非线性系统的李导数运算
非线性系统理论LEC03
例1: 摆的稳定
t
θ τ
θ m u M
m
x
(a) (b)
考虑图1 (a) 中的单摆，其动态方程为：
mglsin J
（1）
假设控制任务是使单摆从一个很大的初始角，例如 (0) 600 开始，回到垂直向上的位置停下。稳定控制器的一种选择是
K mglsin Kd p
考虑一组新的状态变量
则新的状态方程为
z1 x1
（3a）
z2 ax2 sin x1
（3b）
1 2 z1 z2 z （4a） 2 2z1 cos z1 cos z1 sin z1 au cos(2z1 ) （4b） z
可以看到，新的状态方程平衡点依然为（0，0）。同时可以 看出，下列控制律 1 （5） u (v cos z1 sin z1 2 z1 cos z1 )
非线性控制系统设计
1、非线性控制问题 （1） 稳定问题 非线性动态系统
f ( x, u, t ) x
求控制律 u 使得从 中任何区域出发的状态当时趋近0。 注： 若控制律直接依赖于测量信号，称之为静态控制律。若控制律
通过一个微分方程依赖于测量信号，则称之为动态控制律，即在控制律 中含有动态特性。
（2）跟踪问题
非线性动态系统
f ( x, u, t ) x y h( x)
以及期望的输出轨迹 yd ，求输入控制律u，使得从区域 中的 任意初态开始，跟踪误差 y(t ) yd (t ) 趋向0，而整个状态保 持有界。
(3)稳定问题与跟踪问题之间的关系
要求设计下列对象的跟踪器
f
x
Lad 2 g h L2f Lg h 2 L f Lg L f h L2 g Lf h
非线性代数方程组的数值解法
a (a
2u ) (2 ) 0
i m i 1 m i m i 1 m
i 1 i 1 i 1 i i 1 i i 1 i 1 am am 2am um 2m m m m 0 a
1 2 1i 1 1i 1 (im ) 2 1i 1 i 1 2 1i 1 um im 2 i 1 2
a
i 1 m
i 1 1 i 1 m
i 1 2
i 1 i i2 ( K T ) P m m
1 2 1 a(im ) 2bim c 0
4
增量弧长法
a(
i 1 2 m
) 2b
i 1 m
c 0
式中系数为
a 1 ( 1i 1 ) T ( 1i 1 )
3 增量方法
混合法:在增量法每一增量步进行自修正的迭 代计算。其m增量步n次迭代的计算公式为 自修正 n n 1 n 不平衡力 am ( K Tm ) ( R m Pm ) n n n 1 n n Pm (a m , m ) am a a 1 m m 在实际计算中，对于 m＜M-1的各增量步的 计算，可以只进行少许几次(例如3次)迭代， 而对于m=M-1，即最后的一个荷载增量，需耍 使用较多次迭代，以使近似解更接近于真解。 用混合法求解时，所选取的荷载增量的步长 可以比普通增量算法的步长大一些。
3
增量方法
求解非线性方程组的另一类方法是增量方法。 使用这种方法需要知道“荷载”项(R)为零时问 题的解(a)0。在实际问题中，(R)经常代表真实 荷载，(a)0 代表结构位移。在问题的初始状态， 它们均为零。这种从问题的初值开始，随着荷 载列阵(R)按增量形式逐渐增大，研究(a)i的变 化规律的方法，称为增量方法。
非线性系统求李雅普诺夫函数的两种方法
口 > ( ) 。 二 : , 二:
沿 着 方 程 ( 2 ) 的 轨 线 劣 : = x , ( t ) , 二: = x : ( )t 对 函 数 试 二 , , x : ) 求导 数 可 得
面(x
,(
t
,
)
劣, ( t ) )
ou
dx O l
1
u
,
血
二 二 又汀 一
什 一 面; 二
灭 ,
一
一 「二 ~
`
但 究竟应该按怎 样的一
种关系 来选取 呢 ? 在一 般情 况 下 , 是 没有一个 通 用 办法 的 , 在特殊情 况 下 , 则 有 一 些方 法、
今 将克拉 索夫斯基 方 法与 变 量梯度法 简介如 下 :
一 、 克 拉 索 失斯 甚 ( K ik r a s o v i) 方 法
设 已知非线性系统为
口r
o 劣一 d 东
Ox , 以犷
— —一
: `, n “ 1 一
x Z , ` ”` !
