高中数学北师大版选修2-3同步导学案：1.3.1 组合与组合数公式

§3 组合第1课时 组合与组合数公式1．理解组合的定义，正确认识组合与排列的区别与联系．(易混点)2．理解排列数与组合数之间的联系，掌握组合数公式，能运用组合数公式进行计算．(重点)3．会解决一些简单的组合问题．(难点)[基础·初探]教材整理1 组合的概念阅读教材P 12～P 13“练习1”以上部分，完成下列问题．一般地，从n 个不同的元素中，任取m(m≤n)个元素________，叫作从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．【答案】 为一组下面几个问题中属于组合问题的是( )①由1,2,3,4构成的双元素集合；②5个队进行单循环足球比赛的分组情况；③由1,2,3构成两位数的方法；④由1,2,3组合无重复数字的两位数的方法．A ．①③B ．②④C ．①②D ．①②④【解析】 ①②为组合问题，与顺序无关，③④为排列问题，与顺序有关． 【答案】 C教材整理2 组合数的概念、公式、性质阅读教材P 13“练习1”以下至P 16部分，完成下列问题．【答案】 所有组合 C m nnA m mn n－1 n－2 … n－m ＋1 m ！ n ！m ！ n－m ！C n －mnC mn ＋C m －1n1．甲、乙、丙三地之间有直达的火车，相互之间的距离均不相等，则车票票价的种数是________．【解析】 甲、乙、丙三地之间的距离不等，故票价不同，同距离两地票价相同，故该问题为组合问题，不同票价的种数为C 23＝3×22＝3. 【答案】 32．C 26＝________，C 1718＝________. 【解析】 C 26＝6×52＝15， C 1718＝C 118＝18. 【答案】 15 18[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：[小组合作型]判断下列各事件是排列问题还是组合问题．(1)10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)，这次比赛需要进行多少场次？(2)10支球队以单循环进行比赛，这次比赛冠、亚军获得者有多少种可能？(3)从10个人里选3个代表去开会，有多少种选法？(4)从10个人里选出3个不同学科的课代表，有多少种选法？【精彩点拨】要确定是组合还是排列问题，只需确定取出的元素是否与顺序有关．【自主解答】(1)是组合问题，因为每两个队比赛一次并不需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别．(2)是排列问题，因为甲队得冠军、乙队得亚军与甲队得亚军、乙队得冠军是不一样的，是有顺序的区别．(3)是组合问题，因为3个代表之间没有顺序的区别．(4)是排列问题，因为3个人中，担任哪一科的课代表是有顺序的区别．1．根据排列与组合的定义进行判断，区分排列与组合问题，先确定完成的是什么事件，然后看问题是否与顺序有关，与顺序有关的是排列，与顺序无关的是组合．2．区分有无顺序的方法把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否会产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题．[再练一题]1．从5个不同的元素a，b，c，d，e中取出2个，写出所有不同的组合．【解】要想写出所有组合，就要先将元素按照一定顺序排好，然后按顺序用图示的方法将各个组合逐个标出来，如图所示：由此可得所有的组合为ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de.(1)式子可表示为( )100！A．A100n＋100B．C100n＋100C ．101C 100n ＋100D ．101C 101n ＋100(2)求值：C 5－nn ＋C 9－nn ＋1.【精彩点拨】 根据题目的特点，选择适当的组合数公式进行求值或证明．【自主解答】 (1)分式的分母是100！，分子是101个连续自然数的乘积，最大的为n ＋100，最小的为n ，故n n＋1 n＋2 … n＋100100！＝101·n n＋1 n＋2 … n＋100101！＝101C 101n ＋100. 【答案】 D (2)由组合数定义知：⎩⎪⎨⎪⎧0≤5－n≤n，0≤9－n≤n＋1，所以4≤n≤5，又因为n ∈N ＋， 所以n ＝4或5.当n ＝4时，C 5－nn ＋C 9－nn ＋1＝C 14＋C 55＝5； 当n ＝5时，C 5－nn ＋C 9－nn ＋1＝C 05＋C 46＝16.关于组合数计算公式的选取1．涉及具体数字的可以直接用公式C m n＝A mn A m m ＝n n－1 n－2 … n－m ＋1 m ！计算．2．涉及字母的可以用阶乘式C mn ＝n ！m ！ n－m ！计算．3．计算时应注意利用组合数的性质C mn ＝C n －mn 简化运算．[再练一题]2．求等式C 5n －1＋C 3n －3C 3n －3＝195中的n 值． 【解】 原方程可变形为C 5n －1C 3n －3＋1＝195，C 5n －1＝145C 3n －3，即n－1 n－2 n－3 n－4 n－55！