例谈考研数学中Taylor公式求解不等式问题_赵奎奇

合集下载

Taylor公式

Taylor （泰勒）公式在所有初等函数中，多项式函数的性质研究起来比较简单，尤其是计算方面，多项式变得非常简单，比如：要计算621)(32x x x x P +++=在1.0=x 处的函数值，直接带入运算即可，而对于xe xf =)(要计算)1.0(f 是件很麻烦的事（有同学说用计算器，那么计算器又是怎么算出来的呢？）。

从而自然的想法是有没有一个多项式与xe xf =)(非常接近呢？或者说从图像上来看，是否有这样的)(x P 与)(x f 的图象在某一点附近非常的接近（无限接近）呢？如果有的话就可以用一个多项式近似代替)(x f ，这个想法就是“高大上”的“Taylor （泰勒）”公式。

接下来我们就讨论一下这个问题.概念1.等价无穷小量（通俗的说有两个函数在某一点0x 附近的函数值相差很小）若1)()(lim 0=→x g x f x x ，则称当0x x →时，)(x f 与)(x g 是等价无穷小量，记为 )()(~)(0x x x g x f →，或者写成： )())(()()(0x x x g o x g x f →+=其中))((x g o 是)(x g 的高阶无穷小量（或者说是)(x f 与)(x g 在0x 附近的函数值产生的误差，当0x x →时，这个误差无限变小）例1.由1sin lim 0=→x xx 得，x x ~sin （0→x ），或者)0()(sin →+=x x o x x 则x x x o -=sin )(①计算 02058.0)5.0(-≈o 01058.0)4.0(-≈o 00448.0)3.0(-≈o 00133.0)2.0(-≈o 0001666.0)1.0(-≈o 我们发现，x 越接近0，x sin 与x 的差值)(x o 的越接近于0。

②几何解释.当0→x 时，0)(→x o例2.121cos (6sin 2030lim lim =--→========================→x xHospital L x x x x x 法则）’，从而， 6~s i n 3x x x -（0→x ），或者)0()(6sin 33→+-=x x o x x x （注：)(3x o 是比3x 更高阶的无穷小量）设6)(,sin )(3x x x P x x f -==，则)()()(3x P x f x o -=（0→x ）①计算 00025872.0)5.0(3=o 53105.8)4.0(-⨯≈o 531002.2)3.0(-⨯≈o 631066.2)2.0(-⨯≈o 831033.8)1.0(-⨯≈o我们发现，x 越接近0，x sin 与63x x -的差值)(3x o 比例1中的x sin 和x 的差值更小了.也就是说在0=x 附近，函数6)(3x x x P -=与x x f sin )(=的贴合度更好了。

(完整版)泰勒公式及其应用(数学考研)