和
子
.O 将上 式 由 t 。到 t 积 分 , 得 到
.、
材
廿 ( , ( t ) , 劣: ( t ) ) ~ 粉 (劣 1 ( 才 )日 劣: ( t o )
产
飞
这 表 明 相 平 面 上 经过 曲 线 U (二 , , 诺: ) = 试 劣 、 ( t 。 ) , x : ( t 。 ) 上 的 点 的 轨 线 将永 远 沿 着 此 曲
线 运行 , 由于 百的性质 , 当 。 为 足够 小 的正 数 时 , 。 (二 , , 气 ) 二 。 是 围 绕原 点 的 一 族 闭 曲线 ,
独 、
所 以在没有阻力情 况下 , 单摆 运动方
高考数学非线性问题知识点
高考数学非线性问题知识点一、引言数学作为一门科学，一直以来都是高考的重要科目之一。
其中，数学的非线性问题是考生们普遍认为较为困难的部分。
本文将重点探讨高考数学非线性问题的知识点，帮助考生们更好地理解和应对这一部分内容。
二、什么是非线性问题在介绍高考数学非线性问题的知识点之前，我们先来了解一下什么是非线性问题。
非线性问题是指不能用线性关系式表达的数学问题。
与线性问题不同，非线性问题的解不再具有简单的直线关系，而是具有曲线、波动等复杂的特征。
三、非线性函数的性质1. 导数的变化在处理非线性问题时，我们需要掌握函数的导数变化对函数性质的影响。
例如，当函数的导数大于零时，函数是单调递增的；当函数的导数小于零时，函数是单调递减的。
这对于理解函数图像的变化以及解题非常重要。
2. 极值点的判定对于非线性函数，我们通常需要找到它的极值点。
极值点可以是函数的最大值或最小值。
判定极值点的方法之一是使用导数。
当函数的导数为零时，该点很可能是极值点。
然后，我们可以对导数的符号进行分析，进一步确认该点的性质。
四、非线性方程的求解除了处理非线性函数外，我们还需要掌握如何求解非线性方程。
求解非线性方程的方法有多种，常见的包括牛顿迭代法、二分法、试位法等。
1. 牛顿迭代法牛顿迭代法是一种有效的求解非线性方程的方法。
它通过不断逼近方程的根，直到满足所需的精度要求。
该方法需要利用函数的导数信息，因此在应用时需要先求出导数，并进行迭代计算。
2. 二分法二分法是一种简单却有效的求解非线性方程的方法。
它利用函数在连续区间上的中间值进行判断，然后不断地缩小区间范围，最终逼近方程的根。
该方法的优点在于不需要求导，适用范围广。
3. 试位法试位法是一种通过区间划分来求解非线性方程的方法。
它将方程的解所在的区间划分为若干段，然后通过函数值的符号变化来判断解所在的区间。
该方法的优点在于可以根据实际情况进行区间的调整，从而更快地逼近方程的根。
五、非线性几何问题的解析方法除了函数和方程的处理外，非线性几何问题也是高考数学中的重要内容。
非线性方程(组)的数值解法——牛顿法、弦切法
(3) 用 Newton 法解 (x) = 0
x ( x 2 2) 3 ( x) x x2 2
ex76.m
14
弦截法与抛物线法
弦截法与抛物线法
目的：避免计算 Newton 法中的导数，且具有较 高的收敛性（超线性收敛） 弦截法（割线法）：用差商代替微商 抛物线法：用二次多项式近似 f(x)
2
x
k
C
2
2
xk 1 C xk C xk 1 C xk C 2k xk C x0 C xk C x0 C k q2 xk C 2 C 2k 1 q
q
2k
对任意 x0>0， 总有 |q|<1， 即牛顿法收敛
8
牛顿法
牛顿的优点
至少二阶局部收敛，收敛速度较快，特别是当迭代点 充分靠近精确解时。
牛顿法是目前求解非线性方程 (组) 的主要方法 牛顿的缺点
对重根收敛Βιβλιοθήκη 度较慢（线性收敛） 对初值的选取很敏感，要求初值相当接近真解 先用其它算法获取一个近似解，然后使用牛顿法
需要求导数！
9
简化的Newton法
f ( xk ) f '( xk ) 迭代格式： xk 1 xk [ f '( xk )]2 f ( xk ) f ''( xk )
13
举例
例：求 x4 - 4x2 ＋ 4=0 的二重根 x* 2 (1) 普通 Newton 法
x2 2 1 ( x ) x 4x
(2) 改进的 Newton 法 x2 2 2 ( x) x
简化的 Newton 法
ansys非线性概述及数值计算方法
• 线性 结构服从此线性关系. 普通的例子是一个单弹簧:
F K u
F K u
• 线性结构非常适合基于线性矩阵代数的有限元分析.
