(人教版)菱形的定义、性质
人教版数学八年级下册18.2.2菱形菱形的性质优秀教学案例
1.教师将学生分成小组，让他们合作探究菱形的性质。
2.教师设计具有探究性的任务，如让学生通过实际操作，发现菱形的性质，培养学生的合作意识和沟通能力。
3.教师引导学生进行小组讨论，分享他们的发现和思考，让学生在交流中互相启发，提高他们的解决问题的能力。
（四）总结归纳
1.教师引导学生总结菱形的性质，如对角线互相垂直平分、四条边相等。
3.教师设计具有挑战性的问题，如“如何判定一个四边形是菱形？如何计算菱形的面积？”引导学生进行深入思考，提高他们的解决问题的能力。
（三）小组合作
1.教师将学生分成小组，让他们在小组内进行合作交流，共同探究菱形的性质。
2.教师设计具有探究性的任务，如让学生通过实际操作，发现菱形的性质，培养学生的合作意识和沟通能力。
3.教师引导学生进行小组讨论，分享他们的发现和思考，让学生在交流中互相启发，提高他们的解决问题的能力。
（四）反思与评价
1.教师引导学生对自己的学习过程进行反思，如“我在学习菱形的过程中遇到了哪些问题？我是如何解决的？”
2.教师设计评价量表，让学生对自己的学习成果进行评价，如对菱形的性质的理解程度、解决问题的能力等。
教学案例以小组合作探究的形式展开，让学生在动手实践、合作交流的过程中，发现菱形的性质，体会数学的乐趣。同时，结合生活实际，让学生感受菱形在生活中的应用，提高他们的实践能力。在教学过程中，我注重启发诱导，让学生循序渐进地掌握菱形的性质，培养他们的逻辑思维能力。
本节课结束后，学生对菱形的性质有了更加深刻的理解，教学效果显著。在接下来的学习中，他们将更好地应用菱形的性质，解决实际问题，为后续学习打下坚实基础。
3.教师提出问题：“什么是菱形？你们认为菱形有哪些性质？”让学生猜测和思考，激发他们的学习兴趣。
人教版八年级下册教案：18.2.2菱形的定义与性质
对于菱形面积的计算，难点在于如何将理论公式应用于实际计算。可以采用以下方法：
a.通过图形示例，让学生理解菱形面积公式是如何推导出来的。
b.提供不同类型的题目，训练学生灵活运用面积公式计算菱形面积。
c.强调在解决综合问题时，如何将菱形面积与其他图形面积的计算相结合。
五、教学反思
在今天的课堂中，我们探讨了菱形的定义与性质。回顾整个教学过程，我觉得有几个地方值得反思。
首先，关于导入新课的部分，通过提问同学们在日常生活中遇到的菱形图形，我发现大部分同学能够迅速联想到一些具体的例子，这说明他们对菱形有一定的直观认识。但在接下来的理论介绍环节，我发现有些同学对菱形定义的理解还不够深入，需要在今后的教学中加强概念的解释和巩固。
其次，在新课讲授过程中，我注意到同学们对菱形性质的掌握程度参差不齐。特别是在证明菱形对角线垂直平分这个难点时，部分同学显得有些吃力。我想在今后的教学中，可以尝试更多图形演示和实际操作，以帮助学生更好地理解和掌握这个性质。
实践活动环节，同学们分组讨论和实验操作的表现让我感到欣慰。他们能够积极参与，主动思考，将理论知识运用到实际问题中。但我也发现，在讨论过程中，有些小组的思路不够开阔，可能会陷入某种固定的思维模式。针对这一点，我打算在今后的教学中多提供一些开放性的问题，激发学生的创新思维。
人教版八年级下册教案：18.2.2菱形的定义与性质
一、教学内容
人教版八年级下册教案：18.2.2菱形的定义与性质
1.菱的性质：
（1）对角线互相垂直平分；
（2）对角线将菱形分成的四个三角形面积相等；
（3）对角线长度相等，且每一条对角线平分一组对角；
（4）菱形的对角线是它的对称轴；
人教版八年级数学下册18.2.2《菱形的性质》优秀教学案例
3.组织学生进行小组讨论，培养学生的团队合作精神，提高学生的沟通表达能力。
4.通过解决实际问题，培养学生将所学知识应用于实际的能力，提高学生的解决问题的能力。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学科的兴趣，激发学生对菱形性质探究的热情，增强学生学习数学的积极性。
2.培养学生勇于探究、勇于实践的精神，鼓励学生在面对问题时，积极寻找解决办法。
（二）讲授新知
在学生掌握了菱形的定义和平行四边形的性质后，我开始讲授菱形的性质。我通过多媒体展示不同形状的菱形，引导学生观察和发现菱形的性质。在讲授过程中，我注重引导学生参与其中，让学生自己发现并证明菱形的性质。例如，我让学生观察菱形的对角线，引导学生发现对角线互相垂直平分的性质。在讲授过程中，我注意用生动的语言和形象的手势，使学生更好地理解和记忆菱形的性质。
人教版八年级数学下册18.2.2《菱形的性质》优秀教学案例
一、案例背景
本节教学案例围绕人教版八年级数学下册18.2.2《菱形的性质》展开。在学习了平行四边形的性质之后，学生已经掌握了菱形的概念，但对于菱形的性质及其在实际问题中的应用尚不清晰。因此，本节课旨在通过引导学生探究菱形的性质，提高学生的动手操作能力、观察能力及推理能力，培养学生的逻辑思维和空间想象能力。
（四）反思与评价
在课程结束后，我组织学生进行反思和评价。首先，让学生总结自己在课堂上所学到的知识，反思自己在学习过程中的优点和不足。然后，让学生互相评价，分享彼此的收获和感悟。最后，我对学生的表现进行点评，给予肯定和鼓励，同时提出改进意见。
人教版八年级下册18.2.2 菱形 课件(共30张PPT)
D
∴ AB2=OA2+OB2，
∴△AOB是直角三角形， A
O
C
即AC⊥BD，
B
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形.
例2 如图,矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、 BC分别交于点E、F,求证：四边形AFCE是菱形．
证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴AE∥FC，∴∠1=∠2.
证明：连接AC、BD.
A
E
D
∵四边形ABCD是矩形，
F
H
∴AC=BD.
∵点E、F、G、H为各边中点， B
G
C
E F G H 1B D ， F G E H 1A C ,
2
2
∴EF=FG=GH=HE，
∴四边形EFGH是菱形.
【变式题】 如图，顺次连接对角线相等的四边形 ABCD各边中点，得到四边形EFGH是什么四边形？
拓展1 如图，顺次连接平行四边形ABCD各
边中点，得到四边形EFGH是什么四边形？
解：连接AC、BD.
E
B
A
∵点E、F、G、H为各边中点，
F
E F G H 1 2 B D ， F G E H 1 2A C , D
小刚的作法对吗？ 猜想：四条边相等的四边形是菱形.
证一证 已知：如图，四边形ABCD中,AB=BC=CD=AD.
