空间向量及其加减运算 精品教案
教案)空间向量及其运算
教案)空间向量及其运算一、教学目标1. 了解空间向量的概念，掌握空间向量的基本性质。
2. 学会空间向量的线性运算，包括加法、减法、数乘和点乘。
3. 能够运用空间向量解决实际问题，提高空间想象力。
二、教学内容1. 空间向量的概念：向量的定义、大小、方向、表示方法。
2. 空间向量的线性运算：(1) 向量加法：三角形法则、平行四边形法则。
(2) 向量减法：差向量、相反向量。
(3) 数乘向量：数乘的定义、运算规律。
(4) 向量点乘：点乘的定义、运算规律、几何意义。
三、教学重点与难点1. 教学重点：空间向量的概念、线性运算及应用。
2. 教学难点：空间向量线性运算的推导及证明，空间向量在实际问题中的应用。
四、教学方法1. 采用多媒体教学，结合图形、动画，直观展示空间向量的概念和运算。
2. 利用实际例子，引导学生运用空间向量解决实际问题。
3. 组织小组讨论，培养学生团队合作精神，提高解决问题的能力。
五、教学安排1. 第一课时：空间向量的概念及表示方法。
2. 第二课时：空间向量的线性运算（向量加法、减法）。
3. 第三课时：空间向量的线性运算（数乘向量、向量点乘）。
4. 第四课时：空间向量线性运算的应用。
5. 第五课时：总结与拓展。
六、教学评价1. 课堂参与度：观察学生在课堂上的发言和提问情况，评估学生的参与度和积极性。
2. 作业完成情况：检查学生完成的作业质量，评估学生对空间向量及其运算的理解和掌握程度。
3. 小组讨论：评估学生在小组讨论中的表现，包括团队合作、问题解决能力和创新思维。
4. 课堂测试：通过课堂测试，了解学生对空间向量及其运算的掌握情况，及时发现并解决问题。
七、教学资源1. 多媒体教学课件：通过动画、图形等展示空间向量的概念和运算，增强学生的直观感受。
2. 实际例子：收集与空间向量相关的实际问题，用于引导学生运用空间向量解决实际问题。
3. 小组讨论材料：提供相关的问题和案例，供学生进行小组讨论。
4. 课堂测试卷：编写涵盖空间向量及其运算知识的测试卷，用于评估学生的学习效果。
高中数学选修2-1精品教案4-3.1.1 空间向量及其加减运算教学设计
3.1.1 空间向量及其加减运算一、课题：空间向量及其加减运算二、教学目标：1．理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；2．掌握空间直线、空间平面的向量参数方程和线段中点的向量公式．三、教学重、难点：共线、共面定理及其应用．四、教学过程：（一）复习：1．空间向量的概念及表示；2．练习：课本28页第2题．（二）新课讲解：1．共线（平行）向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。
读作：a r 平行于b r ，记作：//a b r r ．2．共线向量定理：对空间任意两个向量,(0),//a b b a b ≠r r r r r r 的充要条件是存在实数λ，使a b λ=r r （λ唯一）．推论：如果l 为经过已知点A ，且平行于已知向量a r的直线，那么对任一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，满足等式OP OA t AB =+u u u r u u u r u u u r ①，其中向量a r 叫做直线l 的方向向量。
在l 上取AB a =u u u r r ，则①式可化为OP OA t AB =+u u u r u u u r u u u r 或(1)OP t OA tOB =-+u u u r u u u r u u u r ② 当12t =时，点P 是线段AB 的中点，此时1()2OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r ③ ①和②都叫空间直线的向量参数方程，③是线段AB 的中点公式．3．向量与平面平行：已知平面α和向量a r ，作OA a =u u u r r ，如果直线OA 平行于α或在α内，那么我们说向量a r 平行于平面α，记作：//a αr ．通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量．说明：空间任意的两向量都是共面的．4．共面向量定理：如果两个向量,a b r r 不共线，p r 与向量,a b r r 共面的充要条件是存在实数,x y 使p xa yb =+r r r ．推论：空间一点P 位于平面MAB 内的充分必要条件是存在有序实数对,x y ，使MP xMA yMB =+u u u r u u u r u u u r 或对空间任一点O ，有OP OM xMA yMB =++u u u r u u u u r u u u r u u u r ①上面①式叫做平面MAB 的向量表达式．（三）例题分析：例1．已知,,A B C 三点不共线，对平面外任一点，满足条件122555OP OA OB OC =++u u u r u u u r u u u r u u u r ， 试判断：点P 与,,A B C 是否一定共面？【练习】：对空间任一点O 和不共线的三点,,A B C ，问满足向量式OP xOA yOB zOC =++u u u r u u u r u u u r u u u r （其中1x y z ++=）的四点,,,P A B C 是否共面？例2．已知ABCD Y ，从平面AC 外一点O 引向量,,,OE kOA OF KOB OG kOC OH kOD ====u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r ，（1）求证：四点,,,E F G H 共面；（2）平面AC //平面EG ．五、课堂小结：1．共线向量定理和共面向量定理及其推论；2．空间直线、平面的向量参数方程和线段中点向量公式．六、作业：1．平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1的12条棱对应的向量中，与向量AD →相等的向量共有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．下列命题中，正确的有( )①若A 、B 、C 、D 是不共线的四点，则“AB →＝DC →”是“四边形ABCD 是平行四边形”的充要条件②若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c③“|a |＝|b |”是“a ＝b ”的必要不充分条件④“AB →＝CD →”的充要条件是“A 与C 重合，B 与D 重合”A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．空间任意四个点A ，B ，C ，D ，则DA →＋CD →－CB →＝( )A.DB →B.AC →C.AB →D. BA →6. 化简：(AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝____________7．已知平行四边形ABCD 的对角线交于点O ，且OA →＝a ，OB →＝b ，则BC →＝________.9．如图，在四棱柱A ′B ′C ′D ′ABCD 中，求证：AB →＋BC →＋CA ′→＝DD ′→.10．如图所示，已知长方体ABCDA ′B ′C ′D ′.化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果．(1)AA ′→－CB →；(2)AA ′→＋AB →＋B ′C ′→.答 案例题分析：例1．【答案】解：由题意：522OP OA OB OC =++u u u r u u u r u u u r u u u r ，∴()2()2()OP OA OB OP OC OP -=-+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，∴22AP PB PC =+u u u r u u u r u u u r ，即22PA PB PC =--u u u r u u u r u u u r ，所以，点P 与,,A B C 共面．【说明】在用共面向量定理及其推论的充要条件进行向量共面判断的时候，首先要选择恰当的充要条件形式，然后对照形式将已知条件进行转化运算．【答案】解：∵(1)OP z y OA yOB zOC =--++u u u r u u u r u u u r u u u r ，∴()()OP OA y OB OA z OC OA -=-+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，∴AP y AB z AC =+u u u r u u u r u u u r ，∴点P 与点,,A B C 共面．例2．【答案】解：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AC AB AD =+u u u r u u u r u u u r ，∵EG OG OE =-u u u r u u u r u u u r ，()()()k OC k OA k OC OA k AC k AB AD k OB OA OD OA OF OE OH OE EF EH=⋅-⋅=-==+=-+-=-+-=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r ∴,,,E F G H 共面；（2）∵()EF OF OE k OB OA k AB =-=-=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，又∵EG k AC =⋅u u u r u u u r ，∴//,//EF AB EG AC所以，平面//AC 平面EG ．作业：1．【解析】与AD →相等的向量有A 1D 1→，BC →，B 1C 1→，共3个．故选C.【答案】C2．【解析】①正确．因为AB →＝DC →，所以|AB →|＝|DC →|且AB →∥DC →.又因为A 、B 、C 、D 不共线，所以四边形ABCD 是平行四边形．反之，在平行四边形ABCD 中，AB →＝DC →.②正确．因为a ＝b ，所以a ，b 的长度相等且方向相同．因为b ＝c ，所以b ，c 的长度相等且方向相同．故a ＝c .③正确．a ＝b ，|a |＝|b |，|a |＝|b |⇒/ a ＝b .④不正确．由AB →＝CD →，知|AB →|＝|CD →|且AB →与CD →同向．故选C.【答案】C3．【解析】DA →＋CD →－CB →＝DA →＋BD →＝BA →.故选D.【答案】D6. 解析方法一 因为AB →－CD →＝ AB →＋DC →，所以(AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝AB →＋DC →－AC →＋BD →＝AB →＋BD →＋DC →＋CA →＝AD →＋DA →＝0.方法二 (AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝AB →－CD →－AC →＋BD →＝(AB →－AC →)＋(DC →－DB →)＝CB →＋BC →＝0.【答案】07．【解析】如图，因为OA →＝a ，OB →＝b ，所以BO →＝－b ，OC →＝－a ，所以BC →＝BO →＋OC →＝－b －a .【答案】－b －a9．【证明】如图，作向量AA ′→，AC →，则AB →＋BC →＝AC →，AC →＋CA ′→＝AA ′→，所以AB →＋BC →＋CA ′→＝AC →＋CA ′→＝AA ′→，在四棱柱A ′B ′C ′D ′ABCD 中，AA ′→＝DD ′→，所以AB →＋BC →＋CA ′→＝DD ′→.10．【答案】(1)AA ′→－CB →＝AA ′→－DA →＝AA ′→＋AD →＝AA ′→＋A ′D ′→＝AD ′→(2)AA ′→＋AB →＋B ′C ′→＝(AA ′→＋AB →)＋B ′C ′→＝AB ′→＋B ′C ′→＝AC ′→. 向量AD ′→、AC ′→如图所示．。
