简谐振动最基本最重要的运动

当θ角很小时，有： M mgh —— 谐振
单摆：I mL2 h = L I
I
g
L
2 g
L
T 2 L
g
复摆：
2 mgh
I
T 2 I
mgh
振动周期均取决于系统本身。
七.谐振的能量
Ek
1 mv2 2
1 m 2 A2 sin 2 (
2
t
)
1 kA2 sin 2 (
2
t
)
Ep
1k 2
02 2 A、φ由初始条件决定。
若：
2＞
2 0
则为过阻尼振动，物体将缓慢逼近平衡位置。
2 02
称为临界阻尼，物体回到平衡位置，并静止。
应用：电表中的电磁阻尼。临界阻尼。 二. 受迫振动
1.受迫振动 ： 振动系统在周期性外力的持续作用 下发生的振动。此外力称驱动力。若强迫力按简谐 振动规律变化，则受迫振动也是谐振，周期为外力 的周期，振幅保持不变。
阻尼越小，振幅越大。
定量分析：
dA d (
f
)0
d p
d p
(
2 0
2 p
)2
4
2
2 p
得： 02 2
A Amax
f
Amax
2
02 2
阻力越小，ωp越接近ω0。同时 Aτ也越大。
β
0
ωτ
ω0
Amax
∞
§6. 谐振的合成
一.两个同方向 同频率的合成
x1 A1 cos( t 1) x2 A2 cos( t 2 )
A = A1－ A2 为最小 二.同方向不同频率的合成 拍
合振动的振幅、频率均随时间变化，不是简谐振动。
设两振动频率为 ν2、ν1，且ν2大于 ν1 ，则在单位时 间内第二振动比第一振动多振动ν2－ν1次，从矢量 圆来看，即第二矢量比第一矢量多转（ν2－ν1）圈， 所以两矢量同向或反向各为（ν2－ν1）
x Acos( t ) v dx A sin( t )
dt
a
d2x dt 2
A 2
cos(
t
)
2x
4. A φ的确定
由初始状态决定
由： x0 Acos v0 Asin
得： A
x02
v02
2
tg v0 x0
五.谐振的矢量图示法
见图，矢量OM长度为A ,
逆时针旋转，角速度ω。
x2
1k 2
A2 cos2 (
t
)
E
Ek
Ep
1k 2
A2
——能量守恒
势能曲线：
Ek = ½ k(A2 －x2)
E
经典粒子能否越过A处？
Ep Ek Ep
-A
Ax
微观粒子是可以越过势能曲线形成的障碍而进 入势能更大的区域，此称为隧道效应。
从能量的角度导出谐振方程：
E = ½ mv2 + ½ kx2 = 常量 d (1 mv2 1 kx2 ) 0
dt 2
2
mv dv kx dx 0 dt dt
d2x dt 2
k m
x
0
谐振方程
§2. 阻尼振动 受迫振动 共振
一.阻尼振动 —— 能量逐渐减少的振动。
摩擦阻力
考虑耗散作用
x
辐射阻尼 x
振动曲线：
振幅减小，
周期比系 统的固有
t
t
பைடு நூலகம்
周期变大。
若阻尼过大，则系统完不成一次振动，称过阻尼振 动。见图
A
四.谐振的振幅 周期 频率和相位
1.振幅
x Acos( t )
最大位移
2.周期
x Acos( t ) Acos( (t T ) )
T 2
1 T 2
2
ω 是由振动系统决定的，所以周期、频率也由系 统的性质决定。称为固有周期与固有频率。
3.相位 —— ωt + φ
决定任意时刻的振动状态。
定量分析：
设物体以不大的速率在粘性介质中运动，粘滞
阻力为
F v
γ为阻力系数，与物体形状、大小及介质有关。
由牛顿方程： kxv ma
m d 2x dx kx 0
dt2 dt
令：
2 0
k m
2
m
得：
d2x dt 2
2
dx dt
2 0
x
0
当：
2＜
2 0
其解为： x Ae t cos(t )
x x1 x2 Acos( t )
A A12 A22 2A1A2 cos(2 1)
tg A1 sin 1 A2 sin 2 A1 cos1 A2 cos2
旋转矢量法讨论： 因转动速度相同，所以 A1 合振动是谐振。
A A2
合振动的振幅：
当 φ2－φ1 = ±2kπ
A = A1+ A2 为最大 当 φ2－φ1 = ±（ 2k + 1 ）π
M φ
o
x
考察其端点在x轴上的投影的变化规律：
x Acos( t ) ——谐振
ω
参考圆：矢量端点的运动轨迹 为半径等于A的圆 ，通常将其 称为参考圆。其在直径上投影 的运动？
φ x3 x2 x1 x0 x
简谐振动（弹簧振子）
确定初位相 两个振动的位相差
相位练习 如图所示，把一小球拉过一甚小的角 ，然后放手， 任其摆动，此 角是否是初相？请选择
2.运动学方程
由:
f
d2x -kx m dt 2
有： d 2 x k x 0
令： 2 k
dt 2 m
m
有：
d2x dt 2
2x
0
解此微分方程，可得
x Acos( t ) ——运动方程
v dx A sin( t )
dt
A
a
d2x dt 2
A 2
cos(t
)
v
2x
A
正弦或余
谐振曲线： 弦曲线。
振动情况分析。
最终的振动： x A cos( pt )
振幅与初相
A
f
(
2 0
2 p
)2
4
2
2 p
三.共振
tg
2 p
02
2 p
受迫振动的振幅与驱动力的大小、频率及振动物 体的固有频率有关。当驱动力的频率与物体的固有 频率接近时，振幅将增大，当驱动力的频率为某一 定值时，振幅将达到最大。此现象称为共振。
定量分析： 设周期性外力：F0 cos pt
由牛顿定律： kx v F0 cos pt ma
m
d2x dt 2
dx dt
kx
F0 cos pt
令：
2 0
k m
2
m
f F m
得：
d2x dt 2
2
dx dt
02 x
f
cos pt
其解为： x A0e t cos(t ) Acos(pt )
(1) 0
(2) θ
如图所示，t = 0时物体速度值为负，位移为A/2， 其初相是多少？
解析法：
x Acos(t ) 矢量圆
t=0 x A
2
3
v ＜0
3
A
φ
x
六. 单摆与复摆 单摆：
复摆
受力矩：
M = －mgh sinθ
o θL
oh θc
角加速度：
m
M mgh sin
P
I
I
P
第四章 简谐振动
§1.简谐振动 （最基本最重要的运动）
一.振动
机械振动：位置作周而复始的变化。 广义的振动：某物理量在一定值附近作周而复 始的变化。
二.周期与频率 周期：T 频率：ν
T1
三.谐振方程
k
m
1.动力学特征 以弹簧振子为例：见图
o
x
以平衡位置为原点建立坐标。
分析受力： f kx —— 动力学特征