简谐振动的运动学描述
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E Ek ,max 2 10 3 J
1 3 E E 1 . 0 10 J E E （ 4） 当 p p k 时， 2 E p Ek 1 2 1 kx m 2 x 2 2 2
故 x 7.07 10 m
2
3.一个作简谐振动的弹簧振子历时四分 之一周期，先后通过相对于平衡位置为对称 的B,C 两点，设简谐振动的振幅为A，试确 定B,C 两点的位置.
x A o A
对运动学方程求导得振动速度为
t
dx v A sin t dt
对振动速度求导得振动的加速度为
d2x 2 2 x a 2 A cos t dt
从以上两式可知，作简谐振动物体的速 度和加速度是时间的周期函数，而且加速度 和位移成正比但方向相反.
A
1 y 2 2 0.1m 10
2 0
2 v0
于是可该物体的振动方程为
3 y 0.1cos 10t m 2
2.质量为m =0.1kg的物体，以振幅A =0.01m 作简谐振动，其最大加速度为amax=4.0ms-2 ， 求： （1）振动的周期； （2）通过平衡位置 时的动能； （3）总能量； （4）物体在何处 其动能和势能相等？
2 a A 解（1） max
4.0 amax 1 20 s 1.0 10 2 A
2 T 0.314 s 20
2
（2）因通过平衡位置时的速度最大，所以 1 2 1 Ek ,max ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱvmax m 2 A2 2 10 3 J 2 2 （3）总能量
9.2.4 简谐振动的旋转矢量表示
简谐振动除了用运动学方程（振动方程） 和位移时间曲线（振动曲线）来表示以外， 还可以用旋转矢量表示. 这种几何图示法可 以帮助我们形象直观理解简谐振动中的三要 素. A t x x o x 0
矢量 A 以角速度 沿逆时针旋转,当 t 0 时它与 x 轴的夹角为 ，则在任意刻 t ，矢量 端点在 x 轴上的投影为 x A cos t 上式恰好是沿ox 轴作简谐振动的物体在t 时刻相对于原点的位移. 所以简谐振动可以用 旋转矢量表示. 简谐振动的振幅 旋转矢量 A 的模 简谐振动圆频率 旋转矢量 A 转动角速度
当 t 0 时的相位 称为初相位.
振幅A圆频率 初相位 简称简谐振动的 三要素.
对弹簧振子有：
k m
m T 2 k
1 2
k m
怎样用初始条件求振幅和初相位
假设作简谐振动的物体在初始时刻的速 度和位移分别为 v0 和 x0 x0 A cos 则t 0 有 解之可得 v0 A sin 2 v0 v 2 tg A x0 02 x0
d2y m 2 ky dt k 2 令 m 则上式变为 d y 2 2 y 0 dt
2
k
o
m
y y
物体在作简谐振动，只要求出三要素， 即可写出振动方程. mg g kl k 9.8 10s 1 ml l ml m 0.098
以物体处于平衡位置且向下运动时为计 时起点，则y0=0 ，v0= 1ms-1， 于是有 3 , y0 A cos 0 2 2 3 v0 A sin 1 结合此式 2
9.2 简谐振动的规律
9.2.1 简谐振动的运动学描述 9.2.2 描述简谐振动的三要素 9.2.3 简谐振动的能量 9.2.4 简谐振动的旋转矢量表示 9.2.5 例题分析
9.2.1 简谐振动的运动学描述
简谐振动的运动学方程为 x A cos t
此式表示出了作简谐振动物体的位移随 时间变化的关系. x-t 曲线称之为振动曲线.
9.2.3 简谐振动的能量
以水平弹簧振子为例，来讨论振动系统 的能量. 质量为m 的振子在t 时刻的动能为 1 1 2 E k mv mA2 2 sin2 t 2 2 1 2 2 kA sin t 2 1 2 1 2 系统的势能为 E p kx kA cos 2 t 2 2 1 系统的总能量为 E Ek E p kA2 2
t2
2
t1
o
T 解 T 2 , B,C 两点对称, 所以 4 2 2 2 xC A xB A cos A 2 4 2
C
B
x
9.2.5 例题分析
1.一个质量为m 的物体系于一倔强系数为 k 的轻弹簧下，挂在固定的支架上，由于物体 的重量使弹簧伸长了l =9.810-2m. 如图所示， 如果给物体一个向下的瞬时冲击力，使它具有 向下的速度v =1ms-1，它就上下振动起来，试 写出振动方程. 解 取挂上物体，物体处于平衡时的位置 为坐标原点o，向下为y 轴的正向，如图所示 当物体偏离平衡位置时它所受的合力为-ky ， 因此动力学方程为
9.2.2 描述简谐振动的三要素
1.振幅A 物体离开平衡位置的最大距离.
它给出了简谐振动的振动范围.
2.周期T 完成一次全振动所需的时间.
频率
表示单位时间内物体完成全振动 的次数. 它是周期的倒数. 1 T
2 2 角频率 T 周期和频率给出了简谐振动往复的快慢 程度.
3.相位（t+） 确定振动系统在任意瞬时运动状态的物 理量（任意瞬时的位移和速度）.