第2章预备知识前面一章我们介绍了一下泰勒和他的成就，那他的主要杰作泰勒公式究竟在数学中有多大的用处呢？那么从这一章开始我们就要来学习一下所谓的泰勒公式，首先来了解一下它是在什么样的背景下产生的．给定一个函数)(x f 在点0x 处可微，则有：)()()()(000x x x f x f x x f ∆+∆'+=∆+ο这样当1<<∆x 时可得近似公式x x f x f x x f ∆'+≈∆+)()()(000或))(()()(000x x x f x f x f -'+=，10<<-x x即在0x 点附近，可以用一个x 的线形函数（一次多项式）去逼近函数f ，但这时有两个问题没有解决：（1）近似的程度不好，精确度不高．因为我们只是用一个简单的函数—一次多项式去替代可能是十分复杂的函数f ．（2）近似所产生的误差不能具体估计，只知道舍掉的是一个高阶无穷小量)(0x x -ο，如果要求误差不得超过410-，用))(()(000x x x f x f -'+去替代)(x f 行吗？因此就需要用新的逼近方法去替代函数．在下面这一节我们就来设法解决这两个问题．2.1 Taylor 公式首先看第一个问题，为了提高近似的精确程度，我们可以设想用一个x 的n 次多项式在0x 附近去逼近f ，即令n n x x a x x a a x f )(...)()(0010-++-+= （2.1）从几何上看，这表示不满足在0x 附近用一条直线（曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 的切线）去替代)(x f y =，而是想用一条n 次抛物线n n x x a x x a a x f )(...)()(0010-++-+=去替代它．我们猜想在点))(,(00x f x 附近这两条曲线可能会拟合的更好些．那么系数0a ，1a …n a 如何确定呢？假设f 本身就是一个n 次多项式，显然，要用一个n 次多项式去替代它，最好莫过它自身了，因此应当有n n x x a x x a a x f )(...)()(0010-++-+=于是得：)(00x f a =第2章预备知识2求一次导数可得：)(01x f a '= 又求一次导数可得：!2)(02x f a ''= 这样进行下去可得：!3)(03x f a '''=，!4)(0)4(4x f a =，… ，!)(0)(n x f a n n = 因此当f 是一个n 次多项式时，它就可以表成：k nk k nn x x k x f x x n x fx x x f x f x f )(!)()(!)(...))(()()(000)(00)(000-=-++-'+=∑= （2.2）即0x 附近的点x 处的函数值)(x f 可以通过0x 点的函数值和各级导数值去计算．通过这个特殊的情形，我们得到一个启示，对于一般的函数f ，只要它在0x 点存在直到n 阶的导数，由这些导数构成一个n 次多项式n n n x x n x f x x x f x x x f x f x T )(!)(...)(!2)())(()()(00)(200000-++-''+-'+=称为函数)(x f 在点0x 处的泰勒多项式，)(x T n 的各项系数!)(0)(k x fk ),...,3,2,1(n k = ，称为泰勒系数．因而n 次多项式的n 次泰勒多项式就是它本身．2.2 Taylor 公式的各种余项对于一般的函数，其n 次Taylor 多项式与函数本身又有什么关系呢？函数在某点0x 附近能近似地用它在0x 点的n 次泰勒多项式去替代吗？如果可以，那怎样估计误差呢？下面的Taylor 定理就是回答这个问题的．定理1]10[ (带拉格朗日型余项的Taylor 公式)假设函数)(x f 在h x x ≤-||0上存在直至1+n 阶的连续导函数，则对任一],[00h x h x x +-∈,泰勒公式的余项为10)1()()!1()()(++-+=n n n x x n f x R ξ其中)(00x x x -+=θξ为0x 与x 间的一个值.即有10)1(00)(000)()!1()()(!)(...))(()()(++-++-++-'+=n n nn x x n f x x n x fx x x f x f x f ξ (2.3) 推论1]10[ 当0=n ，（2.3）式即为拉格朗日中值公式：))(()()(00x x f x f x f -'=-ξ所以，泰勒定理也可以看作是拉格朗日中值定理的推广．推论2]10[ 在定理1中,若令)0()()1(!)()(101)1(>--⋅=+-++p x x n p fx R n p n n n θξ则称)(x R n 为一般形式的余项公式, 其中0x x x --=ξθ．在上式中，1+=n p 即为拉格朗日型余项．若令1=p ，则得)0()()1(!)()(10)1(>--=++p x x n f x R n n n n θξ,此式称为柯西余项公式．当00=x ，得到泰勒公式：11)(2)!1()(!)0(...!2)0()0()0()(++++++''+'+=n n n n x n x f x n f x f x f f x f θ）（，)10(<<θ （2.4）则（2.4）式称为带有拉格朗日型余项的麦克劳林公式．定理２]10[ （带皮亚诺型的余项的Taylor 公式）若函数f 在点0x 处存在直至n 阶导数，则有∑=-=nk k k n x x k x fx P 000)()(!)()(， )()()(x P x f x R n n -=．则当0x x →时，))(()(0n n x x x R -=ο．即有))(()(!)(...))(()()(000)(000n n n x x x x n x f x x x f x f x f -+-++-'+=ο （2.5）定理3所证的（2.5）公式称为函数)(x f 在点0x 处的泰勒公式，)()()(x P x f x R n n -=，称为泰勒公式的余项的，形如))((0n x x -ο的余项称为皮亚诺型余项，所以（2.5）式又称为带有皮亚诺型余项的泰勒公式当（2.5）式中00=x 时，可得到)(!)0(...!2)0()0()0()()(2n nn x x n f x f x f f x f ο+++''+'+= （2.6）（2.6）式称为带有皮亚诺型余项的麦克劳林公式，此展开式在一些求极限的题目中有重要应用．由于))(()(0n n x x x R -=ο，函数的各阶泰勒公式事实上是函数无穷小的一种精细分析，也是在无穷小领域将超越运算转化为整幂运算的手段．这一手段使得我们可能将无理的或超越函数的极限，转化为有理式的极限，从而使得由超越函数所带来的极限式的奇性或不定性，得以有效的约除，这就极大的简化了极限的运算．这在后面的应用中给以介绍．第2章预备知识4定理３设0>h ，函数)(x f 在);(0h x U 内具有2+n 阶连续导数，且0)(0)2(≠+x f n ，)(x f 在);(0h x U 内的泰勒公式为10,)!1()(!)(...)()()(10)1(0)(000<<+++++'+=+++θθn n n n h n h x fh n x fh x f x f h x f （2.7）则21lim 0+=→n h θ．证明：)(x f 在);(0h x U 内的带皮亚诺型余项的泰勒公式：)()!2()()!1()(!)(...)()()(220)2(10)1(0)(000++++++++++++'+=+n n n n n n n h h n x f h n x f h n x f h x f x f h x f ο将上式与（2.7）式两边分别相减，可得出)()!2()()!1()(-)(220)2(10)1(0)1(++++++++=++n n n n n n h h n x fhn x fh x fοθ，从而220)2(0)1(0)1()()!2()()()()!1(+++++++=-+⋅+n n n n n h h n x f h x f h x fn οθθθ，令0→h ，得)!2()()(lim )!1(10)2(0)2(0+=⋅⋅+++→n x fx f n n n h θ，故21lim 0+=→n h θ．由上面的证明我们可以看得出，当n 趋近于无穷大时，泰勒公式的近似效果越好，拟合程度也越好．第3章泰勒公式的应用由于泰勒公式涉及到的是某一定点0x 及0x 处函数)(0x f 及n 阶导数值：)(0x f '，)(0x f ''，…，)(0)(x fn ，以及用这些值表示动点x 处的函数值)(x f ，本章研究泰勒公式的具体应用，比如近似计算，证明中值公式，求极限等中的应用．3.1 应用Taylor 公式证明等式例3.1.1 设)(x f 在[]b a ,上三次可导，试证： ),(b a c ∈∃，使得3))((241))(2()()(a b c f a b b a f a f b f -'''+-+'+= 证明： (利用待定系数法)设k 为使下列式子成立的实数：0)(241))(2()()(3=---+'--a b k a b b a f a f b f （3.1）这时，我们的问题归为证明：),(b a c ∈∃，使得：)(c f k '''=令3)(241))(2()()()(a x k a x x a f a f x f x g ---+'--=，则0)()(==b g a g ．根据罗尔定理，),(b a ∈∃ξ，使得0)(='ξg ，即：0)(82)()2()2()(2=---+''-+'-'a k a a f a f f ξξξξξ 这是关于k 的方程，注意到)(ξf '在点2ξ+a 处的泰勒公式：2))((812)()2()2()(a c f a a f a f f -'''+-+''++'='ξξξξξ 其中),(b a c ∈∃，比较可得原命题成立．例3.1.2 设)(x f 在[]b a ,上有二阶导数，试证：),(b a c ∈∃，使得3))((241)2()()(a b c f b a f a b dx x f ba-''++-=⎰．（3.2）证明：记20ba x +=，则)(x f 在0x 处泰勒公式展开式为： 20000)(2)())(()()(x x f x x x f x f x f -''+-'+=ξ （3.3）对（3.3）式两端同时取[]b a ,上的积分，注意右端第二项积分为0，对于第三项的积分，由于导数有介值性，第一积分中值定理成立：),(b a c ∈∃，使得第3章泰勒公式的应用632020))((121)()())((a b c f dx x x c f dx x x f baba-''=-''=-''⎰⎰ξ 因此原命题式成立．因此可以从上述两个例子中得出泰勒公式可以用来证明一些恒等式，既可以证明微分中值等式，也可以证明积分中值等式．以后在遇到一些等式的证明时，不妨可以尝试用泰勒公式来证明．证明等式后我们在思考，它能否用来证明不等式呢？经研究是可以的，下面我们通过几个例子来说明一下．3.2 应用Taylor 公式证明不等式例3.4设)(x f 在[]b a ,上二次可微，0)(<''x f ，试证：b x x x a n ≤<<≤≤∀...21，0≥i k ，11=∑=n i i k ，∑∑==>ni i i n i i i x f k x k f 11)()(．证明：取∑==ni i i x k x 10，将)(i x f 在0x x =处展开))(()()(2)())(()()(00020000x x x f x f x x f x x x f x f x f i i i i i -'+<-''+-'+=ξ 其中()n i ,...,3,2,1=．以i k 乘此式两端，然后n 个不等式相加，注意11=∑=ni i k()00110=-=-∑∑==x x k x xk ni i i ni ii得：)()()(101∑∑===<ni i i ni i ix k f x f x f k．例3.2.2 设)(x f 在[]1,0上有二阶导数，当10≤≤x 时，1)(≤x f ，2)(<''x f ．试证：当10≤≤x 时，3)(≤'x f ．证明：)(t f 在x 处的泰勒展开式为：2)(!2)())(()()(x t f x t a f x f t f -''+-'+=ξ 其中将t 分别换为1=t ，0=t 可得：2)1(!2)()1)(()()1(x f x x f x f f -''+-'+=ξ （3.4） 2)(!2)())(()()0(x f x x f x f f -''+-'+=η （3.5）所以（3.4）式减（3.5）式得：22!2)()1(!2)()()0()1(x f x f x f f f ηξ''--''+'=- 从而，312)1(2)(21)1()(21)0()1()(2222=+≤+-+≤''+-''++≤'x x x f x f f f x f ηξ 例3.2.3 设)(x f 在[]b a ,上二阶可导，0)()(='='b f a f ，证明：),(b a ∈∃ξ，有|)()(|)(4|)(|2a fb f a b f --≥''ξ．证明：)(x f 在a x =，b x =处的泰勒展开式分别为：21)(!2)())(()()(a x f a x a f a f x f -''+-'+=ξ，),(1x a ∈ξ 22)(!2)())(()()(b x f b x b f b f x f -''+-'+=ξ，),(2b x ∈ξ令2ba x +=，则有 4)(!2)()()2(21a b f a f b a f -''+=+ξ，)2,(1ba a +∈ξ （3.6）4)(!2)()()2(22a b f b f b a f -''+=+ξ，),2(2b b a +∈ξ （3.7）（3.7）－（3.6）得：[]0)()(8)()()(122=''-''-+-ξξf f a b a f b f 则有[])()(8)()()(8)()()(122122ξξξξf f a b f f a b a f b f ''+''-≤''-''-=- 令{})(,)(max )(21ξξξf f f ''''=''，即有|)()(|)(4|)(|2a fb f a b f --≥''ξ．例3.2.4 设)(x f 二次可微，0)1()0(==f f ，2)(max 10=≤≤x f x ，试证：16)(min 10-≤''≤≤x f x ．证明：因)(x f 在[]1,0上连续，故有最大值，最小值．又因2)(max 10=≤≤x f x ，0)1()0(==f f ，故最大值在()1,0内部达到，所以()1,00∈∃x 使得)(max )(100x f x f x ≤≤=于是)(0x f 为极大值，由费马定理有：0)(0='x f ，在0x x =处按Taylor 公式展开：)1,0(,∈∃ηξ使得：第3章泰勒公式的应用82002)()()0(0x f x f f ξ''+==，（3.8） 200)1(2)()()1(0x f x f f -''+==η．（3.9）因此{}⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧---=''''≤''≤≤202010)1(4,4min )(),(min )(min x x f f x f x ηξ 而⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,210x 时，16)1(4)1(4,4min 202020-≤--=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧---x x x ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈21,00x 时，164)1(4,4min 202020-≤-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧---x x x ．所以，16)(min 10-≤''≤≤x f x ．由上述几个例题可以看出泰勒公式还可以用来证明不等式，例3.2.1说明泰勒公式可以根据题目的条件来证明函数的凹凸性，例3.2.2说明可以对某些函数在一定范围内的界进行估计，例3.2.3是用泰勒公式证明中值不等式，例3.2.4与例3.2.2很相似，只不过前者是界的估计，后者是对导数的中值估计．证明不等式有很多种方法，而学习了泰勒公式后，又增添了一种方法，在以后的学习中我们要会灵活应用．但前提是要满足应用的条件，那就是泰勒公式成立的条件．3.3 应用Taylor 公式求极限例3.3.1求422cos limxex x x -→-．