教案01 空间向量及其加减、数乘运算
空间向量及其加减、数乘运算一、新知学习A ．空间向量的概念1．空间向量、模、零向量、单位向量、相反向量、相等向量 在空间，向量的基本概念和平面向量中对应的概念完全一样，即（1）空间向量 具有大小和方向 的量叫做空间向量， 向量的大小 叫做向量的长度或模． （2）空间向量的表示（ⅰ）用有向线段表示①向量的方向：利用 有向线段的方向 来表示．②向量的大小（长度或模）：以有向线段的 长度 来表示，记作||AB ． （ⅱ）用字母表示向量①若用大写字母表示，则记作：AB 、BC 、CD 等．②印刷用黑体a 、b 、c 等表示．③书写用a 、b 、c 等表示．（3）零向量 长度为0 的向量叫做零向量，记作0．当有向线段的起点与终点重合时，AB =0．规定零向量的方向不确定，是任意的．（4）单位向量 模为1 的向量叫做零向量．单位向量是一种常用的、重要的空间向量． （5）相反向量 与向量a 长度相等 而 方向相反 的向量，称为a 的相反向量，记为-a ． （6）相等向量 方向相同 且 模相等 的向量叫做相等向量．若向量与向量相等，记为．零向量与相等，在空间，任意两个相等的非零向量都可以用空间中的 同一条有 有向线段来表示，并且与有向线段的 位置 无关．两向量的模相等是两向量相等的必要不充分条件．2．空间任意两向量共面结论设a ，b 是空间任意两个向量，则向量a ，b 必共面．事实上，在空间任取一点O ，作OA =a ，OB =b ，则可知a 与b 共面．B ．空间向量的加法和减法 1．空间向量的加法与减法与平面向量的加减法完全一样，即OB OA AB =+=+a b ，CA OA OC =-=-a b ． 2．运算律交换律：+=+a b b a ，结合律：()()++=++a b c a b c ．3．空间三个不共面的向量和的几何意义三个不共面的向量为平行六面体的对角线所对应的向量． C ．空间向量的数乘运算 1．空间向量的数乘运算（1）定义：实数λ与空间向量a 的乘积积λa 仍然是一个 向量 ，这种运算叫做 向量的数乘 ． （2）模：||λ=a λa ；（3）方向：当0λ>时，λa 的方向与a 的方向 ；当0λ<时，λa 的方向与a 的方向 ；当0λ=时，λ=a ．注：（1）λa 与a 是共线向量（λ是任意实数，a 是任意向量）；（2）实数与向量的积，实际上是向量的一种运算；（3）当≠a 0时，||λ= ．2．空间向量的数乘运算满足分配律及结合律 （1）结合律：()λμ=a ()λμa ，特别地，()λ-=a ()λ-a =()λ-a ；（2）第一分配律：()λμ+=a λμ+a a ；（3）第二分配律：()λ+=a b λλ+a b ．特别地，()λ-=a b λλ-a b ．D ．空间向量共线定理及其推论1．共线向量 如果表示空间向量的有向线段 所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．注：（1）向量平行与直线平行时截然不同的两个概念，如//a b ，未必有a 与b 所在的直线平行．（2）向量的平行（共线）关系不具有传递性，即若//a b ，//b c ，不一定有//a c ．但当b 为非零向量时，平行（共线）的传递性将成立，即若≠b 0，//a b ，//b c ，则//a c ．2．空间向量共线定理 对空间任意两个向量a ，()≠b b 0，//a b 的充要条件是存在唯一实数λ，使λ=a b ．注：（1）在共线向量定理中，≠b 0不可去掉，否则实数λ就不唯一．（2）一般地，设空间向量a 、b 满足条件()λλ=∈a b R ，则 （ⅰ）当==a b 0时，实数λ 有无穷多解 ；（ⅱ）当=b 0且≠a 0时，实数λ 无解 ；（ⅲ）当≠b 0时，实数λ 有唯一解 ．推论 1 设l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a 的直线，对空间任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，使OP OA t =+a ．其中向量a 叫做直线l 的方向向量．推论2 在l 上取AB =a ，则向量关系式OP OA t =+a 还可化为OP OA t AB =+．注：（1）向量关系式OP OA t =+a 、OP OA tAB =+都称为空间直线的向量表示式．（2）空间任意直线由空间一点及直线的方向向量唯一确定．（3）空间向量共线定理及其推论的作用就是判断空间任意三点共线．3．直线的方向向量是指和这条直线 平行 （或 共线 的向量）．一条直线的方向向量有 无数个 ．E ．空间向量共面定理及其推论1．共面向量 平行于同一个平面 的向量，叫做共面向量．2．空间向量共面定理 如果两个向量a ，b 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(,)x y ，使x y +p =a b ．推论1 空间一点P 位于平面ABC 内的充要条件是存在唯一有序实数对(,)x y ，使AP xAB yAC =+；或对空间任意一点O ，有OP OA xAB yAC =++． 推论2 已知空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，满足向量关系式OP xOA yOB zOC =++，则点P 与A ，B ，C 共面当且仅当1x y z ++=．证明：必要性：点P 与点A ，B ，C 共面1x y z ⇒++=．P 与A ，B ，C 共面PA ⇒，BP ，CP 共面，当且仅当存在唯一有序实数对(,)λμ，使AP B P C P λμ=+，即()()OP O A O P O B O P O C λμ-=-+-，得1111O P O AO B O Cλμλμλμλμ--=++------，由假设11x λμ=--，1y λλμ-=--，1z μλμ-=--，所以有1x y z ++=．充分性：1x y z ++=⇒点P 与点A ，B ，C 共面．将1x y z =--代入OP xOA yOB zOC =++，整理得AP y AB z AC =+，由A ，B ，C 不共线知AB 与AC 不共线，所以AP ，AB ，AC 共面，从而点P 与点A ，B ，C 共面．注：（1）向量关系式称为空间平面的向量表示式．（2）一个等价关系：定理中的两个向量关系式等价．（3）唯一性：即空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定．（4）该定理的作用就是证明四点共面，要证四点共面，只需证明其中一个向量可表示成另两个向量的线性组合．二、知识迁移A ．空间向量的概念 例 给出下列命题：①将空间中所有的单位向量移到同一个点为起点，则它的终点构成一个圆； ②若空间向量a 、b 满足||||=a b ，则=a b ；③在正方体1111ABCD A B C D -中，必有11AC AC =； ④若空间向量m 、n 、p 满足=m n ，=n p ，则=m p ；⑤空间中任意两个单位向量必相等． 其中假命题的个数是 CA ．1B ．2C ．3D ．4解：命题①为假．将空间中所有的单位向量移到一个点为起点时，它们的终点构成一个球面，而不是一个圆．命题②为假．根据下列相等的定义，要保证两向量相等，不仅要模相等，而且方向还要相同，但②中向量a 与b 的方向不一定相同． 命题③为真．根据正方体的性质，在正方体1111ABCD ABC D -中，向量AC 与11A C 的方向相同，模长也相等，应有11AC A C =． 命题④为真．向量的相等关系具有递推性．命题⑤为假．空间中任意两个单位向量模长均为1，但方向不一定相同，故不一定相等．自主体验1．下列命题中正确的是 D①若||||=a b ，则a 、b 的方向相同或相反；②若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线； ③向量a 、b 、c 共面即它们所在的直线共面；④若//a b ，则存在唯一的实数λ，使λ=a b ． A ．1 B ．2 C ．3 D ．0 2．空间的任意三个向量a 、b 、32-a b ，它们一定是 BA ．共线向量B ．共面向量C ．不共面向量D ．既不共线也不共面向量 3．设有四边形ABCD ，O 为空间任意一点，且AO OB DO OC +=+，则四边形ABCD 是B A ．空间四边形 B ．平行四边形 C ．等腰梯形 D ．矩形 4．有4个命题：①若x y =+p a b ，则p 与a 、b 共面；②若p 与a 、b 共面，则x y =+p a b ；③若MP xMA yMB =+，则P 、M 、A 、B 共面；④若P 、M 、A 、B 共面，则MP xMA yMB =+． 其中真命题个数是 BA ．1B ．2C ．3D ．45．设a 、b 是不共线的两个向量，,λμ∈R 且λμ+=a b 0，则 AA ．0λμ==B ．==a b 0C ．0λ=，=b 0D ．0μ=，=a 0B ．空间向量的加减运算及数乘运算、用已知向量表示未知向量例1 （1）若G 为ABC △的重心，化简GA GB GC ++=0．（2）在长方体1111ABCD A B C D -中，化简式子：11111DA DB B C B B A B A B -+-+-=1BD ．例2 在四面体ABCD 中，M 为BC 的中点，Q 为BCD △的重心，设AB =b ，AC =c ，AD =d ，试用,,b c d 表示向量BD 、BC 、CD 、DM 和AQ ．解：如图所示，BD AD AB =-=-d b ，BC AC AB =-=-c b ，CD AD AC =-=-d c111()()(2)222DM DB DC =+=-+-=+-b d c d b c d ，211(2)()333AQ AD DQ AD DM =+=+=++-=++d b c d b c d ．自主体验1．已知两个向量1e 、2e 不共线，如果12AB =+e e ，1228AC =+e e ，1233AD =-e e ，则A 、B 、C 、D 四点的位置关系是 共面 ．2．平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 分AC 成的比为12，N 分1A D 成的比为2，设AB =a ，AD =b ，1AA =c ，试用,,a b c 表示MN ．