护仏“时，才能直接开平方得:也就是说，一元二次方程卅r吐m沁珥只有当系数'耳、满足条件託=眇一盘供訣氐时才有实数根.这里「n 叫做一元二次方程根的判别式.4、判别式与根的关系在实数范围内，一元二次方程'的根由其系数「、耳、确定，它的根的情况（是否有实数根）由二•，确定.设一元二次方程为' 7 ' 11■ 「，其根的判别式为：则hbph' ■4tjcr①1■- ' =■方程门厂山应二：：緘町有两个不相等的实数根■br V ——丫——…_ _②方程' f'有两个相等的实数根•一.③.匸方程农用沁没有实数根.若I，4，匸为有理数，且二为完全平方式，则方程的解为有理根；若△为完全平方式，同时血是％的整数倍，则方程的根为整数根.说明:⑴用判别式去判定方程的根时，要先求出判别式的值：上述判定方法也可以反过来使用，当方程有两个不相等的实数根时，：；有两个相等的实数根时，人-J;没有实数根时，「1⑵在解一元二次方程时，一般情况下，首先要运用根的判别式—氐判定方程的根的情况（有两个不相等的实数根，有两个相等的实数根，无实数根）•当亠忙仝:时，方程有两个相等的实数根（二重根），不能说方程只有一个根.①当时二抛物线开口向上二顶点为其最低点；②当…「时=抛物线开口向下二顶点为其最高点.5、一元二次方程的根的判别式的应用一元二次方程的根的判别式在以下方面有着广泛的应用：⑴运用判别式，判定方程实数根的个数；⑵利用判别式建立等式、不等式，求方程中参数值或取值范围；⑶通过判别式，证明与方程相关的代数问题；（4）借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题，最值问题.6韦达定理b如果能畋;:;的两根是；:,贝U " -丿.（隐含的条件：•「「）特别地，当一元二次方程的二次项系数为1时，设'，’‘是方程"'的两个根，贝U '-7、韦达定理的逆定理以两个数，”为根的一元二次方程（二次项系数为1 ）是F -（x t ^x2）x^x l x2 -0一般地，如果有两个数’，•满足＜，「，那么'，•'必定是加亠脉V.U =比爭為的两个根.8、韦达定理与根的符号关系在£已护仏心1J的条件下，我们有如下结论:-<0 丄邸⑴当・时，方程的两根必一正一负•若- ，则此方程的正根不小于负-*<0根的绝对值；若「，则此方程的正根小于负根的绝对值.->0 --> o⑵当J 时，方程的两根同正或同负.若」，则此方程的两根均为正--<0根；若「，则此方程的两根均为负根.更一般的结论是：若，'■是煜。
《一元二次方程》全章复习与巩固—知识讲解
《一元二次方程》全章复习与巩固—知识讲解一元二次方程是高中数学中的重要内容，它是一种形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c为实数，且a ≠ 0。
解一元二次方程的方法有因式分解、配方法和求根公式法。
下面将对这些解法进行讲解。
一、因式分解法如果一元二次方程能够因式分解为两个一次因式的乘积，即 (px + q) (rx + s) = 0，那么方程的解就可以直接得到。
具体步骤如下：1. 将二次方程化简成标准形式：ax^2 + bx + c = 0；2. 因式分解方程：(px + q) (rx + s) = 0；3. 解方程：px + q = 0 或 rx + s = 0；4.求解方程得到x的值。
例如，对方程x^2-5x+6=0应用因式分解法：1.方程已经是标准形式；2.可以将方程改写为(x-2)(x-3)=0；3.解方程得到x-2=0或x-3=0；4.求解方程可得x=2或x=3，这就是原方程的解。
二、配方法对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，有时候可以通过配方法将方程转化为一个平方差或一个完全平方式。
具体步骤如下：1.当a≠0时，将方程两边同时除以a，化简为x^2+(b/a)x+c/a=0；2. 计算出一个值k，使得(b/a)^2 + 2(b/a)k + k^2 = k^2、其中，2(b/a)k为bx的一半，k^2为(c/a)的相反数的一半；3.将方程变形为(x+k)^2+m=0，即(x+k)^2=-m；4.解方程得到x+k=±√(-m)；5.求解方程得到x的值。
例如，对方程x^2-6x+8=0应用配方法：1.将方程化简为(x-3)^2-1=0；2.得到k=3，使得(-6/2)^2+2(-6/2)k+k^2=1；3.方程变形为(x-3)^2=1；4.解方程得到x-3=±1；5.求解方程可得x=2或x=4，这就是原方程的解。
三、求根公式法一元二次方程的求根公式是美国数学家Vieta发现的，它的公式形式为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a。
讲义一元二次方程讲义
考点一、概念(1)内容：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2,这样的整式方程就是一元次方程。
⑵一般表达式：ax2 bx c二0(a = 0)(3)关键点：强调对最高次项的讨论：①次数为“ 2”；②系数不为“ 0”。
典型例题：例1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是( )J 2 “ 1 1A 3x 1 -2x1B 22=0x x2 2 2C ax bx c = 0D x 2x = x 1变式：当k ___________ 时，关于x的方程kx22^x23是一元二次方程。
