高考自主招生第2讲 均值、柯西不等式及其应用 教案
2.2.4 高中必修一数学教案《均值不等式及其应用》
高中必修一数学教案《均值不等式及其应用》教材分析本节课的内容是通过情境引入进行数学实验猜想，构造数学模型，得到均值不等式；并通过在学习算术平均数与几何平均数的定义的基础上，理解均值不等式的几何解释；与此同时，在推导论证的基础上，推广公式，并学会应用。
均值不等式是本章的核心，对于不等式的证明及利用均值不等式求最值等应用问题都起到了工具性的作用，有利于学生对后续不等式的证明及前面函数的最值、值域的进一步拓展与研究。
学情分析1、从学生知识层面看学生对不等式的概念和性质有了感性的认识，在探究学习和应用实习的过程中，学生会解决最简单的关于不等式的问题。
2、从学生素质层面看大部分学生基础较好，学生的理解能力、运算能力、思维能力等方面尚可，学生有学好数学的自信心，有一定的学习积极性。
教学目标1、从情景中发现问题，实验中分析问题，设计中解决问题、总结问题，论证后延拓问题，帮助学生深刻理解均值不等式，明确均值不等式的使用条件，能用均值不等式解决简单的最值问题。
2、通过情境提出问题，培养学生主动探究新知的习惯；引导学生通过问题设计，模型转化，类比猜想，发现定理，体验知识与规律的形成过程；通过模型对比，多个角度、多种方法求解，拓宽学生的思路，优化学生的思维方式，提高学生综合创新与创造能力。
3、通过设置问题与解决，帮助学生理解生活问题数学化，注重运用数学解决生活中的实际问题，有利于数学生活化、大众化；同时通过学生自身的探索研究，领略获取新知的喜悦。
教学重点用均值不等式求解最值问题的思路和方法。
教学难点合理应用均值不等式。
教学方法讲授法，讨论法，练习法教学过程一、问题导入称为a，b的算术平均值；给定两个正数a，b，数a+b2数√ab称为a，b的几何平均值。
两个数的算术平均值，实质上是这两个数在数轴上对应的点的中点坐标，那么几何平均值有什么几何意义呢？两个数的算术平均值和几何平均值之间有什么相对大小关系呢？二、探究新知1、尝试与发现（1）假设一个矩形的长和宽分别为a和b，求与这个矩形周长相等的正方形的边长，以及与这个矩形面积相等的正方形的边长，并比较这两个边长的大小；（2）如下表所示，再任意取几组正数，算出它们的算术平均值和几何平均值，猜测一般情况下两个数的算术平均值与几何平均值的相对大小，并根据（1）说出结论的几何意义。
柯西不等式教案
柯西不等式教案教案标题：柯西不等式教案教案目标：1. 理解柯西不等式的概念和原理。
2. 掌握柯西不等式的应用方法。
3. 培养学生的逻辑思维和问题解决能力。
教学准备：1. 教材：包含柯西不等式相关知识点的数学教材。
2. 教具：黑板、白板、彩色笔、计算器等。
3. 学生资源：学生课本、笔记本、作业本等。
教学过程：步骤一：导入1. 利用黑板或白板，写下柯西不等式的定义和公式。
2. 向学生提问：“你们对柯西不等式有什么了解？它在数学中的应用是什么？”步骤二：概念讲解1. 通过讲解，向学生介绍柯西不等式的概念和原理。
2. 强调柯西不等式的重要性和应用领域，如线性代数、概率论等。
3. 通过示例，帮助学生理解柯西不等式的具体应用。
步骤三：应用演练1. 提供一些简单的柯西不等式应用题，让学生尝试解答。
2. 引导学生分析解题思路和方法，帮助他们逐步掌握解题技巧。
3. 鼓励学生在解题过程中提出问题、讨论和交流，促进他们的思维发展。
步骤四：拓展练习1. 提供一些较难的柯西不等式应用题，挑战学生的解题能力。
2. 引导学生运用柯西不等式解决实际问题，培养他们的问题解决能力。
3. 鼓励学生展示自己的解题思路和方法，促进合作学习和互相学习。
步骤五：总结和归纳1. 通过讨论和总结，概括柯西不等式的关键概念和应用方法。
2. 强调柯西不等式的重要性，鼓励学生在数学学习中灵活应用该不等式。
步骤六：作业布置1. 布置与柯西不等式相关的作业题目，巩固学生的学习成果。
2. 鼓励学生自主学习和探索，提高他们的问题解决能力。
教学反思：根据学生的实际情况和学习进度，教师可以适当调整教学步骤和难度。
在教学过程中，要注重启发学生的思维，激发他们的兴趣，培养他们的数学思维和解决问题的能力。
同时，教师还应根据学生的学习情况进行及时的巩固和复习，以确保他们对柯西不等式的理解和应用能力的提高。
《 2.2.4 均值不等式及其应用》学历案-高中数学人教B版19必修第一册
《2.2.4 均值不等式及其应用》学历案（第一课时）一、学习主题本节学习主题为高中数学课程中的《2.2.4 均值不等式及其应用》。
本节课将围绕均值不等式的定义、性质及其在数学问题中的应用展开，旨在使学生掌握均值不等式的基本概念和基本应用方法，培养学生的数学思维能力和解决实际问题的能力。
二、学习目标1. 知识与技能：（1）理解均值不等式的概念及表达式形式。
（2）掌握均值不等式的基本性质。
（3）能够运用均值不等式解决简单的数学问题。
2. 过程与方法：（1）通过观察和归纳，发现均值不等式的规律。
（2）通过小组合作和交流，共同探讨和解决数学问题。
3. 情感态度与价值观：（1）激发学生对数学的兴趣和热爱。
（2）培养学生合作学习和交流的意识和能力。
（3）使学生认识到数学在日常生活和实际工作中的应用价值。
三、评价任务1. 了解学生对均值不等式概念的理解程度，能否正确表述其含义。
2. 检验学生是否掌握均值不等式的基本性质，能否正确运用这些性质解决数学问题。
3. 评价学生在小组合作和交流中的表现，是否能够积极参与讨论并发表自己的观点。
四、学习过程1. 导入新课：通过生活中的实例引出均值不等式的概念，如平均数、中位数等，让学生感受均值不等式的实际应用。
2. 新课学习：（1）讲解均值不等式的概念及表达式形式，让学生理解其含义。
（2）通过具体例子，让学生感受均值不等式的基本性质。
（3）引导学生通过观察和归纳，发现均值不等式的规律。
3. 课堂活动：组织学生进行小组合作，共同探讨和解决数学问题，让学生相互交流、互相学习。
4. 巩固练习：布置相关练习题，让学生巩固所学知识，并能够灵活运用。
五、检测与作业1. 课堂检测：通过课堂小测验或随堂练习，检测学生对均值不等式概念及基本性质的理解和掌握情况。
2. 课后作业：布置相关作业题，让学生回家后独立完成，巩固所学知识。
作业应包括基础题和拓展题，以满足不同层次学生的需求。
六、学后反思1. 教师反思：教师应对本节课的教学过程进行反思，总结教学中的优点和不足，为今后的教学提供借鉴。
第二讲___三个重要的不等式
《第二讲 三个不重要的不等式》
