1圆的基本概念与性质(2013-2014)-学生版
圆的基本概念与性质
圆的基本概念与性质圆是几何学中的一个基本概念，在我们的日常生活中也经常出现。
对于圆的概念和性质，我们需要进行深入的探究。
本文将从圆的定义、圆的性质以及圆相关的计算方法等方面进行阐述。
一、圆的定义圆是由一个平面上的所有到一个固定点的距离都相等的点组成的图形。
这个固定点称为圆心，用O表示；到圆心距离相等的点与圆心之间的距离称为半径，用r表示。
圆的边界称为圆周，圆周上的任意两点与圆心之间的距离都相等。
二、圆的性质1. 圆的直径与半径圆的直径是指通过圆心的一条线段，它的两个端点都在圆上。
直径的长度等于半径的两倍，即d=2r，其中d代表直径的长度。
2. 圆的周长圆的周长是圆周的长度，通常用C表示。
周长的计算公式为C=2πr，其中π是一个数学常数，取近似值3.14。
3. 圆的面积圆的面积是指圆所包围的区域的大小，通常用A表示。
面积的计算公式为A=πr²，即圆的面积等于半径的平方乘以π。
4. 圆的弧长圆的弧长是圆周上一部分的长度，通常用L表示。
弧长的计算公式为L=2πr，其中r是弧所对应的半径，即弧长等于弧所对应的圆心角的度数除以360度再乘以周长。
5. 圆的扇形面积圆的扇形是由一个圆心角和与其所对应的弧组成的图形，通常用S 表示。
扇形的面积计算公式为S=πr²θ/360°，其中θ是圆心角的度数，r 是半径。
6. 圆的切线与法线圆上的切线是与圆周只有一个交点的直线，切线的斜率等于半径的斜率。
圆上的法线是与切线垂直，并通过圆心的直线。
三、圆的应用圆在日常生活中具有广泛的应用。
以下是几个常见的应用场景：1. 圆形运动：物体在圆周上做匀速运动时，我们可以利用圆的性质来计算物体的位移、速度、加速度等。
2. 圆的建筑：许多建筑设计中都会使用圆形的建筑物，比如圆形剧场、圆形广场等，给人以艺术美感。
3. 圆的通信：在无线通信中，天线辐射出的信号范围就是一个圆形的区域，我们可以通过圆的性质来计算信号的传播距离与强度。
认识圆的基本概念与性质
认识圆的基本概念与性质圆是几何学中非常重要的一个概念，它有许多特性和性质。
在这篇文章中，我们将一起探讨认识圆的基本概念和性质。
一、圆的定义圆是指平面上所有到一个固定点（圆心）的距离都相等的一组点的集合。
这个固定距离称为半径，用字母r表示。
根据这个定义，我们可以知道圆由无数个点组成，其中每个点到圆心的距离都等于半径r。
二、圆的要素1. 圆心：圆心是圆的中心点，用字母O表示。
2. 半径：半径是从圆心到圆上任意一点的距离，用字母r表示。
3. 直径：直径是通过圆心的任意两个点之间的距离，它等于半径的两倍，用字母d表示。
三、圆的性质1. 圆的周长：圆的周长是沿着圆的边界一周所经过的距离。
我们可以通过一个简单的公式来计算圆的周长，即周长C等于半径r乘以2π（C=2πr）。
2. 圆的面积：圆的面积是指圆内部所有的点所覆盖的区域。
同样地，我们可以通过一个公式来计算圆的面积，即面积A等于半径r的平方乘以π（A=πr²）。
3. 圆的弧长：圆的弧长是圆上一段弧的长度。
计算圆的弧长需要知道弧所对应的圆心角的大小。
如果我们知道圆心角的度数为θ度，那么弧长L等于周长C乘以圆心角θ度除以360度（L=C×θ/360）。
四、圆与其他几何图形的关系1. 矩形和正方形：圆和矩形或正方形之间有一个有趣的关系，在给定固定周长的情况下，圆的面积是最大的。
也就是说，圆拥有对于给定周长最大的面积。
这是因为圆的周长分布在圆的边界上，而矩形或正方形的周长则分布在边界的四条边上。
2. 正多边形：正多边形是指所有边和角相等的多边形，圆可以看作是一个边数无限多的正多边形。
当正多边形的边数逐渐增大时，它的外接圆趋近于一个圆形。
3. 弦和切线：在圆上，连接两个不同点的线段称为弦。
弦的特点是它的中点和圆心连线垂直。
切线是指与圆只有一个交点的直线，切线与圆相切的点处的切线垂直于半径。
通过上述论述，我们对圆的基本概念和性质有了更深入的了解。
圆的基本概念与性质
圆的基本概念与性质圆是我们生活中常见的几何图形之一，它具有许多独特的特点和性质。
作为一位初中数学特级教师，我将为大家介绍圆的基本概念和一些重要的性质，并通过实例和分析来说明它们的应用。
一、圆的基本概念圆是由平面上到一个固定点的距离等于定长的点的集合。
这个固定点称为圆心，定长称为半径。
圆的符号通常用大写字母O表示圆心，小写字母r表示半径。
例如，我们可以用O(r)来表示半径为r的圆。
二、圆的性质1. 圆的周长和面积圆的周长是圆的边界上所有点到圆心的距离之和。
我们知道，圆的周长公式是C=2πr，其中π是一个无理数，约等于3.14。
这个公式告诉我们，圆的周长与半径成正比，半径越大，周长也越大。
圆的面积是圆内部所有点到圆心的距离之和。
圆的面积公式是A=πr²。
这个公式告诉我们，圆的面积与半径的平方成正比，半径越大，面积也越大。
2. 圆的切线和弦圆上的切线是与圆相切且只有一个交点的直线。
切线与半径垂直，切点在切线上的两条半径相等。
圆内的弦是连接圆上任意两点的线段。
弦的长度小于或等于圆的直径，且直径是圆的最长弦。
3. 圆的相交关系当两个圆的圆心距离小于两个圆的半径之和时，这两个圆相交。
当两个圆的圆心距离等于两个圆的半径之和时，这两个圆相切。
当两个圆的圆心距离大于两个圆的半径之和时，这两个圆相离。
三、圆的应用举例1. 圆的周长和面积的计算假设一个圆的半径为5cm，我们可以使用周长公式C=2πr来计算它的周长。
代入半径r=5，得到C=2π×5≈31.4cm。
同样，我们可以使用面积公式A=πr²来计算它的面积。
代入半径r=5，得到A=π×5²≈78.5cm²。
2. 圆的切线和弦的应用在建筑设计中，我们经常需要确定一个圆的切线或弦的位置。
例如，如果我们要在一个圆形花坛周围铺设一条环形步道，我们可以通过确定切线的位置来确定步道的宽度和形状。
另外，如果我们要在一个圆形游泳池内部建造一个桥梁，我们可以通过确定弦的位置来确定桥梁的长度和位置。
圆的概念及性质知识点梳理
圆的概念及性质知识点梳理一、圆的基本概念 1. 圆的定义：圆是由平面上到一定点的距离相等的所有点组成的集合。
2. 圆的符号表示：以大写字母O表示圆心，小写字母r表示半径，圆可以表示为O(r)。
3. 圆的元素：圆心、半径、直径。
二、圆的性质 1. 对称性： a. 圆心对称：圆内任意一点都可以通过圆心的对称变换到另外一个点。
b. 直径对称：圆内任意一点都可以通过圆的直径对称变换到另外一个点。
2. 圆与直线的关系： a. 圆与直线的交点：一条直线与圆相交的点数可能为0、1、2个。
b. 切线：一条直线切圆的条件是直线与圆有且仅有一个交点。
c. 弦：一条直线与圆有两个交点，这两个交点与圆心连接形成的线段称为弦。
3.圆与角的关系： a. 圆心角：圆内的两条半径所对应的角称为圆心角，圆心角的度数等于弧度的两倍。
b. 弧度：弧长等于半径的弧对应的角的度数称为弧度。
c. 弧度制与度数制转换：弧度 = 度数× π / 180。
4. 圆与面积的关系： a. 圆的面积公式：圆的面积等于半径的平方乘以π，即A = πr^2。
b. 圆周长与面积的关系：半径一样的两个圆，周长较大的圆面积也较大。
5. 圆与体积的关系：a. 圆柱的体积公式：圆柱的体积等于底面积乘以高，即V = πr^2h。
b. 圆锥的体积公式：圆锥的体积等于底面积乘以高再除以3，即V = (1/3)πr^2h。
c. 球体的体积公式：球体的体积等于(4/3)πr^3。
三、圆的应用 1. 圆的几何应用： a. 轮胎：轮胎通常采用圆形设计，便于车辆转向和行驶。
b. 钟表：钟表上的指针转动的轨迹是一个圆弧。
2. 圆的物理应用： a.运动：物体在做圆周运动时，其运动轨迹是一个圆。
b. 电子：电子的轨道运动也是一个圆形的。
c. 光学：光学中的透镜和曲率半径有关，曲率半径越小，透镜越强。
3. 圆的数学应用： a. 数学公式：圆的周长和面积的计算公式是数学中的基本公式之一。
圆的基本概念与性质
圆的基本概念与性质圆是几何中的一种基本图形，具有独特的性质和特点。
本文将介绍圆的基本概念和性质，探讨其在数学和日常生活中的应用。
一、圆的基本概念圆是由一个平面内距离中心固定点相等的所有点构成的集合。
其中，固定点称为圆心，距离圆心的长度称为半径。
