hu导数的概念及运算学案
高等数学-导数的概念-教案(完整资料).doc
t∆很小时，其平均速度就可以近似地看作时刻的瞬时速度．且
x
x x x x ∆-∆+=→∆sin )sin(lim
0x
x x x x ∆∆⎪
⎭⎫ ⎝⎛
∆+=→∆2sin 2cos 2lim 0 x x x x x x cos 2
2sin 2cos lim 0=∆∆⎪⎭⎫ ⎝
⎛∆+=→∆， 即： x.cos (sin x)'=
类似可得：sin x. - x)'(cos = 定义 如果x x f x x f x ∆∆∆)
()(lim 000-+-
→存在，则称此极限值为f (x ) 在点 x 0 处的左导数，记作 f’(x 0)；同样，如果x x f x x f x ∆∆∆)()(lim 000-++
→存在，则称此极限值为 f (x ) 在点 x 0 处的右导数，记作 f’
+(x 0) .
显然，f (x ) 在 x 0 处可导的充要条件是 f’ -(x 0) 及 f ‘ +(x 0) 存在且相等 . 定义 如果函数 f (x ) 在区间 I 上每一点可导，则称 f (x ) 在区间 I 上可导. 如果 I 是闭区间[a , b ]，则端点处可导是指 f’+(a )、 f’-(b ) 存在 .
六、可导与连续的关系
定理 如果函数 y = f (x ) 在点 x 0 处可导, 则 f (x ) 在点 x 0 处连续，其逆不真.。
D.课堂小结
一、导数的定义
二、导数的几何意义 三、可导与连续的关系。
高二数学教案：导数的概念及运算教案
高二数学教案：导数的概念及运算教案一、课前准备：【自主梳理】1.平均变化率：函数在上的平均变化率为，若，,则平均变化率可表示为 .2.导数的概念：设函数在区间上有定义， ,当无限接近于0时，比值无限趋近于一个常数，则称在点处可导，并称常数为函数在处的，记作 .3.导数的几何意义：函数在处的导数的几何意义就是曲线在点处的 .4.导数的物理意义:一般地,设是物体的位移函数,那么的物理意义是 ;设是物体的速度函数,那么的物理意义是 .5.常见函数的导数：( 为常数); ; ; ;6.导数的运算法则：， (其中C为常数);【自我检测】1.函数在的平均变化率为2.在R内可导函数满足 ,则k无限趋近零时, 无限趋近于 .3.已知 ,则 .4.函数 ,则该函数对应曲线在处切线斜率为 .5.若物体位移 ,(单位:米)则当秒时,该物体的速度为米/秒.6.函数 ,则该函数的导数 .(说明：以上内容学生自主完成，原则上教师课堂不讲) 二、课堂活动：【例1】填空题：(1)若，则当趋近于0时，无限趋近于 .(2)汽车作加速直线运动,若t s时的速度为 ,则汽车开出 s 后加速度为12.(3)已知f(x)=sinx(cosx+1)，则 = .(4)已知，则 = .【例2】(1)用两种方法求函数的导数;(2)已知函数的导数是 ,求函数的导数【例3】求下列函数的导数课堂小结三、课后作业1.函数在区间[1,3]的平均变化率为 .2.自由落体运动的物体位移S(m)与时间t(s)的关系为 ,则s时该物体的瞬时速度为 .3.函数的导数4.函数的导数为，则， .5. ,则 .6.设，若，则 .7.设P为曲线C：y=x2+2x+3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围是，则点P横坐标的取值范围为 .8.设 ,则 .9.求下列函数的导数(1) (2) (3)10.函数的导函数是一次函数,且是偶函数, , ,求的函数表达式.四、纠错分析错题卡题号错题原因分析。
高二数学 导数的概念及运算教案
课题：导数的概念及运算1、教学目标：(1)了解导数的概念与定义，掌握函数在一点处的导数定义和导数的几何意义，理解导函数的概念，瞬时速度与变化率的联系；(2)熟记简单基本函数的导数公式，掌握两个函数四则运算的求导法则和复合函数的求导法则；(3)能够利用导数求单调区间，以及求一个函数的最值问题，掌握导数的基本应用；2、教学重难点：重点：导数的基本公式及应用；难点：过点求切线的问题要分切点与非切点讨论；3、教学方法：启发式与讲练结合4、课时安排：1课时一、教学过程：（一）知识体系：1.函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率为f(x2)-f(x1)x2-x1,若Δx=x2-x1,Δy=f(x2)-f(x1),则平均变化率可表示为ΔyΔx.2.函数y=f(x)在x=x0处的导数(1)定义:称函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率limΔx→0Δy=lim Δx→0f(x0+Δx)-f(x0)Δx为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作f'(x0)或y'|x=x0,即f'(x0)=limΔx→0Δy=limΔx→0f(x0+Δx)-f(x0).(2)几何意义:函数f(x)在点x0处的导数f'(x0)的几何意义是在曲线y=f(x)上点处的,切线方程为.3.函数f(x)的导函数一般地,如果函数y=f(x)在区间(a,b)上的每一点处都有导数，导数值记为f'(x),且f'(x)=limΔx→0f(x+Δx)-f(x)Δx,则f'(x)是关于x的函数,称f'(x)为f(x)的，通常也简称为导数.4.基本初等函数的导数公式5.导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]'= ; (2)[f(x)·g(x)]'=; (3) f (x ) '=f '(x )g (x )-f (x )g '(x )[g (x )]2(g (x )≠0).6.复合函数的导数复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u)，u=g(x)的导数间的关系为y'x= ,即y 对x 的导数等于 的导数与的导数的乘积.（二）知识梳理：1.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”.(1)f'(x 0)是函数y=f(x)在x=x 0附近的平均变化率. ( ) (2)求f'(x 0)时,可先求f(x 0)，再求f'(x 0). ( ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点. ( )(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线. ( )(5)曲线y=f(x)在点P(x 0,y 0)处的切线与过点P(x 0,y 0)的切线相同. ( )2.(2016河南郑州一模)曲线f(x)=e x cos x 在点(0,f(0))处的切线斜率为( )A.0B.-1C.1D. 223.(2016全国丙卷,理15)已知f(x)为偶函数,当x<0时,f(x)=ln(-x)+3x,则曲线y=f(x)在点(1,-3)处的切线方程是 .（三）核心考点： 考点1 导数的运算y'u ·u'xy 对u u 对x f'(x )±g'(x ) f'(x )g (x )+f (x )g'(x )例1分别求下列函数的导数:(1)y=e x ·sin x ;(2)y=x x 2+1x +1x 3 ; (3)y=x-sin x2cos x 2;ln 1+x 2.? 解 (1)y'=(e x )'sin x+e x (sin x )'=e x sin x+e x cos x.(2)∵y=x 3+1+1x 2,∴y'=3x 2-2x 3.(3)∵y=x-sin x 2cos x 2=x-12sin x ,∴y'= x -12sin x '=1-12cos x.(4)∵y=ln 1+x 2=1ln(1+x 2),∴y'=12·11+x 2(1+x 2)' =12·11+x 2·2x=x 1+x2.解题心得:函数求导应遵循的原则:(1)求导之前,应利用代数、三角恒等式变形等对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错.(2)进行导数运算时，要牢记导数公式和导数的四则运算法则，切忌记错记混.(3)复合函数求导，要正确分析函数的复合层次，通过设中间变量确定复合过程，然后求导.考点2 导数几何意义的应用考向一 已知过函数图象上一点求切线方程 例2已知函数f(x)=x3-4x2+5x-4.(1)求曲线f(x)在点(2,f(2))处的切线方程; (2)求经过点A(2,-2)的曲线f(x)的切线方程. 思考：求函数的切线方程要注意什么?解 (1)∵f'(x )=3x 2-8x+5,∴f'(2)=1,又f (2)=-2,∴曲线在点(2,f (2))处的切线方程为y+2=x-2,即x-y-4=0. (2)设曲线与经过点A (2,-2)的切线相切于点P (x 0,x 03-4x 02+5x 0-4),∵f'(x 0)=3x 02-8x 0+5,∴切线方程为y-(-2)=(3x 02-8x 0+5)(x-2),又切线过点P (x 0,x 03-4x 02+5x 0-4),∴x 03-4x 02+5x 0-2=(3x 02-8x 0+5)(x 0-2),整理得(x 0-2)2(x 0-1)=0,解得x 0=2或x 0=1,∴经过A (2,-2)的曲线f (x )的切线方程为x-y-4=0或y+2=0.考向二 已知切线方程(或斜率)求切点例3设a ∈R,函数f(x)=ex+a ·e-x 的导函数是f'(x),且f'(x)是奇函数.若曲线y=f (x )的一条切线的斜率是32,则切点的横坐标为( ) A .ln 2B .-ln 2C .ln22D .-ln22解题心得:1.求切线方程时,注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线,曲线y=f(x)在点P(x 0,f(x 0))处的切线方程是y-f(x0)=f'(x 0)(x-x 0);求过某点的切线方程,需先设出切点坐标,再依据已知点在切线上求解.2.已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数,再让导数等于切线的斜率,从而求出切点的横坐标,将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标.3.已知切线方程(或斜率)求参数值的关键就是列出函数的导数等于切线斜率的方程.对点训练(1)设a 为实数,函数f(x)=x3+ax2+(a-3)x 的导函数为f'(x),且f'(x)是偶函数,则曲线y=f(x)在原点处的切线方程为( )A.y=3x+1B.y=-3xC.y=-3x+1D.y=3x-3为（ ）(3)在平面直角坐标系xOy 中,若曲线 (a,b为常数)过点P(2,-5),且该曲线在点P 处的切线与直线7x+2y+3=0平行,则a+b 的值是 .（四）知识归纳：本节课的知识内容回顾：1、导数的相关概念，基本初等函数的导数公式，导数的运算法则与复合函数求导方法；2、求导原则：先化简，再求导；3、切线方法与切点的求法。
导数的概念教案
导数的概念教案教案标题：导数的概念教案教案目标：1. 理解导数的概念及其在数学中的作用；2. 能够计算简单函数的导数；3. 掌握导数的基本性质。
教案内容：引入导数的概念（10分钟）：1. 通过简单的例子引出导数的概念，如一个物体在一段时间内移动的速度；2. 引导学生思考物体移动速度的变化情况，并提问他们是否可以用数学的方式表示和计算物体的速度。
导数的定义（15分钟）：1. 介绍导数的定义：函数在某一点的导数是该点的切线斜率；2. 引导学生理解切线的概念，并通过具体函数的图形展示切线的斜率如何表示导数。
导数的计算（20分钟）：1. 通过具体函数的例子，逐步教授导数的计算方法，如用极限法求导、使用导数公式等；2. 练习不同类型函数的导数计算，包括多项式、指数、对数、三角等函数。
导数的基本性质（15分钟）：1. 介绍导数的基本性质，如常数函数的导数为0、导数的线性性质、导数的乘积法则和商法则等；2. 引导学生通过具体例子理解和应用导数的基本性质。
综合练习（20分钟）：1. 提供一些综合性的导数计算题目，并鼓励学生尝试自己解答；2. 老师对学生的解答进行点评和纠正，加深对导数概念和计算方法的理解。
总结和拓展（10分钟）：1. 总结导数的概念、计算方法和基本性质；2. 引导学生思考导数在实际生活和其他学科中的应用，并鼓励他们自主学习和探索更多有关导数的知识。
教学资源：1. 教学课件或投影仪；2. 教材、作业本和练习题。
评估方式：1. 教师通过课堂参与度、问题回答情况和练习题完成情况来评估学生的学习情况；2. 可以设计小组或个人综合性评估题目，考察学生对导数概念和计算方法的整体掌握情况。
教学反思：在教案中，关键是引导学生理解导数的概念及其作用，同时通过具体例子和计算方法让学生掌握导数的计算和基本性质。
在教学过程中，要注重与学生的互动和思维激发，鼓励学生积极参与问题解答和练习，加深对导数的理解。
另外，要结合实际生活和其他学科的应用，让学生认识到导数在数学中的重要性和广泛应用的价值。
导数的概念及运算--附答案