主编：贾广素
2 2 2 2 2 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x x 1 x 1 x 1 2 1 1 3 3 3 3 3 3 3 3 5 5 3x 3 x 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2
log b a log c b log a c 9 + + )≥ . abc ab bc ca
例 4．设 x1 , x2 , , xn 为正数，求证： 证明： 同理，
x x x x x x2 x3 x n 1 ( 1 ) n ( 2 ) n ( n 1 ) n ( n ) n . x1 x2 xn 1 xn x2 x3 xn x1
i 1 i 1 n i 1 n i 1 j 1 n i 1 j 1
n
n
n
n
n
n
n
1 2 2 ( ai2 b 2 j a j bi 2 ai bi b j a j ) 2 i 1 j 1 i 1 j 1 i 1 j 1
n n n
1 n n 2 2 (ai b j 2ai b j a j bi a 2j bi2 ) 2 i 1 j 1 1 n n (ai b j a j bi )2 0. 2 i 1 j 1
（8）对实数 a, x ，有 x 2 2ax a 2 ;
1 b2 （9）对实数 a, b 及 0 ，有 ab ( 2 a 2 2 ). 2
其中第（3）已在上一讲例 3 中用过. 例 1.（2007 年广西预赛）若点 P（x，y）在直线 x+3y=3 上移动，则函数 f（x，y）= 3 9
i 1
n
高中数学第二章柯西不等式与排序不等式及其应用2-3平均值不等式选学2-4最大值与最小值问题优化的数学模型学
高中数学第二章柯西不等式与排序不等式及其应用2-3平均值不等式选学2-4最大值与最小值问题优化的数学模型学案新人教B版选修4_5[读教材·填要点]1．平均值不等式(1)定理1(平均值不等式)：设a1，a2，…，an为n个正数，则a1＋a2＋…＋an≥ ，n等号成立⇔a1＝a2＝…＝an.①推论1：设a1，a2，…，an为n个正数，且a1a2…an＝1，则a1＋a2＋…＋an≥n.且等号成立⇔a1＝a2＝…＝an＝1.②推论2：设C为常数，且a1，a2，…，an为n个正数；则当a1＋a2＋…＋an＝nC时，a1a2…an≤Cn，且等号成立⇔a1＝a2＝…＝an.(2)定理2：设a1，a2，…，an为n个正数，则na1a2…an≥，等号成立⇔a1＝a2＝…＝an.(3)定理3：设a1，a2，…，an为正数，则a1＋a2＋…＋an≥≥，n等号成立⇔a1＝a2＝…＝an.推论：设a1，a2，…，an为n个正数，则(a1＋a2＋…＋an)(＋＋…＋)≥n2.2．最值问题设D为f(x)的定义域，如果存在x0∈D，使得f(x)≤f(x0)(f(x)≥f(x0))，x∈D，则称f(x0)为f(x)在D上的最大(小)值，x0称为f(x)在D上的最大(小)值点，寻求函数的最大(小)值及最大(小)值问题统称为最值问题．[小问题·大思维]1．利用基本不等式≥求最值的条件是什么？提示：“一正、二定、三相等”，即：(1)各项或各因式为正；(2)和或积为定值；(3)各项或各因式能取得相等的值．2．应用三个正数的算术—几何平均不等式，求最值应注意什么？提示：三个正数的和为定值，积有最大值；积为定值，和有最小值．当且仅当三个正数相等时取得.[例1]求x＋y的最小值．[思路点拨] 本题考查基本不等式的应用，解答本题可灵活使用。
柯西不等式教案
柯西不等式教案
一､教学目标:
1､学问目标:
(1)熟悉二维柯西不等式的两种形式: O 1 代数形式: O2向量形式;
(2)学会二维柯西不等式的两种证明方法: O 1 代数方法: O2向量方法:
(3)明白一般形式的柯西不等式, 并学会应用及探究其证明过程:
2､才能目标:
(1)学会运用柯西不等式解决一些简洁问题:
(2)学会运用柯西不等式证明不等式:
(3) 培育同学学问迁移､自主探究才能:
3､情感､态度､价值观目标:
通过对柯西不等式的学习,使同学感受数学的精妙,提高数学素养, 激发学习爱好;
二､教学重点与难点:
1､教学重点:
(1)二维柯西不等式的两种形式及其证明: 0 1 代数形式: O2向量形式:
(2)探究一般的柯西不等式形式:
2､教学难点:
(1)柯西不等式的证明思路:
(2)运用柯西不等式解决问题: 三､教学方法:探究法､叙述法: 四､教学过程及内容:
五､板书设计。
02 教学设计_ 均值不等式及其应用(第1课时)1
证明:因为ab > 0，所以 ， .根据均值不等式，得
，即 。
当且仅当 ，即a2= b2时，等号成立.因为ab >0，所以等号成立的条件是a = b。
【设计意图】让学生习得均值不等式在证明题中的应用。
三、归纳总结：
1.算术平均值和几何平均值
2.均值不等式（又称基本不等式）以及均值不等式的几何意义
3.用均值不等式解题的格式要求
四、课后作业
1.完成教材P76上“探索与研究”，每位同学将总结出来的规律整理好，下节课交流。
2.教材P76，练习A 1、2；练习B 2、3。
【设计意图】
学好本节内容的预备知识。
（二）学生活动1：
完成教材P72“尝试与发现” ，解决下列问题：
1.算术平均数的几何意义？几何平均值的几何意义？
2.它们的大小关系如何呢？
【设计意图】
从具体事例理解和掌握算术平均值和几何平均值的几何意义以及大小关系。
（三）均值不等式：
1.语言表述:两个正数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值。
所有周长一定的矩形中，正方形的面积最大。
3.【拓展】：请回答教材P73页的“想一想”。
【设计意图】
让学生从多角度来理解和掌握均值不等式。
（五）学生活动2：
师生一起研究教材P73 —“探索与研究”中的问题，可以和你的同桌交流，给出相应的结论。
【设计意图】
让学生看到均值不等式的“美”，感受到数学的几何之美。
2.数学表达:如果a,b都是正数，那么 ，当且仅当a = b时，等号成立。
证明：教材P73页。
式
1.基本不等式中的 还可以是零，其实质是：两个正实数的算术平均值不小于它们的几何平均值。
高三数学自选模块柯西不等式教案
选修4_5 不等式选讲柯西不等式目的要求：理解二维形式柯西不等式及其结构背景，在了解二维形式柯西不等式结构特点基础上，会用二、三维柯西不等式进行简单的证明与求一类函数最值。
