高中数学学案含有一个量词的命题的否定
人教课标版高中数学选修2-1：《含有一个量词的命题的否定》教案-新版
1.4 含有一个量词的命题的否定一、教学目标（一）学习目标1．掌握含有一个量词的命题与它们的否定命题在形式上的变化规律；2．掌握含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，正确地对含有一个量词的命题进行否定．（二）学习重点1．含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律；2．会正确地对含有一个量词的命题进行否定．（三）学习难点正确地对含有一个量词的命题进行否定．二、教学设计（一）课前设计1.预习任务（1）全称命题p ：∀x ∈M ，p (x )，它的否定p ⌝：________________；（2）特称命题p ：∃x 0∈M ，p (x 0)，它的否定p ⌝：_______________；（3）命题的否定只否定______，否命题既否定________，又否定________．【答案】（1） ∃x 0∈M ，0()p x ⌝ （2）∀x ∈M ，()p x ⌝（3）结论 条件 结论预习自测1．已知命题p ：∀x ∈R ，sin x ≤1，则( )A ．p ⌝：∃x 0∈R ，sin x 0≥1B ．p ⌝：∀x ∈R ，sin x ≥1C ．p ⌝：∃x 0∈R ，sin x 0>1D ．p ⌝：∀x ∈R ，sin x >1答案：C解析：【知识点】全称命题的否定．【解题过程】全称命题,()x M p x ∀∈的否定为：0x M ∃∈，0()p x ⌝． 点拨：首先判断为全称命题还是特称命题．2．“存在整数m 0，n 0，使得2200=2011m n +”的否定是( )A ．任意整数m ，n ，使得22=2011m n +B ．存在整数m 0，n 0，使得22002011m n ≠+C ．任意整数m ，n ，使得222011m n ≠+D ．以上都不对答案：C解析：【知识点】特称命题的否定．【解题过程】特称命题00,()x M p x ∃∈的否定为：,()x M p x ∀∈⌝．点拨：首先判断为全称命题还是特称命题．3.写出命题：“对任意实数m ，关于x 的方程x 2＋x ＋m ＝0有实根”的否定为：______________________________________________________．答案：存在实数m ，关于x 的方程x 2＋x ＋m ＝0没有实根．解析：【知识点】全称命题的否定．【解题过程】存在实数m ，关于x 的方程x 2＋x ＋m ＝0没有实根．点拨：全称命题,()x M p x ∀∈的否定为：0x M ∃∈，0()p x ⌝．4．已知p ⌝：∃x ∈R ，sin x ＋cos x ≤m 为真命题，q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0为真命题，求实数m 的取值范围． 答案：－2≤m <2．解析：【知识点】命题的真假．【解题过程】因为p ⌝：∃x ∈R ，sin x ＋cos x ≤m 为真命题，所以p ：∀x ∈R ，sin x ＋cos x >m 为假命题,所以sin x ＋cos x >m 不恒成立．由sin x ＋cosx )4x π⎡+∈⎣，所以m ≥ 因为q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0为真命题，所以x 2＋mx ＋1>0恒成立，即2=40m ∆-<，解得22m -<<． 所以综上－2≤m <2．点拨：全称命题、特称命题的真假．(二)课堂设计1.知识回顾（1）全称量词和特称量词的含义；（2）全称命题和特称命题真假的判断．2．问题探究探究一 含有一个量词的命题的否定形式●活动① 回顾旧知，引入新课回顾1：我们在1.3.3中学习过的逻辑联结词“非”的有关知识，对给定的命题p ，如何得到命题p 的否定（即p ⌝），它们的真假性之间有何联系？回顾2：常见关键词的否定（1）等于：不等于（大于或小于）；（2）大于：不大于（小于或等于）；（3）都是：不都是（部分否定）；（4）所有：某些（或部分）；（5）至多n 个：至少1n +个；（6）任意一个：某一个；（7）p 或q ：非p 且非q ；（8）p 且q ：非p 或非q ．【设计意图】复习旧知识，为学习全称命题和特称命题的否定做准备． ●活动② 探究全称命题的否定问题1：指出下列命题的形式，写出下列命题的否定．（学生讨论，展示）（1）所有的矩形都是平行四边形；（2）每一个偶数都不是素数；（3）,sin [1,1]x R x ∀∈∈-．分析：三个命题都是全称命题，即具有形式“,()x M p x ∀∈”．