3.1导数的概念及运算(学案） 姓名【一.导数的意义】1.函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率 0000()()limlimx x f x x f x yx x∆→∆→+∆-∆=∆∆ 称为函数()y f x =在0x x =处的导数.其几何意义为：【二.导数的运算公式】①()c '= ；②()nx '= ；③(sin )x '= ；④(cos )x '= ；⑤()xa '= ；⑥()x e '= ;⑦(log )a x '= ；⑧(ln )x '= ；⑨1()x'=；⑩'= ； 【三.导数的运算法则】①.和差的导数：[()()]f x g x '±= ；②.[()]C f x '⋅= ；其中C 为常数。
③.积的导数：[()()]f x g x '= ；④.商的导数：()()f x g x '⎛⎫ ⎪⎝⎭=(()0)g x ≠。
【四.复合函数的导数】设函数()u g x =在点x 处有导数x u '，函数()y f u =在点x 的对应点u 处有导数u y '，则复合函数(())y f g x =在点x 处也有导数，且x y '＝__ ______， 【五.求导】1.求导：①)5'⋅xa x （=5x 4·a x ＋x 5·a x ln a；② sin(2)3x π'⎛⎫+ ⎪⎝⎭=③2ln 1x x '⎛⎫ ⎪+⎝⎭=2．已知 f (x )＝x 2＋3x (2)f '，则(2)f '＝__-2___.3.求函数y ＝(x －1)(x －2)·…·(x －100) (x >100)的导数.解析：两边取对数得ln y ＝ln(x －1)＋ln(x －2)＋…＋ln(x －100)．两边对x 求导：y ′y ＝1x －1＋1x －2＋…＋1x －100.∴y ′＝⎝⎛⎭⎫1x －1＋1x －2＋…＋1x －100·(x －1)(x －2)·…·(x －100)．【六.导数的几何意义】4.已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在(2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点(2,4)的切线方程．解 (1)∵y ＝13x 3＋43，∴y ′＝x 2，∴曲线在点(2,4)处的切线的斜率k ＝y ′|x ＝2＝4 由y －4＝4(x －2)，得4x －y －4＝0.∴曲线在点(2,4)处的切线方程为 4x －y －4＝0(2)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2,4)的切线相切于点A ⎝⎛⎭⎫x 0，13x 30＋43 则切线的斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝x 20. ∴切线方程为y －⎝⎛⎭⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)，即y ＝x 20x －23x 30＋43∵点P (2,4)在切线上，∴4＝2x 20－23x 30＋43即x 30－3x 20＋4＝0，∴x 30＋x 20－4x 20＋4＝0， ∴x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0， ∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2，故所求的切线方程为4x －y －4＝0或x －y ＋2＝05.在平面直角坐标系xOy 中，已知P 是函数f (x )＝e x (x >0)的图象上的动点，该图象在点P 处的切线l 交y 轴于点M ，过点P 作l 的垂线交y 轴于点N ，设线段MN 的中点的纵坐标为t ，则t 的最大值是___max 11()2t e e=+_____． 解析：设00(,),xP x e 则00000:(),(0,(1))x x x l y ee x x M x e -=-∴-，过点P 作l 的垂线000000(),(0,)x x x x y e e x x N e x e ---=--+，00000000011[(1)]()22x x x x x x t x e e x e e x e e --=-++=+-00'01()(1)2x x t e e x -=+-，所以，t 在(0,1)上单调增，在(1,)+∞单调减，max 11()2t e e=+。
高三数学教案范文：导数的概念及其运算
高三数学教案范文：导数的概念及其运算
教学目标：
1、知识与技能：
1) 了解导数概念的实际背景;
2) 理解导数的概念、掌握简单函数导数符号表示和基本导数求解方法;
3) 理解导数的几何意义;
4) 能进行简单的导数四则运算。
2、过程与方法：
先理解导数概念背景，培养观察问题的能力;再掌握定义和几何意义，培养转化问题的能力;最后求切线方程及运算，培养解决问题的能力。
3、情态及价值观;
让学生感受数学与生活之间的联系，体会数学的美，激发学生学习兴趣与主动性。
教学重点：
1、导数的求解方法和过程;
2、导数公式及运算法则的熟练运用。
教学难点：
1、导数概念及其几何意义的理解;
2、数形结合思想的灵活运用。
教学课型：复习课(高三一轮)
教学课时：约1课时。
导数公式和运算法则教案
导数公式和运算法则教案一、教学目标1.理解导数的定义和概念。
2.掌握导数的公式和运算法则。
3.能够灵活运用导数公式和运算法则解决实际问题。
二、教学准备1.教材：高中数学教材。
2.工具：黑板、彩色粉笔、教学PPT。
三、教学过程1.导入导数的定义和概念（15分钟）教师使用PPT展示导数的定义和概念，引导学生回顾导数的概念，并解释导数与函数的变化率之间的关系。
通过一些例题让学生感受导数的实际应用。
2.导数公式的介绍和讲解（30分钟）教师依次讲解常见函数的导数公式，包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
对每个函数的导数公式进行逐一证明和解释，引导学生理解其中的推导过程。
3.导数的基本运算法则（30分钟）教师介绍导数的基本运算法则，包括常数规则、加减法则、乘法法则和除法法则。
通过实例演示，让学生理解和掌握这些运算法则的应用。
并提醒学生注意特殊情况和需要注意的问题。
4.实例演练与讨论（30分钟）教师提供一些实际问题，让学生利用导数公式和运算法则进行求解。
鼓励学生积极思考和参与讨论，提高他们的解题能力。
5.小结和课后作业（15分钟）教师对本节课的内容进行小结，并强调要求学生掌握导数的公式和运算法则。
布置相关的课后作业，巩固和深化学生的学习。
四、教学反思本节课通过对导数公式和运算法则的介绍和讲解，培养了学生对导数的理论和实际应用的理解能力，同时通过实例演练和讨论，培养了学生解决问题的能力和思维能力。
在教学过程中，教师注重直观性的解释和举例，并给予学生足够的练习机会，提高了学习效果。
同时，在教学过程中也注意对学生解题过程的引导和问题的提问，以激发学生的思考，提高他们的思维水平。
第1课时 导数的概念及其运算(导学案)精华版
第1课时 导数的概念及其运算一、目标要求：1.了解导数概念的实际背景.2.理解导数的概念.3.理解导数的几何意义和物理意义.4.掌握几种常见函数的导数计算公式和导数运算法则.重点：熟练运用导数公式和导数运算法则求函数的导数. 难点：导数概念的理解.二、知识梳理：（P48） 三、主自学习：1.若f (x )=22x 图象上一点(1,2)及附近一点(1+Δx , 2+Δy)，则yx∆∆等于( ) A. 3+2Δx B.4+Δx C.4+2Δx D.3+Δx 2.设函数f (x )可导,则lim(1)(1)3f x f x+∆-∆等于( )A . f ′(1) B. 3f ′(1) C. f ′(1) D. f ′(3)3.（2011·山东卷）曲线y ＝x 3＋11在点P （1,12）处的切线与y 轴交点的纵坐标是( ) A.－9 B.－3 C.9 D.154.写出下列函数的导数：（1）y =x 3－6x 2+11x +6，则y ′＝________.； （2）y =x cos x －sin x ，则y ′＝________.； （3）y =log 2x +2a x ,则y ′＝______________.; (4)1xy x =+,则y ′＝________. 5.(2014届珠海一中等六校联考)一个物体的运动方程为s ＝1－t ＋t 2，其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是( )A.7米/秒B.6米/秒C.5米/秒D.8米/秒6.(教材习题改编)f ′(x )是函数f (x )＝x 3＋2x ＋1的导函数，则f ′(－1)的值为 .7.(2014届广东省百所高中高三联考)曲线y ＝x ＋1x 2(x >0)在点(1,2)处的切线方程为 . 1-3CCC 4. (1)3x 2－12x ＋11 (2)－x sin x ；(3)12ln ln 2x a a x + (4)21(1)x + 5.C 6.3 7. 3x ＋y －5＝0四、考点探究:题型一 对导数概念的理解设函数f (x )在x ＝2处可导且f ′(2)＝3，求lim h →0f (2＋2h )－f (2)h的值．若f ′(x 0)＝2，则lim k →0f (x 0－k )－f (x 0)2k的值为( )A ．0B ．1C ．－1D ．2题型二 利用导数的定义求导数用导数定义求函数y ＝4x 2的导数．用导数的定义求函数f (x )＝1x的导数．用定义求导的基本步骤：①求函数的增量：Δy ＝f （x ＋Δx ）－f （x ）；②求平均变化率：()()y f x x f x x x∆+∆-=∆∆； ③取极限得导数：0()()'()lim x f x x f x f x x∆→+∆-=∆题型三 导数的基本运算求下列函数的导数：(1)y ＝x ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋1x 3； (2)y ＝x －sin x 2cos x 2； (3)y ＝(x ＋1)⎝⎛⎭⎫1x －1.求下列函数的导数：(1)y ＝(x ＋1)(x ＋2)； (2)y ＝cos 2xsin x －cos x； (3)y ＝2x e x ；(4)y ＝3x ln x ； (5)y ＝x2x ＋1.题型四 导数的几何意义()()()()()314.y 1P 2,4;23P 2,4;343.x =+【例4】已知曲线求曲线在点处的切线方程求曲线过点的切线方程求斜率为的曲线的切线方程(1)设曲线y ＝a e x在x ＝0处的切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，则实数a ＝________.(2)直线y ＝12x ＋b 是曲线y ＝ln x (x >0)的一条切线，则实数b ＝________.五、课堂检测：1.在平均变化率的定义中,自变量的增量Δx 满足( )A.Δx>0B.Δx<0C.Δx ≠0D.Δx=02.一物体的运动方程是s=3+t 2,则在时间段[2,2.1]内相应的平均速度为()A.0.41B.3C.4D.4.13.(2010·新课标全国)曲线y=x 3-2x+1在点(1,0)处的切线方程为( ) A.y=x-1 B.y=-x+1 C.y=2x-2 D.y=-2x+24.已知函数y =f (x )=x 2+1,则在x =2,Δx =0.1时,Δy 的值为（ ）A.0.40B.0.41C.0.43D.0.445. 若曲线y =f (x )在点(x 0,f (x 0))处的切线方程为2x +y +1=0,则（ ）A.f ′(x 0)>0B.f ′(x 0)=0C.f ′(x 0)<0D.f ′(x 0)不存在6．曲线y ＝x 3的切线中斜率等于1的直线（ ） A ．不存在 B ．存在，有且仅有一条 C ．存在，有且恰有两条 D ．存在，但条数不确定7．设函数f (x )=ax +4,若f ′(1)=2,则a 等于( )A.2B.－2C.3D.不确定8. 曲线y ＝x 2＋3x 在点A （2，10）处的切线的斜率k 是（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．79. 已知函数y =f (x )在点(2,1)处的切线与直线3x －y －2=0平行,则y ′|x =2等于（ ）A.－3B.－1C.3D.110. 设函数f (x )=ax 3+3x 2+2,若f ′(－1)=4,试求a 的值.11.曲线f (x )=x 3+x －2在点p 0处的切线平行于直线y =4x －1,求点p 0的坐标。
《导数的概念教案》
《导数的概念教案》word版第一章：导数的概念1.1 导入利用实际例子引入变化率的概念，如物体运动的速度、温度变化等。
引导学生思考如何描述函数在某一点的“变化率”。
1.2 导数的定义介绍导数的定义：函数在某一点的导数是其在该点的切线斜率。
解释导数的几何意义：函数图像在某一点的切线斜率。
强调导数表示函数在某一点的瞬时变化率。
1.3 导数的计算介绍导数的计算方法：极限法、导数的基本公式、导数的运算法则。
强调导数计算中需要注意的问题，如函数的连续性、可导性等。
1.4 导数的应用介绍导数在实际问题中的应用，如最优化问题、物理运动问题等。