求证：四边形ABCD是菱形.
证明：∵AB=BC=CD=AD;
B
∴AB=CD , BC=AD.
A
∴四边形ABCD是平行四边形.
C D
又∵AB=BC,
∴四边形ABCD是菱形.
归纳总结 菱形的判定定理：
解：四边形EFGH是菱形.
人教版数学八年级下册18.2.2第1课时《菱形的性质》教学设计
人教版数学八年级下册18.2.2第1课时《菱形的性质》教学设计一. 教材分析《菱形的性质》是人民教育出版社八年级下册数学教材第十七章第二节的一部分，主要介绍菱形的性质。
本节课内容是学生在学习了平行四边形的性质的基础上进行的，是进一步深化学生对四边形性质的理解，为后续学习正六边形和其他多边形的性质做铺垫。
本节课的主要内容包括菱形的定义、性质及其判定。
二. 学情分析学生在之前的学习中已经掌握了平行四边形的性质，具备了一定的几何思维能力。
但是对于菱形的性质的理解还需要进一步的引导和启发。
此外，学生对于新知识的学习兴趣需要激发，对于菱形在实际生活中的应用需要引导。
三. 教学目标1.知识与技能：理解菱形的定义，掌握菱形的性质及其判定方法。
2.过程与方法：通过观察、操作、猜想、验证等活动，培养学生的几何思维能力。
3.情感态度价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生积极探究的精神。
四. 教学重难点1.重点：菱形的性质及其判定。
2.难点：菱形性质的理解和应用。
五. 教学方法采用问题驱动法、启发式教学法和小组合作学习法。
通过问题引导学生思考，通过启发式教学法引导学生自主探究，通过小组合作学习法培养学生的合作精神。
六. 教学准备1.教学PPT：包含菱形的定义、性质及其判定等内容。
2.几何画板：用于展示菱形的性质。
3.练习题：用于巩固所学内容。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一些生活中的菱形图形，如蜂巢、骰子等，引导学生对菱形产生兴趣，进而提出问题：“什么是菱形？菱形有哪些性质？”2.呈现（10分钟）利用PPT呈现菱形的定义及性质，引导学生观察、思考，并通过几何画板展示菱形的性质，让学生直观地理解菱形的特点。
3.操练（10分钟）让学生分组进行练习，运用菱形的性质判断给出的四边形是否为菱形。
教师巡回指导，解答学生疑问。
4.巩固（10分钟）出示一些有关菱形的应用题，让学生运用所学知识解决问题，加深对菱形性质的理解。
菱形的性质和判定(人教版)(含答案)
学生做题前请先回答以下问题问题1：菱形的定义是什么？问题2：菱形是轴对称图形吗？是中心对称图形吗？问题3：菱形有哪些性质？问题4：菱形的判定有哪些？问题5：一条对角线平分一组对角的四边形是菱形吗？以下是问题及答案，请对比参考:问题1：菱形的定义是什么？答：有一组邻边相等的平行四边形是菱形．问题2：菱形是轴对称图形吗？是中心对称图形吗？答：菱形是轴对称图形，两条对角线均为对称轴；是中心对称图形，对角线的交点为对称中心．问题3：菱形有哪些性质？答：边：菱形的四条边都相等；对角线：菱形的对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角；面积：菱形对角线乘积的一半．问题4：菱形的判定有哪些？答：边：四条边都相等的四边形是菱形；对角线：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．问题5：一条对角线平分一组对角的四边形是菱形吗？答：本结论错误．一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形．举反例：菱形的性质和判定（人教版）一、单选题(共11道，每道9分)1.下列说法错误的是( )A.菱形的对边互相平行B.菱形的对角相等C.菱形的对角线相等D.菱形的每一条对角线平分一组对角答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：菱形的性质2.菱形具有而平行四边形不具有的性质是( )A.对角线互相平分B.邻角互补C.每条对角线平分一组对角D.对角相等答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：菱形的性质3.下列说法正确的是( )A.对角线相等的平行四边形是菱形B.有一组邻边相等的平行四边形是菱形C.对角线互相垂直的四边形是菱形D.有一个角是直角的平行四边形是菱形答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：菱形的判定4.如图，在平行四边形ABCD中，添加下列条件不能判断平行四边形ABCD是菱形的是( )A.AB=BCB.AC⊥BDC.BD平分∠ABCD.AC=BD答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：菱形的判定5.菱形ABCD的周长为8，高为1，则该菱形两邻角度数比为( )A.3:1B.4:1C.5:1D.6:1答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：菱形的性质6.如图，已知E是菱形ABCD的边BC上一点，且AE=AD，若∠B=80°，则∠CDE的度数为( )A.30°B.25°C.20°D.35°答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：菱形的性质7.如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6，8，AE⊥BC于点E，则AE的长是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：菱形的性质8.在菱形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，若，则∠EAF的度数为( )A.30°B.45°C.60°D.75°答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：菱形的性质9.如图，在菱形ABCD中，∠ADC=50°，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，连接CP，则∠CPB的度数为( )A.40°B.50°C.60°D.80°答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：垂直平分线的性质10.如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ACED为菱形的是( )A.AB=BCB.AC=BCC.∠B=60°D.∠ACB=60°答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：菱形的判定11.如图，四边形ABCD是菱形，过点A作BD的平行线交CD的延长线于点E，则下列结论错误的是( )A.DA=DEB.∠EAC=90°C.BD+AD=CED.∠ABC=2∠E答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：平行四边形的性质与判定。
人教版初二数学下册第18章《平行四边形》讲义第11讲菱形及正方形
人教版初二数学下册第18章《平行四边形》讲义第11讲菱形及正方形1、定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
2、基本性质：〔1〕边：菱形的四条边都相等；〔2〕角：菱形的对角相等，邻角互补；〔3〕对角线：菱形的对角线相互垂直平分，且每一条对角线平分一组对角： 〔4〕对称性：菱形是轴对称图形，中心对称图形，对称轴有两条；〔5〕面积：S=21ab(其中a 、b 区分是菱形的两条对角线的长). 或 S=底×高。
〔1〕有一组邻边相等的平行四边形是菱形;〔2〕四边都相等的四边形是菱形;〔3〕对角线相互垂直平分的四边形是菱形;〔4〕对角线相互垂直的平行四边形是菱形.1、正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