圆由圆心和半径唯一确定。
二、圆的性质1. 圆的直径圆的直径是连接圆上任意两点，并通过圆心的线段。
直径的长度等于圆半径的2倍。
2. 圆的周长圆的周长是指圆上任意两点之间的距离，也可以理解为圆的边界长度。
周长的计算公式为C=2πr，其中C表示周长，r表示半径。
3. 圆的面积圆的面积是指圆内部所有点组成的区域。
面积的计算公式为A=πr^2，其中A表示面积，r表示半径。
4. 弧圆上两点之间的部分称为圆弧。
弧对应的圆心角等于弧所夹的圆心角。
5. 弦圆上连接两点的线段称为弦。
如果弦通过圆心，则称为直径。
否则，称为弦。
6. 切线与圆相切且仅有一个切点的直线称为圆的切线。
切线与半径垂直。
7. 弦切角圆的内部一点与两条相交弦之间的角称为弦切角。
同弧切角相等。
三、圆的应用圆的概念和性质在数学中有广泛应用，也在日常生活中有所体现。
以下为几个常见的应用场景：1. 几何图形圆是许多其他几何图形的基础，例如圆柱体、圆锥体和圆环等。
了解圆的概念和性质，有助于我们更好地理解和应用这些几何图形。
2. 建筑设计在建筑设计中，圆形结构常常被运用。
圆形的建筑物可以提供良好的结构稳定性和美观性。
例如，圆形拱门和圆顶常常用于教堂和宫殿等建筑中。
3. 工程测量圆的性质在工程测量中有重要的应用。
通过测量圆的半径或直径，可以计算出工程中需要的其他参数，如周长、面积和体积。
4. 自然现象许多自然现象中都存在圆形，例如太阳、月亮、风旋涡等。
理解圆的概念和性质，有助于我们更好地解释和研究这些自然现象。
结语圆是几何学中的基本概念之一，具有独特的性质和广泛的应用。
通过了解圆的基本概念和性质，我们能够更好地理解几何学知识，并将其应用于实际生活中。
圆的基本概念与性质
圆的基本概念与性质圆是数学中的一个基本几何形状，它是平面上所有离一个特定点的距离都相等的点的集合。
圆的特性以及相关的性质在数学和几何学的研究中有着广泛的应用。
本文将介绍圆的基本概念、性质以及应用。
1. 圆的定义圆是由平面上所有距离一个固定点距离相等的点构成的图形。
该固定点叫作圆心，用O表示，它到圆上任一点的距离叫作半径，用r表示。
圆可以通过半径和圆心表示为“圆O(r)”。
2. 圆的性质圆有一些特点和性质，下面将列举一些重要的性质：(1) 圆上的任意两点与圆心连线的长度相等。
(2) 圆上任意一条线段被圆心分成两部分，其中一部分的长度就是另一部分的两倍。
(3) 圆上的任意一条弧所对的圆心角是不变的，即不依赖于弧的位置和大小。
(4) 圆的内切圆与外切圆的圆心在同一直径上。
(5) 圆的内切正多边形的边数越多，其形状越接近圆。
(6) 圆的内部所有点到圆心的距离都小于半径。
(7) 圆的外部所有点到圆心的距离都大于半径。
除了上述性质外，圆还有许多重要的应用。
3. 圆的应用圆的性质和特点在实际生活中有着广泛的应用，下面将介绍一些常见的应用场景：(1) 圆的计算：根据圆的半径或直径可以计算圆的周长和面积。
圆的周长可以通过公式C=2πr计算，其中π是一个常数，约等于3.14159。
圆的面积可以通过公式A=πr^2计算。
(2) 圆的测量：在实际测量中，圆的概念经常被用来描述和测量曲线的形状，如圆形的轮胎、圆形的盘子等。
(3) 圆的建模：在工程设计和物理学中，圆的性质被广泛用于建模和解决问题，如地球的形状可以近似看作一个圆球等。
(4) 圆的几何关系：圆和其他几何形状之间有着多种关系，如圆的切线、圆与直线的交点等，这些关系在解决几何问题中非常有用。
综上所述，圆是一个重要的几何形状，在数学和几何学中有着广泛的应用。
通过研究圆的定义和性质，我们可以理解和应用它在实际问题中的意义，从而更好地解决相关的数学和几何问题。
圆的概念及性质
圆的概念及性质一、圆的相关概念1.圆的定义（1）描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，其中固定端点O叫做圆心，OA叫做半径．（2）集合性定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，顶点叫做圆心，定长叫做半径．（3）圆的表示方法：通常用符号⊙表示圆，定义中以O为圆心，OA为半径的圆记作”O⊙“，读作”圆O“．（4）同圆、同心圆、等圆：圆心相同且半径相等的圆叫同圆；圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；能够重合的两个圆叫做等圆．注意：注意：同圆或等圆的半径相等．2.弦和弧（1）弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦．（2）直径：经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的2倍．（3）弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距．、为端点的圆弧记作AB，读作弧AB．（4）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A B（5）等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．（6）半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆．（7）优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．（8）弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．3.圆心角和圆周角（1）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．将整个圆分为360等份，每一份的弧对应1︒的圆心角，我们也称这样的弧为1︒的弧．圆心角的度数和它所对的弧的度数相等．（2）圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．二、圆的对称性1.旋转对称性（1）圆是中心对称图形，对称中心是圆心；圆是旋转对称图形，无论绕圆心旋转多少度角，总能与自身重合．（2）圆的旋转对称性⇒圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系．2.轴对称性（1）圆是轴对称图形，经过圆心的任一条直线是它的对称轴．（2）圆的轴对称性⇒垂径定理．三、圆的性质定理1. 圆周角定理（1） 定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． （2） 推论：推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等． 推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90 的圆周角所对的弦是直径． 推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．2. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系（1） 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．A （2） 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等．注意：①前提条件是在同圆或等圆中；②在由等弦推出等弧时应注意：优弧与优弧相等；劣弧与劣弧相等．3. 垂径定理D（1） 定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． （2） 推论1：①平分弦（非直径）的直径，垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． ②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．（3） 推论2：圆的两条平行线所夹的弧相等．注意：若“过圆心的直线”、“垂直于弦”、“平分弦（非直径）”、“平分弦所对的优弧”、“平分弦所对的劣弧”中的任意两个成立，则另外三个都成立．