重点难点：重点：用二维柯西不等式进行简单的证明与求最值；难点：柯西不等式的结构与应用背景；背景变化下的“正反”灵活应用。
教学方法：观察分析，启发变式，题组练习。
教学流程：复习引入—了解结构--典例分析--变式引申--小结推广--巩固提高。
教学过程：一、复习引入，看清结构在上节初步了解柯西不等式基础上，本节将进一步分析研讨柯西不等式的应用，看到柯西不等式是进一步学习数学或解题的重要工具。
1、复习柯西不等式：给出二维形式定理：（柯西不等式的代数形式）设d c b a ,,,均为实数，则22222)())((bd ac d c b a +≥++，其中等号当且仅当bc ad =时成立。
（1）推广形式：设d c b a ,,,ac bd ≥+；ac bd +；其中等号当且仅当bc ad =时成立。
教师提问：柯西不等式的代数形式中两边不等式结构各有什么特点？ 你能用自己的语言叙述？（2）结构特点：左边是d c b a ,,,字母的“方和积”，右边是字母对应的“积和方”； 柯西不等式的语言叙述：“方和积”不小于“积和方” 应用时是看“方和积”还是“积和方”？依具体问题而定。
二、观察典例，变式应用例1、已知+∈R b a ,，求证：b a ab b a +≥+22； 分析：从题目结论看，没有出现“方和积”，因此，左边要构造出一个“方和积”； ])()[(22a b b a +只有乘以？可得到b a +。
知？=22)()(a b +。
∴ ])()[(22abb a+[22)()(a b +]2)(b a +≥，即：b a a b b a +≥+22。
教师提问：等号何时成立？例2 已知R y x ∈,且0,>b a ，求证：ba y x ab by x a ++≥+⋅2)2(2222分析：原不等式通过“变形、重组”有：222)2()2)(2(y x ab by x a b a +≥+⋅+；即：222)2()2)(2(y x abby x a b a +≥+⋅+，亦：222)2()2)(21(y x by x a b a +≥+⋅+； 而它满足柯西不等式，所以原不等式得证。
人教A版高中数学选修4-5：第二讲 柯西不等式 教学案
第二讲 柯西不等式一、 内容及其解析本节课要学习的内容是柯西不等式的内容及应用，其关键是柯西不等式的应用。
学生已经掌握了一些形式优美而且具有重要应用价值的不等式（称为经典不等式），柯西不等式就是这样的不等式，通过本讲的学习，可以让学生领略这些不等式的数学意义、几何背景、证明方法及其应用，感受数学的美妙，提高数学素养。
学习的重点是柯西不等式的内容及应用，解决重点的关键是认识柯西不等式的内容，并能将相关式子转化成柯西不等式的结构形式。
二、目标及其解析目标定位：1.理解掌握柯西不等式的内容与意义；2.会用柯西不等式证明不等式关系，求相关函数的最值。
目标解析：目标定位1就是指掌握不等式22222()()()a b c d ac bd ++≥+的结构特征与几何意义、向量意义。
目标定位2就是指能将要证不等式转化为柯西不等式的结构，从而能用柯西不等式证明不等式和求函数的最值。
三、教学过程设计问题1.什么是二维形式的柯西不等式？ 设计意图：让学生通过类比方法理解二维形式的柯西不等式的内容与意义，并能利用它证明不等式式、求函数的最值。
师生活动：1.探究：222(,)a b ab a b +≥为实数是我们非常熟悉的不等式，它反映了两个实数的平方和与乘积的大小关系。
现在考虑乘积2222()()(,,,)a b c d a b c d ++为实数，它涉及到4个实数，并且形式上也和平方和有关。
你能类比222(,)a b ab a b +≥为实数的推导过程，研究一下关于它的不等关系吗？2.总结：二维形式的柯西不等式是： 22222()()()a b c d ac bd ≥+++（a,b,c,d 都是实数，当且仅当ad=bc 时，等号成立）3.二维形式的柯西不等式的几何意义是什么？设(,),(,)OM a b ON c d ==，则由OM ON OM ON ⋅≥⋅可得： 2222a b c c dd a b +++≥； 即 22222()()()a b c d ac bd ≥+++ 4.推论：（12222a bc cd d a b +++≥；（22222a b c c d d a b +++≥5.应用：例1.已知,a b 为实数，证明4422332()()()a b a b a b ++≥+ 例2.求函数()51102f x x x =-+-的最大值。
自主招生竞赛柯西不等式【讲师版】
自招竞赛 数学讲义柯西不等式知识定位不等式问题在高考考察的范围内相对比较简单基础，然而自招竞赛中占了很大的比例，而且对于没有系统知识储备与训练的人来说，较难的不等式问题是让人束手无策的。
因而,掌握一些基本不等式及其推论是十分必要的。
本节我们将学习柯西不等式，在各校自招中，柯西不等式作为经典不等式经常需要配合使用来帮助求证（求解），而竞赛中虽然没有直接使用柯西不等式即可证毕的不等式问题，柯西不等式也常常作为一个关键环节在解答中出现。
知识梳理柯西不等式 1. 柯西不等式（此处介绍柯西不等式的证明及记忆方法：二维三维最终推广至n 维的向量方法，数量积<=模的积）对两组实数：n x x x ...,,21和n y y y ...,21，则成立不等式：222112222122221)...()...)(...(n n n n y x y x y x y y y x x x ++≥++++++即222111()n nni ii i i i i a b a b ===⋅≥∑∑∑，“=”成立当且仅当nn y x y x y x === (22)11 2. 柯西不等式常用的变形（1）22222()()(),,,,.a b c d ac bd a b c d R ++≥+∈（二维形式）（2）22122221)...()...(n n x x x x x x n +++≥++（n 为整数）（令y1=y2=...=yn=1） （3）22121)1...11)(...(n x x x x x x nn ≥++++++ （本式显然也可由排序不等式推出）（4）n a a a ...,21均为正数，则nn n n a a a x x x a x a x a x ++++++≥+++...)...( (21221222)2121 （5）参数柯西不等式：对于任意的一组实数1λ，2λ.......n λ均有：()2222211222221122211)1...11()...(...n nn n n n b b b a a a b a b a b a λλλλλλ+++⋅++≤+++例题精讲【试题来源】【题目】设25 , , ,222=++∈z y x z y x R ，试求z y x 22+-的最大值与最小值。
