2014版高考数学 第六章 第三节 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题课时提升作业 理 新人教A版
2014届高考数学知识点总复习教案二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
第3讲 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题A 级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2012·山东)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋2y ≥2，2x ＋y ≤4，4x －y ≥－1，则目标函数z ＝3x －y的取值范围是( )． A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，6B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，－1 C.[]－1，6D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－6，32 解析 作出不等式组表示的可行域，如图阴影部分所示，作直线3x －y ＝0，并向上、下平移，由图可得，当直线过点A 时，z ＝3x －y 取最大值；当直线过点B 时，z ＝3x －y 取最小值．由⎩⎨⎧x ＋2y －2＝0，2x ＋y －4＝0解得A (2,0)；由⎩⎨⎧4x －y ＋1＝0，2x ＋y －4＝0解得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3.∴z max ＝3×2－0＝6，z min ＝3×12－3＝－32. ∴z ＝3x －y 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，6.答案 A2．(2011·广东)已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组⎩⎨⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤ 2y给定．若M (x ，y )为D 上的动点，点A 的坐标为(2，1)则z ＝OM →·OA→的最大值为( )． A ．4 2B ．3 2C ．4D ．3解析 如图作出区域D ，目标函数z ＝2x＋y 过点B (2，2)时取最大值，故z 的最大值为2×2＋2＝4，故选C. 答案 C3．(2013·淮安质检)若不等式组⎩⎨⎧x －y ＋5≥0，y ≥a ，0≤x ≤2表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是( )．A ．(－∞，5)B ．[7，＋∞)C ．[5,7)D ．(－∞，5)∪[7，＋∞)解析 画出可行域，知当直线y ＝a 在x －y ＋5＝0与y 轴的交点(0,5)和x －y ＋5＝0与x ＝2的交点(2,7)之间移动时平面区域是三角形．故5≤a <7. 答案 C4．(2013·洛阳一模)某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨、B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨、B 原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润1万元，每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在某个生产周期内甲产品至少要生产1吨，乙产品至少要生产2吨，消耗A 原料不超过13吨，消耗B 原料不超过18吨，那么该企业在这个生产周期内获得最大利润时甲产品的产量应是( )．A ．1吨B ．2吨C ．3吨D.113吨解析 设该企业在这个生产周期内生产x 吨甲产品，生产y 吨乙产品，x 、y 满足的条件为⎩⎨⎧3x ＋y ≤13，2x ＋3y ≤18，x ≥1，y ≥2.所获得的利润z ＝x ＋3y ，作出如图所示的可行域．作直线l 0：x ＋3y ＝0，平移直线l 0，显然，当直线经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，163时所获利润最大，此时甲产品的产量为1吨． 答案 A二、填空题(每小题5分，共10分)5．(2012·大纲全国)若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，x ＋3y －3≥0，则z ＝3x －y 的最小值为________．解析 画出可行域，如图所示，将直线y ＝3x －z 移至点A (0,1)处直线在y 轴上截距最大，z min ＝3×0－1＝－1. 答案 －16．(2012·安徽)若x ，y 满足约束条件⎝ ⎛x ≥0，x ＋2y ≥3，2x ＋y ≤3，则x －y 的取值范围是________．解析 记z ＝x －y ，则y ＝x －z ，所以z 为直线y ＝x －z 在y轴上的截距的相反数，画出不等式组表示的可行域如图中△ABC 区域所示．结合图形可知，当直线经过点B (1,1)时，x －y 取得最大值0，当直线经过点C (0,3)时，x －y 取得最小值－3. 答案 [－3,0] 三、解答题(共25分)7．(12分)(2013·合肥模拟)画出不等式组⎩⎨⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3表示的平面区域，并回答下列问题：(1)指出x 、y 的取值范围； (2)平面区域内有多少个整点？解 (1)不等式x －y ＋5≥0表示直线x －y ＋5＝0上及其右下方的点的集合，x ＋y ≥0表示直线x ＋y ＝0上及其右上方的点的集合，x ≤3表示直线x ＝3上及其左方的点的集合．所以，不等式组⎩⎨⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3表示的平面区域如图所示．结合图中可行域得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，3，y ∈[－3,8]．(2)由图形及不等式组知⎩⎪⎨⎪⎧－x ≤y ≤x ＋5，－52≤x ≤3，且x ∈Z ，当x ＝3时，－3≤y ≤8，有12个整点； 当x ＝2时，－2≤y ≤7，有10个整点； 当x ＝1时，－1≤y ≤6，有8个整点； 当x ＝0时，0≤y ≤5，有6个整点； 当x ＝－1时，1≤y ≤4，有4个整点； 当x ＝－2时，2≤y ≤3，有2个整点；∴平面区域内的整点共有2＋4＋6＋8＋10＋12＝42(个)．8．(13分)制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%.若投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？ 解 设投资人分别用x 万元、y 万元投资甲、乙两个项目，由题意知⎩⎨⎧x ＋y ≤10，0.3x ＋0.1y ≤1.8，x ≥0，y ≥0，目标函数z ＝x ＋0.5y .上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分(含边界)即为可行域．将z ＝x ＋0.5y 变形为y ＝－2x ＋2z ，这是斜率为－2、随z 变化的一组平行线，当直线y ＝－2x ＋2z 经过可行域内的点M 时，直线y ＝－2x ＋2z 在y 轴上的截距2z 最大，z 也最大．这里M 点是直线x ＋y ＝10和0.3x ＋0.1y ＝1.8的交点． 解方程组⎩⎨⎧x ＋y ＝10，0.3x ＋0.1y ＝1.8，得x ＝4，y ＝6，此时z ＝4＋0.5×6＝7(万元)． ∴当x ＝4，y ＝6时，z 取得最大值，所以投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大．B级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2013·临沂一模)实数x ，y 满足⎩⎨⎧x ≥1，y ≤a (a >1)，x －y ≤0，若目标函数z ＝x ＋y取得最大值4，则实数a 的值为 ( )．A ．4B ．3C ．2D.32解析 作出可行域，由题意可知可行域为△ABC 内部及边界，y ＝－x ＋z ，则z 的几何意义为直线在y 轴上的截距，将目标函数平移可知当直线经过点A 时，目标函数取得最大值4，此时A 点坐标为(a ，a )，代入得4＝a ＋a ＝2a ，所以a ＝2. 答案 C2．(2012·四川)某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克、B 原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是( )．A ．1 800元B ．2 400元C ．2 800元D ．3 100元解析 设某公司生产甲产品x 桶，生产乙产品y 桶，获利为z 元，则x ，y 满足的线性约束条件为⎩⎨⎧x ＋2y ≤12，2x ＋y ≤12，x ≥0且y ∈Z ，y ≥0且y ∈Z ，目标函数z ＝300x ＋400y .作出可行域，如图中四边形OABC 的边界及其内部整点．作直线l 0：3x ＋4y ＝0，平移直线l 0经可行域内点B 时，z 取最大值，由⎩⎨⎧2x ＋y ＝12，x ＋2y ＝12，得B (4,4)，满足题意，所以z max ＝4×300＋4×400＝2 800. 答案 C二、填空题(每小题5分，共10分)3．(2013·咸阳一模)设实数x 、y 满足⎩⎨⎧x －y －2≤0，x ＋2y －4≥0，2y －3≤0，则yx 的最大值是________．解析 不等式组确定的平面区域如图阴影部分．设y x ＝t ，则y ＝tx ，求yx 的最大值，即求y ＝tx 的斜率的最大值．显然y ＝tx 过A 点时，t 最大．由⎩⎨⎧x ＋2y －4＝0，2y －3＝0，解得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.代入y ＝tx ，得t ＝32.所以y x 的最大值为32. 答案 324．(2011·湖南)设m >1，在约束条件⎩⎨⎧y ≥x ，y ≤mx ，x ＋y ≤1下，目标函数z ＝x ＋my 的最大值小于2，则m 的取值范围为________．解析 目标函数z ＝x ＋my 可变为y ＝－1m x ＋zm ， ∵m >1，∴－1<－1m <0，z 与zm 同时取到相应的最大值，如图，当目标函数经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1，m m ＋1时，取最大值，∴1m ＋1＋m 2m ＋1<2，又m >1，得1<m <1＋ 2.答案 (1,1＋2) 三、解答题(共25分)5．(12分)(2013·黄山模拟)若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2，(1)求目标函数z ＝12x －y ＋12的最值．(2)若目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，求a 的取值范围． 解 (1)作出可行域如图，可求得A (3,4)，B (0,1)，C (1,0)．平移初始直线12x －y ＝0，过A (3,4)取最小值－2，过C (1,0)取最大值1. ∴z 的最大值为1，最小值为－2.(2)直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1<－a2<2，解得－4<a <2.故所求a 的取值范围是(－4,2)．6．(13分)某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都有一部分是一等品，其余是二等品，已知甲产品为一等品的概率比乙产品为一等品的概率多0.25，甲产品为二等品的概率比乙产品为一等品的概率少0.05. (1)分别求甲、乙产品为一等品的概率P 甲，P 乙；(2)已知生产一件产品需要用的工人数和资金数如表所示，且该厂有工人32名，可用资金55万元．设x ，y 分别表示生产甲、乙产品的数量，在(1)的条件下，求x ，y 为何值时，z ＝xP 甲＋yP 乙最大，最大值是多少？解 (1)依题意得⎩⎨⎧P 甲－P 乙＝0.25，1－P 甲＝P 乙－0.05，解得⎩⎨⎧P 甲＝0.65，P 乙＝0.4，故甲产品为一等品的概率P 甲＝0.65，乙产品为一等品的概率P 乙＝0.4. (2)依题意得x 、y 应满足的约束条件为⎩⎨⎧4x ＋8y ≤32，20x ＋5y ≤55，x ≥0，y ≥0，且z ＝0.65x ＋0.4y .作出不等式组所表示的平面区域，如图阴影部分，即可行域．作直线l 0：0.65x ＋0.4y ＝0即13x ＋8y ＝0，把直线l 向上方平移到l 1的位置时，直线经过可行域内的点M ，此时z 取得最大值．解方程组⎩⎨⎧x ＋2y ＝8，4x ＋y ＝11，得x ＝2，y ＝3.故M 的坐标为(2,3)，所以z 的最大值为z max ＝0.65×2＋0.4×3＝2.5.所以，当x ＝2，y ＝3时，z 取最大值为2.5.。