＝145· n－3 n－4 n－5 3！，化简整理，得n 2－3n －54＝0.解此二次方程，得n ＝9或n ＝－6(不合题意，舍去)，所以n ＝9为所求．[探究共研型]探究1 2人参加英语竞赛，共有多少种选法？你有什么发现？你能得到一般结论吗？【提示】 法一：从5人中选出3人参加数学竞赛，剩余2人参加英语竞赛，共C 35＝5×4×33×2×1＝10(种)选法．法二：从5人中选出2人参加英语竞赛，剩余3人参加数学竞赛，共C 25＝5×42＝10(种)不同选法．经求解发现C 35＝C 25.推广到一般结论有C mn ＝C n －mn .探究2 从含有队长的10名排球队员中选出6人参加比赛，共有多少种选法？ 【提示】 共有C 610＝10×9×8×7×6×56×5×4×3×2×1＝210(种)选法．探究3 在探究2中，若队长必须参加，有多少种选法？若队长不能参加有多少种选法？由探究2、3，你发现什么结论？你能推广到一般结论吗？【提示】 若队长必须参加，共C 59＝126(种)选法．若队长不能参加，共C 69＝84(种)选法．由探究2、3发现从10名队员中选出6人可分为队长参赛与队长不参赛两类，由分类加法计数原理可得：C 610＝C 59＋C 69.一般地：C mn ＋1＝C mn ＋C m －1n .(1)计算C 34＋C 35＋C 36＋…＋C 32 016的值为( ) A ．C 42 017 B ．C 52 017 C ．C 42 017－1D ．C 52 017－1(2)解方程3C x －7x －3＝5A 2x －4； (3)解不等式C 4n ＞C 6n .【精彩点拨】 恰当选择组合数的性质进行求值、解方程与解不等式． 【自主解答】 (1)C 34＋C 35＋C 36＋…＋C 32 016 ＝C 44＋C 34＋C 35＋…＋C 32 016－C 44 ＝C 45＋C 35＋…＋C 32 016－1＝… ＝C 42 016＋C 32 016－1＝C 42 017－1. 【答案】 C(2)由排列数和组合数公式，原方程可化为 3· x－3 ！ x－7 ！4！＝5· x－4 ！ x－6 ！， 则3 x－3 4！＝5x －6，即为(x －3)(x －6)＝40. ∴x 2－9x －22＝0， 解得x ＝11或x ＝－2.经检验知x ＝11是原方程的根，x ＝－2是原方程的增根． ∴方程的根为x ＝11. (3)由C 4n ＞C 6n ，得⎩⎪⎨⎪⎧n ！4！ n－4 ！＞n ！6！ n－6 ！，n≥6⇒⎩⎪⎨⎪⎧n 2－9n －10＜0，n≥6，⇒⎩⎪⎨⎪⎧－1＜n ＜10，n≥6.又n ∈N ＋，∴该不等式的解集为{6,7,8,9}．1．性质“C mn ＝C n －mn ”的意义及作用2．与排列组合有关的方程或不等式问题要用到排列数、组合数公式，以及组合数的性质，求解时，要注意由C mn 中的m∈N ＋，n∈N ＋，且n≥m 确定m ，n 的范围，因此求解后要验证所得结果是否符合题意．[再练一题]3．(1)化简：C 9m －C 9m ＋1＋C 8m ＝________； (2)已知C 7n ＋1－C 7n ＝C 8n ，求n 的值．【解析】 (1)原式＝(C 9m ＋C 8m )－C 9m ＋1＝C 9m ＋1－C 9m ＋1＝0. 【答案】 0(2)根据题意，C 7n ＋1－C 7n ＝C 8n ， 变形可得C 7n ＋1＝C 8n ＋C 7n ， 由组合数的性质，可得 C 7n ＋1＝C 8n ＋1，故8＋7＝n ＋1， 解得n ＝14.[构建·体系]1．下列四个问题属于组合问题的是( )A ．从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作B ．从0,1,2,3,4这5个数字中选取3个不同的数字，组成一个三位数C ．从全班同学中选出3名同学出席深圳世界大学生运动会开幕式D ．从全班同学中选出3名同学分别担任班长、副班长和学习委员 【解析】 A ，B ，D 项均为排列问题，只有C 项是组合问题． 【答案】 C2．若A 3n ＝12C 2n ，则n 等于( ) A ．8 B ．5或6 C ． 3或4D ．4【解析】 A 3n ＝n(n －1)(n －2)，C 2n ＝12n(n －1)，所以n(n －1)(n －2)＝12×12n(n －1)．由n ∈N ＋，且n≥3，解得n ＝8. 【答案】 A3．C 58＋C 68的值为________. 【导学号：62690012】【解析】 C 58＋C 68＝C 69＝9！6！×3！＝9×8×73×2×1＝84.【答案】 844．6个朋友聚会，每两人握手1次，一共握手______次．【解析】 每两人握手1次，无顺序之分，是组合问题，故一共握手C 26＝15次． 【答案】 155．已知C 4n ，C 5n ，C 6n 成等差数列，求C 12n 的值． 【解】 由已知得2C 5n ＝C 4n ＋C 6n ，所以2·n ！5！ n－5 ！＝n ！4！ n－4 ！＋n ！6！ n－6 ！，整理得n 2－21n ＋98＝0， 解得n ＝7或n ＝14，要求C 12n 的值，故n≥12，所以n ＝14， 于是C 1214＝C 214＝14×132×1＝91.