高中数学均值不等式教案
高中数学均值不等式教案
一、教学目标：
1. 了解均值不等式的定义及性质；
2. 掌握均值不等式的应用方法；
3. 进一步提高解题能力。
二、教学重点：
1. 均值不等式的应用；
2. 锻炼解题的能力。
三、教学难点：
1. 熟练掌握均值不等式的条件；
2. 熟练掌握均值不等式的应用方法。
四、教学过程：
1. 导入：通过一道简单的数学题目引入均值不等式的概念，引发学生的兴趣。
2. 学习：讲解均值不等式的定义及性质，并通过例题讲解均值不等式的应用方法。
3. 操练：让学生练习一些相关的习题，巩固所学知识。
4. 拓展：引导学生拓展思维，尝试更加复杂的问题，提高解题能力。
5. 总结：对学生掌握的知识进行总结，强调均值不等式在解题中的重要性。
五、课后作业：
1. 完成相关习题；
2. 拓展练习，提高解题能力。
六、教学反思：
本节课教学内容较为简单，但要求学生掌握均值不等式在解题中的应用方法，需要不断练习和巩固。
在今后的教学中，应该加强对学生解题能力的培养，使他们能够灵活运用所学知识解决问题。
2.1.2 柯西不等式的一般形式及其参数配方法的证明 教学案 3
2.1.2 柯西不等式的一般形式及其参数配方法的证明教学案 3教学目标：1.认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义；2.通过运用这种不等式分析解决一些问题，体会运用经典不等式的一般方法. 教学重点:一般形式柯西不等式的证明思路，运用这个不等式证明不等式.教学难点:应用一般形式柯西不等式证明不等式.教学过程：一、课前回顾(知识链接)定理1：(柯西不等式的代数形式)设d c b a ,,,均为实数，则22222)())((bd ac d c b a +≥++，其中等号当且仅当bc ad =时成立.定理2：(柯西不等式的向量形式)设α，β为平面上的两个向量，则||||||βαβα⋅≥⋅，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反(即两个向量共线)时成立.二、新课学习1、问题探究类似的，从空间向量的几何背景业能得到|α.β|≤|α|| β|.将空间向量的坐标代入，可得到什么样的不等关系？2、发现定理定理4：一般形式的柯西不等式(教师引导学生推导)学生齐读记忆定理记清楚简写形式：211212)(∑∑∑===≥n i i i n i i n i ib a b a 其中等号当且仅当nn a b a b a b ===Λ2211时成立(当0=i a 时，约定0=i b ，=i 1，2，…，n ).三、应用举例：例3 已知a 1，a 2，…， a n 都是实数， 求证：22221221)(1n n a a a a a a n+++≤+++ΛΛ 分析：用n 乘要证的式子两边，能使式子变成明显符合柯西不等式的形式. 例4已知a ，b ，c ，d 是不全相等的实数，证明：a 2 + b 2 + c 2 + d 2 > ab + bc + cd + da (学生用不同的方法证明)的最小值. 求1,32 例5、已知222z y x z y x ++=++四、巩固练习：1．设x ，y ，z 为正实数，且x +y +z =1，求z y x 941++的最小值. 五、课堂小结：本节课你有什么收获？(本节课的知识点、其中一道例题的其他解法、那些知识点有困惑)2．已知a +b +c +d =1，求a 2+b 2+c 2+d 2的最小值.3．已知a ，b ，c 为正实数，且a +2b +3c =9，求c b a ++23的最大值.4．已知x +y +z =52，则m =x 2+2y 2+z 2的最小值是____________.本节课重点掌握三维柯西不等式的运用.六：课后作业：P 41习题3.2 2，3，4，5.选做：1．已知a ，b ，c 为正实数，且a 2+2b 2+3c 2=6，求a +b +c 的最小值.2．已知a ，b ，c 为正实数，且a +2b +c =1，求c b a 111++的最小值.。
高考数学第2节不等式的证明与应用教学案文(含解析)北师大版选修4_5
第二节 不等式的证明与应用[考纲传真] 1.了解柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，并会证明.2.能够利用平均值不等式，柯西不等式求一些特定函数的极值.3.了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法，反证法、放缩法．1．基本不等式定理1：设a ，b ∈R，则a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 定理2：如果a ，b 为正数，则a ＋b2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．定理3：如果a ，b ，c 为正数，则a ＋b ＋c3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a 1，a 2，…，a n 为n 个正数，则a 1＋a 2＋…＋a n n≥na 1a 2…a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立．2．柯西不等式(1)柯西不等式的代数形式：设a ，b ，c ，d 都是实数，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2(当且仅当ad ＝bc 时，等号成立)．(2)柯西不等式的向量形式：设α，β是两个向量，则|α||β|≥|α·β|，当且仅当α或β是零向量，或存在实数k ，使α＝k β(α，β为非零向量)时，等号成立．(3)柯西不等式的三角不等式：设x 1，y 1，x 2，y 2，x 3，y 3∈R，则x 1－x 22＋y 1－y 22＋x 2－x 32＋y 2－y 32≥x 1－x 32＋y 1－y 32.(4)柯西不等式的一般形式：设a 1，a 2，a 3，…，a n ，b 1，b 2，b 3，…，b n 是实数，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2，当且仅当b i ＝0(i ＝1,2，…，n )或存在一个数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1,2，…，n )时，等号成立．