(全国通用)高考数学大一轮复习 第六篇 不等式 第3节 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题习题
第3节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题选题明细表知识点、方法题号二元一次不等式(组)表示的平面区域1,4,9含参数的线性规划3,5,6,7,10,12目标函数的最值2,8,13,14,15线性规划的实际应用11基础对点练(时间:30分钟)1.不等式组所表示的平面区域是( D )解析:画出直线x=2,在平面上取直线的右侧部分(包含直线本身);再画出直线x-y=0,取直线的右侧部分(包含直线本身),两部分重叠的区域就是不等式组表示的平面区域.故选D.2.(2016·某某卷)若变量x,y满足则x2+y2的最大值是( C )(A)4 (B)9(C)10 (D)12解析: 作出不等式组表示的可行域如图所示,由x2+y2表示可行域内的点(x,y)到原点的距离平方可知,点A(3,-1)满足条件,即x2+y2的最大值为32+(-1)2=10.故选C.3.(2016·某某模拟)已知函数f(x)=log a x(a>1)的图象经过区域则a的取值X 围是( C )(A)(1,] (B)(,+∞)(C)[,+∞) (D)(2,+∞)解析: 作出不等式组表示的可行域,如图中阴影部分所示.联系函数f(x)=log a x(a>1)的图象,能够看出,当图象经过区域的边界点A(3,3)时,a可以取到最小值,而显然只要a大于,函数f(x)=log a x(a>1)的图象必然经过区域内的点.则a的取值X围是[,+∞).故选C.4.(2015·某某校级三模)若A为不等式组表示的平面区域,则a从-2连续变化到1时,动直线x+y=a扫过A中的那部分区域的面积为( D )(A)9(B)3(C)(D)解析: 如图,不等式组表示的平面区域是△AOB,动直线x+y=a(即y=-x+a)在y轴上的截距从-2变化到1.知△ACD是斜边为3的等腰直角三角形,△OEC是直角边为1的等腰直角三角形,所以区域的面积S=S△ACD-S△OEC=×3×-×1×1=.5.(2014·某某卷)x,y满足约束条件若z=y-ax取得最大值的最优解不唯一,则实数a的值为( D )(A)或-1 (B)2或(C)2或1 (D)2或-1解析:线性约束条件对应的可行域如图所示:目标函数z=y-ax化为y=ax+z,当a>0时,要使其取得最大值的最优解不唯一,需动直线y=ax+z与2x-y+2=0平行或重合,此时a=2;同理当a<0时,需动直线y=ax+z与x+y-2=0平行或重合,此时a=-1,故选D.6.(2016·某某章丘期末)若实数x,y满足不等式组且x+y的最大值为9,则实数m等于( C )(A)-2 (B)-1(C)1 (D)2解析: x-my+1=0恒过点(-1,0),旋转直线x-my+1=0可知可行域只可能是△ABC,且x+y的最大值只在点C处取得,联立方程组得C(,)(若m=,则与2x-y-3=0平行,不可能),(x+y)max=+=9,解得m=1.故选C.7.(2016·某某某某名校联考)已知a>0,x,y满足约束条件若z=2x+y的最小值为1,则a等于( A )(A)(B)(C)1 (D)2解析: 根据约束条件画出可行域,如图,由图可知当直线z=2x+y经过点B时,z最小,由解得所以z min=2×1-2a=1,解得a=.故选A.8.导学号 18702285已知x,y满足则的取值X围是( C )(A)[0,] (B)[2,] (C)[1,] (D)[0,]解析:不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示.因为==1+,表示区域内的点与(4,2)连线的斜率.斜率最小值为0,点(-3,-4)与M(4,2)连线斜率最大为=.所以的取值X围为[1,].故选C.9.若点P(m,3)到直线4x-3y+1=0的距离为4,且点P在不等式2x+y<3表示的平面区域内,则m=.解析:由题意可得解得m=-3.答案:-310.(2016·某某模拟)若直线y=2x上存在点(x,y)满足约束条件则实数m的取值X围是.解析: 由题意,由可求得交点坐标为(1,2),要使直线y=2x上存在点(x,y)满足约束条件则点(1,2)在可行域内,如图所示,可得m≤1.答案:(-∞,1]11.导学号 18702284某工厂生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲、乙两种产品所需煤、电、劳力、获得利润及每天资源限额(最大供应量)如下表所示:产品限额资源甲产品(每吨)乙产品(每吨)资源限额(每天)煤(t) 9 4 360电(kW·h) 4 5 200劳力(个) 3 10 300利润(万元) 6 12问:每天生产甲、乙两种产品各多少吨,获得利润总额最大?解:设此工厂应分别生产甲、乙两种产品x吨、y吨,获得利润z万元.依题意可得约束条件利润目标函数z=6x+12y.如图,作出可行域,作直线l:6x+12y=0,把直线l向右上方平移至l1位置,直线经过可行域上的点M时z=6x+12y取最大值.解方程组得M(20,24).所以生产甲种产品20 t,乙种产品24 t,才能使此工厂获得最大利润.能力提升练(时间:15分钟)12.(2016·某某八校联考)已知变量x,y满足约束条件若z=x-2y的最大值与最小值分别为a,b,且方程x2-kx+1=0在区间(b,a)上有两个不同实数解,则实数k的取值X围是( C )(A)(-6,-2) (B)(-3,2)(C)(-,-2)(D)(-,-3)解析: 作出可行域,如图所示,则目标函数z=x-2y在点(1,0)处取得最大值1,在点(-1,1)处取得最小值-3,所以a=1,b=-3,从而可知方程x2-kx+1=0在区间(-3,1)上有两个不同实数解.令f(x)=x2-kx+1,则⇒-<k<-2,故选C.13.导学号 18702286如果实数a,b满足条件:则的最大值是.解析: 根据约束条件画出可行域,如图,表示可行域内的点与原点(0,0)连线的斜率,设z的几何意义表示可行域内点P与原点O(0,0)连线的斜率,易知当直线OP过点B(,)时,取最大值,最大值为3,直线OP过点A(1,1)时,取最小值,最小值为1,所以∈[1,3].所以===2-因为∈[1,3].所以的最大值为.答案:14.(2014·某某卷)当实数x,y满足时,1≤ax+y≤4恒成立,则实数a的取值X 围是.解析:可行域如图所示,则A(1,0),B(2,1),C(1,),设z=ax+y,即得1≤a≤.答案:[1,]15.导学号 18702287变量x,y满足(1)假设z1=4x-3y,求z1的最大值;(2)设z2=,求z2的最小值;(3)设z3=x2+y2,求z3的取值X围.解: 作出可行域如图中阴影部分,联立易得A(1,),B(1,1),C(5,2).(1)z1=4x-3y⇔y=x-,易知平移y=x至过点C时,z1最大,且最大值为4×5-3×2=14.(2)z2=表示可行域内的点与原点连线的斜率大小,显然直线OC斜率最小.故z2的最小值为.(3)z3=x2+y2表示可行域内的点到原点距离的平方,而2=OB2<OA2<OC2=29.故z3∈[2,29].好题天天练1.(2015·某某卷)设实数x,y满足则xy的最大值为( A )(A)(B)(C)12 (D)16解题关键:判断xy取得最大值的点,并分类讨论确定最大值.解析: 先画出可行域,再将xy转化为矩形面积S,求S的最大值.表示的可行域如图中阴影部分所示.令S=xy,不妨设在点M(x0,y0)处S取得最大值,且由图象知点M(x0,y0)只可能在线段AD,AB,BC上.①当M(x0,y0)在线段AD上时,x0∈[-2,0],此时S=xy≤0;②当M(x0,y0)在线段AB上时,x0∈[0,2],S=xy=x·=x(7-)=-+7x=-(x-7)2+,当x0=2时,wordS max=-(2-7)2+=-+=12;③当M(x0,y 0)在线段BC上时,x 0∈[2,4],S=xy=x·(10-2x)=-2x2+10x=-2(x-)2+,当x0=时,S max =.综上所述,xy的最大值为.2.导学号 18702288设实数x,y满足则z=-的取值X围是.解析: 由于表示可行域内的点(x,y)与原点(0,0)的连线的斜率,如图,求出可行域的顶点坐标A(3,1),B(1,2),C(4,2),则k OA=,k OB=2,k OC=,可见∈[,2],令=t,则z=t-在[,2]上单调递增,所以z∈[-,].答案:[-,]11 / 11。
2014年人教A版必修五课件 3.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
在 A 点的上方取 B(x0, y), 则 y>x06. 在 A 点的下方取 C(x0, y), 则 y<x06.
于是得结论:
o
6 y<x06
B · x 6 A · C ·
0
xy=6
x
对于不等式 y>f(x) 表示的区域在直线 y=f(x) 的上方; y<f(x) 表示的区域在直线 y=f(x) 的下方.
二元一次方程 AxByC=0 (A、B不同时为0) 在坐 标平面上表示一条直线. 二元一次不等式 AxByC > 0 (或<0) (A、B不同 时为 0 ) 在坐标平面上表示的是一个区域. 是直线 AxByC=0 一旁的区域.
操作题: 在坐标平面上画出直线 xy=6. (1) 对于方程 xy=6, 任意取 3 组解, 在坐标平面 上标出这 3 组解所表示的点, 看在什么位置? (2) 对于不等式 xy>6, 任意取 3 组解, 在坐标平 面上标出这 3 组解所表示的点, 看在什么位置? (3) 对于不等式 xy<6, 任意取 3 组解, 在坐标平 面上标出这 3 组解所表示的点, 看在什么位置? y (1) (0, 6), (1, 5), (2, 4). 在直线 xy=6上. (2) (0, 7), (2, 6), (6, 4). 在直线 xy=6 的右下边. (3) (3, 2), (0, 1), (6, 1). 在直线 xy=6 的左上边.
练习: (课本86页) 第 1、 2 题 .
(补充). 分别画出下列不等式表示的平面区域: (1) xy1<0; (2) 2xy2≤0; (3) x3y; (4) y>0.
练习: (课本86页) 1. 不等式 x2y6>0 表示的区域在直线 x2y6=0 的( B ) (A) 右上方. (B) 右下方. (C) 左上方. (D) 左下方. 解: 取原点(0, 0)检验, 得 x2y6=0206 =6>0, 满足不等式. ∴不等式 x2y6>0 表示的
高考数学 第六章 第3节 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题课件
2．二元一次不等式表示平面区域的判断方法 由于对直线 Ax＋By＋C＝0 同一侧的所有点(x，y)，把它的 坐标(x，y)代入 Ax＋By＋C，所得的符号都 相同 ，所以只需在此 直线的同一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点，由 Ax0＋By0＋C 的 符号 即可判断 Ax＋By＋C>0 表示的直线是 Ax＋By＋C＝0 哪 一侧的平面区域．
(2)法一：线性约束条件所表示的可行域如图所示． 由x2－x－y－y－1＝3＝0，0，解得xy＝＝21， ，
所以 z＝ax＋by 在 A(2，1)处取得最小值，故 2a＋b＝2 5， a2＋b2＝a2＋(2 5－2a)2＝( 5a－4)2＋4≥4.
法二：画出满足约束条件的可行域知，当目标函数过直线 x －y－1＝0 与 2x－y－3＝0 的交点(2，1)时取得最小值，所以有 2a＋b＝2 5.又因为 a2＋b2 是原点(0，0)到点(a，b)的距离的平方，
故当 a2＋b2为原点到直线 2a＋b－2 5＝0 的距离时最小，所以 a2＋b2的最小值是 |－222＋51|2＝2，所以 a2＋b2 的最小值是 4.故选
B.