结果：1()3MN =-++a b c ．C ．三线共点例 证明：四面体中连结对棱中点的三条直线交于一点且互相平分．已知：如图所示，四面体ABCD 中，,,,,,E F G H P Q 分别是所在棱的中点． 求证：EF 、GH 、PQ 相交于一点O ，且O 为它们的中点． 分析：先证三条线段中有两条相交且互相平分，再证第三条线段经过它们的交点，且交点为中点． 证明：（ⅰ）先证EF 、GH 相交于点O ，且O 是它们的中点．这只需证四边 形EGFH 为平行四边形．因为E 、G 分别为AB 、AC 的中点，所以EG 平行且等于12BC ，同理HF 平行且等于12BC ．所以EG 平行且等于HF ．从而四边形EGFH 为平行四边形，故其对角线EF 、GH 相交于一点O ，且O 为它们的中点． （ⅱ）再证O 在线段PQ 上，且为PQ 中点．这只需证OP OQ =-．连结OP 、OQ ．因为O P O G G P =+，OQ OH HQ =+，O 为GH 的中点，所以OG OH +=0，GP 平行且等于12CD ，QH 平行且等于12CD ．所以12GP CD =，12QH CD =．所以1122OP OQ OG OH GP HQ CD CD +=+++=+-=00． 即OP OQ =-．这说明PQ 经过点O ，且O 为PQ 的中点．cbDCdQMABBCQPHGFEDAO综上，EF 、GH 、PQ 相交于一点，且互相平分．D ．三点共线例 设1e 、2e 是空间两个不共线的向量，已知122AB k =+e e ，123CB =+e e ，122CD =-e e ，且A 、B 、D 三点共线，则k =8-．解：121212(2)(3)4BD CD CB =-=--+=-e e e e e e ．因为A 、B 、D 三点共线，所以//AB BD ．所以存在唯一实数λ，使AB BD λ=，得12122(4)k λ+=-e e e e ，即12(2)(4)k λλ-++=e e 0．因为向量1e 、2e 不共线，所以20λ-=且40k λ+=，解得8k =-．自主体验 （2007全国Ⅱ）在ABC △中，已知D 是AB 边上一点，若2AD DB =，13CD CA CB λ=+，则λ= AA ．23 B ．13 C ．13- D ．23- 解：因为2AD DB =，所以2121233CA CB CD CA CB +==++，所以23λ=．E ．三个向量共面、四点共面技法述要 证明三个向量共面的常见方法：一是设法证明其中一个向量可表示成另两个向量的线性组合；二是寻找平面，证明这些向量与某一平面平行．例1 （三向量共面）正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为1BB 、11A D 的中点．证明：向量1A B 、1B C 、EF 是共面向量．证法一（证明其中一个向量可表示成另两个向量的线性组合）：因为111111111111111()2222EF EB BA A F B B A B A D B B BC A B BC A B =++=-+=+-=-．由向量共面的充要条件知，1A B 、1B C 、EF 是共面向量． 证法二（证明这些向量与某一平面平行）：连结1AD 、BD ．取1AD 中点G ，连结FG 、BG ，则有FG 平行且等于112DD ，BE 平行且等于112DD ，所以FG 平行且等于BE ．所以四边形BEFG 为平行四边形．所以//EF BG ．所以//EF 平面1A BD ．所以1A B 、1B C 、EF 都与平面平行．所以1A B 、1B C 、EF 共面．自主体验 已知A 、B 、M 三点不共线，对于平面ABM 外的任一点O ，确定在下列条件下，点P 是否与A 、B 、M 一定共面？（1）3OB OM OP OA +=-；（2）4OP OA OB OM =--．解：（1）原式变形为()()OP OM OA OP OB OP -=-+-，即PM PA PB =--．因为PA 、PB 不共线，所以PM 、PA 、PB 共面，即点P 、A 、B 、M 共面．（2）原式变形为2()()2OP OA OA OB OA OM OA BA MA =+-+-=++，即A P O A B A M A =++．由共面向量定理知，点P 在平面ABM 内的充要条件可以写成：AP xBA yMA =+，由此可知点P 与、A 、B 、M 不共面．例2 （四点共面）如图所示，已知平行四边形ABCD ，过平面AC 外O一点O作射线OA，OB，OC，OD，在四条射线上分别取点E，F，G，H，并且使OE OF OG OHk OA OB OC OD====．求证：E，F，G，H四点共面．分析：欲证E，F，G，H四点共面，只需证EH，EF，EG共面，又只需证EH，EF，EG中的一个向量可表示成另外两个向量的线性组合．而这一向量关系式正是由AD，AB，AC共面来得到．证明：因为OE OF OG OHkOA OB OC OD====，所以OE kOA=，OF kOB=，OG kOC=，OH kOD=．由于四边形ABCD是平行四边形，所以AC AB AD=+．因此()EG OG OE kOC kOA k AC k OB OA OD OA OF OE OH OE EF EH=-=-==-+-=-+-=+．由向量共面的充要条件知，E，F，G，H四点共面．自主体验设向量AB、CD分别在两条异面直线上，M、N分别是线段AC、BD的中点．求证：向量AB、CD、MN共面．证明：M N M A AB BN=++，M N M C CD DN=++，以上两式相加，得2M N AB CD=+，即1()2MN AB CD=+．所以AB、CD、MN共面．。
3.1.1空间向量及其加减运算
选修2-1 3.1.1 空间向量及其加减运算（教案）【教学目标】1．运用类比方法，经历向量及其运算由平面向空间推广的过程； 2．了解空间向量的概念，掌握空间向量的线性运算及其性质； 3．理解空间向量共线的充要条件. 【重点】空间向量的概念、空间向量的线性运算及其性质. 【难点】空间向量的线性运算及其性质.【创设情景】1.平面向量的概念及其运算法则；2.物体的受力情况分析. 【预习提纲】（根据以下提纲，预习教材第 84 页～第 85 页）1.空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量.向量的大小叫做向量的长度或模.2.空间向量的表示： 用有向线段表示.有向线段的长度表示向量的模.如:向量a 的起点是A ,终点是B ,则向量a 也可以记作AB,其模记为||a 或||AB .规定： 长度为0的向量叫做零向量,记为0.模为0的向量称为单位向量.与向量a 长度相等而方向相反的向量,称为a 的相反向量.记为 a .注：⑴空间的一个平移就是一个向量⑵向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示3.相等向量：方向相同且模相等的向量称为相等向量.空间中任意两个向量都可以平移到同一个平面内,成为同一平面内的两个向量.如图.4.空间向量的加法和减法运算(如图)：OB OA AB =+=+a b , CA OA OC =-=-a b .5.空间向量的加法满足交换律及结合律： +=+a b b a ， ()()++=++a b c a b c .探究：在平行六面体(底面是平行四边形的四棱柱) A B C D A B C D ''''-中,分别标出AB AD AA '++ ,AB AA AD '++表示的向量.你能从中体会向量加法运算的交换律及结合律吗?一般地,三个不共 面的向量的和与这三个向量有什么关系?【基础练习】 【典型例题】例1 如图，在三棱柱111C B A ABC -中，M 是1BB 的中点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量： （1）1BA CB +； （2）121AA CB AC ++；（3）CB AC AA --1.【审题要津】解：（1）11CA BA CB =+；（2）AM AA CB AC =++121；（3）11BA CB AC AA =--. 【方法总结】/B 例2 如图，在长方体///BDCAOADB-中，1,2,4,3======OKOJOIOCOBOA，点E,F 分别是//,BDDB的中点，设kOKjOJiOI===,,,试用向量kji,,表示OE和OF 【审题要津】解：jiOE423+=；kjiOF2423++=.【方法总结】已知空间四边形A B C D，连结,AC BD，设,M G分别是,BC CD的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果向量：（1）AB BC CD++；（2）1()2A B B D B C++；（3）1()2A G AB A C-+．BCDM GA选修2-1 3.1.1 空间向量及其加减运算（学案）【教学目标】1．运用类比方法，经历向量及其运算由平面向空间推广的过程； 2．了解空间向量的概念，掌握空间向量的线性运算及其性质； 3．理解空间向量共线的充要条件. 【重点】空间向量的概念、空间向量的线性运算及其性质. 【难点】空间向量的线性运算及其性质.【创设情景】1.平面向量的概念及其运算法则；2.物体的受力情况分析. 【预习提纲】（根据以下提纲，预习教材第 84 页～第 85 页）1.空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量.向量的大小叫做向量的长度或模.2.空间向量的表示： 用有向线段表示.有向线段的长度表示向量的模.如:向量a 的起点是A ,终点是B ,则向量a 也可以记作AB,其模记为||a 或||AB .规定： 长度为0的向量叫做零向量,记为0.模为0的向量称为单位向量.与向量a 长度相等而方向相反的向量,称为a 的相反向量.记为 a .注：⑴空间的一个平移就是一个向量⑵向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示3.相等向量：方向相同且模相等的向量称为相等向量.空间中任意两个向量都可以平移到同一个平面内,成为同一平面内的两个向量.如图.4.空间向量的加法和减法运算(如图)：OB OA AB =+=+a b , CA OA OC =-=-a b .5.空间向量的加法满足交换律及结合律： +=+a b b a ， ()()++=++a b c a b c .探究：在平行六面体(底面是平行四边形的四棱柱) A B C D A B C D ''''-中,分别标出AB AD AA '++ ,AB AA AD '++表示的向量.你能从中体会向量加法运算的交换律及结合律吗?一般地,三个不共 面的向量的和与这三个向量有什么关系?【基础练习】 【典型例题】例1 如图，在三棱柱111C B A ABC -中，M 是1BB 的中点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量： （1）1BA CB +； （2）121AA CB AC ++；（3）CB AC AA --1.【审题要津】解：（1）11CA BA CB =+；（2）AM AA CB AC =++121；（3）11BA CB AC AA =--. 【方法总结】/B 例2 如图，在长方体///BDCAOADB-中，1,2,4,3======OKOJOIOCOBOA，点E,F 分别是//,BDDB的中点，设kOKjOJiOI===,,,试用向量kji,,表示OE和OF 【审题要津】解：jiOE423+=；kjiOF2423++=.【方法总结】已知空间四边形A B C D，连结,AC BD，设,M G分别是,BC CD的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果向量：（1）AB BC CD++；（2）1()2A B B D B C++；（3）1()2A G AB A C-+．BCDM GA。