注意：应用垂径定理与推论进行计算时，往往要构造如右图所示的直角三角形，根据垂径定理与勾股定理有：222()2ar d =+，根据此公式，在a ，r ，d 三个量中知道任何两个量就可以求出第三个量．一、圆的相关概念及性质【例1】 判断题：（1）直径是弦 ( ) （2）弦是直径 ( ) （3）半圆是弧 ( ) （4）弧是半圆 ( ) （5）长度相等的两条弧是等弧 ( ) （6）等弧的长度相等 ( ) （7）两个劣弧之和等于半圆 ( ) （8）半径相等的两个圆是等圆 ( ) （9）两个半圆是等弧 ( ) （10）圆的半径是R ，则弦长的取值范围是大于0且不大于2R ( )【例2】 如图，在两半径不同的同心圆中，''60AOB A OB ∠=∠=︒，则（ ）A ．''AB A B = B ．''AB A B >C ．AB 的度数=''A B 的度数D ．AB 的长度=''A B 的长度【例3】 如图，AB 是O ⊙的直径，点C D 、在O ⊙上，110BOC ∠=︒，AD OC ∥，则A O D ∠=___________．【例4】 如图，点A D G M 、、、在半圆O 上，四边形ABOC DEOF HMNO 、、均为矩形，设BC a =，EF b =，NH c =则下列格式中正确的是( )A ．a b c >>B ．a b c ==C ．c a b >>D ．b c a >>ON MHG FE DC B A【例5】 如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为216cm ，则该半圆的半径为______．【例6】 如图①，1O ，2O ，3O ，4O 为四个等圆的圆心，A ，B ，C ，D 为切点，请你在图中画出一条直线，将这四个圆分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是 ；如图②，1O ，2O ，3O ，4O ，5O 为五个等圆的圆心，A ，B ，C ，D ，E 为切点，请你在图中画出一条直线，将这五个圆．．．分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是 ． 图1图2二、圆的性质定理1. 圆周角定理【例7】 如图，80AOB ∠=︒，则弧AB 所对圆周角ACB ∠的度数是（ ）A ．40︒B ．45︒ C ．50︒ D ．80︒【例8】 如图，已知ACB ∠是O 的圆周角，50ACB ∠=︒，则圆心角AOB ∠是（ ）A ．40︒B ．50︒C ．80︒D ．100︒【例9】 如图，O ⊙是ABC ∆的外接圆，已知50ABO ∠=︒，则ACB ∠的大小为__________．【例10】 如下左图，四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A B O 、、是小正方形顶点，O ⊙的半径为1，P 是O ⊙上的点，且位于右上方的小正方形内，则APB ∠等于__________．PO BA【例11】 已知：如图，四边形ABCD 是O ⊙的内接正方形，点P 是劣弧CD 上不同于点C 的任意一点，则BPC ∠的度数是( )A.45︒B.60︒C.75︒D.90︒ P【例12】 如图，量角器外沿上有A B 、两点，它们的度数分别是7040︒︒、，则1∠的度数为_________．【例13】 如图，量角器外缘边上有A P Q ，，三点，它们所表示的读数分别是180︒，70︒，30︒，则PAQ∠的大小为（ ） A ．10︒ B ．20︒ C ．30︒D ．40︒【例14】 如图，O ⊙是ABC ∆的外接圆，已知60B ∠=︒，则CAO ∠的度数是（ ）A ．15︒B ．30︒C ．45︒D ．60︒【例15】 如图，AB 是O 的直径，CD 是⊙O 的弦，连接AC AD ，，若35CAB ∠=︒，则ADC ∠的度数为 ．【例16】 如图，CD 为O ⊙的直径，过点D 的弦DE 平行于半径OA ，若D ∠的度数是50︒，则C ∠的度数是（ ） A ．25︒ B ．40︒ C ．30︒ D ．50︒E【例17】 如图，已知O 的弦AB CD ，相交于点E ，AC 的度数为60︒，BD 的度数为100︒，则AEC ∠等于（ ） A ．60° B ．100° C ．80° D ．130°C【例18】 如图，AB 是O ⊙的直径，弦PC 交OA 于点D ，弦PE 交OB 于点F ，且O C D C O F E F ==，．若C E ∠=∠，则CPE ∠=___________．O PFEDC B A【例19】 如图所示的半圆中，AD 是直径，且32AD AC ==，，则sin B 的值是________．DCA B【例20】 如图，AB 是O ⊙的直径，CD AB ⊥，设COD α∠=，则2sin 2AB AD α⋅=_____________．【例21】 如图，AB 为O ⊙的直径，CD 是O ⊙的弦，AB CD 、的延长线交于点E ，若218A B D E E =∠=︒，，求AOC ∠的度数．E【例22】 如图所示CD 是O ⊙的直径，87EOD ∠=︒，AE 交O ⊙于B ，且AB OC =，求A ∠的度数．D【例23】 如图，已知AB 为⊙O 的直径，20E ∠=︒，50DBC ∠=︒，则CBE ∠=______．【例24】如图，在O⊙中，AOB∠的度数为m，C是ACB上一点，D E、是AB上不同的两点(不与A B、两点重合)，则D E∠+∠的度数为____________．【例25】如图，AB是O 的直径，点C，D，E都在O上，若C D E==∠∠∠，求A B+∠∠．BA【例26】如图，有一圆形展厅，在其圆形边缘上的点A处安装了一台监视器，它的监控角度是65︒．为了监控整个展厅，最少需在圆形边缘上共安装．．．这样的监视器台．【例27】如图所示，在ABC∆中，45C∠=︒，4AB=，则O⊙的半径为()B.4C. D.5CBA【例28】如图，ABC△的三个顶点都在O⊙上，302cmC AB∠=︒=，，则O⊙的半径为______cm．【例29】 如图，ABC ∆内接于O ⊙，120AB BC ABC =∠=︒，，AD 为O ⊙的直径，6AD =，那么BD =_________．【例30】 已知O ⊙的弦AB 长等于圆的半径，求该弦所对的圆周角．【例31】 两圆相交于A 、B ，P 是大圆O 上一点，过A 、P 和B 、P 分别作直线交小圆于C 、D ，过O 、P 作直径PE ．求证：PE CD ⊥PG FEDCBA【例32】 如图，O ⊙与P ⊙相交于B 、C 两点，BC 是P ⊙的直径，且把O ⊙分成度数比为12∶的两条弧，A 是BmC 上的动点(不是B 、C 重合)，连结AB 、AC 分别交P ⊙于D 、E 两点．（1）当ABC ∆是钝角三角形时，判断PDE ∆的形状． （2）当ABC ∆是直角三角形时，判断PDE ∆的形状．（3）当ABC ∆是锐角三角形时，判断PDE ∆的形状．这种情况加以证明．【例33】 已知，如图：AB 为O ⊙的直径，AB AC =，BC 交O ⊙于点D ，AC 交O ⊙于点E ，45BAC ∠=︒．给出以下五个结论：①22.5EBC ∠=︒，；②BD DC =；③2AE EC =；④劣弧AE 是劣弧DE 的2倍；⑤AE BC =．其中正确结论的序号是 ．【例34】 如图，ABC △是O 的内接三角形，点C 是优弧AB 上一点(点C 不与A B ，重合)，设OAB α∠=，C β∠=．（1）当35α=︒时，求β的度数；（2）猜想α与β之间的关系，并给予证明．【例35】 如图AB 是半圆O 的直径，点C D 、在弧AB 上，且AD 平分CAB ∠，已知106AB AC ==，，求AD的长．【例10】 圆1S 及2S 相交于点A 及B ．圆1S 的圆心O 落在2S 的圆周上，圆1S 的弦AC 交2S 于点D （如图），证明：线段OD 与BC 是互相垂直的．ABC D OS 1S 2【例36】 已知，如图M N ，为O 中劣弧AB 的三等分点，E F ，为弦AB 的三等分点，连接ME 并延长，交直线MF 于点P ，连接AP BP ，交O 于C D ，两点，求证：3AOB APB ∠=∠．