第8章复习题

第八章 多元函数微分学
一、填空题
（1）设函数(),f x y 具有二阶连续偏导数，(),z f x xy =，则=∂∂∂y
x z 2 （2）()00sin 1lim sin x y xy y x xy →→⎡⎤+=⎢⎥⎣
⎦ ． （3
）220x y →→= ．
（4）函数 ()()1ln 91,2222-++--=
y x y x y x f 的定义域为 （5）设 ()2,y t x f x y e dt =
⎰，则 z x ∂=∂ ，z y ∂=∂ （6）设
yz e xy x u ++=2sin ，则 =du ．
二、单项选择题
（1）()y x f z ,=
在点 ()00,y x 可导是它在该点可微的 ( ) A ．充分条件 B ．必要条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件
三、计算
（1）设 ⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛=-x y e f z xy ,，且 f 具有一阶连续偏导数，求 .,y z x z ∂∂∂∂ （2）设 1u r =，而
r = 22.u y
∂∂ （3）()(
),0,0lim x y → （4）()(),y 0,0lim 1x x y x →⎛⎫+ ⎪⎝⎭ （5）设 sin z uv t =，其中 ,cos t u e v t == ，求全导数
.dz dt （6）设 ()2222,z f x y x y =+，其中 f 具有二阶连续偏导数，求 2.z x y
∂∂∂ （7）由方程 ln 0x z z y
-= 确定 z 是 ,x y 的函数，求 22.z x ∂∂ 四、应用题：
设某工厂生产A 和B 两种产品，产量分别为x 和y （单位：千件），利润（单位：万元）函数为
()22,181642L x y x x y y =-+--
已知生产这两种产品时，每千件产品均需消耗某种原料2000千克，现有该原来1200千克，问两种产品各生产多少千件时，总利润最大？最大总利润为多少？
参考答案
一、填空题
（1）12222xf f xyf '''''++；（2）1；（3）2；（4）(){}22,19D x y x y =<+<；（5）22,.x y e e -；
（6）()()cos 22yz yz du x y dx x ze dy ye dz =++++；
二、单项选择题
（1）B .
三、（1）121221
xy xy z y z
ye f f xe f f x x y x --∂∂''''=--=-+∂∂；
（2222
（3）1
4-；（4）2e ；
（5）()22sin cos sin cos .t dz
e t t t t dt =-+；
（6）21222z xy f xf x ∂''=+∂； ()2222211121224z
xy f x y f x y f f x y ∂⎡⎤'''''''=++++⎣⎦∂∂ （7）()22
32,.z z z z x x z x x z ∂∂==-∂+∂+
四、5,1x y ==时取得最大利润，且最大利润为75万元。