解：在这里我们用泰勒公式求解，考虑到极限，用带皮亚诺型余项的麦克劳林公式展开，则有)(2421cos 542x x x x ο++-=)(82154222x x x ex ο++-=-)(12cos 5422x x ex x ο+-=--所以，121)(12lim cos lim4540242-=+-=-→-→xx x xex x x x ο．像这类函数用泰勒公式求极限就比较简单，因为使用洛毕达法则比较麻烦和复杂．例 3.3.2 设函数)(x ϕ在[)+∞,0上二次连续可微，如果)(lim x x ϕ+∞→存在，且)(x ϕ''在[)+∞,0上有界，试证：0)(lim ='+∞→x x ϕ．证明：要证明0)(lim ='+∞→x x ϕ，即要证明：0>∀ε，0>∃δ．当M x >时()εϕ<'x ．利用Taylor 公式，0>∀h ，2)(21)()()(h h x x h x ξϕϕϕϕ''+'+=+ （3.10）即[]h x h x h x )(21)()(1)(ξϕϕϕϕ''--+=' （3.11）记)(lim x A x ϕ+∞→=，因)(x ϕ''有界，所以0>∃M ，使得M x ≤'')(ϕ， )0(≥∀x故由（3.11）知[]h x A A h x h x |)(|21)()(1)(ξϕϕϕϕ''+-+-+≤' （3.12） 0>∀ε，首先可取0>h 充分小，使得221ε<Mh ，然后将h 固定，因)(lim x A x ϕ+∞→=，所以0>∃δ，当δ>x 时[]2)()(1εϕϕ<-+-+x A A h x h 从而由（3.12）式即得：εεεϕ=+<'22)(x ．即0)(lim ='+∞→x x ϕ例3.3.3 判断下列函数的曲线是否存在渐近线，若存在的话，求出渐近线方程．（1）32)1)(2(+-=x x y ；（2）)1(cos 2215x e xx y --=．解：（1）首先设所求的渐近线为 b ax y +=，并令 xu 1=，则有：第3章泰勒公式的应用100)(1lim )()321)(321(lim )1()21(lim])1)(2([lim 003231032=+--=+--+-=--+-=--+-→→→∞→uu bu a u u bu a u u ubu a u u b ax x x u u u x οο从中解出：1=a ，0=b ．所以有渐近线：x y =．（2）设b ax y +=，xu 1=，则有 0)()4221)(2421(lim cos lim ])1(cos [lim 554424205542021522=+--⋅+-+-=---=---→-→-∞→u u bu au u u u u u bu au e u b ax e x x u u u xx ο从中解出：121-=a ，0,1==b a ．所以有渐近线：x y 121-=．从上面的例子中我们可以看得出泰勒公式在判断函数渐近线时的作用，因而我们在判断函数形态时可以考虑这个方法，通过求极限来求函数的渐进线．上述三个例子都是泰勒公式在求极限的题目上的应用，例3.3.1是在具体点或者是特殊点的极限，而第二个例子是求无穷远处的极限，第三个是利用极限来求函数的渐近线，学习了数学分析，我们知道求极限的方法多种多样，但对于有些复杂的题目我们用洛必达法则或其他方法是很难求出，或者是比较复杂的，我们不妨用泰勒公式来解决．3.4 应用Taylor 公式求中值点的极限例3.4.1]4[ 设(1))(x f 在),(00δδ+-x x 内是n 阶连续可微函数，此处0>δ； (2)当)1(,...,3,2-=n k 时，有0)(0)(=x f k ，但是0)(0)(≠x f n ；(3)当δ<≠h 0时有))(()()(000h h x f hx f h x f θ+'=-+．（3.13）其中1)(0<<h θ，证明：101)(lim -→=n h nh θ．证明：要求出)(h θ的极限必须设法解出)(h θ，因此将（3.13）式左边的)(0h x f +及右端的))((0h h x f θ+'在0x 处展开，注意条件(2)，知)1,0(,21∈∃θθ使得())(!)()()(10000h x f n h x f h x f h x f n n θ++'+=+，（3.14） ))(()!1())(()())((20)(1100h h x f n h h x f h h x f n n n θθθθ+-+'=+'--，（3.15）于是（3.13）式变为=++'-)(!)(10)(10h x f n h x f n n θ))(()!1())(()(20)(110h h x f n h h x f n n n θθθ+-+'--从而120)(10)())(()()(-++=n n n h h x nf h x f h θθθθ．因)1,0()(,,21∈h θθθ，利用)()(x f n 的连续性，由此可得101)(lim -→=n h nh θ．这个例子可以作为定理来使用，但前提是要满足条件．以后只要遇到相关的题目就可以简单应用．3.5 应用Taylor 公式近似计算由于泰勒公式主要是用一个多项式去逼近函数，因而可用于求某些函数的近似值，或根据误差确定变量范围．特别是计算机编程上的计算．例3.5.1 求：（1）计算e 的值，使其误差不超过610-；（2）用泰勒多项式逼近正弦函数x sin ，要求误差不超过310-，以2=m 的情形讨论x 的取值范围．解：(1) 由于x e 的麦克劳林的泰勒展开式为： 10,)!1(!...!2112<<++++++=+θθn xn x x n e n x x x e 当1=x 时，有)!1(!1...!2111++++++=n e n e θ故)!1(3)!1()1(+<+=n n e R n θ．当9=n 时，有第3章泰勒公式的应用 12691036288003!103)1(-<<=R 从而省略)1(9R 而求得e 的近似值为： 718285.2!91...!31!2111≈+++++≈e (2) 当2=m 时， 6sin 3x x x -≈，使其误差满足： 355410!5!5cos )(-<≤=x x x x R θ 只需6543.0<x （弧度），即大约在原点左右37°29′38″范围内，上述三次多项式逼近的误差不超过310-．3.6 应用Taylor 公式求极值定理3.1 ]12[ 设f 在0x 附近有1+n 阶连续导数，且)(0x f ')(0x f ''=0)(...0)(===x f n ， 0)(0)1(≠+x f n（1）如果n 为偶数，则0x 不是f 的极值点．（2）如果n 为奇数，则0x 是f 的严格极值点，且当0)(0)1(>+x fn 时，0x 是f 的严格极小值点；当0)(0)1(<+x f n 时，0x 是f 的严格极大值点．证明：将f 在0x 点处作带皮亚诺型余项的Taylor 展开，即：))(()()!1()()()(10100)1(0+++-+-++=n n n x x x x n x f x f x f ο 于是1010100)1(0)()())(()!1()()()(++++-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--++=-n n n n x x x x x x n x f x f x f ο 由于)!1()()())(()!1()(lim 0)1(10100)1(0+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--++++++→n x f x x x x n x f n n n n x x ο 故0>∃δ，),(00δδ+-x x 中，10100)1()())(()!1()(+++--++n n n x x x x n x f ο与)!1()(0)1(++n x f n 同号．（1）如果n 为偶数，则由10)(+-n x x 在0x 附近变号知，)()(0x f x f -也变号，故0x 不是f 的极值点．（2）如果n 为奇数，则1+n 为偶数，于是，10)(+-n x x 在0x 附近不变号，故)()(0x f x f -与)!1()(0)1(++n x f n 同号．若0)(0)1(>+x f n ，则)()(0x f x f >，)(),(0,000δδ+-∈∀x x x x x ，0x 为f 的严格极小值点．若0)(0)1(<+x f n ，则)()(0x f x f <，)(),(0,000δδ+-∈∀x x x x x ，0x 为f 的严格极大值点．例3.6.1 试求函数34)1(-x x 的极值．解：设34)1()(-=x x x f ，由于)47()1()(23--='x x x x f ，因此74,1,0=x 是函数的三个稳定点．f 的二阶导数为)287)(1(6)(22+--=''x x x x x f ，由此得，0)1()0(=''=''f f 及0)74(>''f ．所以)(x f 在74=x 时取得极小值．求三阶导数)4306035(6)(23-+-='''x x x x x f ，有0)0(='''f ，0)1(>'''f ．由于31=+n ，则2=n 为偶数，由定理3.1知f 在1=x 不取极值.再求f 的四阶导数)1154535(24)(23)4(-+-=x x x x f ，有0)0()4(<f ．因为41=+n ，则3=n 为奇数，由定理3.1知f 在0=x 处取得极大值．综上所述，0)0(=f 为极大值，82354369127374)74(34-=-=）（）（f 为极小值．由上面的例题我们可以了解到定理3.1也是判断极值的充分条件．3.7 应用Taylor 公式研究函数图形的局部形态定理3.2]12[ 设R X ∈为任一非空集合，X x ∈0，函数R X f →:在0x 处n 阶可导，且满足条件：)(0x f ''0)(...)(0)1(0==='''=-x f x f n ，0)(0)(≠x f n ．（1）n 为偶数，如果)0(0)(0)(<>x f n ，则曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 的邻近位于曲线过此点的切线的上（下）方．（2）n 为奇数，则曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 的邻近位于该点切线的两侧，此时称曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 处与该点的切线横截相交．证明：因为f 在0x 处n 阶可导，并且)(0x f ''0)(...)(0)1(0==='''=-x f x f n ，0)(0)(≠x f n ，所以f 在0x 的开邻域 ),(0δx B 内的n 阶Taylor 公式为第3章泰勒公式的应用 14))(()(!)())(()()(000)(000n n n x x x x n x f x x x f x f x f -+-+-'+=ο )(0x x → 于是[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+-=-'+-n n n nx x x x n x f x x x x x f x f x f )())((!)()())(()()(000)(0000ο 由于!)()())((!)(lim 0)(000)(0n x f x x x x n x f n n n n x x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+→ο 由此可见：0>∃δ，),(0δx B X x ∈∀，有：[]))(()()(000x x x f x f x f -'+-与n n x x n x f )(!)(00)(-同号．（1）当n 为偶数，如果0)(0)(>x f n ，则[]0))(()()(000>-'+-x x x f x f x f ，),(0δx B X x ∈∀这就表明在点))(,(00x f x 邻近，曲线)(x f y =位于切线))(()(000x x x f x f y -'+=的上方；如果0)(0)(<x f n ，则有[]0))(()()(000<-'+-x x x f x f x f ，),(0δx B X x ∈∀因此，在点))(,(00x f x 邻近，曲线)(x f y =位于切线))(()(000x x x f x f y -'+=的下方．（2）当n 为奇数，这时若)0(0)(0)(<>x f n ，则[])0(0))(()()(000<>-'+-x x x f x f x f ， ),(0δx B X x+∈∀ [])0(0))(()()(000><-'+-x x x f x f x f ， ),(0δx B X x-∈∀ 由此知，在0x 的右侧，曲线)(x f y =位于切线))(()(000x x x f x f y -'+=的上（下）方；而在0x 的左侧，曲线)(x f y =位于切线))(()(000x x x f x f y -'+=的下（上）方．因此，曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 处与该点的切线横截相交．3.8 应用Taylor 公式研究线形插值例 3.8.1（线形插值的误差公式）设R b a f →],[:为实一元函数，l 为两点))(,(a f a 与))(,(b f b 所决定的线形函数，即)()()(b f a b a x a f a b x b x l --+--=，l 称为f 在区间],[b a 上的线形插值．如果f 在区间],[b a 上二阶可导，f 在],[b a 上连续，那么，我们可以对这种插值法带来的误差作出估计．应用带Lagrange 型余项Taylor 公式：),(x a ∈∃ξ，),(b x ∈∃η，使得 [][])(2))(()()(2))(()()(21)()()()(21)()()()()()()()(22ζηξηξf a x x b f a b x b f a b a x a x x b f x b x f x b a b a x f x a x f x a a b x b x f b f ab a x x f a f a b x b x f x l ''--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡''--+''----=⎥⎦⎤⎢⎣⎡''-+'---+⎥⎦⎤⎢⎣⎡''-+'---=---+---=-其中，),(b a ∈ζ，最后一个式子是由于0>--a b x b ，0>--ab a x ． )}(),(max{)()())}((),(min{)}(),(min{ηξηξηξηξf f f ab x b f a b a x ab x b a b a x f f f f ''''≤''--+''--≤--+--''''='''' 以及Darboux 定理推得．如果M 为)(x f ''的上界（特别当)(x f ''在],[b a 上连续时，根据最值定理，取)(max ],[x f M b a x ''=∈），则误差估计为 M a b f a x x b x f x l 2)(|)(|2))(()()(2-≤''--≤-ζ，],[b a x ∈∀ 这表明，M 愈小线性插值的逼近效果就会愈好，当M 很小时，曲线)(x f y =的切线改变得不剧烈，这也是符合几何直观的．3.9 应用Taylor 公式研究函数表达式例3.9.1]4[ 设在内有连续三阶导数，且满足方程：)()()(h x f h x f h x f θ+'+=+，10<<θ．(θ与h 无关) （3.16）试证：)(x f 是一次或二次函数．证明：要证)(x f 是一次或二次函数，就是要证0)(≡''x f 或0)(≡'''x f ．因此要将（3.16）式对h 求导，注意θ与h 无关，我们有)()()(h x f h h x f h x f θθθ+''++'=+' （3.17）从而)()()()()(h x f hh x f x f x f h x f θθθ+''=+'-'+'-+' （3.18）令0→h ，对（3.17）式两边取极限得：)()()(x f x f x f ''=''-''θθ，即第3章泰勒公式的应用16 )(2)(x f x f ''=''θ 若21≠θ，由此知0)(≡''x f ，)(x f 为一次函数；若21=θ，则（3.17）式变成：)21(21)21()(h x f h h x f h x f +''++'=+'．此式两端同时对h 求导，减去)(x f ''，除以h ，然后令0→h 取极限，即得0)(≡'''x f ，即)(x f 为二次函数．实际上在一定条件下证明某函数0)(≡x f 的问题，我们称之为归零问题，因此上例实际上也是)(x f ''，)(x f '''的归零。