[答案] (1)B (2)B
【通关锦囊】
1．求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求．其关键 是准确作出可行域，理解目标函数的意义．如直线的斜率、截距或 两点间的距离等．
目标函数 z＝ax＋by(a>0，b>0)在该约束条件下取到最小值 2 5时，
a2＋b2 的最小值为( )
A．5
B．4
C. 5
D．2
[思路点拨] (1)用图解法求出线性目标函数的最大值和最
【金版教程】2014届高考数学总复习 第6章 第3讲 二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题课件 理 新人教A版
(2)2 －2 提示：不等式组表示的可行域如图所示，
设 z＝x＋2y， 则 y＝－12x＋2z， 当直线 y＝－12x＋2z分别过 C(0,1)及 A(0，－1)时得 zmax ＝2，zmin＝－2.
核心要点研究
例 1 [2012·福建卷]若直线 y＝2x 上存在点(x，y)满足约
束条件xx－＋2y－y－33≤≤00，， 则实数 m 的最大值为(
函数；③画出可行域；④判断最优解；⑤求出目标函数的最
值，并回到原问题中作答．
[解析] 设种植黄瓜 x 亩，种植韭菜 y 亩，因此，原问
x＋y≤50， 题转化为在条件1x≥.2x0＋，0.9y≤54，
y≥0
下，求 z＝0.55×4x＋
0.3×6y－1.2x－0.9y＝x＋0.9y 的最大值．画出可行域如图．利 用
第3讲 二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题
不同寻常的一本书，不可不读哟！
1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组． 2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二 元一次不等式组． 3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题， 并能加以解决.
1种必会方法 确定不等式表示的区域时，可采用代入特殊点的方法来判 断，一般情况下，若直线不过原点时，则代入原点坐标判断．
课前自主导学
1.二元一次不等式表示的平面区域 (1)一般地，直线l：ax＋by＋c＝0把直角坐标平面分成了三 个部分： ①直线l上的点(x，y)的坐标满足________； ②直线l一侧的平面区域内的点(x，y)的坐标满足ax＋by＋ c>0； ③直线l另一侧的平面区域内的点(x，y)的坐标满足ax＋by ＋c<0.
是( )
A．(0,0)
B．(－1,1)
高考数学总复习 第六章 第三节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题课件 文
解析(jiě xī)：设为该儿童分别预订x个单位的午餐和y个单位的 晚餐，所花的费用为z，则z＝2.5x＋4y，由题意知x，y满足
12x＋8y≥64，
第二十四页，共44页。
变式探究
(tànjiū)
3．(2012·泉州市质检(zhì
jiǎn))已知实数x，y满xx足－ ＋yy＋ ≥20≥ ，0，
则z＝2x＋y的最大值是( )
x2＋y2≤4，
A．5
B．－1 C．2 D．2
5
第二十五页，共44页。
解析：画出的可行域是如图所示的阴影部分，当直线z＝2x
答案：B
第十七页，共44页。
变式探究 (tànjiū)
2．(2012·广东(guǎng dōng)六校联考)已知点N(x，y)在由 不 x等＋y式≥组0， x－y≥0， x≤2 确定的平面区域内，则N(x，y)所在平面区域的面积 是( )
A．1 B．2 C．4 D．8
第十八页，共44页。
解析：作出不等式组表示的区域(图中阴影部分(bùfen))，它
由于对在直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，把它们 的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C，所得到的实数的符号都相同，所以 只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0，y0)，从Ax0＋By0＋C的 正负情况，即可判断Ax＋By＋C>0表示(biǎoshì)直线哪一侧的平面 区域．特殊地，当C≠0时，直线不过原点，通常把原点作为特殊 点．
第六页，共44页。
基础(jīchǔ) 自测
1．(2012·广东卷)已知变量 x，y 满足约束条件xx＋－yy≤≤11，， 则 x＋1≥0，
z＝x＋2y 的最小值为( )
A．3
B．1
第六章 第三节 二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题
一、选择题1．已知变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤1，2x ＋y ≤5，x ≥1，则z ＝3x ＋y 的最大值为( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线3x ＋y ＝0，平移该直线，当平移到经过该平面区域内的点B (2,1)时，相应直线在x 轴上的截距达到最大，此时z ＝3x ＋y 取得最大值，最大值是7.答案：D2．(2011·山东高考)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≤0，x －y －2≤0，x ≥0，则目标函数z ＝2x ＋3y＋1的最大值为( )A ．11B ．10C ．9D ．8.5解析：作出不等式组表示的可行域，如图阴影部分所示． 又z ＝2x ＋3y ＋1可化为y ＝－23x ＋z 3－13，结合图形可知z ＝2x ＋3y ＋1在点A 处取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y －5＝0，x －y －2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1，故A (3,1)． 此时z ＝2×3＋3×1＋1＝10. 答案：B3．若z ＝mx ＋y 在平面区域⎩⎪⎨⎪⎧y －2x ≤0，2y －x ≥0，x ＋y －3≤0上取得最小值时的最优解有无穷多个，则z的最小值是( )A ．－1B ．1C ．0D ．0或±1解析：画出平面区域，可以判断出z 的几何意义是直线mx ＋y －z ＝0在y 轴上的截距，只有直线mx ＋y －z ＝0与直线x －2y ＝0重合时，才符合题意，此时，相应z 的最小值为0.答案：C4．(2012·海淀模拟)P (2，t )在不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y －4≤0，x ＋y －3≤0表示的平面区域内，则点P (2，t )到直线3x ＋4y ＋10＝0距离的最大值为( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：如图所示，结合图形可知点A (2,1)到已知直线距离最大，则最大值为|3×2＋4×1＋10|32＋42＝4.答案：B5．(2012·郑州模拟)设双曲线4x 2－y 2＝1的两条渐近线与直线x ＝2围成的三角形区域(包含边界)为D ，P (x ，y )为D 内的一个动点，则目标函数z ＝12x －y 的最小值为( )A ．－2B ．－322C ．0D ．－522解析：双曲线4x 2－y 2＝1的两条渐近线方程为2x －y ＝0,2x ＋y ＝0，与直线x ＝2围成的三角形区域如图中的阴影部分所示，所以目标函数z ＝12x －y 在点P (2，22)处取得最小值为z ＝122－22＝－322.答案：B 二、填空题6．如图，点(x ，y )在四边形ABCD 内部和边界上运动，那么2x －y 的最小值为________．解析：令b ＝2x －y ，则y ＝2x －b ，如图所示，作斜率为2的平行线y ＝2x －b ，当经过点A 时，直线在y 轴上的截距最大，为－b ，此时b ＝2x －y 取得最小值，为b ＝2×1－1＝1.答案：17．(2012·西安模拟)在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －1≤0，ax －y ＋1≥0(a 为常数)所表示的平面区域内的面积等于2，则a 的值为________．解析：不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －1≤0表示的区域为图中阴影部分．又因为ax －y ＋1＝0恒过定点(0,1)， 当a ＝0时，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －1≤0，ax －y ＋1≥0.所表示的平面区域的面积为12，不合题意；当a <0时，所围成的区域面积小于12，所以a >0，此时所围成的区域为三角形，其面积为S ＝12×1×(a ＋1)＝2，解之得a ＝3.答案：3 三、解答题8．若点P 在区域⎩⎪⎨⎪⎧2y －1≥0，x ＋y －2≤0，2x －y ＋2≥0内，求点P 到直线3x －4y －12＝0距离的最大值．解：不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2y －1≥0，x ＋y －2≤0，2x －y ＋2≥0所表示的可行域如图所示，当目标函数z ＝3x －4y 所表示的平行直线系过点A (0,2)时，目标函数取得最小值，此时对应的直线方程为3x －4y ＋8＝0，其与直线3x －4y －12＝0的距离为d ＝8＋1232＋42＝4，即得点P 到直线3x －4y －12＝0距离的最大值为4.9．变量x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1.(1)设z ＝yx ，求z 的最小值；(2)设z ＝x 2＋y 2，求z 的取值范围．解：由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0.x ≥1，作出(x ，y )的可行域如图所示．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，3x ＋5y －25＝0 解得A (1，225)． 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x －4y ＋3＝0解得C (1,1)． 由⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3＝0，3x ＋5y －25＝0解得B (5,2)． (1)∵z ＝y x ＝y －0x －0.∴z 的值即是可行域中的点与原点O 连线的斜率. 观察图形可知z min ＝k OB ＝25.(2)z ＝x 2＋y 2的几何意义是可行域上的点到原点O 的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，d min ＝|OC |＝2，d max ＝|OB |＝29. ∴2≤z ≤29.10．(2012·泰安模拟)某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐．已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C ；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元．那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？解：设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x 个单位和y 个单位，所花的费用为z 元，则依题意得：z ＝2.5x ＋4y ，且x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，y ≥0，12x ＋8y ≥64，6x ＋6y ≥42，6x ＋10y ≥54.即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，3x ＋2y ≥16，x ＋y ≥7，3x ＋5y ≥27.让目标函数表示的直线2.5x ＋4y ＝z 在可行域上平移， 由此可知z ＝2.5x ＋4y 在B (4,3)处取得最小值．因此，应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐，就可满足要求．。
第六章 第三节 二元一次不等式组与简单的线性规划问题
答案：A
x＋2y≤4， 2．(2010· 陕西高考)设 x，y 满足约束条件x－y≤1， x＋2≥0， 目标函数 z＝3x－y 的最大值为________．
则
x＋2y≤4， 解析：如图，首先画出线性约束条件x－y≤1， x＋2≥0
的可行
域，是一个三角形，然后在可行域内平行移动目标函数 z ＝3x－y， 当经过 x＋2y＝4 与 x－y＝1 的交点(2,1)时， 目标 函数取得最大值 z＝3×2－1＝5.
4 线 y＝kx＋ 分为面积相等的两部分，则 k 的值是( 3 7 A. 3 4 C. 3 3 B. 7 3 D. 4
)
(2)如图，△ABC中，A(0,1)，B(－2,2)，C(2,6)，写出
△ABC区域所表示的二元一次不等式组．
解析：(1)由图可知，线性规划区域为△ 4 4 ABC 边界及内部，y＝kx＋ 恰过 A(0， )， 3 3 4 y＝kx＋ 将区域平均分成面积相等 3 1 5 5 1 4 7 两部分，故过 BC 的中点 D( ， )， ＝k× ＋ ，k＝ . 2 2 2 2 3 3 (2)由两点式得直线 AB、BC、CA 的方程并化简为： 直线 AB：x＋2y－2＝0，
答案：5
x＋y－3≥0， 3．已知实数 x，y 满足x－y＋1≥0， x≤2， (1)若 z＝2x＋y，求 z 的最大值和最小值； y (2)若 z＝x，求 z 的最大值和最小值．
x＋y－3≥0， 解：不等式组x－y＋1≥0， x≤2
所示． 中阴影部分即为可行域．
x＋y－3＝0， 由 x－y＋1＝0， x＝1， 得 y＝2，
1 1 y (2)∵kOA＝2，kOB＝ ，∴ ≤x≤2， 2 2 1 所以 z 的最大值为 2，z 的最小值为 . 2
高三理科数学一轮复习 第六章 不等式 第三节 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题课件
【变式训练】
(2016·吉林实验中学四模)若实数 x,y 满足
������-������ + 1 ������ > 0,
≤
0,
则
������的取
������
������ ≤ 2,
值范围是
()
A.(0,2)
B.(0,2]
C.(2,+∞)
D.[2,+∞)
D 【解析】不等式组对应的平面区域是以点(0,1),(1,2)和(0,2)
������+2
������ + ������-2 ≥ 0,
取值范围是
.