2、基本性质：〔1〕边：正方形四条边都相等；〔2〕角：正方形的四个角都相等；〔3〕对角线：对角线相等且相互垂直平分，并且每条对角线平分一组对角； 〔4〕对称性：是中心对称图形，又是轴对称图形，对称轴有四条；〔1〕有一组邻边相等的矩形是正方形；〔2〕对角线相互垂直的矩形是正方形；〔3〕有一个角是直角的菱形是正方形；〔4〕对角线相等的菱形是正方形。
考点1、菱形的性质例1、菱形的一个内角是120°，一条较短的对角线的长为10，那么菱形的周长是________ 例2、如图，菱形ABCD 的两条对角线区分长6和8，点P 是对角线AC 上的一个动点，点M 、N 区分是边AB 、BC 的中点，那么PM +PN 的最小值是________．例3、菱形的一条对角线长为12cm ，面积为30cm 2，那么这个菱形的另一条对角线长为_______cm 。
例4、如图，菱形ABCD ，E ，F 区分是BC ，CD 上的点，∠B ＝∠EAF ＝60°，∠BAE ＝18°，求∠CEF 的度数。
例5、如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，过点D 作对角线BD 的垂线交BA 的延伸线于点E ．〔1〕证明：四边形ACDE 是平行四边形；〔2〕假定AC=8，BD=6，求△ADE 的周长．例6、如图，在菱形ABCD 中，F 为对角线BD 上一点，点E 为AB 延伸线上一点，DF=BE ，CE=CF.求证：〔1〕△CFD ≌△CEB ；〔2〕∠CFE=60°.例7、：如图，在菱形ABCD 中，F 为边BC 的中点，DF 与对角线AC 交于点M ，过M 作ME ⊥CD 于点E ，∠1=∠2．〔1〕、假定CE=1，求BC 的长；〔2〕、求证：AM=DF+ME ．1、菱形ABCD 中，∠A ＝60o ，对角线BD 长为7cm ，那么此菱形周长 cm 。
人教版八年级下册数学《菱形》平行四边形说课复习(菱形的性质)
已知：∵四边形ABCD是菱形
求证：∴AC⊥BD, AC平分∠BAD,∠BCD, BD平分∠ABC,∠ADC
已知：四边形ABCD是菱形
求证：AC⊥BD, AC平分∠BAD,∠BCD, BD平分∠ABC,∠ADC
证明:∵四边形ABCD是菱形
∴AB=BC=CD=AD
∴点A,点C在线段BD的垂直平分线上，
求证：四边形ABCD是菱形．
证明：∵AB＝BC＝CD＝AD，
B
∴AB＝CD ， BC＝AD．
∴四边形ABCD是平行四边形．
A
C
又AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形．
D
合作探究
你能用折纸的办法得到一个菱形吗？动手试一试！
先将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿图中的虚线剪下，将纸展开，就
得到了一个菱形．
C．正方形
D．等腰梯形
解析：由题意知AC＝AD＝BD＝BC，
∴四边形ADBC一定是菱形．
随堂练习
2．如图，AD是△ABC的一条角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交
AC于点F．求证：四边形AEDF是菱形．
证明：∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，∠EDA＝∠DAF．
∵AD是△ABC的一条角平分线，
∴四边形EFGH是菱形．
E
O
F
B
G
C
典例精析
例2
如图，在 □ ABCD中，E，F分别是AD，BC上的点，且DE＝BF，
AC⊥EF． 求证：四边形AECF是菱形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
A
E
D
∴ AD＝BC， AD//BC．
∵ DE＝BF， ∴ AE＝CF．
人教版八年级数学下《菱形》知识全解
《菱形》知识全解课标要求探索并证明菱形的性质定理：菱形的四条边相等，对角线互相垂直；以及它的判定定理：四边相等的四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形．知识结构内容解析1．菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．菱形首先是一个平行四边形，然后增加一个特殊条件：一组邻边相等．菱形的定义既可作为菱形的性质运用，又可作为菱形的判定运用．2．菱形的性质（1）具有平行四边形的所有性质．（2）特有的两条性质（定理）：①菱形的四条边相等；②菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．（3）菱形是轴对称图形，对角线所在的直线就是它的对称轴．（4）菱形的面积计算：S菱形=底×高=两条对角线乘积的一半．菱形的每条对角线把菱形分成两个全等的等腰三角形，两条对角线把菱形分成四个全等的直角三角形，所以有关菱形的问题可以转化为等腰三角形或直角三角形来解决．3．菱形的判定（1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形．这是菱形的定义，可作为菱形的判定方法，它是菱形其他判定方法的基础．（2）定理①：四边都相等的四边形是菱形．运用该定理证明时，可以直接证明一个四边形是菱形．（3）定理②：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．运用该定理证明时，要先证明四边形是平行四边形，再证明它的对角线互相垂直．4．运用和菱形的性质与判定解决问题．重点难点本课的重点是菱形的性质定理和判定定理的探索与证明．性质和判定定理本身容易理解，但需要学生借助一定的活动去进行观察、归纳、推导与验证．让学生自己体验探究过程，从中收获感悟．在教师的引导下，对知识本身和思想方法上都有实质性的掌握．这个过程到位了，必将很好地为下一过程——“运用性质和判定定理解决问题”打下坚实的基础，达到运用自如．教学重点的解决方法：在探究实验活动以及旧知类比的基础上进行定理的概括的推导．通过观察实验，巧妙设问，发现规律，归纳结论，解决重点．本课的难点是运用菱形的性质和判定方法进行推理、计算和解决问题．在通过探索和证明得到了菱形的性质及判定定理后，直接利用定理解决问题就势在必行．但从主观上讲，学生对刚学会的知识会有生疏感，不会直接用，甚至不敢用，习惯一步推理，对多步推理不熟；从客观上讲，性质和定理本身的数量不止一项，因而问题的解决需要选择相应的性质和定理，特别是判定方法的选择性很强，而且题目的设置往往灵活多变，还综合之前的知识等．这都给问题解决带来了困难．教学难点的解决方法：问题设置从易到难，从单一到综合逐步递进．通过引导思维，结合图形一步一步体现思路，明确方法来解决难点、疑点．教法导引在数学教学过程中，基于学生思维的起点，为了突出教师为主导、学生为主体的教学原则，我们可以运用自主探究法和直观教学法，让学生在实践中学习、掌握知识，达到灵活运用，并对先后知识融会贯通．针对本节课的特点，可以采用“创设情境——探究实践——观察讨论——总结归纳——知识运用”为主线的教学模式，运用实践、观察、分析、讨论相结合的方法．教学中引导学生经过观察、思考、探索、交流获得知识，形成技能．在教学过程中注意创设思维情境，在合作交流的气氛下进行师生互动，培养学生的自学能力和创新意识，让学生在教师的指导下自始至终处于一种积极思维，主动探究的学习状态．借助教具和课件演示，以增加教学的直观性，更好的理解菱形的性质与判别，解决教学重点与难点．根据本课内容的特点，建议教师在教学过程中注意以下问题：1．菱形的知识，学生在小学时接触过一些，教学要基于学生对菱形的已有认知上．在引入概念时，应让学生充分的理解到菱形是一个特殊的平行四边形，特殊在有一组邻边相等．教师设置情境，学生自己动手探究，体验到菱形可以由平行四边形平移或等角三角形、直角三角形拼接得到．2．菱形在现实中的实例较多，因而在讲解菱形的性质和判定时，教师可多准备一些生活实例，来对菱形的性质和判定进行应用．既增加了学生的参与感，又巩固了所学的知识．3．教学过程中，应特别重视探究活动，这样既增强了学生的动手能力和参与感，又在教学中有切实的实例，使学生对知识的掌握更轻松、具体．例如菱形性质的探索、判定定理的探索都需要通过具体的折纸、画图等实践来进行探究．4．教学过程中注意学生独立思考和合作交流的有机结合．例如在对性质的讲解中，教师可将学生分组，每组学生分别对菱形进行“边、角、对角线”等方面的研究，然后在组内进行整理、归纳．而在性质或判定的应用中，教师根据题目的层次安排，可引导学生独立分析思路，并独立进行具体的证明．5．注重将新知识与旧知识进行联系与类比．新旧知识的联系与类比有利于学生建立新的知识体系，同时也能在一定程度上培养学生的合情推理能力．菱形的判定方法可以通过类比已学过的矩形的判定方法，进行合情猜想，并加以验证，实现知识的正迁移．学法建议在日常生活中，学生经常会遇到各种几何图形也包括菱形，但学生对这一图形的认识是直观的、肤浅的，因此在教学中要以原有直观感和平行四边形、矩形的相关知识为基础，探索菱形的性质及判别方法，并尝试利用它们解题．新的教学理念要求在课堂中注重探究学习，在本课中，其实有许多内容可以进行这方面的尝试．如菱形的概念得到、菱形性质的发现和推导、菱形面积的算法、菱形判定方法的选择和思路的选取等都可以让学生进行探究和归纳．若能在探究的基础上归纳出方法，学习的效果会提高很多，学习的能力也能得到不断提高．在本节课的教学中，要帮助学生学会运用实践、观察、分析、比较、验证、归纳、概括等手段，得出解决问题的方法，使传授知识与培养能力融为一体，使学生不仅学到科学的探究方法，而且体验到探究的乐趣，领会到成功的喜悦．。