3．不等式的证明方法 (1)比较法比较法是证明不等式最基本的方法，可分为求差比较法和求商比较法两种．从所要证明的结论入手向已知条件反推直至达到已知条件为止，这种证法称为分析法，即“执果索因”的证明方法．(3)综合法从已知条件出发，利用不等式的性质(或已经证明过的不等式)，推出了所要证明的结论，即“由因导果”的方法，这种证明不等式的方法称为综合法．(4)放缩法通过缩小(或放大)分式的分母(或分子)，或通过放大(或缩小)被减式(或减式)来证明不等式，这种证明不等式的方法称为放缩法．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)比较法最终要判断式子的符号得出结论．(2)综合法是从原因推导到结果的思维方法，它是从已知条件出发，经过逐步推理，最后达到待证的结论．( )(3)分析法又叫逆推证法或执果索因法，是从待证结论出发，一步一步地寻求结论成立的必要条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实．(4)使用反证法时，“反设”不能作为推理的条件应用． [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×2．(教材改编)不等式：①x 2＋3＞3x ；②a 2＋b 2≥2(a －b －1)；③b a ＋a b≥2，其中恒成立的是( )A ．①③B ．②③C ．①②③D ．①②D [由①得x 2＋3－3x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋34＞0，所以x 2＋3＞3x ；对于②，因为a 2＋b 2－2(a －b－1)＝(a －1)2＋(b ＋1)2≥0，所以不等式成立；对于③，因为当ab ＜0时，b a ＋a b －2＝a －b2ab＜0，即b a ＋ab＜2，故选D ．]3．若a ＝3－2，b ＝6－5，c ＝7－6，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a >b >c B ．a >c >b C ．b >c >aD ．c >a >b A [“分子”有理化得a ＝13＋2，b ＝16＋5，c ＝17＋6，∴a >b >c .]4．已知a ＞0，b ＞0且ln(a ＋b )＝0，则1a ＋1b的最小值是________．4 [由题意得，a ＋b ＝1，a ＞0，b ＞0， ∴1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋b a ＋a b≥2＋2b a ·ab＝4， 当且仅当a ＝b ＝12时等号成立．](1)若ab ＞cd ，则a ＋b ＞c ＋d ；(2)a ＋b ＞c ＋d 是|a －b |＜|c －d |的充要条件． [证明] (1)因为(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ， (c ＋d )2＝c ＋d ＋2cd ， 由题设a ＋b ＝c ＋d ，ab ＞cd ， 得(a ＋b )2＞(c ＋d )2. 因此a ＋b ＞c ＋d .(2)①必要性：若|a －b |＜|c －d |，则(a －b )2＜(c －d )2， 即(a ＋b )2－4ab ＜(c ＋d )2－4cd . 因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab ＞cd . 由(1)，得a ＋b ＞c ＋d .②充分性：若a ＋b ＞c ＋d ，则(a ＋b )2＞(c ＋d )2， 即a ＋b ＋2ab ＞c ＋d ＋2cd . 因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab ＞cd .于是(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab ＜(c ＋d )2－4cd ＝(c －d )2. 因为|a －b |＜|c －d |.综上，a ＋b ＞c ＋d 是|a －b |＜|c －d |的充要条件．设x ≥1，y ≥1，求证：x ＋y ＋xy ≤x ＋y＋xy .[证明] 由于x ≥1，y ≥1， 要证x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y＋xy ，只需证xy (x ＋y )＋1≤y ＋x ＋(xy )2.因为[y ＋x ＋(xy )2]－[xy (x ＋y )＋1]＝[(xy )2－1]－[xy (x ＋y )－(x ＋y )]＝(xy ＋1)(xy －1)－(x ＋y )(xy －1)＝(xy －1)(xy －x －y ＋1)＝(xy －1)(x －1)(y －1)，因为x ≥1，y ≥1，所以(xy －1)(x －1)(y －1)≥0，从而所要证明的不等式成立．【例2】 若a ，b ∈R，求证：|a ＋b |1＋|a ＋b |≤|a |1＋|a |＋|b |1＋|b |.[证明] 当|a ＋b |＝0时，不等式显然成立． 当|a ＋b |≠0时， 由0＜|a ＋b |≤|a |＋|b |⇒1|a ＋b |≥1|a |＋|b |， 所以|a ＋b |1＋|a ＋b |＝11|a ＋b |＋1≤11＋1|a |＋|b |＝|a |＋|b |1＋|a |＋|b |＝|a |1＋|a |＋|b |＋|b |1＋|a |＋|b |≤|a |1＋|a |＋|b |1＋|b |.kk －k ＋；设n 是正整数，求证：2≤n ＋1＋n ＋2＋ (2)＜1.[证明] 由2n ≥n ＋k ＞n (k ＝1,2，…，n )，得 12n ≤1n ＋k ＜1n.当k ＝1时，12n ≤1n ＋1＜1n ；当k ＝2时，12n ≤1n ＋2＜1n ；…当k ＝n 时，12n ≤1n ＋n ＜1n，∴12＝n 2n ≤1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＜n n ＝1. ∴原不等式成立．【例3】 (2017·江苏高考)已知a ，b ，c ，d 为实数，且a 2＋b 2＝4，c 2＋d 2＝16，证明：ac ＋bd ≤8.