§1.1.1、集合的含义及其表示导学案

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人教课标A版数学必修一1.1.1集合的含义与表示教案

1.1.1《集合的含义与表示》导学案班级组名：姓名【学习目标】A级目标：通过实例了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系,能选择集合不同的语言形式描述具体的问题,提高语言转换和抽象概括能力,树立用集合语言表示数学内容的意识.B级目标：了解集合元素的确定性、互异性、无序性,掌握常用数集及其专用符号,并能够用其解决有关问题,提高学生分析问题和解决问题的能力,培养学生的应用意识.【重点难点】重点：集合的基本概念与表示方法.难点：选择恰当的方法表示一些简单的集合.【学习过程】一、课题引入问题1.军训前学校通知:8月30日8点,高一年级学生到操场集合进行军训.试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？问题2.首先教师提出问题:在初中,我们已经接触过一些集合,你能举出一些集合的例子吗?二、自主探究得出结论阅读课本第2~3页，完成下列探究任务[问题一]①请我们班的全体女生起立！接下来问:“咱班的所有女生能不能构成一个集合啊？”②下面请班上身高在1.75以上的男生起立！他们能不能构成一个集合啊？③其实,生活中有很多东西能构成集合,比如新华字典里所有的汉字可以构成一个集合等等.那么,大家能不能再举出一些生活中的实际例子呢?请你给出集合的含义.④如果用A表示高一(1)班全体学生组成的集合,用a表示高一(1)班的一位同学,b是高一(2)班的一位同学,那么a、b与集合A分别有什么关系?由此看见元素与集合之间有什么关系？⑤世界上最高的山能不能构成一个集合？⑥世界上的高山能不能构成一个集合？⑦问题⑥说明集合中的元素具有什么性质？⑧由实数1、2、3、1组成的集合有几个元素？⑨问题⑧说明集合中的元素具有什么性质？⑩由实数1、2、3组成的集合记为M,由实数3、1、2组成的集合记为N,这两个集合中的元素相同吗？这说明集合中的元素具有什么性质？由此类比实数相等,你发现集合有什么结论？[问题二]阅读课本P3中:数学中一些常用的数集及其记法.快速写出常见数集的记号.[问题三]①前面所说的集合是如何表示的？②阅读课本中的相关内容,并思考:除字母表示法和自然语言之外,还能用什么方法表示集合？③集合共有几种表示法?三、合作交流，解决问题例1.下列各组对象不能组成集合的是( )A.大于6的所有整数B.高中数学的所有难题C.被3除余2的所有整数D.函数y=x1图象上所有的点例2.在数集{2x,x 2-x}中,实数x 的取值范围是什么？例3.试分别用列举法和描述法表示下列集合:(1) 小于10的所有自然数组成的集合;(2) 方程x 2=x 的所有实数根组成的集合;(3) 由1~20以内的所有质数组成的集合.四．突破疑难例4.若集合A={}23,21,4a a a ---且3A -∈，求实数a 的值组成的集合.例5.已知集合A={x|ax 2-3x+2=0,a ∈R},若A 中至少有一个元素,求a 的取值范围.【当堂检测】1. (1) A={1,3},判断元素3,5和集合A 的关系,并用符号表示.(2) 所有素质好的人能否表示为集合?(3) A={2,2,4}表示是否准确?(4) A={太平洋,大西洋},B={大西洋,太平洋}是否表示同一集合?2.方程ax 2+5x+c=0的解集是{21,31},则a=________,c=_______.3.已知A={x ∈R |x=abcabc bc bc ac ac ab ab c c b b a a ||||||||||||||++++++,abc ≠0},用列举法表示集合A.4.用列举法表示下列集合:(1) 所有绝对值等于8的数的集合A;(2) 所有绝对值小于8的整数的集合B.5.试分别用列举法和描述法表示下列集合:(1) 方程x 2-2=0的所有实数根组成的集合;(2) 由大于10小于20的所有整数组成的集合.【课后反思】1.今天你的收获是什么？2.你有哪些方面需要努力？【课后巩固提高】1.说出下面集合中的元素:(1) {大于3小于11的偶数};(2) {平方等于1的数};(3) {15的正约数}.2.判断正误:(1)所有属于N 的元素都属于N *. ( )(2)所有属于N 的元素都属于Z . ( )(3)所有不属于N *的数都不属于Z . ( )(4)所有不属于Q 的实数都属于R . ( )(5)不属于N 的数不能使方程4x=8成立. ( )3.用列举法表示下列集合:(1)小于5的正奇数组成的集合;(2)能被3整除且大于4小于15的自然数组成的集合;(3)方程x 2-9=0的解组成的集合;(4){15以内的质数}; (5){x|x-36∈Z ,x ∈Z }. (6){(x,y)|x ∈N 且1≤x<4,y-2x=0};(7){(x,y)|x+y=6,x ∈N ,y ∈N }.4.用描述法分别表示下列集合:(1)二次函数y=x 2图象上的点组成的集合;(2)数轴上离原点的距离大于6的点组成的集合;(3)不等式x-7<3的解集.(4)方程ax+by=0(ab ≠0)的解;(5)平面直角坐标系中第Ⅱ、Ⅳ象限点的集合;(6)能被3整除的整数.5.定义集合运算:A ⊙B={z|z=xy(x+y),x ∈A,y ∈B},设集合A={0,1},B={2,3},则集合A ⊙B 的所有元素之和为( )A.0B.6C.12D.186.集合A 中的元素由关于x 的方程kx 2-3x+2=0的解构成,其中k ∈R,若A 中仅有一个元素,求k 的值.7. 已知集合A 有三个元素2+a ，2)1(+a ，332++a a（1）若1A ∈，则集合A 中还有哪些元素？（2）若1A ∉，则a 应满足什么条件?拓展提升1.集合A={x|x=a+2b,a ∈Z ,b ∈Z },判断下列元素x=0、121-、231-与集合A 之间的关系.2.已知集合C={x|x=a+b,a ∈A,b ∈B}.(1)若A={0,1,2,3},B={6,7,8,9},求集合C 中所有元素之和S;(2)若A={0,1,2,3,4,…,2 005},B={5,6,7,8,9},试用代数式表示出集合C 中所有元素之和S;(3)联系高斯求S=1+2+3+4+…+99+100的方法,试求出(2)中的S.思路分析：先用列举法写出集合C,然后解决各个小题.答案：(1)列举法表示集合C={6,7,8,9,10,11,12},进而易求得S=6+7+8+9+10+11+12=63.(2)列举法表示集合C={5,6,7,…,2 013,2 014},由此可得S=5+6+7+…+2 013+2 014.(3)高斯求S=1+2+3+4+…+99+100时,利用1+100=2+99=3+98=…=50+51=101,进而得S=1+2+3+4+…+99+100=101×50=5 050.本题(2)中S=5+6+7+…+2 013+2 014=2 019×1 005=2 029 095.。

1.1.1 集合的含义及其表示教案

§1.1.1 集合的含义及其表示一、教学目标（1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的理解集合“属于”关系；初步了解属于关系和集合相等的意义（2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；（3）熟记有关数集,培养学生认识事物的能力二、教学重点集合的基本概念与表示方法；三、教学难点运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合；四、教学过程1、创设情境，引入新课在小学和初中我们已经接触了一些集合，例如自然数的集合，有理数的集合，不等式x-7<3的解的集合，到一个定点的距离的定长的集合（即圆），到一条线段的两个端点距离相等的点的集合（即这条线段的垂直平分线）……那么集合的含义是什么呢？我们再来看看下面的一些例子：（1）1~20以内的所有质数（2）2010年4月1日之前与我国建立外交关系的所有国家（2）所有的正方形（3）高一<2>班的学生在上数学课（4）方程x2+3x-2=0的所有实数解上面这些例子有什么共同的特征？2、推进新课（1）元素与集合的概念：一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）。

（2）集合的性质○1确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可。

○2互异性：集合中的元素必须是互不相同的（即没有重复现象），相同的元素在集合中只能算作一个。

○3无序性：集合中的元素间是无次序关系的。

（3）集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的。

练习：1.判断以下元素的全体是否组成集合（1）大于3小于11的偶数。

（2）我国的小河流。

2.说出集合A=｛a,b,c｝和集合B=｛b, a,c｝的关系。

（4）集合与元素的表示：集合通常用大括号或大写的拉丁字母表示,如{1，2，3，4，5}与{高一（2）班的所有学生}，又如A、B、C、P、Q……元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c、p、q……如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A。

《必修一》1.1.1集合的含义与表示导学案

高一数学A 1.1集合导学案（一）1.1.1集合的含义与表示编者：刘玉明审核人：王建美使用时间：2014. 10.13学习目标：（1）学生初步理解集合的概念，知道常用数集的概念及其记法。