例2、方程m - 2 x im - 3mx 1=0是关于x的一元二次方程，则m的值为________________________________________________________________________________________ 。
针对练习：1、方程8x2=7的一次项系数是______________ ，常数项是______________ 。
2、若方程m-1x2： m*x=1是关于x的一元二次方程，则m的取值范围考点二、方程的解⑴内容：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。
⑵应用：①利用根的概念求代数式的值；典型例题：例1、已知2y2• y-3的值为2,则4y2• 2y • 1的值为_____________________ 。
例2、关于x的一元二次方程a「2 x2• x • a2「4 = 0的一个根为0，贝U a的值为_______________ 。
说明：任何时候，都不能忽略对一元二次方程二次项系数的限制.例3、已知关于x的一元二次方程ax2• bx • c = 0 a = 0的系数满足a b，则此方程必有一根为。
说明：本题的关键点在于对“代数式形式”的观察，再利用特殊根“ -1”巧解代数式的值。
例4、已知a = b，a2-2a -1 =0，b2-2b -1 = 0，求a b 二____________________变式：若a2-2a -1=0，b2-2b-1=0，则a b的值为_______________________ 。
第二章 一元二次方程复习 讲义
龙文教育学科教师辅导讲义学员姓名： 辅导课目：数学 年级：八年级 学科教师：汪老师 授课日期及时段课 题第二章 一元二次方程复习重点、难点、考点1、一元二次方程的基本概念2、一元二次方程的解法及应用学习目标1、理解一元二次方程的基本概念及其相应的应用2、一元二次方程的解法及其应用教学内容一、知识回顾:1．一元二次方程：在整式方程中，只含 个未知数，并且未知数的最高次数是 的方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是 .其中 叫做二次项， 叫做一次项， 叫做常数项； 叫做二次项的系数， 叫做一次项的系数。
2. 一元二次方程的常用解法：（1）直接开平方法：形如)0(2≥=a a x 或)0()(2≥=-a a b x 的一元二次方程，就可用直接开平方的方法. （注意：用直接开平方的方法时要记得取正、负.）（2）配方法：关键化原方程为2()x m n +=的形式 （警告： 用配方法时二次项系数要化1.）（3）公式法：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的求根公式是221,24(40)2b b ac x b ac a-±-=-≥.（注意：方程要先化成一般形式.）（4）因式分解法（主要有提取公因式、运用平方差公式、运用完全平方公式、十字相乘法）：因式分解法的一般步骤是：①将方程的右边化为 ；②将方程的左边化成两个一次因式的乘积； ③令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解.（注意：方程要先化成一般形式.）3．一元二次方程根的判别式: 24b ac ∆=-(1)一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的情况：①当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；②当0∆=时，方程有两个相等的实数根； ③当0∆<时，方程无实数根. (2)判定一元二次方程根的情况； (3)确定字母的值或取值范围。
知识点练习知识一：一元二次方程的概念1、一元二次方程(1－3x)(x+3)=2x 2+1的一般形式是 它的二次项系数是 ； 一次项系数是 ；常数项是 。
一元二次方程复习讲义
一元二次方程复习讲义【知识回顾】1、一元二次方程的概念：形如：ax 2＋bx ＋c =0（a ≠0）概念中的三个要点：①____________，②____________，③____________．不是整式的式子可能是____________，____________．2、一元二次方程的解法：(1)直接开平方法：(2)配方法：(3)因式分解法：(4)公式法：求根公式：()042422≥--±-=ac b a ac b b x 3、一元二次方程的根的判别式：(1)当 时，方程有两个不相等．．．．．的实数根； (2)当 时，方程有两个相等．．．．的实数根； (3)当 时，方程没有实数根．．．．．． 4、韦达定理：如果ax 2＋bx ＋c =0（a ≠0）有两个根x 1，x 2，那么x 1+x 2＝b a -，x 1x 2＝c a ； 推论：①222121212()2x x x x x x +=+-，②12121211x x x x x x ++=，③22121212()()4x x x x x x -=+-，④22111212121222212()4x x x x x x x x x x x x x x ++-+==，⑤12||x x -= 5、用方程解决实际问题：握手模型 增长率模型 降价模型等【基础训练】1、解下列方程(1)(2x ＋3)2－25＝0.