[证明] 由柯西不等式，得(ac ＋bd )2≤(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)． 因为a 2＋b 2＝4，c 2＋d 2＝16， 所以(ac ＋bd )2≤64， 因此ac ＋bd ≤8.已知大于1的正数x ，y ，z 满足x ＋y ＋z ＝3 3.求证：x ＋2y ＋3z ＋y ＋2z ＋3x＋z 2z ＋2x ＋3y ≥32. [证明] 由柯西不等式及题意得，x 2x ＋2y ＋3z ＋y 2y ＋2z ＋3x ＋z 2z ＋2x ＋3y·[(x ＋2y ＋3z )＋(y ＋2z ＋3x )＋(z ＋2x ＋3y )]≥(x ＋y ＋z )2＝27.又(x ＋2y ＋3z )＋(y ＋2z ＋3x )＋(z ＋2x ＋3y )＝6(x ＋y ＋z )＝183，∴x 2x ＋2y ＋3z ＋y 2y ＋2z ＋3x ＋z 2z ＋2x ＋3y ≥27183＝32， 当且仅当x ＝y ＝z ＝3时，等号成立．1．(2017·全国卷Ⅱ)已知a >0，b >0，a 3＋b 3＝2.证明： (1)(a ＋b )(a 5＋b 5)≥4； (2)a ＋b ≤2.[证明] (1)(a ＋b )(a 5＋b 5)＝a 6＋ab 5＋a 5b ＋b 6＝(a 3＋b 3)2－2a 3b 3＋ab (a 4＋b 4)＝4＋ab (a 2－b 2)2≥4. (2)因为(a ＋b )3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3＝2＋3ab (a ＋b ) ≤2＋a ＋b24(a ＋b )＝2＋a ＋b34，所以(a ＋b )3≤8，因此a ＋b ≤2.2．(2016·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12，M 为不等式f (x )＜2的解集． (1)求M ；(2)证明：当a ，b ∈M 时，|a ＋b |＜|1＋ab |.[解] (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x ≤－12，1，－12＜x ＜12，2x ，x ≥12.当x ≤－12时，由f (x )＜2得－2x ＜2，解得x ＞－1；当－12＜x ＜12时，f (x )＜2；当x ≥12时，由f (x )＜2得2x ＜2，解得x ＜1.所以f (x )＜2的解集M ＝{x |－1＜x ＜1}．(2)证明：由(1)知，当a ，b ∈M 时，－1＜a ＜1，－1＜b ＜1，从而(a ＋b )2－(1＋ab )2＝a 2＋b 2－a 2b 2－1＝(a 2－1)(1－b 2)＜0.因此|a ＋b |＜|1＋ab |.。
2.1.2 柯西不等式的一般形式及其参数配方法的证明 教学案 2
2.1.2 柯西不等式的一般形式及其参数配方法的证明教学案 2教学要求：认识一般形式的柯西不等式，会用函数思想方法证明一般形式的柯西不等式，并应用其解决一些不等式的问题.教学重点：会证明一般形式的柯西不等式，并能应用.教学难点：理解证明中的函数思想.教学过程：一、复习准备：1.练习：2.提问：二维形式的柯西不等式？如何将二维形式的柯西不等式拓广到三维？答案：22222()()()a b c d ac bd ++≥+；2222222()()()a b c d e f ad be cf ++++≥++二、讲授新课：1.教学一般形式的柯西不等式：①提问：由平面向量的柯西不等式||||||αβαβ≤u r u r u r u r g ，如果得到空间向量的柯西不等式及代数形式？②猜想：n 维向量的坐标？n 维向量的柯西不等式及代数形式？结论：设1212,,,,,,,n n a a a b b b R ∈L L ，则222222212121122()()()n n n n a a a b b b a b a b a b +++++≥+++L L讨论：什么时候取等号？(当且仅当1212n na a ab b b ===L 时取等号，假设0i b ≠) 联想：设1122n n B a b a b a b =+++，22212n A a a a =++L ，22212n C b b b =+++L ，则有20B AC -≥，可联想到一些什么？③讨论：如何构造二次函数证明n 维形式的柯西不等式？ (注意分类)要点：令2222121122)2()n n n f x a a a x a b a b a b x =++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+（）（22212()n b b b +++⋅⋅⋅+ ，则2221122()()())0n n f x a x b a x b a x b =++++⋅⋅⋅+≥+（.又222120n a a a ++⋅⋅⋅+>，从而结合二次函数的图像可知，[]22221122122()4()n n n a b a b a b a a a ∆=+++-++L g 22212()n b b b +++L ≤0 即有要证明的结论成立. (注意：分析什么时候等号成立.) ④变式：222212121()n n a a a a a a n++≥++⋅⋅⋅+L . (讨论如何证明) 2. 教学柯西不等式的应用：① 出示例1：已知321x y z ++=，求222x y z ++的最小值.分析：如何变形后构造柯西不等式？ → 板演 → 变式：② 练习：若,,x y z R +∈，且1111x y z ++=，求23y z x ++的最小值. ③ 出示例2：若a >b >c ，求证：c a c b b a -≥-+-411. 要点：21111()()[()()]()(11)4a c a b b c a b b c a b b c-+=-+-+≥+=---- 3.小结：柯西不等式的一般形式及应用；等号成立的条件；根据结构特点构造证明.三、巩固练习：1. 练习：教材P 41 4题；2. 作业：教材P 41 5、6题.。
第02讲+柯西不等式、均值不等式【范端喜】.docx
第二讲 柯西不等式、均值不等式自招重要考点：1、 均值不等式：设12,,,n a a a ，是n 个正实数，记n Q =，12,n n n a a a A G n+++== 12111n nnH a a a =+++ ，则n n n n Q A G H ≥≥≥，其中等号成立的条件是12n a a a === 。
n n n n Q A G H 、、、分别称为平方平均、算术平均、几何平均、调和平均。