PNMOFEDCBA【例37】 如图，已知AB 是O ⊙的直径，点C 是O ⊙上一点，连结BC AC 、，过点C 作直线CD AB ⊥于点D ，点E 是AB 上一点，直线CE 交O ⊙于点F ，连结BF ，与直线CD 交于点G ．求证：2BC BG BF =⋅．【例38】 如图，半圆的直径10AB =，点C 在半圆上，6BC =．（1）求弦AC 的长；（2）若P 为AB 的中点，PE AB ⊥交AC 于点E ，求PE 的长．【例39】 如图，已知：在O ⊙中，直径4AB =，点E 是OA 上任意一点，过E 作弦CD AB ⊥，点F 是BC 上一点，连接AF 交CE 于H ，连接AC CF BD OD 、、、． ⑴ 求证：ACH AFC ∆∆∽；⑵ 猜想：AH AF ⋅与AE AB ⋅的数量关系，并说明你的猜想； ⑶ 探究：当点E 位于何处时，:1:4AEC BOD S S ∆∆=？并加以说明．【例40】 如图，AB ，AC ，AD 是圆中的三条弦，点E 在AD 上，且AB AC AE ==．请你说明以下各式成立的理由：（1）2CAD DBE ∠=∠；（2）22AD AB BD DC -=⋅．P EC B AE DCBA【例41】 在ABC ∆中，60ABC ∠=︒，点O 、H 分别是ABC ∆的外心、垂心．点D 、E 分别在边BC 、AB上，使得BD BH =，BE BO =，已知1BO =．求BDE ∆的面积．图 12HOFE DCBA2. 圆内接四边形【例42】 已知：如图，面积为2的四边形ABCD 内接于O ⊙，对角线AC 经过圆心，若45BAD ∠=︒，CD AB 的长等于 ．【例43】 如图，AB 为O 的直径，AC 交O 于E 点，BC 交O 于D 点，CD BD =，70C ∠=︒． 现给出以下四个结论：①45A ∠=︒； ②AC AB =； ③AE BE =； ④22CE AB BD ⋅=． 其中正确结论的序号是A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④BA【例44】 已知AD 是O ⊙的直经，ABAC 、是弦，若2AD AB AC ===，A B C D ，，，四点构成的四边形的周长．图1【例45】如图，已知四边形ABCD内接于直径为3的圆O，对角线AC是直径，对角线AC和BD的交点P，AB BD=，且0.6PC=，求四边形ABCD的周长．C 【例46】如图，四边形ABCD为正方形，O过正方形的顶点A和对角线的交点P，分别交AB AD，于点F E，．（1）求证：DE AF=（2）若O，1AB=，求AEED的值．【例47】如图，O⊙外接于正方形ABCD，P为弧AD上一点，且1AP=，PB=PC的长．PD CBA【例48】圆内接四边形ABCD，AC BD⊥，AC交BD于E，EG CD⊥于G，交AB于F．求证：AF BF=．GEF A BC D【例49】 圆内接矩形CEDF ，过D 作圆的切线AB ，分别与CE 、CF 的延长线相交于A 、B ，求证：33BF BC AE AC =．A3. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系【例50】 在同圆中，CD 的度数小于180︒，且2AB CD =，那么弦AB 和弦CD 的大小关系为（ ）A ．AB CD > B ．AB CD =C ．AB CD < D ．无法确定【例51】 如图所示在O ⊙中，2AB CD =，那么（ ）A.2AB CD >B.2A B C D <C.2AB CD =D.AB 与2CD 的大小关系不能确定【例52】 已知AB AC 、是O ⊙的弦，AD 平分BAC ∠交O ⊙于D ，弦DE AB ∥交AC 于P ，求证：OP 平分APD ∠．【例53】 如图，过O ⊙的直径AB 上两点M N ，，分别作弦CD EF ，，若CD EF AC BF =，∥．求证：⑴BEC ADF =；⑵AM BN =．【例54】 已知点A 、B 、C 、D 顺次在O ⊙上，AB BD =，BM AC ⊥于点M ，求证：AM DC CM =+．d cb a【例55】 在ABC ∆中，AC BC >，M 是它的外接圆上包含点C 的弧AB 的中点，AC 上的点X 使得MX AC ⊥，求证：AX XC CB =+．【例56】 如图，ABC ∆是O ⊙的内接三角形，AC BC =，D 为O ⊙中AB 上一点，延长DA 至点E ，使CE CD 、是关于x 的方程()22123412904x m x m m --+-+=的两根．⑴ 求证：AE BD =；⑵若AC BC ⊥，求证：AD BD +．【例57】 如图，四边形ABCD 内接于圆，AB AD =，且其对角线交于点E ，点F 在线段AC 上，使得BFC BAD ∠=∠．若2BAD DFC ∠=∠，求BEDE的值． 图 4F EDC BA【例58】 已知：如图，D 是Rt ABC ∆中直角边BC 上的一点，以BD 为直径的圆交斜边AB 于点E ，连结EC交此圆于点F ，BF 交AC 于点G ．求证：GF CA CF EA ⋅=⋅．【例59】 如图，AB CD ，是O ⊙的两条弦，它们相交于点P ，连结AD BD 、，已知4AD BD ==，6PC =，求CD 的长．【例60】 AB 是半圆的直径，C 点在圆上，过点A 、B 分别作过C 点的切线的垂线AD 、BE ，D 、E 为垂足，求证：24DE AD DE =⋅．A【例61】 已知A D 、是一段圆弧上的两点，且在直线l 的同侧，分别过这两点作l 的垂线，垂足为B C 、，E是BC 上一动点，连结AD AE DE 、、，且90AED ∠=︒． ⑴如图⑴，如果616AB BC ==，，且:1:3BE CE =，求AD 的长；⑵如图⑵，若点E 恰为这段圆弧的圆心，则线段AB BC CD 、、之间有怎样的等量关系？请写出你的结论并予以证明．再探究：当A D 、分别在直线l 两侧且AB CD ≠，而其余条件不变时，线段AB BC CD 、、之间又有怎样的等量关系？请直接写出结论，不必证明．图(2)lE DCBA图(1)lEDC B A。
圆的基本认识和性质
圆的基本认识和性质圆是几何中最基本的图形之一，它在我们的日常生活中无处不在。
本文将围绕圆的基本认识和性质展开讨论，帮助读者更好地理解和应用圆的知识。
一、圆的定义圆是由与一个点距离相等的所有点构成的集合。
这个点被称为圆心，与圆心距离相等的线段被称为半径，而通过圆心且连接两个不同点的线段被称为直径。
二、圆的性质1. 圆的特征每一个圆都具有以下几个特征：A. 圆的周长：圆的周长是圆上所有点到圆心的距离之和，由于所有这些距离相等，因此圆的周长等于圆周率π乘以直径。
用公式表示为：C = πd，其中C为圆的周长，d为直径。
B. 圆的面积：圆的面积是圆内部所有点与圆心的距离之和。
用公式表示为：S = πr²，其中S为圆的面积，r为半径。
C. 圆的弧长：圆上的弧是两个点之间的连续线段。
圆的弧长是指圆上弧的长度，其计算方法与周长类似。
2. 圆的内角性质在圆上的任意一条弦所对的圆心角都是相等的，且都等于该弦所对的弧所对的圆心角。
此外，圆上任意一点到圆心的连线，与该点处的切线所构成的角是直角。
3. 圆的切线性质圆上任意一点处的切线与半径的夹角是直角。
此外，切线与半径的夹角是切线切到点的圆弧所对的圆心角的一半。
三、圆的应用1. 圆的测量通过测量圆的直径、半径或弧长，我们可以计算出圆的周长和面积。
这在实际应用中非常重要，例如在建筑、制造和工程等领域。
2. 圆形物体的运动和旋转许多物体在运动或旋转时可近似认为是圆形的，比如车轮、盘子、风车等。
研究这些圆形物体的运动规律对于工程师和物理学家而言是至关重要的。
3. 圆的几何定理运用圆的几何定理，我们可以解决一些复杂的几何问题。
比如，利用圆的内角性质可以证明三角形的内角和等于180度；利用圆的切线性质可以解决与切线相关的问题等。
四、总结通过对圆的基本认识和性质的讨论，我们可以看到圆在几何学中的重要性和广泛应用。
准确理解圆的定义、特征和性质，对于我们解决实际问题和学习更高级的数学概念都具有重要意义。
圆的基本概念与性质
圆的基本概念与性质圆是几何学中最基本的图形之一，它具有独特的形状和性质。
本文将对圆的基本概念和一些重要性质进行详细介绍。
一、圆的定义圆是由平面上距离一个固定点一定距离的所有点组成的集合。
这个固定点被称为圆心，而这个距离被称为半径。