(直接开平方法) (2) 02722=--x x (配方法)(3)()()2322+=+x x (因式分解法) (4)2260x x +-=(公式法)2、我们已经学习了一元二次方程的四种解法：因式分解法，开平方法，配方法和公式法．请选择你认为适当的方法解以下方程．①2310x x -+=； ②2(1)3x -=； ③230x x -=； ④224x x -=．3、一元二次方程2210x x -+=的解是 ．4、方程24x x =的解是（ ）A ．4x =B ．2x =C ．4x =或0x =D ．0x = 5、方程(1)x x x -=的解是 ．6、一元二次方程2(6)5x +=可转化为两个一次方程，其中一个一次方程是6x +=程是 ．7、用配方法解方程2420x x -+=，下列配方正确的是（ ）A ．2(2)2x -=B ．2(2)2x +=C ．2(2)2x -=-D ．2(2)6x -= 8、下列方程中，有两个不相等实数根的是（ ）A ．240x +=B ．24410x x -+=C ．230x x ++=D ．2210x x +-= 9、一元二次方程0442=+-x x 的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根；B ．有两个相等的实数根；C ．有一个实数根；D ．没有实数根；10、已知一元二次方程032=++px x 的一个根为3-，则_____=p ．11、关于x 的一元二次方程022=+-m mx x 的一个根为1，则方程的另一根为 ．12、已知1x =是方程220x ax ++=的一个根，则方程的另一个根为（ ）A ．2-B ．2C ．3-D ．3 13、三角形的每条边的长都是方程2680x x -+=的根，则三角形的周长是 ．14、某商品原价100元，连续两次涨价x %后售价为120元，下面所列方程正确的是（ ）A ．2100(1)120x -=%；B ．2100(1)120x +=%；C ．2100(12)120x +=%；D ．22100(1)120x +=%；15、一种药品经过两次降价，药价从原来每盒60元降至现在的48.6元，则平均每次降价的百分率是 ．16、某种药品零售价经过两次降价后的价格为降价前的81%，则平均每次降价（ ）A ．10%B ．19%C ．9.5%D ．20%17、某商场第一季度的利润是82.75万元，其中一月份的利润是25万元，若利润平均月增长率为x ，则根据题意列方程为（ ）A ．()75.821252=+x ；B ．75.825025=+x ； C ．75.827525=+x D ．()()[]75.82111252=++++x x ；【能力提高】18、已知一元二次方程有一个根是2，那么这个方程可以是 (填上一个符合条件的方程即可)19、写出一个以—2和4为根的一元二次方程：_________________ _．20、已知m 是方程012=--x x 的一个根，则代数式m m -2的值等于 （ ）A ．１B ．－１C ．0D ．2 21、关于x 的一元二次方程()220x mx m -+-=的根的情况是 （ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．无法确定22、关于x 的一元二次方程220x x m -+=有两个实数根，则m 的取值范围是 ．23、在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为22b a b a -=*，根据这个规则，方程05)2(=*+x 的解为： ；24、将4个数a b c d ，，，排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成abc d ，定义abc d ad bc =-，上述记号就叫做2阶行列式．若1111x x x x +--+ 6=，则x = ． 25、a 、b 、c 分别是三角形的三边，则方程()022=++++b a cx x b a 的根的情况是（ ）A ．没有实数根B ．可能有且只有一个实数根C ．有两个相等的实数根D ．有两个不相等的实数根 26、甲、乙、丙三家超市为了促销一种定价均为m 元的商品，甲超市连续两次降价20%，乙超市一次性降价40%，丙超市第一次降价30%，第二次降价10%，此时顾客要购买这种商品最划算应到的超市是 （ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ． 乙或丙27、已知关于x 的方程x 2－2(m ＋1)x ＋m 2＝0.(1)当m 取什么值时，原方程没有实数根．(2)对m 选取一个合适的非零整数，使原方程有两个实数根，并求这两个实数根这是一元二次方程根与系数的关系，我们利用它可以用来解题，例12,x x 是方程2630x x +-= 的两根，求2212x x +的值．解法可以这样：126,x x +=-123,x x =-则222212112()2x x x x x x +=+-=2(6)2(3)42--⨯-=． 请你根据以上解法解答下题：已知12,x x 是方程29、现将进货为40元的商品按50元售出时，就能卖出500件．•已知这批商品每件涨价1元，其销售量将减少10个．问为了赚取8000元利润，售价应定为多少？这时应进货多少件？30、某军舰以20海里/时的速度由西向东航行，一艘电子侦察船以30海里/时的速度由南向北航行，它能 侦察周周围50海里(含50海里)范围内的目标．如图，当该军舰行至A 处时，电子侦察船正位于A 处正南方向的B 处，且AB ＝90海里．若军舰和侦察船仍按原速度沿原方向继续航行，那么航行途中侦察船能否侦察到这艘军？如果能，最早何时能侦察到？如果不能，请说明理由．。