其中命题（1）的否定是“某些矩形不是平行四边形”，也就是说，存在一个矩形不是平行四边形；命题(2)的否定是“某些偶数是素数”，也就是说，存在一个偶数是素数；命题(3)的否定是“并非,sin [1,1]x R x ∀∈∈-”，也就是说，,sin [1,1]x R x ∃∈∉-； 问题2：你能发现这些命题和它们的否定命题在形式上发生了什么变化吗？ 总结规律：全称命题,()x M p x ∀∈的否定为：0x M ∃∈，0()p x ⌝，即全称命题的否定是特称命题．【设计意图】结合实例让学生更易理解．●活动③ 探究特称命题的否定问题1：指出下列命题的形式，写出下列命题的否定．（讨论，展示）（1）2,220x R x x ∃∈++≤；（2）有的三角形是等边三角形；（3）存在一个四边形，它的对角线互相垂直且平分．分析：三个命题都是特称命题，即具有形式“00,()x M p x ∃∈”．其中命题（1）的否定是“不存在2,220x R x x ∈++≤”，也就是说，2,220x R x x ∀∈++>；命题(2)的否定是“没有三角形是等边三角形”，也就是说，任意的三角形均不是等边三角形；命题(3)的否定是“不存在一个四边形，它的对角线互相垂直且平分”，也就是说任意一个四边形，它的对角线不垂直或不平分；问题2：你能发现这些命题和它们的否定命题在形式上发生了什么变化吗？ 总结规律：特称命题00,()x M p x ∃∈的否定为：,()x M p x ∀∈⌝，特称命题的否定是全称命题．【设计意图】结合实例让学生更易理解．在这里再次强调命题的否定和否命题的区别，不要因为含有一个量词的命题的否定需要把,∀∃改变就误认为是否命题！●活动④ 运用反馈例1 判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假，写出这些命题的否定：（1）三角形内角和为180°；（2）每个二次函数的图象都开口朝下；（3）存在一个四边形不是平行四边形．【知识点】全称命题和特称命题的否定．【思路点拨】 掌握全称命题和特称命题否定的形式．【答案】（1）是全称命题且为真命题．命题的否定：存在一个三角形其内角和不等于180°；（2）是全称命题且为假命题．命题的否定：存在一个二次函数的图象开口不朝下；（3）是特称命题且为真命题．命题的否定：所有四边形都是平行四边形． 同类训练 写出下列各命题的否定，并判断其真假．（1）不论m 取何实数，方程x 2＋mx －1＝0必有实数根．（2）存在一个实数x 0，使0112x >（）． 答案：(1)命题的否定：存在一个实数m 0，使方程x 2＋m 0x －1＝0无实根．假命题．(2)命题的否定：对任意实数x ，(12)x ≤1．假命题．解析：【知识点】全称命题和特称命题的否定．点拨：掌握全称命题和特称命题否定的形式．例2 设命题p ：函数cos 2y x =的最小正周期为2π；命题q ：函数sin y x =的图像关于直线2x π=对称．则下列判断正确的是（ ）A ．p 为真B ．q ⌝为真C ．p q ∧为真D ．p q ∨为真答案：D 解析：【知识点】命题的真假．【解题过程】因为函数cos 2y x =的最小正周期2==2T ππ，所以命题p 为假命题；命题q 为真命题．所以q ⌝为假，p q ∧为假，p q ∨为真．点拨：先判断命题p 、q 的真假．同类训练 给出两个命题：p ：函数21y x x =--有两个不同的零点；q ：若11x<，则1x >．在下列四个命题中，真命题时（ ）A ．p q ⌝∨（）B ．p q ∧C ．()p q ⌝∧⌝（） D ．()p q ⌝∨⌝（） 答案：D解析：【知识点】命题的真假．【解题过程】命题p ：=1450∆+=>恒成立，即函数有两个不同的零点，p 为真命题，p ⌝为假命题；命题q ： 1110(1)001x x x x x x x-<⇒<⇒->⇒<>或，所以q 为假命题，q ⌝为真命题；所以()p q ⌝∨⌝（）为真命题． 点拨：先判断命题p 、q 的真假．例3给出两个命题：命题p ：对任意实数x 都有21ax ax >--恒成立，命题q ：关于x 的方程2+0x x a -=有实数根．若p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，求实数a 的范围．【知识点】由命题的真假求参数范围，方程根的判断．【解题过程】命题p ：21ax ax >--恒成立，则0a =或240a a ∆=-<，即04a ≤<；命题q ：140a ∆=-≥，即14a ≤． 因为p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，所以p 、q 一真一假．