2、 柯西不等式：设1212,,,;,,,n n a a a b b b 是2n 个实数，则有()()()222222212121122n n n n a a a b b b a b a b a b ++++++≥+++ ，也可简写为222111n n n i i i i i i i a b a b ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑，其中等号成立的条件是()1,2,,i i a b i n λ== ，λ是一个常数。
3、 柯西不等式的几个推论。
（1） 当121n b b b ==== 时，柯西不等式即为()()22221212n n n a a a a a a +++≥+++ 。
若()1,2,,i a R in +∈= ，则12na a a n+++ ，此即上面提到的平方平均≥算术平均。
（2） 当()11,2,,i i b i n a == ，则()22221222212111n n a a a n a a a ⎛⎫++++++≥ ⎪⎝⎭ 。
（3） 若,i i a b R +∈()1,2,,i n = ，则()2121212n n n a a a b b b b b b ⎛⎫++++++≥ ⎪⎝⎭例1、 证明柯西不等式例2、（04复旦）比较24log 25与25log 26的大小。
答：>例3、（09南大）P 为ABC ∆内一点，它到三边BC CA AB 、、的距离分别为123d d d 、、，S 为ABC ∆的面积。
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第二讲 均值、柯西不等式及其应用 教案【考点简介】1．不等式在自主招生中的考点主要有：各类均值不等式、柯西不等式；构造、凑定、消元、化“1”、放缩等技巧的用法。
2．在复旦大学近三年自主招生试题中，不等式题目占12%，其中绝大多数涉及到不等式的证明；交大（“华约”）试题中，不等式部分通常占10%-15%，其中涉及到一些考纲之外的特殊不等式。
【知识拓展】 1．均值不等式 设123,,,n a a a a 是n 个正实数，记2n n a Q +=，12nn a a aA n+++=，n G =，12111n nn H a a a =+++，则n n n n Q A G H ≥≥≥，其中等号成立的条件是12n a a a ===。
,,,n n n n Q A G H 分别称为平方平均、算术平均、几何平均、调和平均。
2．柯西不等式①柯西不等式的二维形式：若d c b a ,,,都是实数，则22222()()()a b c d ac bd ++≥+，当且仅当bc ad =时，等号成立。
②柯西不等式的一般形式：设123123,,,...,,,,,...,n n a a a a b b b b 是实数，则222112222122221)...()...).(...(n n n n b a b a b a b b b a a a +++≥++++++，当且仅当()01,2,...,i b i n ==或存在一个数k ，使得()1,2,...,i i a kbi n ==时，等号成立。
3．二维柯西不等式的变式①ac bd +（,,,a b c dR ∈，当且仅当ad bc =时，等号成立）； ②ac bd ≥+（,,,a b c d R∈，当且仅当ad bc =时，等号成立）； ③2()()a b c d ++≥（,,,0a b c d ≥，当且仅当ad bc =时，等号成立）；④二维柯西不等式的向量形式：αβαβ⋅≤（当且仅当0β=或存在实数k ，使k αβ=时，等号成立）。
4．柯西不等式的几个推论 ①当121n b b b ===时，柯西不等式即为22221212()()n n n a a a a a a ++≥++，若i a R +∈()1,2,i n =212n na a a a n++++≥，即上面提到的平方平均≥算术平均；②当()11,2,i ib i n a ==时，有22221222212111()()n na a a n a a a ++++≥； ③当(),1,2,i i a b R i n +∈=，则()212121212()n n n n a a ab b b a a a b b b ⎛⎫+++++≥++⎪⎝⎭。
►注：借用一句革命口号说：有条件要用；没有条件，创造条件也要用。
比如，222a b c ++，并不是不等式的形式，但变成()()22222211113a b c ++++就可以用柯西不等式了。
【典例精讲】 构造法的应用例1．证明柯西不等式 ►分析与解答 证法一：若120n a a a ====，则柯西不等式222222212121122()()()n n n n a a a b b b a b a b a b +++++≥+++显然成立。
若i a 不全为零，（1,2,i n =），令222222212112212()()2()()n n n n f x a a a x a b a b a b x b b b =+++++++++。
一方面，因22222222111122222()(2)(2)(2)n n n n f x a x a b x b a x a b x b a x a b x b =+++++++++2221122()()()0n n a x b a x b a x b =++++++≥（*）另一方面，由222120n a a a +++>，()0f x ≥恒成立222222*********[2()]4()()0n n n n a b a b a b a a a b b b ⇔∆=++-++++≤222222*********()()()n n n n a b a b a b a a a b b b ⇔+++≤+++++，此即柯西不等式。
由（*）知等号成立的条件为(1,2,)i i a b i n λ==。
证法二：将平面向量、空间向量推广到n 维向量。
令1212(,,,),(,,)n n a a a a b b b b ==，1122n n a b a b a b a b ⋅=+++，cos(,)a b a b a b ⋅=⋅，由于cos(,)1a b ≤，22222211221212n n n n a b a b a b a b a b a a a b b b ⋅≤⋅⇔++≤+++⋅+++222222*********()()()n n n n a b a b a b a a a b b b ⇔+++≤++++++，等号成立的条件是,a b 共线，即()i i a b R λλ=∈。
