广西南宁市2013届高三第二次适应性测试数学理试题 2

广西南宁市
2013届高三毕业班第二次适应性测试
数学（理）试题
本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试结束，务必将试卷和答题卷一并上交。

第I 卷
注意事项：全卷满分150分，考试时间120分钟。

考生注意事项： 1．答题前，考生在答题卷上务必用直径o ．5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。

请认真核准该条形码上的准考证号、姓名和科目。

2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

在试题卷上作答无效．．．．．．．．．。

3．第I 卷共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的。

一、选择题
1．若集合A={x|－2<x≤1}，B={x|.x≤0或x>l}，则A ( ðR B)等于 A ．（-2，1] B ．（-∞，1] C ．{1} D ．(0，1]
2．已知a+2i=
i
i b +-1 (a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，则a －b 等于
A ．-2
B ．-1
C ．1
D ．2
3．已知a ∈（-2
π，0），cos a=5
3，则tan(a+4
π
)等于
A ．-
7
1 B ．
7
1 C ．-7 D ．7
4．已知函数f （x ）=⎩⎨⎧≤>.
0,2,0,12x x x og x 若f （a ）=21，则a 等于
A ．-1或2
B ．2
C ．-1
D ．1或-2
5．若双曲线
-m
x
2
y 2
=4(m>0)的焦距为8，则它的离心率为
A ．
3
32 B ．2 C ．15 D ．
15
154
6．已知点P （x ，y ）在不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧≥-+≤-≤-0220102y x y x ，表示的平面区域上运动，则x-y 的取值范围是
A ．[-2，-1]
B ．[-2，1]
C ．[-1，2]
D ．[1，2]
7．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,S 9=-18，S 13=-52，{b n }为等比数列，且b 5 =a 5，b 7=a 7，则b 15
的值为 A ．64
B ．128
C ．-64
D ．-128
8．已知命题p ：若非零实数a ，b 满足a>b ，则
b
a
11<；命题q ：对任意实数x ∈（0，+∞），2
11og
（x+1）<0．则下列命题为真命题的是
A ．p 且q
B ．p 或⌝q
C ．⌝p 且q
D ．p 且⌝q
9．某班在5男生4女生中选择4人参加演讲比赛，选中的4人中有男有女，且男生甲和女生乙最少选中一个，则不同的选择方法有 A ．91种 B ．90种 C ．89种 D ．86种
10．将函数f （x ）=l+cos 2x －2sin 2（x －
6
π
）的图象向左平移m （m>0）个单位后所得的图象关于
y 轴对称，则m 的最小值为 A ．
6
π
B ．
12
π
C ．
3
π
D ．
2
π
11．已知三棱锥P-ABC 的四个顶点都在球O 的球面上，AB ⊥BC 且PA=7，PB=5，PC=51，AC=10，则球O 的表面积为 A ．80π
B ．90π
C ．100π
D ．120π
12．如图，以原点O 为圆心的圆与抛物线y 2 =2px （p>0)交于A ，B 两点，
且弦长AB=23，∠AOB=120o ，过抛物线焦点F ，作一条直线与抛物线交于M ，N 两点，它们到直线x=-1的距离之和 为
2
7，则这样的直线有
A ．0条
B ．1条
C ．2条
D ．3条
第Ⅱ卷
注意事项： 1．答题前，考生先在答题卷上用直径o ．5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码。

请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

2．第Ⅱ卷共2页，请用直径0．5毫米黑色墨水签字笔在答题卷上各题的答题区域内作答，在．试题卷上作答无效．．．．．．．．。

3．第Ⅱ卷共10小题，共90分。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷中的横线上o （注意：
在试题卷上作答无效．．．．．．．．．
）
13．（1+
x
2）6
的展开式中第4项的系数为 ．
14．设函数f (x)=x 3－6bx+3b 在(0，1)内有极小值，则b 的取值范围是 。

15．若直线2ax －by+2=0(a>0，b>0)被圆x 2+y 2
+2x －4y+l=0截得的弦长为4，则ab
的最大值是 ． 16．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 、F 分别是棱BC 、DD 1上的点，
如果B 1E ⊥平面ABF ，则CE 与DF 的长度之和为 ． 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17．（本小题满分10分）（注意：在试题卷．．．．上作答无效．．．．．
） 在锐角△ABC 中，a ，b ，c 是角A ，B ，C 的对边，且3a=2csin A ． (1)求角C 的度数；
(2)若c=7，且△ABC 的面积为2
33，求a+b 的值．
18．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．
） 某市有A 、B 两所示范高中响应政府的号召，对该市甲、乙两个教育落后地区开展支教活动．上级研究决定：向甲地派出3名A 校教师和2名B 校教师，向乙地派出3名A 校教师和3名B
校教师．由于客观原因，需从拟派往甲、乙两地的教师中各自任选一名互换支教地区 （1）求互换后两校派往两地区教师人数不变的概率；
（2）求互换后A 校教师派往甲地人数x 的分布和数学期望．
19．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．
） 如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠ABC=60o
，PA ⊥底面ABCD ，PA=2，M ，N 分别为PC ，BC 的中点． （1）证明：AN ⊥平面PAD ；
（2）求二面角C －AM －N 的大小。

20．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无．．．．．．．．效） 已知数列{a n }满足
1),(2
12
11=∈=+++a N n a a a n n n 。

(1)求证：数列{
n
a 1}是等差数列；
(2)设b n 表示数列{a n }在区间（（
2
1）n
，（
2
1）
n －1
]上的项的个数，试求数列{
n
n a b }的前n 项和S n ，
并求关于n 的不等式S n <2013最大正整数解．
21．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 设椭圆C ：
2
22
2b
y a
x +
=l （a>b>0）的离心率e=
2
1，右焦点到直线
b
y a
x +
=1的距离d=
7
21，O
为坐标原点．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）过点O 作两条互相垂直的射线，与椭圆C 分别交于A ，B 两点，证明：点O 到直线AB 的
距离为定值，并求弦AB 长度的最小值。

22．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 已知函数f(x) =e x －kx 2，x ∈R 。

(1)若k=2
1，求证：当x ∈（0，+∞）时，f (x)>1；
(2)若f (x)在区间(0，+∞)上单调递增，试求k 的取值范围； (3)求证：(4
1
2+1)（
4
2
2+1）（
4
3
2+1）…（
4
2n
+1）<e 4（n ∈N *）．。