引导学生思考如何利用导数解决实际问题。
第二章：导数的性质与法则2.1 导数的性质介绍导数的性质，如单调性、连续性、可导性等。
通过实例引导学生理解导数性质的应用。
2.2 导数的运算法则介绍导数的运算法则，如四则运算法则、复合函数运算法则等。
利用导数的运算法则进行函数求导。
2.3 导数的应用利用导数研究函数的单调性、极值、拐点等。
引导学生思考如何利用导数解决实际问题。
第三章：函数的单调性与极值3.1 函数的单调性介绍函数单调性的概念，如何判断函数的单调性。
利用导数判断函数的单调性。
3.2 函数的极值介绍函数极值的概念，如何求解函数的极值。
利用导数求解函数的极值。
3.3 函数的拐点介绍函数拐点的概念，如何求解函数的拐点。
利用导数求解函数的拐点。
第四章：导数在实际问题中的应用4.1 运动物体的瞬时速度与加速度利用导数求解运动物体的瞬时速度与加速度。
解释瞬时速度与加速度的概念及物理意义。
4.2 函数的最值问题利用导数求解函数的最值问题。
解释最值问题的实际意义，如成本最小化、收益最大化等。
4.3 曲线的切线与法线利用导数求解曲线的切线与法线。
解释切线与法线的概念及几何意义。
第五章：高阶导数与隐函数求导5.1 高阶导数介绍高阶导数的概念，如何求解高阶导数。
强调高阶导数在实际问题中的应用，如加速度与瞬时加速度的关系。
导数的定义的教案
导数的定义的教案教案标题：导数的定义教案概述：本教案旨在通过引导学生理解导数的定义，帮助他们掌握导数的概念和计算方法。
通过使用实例和练习，学生将能够理解导数的几何和物理意义，并能够应用导数来解决相关问题。
教学目标：1. 理解导数的定义和概念；2. 掌握导数的计算方法；3. 理解导数在几何和物理中的意义；4. 能够应用导数解决相关问题。
教学准备：1. 教师准备：教案、教学课件、白板、白板笔；2. 学生准备：课本、笔记本、笔。
教学过程：步骤一：导入导数的概念（5分钟）1. 教师简要介绍导数的概念，并解释导数在数学、几何和物理中的应用；2. 提问学生是否了解导数的概念，并鼓励他们分享自己的理解。
步骤二：导数的定义（15分钟）1. 教师引导学生通过观察直线、曲线和函数图像的变化来理解导数的概念；2. 教师解释导数的定义：对于函数f(x)，在点x处的导数表示函数曲线在该点的切线斜率；3. 教师通过示例和图示解释导数的计算方法，如使用极限、差商等；4. 教师引导学生一起计算简单函数的导数，如常数函数、幂函数和三角函数。
步骤三：导数的几何意义（10分钟）1. 教师通过绘制函数图像和切线来解释导数的几何意义；2. 教师引导学生观察导数的正负和大小对应函数图像的上升、下降和极值点的特征；3. 教师鼓励学生通过练习题来巩固对导数几何意义的理解。
步骤四：导数的物理意义（10分钟）1. 教师解释导数在物理中的应用，如速度、加速度等；2. 教师引导学生通过实例和图示来理解导数在物理中的意义；3. 教师鼓励学生通过练习题来应用导数解决物理问题。
步骤五：总结与拓展（5分钟）1. 教师与学生一起总结导数的定义、计算方法和几何、物理意义；2. 教师鼓励学生思考导数的更多应用领域，并提供相关拓展资源。
步骤六：作业布置（5分钟）1. 教师布置相关练习题作为课后作业；2. 教师提醒学生及时复习导数的概念和计算方法。
教学反思：本教案通过引导学生理解导数的定义、概念和应用，帮助学生建立起对导数的基本认识。
导数的概念与运算教案
导数的概念与运算教案江苏省海州高级中学 佟成军（222023）一、 教案背景1、面向学生：高中 学科：数学2、课时：13、学生课前准备： （1）记忆导数的概念。
（2）根据课本，自学利用导数的概念进行运算。
二、 教学课题:了解导数概念的实际背景；理解导数的几何意义，能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．通过变式辨析问题的异同，提高对导数的认识，形成导数的一般的应用方法，养成严谨的、辩证的思维习惯。
三、教材分析：了解导数概念的实际背景；理解导数的几何意义，能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．通过变式辨析问题的异同，提高对导数的认识，形成导数的一般的应用方法，养成严谨的、辩证的思维习惯。
【教学目标】 1、知识与技能：（1）了解导数概念的实际背景；理解导数的几何意义．（2）能根据导数定义，求函数y c =，y x =，2y x =，1y x=，y （3）能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．2、过程与方法：预习回顾导数的概念、公式、几何意义，对照、比较、归纳解决问题的方法、规律．3、情感态度与价值观：通过变式辨析问题的异同，提高对导数的认识，形成导数的一般的应用方法，养成严谨的、辩证的思维习惯． 【教学重点】导数的运算及导数几何意义的应用． 【教学难点】 导数的切线问题． 【考纲要求】导数的概念（A 级），导数的几何意义（B 级），导数的运算（B 级）． 【考题示例】1、（2007年江苏高考第9题）已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数x 都有()0f x ≥，则(1)'(0)f f 的最小值为 （ C ） A ．3 B ．52 C ．2 D ．322、（2008年江苏高考第8题）直线b x y +=21是曲线ln (0)y x x =>的一条切线，则实数b 的值为 ．ln 21-3、（2009年江苏高考第9题）在平面直角坐标系xoy 中，点P 在曲线3:103C y x x =-+上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为 ．(2,15)-y()y f x =()y f x '=1 【考试说明典型题示例】1、（2010年考试说明第59页第16题）设函数()bf x ax x=-，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为74120x y --=． （1）求()f x 的解析式；3()f x x x=-（2）证明：曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =及直线y x =所围成的三角形的面积是一个定值，并求此定值．6设计意图：通过高考题和典型题示例使学生首先感受高考题的考查形式、内容、方法及相应难度，使之明确这部分内容的重点． 【知识梳理】见选修2—2课本第5—27页 1、 导数的概念： 2、 导数的几何意义：3、基本初等函数的导数公式（见学案）4、导数运算法则（见学案）设计意图：使学生能够认识基础的概念在课本上，要重视基础知识的掌握． 6、已知2()2(1)f x x xf '=+，则(0)f '= ．【自学质疑】 1、函数()f x =00[,]x x x +∆上的平均变化率yx∆=∆ ，在0x x =时的瞬时变化率等于．2、一质点M 的运动方程为21S t =+（位移单位：m ，时间单位：s ），则质点M 在2 s 到2t +∆s 的平均速度st∆=∆ ，质点M 在2 s 时的速度2|t S ='= ．4x +∆m/s ，4 m/s 3、（1）2(log )x '= ；（2）(3)x'= ；（3）(cos )x '-= ； （4）(sin 2)x '= ．4、函数233x y x +=-+在3x =处的导数为 ．23-5、已知函数()y f x =在点(1,(1))M f 处的切线方程是122y x =+，则(1)(1)f f '+= ． 变式：如图，已知函数()y f x =及其导函数()y f x '= 的图象，则在点(1,0)P 处的切线方程_____． 链接：选修课本2—2第26页第12题．（对数学符号、图象语言的准确理解、转化、把握） 6、已知2()2(1)f x x xf '=+，则(0)f '= ．追问：(1)f '的含义及作用，采用了什么方法（赋值法）？还可以求()f x '，强调把握数学符号． 7、点P 在曲线312y x x =-+上移动，在点P 处的切线的倾斜角为α，则α的取值范围是 ．变式：在函数38y x x =-图象上，其切线倾斜角小于4π的点中，坐标为整数的点个数为 . （导数的几何意义与直线斜率以及倾斜角的关系，关注逆向问题的差异性，注意） 8、设曲线ln(21)y x =-上点到直线230x y -+=距离为d ，则min d = . 变式：设曲线ln(21)y x =-上点到直线270x y --=距离为d ，则min d = . （提示：曲线ln(21)y x =-与直线270x y --=相交，故min 0d =.能够应用数形结合的思想，并注意解题过程的监控）设计意图：使学生能够熟悉概念、公式，变式是为了对照比较问题的异同演变． 【学习过程】例1、求下列函数在0x x =处导数． （1）230()cos sin cos ,3f x x x x x π=⋅+=；（2）20()sin(12cos ),246x x f x x π=--=；（3）0()2x xf x x ==；（4）3202ln (),1x x xf x x x+==．设计意图：使学生熟悉求导公式应用的同时，能够体会解本题时的步骤合理性——应该是先化简，后求导，再代入，即将问题的形式尽可能转化到我们熟悉的形式，能够直接应用形成的公式、结论，不要再去重复课本上已经做过的工作．以期培养学生求简优化的解题意识． （回溯到自学质疑6） 例2、已知曲线31433y x =+． （1）求曲线在点(2,4)P 处的切线方程；（2）求曲线过点(2,4)P 的切线方程； （3）求满足斜率为4的曲线的切线方程．我们所做的都是点在曲线上的题目，若点不在曲线上如何求解？ 变式1：求曲线过点(0,4)R -的切线方程． 变式2：若直线44y x =-与曲线313y x b =+相切，则实数b 的值为_____________.设计意图：原题是点(2,4)P 在曲线上，而变式1中点(0,4)R -不在曲线上.其实无论点是否在曲线上，都要能够意识到：要求切线，先找切点．使学生熟悉导数的几何意义，能够求曲线的不同条件下的切线问题，变式更是为了对照比较后能够更好地理解掌握求切线问题的一般方法及步骤：一般地，若曲线()y f x =在点00(,)P x y 处的切线为y kx b =+，则满足00000,(),().y kx b y f x k f x =+⎧⎪=⎨⎪'=⎩即切点处于核心枢纽的地位，是一点三位的.（本题是具体函数的切线问题，可以回溯到自学质疑5及其变式，研究抽象函数的的切线问题，进而再到自学质疑8及其变式，关注导数几何意义的应用）例3、向底面半径与高相等的圆锥形容器中注水，速度为39cm /s π，在水面高度为10cm 时，水面上升的速度为 .变式：若以n 立方厘米/秒的速度向一底面半径为r 厘米，高为h 厘米的倒立圆锥容器内注水，求在注水t 秒时，水面上升的速率． 变式的演绎（一般到特殊）：选修课本2—2第40页第3题． 设计意图：本例是导数的求导公式的应用问题. 【巩固检测】1、已知32()32f x ax x =++，若(1)4f '-=，则a = ．2、曲线2ln xx x y e e=-在点2x =处的切线斜率为 ．3、过原点作曲线xy e =的切线，则切点的坐标为 ，切线的斜率为 ．4、设点P是曲线32y x =+上的任意一点，点P 处的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是 ．5、已知直线21y x =+与曲线3y x x b =-+相切，则b 的值为 ．6、曲线32y x x =+-在点A 处的切线平行于直线4y x =，则点A 的坐标是 ． 7、设010()sin ,()()f x x f x f x '==，211()(),,()()n n f x f x f x f x +''== ，则2009()f x = . 8、已知函数()()sin cos 2f x f x x π'=+，则()4f π= ．9、水波的半径以50cm/s 的速度向外扩张，当半径为250cm 时，圆面积的膨胀率是 .10、已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为()f x '，(0)0f '>，对于任意实数x 都有()0f x ≥，则(1)(0)f f '的最小值为 ． 11、已知函数32()(,)f x x ax b a b =-++∈R ，若曲线[])1,0)((∈=x x f y 在其上任意一点处的切线的斜率均在区间[]1,0内，试求a 的取值范围.12、已知0a >，曲线33y x a =-在11(0)x x x =>处的切线为l . （1）求l 的方程；（2）设l 与x 轴的交点为2(,0)x ，求证：①2x a ≥；②若1x a >，则21x x <.设计意图：巩固本节课所学内容. 【目标反思】设计意图：新课程的理念下，教师不是教教材，而是用教材教，新课程突出了教师在课程建设中的重要作用。
高中数学导数运算教案
高中数学导数运算教案
一、概述
本节课将介绍导数的概念和导数的运算法则，帮助学生掌握导数的基本理论和计算技巧。
二、教学目标
1. 了解导数的定义；
2. 掌握导数的常见运算法则；