May 11, 2007 © 2007 ANSYS, Inc. All rights reserved.
ANSYS, Inc. Proprietary
Inventory #002496 1-4
Inventory #002496 1-12
非线性概述
...用线性求解器求解非线性
Training Manual
DesignModeler
• 外载荷与内载荷之差{F} - {Fnr}称为残差, 是结构中力不平 衡的度量. • 目的是残差迭代至足够小, 即直到解收敛. • 若收敛, 则解在允许的容差范围内平衡.
– 非线性应力应变关系是非线性结构行为的普通原因.
应力
应力
应变
应变
钢
橡胶
May 11, 2007 © 2007 ANSYS, Inc. All rights reserved.
ANSYS, Inc. Proprietary
Inventory #002496 1-8
非线性概述
…三种类型的非线性
Training Manual
Inventory #002496 1-10
非线性概述
用线性求解器进行非线性求解
Training Manual
DesignModeler
• 在非线性分析中, 响应不能直接用一组线性方程预报，如何用线性方程近似非 线性响应呢？ • 一种方法为将载荷分为一系列增量形式并逐渐施加载荷，同时在每一载荷增 量结束时调整刚度矩阵。 • 这一方法的主要问题是随着每一载荷增量的误差积累，引起最终结果引起结 构不平衡。 误差
李雅普诺夫函数 求导
李雅普诺夫函数求导李雅普诺夫函数是控制理论和系统工程领域中的一个重要概念，它在状态空间中通常用来描述系统的稳定性问题。
对于任一线性时不变系统，都可以利用李雅普诺夫函数判断它的稳定性。
求导是微积分中的一个重要知识点，它可以帮助我们研究函数的变化趋势以及函数在某一点上的特征。
本文将详细介绍李雅普诺夫函数的概念以及如何对其进行求导。
一、李雅普诺夫函数的定义* 李雅普诺夫函数是对于一种系统，给定一个状态变量，存在一个函数，该函数能够判断系统是否是稳定的，该函数就称为李雅普诺夫函数。
* 对于一般线性时不变系统$ \dot{x}=Ax $，如果能找到一个实数函数$V(x)$，满足：1. $V(x)$是正定的，即$V(0)=0$，$V(x)＞0 (x\ne 0)$；2. $\dot V(x)$是负定的，即$\dot{V}(x)＜0$，则称$V(x)$是李雅普诺夫函数。
二、李雅普诺夫函数的求导李雅普诺夫函数的求导是研究系统稳定性问题的重要手段。
考虑$V(x)$是$R^n$中一个连续可导可偏导数的实函数，则根据链式法则，有：$\dot V(x)=\dfrac{\partial V(x)}{\partial x} \dot{x}$又由于$\dot{x}=Ax$，代入上式得到：$\dot V(x)=\dfrac{\partial V(x)}{\partial x} Ax$根据李雅普诺夫函数的定义可知，$\dot V(x)＜0$，所以，由此可得：$\dfrac{\partial V(x)}{\partial x} Ax＜0$因此，我们可以得到一个结论：当李雅普诺夫函数的导数$\dot V(x)＜0$时，系统是稳定的。
三、李雅普诺夫函数的应用通过求解李雅普诺夫函数的导数，我们可以判断系统的稳定性，从而进行控制系统的设计和优化。
对于大多数的控制系统而言，稳定性问题是最基本的问题。
对于复杂的非线性系统，可以通过李雅普诺夫函数得到一些关于稳定性的约束条件，从而对系统进行优化或设计。
第八章 非线性系统
等倾线方程
dx 2wn x w 2 x dx x 2 2wn x wn 2 x wn x a 即: x x x 2wn a
即等倾线是通过原点的直线。
(1) 0＜ ＜1
第八章 非线性控制系统
Nonlinear Control System
内容提要
§8.1 概述 §8.2 相平面图
§8.3 奇点和极限环
§8.4 非线性系统的相平面图分析
§8.5 非线性特性的描述函数
§8.6 用描述函数分析非线性系统
§8.1 概述
典型非线性特性
非线性系统的运动特点
非线性系统的研究方法
（2）奇线
当非线性系统存在多个奇点时，奇点类型 只决定奇点附近相轨迹的运动形式，而整个系 统的相轨迹，特别是离奇点较远的部分，还取 决于多个奇点的共同作用，有的会产生特殊的 相轨迹，将相平面划分为具有不同运动特点的 多个区域。这种特殊的相轨迹称为奇线。最常 见的奇线是极限环。极限环把相平面的某个区 域划分为内部平面和外部平面两部分。 极限环是非线性系统中的特有现象，它只 发生在非守恒系统中，产生的原因是由于系统 中非线性的作用，使得系统能从非周期性的能 源中获取能量，从而维持周期运动形式。 根据极限环邻近相轨迹的运动特点，可将 极限环分为三种类型：