（1）p 真q 假时，144a <<；（2）p 假q 真时，0a <；综上1(,0)(,4)4a ∈-∞⋃． 【思路点拨】 先判断命题p 、q 的真假, p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，则 p 、q 一真一假． 【答案】1(,0)(,4)4a ∈-∞⋃ 同类训练 命题p ：方程2++10x mx =有两个不等的正实数根；命题q ：方程24+4+2+10x m x =（）无实数根．若p 或q 为真命题时，求实数m 的范围． 答案：1m <-解析：【知识点】由命题的真假求参数范围，方程根的判断．【解题过程】命题p：212124010mx x mx x⎧∆=->⎪+=->⎨⎪⋅=>⎩，即2m<-；命题q：216(2)160m∆=+-<，即31m-<<-．因为p或q为真命题，所以p为真或q为真．综上1m<-．点拨：先判断命题p、q的真假,p或q为真命题，则p为真或q为真．【设计意图】通过练习，熟悉知识．课堂总结知识梳理1．含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律；2．含有一个量词的命题进行否定．重难点归纳含有一个量词的命题进行否定时除了将结论否定，还要将任意改为存在，存在改为任意．（三）课后作业基础型自主突破1．命题：对任意x∈R，x3－x2＋1≤0的否定是( )A．不存在x0∈R，x30－x20＋1≤0B．存在x0∈R，x30－x20＋1≥0C．存在x0∈R，x30－x20＋1>0D．对任意x∈R，x3－x2＋1>0答案：C解析：【知识点】全称命题的否定．【解题过程】由全称命题的否定可知，命题的否定为“存在x0∈R，x30－x20＋1>0”．故选C．点拨：掌握全称命题的否定形式．2．命题p：∃m0∈R，使方程x2＋m0x＋1＝0有实数根，则“⌝p”形式的命题是( ) A．∃m0∈R，使得方程x2＋m0x＋1＝0无实根B．对∀m∈R，方程x2＋mx＋1＝0无实根C．对∀m∈R，方程x2＋mx＋1＝0有实根D．至多有一个实数m，使得方程x2＋mx＋1＝0有实根答案：B解析：【知识点】特称命题的否定．【解题过程】由特称命题的否定可知，命题的否定为“对∀m∈R，方程x2＋mx＋1＝0无实根”．故选B．点拨：掌握特称命题的否定形式．3．“∃x0∉M，p(x0)”的否定是( )A．∀x∈M，⌝p(x)B．∀x∉M，p(x)C．∀x∉M，⌝p(x)D．∀x∈M，p(x)答案：C解析：【知识点】特称命题的否定．【解题过程】由特称命题的否定可知，命题的否定为“∀x∉M，⌝p(x)”．故选C．点拨：掌握特称命题的否定形式．4．已知命题p：∃x∈R，使tan x＝1，命题q：x2－3x＋2<0的解集是{x|1<x<2}，下列结论：①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧¬q”是假命题；③命题“¬p∨q”是真命题；④命题“¬p∨¬q”是假命题，其中正确的是( )A．②③B．①②④C．①③④D．①②③④【知识点】命题真假的判断．【解题过程】当x＝π4时，tan x＝1，∴命题p为真命题．由x2－3x＋2<0得1<x<2，∴命题q为真命题．∴p∧q为真，p∧¬q为假，¬p∨q为真，¬p∨¬q为假．【思路点拨】首先判断命题p、q的真假．【答案】D5．已知命题p：所有有理数都是实数；命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是( )A．¬p∨qB．p∧qC．¬p∧¬qD．¬p∨¬q答案：D解析：【知识点】命题真假的判断．【解题过程】不难判断命题p为真命题，命题q为假命题，从而上面叙述中只有¬p∨¬q为真命题．点拨：首先判断命题p、q的真假．6．已知命题p：∃x∈R，cos x＝54；命题q：∀x∈R，x2－x＋1＞0，则下列结论正确的是( )A．命题p∨q是假命题B．命题p∧q是真命题C．命题(¬p)∧(¬q)是真命题D．命题(¬p)∨(¬q)是真命题答案：D解析：【知识点】命题真假的判断．【解题过程】易判断p为假命题，q为真命题，从而只有选项D正确．点拨：首先判断命题p、q的真假．能力型师生共研7．下列命题中的假命题是( )A．∃x0∈R，lg x0＝0B．∃x0∈R，tan x0＝ 3C．∀x∈R，x3＞0D．∀x∈R,2x＞0答案：C解析：【知识点】命题真假的判断．【解题过程】当x＝1时，lg x＝0，故命题“∃x0∈R，lg x0＝0”是真命题；当x＝π3时，tan x＝3，故命题“∃x0∈R，tan x0＝3”是真命题；由于x＝－1时，x3＜0，故命题“∀x∈R，x3＞0”是假命题；根据指数函数的性质，对∀x∈R,2x＞0，故命题“∀x∈R,2x＞0”是真命题．