例谈考研数学中Taylor公式求解不等式问题

，
ｇｖ＜Ｏｖ＞１（）（）
对于（）［ｔ “ ４，ｊ（）＝２ｌ“＋￣ｆ “ ｎ “＋
”“ （）＝２ｎ１ “＋３一＞ｏ “ ＋２＞０应Ｊ（）＝２
用Ｔｙｒａｌ公式知，ｏ存在 ∈（，）使口ｂ，
“＝），１“ １＋，１ｕ１＋，（ —））１＋）一）六 ”） —）六（（（１
一
１，以）所
（一１（一１ｌ＋１）（）ｎｘ一）＝（一１＋（）一１（）一１。）
二
（）２
注意到此处又有
（一１（一１＞０））（）３
所以，（）（）据２、３便知（）１成立，也即要证的不等式得证．例３（０２年硕士研究生入学考试，２０数学二试题）设０＜ａ＜６证明不等式，
口，ｎ口＞（）Ｉｂ—Ｉｎｂ一口．）证毕．
ｆｂ一
、
注意到此处Ｅ（，）ｃ（，）一ｏｏ１
＜ｏ所以，）＜ｏ也即要证不等式得证．，
例２（９９１９年硕士研究生入学考试，数学一试题）证明当＞０，一１ｌ时（）ｘ≥ （ｎ一１）证明因为原不等式也即（一１（＋１ｌｘ一＋１）（）ｎ）≥ Ｏｘ＞Ｏ（）
说明对于不等式问题，不论准备使用什么方法，首先考虑对要证明的不等式做适当的等价
变形是需要引起重视的．例４（０４２０年硕士研究生入学考试，数学一、数学二试题）设ｅ＜口＜ｂ＜ｅ，证明Ｉ２ｎ６－ｌ口＞（ｎ６一口）

考研泰勒公式大全

考研泰勒公式大全考研泰勒公式是考研数学中的一个重要知识点，也是数学分析中的经典内容。

它是基于函数的无数阶导数和函数值之间的关系，可以用来近似计算函数的值。

由于涉及到较多的公式推导和应用场景，下面将详细介绍泰勒公式的推导过程和一些常见的应用。

1.雅可比泰勒公式泰勒公式的最基本形式是雅可比泰勒公式，它可以通过有限次的求导得到。

假设函数f(x)在x=a处具有无限次可导，那么在x=a处，f(x)的泰勒展开式可以写作：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+...+f^n(a)(x-a)^n/n!+Rn(x)（1）其中，f'(a)表示f(x)在x=a处的一阶导数，f''(a)表示f(x)在x=a 处的二阶导数，f^n(a)表示f(x)在x=a处的n阶导数，(x-a)^n表示(x-a)的n次幂，n!表示n的阶乘。

公式（1）中的最后一项Rn(x)表示余项，用来衡量泰勒展开式与原函数之间的误差。

当n趋向于无穷大时，如果余项Rn(x)趋于0，则泰勒展开式可以无限逼近原函数f(x)，也就是可以用泰勒展开式来近似计算f(x)的值。

2.泰勒公式的推导泰勒公式的推导步骤可以通过数学归纳法来进行证明。

首先，我们有泰勒公式的一阶导数形式：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+R1(x)其中，R1(x)为余项，我们将其化简为：R1(x)=f(x)-f(a)-f'(a)(x-a)然后，我们对R1(x)进行第一次求导：R1'(x)=f'(x)-f'(a)接着，将R1(x)和R1'(x)带入泰勒公式的形式中，我们可以得到泰勒公式的二阶导数形式：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+R2(x)其中，R2(x)为二阶导数形式的余项，其化简步骤为：R2(x)=f(x)-f(a)-f'(a)(x-a)-f''(a)(x-a)^2/2!通过类似的推导方式，我们可以继续得到更高阶导数形式的泰勒公式，即得到公式（1）的形式。

泰勒(taylor)公式在不等式证明中的应用

泰勒(taylor)公式在不等式证明中的应用
礼节介绍
1、泰勒公式是由美国数学家乔治·布莱尔·泰勒于1815年发明的，它是一种用来分析函数在某一点处的切线和曲线抛物线的数学工具，从而可以估计函数类型和特征。

2、泰勒公式可以用于函数无穷小展开式的应用，它可以解决许多函数的不等式证明、微积分和科学计算等问题。

3、泰勒公式的主要用在不等式证明中，它可以帮助数学家分析函数的某个特定点处的变化情况，从而推导出函数的不等式，有效地证明这个不等式。

4、使用泰勒公式证明不等式的步骤是:
(1)通过求解函数的导数来理解函数某点处的变化情况；
(2)求解函数在某处的切线；
(3)使用抛物线来拟合函数；
(4)使用推到出的抛物线上的不等式来表述函数中的不等式；
(5)最后，需要对不等式进行证明。

5、由于泰勒公式对函数分析和验证都有极大的帮助，它广泛应用于统计学、总体估计、微分方程、函数优化等多个领域中。

此外，它也可以为有效管理和校验一些数值问题提供有力的帮手，也是数学科学领域中数值分析的有力工具。

泰勒公式在证明不等式中的应用

泰勒公式在证明不等式中的应用
泰勒公式是高等数学中的一个重要定理，它可以将一个函数在某一点附近展开成一个无限项的多项式，从而方便我们对函数进行研究和计算。

在不等式的证明中，泰勒公式也有着重要的应用。

我们来看一个简单的例子。

假设我们要证明如下不等式：
$$e^x \geq 1 + x$$
其中，$x$为任意实数。

我们可以使用泰勒公式将$e^x$在$x=0$处展开，得到：
$$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$$
将这个式子代入原不等式中，得到：
$$1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots \geq 1 + x$$
化简可得：
$$\frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots \geq 0$$
显然，左边的式子恒大于等于0，因此原不等式成立。

这个例子展示了泰勒公式在不等式证明中的应用。

我们可以将一个函数在某一点附近展开成一个多项式，然后通过比较多项式的系数来证明不等式的成立。

当然，泰勒公式的应用不仅限于这个简单的例子。

在实际的数学研究中，我们常常需要证明各种各样的不等式，而泰勒公式可以为我们提供一个有力的工具。

泰勒公式在不等式证明中的应用是非常广泛的。

通过将一个函数在某一点附近展开成一个多项式，我们可以方便地对函数进行研究和计算，从而证明各种各样的不等式。

因此，掌握泰勒公式的应用是非常重要的。

关于泰勒_Taylor_公式的几点应用

（１）
因此必须有 f（０）＝－３，f｀（０）＝０，f｀｀（０）＝９，于是
其中
，称为拉格朗日
型余项。所以（１）式称为带有拉格朗日型余项的泰勒公式。
２Ｔａｙｌｏｒ公式的应用
２．１在求解极限方面的应用
２．２在证明不等式中的应用例３设 f（x）是［０，a］上的连续正值函数，且 f｀｀（x）≥ ０，a＞０，证：
由（３）得，
（３）时成立。（４）
参考文献
［１］华东师范大学数学．数学分析上册（第三版）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００２：１３４，１３８．
［２］裴礼文．数学分析中的典型问题与方法［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００２：１７３，１７９．
［３］余力，刘三阳．带皮亚诺型余项的泰勒公式及其应用［Ｊ］．高等数学研究，２００３：６．１５．
学术论坛
科技资讯２００８ＮＯ．１８
ＳＣＩＥＮＣＥ＆ＴＥＣＨＮＯＬＯＧＹＩＮＦＯＲＭＡＴＩＯＮ
关于泰勒（Ｔａｙｌｏｒ）公式的几点应用
潘红储亚伟（阜阳大学数学与计算科学学院安徽阜阳２３６０４１）
摘要：通过典型例题阐述了泰勒公式在求解极限、判定级数及广义积分敛散性方面和计算行列式方面的应用及技巧。关键词：泰勒公式极限不等式敛散性应用中图分类号：Ｏ１７文献标识码：Ａ文章编号：１６７２－３７９１（２００８）０６（ｃ）－０２４７－０２
［１］姜大源．职业教育学研究新论［Ｊ］．北京：
教育科学出版社，２００７．［２］姜大源．当代德国职业教育主流教学思想
研究［Ｊ］．北京：清华大学出版社，２００７．［３］陈永芳．职业技术教育专业教学论［Ｊ］．北
京：清华大学出版社，２００７．［４］戴士弘．职业教育课程教学改革［Ｊ］．北京：