(三)极限环（自激振荡）
非线性系统，在初始状态 的激励下，可以产生固定振幅 和固定频率的周期振荡，这种 周期振荡称为非线性系统的自 激振荡或极限环。
(四)频率响应
系统微分方程：
.. . ′x 3=0 M x +B x +Kx+ K
K
非线性 弹簧
非线性规划问题的求解方法
运行输出：
最优解 1.00012815099165 -0.00000145071779
k= 33
练习题：
1、用外点法求解下列模型
min( x12 2x22 ) s.t. x1 x2 1
2、将例子程序改写为一个较为通用的罚函数 法程序。（考虑要提供哪些参数）
2. 内点法（障碍函数法）
min f (x) s.t. gi (x) 0,i 1,2,, m
第二步：求 (k) 最优的目标函数
function r=fungetlamada(lamada) %关于lamada的一元函数，求最优步长 global x0 d=fun1gra(x0); r=2*(x0(1)-lamada*d(1))^2+(x0(2)lamada*d(2))^2; %注意负号表示是负梯度
a 1, b 1 ，a,b 为常数，通常取 a=b=2。
算法步骤
（1）给定初始点 x(0)，初始罚因子 (1) ， 放大系数 c>1；允许误差 e>0,设置 k=1；
（2）以 x(k-1)作为搜索初始点，求解无约束规划问题 min f (x) P(x) ，令 x(k)为所求极小点。
lamada=fminsearch(‘fungetlamada’,la mada);%求最优步长lamada
x0=x0-lamada*fun1gra(x0);%计算x0 d=fun1gra(x0);%计算梯度 k=k+1;%迭代次数
end
disp('x='),disp(x0),disp('k='),disp (k),disp('funobj='),disp(2*x0(1)^2+ x0(2)^2)
非线性系统线性化
化。
令状态偏差为 e x xd ，则有e x xd
由式（1.1）和式（1.2）可得系统的状态偏差方程为：
e x xd f (x,u,t) ( Ad xd Bd v) Ad e [ f (x,u,t) ( Ad x Bdv)] （1.3）
按上述思想，提出如下的基于平衡状态控制原理的非线性控制系统反馈线 性化的直接方法：
（1）按系统的动态性能要求设计一满足希望特性的线性动态系统作为模 型参考系统。
（2）以模型参考系统的状态作为实际被控系统的被控平衡状态。利用李 亚普诺夫直接方法设计控制律使系统对动平衡状态渐进稳定。从而被控系统近 似具有模型参考系统的动态特性，实现非线性系统的反馈线性化。
在非线性系统的模型参考方法中，基于李亚普诺夫直接方法的非线性系统 反馈线性化方法是最重要和最有效的一种设计方法，这类方法称为非线性系统 反馈线性化的直接方法。
运用控制系统动平衡状态的概念，提出一种建立在控制系统动平衡状态渐 近稳定概念上的新的设计方法。本方法认为：控制系统的输入直接控制的是系 统的动平衡状态。系统的输出和状态是在系统结构的约束下运动的。当系统对 其平衡状态大范围渐近稳定时，其状态将在系统结构约束下渐近收敛于系统的 平衡状态。当其平衡状态运动时，系统的状态亦将跟踪其平衡状态运动。因此 控制系统平衡状态的运动，即可实现对系统运动状态及输出的控制。
基于动平衡状态理论的非线性系统反馈 线性化直接方法
按上述方法，基本设计过程如下：
考虑一般的非线性系统
x f (x,u,t)
（1.1）
其中，x Rn 为状态向量，u Rm 为控制向量，f 为向量函数。
设希望的线性系统动态特性为
matlab 李导数
matlab 李导数李导数（Lie Derivative）是微分几何和动力系统中的重要概念，它描述了向量场沿着另一个向量场的变化率。
在物理学、机器人学和控制理论中，李导数都有广泛的应用。
在MATLAB中计算李导数并不直接内置于核心函数中，但你可以通过定义自己的函数来实现它。
给定两个向量场(X) 和(Y)，李导数(L_X Y) 在点(p) 处的定义如下：(L_X Y(p) = \lim_{t \to 0} \frac{Y(\phi_t(p)) - Y(p)}{t})其中，(\phi_t) 是由向量场(X) 生成的流。
在实际计算中，这个极限通常通过取一个足够小的时间步长(t) 来近似。