1 3 E E 1 . 0 10 J E E （ 4） 当 p p k 时， 2 E p Ek 1 2 1 kx m 2 x 2 2 2
故 x 7.07 10 m
2
3.一个作简谐振动的弹簧振子历时四分 之一周期，先后通过相对于平衡位置为对称 的B,C 两点，设简谐振动的振幅为A，试确 定B,C 两点的位置.
x A o A
对运动学方程求导得振动速度为
t
dx v A sin t dt
对振动速度求导得振动的加速度为
d2x 2 2 x a 2 A cos t dt
从以上两式可知，作简谐振动物体的速 度和加速度是时间的周期函数，而且加速度 和位移成正比但方向相反.
A
1 y 2 2 0.1m 10
2 0
2 v0
于是可该物体的振动方程为
3 y 0.1cos 10t m 2
2.质量为m =0.1kg的物体，以振幅A =0.01m 作简谐振动，其最大加速度为amax=4.0ms-2 ， 求： （1）振动的周期； （2）通过平衡位置 时的动能； （3）总能量； （4）物体在何处 其动能和势能相等？
2 a A 解（1） max
4.0 amax 1 20 s 1.0 10 2 A
2 T 0.314 s 20
2
（2）因通过平衡位置时的速度最大，所以 1 2 1 Ek ,max ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱvmax m 2 A2 2 10 3 J 2 2 （3）总能量
9.2.4 简谐振动的旋转矢量表示
简谐振动除了用运动学方程（振动方程） 和位移时间曲线（振动曲线）来表示以外， 还可以用旋转矢量表示. 这种几何图示法可 以帮助我们形象直观理解简谐振动中的三要 素. A t x x o x 0
矢量 A 以角速度 沿逆时针旋转,当 t 0 时它与 x 轴的夹角为 ，则在任意刻 t ，矢量 端点在 x 轴上的投影为 x A cos t 上式恰好是沿ox 轴作简谐振动的物体在t 时刻相对于原点的位移. 所以简谐振动可以用 旋转矢量表示. 简谐振动的振幅 旋转矢量 A 的模 简谐振动圆频率 旋转矢量 A 转动角速度
当 t 0 时的相位 称为初相位.
振幅A圆频率 初相位 简称简谐振动的 三要素.
对弹簧振子有：
k m
m T 2 k
1 2
k m
怎样用初始条件求振幅和初相位
假设作简谐振动的物体在初始时刻的速 度和位移分别为 v0 和 x0 x0 A cos 则t 0 有 解之可得 v0 A sin 2 v0 v 2 tg A x0 02 x0
d2y m 2 ky dt k 2 令 m 则上式变为 d y 2 2 y 0 dt
2
k
o
m
y y
物体在作简谐振动，只要求出三要素， 即可写出振动方程. mg g kl k 9.8 10s 1 ml l ml m 0.098
以物体处于平衡位置且向下运动时为计 时起点，则y0=0 ，v0= 1ms-1， 于是有 3 , y0 A cos 0 2 2 3 v0 A sin 1 结合此式 2
9.2 简谐振动的规律
9.2.1 简谐振动的运动学描述 9.2.2 描述简谐振动的三要素 9.2.3 简谐振动的能量 9.2.4 简谐振动的旋转矢量表示 9.2.5 例题分析
9.2.1 简谐振动的运动学描述
简谐振动的运动学方程为 x A cos t
此式表示出了作简谐振动物体的位移随 时间变化的关系. x-t 曲线称之为振动曲线.
9.2.3 简谐振动的能量
以水平弹簧振子为例，来讨论振动系统 的能量. 质量为m 的振子在t 时刻的动能为 1 1 2 E k mv mA2 2 sin2 t 2 2 1 2 2 kA sin t 2 1 2 1 2 系统的势能为 E p kx kA cos 2 t 2 2 1 系统的总能量为 E Ek E p kA2 2
t2
2
t1
o
T 解 T 2 , B,C 两点对称, 所以 4 2 2 2 xC A xB A cos A 2 4 2
C
B
x
9.2.5 例题分析
1.一个质量为m 的物体系于一倔强系数为 k 的轻弹簧下，挂在固定的支架上，由于物体 的重量使弹簧伸长了l =9.810-2m. 如图所示， 如果给物体一个向下的瞬时冲击力，使它具有 向下的速度v =1ms-1，它就上下振动起来，试 写出振动方程. 解 取挂上物体，物体处于平衡时的位置 为坐标原点o，向下为y 轴的正向，如图所示 当物体偏离平衡位置时它所受的合力为-ky ， 因此动力学方程为
9.2.2 描述简谐振动的三要素
1.振幅A 物体离开平衡位置的最大距离.
它给出了简谐振动的振动范围.
2.周期T 完成一次全振动所需的时间.
频率
表示单位时间内物体完成全振动 的次数. 它是周期的倒数. 1 T
2 2 角频率 T 周期和频率给出了简谐振动往复的快慢 程度.
3.相位（t+） 确定振动系统在任意瞬时运动状态的物 理量（任意瞬时的位移和速度）.