3. 能够运用导数计算函数的导数。
三、教学内容
1. 导数的定义；
2. 导数的四则运算法则；
3. 导数的基本计算方法。
四、教学过程
1. 导数的定义
- 引导学生回顾函数的定义并介绍导数的概念；
- 解释导数的物理意义，即函数在某点的导数表示函数在该点的变化率。
2. 导数的四则运算法则
- 分别介绍导数的四则运算法则，包括常数倍法则、和差法则、积法则和商法则；
- 在例题中演示如何运用四则运算法则计算导数。
3. 导数的基本计算方法
- 通过练习题让学生掌握导数的基本计算方法；
- 强调导数计算中的小技巧和注意事项。
五、教学互动
1. 利用课堂练习巩固学生对导数概念和运算法则的理解；
2. 带领学生讨论导数在实际问题中的应用，并引导学生思考如何运用导数解决实际问题。
六、作业布置
1. 完成课后练习题，巩固导数的基本概念；
2. 提出导数应用题，让学生运用导数计算方法解决实际问题。
七、教学反思
1. 总结学生在学习导数过程中的困难和问题；
2. 收集学生的反馈意见，不断改进教学方法和内容。
八、教学评价
1. 通过作业和课堂练习检查学生对导数的掌握情况；
2. 根据学生的表现评估教学效果并调整下节课的教学计划。
以上为高中数学导数运算教案范本，希朥对您有所帮助。
导数的概念教案
导数的概念教案一、教学目标：1.了解导数的定义和概念。
2.理解导数的几何意义和物理意义。
3.掌握常见函数的导数公式。
4.能运用导数求解函数的最值和解析式。
二、教学内容：1.导数的定义和概念2.导数的几何意义和物理意义3.常见函数的导数公式4.函数最值和解析式的求解三、教学过程：1.导数的定义和概念导数是数学中的一种概念，用于描述函数在某点的变化速率。
在数学上，导数被定义为函数在小的变化量下的极限。
例如，如果一个函数f在点x0处连续，那么它在x0处的导数就是函数在x0处的切线的斜率。
2.导数的几何意义和物理意义导数的几何意义是函数在某一点的切线斜率，也就是变化率。
在物理中，导数表示物体的速度，加速度等。
3.常见函数的导数公式常见函数的导数公式包括：（1）常数函数f（x）=c（c为常数）的导数为0。
（2）幂函数f（x）= x^n的导数为f’（x）= nx^(n-1)（3）指数函数f（x）= e^x的导数为f’（x）= e^x（4）对数函数f（x）= loga x的导数为f’（x）= 1/(xlna)（5）三角函数f（x）= sin x 的导数为f’（x）= cos x（6）反三角函数f（x）= arcsin x 的导数为f’（x）= 1/ sqrt（1-x^2）4.函数最值和解析式的求解函数的最值可以用导数求解，具体方法是找到导数为0或不存在的点，然后判断这些点的函数值的大小。
解析式的求解也可以用导数求解，具体方法是先求出导数公式，然后代入给定条件解方程，得到解析式。
四、教学总结：导数是数学中的一种概念，用于描述函数在某点的变化速率。
导数的几何意义是函数在某一点的切线斜率，也就是变化率。
常见函数的导数公式包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数。
函数的最值和解析式的求解可以用导数求解。
第1课时 导数的概念及其运算(导学案)精华版
2 求曲线过点P 2, 4 的切线方程; 3 求斜率为4的曲线的切线方程.
[分析]求曲线的切线方程的方法是通过切点坐标,求出切线的 斜率,再通过点斜式得切线方程.
1 4 [解] 1 P 2, 4 在曲线y x3 上, 3 3 且y x 2 , 在点P 2, 4 处的切线的斜率k y |x 2 4. 曲线在点P 2, 4 处的切线方程为y 4 4 x 2 , 即4x y 4 0. 1 3 4 2 设曲线y x 3 3 与过点P 2, 4 的切线相切于点 1 3 4 A x0 , x0 , 3 3 2 则切线的斜率k y |x x 0 x 0 .
Δx→0
A. f′(1)
1 C. f′(1) 3
B. 3f′(1)
3x
等于(
)
D. f′(3)
选C.因为f(x)可导，
f (1 x) f (1) lim 所以 x 0 3x 1 f (1 x) f (1) 1 lim g ' (1) x 0 3 x 3
4 切点为 2, 4 或 2, , 3 4 切线方程为y 4 4 x 2 或y 4( x 2), 3 即4x y 4 0或12x 3y 20 0.
(1)设曲线 y＝aex 在 x＝0 处的切线与直线 x＋2y＋1＝0 垂 直，则实数 a＝________. 1 (2)直线 y＝2x＋b 是曲线 y＝ln x(x>0)的一条切线，则实 数 b＝________.
2 1 0,
x 0 1 x 0 2 0, 解得x 0 1或x 0 2,
2
故所求的切线方程为4x y 4 0或x y 2 0.
初中数学教案导数的概念与计算
初中数学教案导数的概念与计算初中数学教案：导数的概念与计算在初中数学中，导数是一个重要而基础的概念。
它帮助我们理解函数的变化率，并且对于解决实际问题起着关键作用。
本教案将介绍导数的概念以及如何计算导数。
一、导数的概念导数可以理解为函数在某一点上的变化率。
具体来说，给定函数 y = f(x)，在点 x 处的导数可以表示为 f'(x)，它表示了函数在该点处的斜率。
导数的概念可以用以下数学形式来表示：f'(x) = lim(Δx→0) [ f(x+Δx) - f(x) ] / Δx其中，lim表示极限的意思，Δx表示自变量 x 的一个极小的增量。
导数是一个关于自变量 x 的函数，代表了函数 f(x) 在每个点处的斜率。
函数在不同点处的导数值可以不同，因此导数描述了函数的变化率。
二、导数的计算方法计算导数的方法有多种，下面我们将介绍其中的两种常见方法：几何法和基本函数的导数法则。
1. 几何法几何法是直观地理解导数概念的方法。
我们可以通过观察函数图像的切线来求解导数。
具体步骤如下：（1）选择函数上的一个点 P(x, f(x))；（2）选择一个与函数图像切线相切的点 Q(x+Δx, f(x+Δx))，其中Δx 是一个极小的增量；（3）计算切线的斜率，即Δy/Δx，其中Δy = f(x+Δx) - f(x)；（4）当Δx 趋近于 0 时，切线的斜率趋近于导数 f'(x)。
通过几何方法求导可以帮助我们直观地理解导数的概念，但对于复杂的函数来说，计算往往比较困难。
2. 基本函数的导数法则虽然几何法可以用于求解导数，但基本函数的导数法则较为简便实用。
基本函数的导数法则是一套常用的规则，可以用来计算常见函数的导数。
以下是一些常见函数的导数法则：（1）常数函数：f(x) = c，其导数为 f'(x) = 0，其中 c 为常数。
（2）幂函数：f(x) = x^n，其导数为 f'(x) = n*x^(n-1)，其中 n 为实数。
导数的概念及运算学案共10页
第三章 导数及其应用 学案13 导数的概念及运算导学目标： 1.了解导数概念的实际背景，理解函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念．了解曲线的切线的概念.2.能根据导数定义，求函数y ＝C (C 为常数)，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝1x，y ＝x 的导数．熟记基本初等函数的导数公式(c ，x m (m 为有理数)，sin x ，cos x ，e x ，a x ，ln x ，log a x 的导数)，能利用基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(仅限于形如f (ax ＋b ))的导数．自主梳理1．函数的平均变化率一般地，已知函数y ＝f (x )，x 0，x 1是其定义域内不同的两点，记Δx ＝x 1－x 0，Δy ＝y 1－y 0＝f (x 1)－f (x 0)＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)，则当Δx ≠0时，商________________________＝ΔyΔx称作函数y ＝f (x )在区间[x 0，x 0＋Δx ](或[x 0＋Δx ，x 0])的平均变化率．2．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数 (1)定义函数y ＝f (x)在点x 0处的瞬时变化率______________通常称为f (x )在x ＝x 0处的导数，并记作f ′(x 0)，即______________________________．(2)几何意义函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是过曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))的____________．导函数y ＝f ′(x )的值域即为__________________． 3．函数f (x )的导函数如果函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内每一点都是可导的，就说f (x )在开区间(a ，b )内可导，其导数也是开区间(a ，b )内的函数，又称作f (x )的导函数，记作____________．45(1)[f (x )±g (x )]′＝__________； (2)[f (x )g (x )]′＝______________；(3)⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝______________ [g (x )≠0]．6．复合函数的求导法则：设函数u ＝φ(x )在点x 处有导数u x ′＝φ′(x )，函数y ＝f (u )在点x 处的对应点u 处有导数y u ′＝f ′(u )，则复合函数y ＝f (φ(x ))在点x 处有导数，且y ′x ＝y ′u ·u ′x ，或写作f ′x (φ(x ))＝f ′(u )φ′(x )．自我检测1．在曲线y ＝x 2＋1的图象上取一点(1,2)及附近一点(1＋Δx ，2＋Δy )，则ΔyΔx为 ( )A ．Δx ＋1Δx ＋2B ．Δx －1Δx－2C ．Δx ＋2D ．2＋Δx －1Δx2．设y ＝x 2·e x ，则y ′等于( )A ．x 2e x ＋2xB ．2x e xC ．(2x ＋x 2)e xD ．(x ＋x 2)·e x 3．(2019·全国Ⅱ)若曲线y ＝x －12在点(a ，a －12)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a 等于 ( )A ．64B ．32C ．16D ．84．(2019·临汾模拟)若函数f (x )＝e x＋a e －x 的导函数是奇函数，并且曲线y ＝f (x )的一条切线的斜率是32，则切点的横坐标是( )A ．－ln 22B ．－ln 2C.ln 22D ．ln 2 5．(2009·湖北)已知函数f (x )＝f ′(π4)cos x ＋sin x ，则f (π4)＝________.探究点一 利用导数的定义求函数的导数 例1 利用导数的定义求函数的导数：(1)f (x )＝1x 在x ＝1处的导数；(2)f (x )＝1x ＋2.变式迁移1 求函数y ＝x 2＋1在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率，并求出其导函数． 探究点二 导数的运算例2 求下列函数的导数：(1)y ＝(1－x )⎝⎛⎭⎫1＋1x ；(2)y ＝ln xx ；(3)y ＝x e x ；(4)y ＝tan x .变式迁移2 求下列函数的导数：(1)y ＝x 2sin x ；(2)y ＝3x e x －2x ＋e ；(3)y ＝ln xx 2＋1.探究点三 求复合函数的导数 例3 (2019·莆田模拟)求下列函数的导数：(1)y ＝(1＋sin x )2；(2)y ＝11＋x 2； (3)y ＝ln x 2＋1；(4)y ＝x e 1－cos x . 变式迁移3 求下列函数的导数：(1)y ＝1(1－3x )4；(2)y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫2x ＋π3； (3)y ＝x 1＋x 2.探究点四 导数的几何意义例4 已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程； (2)求曲线过点P (2,4)的切线方程；(3)求满足斜率为1的曲线的切线方程．变式迁移4 求曲线f (x )＝x 3－3x 2＋2x 过原点的切线方程． 1．准确理解曲线的切线，需注意的两个方面：(1)直线与曲线公共点的个数不是切线的本质特征，若直线与曲线只有一个公共点，则直线不一定是曲线的切线，同样，若直线是曲线的切线，则直线也可能与曲线有两个或两个以上的公共点．(2)曲线未必在其切线的“同侧”，如曲线y ＝x 3在其过(0,0)点的切线y ＝0的两侧． 2．曲线的切线的求法：若已知曲线过点P (x 0，y 0)，求曲线过点P 的切线则需分点P (x 0，y 0)是切点和不是切点两种情况求解．