5.
1 4
,
3 2
【解析】不等式组对应的平面区域是以点(2,0), (0,2)
和(2,3)为顶点的三角形(包含边界),
当
������+1 ������+2
经过点(2,0)
时取得最小值
1 4
,
经过点(0,2)时取得最大值
3 2
,
故
2������ + ������ + ������ ≤ 0
则实数 k=
()
A.0
B.-24
C.-9
D.-12
3.C 【解析】作出不等式组对应的平面区域,如图阴影部分所示(包含边界),则当 x+3y
经过点
-
������ 3
,-
������ 3
时取得最大值 12, 即 − ���3���-k=12,解得 k=-9.
第三节 二元一次不等式( 组)与简单的线性规划问题
1
考纲概述
(1)会从实际情境中抽 象出二元一次不等式
高考数学 第六章 第三节 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题课件 理 新人教A
表示的平面区域
的面积为( B )
不等式组2xx＋＋y－y－3≥6≤00，， 表 y≤2
示的平面区域如图所示(阴影部 分)，△ABC 的面积即为所求．求 出点 A，B，C 的
A．4 C．5
B．1 D．无穷大
坐标分别为(1,2)， (2,2)，(3,0)，则△ ABC 的面积为 S＝12×(2－1)×2
1＋1＋a＝0，a＝－2，符合条件，故选 B.
第三节 二元一次不等式(组)与简单的 线性规划问题
抓主干 知识回顾
研考向 考点研究 思想方法系列 课时 跟踪检测
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考点一
二元一次不等式(组)表示的平面区域|
试题 解析
题组训练
1 ． (2016·济 南 模 拟 ) 不 等 式 组
2xx＋＋y－y－36≥≤00，， y≤2
不包括 _边__界__直_线___
包括 _边__界__直__线__
各个不等式所表示平面区域的 _公_共__部__分__
第三节 二元一次不等式(组)与简单的 线性规划问题
知识点一
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知识点一
易误提醒 画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使 二元一次不等式化为 ax＋by＋c>0(a>0)．
则 z＝x＋y
在平面直角坐标系中画出可行域如图 中阴影部分所示，易得在点 A1，12处， z 取得最大值，且 zmax＝32.
第三节 二元一次不等式(组)与简单的 线性规划问题
考点二
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试题
解析
探究二 求非线性目标函数的最值
高考数学总复习 第6章 第3节 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题课件 新人教A版
坐标适合
.
3．点可(x0在，A直yx0＋线)，BA从yx＋＋ACxB0＜y＋＋0BCy0＝＋0C的的某一侧任来取判一断点A，x 一＋般By取＋特C 殊＞ 0(或Ax＋By＋C＜0)所表示的区域．
4．个由不几等个式不所等表式示组的平成面的区不域等的式组符所号表示的平面．区域，是各
公共部分
二、线性规划的有关概念
7
3
4
3
A.3
B.7
C.3
D.4
【思路点拨】
【自主解答】由图可知，线性规划区域为△ABC 边界及 内部 y＝kx＋43恰过 A(0，34)，y＝kx＋43将区域平均分成面积 相等两部分，故过 AB 的中点 D(12，52)，25＝k×12＋43，∴k＝73. 故选 A.
【特别提醒】(1)Ax＋By＋C＞0(＜0)：表示直线 l：Ax ＋By＋C＝0 某一侧所有点组成的平面区域，直线应画成虚 线．
答案∴：a＋4 b≥2 ab＝4.
二元一次不等式(组)表示平面区域的判定方法：
(1)同号上，异号下．当B(Ax＋By＋C)＞0时，区域为直线Ax ＋By＋C＝0的上方，当B(Ax＋By＋C)＜0时，区域为直线 Ax＋By＋C＝0的下方．
(2)直线定界、特殊点定域．注意不等式是否可取等号，不可 取等号时直线画成虚线，可取等号时直线画成实线．若直 线不过原点，特殊点常选取原点．
的最大值为 8，则 a＋b 的最小值为______．
解析：原不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所 示，当直线 z＝abx＋y(a＞0，b＞0)过直线 2x－y＋2＝0 与直 线 8x－y－4＝0 的交点(1,4)时，目标函数 z＝abx＋y(a＞0，b ＞0)取得最大值 8，即 8＝ab＋4，ab＝4，
(文)大一轮复习课件 第六章 不等式、推理与证明 第三节 二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题
解析：设旅行社租用A型客车x辆，B型客车y 辆，租金为z，则线性约束条件为
x＋y≤21， y－x≤7， 36x＋60y≥900， x，y∈N.
目标函数为z＝1 600x
＋2 400y．画出可行域如图中阴影部分所示， 可知目标函数过点N(5,12)时，有最小值zmin＝36 800(元)．答案：C
[演练冲关]
x－y＋2≥0， 1．(2017·海口调研)已知实数x，y满足x＋y－4≥0，
4x－y－4≤0.
则z＝
3x－y的取值范围为
()
A．0，152 C．2，152
B．[0,2] D．2，83
解析：画出题中的不等式组表示的平面区域 (阴影部分)及直线3x－y＝0，平移该直线， 平移到经过该平面区域内的点A(1,3)(该点是 直线x－y＋2＝0与x＋y－4＝0的交点)时，相 应直线在x轴上的截距达到最小，此时z＝3x－y取得最小值 3×1－3＝0；平移到经过该平面区域内的点B85，152(该点是直 线4x－y－4＝0与x＋y－4＝0的交点)时，相应直线在x轴上的 截距达到最大，此时z＝3x－y取得最大值3× 85 － 152 ＝ 152 ，因此 z的取值范围是0，152，选A．答案：A
2．(易错题)若满足条件 xx＋－yy－≥20≤，0， y≥a
的整点(x，y)恰有9个，其
中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则整数a的值为 ( )
A．－3
B．－2
C．－1
解析：不等式组所表示的平面区域如图中
D．0
阴影部分，当a＝0时，只有4个整点
(1,1)，(0,0)，(1,0)，(2,0)；当a＝－1时，
数多个，也可能没有．
3．在通过求直线的截距
z b
的最值间接求出z的最值时，要注
高考理科数学考点 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
考点27 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题一、选择题1. (2014·湖北高考文科·T4)若变量x,y满足约束条件错误！未找到引用源。
则2x+y 的最大值是()A.2B.4C.7D.8【解题提示】根据已知的约束条件画出满足约束条件4,2,0,0,x yx yx y+≤⎧⎪-≤⎨⎪≥≥⎩的可行域,再用角点法,求出目标函数的最大值.【解析】选C. 满足约束条件4,2,0,0,x yx yx y+≤⎧⎪-≤⎨⎪≥≥⎩的可行域如下图中阴影部分所示：目标函数z=2x+y,即y=-2x+z,显然,当直线经过点B时z的值最大,最大值为7.2.(2014·广东高考文科·T4)若变量x,y满足约束条件28,04,03,x yxy+≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩则z=2x+y的最大值等于( )A.7B.8C.10D.11【解题提示】画出可行域,标出边界点,目标函数对应动直线的斜率为-2.【解析】选C.作出可行域OABCD是3×4的矩形去掉一个1×2的直角三角形,其中B(2,3),C(4,2),所以当动直线z=2x+y经过点C(4,2)时取得最大值10.3.(2014·广东高考理科)若变量x,y满足约束条件,1,1,y xx yy≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩且z=2x+y的最大值和最小值分别为m和n,则m-n= ( )A.5B.6C.7D.8【解题提示】画出可行域,标出边界点,目标函数对应动直线的斜率为-2.【解析】选B.如图,可行域是以A 11(,)22,B(-1,-1),C(2,-1)为顶点的等腰直角三角形,所以当动直线z=2x+y 经过点C(2,-1)时取得最大值3,经过点B(-1,-1)时取得最小值-3,所以m-n=6.4.（2014·福建高考文科·Ｔ11）11．已知圆()()22:1C x a y b -+-=，设平面区域70,70,0x y x y y +-≤⎧⎪Ω=-+≥⎨⎪≥⎩，若圆心C ∈Ω,且圆C 与x 轴相切，则22a b +的最大值为 （ ）.5.29.37.49A B C D【解题指南】画出可行域，发现最优解． 【解析】由圆C 与x 轴相切可知，b=1．又圆心C （a,b ）在平面区域Ω（如图2）内， 由301x y y -+=⎧⎨=⎩，解得21x y =-⎧⎨=⎩；由701x y y +-=⎧⎨=⎩，解得61x y =⎧⎨=⎩．故[]2,6a ∈-．所以当6,1a b ==时，22a b +取最大值为37．5. （2014·山东高考理科·Ｔ9）已知,x y 满足约束条件10,230,x y x y --≤⎧⎨--≥⎩当目标函数(0,0)z ax by a b =+>>在该约束条件下取到最小值22a b +的最小值为（ ） A 、5 B 、4 C、D 、2【解题指南】本题考查了简单的线性规划问题，再利用两点间距离公式的几何意义求解.【解析】选B.解方程组⎩⎨⎧=--=--03201y x y x 求得交点为()1,2，则522=+b a ，22b a +的最小值即为在直线522=+b a 上找一点使得它到原点的距离平方最小.即求点()0,0到直线522=+b a 的距离的平方为4255222==⎪⎪⎭⎫⎝⎛. 6. （2014·山东高考文科·Ｔ10）与(2014·山东高考理科·Ｔ9）相同已知,x y 满足约束条件10,230,x y x y --≤⎧⎨--≥⎩当目标函数(0,0)z ax by a b =+>>在该约束条件下取到最小值22a b +的最小值为（ ） A 、5 B 、4 C、D 、2【解题指南】本题考查了简单的线性规划问题，再利用两点间距离公式的几何意义求解.【解析】选B.解方程组⎩⎨⎧=--=--03201y x y x 求得交点为()1,2，则522=+b a ，22b a +的最小值即为在直线522=+b a 上找一点使得它到原点的距离平方最小.即求点()0,0到直线522=+b a 的距离的平方为4255222==⎪⎪⎭⎫⎝⎛. 7. （2014·天津高考文科·Ｔ2同2014·天津高考理科·Ｔ2））设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤--≥-+.1,02,02y y x y x 则目标函数y x z 2+=的最小值为（ ）A.2B. 3C. 4D. 5【解析】选B. 由2z x y =+得1122y x z =-+。
高考数学复习讲义：二元一次不等式(组) 与简单的线性规划问题
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[解析] (1)作出满足约束条 件的可行域如图中阴影部分所 示．由 z＝3x＋2y，得 y＝－32x＋2z.
作直线 l0：y＝－32x. 平移直线 l0，当直线 y＝－32x＋2z过点(2,0)时， z 取最大值，zmax＝3×2＋2×0＝6.