二、圆的常用符号在几何学中，圆常用符号“O”表示圆心，用字母“r”表示半径。
因此，一个圆可以用符号“O(r)”表示。
三、圆的性质1. 圆的对称性由于圆的定义是以一个固定点为中心，所有距离这个点相等的点的集合，因此圆具有天然的对称性。
任意一条直径将圆分成两个等边的半圆，半圆上的所有点与圆心的距离相等。
2. 圆的直径、半径和弦在圆中，直径是通过圆心并且两端点都在圆上的线段；半径是从圆心到圆上的任意一点的线段，它等于圆的半径；弦是圆上连接两个点的线段，不经过圆心。
3. 圆的周长和面积圆的周长定义为圆上的一条完整弧所对应的长度，可以用公式C =2πr来计算，其中C表示周长，r表示半径。
圆的面积定义为圆内所有点所组成的区域的大小，可以用公式A = πr²来计算，其中A表示面积，r表示半径。
4. 圆的切线和法线圆上的切线是与圆相切的直线，它只与圆在切点相交。
切线与半径构成的夹角为90度。
法线是与切线垂直的直线，它通过切点并与切线垂直相交。
5. 圆的弧度制和度数制圆的弧度制是一种用弧长比半径的面度来度量角度的方式。
一个圆的弧长等于半径的弧度数。
度数制是人们常见的度量角度的方式，一个圆被等分为360度，1度等于圆的1/360。
四、圆的相关定理和应用1. 圆上的三角形圆上的三角形是指三个顶点都在圆上的三角形。
它有很多特殊性质，如圆上的两条弧所对应的角相等，半径与割线所包围的弧所对应的角相等等。
2. 切线定理和切割定理切线定理指的是切线与半径的关系，即切线的平方等于切点处外切圆的半径与切点到圆心的距离之积。
切割定理指的是弦分割定理和切线分割定理，它们描述了切线和弦所分割的弧长和线段之间的关系。
圆的基本概念与性质
圆的基本概念与性质圆是几何学中的一种基本图形，具有独特的性质和各种重要的应用。
本文将对圆的基本概念和性质进行介绍，以及相关的推论和应用。
一、圆的定义与基本概念圆是平面上一组点，这些点到确定的一点（圆心）的距离相等，这个固定的距离称为半径。
在几何学中，常用字母O表示圆心，r表示半径。
圆用圆周符号"⌒"表示。
二、圆的性质1. 圆的直径与半径关系圆的直径是圆上任意两点的距离，是半径的两倍。
即：直径d =2r。
2. 圆的周长与半径关系圆的周长是圆周上的长度，记作L。
根据圆的性质，周长与半径之间有以下关系：L = 2πr，其中π取近似值3.14。
3. 圆的面积与半径关系圆的面积是圆内部的区域，记作S。
圆的面积与半径之间存在以下关系：S = πr²。
4. 圆的切线与半径的垂直关系切线是与圆周相切的直线，当切线与半径相交时，相交点处的角是直角。
5. 圆的弧长与圆心角的关系弧长是圆周的一部分长度，圆心角是对应的弧所对的圆心角。
弧长与圆心角之间的关系为：弧长= rθ，其中θ表示弧度。
三、圆的推论和应用1. 圆内接正多边形的性质内接正多边形的每条边都刚好与圆的圆周相切，圆心角等于多边形内角，有利于解决多边形相关问题。
2. 圆锥的截面当平面与一个圆锥相交时，截面形状可以是圆、椭圆、抛物线或双曲线。
这些形状都与圆相关，具有重要的几何性质。
3. 圆的应用于几何问题在实际生活和工程中，圆的应用十分广泛。
例如，建筑中的圆形拱门和圆顶，汽车的轮胎和转向半径计算，钟表的指针运动轨迹等。
4. 圆的应用于数学问题圆也是许多数学问题的基础，如三角函数的单位圆定义、圆的投影和旋转、圆的表示与方程等。
总结：圆是几何学中重要的基本图形，具有独特的性质和广泛的应用。
掌握圆的基本概念，了解圆的性质与推论，有助于解决与圆相关的几何和数学问题。
通过对圆的深入学习和应用，我们能更好地理解和利用几何学的知识。
圆的基本概念与性质
圆的基本概念与性质圆是几何学中重要的图形之一，具有独特的形态和性质。
本文将介绍圆的基本概念以及与圆相关的性质，旨在帮助读者更好地理解和应用圆的知识。
一、圆的基本概念圆是平面上的一个封闭曲线，它的每个点到圆心的距离都相等。
二、圆的性质1. 圆心和半径圆心是圆上所有点的中心点，通常用字母“O”表示。
半径是从圆心到圆上任意点的距离，通常用字母“r”表示。
圆心和半径是圆的两个重要元素。
2. 直径直径是通过圆心的一条直线段，它的两个端点在圆上。
直径是圆的最长线段，长度等于半径的两倍。
3. 弦弦是圆上连接两个点的线段。
弦可以是直径，也可以是除了直径以外的线段。
4. 弧弧是圆上的一部分，它是由两个端点和连接这两个点的圆弧组成。
弧的长度可以是圆周长度的任意部分。
5. 圆周角圆周角是圆上位于圆心的角，它的两条边是以圆心为顶点的两条弧。
圆周角的度数是圆上所占有的弧的度数。
6. 切线切线是与圆只有一个公共点的直线。
切线与半径的夹角是90度。
7. 弦切角弦切角是一条直线与弦相交所形成的角。
夹在圆上同一弧的两个弦上的切角，称为弦切角。
8. 弦弧关系对于圆上的弦和弧，如果弦的长度与它所夹的圆心角相等，则这个弦所对应的圆周弧的长度也相等。
这是弦和弧之间的一个重要的关系。
9. 圆的面积圆的面积由半径决定，面积的大小等于π乘以半径的平方，其中π是一个固定的无理数，约等于3.14159。
10. 圆的周长圆的周长由半径决定，周长等于半径乘以2π，即2πr。
总结圆的基本概念与性质对于几何学的学习和应用具有重要意义。
掌握了圆的基本概念，我们能够准确理解圆的形态和特点；而掌握了圆的性质，我们能够灵活应用这些性质解决与圆相关的问题。
因此，加深对圆的基本概念与性质的理解与掌握，有利于我们在几何学中取得更好的学习成果。
圆的基本概念与性质知识点总结
圆的基本概念与性质知识点总结圆是几何学中的一个基本概念，广泛应用于数学、物理、工程等领域。
它具有许多独特的性质和特点，本文将为你总结圆的基本概念以及其相关的性质知识点。
1. 圆的定义圆是平面上一组距离相等的点的集合。
其中，距离相等的点叫做圆心；与圆心距离相等的线段叫做半径；连接圆上任意两点的线段叫做弦；通过圆心并且连接圆上某一点的线段叫做半径。
2. 圆的性质2.1 圆的半径性质- 圆上任意两点间的弦相等，并且等于半径的长度。
- 半径垂直于弦，并且平分弦。
- 圆上相等弧所对的弦相等。
- 以圆心为端点的弧叫做半圆，圆心角为180°。
2.2 圆的直径性质- 直径是圆上任意两点间的最长弦，等于半径的两倍。
- 直径的中点即为圆心。
- 圆上的半径与直径垂直，并且被直径平分。
2.3 圆的面积性质- 圆的面积公式为：A = πr²（其中，A表示面积，r表示半径）。
- 圆的面积只与半径有关，与圆心角和弦长无关。
2.4 圆的弧长性质- 弧长公式为：L = 2πr（其中，L表示弧长，r表示半径）。
- 弧长与圆心角成正比，即弧长等于圆心角度数与周长的比值。
3. 圆的相关定理3.1 切线定理- 切线是与圆相切的直线，切点在圆上。
- 切线与半径垂直。
3.2 弧度制与度制的转换- 弧度制是以半径等于1的圆的圆心角作为单位，记作rad。
- 度制是以圆心角为单位，记作°。
- 弧度制与度制的转换关系为：1° = π/180 rad。
4. 圆的应用领域- 在几何学中，圆被广泛运用于计算圆的面积、周长和弧长等。
- 在物理学中，圆被用于描述物体的运动轨迹和行星的绕轨道运动等。
- 在工程学中，圆被应用于建筑设计、机械制造和电路设计等。
综上所述，圆作为几何学中的基本概念，具有独特的性质和特点。
了解圆的基本概念和性质对于深入理解几何学、物理学和工程学等领域的知识有着重要的意义。
同时，圆的应用广泛，为我们解决问题和进行实践提供了重要的工具。
圆的基本概念和性质
圆的基本概念和性质圆是我们日常生活中常见的几何图形之一，它具有独特的几何性质。
本文将从圆的基本概念和性质两个方面进行探讨，帮助读者更好地理解圆的特点。
一、圆的基本概念圆是由平面上的一点到另一点的全部点构成的集合。
其中，两个点之间的距离称为圆的直径（d），直径的一半称为半径（r）。
同时，圆的中心是指圆内所有点到一个点的距离相等的这个点。
圆的基本元素有三个：圆心、半径和弧。
圆心是圆的中心点，通常用字母O表示。
半径是从圆心到圆上任意一点的距离，用字母r表示。
弧是由圆上两个点所组成的路径，弧与圆心所对应的圆心角是相等的。
二、圆的性质1. 圆的对称性：圆具有高度的对称性，即图形的任意一点P与圆心O的连线OP和过圆心O的半径OA是相等的，又因为圆的每一个点都满足这个性质，所以整个圆对称。