(1)点P (x 0，y 0)是切点的切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)． (2)当点P (x 0，y 0)不是切点时可分以下几步完成： 第一步：设出切点坐标P ′(x 1，f (x 1))；第二步：写出过P ′(x 1，f (x 1))的切线方程为y －f (x 1)＝f ′(x 1)(x －x 1)； 第三步：将点P 的坐标(x 0，y 0)代入切线方程求出x 1；第四步：将x 1的值代入方程y －f (x 1)＝f ′(x 1)(x －x 1)可得过点P (x 0，y 0)的切线方程． 3．求函数的导数要准确地把函数分割为基本初等函数的和、差、积、商及其复合运算，再利用运算法则求导数．在求导过程中，要仔细分析函数解析式的结构特征，紧扣法则，联系基本初等函数求导公式，对于不具备求导法则结构形式的要适当变形．(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．已知函数f (x )＝2ln(3x )＋8x ，则0lim →∆x f (1－2Δx )－f (1)Δx 的值为 ( )A ．10B ．－10C ．－20D ．202．(2019·温州调研)如图是函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的部分图象，则函数g (x )＝ln x ＋f ′(x )的零点所在的区间是 ( )A.⎝⎛⎭⎫14，12 B ．(1,2) C.⎝⎛⎭⎫12，1 D ．(2,3) 3．若曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为 ( ) A ．4x －y －3＝0 B ．x ＋4y －5＝0 C ．4x －y ＋3＝0 D ．x ＋4y ＋3＝04．(2019·辽宁)已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是 ( )A.⎣⎡⎭⎫0，π4B.⎣⎡⎭⎫π4，π2C.⎝⎛⎦⎤π2，3π4D.⎣⎡⎭⎫3π4，π 5．(2019·珠海模拟)在下列四个函数中，满足性质：“对于区间(1,2)上的任意x 1，x 2 (x 1≠x 2)，|f (x 2)－f (x 1)|<|x 2－x 1|恒成立”的只有 ( )A ．f (x )＝1xB ．f (x )＝|x |C ．f (x )＝2xD ．f (x )＝x 26．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的位移为s ＝13t 3－32t 2＋2t ，那么速度为零的时刻是__________．7．若点P 是曲线f (x )＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小距离为________．8．设点P 是曲线y ＝x 33－x 2－3x －3上的一个动点，则以P 为切点的切线中，斜率取得最小值时的切线方程是__________________．三、解答题(共38分)9．(12分)求下列函数在x ＝x 0处的导数．(1)f (x )＝e x 1－x ＋e x1＋x ，x 0＝2；(2)f (x )＝x －x 3＋x 2ln xx 2，x 0＝1.10．(12分)(2019·保定模拟)有一个长度为5 m 的梯子贴靠在笔直的墙上，假设其下端沿地板以3 m/s 的速度离开墙脚滑动，求当其下端离开墙脚1.4 m 时，梯子上端下滑的速度．11．(14分)(2019·平顶山模拟)已知函数f (x )＝12x 2－a ln x (a ∈R )．(1)若函数f (x )的图象在x ＝2处的切线方程为y ＝x ＋b ，求a ，b 的值； (2)若函数f (x )在(1，＋∞)上为增函数，求a 的取值范围． 自主梳理1.00()()f x x f x x +-△△2.（1）0lim x y x →△△△ 00'()lim x yf x x→=△△△ (2)切线的斜率 切线斜率的取值范围3.y ′或f ′(x)4．0 αx α－1 cos x －sin x a x ln a e x1x ln a 1x5．(1)f ′(x )±g ′(x ) (2)f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x ) (3)f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2自我检测1．C 2.C 3.A 4.D 5．1解析 ∵f ′(x )＝－f ′(π4)sin x ＋cos x ，∴f ′(π4)＝2－1.∴f (π4)＝1.课堂活动区例1 解题导引 (1)用导数定义求函数导数必须把分式ΔyΔx 中的分母Δx 这一因式约掉才可能求出极限，所以目标就是分子中出现Δx ，从而分子分母相约分．(2)第(1)小题中用到的技巧是“分子有理化”．“有理化”是处理根式问题常用的方法，有时用“分母有理化”，有时用“分子有理化”．(3)注意在某点处的导数与导数定义式的区别：0000(()()'()limx f x x f x f x x→+-=△△△；0()()'()limx f x x f x f x x →+-=△△△； (4)用导数的定义求导的步骤为：①求函数的增量Δy ；②求平均变化率ΔyΔx ；③化简取极限．解 (1)Δy Δx ＝f (1＋Δx )－f (1)Δx=△△，∴0'(1)lim lim x x y f x →→==△△△△＝－12.(2)Δy Δx ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx＝1122x x x x-+++△△＝(x ＋2)－(x ＋2＋Δx )Δx (x ＋2)(x ＋2＋Δx )＝－1(x ＋2)(x ＋2＋Δx )，∴001'()lim lim (2)(2)x x y f x x x x x →→-==+++△△△△△＝－1(x ＋2)2.变式迁移1 解 ∵Δy ＝(x 0＋Δx )2＋1－x 20＋1＝(x 0＋Δx )2＋1－x 20－1(x 0＋Δx )2＋1＋x 20＋1＝2x 0Δx ＋(Δx )2(x 0＋Δx )2＋1＋x 20＋1，∴Δy Δx ＝2x 0＋Δx (x 0＋Δx )2＋1＋x 20＋1.∴yx=△△△∴y '=0lim limx x x →→=△△△ ＝2x 2x 2＋1＝xx 2＋1. 例2 解题导引 求函数的导数要准确地把函数分割为基本函数的和、差、积、商及其复合运算，再利用运算法则求导数．在求导过程中，要仔细分析函数解析式的结构特征，紧扣求导法则，联系基本函数求导公式．对于不具备求导法则结构形式的要适当恒等变形．解 (1)∵y ＝(1－x )⎝⎛⎭⎫1＋1x＝1x－x ＝1122x x --，∴y ′＝1122()'()'xx --＝31221122x x ----.(2)y ′＝⎝⎛⎭⎫ln x x ′＝(ln x )′x －x ′ln x x 2＝221ln 1ln x xxx x x --=. (3)y ′＝x ′e x ＋x (e x )′＝e x ＋x e x ＝e x (x ＋1)． (4)y ′＝⎝⎛⎭⎫sin x cos x ′＝(sin x )′cos x －sin x (cos x )′cos 2x ＝cos x cos x －sin x (－sin x )cos 2x ＝1cos 2x. 变式迁移2 解 (1)y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′＝2x sin x ＋x 2cos x . (2)y ′＝(3x e x )′－(2x )′＋(e)′ ＝(3x )′e x ＋3x (e x )′－(2x )′ ＝3x ln 3·e x ＋3x e x －2x ln 2 ＝(ln 3＋1)(3e)x －2x ln 2.(3)y ′＝(ln x )′(x 2＋1)－ln x (x 2＋1)′(x 2＋1)2＝1x (x 2＋1)－ln x ·2x (x 2＋1)2＝x 2＋1－2x 2ln x x (x 2＋1)2.例3 解题导引 (1)求复合函数导数的思路流程为： 分解复合关系→分解复合关系→分层求导(2)由复合函数的定义可知，中间变量的选择应是基本函数的结构，解这类问题的关键是正确分析函数的复合层次，一般是从最外层开始，由外向内，一层一层地分析，把复合函数分解成若干个常见的基本函数，逐步确定复合过程．解 (1)y ′＝[(1＋sin x )2]′ ＝2(1＋sin x )·(1＋sin x )′ ＝2(1＋sin x )·cos x ＝2cos x ＋sin 2x .(2)y ′＝122(1)x -⎡⎤+⎢⎥⎣⎦′3222322(1)(1)'(1)x x x x --=++=-+=(3)y ′＝(ln x 2＋1)′＝1x 2＋1·(x 2＋1)′＝1x 2＋1·12(x 2＋1)－12·(x 2＋1)′＝x x 2＋1. 1cos 1cos 1cos 1cos 1cos 1cos 1cos 1cos (4)'()'()'[(1cos )']sin (1sin ).x x x x x xxx y xe e x e e x e x exexx x e --------==+=+-=+=+变式迁移3 解 (1)设u ＝1－3x ，y ＝u －4. 则y x ′＝y u ′·u x ′＝－4u －5·(－3)＝12(1－3x )5. (2)设y ＝u 2，u ＝sin v ，v ＝2x ＋π3，则y x ′＝y u ′·u v ′·v x ′＝2u ·cos v ·2＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3·cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋2π3. (3)y ′＝(x1＋x 2)′＝x ′·1＋x 2＋x (1＋x 2)′＝1＋x 2＋x 21＋x2＝1＋2x 21＋x2.例4 解题导引 (1)求曲线的切线要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的差异；过点P 的切线中，点P 不一定是切点，点P 也不一定在已知曲线上，而在点P 处的切线，必以点P 为切点．(2)求函数对应曲线在某一点处的切线的斜率，只要求函数在该点处的导数即可． (3)解决“过某点的切线”问题，一般是设出切点坐标解决． 解 (1)∵y ′＝x 2，∴在点P (2,4)处的切线的斜率k ＝y ′|x ＝2＝4. ∴曲线在点P (2,4)处的切线方程为 y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.(2)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2,4)的切线相切于点A ⎝⎛⎭⎫x 0，13x 30＋43，则切线的斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝x 20.∴切线方程为y －⎝⎛⎭⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)， 即y ＝x 20x －23x 30＋43. ∵点P (2,4)在切线上，∴4＝2x 20－23x 30＋43， 即x 30－3x 20＋4＝0，∴x 30＋x 20－4x 20＋4＝0， ∴x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0，∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0， 解得x 0＝－1或x 0＝2，故所求切线方程为4x －y －4＝0或x －y ＋2＝0. (3)设切点为(x 0，y 0)，则切线的斜率为k ＝x 20＝1，解得x 0＝±1， 故切点为⎝⎛⎭⎫1，53，(－1,1)． 故所求切线方程为y －53＝x －1和y －1＝x ＋1，即3x －3y ＋2＝0和x －y ＋2＝0.变式迁移4 解 f ′(x )＝3x 2－6x ＋2.设切线的斜率为k .(1)当切点是原点时k ＝f ′(0)＝2，所以所求曲线的切线方程为y ＝2x .(2)当切点不是原点时，设切点是(x 0，y 0)，则有y 0＝x 30－3x 20＋2x 0，k ＝f ′(x 0)＝3x 20－6x 0＋2，①又k ＝y 0x 0＝x 20－3x 0＋2，②由①②得x 0＝32，k ＝－14.∴所求曲线的切线方程为y ＝－14x .综上，曲线f (x )＝x 3－3x 2＋2x 过原点的切线方程为y ＝2x 或y ＝－14x .课后练习区1．C 2.C 3.A 4.D 5.A 6．1秒或2秒末 7. 28．12x ＋3y ＋8＝09．解 (1)∵f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2e x1－x ′＝(2e x )′(1－x )－2e x (1－x )′(1－x )2＝2(2－x )e x(1－x )2，∴f ′(2)＝0.………………………………………………………………(6分) (2)∵f ′(x )＝(x －32)′－x ′＋(ln x )′＝－32x －52－1＋1x ，∴f ′(1)＝－32.……………………………………………………(12分)10．解 设经时间t 秒梯子上端下滑s 米， 则s ＝5－25－9t 2，当下端移开1.4 m 时，……………………………………………………………………(3分) t 0＝1.43＝715，……………………………………………………………………………(5分)又s ′＝－12(25－9t 2)－12·(－9·2t )＝9t ·125－9t 2，…………………………………………………………………………(10分)所以s ′(t 0)＝9×715·125－9×⎝⎛⎭⎫7152＝0.875 (m /s )．故所求的梯子上端下滑的速度为0.875 m /s .……………………………………………(12分)11．解 (1)因为f ′(x )＝x －ax (x >0)，……………………………………………………(2分)又f(x )在x ＝2处的切线方程为y ＝x ＋b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧2－a ln 2＝2＋b ，2－a 2＝1，……………………………………………………………（5分）解得a ＝2，b ＝－2ln 2.……………………………………………………………………(7分)(2)若函数f (x)在(1，＋∞)上为增函数，则f ′(x )＝x －ax ≥0在(1，＋∞)上恒成立，……………………………………………(10分)即a ≤x 2在(1，＋∞)上恒成立．所以有a ≤1.……………………………………………………………………………(14分)。