讲义精品一元二次方程讲义精品
考点一、概念(1)内容：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程就是一元二次方程。
(2)一般表达式：)0(02≠=++a c bx ax（3）关键点：强调对最高次项的讨论：①次数为“2”；②系数不为“0”。
典型例题：例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ）A ()()12132+=+x xB 02112=-+x xC 02=++c bx axD 1222+=+x x x变式：当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。
例2、方程()0132=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为 。
针对练习：1、方程782=x 的一次项系数是 ，常数项是 。
2、若方程()112=∙+-x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是 。
考点二、方程的解⑴内容：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。
⑵应用：①利用根的概念求代数式的值；典型例题：例1、已知322-+y y 的值为2，则1242++y y 的值为 。
例2、关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为 。
说明：任何时候，都不能忽略对一元二次方程二次项系数的限制.例3、已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程必有一根为 。
说明：本题的关键点在于对 “代数式形式”的观察，再利用特殊根“-1”巧解代数式的值。
例4、已知b a ≠，0122=--a a ，0122=--b b ，求=+b a变式：若0122=--a a ，0122=--b b ，则ab b a +的值为 。
针对练习：1、已知方程0102=-+kx x 的一根是2，则k 为 ，另一根是 。
2、已知m 是方程012=--x x 的一个根，则代数式=-m m 2 。
3、已知a 是0132=+-x x 的根，则=-a a 622 。
一元二次方程全章讲义(最新整理)
知识要点1.一元二次方程1）方程的等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数为2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
2）一元二次方程的一般形式： （a ≠0）0c bx ax 2=++为二次项，a 为二次项系数；2ax bx 为一次项，b 为一次项系数；c 为常数项。
2.一元二次方程的根。
1）使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。
例1.如果2是方程的一个根，则常数b 是多少？05bx x 2=++3.解一元二次方程1）直接开平方法（1）若一元二次方程易写为形式，当p ＞0时，则，p n x 2=+）（n p x 1-=np x 2--=例2.解下列方程36x 52=+）（096x 2=-+）（（2）若一元二次方程可写为形式，当p=0时，p n x 2=+）（n x x 21-==（3）若一元二次方程可写为形式，当p ＜0时，因为实数的平方不会是负数，p n x 2=+）（所以x 取任何实数时，等式都不成立，即原方程无实数根。
2）配方法（1）通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法叫做配方法。
完全平方公式：222b ab 2a b a ++=+）（222b ab 2a b a +-=-）（配成完全平方公式： 222b a b ab 2a ）（+=++222b a b ab 2a ）（-=+-例3.填空22___)x (____x 10x +=++22)6_x (___x 12x =+-22___)x (___x 5x +=++22___x 2___x 20x 2）（+=++例4.解方程04x 2=++022x 202x 2=--移项4x 6x 2-=+两边同时加226（222343x +-=++左边写成完全平方形式53x 2=+）（降次53x +，3x +53x -=+，53x 1+-=53x 2--=例5.用配方法解下列方程01x 8x 2=+-x31x 22=+3）公式法1）任何一个一元二次方程都可以写成一般形式： （a ≠0）0c bx ax 2=++则当时，有求根公式。