例谈考研数学中Taylor公式求解不等式问题

（２）
二Ｓ
注意到此处又有
（ｆ一１）ｘ一１）３＞０
（３）
所以，据（２）、（３）便知（１）成立，也即要证的不等式得证．
：币ｉ＜百＜面例３（２００２年硕士研究生入学考试，数学二试题）设０＜口＜ｂ，证明不等式
２口ｌｎｂ—ｌｎａ
１
·收稿日期；２００６—０９—１８
万方数据
第１０卷第５期
赵奎奇：例谈考研数学中Ｔａｙｌｏｒ公式求解不等式问题
前面几个例子的解决，是应用如上公式导出的思想，也即Ｔａｙｌｏｒ公式结合导数判定函数单调性的应用．这里笔者不希望记住如ｈ公式去解题．而希望会应用Ｔａｙｌｏｒ公式解决类似问题．
参考文献
［１】《大学数学》编辑部．硕士研究生入学考试数学题精解［肘］．合肥：合肥工业大学，２００４．［２］教育部考试中心．全国硕士研究生入学统一考试数学考试分析［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００６．
’ ｎ，
／”１’（戈）＞ｏ（茗∈（口，６））时，Ｖ石∈（８，６］有八戈）＞∑六／Ｄ（口）（戈一ｏ）‘；
ｎ一１
１
／（¨（茗）＜ｏ（石Ｅａ，６））时，Ｖ髫Ｅａ，６］有以石）＜∑者，”（。）（菇一口）‘；
／”１’（茁）＜ｏ（石∈（ｏ，６））时，Ｖ菇∈ａ，６］有八髫）＜∑者，”（口）（ｚ一口）‘．Ｉ＝０ｎ；
中图分类号０１７２
利用Ｌａｇｒａｎｇｅ中值定理和导数判定函数的单调性证明不等式问题，经常出现在硕士研究生入学考试题之中，而Ｔａｙｌｏｒ公式作为Ｌａｇｒａｎｇｅ中值定理的推广是高等数学要求掌握的内容之一．这里以研究生入学考试题为例，介绍Ｔａｙｌｏｒ公式结合导数判定函数的单调性证明不等式问题的方法．
２３
证明………组．Ｉｎ－鱼ｐ。－ｂ１＜一）％毒．一、（ｌ专（訾ｂ告删砖ｕ一㈧：

泰勒(Taylor)公式在不等式证明中的应用

泰勒（Taylor）公式在不等式证明中的应用作者：司秀林
来源：《知识文库》2020年第08期
不等式的证明是一个较难解决的课题，它的证明比较复杂。

本文给出了利用泰勒（Taylor）公式证明不等式的方法。

实例证明这种方法是很有效的一种方法。

不等式的证明一般方法有：
（1）利用函数的单调性和凸凹性;（2）利用拉格朗日中值定理;（3）利用二重积分。

本文给出了利用泰勒（Taylor）公式证明不等式的实例，并由多年的教学经验总结了这种方法的应用特点及相应的结论，为进行不等式的证明提供了一种非常有效，又简单的方法。

3 结论
在不等式证明过程中，如果条件或结论中涉及高阶导数且有界，可试用Taylor公式证之。

并进行了实例的验证，这种方法确实是简单实用、行之有效的一种好方法。

当然Taylor公式的应用还有很多，比如和微积分的性质结合，进行不等式的证明，都是十分有用的方法，也將是以后要重点研究的方向。

（作者单位：辽宁科技大学理学院）。

巧用泰勒展开式解高考中函数不等式相关问题

巧用泰勒展开式解高考中函数不等式相关问题函数不等式，即一种经典的高考中的数学问题，在解决该问题的过程中，应用泰勒展开式大有裨益。

泰勒展开式是求解多元函数时常用的一种数学方法，可以用来求解函数不等式的正确答案。

这里将以一个求解不等式的例子，来介绍如何使用泰勒展开式来解决函数不等式问题。

首先，要解决函数不等式问题，需要了解原函数，并将其转化为可以使用泰勒展开式表达的形式，比如：函数不等式f(x)=2x^2+3x+5≥0，可以将其转化为f(x)=2(x-1)(x-2)+7≥0的形式。

然后，将原函数的参数代入泰勒展开式，根据泰勒展开式的定义，将函数不等式转化为多项式形式，从比较大小的原则出发，求解函数不等式的正确答案。

例如，f(x)=2(x-1)(x-2)+7≥0，带入泰勒展开式，得到：2(x²-3x+2)+7≥0，此时将函数不等式得到一个P(x)>=0的形式，其中P(x)=-3x²+6x-9，求解该不等式，根据不等式的性质，当P(x)<=0时，f(x)>=0，而当P(x)>=0时，f(x)<=0。

因此，这里的P(x)<=0的解为：x<=3 或 x>=2。

显然，整体的解为x<=3，因此最终解得函数不等式的解为：x<=3。

通过以上的分析，可以看出，泰勒展开式在求解高考中的函数不等式问题时，具有独特的作用，可以更加快捷的得到准确的答案。

虽然，泰勒展开式的使用只能用于一些比较简单的函数不等式问题，但在解决更复杂的问题时，仍然可以作为重要的辅助手段，使函数不等式问题得以有效解决。

此外，在解高考中的函数不等式问题时，应用泰勒展开式的过程还可以使用数学变换的方法，来更好地求解函数不等式。

例如：函数不等式f(x)=-5x+7≤0，可以将其变换为f(x)=2x-3≤0，之后结合泰勒展开式进行求解。

首先，用泰勒展开式将f(x)转化为P(x)=2x²-6x+9≤0，此时P(x)<=0的解为x<=3或 x>=2，所以最终的解为x<=3。

泰勒级数放缩不等式

泰勒级数放缩不等式泰勒级数是数学分析中的一个重要概念，它可以将一个函数用无穷阶可导的多项式来逼近。

泰勒级数放缩不等式是在泰勒级数的基础上，通过放缩的方式得到的一类数学不等式。

本文将介绍泰勒级数放缩不等式的定义、性质以及应用。

首先，让我们来了解一下泰勒级数的概念。

泰勒级数是将一个函数在某一点的邻域内展开成多项式的形式。

具体而言，对于一个函数f(x)，它的泰勒级数展开式可以表示为：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + f'''(a)(x-a)^3/3! + ...其中，f'(a)表示函数f(x)在点a处的一阶导数，f''(a)表示二阶导数，f'''(a)表示三阶导数，以此类推。

泰勒级数可以用于逼近函数的值，特别是当我们无法直接计算函数的值时，通过截取泰勒级数的有限项，可以得到一个足够精确的近似值。

接下来，我们来介绍泰勒级数放缩不等式的概念。

泰勒级数放缩不等式是通过对泰勒级数进行放缩的方式得到的一类不等式。

具体而言，对于一个函数f(x)，假设它的泰勒级数展开式在某一区间上收敛。

那么对于该区间内的任意x，我们可以通过截取泰勒级数的有限项，得到一个函数f(x)的近似值g(x)，并且满足以下不等式：|f(x) - g(x)| ≤ M(x-a)^(n+1)/(n+1)!其中，M是一个正常数，n是截取泰勒级数的项数，a是展开点。

泰勒级数放缩不等式的意义在于，通过对泰勒级数进行适当的截取和放缩，可以得到一个误差有界的近似函数，从而方便我们进行数值计算和数学推导。

泰勒级数放缩不等式的应用非常广泛。

一方面，在数值计算中，泰勒级数放缩不等式可以用于近似计算复杂函数的值，从而简化计算过程。

另一方面，在数学推导中，泰勒级数放缩不等式可以用于估计函数的上界和下界，从而得到一些重要的数学结论。

考研数学泰勒展开备考技巧

考研数学泰勒展开备考技巧考研数学泰勒展开作为高等数学中一个重要的概念，在考研数学中也经常被考到。

掌握好泰勒展开的备考技巧，对于考生来说是至关重要的。

本文将从泰勒展开的基本原理、常用公式和解题技巧等方面进行探讨，旨在帮助考生更好地备考和应对考试。

一、泰勒展开的基本原理泰勒展开是指将一个函数在某一点附近展开成一列无穷级数的方法。

它的基本原理是使用函数的导数来逼近函数的值。

泰勒展开可以将一个复杂的函数在某一点处用一个无穷级数来代替，从而简化计算和分析。

二、常用泰勒展开公式1. f(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + f''(a)(x - a)^2/2! + f'''(a)(x - a)^3/3! + ...上述公式为函数在a点展开的一阶泰勒展开式，其中f’(a)表示函数f(x)在点a处的一阶导数，f''(a)表示函数f(x)在点a处的二阶导数，以此类推。

考生在备考中可以通过求函数的导数来确定泰勒展开的各项系数。

2. sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ...这是常用的一个三角函数sin(x)的泰勒展开式，通过将x代入展开式中的各项，可以得到sin(x)的近似值。

3. e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ...指数函数e^x也有其对应的泰勒展开式，通过将x代入展开式中的各项，可以得到e^x的近似值。

除了上述几个常见的泰勒展开公式外，考生还可以通过求函数的高阶导数和使用麦克劳林展开等方法来得到更为复杂的泰勒展开式。

三、泰勒展开的解题技巧1. 适当选择泰勒展开点在实际应用中，选择合适的展开点是非常重要的。

一般来说，选择一个离解题点较近的展开点可以获得更准确的结果。

此外，可以通过观察函数的性质和特点来判断哪些点适合作为展开点。

2. 快速计算近似值由于泰勒展开能够将复杂的函数用级数表示，考生可以通过截断级数计算得到函数的近似值。

考研高等数学D泰勒、看

令 x = 1 , 得
由于
欲使
由计算可知当 n = 9 时上式成立,
因此
例1. 计算无理数 e 的近似值, 使误差不超过解: 已知的麦克劳林公式为
说明: 注意舍入误差对计算结果的影响.本例若每项四舍五入到小数点后 6 位,则各项舍入误差之和不超过总误差为这时得到的近似值不能保证误差不超过因此计算时中间结果应比精度要求多取一位 .
麦克劳林 (1698 – 1746)
英国数学家, 著作有:《流数论》(1742)《有机几何学》(1720)《代数论》(1742)在第一本著作中给出了后人以他的名字命名的麦克劳林级数.
证: 由题设对
备用题 1.
有
且
下式减上式, 得
令
两边同乘 n != 整数+
假设 e 为有理数
特例:
(1) 当 n = 0 时, 泰勒公式给变出为拉格朗日中值定理
(2) 当 n = 1 时, 泰勒公式变为可见误差
则有
在泰勒公式中若取
则有误差估计式
若在公式成立的区间上
称为麦克劳林（ Maclaurin ）公式.由此得近似公式
二、几个初等函数的麦克劳林公式
其中
要求:
故
令则
2. 余项估计令
(称为余项) ,则有
公式① 称为
的 n 阶泰勒公式 .
公式② 称为n 阶泰勒公式的拉格朗日余项 .
泰勒中值定理:
时, 有
①
其中
②
阶的导数,则当
在不需要余项的精确表达式时, 泰勒公式可写为
注意到
③
④公式③ 称为n 阶泰勒公式的佩亚诺(Peano) 余项 .* 可以证明:④ 式成立
一、泰勒公式的建立二、几个初等函数的麦克劳林公式三、泰勒公式的应用