（2）学生初步了解元素与集合间“属于”、“不属于”关系的意义。

学习重点：集合的基本概念学习过程（一）新知预习（阅读课本21、集合的概念（1）一般地，我们把统称为元素，把一些叫做集合。

练习1 下列各组对象能否构成一个集合并说明理由（1）著名的数学家；（2）某校高一（2）班所有高个子的同学；（3）不超过10的非负数（4） 5 的近似值的全体练习2集合中元素的特征（1）；（2）；（3）。

2、集合的表示集合通常用大写的拉丁字母表示，如A、B、C、……元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c、……3、元素与集合的关系（1）属于：如果a是集合A的元素,就说，记作。

（2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说，记作。

要注意“∈”的方向，不能把a∈A颠倒过来写.练习3（1）给出下面四个关系:2∈R, 0.7∉Q, 0 ∈{0}, 0∉N,其中正确的个数有( )个A．4 B．3 C．2 D．1（2）下面有四个命题:①若-a ∈Ν,则a ∉Ν②若a∈Ν,b ∈Ν,则a+b的最小值是2③集合N中最小元素是1④x2+4=4x的解集可表示为{2,2}.其中正确命题的个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．4、常用数集及其表示方法（1）非负整数集（自然数集）：记作；（2）正整数集：记作；（3）整数集：记作；（4）有理数集：记作；（5）实数集：记作；（二）课堂小结本节课学习了以下内容：1．集合的有关概念；2．集合元素的性质；3．集合的表示4集合与元素的关系及记法5常用数集的定义及记法；。

2017人教a版数学必修一1.1.1集合的含义与表示导学案

1.1.1集合的含义与表示一. 教学目标：l.知识与技术(1)通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；(2)明白常常利用数集及其专用记号；(3)了解集合中元素的肯定性.互异性.无序性；(4)会用集合语言表示有关数学对象；(5)培育学生抽象归纳的能力.2. 进程与方式(1)让学生经历从集合实例中抽象归纳出集合一路特征的进程，感知集合的含义.(2)让学生归纳整理本节所学知识.3. 情感.态度与价值观使学生感受到学习集合的必要性，增强学习的踊跃性.二. 教学重点.难点重点：集合的含义与表示方式.难点：表示法的恰被选择.三. 学法学法：学生通过阅读教材，自主学习.试探.交流.讨论和归纳，从而更好地完本钱节课的教学目标.四. 学习流程(一）知识连线：一、一般地，咱们把____________统称为元素，把________________________叫做集合。

二、集合中元素的特性：________、________、________。

3、只要________________________________，咱们就称这两个集合是相等的。

4、元素与集合的关系有两种：________、________。

若是a是集合A的元素，就说________________，记作________。

.若是a不是集合A的元素，就说________________，记作___________。

五、集合的表示方式有：________、________、________。

六、常见集合的符号表示：（二）知识演练：7、下面两个集合中表示同一集合的是：（）A 、P={1,-5,3};Q={3,1,-5};B 、P={1,3};Q={（1，3）};C 、P ={π};Q={};D 、P={2，3，5，7};Q={2，3，5，9};八、用符号“∈”或“∉”填空：（1）2__{2，3，5}；（2）4__{x ︱2x =9}(3) 若A={x ∈N ︱1≤x ≤10},则5__A, ,（4）若A={x ︱1≤x ≤10},则5__A, ,9、选择适当方式表示下列集合：（1）二次函数y = 32-x 的函数值组成的集合；（2）大于1且小于8的整数（3）不等式230x ->的解集（4）由方程082=-x 的所有实数根组成的集合（5）直线y=x+3与抛物线y=2x 的交点组成的集合（6）方程0)2(12=-+-y x 的解集（三）、知识提升：10已知集合A={x ∈R ︱a x ax ,0122=++∈R} 只有一个元素，则a 的值为______1一、设集合A={2，3，322-+a a }，已知5∈A ，求a 的值1二、设集合A={a +2，2a ，332++a a }，若1∈A ，求a 的值（四）、知识总结：一、本节课咱们学习哪些知识?二、选择集合的表示法时应注意些什么?(五)、作业布置1．讲义第12页习题（A 组）第二、4题。