人教版八下数学课件第18章18.2.2第1课时菱形的性质
解 ： 当 四 边 形 EDD′F 为 菱 形 时 ， △A′DE 是 等 腰 三 角 形 ， △A′DE≌△EFC′.理由：∵△BCA 是直角三角形，∠ACB＝90°，AD＝
DB，∴CD＝DA＝DB，∴∠DAC＝∠DCA，∵A′C∥AC，∴∠DA′E＝
∠A ， ∠DEA′ ＝ ∠DCA ， ∴∠DA′E ＝ ∠DEA′ ， ∴DA′ ＝ DE ，
7．如图，AC、BD 是菱形 ABCD 的对角线，那么下列结论一定正确的是( B ) A．△ABD 与△ABC 的周长相等 B．△ABD 与△ABC 的面积相等 C．菱形的周长等于两条对角线之和的两倍 D．菱形的面积等于两条对角线之积的两倍
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8．如图，在菱形 ABCD 中，∠BAD＝120°，AB＝4.
初中数学课件
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八年级数学(下册)·人教版
第十八章 平行四边形
18.2.2 菱形 第1课时 菱形的性质
灿若寒星
1．定义：四条边相等的四边形 叫做菱形．菱形是轴对称图形，它的对称 轴是 两条对角线所在的直线 . 2．性质：①菱形的四条边 相等 ；②菱形的对角线 互相垂直平分 ，并且 每条对角线 平分 一组对角． 3．菱形的面积等于两对角线长的乘积的 一半 .
解：∵四边形 ABCD 为菱形，∴AC⊥BD，OA＝12AC＝8cm，OD＝21BD＝ 6cm.∴AD＝ 62＋82＝10，∴C 菱形＝4AD＝40cm.由 S 菱形＝AB×DE＝12 ×AC×BD，即 10×DE＝12×16×12，∴DE＝9.6cm.
灿若寒星
5．如图，将一张直角三角形 ABC 纸片沿斜边 AB 上的中线 CD 剪开，得到 △ACD，再将△ACD 沿 DB 方向平移到△A′C′D′的位置，若平移开始后 点 D′，未到达点 B 时，A′C′交 CD 于 E，D′C′交 CB 于点 F，连接 EF，当四边形 EDD′F 为菱形时，试探究△A′DE 的形状，并判断△A′DE 与△EFC′是否全等？请说明理由．
人教版初二(下)数学第54讲：菱形(教师版)
菱形1、掌握菱形的概念判定与性质，理解菱形与平行四边形的之间的联系；2、会用菱形的性质解决简单的证明和计算问题；3、从菱形与平行四边形的区别与联系体会特殊与一般的关系，培养学生辩证唯物主义观点．1．菱形的性质（1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．（平行四边形+一组邻边相等=菱形）（2）菱形的性质①菱形具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等；③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形，它有___条对称轴，分别是两条对角线所在直线．（3）菱形的面积计算①利用平行四边形的面积公式．②菱形面积=ab．（a、b是两条对角线的长度）2．菱形的判定（1）四条边都_____的四边形是菱形．几何语言：∵AB=BC=CD=DA∴四边形ABCD是菱形；（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形3．线段垂直平分线的性质（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线．垂直平分线，简称“中垂线”．（2）性质：①垂直平分线_____且_____其所在线段．②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．4．直角三角形斜边上的中线（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．该定理可一用来判定直角三角形．5．勾股定理（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定____斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2=c2的变形有：a=c2﹣b2，b=c2﹣a2及c=a2+b2．（4）由于a2+b2=c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的任意一条直角边．6．三角形中位线定理（1）三角形中位线定理：三角形的中位线_______第三边，并且等于第三边的_____．（2）几何语言：如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点∴DE∥BC，DE=BC．7．平行四边形的性质（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．（2）平行四边形的性质：①边：平行四边形的对边相等．②角：平行四边形的对角相等．③对角线：平行四边形的对角线互相平分．（3）平行线间的距离处处相等．（4）平行四边形的面积：①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．8．平行四边形的判定（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB∥DC，AD∥BC∴四边行ABCD是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB=DC，AD=BC∴四边行ABCD是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB∥DC，AB=DC∴四边行ABCD是平行四边形．（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵∠ABC=∠ADC，∠DAB=∠DCB∴四边行ABCD是平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．符号语言：∵OA=OC，OB=OD∴四边行ABCD是平行四边形．参考答案：1.（2）④22.（1）相等3.（2）①垂直且平分4.（1）一半5.（1）等于6.（1）平行于一半1.菱形的性质．【例1】（2014•北京房山中学期末）边长为3cm的菱形的周长是（）A．6cm B．9cm C．12cm D．15cm【解析】利用菱形的各边长相等，进而求出周长即可．解：∵菱形的各边长相等，∴边长为3cm的菱形的周长是：3×4=12（cm）．故选：C．练1.如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB=60°，则对角线BD的长是（）A．1 B． C．2 D．2【解析】利用菱形的性质以及等边三角形的判定方法得出△DAB是等边三角形，进而得出BD的长．解：∵菱形ABCD的边长为2，∴AD=AB=2，又∵∠DAB=60°，∴△DAB是等边三角形，∴AD=BD=AB=2，则对角线BD的长是2．故选：C．练2.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC=8，DB=6，DE⊥BC于点E，则DE的长为（）A．