以下是一个简单的MATLAB示例，用于计算二维空间中的两个向量场的李导数：matlabfunction lie_derivative = lie_derivative_2d(X, Y, p, t)% X, Y: 向量场函数句柄，接受一个点作为输入并返回一个向量% p: 计算李导数的点% t: 时间步长% 计算通过X生成的流在t时间后的点phi_t_p = p + t * X(p);% 计算Y在这两个点的值Y_p = Y(p);Y_phi_t_p = Y(phi_t_p);% 近似计算李导数lie_derivative = (Y_phi_t_p - Y_p) / t;end你可以通过定义你的向量场X和Y，然后选择一个点p和时间步长t来使用这个函数。
但请注意，这个函数只是一个近似值，并且对于大的时间步长t，它可能不够准确。
为了获得更准确的结果，你应该使用一个更小的时间步长，但这可能会增加计算时间。
此外，对于更复杂的流形和向量场，你可能需要使用更高级的方法来计算李导数，这可能需要更深入的微分几何知识。
但对于简单的二维或三维空间中的向量场，上面的函数应该足够了。
导数与函数的非线性规划问题关系解析与归纳
导数与函数的非线性规划问题关系解析与归纳导数是微积分中的重要概念，它可以描述函数在某一点上的变化率。
而非线性规划问题是一类重要的优化问题，涉及到寻找使目标函数达到最小值或最大值的变量取值。
本文将探讨导数与函数的非线性规划问题之间的关系，并对相关概念进行解析与归纳。
一、导数的基本概念导数描述了函数在某一点上的变化率。
对于函数f(x)，在x点处的导数表示为f'(x)，定义为函数在x点处的极限：f'(x) = lim(h→0) (f(x+h) - f(x))/h。
导数有多种表示方法，如Leibniz符号法（dy/dx）、拉格朗日符号法（f'(x)）、差分商法等。
二、导数的几何意义导数不仅可以表示函数在某点处的变化率，还可以反映函数图像在该点的切线斜率。
具体而言，函数在某一点的导数等于该点切线的斜率。
当导数为正时，函数上升；导数为负时，函数下降；导数为零时，函数达到极值点。
三、导数与函数的最值问题函数的极值问题是非线性规划问题的一种特殊情况。
通过求解函数的导数，可以确定函数的驻点（导数为零的点）和拐点（导数为零且二阶导数不为零的点）。
进一步分析函数在这些点上的导数值，可以确定函数的极值点和拐点。
四、导数与函数的最值问题的应用导数与函数的最值问题的应用十分广泛。
在实际问题中，我们常常需要确定某个函数的最大值或最小值。
通过求解导数，我们可以找到函数的极值点，并进一步判断这些点是否是最值点。
在经济学、物理学等领域的优化问题中，导数与函数的非线性规划问题的应用尤为广泛。
五、导数与函数的最值问题的解决方法求解导数与函数的最值问题有多种方法，常见的有数值方法和解析方法。
数值方法包括最大值最小值的二分法、牛顿法等；而解析方法则通过求解函数的导数和解方程来确定极值点。
六、结论导数是微积分中的重要概念，它不仅可以描述函数在某一点上的变化率，还可以帮助我们解决函数的最值问题。
导数与函数的非线性规划问题密切相关，通过分析导数可以确定函数的极值点，进而解决一系列的优化问题。
非线性系统的李导数运算
第二章 李导数李括号运算与分布为了尽快的涉及非线性系统的几何理论，我们将以较短的篇幅介绍李导数的概念与李括号运算。
2.1 向量场若)(x f 是n 维函数向量,即⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=),...,(...),...,(),...,()(11211n n n n x x f x x f x x f x f它的每一个分量)(x f i 都是变量T n x x x ),....,(1=的函数。
从几何观点看，即是对状态空间中每一个点（对应一个状态）对应一个确定的向量，即映射n n R R f −→−:。
即可以想象从每一个点x “发射”出一个向量，因而从整体上看形成一个由向量构成的场。
2.2 李导数给定一个光滑的标量函数)(x h 和一个向量场)(x f ,则可以定义标量函数沿向量场的导数称为李导数,或称为f h 对的李导数。
它是一个新的标量函数记为h L f 。
设R R x h n −→−:)(为一光滑标量函数; n n R R x f −→−:)(为n R 上的一个光滑的向量场; n n R R x g −→−:)(为n R 上的另一个光滑的向量场; 则)())(,...,)(,)(()()()(21x f x x h x x h x x h x f x x h x h L n f ⋅∂∂∂∂∂∂=⋅∂∂=∑=⋅∂∂=⋅=ni i ix f x x h x f x dh 1)()()()(， 或记为)()(x f x h ⋅∇。