高中数学第一章集合与常用逻辑用语1.1集合1.1.1集合及其表示方法学案

1.1 集合1．1.1集合及其表示方法课程标准(1)通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系．(2)针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合．(3)在具体情境中，了解空集的含义．新知初探·自主学习——突出基础性教材要点知识点一集合的概念在数学中，我们经常用“集合”来对所研究的对象进行分类．把一些能够确定的、不同的对象汇集在一起，就说由这些对象组成一个集合(有时简称为集)，组成集合的每个对象都是这个集合的元素．知识点二元素与集合的表示及关系1．元素与集合的符号表示表示{元素：通常用英文小写字母________表示．集合：通常用英文大写字母________表示．2．元素与集合的关系1．符号“∈”“∉”刻画的是元素与集合之间的关系．对于一个元素a与一个集合A而言，只有“a∈A”与“a∉A ”这两种结果．2．∈和∉具有方向性，左边是元素，右边是集合，形如R∈0是错误的．3．集合中元素的特征5．集合的分类：集合可以根据它含有的元素个数分为两类：含有有限个元素的集合称为有限集，含有无限个元素的集合称为无限集．空集可以看成包含0个元素的集合，所以空集是有限集．6．几种常见的数集及其记法：所有非负整数组成的集合，称为自然数集，记作N；在自然数集N中，去掉元素0之后的集合，称为正整数集，记作N*或N＋；所有整数组成的集合称为整数集，记作Z；所有有理数组成的集合称为有理数集，记作Q；所有实数组成的集合称为实数集，记作R.知识点三集合的表示1．列举法：把集合中的元素________出来(相邻元素之间用逗号分隔)，并用大括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做________．2．描述法：一般地，如果属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x)，而不属于集合A的元素都不具有这个性质，则性质p(x)称为集合A的一个特征性质．此时，集合A可以用它的特征性质p(x)表示为{x|p(x)}．这种表示集合的方法，称为特征性质描述法，简称为描述法．状元随笔1．列举法表示集合时的5个关注点(1)元素与元素之间必须用“，”隔开．(2)集合中的元素必须是明确的．(3)集合中的元素不能重复．(4)集合中的元素是无序的．(5)集合中的元素可以是任何事物．2．描述法表示集合时的3个关注点(1)写清楚集合中元素的符号，如数或点等；(2)说明该集合中元素的共同特征，如方程、不等式、函数式或几何图形等；(3)不能出现未被说明的字母．知识点四区间及其表示1．区间的几何表示R____________，“∞”读作“无穷大”；“－∞”读作“负无穷大”；“＋∞”读作“正无穷大”．3．无穷大的几何表示状元随笔(1)“∞”是一个符号，而不是一个数．(2)以“－∞”或“＋∞”为端点时，区间这一端必须是小括号．基础自测1．下列能构成集合的是( )A．中央电视台著名节目主持人B．我市跑得快的汽车C．上海市所有的中学生D．香港的高楼2．集合{x∈N*|x－3＜2}的另一种表示法是( )A．{0，1，2，3，4}B．{1，2，3，4}C．{0，1，2，3，4，5}D．{1，2，3，4，5}3．若1∈{a，a＋1，a2}，则a的值是( )A．0B．1C．－1D．0或1或－14．用区间表示下列集合：≤x＜5}＝________；(1){x|−12(2){x|x＜1或2＜x≤3}＝________．课堂探究·素养提升——强化创新性题型1 集合的概念[经典例题]例1 下列对象能构成集合的是( )①援助武汉抗击新型冠状病毒肺炎疫情的优秀医护人员；构成集合的元素具有确定性．②所有的钝角三角形；③2019年诺贝尔经济学奖得主；④大于等于0的整数；⑤我校所有聪明的学生．A．①②④B．②⑤C．③④⑤D．②③④方法归纳判断一组对象组成集合的依据判断给定的对象能不能构成集合，关键在于能否找到一个明确的标准，对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素．跟踪训练1 下列各项中，不可以组成集合的是( )A．所有的正数B．等于2的数C．接近于0的数D．不等于0的偶数题型2 元素与集合的关系[经典例题]例2 (1)下列关系中，正确的有( )①1∈R；②√2∉Q；③|－3|∈N；④|－√3|∈Q.2A．1个B．2个C．3个D．4个(2)满足“a∈A且4－a∈A，a∈N且4－a∈N”，有且只有2个元素的集合A的个数是( )A．0B．1C．2D．3a分类处理：①a＝0，a＝1，a＝2；②a＝3，a＝4.还讨论吗？方法归纳判断元素和集合关系的两种方法(1)直接法：如果集合中的元素是直接给出的，只要判断该元素在已知集合中是否给出即可．此时应首先明确集合是由哪些元素构成的．(2)推理法：对于某些不便直接表示的集合，判断元素与集合的关系时，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可．此时应首先明确已知集合的元素具有什么属性，即该集合中元素要符合哪种表达式或满足哪些条件．跟踪训练2 (1)下列说法正确的是( )A.0∉NB．√2∈QC．π∉RD．√4∈ZN自然数集；Z整数集；Q有理数集；R实数集．∈N，x∈N，则集合A中的元素为________．(2)集合A中的元素x满足63−x题型3 集合的表示——列举法[教材P7例题1]例3 用列举法表示下列集合：找准元素，列举法是把集合中所有元素一一列举出来．(1)方程x(x－1)＝0的所有解组成的集合A；(2)“Welcome”中的所有字母构成的集合．(3)2022年冬奥会的主办城市组成的集合.(4)函数y＝2x－1的图象与坐标轴交点组成的集合．方法归纳1．用列举法表示集合的三个步骤(1)求出集合的元素．(2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次． (3)用“{ }”括起来． 2．在用列举法表示集合时的关注点(1)用列举法书写集合时，先应明确集合中的元素是什么．(2)元素不重复，元素无顺序．如集合{1，2，3，4}与{2，1，4，3}表示同一集合．跟踪训练3 用列举法表示下列集合： (1)方程组{2x −3y =14，3x +2y =8的解集；(2)由所有小于13的既是奇数又是素数的自然数组成的集合； (3)方程x 2－2x ＋1＝0的实数根组成的集合．题型4 集合的表示——描述法[数学抽象、逻辑推理]例4 (1)用描述法表示平面直角坐标系中，第一象限内所有点组成的集合B .状元随笔描述法注意元素的共同特征．(2)已知集合M＝{x|x＝3n，n∈Z}，N＝{x|x＝3n＋1，n∈Z}，P＝{x|x＝3n－1，n∈Z}，且a∈M，b∈N，c∈P，若d＝a－b＋c，则( )A．d∈M B．d∈NC．d∈P D．d∈M且d∈N(3)若集合A＝{x|mx2＋2x＋m＝0，m∈R}中有且只有一个元素，则m的取值集合是________．方法归纳1．描述法表示集合的两个步骤2．用描述法表示集合应注意的四点(1)写清楚该集合代表元素的符号．例如，集合{x∈R|x<1}可以写成{x|x<1}，而不能写成{x<1}．(2)所有描述的内容都要写在大括号内．例如，{x∈Z|x＝2k}，k∈Z，这种表达方式就不符合要求，需将k∈Z也写进大括号内，即{x ∈Z|x＝2k，k∈Z}．(3)不能出现未被说明的字母．(4)在通常情况下，集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写．例如，方程x2－2x＋1＝0的实数解集可表示为{x∈R|x2－2x＋1＝0}，也可写成{x|x2－2x＋1＝0}．3．