2.4 B．3.6 C．4.8 D．6【解析】首先根据已知可求得OA，OD的长，再根据勾股定理即可求得BC的长，再由菱形的面积等于底乘以高也等于两对角线的乘积，根据此不难求得DE的长．解：∵四边形ABCD是菱形，对角线AC=8，DB=6，∴BC==5，∵S菱形ABCD=AC×BD=BC×DE，∴×8×6=5×DE，∴DE==4.8，故选C．2. 菱形的性质；勾股定理．【例2】（2014•太原杏花岭中学月考检测）在菱形ABCD中，若对角线的长AC=8cm，BD=6cm，则边长AB= cm．【解析】根据菱形的对角线互相垂直平分求出对角线一半的长度，然后利用勾股定理列式计算即可得解．解：如图，∵菱形ABCD中，对角线长AC=8cm，BD=6cm，∴AO=AC=4cm，BO=BD=3cm，∵菱形的对角线互相垂直，∴在Rt△AOB中，AB===5cm．故答案为：5．练3.如图，在菱形ABCD中，AB=10，AC=12，则它的面积是．【解析】首先根据勾股定理可求出BO的长，进而求出BD的长，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解．解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵AC=12，∴AO=6，∵AB=10，∴BO==8，∴BD=16，∴菱形的面积S=AC•BD=×16×12=96．故答案为：96．3.菱形的性质；平行四边形的判定与性质．【例3】（2014•吕梁孝义中学月考）如图，菱形ABCD中，AC、BD相交于点O，若∠BCO=55°，则∠ADO=°．【解析】根据菱形性质得出AC⊥BD，AD∥BC，求出∠CBO，根据平行线的性质求出∠ADO即可．解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠BOC=90°，∵∠BCO=55°，∴∠CBO=90°﹣55°=35°，∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴∠ADO=∠CBO=35°，故答案为：35°．练4.如图，△ABC中，∠ACB=90°，D、E分别是BC、BA的中点，连接DE，F在DE延长线上，且AF=AE．（1）求证：四边形ACEF是平行四边形；（2）若四边形ACEF是菱形，求∠B的度数．【解析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CE=AE=BE，从而得到AF=CE，再根据等腰三角形三线合一的性质可得∠1=∠2，根据等边对等角可得然后∠F=∠3，然后求出∠2=∠F，再根据同位角相等，两直线平行求出CE∥AF，然后利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明；（2）根据菱形的四条边都相等可得AC=CE，然后求出AC=CE=AE，从而得到△AEC是等边三角形，再根据等边三角形的每一个角都是60°求出∠CAE=60°，然后根据直角三角形两锐角互余解答．（1）证明：∵∠ACB=90°，E是BA的中点，∴CE=AE=BE，∵AF=AE，∴AF=CE，在△BEC中，∵BE=CE且D是BC的中点，∴ED是等腰△BEC底边上的中线，∴ED也是等腰△BEC的顶角平分线，∴∠1=∠2，∵AF=AE，∴∠F=∠3，∵∠1=∠3，∴∠2=∠F，∴CE∥AF，又∵CE=AF，∴四边形ACEF是平行四边形；（2）解：∵四边形ACEF是菱形，∴AC=CE，由（1）知，AE=CE，∴AC=CE=AE，∴△AEC是等边三角形，∴∠CAE=60°，在Rt△ABC中，∠B=90°﹣∠CAE=90°﹣60°=30°．4．菱形的判定；全等三角形的判定与性质．【例4】（2014•山西朔州一中期末）如图，在菱形ABCD中，M，N分别在AB，CD上，且AM=CN，MN 与AC交于点O，连接BO．若∠DAC=28°，则∠OBC的度数为（）A．28° B．52° C．62° D．72°【解析】根据菱形的性质以及AM=CN，利用ASA可得△AMO≌△CNO，可得AO=CO，然后可得BO⊥AC，继而可求得∠OBC的度数．解：∵四边形ABCD为菱形，∴AB∥CD，AB=BC，∴∠MAO=∠NCO，∠AMO=∠CNO，在△AMO和△CNO中，∵，∴△AMO≌△CNO（ASA），∴AO=CO，∵AB=BC，∴BO⊥AC，∴∠BOC=90°，∵∠DAC=28°，∴∠BCA=∠DAC=28°，∴∠OBC=90°﹣28°=62°．故选：C．练5.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，MN过点O且与边AD、BC分别交于点M 和点N．（1）请你判断OM和ON的数量关系，并说明理由；（2）过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，当AB=6，AC=8时，求△BDE的周长．【解析】（1）根据四边形ABCD是菱形，判断出AD∥BC，AO=OC，即可推得OM=ON．（2）首先根据四边形ABCD是菱形，判断出AC⊥BD，AD=BC=AB=6，进而求出BO、BD的值是多少；然后根据DE∥AC，AD∥CE，判断出四边形ACED是平行四边形，求出DE=AC=6，即可求出△BDE的周长是多少．解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，AO=OC，∴，∴OM=ON．（2）∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AD=BC=AB=6，∴BO==2，∴，∵DE∥AC，AD∥CE，∴四边形ACED是平行四边形，∴DE=AC=6，∴△BDE的周长是：BD+DE+BE=BD+AC+（BC+CE）=4+8+（6+6）=20即△BDE的周长是20．5．菱形的性质；线段垂直平分线的性质．【例5】（2014•河南平顶山一中月考）如图，在菱形ABCD中，AB的垂直平分线EF交对角线AC于点F，垂足为点E，连接DF，若∠CDF=24°，则∠DAB等于（）A．100° B．104° C．105° D．110°【解析】根据菱形的性质求出∠DAB=2∠DAC，AD=CD；再根据垂直平分线的性质得出AF=DF，利用三∵四边形ABCD是菱形，∴AD=CD，∴∠DAC=∠DCA．∵EF垂直平分AB，AC垂直平分BD，∴AF=BF，BF=DF，∴AF=DF，∴∠FAD=∠FDA，∴∠DAC+∠FAD+∠DCA+∠CDF=180°，即3∠DAC+∠CDF=180°，∵∠CDF=24°，∴3∠DAC+24°=180°，则∠DAC=52°，∴∠DAB=2∠DAC=104°．故选：B．的长是cm．【解析】首先连接AC，由BC的垂直平分线EF经过点A，根据线段垂直平分线的性质，可得AC的长，由菱形的性质，可求得AC=AB=3，然后由勾股定理，求得OB的长，继而求得答案．解：连接AC，∵菱形ABCD的周长为12cm，∴AB=3，AC⊥BD，∵BC的垂直平分线EF经过点A，∴AC=AB=3，∴OA=AC=，∴OB==，∴BD=2OB=3cm．故答案为：3．1．如图，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连接DF，则∠CDF等于（）A．50° B．60° C．70° D．80°2．如图，四边形ABCD是平行四边形，AC与BD相交于点O，添加一个条件：，可使它成为菱形．3．如图，菱形ABCD中，对角线AC交BD于O，AB=8，E是CB的中点，则OE的长等于．4．若菱形的两条对角线分别为2和3，则此菱形的面积是．5．如图，边长为1的菱形ABCD中，∠DAB=60°．连结对角线AC，以AC为边作第二个菱形ACEF，使∠FAC=60°．连结AE，再以AE为边作第三个菱形AEGH使∠HAE=60°…按此规律所作的第n个菱形的边长是．6．如图，菱形ABCD的周长为8，对角线AC和BD相交于点O，AC：BD=1：2，则AO：BO= ，菱形ABCD的面积S= ．__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1．如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，AB=1，延长AD到点E，使DE=AD，延长CD到点F，使DF=CD，连接AC、CE、EF、AF，则下列描述正确的是（）A．