同理有: ...)()()()()()()(1=⋅∂∂=⋅=⋅∇=∑=n i i ig x g x x h x g x dh x g x h x h L 多重李导数可以递归地定义为:)())(())(()(11x f xx h L x h L L x h L k f k f f k f ⋅∂∂==--)())(())(()(x g x x h L x h L L x h L L f f g f g ⋅∂∂== )())(())(()(x g xx h L x h L L x h L L k f k f g k f g ⋅∂∂==又定义: )()(0x h x h L f =；同理： )()(0x h x h L g =上标”0”意味着不求导，因为 ))(()(0x h L L x h L f f f =适合递归式子。
第10章非线性运算电路43页PPT
+ A
z
反双曲正切运算电路 四象限变跨导乘法电路
求和电路
图10.1.5 变跨导乘/除法器电路原理图
v o , [V C C R c(iC 2 iC 4 iC 1)2 ][V C C R c(iC 1 iC 3 iC 1)1]
R c [iC ( 1 iC 2 ) (iC 4 iC 3 ) ]R c(iC 1 2iC 1)1
入电压必须大于0。但是，输出电压幅值小于0.7V，输入电压必须大于0。
2．具有温度补偿的对数电路
当环境温度变化时，VT和IS都变化，故输出电压随温度变化。 具有温度补偿的对数电路如图10.2.2所示。
图中T1和T2特性一致，运放A1和T1等组成基本对数电路，运放 A2、T2和热敏电阻Rt等组成温度补偿及同相放大电路。
10.1.2 四象限变跨导乘法器
为了允许vY为双极性，采用双差分放大电路组成四象限变跨导
乘法器，如图10.1.3 所示。由电路，得 iC 1iC 2iE 1iE 2iC 5
晶体管的电流方程为
i C i E I S ( e v B /V T E 1 ) I S e v B /V T E v B /V E T 1
1 vX VTln1RX vIXOX
RXIOX
（10.1.15）
+ A
z
反双曲正切运算电路 四象限变跨导乘法电路
求和电路
图10.1.5 变跨导乘/除法器电路原理图
arcth(x)是非线性的反双曲正切函数。代入（10.1.14），得
vo , RX2RR YcIOXvXvY2R R ZcvZ
10.2.2 指数运算电路
对数的逆运算就是指数运算，或称为反对数运算。在基本对 数电路中，将电阻R与晶体管对换，新的电路既是指数电路，如 图10.2.3所示。
第二章-3-系统传递函数的计算-非线性系统线性化
C ( s) G (s) GB ( s ) R( s) 1 G ( s) H ( s)
正反馈
C (s) G ( s) GB ( s ) R( s) 1 G ( s ) H ( s)
Note! 注意！
负反馈
6
系统传递函数的计算
方块图：反馈 方块图： 反馈
u
±
u1
H1 ( s) H 2 (s)
H6
u
_
H1 1 H1H 3
H2
H5
y
H4
H2
步骤3: u
H1 1 H1 H 3 H1 H 2 H 4
y
H6 H2 H5
20
系统传递函数的计算
系统传递函数
最后，根据串联关系得到整体系统的传递函数 引出点后移
u
H1H 2 1 H1H 3 H1H 2 H 4
H H5 6 H2
G3 ( s ) G LOOP 1 ( s ) 1 G 3 ( s )G 2 ( s ) H 2 ( s )
a c
b
23
系统传递函数的计算
系统传递函数
例2: 推导如下图所示系统的整体传递函数
回路 2
步骤3：Step3: 对于回路2再次应用反馈，得到图(c)，并代入回路2的 传递函数
G3 ( s )G4 ( s ) 1 G2 ( s )G3 ( s ) H 2 ( s ) GLOOP 2 ( s ) G3 ( s )G4 ( s ) H 3 ( s ) 1 1 G2 ( s )G3 ( s ) H 2 ( s )
u2
Y ( s ) H ( s )U1 ( s ) H ( s ){ 1
第六章非线性系统的反馈线性化
第六章非线性系统的反馈线性化反馈线性化方法的基本思想是用反馈的方法，将非线性被控对象补偿成为一个具有线性特性的系统，然后利用线性系统理论进行控制系统设计。
基于微分几何的反馈线性化方法是一种精确线性化方法。
6.1 反馈线性化基本概念反馈线性化设计步骤是：（1）通过反馈的方法将非线性系统转化为线性系统，这个过程可以微分几何方法；（2）经过线性化处理后的系统进行设计。
与泰勒级数展开的近视线性化方法不同，它是建立在系统状态变换与非线性反馈基础上的一种精确方法。
它是大范围有效的，而不是仅仅局限于工作点附近。