《空间向量及其加减运算》教学设计
《空间向量及其加减运算》教学设计一、教学目标知识与技能：理解空间向量的概念，掌握空间向量的加减运算及其运算律，并能借助图形理解空间向量加减运算及其运算律的意义。
过程与方法：经历向量由平面向空间推广的过程，让学生感受一个数学概念的推广可能带来的很多更好的性质，体会数形结合的数学思想方法，进一步培养学生归纳、类比、迁移能力，增强学生的数学应用意识和创新意识。
情感态度与价值观：经历向量由平面向空间推广的过程，体验数学在结构上的和谐性，激发学生的学习热情，培养学生勇于探索、创新的个性品质。
二、重点难点重点：空间向量的概念、加减运算的意义及其运算律。
难点：空间向量加法的运算律。
三、教学方法采用“启发探究”式教学方法，结合多媒体辅助教学。
四、教学过程(一)创设情境，引入课题师：在必修4中我们学习了一个新的量一向量，今天就让我们继续来研究它，首先，请看屏幕。
出示幻灯片，引导学生观察几个向量不共面的情况。
幻灯片1：著名的台球神童——丁俊晖!大家请看他好像遇到了难题?你能帮助他解决吗?幻灯片2：这是荆州长江大桥，斜拉索与A型塔柱的受力情况。
幻灯片3：一正三角形钢板，三顶点用等长的绳子绑起，在力F的作用下静止，三根绳子的受力情况如何?(二)类比猜想，自主探究1、空间向量的有关概念师：请同学们回忆一下在平面向量中学习的有关概念。
活动设计：学生回答，互相补充向量、模(长度)、表示方法、共线(平行)向量、相等向量、相反向量、零向量、单位向量。
师：在空间中，这些概念与平面向量完全相同。
不同的是，平面向量仅限于研究同一平面的平移，而空间向量研究的是空间的平移。
问题1：空间任意两个向量是否可能异面?为什么?活动设计：课件展示，学生讨论、作答师：空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内。
因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们。
2、空间向量的加减运算及其运算律问题2：把平面向量的运算推广到空间向量，怎么定义空间向量的加法、减法运算?问题3：平面内多个向量的加法公式能推广到空间吗?推广1：首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，即：A1A2+A2A3+A3A4+LL+An-1An=A1An推广2：首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，则它们的和为零向量，即：A1A2+A2A3+A3A4+LL+An-1An=0活动设计：学生思考，用右边的图验证问题4：平面向量的加法运算律有哪些?能推广到空间吗?你能验证向量加法结合律吗?a+b=b+a(a+b)+c=a+(b+c)活动设计：引导学生用下面几何体验证，请学生上台作图并讲解师：(1)由向量加法的交换律和结合律可知：有限个向量求和，交换相加向量的顺序，其和不变，向量的加法可以按任意的组合与任意的次序进行。
空间向量的运算教案(1)
空间向量的运算教案(1)
一、引言
本教案主要介绍空间向量的基本概念和运算规则，旨在帮助学生理解空间向量的性质和应用。
通过本教案的研究，学生将能够掌握空间向量的加法、减法、数量乘法、向量积等运算方法，为后续研究空间向量的应用打下坚实的基础。
二、空间向量的定义
空间向量是指具有大小和方向的物理量，用箭头表示的量。
空间向量可由起点和终点表示，也可由坐标表示。
三、空间向量的加法
空间向量的加法遵循三角形法则或平行四边形法则。
即将两个向量的起点相连，然后将两个向量依次相连，所得的向量即为它们的和向量。
四、空间向量的减法
空间向量的减法可以通过加上相反向量来实现。
即将减去的向量取相反向量后再进行加法运算，得出的向量即为减法的结果。
五、空间向量的数量乘法
空间向量的数量乘法即将向量的大小与一个实数相乘。
该实数可以是正数、负数或零。
当实数为正数时，向量的方向不变；当实数为负数时，向量的方向相反；当实数为零时，向量的大小为零向量。
六、空间向量的向量积
空间向量的向量积是指两个向量之间的乘积。
向量积的结果是一个新的向量，其大小等于两个向量的大小的乘积乘以它们之间的夹角的正弦值。
向量积的方向垂直于两个向量所在的平面。
结论
空间向量的运算是一种重要的数学工具，在实际应用中有着广泛的应用。
通过对空间向量的基本概念和运算规则的研究，学生可以更好地理解和应用空间向量，为进一步研究和研究相关领域奠定基础。
以上是空间向量的运算教案的简要介绍，希望能够对学生的学习有所帮助。
空间向量及其加减运算优秀教学设计
空间向量及其加减运算【教学目标】1．了解向量与平面平行、共面向量的意义，掌握向量与平面平行的表示方法；2．理解共面向量定理及其推论；掌握点在已知平面内的充要条件；3．会用上述知识解决立体几何中有关的简单问题。
【教学重点】点在已知平面内的充要条件。
共线、共面定理及其应用。
【教学难点】对点在已知平面内的充要条件的理解与运用。
【授课类型】新授课【课时安排】1课时【教学过程】一、复习引入：1注：（1）空间的一个平移就是一个向量；（2（3）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。
2．空间向量的运算定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下（如图）；；b a AB OA OB +=+=b a OB OA BA -=-=OP =运算律：（1）加法交换律：ab b a +=+（2）加法结合律：)()(c b a c b a++=++（3）数乘分配律：b a b aλλλ+=+)(3．平行六面体：平行四边形ABCD 平移向量到的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体，并记aD C B A ''''作：ABCD －它的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱。
D C B A ''''4．平面向量共线定理方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量。
由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量。
向量与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使＝λ。
b a b a这个定理称为平面向量共线定理，要注意其中对向量的非零要求。
a 二、讲解新课：1．共线向量与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。
平行于记作。
a b b a//和上节我们学习的空间向量的定义、表示方法、空间向量的相等以及空间向量的加减与数乘运算和运算律都是平面向量的推广一样，空间向量共线（平行）的定义也是平面向量相关知识的推广。
高中数学精编空间向量教案
高中数学精编空间向量教案一、教学目标：1. 理解空间向量的定义和性质；2. 掌握向量的加法、减法和数乘运算；3. 能够使用向量的线性组合、共线性和共面性等性质解决实际问题；4. 熟练运用向量相关理论证明和计算。
二、教学内容：1. 空间向量的定义和性质；2. 向量的加法、减法和数乘运算；3. 向量的线性组合、共线性和共面性；4. 向量的坐标表示和点积、向量积的计算。
三、教学步骤：1. 导入：通过引入几何问题或实际生活中的例子，让学生感受到向量的重要性和应用场景；2. 概念讲解：介绍空间向量的定义和性质，引导学生理解向量的概念和基本运算规则；3. 练习演练：给学生提供一些简单的向量加减法、数乘的练习题目，帮助学生掌握向量的计算方法；4. 深化拓展：引导学生思考向量的线性组合、共线性和共面性等性质，通过相关题目加深对向量概念的理解；5. 应用实践：设计一些综合性的问题，让学生运用所学知识解决实际问题，提升解决问题的能力；6. 总结反思：对本节课所学内容进行总结，强化学生对空间向量相关知识的理解和记忆。
四、教学方式：1. 教师讲授搭配学生讨论：教师介绍知识点的同时，与学生互动讨论，激发学生思考和学习兴趣；2. 小组合作探究：设计一些小组活动，让学生合作探索讨论，提升学生团队合作和问题解决能力；3. 案例分析：结合实际案例，让学生分析和解决问题，提高学生的问题解决能力和应用能力。
五、教学评价：1. 课堂表现评价：通过学生课堂积极参与和表现情况，评价学生的学习态度和表达能力；2. 练习题目评价：通过给学生布置一定量的练习题目，评价学生对知识点的掌握程度和运用能力；3. 知识应用评价：通过设计一些综合性实际问题，评价学生对所学知识点的应用能力和解决问题的能力。
选修《空间向量及其加减运算》教学设计
人教A版课程标准实验教材数学选修2－13.1.1空间向量及其加减运算教学设计【教学目标】1．了解空间向量的概念（1）经历向量由平面向空间推广的过程，尝试类比猜想，激发学生学习兴趣．（2）知道空间向量的含义，在具体情景中能用有向线段及记号表示空间向量．（3）知道空间零向量、单位向量、相等向量、相反向量的含义．2．掌握空间向量的加减运算（1）理解“平行四边形法则”、“三角形法则”在空间的适用性．（2）会运用“平行四边形法则”、“三角形法则”进行空间向量的加减运算．（3）体验空间向量加法的交换律、结合律．3．了解空间向量的内容和学习方法（1）类比平面向量，了解空间向量的内容，了解空间向量与立体几何的联系．（2）基于“推广”与“特殊化”的思考，体会向量的“维度”．关于目标的说明：“三维目标”是紧密联系的，我们以知识目标为框架，将“过程与方法”、“情感态度价值观”目标置于实现知识目标的教学过程，意图使目标能落到实处．【教学重点】理解空间向量、掌握加减运算【教学难点】向量的合理位移【教学流程】【过程设计】一．述说平面向量问题：平面向量？方式：以“让我们从已知的说起！”开始，由学生自主回顾平面向量的有关知识．设计合作交流活动，用开放性、参与性激发学生的兴趣．意图：有效的学习应以学生已有的认知为基础．平面向量是空间向量最直接的基础，学生已学过但有一定的时间间隔，并且本课需要用其内容作推广．二．尝试提出问题质疑：难道向量只能是平面上的吗？情景：（基于平面向量的特殊化与推广的思考方式）意图：合理地提出有价值的问题，是当前教学中的薄弱环节．我们期望学生能提出：是否应该有空间中的向量？直线上的向量？同时以此引出空间向量问题，让学生感受到“数学是自然的”．三．感悟空间向量活动：（凭直觉）举出一个“似乎是空间中的向量”的例子．