导数 第一课时 导数的概念及运算 导学案-江苏省高邮市第一中学2021届高三数学一轮复习
第一课时 导数的概念及运算【学习目标】 1.了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想；2.体会极限思想；3.通过函数图象直观理解导数的几何意义；4.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数；能求简单的复合函数(限于形如f(ax ＋b))的导数；5.会使用导数公式表. 【预习单】 基础自测1.判断下列结论的正误.(在括号内打“√”或“×”) (1)f ′(x 0)是函数y ＝f(x)在x ＝x 0附近的平均变化率.( ) (2)函数f(x)＝sin(-x)的导数f ′(x)＝cos x.( ) (3)求f ′(x 0)时，可先求f(x 0)，再求f ′(x 0).( )(4)曲线y ＝f(x)在某点处的切线与曲线y ＝f(x)过某点的切线意义是相同的.( )2.在高台跳水运动中，t s 时运动员相对于水面的高度(单位：m)是h(t)＝－4.9t 2＋6.5t ＋10， 则运动员的速度v ＝____ m/s ，加速度a ＝____ m/s 2.3.曲线y ＝2sin x ＋cos x 在点(π，－1)处的切线方程为( )A.x －y －π－1＝0B.2x －y －2π－1＝0C.2x ＋y －2π＋1＝0D.x ＋y －π＋1＝0 4.设f(x)＝ln(3－2x)＋cos 2x ，则f ′(0)＝________. 5.曲线y ＝3(x 2＋x)e x 在点(0，0)处的切线方程为________. 知识梳理 1. 导数的概念设函数y ＝f(x)在区间(a ，b)上有定义，且x 0∈(a ，b)，若Δx 无限趋近于0时， 比值ΔyΔx ＝ 无限趋近于一个常数A ，则称f(x)在x ＝x 0处可导， 并称该常数A 为函数f(x)在x ＝x 0处的导数，记作 ．若函数y ＝f(x)在区间(a ，b)内任意一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着x 的变化而变化，因而是自变量x 的函数，该函数称作f(x)的导函数，记作 ． 2. 导数的几何意义函数y ＝f(x)在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y ＝f(x)在点P(x 0，f(x 0))处的切线的 ，过点P 的切线方程为 ． 3. 基本初等函数的导数公式4. 导数的运算法则若f ′(x)，g ′(x)存在，则有：(1)[f(x)±g(x)]′＝；(2)[f(x)·g(x)]′＝ ；(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）＝ (g(x)≠0)．5. 复合函数的求导法则(1)一般地，对于两个函数y ＝f(u)和u ＝g(x)，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数y ＝f(u)和u ＝g(x)的复合函数，记作y ＝f(g(x))．(2)复合函数y ＝f(g(x))的导数和函数y ＝f(u)，u ＝g(x)的导数间的关系为 ，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． 【活动单】例1 求下列函数的导数：(1)f(x)＝x 2＋x e x (2)f(x)＝x 3＋2x －x 2ln x －1x 2例 2 已知函数f(x)的导函数为f ′(x)，且满足关系式f(x)＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，则f(1)＝________.练习 (1)已知f(x)＝ln 2x －12x ＋1，则f ′(x)＝________.(2)已知函数f(x)的导函数是f ′(x)，且满足f(x)＝2xf ′(1)＋ln 1x ，则f(1)＝例3 (1)曲线f(x)＝1－2ln xx在点P(1，f(1))处的切线l 的方程为 (2)在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y ＝ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点(－e ，－1) (e 为自然对数的底数)，则点A 的坐标是________.练习(1)已知曲线S ：y ＝－23x 3＋x 2＋4x 及点P(0，0)，那么过点P 的曲线S 的切线方程为 ．(2)已知函数f(x)＝xlnx ，过点A(－1e 2，0)作函数y ＝f(x)图像的切线，那么切线的方程为 .例4 (1)已知曲线y ＝ae x＋xln x 在点(1，ae)处的切线方程为y ＝2x ＋b ，则( ) A.a ＝e ，b ＝－1 B.a ＝e ，b ＝1 C.a ＝e －1，b ＝1 D.a ＝e －1，b ＝－1(2)若曲线y ＝x 2与y ＝aln x(a ≠0)存在公共切线，则实数a 的取值范围是( ) A.(0，2e] B.(0，e] C.(－∞，0)∪(0，2e] D.(－∞，0)∪(0，e]【巩固单】1. 函数在某一点的导数是( )A. 在该点的函数的增量与自变量的增量之比B. 一个函数C. 一个常数D. 函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率2. 已知函数f(x)＝axlnx ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x)为f(x)的导函数. 若f ′(1)＝3，则a 的值为 ．3. 若函数f(x)＝log a x 的图像与直线y ＝13x 相切，则a 的值为 .4. (1)已知函数f(x)＝ax ＋bx (a ，b ∈R ，b>0)的图像在点P(1，f(1))处的切线与直线x ＋2y －1＝0垂直，且函数f(x)在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增，那么b 的最大值为 ．(2)在抛物线f(x)＝12x 2上求一点P ，使点P 到直线 x －y －1＝0的距离最短，则这个最短距离为____． 5.若函数f(x)＝ln x ＋2x 2－ax 的图象上存在与直线2x －y ＝0平行的切线，则实数a 的范围是 . 6. 已知函数f(x)＝x 3＋x －16.(1)求曲线y ＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；(2)若直线l 为曲线y ＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标.7. 已知函数f(x)＝lnx ，g(x)＝12x 2＋mx ＋72(m<0)，直线l 与函数f(x)，g(x)的图像都相切，且与f(x)图像的切点为(1，f(1))，求m 的值．8. 已知某物体的运动方程为s ＝⎩⎪⎨⎪⎧3t 2＋2，t ≥3，29＋3（t －3）2，0≤t<3(位移s 的单位：m ，时间t 的单位：s)． (1)求该物体在t ∈[3，5]内的平均速度；(2)求该物体的初速度v0；(3)求该物体在t＝1时的瞬时速度．第一课时导数的概念及运算【学习目标】 1.了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想；2.体会极限思想；3.通过函数图象直观理解导数的几何意义；4.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数；能求简单的复合函数(限于形如f(ax ＋b))的导数；5.会使用导数公式表.【预习单】基础自测1.判断下列结论的正误.(在括号内打“√”或“×”)(1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率.( )(2)函数f(x)＝sin(-x)的导数f′(x)＝cos x.( )(3)求f′(x0)时，可先求f(x0)，再求f′(x0).( )(4)曲线y＝f(x)在某点处的切线与曲线y＝f(x)过某点的切线意义是相同的.( )解析(1)f′(x0)表示y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率，(1)错.(2)f(x)＝sin(－x)＝－sin x，则f′(x)＝－cos x，(2)错.(3)求f′(x0)时，应先求f′(x)，再代入求值，(3)错.(4)“在某点”的切线是指以该点为切点的切线，因此此点横坐标处的导数值为切线的斜率；而对于“过某点”的切线，则该点不一定是切点，要利用解方程组的思想求切线的方程，曲线上某点处的切线只有一条，但过某点的切线可以不止一条，(4)错.答案(1)×(2)×(3)×(4)×2.已知函数f(x)＝xx＋2，则函数在x＝－1处的切线方程是( ) A.2x－y＋1＝0 B.x－2y＋2＝0C.2x－y－1＝0D.x＋2y－2＝0解析由f(x)＝xx＋2，得f′(x)＝2（x＋2）2，又f(－1)＝－1，f′(－1)＝2.因此函数在x＝－1处的切线方程为y＋1＝2(x＋1)，即2x－y＋1＝0.答案 A3.(多填题)在高台跳水运动中，t s时运动员相对于水面的高度(单位：m)是h(t)＝－4.9t2＋6.5t ＋10，则运动员的速度v＝____ m/s，加速度a＝____ m/s2.解析v＝h′(t)＝－9.8t＋6.5，a＝v′(t)＝－9.8.答案－9.8t＋6.5 －9.84.曲线y＝2sin x＋cos x在点(π，－1)处的切线方程为( )A.x －y －π－1＝0B.2x －y －2π－1＝0C.2x ＋y －2π＋1＝0D.x ＋y －π＋1＝0解析 设y ＝f(x)＝2sin x ＋cos x ，则f ′(x)＝2cos x －sin x ， ∴曲线在点(π，－1)处的切线斜率k ＝f ′(π)＝－2， 故切线方程为y ＋1＝－2(x －π)，即2x ＋y －2π＋1＝0. 答案 C5.(2019·济宁模拟)设f(x)＝ln(3－2x)＋cos 2x ，则f ′(0)＝________. 解析 f ′(x)＝－23－2x －2sin 2x ，所以f ′(0)＝－23. 答案 －236.(2019·全国Ⅰ卷)曲线y ＝3(x 2＋x)e x在点(0，0)处的切线方程为________. 解析 y ′＝3(2x ＋1)e x ＋3(x 2＋x)e x ＝3e x (x 2＋3x ＋1)，所以曲线在点(0，0)处的切线的斜率k ＝e 0×3＝3，所以所求切线方程为y ＝3x. 答案 y ＝3x4. 下列说法中正确的判断是__③⑤__． ①f ′(x 0)与[f(x 0)]′表示的意义相同； ②求f ′(x 0)时，可先求f(x 0)再求f ′(x 0)； ③曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点； ④与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线； ⑤函数f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2的导数是f(x)＝－1x 2＋1. 【解析】 根据导数概念得③⑤正确． 知识梳理 1. 