解答集合表示方法综合题的策略(1)若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键．(2)若已知集合是用列举法给出的，整体把握元素的共同特征是解题的关键．教材反思列举法和描述法表示集合，关键是找准元素的特点，有限个元素一一列举，无限个元素的可以用描述法来表示集合，需要用一种适当方法表示．何谓“适当方法”，这就需要我们首先要准确把握列举法和描述法的优缺点，其次要弄清相应集合到底含有哪些元素．要弄清集合含有哪些元素，这就需要对集合进行等价转化．转化时应根据具体情景选择相应方法，如涉及方程组的解集，则应先解方程组．将集合的三种语言相互转化也有利于我们弄清楚集合中的元素．跟踪训练4 用适当的方法表示下列集合： (1)所有被5整除的数；(2)如图中阴影部分的点(含边界)的坐标的集合．(3)不等式组{3x −2≥1，2x −1<5的解集；(4)二次函数y ＝x 2＋2x －10的图象上所有的点组成的集合．题型5 用区间表示集合[数学运算、直观想象] 例5 用区间表示下列集合：(1)3x －4<0的所有解组成的集合A ＝________； (2)2x ＋6≥0的所有解组成的集合B ＝________．方法归纳方程、不等式等知识与集合交汇问题的处理(1)准确理解集合中的元素，明确元素的特征性质．(2)解题时应注意方程、不等式等知识以及转化、分类与整合思想的综合应用．跟踪训练5 用区间表示下列不等式，并在数轴上表示这些区间． (1)－2<x <5；(2)－3<x ≤4；(3)2≤x <5； (4)x ≤4；(5)x >－3；(6)x ≥－4.易错点忽略集合中元素的互异性出错例含有三个元素的集合{a ，ba ，1}，也可表示为集合{a 2，a ＋b ，0}，求a ，b 的值．【错解】 ∵{a ，ba ，1}＝{a 2，a ＋b ，0}，∴{a +ba +1=a 2+(a +b )+0，a ·ba ·1=a 2·(a +b )·0，解得{a =1，b =0或{a =−1，b =0.【正解】 ∵{a ，ba ，1}＝{a 2，a ＋b ，0}，∴{a +ba+1=a 2+(a +b )+0，a ·b a·1=a 2·(a +b )·0，解得{a =1，b =0或{a =−1，b =0.由集合中元素的互异性，得a ≠1. ∴a ＝－1，b ＝0. 【易错警示】1．1 集合1．1.1 集合及其表示方法新知初探·自主学习[教材要点]知识点二1．a，b，c，…A，B，C，…2．a∈A a∉A知识点三1．一一列举列举法知识点四2．(－∞，＋∞)[基础自测]1．解析：A，B，D中研究的对象不确定，因此不能构成集合．答案：C2．解析：∵x－3<2，x∈N*，∴x<5，x∈N*，∴x＝1，2，3，4.故选B.答案：B3．解析：由已知条件1∈{a，a＋1，a2}知有三种情况，若a＝1，则a＋1＝2，a2a＝a2＝1，与集合元素的互异性相矛盾，故a≠1.若a＋1＝1，即a＝0，则a2＝0.与集合元素的互异性相矛盾，故a≠0.若a2＝1，即a＝±1，当a＝－1时，符合题意．综上知a＝－1.答案：C≤x<5} 4．解析：(1)注意到包括不包括区间的端点与不等式含不含等号对应，则{x|－12＝[−1，5).2(2)注意到集合中的“或”对应区间中的“∪”，则{x|x<1或2<x≤3}＝(－∞，1)∪(2，3].答案：(1)[−1，5)(2)(－∞，1)∪(2，3]2课堂探究·素养提升例1 【解析】由集合中元素的确定性知，①中“优秀医护人员”和⑤中“聪明的学生”不确定，所以不能构成集合．【答案】 D跟踪训练1 解析：由于接近于0的数没有一个确定的标准，因此C 中的对象不能构成集合．故选C.答案：C例2 【解析】 (1)12是实数，√2是无理数，|－3|＝3是非负整数，|－√3|＝√3是无理数．因此，①②③正确，④错误．(2)∵a ∈A 且4－a ∈A ，a ∈N 且4－a ∈N ，若a ＝0，则4－a ＝4，此时A ＝{0，4}满足要求；若a ＝1，则4－a ＝3，此时A ＝{1，3}满足要求；若a ＝2，则4－a ＝2，此时A ＝{2}不满足要求．故有且只有2个元素的集合A 有2个，故选C.【答案】 (1)C (2)C跟踪训练2 解析：(1)A.N 为自然数集，0是自然数，故本选项错误；B.√2是无理数，Q 是有理数集合，√2∉Q ，故本选项错误；C.π是实数，即π∈R ，故本选项错误；D.√4＝2，2是正整数，则√4∈Z ，故本选项正确．故选D.(2)由63−x ∈N ，x ∈N 知x ≥0，63−x >0，且x ≠3，故0≤xx ∈N ，故x ＝0，1，2.当x ＝0时，63−0＝2∈N ，当x ＝1时，63−1＝3∈N ，当x ＝2时，63−2＝6∈N .故集合A 中的元素为0，1，2.答案：(1)D (2)0，1，2例3 【解析】 (1)因为0和1是方程x (x －1)＝0的解，而且这个方程只有两个解，所以A ＝{0，1}．(2)由于“Welcome ”中包含的字母有W ，e ，l ，c ，o ，m ，共6个元素，因此可以用列举法表示为{W ，e ，l ，c ，o ，m}．(3)北京、张家口同为2022年冬奥会主办城市，因此可以用列举法表示为{北京，张家口}．(4)函数y ＝2x －1的图象与x 轴的交点为(12，0)，与y 轴的交点为(0，－1)，因此可以用列举法表示为{(0，−1)，(12，0)}.跟踪训练3 解析：(1)解方程组{2x −3y =14，3x +2y =8，得{x =4，y =−2，故解集可用描述法表示为{(x ，y)|{x =4，y =−2}，也可用列举法表示为{(4，－2)}． (2)小于13的既是奇数又是素数的自然数有4个，分别为3，5，7，11.可用列举法表示为{3，5，7，11}．(3)方程x 2－2x ＋1＝0的实数根为1，因此可用列举法表示为{1}，也可用描述法表示为{x ∈R |x 2－2x ＋1＝0}．例4 【解析】 (1)因为集合B 的特征性质是横坐标与纵坐标都大于零，因此B ＝{(x ，y )|x ＞0，y ＞0}．(2)由题意，设a ＝3k ，k ∈Z ，b ＝3y ＋1，y ∈Z ，c ＝3m －1，m ∈Z ，则d ＝3k －(3y ＋1)＋3m －1＝3(k －y ＋m )－2.令t ＝k －y ＋m ，则t ∈Z ，则d ＝3t －2＝3t －3＋1＝3(t －1)＋1，t ∈Z ，则d ∈N ，故选B.【解析】(3)当m ＝0时，方程mx 2＋2x ＋m ＝0为2x ＝0，解得x ＝0，A ＝{0}；当m ≠0时，若集合A 只有一个元素，则一元二次方程mx 2＋2x ＋m ＝0有两个相等实根，所以判别式Δ＝22－4m 2＝0，解得m ＝±1；综上，当m ＝0或m ＝±1时，集合A 只有一个元素．所以m 的值组成的集合是{－1，0，1}．【答案】 (1)见解析 (2)B (3){－1，0，1}跟踪训练4 解析：(1){x |x ＝5n ，n ∈Z }．(2){(x ，y)|−1≤x ≤32，−12≤y ≤1，且xy ≥0}. (3)由{3x −2≥1，2x −1<5，得{x ≥1，x <3，所以不等式组{3x −2≥1，2x −1<5的解集为[1，3)． (4)二次函数y ＝x 2＋2x －10的图象上所有的点组成的集合中，代表元素为有序实数对(x ，y )，其中x ，y 满足y ＝x 2＋2x －10，由于点有无数个，则用描述法表示为{(x ，y )|y ＝x 2＋2x －10}．例5 【解析】 (1)因为3x －4<0，所以3x <4，即x <43，所以A ＝{x|x <43}，用区间表示为：A ＝(−∞，43).(2)因为2x ＋6≥0，所以2x ≥－6，即x ≥－3，所以B ＝{x |x ≥－3}，用区间表示为：B＝[－3，＋∞)．)(2)[－3，＋∞) 【答案】(1)(−∞，43跟踪训练5 答案：(1)(－2，5)．(2)(－3，4].(3)[2，5)．(4)(－∞，4].(5)(－3，＋∞)．(6)[－4，＋∞)．。