2. 圆的周长和面积：圆的周长是圆上的一段弧的长度，可以通过公式C=2πr来计算，其中π是圆周率，近似取值为3.14。
圆的面积是整个圆内部的区域，可以通过公式A=πr²来计算。
3. 弧与圆心角的关系：弧与圆心角之间的关系可以用弧度来表示。
弧度是一个角所对应的弧长与半径之比，圆周角为2π弧度。
圆心角的弧度数等于它所对应弧所占圆周角的比例。
4. 弦的性质：弦是圆上任意两点之间的线段，在圆上相等弧上的弦相等，等长弦所对应的圆心角也相等。
5. 切线和切点：切线是与圆相切于圆上一点的直线，切线与半径的关系是垂直。
切线与弦的交点称为切点，切点在切线上的分割性质是与大弦上的两个交点。
6. 欧拉线：欧拉线是连接圆心、圆上任意一点和该点所对应的切点的直线。
总结圆是一个具有独特性质的几何图形，它的基本概念包括圆心、半径和弧的定义。
圆的性质包括对称性、周长和面积的计算、弧与圆心角的关系、弦的性质、切线和切点的关系以及欧拉线的存在。
圆是几何学中的一个基本图形，它的特性被广泛应用于数学、物理、工程学等领域。
通过了解圆的概念和性质，我们能更好地理解和应用几何学知识。
圆的基本概念与性质
圆的基本概念与性质圆是几何学中的基本图形之一，它具有独特的性质和特点。
本文将介绍圆的基本概念和性质，并以简明扼要的方式展示出来。
1. 圆的定义圆是由平面内到一个定点距离等于该定点到平面内所有点的距离的所有点组成的集合。
这个定点称为圆心，到圆心距离等于半径的线段称为半径，圆上的任一线段都等于半径的长度。
2. 圆的元素（1）圆心：圆心是圆的核心点，通常用大写字母O表示。
（2）半径：半径是从圆心到圆上任意一点的线段，通常用小写字母r表示。
（3）直径：直径是通过圆心并且两端点处于圆上的线段，直径的长度是半径的两倍，通常用小写字母d表示。
（4）弦：弦是圆上任意两点之间的线段。
（5）弧：弧是圆上两点之间的一段曲线。
3. 圆的性质（1）圆是由无数个点组成的闭合曲线。
（2）圆的直径是圆中最长的线段，且等于半径的两倍。
（3）圆的半径在圆上任一点都是垂直于切线的。
（4）圆上任意两条弦所对应的圆心角相等。
（5）切线与半径的夹角是直角。
（6）对于同一个圆，如果两条弧的夹角相等，则它们所对应的弦的长度也相等。
4. 圆的重要定理（1）圆的半径平分弦和弧。
（2）在圆上，两条弦和它们所夹的弧所对应的圆心角相等。
反之，两条弦所对应的圆心角相等，则它们所夹的弧也相等。
（3）在圆上，两条相等的弧所对应的圆心角也相等。
（4）在圆上，夹在同一弧上的两个圆心角互补（合为180度）。
（5）在圆内，夹在同一弧上的两个角互为补角（合为90度）。
总结圆作为几何学中基本的图形之一，具有许多重要的性质和定理。
通过对圆的基本概念的理解和对其性质的掌握，我们能更好地应用它们解决实际问题。
对于进一步学习几何学和进行相关研究，圆的基本概念与性质是必不可少的基础知识。
圆的基本概念与性质
圆的基本概念与性质圆是几何学中的重要概念，具有独特的性质。
本文将详细介绍圆的基本概念以及一些常见的性质，以帮助读者更好理解和掌握圆这一几何形状。
一、圆的定义圆是由平面内与一定点之间的距离都相等的所有点的集合构成的几何图形。
二、圆的要素1. 圆心：圆心是圆上所有点到该点的距离相等的点。
通常用字母O 表示圆心。
2. 半径：半径是圆心到圆上任意一点的距离，用字母r表示。
3. 直径：直径是通过圆心的一条线段，两个端点在圆上。
直径的长度是半径的两倍，即d=2r。
三、圆的性质1. 圆的周长：圆的周长是圆上一周的长度，通常用字母C表示。
由于圆上任意两点之间的距离都是一样的，所以圆的周长可由半径或直径表示。
周长公式为：C=2πr或C=πd。
2. 圆的面积：圆的面积是圆内部的所有点的集合。
用字母A表示。
根据圆的性质，圆的面积可由半径或直径表示。
面积公式为：A=πr²或A=π(d/2)²。
3. 圆的弧长：圆的弧是圆上两点之间的一段弧，圆弧长度即为弧长。
弧长与圆心角的大小有关，公式为：L=2πr × (θ/360°)，其中θ为圆心角的度数。
4. 圆的扇形面积：扇形是由圆心、圆上两点以及与圆心连线的弧所围成的图形。
扇形的面积是圆的一部分面积。
扇形面积与圆心角的大小有关，公式为：S=πr² × (θ/360°)。
5. 圆的切线：切线是与圆相切且仅切于圆上一个点的直线。
切线与半径垂直，相切点就是切线与圆的唯一公共点。
6. 圆的切点：切点是切线与圆相交的点。
由于切线仅与圆相交于一个点，所以切点也是圆上的唯一点。
7. 圆的弦：弦是圆上两点之间的线段。
弦的长度可以小于、等于或大于直径。
直径是弦的特殊情况，即直径是连接圆上任意两点的弦。
8. 圆与直线的关系：直线可以与圆有三种不同的关系：相离、相切和相交。
如果直线与圆没有相交点,则称直线与圆相离；如果直线只有一个切点,则称直线与圆相切；如果直线与圆有两个相交点,则称直线与圆相交。
圆的概念与性质
圆的概念与性质圆是几何学中常见的一个基本图形，有着丰富的性质和应用。
本文将为您介绍圆的概念、性质以及在实际生活中的应用。
一、圆的概念圆是由平面中与一个确定点距离相等的所有点组成的集合。
该确定点称为圆心，与圆心距离相等的距离称为半径。
以圆心为原点，以半径长度为半轴的线段构成的曲线称为圆的周长，用C表示。
圆的周长与直径的比值称为圆周率，用π表示，其值约为3.14159。
二、圆的性质1. 圆的内外点关系：圆内的任意点到圆心的距离小于半径，而圆外的任意点到圆心的距离大于半径。
2. 圆的直径与半径：直径是连接圆上两个点且经过圆心的线段，它的长度是半径的两倍。
3. 圆的切线与半径：切线是与圆仅有一个交点的直线，该交点与圆心连线垂直。
切线与半径的关系是垂直关系。
4. 圆的弦与半径：弦是圆上任意两点之间的线段，弦的中点与圆心连线垂直。
弦和半径的关系是垂直关系。
5. 圆的弧与扇形：圆的弧是两个端点在圆上的弧线，可以用弧长来表示。
扇形是由圆心、圆上的两个点以及所对应的圆心角组成的区域。
6. 圆的面积：圆的面积可以用半径或者直径来计算，其公式为πr²或者π(d/2)²，其中r为半径，d为直径。
三、圆的应用圆在生活中有着广泛的应用，以下列举几个常见的例子：1. 圆的运动轨迹：许多自然界中的运动都以圆形轨迹进行，比如行星绕太阳的轨道以及地球自转产生的地球日等。
2. 圆形建筑物：圆形的建筑物在设计上具有良好的稳定性和视觉效果，比如宫殿中的圆形大厅、圆形会议室等。
3. 轮胎和车轮：轮胎和车轮的形状往往为圆形，这是为了减少摩擦力，提高行驶的平稳性。
4. 交通信号灯：交通信号灯上的圆形灯表示停止，该形状的选择是因为圆形视觉上相对于其他形状更容易辨认和传达信息。
综上所述，圆作为几何学中的一个基本图形，具有独特的概念和性质。
了解圆的性质和应用能够帮助我们更好地理解几何学知识并应用于实际生活中。
无论是在设计、建筑还是科学研究领域，对圆的理解和运用都起着重要的作用。
圆的基本概念与性质
圆的基本概念与性质圆是数学中的基本几何形状之一，它有着独特的性质和重要的应用价值。
本文将介绍圆的基本概念和性质，帮助读者更好地理解和应用这一几何形状。
一、基本概念圆是由平面上的一点到另一点的距离相等的所有点构成的集合。
这两个点分别称为圆心和半径，圆心用O表示，半径用r表示。
记作圆O(r)。
圆由无数不重叠的点组成，其中任意两点之间的距离都相等。
这个相等的距离称为圆的半径，用r表示。
除此之外，圆还有一些特殊位置的点，如直径的中点、切点等等。
二、性质1. 圆的直径圆的直径是任意通过圆心的线段，它的两个端点在圆上。
直径的长度是半径的两倍，即直径d=2r。
2. 圆的周长圆的周长是所有点到圆心的距离之和，也称为圆周长。
根据圆的定义可知，圆的周长是一个封闭曲线，没有起点和终点。
圆的周长公式是C=2πr，其中π是一个常数，约等于3.14159。
3. 圆的面积圆的面积是圆内部的所有点构成的区域，常用符号A表示。
圆的面积公式是A=πr²。
可以看出，圆的面积与半径的平方成正比。
4. 圆的弧圆上的一段弧被称为圆弧。
圆弧的弧度是圆心角所对应的弧长与圆的半径之比。
常用符号θ表示，弧长用s表示，半径用r表示。
弧长与半径的关系为s=rθ。
5. 圆的扇形圆上的一个扇形是由圆心、两个半径和它们所确定的圆弧构成的。
扇形的面积是圆的面积乘以圆心角所占的比例，即A=πr²(θ/360°)。