素材：（1）空间直角坐标系（学过的）；（2）手中的一支笔（眼前的）；（3）钢板受力（教材上的）；（4）建筑物中的“向量影子”．方式：教师的适当引导．意图：在提出概念的形式化定义之前，让学生充分体验概念的内涵．四．学习空间向量问题：空间向量？方式：以“让我们大胆猜想！”开始，由学生类比平面向量的有关内容从文字表述直接推广到空间，得到空间向量的相关内容．教师再组织学生，以“手中的笔”为代表，体验空间向量及有关概念和加减运算法则．意图：让学生“猜想”、“比划”，不仅使数学学习的过程更加生动、有趣，而且是内容性质（推广学习）的需要．注意：必须让学生体会到“因为空间任意两个向量都能平移到同一平面内，所以空间两个向量的运算就是平面内两个向量的运算”这一核心思想方法的本质．同时，也应该让学生适度体会到“这两个向量所在的平面与那两个向量所在的平面，可能不是同一个平面”这一空间与平面的区别．五．训练实践能力情景：平行六面体目标：（1）相等向量、相反向量、单位向量；（2）向量的加减运算；（3）加法运算律． 方式：变式训练．意图：平行六面体是空间向量的基本模型，解题是知识的深化、理解的提升．六．归纳拓展提升情景：（1）类比、联系的思考方式；（2）特殊化的思考方式；（3）共面向量与共面直线． 方式：反思．意图：（1）归纳空间向量的学习方法（章导言的处理）；（2）体验向量的维度；（3）体会空间向量与立体几何的联系与区别． 【几点思考】1．对空间向量的概念（及相关概念）的学习目标定为“理解”比“了解”似乎更贴切．（课标要求为“了解”）2．“章前图”、“章导言”不一定在一章的起始课的开始阶段处理，特别是关于全章的内容介绍与学法指导，设计在起始课的“小结与提升”阶段更具有以点带面、启发拓展的作用．3．关于课外作业的说明：本节课教材上的练习、习题已在课内完成，课外作业可视学生的具体情况而定．20XX 年11月10日？空间 向量类比。
《3.1.1 空间向量及其加减运算》教学案3
《3.1.1 空间向量及其加减运算》教学案3 【学情分析】：向量是一种重要的数学工具，它不仅在解决几何问题中有着广泛的应用，而且在物理学、工程科学等方面也有着广泛的应用。
在人教A版必修四中，读者已经认知了平面向量，现在，学习空间向量时要注意与平面向量的类比，体会空间向量在解决立体几何问题中的作用。
【教学目标】：（1）知识与技能：理解和掌握空间向量的基本概念，向量的加减法（2）过程与方法：通过高一学习的平面向量的知识，引申推广，理解和掌握向量的加减法（3）情感态度与价值观：类比学习，注重类比、推广等思想方法的学习，运用向量的概念和运算解决问题，培养学生的开拓创新能力。
【教学重点】：空间向量的概念和加减运算【教学难点】：空间向量的应用【课前准备】：Powerpoint课件【教学过程设计】：BA b a OC b a =-=+,.babD BACOC探索1：空间三个以上的非零向量能否平移至一个明面上？探索2：多个向量的加法能否由两个向量的加法推广？（1） 思考《选2-1》课本P92探究题归纳：向量加（减）法满足交换律和结合律。
例1：已知平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1，化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量。
(如图)上的有限线段来表示，但仍然可以用将它们依次用首尾相接的有向线段来表示，得到它们的和。
比如：三个向量的和AD CD BC AB =++,一般地,空间中多个依次用首尾相接的有向线段相加的结果等于起点和终点相连的有向线段。
我们常常把向量的这种性质ADCD BC AB =++简称为“封口向量”。
四．练习巩固1．课本P92练习1-32．如图，在三棱柱111C B A ABC -中，M 是1BB 的中点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量： （1）1BA CB +;巩固知识，注意区别加减法的不同处.1)2()1(AA AD AB BC AB +++（2）1AA CB AC ++; （3）CB AC AA --1 解：（1）11CA BA CB =+ （2）11AB AA CB AC =++ （3）11BA CB AC AA =--五．拓展与提高1．已知空间四边形ABCD ，连结,AC BD ，设,M G 分别是,BC CD 的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果向量：（1）AB BC CD ++u u u r u u u r u u u r ；（2）GC BD AB ++；（3）．GA DG CM -+加深对相等向量和加减法的理解六．小结 1．空间向量的概念：2．空间向量的加减运算反思归纳七．作业 课本P106习题3.1，A 组 第1题（1）、（2）练习与测试：（基础题）1．举出一些实例，表示三个不在同一平面的向量。
空间向量及其运算教案
空间向量及其运算教案教案：空间向量及其运算一、教学目标：1.理解空间向量的概念和性质；2.掌握空间向量的表示方法；3.熟练运用空间向量的运算法则。
二、教学内容：1.空间向量的定义和性质；2.空间向量的表示方法；3.空间向量的加法和减法；4.空间向量的数量积；5.空间向量的叉乘。
三、教学过程：Step 1：导入新知引入概念：向量和向量的运算在平面内已经学过了，那么在空间内是否也存在向量及其运算呢？提问：你了解什么是向量吗？向量有哪些运算法则呢？Step 2：学习空间向量的定义和性质1.向量的定义：在空间内，有大小和方向的量称为向量。
2.空间向量的性质：大小、方向、共面性和平行性。
Step 3：了解空间向量的表示方法1.简化表示法：直接用字母表示向量，如AB表示向量AB。
2.分解表示法：将向量投影到坐标轴上表示，如向量AB表示为(ABx,ABy,ABz)。
Step 4：学习空间向量的加法和减法1.加法法则：两个向量的加法满足三角形法则，即将两个向量首尾相连形成一个三角形，用第三边表示结果向量。
2.减法法则：向量AB减去向量AC等于从A点沿CA的方向和大小移动到B点。
Step 5：了解空间向量的数量积1.定义：向量的数量积是两个向量的模的乘积与它们夹角的余弦的乘积。
2. 计算方法：A·B = ，A，，B，cosθ，其中，A，和，B，分别表示向量A和向量B的模，θ表示夹角。
Step 6：学习空间向量的叉乘1.定义：向量的叉乘是一种运算，它的结果是一个向量。
2. 计算方法：A×B = ，A，，B，sinθ n，其中，A，和，B，分别表示向量A和向量B的模，θ表示夹角，n表示垂直于A和B所在平面的单位向量。
Step 7：练习和巩固提供一些实际问题，让学生运用所学知识解决。
四、教学总结：1.复习空间向量的定义和性质；2.梳理空间向量的表示方法；3.总结空间向量的运算法则。
五、课后作业：1.完成教材上相应的习题；2.总结空间向量的运算法则。
教学设计1：3.1.1 空间向量及其加减运算
3．1.1空间向量及其加减运算教学目标：㈠知识目标：⒈空间向量；⒉相等的向量；⒊空间向量的加减及运算律；㈡能力目标：⒈理解空间向量的概念，掌握其表示方法；⒉会用图形说明空间向量加法、减法及它们的运算律；⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．㈢德育目标：学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展、进化的，会用联系的观点看待事物．教学重点：空间向量的加减运算及运算律．教学难点：应用向量解决立体几何问题．教学方法：讨论式．教学过程：一.复习引入在必修四第二章《平面向量》中，我们学习了有关平面向量的一些知识，什么叫做向量？向量是怎样表示的呢？那么，空间中的向量应该如何表示呢？其定义及运算与平面向量又有什么关系呢？二.思考分析李老师下班回家，先从学校大门口骑自行车向北行驶1 000 m，再向东行驶1 500 m，最后乘电梯上升15 m到5楼的住处．在这个过程中，李老师从学校大门口回到住处所发生的总位移就是三个位移的合成(如图所示)．问题1：以上三个位移是同一个平面内的向量吗？提示：不是．问题2：如何刻画李老师行驶的位移？提示：借助于空间向量的运算．三.抽象概括空间向量表示法几何表示法空间向量用有向线段表示.字母表示法用一个字母表示，如图，此向量的起点是A，终点是B，可记作a，也可记作AB，其模记为|a|或|AB―→|.几类特殊向量①零向量：规定长度为0的向量叫做零向量，记为0.②单位向量：模为1的向量称为单位向量.③相反向量：与向量a长度相等而方向相反的向量称为a的相反向量，记为－a.④相等向量：方向相同且模相等的向量称为相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量.空间向量的加减法类似平面向量，定义空间向量的加、减法运算(如图)：OB＝OA＋AB＝a＋b；CA＝OA－OC＝a－b.加法运算律(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c).1．向量是既有大小又有方向的量，其中长度可以比较大小，而方向无法比较大小．一般来说，向量不能比较大小．2．零向量的方向是任意的，同平面向量中的规定一样，0与任何空间向量平行．3．单位向量的模都相等且为1，而模相等的向量未必是相等向量．4．空间向量是可以平移的，空间中的任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示，所以空间任意两个向量是共面的．四.例题分析及练习[例1]下列说法中正确的是()A．若|a|＝|b|，则a，b的长度相同，方向相同或相反B．若向量a是向量b的相反向量，则|a|＝|b|C．空间向量的减法满足结合律D．在四边形ABCD中，一定有AB＋AD＝AC[思路点拨]根据向量的概念及运算律两方面辨析．[精解详析]|a|＝|b|，说明a与b模相等，但方向不确定．对于a的相反向量b＝－a，故|a|＝|b|，从而B正确．只定义加法具有结合律，减法不具有结合律，一般的四边形不具有AB ＋AD＝AC，只有在平行四边形中才能成立．故A、C、D均不正确．[答案]B[感悟体会](1)两个向量的模相等，则它们的长度相等，但方向不确定，即两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的必要不充分条件．(2)熟练掌握空间向量的有关概念、向量的加减法的运算法则及向量加法的运算律是解决好这类问题的关键． 训练题组11．给出下列命题：①零向量没有方向；②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；③若空间向量a ，b 满足|a |＝|b |，则a ＝b ；④若空间向量m ，n ，p 满足m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p ；⑤空间中任意两个单位向量必相等．其中正确命题的个数为( ) A ．4B ．3C ．2D ．