1.1.1集合的含义与表示导学案

【1.2.3.【【1．2．C层可以不做。

3.1.（1、P、Q……；（2、p、q……. 2.（1（23.4.(1).(2)具体方法是：在内写上表示这个集合元素的，在后5.（1（2二．问题导学1.2.3.三.预习自测1.课本第5页2.①小于10③由1~20素数3.x-=①方程22四.一．合作探究探究1.100变式训练1.国的小河流。

探究2.变式训练2.探究3. 下列3个集合①}1|),2+=x y y ，它们是不是相同的变式训练3.{1，5} ；{二．当堂训练1. 用符号∈或∉填空：（1）设A ，美国 A（2）若C={1≤≤∈x N x 2.①a={a}，②02|{x x =∈④集合{m,2,3}有3个元素。

3.设A 表示集合2{2+a a A ∈5，且B ∉5，求a 。

4. ①方程22=x三.课堂小结1.，集合的表示方法有。

1. ①2，3，4 ②（2，所有的偶数 ⑤充分小的负数全体2.已知集合M ∆ABC 一定不是（）A.锐角三角形B.等腰三角形3.在数集2{3,}x x x -，中，实数x4.(){}(){}. 3,2,2,3A M N =={}2,3(){}{. ,|1,C M x y x y N y =+==()}1,25. 集合(){,|0,M x y xy x =>∈A.第一象限内点的集合C.第一、三象限内点的集合6.用列举法表示集合{{(,)|x y x ∈7.已知集合{2|32A x ax x =-+=a =_______。

8.若{}233,24,4a a a -∈---【误区警示】1.互异性和题意；2.用描述法。

高中数学必修1全册导学案及答案(145页)

§1.1.1集合的含义及其表示[自学目标]1．认识并理解集合的含义，知道常用数集及其记法;2．了解属于关系和集合相等的意义,初步了解有限集、无限集、空集的意义; 3．初步掌握集合的两种表示方法—列举法和描述法,并能正确地表示一些简单的集合. [知识要点] 1．集合和元素(1)如果a 是集合A 的元素,就说a 属于集合A,记作a A ∈; (2)如果a 不是集合A 的元素,就说a 不属于集合A,记作a A ∉. 2.集合中元素的特性:确定性;无序性;互异性. 3.集合的表示方法:列举法;描述法;Venn 图. 4.集合的分类:有限集;无限集;空集.5.常用数集及其记法:自然数集记作N ,正整数集记作*N 或N +,整数集记作Z ,有理数集记作Q ,实数集记作R . [预习自测]例1.下列的研究对象能否构成一个集合?如果能,采用适当的方式表示它. （1）小于5的自然数; （2）某班所有高个子的同学; （3）不等式217x +>的整数解; （4）所有大于0的负数;（5）平面直角坐标系内,第一、三象限的平分线上的所有点.分析：判断某些对象能否构成集合,主要是根据集合的含义,检查是否满足集合元素的确定性.例2.已知集合{},,M a b c =中的三个元素可构成某一个三角形的三边的长,那么此三角形一定是 ( )A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形例3.设()()(){}22,,2,,5,a N b N a b A x y x a y a b ∈∈+==-+-=若()3,2A ∈,求,a b 的值.分析: 某元素属于集合A,必具有集合A 中元素的性质p ,反过来,只要元素具有集合A 中元素的性质p ,就一定属于集合A.例4.已知{}2,,M a b =,{}22,2,N a b =,且M N =,求实数,a b 的值.[课内练习]1．下列说法正确的是（）（A ）所有著名的作家可以形成一个集合（B ）0与 {}0的意义相同（C ）集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈==+N n n x x A ,1是有限集（D ）方程0122=++x x 的解集只有一个元素 2．下列四个集合中，是空集的是（）A ．}33|{=+x xB ．},,|),{(22R y x x y y x ∈-= C ．}0|{2≤x x D ．}01|{2=+-x x x 3．方程组20{=+=-y x y x 的解构成的集合是（）A ．)}1,1{(B ．}1,1{C ．（1，1）D ．}1{.4．已知}1,0,1,2{--=A ，}|{A x x y y B ∈==，则B ＝5．若}4,3,2,2{-=A ，},|{2A t t x xB ∈==，用列举法表示B= . [归纳反思]1．本课时的重点内容是集合的含义及其表示方法，难点是元素与集合间的关系以及集合元素的三个重要特性的正确使用；2．根据元素的特征进行分析，运用集合中元素的三个特性解决问题，叫做元素分析法。

集合的含义与表示(导学案)

§1 集合的含义与表示一学习目标：1.知识与技能了解集合的含义及有限集和无限集的意义，体会元素与集合的属于关系，会用集合语言表达数学问题，掌握常用数集及集合表示的符号2.过程与方法体会集合中蕴涵的分类思想，认识到列举法和描述法不同的使用范围3.情感态度与价值观通过集合的学习，激发学生学习数学的兴趣，培养学生积极的学习态度，体会数学学习的意义二学习重点：集合的基本概念与表示方法三学习难点：用列举法和描述法正确表示集合预习案1列举生活中的集合实例，并概括各种集合实例的共同特征2关于集合知识有哪些概念？元素与集合有何关系？3关于集合知识涉及哪些符号？是如何表示的？4集合的常用表示方法有哪些？各自的特点是什么？5、0 N πQ12 Q π R6 、探讨以下问题并思考集合中元素的特性（1）“所有的好学生”能否构成一个集合（2）{1，2, 2, 3 }是不是集合（3）{a ,b,c}和{b,a,c}是否表示同一集合（4）“book”中字母构成一个集合，请写出这个集合探究案例1选择适当的方法表示下列集合由大于3小于10的自然数组成的集合方程092=-x 的解的集合抛物线2x y = 图像上所有点组成的集合方程022=+x 的解的集合例2 已知2x {∈1，0，}x ，求实数x 的值方法指导：首先确定2x 是集合中的元素，再根据集合中元素的互异性解题变式：由实数x x x x x ,,,,332--所构成的集合中，最多含有的元素个数是多少？训练案1下列关系正确的是（）A 0={0}B 0= φC 0∈φD 0∈{0}2 下列集合中表示同一个集合的是（）A M ={(0,1)}, N ={(1,0)}B M ={0,1},N ={1,0}C M ={0,1}, N ={(0,1)}D M ={0,1}, N ={(y x ,)|10==y x 且}3若-3∈{a -3,2a -1，12+a }，求实数a 的值。

集合的含义及其表示1学案(人教A版必修1)