四边形ACEF是平行四边形，它的周长是4B．四边形ACEF是矩形，它的周长是2+2C．四边形ACEF是平行四边形，它的周长是4D．四边形ACEF是矩形，它的周长是4+42．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC=8，BD=6，OE⊥BC，垂足为点E，则OE= ．3．若菱形的周长为20cm，则它的边长是cm．4．如图，菱形ABCD中，∠A=60°，BD=7，则菱形ABCD的周长为．5．如图，在平面直角坐标系xOy中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是．6．如图，CE是△ABC外角∠ACD的平分线，AF∥CD交CE于点F，FG∥AC交CD于点G．求证：四边形ACGF是菱形．7．已知，如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E，F为对角线AC上两点，且AE=CF，DF∥BE，AC平分∠BAD．求证：四边形ABCD为菱形．8．如图，AB∥CD，点E，F分别在AB，CD上，连接EF，∠AEF、∠CFE的平分线交于点G，∠BEF、∠DFE的平分线交于点H．（1）求证：四边形EGFH是矩形；（2）小明在完成（1）的证明后继续进行了探索，过G作MN∥EF，分别交AB，CD于点M，N，过H 作PQ∥EF，分别交AB，CD于点P，Q，得到四边形MNQP，此时，他猜想四边形MNQP是菱形，请在下列框中补全他的证明思路．9．如图，已知△ABC，直线PQ垂直平分AC，与边AB交于E，连接CE，过点C作CF平行于BA交PQ 于点F，连接AF．（1）求证：△AED≌△CFD；（2）求证：四边形AECF是菱形．（3）若AD=3，AE=5，则菱形AECF的面积是多少？10．如图，已知BD平分∠ABF，且交AE于点D，（1）求作：∠BAE的平分线AP（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）设AP交BD于点O，交BF于点C，连接CD，当AC⊥BD时，求证：四边形ABCD是菱形．11．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于O，AB=5，AO=4，求BD的长．参考答案：当堂检测1.【考点】菱形的性质；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质．菁优网版权所有【分析】连接BF，根据菱形的对角线平分一组对角求出∠BAC，∠BCF=∠DCF，四条边都相等可得BC=DC，再根据菱形的邻角互补求出∠ABC，然后根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AF=BF，根据等边对等角求出∠ABF=∠BAC，从而求出∠CBF，再利用“边角边”证明△BCF和△DCF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠CDF=∠CBF．【解答】解：如图，连接BF，在菱形ABCD中，∠BAC=∠BAD=×80°=40°，∠BCF=∠DCF，BC=DC，∠ABC=180°﹣∠BAD=180°﹣80°=100°，∵EF是线段AB的垂直平分线，∴AF=BF，∠ABF=∠BAC=40°，∴∠CBF=∠ABC﹣∠ABF=100°﹣40°=60°，∵在△BCF和△DCF中，，∴△BCF≌△DCF（SAS），∴∠CDF=∠CBF=60°．故选：B．2．【考点】菱形的判定．菁优网版权所有【分析】菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形，进而得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴当AB=BC时，平行四边形ABCD是菱形，当AC⊥BD时，平行四边形ABCD是菱形．故答案为：AB=BC或AC⊥BD等．3．【考点】菱形的性质；直角三角形斜边上的中线．菁优网版权所有【分析】根据菱形的性质得出OD=OB，根据三角形的中位线性质得出OE=AB，代入求出即可．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴DO=OB，∵E是BC的中点，∴OE=AB，∵AB=8，∴OE=4．故答案为4．4．【考点】菱形的性质．菁优网版权所有【分析】菱形的面积是对角线乘积的一半，由此可得出结果即可．【解答】解：由题意，知：S菱形=×2×3=3，故答案为：3．【点评】本题考查了菱形的面积两种求法：（1）利用底乘以相应底上的高；（2）利用菱形的特殊性，菱形面积=×两条对角线的乘积；具体用哪种方法要看已知条件来选择．5．【考点】菱形的性质．菁优网版权所有【分析】连接DB于AC相交于M，根据已知和菱形的性质可分别求得AC，AE，AG的长，从而可发现规律根据规律不难求得第n个菱形的边长．【解答】解：连接DB，∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB．AC⊥DB，∵∠DAB=60°，∴△ADB是等边三角形，∴DB=AD=1，∴BM=，∴AM=，∴AC=，同理可得AE=AC=（）2，AG=AE=3=（）3，按此规律所作的第n个菱形的边长为（）n﹣1，故答案为（）n﹣1．【点评】此题主要考查菱形的性质、等边三角形的判定和性质以及学生探索规律的能力．6．【考点】菱形的性质．菁优网版权所有【分析】由菱形的性质可知：对角线互相平分且垂直又因为AC：BD=1：2，所以AO：BO=1：2，再根据菱形的面积为两对角线乘积的一半计算即可．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AO=CO，BO=DO，∴AC=2AO，BD=2BO，∴AO：BO=1：2；∵菱形ABCD的周长为8，∴AB=2，∵AO：BO=1：2，∴AO=2，BO=4，∴菱形ABCD的面积S==16，故答案为：1：2，16．家庭作业1．【考点】菱形的性质；平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质．菁优网版权所有【分析】首先判断其是平行四边形，然后判定其是矩形，然后根据菱形的边长求得矩形的周长即可．【解答】解：∵DE=AD，DF=CD，∴四边形ACEF是平行四边形，∵四边形ABCD为菱形，∴AD=CD，∴AE=CF，∴四边形ACEF是矩形，∵△ACD是等边三角形，∴AC=1，∴EF=AC=1，过点D作DG⊥AF于点G，则AG=FG=AD×cos30°=，∴AF=CE=2AG=，∴四边形ACEF的周长为：AC+CE+EF+AF=1++1+=2+2，故选B．2．【考点】菱形的性质．菁优网版权所有【专题】计算题．【分析】先根据菱形的性质得AC⊥BD，OB=OD=BD=3，OA=OC=AC=4，再在Rt△OBC中利用勾股定理计算出BC=5，然后利用面积法计算OE的长．【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，OB=OD=BD=3，OA=OC=AC=4，在Rt△OBC中，∵OB=3，OC=4，∴BC==5，∵OE⊥BC，∴OE•BC=OB•OC，∴OE==．故答案为．【点评】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．也考查了勾股定理和三角形面积公式．3．【考点】菱形的性质．菁优网版权所有【分析】由菱形ABCD的周长为20cm，根据菱形的四条边都相等，即可求得其边长．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD，∵菱形ABCD的周长为20cm，∴边长为：20÷4=5（cm）．故答案为：5．4．【考点】菱形的性质．菁优网版权所有【分析】根据菱形的性质可得：AB=AD，然后根据∠A=60°，可得三角形ABD为等边三角形，继而可得出边长以及周长．【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，∴AB=AD，∵∠A=60°，∴△ABD为等边三角形，∵BD=7，∴AB=BD=7，∴菱形ABCD的周长=4×7=28．故答案为：28．5．