我还有这些不足：(1) (2)我的课下提升方案： (1) (2)学业分层测评 (建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．以下四个命题，属于组合问题的是( ) A ．从3个不同的小球中，取出2个排成一列B．老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌C．在电视节目中，主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星D．从13位司机中任选出两位开同一辆车往返甲、乙两地【解析】从100位幸运观众中选出2名幸运之星，与顺序无关，是组合问题．【答案】 C2．某新农村社区共包括8个自然村，且这些村庄分布零散，没有任何三个村庄在一条直线上，现要在该社区内建“村村通”工程，共需建公路的条数为( ) A．4 B．8C．28 D．64【解析】由于“村村通”公路的修建，是组合问题．故共需要建C28＝28条公路．【答案】 C3．组合数C r n(n>r≥1，n，r∈N＋)恒等于( )A.r＋1n＋1C r－1n－1B．(n＋1)(r＋1)Cr－1n－1C．nrC r－1n－1 D.nrC r－1n－1【解析】nrC r－1n－1＝nr·n－1 ！r－1 ！ n－r ！＝n！r！ n－r ！＝C r n.【答案】 D4．满足方程Cx2－x16＝C5x－516的x值为( )A．1,3,5，－7 B．1,3C．1,3,5 D．3,5【解析】依题意，有x2－x＝5x－5或x2－x＋5x－5＝16，解得x＝1或x＝5；x＝－7或x＝3，经检验知，只有x＝1或x＝3符合题意．【答案】 B5．异面直线a，b上分别有4个点和5个点，由这9个点可以确定的平面个数是( ) A．20 B．9 C．C39D．C24C15＋C25C14【解析】分两类：第1类，在直线a上任取一点，与直线b可确定C14个平面；第2类，在直线b上任取一点，与直线a可确定C15个平面．故可确定C14＋C15＝9个不同的平面．【答案】 B二、填空题6．C03＋C14＋C25＋…＋C1821的值等于________．【解析】原式＝C04＋C14＋C25＋…＋C1821＝C15＋C25＋…＋C1821＝C1721＋C1821＝C1822＝C422＝7 315.【答案】 7 3157．设集合A ＝{a 1，a 2，a 3，a 4，a 5}，则集合A 中含有3个元素的子集共有________个. 【导学号：62690013】【解析】 从5个元素中取出3个元素组成一组就是集合A 的子集，则共有C 35＝10个子集．【答案】 108．10个人分成甲、乙两组，甲组4人，乙组6人，则不同的分组种数为________．(用数字作答)【解析】 从10人中任选出4人作为甲组，则剩下的人即为乙组，这是组合问题，共有C 410＝210种分法．【答案】 210 三、解答题9．从1,2,3,4,5,6六个数字中任选3个后得到一个由这三个数组成的最小三位数，则可以得到多少个不同的这样的最小三位数？【解】 从6个不同数字中任选3个组成最小三位数，相当于从6个不同元素中任选3个元素的一个组合，故所有不同的最小三位数共有C 36＝6×5×43×2×1＝20个．10．(1)求式子1C x 5－1C x 6＝710C x 7中的x ；(2)解不等式C m －18>3C m8. 【解】 (1)原式可化为：x ！ 5－x ！5！－x ！ 6－x ！6！＝7·x！ 7－x ！10·7！，∵0≤x≤5，∴x 2－23x ＋42＝0，∴x ＝21(舍去)或x ＝2，即x ＝2为原方程的解． (2)由8！ m－1 ！ 9－m ！>3×8！m ！ 8－m ！，得19－m >3m，∴m>27－3m ， ∴m>274＝7－14.又∵0≤m－1≤8，且0≤m≤8，m ∈N ， 即7≤m≤8，∴m ＝7或8.[能力提升]1．已知圆上有9个点，每两点连一线段，若任意两条线的交点不同，则所有线段在圆内的交点有( )A ．36个B ．72个C．63个D．126个【解析】此题可化归为圆上9个点可组成多少个四边形，所有四边形的对角线交点个数即为所求，所以交点为C49＝126个．【答案】 D2．从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少有甲型和乙型电视机各1台，则不同的取法共有( ) 【导学号：62690014】A．140种B．84种C．70种D．35种【解析】可分两类：第一类，甲型1台、乙型2台，有C14·C25＝4×10＝40(种)取法，第二类，甲型2台、乙型1台，有C24·C15＝6×5＝30(种)取法，共有70种不同的取法．【答案】 C3．对所有满足1≤m<n≤5的自然数m，n，方程x2＋C m n y2＝1所表示的不同椭圆的个数为________．【解析】∵1≤m<n≤5，所以C m n可以是C12，C13，C23，C14，C24，C34，C15，C25，C35，C45，其中C13＝C23，C14＝C34，C15＝C45，C25＝C35，∴方程x2＋C m n y2＝1能表示的不同椭圆有6个．【答案】 64．证明：C m n＝nn－mC m n－1.【证明】nn－mC m n－1＝nn－m·n－1 ！m！ n－1－m ！＝n！m！ n－m ！＝C m n.。