第1章集合§1.1集合的含义及其表示(一)1．一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合．集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元．2．集合通常用大写拉丁字母A，B，C…表示，用小写拉丁字母a，b，c，…表示集合中的元素．3．如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A，读作“a属于A”，如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作a A或a∈A，读作“a不属于A”．4．集合中的元素具有确定性、互异性、无序性三种性质．5．实数集、有理数集、整数集、非负整数集、正整数集分别用字母R、Q、Z、N、N*或N＋来表示．练习集合的概念【例1】考查下列每组对象能否构成一个集合：(1)著名的数学家；(2)某校2010年在校的所有高个子同学；(3)不超过20的非负数；(4)方程x2－9＝0在实数范围内的解；(5)直角坐标平面内第一象限的一些点；(6)3的近似值的全体．规律方法判断指定的对象能不能构成集合，关键在于能否找到一个明确标准，对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素，同时还要注意集合中元素的互异性、无序性．变式迁移1 下面有四个命题：(1)集合N中最小的数是零；(2)0是自然数；(3){1,2,3}是不大于3的自然数组成的集合；(4)若a∈N，b∈N，则a＋b的最小值为2.其中正确的命题有________个．集合中元素的特性【例2】已知集合A是由a－2,2a2＋5a,12三个元素组成的，且－3∈A，求a.变式迁移2 已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，求实数m的值．元素与集合的关系【例3】若所有形如3a＋2b(a∈Z，b∈Z)的数组成集合A，判断6－22是不是集合A中的元素．规律方法判断一个元素是不是某个集合的元素，就是判断这个元素是否具有这个集合的元素的共同特征．像此类题，主要看能否将所给对象的表达式转化为集合中元素所具有的形式．变式迁移3 集合A 是由形如m ＋3n (m ∈Z ，n ∈Z )的数构成的，判断12－3是不是集合A 中的元素．1．充分利用集合中元素的三大特性是解决集合问题的基础．2．两集合中的元素相同则两集合就相同，与它们元素的排列顺序无关．3．解集合问题特别是涉及求字母的值或范围，把所得结果代入原题检验是不可缺少的步骤．特别是互异性，最易被忽视，必须在学习中引起足够重视．课时作业一、填空题 1．由下列对象组成的集体属于集合的是____ ____(填序号)．①不超过π的正整数；②高一数学课本中所有的难题；③中国的大城市；④平方后等于自身的数；⑤某校高一(2)班中考试成绩在500分以上的学生．2．下列四个说法中正确的个数是________．①集合N 中最小数为1；②若a ∈N ，则－a ∉N ；③若a ∈N ，b ∈N ，则a ＋b 的最小值为2；④所有小的正数组成一个集合．3．用“∈”或“∉”填空．(1)－3______N ；(2)3.14______Q ；(3)13______Z ； (4)－12______R ；(5)1______N *；(6)0________N . 4．集合A ＝{1,2,3,5}，当x ∈A 时，若x －1∉A ，x ＋1∉A ，则称x 为A 的一个“孤立元素”，则A 中孤立元素的个数为________．5．已知x 、y 、z 为非零实数，代数式x |x |＋y |y |＋z |z |＋|xyz |xyz的值所组成的集合是M ，则M 中元素的个数为________． 6．方程x 2－2x ＋1＝0的解集中含有________个元素．7．已知集合S 的三个元素a 、b 、c 是△ABC 的三边长，那么△ABC (填“能”或“不能”)________为等腰三角形．二、解答题8．已知集合M ＝{－2,3x 2＋3x －4，x 2＋x －4}，若2∈M ，求x .9．设P 、Q 为两个非空实数集合，P 中含有0,2,5三个元素，Q 中含有1,2,6三个元素，定义集合P ＋Q 中的元素是a ＋b ，其中a ∈P ，b ∈Q ，则P ＋Q 中元素的个数是多少？10．设A 为实数集，且满足条件：若a ∈A ，则11－a∈A (a ≠1)．求证：(1)若2∈A ，则A 中必还有另外两个元素；(2)集合A 不可能是单元素集．答案：集合的概念【例1】考查下列每组对象能否构成一个集合：(1)著名的数学家；(2)某校2010年在校的所有高个子同学；(3)不超过20的非负数；(4)方程x 2－9＝0在实数范围内的解；(5)直角坐标平面内第一象限的一些点； (6)3的近似值的全体．解 (1)“著名的数学家”无明确的标准，对于某个人是否“著名”无法客观地判断，因此“著名的数学家”不能构成一个集合；类似地，(2)也不能构成集合；(3)任给一个实数x ，可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”，即“0≤x ≤20”与“x >20或x <0”，两者必居其一，且仅居其一，故“不超过20的非负数”能构成集合；类似地，(4)也能构成集合；(5)“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；(6)“3的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数比如“2”是不是它的近似值，所以(6)不能构成集合．规律方法判断指定的对象能不能构成集合，关键在于能否找到一个明确标准，对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素，同时还要注意集合中元素的互异性、无序性．变式迁移1 下面有四个命题：(1)集合N 中最小的数是零；(2)0是自然数；(3){1,2,3}是不大于3的自然数组成的集合；(4)若a ∈N ，b ∈N ，则a ＋b 的最小值为2.其中正确的命题有________个．答案 2解析因为集合N 中最小的数是零，故(1)(2)正确，(3)(4)错误．故正确的命题有2个．集合中元素的特性【例2】已知集合A 是由a －2,2a 2＋5a,12三个元素组成的，且－3∈A ，求a .分析考查元素与集合的关系，体会分类讨论思想的应用．解 ∵－3∈A ，则－3＝a －2或－3＝2a 2＋5a ，∴a ＝－1或a ＝－32.则当a ＝－1时，a －2＝－3,2a 2＋5a ＝－3，不符合集合中元素的互异性，故a ＝－1应舍去．当a ＝－32时，a －2＝－72，2a 2＋5a ＝－3， ∴a ＝－32. 规律方法对于解决集合中元素含有参数的问题一定要全面思考，特别关注元素在集合中的互异性．分类讨论的思想是中学数学中的一种重要的数学思想，我们一定要在以后的学习中熟练掌握．变式迁移2 已知集合A 是由0，m ，m 2－3m ＋2三个元素组成的集合，且2∈A ，求实数m 的值．解 ∵2∈A ，∴m ＝2或m 2－3m ＋2＝2.若m ＝2，则m 2－3m ＋2＝0，不符合集合中元素的互异性，舍去．若m 2－3m ＋2＝2，求得m ＝0或3.m ＝0不合题意，舍去．经验证m ＝3符合题意，∴m 的值为3.元素与集合的关系【例3】若所有形如3a ＋2b (a ∈Z ，b ∈Z )的数组成集合A ，判断6－22是不是集合A 中的元素．分析解答本题首先要理解∈与∉的含义，然后要弄清所给集合是由一些怎样的数构成的，6－22能否化成此形式，进而去判断6－22是不是集合A 中的元素．解因为在3a ＋2b (a ∈Z ，b ∈Z )中，令a ＝2，b ＝－2，即可得到6－22，所以6－22是集合A 中的元素．规律方法判断一个元素是不是某个集合的元素，就是判断这个元素是否具有这个集合的元素的共同特征．像此类题，主要看能否将所给对象的表达式转化为集合中元素所具有的形式．变式迁移3 集合A 是由形如m ＋3n (m ∈Z ，n ∈Z )的数构成的，判断12－3是不是集合A 中的元素．解 ∵12－3＝2＋3＝2＋3×1，而2,1∈Z ， ∴2＋3∈A ，即12－3∈A .1．充分利用集合中元素的三大特性是解决集合问题的基础．2．两集合中的元素相同则两集合就相同，与它们元素的排列顺序无关．3．解集合问题特别是涉及求字母的值或范围，把所得结果代入原题检验是不可缺少的步骤．特别是互异性，最易被忽视，必须在学习中引起足够重视．课时作业一、填空题1．由下列对象组成的集体属于集合的是________(填序号)．①不超过π的正整数；②高一数学课本中所有的难题；③中国的大城市；④平方后等于自身的数；⑤某校高一(2)班中考试成绩在500分以上的学生．答案 ①④⑤2．下列四个说法中正确的个数是________．①集合N 中最小数为1；②若a ∈N ，则－a ∉N ；③若a ∈N ，b ∈N ，则a ＋b 的最小值为2；④所有小的正数组成一个集合．答案 03．用“∈”或“∉”填空．(1)－3______N ；(2)3.14______Q ；(3)13______Z ； (4)－12______R ；(5)1______N *；(6)0________N . 答案 (1) ∉ (2)∈ (3) ∉ (4)∈ (5)∈(6)∈4．集合A ＝{1,2,3,5}，当x ∈A 时，若x －1∉A ，x ＋1∉A ，则称x 为A 的一个“孤立元素”，则A 中孤立元素的个数为________．答案 1解析当x＝1时，x－1＝0∉A，x＋1＝2∈A；当x＝2时，x－1＝1∈A，x＋1＝3∈A；当x＝3时，x－1＝2∈A，x＋1＝4∉A；当x＝5时，x－1＝4∉A，x＋1＝6∉A；综上可知，A中只有一个孤立元素5.5．已知x、y、z为非零实数，代数式x|x|＋y|y|＋z|z|＋|xyz|xyz的值所组成的集合是M，则M中元素的个数为________．答案 3解析分类讨论：x、y、z中三个为正，两个为正，一个为正，全为负，此时代数式的值分别为4,0,0，－4，根据集合中元素的互异性知，M中的元素为4,0，－4.6．方程x2－2x＋1＝0的解集中含有________个元素．答案 17．已知集合S的三个元素a、b、c是△ABC的三边长，那么△ABC(填“能”或“不能”)________为等腰三角形．答案不能解析由元素的互异性知a，b，c均不相等．二、解答题8．已知集合M＝{－2,3x2＋3x－4，x2＋x－4}，若2∈M，求x.解当3 x2＋3x－4＝2时，即x2＋x－2＝0，则x＝－2或x＝1.经检验，x＝－2，x＝1均不合题意．当x2＋x－4＝2时，即x2＋x－6＝0，则x＝－3或2.经检验，x＝－3或x＝2均合题意．∴x＝－3或x＝2.9．设P、Q为两个非空实数集合，P中含有0,2,5三个元素，Q中含有1,2,6三个元素，定义集合P＋Q中的元素是a＋b，其中a∈P，b∈Q，则P＋Q中元素的个数是多少？解∵当a＝0时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为1,2,6；当a＝2时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为3,4,8；当a＝5时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为6,7,11.由集合元素的互异性知P＋Q中元素为1,2,3,4,6,7,8,11共8个．10．设A为实数集，且满足条件：若a∈A，则11－a∈A (a≠1)．求证：(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素；(2)集合A不可能是单元素集．证明(1)若a∈A，则11－a∈A.又∵2∈A，∴11－2＝－1∈A.∵－1∈A，∴11－(－1)＝12∈A.∵12∈A，∴11－12＝2∈A.∴A中另外两个元素为－1，1 2.(2)若A为单元素集，则a＝11－a，即a2－a＋1＝0，方程无解．∴a≠11－a，∴A不可能为单元素集．。