点拨：熟悉全称命题和特称命题的形式．8．设命题p：函数y＝sin 2x的最小正周期为π2；命题q：函数y＝cos x的图象关于直线x＝π2对称．则下列判断正确的是( )A．p为真B．¬q为假C．p∧q为假D．p∨q为真答案：C解析：【知识点】命题真假的判断．【解题过程】易判断p为假命题，q为假命题，从而只有选项C正确．点拨：首先判断命题p、q的真假．探究型多维突破9．已知函数f(x)＝x2－2x＋5.(1)是否存在实数m，使不等式m＋f(x)＞0对于任意x∈R恒成立，并说明理由．(2)若存在一个实数x0，使不等式m－f(x0)＞0成立，求实数m的取值范围．答案：（1）m＞－4；（2）m>4．解析：【知识点】全称命题、特称命题．【解题过程】(1)不等式m＋f(x)＞0可化为m＞－f(x)，即m＞－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4．要使m＞－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成立，只需m＞－4即可．故存在实数m，使不等式m＋f(x)＞0对于任意x∈R恒成立，此时只需m＞－4．(2)若m－f(x0)>0，∴m>f(x0)．∵f(x0)＝x20－2x0＋5＝(x0－1)2＋4≥4．∴m>4．点拨：恒成立问题和存在性问题转化为函数求最值得问题．10．已知命题p ：“∀x ∈R ，∃m ∈R,4x －2x ＋1＋m ＝0”，若命题¬p 是假命题，则实数m 的取值范围是__________．答案：(－∞，1]解析：【知识点】根据命题求参数的范围．【解题过程】若¬p 是假命题，则p 是真命题，即关于x 的方程4x －2·2x ＋m ＝0有实数解．由于m ＝－(4x －2·2x )＝－(2x －1)2＋1≤1，∴m ≤1．点拨：分离参数求最值．自助餐1．命题p ：∃x ∈R ，x 2＋2x ＋5<0是________(填“全称命题”或“特称命题”)，它是________命题(填“真”或“假”)，它的否定命题¬p ：____________________，它是________命题(填“真”或“假”)．【知识点】全称命题、特称命题的形式及命题真假的判断．【数学思想】【解题过程】∵x 2＋2x ＋5＝(x ＋1)2＋4≥0恒成立，所以命题p 是假命题．【思路点拨】特称命题00,()x M p x ∃∈的否定为：,()x M p x ∀∈⌝．【答案】特称命题；假；∀x ∈R ，x 2＋2x ＋5≥0；真．2．(1)命题“对任何x ∈R ，|x －2|＋|x －4|>3”的否定是________．(2)命题“存在x ∈R ，使得x 2＋2x ＋5＝0”的否定是________．答案：(1)∃x 0∈R ，|x 0－2|＋|x 0－4|≤3；(2)∀x ∈R ，x 2＋2x ＋5≠0解析：【知识点】全称命题、特称命题的否定．点拨：全称命题,()x M p x ∀∈的否定为：0x M ∃∈，0()p x ⌝；特称命题00,()x M p x ∃∈的否定为：,()x M p x ∀∈⌝．3．写出下列命题的否定并判断其真假．(1)所有正方形都是矩形；(2)∀α，β∈R ，sin(α＋β)≠sin α＋sin β；(3)∃θ0∈R ，函数y ＝sin(2x ＋θ0)为偶函数；(4)正数的对数都是正数．答案：(1)命题的否定：有的正方形不是矩形，假命题．(2)命题的否定：∃α，β∈R ，sin(α＋β)＝sin α＋sin β，真命题．(3)命题的否定：∀θ∈R ，函数y ＝sin(2x ＋θ)不是偶函数，假命题．(4)命题的否定：存在一个正数，它的对数不是正数，真命题．解析：【知识点】命题的否定，命题真假的判断．点拨：全称命题、特称命题的否定．4．写出下列各命题的否命题和命题的否定，并判断真假．(1)∀a ，b ∈R ，若a ＝b ，则a 2＝ab ；(2)若a ·c ＝b ·c ，则a ＝b ；(3)若b 2＝ac ，则a ，b ，c 是等比数列．答案：(1)否命题：∀a ，b ∈R ，若a ≠b ，则a 2≠ab ，假；命题的否定：∃a ，b ∈R ，若a ＝b ，则a 2≠ab ，假；(2)否命题：若a ·c ≠b ·c ，则a ≠b .真；命题的否定：∃a ，b ，c ，若a ·c ＝b ·c ，则a ≠b ，真；(3)否命题：若b 2≠ac ，则a ，b ，c 不是等比数列，真．命题的否定：∃a ，b ，c ∈R ，若b 2＝ac ，则a ，b ，c 不是等比数列，真． 解析：【知识点】命题的否定和否命题．点拨：否命题是直接否定命题的条件和结论．5．