一元二次方程基础讲义
一元二次方程的定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数式2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
一般形式：20(0)ax bx c a ++=≠。
其中a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项注意：1）只含有一个未知数；2）所含未知数的最高次数是2；3）整式方程。
专题一：一元二次方程定义及一般形式1、下列方程，是一元二次方程的是（）①3x 2+x=20，②2x 2-3xy+4=0，③x 2-1x=4，④x 2=0，⑤x 2-3x+3=0A．①②B ．①④⑤C ．①③④D ．①②④⑤2、方程2x 2﹣3x ﹣5=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（）A ．3、2、5B ．2、3、5C ．2、﹣3、﹣5D ．﹣2、3、5专题二：应用一元二次方程的定义求字母参数的方法3、若关于x 的方程()2m 110x mx -+-=是一元二次方程，则m 的取值范围是（）A ．m 1≠.B ．m 1=.C ．m 1≥D ． m 0≠.4、若()2223a a x --=是关于x 的一元二次方程，则a 的值是（）A ．0B ．2C ．-2D ．±2专题三：一元二次方程的根的应用方法韦达定理（根与系数关系）我们将一元二次方程化成一般式ax 2+bx+c＝0（a ≠0，Δ≥）之后，设它的两个根是1x 和2x ，则1x 和2x 与方程的系数a，b，c 之间有如下关系：1x +2x ＝b a -；1x ∙2x ＝c a1、关于x 的一元二次方程240x x m -+=的两实数根分别为1x 、2x ，且1235x x +=，则m 的值为（）A ．74B ．75C ．76D ．02、已知a 、b 为一元二次方程2290x x +-=的两个根，那么2a a b +-的值为（）A ．-7B ．0C ．7D ．113、若关于x 的一元二次方程ax 2+bx+6=0的一个根为x=﹣2，则代数式6a ﹣3b+6的值为（）A ．9B ．3C ．0D ．﹣3专题四：一元二次方程根的判别式的应用方法一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的判别式：24b ac∆=-0∆>⇔方程有两个不相等的实根⇔()f x 的图像与x 轴有两个交点0∆=⇔方程有两个相等的实根⇔()f x 的图像与x 轴有一个交点0∆<⇔方程无实根⇔()f x 的图像与x 轴没有交点1、关于x 的方程2(5)410a x x ---=有实数根，则a 满足（）A ．1a ≥B ．1a >且5a ≠C ．1a ≥且5a ≠D ．5a ≠2、已知关于x 的一元二次方程2230x kx -+=有两个相等的实根，则k 的值为（）A ．±B ．C ．2或3D3、关于x 的一元二次方程x 2-2x -（m -1）=0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是（）A ．0m >且1m ≠B ．0m >C ．0m ≥且1m ≠D ．0m ≥练习：1、下列关于x 的方程中，属于一元二次方程的是（）A ．x ﹣1=0B ．x 2+3x ﹣5=0C ．x 3+x=3D ．ax 2+bx+c=02、若方程()()211120m m x m x +--+-=是一元二次方程，则m 的值为（）A ．0B ．±1C ．1D ．–13、关于x 的一元二次方程（m ﹣1）x 2+5x +m 2﹣3m +2＝0的常数项为0，则m 等于（）A ．1B ．2C ．1或2D ．04、一元二次方程x 2﹣3x +1＝0的两个根为x 1，x 2，则x 12+3x 2+x 1x 2﹣2的值是（）A ．10B ．9C ．8D ．75、若x ＝－2是关于x 的一元二次方程x 2＋32ax －a 2＝0的一个根，则a 的值为（）A ．－1或4B ．－1或－4C ．1或－4D ．1或46、若关于x 的一元二次方程222(1)10x k x k +-+-=有实数根，则k 的取值范围是（）A ．k≥1B ．k ＞1C ．k ＜1D ．k≤17、方程(−2)2−3−B +14=0有两个实数根，则的取值范围（）A ．>52B ．≤52且≠2C ．≥3D ．≤3且≠2专题五：解一元二次方程1、直接开平方法：形如2()(0)x a b b +=≥的方程可以用直接开平方法解，两边直接开平方得x a +=或者x a +=，最后通过解两个一元一次方程得到原方程的解。
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一元二次方程复习讲义
一、一元二次方程的定义
1、下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
2、方程()()223210x x x --++=的一般形式是（ ）
2222 x -5x+5=0 x +5x-5=0 x +5x+5=0 x +5=0 A B C D 、、、、