1高中数学必修1精品教案：1.1.1集合的含义与表示导学案

第一章集合与函数概念1.1集合1.1.1集合的含义与表示【学习目标】(1)通过实例,了解集合的含义,体会元素与集合的属于关系；(2)知道常用数集及其专用记号；(3)了解集合中元素的确定性.互异性.无序性；(4)会用集合语言表示有关数学对象；【预习指导】对象：我们可以感觉到的客观存在以及我们思想中的事物或抽象符号,都可以称作对象.阅读教材,并思考下列问题：(1)有哪些概念？(2)有哪些符号？(3)集合中元素的特性是什么？(4)如何给集合分类?【课堂探究】一、问题1：(1)1—20以内的所有质数；(2)我国古代的四大发明；(3)所有的安理会常任理事国；(4)所有的正方形；(5)海南省在2004年9月之前建成的所有立交桥；(6)到一个角的两边距离相等的所有的点；(7)方程2560x x -+=的所有实数根；(8)不等式30x ->的所有解；(9)国兴中学2004年9月入学的高一学生的全体.观察上面的例子,指出这些实例的共同特征是什么？(分组讨论,得出集合的概念)问题2：你还能给出一些集合的例子吗？(学生自己举例子,得出集合元素的特性)二、1、任意给定一个对象和一个集合,它们之间有什么关系？用符合如何表示？2、常用的数集(自然数集、整数集、正整数集、有理数集、实数集)的专用符号你记住了吗？3、要表示一个集合共有几种方式?4、试比较自然语言、列举法和描述法在表示集合时,各自有什么特点?适用的对象是什么?5、如何根据问题选择适当的集合表示法?【课堂练习】1．下列说法正确的是 ( )A.{}1,2,{}2,1是两个集合B.{}(0,2)中有两个元素Ｃ.6|x Q N x ⎧⎫∈∈⎨⎬⎩⎭是有限集Ｄ.{}2|20x Q x x ∈++=且是空集２.将集合{}|33x x x N -≤≤∈且用列举法表示正确的是 ( )Ａ.{}3,2,1,0,1,2,3--- Ｂ.{}2,1,0,1,2--Ｃ.{}0,1,2,3 Ｄ.{}1,2,3３.{},0.3,0,00R Q N +∉∈∈其中正确的个数是( ) Ａ.１个Ｂ.２个Ｃ.３个Ｄ.４个４.方程组25x y x y +=⎧⎨-=⎩的解集用列举法表示为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. ５.已知集合Ａ＝{}20,1,x x -则x 在实数范围内不能取哪些值＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.６.(创新题)已知集合{},,S a b c =中的三个元素是ABC ∆的三边长,那么ABC ∆一定不是( )Ａ.锐角三角形Ｂ.直角三角形Ｃ.钝角三角形Ｄ.等腰三角形【尝试总结】1.本节课我们学习过哪些知识内容?2.选择集合的表示法时应注意些什么?【达标检测】一、选择题1.下列元素与集合的关系中正确的是( ) A.N ∈21 B.2∈{x ∈R|x ≥3} C.|-3|∉N* D.-3.2∉Q2.给出下列四个命题：(1)很小的实数可以构成集合；(2)集合{y |y =x 2-1}与集合{(x ,y )|y =x 2-1}是同一个集合； (3)1,23,46,21-,0.5这些数字组成的集合有5个元素； (4)集合{(x ,y )|xy ≤0,x ,y ∈R}是指第二象限或第四象限内的点的集合.以上命题中,正确命题的个数是( )A.0B.1C.2D.33.下列集合中表示同一集合的是( )A.M={(3,2)},N={(2,3)}B. M={3,2},N={(2,3)}C.M={(x ,y )|x +y =1},N={y |x +y =1}D.M={1,2},N={2,1}4.已知x ∈N ,则方程220x x +-=的解集为( )A.{x |x =-2}B. {x |x =1或x =-2}C. {x |x =1}D.∅ 5.已知集合M={m ∈N|8-m ∈N},则集合M 中元素个数是( )A.6B.7C.8D.9二、填空题6.用符号“∈”或“∉”填空：0_______N ,5______N ,16______N .7.用列举法表示A={y |y =x 2+1,-2≤x ≤2,x ∈Z}为_______________.8.用描述法表示集合“方程x 2-2x +3=0的解集”为_____________.9.集合{x |x >3}与集合{t|t >3}是否表示同一集合？________10.已知集合P={x |2<x <a ,x ∈N},已知集合P 中恰有3个元素,则整数a =_________.三、解答题11.已知集合A={0,1,2},集合B={x |x =ab ,a ∈A ,b ∈A}.(1)用列举法写出集合B ；(2)判断集合B 的元素和集合A 的关系.12.已知集合{1,a ,b }与{-1,-b ,1}是同一集合,求实数a 、b 的值.13.(探究题)下面三个集合：①{}2|2x y x =-,②{}2|2y y x =-,③{}2(,)|2x y y x =-(1)它们是不是相同的集合？(2)试用文字语言叙述各集合的含义.附：集合论的诞生集合论是德国著名数学家康托尔于19世纪末创立的.十七世纪数学中出现了一门新的分支：微积分.在之后的一二百年中这一崭新学科获得了飞速发展并结出了丰硕成果.其推进速度之快使人来不及检查和巩固它的理论基础.十九世纪初,许多迫切问题得到解决后,出现了一场重建数学基础的运动.正是在这场运动中,康托尔开始探讨了前人从未碰过的实数点集,这是集合论研究的开端.到1874年康托尔开始一般地提出“集合”的概念.他对集合所下的定义是：把若干确定的有区别的(不论是具体的或抽象的)事物合并起来,看作一个整体,就称为一个集合,其中各事物称为该集合的元素.人们把康托尔于1873年12月7日给戴德金的信中最早提出集合论思想的那一天定为集合论诞生日.康托尔的不朽功绩前苏联数学家柯尔莫戈洛夫评价康托尔的工作时说：“康托尔的不朽功绩在于他向无穷的冒险迈进”.因而只有当我们了解了康托尔在对无穷的研究中究竟做出了些什么结论后才会真正明白他工作的价值之所在和众多反对之声之由来.数学与无穷有着不解之缘,但在研究无穷的道路上却布满了陷阱.因为这一原因,在数学发展的历程中,数学家们始终以一种怀疑的眼光看待无穷,并尽可能回避这一概念.但试图把握无限的康托尔却勇敢地踏上了这条充满陷阱的不归路.他把无穷集这一词汇引入数学,从而进入了一片未开垦的处女地,开辟出一个奇妙无比的新世界.对无穷集的研究使他打开了“无限”这一数学上的潘多拉盒子.下面就让我们来看一下盒子打开后他释放出的是什么.“我们把全体自然数组成的集合简称作自然数集,用字母N来表示.”学过集合那一章后,同学们应该对这句话不会感到陌生.但同学们在接受这句话时根本无法想到当年康托尔如此做时是在进行一项更新无穷观念的工作.在此以前数学家们只是把无限看作永远在延伸着的,一种变化着成长着的东西来解释.无限永远处在构造中,永远完成不了,是潜在的,而不是实在.这种关于无穷的观念在数学上被称为潜无限.十八世纪数学王子高斯就持这种观点.用他的话说,就是“……我反对将无穷量作为一个实体,这在数学中是从来不允许的.所谓无穷,只是一种说话的方式……”而当康托尔把全体自然数看作一个集合时,他是把无限的整体作为了一个构造完成了的东西,这样他就肯定了作为完成整体的无穷,这种观念在数学上称为实无限思想.由于潜无限思想在微积分的基础重建中已经获得了全面胜利,康托尔的实无限思想在当时遭到一些数学家的批评与攻击是无足为怪的.然而康托尔并未就此止步,他以完全前所未有的方式,继续正面探讨无穷.他在实无限观念基础上进一步得出一系列结论,创立了令人振奋的、意义十分深远的理论.这一理论使人们真正进入了一个难以捉摸的奇特的无限世界.最能显示出他独创性的是他对无穷集元素个数问题的研究.他提出用一一对应准则来比较无穷集元素的个数.他把元素间能建立一一对应的集合称为个数相同,用他自己的概念是等势.由于一个无穷集可以与它的真子集建立一一对应――例如同学们很容易发现自然数集与正偶数集之间存在着一一对应关系――也就是说无穷集可以与它的真子集等势,即具有相同的个数.这与传统观念“全体大于部分”相矛盾.而康托尔认为这恰恰是无穷集的特征.在此意义上,自然数集与正偶数集具有了相同的个数,他将其称为可数集.又可容易地证明有理数集与自然数集等势,因而有理数集也是可数集.后来当他又证明了代数数[注]集合也是可数集时,一个很自然的想法是无穷集是清一色的,都是可数集.但出乎意料的是,他在1873年证明了实数集的势大于自然数集.这不但意味着无理数远远多于有理数,而且显然庞大的代数数与超越数相比而言也只成了沧海一粟,如同有人描述的那样：“点缀在平面上的代数数犹如夜空中的繁星；而沉沉的夜空则由超越数构成.”而当他得出这一结论时,人们所能找到的超越数尚仅有一两个而已.这是何等令人震惊的结果！然而,事情并未终结.魔盒一经打开就无法再合上,盒中所释放出的也不再限于可数集这一个无穷数的怪物.从上述结论中康托尔意识到无穷集之间存在着差别,有着不同的数量级,可分为不同的层次.他所要做的下一步工作是证明在所有的无穷集之间还存在着无穷多个层次.他取得了成功,并且根据无穷性有无穷种的学说,对各种不同的无穷大建立了一个完整的序列,他称为“超限数”.他用希伯莱字母表中第一个字母“阿列夫”来表示超限数的精灵,最终他建立了关于无限的所谓阿列夫谱系,它可以无限延长下去.就这样他创造了一种新的超限数理论,描绘出一幅无限王国的完整图景.可以想见这种至今让我们还感到有些异想天开的结论在当时会如何震动数学家们的心灵了.毫不夸张地讲,康托尔的关于无穷的这些理论,引起了反对派的不绝于耳的喧嚣.他们大叫大喊地反对他的理论.有人嘲笑集合论是一种“疾病”,有人嘲讽超限数是“雾中之雾”,称“康托尔走进了超限数的地狱”.作为对传统观念的一次大革新,由于他开创了一片全新的领域,提出又回答了前人不曾想到的问题,他的理论受到激烈地批驳是正常的.当回头看这段历史时,或许我们可以把对他的反对看作是对他真正具有独创性成果的一种褒扬吧.公理化集合论的建立集合论提出伊始,曾遭到许多数学家的激烈反对,康托尔本人一度成为这一激烈论争的牺牲品.在猛烈的攻击下与过度的用脑思考中,他得了精神分裂症,几次陷于精神崩溃.然而集合论前后经历二十余年,最终获得了世界公认.到二十世纪初集合论已得到数学家们的赞同.数学家们为一切数学成果都可建立在集合论基础上的前景而陶醉了.他们乐观地认为从算术公理系统出发,借助集合论的概念,便可以建造起整个数学的大厦.在1900年第二次国际数学大会上,著名数学家庞加莱就曾兴高采烈地宣布“……数学已被算术化了.今天,我们可以说绝对的严格已经达到了.”然而这种自得的情绪并没能持续多久.不久,集合论是有漏洞的消息迅速传遍了数学界.这就是1902年罗素得出的罗素悖论.罗素构造了一个所有不属于自身(即不包含自身作为元素)的集合R .现在问R 是否属于R ？如果R 属于R ,则R 满足R 的定义,因此R 不应属于自身,即R 不属于R ；另一方面,如果R 不属于R ,则R 不满足R 的定义,因此R 应属于自身,即R 属于R .这样,不论何种情况都存在着矛盾.这一仅涉及集合与属于两个最基本概念的悖论如此简单明了以致根本留不下为集合论漏洞辩解的余地.绝对严密的数学陷入了自相矛盾之中.这就是数学史上的第三次数学危机.危机产生后,众多数学家投入到解决危机的工作中去.1908年,策梅罗提出公理化集合论,后经改进形成无矛盾的集合论公理系统,简称ZF 公理系统.原本直观的集合概念被建立在严格的公理基础之上,从而避免了悖论的出现.这就是集合论发展的第二个阶段：公理化集合论.与此相对应,在1908年以前由康托尔创立的集合论被称为朴素集合论.公理化集合论是对朴素集合论的严格处理.它保留了朴素集合论的有价值的成果并消除了其可能存在的悖论,因而较圆满地解决了第三次数学危机.公理化集合论的建立,标志着著名数学家希耳伯特所表述的一种激情的胜利,他大声疾呼：没有人能把我们从康托尔为我们创造的乐园中赶出去.从康托尔提出集合论至今,时间已经过去了一百多年,在这一段时间里,数学又发生了极其巨大的变化,包括对上述经典集合论作出进一步发展的模糊集合论的出现等等.而这一切都是与康托尔的开拓性工作分不开的.因而当现在回头去看康托尔的贡献时,我们仍然可以引用当时著名数学家对他的集合论的评价作为我们的总结.它是对无限最深刻的洞察,它是数学天才的最优秀作品,是人类纯智力活动的最高成就之一.超限算术是数学思想的最惊人的产物,在纯粹理性的范畴中人类活动的最美的表现之一.这个成就可能是这个时代所能夸耀的最伟大的工作.康托尔的无穷集合论是过去两千五百年中对数学的最令人不安的独创性贡献之一. 注：整系数一元n 次方程的根,叫代数数.如一切有理数是代数数.大量无理数也是代数数.如根号2.因为它是方程x 2-2=0的根.实数中不是代数数的数称为超越数.相比之下,超越数很难得到.第一个超越数是刘维尔于1844年给出的.关于π是超越数的证明在康托尔的研究后十年才问世.1.1.1集合的含义与表示【课堂练习】1．D 2. C 3.B 4. 73,22⎧⎫⎛⎫-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭ 5. x ≠ 6.D 【达标检测】选择题 1－5 BADCC填空题 6. ∈ ∉ ∈ 7. {}2,4,5 8. {}2|230x x x -+= 9.是 10. 6解答题11.}4,2,1,0{=B 集合A 中的元素都在集合B 中。

《1.1.1集合的含义与表示》导学案

3.已知集合A={a, a+d,a+2d },B={a,aq,aq2}(a为常数)，若A=B,求d,q的值。
学生分组进行讨论、探究、总结。
反思
小结
利用补充的例题发散学生思维，培养学生知识迁移能力和总结能力
归纳整理
进行总结，达到条理化
作业
延伸
完成优化设计相关练习，并预习下节课：集合的表示方法
针对不同水平的学生，设置必做题和选做题，同时课后加强检测的力度，促进知识的巩固和提高
2bookshop的所有字母构成了一个含有8个元素的集合。
3由1、6、7、8构成的集合与由8、1、7、6构成的集合不相等
3.下列各组对象不能构成集合的是（）
A.大于6的所有整数B.爱好足球的人
C．中国的富翁D.某公司的全体员工
4.下列结论中不正确的是（）
A.若a∈N,则-a∈N B.若a∈Z，则(3a-1)∈Z
C.若a∈Q,则｜a｜∈Q D.若a是实数，则根号a是实数
学生阅读教科书中的相关内容，自己概括集合中元素的特点，并能举出一些能够构成集合的例子以及不能构成集合的例子，并说明理由，发表自己的意见
当堂
训练
教材练习1和补充拓展题
1.在集合{3，x,x2-2x}中，写出x应满足的条件
2.含有三个实数的集合可表示为{a,a/b,1},也可表示为{a2,a+b,0}。求a2010+b2011的值
（三）集合中元素的性质
提问：你能说说集合中元素的特点吗？
引导学生明确集合元素的，______、______、______、培养抽象概括能力。
1.思考下列问题
2我们班的全体女生能构成集合吗？
3我们班的高个子男生能构成集合吗？