已知命题p ：∃φ∈R ，使f (x )＝sin(x ＋φ)为偶函数；命题q ：∀x ∈R ，cos 2x ＋4sin x －3＜0，则下列命题中为真命题的是( )A ．p ∧qB ．(¬p )∨qC ．p ∨(¬q )D ．(¬p )∧(¬q )C ．p ∧q 为假D ．p ∨q 为真答案：C解析：【知识点】命题真假的判断．【解题过程】利用排除法求解．∃φ＝π2，使f (x )＝sin(x ＋φ)＝)2(sin π+x ＝cos x 是偶函数，所以p 是真命题，¬p 是假命题；∃x ＝π2，使cos 2x ＋4sin x －3＝－1＋4－3＝0，所以q 是假命题，¬q 是真命题．所以p ∧q ，(¬p )∨q ，(¬p )∧(¬q )都是假命题，排除A ，B ，D ，p ∨(¬q )是真命题，故选C ．点拨：首先判断命题p 、q 的真假．6．已知c ＞0，设命题p ：函数y ＝c x为减函数．命题q ：当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2时，函数f (x )＝x ＋1x ＞1c 恒成立．如果“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，则c 的取值范围是__________. 答案：]21,0(∪[1，＋∞) 解析：【知识点】根据命题求参数的范围．【解题过程】由命题p 为真知，0＜c ＜1；由命题q 为真知，2≤x ＋1x ≤52．要使此式恒成立，需1c ＜2，即c ＞12．若“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，则p ，q 中必有一真一假，当p 真q 假时，c 的取值范围是0＜c ≤12；当p 假q 真时，c 的取值范围是c ≥1．综上可知，c 的取值范围是]21,0(∪[1，＋∞)． 点拨：“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，则p ，q 中必有一真一假，再进行分类讨论．。
1.4.3 含有一个量词的 命题的否定 全称命题-高中数学选修2-1教案
1.4.3含有一个量词的命题的否定【教学内容分析】“含有一个量词的命题的否定”选自数学人教A版选修2-1第一章第四节的内容，它包括两块内容：一是含有一个全称量词的命题的否定，二是含有一个存在量词的命题的否定。
本节课是学生在老师的带领下，通过探究理解含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，并且会正确地对含有一个量词的命题进行否定。
在教学中使学生体会从具体到一般的认知过程,培养学生抽象、概括的能力,通过学生的合作探究,培养培养他们的良好的思维品质。
【学情分析】本节内容是数学选修2-1第一章的最后一节内容,学习对象为高二年级学生，他们在前面已经学习了全称量词与存在量词的定义，以及否命题和一般命题的否定。
所以本节课在此基础上，也是学生对命题的否定的再认识，学生能够知道含有一个量词的命题的否定方法和前面学习的一般命题的否定方法有部分区别。
同时学好本节课也是为了让学生对否命题与命题的否定能够区分开。
【教学目标】1．知识与技能目标：理解全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题；2．过程与方法目标：通过探究实例，能够归纳出含一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律；3．情感态度价值观：通过本节课的学习，培养学生的辨析能力以及良好的思维品质。
【教学重难点】重点：理解全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题；难点：正确地对含有一个量词的命题进行否定。
【设计思路】本节课是针对于高二年级的教学内容，“含有一个量词的命题的否定”即是含有全称量词或者存在量词的命题的否定。
学生通过探究实例，老师进行引导归纳出全称命题的否定变成了特称命题，在这一过程当中，量词进行改变，条件不变，结论进行否定。
其次学生通过类比全称命题的否定是特称命题，自行归纳得出特称命题的否定是全称命题，在这一过程当中，还是量词进行改变，条件不变，结论否定。
所以通过对比形式变化，可以得出：含有一个量词的命题的否定即是：量词改变，结论否定。
含一个量词的命题的否定
这些命题和它们的否定在形式上有什么变化？
2021/10/10
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从命题形式上看,这三个全称命题的否定都 变成了特称命题.