1水槽的系统模型为()()2h d A h dhu t a ⎡⎤=−∫4()f B =+ xx u 考虑如下系统x是系统状态，f(x)是光滑向量场，u是控制输入，B是输入矩阵且可逆。
设跟踪轨迹为x d 。
=d e x x−定义跟踪误差=f()B d ex x u −− 主要思路是设计如下的补偿控制算法1=(f())d u Bxx ke −−+ =-eke 补偿后的误差动态方程为稳定例2 两关节机械手111212121112122212220H H qhq hqhq q g H H qhq qg ττ−−−⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦&&&&&&&&&&（6.1）5其中，[]12,Tq q =q 为关节角，[]12,Tττ=τ为关节输入。
12222221222221111211222222221212122221211122122122122cos cos sin cos cos()cos cos()c c c c c c c c c c H m l I m l l l l q I H m l I H H m l l q m l I h m l l q g m l g q m g l q q l q g m l g q q ⎡⎤=+++++⎣⎦=+==++=⎡⎤=+++⎣⎦=+表示成向量形式()(,)()H q qC q q q g q τ++=&&&&两边同乘以1H −，可变成仿射非线性系统（6.1）。
非线性系统
非线性系统简介非线性系统图册一个系统，如果其输出不与其输入成正比，则它是非线性的。
从数学上看，非线性系统的特征是叠加原理不再成立。
叠加原理是指描述系统的方程的两个解之和仍为其解。
叠加原理可以通过两种方式失效。
其一，方程本身是非线性的。
其二，方程本身虽然是线性的，但边界是未知的或运动的。
在非线性控制系统中必定存在非线性元件，但逆命题不一定成立。
描述非线性系统的数学模型，按变量是连续的或是离散的，分别为非线性微分方程组或非线性差分方程组。
非线性控制系统的形成基于两类原因，一是被控系统中包含有不能忽略的非线性因素，二是为提高控制性能或简化控制系统结构而人为地采用非线性元件。
线性，指量与量之间按比例、成直线的关系，在空间和时间上代表规则和光滑的运动；而非线性则指不按比例、不成直线的关系，代表不规则的运动和突变。
如问：两个眼睛的视敏度是一个眼睛的几倍？很容易想到的是两倍，可实际是6－10倍！这就是非线性：1＋1不等于2。
激光的生成就是非线性的！当外加电压较小时，激光器犹如普通电灯，光向四面八方散射；而当外加电压达到某一定值时，会突然出现一种全新现象：受激原子好像听到“向右看齐”的命令，发射出相位和方向都一致的单色光，就是激光。
非线性的特点是：横断各个专业，渗透各个领域，几乎可以说是：“无处不在时时有。
”如：天体运动存在混沌；电、光与声波的振荡，会突陷混沌；地磁场在400万年间，方向突变16次，也是由于混沌。
甚至人类自己，原来都是非线性的：与传统的想法相反，健康人的脑电图和心脏跳动并不是规则的，而是混沌的，混沌正是生命力的表现，混沌系统对外界的刺激反应，比非混沌系统快。
由此可见，非线性就在我们身边，躲也躲不掉了。
非线性系统 - 分类非本质非线性:能够用小偏差线性化方法进行线性化处理的非线性。
本质非线性:用小偏差线性化方法不能解决的非线性。
非线性系统 - 性质非线性系统图册会出现一些在线性系统中不可能发生的奇特现象，归纳起来有如下几点：1、线性系统的稳定性和输出特性只决定于系统本身的结构和参数。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第二章 李导数李括号运算与分布
为了尽快的涉及非线性系统的几何理论，我们将以较短的篇幅介绍李导数的概念与李括号运算。
2.1 向量场
若)(x f 是n 维函数向量,即
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡=),...,(...),...,(),...,()(11
211n n n n x x f x x f x x f x f
它的每一个分量)(x f i 都是变量T n x x x ),....,(1=的函数。
从几何观点看，即是对状态空间中每一个点（对应一个状态）对应一个确定的向
量，即映射n n R R f −→−
:。
即可以想象从每一个点x “发射”出一个向量，因而从整体上看形成一个由向量构成的场。
2.2 李导数
给定一个光滑的标量函数)(x h 和一个向量场)(x f ,则可以定义标量函数沿向量场的导数称为李导数,或称为f h 对的李导数。
它是一个新的标量函数记为h L f 。
设R R x h n −→−