高一数学§1.1.1集合的含义与表示优秀教案

§集合的含义与表示一、教学目标：l. 知识与技能(1)通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；(2)知道常用数集及其专用记号；(3)了解集合中元素确实定性、互异性、无序性；(4)会用集合语言表示有关数学对象；2. 过程与方法(1)让学生经历从集合实例中抽象概括出集合共同特征的过程，感知集合的含义.(2)让学生归纳整理本节所学知识.3. 情感.态度与价值观(1)培养学生抽象概括的能力.(2)使学生感受到学习集合的必要性，增强学习的积极性.二. 教学重点.难点重点：集合的含义与表示方法.难点：表示法的恰中选择.三. 学法与教学用具1. 学法：学生通过阅读教材，自主学习.思考.交流.讨论和概括，从而更好地完本钱节课的教学目标.2. 教学用具：多媒体.四. 教学情境设计(一)创设情境，揭示课题1．教师首先提出问题：在，我们已经接触过一些集合，你能举出一些集合的例子吗?引导学生回忆.举例和互相交流. 与此同时，教师对学生的活动给予评价.2.接着教师指出：那么，集合的含义是什么呢?这就是我们这一堂课所要学习的内容.〔二〕研探新知1．教师利用多媒体设备向学生投影出下面8个实例：(1)1—20以内的所有素数；注释：质数又称素数。

指在一个大于1的自然数中，除了1和此整数自身外，没法被其他自然数整除的数。

换句话说，只有两个正因数〔1和自己〕的自然数即为素数。

比1大但不是素数的数称为合数。

1和0既非素数也非合数。

(2)我国古代的四大创造；〔指南针、造纸术、火药、印刷术〕(3)所有的安理会常任理事国；注释：联合国是一个由主权国家组成的国际组织。

在1945年10月24日在美国加州旧金山签定生效的《联合国宪章》标志着联合国正式成立。

在第二次世界大战前，存在着一个类似于联合国的组织国际联盟，通常可以认为是联合国的前身。

联合国对所有接受《联合国宪章》的义务以及履行这些义务的“热爱和平的国家〞开放。

到20xx年为止，联合国共有192个成员国。

高一数学 1.1.1 集合的含义与表示导学案2

集合的含义与表示一、学习目标：掌握表示集合的两种表示方法，能够运用集合的两种表示方法表示一些简单集合。

二、学习重、难点：重点：集合的两种表示方法。

难点：对描述法的理解。

三、学法指导：学生通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学目标。

四、知识链接：1.集合中元素的特征是：2.常用数集及其记法：五、学习过程：1、阅读教材P3页，回答问题：问题1.列举法的定义：问题2. {1,2,3}与{3，2，1}表示的集合的关系？例1．请用列举法表示下列集合：（1）小于5的正奇数。

（2）能被3整除且大于4小于15的自然数。

x-=的解的集合。

（3）方程290问题3.用列举法能表示元素个数无限个的集合吗？举例说明？问题4. 什么样的集合适合用列举法表示？2、阅读教材4P 页，回答问题：问题5.描述法的定义：B 例2．试分别用列举法和描述法表示下列集合：（1）方程x 2-3=0的所有实数根组成的集合。

解：列举法：描述法：（2）由大于10小于30的所有整数组成的集合。

解：列举法：描述法：问题6.什么样的集合适合用描述法表示？一个集合是否既能用列举法表示，又能用描述法表示？并举例说明。

问题7.集合x x |{＞3}与集合t t |{＞3}是否表示同一个集合？六、达标检测：A 1.教材12页A 组3，4题B 2.方程组25x y x y +=⎧⎨-=⎩的解集用列举法表示为________；用描述法表示为。

B 3.{(,)|6,,}x y x y x N y N +=∈∈用列举法表示为。

B 4.已知},,13|{Z k k x x A ∈-==用∈或∉符号填空：（1）5 A （2）—7 AB5.集合M={（x,y）|xy>0,x∈R,y∈R}是指A第一象限内的点集 B第三象限内的点集C第一、三象限内的点集 D第二、四象限内的点集B6.用列举法将集合{（x,y）|x∈{1，2},y∈{1，2}}可以表示为A.{{1，1}，{1，2}，{2，1}，{2，2}}B.{1，2}C.{（1，1），（1，2），（2，1），（2，2）}D.{（1，2）}B7．已知集合A={-2，-1，0，1}，集合B={y|y=|x|, x∈A}，则B= B8．已知集合A={（x,y）|y=2x+1},B={（x,y）|y=x+3},a∈A且a∈B则a为C9.试选择适当的方法表示下列集合：（1）由所有小于10的既是奇数又是素数的自然数组成的集合；（3）二次函数y=x2-10图像上的所有的点组成的集合；七、学习小结: 本节课介绍了集合的常用表示方法，包括列举法、描述法。

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§1.1.1、集合
一、识记知识点。

1．集合的概念描述：我们把研究对象称为，由一些元素组成的总体叫做 .
① 集合相等：两个集合的元素完全相等。

② 集合与元素的表示：大写字母表示集合A 、B 、C ……，小写字母表示元素c b a 、、。

如果a 是集合A 的元素，记作________．如果a 不是集合A 的元素，记作________
③ 元素的特征：______性、______性和______性．
2．常用数集的符号：
自然数集______；正整数集______；整数集______；有理数集______；实数集______．
3．表示集合有两种方法：______法和______法．______法就是把集合的所有元素一一列举出来，写在_____号内；______法是用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，具体的方法是：在______号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条______，在此后面写出这个集合中元素所具有的_____性质．
二、例题讲解：
【例1】：下列各组对象能构成一个集合吗？请判断并说明理由。

1、中国古代的四大发明。

2、方程240x -=在实数范围内的解。

3、所有很大的实数。

4、好心的人。

5、2010年上海世博会中所有的参展项目。

【例2】：下面三个集合：A={}{}{}
2221;1;(,)1x y x B y y x C x y y x =+==+==+
⑴它们是不是相同的集合？
⑵它们各自的含义是什么？
【例3】：用另一种方法表示下列集合
⑴、｛绝对值不大于2的整数｝
⑵、｛能被3整除且小于10的正数｝ ⑶、}056{2=+-x x x ⑷、{}**(,)6,,x y x y x N y N +=∈∈
⑸、(2)}32{2N y R x x x y y ∈∈+--=，，
【例4】：⎭⎬⎫⎩⎨⎧1,,
a b a ={}
0,,2b a a +，则=+b a 。

三、对应练习：
1．下面给出的四类对象中，构成集合的是（）
A ．某班个子较高的同学
B ．长寿的人
C
D ．倒数等于它本身的数
2．判断下列语句是否正确
⑴、有1 . 2 . 2 . 4 . 2 . 1构成一个集合时，这个集合共有6个元素。

⑵、所有的等腰三角形构成一个集合。

⑶、世界著名的艺术家们构成一个集合。

⑷、倒数等于他自身的实数构成一个集合。

⑸、质数的全体构成一个集合。

3．下面四个命题正确的是（）
A ．10以内的质数集合是{0，3，5，7}
B ．由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}
C ．方程2
210x x -+=的解集是{1，1} D ．0与{0}表示同一个集合
4．用符号∈或∉填空：
， π___Q ， 3.14 Q ， 21 Q, 2
1___Z ， 3____R ， 0____N ， 0 N +． 0 Z 5．下列各组中的两个集合P 和Q ，表示同一集合的是（）
A 、{}{}3,1,,,3,1-==ππQ P
B 、{}{}14159
.3,==Q P π C 、{}{})3,2(,3,2==Q P D 、{}{}1,,11=∈≤<-=Q N x x x P
6、已知集合⎭
⎬⎫⎩⎨⎧
∈-∈=*56N a Z a M ,则M 是（） A 、{}4,3,2,1- B 、{}8,7,3,2 C 、{}3,2 D 、{}11
,8,7,6,3,2,1- 7、集合{}12),(-=x y y x 表示（）
A 、方程12-=x y
B 、平面直角坐标系中的所有点组成的集合
C 、点),(y x
D 、函数12-=x y 图象上的所有点组成的集合 8、用列举法表示集合{}
0122=+-x x x 为（） A 、{}1,1 B 、{}1 C 、{}1=x D 、{}
0122=+-x x 9、方程组⎩
⎨⎧=-=+31y x y x 的解集是（） A 、{}1,2-==y x B 、{}1,2- C 、{})1,2(- D 、（-1，2）
10、{}x x ,0,12∈，求实数x 的值。