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(2)
由
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得
x＋1≤y， y≤2x，
即
x－y＋1≤0， 2x－y≥0，
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[方法技巧]
解决求平面区域面积问题的方法步骤 (1)画出不等式组表示的平面区域； (2)判断平面区域的形状，并求得直线的交点坐标、图形 的边长、相关线段的长(三角形的高、四边形的高)等，若为规 则图形则利用图形的面积公式求解；若为不规则图形则利用 割补法求解． [提醒] 求面积时应考虑圆、平行四边形等图形的对称性．
x<2y 选项 B 所表示的区域，故选 B. 答案：B
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3x＋y－6≥0， 2．(2019·河南豫北联考)关于 x，y 的不等式组x－y－2≤0，
x＋y－4≤0
表示的平面区域的面积为
()
A．3
B．52
C．2
D．32
解析：平面区域为一个直角三角形 ABC，其中 A(3,1)，
B(2,0)，C(1,3)，所以面积为12|AB|·|AC|＝12× 2× 8＝2，
－dc，－ba连线的斜率的ac倍的取值范围、最值等
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对形如 z＝|Ax＋By＋C|型的目标函数，可先 点到直线 变形为 z＝ A2＋B2·|Ax＋A2B＋y＋B2C|的形式，将 距离型 问题化为求可行域内的点(x，y)到直线 Ax＋
By＋C＝0 的距离的 A2＋B2倍的最值
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考法三 线性规划中的参数问题
高中 二元一次不等式(组)与简单的线性规划 知识点+例题 全面
辅导讲义――二元一次不等式（组）与简单的线性规划[例4] 若点A （1，1），B （2，-1）位于直线0=-+a y x 的两侧，则a 的取值范围是___________.)2,1([巩固] 若点A （1，a ）与原点在直线l ：01=-+y x 的同侧，则实数a 的取值范围是_________.)0,(-∞[例5] 如图所示的平面区域（阴影部分）用不等式表示为_________________.033<--x y[巩固] 能表示图中阴影区域的二元一次不等式组是__________________.⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤11y y x x y[例6] 画出不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥>≤-+02042y y x y x 所表示的平面区域.[巩固] 画出不等式0)4)(12(<--++yxyx表示的平面区域.1．基本概念名称意义约束条件由变量x，y组成的不等式组线性约束条件由x，y的一次不等式（或方程）组成的不等式组目标函数关于x，y的解析式，如：22yxz+=线性目标函数关于x，y的一次解析式，如yxz+=2可行解满足线性约束条件的解（x，y）可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题求线性目标函数在线性约束条件下的最值问题注意：（1）对于实际背景的线性规划问题，可行域通常位于第一象限内的一个凸多边形区域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的定点；（2）对于线性规划问题，结果可能有唯一最优解，或是有无穷最优解，或是无最优解.2．应用利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是（1）在平面直角坐标系内作出可行域．（2）考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．（3）确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解．（4）求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值.[例1] 设yxz-=2，其中x，y满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-+≥+-221xyxyx，则z的取值范围是_________________.]4,21[-知识模块2简单的线性规划精典例题透析[例4] 不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥++≤020220x y y x x 表示的平面区域的面积为__________.3[巩固1] 若不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<++>>a y x x y x 11所确定的平面区域的面积为0，则实数a 的取值范围是____________.]3,(-∞[巩固2] 在平面直角坐标系中，不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥+a x y x y x 040（a 为常数）表示的平面区域的面积是9，则实数._____=a 1[巩固3] 在平面直角坐标系中，若不等式组⎪⎪⎨⎧≤-≥-+0101x y x （a 为常数）所表示的平面区域内的面积等于2，则.___=a[例5] 已知x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥-+≥-18360202y x y x y x ，且y ax z +=取得最大值的最优解恰为)3,23(，则a 的取值范围是______.（-2，2）[巩固] 若直线4=+by ax 与不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥++≤-+≥+-0420420852y x y x y x 表示的平面区域无公共点，则b a +的取值范围是________.（-3，3）[例6] 某公司计划招聘男职工x 名，女职工y 名，要求女职工人数不能多于男职工，女职工的人数不得少于男职工的31，最少10名男职工，则该公司最少能招聘多少名职工.CO的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如下表：[巩固] 铁矿石A和B的含铁率a，冶铁每万吨铁矿石的2a b（万吨）c（万吨）A50% 1 3B70% 5.0 6CO的排放量不超过2（万吨），求购买铁矿石的最少费用. 某冶铁厂至少要生产9.1（万吨）铁，若要求2知识模块3经典题型[例]（1）若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋43分为面积相等的两部分，则k 的值是________.（2）如图阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示为_____________．答案 (1) 73 (2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≥0解析 (1)不等式组表示的平面区域如图所示．由于直线y ＝kx ＋43过定点⎝⎛⎭⎫0，43.因此只有直线过AB 中点时，直线y ＝kx ＋43能平分平面区域． 因为A (1,1)，B (0,4)，所以AB 中点D ⎝⎛⎭⎫12，52.当y ＝kx ＋43过点⎝⎛⎭⎫12，52时，52＝k 2＋43，所以k ＝73. (2)两直线方程分别为x －2y ＋2＝0与x ＋y －1＝0. 由(0,0)点在直线x －2y ＋2＝0右下方可知x －2y ＋2≥0， 又(0,0)点在直线x ＋y －1＝0左下方可知x ＋y －1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≥0为所表示的可行域． [巩固]（1）在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －1≤0，ax －y ＋1≥0(a 为常数)所表示的平面区域的面积等于4，则a=______.（2）如图所示的平面区域(阴影部分)满足不等式_______________．答案 (1) 7 (2)x ＋y －1>0解析 (1)直线ax －y ＋1＝0过点(0,1)，作出可行域如图知可行域由点A (1,0)，B (1，a ＋1)，C (0,1)组成的三角形的内部(包括边界)， 且a >－1，则其面积等于12×(a ＋1)×1＝4，解得a ＝7.(2)边界对应直线方程为x ＋y －1＝0，且为虚线，区域中不含(0,0)，由以上可知平面区域(阴影部分)满足x ＋y －1>0.题型二：求线性目标函数的最值（2）(2013·课标全国Ⅱ)已知a >0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a (x －3)，若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝________.答案 (1) 6 (2)12解析 (1)画出可行域，如图阴影部分所示． 由z ＝2x ＋y ，得y ＝－2x ＋z .由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，y ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1， ∴A (－1，－1)．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1，y ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1，∴B (2，－1)．当直线y ＝－2x ＋z 经过点A 时，z min ＝2×(－1)－1＝－3＝n .当直线y ＝－2x ＋z 经过点B 时，z max ＝2×2－1＝3＝m ，故m －n ＝6.(2)作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)． 易知直线z ＝2x ＋y 过交点A 时，z 取最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝a (x －3)， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2a ，∴z min ＝2－2a ＝1， 解得a ＝12.[巩固]（1）已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组⎩⎨⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y给定．若M (x ，y )为D 上的动点，点A的坐标为(2，1)，则z ＝OM →·OA →的最大值为________.（2）(2014·北京)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0，且z ＝y －x 的最小值为－4，则k 的值为_______.答案 (1) 4 (2) －12解析 (1)由线性约束条件⎩⎨⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y画出可行域如图阴影部分所示，目标函数z ＝OM →·OA →＝2x ＋y ，将其化为y ＝－2x ＋z ，结合图形可知，目标函数的图象过点(2，2)时，z 最大，将点(2，2)代入z ＝2x ＋y 得z 的最大值为4.(2)作出可行域，如图中阴影部分所示，直线kx －y ＋2＝0与x 轴的交点为A (－2k，0)．∵z ＝y －x 的最小值为－4，∴2k ＝－4，解得k ＝－12，故选D.题型三：线性规划的实际应用[例] 某客运公司用A 、B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次．A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1 600元/辆和2 400元/辆，公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B 型车不多于A 型车7辆．若每天运送人数不少于900，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A 型车、B 型车各多少辆？解 设A 型、B 型车辆分别为x 、y 辆，相应营运成本为z 元，则z ＝1 600x ＋2 400y .由题意，得x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤21，y ≤x ＋7，36x ＋60y ≥900，x ，y ≥0，x ，y ∈N .作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为P (5，12)，Q (7,14)，R (15,6)．由图可知，当直线z ＝1 600x ＋2 400y 经过可行域的点P 时，直线z ＝1 600x ＋2 400y 在y 轴上的截距z 2 400最小，即z 取得最小值．故应配备A 型车5辆、B 型车12辆，可以满足公司从甲地去乙地的营运成本最小． [巩固] 某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨、B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨、B 原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨、B 原料不超过18吨，那么该企业可获得的最大利润是________万元．答案 27解析 设生产甲产品x 吨、乙产品y 吨， 则获得的利润为z ＝5x ＋3y .由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，3x ＋y ≤13，2x ＋3y ≤18，可行域如图阴影所示．由图可知当x 、y 在A 点取值时，z 取得最大值，此时x ＝3，y ＝4，z ＝5×3＋3×4＝27(万元)．1．在直角坐标平面内，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ＋1，y ≥0，0≤x ≤t所表示的平面区域的面积为32，则t 的值为_______.答案 1夯实基础训练解析 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ＋1，y ≥0，0≤x ≤t所表示的平面区域如图中阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，x ＝t ，解得交点B (t ，t ＋1)，在y ＝x ＋1中，令x ＝0得y ＝1，即直线y ＝x ＋1与y 轴的交点为C (0,1)，由平面区域的面积S ＝(1＋t ＋1)×t 2＝32，得t 2＋2t －3＝0，解得t ＝1或t ＝－3(不合题意，舍去)，故选C. 2．x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为____________.答案 2或－1解析 如图，由y ＝ax ＋z 知z 的几何意义是直线在y 轴上的截距， 故当a >0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝2； 当a <0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝－1. 3．(2014·课标全国Ⅱ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －3y ＋1≤0，3x －y －5≥0，则z ＝2x －y 的最大值为_______.答案 8解析 画出可行域如图所示．由z ＝2x －y ，得y ＝2x －z ，欲求z 的最大值，可将直线y ＝2x 向下平移， 当经过区域内的点，且满足在y 轴上的截距－z 最小时， 即得z 的最大值，如图，可知当过点A 时z 最大，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －7＝0，x －3y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2，即A (5,2)，则z max ＝2×5－2＝8. 4．在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －y ＋2≥0，x ≤2表示的平面区域的面积为________．答案 4解析 作出可行域为△ABC (如图)，则S △ABC ＝4.5．