1解析：零向量的方向是任意的，但并不是没有方向，故①错；当两个空间向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等，但两个向量相等，不一定起点相同、终点也相同，故②错；根据相等向量的定义，要保证两个向量相等，不仅模要相等，而且方向也要相同，但③中向量a 与b 的方向不一定相同，故③错；命题④显然正确；对于命题⑤，空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同，故不一定相等，故⑤错． 答案：D2．给出下列四个命题：(1)方向相反的两个向量是相反向量； (2)若a ，b 满足|a |>|b |且a ，b 同向，则a >b ； (3)不相等的两个空间向量的模必不相等； (4)对于任何向量a ，b ，必有|a ＋b |≤|a |＋|b |. 其中正确命题的序号为( )A ．(1)(2)(3)B ．(4)C ．(3)(4)D ．(1)(4)解析：对于(1)，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，故(1)错；对于(2)，向量是不能比较大小的，故不正确；对于(3)，不相等的两个空间向量的模也可以相等，故(3)错；只有(4)正确． 答案：B3.如图，在长、宽、高分别为AB ＝4，AD ＝2，AA 1＝1的长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中的八个顶点的两点为起点和终点的向量中，(1)单位向量共有多少个？ (2)写出模为5的所有向量． (3)试写出AA 1―→的相反向量．解：(1)因为长方体的高为1，所以长方体4条高所对应的向量1AA ，1A A ，1BB ，1B B ，1DD ，1D D ，1CC ，1C C 共8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共8个．(2)因为长方体的左右两侧的对角线长均为5，故模为5的向量有1AD ，1D A ，1C B ，1BC ，1B C ，1CB ，1A D ，1DA .(3)向量1AA 的相反向量为1AA ，1B B ，1C C ，1D D ，共4个. [例2] 化简(AB －CD )－(AC －BD )．[思路点拨] 根据向量加减运算的法则进行，注意向量的起点、终点． [精解详析] 法一：∵AB －CD ＝AB ＋DC ， ∴(AB －CD )－(AC －BD )＝AB ＋DC －AC ＋BD ＝AB ＋BD ＋DC ＋CA ＝AD ＋DA ＝0.法二：(AB －CD )－(AC －BD )＝AB －CD －AC ＋BD ＝(AB －CD )＋(DC －DB )＝CB ＋BC ＝0. [感悟体会](1)掌握好向量加减法的三角形法则是解决这类问题的关键，灵活应用相反向量及两向量和、差，可使这类题迅速获解，另外需注意零向量的书写要规范．(2)利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法运算时，务必要注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果． 训练题组24．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，1DD －AB ＋BC 化简后的结果是( ) A ．1BD B ．1D B C ．1B D D ．1DB解析：由正方体的性质可得1DD －AB ＋BC ＝1DD －DC ＋BC ＝1CD ＋BC ＝1BD . 答案：A5．已知空间四边形ABCD 中，AB ＝a ，CB ＝b ，AD ＝c ，则CD 等于( ) A ．a ＋b －cB ．－a －b ＋cC ．－a ＋b ＋cD ．－a ＋b －c解析：因为CD ＝CB ＋BA ＋AD ＝CB －AB ＋AD ＝b －a ＋c ，所以CD ＝－a ＋b ＋c . 答案：C6.如图所示，已知长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′.化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果．(1) 'AA －CB ； (2) 'AA ＋AB ＋''B C .解：(1) 'AA －CB ＝'AA －DA ＝'AA ＋AD ＝'AA ＋''A D ＝'AD . (2) 'AA ＋AB ＋''B C ＝('AA ＋AB )＋''B C ＝'AB ＋B ′C ′＝'AC . 向量'AD 、'AC 如图所示．五.课堂小结与归纳(1)空间中的单位向量、向量的模、相等向量、相反向量等概念和平面向量中对应的概念完全一样．(2)在空间向量的加法运算中，若是多个向量求和，还可利用多边形法则．如图，1OA ＋12A A ＋23A A ＋34A A ＋45A A ＋56A A ＝6OA .即首尾相接的若干个向量的和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．求若干个向量的和可以将其转化为首尾相接的向量求和． 六.当堂训练1．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，与向量AD 相等的向量共有 ( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个解析：与AD 相等的向量有11A D ，BC ，11B C ，共3个． 答案：C2．在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，模与向量A B ''的模相等的向量有( ) A ．7个B ．3个C ．5个D ．6个解析：|D C ''|＝|DC |＝|C D ''|＝|CD |＝|BA |＝|AB |＝|B A ''|＝|A B ''|. 答案：A3．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算结果为1BD 的是 ( )①(11A D －1A A )－AB ②(BC ＋1BB )－11D C ③(AD －AB )－1DD ④(11B D －1A A )＋1DDA ．①②B ．②③C ．③④D ．①④ 解析：①(11A D －1A A )－AB ＝1AD －AB ＝1BD； ②(BC ＋1BB )－11DC ＝1BC －MN ＝1BD ； ③(AD －AB )－1DD ＝BD －1DD ≠1BD ；④(11B D －1A A )＋1DD ＝1BD ＋1DD . 答案：A4．已知平行四边形ABCD 的对角线交于点O ，且OA ＝a ，OB ＝b ，则BC ＝( ) A ．－a －b B ．a ＋b C.12a －bD ．2(a －b )解析：如图，∵OA ＝a ，OB ＝b ，∴BO ＝－b ，OC ＝－a ，∴BC ＝BO ＋OC ＝－b －a .答案：A5．在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若CA ＝a ，CB ＝b ，1CC ＝c ，则1A B ＝________.解析：1A B ＝1B B －11B A ＝1B B －BA ＝1B B －(CA －CB ) ＝－c －(a －b )＝－c －a ＋b . 答案：－c －a ＋b6．化简AB －AC ＋BC －BD －DA ＝________.解析：AB －AC ＋BC －BD －DA ＝AB ＋BC ＋CA ＋AD ＋DB ＝AC ＋CA ＋AD ＋DB ＝AB .答案：AB7.如图所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，M 是BB 1的中点.化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量： (1) CB ＋1BA ； (2) AC ＋CB ＋121AA ；(3) 1AA －AC －CB . 解：(1) CB ＋1BA ＝1CA .(2)因为M 是BB 1的中点，所以BM ＝121BB .又1AA ＝1BB ，所以AC ＋CB ＋121AA ＝AB ＋BM ＝AM .(3) 1AA －AC －CB ＝1CA －CB ＝1BA . 向量1CA ，AM ，1BA 如图所示．8．已知平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′.求证：AC ＋AB '＋AD '＝2AC '.证明：∵平行六面体的六个面均为平行四边形， ∴AC ＝AB ＋AD ，AB '＝AB ＋AA '，AD '＝AD ＋AA '，∴AC ＋AB '＋AD '＝(AB ＋AD )＋(AB ＋AA ')＋(AD ＋AA ') ＝2(AB ＋AD ＋AA ')． 又∵AA '＝CC '，AD ＝BC ，∴AB ＋AD ＋1AA ＝AB ＋BC ＋CC '＝AC ＋CC '＝AC '， ∴AC ＋AB '＋AD '＝2AC '.。
高中数学 2-1 3.1.1空间向量及其加减运算 3.1.2空间向量的数乘运算 教案
3。
1.1空间向量及其加减运算3。
1。
2空间向量的数乘运算教学目标：㈠知识目标:⒈空间向量；⒉相等的向量；⒊空间向量的加减与数乘运算及运算律；㈡能力目标：⒈理解空间向量的概念,掌握其表示方法；⒉会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律;⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．㈢德育目标：学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展、进化的，会用联系的观点看待事物．教学重点：空间向量的加减与数乘运算及运算律．教学难点：应用向量解决立体几何问题．教学方法：讨论式．教学过程：Ⅰ。
复习引入［师］在必修四第二章《平面向量》中，我们学习了有关平面向量的一些知识，什么叫做向量？向量是怎样表示的呢？[生］既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有：①用有向线段表示;②用字母a、b等表示;③用有向线段的起点与终点字母:AB．［师]数学上所说的向量是自由向量，也就是说在保持向量的方向、大小的前提下可以将向量进行平移，由此我们可以得出向量相等的概念，请同学们回忆一下．［生］长度相等且方向相同的向量叫相等向量.［师］学习了向量的有关概念以后，我们学习了向量的加减以及数乘向量运算：⒈向量的加法：⒉向量的减法：⒊实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和方向规定如下:（1）|λa｜＝｜λ｜｜a|(2）当λ＞0时,λa与a同向；当λ＜0时,λa与a反向；当λ＝0时，λa＝0。