3、若关于x 的一元二次方程()22110a x x a -++-=的一个根是0，则a 的值是（ ）
A 、 1
B 、 -1
C 、 1或-1
D 、1
2
4、写出以4，-5为根且二次项的系数为1的一元二次方程是
5、已知x 、y 是实数，若0=xy ，则下列说法正确的是（ ）
（A ）x 一定是0 （B ）y 一定是0 （C ）0=x 或0=y （D ）0=x 且0=y
二、一元二次方程的解法
1、方程()()213140x x ----=的较适当的解法是（ ）
A 、开平方
B 、 因式分解
C 、 配方法
D 、 公式法
2、把方程2830x x -+=化成()2x m n +=的形式，则m 、n 的值是（ ）
A 、4，13
B 、-4，19
C 、-4，13
D 、4，19
3、若方程02=++c bx ax )0(≠a 中，c b a ,,满足0=++c b a 和0=+-c b a ，则方程的根是（
） （A ）1，0 （B ）-1，0 （C ）1，-1 （D ）无法确定
4、用配方法解关于x 的方程x 2 + px + q = 0时，此方程可变形为 ( )
（A ） 2
2()24p p x += （B ） 224()24p p q
x -+=
（C ） 224()24p p q x +-= （D ） 2
24()24p q p x --=
5、使分式256
1x x x --+ 的值等于零的x 是 ( )
（A ）6 （B ）-1或6 （C ）-1 （D ）-6
6、已知直角三角形的两条边长分别是方程214480x x -+=的两个根，则此三角形的第三边是（
）
108 A B C D 、6或8 、 10或、 或、
7、有一边为3的等腰三角形，它的两边长是方程240x x k -+=的两根，求这个三角形的周长。
22221
320 B 2x +y-1=0 C x 00 D x x A x -+=+=、、、、
8、方程23x x =的解是
9、当y 时，232y y -的值为3
10、解下列一元二次方程
①()()22
9121x x -=+（用因式分解法） ②2520x x -+=（用公式法）
③
210100y y --=（用配方法）④()22211x x -=-（用适当方法）
三、一元二次方程根的判别式与根的系数
1、一元二次方程
()21210k x x ---=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是
2、关于x 的一元二次方程02=+k x 有实数根，则（ ）
（A ）k ＜0 （B ）k ＞0 （C ）k ≥0 （D ）k ≤0
3、下列方程中，有两个相等实数根的是（ ）
2222256 5 20 310A y y B x C D x +=+=+=-+=、、、
4、若两数和为-7，积为12，则这两个数是 。
四、一元二次方程根的非负性
1、已知直角三角形的两条边长分别是方程214480x x -+=的两个根，则此三角形的第三边是（ ）
108 A B C D 、6或8 、 10或、 或、
2、2690y y +-+=则xy=
3、如果一元二次方程()210x
m x m +++=的两根互为相反数，那么m=
五、一元二次方程的实际应用
1、某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班
有x 名同学，根据题意，列出方程为 ( )
（A ）x(x ＋1)＝1035 （B ）x(x －1)＝1035×2
（C ）x(x －1)＝1035 （D ）2x(x ＋1)＝1035
2、一个长100m 宽60m 的游泳池扩建成一个周长为600 m 的大型水上游乐场，把游泳池的长增加x m ，那
么x 等于多少时，水上游乐场的面积为20000㎡？列出方程 ，能否求出x 的值 （能或不能）。
3、某超市一月份的营业额为200万元，第一季度的营业额共1000万元，如果平均每月增长率为x ，则有
题意列方程为（ ）
()()()2
1=1000 A B C D x ⨯⎡⎤⨯++⎣⎦2、2001+x =1000 、 200+2002x=1000、 200+2003x=1000、 2001+1+x
4、利用墙为一边，再用13米长的铁丝当三边，围成一个面积为20m 2的长方形，求这个长方形的长和宽。
20、某市场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件赢利40元。
为了扩大销售，增加赢利，尽快
减少库存，商场决定采取社党降价措施。
经调查发现，如果每件衬衫煤降价1元，商场平均每天可多售出
2件。
求（1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）要使商场平均每天赢利最多，请你帮助设计方案。
5、合肥百货大搂服装柜在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了迎接
“十·一”国庆节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存.经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件.要想平均每天销售这种童装上盈利1200元，那么
每件童装因应降价多少元？。