设z ＝2x ＋y ，其中x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，x －y ≤0，0≤y ≤k ，若z 的最大值为6，则k 的值为________，z 的最小值为________．答案 2 －2解析 在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线2x ＋y ＝z ，结合图形分析可知，要使z ＝2x ＋y 的最大值是6，直线y ＝k 必过直线2x ＋y ＝6与x －y ＝0的交点，即必过点(2,2)，于是有k ＝2；平移直线2x ＋y ＝6，当平移到经过该平面区域内的点(－2,2)时，相应直线在y 轴上的截距达到最小，此时z ＝2x ＋y 取得最小值，最小值是z ＝2×(－2)＋2＝－2.6．在平面直角坐标系中画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧|x |≤|y |，|x |<1所表示的平面区域.解析 |x |＝|y |把平面分成四部分，|x |≤|y |表示含y 轴的两个区域； |x |<1表示x ＝±1所夹含y 轴的带状区域．7．若直线x ＋my ＋m ＝0与以P (－1，－1)、Q (2,3)为端点的线段不相交，求m 的取值范围．解 直线x ＋my ＋m ＝0将坐标平面划分成两块区域，线段PQ 与直线x ＋my ＋m ＝0不相交，则点P 、Q 在同一区域内，于是，⎩⎪⎨⎪⎧ －1－m ＋m >0，2＋3m ＋m >0，或⎩⎪⎨⎪⎧－1－m ＋m <0，2＋3m ＋m <0，所以，m 的取值范围是m <－12.8．某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．（1）试用每天生产的卫兵个数x 与骑兵个数y 表示每天的利润ω(元)； （2）怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？ 解 (1)依题意每天生产的伞兵个数为100－x －y ， 所以利润ω＝5x ＋6y ＋3(100－x －y )＝2x ＋3y ＋300. (2)约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋7y ＋4(100－x －y )≤600，100－x －y ≥0，x ≥0，y ≥0，x 、y ∈N .整理得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≤200，x ＋y ≤100，x ≥0，y ≥0，x 、y ∈N .目标函数为ω＝2x ＋3y ＋300，作出可行域，如图所示，作初始直线l 0：2x ＋3y ＝0，平移l 0，当l 0经过点A 时，ω有最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3y ＝200，x ＋y ＝100，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝50，y ＝50.∴最优解为A (50,50)，此时ωmax ＝550元．故每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，且最大利润为550元．9．设变量x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤a ，x ＋y ≥8，x ≥6，且不等式x ＋2y ≤14恒成立，则实数a 的取值范围是__________.答案 [8，10]解析 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，显然a ≥8，否则可行域无意义． 由图可知x ＋2y 在点(6，a －6)处取得最大值2a －6，由2a －6≤14得，a ≤10.10．(2014·课标全国Ⅰ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥a ，x －y ≤－1，且z ＝x ＋ay 的最小值为7，则a=________.答案 3解析 当a ＝－5时，作出不等式组表示的可行域，如图(1)(阴影部分)．由⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＝－1，x ＋y ＝－5得交点A (－3，－2)， 则目标函数z ＝x －5y 过A 点时取得最大值．z max ＝－3－5×(－2)＝7，不满足题意，排除A ，C 选项． 当a ＝3时，作出不等式组表示的可行域，如图(2)(阴影部分)． 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝－1，x ＋y ＝3得交点B (1,2)，则目标函数z ＝x ＋3y 过B 点时取得最小值． z min ＝1＋3×2＝7，满足题意．11．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3≤0，x ＋3y －3≥0，y －1≤0，若目标函数z ＝ax ＋y (其中a >0)仅在点(3,0)处取得最大值，则a 的取值范围是__________．答案 ⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 解析 画出x 、y 满足约束条件的可行域如图所示，要使目标函数z ＝ax ＋y 仅在点(3,0)处取得最大值，则直线y ＝－ax ＋z 的斜率应小于直线x ＋2y －3＝0的斜率，即－a <－12，∴a >12.12．若函数y ＝log 2x 的图象上存在点(x ，y )，满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，2x －y ＋2≥0，y ≥m ，则实数m 的最大值为________．答案 1解析 如图，作出函数的可行域，当函数y ＝log 2x 过点(2,1)时，实数m 有最大值1.能力提升训练13．一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4吨，硝酸盐18吨；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1吨，硝酸盐15吨．现库存磷酸盐10吨，硝酸盐66吨，在此基础上生产这两种混合肥料．如果生产1车皮甲种肥料产生的利润为10 000元，生产1车皮乙种肥料产生的利润为5 000元，那么适当安排生产，可产生的最大利润是________元．答案 30 000解析 设生产甲种肥料x 车皮，生产乙种肥料y 车皮， 则z ＝10 000x ＋5 000y ， ⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋y ≤10，18x ＋15y ≤66，x ≥0，y ≥0，画出图形可知，目标函数在D (2,2)处有最大值， 且z max ＝10 000×2＋5 000×2＝30 000(元)．。
高考数学二轮教师用书：第六章第3节 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 Word版含解析
第3节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题1．二元一次不等式(组)表示的平面区域(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域(半平面)不含边界直线．不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域(半平面)包括边界直线．(2)对于直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，使得Ax＋By＋C的值符号相同，也就是位于同一半平面内的点，其坐标适合同一个不等式Ax＋By＋C>0；而位于另一个半平面内的点，其坐标适合另一个不等式Ax＋By＋C<0.(3)由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的公共部分．2．线性规划的有关概念名称意义线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组，是对x，y的约束条件目标函数关于x，y的解析式线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x，y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数达到最大值或最小值的可行解线性规划问题求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题1.二元一次不等式表示的平面区域2.点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)位于直线Ax＋By＋C＝0的两侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)<0；位于直线Ax＋By＋C＝0同侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)>0.[思考辨析]判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．(1)不等式Ax＋By＋C＞0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方．()(2)点(x1，y1)，(x2，y2)在直线Ax＋By＋C＝0同侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)＞0，异侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)＜0.()(3)第二、四象限表示的平面区域可以用不等式xy＜0表示．()(4)最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解．()(5)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上．()(6)目标函数z＝ax＋by(b≠0)中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距．()答案：(1)×(2)√(3)√(4)√(5)√(6)×[小题查验]1．下列各点中，不在x＋y－1≤0表示的平面区域内的是()A．(0,0)B．(－1,1)C．(－1,3) D．(2，－3)解析：C[把各点的坐标代入可得(－1,3)不适合，故选C.]2．(教材改编)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x－3y＋6≥0x－y＋2＜0表示的平面区域是()答案：B3．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1x ＋y －4≤0kx －y ≤0，表示面积为1的直角三角形区域，则k 的值为( )A ．－2B ．－1C ．0D ．1解析：D [注意到直线kx －y ＝0恒过原点，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，结合题意得直线kx －y ＝0与直线x ＋y －4＝0垂直时满足题意，于是有k ×(－1)＝－1，由此解得k ＝1，选D.]4．若点(1,3)和(－4，－2)在直线2x ＋y ＋m ＝0的两侧，则m 的取值范围是 ________ . 解析：由题意可得(2×1＋3＋m )[2×(－4)－2＋m ]<0，即(m ＋5)(m －10)<0，∴－5<m <10. 答案：－5<m <105．(·全国Ⅱ卷)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －6≥0，x ＋y －3≤0，y －2≤0，则z ＝3x －y 的最大值是________ .解析：画出线性区域如图，由z ＝3x －y ，知y ＝3x －z ，平移直线y ＝3x ，过点(3,0)时，z 最大，即z max ＝3×3－0＝9. 答案：9考点一 二元一次不等式(组)表示的平面区域(自主练透)[题组集训]1．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域的面积等于( )A.32 B.23 C.43D.34解析：C [平面区域如图所示．解⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝4，3x ＋y ＝4得A (1,1) .易得B (0,4)，C ⎝⎛⎭⎫0，43，|BC |＝4－43＝83.∴S △ABC ＝12×83×1＝43.]2．若满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥a 的整点(x ，y )恰有9个，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则整数a 的值为( )A ．－3B ．－2C ．－1D ．0解析：C [不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分．当a ＝0时，只有4个整点(1,1)，(0,0)，(1,0)，(2,0)；当a ＝－1时，正好增加(－1，－1)，(0，－1)，(1，－1)，(2，－1)，(3，－1)共5个整点，故选C.]3．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x ＋2y －2≥0，x －y ＋2m ≥0表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则m 的值为( )A ．－3B ．1 C.43D ．3解析：B [如图，要使不等式组表示的平面区域为三角形，则－2m ＜2，则m ＞－1，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，x －y ＋2m ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－m ，y ＝1＋m ，即A (1－m,1＋m )． 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －2＝0，x －y ＋2m ＝0，解得⎩⎨⎧x ＝23－43m ，y ＝23＋23m ，即B ⎝⎛⎭⎫23－43m ，23＋23m ，所围成的区域为△ABC ，则S △ABC ＝S △ADC －S △BDC ＝12(2＋2m )(1＋m )－12(2＋2m )·23(1＋m )＝13(1＋m )2＝43， 解得m ＝－3(舍去)或m ＝1.故选B.]4．如图阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示为 ________ .解析：两直线方程分别为x －2y ＋2＝0与x ＋y －1＝0. 由(0,0)点在直线x －2y ＋2＝0右下方可知x －2y ＋2≥0， 又(0,0)点在直线x ＋y －1＝0左下方可知x ＋y －1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≥0为所表示的可行域． 答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≥0(1)确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法是：“直线定界，特殊点定域”，即先作直线，再取特殊点并代入不等式组．若满足不等式组，则不等式(组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域；否则就对应于特殊点异侧的平面区域．(2)当不等式中带等号时，边界为实线，不带等号时，边界应画为虚线，特殊点常取原点． (3)求平面区域的面积，要先画出不等式(组)表示的平面区域，然后根据平面区域的形状求面积，必要时分割区域为特殊图形求解．考点二 求线性目标函数的最值(多维探究)直观想象——线性规划问题中的核心素养直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用图形理解和解决数学问题的过程．主要包括：借助空间认识事物的位置关系、形态变化与运动规律；利用图形描述、分析数学问题；探索解决问题的思路．求线性目标函数的最值问题达成直观想象的数学素养．[命题角度1] 求线性目标函数的最值1．(·全国Ⅰ卷)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≤3，x －y ≥1，y ≥0，则z ＝x ＋y 的最大值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：D [如图，目标函数z ＝x ＋y 经过A (3,0)时最大，故z max ＝3＋0＝3.故选D.]2．