考研数学中的taylor公式

考研数学中Taylor 公式的灵活运用Taylor 公式是高等数学中的一个重要公式，合理巧妙地利用此公式将会使解题过程简洁、明了。

下面通过几个例题来说明Taylor 公式在以下几类问题中的妙用。

一．求极限例1．求极限22220112lim .(cos )sin x x x x x e x→+-+- 解本题属于0""0型极限，现用Taylor 公式（皮氏余项）来解此题。

由于 222244*********()2222!22x x x x x o x ⎡⎤⎛⎫+-+=+-++-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 2242424424441(cos )sin 1()1()[()]2242!3()2x x x x e x o x x x o x x o x x o x ⎡⎤⎛⎫-=-++-++++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=-+ 所以2424220044()11182lim lim .312(cos )sin ()2x x x x x o x xx e x x o x →→++-+==---+二．求函数的渐近线例2．求函数21()ln 1f x x x ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭的渐近线。

解 ()f x 在0点是可去间断点，且0lim ()0x f x →=，故无垂直渐近线，又()f x 为偶函数，因此，只要考虑x →+∞的情况即可。

由Taylor 公式得2111ln 1()2x x o x x ⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭，因此由渐近线的定义，()f x 有倾斜渐近线12y x =+。

例3．求函数2()f x ax bx c =++（常数,,a b c 满足240ac b ->且0a >）的渐近线。

解由Taylor 公式得12221()112b c b f x ax bx c a x a x o ax ax axx ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦1,021,02b a x x a x b a x x a x αβ⎧⎡⎤++>⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨⎡⎤⎪-++<⎢⎥⎪⎣⎦⎩（,αβ为x →∞时的无穷小量），因此由渐近线的定义，()f x 有两条倾斜渐近线122b b y ax ax ax a ⎡⎤=+=+⎢⎥⎣⎦以及122b b y ax ax ax a ⎡⎤=-+=--⎢⎥⎣⎦。

Taylor不等式在解题中的应用

Taylor不等式在解题中的应用作者：***来源：《中学教学参考·理科版》2021年第09期[摘要]Taylor不等式可以应用在求解参数取值范围、不等式的证明及估值等问题.[关键词]Taylor不等式;参数;不等式;估值[中图分类号] G633.6 [文献标识码] A [文章编号] 1674-6058（2021）26-0026-03Taylor不等式：当[x>0]时，[x-1x≤lnx≤x-1].Taylor不等式的后半部分以一个等价形式[ex>1+xx≠0]出现在普通高中课程标准实验教科书数学A版选修2-2（人民教育出版社，2007年第2版）第32頁B组第1题.Taylor不等式既是命制导数压轴题的重要模型，也是求解导数压轴题的重要工具.一、求参数取值范围问题[例1]已知函数[fx=ln xx-ax2+a].若对任意[x≥1]，有[fx≤0]恒成立，求实数[a]的取值范围.解：当[x=1]时，[fx≤0]显然成立.当[x>1]时，[fx≤0]等价于[a≥ln xxx2-1].由Taylor不等式，当[x>1]时，[x-1x<ln x<x-1]，所以[1x2x+1<ln xxx2-1<][1xx+1].记[gx=ln xxx2-1]（[x>1]），[hx=1x2x+1]（[x>1]），[ix=1xx+1]（[x>1]）.因为[hx=-3x+2x3x+12<0]，所以[hx]在[1，+∞]上单调递减.故[hx<h1=12].因为[ix=-2x+1x2x+12<0]，所以[ix]在[1，+∞]上单调递减.故[ix<i1=12].又因为当[x→+∞]时，[hx→0]，[ix→0]，所以[gx]，[hx]与[ix]的值域均为[0，12].故[a]的取值范围是[12，+∞].评析：恒成立求参数取值范围的问题，分离参数是重要的方法.但本题分离参数后所得函数[gx]的形式较为复杂.借助Taylor不等式放缩所得[hx]与[ix]的形式则较为简单.并且利用双侧逼近的思想确定[gx]的值域，规避了对[gx]求导所可能产生的繁杂运算.[例2]已知函数[fx=2ln x-ax]（[a∈R]）.当[x≥1]时，总有[x fx+a≤0]，求实数[a]的取值范围.引理：当[x>1]时，[ln x<12x-1x].证明：构造函数[mx=ln x-12x-1x]（[x>1]）.则[mx=-x-122x2<0]，所以[mx]在[1，+∞]上单调递减，从而[mx<m1=0].故，当[x>1]时，[ln x<12x-1x].解：[x fx+a≤0]，即[ax2-1≥2xln x].当[x=1]时，[ax2-1≥2xln x]显然成立.当[x>1]时，[ax2-1≥2xln x]等价于[a≥2xln xx2-1].记[gx=2xln xx2-1]（[x>1]），由引理及Taylor不等式，当[x>1]时，[x-1x<ln x<12x-1x]，所以[2x+1<gx<1]. 又因为当[x→1]时，[2x+1→1]，所以[a]的取值范围是[1，+∞].评析：（1）我们希望利用Taylor不等式对[gx]做放缩之后所得到的函数与[gx]的函数取值具有相同的上确界.但是利用[ln x<x-1]放大所得函数[y=2xx+1]与利用[x-1x<ln x]缩小所得函数[y=2x+1]在[1，+∞]上函数取值的上确界并不相同.分析发现，这是由于[ln x<x-1]将[gx]放得太大了.利用引理不等式则不至于将[gx]放大得太多.事实上，引理不等式是Taylor不等式的一个常用加强形式.（2）例1与例2有共性，即分离参数后所得两个函数形式均为[gx=mxnx]，且[limx→x0mx=limx→x0nx=0]（或[limx→x0mx=limx→x0nx=∞]），其中[x0]为函数取值达到上确界（或下确界）时自变量的取值（我们允许[x0]为[+∞]或[-∞]）.因此，若分离参数后所得函数形式不是这种类型的，可以不用双侧逼近，而只需单侧放缩即可，请看例3.[例3]已知函数[fx=xex-a]（[a∈R]，[e]为自然对数的底数），[gx=12x+12].对于任意[x∈-32，+∞]，[fx>gx]恒成立，求[a]的取值范围.解：[fx>gx]即[a<xex-12x+12].记[hx=xex-12x+12]，[x∈-32，+∞].由Taylor不等式，[ex≥x+1]，等号当且仅当[x=0]成立，所以[hx≥xx+1-12x+12=12x2-12≥-12]，等号当且仅当[x=0]成立.故[hx]的值域为[-12，+∞].所以，[a]的取值范围是[-∞，-12].评析：求参数取值范围问题，当分离参数后所得函数含有[ln x]或[ex]的形式时，可考虑利用Taylor不等式对函数做放缩，但放缩前后的函数应在相同自变量的取值处取得相同的上确界（或下确界）.二、不等式的证明[例4]已知函数[fx=ln xx+a]（[a∈R]），曲线[y=fx]在点[e， fe]处的切线方程为[y=1e].求证：当[x>0]时，[fx≤x-1].证明：由条件，解得[a=0]，所以[fx=ln xx].由Taylor不等式，当[x>0]时，[ln x≤x-1]所以[ln xx≤x-1x=1-1x].所以，只需证明当[x>0]时，[1-1x≤x-1]即可.这等价于证明当[x>0]时，[x+1x≥2].由二维均值不等式，显然成立.证毕.评析：本题借助Taylor不等式，证明了[fx≤x-1]的一个加强不等式.当然，本题直接证明[fx≤x-1]也并不困难.但直接证明如下例5却并不容易，采用证明加强不等式的方法会容易得多.[例5]已知函数[fx=2x3+31+mx2+6mx]（[m∈R]）.若[f1=5]，函数[gx=aln x+1-fxx2≤0]在[1，+∞]上恒成立，求证：[a<2e].证明：由[f1=5]，得[m=0]，所以[fx=2x3+3x2]，[gx=aln x+1-2x-3].[gx≤0]等价于[a≤2x+3ln x+1].由Taylor不等式，[ln x≥x-1x]，所以[a≤2x+3x-1x+1=2x2+3x2x-1].记[hx=2x2+3x2x-1]，[x>1].则[hx=2x-32x+12x-12].[hx=0]得[x=32].当[x∈1，32]时，[hx<0];当[x∈32，+∞]时，[hx>0].故[hx]在[1，32]上单调递减，在[32，+∞]上单调递增，所以[hx≥h32=92].故[a≤92<2e].评析：利用Taylor不等式对函数做放缩，寻找所证不等式的加强不等式是证明不等式的好方法.但有些情况下加强不等式的证明可能还需利用分类讨论.请看例6.[例6]函数[fx=aln x-a2x-6x]（[a∈R]）.若[a>0]，证明：当[x∈0， 2]时，[fx<0]恒成立.证明：由Taylor不等式，[ln x≤x-1].故只需证明当[a>0]，且[x∈0， 2]时，[ax-1-a2x-6x<0]，即[a-6x2-ax-a2<0].记[gx=a-6x2-ax-a2]，[x∈0， 2] .则[gx=2a-12x-a].（ⅰ）当[0<a≤6]时，[gx≤g0=-a<0]，所以[gx]在[0， 2]上单调递减.故[gx<g0=-a2<0]成立.（ⅱ）当[a>6]时，[g0=-a2<0]，[g2=-a2+2a-24=-a-12-23<0].故当[x∈0， 2]时，[gx<0]成立.评析：证明不等式的问题，可以利用Taylor不等式寻找原不等式的一个加强不等式来辅助证明.三、估值问题[例7]已知函数[fx=aex-x-1].设[m]为整数，且对于任意正整数[n]，[1+121+122·…·1+12n<m]，求[m]的最小值.解：由Taylor不等式，当[x>0]时，[ex>x+1].依次取[x=12i， i=1， 2，…， n]，则有[1+12<e121+122<e122…1+12n<e12n]将上述[n]个式子相乘，得[i=1n1+12i<i=1ne12i=ei=1n12i=e1-12n<e<3].又因为当[n=3]时，[i=131+12i>2]，所以[m]的最小值为3.評析：本题寻找满足条件的正整数[m]的最小值.解答首先借助于Taylor不等式，找到[m]的一个上界，之后再取[n]的特殊值找出[m]的理想下界，利用双侧逼近的办法，确定出[m]的最小值.有些问题，可以先利用Taylor不等式找到参数的一个理想上界（或下界），之后利用先猜后证的方法确定参数的最值.请看例8和例9.[例8]已知函数[fx=1+ln xx-1-kx].若[fx>0]对任意的[x∈1，+∞]恒成立，求整数[k]的最大值.解：[fx>0]对任意的[x∈1，+∞]恒成立，等价于[k<xx-11+ln x]对任意的[x∈1，+∞]恒成立.由Taylor不等式，[ln x≤x-1]，所以[k<x2x-1]，[x∈1，+∞].记[gx=x2x-1]，[x∈1，+∞]，则[gx=x2-2xx-12].当[x∈1， 2]时，[gx<0];当[x∈2，+∞]时，[gx>0].故[gx]在[1， 2]上单调递减，在[2，+∞]上单调递增，所以[gx≥g2=4]，从而有[k<4].下证整数[k]的最大值为3.当[k=3]时，[fx=1+ln xx-1-3x].[fx>0]即[xln x-2x+3>0].记[hx=xln x-2x+3]，[x∈1，+∞].[hx=ln x-1]，[hx=0]得[x=e].当[x∈1， e]时，[hx<0];当[x∈e，+∞]时，[hx>0].故[hx]在[1， e]上单调递减，在[e，+∞]上单调递增，所以[hx≥he=3-e>0]成立.故整数[k]的最大值为3.[例9]已知函数[fx=aex-x]，[a∈R].若关于[x]的不等式[aex≥x+b]对任意的[x∈R]和正数[b]恒成立，求[ab]的最小值.解：若[a≤0]，因为[b>0]，故当[x=0]时，可得[a≥b]不成立，所以[a>0].因为对任意[x∈R]和正数[b]，[aex≥x+b]恒成立，所以，特别地，对[x=0]也成立.从而有[a≥b]，即[ab≥1].下证[ab]的最小值为1.事实上，取[a=b=1]时，有[ex≥x+1]，此即Taylor不等式，成立.故[ab]的最小值为1.评析：估值问题，常常需要先确定变量的一个大致范围.而Taylor不等式则是构造不等关系，寻找变量大致取值范围的有力工具.Taylor不等式是高中数学中的一个重要的不等式.它以Taylor公式为背景，是连接指数、对数等超越函数与代数函数的桥梁，在函数放缩、简化运算及寻找解题思路中起着重要的作用.因此，教师应当关注对Taylor不等式的教学，精心挑选例题，开展Taylor不等式的探究及应用活动.通过这样的数学活动，让学生了解Taylor不等式的背景，掌握Taylor不等式的常用变形及加强形式，体会Taylor不等式在探寻解题思路中的作用.（责任编辑黄桂坚）。