【考点】菱形的性质；坐标与图形性质．菁优网版权所有【分析】利用菱形的性质以及勾股定理得出DO的长，进而求出C点坐标．【解答】解：∵菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D在y轴上，∴AB=5，∴DO=4，∴点C的坐标是：（5，4）．故答案为：（5，4）．6．【考点】菱形的判定．【分析】首先根据平行线的性质得到∠2=∠3，从而根据角平分线的性质得到∠1=∠3，得到AF=AC，从而利用邻边相等的平行四边形是菱形证得结论．【解答】证明：∵AF∥CD，FG∥AC，∴四边形ACGF是平行四边形，∠2=∠3，∵CE平分∠ACD，∴∠1=∠2，∴∠1=∠3，∴AC=AF，∴四边形ACGF是菱形．7．【考点】菱形的判定；全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有【分析】首先证得△ABE≌△CDF，得到AB=CD，从而得到四边形ABCD是平行四边形，然后证得AD=CD，利用邻边相等的平行四边形是菱形进行证明即可．【解答】证明：∵AB∥CD，∴∠DCA=∠BAC，∵DF∥BE，∴∠DFA=∠BEC，∴∠AEB=∠CFD，在△AEB和△CFD中，，∴△AEB≌△CFD（ASA），∴AB=CD，∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAF，∵∠BAE=∠DCF，∴∠DAF=∠DCF，∴AD=CD，∴四边形ABCD是菱形．8．【考点】菱形的判定；全等三角形的判定与性质；矩形的判定．菁优网版权所有【分析】（1）利用角平分线的定义结合平行线的性质得出∠FEH+∠EFH=90°，进而得出∠GEH=90°，进而求出四边形EGFH是矩形；（2）利用菱形的判定方法首先得出要证▱MNQP是菱形，只要证MN=NQ，再证∠MGE=∠QFH得出即可．【解答】（1）证明：∵EH平分∠BEF，∴∠FEH=∠BEF，∵FH平分∠DFE，∴∠EFH=∠DFE，∵AB∥CD，∴∠BEF+∠DFE=180°，∴∠FEH+∠EFH=（∠BEF+∠DFE）=×180°=90°，∵∠FEH+∠EFH+∠EHF=180°，∴∠EHF=180°﹣（∠FEH+∠EFH）=180°﹣90°=90°，同理可得：∠EGF=90°，∵EG平分∠AEF，∴∠GEF=∠AEF，∵EH平分∠BEF，∴∠FEH=∠BEF，∵点A、E、B在同一条直线上，∴∠AEB=180°，即∠AEF+∠BEF=180°，∴∠FEG+∠FEH=（∠AEF+∠BEF）=×180°=90°，即∠GEH=90°，∴四边形EGFH是矩形；（2）解：答案不唯一：由AB∥CD，MN∥EF，PQ∥EF，易证四边形MNQP是平行四边形，要证▱MNQP是菱形，只要证MN=NQ，由已知条件：FG平分∠CFE，MN∥EF，故只要证GM=FQ，即证△MGE≌△QFH，易证 GE=FH、∠GME=∠FQH．故只要证∠MGE=∠QFH，易证∠MGE=∠GEF，∠QFH=∠EFH，∠GEF=∠EFH，即可得证．9．【考点】菱形的判定；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质．菁优网版权所有【分析】（1）由作图知：PQ为线段AC的垂直平分线，从而得到AE=CE，AD=CD，然后根据CF∥AB得到∠EAC=∠FCA，∠CFD=∠AED，利用ASA证得两三角形全等即可；（2）根据全等得到AE=CF，然后根据EF为线段AC的垂直平分线，得到EC=EA，FC=FA，从而得到EC=EA=FC=FA，利用四边相等的四边形是菱形判定四边形AECF为菱形．【解答】解：（1）由作图知：PQ为线段AC的垂直平分线，∴AE=CE，AD=CD，∵CF∥AB，∴∠EAC=∠FCA，∠CFD=∠AED，在△AED与△CFD中，，∴△AED≌△CFD；（2）∵△AED≌△CFD，∴AE=CF，∵EF为线段AC的垂直平分线，∴EC=EA，FC=FA，∴EC=EA=FC=FA，∴四边形AECF为菱形．（3）∵AD=3，AE=5，∴根据勾股定理得：ED=4，∴EF=8，AC=6，∴S菱形AECF=8×6÷2=24，∴菱形AECF的面积是24【点评】本题考查了菱形的判定、全等的判定与性质及基本作图，解题的关键是了解通过作图能得到直线的垂直平分线．10．【考点】菱形的判定；作图—基本作图．菁优网版权所有【分析】（1）根据角平分线的作法作出∠BAE的平分线AP即可；（2）根据ASA证明△ABO≌△CBO，得出AO=CO，AB=CB，再根据ASA证明△ABO≌△ADO，得出BO=DO．由对角线互相平分的四边形是平行四边形及有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证明四边形ABCD是菱形．【解答】（1）解：如图所示：（2）证明：如图：在△ABO和△CBO中，，∴△ABO≌△CBO（ASA），∴AO=CO，AB=CB．在△ABO和△ADO中，，∴△ABO≌△ADO（ASA），∴BO=DO．∵AO=CO，BO=DO，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AB=CB，∴平行四边形ABCD是菱形．【点评】此题主要考查了角平分线的作法以及菱形的判定和全等三角形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定是解题关键．11．【考点】菱形的性质；勾股定理．菁优网版权所有【分析】根据菱形的性质得出AC⊥BD，再利用勾股定理求出BO的长，即可得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于O，∴AC⊥BD，DO=BO，∵AB=5，AO=4，∴BO==3，∴BD=2BO=2×3=6．。
人教版菱形性质课件
人教版菱形性质课件（正文部分）（注意：以下内容根据题目要求采用了菱形的形式进行排版）菱形性质课件菱形，是一种具有特殊性质的四边形。
本课件将介绍菱形的性质及相关定理，并通过图示和实例展示，帮助学生更好地理解和掌握菱形的特点。
一、菱形的定义学生们，首先让我们来回顾一下菱形的定义。
菱形是指具有以下性质的四边形：1. 具有四条边相等的性质；2. 具有对角线互相垂直的性质；3. 具有对角线互相平分的性质。
在下面的图中，我们可以看到一个典型的菱形ABCD。
（在此插入一张菱形ABCD的示意图）二、菱形的性质1. 边的性质由于菱形的定义，“菱形的四条边相等”。
这个性质非常重要，它意味着在菱形中，任意两条边之间的长度是相等的。
例如，在菱形ABCD中，我们可以得出以下结论：（在此插入一张菱形ABCD的示意图，并标注边的长度）2. 角的性质在菱形ABCD中，我们可以发现一些有趣的角的性质。
让我们来看一看：（在此插入一张菱形ABCD的示意图，并标注角的度数）a. 对角线的夹角：菱形的对角线互相垂直，也就是说，对角线AC和对角线BD的夹角为90度。
这是菱形独有的性质之一。
b. 边与对角线的夹角：菱形的边和对角线之间的夹角是等于60度的。
例如，在菱形ABCD中，角BAD和角DAC都是60度。
3. 对角线的性质在菱形ABCD中，对角线AC和对角线BD有以下性质：a. 互相平分：对角线AC和对角线BD互相平分，即将菱形分为四个相等的三角形。
这意味着，在菱形ABCD中，三角形ABC和三角形ADC的面积是相等的，三角形ABD和三角形BCD的面积也是相等的。
b. 相等性质：对角线AC和对角线BD相等，即AC = BD。
这是菱形特有的性质之一。
三、菱形的相关定理除了上述基本性质外，菱形还有一些相关定理，下面将介绍其中两个定理。
1. 对角线相互垂直定理定理：菱形的对角线互相垂直。
（在此插入一张菱形ABCD示意图，并标注对角线互相垂直）定理的证明可以通过以下三个步骤完成：步骤一：连接对角线AC和对角线BD，使其交于点O。
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二、探究菱形的性质。
动手做一做：将一张长方形的纸对折、再对 折，然后沿图中的虚线剪下，打开就可以得 到菱形.它会有什么性质呢？
(1)观察得到的菱形,它是中心 分组讨论：
A B C D
对称图形吗？ 它是轴对称图 形吗?如果是，有几条对称 轴? 对称轴之间有什么位置关系? (2)从边、角、对角线等方 面来探讨，从图中你能得到 哪些结论?并说明理由.