(·全国Ⅲ卷)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －6≤0，x ≥0，y ≥0，则z ＝x －y 的取值范围是( )A ．[－3,0]B ．[－3,2]C ．[0,2]D ．[0,3]解析：B [不等式组表示的可行域如图所示，结合目标函数的几何意义可得函数在点A (0,3)处取得最小值z ＝0－3＝－3.在点B (2,0)处取得最大值z ＝2－0＝2.故选B.]3．(·全国Ⅰ卷)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －2≤0，x －y ＋1≥0，y ≤0，则z ＝3x ＋2y 的最大值为________ .解析：画出线性区域如图中阴影部分，z ＝3x ＋2y ，可变形为y ＝－32x ＋z2，由目标函数可知，直线y ＝－32x ＋z2.经过点A (2,0)时，z 取得最大值，∴z max ＝3×2＋2×0＝6.答案：6求截距型目标函数z ＝ax ＋by 的最值，常将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式y ＝－ab x＋z b ，通过求直线的截距zb 的最值间接求出z 的最值．一般步骤为：一画二移三求．其关键是求出最优解，从而得到目标函数的最值．[命题角度2] 求非线性目标的最值 4．(·山东卷)若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0，则x 2＋y 2的最大值是( )A ．4B ．9C ．10D ．12解析：C [作出不等式组所表示的平面区域，如图(阴影部分)所示，x 2＋y 2表示平面区域内的点到原点的距离的平方，由图易知平面区域内的点A (3，－1)到原点的距离最大．所以x 2＋y 2的最大值为32＋(－1)2＝10.]5．(·全国Ⅰ卷)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －y ≤0，x ＋y －4≤0，则yx的最大值为 ________ .解析：作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，yx 是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点A (1,3)与原点连线的斜率最大，故yx的最大值为3.答案：3与二元一次不等式(组)表示的平面区域有关的非线性目标函数的最值问题的求解一般要结合给定代数式的几何意义来完成．常见代数式的几何意义：(1)x 2＋y 2表示点(x ，y )与原点(0,0)的距离；(2)(x －a )2＋(y －b )2表示点(x ，y )与点(a ，b )之间的距离；(3)|Ax ＋By ＋C |A 2＋B 2表示点(x ，y )到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离；(4)yx 表示点(x ，y )与原点(0,0)连线的斜率； (5)y －b x －a 表示点(x ，y )与点(a ，b )连线的斜率． [命题角度3] 求线性规划中的参数6．(全国Ⅰ卷)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥a ，x －y ≤－1，且z ＝x ＋ay 的最小值为7，则a 等于( )A ．－5B ．3C ．－5或3D ．5或－3解析：B [由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝ax －y ＝－1得⎩⎪⎨⎪⎧x＝a －12y ＝a ＋12，将⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12，a ＋12，代入z ＝x ＋ay 有7＝a －12＋a ·a ＋12，得a ＝3或a ＝－5， 当a ＝－5时，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥－5x －y ≤－1，表示的平面区域如图．z ＝x －5y,5y ＝x －z ，y ＝15x －z5，画直线y ＝15x 向上平行移动，－z5越来越大，z 越来越小，但没有最小值，舍去，a ＝3合题意．故选B.]求参数的值或范围：参数的位置可能在目标函数中，也可能在约束条件中．求解步骤为：①注意对参数取值的讨论，将各种情况下的可行域画出来；②在符合题意的可行域里，寻求最优解．考点三 实际生活中的线性规划问题(师生共研)[典例] (·全国Ⅰ卷)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时，生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为 ________ 元．[解析] 设生产A 产品x 件，B 产品y 件，根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件，得线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ≥0，x ∈N *，y ≥0，y ∈N *，目标函数z ＝2 100x ＋900y .作出可行域为图中的阴影部分(包括边界)内的整数点，图中阴影四边形的顶点坐标分别为(60,100)，(0,200)，(0,0)，(90,0)，在(60,100)处取得最大值，z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)．[答案] 216 000解线性规划应用问题的一般步骤(1)分析题意，设出未知量； (2)列出线性约束条件和目标函数； (3)作出可行域并利用数形结合求解； (4)作答． [跟踪训练](·陕西卷)某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )A.12万元 B ．16万元 C ．17万元D ．18万元解析：D [设每天生产甲、乙产品分别为x 吨、y 吨，每天所获利润为z 万元，则有⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0，目标函数z ＝3x ＋4y ，线性约束条件表示的可行域如图阴影部分所示：可得目标函数在点A 处取到最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝8，3x ＋2y ＝12，得A (2,3)．则z max ＝3×2＋4×3＝18(万元)．]1．设A ＝{(x ，y )|x ，y,1－x －y 是三角形的三边长}，则A 所表示的平面区域(不含边界的阴影部分)是( )解析：A[由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＞1－x －y ，x ＋(1－x －y )＞y ，y ＋(1－x －y )＞x ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＞12，y ＜12，x ＜12.]2．(·西安市模拟)已知O 是坐标原点及点A (2,1)，点M(x ，y )是平面区域⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x x ＋y ≤1y ≥－1，内的一个动点，则OA →·OM →的最大值为( )A ．3 B.32 C ．－3D ．－4解析：A [设z ＝OA →·OM →，则z ＝2x ＋y ，即y ＝－2x ＋z ，平移直线y ＝－2x ＋z ，由图象可知当直线y ＝－2x ＋z 经过⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－1x ＋y ＝1的交点A (2，－1)时，直线y ＝－2x ＋z 的截距最大，此时z 也最大， 此时z max ＝2×2－1＝3.]3．(·天津市模拟)已知x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0x ＋y －1≤03x －y －3≤0，则目标函数z ＝2x －y ＋3的最小值为( )A ．1B ．2C ．4D ．5解析：B [由约束条件作出可行域如图，设可行域内一点(x ，y )，由图可知，直线z ＝2x －y ＋3经过D 点时取到最大值，经过C 点时取到最小值，联立⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0x ＋y －1＝0，解得C (0,1)，∴z 的最小值为－1＋3＝2.]4．(·德州市一模)已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤－x ＋2y ≤kx ＋1y ≥0所表示的平面区域为面积等于94的三角形，则实数k 的值为( )A ．1B ．－2C ．1或－2D ．－29解析：A[∵不等式组⎩⎨⎧y ≤－x ＋2y ≤kx ＋1y ≥0所表示的平面区域为面积等于94的三角形，如图：平面为三角形，且过点(2,0)，∵y ＝kx ＋1，与x 轴的交点为⎝⎛⎭⎫－1k ，0， y ＝kx ＋1与y ＝－x ＋2的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋1，2k ＋1k ＋1， 三角形的面积为：12×⎝⎛⎭⎫2＋1k ×2k ＋1k ＋1＝94，解得k ＝1.]5．(·厦门市一模)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤12x ＋y ≥－1x －y ≤0，则z ＝|x ＋3y |的最大值是()A.13 B ．1 C.43D ．2解析：D[画出x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤12x ＋y ≥－1x －y ≤0表示的平面区域，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0x ＋2y ＝1解得B ⎝⎛⎭⎫13，13， 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ＝12x ＋y ＝－1解得A (－1,1)， 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝02x ＋y ＝－1解得C ⎝⎛⎭⎫－13，－13. 设目标函数为z ′＝x ＋3y ，作出目标函数对应的直线，直线过C ⎝⎛⎭⎫－13，－13时，直线的纵截距最小，z ′最小，最小值为－43；当直线过A (－1,1)时，直线的纵截距最大，z ′最大，最大值为2；∴目标函数z ＝|x ＋3y |的取值范围是[0,2]，最大值为2.]6．(·泉州市模拟)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≤2x －y ＋1≤0x ＋2y －2≥0，则z ＝x 2＋y 2的最小值为 _____ .解析：不等式组⎩⎨⎧x ≤2x －y ＋1≤0x ＋2y －2≥0表示的平面区域如图所示，则z ＝x 2＋y 2的几何意义为区域内的点到原点的距离的平方， 由图象知，OA 的距离最小，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0x ＋2y －2＝0，解得A (0,1)， 所以|OA |2＝1，所以z ＝x 2＋y 2的最小值为1. 答案：17．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0ax ＋y －2≤0y ≥0，表示的平面区域的面积为3，则实数a 的值是________ .解析：作出可行域，如图中阴影部分所示，区域面积 S ＝12×⎝⎛⎭⎫2a ＋2×2＝3，解得a ＝2.答案：28．(·聊城市一模)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0x －2y ≤0x ＋2y ≤0，则z ＝2x ⎝⎛⎭⎫116y的最大值为________ .解析：画出约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0x －2y ≤0x ＋2y ≤0表示的平面区域，如图所示；又z ＝2x ⎝⎛⎭⎫116y＝2x ·2－4y＝2x －4y ， 设t ＝x －4y ，则目标函数t ＝x －4y 过点B 时，取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0x －2y ＝0，得B (－2，－1)； ∴z 的最大值为2－2－4×(－1)＝4.答案：49．(·杭州市高三模拟)若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0x ≤1x －2y ≥0.求：(1)x 的取值范围； (2)|x |＋|y |的取值范围． 解：(1)由约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≥0x ≤1x －2y ≥0作出可行域如图，由图可知，0≤x ≤1. (2)当x ≥0，y ≥0时，z ＝|x |＋|y |＝x ＋y 过⎝⎛⎭⎫1，12时有最大值为32， 过O (0,0)时有最小值0；当x ≥0，y ≤0时，z ＝|x |＋|y |＝x －y 过(1，－1)时有最大值为2， 过O (0,0)时有最小值0.所以|x |＋|y |的取值范围是[0,2]． 10．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2.(1)求目标函数z ＝12x －y ＋12的最值；(2)若目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，求a 的取值范围．解：(1)作出可行域如图，可求得A (3,4)，B (0,1)，C (1,0)．平移初始直线12x －y ＋12＝0，过A (3,4)时z 取最小值－2，过C (1,0)时z 取最大值1.所以z 的最大值为1，最小值为－2.(2)直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1<－a2<2，解得－4<a <2.故a 的取值范围是(－4,2)．。
高考数学 第六章 第三节 二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题课件 文
[以题试法 1] 解析：(1)不等式组所表示 的平面区域如图中阴影部分，当 a＝0 时， 只有 4 个整点(1,1)，(0,0)，(1,0)，(2,0)； 当 a＝－1 时，正好增加(－1，－1)，(0， －1)，(1，－1)，(2，－1)，(3，－1)5 个整点，故选 C.
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(2)依题意得，OA＋OM ＝(x＋1，y)，|OA＋
OM |＝ x＋12＋y2可视为点(x，y)与点(－1,0)
间的距离，在坐标平面内画出题中的不等式
组表示的平面区域，结合图形可知，在该平面区域内的点中，
由点(－1,0)向直线 x＋y＝2 引垂线的垂足位于该平面区域
内，且与点(－1,0)的距离最小，因此|OA＋OM |的最小值是
x≥0， y≥0， 0.5x＋0.7y≥1.9， x＋0.5y≤2， 目标函数为 z＝3x＋6y，画出不等式组表示的平面区域如图所 示当目标函数经过(1,2)点时目标函数取最小值，最小值为 zmin ＝3×1＋6×2＝15. 答案：15
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高分障障碍要破除 [针对训练 1] 选 D 由题意知，直线 x＋by＋c＝0 经过直线 2x＋y＝7 和直线 x＋y＝4 的交点，经过直线 2x＋y＝1 和直线 x＝1 的交点，即经过点(3,1)和点(1，－1)，所以31＋－bb＋＋cc＝＝00，， 解得 b＝－1，c＝－2.
(2)不等式组所表示的平面区域是如图所示的 △ABC，且 A(－2,2)，B(a，a＋4)，C(a，－ a)，若 a≤0，则有△ABC 的面积 S△ABC≤4， 故 a＞0，BC 的长为 2a＋4，由面积公式可得 △ABC 的面积 S△ABC＝12(a＋2)·(2a＋4)＝9， 解得 a＝1. 答案：(1)C (2)1
高三总复习数学优质课件 第六章 不等式 第3节 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
解析:如图,由y=ax+z知z的几何意义是直线在y轴上的截距,故当a>0时,要
使z=y-ax取得最大值的最优解不唯一,则a=2;当a<0时,要使z=y-ax取得最
大值的最优解不唯一,则a=-1.故选D.
角度三
可行域中含有参数的最值问题
+ ≥ ,
[例 3] 变量 x,y 满足约束条件 - + ≥ ,若 z=2x-y 的最大值为 2,则
(2)在符合题意的可行域里,寻求最优解.
≥ ,
[对点训练 3] 当 x,y 满足约束条件 ≤ ,
(k 为负常数)时,能使
+ + ≤
z=x+3y 的最大值为 12,试求实数 k 的值.
解:在平面直角坐标系中画出不等式组所表示的平面区域
(如图所示).