►注：柯西不等式的证明方法很多，有十几种，以上两种方法是中学生比较容易接受的。
例2．已知,a b 为非负数，,1n n M a b a b =++=，求M 的最值。
►分析与解答：因为1a b +=，构造对偶式1112,,1222a k kb k ⎧=+⎪⎪⎡⎤∈-⎨⎢⎥⎣⎦⎪=-⎪⎩，则1122n n M k k ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 由二项式定理展开，所有的偶数项都相互抵消得2002211222n n n n M C k C k -⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦。
容易发现该式在1,02k ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上单调递减，在10,2k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以，当12k =±时，max 1M =；当0k =时，min 112n M -=。
凑定法的应用 （1）n 维凑定例3．（“复旦”）设n 是一个正整数，则函数1n x nx+在正实半轴上的最小值是（ ）（A ）1n n - （B ）21n n ++ （C ）1n n + （D ）1n n +►分析与解答：由1n +维均值不等式1211n a a a n+++≥+111111(1)n n n n x x x x n nx n nn nx n++=++++≥+=个，等号成立当且仅当11,1n x x n nx ==时，故选C 。
（2）条件联想凑定例4．（“南开”）已知正数,,a b c 满足26a ab ac bc +++=+，则32a b c ++的最小值是。
►分析与解答：()()62()2()1)a b a c a b c a b a c ++=+++=+++≥==当2()a b a c +=+时取等号。
（3）局部凑定例5．（“南开”）已知实数,a b 满足：2224b a -=，则|2|a b -的最小值为 。
►分析与解答：由均值不等式，222222222(2)444(22)24a b a b ab a b a b b a -=+-≥+-+=-=，故min |2|2a b -=，当2a b ==时取等号。
（4）换元凑定例6．证明：对任意实数1,1a b >>， 有81122≥-+-a b b a . ►分析与解答：设1,1(0)a m b n m n -=-=>、，则原式2222(1)(1)2121m n m m n n n m n n n m m m++=+=+++++ 对2211m n n n m m +++与22m nn m+分别使用均值不等式， 得2211224,4m n m n n n m m n m +++≥+≥，当1m m ==时等号成立， 所以81122≥-+-a b b a ，得证。
►注：不可对222121m m n n n n n m m m+++++六项直接使用均值不等式，因为等号成立条件不存在。
►链接：本题可以稍作引申：当111a b c >>>、、时，证明：12111222≥-+-+-a c c b b a 柯西不等式的妙用 （1）巧配常数例7．（“华南理工”）已知,a b R ∈，2226a b +=，则a b +的最小值为（ ）（A ）- （B ）3-（C ）3-（D ）72-►分析与解答：由柯西不等式222116(1)(2)(1)()22a b a b ⨯+=++≥+，所以2()9a b +≤，所以33a b -≤+≤，取最小值时当且仅当2,1a b =-=-。
（2）巧变结构例8．若a b c >>，求证：114a b b c a c+≥---。
►分析与解答：容易发现a c a b b c -=-+-，则()114a b b c a b b c ⎛⎫-+-+≥ ⎪--⎝⎭，所以114a b b c a c +≥---，得证。
（3）巧换顺序例9．若,a b满足关系：1=，则22a b += 。
►分析与解答：由柯西不等式，(222221(1)(1)1a a b b =≤+-+-=，当a =等号，化简得221ab +=。
（4）巧添常数例10．,,a b c R +∈，求证：23≥+++++b a c a c b c b a ►分析与解答：原式11133a b c a b c a b c a b cb c c a a b b c c a a b++++++=+++++-=++-++++++()()1111111332a b c b c c a a b b c c a a b b c c a a b ⎛⎫⎛⎫=++++-=+++++++- ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭139322≥⋅-=，当a b c ==时，等号成立。
消元法的应用例11．（“人教版”）设0a b >>，那么21()a b a b +-的最小值是 。
►分析与解答：解法一：本题取自人教社版课本的一个习题（第二册（上）），题中有两个变量,a b ，解题时总希望字母愈少愈好，故最好把原式处理成一个变量问题，再证明它大于或等于一个常数．在这中间我们又注意到b 和a b -之和为a21422()b a b a b a b a+-≤=⇒≥-， 222144()a a b a b a +≥+≥-，因此21()a b a b +-的最小值是4，当2a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩时取到最小值。
解法二：2111()4()()a ab a a b b a b ab a a b +=+-++≥--，当2a b ==时等号成立。
►链接：如果题目变为0a b >>，求2a 的最小值，你会做吗？例12．（“复旦”）当a 和b 取遍所有实数时，函数22(,)(53|cos |)(2|sin |)f a b a b a b =+-+-所能取到的最小值为（ ）（A ）1（B ）2 （C ）3 （D ） 4►分析与解答： 解法一：222211(,)(53|cos |)(2|sin |)(53|cos |2|sin |)(53)222f a b a b a b b b =+-+-≥-+≥⋅-=，当1,0a b =-=时取等号，故选B 。