:)(为一光滑标量函数; n n R R x f −→−
:)(为n R 上的一个光滑的向量场; n n R R x g −→−
:)(为n R 上的另一个光滑的向量场; 则
)())
(,...,)(,)(()()()(21x f x x h x x h x x h x f x x h x h L n f ⋅∂∂∂∂∂∂=⋅∂∂=
∑
=⋅∂∂=⋅=n
i i i
x f x x h x f x dh 1)()
()()(， 或记为)()(x f x h ⋅∇。
同理有: ...)()
()()()()()(1
=⋅∂∂=⋅=⋅∇=∑=n i i i
g x g x x h x g x dh x g x h x h L 多重李导数可以递归地定义为:
)())
(())(()(11x f x
x h L x h L L x h L k f k f f k f ⋅∂∂=
=--
)())(())(()(x g x x h L x h L L x h L L f f g f g ⋅∂∂== )())
(())(()(x g x
x h L x h L L x h L L k f k f g k f g ⋅∂∂=
=
又定义: )()(0x h x h L f =；同理： )()(0x h x h L g =
上标”0”意味着不求导，因为 ))(()(0x h L L x h L f f f =适合递归式子。
2.3 李括号运算
若)(x f 与)(x g 为n R 上的两个向量场,两同维的向量)(x f ,)(x g 的李括号运算定义为:
g f f g g x
f
f x
g x g f ⋅∇-⋅∇=⋅∂∂-⋅∂∂=)](,[ 或记为g ad f ,它是一个新的向量场。
矩阵
n n n n n n n n x g x g x g x g x g x g x g x g x g x g ⨯⎥
⎥
⎥⎥⎥⎥
⎥⎥⎥
⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂.
.......
.
...2
1
2221
2
12111
同理可知
x
f
∂∂也是一个n n ⨯的矩阵。
它们分别称为流形映射到g 和f 的Jacobian 阵。
李括号运算也可以多次重复进行，例如：
]]],,...[[[]],...,,[,[g f f f g f f
或 ))...((),...,(g ad ad ad g ad ad f f f f f 也可采用递归记法:
)](,[)(1
x g ad f x g ad k f k f -= 1≥k
当1=k 时 )](,[))]((,[)(0x g f x x g ad f x g ad f f ==
因而可以定义: )()(0x g x g ad f = 2.4 李括号运算具有下列性质
(1) 在R 域上是双线性的,即若2121,,,g g f f 是向量场,且21,r r 是实数,则有: ],[],[],[12211112211g f r g f r g f r f r +=+ ],[],[],[21211122111g f r g f r g r g r f +=+ (2) 是斜可交换的,即:
],[],[f g g f -=
(3) 满足Jacobian 恒等式,即若p g f ,,是向量场,则
0]],[,[]],[,[]],[,[=++g f p f p g p g f
2.5 协向量场的微分运算
对于一个向量场f ,常常采用与其对偶的协向量场ω,两者都定义在
n R 的开集V 上,但f 是列向量场,而ω是行向量场,即
)](),...,(),([)(21x x x x n ωωωω=。
它是n R 空间的对偶空间，记为*)(n R 。
定义一种新的运算，称为协向量场ω沿向量场f 的李导数，即
x f
x f x f d x L T
T f ∂∂⋅+⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⋅∂∂==∆
)(,)(ωωωω x f x x f T
T
T ∂∂⋅+⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡∂∂=)(ωω 其中上标""T 表示转置。
以上三种运算可以统一起来统称为李导数，只是：
)(x h L f 是指光滑标量函数沿向量场的李导数，得到的仍是一个标量函数。
)(x g ad f 是光滑的向量场沿向量场的李导数，得到的是一个新的向量场。
)(x L f ω是协向量场沿向量场的李导数，得到的是一个新的协向量场。
这三种李导数有下列关系：
],[,,,g f g L g L f f ωωω+=。