6. 圆的切线切线是与圆只有一个交点且与圆相切的直线。
切线与半径垂直，垂直于半径的直线被称为半径的切线。
切线的斜率等于半径在该点处的斜率的负倒数。
三、应用举例圆作为一种基本的几何形状，在生活和工作中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用举例：1. 圆形建筑物和构件：例如圆形的钟楼、塔楼和拱顶等，圆形结构在建筑中具有稳定性和美观性。
2. 圆形交通设施：例如圆形的环形交叉口、交通岛和转盘等，圆形交通设计有助于交通流畅和减少交通事故。
初中数学：有关圆的概念及性质
初中数学：有关圆的概念及性质一、圆的基本概念及性质(1)圆的有关概念①圆:平面. 上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其中定点为圆心，定长为半径.②弧:圆. 上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧.③弦:连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径.(2)圆的有关性质①圆是轴对称图形:其对称轴是任意一条过圆心的直线:圆是中心对称图形，对称中心为圆心。
②垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.③弧、弦、圆心角的关系:在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有-组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.推论:在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等;直径所对的圆周角是直角: 90”的圆周角所对的弦是直径.④三角形的内心和外心确定圆的条件:不在同一直线上的三个点确定一个圆.⑥:三角形的外心:三角形的三个顶点确定-一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心就是三角形三边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心.三角形的内心:和三角形的三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.2.与圆有关的角(1)圆心角:顶点在圆心的角叫圆心角。
圆心角的度数等于它所对的弧的度数.(2)圆周角:顶点在圆上，两边分别和圆相交的角，叫圆周角。
圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半.(3)圆心角与圆周角的关系:同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的- -半.(4)圆内接四边形:顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形.圆内接四边形对角互补，它的一一个外角等于它相邻内角的对角.圆的性质1、圆是轴对称图形,对称轴是任意一条过圆心的直线。
2、垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并粗平分弦所对的弧。
垂径定理的推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并平分弦对的弧。
圆的基本概念与性质
圆的基本概念与性质圆作为几何学中的基本形状之一，具有许多独特的概念和性质。
本文将介绍圆的基本概念，包括定义、要素和符号表示，并探讨圆的性质，如周长、面积、切线和弦的性质等。
1. 圆的定义圆是由平面上到一点的距离都相等的点构成的集合。
这个点被称为圆心，到圆心距离相等的点被称为圆上的点，这些点构成圆环。
圆通常用字母O表示，圆上的点用大写字母A、B、C等表示。
2. 圆的要素圆有以下两个重要的要素：- 圆心：圆上所有点到圆心的距离都相等。
- 半径：连接圆心和圆上任意一点的线段称为半径。
半径的长度决定了圆的大小。
3. 圆的符号表示为了更便于描述和讨论圆的性质，常用以下符号表示圆的要素：- 圆心用字母O表示；- 半径用字母r表示。
若需要指定一个具体的圆，可以使用O(圆心坐标)x, y和r来表示。
4. 圆的性质圆具有许多独特的性质，下面将介绍其中一些：4.1 周长圆的周长是圆上任意两点间的弧长，它的长度公式如下：周长= 2πr其中π取近似值3.14159，r为半径长度。
周长是圆的重要属性，它决定了圆的边界长度。
4.2 面积圆的面积是圆内部的区域，它的计算公式如下：面积= πr^2其中π取近似值3.14159，r为半径长度。
圆的面积与半径的平方成正比，所以半径越大，面积也越大。
4.3 切线圆上任意一点处的切线与半径垂直。
这意味着切线与半径的夹角为90度。
切线是圆的重要特性，它在许多应用中起着重要的作用。
4.4 弦在圆上任意连接两点的线段称为弦。
圆的性质之一是：如果两条弦的长度相等，它们与圆心的距离也相等。
这可以用来解决一些几何问题。
总结：圆是几何学中一个重要的形状，具有许多独特的概念和性质。
本文介绍了圆的定义、要素和符号表示，并探讨了圆的性质，如周长、面积、切线和弦的性质。
了解圆的基本概念和性质对于理解几何学和解决相关问题非常重要。
通过学习和应用这些知识，我们可以更好地理解和利用圆形。
小学数学圆的概念与性质
圆的中心对称性： 圆关于其圆心对
称
圆的半径：连接 圆心与圆上任意
一点的线段
圆的直径：连接 圆上任意两点的 线段，通过圆心
圆的对称轴：通 过圆心，与圆相
交的直线
圆的对称点：关 于圆心对称的点
圆的旋转对称性： 圆可以绕其圆心 旋转任意角度，
保持形状不变
汇报人：xxx
小学数学线段和直线的性质
弦的定义：连接圆上任意 两点的线段
弦的长度：取决于两点在 圆上的位置
弦的垂直平分线：经过圆 心的弦，其垂直平分线与
圆相交于圆心
弦的对称性：圆上任意一 点与圆心连线的垂线，与 弦相交于圆心，且与弦垂
直
内含：一个圆 完全包含在另 一个圆内
外切：一个圆 与另一个圆相 切，且圆心与 切点重合
相交：两个圆 有公共部分， 但不完全包含
弧长公式：L = θ * r
θ：圆心角（单位：弧度）
r：圆的半径
示例：已知一个圆的半 径为5cm，圆心角为
60°，求弧长。
解：L = 60 * π * 5 = 300π cm
04
圆的定义：在一个平面内， 所有与给定点（圆心）距
离相等的点的集合
圆的对称性：圆关于其直 径所在的直线对称
圆的对称轴：直径所在的 直线
汇报人：xxx
01
圆的基本概 念
02
圆的性质
03
圆的度量
04
圆的对称性
01
圆的形成：通过旋转一个 点形成的图形
圆的性质：对称性、封闭 性、连通性
圆的半径：连接圆上任意 一点与圆心的线段
圆的面积：圆内部区域的 大小
圆的定义：在一个平面内， 所有与给定点距离相等的
点的集合
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2014年中考解决方案圆的基本概念学生姓名：上课时间：内容基本要求略高要求较高要求圆的有关概念 理解圆及其有关概念 会过不在同一直线上的三点作圆；能利用圆的有关概念解决简单问题圆的性质知道圆的对称性，了解弧、弦、圆心角的关系能用弧、弦、圆心角的关系解决简单问题能运用圆的性质解决有关问题垂径定理会在相应的图形中确定垂径定理的条件和结论能用垂径定理解决有关问题1．揭示圆有关的基本属性； 2．能够利用垂径定理解决相关问题．从前，有一个圆，她每天不停地滚动。
有一天，她失掉了一小片，使自己不完整了，这对她来说是个天大的打击，她为了寻找那一小块碎片，用自己残缺的身子继续滚动，由于缺了一小片，她的滚动力比以前慢了好多，她开始憎恶自己的无能；然而她却慢慢发现，自己滚动的慢了，却正好可以领略沿路的风光：向花儿问好，与虫儿聊天，度过了一般美好的时光。
重难点课前预习圆的基本概念中考说明当然，她最终找到了自己的那一小块碎片。
当她又像一个完整的圆一样沿途滚动时，却因为太快，再也看不到那些花儿、虫儿。