当直线 y=- x+ z 经过区域中的点 A 时,截距最大.由
(2)对于直线Ax+By+C=0同一侧的所有点,把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所
得的符号都 相同 ,所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0,y0)作为
测试点,由Ax0+By0+C的 符号 即可断定Ax+By+C>0表示的是直线Ax+By+C=0
哪一侧的平面区域.
2.线性规划相关概念
名称
题组过关
+ ≥ ,
1.不等式组 - ≤ , 所围成的平面区域的面积为(
- ≥
(A)3
(B)6
(C)6
(D)3
)
解析:不等式组表示的平面区域为图中 Rt△ABC,易求 B(4,4),A(1,1),
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【全程复习方略】（山东专用）2014版高考数学 第六章 第三节 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题课时提升作业 理 新人教A 版一、选择题1.不等式2x-y ≥0表示的平面区域是( )2.若不等式Ax+By+5<0表示的平面区域不包括点(2,4)，且k=A+2B ，则k 的取值范围是( )(A)k ≥52-(B)k ≤52- (C)k>52-(D)k<52-3.若x ，y 满足约束条件y x x y 1y 1≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，，，则目标函数z=2x+y 的最大值是( )(A)-3(B)32(C)2 (D)34.若不等式组x y 20x 5y 100x y 80-+≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩，，所表示的平面区域被直线y=kx+2分为面积相等的两部分，则k 的值为( )(A)23(B)13(C)12(D)25.(2012·山东高考)已知变量x,y 满足约束条件x 2y 22x y 44x y 1+≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩，，，则目标函数z=3x-y 的取值范围是( )(A)［-32,6］ (B)［-32,-1］ (C)［-1,6］(D)［-6,32］ 6.已知x ，y 满足条件7x 5y 230x 7y 1104x y 100--≤⎧⎪+-≤⎨⎪++≥⎩，，，则y 7x 4++的取值范围是( )(A)［13,9］ (B)(-∞,13)∪(9,+∞) (C)(0,9)(D)［-9,-13］7.设OM=(1，12)，ON=(0，1)，O为坐标原点，动点P(x,y)满足0≤OP OM⋅≤1，0≤OP ON⋅≤1,则z=y-x的最大值是( )(A)32(B)1 (C)-1 (D)-28.(2013·西安模拟)某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重为10吨的甲型卡车和7辆载重为6吨的乙型卡车.某天需运往A地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元.该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z=( )(A)4 650元(B)4 700元(C)4 900元(D)5 000元9.若实数x,y满足2x y20,y3,3x4y30+-≥⎧⎪≤⎨⎪--≤⎩，则x2-2xy+y2的取值范围是( )(A)［0,4］(B)［0,494］(C)［4,494］(D)［0,72］10.(能力挑战题)若x，y满足约束条件x y1x y12x y2+≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，，，且目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为7，则34a b+的最小值为( )(A)14 (B)7 (C)18 (D)13二、填空题11.(2013·山东实验中学模拟)设x,y满足条件x y3,x y1,2x y 3.+≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩若目标函数x yza b=+(a＞0,b＞0)的最大值为10，则5a+4b的最小值为________.12.(2012·新课标全国卷)设x,y满足约束条件x y1x y3x0y0-≥-⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，，，，则z=x-2y的取值范围为______.13.(2013·本溪模拟)若x,y满足|x-1|+|y-1|≤1,则x2+y2+4x的最小值为______.14．(2012·陕西高考)设函数f(x)=lnx, x02x1, x0>⎧⎨--≤⎩,D是由x轴和曲线y=f(x)及该曲线在点(1,0)处的切线所围成的封闭区域，则z=x-2y在D上的最大值为______.三、解答题15.(能力挑战题)某公司计划2014年在A，B两个电视台做总时间不超过300分钟的广告,广告总费用不超过9万元.A，B两个电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟,假定A，B两个电视台为该公司所做的每分钟广告,能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元.问该公司如何分配在两个电视台做广告的时间,才能使公司的收益最大？最大收益是多少万元？ 答案解析1.【解析】选A.取测试点(1,0)排除B ，D.又边界应为实线,故排除C.2.【解析】选A.由于不等式Ax+By+5<0表示的平面区域不包括点(2,4)，所以2A+4B+5≥0，于是A+2B ≥-52，即k ≥-52. 3.【解析】选D.画出可行域，即可求出最优解.4.【解析】选C.画出不等式组表示的平面区域(如图)，可求得A(0,2),B(3,5),C(5,3)，由于直线y=kx+2将区域分为面积相等的两部分，且直线也经过A 点，所以D 是BC 的中点，于是D(4,4)，因此k=421402-=-.5.【解析】选A.画出约束条件表示的可行域，如图，由目标函数z=3x-y得直线y=3x-z ，当直线平移至点A(2,0)时，目标函数取得最大值为6，当直线平移至点B(12,3)时，目标函数取得最小值为-32.所以目标函数z=3x-y 的取值范围是［-32,6］.6.【解析】选A.画出不等式组表示的平面区域(如图)，其中A(4，1)，B(-1，-6)，C(-3，2)．y 7x 4++表示区域内的点与点(-4,-7)连线的斜率.由图可知，连线与直线BD 重合时，倾斜角最小且为锐角；连线与直线CD 重合时，倾斜角最大且为锐角.k BD =13,k CD =9，所以y 7x 4++的取值范围为［13,9］.7.【解析】选A.依题意得10x y 120y 1⎧≤+≤⎪⎨⎪≤≤⎩，，画出可行域，可知当直线z=y-x 经过点(-12,1)时，z 取得最大值，最大值为z=1-(-12)=32. 8.【解析】选C.设派用甲型卡车x 辆，乙型卡车y 辆，获得的利润为m 元，m=450x+350y ，由题意，x,y满足关系式x y 12,2x y 19,10x 6y 72,0x 8,x N*,0y 7,x N*,+≤⎧⎪+≤⎪⎪+≥⎨⎪≤≤∈⎪≤≤∈⎪⎩作出相应的平面区域，m=450x+350y=50(9x+7y),在由x y 12,2x y 19+=⎧⎨+=⎩确定的交点(7,5)处取得最大值4 900元.9.【思路点拨】将x 2-2xy+y 2变形为(x-y)2，只需求出x-y 的取值范围即可得到(x-y)2的取值范围. 【解析】选B.画出可行域(如图)，x 2-2xy+y 2=(x-y)2,令z=x-y ，则y=x-z ，可知当直线y=x-z 经过点M(-12,3)时z 取最小值z min =-72；当直线y=x-z 经过点P(5,3)时z 取最大值z max =2，即-72≤z=x-y ≤2，所以0≤x 2-2xy+y 2≤494.10.【思路点拨】画出可行域，对目标函数分析得到最优解，从而根据已知条件代入得到a,b 满足的条件，然后利用“1的代换”方法，使用基本不等式求得最小值.【解析】选B.画出可行域如图所示，由图形可知当直线经过x-y=-1与2x-y=2的交点N(3,4)时，目标函数取得最大值，即3a+4b=7，于是34a b+ =134(3a 4b)()7a b++ =112b 12a (25)7a b ++≥1(257+=7， 即34a b+的最小值为7. 【变式备选】函数f(x)=x 3+bx 2+cx+d 在区间［-2,2］上是减函数，则b+c 的最大值为________.【解析】由题意知f ′(x)=3x 2+2bx+c 在区间［-2,2］上满足f ′(x)≤0恒成立，即()()f 20f 20'≤⎧⎪⎨'-≤⎪⎩ ⇒4b c 1204b c 120++≤⎧⎨-++≤⎩，，此问题相当于在约束条件4b c 1204b c 120++≤⎧⎨--≥⎩，下，求目标函数z=b+c 的最大值，由于4b c 120,4b c 120++=⎧⎨--=⎩⇒M(0,-12)，如图可知，当直线l ：b+c=z 过点M 时，z 最大，所以过M 点时值最大为-12. 答案:-1211.【解析】画出不等式组表示的平面区域知，当目标函数表示的直线经过点(4，5)时，z 最大，故4510,a b+= ∴()145125a 16b 15a 4b 5a 4b ()4()42548,10a b 10b a 10+=++=++≥+⨯⨯⨯= ∴5a+4b 的最小值为8. 答案:812.【解析】作出可行域(如图阴影部分)，作直线x-2y=0，并向左上、右下平移，过点A 时，z=x-2y 取得最大值，过点B 时，z=x-2y 取最小值.由x y 10x y 30-+=⎧⎨+-=⎩，，得B(1,2)，由y 0x y 30=⎧⎨+-=⎩，，得A(3,0).所以z max =3-2×0=3,z min =1-2×2=-3，故z 的取值范围是［-3,3］. 答案:［-3,3］13.【思路点拨】将已知条件中的绝对值不等式转化为四个不等式组，画出相应的平面区域，将它们合并就是原不等式对应的平面区域，然后再借助距离模型求最小值.【解析】不等式|x-1|+|y-1|≤1可化为x 1y 1x y 3≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，，或x 1y 1x y 1≥⎧⎪<⎨⎪-≤⎩，，或x 1y 1x y 1<⎧⎪≥⎨⎪-≥-⎩，，或x 1y 1x y 1<⎧⎪<⎨⎪+≥⎩，，，画出其对应的可行域(如图).而x 2+y 2+4x=24,-P(x,y)与点A(-2，0)之间的距离，由图形可知，当P(x,y)在M(0，1)x 2+y 2+4x的最小值为1. 答案:114.【解析】当x>0时，f(x)=ln x ，所以f ′(x)=1x ，所以k=1，该曲线在点(1,0)处的切线方程是y=x-1，所以区域D 是一个三角形，三个顶点坐标分别是(-12,0)，(1,0)和(0,-1)，当直线z=x-2y 过点(0,-1)时，z 的值最大为2.答案:215.【思路点拨】设公司在A 和B 做广告的时间分别为x 分钟和y 分钟,由题意列出x,y 的约束条件和目标函数,然后利用线性规划的知识求解.【解析】设公司在A 和B 做广告的时间分别为x 分钟和y 分钟,总收益为z 元,由题意得x y 300500x 200y 90 000x 0,y 0+≤⎧⎪+≤⎨⎪≥≥⎩，，，目标函数z=3 000x+2 000y.二元一次不等式组等价于x y 3005x 2y 900x 0,y 0+≤⎧⎪+≤⎨⎪≥≥⎩，，，作出二元一次不等式组所表示的平面区域,即可行域, 如图阴影部分.作直线l :3 000x+2 000y=0,即3x+2y=0,平移直线l ,从图中可知,当直线l 过M 点时,目标函数取得最大值. 联立x y 3005x 2y 900+=⎧⎨+=⎩，，解得x 100y 200.=⎧⎨=⎩，∴点M 的坐标为(100,200),∴z max =3 000×100+2 000×200=700 000，即该公司在A 电视台做100分钟广告,在B 电视台做200分钟广告,公司的收益最大,最大收益是70万元.【方法技巧】常见的线性规划应用题的类型(1)给定一定量的人力、物力资源,问怎样运用这些资源,使完成的任务量最大,收益最大. (2)给定一项任务,问怎样统筹安排,使完成这项任务耗费的人力、物力资源最小.。