泰勒级数放缩不等式

泰勒级数放缩不等式
泰勒级数在实数范围[0, +∞)上有收敛，函数值落在圆(x - 0)² + (y - 0)²≤ r²所表示的区域内。

我们可以在此区域内通过泰勒级数展开函数，并利用放缩不等式来估计函数的值。

首先，我们考虑函数f(x)在点x0处的泰勒级数展开：
f(x) = f(x0) + f'(x0)(x - x0) + f''(x0)(x - x0)²/2! + f'''(x0)(x - x0)³/3! + ...
其中，f'(x)、f''(x)、f'''(x)等表示函数在点x的导数。

接下来，我们利用放缩不等式来估计函数的值。

对于任意的正整数n，我们有：
|f(x) - f(x0)| ≤ |f'(x0)|*|x - x0| + |f''(x0)|*|(x - x0)²/2!| + ... + |f(n)(x0)|*|(x -
x0)ⁿ/n!|
其中，|f(n)(x0)|表示函数在点x0的n阶导数的绝对值。

由于我们通常不知道函数的具体形式，我们可以利用泰勒级数的性质和放缩不等式来估计函数的值。

例如，如果函数在某个区间内是凸函数或凹函数，我们可以利用泰勒级数的展开式和放缩不等式来证明这一点。

此外，利用泰勒级数的性质和放缩不等式还可以帮助我们证明函数的某些性质，如函数的单调性、凹凸性等。

探究考研数学中Taylor公式的极限计算技巧

知识文库第12期104探究考研数学中Taylor 公式的极限计算技巧杨静颖汪硕婷1、引言Taylor 公式是微积分中的重要理论，也是求解微积分问题的重要工具. 可是我们在微积分教学中往往只粗略介绍Taylor 公式和麦克劳林公式，对其在解题中的应用讲解很少. 实际上，Taylor 公式在求极限、求积分、求高阶导数的值、判定级数敛散性、证明不等式或恒等式、解微分方程等方面都有应用价值.对于极限计算的技巧，我们常用的方法是等价无穷小的替换和洛必达法则. 但是等价无穷小的替换在加减法替换时有诸多限制，而洛必达法则也经常因多次求导的导数过于复杂，而无法继续降阶. 此时，我们可以选用Taylor 公式来计算极限，同时也很大程度上降低了运算的复杂度.2、预备知识Taylor 中值定理：若函数()f x 在含有0x 的开区间(,)a b 内具有直到1n +阶导数，则当(,)x a b ∈时，有()20000()()()()()()()()2!!()nn n f x f x f x f x f x x x x x x x R n x ''=+-+-+++- .(1)其中，()n R x 称为Taylor 公式(1)的余项.当00x =时，(1)称为麦克劳林公式. 若0(,)x x ξ∈,(1)10()()()(1)!n n n R x fx x n ξ++=-+，则称为拉格朗日余项.若0()()n n R x o x x =-，则称为皮亚诺余项.下面我们介绍常用初等函数的麦克劳林公式. 0(),!inxn i x e o x i ==+∑ 11ln(1)(1)(),ini n i x x o x i -=+=-+∑21210sin (1)(),(21)!i nin i x x o x i ++==-++∑220cos (1)().(2)!inin i x x o x i ==-+∑3、利用Taylor 公式计算极限在利用Taylor 公式计算极限时，首先应确定Taylor 展开的阶数. 如果分母(或分子)是n 阶，那么只需将分子(或分母)展开成n 阶麦克劳林公式.如果分子、分母都需要展开，那么将它们展开到同阶无穷小的阶数. 其次，我们也经常使用泰勒公式与等价无穷小替换相结合的方式，来尽可能的简化极限，直至多项式之比的极限，便可容易的计算出结果.例1（2016数三考研题）求极限41lim(cos 22sin )x x x x x →+.解：首先利用重要极限的性质，原式[]44cos22sin 11cos22sin 1limcos22sin 10=lim 1+(cos 22sin 1)x x x x x x x x x x x x x x x x e→+-+-⋅+-→+-=然后，因为当0x→时指数部分分母4x 是4阶无穷小，所以分子cos 2,2sin x x x 只需展开至4阶麦克劳林公式，即()()244244222cos 21()12(),2!4!3x x x o x x x o x =-++=-++3324412s i n 2()2(),3!3x x x x x o x xx o x ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭所以，指数部分极限为242444444000211(12)(2)1()cos22sin 11333lim lim lim .3x x x x x x x o x x x x x x x x→→→-++--++-===故，原式4cos 22sin 11lim3x x x x xe e→+-==.例2（2015数三考研题）设函数3()ln(1)sin ,()f x x a x bx x g x kx =+++=，若()f x 与()g x 在0x →时为等价无穷小，求,,a b k 的值.解：由()f x 与()g x 在0x →时为等价无穷小得，30()ln(1)sin limlim 1()x x f x x a x bx xg x kx →→+++== (2).其中，因为分母是3阶无穷小，所以只需ln(1),sin x x +展开至3阶麦克劳林公式，即233ln(1)(),23x x x x o x +=-++33sin ().3!x x x o x =-+那么，由(2)式可得2333330234330(())(())233!1lim (1)()()236lim x x x x x x a x o x bx x o x kxa a ba xb x x x o x kx→→+-+++-+=++-+-+= 故由待定系数法得，1,12,13a b k =-=-=-.4、结束语在利用Taylor 公式求极限时，我们在熟记常见的Taylor 公式展开的基础上，要针对具体问题进行灵活运用. 具体问题具体分析，不要形成定势思维，要积极拓展自己的思维方式，融入如Taylor 公式般灵活多变的解题方式.巧妙利用Taylor 公式进行极限计算，可以简便快捷的解决复杂的极限问题. 在考研教学以及日常微积分教学中，渗透Taylor 公式的应用思想不仅可以提高教师的教学水平，而且可以扩宽学生解题思路，提升学生独立解决问题的能力，这对学习和教学都有很大裨益.（作者单位：四川大学锦江学院）. All Rights Reserved.。

泰勒公式在不等式证明中的应用

泰勒公式在不等式证明中的应用作者：孟丽君来源：《文理导航》2017年第02期【摘要】泰勒公式在数学分析里有着重要的地位，并且可以给一些高数题目的求解带来便利。

本文介绍了泰勒公式在一般不等式、积分不等式、导数不等式方面的应用，总结出泰勒公式在证明一般不等式、积分不等式、导数不等式的思路。

【关键词】泰勒公式；不等式一、引言多项式函数是各类函数中最简单的函数，泰勒公式建立了一般函数与多项式函数的联系。

研究泰勒公式，对于我们解决许多数学题目有重要意义。

泰勒公式的重要结论如下：定理1 若函数f（x）在点x0存在直至n阶导数，则有f（x）=Tn（x）+o（（x-x0）n）（1）其中Tn（x）=f（x0）+f′（x0）（x-x0）+（x-x0）2+…+（x-x0）n为泰勒多项式，而o （（x-x0）n）为佩亚诺型余项，（1）式为带有佩亚诺型余项的泰勒公式。