尽管现在，她又完美了，可实际呢？有人认为，失去完美是世界最大的挫折。
由此，我想到维纳斯。
她失去双臂，这是一个巨大的挫折，可她，却被誉为“美神”、“完美之神”，或许在她丧失双臂，遭受挫折，失去所谓“完美”的同时，又得到了许多比所谓的“完美”更重要的完美。
由此，我想到贝多芬。
对于一位音乐巨匠，失去听力和死亡几乎可以划等号。
但贝多芬的《田园交响曲》《英雄交响曲》《命运交响曲》等这些耳熟能详曲目均是在失聪后创作的。
我想：如果贝多芬没有失聪，没有遭受挫折，他的交响是否还会如此的意味深远呢？其实相较之下，我更喜欢另一个有关圆的故事——一个圆，不小心掉了一小片，这一小片是她最美丽的部分。
她对于这个打击，自然是悲痛欲绝，穷其全部精力寻找。
她边找边努力让现在的自己具有那一小片的色泽。
她实现了。
尽管由于缺了一小片滚动的不快，却滚出了比原先更绚丽的色彩。
这个故事是我编的。
我给它起了个名字：挫折洗礼后的完美。
追求完美，有人认为完美的人生应为“零挫折”。
大错特错。
没有经过挫折洗礼的完美是肤浅的，浮燥的，不真实的。
“不经历风雨，怎能见彩虹”，其实挫折的洗礼有时是一种不可多得的动力；关键在于对挫折与完美的领悟。
不是吗？模块一与圆有关概念【例1】 判断题（1）直径是弦 ( ) （2）弦是直径 ( ) （3）半圆是弧 ( ) （4）弧是半圆( ) （5）长度相等的两条弧是等弧( )中考必做题（6）等弧的长度相等 ( ) （7）两个劣弧之和等于半圆( ) （8）半径相等的两个圆是等圆 ( ) （9）两个半圆是等弧( ) （10）圆的半径是R ，则弦长的取值范围是大于0且不大于2R( )【例2】 下列命题中，错误的是（ ）A ．圆是轴对称图形B ．圆是中心对称图形C ．过三点一定确定一个圆D ．一个三角形只能确定一个外接圆【例3】 如图①，1O ，2O ，3O ，4O 为四个等圆的圆心，A ，B ，C ，D 为切点，请你在图中画出一条直线，将这四个圆分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是_____________；如图②，1O ，2O ，3O ，4O ，5O 为五个等圆的圆心，A ，B ，C ，D ，E 为切点，请你在图中画出一条直线，将这五个圆分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是_____________．图1O 4O 3O 2O 1D CBA O A BC D O 1O 2O 3O 4图1O 5E A BC D O 1O 2O 3O 4图2O 5O 图2O 4O 3O 2O 1D C BA E【例4】 如图，点A D G M 、、、在半圆O 上，四边形ABOC DEOF HMNO 、、均为矩形，设BC a =，EF b =，NH c =则下列格式中正确的是( )A ．a b c >>B ．a b c ==C ．c a b >>D ．b c a >>ON MHGFE DC B A模块二 垂径定理及其应用【例5】 如图，在O 中，120,3AOB AB ∠=︒=，则圆心O 到AB 的距离=_______BAO【例6】 如图，D 内接于O ，D 为线段AB 的中点，延长OD 交O 于点E , 连接,AE BE 则下列五个结论①AB DE ⊥,②AE BE =,③OD DE =,④AEO C ∠=∠,⑤12AB ACB =，正确结论的个数是( )EDCBAA ．2B ．3C ． 4D ．5【例7】 如图，AB 为O 的直径，CD 为弦, AB CD ⊥,如果70BOC ∠=︒,那么A ∠的大小为（ ）ODCBAA ． 070B ． 035 C ． 030 D ．20︒【例8】 如图，AB 是O 的在直径，弦CD AB ⊥于点E ，若8CD =，3OE =,则O 的直径为（ ）EO BDCAA ．5B ．6C ．8D ．10【例9】 如图，O 是ABC ∆的外接圆，60BAC ∠=︒，若O 的半径OC 为2，则弦BC 的长为（ ）A ．1B ．3C ．2D ．23OCBA【例10】 小英家的圆镜子被打破了，她拿了如图（网格中的每个小正方形边长为1）的一块碎片到玻璃店，配制成形状、大小与原来一致的镜面，则这个镜面的半径是（ ）A ．2B ．5C ．22D ．3【例11】 在圆柱形油槽内装有一些油．截面如图所示，油面宽AB 为6分米，如果再注入一些油后，油面AB 上升1分米，油面宽度为8分米，圆柱形油槽直径MN 为（ ）A ．6分米B ．8分米C ．10 分米D ．12 分米BANM【巩固】一根水平放置的圆柱形输水管道横截面如图所示，其中有水部分面宽0.8米，最深处水深0.2米，则此输水管道的直径是（ ）A ．0.4米B ．0.5米C ．0.8米D ．1米【例12】 如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O ，直径AB 是河底线，弦CD 是水位线，CD ∥AB ，且CD = 24 m ，OE ⊥CD 于点E ．已测得=∠DOE sin 1213． （1）求半径OD ；（2）根据需要，水面要以每小时0.5m 的速度下降，则经过多长时间才能将水排干？【例13】 如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为（ ）ABCDA ．5米B ． 8米C ．7米D ．53米 【巩固】如图，AB 为O 的直径，弦CD AB ⊥,垂足是E ,连接OC ，若5,8O C C D ==,则AE =_______BEO DCAAOBEC D【例14】 一条排水管的截面如图所示．已知排水管的截面圆半径10OB =,截面圆圆心O 到水面的距离OC 是6，则水面宽AB 是（ ）OCBAA ．16B ．10C ．8D ．6【例15】 已知，如图，1O 与坐标轴交与A （1,0）、B ( 5，0)两点，点1O 的纵坐标为5，求1O 的半径。
yxO 1BA【例16】 已知O ⊙的直径是50cm ，O ⊙的两条平行弦40cm AB =，48cm CD =，求弦AB 与CD 间的距离．【例17】 如图，AB 是O 的直径，BC 是弦，CD AB ⊥于E ,交BC 于D ,（1）请写出四个不同类型的正确结论。
（2）连接,CD BD ,设,CDB ABC αβ∠=∠=,试找出α与β之间的关系，并给与证明。
ODCBA【例18】 在半径为1的O ⊙中，弦AB AC 、的长分别为3和2，则BAC ∠的度数为________．【例19】 已知，如图，O 的直径2AD =，BC CD DE ==，90BAE ∠=︒．(1)求CAD ∆面积。
(2)如果在这个圆形区域中，随机确定一个点P ，那么点P 落在四边形ABCD 区域的概率是多少？OEDCBA1. 如图，已知AB 是O 的弦，半径6,120OA AOB =∠=︒，则AB = _____OBA2. 如图，海边立有两座灯塔A B 、，暗礁分布在经过A B 、两点的弓形（弓形是O 的一部分）区域内，80AOB ∠=︒．为了避免触礁，轮船P 与A B 、的张角APB ∠的最大值为_____课后作业PO3. 如图，AB 是O 的直径，点C D 、都在O 上，连结,CA CB DC DB ，，．已知30D ∠=︒3BC =，则AB 的长是_____ODCBA4. 如图，点O 为优弧ACB 所在圆的圆心，︒=∠108AOC 。
点D 在AB 延长线上，BC BD =，则D ∠=___________．ODCBA5. 如图，BAC ∠所对的（图中BC ）的度数为120︒，O 的半径为5，则弦BC 的长为_____OCBA6. 如图，O 的两条弦AB CD 、互相垂直，垂足为E ，且AB CD =，已知13CE ED ==，，则O的半径是____DOAB CE毕业班解决方案 初三数学.圆.基本概念.学案版 Page 11 of 11 7. 高速公路的隧道和桥梁最多．如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以O 为圆心的圆的一部分，路面10AB =米，净高7CD =米，则此圆的半径OA =（ ） DCBAA ．5B ．7C ．375 D ．3778. 如图，已知AB 是O 的弦，半径20,120,OA cm AOB =∠=︒求AOB ∆的面积． OBA。