（A）对角线相等（B）对角线互相垂直（C） 是轴对称图形（D）对角线平分
A
D
C
B
D
5.如图：在菱形ABCD中，AE⊥BC， B AF⊥CD，垂足分别为点E、F， 求证：△ABE ≌△ADF
E C F
【菱形的面积公式】
A
菱形
B
O E
C
D
S菱形=BC×AE
思考:计算菱形的面积除了上式方法外,利
用对角线能 计算菱形的面积吗? S菱形ABCD=S△ABD+S△BCD= 1 AC×BD
D
边
菱形的两组对边平行且相等 A
O B 数学语言
C
菱形的四条边相等
∵四边形ABCD是菱形
角 菱形的两组对角分别相等
∠DCA=∠BCA ∠ADC=∠ABC AB ∥ CD ∠ADB=∠CDB 菱形的 两条对角线互相平分 ∠ABD=∠CBD AC⊥BD 对角线
∴∴ ∠DAC=∠BAC AD ∥BC ∴OA=OC;OB=OD AB=BC=CD=DA ∴ ∴ ∠DAB=∠DCB =
三、应用新知
A
D
O
C
如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD 相交于点O. （1）图中有哪些线段是相等的？哪 些角是相等的？ （2）有哪些特殊的三角形？ （3）有哪些全等的三角形？
B
已知四边形ABCD是菱形 相等的线段： AB=CD=AD=BC OA=OC OB=OD
B
5 6
A
1 2
7
D
8
O
3 4
成功就是99%的血汗，加上1%的灵感。 ——爱迪生
C
∠DAB=∠BCD ∠ABC =∠CDA 相等的角：
∠AOB=∠DOC=∠AOD=∠BOC =90° ∠1=∠2=∠3=∠4 ∠5=∠6=∠7=∠8 等腰三角形： △ABC △ DBC △ACD △ABD
直角三角形： Rt△AOB Rt△BOC Rt△COD
全等三角形：Rt△AOB Rt△DOA
≌ Rt△BOC≌ Rt△COD ≌ Rt△DOA
课堂反思
1.你的收获是什么？你的困惑是什么？ 2.你会用类比的学习方法学习特殊四边形知识 吗？
四边形集合
平行四边形集合 菱形集合
矩形集合
矩形和菱形的性质
矩形 菱形
定 有一个角是直角的平行 有一组邻边相等的平行 义 四边形 四边形 性 1、具有平行四边形的 1、具有平行四边形的一 一切性质 切性质 质 2、既是中心对称图形 2、既是中心对称图形又 又是轴对称图形 是轴对称图形 3、四个角都是直角 3、菱形的四条边都相等 4、矩形的对角线相等 4、菱形的对角线互相垂 直，并且每一条对角线 平分一组对角
2 面积：S菱形=底×高=两条对角线乘积的一半
如图，菱形花坛ABCD的边长为2m， ∠ABC＝60度，沿着菱形的对角线修建了 两条小路AC和BD，求两条小路的长和花 坛的面积（结果保留根号 ）
A
BOD来自C课堂练习（复习巩固）
1、菱形的两条对角线长分别是6cm和8cm， 24cm2 则菱形 的面积 。 2、菱形的面积为24cm2,一条对角线的长为 6cm，则另一条对角线长为8cm ；边长为5cm 。 3、已知菱形的周长为40cm，两对角线的比为 3:4，则两对角线的长分别是 12cm,16cm ,菱形的 面积是 96cm2 。
§19.2 .2
菱形的定义、性质
菱形
学习目标
掌握菱形的定义和性质。 经历探索菱形的性质的过程，学会
运用菱形的性质解决一些问题。 了解菱形的现实应用，体验数学美。
平行四边形
邻边相等
菱形
在平行四边形中，如果内角大小保持 不变，仅改变边的长度，在这个变化 过程中，使一组邻边相等，那么这个 平行四边形就会变成一个特殊的四边 形。
=
菱形的两条对角线互相垂直平分， 并且每一条对角线平分一组对角。
命题：菱形的对角线互相垂直平分， 并且每一条对角线平分一组对角； 已知：菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O， 如下图，
求证：AC⊥BD ； AC平分∠BAD和∠BCD ； BD平分∠ABC和∠ADC .
A O B C D 证明：∵四边形ABCD是菱形 ∴AB=AD（菱形的四条边都相等） 在△ABD中， 又∵BO=DO ∴AC⊥BD，AC平分∠BAD 同理： AC平分∠BCD； BD平分∠ABC和∠ADC
△ABD≌△BCD
△ABC≌△ACD
A
1、已知菱形的周长是12cm，那么它 的边长是______. 3cm O 2、菱形ABCD中∠ABC＝60度，则 C B 60度 ∠BAC＝_______. D 3、菱形的两条对角线长分别为6cm和8cm， 则菱形的边长是（ C ） 3 A.10cm B.7cm C. 5cm D.4cm A 4 O 4、下面性质中，菱形不一定具有的是（ A）