［师]关于向量的以上几种运算，请同学们回忆一下，有哪些运算律呢？［生］向量加法和数乘向量满足以下运算律加法交换律:a＋b＝b＋a加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋（b＋c)数乘分配律:λ（a＋b)＝λa＋λb ［师］今天我们将在必修四第二章平面向量的基础上，类比地引入空间向量的概念、表示方法、相同或向等关系、空间向量的加法、减法、数乘以及这三种运算的运算率，并进行一些简单的应用．请同学们阅读课本Ⅱ.新课讲授［师］如同平面向量的概念,我们把空间中具有大小和方向的量叫做向量．例如空间的一个平移就是一个向量．那么我们怎样表示空间向量呢?相等的向量又是怎样表示的呢？［生］与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．［师］由以上知识可知，向量在空间中是可以平移的．空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示．因此我们说空间任意两个向量是共面的．［师]空间向量的加法、减法、数乘向量各是怎样定义的呢？[生］空间向量的加法、减法、数乘向量的定义与平面向量的运算一样： AB OA OB +==a +b , OA OB AB -=(指向被减向量），=OP λa )(R ∈λ[师]空间向量的加法与数乘向量有哪些运算律呢？请大家验证这些运算律．［生］空间向量加法与数乘向量有如下运算律： ⑴加法交换律:a + b = b + a ；⑵加法结合律:(a + b ) + c =a + (b + c );（课件验证）⑶数乘分配律：λ(a + b ） =λa +λb ．［师］空间向量加法的运算律要注意以下几点： ⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．即：n n n A A A A A A A A A A 11433221=++++-因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量．⑵首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量．即:011433221=+++++-A A A A A A A A A A n n n ．⑶两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然成立．因此,求始点相同的两个向量之和时，可以考虑用平行四边形法则．例１已知平行六面体''''D C B A ABCD -（如图）,化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：；⑴BC AB +；⑵'AA AD AB ++'21CC AD AB ++⑶．⑷)'(31AA AD AB ++ 说明：平行四边形ABCD 平移向量 a 到A’B’C’D’的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体．记作ABCD —A’B’C’D’．平行六面体的六个面都是平行四边形,每个面的边叫做平行六面体的棱．说明：由第2小题可知,始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量，这是平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广．例2、如图中，已知点O是平行六面体ABCD－A1B1C1D1体对角线的交点，点P是任意一点，则．分析：将要证明等式的左边分解成两部分:与，第一组向量和中各向量的终点构成平行四边形ABCD，第二组向量和中的各向量的终点构成平行四边形A1B1C1D1，于是我们就想到了应该先证明:将以上所述结合起来就产生了本例的证明思路．解答：设E,E1分别是平行六面体的面ABCD与A1B1C1D1的中心，于是有3。
高二数学最新教案-§9.5.1空间向量及其加减与数乘运算 精品
空间向量及其运算（1）一、课题：空间向量及其运算（1）二、教学目标：1．理解空间向量的有关概念；2．掌握空间向量的运算法则，并能进行加减和数乘运算．三、教学重、难点：空间向量的有关概念；空间向量的运算． 四、教学过程：（一）复习：平面向量的有关概念及表示方法． （二）新课讲解：1．空间向量的有关概念：在空间，具有大小和方向的量叫做向量。
2．空间向量的表示方法：用有向线段表示，且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量． 3．空间向量的加法与减法及数乘运算：（和平面向量的相关运算类似） OB a b =+，AB OB OA =-，(OP a λλ=4．运算法则：（1）加法交换律：a b b a +=+（2）加法结合律：()()a b c a b c ++=++ （3）数乘分配律：()a b a b λλλ+=+5．平行六面体：平行四边形按非零向量a 平移到A B C D ''''的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体，记作ABCD A B C D ''''-，它的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱． （三）例题分析：例1．已知平行六面体ABCD A B C D ''''-，化简下列向量的表达式，并标出化简结果的向量： （1）AB BC +；（2）AB AD AA '++； （3）12AB AD CC '++；（4）1()3AB AD AA '++． 解：如图，（1）AB BC AC +=；（2）AB AD AA '++AC AA '=+AC '=； （3）设M 是CC '的中点，abbPaλa a b +acbBCD A'B'C'D'MG A则12AB AD CC AC CM AM '++=+=； （4）设G 是线段AC '的三等份点（靠近点A ），则11()33AB AD AA AC AG ''++==． 例2．已知空间四边形ABCD ，连结,AC BD ，设,M G 分别是,BC CD 的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果向量： （1）AB BC CD ++； （2）1()2AB BD BC ++； （3）1()2AG AB AC -+． 解：如图，（1）AB BC CD AC CD AD ++=+=； （2）111()222AB BD BC AB BC BD ++=++ AB BM MG AG =++=；（3）1()2AG AB AC AG AM MG -+=-=． 五、课堂练习：课本第28页练习第2题．六、课堂小结：1．空间向量的相关的概念及空间向量的表示方法；2．平行六面体的概念；3．向量加法、减法和数乘运算．七、作业： 补充：1．如图，在空间四边形ABCD 中，,E F 分别是AD 与BC 的中点，求证：1()2EF AB DC =+．2．已知2334x y a b c +=-++，385x y a b c --=-+，把向量,x y 用向量,,a b c 表示． 3．如图，在平行六面体ABCD A B C D ''''-中，设AB a =，,AD b AA c '==，,E F 分别是,AD BD '中点，（1）用向量,,a b c 表示,D B EF '；（2）化简：2AB BB BC C D D E ''''++++；BCDMGABCDEFAA'BB'CC'DD'EFA。
教案)空间向量及其运算
教案)空间向量及其运算教案内容：一、教学目标1. 了解空间向量的概念，理解向量的几何表示和坐标表示。
2. 掌握空间向量的线性运算，包括加法、减法、数乘和点乘。
3. 能够应用空间向量的运算解决实际问题。
二、教学重点与难点1. 空间向量的概念及其几何表示。
2. 空间向量的坐标表示及其运算。
3. 空间向量的应用问题。
三、教学准备1. 教师准备PPT或黑板，用于展示向量的图形和运算过程。
2. 准备一些实际问题，用于引导学生应用向量知识解决。
四、教学过程1. 引入：通过展示一些实际问题，如物体运动、几何图形等，引导学生思考向量的概念和作用。
2. 讲解：向学生介绍空间向量的概念，讲解向量的几何表示和坐标表示。
通过示例和图形，让学生理解向量的加法、减法、数乘和点乘运算。
3. 练习：让学生通过练习题的方式，巩固对向量运算的理解和掌握。
可以提供一些选择题和填空题，以及一些应用问题。
4. 应用：引导学生将向量知识应用到实际问题中，如物体运动、几何图形等。
可以让学生分组讨论和展示解题过程。
5. 总结：对本节课的主要内容和知识点进行总结，强调重点和难点。
五、作业布置1. 完成课后练习题，包括选择题、填空题和应用问题。
2. 准备下一节课的预习内容，了解空间向量的线性组合和叉乘。
六、教学反思在课后，教师应反思本节课的教学效果，包括学生的参与度、理解程度和掌握情况。
根据学生的反馈和表现，调整教学方法和策略，以便更好地进行后续教学。
六、教学评价1. 评价方式：通过课堂讲解、练习题和实际问题解决，评价学生对空间向量的概念理解和运算掌握程度。
2. 评价标准：学生能准确地描述空间向量的概念，理解向量的几何表示和坐标表示；能熟练地进行向量的加法、减法、数乘和点乘运算；能将向量知识应用到实际问题中，解决问题。
七、拓展与延伸1. 向量的线性组合：向学生介绍空间向量的线性组合概念，讲解线性组合的性质和运算规律。
2. 向量的叉乘：向学生介绍空间向量的叉乘概念，讲解叉乘的性质和运算规律。
《空间向量及其加减运算》参考教案
第一课时3.1.1空间向量及其加减运算教学要求：理解空间向量的概念，掌握其表示方法；会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题． 教学重点：空间向量的加减与数乘运算及运算律．教学难点：由平面向量类比学习空间向量．教学过程：一、复习引入1、有关平面向量的一些知识：什么叫做向量？向量是怎样表示的呢？既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有：用有向线段表示；用字母a 、b 等表示；用有向线段的起点与终点字母：AB ．长度相等且方向相同的向量叫相等向量.2. 向量的加减以及数乘向量运算：向量的加法：向量的减法：实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，其长度和方向规定如下：|λa |＝|λ||a |(2)当λ＞0时，λa 与a 同向； 当λ＜0时，λa 与a 反向； 当λ＝0时，λa ＝0.3. 向量的运算运算律：加法交换律：a ＋b ＝b ＋a4. 三个力都是200N ，相互间夹角为60°，能否提起一块重500N 的钢板？二、新课讲授1. 定义：我们把空间中具有大小和方向的量叫做空间向量．向量的大小叫做向量的长度或模.→ 举例？ 表示？（用有向线段表示） 记法？ → 零向量？ 单位向量？ 相反向量？ → 讨论：相等向量？ 同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．→ 讨论：空间任意两个向量是否共面？2. 空间向量的加法、减法、数乘向量的定义与平面向量的运算一样：OB OA AB =+=a +b ，AB OB OA =-（指向被减向量），OP =λa()R λ∈ （请学生说说数乘运算的定义？）3. 空间向量的加法与数乘向量的运算律．⑴加法交换律：a +b = b + a ；⑵加法结合律：(a + b ) + c =a + (b + c )；⑶数乘分配律：λ(a + b ) =λa +λb ；⑶数乘结合律：λ(u a ) =(λu )a ．4. 推广：⑴12233411n n n A A A A A A A A A A -++++=； ⑵122334110n n n A A A A A A A A A A -+++++=；⑶空间平行四边形法则．5. 出示例：已知平行六面体（底面是平行四边形的四棱柱）''''ABCD A B C D -（如图），化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：AB BC +⑴； 'AB AD AA ++⑵；1(3)'2AB AD CC ++； 1(')3AB AD AA ++⑷． 师生共练 → 变式训练6. 练习：课本P 927. 小结：概念、运算、思想（由平面向量类比学习空间向量）三、巩固练习： 作业：P106 A 组 1、2题.。