一般地,对于含有一个量词的全称命题的否 定,有下面的结论:
全称命题p: xM,p(x)
它的否定 p : x0∈M, ﹁p(x0)
全称命题的否定是特称命题.
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例1 写出下列全称命题的否定： (1) p: 所有能被3整除的整数都是奇数; (2) p: 每一个四边形的四个顶点共圆; (3) p: 对任意x∈Z, x2的个位数字不等于3.
2021/10/10
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例3. 写出下列命题的否定： （1） 若x2>4，则 x>2； （2） 若m≥0,则 x2+x－m=0有实数根； （3） 可以被5整除的整数，末位是0； （4） 被8整除的数能被4整除； （5） 若一个四边形是正方形，则它的四条边相等.
解：(1)原命题完整表述：对任意的实数x,若x2>4,则x>2.
解：(1) ¬p:存在一个能被3整除的整数不是奇数.
(2) ¬p:存在一个四边形,它的四个顶点不共圆.
(3) ¬p:
x0
Z,
x
2 0
的个位数字等于3.
【说明】否定时,不能只是简单的否定结论， 全称命题的否定变成特称命题.
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探究
写出下列命题的否定
1)有些实数的绝对值是正数； x0∈M, p(x0)
2)某 些 平 行 四 边 形 是 菱 形 ； x0∈M, p(x0)
3) x0∈R, x02+1＜0
否定:
x0∈M, p(x0)
1)所有实数的绝对值都不是正数; xM,p(x)
含有一个量词的命题的否定教案
含有一个量词的命题的否定教学目标：利用日常生活中的例子和数学的命题介绍对量词命题的否定，使学生进一步理解全称量词、存在量词的作用.教学重点：全称量词与存在量词命题间的转化；教学难点：隐蔽性否定命题的确定；教学过程：一、引入数学命题中出现“全部”、“所有”、“一切”、“任何”、“任意”、“每一个”等与“存在着”、“有”、“有些”、“某个”、“至少有一个”等的词语，在逻辑中分别称为全称量词与存在性量词（用符号分别记为“ ∀”与“∃”来表示）；由这样的量词构成的命题分别称为全称命题与存在性命题。
在全称命题与存在性命题的逻辑关系中，,p q p q ∨∧都容易判断，但它们的否定形式是我们困惑的症结所在。
问题1：指出下列命题的形式，写出下列命题的否定。
（1）所有的矩形都是平行四边形；（2）每一个素数都是奇数；（3）∀x ∈R ，x 2-2x+1≥0分析：（1）∀∈x M,p(x)，否定：存在一个矩形不是平行四边形；∃∈⌝x M,p(x)（2）∀∈x M,p(x)，否定：存在一个素数不是奇数；∃∈⌝x M,p(x)（3）∀∈x M,p(x)，否定：∃x ∈R ，x 2-2x+1<0；∃∈⌝x M,p(x)这些命题和它们的否定在形式上有什么变化？结论：从命题形式上看，这三个全称命题的否定都变成了存在性命题.问题2：写出命题的否定（1）p ：∃ x ∈R ，x 2＋2x +2≤0；（2）p ：有的三角形是等边三角形；（3）p ：有些函数没有反函数；（4）p ：存在一个四边形，它的对角线互相垂直且平分；分析：（1）∀ x ∈R ，x 2＋2x+2>0；（2）任何三角形都不是等边三角形；（3）任何函数都有反函数；（4）对于所有的四边形，它的对角线不可能互相垂直或平分；从集合的运算观点剖析：()U U U A B A B =,()U U U A B A B = 二1.全称命题、存在性命题的否定一般地，全称命题P ：∀ x ∈M,有P （x ）成立；其否定命题┓P 为：∃x ∈M,使P （x ）不成立。
高中数学《含有一个量词的命题的否定》导学案
1．4.3含有一个量词的命题的否定1．含有一个量词的全称命题的否定全称命题p 綈p 结论∀x∈M，p(x)□01∃x0∈M，綈p(x0)全称命题的否定是□02特称命题2．含有一个量词的特称命题的否定特称命题p 綈p 结论∃x0∈M，p(x0)□03∀x∈M，綈p(x)特称命题的否定是□04全称命题“一般命题的否定”与“含有一个量词的命题的否定”的辨析(1)一般命题的否定通常是在条件成立的前提下否定其结论，得到真假性完全相反的两个命题；含有一个量词的命题的否定，是在否定结论p(x)的同时，改变量词的属性，即将全称量词改为存在量词，存在量词改为全称量词．(2)与一般命题的否定相同，含有一个量词的命题的否定的关键也是对关键词的否定．因此，对含有一个量词的命题的否定，应根据命题所叙述对象的特征，挖掘其中的关键词.