导数的概念设函数y ＝f(x)在区间(a ，b)上有定义，且x 0∈(a ，b)，若Δx 无限趋近于0时，比值ΔyΔx ＝f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx 无限趋近于一个常数A ，则称f(x)在x ＝x 0处可导，并称该常数A 为函数f(x)在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)．若函数y ＝f(x)在区间(a ，b)内任意一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着x 的变化而变化，因而是自变量x 的函数，该函数称作f(x)的导函数，记作f ′(x)． 2. 导数的几何意义函数y ＝f(x)在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y ＝f(x)在点P(x 0，f(x 0))处的切线的斜率，过点P 的切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)． 3. 基本初等函数的导数公式4. 导数的运算法则若f ′(x)，g ′(x)存在，则有： (1)[f(x)±g(x)]′＝f ′(x)±g ′(x)； (2)[f(x)·g(x)]′＝f ′(x)g(x)＋f(x)g ′(x)；(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）g 2（x ）(g(x)≠0)．5. 复合函数的求导法则(1)一般地，对于两个函数y ＝f(u)和u ＝g(x)，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数y ＝f(u)和u ＝g(x)的复合函数，记作y ＝f(g(x))．(2)复合函数y ＝f(g(x))的导数和函数y ＝f(u)，u ＝g(x)的导数间的关系为y ′x ＝y ′u ·u ′x ，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． 【活动单】例1 求下列函数的导数： (1)f(x)＝x 2＋x e x ；(2)f(x)＝x 3＋2x －x 2ln x －1x 2； (3)y ＝xsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2.解 (1)f ′(x)＝（2x ＋1）e x －（x 2＋x ）e x （e x ）2＝1＋x －x 2e x . (2)由已知f(x)＝x －ln x ＋2x －1x 2.基本初等函数 导函数 f(x)＝C(C 为常数)f ′(x)＝0 f(x)＝x αf ′(x)＝αxα－1f(x)＝sinx f ′(x)＝cosx f(x)＝cosx f ′(x)＝－sinx f(x)＝e x f ′(x)＝e x f(x)＝a x (a>0) f ′(x)＝a x lna f(x)＝lnxf ′(x)＝1x f(x)＝log a x(a>0，且a ≠1)f ′(x)＝1xlna∴f ′(x)＝1－1x －2x 2＋2x 3＝x 3－x 2－2x ＋2x 3. (3)∵y ＝xsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝12xsin(4x ＋π)＝－12xsin 4x ， ∴y ′＝－12sin 4x －12x ·4cos 4x ＝－12sin 4x －2xcos 4x.例 2 已知函数f(x)的导函数为f ′(x)，且满足关系式f(x)＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，则f(1)＝________.解析 因为f(x)＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ， ∴f ′(x)＝2x ＋3f ′(2)＋1x .令x ＝2，得f ′(2)＝4＋3f ′(2)＋12，则f ′(2)＝－94. ∴f(1)＝1＋3×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－94＋0＝－234. 答案 －234练习 (1)(角度1)已知f(x)＝ln 2x －12x ＋1，则f ′(x)＝________.(2)(角度2)(2020·雅礼中学月考)已知函数f(x)的导函数是f ′(x)，且满足f(x)＝2xf ′(1)＋ln 1x ，则f(1)＝( ) A.－eB.2C.－2D.e(3)(角度1)(2020·苏南四市联考)已知函数f(x)＝(x 2－a)ln x ，f ′(x)是函数f(x)的导函数，若f ′(1)＝－2，则a ＝________.解析 (1)f ′(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 2x －12x ＋1′＝12x －12x ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －12x ＋1′＝2x ＋12x －1·⎣⎢⎡⎦⎥⎤（2x －1）′（2x ＋1）－（2x －1）（2x ＋1）′（2x ＋1）2＝44x 2－1.(2)由已知得f ′(x)＝2f ′(1)－1x ，令x ＝1得f ′(1)＝2f ′(1)－1，解得f ′(1)＝1，则f(1)＝2f ′(1)＝2.(3)由f(x)＝(x 2－a)ln x ，得f ′(x)＝2xln x ＋x 2－a x . ∴f ′(1)＝1－a ＝－2，解得a ＝3. 答案 (1)44x 2－1 (2)B (3)3例3 (1)(2020·安徽江南十校联考)曲线f(x)＝1－2ln xx 在点P(1，f(1))处的切线l 的方程为( ) A.x ＋y －2＝0B.2x ＋y －3＝0C.3x ＋y ＋2＝0D.3x ＋y －4＝0(2)(2019·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y ＝ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点(－e ，－1)(e 为自然对数的底数)，则点A 的坐标是________. 解析 (1)因为f(x)＝1－2ln x x ，所以f ′(x)＝－3＋2ln x x 2. 又f(1)＝1，且f ′(1)＝－3.故所求切线方程为y －1＝－3(x －1)，即3x ＋y －4＝0.(2)设A(m ，n)，则曲线y ＝ln x 在点A 处的切线方程为y －n ＝1m (x －m). 又切线过点(－e ，－1)，所以有n ＋1＝1m (m ＋e). 再由n ＝ln m ，解得m ＝e ，n ＝1. 故点A 的坐标为(e ，1). 答案 (1)D (2)(e ，1)练习 (1)已知曲线S ：y ＝－23x 3＋x 2＋4x 及点P(0，0)，那么过点P 的曲线S 的切线方程为__y ＝4x 或y ＝358x__．(2)已知函数f(x)＝xlnx ，过点A(－1e 2，0)作函数y ＝f(x)图像的切线，那么切线的方程为__x ＋y ＋1e 2＝0__．【解析】 (1)设过点P 的切线与曲线S 切于点Q(x 0，y 0)，则过点Q 的曲线S 的切线斜率为k ＝y ′|x ＝x 0＝－2x 20＋2x 0＋4，又当x 0≠0时，k PQ ＝y 0x 0，∴－2x 2＋2x 0＋4＝y 0x 0. ①∵点Q 在曲线S 上，∴y 0＝－23x 30＋x 20＋4x 0.②将②代入①得－2x 20＋2x 0＋4＝－23x 30＋x 20＋4x 0x 0，化简，得43x 30－x 20＝0，∴x 0＝34或x 0＝0， 当x 0＝34时，则k ＝358，过点P 的切线方程为y ＝358x.当x 0＝0时，则k ＝4，过点P 的切线方程为y ＝4x ，故过点P 的曲线S 的切线方程为y ＝4x 或y＝358x.(2)设切点为T(x 0，y 0)，则k AT ＝f ′(x 0)， ∴x 0lnx 0x 0＋1e 2＝lnx 0＋1，即e 2x 0＋lnx 0＋1＝0. 设h(x)＝e 2x ＋lnx ＋1，则h ′(x)＝e 2＋1x ，当x>0时，h ′(x)>0，∴h(x)在(0，＋∞)上是单调增函数，∴h(x)＝0最多只有一个根. 又h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 2＝e 2×1e 2＋ln 1e 2＋1＝0，∴x 0＝1e 2.由f ′(x 0)＝－1得切线方程是x ＋y ＋1e 2＝0.例4 (1)(2019·全国Ⅲ卷)已知曲线y ＝ae x＋xln x 在点(1，ae)处的切线方程为y ＝2x ＋b ，则( ) A.a ＝e ，b ＝－1 B.a ＝e ，b ＝1 C.a ＝e －1，b ＝1D.a ＝e －1，b ＝－1(2)(2019·南通调研)若曲线y ＝x 2与y ＝aln x(a ≠0)存在公共切线，则实数a 的取值范围是( ) A.(0，2e]B.(0，e]C.(－∞，0)∪(0，2e]D.(－∞，0)∪(0，e]解析 (1)∵y ′＝ae x＋ln x ＋1，∴k ＝y ′|x ＝1＝ae ＋1， ∴切线方程为y －ae ＝(ae ＋1)(x －1)， 即y ＝(ae ＋1)x －1.又已知切线方程为y ＝2x ＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ae ＋1＝2，b ＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝e －1，b ＝－1.(2)设切线在曲线y ＝x 2上的切点坐标为(x 0，x 20)， 则切线方程为y ＝2x 0x －x 20，切线在y ＝aln x 上的切点为(x 1，aln x 1)， 该切线方程为y ＝ax 1x －a ＋aln x 1 由于两曲线有相同的公切线， 因此ax 1＝2x 0，－x 20＝aln x 1－a ，消去x 0，得a ＝4x 21－4x 21ln x 1，设g(x)＝4x 2－4x 2ln x ，g ′(x)＝4x －8xln x ，得到g(x)在(0，e 12)递增，在(e 12，＋∞)递减，故g(x)最大值为2e. 又x →＋∞时，g(x)→－∞；当x →0时，g(x)→0. 所以a 的取值范围为(－∞，0)∪(0，2e]. 答案 (1)D (2)C 【巩固单】1. 函数在某一点的导数是(C )A. 在该点的函数的增量与自变量的增量之比B. 一个函数C. 一个常数D. 函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率【解析】 选项A ，应该是在该点的函数值的增量与自变量的比的极限，故A 错误．选项B ，由导数的概念可知函数在某一点的导数为一常数，故B 错误，C 正确；选项D ，导数是在这一点到它附近一点之间的瞬时变化率，故D 错误．2. 已知函数f(x)＝axlnx ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x)为f(x)的导函数. 若f ′(1)＝3，则a 的值为__3__．【解析】 ∵f ′(x)＝a(1＋lnx)，∴f ′(1)＝a ＝3.3. 若函数f(x)＝log a x 的图像与直线y ＝13x 相切，则a 的值为(B )A. e e 2B. e 3eC. 5e D. e e4【解析】 设切点(x 0，y 0)，∵f ′(x 0)＝1x 0lna ，根据题意有⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝13x 0，y 0＝log a x 0，13＝1x 0lna ，解得x 0＝e ，a ＝e 3e .故选B.4. (1)已知函数f(x)＝ax ＋bx (a ，b ∈R ，b>0)的图像在点P(1，f(1))处的切线与直线x ＋2y －1＝0垂直，且函数f(x)在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增，那么b 的最大值为__23__．(2)在抛物线f(x)＝12x 2上求一点P ，使点P 到直线 x －y －1＝0的距离最短，则这个最短距离为4．【解析】 (1)函数f(x)的定义域为{x|x ≠0}，f ′(x)＝a －b x 2，由题意知f ′(1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1，∴a －b ＝2，∴a ＝b ＋2. 又f ′(x)＝a －bx 2≥0即a ≥b x 2在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上恒成立，∴a ≥4b ， ∴b ＋2≥4b ，解得b ≤23，即b 的最大值为23.(2)由题知当点P 在与直线x －y －1＝0平行的抛物线的切线上时，点P 到直线的距离最短. ∵f ′(x)＝x ，设点P(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝x 0＝1，∴切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12. ∵切点离直线最短，∴最短距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－12－12＝122＝24.5(1)(2020·重庆调研)已知直线y ＝1m 是曲线y ＝xe x 的一条切线，则实数m 的值为( ) A.