空间向量及其运算详细教案
空间向量及其运算3.1.1 空间向量及其加减运算教学目标：（1）通过本章的学习，使学生理解空间向量的有关概念。
（2）掌握空间向量的加减运算法则、运算律，并通过空间几何体加深对运算的理解。
能力目标：（1）培养学生的类比思想、转化思想，数形结合思想，培养探究、研讨、综合自学应用能力。
（2）培养学生空间想象能力，能借助图形理解空间向量加减运算及其运算律的意义。
（3）培养学生空间向量的应用意识教学重点：（1）空间向量的有关概念（2）空间向量的加减运算及其运算律、几何意义。
（3）空间向量的加减运算在空间几何体中的应用教学难点：（1）空间想象能力的培养，思想方法的理解和应用。
（2）空间向量的加减运算及其几何的应用和理解。
考点：空间向量的加减运算及其几何意义，空间想象能力，向量的应用思想。
易错点：空间向量的加减运算及其几何意义在空间几何体中的应用教学用具：多媒体教学方法：研讨、探究、启发引导。
教学指导思想：体现新课改精神，体现新教材的教学理念，体现学生探究、主动学习的思维习惯。
教学过程：（老师）：同学们好！首先请教同学们一个问题：物理学中，力、速度和位移是什么量怎样确定（学生）：矢量，由大小和方向确定（学生讨论研究）（课件）引入：（我们看这样一个问题）有一块质地均匀的正三角形面的钢板，重500千克，顶点处用与对边成60度角，大小200千克的三个力去拉三角形钢板，问钢板在这些力的作用下将如何运动这三个力至少多大时，才能提起这块钢板（老师）：我们研究的问题是三个力的问题，力在数学中可以看成是什么（学生）向量（老师）：这三个向量和以前我们学过的向量有什么不同（学生）这是三个向量不共面（老师）：不共面的向量问题能直接用平面向量来解决么（学生）：不能，得用空间向量（老师）：是的，解决这类问题需要空间向量的知识这节课我们就来学习空间向量板书：空间向量及其运算（老师）:实际上空间向量我们随处可见，同学们能不能举出一些例子（学生）举例（老师）：然后再演示（课件）几种常见的空间向量身影。
21-22版：3.1.1 空间向量及其加减运算(创新设计)
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课前预习
课堂互动
课堂小结
@《创新设计》
【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若向量a与b都是单位向量，则a＝b.( ) (2)若a＝－b，则|a|＝|b|.( ) (3)若两个向量的终点重合，则这两个向量的方向相同.( ) 提示 (1)若a与b都是单位向量，则|a|＝|b|，但未必有a＝b，故(1)错. (2)因为a＝－b，则a与b是相反向量，所以|a|＝|b|，(2)正确. (3)两个向量的终点重合，起点不知如何，则其方向的关系不能确定，故(3)错. 答案 (1)× (2)√ (3)×
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@《创新设计》
规律方法 空间向量的概念与平面向量的概念相类似，平面向量的其他相关概念， 如向量的模、相等向量、平行向量、相反向量、单位向量等都可以拓展为空间向量 的相关概念. 【训练1】 如图所示，以长方体ABCD－A1B1C1D1的八个顶点的两 点为始点和终点的向量中， (1)试写出与A→B相等的所有向量； (2)试写出A→A1的相反向量； (3)若 AB＝AD＝2，AA1＝1，求向量A→C1的模.
答案 A
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规律方法 运用法则进行向量的线性运算时要注意关键的要素： (1)向量加法的三角形法则：“首尾相接，指向终点”；(2)向量减法的三角形法则： “起点重合，指向被减向量”；(3)平行四边形法则：“起点重合”；(4)多边形法 则：“首尾相接，指向终点”.
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本节内容结束
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空间向量及其加减运算
【教学目标】
1．掌握向量加法的定义
2．会用向量加法的三角形法则和向量的平行四边形法则作两个向量的和向量
3．掌握向量加法的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算
【教学重点】
用向量加法的三角形法则和平行四边形法则，作两个向量的和向量。
【教学难点】
向量的加法和减法的定义的理解
【课时安排】
1课时
【教学过程】
一、复习引入： 1．向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量 2．向量的表示方法： （1）用有向线段表示； （2）用字母ａ、ｂ等表示；
（3）用有向线段的起点与终点字母：；
（4）向量的大小――长度称为向量的模，记作||。
3．零向量、单位向量概念：
（1）长度为0的向量叫零向量，记作的方向是任意的
（2）长度为1个单位长度的向量，叫单位向量。
零向量、单位向量的定义都是只限制大
小，不确定方向。
4．平行向量定义：
（1）方向相同或相反的非零向量叫平行向量；
（2）我们规定0与任一向量平行。
向量a 、b 、c 平行，记作a ∥b ∥c 。
5．相等向量定义：
长度相等且方向相同的向量叫相等向量。
00
（1）向量a 与b 相等，记作a ＝b ； （2）零向量与零向量相等；
（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点
无关。
6．共线向量与平行向量关系：
平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上。
（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系； （2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系。
7．对向量概念的理解
的字母是有顺序的，起点在前终点在后，所以我们说有向线段有三个要素：起点、方
向、长度；既有大小又有方向的量，我们叫做向量，有二个要素：大小、方向。
向量不能比较大小；实数与向量不能相加减，但实数与向量可以相乘。
向量与有向线段的区别：向量是自由向量，只有大小和方向两个要素；与起点无关：只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段。
二、讲解新课： 1．向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法
几何中向量加法是用几何作图来定义的，一般有两种方法，即向量加法的三角形法则（“首
尾相接，首尾连”）和平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）课本中采用了三角形法则来定义，这种定义，对两向量共线时同样适用，当向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是一致的。
如图，已知向量、在平面内任取一点，作，，则向量叫做与的和，记作，即。
特殊情况：
a b A a AB =b BC =
AC a b
b a +AC BC AB b a =+=+
(1)
B
B
A
对于零向量与任一向量，有
探究：（1）两相向量的和仍是一个向量；
（2）当向量与不共线时，+的方向不同向，且|+|<||+||；
（3）当与同向时，则+、、同向，且|+|=||+||，当与反向时，若||>||，则+的方向与相同，且|+|=||-||；若||<||，则+的方向与相同，且|+b|=||-||；
（4）“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到n 个向量连加。
2．向量加法的交换律：+=+
3．向量加法的结合律：(+) +=+ (+)
证：如图：使，，
则(+) +=
+ (+) =
∴(+) +=+ (+)
从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行。
三、讲解范例：
【例1】如图，一艘船从A点出发以的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为，求船的实际航行的速度的大小与方向(用与流速间的夹角表示)。
解：设表示船垂直于对岸行驶的速度，表示水流的速度，以AD，AB
为邻边作平行四边形ABCD，则就是船的实际航行的速度。
在中，，
所以
a
b
b
a+
b
a+
A A B
C C
)
2
()
3
(
a a
a
a=
+
=
+0
a b a b a b a b
a b a b a a b a b a b a b
a b b a
a
AB=b
BC=c
CD=
=
+
AD
BD
AB=
+
h
km/
3
2
h
km/
2
AC
ABC
Rt∆2
|
|=3
2
|
|=
4
|
AC
|=
=
因为
答：船的实际航行的速度的大小为，方向与水流速间的夹角为。
四、课堂练习：
1．一艘船从A 点出发以的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行的速度
的大小为，求水流的速度。
2．一艘船距对岸，以的速度向垂直于对岸的方向行驶，到达对岸时，船的实际航程为8km ，求河水的流速。
3．一艘船从A 点出发以的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为，船的
实际航行的速度的大小为，方向与水流间的夹角是，求和。
4．一艘船以5km/h 的速度在行驶，同时河水的流速为2km/h ，则船的实际航行速度大小最
大是km/h ，最小是
km/h 。
五、小结 1．向量加法的几何法则； 2．交换律和结合律；
3．注意：|+| ≤ |
| + ||，当且仅当方向相同时取等号
六、课后作业：
1．已知两个力F 1，F 2的夹角是直角，且已知它们的合力F 与F 1的夹角是60，|F|=10N
求F 1和F 2的大小
2．用向量加法证明：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。
tan CAB CAB 60∠=
=∠=︒h /km 4 60h km /32h km /4h km /321v 2v h km /460︒1v 2v a b a b ︒。