定理2 若函数f（x）在[a，b]存在直至n阶连续导函数，在（a，b）存在n+1阶导函数，则对任意给定的x，x0∈[a，b]，至少存在一点ξ∈（a，b），使得f（x）=Tn（x）+（x-x0）n+1 （2）其中Tn（x）同定理1相同为泰勒多项式，而（x-x0）n+1为拉格朗日余项，（2）式为带有拉格朗日余项的泰勒公式。

一些文献对泰勒公式的应用，如求函数的近似值、求函数的极限、求函数在某点的高阶导数值等，本文着重介绍泰勒公式在证明不等式中的应用，帮助学生系统掌握这部分知识。

二、在证明一般不等式方面的应用泰勒公式在证明一般不等式的题目类型条件约束较低，一般题目中函数只要二阶或二阶以上可导，就可以考虑使用泰勒公式。

例1（哈尔滨工业大学，北京科技大学）设f（x）在[a，b]上二阶可微，f″（x）∀a≤x1kif（xi）证明：因f（x）在[a，b]上二阶可微，从而f（x）用泰勒公式展开到二阶f（x）=f（x0）+f′（x0）（x-x0）+（x-x0）2泰勒公式证明题目的时候要选择恰当的x，x0，本题中选择x=xi，x0=kixi从而上式为：f（xi）=f（kixi）+f′（kixi）（xi-kixi）+（xi-kixi）2将ki乘上式两端，然后n个不等式相加，得出：kif（xi）kif（xi）由已知条件ki=1，可以得出：[kif′（kixi）（xi-kixi）]=f′（kixi）[kixi-ki（kixi）]=0从而kif（xi）（上接第44页）例2（北京师范大学）设f（x）有二阶导数，f（x）≤[f（x-h）+f（x+h）]，试证：f″（x）≥0证明：因f（x）有二阶导数，从而f（x-h），f（x+h）用泰勒公式展开到二阶f（x-h）=f（x）-f′（x）h+h2+o（h2）f（x+h）=f（x）+f′（x）h+h2+o（h2）上面两式相加并除以2，得出[f（x-h）+f（x+h）]=f（x）+h2+o（h2）由已知条件f（x）≤[f（x-h）+f（x+h）]上式可以得出h2+o（h2）≥0⇒+≥0令h→0取极限得出f″（x）≥0通过例1，例2可以总结出用泰勒公式证明一般不等式的解题思路：（1）按照已知条件，通常条件的最高阶数为泰勒公式展开的最高阶数；（2）泰勒公式展开后要选择适合的，关于的选择需要一定解题经验，应该加强这方面的积累；（3）根据已知条件对泰勒展式进行适当缩放。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

高等数学研究
V o l1 10, N o1 5
22
STUD IES IN COLLEG E M ATHEM AT ICS
Sep. , 2007
例谈考研数学中 T aylor公式求解不等式问题*
赵奎奇 (云南师范大学数学学院昆明 650031)
摘要以例证解析方法, 介绍考研数学中部分不等式问题的 T ay lo r公式解法
1 2!
f
d( 1) ( u -
1) 2
=
2(u- 1) +
(u - 1)2 >
2( u
- 1), 即 ( 4) 得证.
对于 ( 5), 因为 gc(v)
=
2
1 v
-
1-
1 v2
=-
1-
1 v
2
<
0]
g( v) < g ( 1) = 0(v > 1), 即 ( 5) 得证.
说明对于不等式问题, 不论准备使用什么方法, 首先考虑对要证明的不等式做适当的等价
xy
x0时的
0 0
型未定式极限时,
如果能细心的观察与识
别, 巧妙地运用导数的定义式, 则可将问题简单化.
参考文献
[ 1] 同济大学数学教研室. 高等数学 (第四版 ). 高等教育出版社, 1996 [ 2] [美 ] P1 德苏泽 J1 席尔瓦. 伯克利数学问题集. 科学出版社, 2003
x
x
1与 x 之间存在 N使 f ( x )
=
f ( 1) + f c( 1) (x - 1) +
1 2!
f d( N)
(x
-
1) 2
=
(x
-
1)
+
1 2N2
(
N-
1) (x
- 1)2, 所以
(x - 1) ( (x - 1) lnx - x + 1) =
(x -
1)2 +
1 2N2
(
N-
1) (x -
2x, f d( x )
=
2
ln( 1 + x ) + x+ 1
1-
2, f
Ê (x )
=
-
2
ln( 1 + x ) ( 1+ x)2
应用 T ay lor公式知, 存在 NI ( 0, x ), 使
f(x)
=
f( 0) + f
c( 0) x +
1 2!
f
d( 0) x2 +
1 3!
f Ê ( N) x3
+
2 u3
>
0, 应
用 T ay lor公式知, 存在 NI ( a, b), 使
f(u)
=
f ( 1)
+f
c( 1) ( u -
1)
+
1 2!
f
d( 1) ( u -
1)2 +
1 3!
f
Ê( N) ( u -
1) 3
进而, u >
1 时,
f (u )
>
f ( 1)
+
f
c( 1) ( u -
1) +
ln2 b >
ln2 a
+
2
lne2 e2
(
b
-
a),
ln2 b -
ln2 a >
4 e2
(
b
-
a ). 证毕.
例 5 ( 2006年硕士研究生入学考试, 数学二、数学三、数学四试题 ) 证明 0 < a < b < P时, b sin b + 2co s b + Pb > asin a + 2cos a + Pa
证明因为原不等式也即
( x - 1) ( (x + 1) lnx - x + 1) \ 0(x > 0)
( 1)
而且, 令 f ( x ) = ( x + 1) lnx - x + 1, 因为 f c( x ) = lnx + 1, f d( x ) = x - 1, 应用 T ay lor公式知, 在
解
原式
=
lim [ f ( 1 + x ) - f ( 1)
xy 0
x
+ f(1+
2sin x ) 2sin x
f ( 1) # 2 sin x x
2
f
(
1-3
3tan x tan x
)
#-
3 tan x
x
]
=
f
c( 1)
+
2f
c( 1) +
6f c( 1)
=
9f
c( 1)
例 7 设 a X 0为常数, f (x ) 可导, 求极限 lim 1 [ f ( x + t ) - f ( x - t ) ] .
f ( a ) + f c( a ) ( b - a )
=
( lna - 1) ( b - a) > 0( b > a > e), 即 b lna - a lnb > 0, 也即 ab > ba. 得证.
事实上, 应用 T ay lor公式
E f( x ) =
n- 1 k= 0
1 k!
f (k)
(a) (x -
(上接第 19页 ) 例 6 设函数 f ( x ) 在 x = 1处可导, 求极限
l im f ( 1 + x ) + f ( 1 + 2sin x ) - 2f ( 1 - 3tan x )
xy 0
x
分析
本题的形式看起来比较复杂, 但仔细观察后发现它是 x
y
0时的
0 0
型未定式,
根据题设
我们只能从导数的定义式出发去求此极限.
变形是需要引起重视的. 例 4 ( 2004年硕士研究生入学考试, 数学一、数学二试题 ) 设 e < a < b < e2, 证明
ln2 b -
ln2 a >
4 e2
(
b
-
a)
证明
令 f(x)
=
ln2 x, 则 f c(x ) =
2 lnxx,
f d( x ) =
2
1
x2
lnx
]
在x>
e上 f d( x ) <
<
1 ab
* 收稿日期: 2006 - 09 - 18
第 10卷第 5期
赵奎奇: 例谈考研数学中 T ay lor公式求解不等式问题
23
证明
因为原不等式即不等式组
2
b a
-
1<
b
2
+1
ln b
a
a ,
所以,
令
b
=
u,
f (u)
=
ln b < b - a
a
a
a
b
( u2 + 1) lnu,
b a
=
v, g ( v)
1) 3
( 2)
注意到此处又有
( N- 1) ( x - 1) 3 > 0
( 3)
所以, 据 ( 2)、( 3) 便知 ( 1) 成立, 也即要证的不等式得证. 例 3 ( 2002年硕士研究生入学考试, 数学二试题 ) 设 0 < a < b, 证明不等式
2a a2 + b2
<
lnb b
-
lna a
1 f(k ) ( a ) ( x - a )k;
k= 0 k!
n
E f ( n+ 1 ) ( x ) < 0( x I
( a, b ) ) 时, P x I
( a, b] 有 f ( x ) <
k= 0
1 k!
f (k)
(a) (x -
a) k.
前面几个例子的解决, 是应用如上公式导出的思想, 也即 T ay lor公式结合导数判定函数单调性
证明
原不等式也即 b lna - a lnb >
0. 令 f (x ) = x lna - a lnx, 则 f c( x )
=
lna -
a x
,
f d( x ) =
a x2
>
0, 所以
f ( b)
=
f (a)
+
f
c( a ) ( b -
a)
+
1 2!
f d( N令 f ( x ) = x sin x + 2cos x, 用完全类似上例的方法可得 f ( b) > f ( a ) + f c( P) ( b - a ),
进而, 将 f ( x ) 的具体表达式代入上式可得要证不等式. 例 6 ( 1993年硕士研究生入学考试, 数学一、数学二试题 ) 设 b > a > e, 证明 ab > ba.
a)k +
1 n!
f ( n)
( N) ( x -
a )n ( x I
[ a, b ], NI
( a, x ) )
24
高等数学研究
2007年 9月
可得如下一般性结果:
n- 1
E f(n) (x ) > 0(x I ( a, b) ) 时, P x I ( a, b ] 有 f (x ) >