－1eB.－eC.1eD.e(2)(2020·淄博联考)若函数f(x)＝ln x ＋2x 2－ax 的图象上存在与直线2x －y ＝0平行的切线，则实数a 的取值范围是( ) A.(－∞，－6] B.(－∞，－6]∪[2，＋∞) C.[2，＋∞)D.(－∞，－6)∪(2，＋∞)解析 (1)设切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，1m ，由y ＝xe x ，得y ′＝(xe x )′＝e x ＋xe x . 若直线y ＝1m 是曲线y ＝xe x 的一条切线， y ′|x ＝n ＝e n＋ne n＝0，解得n ＝－1， 因此1m ＝ne n＝－1e ，故m ＝－e. (2)直线2x －y ＝0的斜率k ＝2，又曲线f(x)上存在与直线2x －y ＝0平行的切线，∴f ′(x)＝1x ＋4x －a ＝2在(0，＋∞)内有解， 则a ＝4x ＋1x －2，x>0. 又4x ＋1x ≥24x ·1x ＝4，当仅当x ＝12时取“＝”.∴a ≥4－2＝2. 答案 (1)B (2)C6. 已知函数f(x)＝x 3＋x －16.(1)求曲线y ＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；(2)若直线l 为曲线y ＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标； (3)如果曲线y ＝f(x)的某一切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，求切点坐标与切线方程． 【解】 (1)由函数f(x)的解析式可知点(2，－6)在曲线y ＝f(x)上，∴f ′(x)＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1，∴在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝13， ∴切线的方程为y －(－6)＝13(x －2)， 即y ＝13x －32.(2)(方法1)设切点为(x 0，y 0)， 则直线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋1，∴直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16.又∵直线l 过点(0，0)，∴0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16，整理得x 30＝－8，∴x 0＝－2， ∴y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26， f ′(－2)＝3×(－2)2＋1＝13，故直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)．(方法2)设直线l 的方程为y ＝kx ，切点坐标为(x 0，y 0)，则k ＝y 0－0x 0－0＝x 30＋x 0－16x 0. 又∵k ＝f ′(x 0)＝3x 20＋1，∴x 30＋x 0－16x 0＝3x 20＋1，解得x 0＝－2， ∴y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，k ＝3×(－2)2＋1＝13，∴直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)． (3)∵曲线f(x)的某一切线与直线y ＝－x4＋3垂直，∴该切线的斜率k ＝4.设切点的坐标为(x 0，y 0)， 则f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4，∴x 0＝±1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1，y 0＝－14或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，y 0＝－18.故切线方程为y －(－14)＝4(x －1)或y －(－18)＝4(x ＋1)，即y ＝4x －18或y ＝4x －14. 7. 已知函数f(x)＝lnx ，g(x)＝12x 2＋mx ＋72(m<0)，直线l 与函数f(x)，g(x)的图像都相切，且与f(x)图像的切点为(1，f(1))，则m 等于__－2__． 【解析】 ∵f ′(x)＝1x ，∴直线l 的斜率为k ＝f ′(1)＝1. 又f(1)＝0，∴切线l 的方程为y ＝x －1.g ′(x)＝x ＋m ，设直线l 与g(x)的图像的切点为(x 0，y 0)，则有x 0＋m ＝1，y 0＝x 0－1，y 0＝12x 20＋mx 0＋72，m<0，消x 0得m 2－2m －8＝0，解得m ＝－2.【点评】 由导数的定义求函数问题首先要考虑定义域问题，含有参数一般要对参数进行分类讨论．8. 已知某物体的运动方程为s ＝⎩⎪⎨⎪⎧3t 2＋2，t ≥3，29＋3（t －3）2，0≤t<3 (位移s 的单位：m ，时间t 的单位：s)． (1)求该物体在t ∈[3，5]内的平均速度； (2)求该物体的初速度v 0；(3)求该物体在t ＝1时的瞬时速度．【解】 (1)∵该物体在t ∈[3，5]内的时间变化量为Δt ＝5－3＝2，该物体在t ∈[3，5]内的位移变化量为Δs ＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48， ∴该物体在t ∈[3，5]内的平均速度为Δs Δt ＝482＝24(m/s)．(2)(方法1)求该物体的初速度v 0即求该物体在t ＝0时的瞬时速度． ∵该物体位移在t ＝0附近的平均变化率为Δs Δt ＝s|t ＝0＋Δt －s|t ＝0Δt ＝29＋3×（0＋Δt －3）2－29－3×（0－3）2Δt＝3Δt －18， 当Δt 无限趋近于0时，ΔsΔt ＝3Δt －18无限趋近于－18，∴该物体的初速度v 0为－18 m/s.(方法2)求该物体的初速度v 0，即求该物体在t ＝0时的瞬时速度，即求该物体在t ＝0时刻的导数．∵s ＝29＋3(t －3)2, ∴s ′＝6t －18，∵s ′(0)＝－18， ∴该物体的初速度v 0为－18 m/s.(3)(方法1)该物体在t ＝1时的瞬时速度即为位移s 在t ＝1处的瞬时变化率． ∵物体的位移在t ＝1附近的平均变化率为ΔsΔt ＝s|t ＝1＋Δt －s|t ＝1Δt＝29＋3×（Δt －2）2－29－3×（1－3）2Δt＝ 3Δt －12，当Δt 无限趋近于0时，ΔsΔt ＝3Δt －12无限趋近于 －12，∴该物体在t ＝1时的瞬时速度为－12 m/s.(方法2)该物体在t ＝1时的瞬时速度即为函数s 在t ＝1处的导数值． ∵s ＝29＋3(t －3)2, ∴s ′＝6t －18，∵s ′(1)＝－12， ∴该物体在t ＝1时的瞬时速度为－12 m/s.。
2022年教学教案 《导数知识的概念与运算》优秀教案
导数知识的概念与运算问题1：导数是如何定义的？导数的几何意义是什么？ 知识诊断：导数的定义：一般的设函数()y f x =在区间(,)a b 上有定义，0(,)x a b ∈，当0x ∆→时，比值00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆趋近于常数A ，那么()y f x =在点0x x =处可导，并称常数A 为函数()y f x =在点0x x =处的导数，记作0'()f x 。
导函数：函数()y f x =在区间(,)a b 上任一点都可导，那么()y f x =在各点的导数称为导函数简记为'()f x . 典例分析;例题1：设函数()f x 在0x 处可导，那么xx f x x f x ∆-∆-→∆)()(lim000等于A ．)('0x fB ．0'()f x -C ．0()f xD ．0()f x - 【解题思路】求函数在某一点的导函数值，由定义直接计算 [解析]0000000()()[()]()limlim ()()x x f x x f x f x x f x f x x x ∆→∆→-∆-+-∆-'=-=-∆-∆.应选B 【技巧指引】求解此题的关键是变换出定义式00()()lim()x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆导数的几何意义：曲线f 〔x 〕在某一点〔x 0，y 0〕处的导数0'()f x 是过点〔x 0，y 0〕的切线的斜率，对应的切线方程为000()'()()y f x f x x x -=-。
物理意义：假设物体运动方程是s =s 〔t 〕，在点P 〔i 0，s 〔t 0〕〕处导数的意义是t =t 0处的瞬时速度。
注意：曲线f 〔x 〕在某一点〔x 0，y 0〕处的导数不存在，但是曲线在该点不一定没有切线。
而且应明确点〔x 0，y 0〕不一定是切点。
典例分析：的切线方程是例题1：如图，函数)(x f y =的图象在点P 处8+-=x y ，那么)5()5(f f '+= .【解题思路】区分过曲线P 处的切线与过P点的切线的不同，后者的P 点不一定在曲线上. 解析:观察图形,设(5,(5))P f ,过P 点的切线方程为(5)'(5)(5)y f f x -=-即'(5)(5)5'(5)y f x f f =+-，它与8+-=x y 重合,比拟系数知:'(5)1,(5)3f f =-=，故)5()5(f f '+=2例题2：求322+=x y 在点)5,1(P 和)9,2(Q 处的切线方程。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
导数的概念与运算
1.了解导数概念的某些实际背景（瞬时速度,加速度等)
2．理解导数的几何意义
3.能利用基本初等函数的导数公式和导数运算法则求简单函数的导数
4．了解复合函数的求导法则,会求某些简单复合函数的导数.
1．（08年北京）如下图，函数f (x )的图象是折线段ABC ，其中A 、B 、C 的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则0Δlim →x f (1＋Δx )－f (1)Δx
＝
2. 如图，函数)(x f y =的图象在点P 处的切线方程是8+-=x y ，则__)5()5(='+f f
3.质点的运动方程是t
t t s 3)(2+
=，其中s 表示t 时的位移，则质点在t=2时的瞬时速度
4.求下列函数的导数（1）____1='⎪⎭
⎫ ⎝⎛x （2）_____)(='x （3）____)(log 2='x （4） ()____tan ='
x (5) _____3sin ='⎪⎭⎫ ⎝⎛x
热点考向一：导数的计算-------求下列函数的导数
（1） x e y x cos ⋅= （2）x x y ln =
（3）x x f -=
3)( （4）x f x x f )1(2)(2'+=
热点考向二：导数的几何意义及应用
1.(2014·济南质检)设曲线1
1-+=x x y 在点(3,2)处的切线与直线01=++y ax 垂直，则_____=a
2.(2012辽宁)已知P,Q 为抛物线y x 22
=上两点，点P,Q 的横坐标分别为4，-2，抛物线在点P 处的切线与在点Q 处的切线交于点A ，求点A 的纵坐标
变式：求过点（1，-4）且与抛物线y x 22=相切的直线方程（写出解答过程）
1.【2009陕西卷理】设曲线1*()n y x n N +=∈在点（1，1）处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ,令lg n n a x =，则9921.........a a a ++的值为 .
2.(2013·北京卷)设l 为曲线C ：y ＝ln x x
在点(1,0)处的切线． (1)求l 的方程；(2)试证明：除切点(1,0)之外，曲线C 在直线l 的下方．
1．(2014·湛江调研)曲线y ＝e
－2x ＋1在点(0,2)处的切线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三
角形的面积为( )． A.13 B.12 C.23
D ．1 2．(2013·南通一调)曲线f (x )＝
f ′(1)e e x －f (0)x ＋12x 2在点(1，f (1))处的切线方程为________．
3.(2014·济南质检)设函数f (x )＝a e x ＋1a e x
＋b (0<a <1)．设曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝32
x ，求a 和b 的值．
本节课你在以下两个层面有哪些收获？
1.知识：
2.思想方法：。