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)∃x0∈M，p(x0)与∀x∈M，綈p(x)的真假性相反．()(2)从特称命题的否定看，是对“量词”和“p(x)”同时否定．()(3)命题“非负数的平方是正数”的否定是“非负数的平方不是正数”．()答案(1)√(2)×(3)×2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)“至多有一个”的否定为_____________________________________． (2)已知命题p ：∀x ∈R ，sin x ≤1，则綈p 是________________________．(3)命题“∃x 0∈Q ，x 20＝5”的否定是________命题(填“真”或“假”)．(4)已知命题p ：∀x >0，总有(x ＋1)e x >1，则綈p 为________． 答案 (1)至少有两个 (2)∃x 0∈R ，sin x 0>1 (3)真 (4)∃x 0>0，使得(x 0＋1)e x 0≤1探究1 全称命题的否定例1 判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定． (1)p ：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin x ＋1sin x ≥2；(2)p ：∀m ∈R ，函数f (x )＝x 2＋mx 是偶函数； (3)p ：每个三角形至少有两个锐角； (4)p ：∀x ∈Z ，x 2与3的和不等于0.[解] (1)p 是假命题，由x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2得sin x ∈(0,1)，sin x ＋1sin x ≥2sin x ·1sin x ＝2，当且仅当sin x ＝1时等号成立，故等号不成立．綈p ：∃x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin x 0＋1sin x 0<2.(2)p 是假命题，当m ＝0时，f (x )才是偶函数． 綈p ：∃m 0∈R ，函数f (x )＝x 2＋m 0x 不是偶函数． (3)p 是真命题．綈p ：有的三角形至多有一个锐角． (4)p 是真命题．綈p ：∃x 0∈Z ，x 20与3的和等于0. 拓展提升1.对全称命题否定的两个步骤(1)改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词．(2)否定性质：原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等． 2．全称命题否定后的真假判断方法全称命题的否定是特称命题，其真假性与全称命题相反；要说明一个全称命题是假命题，只需举一个反例即可．【跟踪训练1】 写出下列全称命题的否定，并判断真假： (1)p ：正方形是矩形；(2)p ：∀α∈R ，都有cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin α；(3)p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋14≥0.解 (1)綈p ：存在一个正方形不是矩形，这是假命题． (2)綈p ：∃α0∈R ，使得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α0≠sin α0，这是假命题．(3)綈p ：∃x 0∈R ，x 20－x 0＋14＜0，这是假命题． 探究2 特称命题的否定例2 判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定． (1)p ：有一个奇数不能被3整除； (2)p ：有些三角形的三个内角都是60°； (3)p ：∃α，β∈R ，sin(α＋β)＝sin α＋sin β； (4)p ：∃x 0∈R ，x 20＋4x 0＋6≤0.[解] (1)p 是真命题，如5不能被3整除． 綈p ：任意一个奇数都能被3整除．(2)p 是真命题，等边三角形的三个内角都为60°. 綈p ：任意三角形的三个内角不都为60°.(3)p 是真命题，∵当α＝π4，β＝0时，sin(α＋β)＝sin α＋sin β.綈p ：∀α，β∈R ，sin(α＋β)≠sin α＋sin β.(4)p 是假命题，∵x 20＋4x 0＋6＝(x 0＋2)2＋2≥2.綈p ：∀x ∈R ，x 2＋4x ＋6＞0. 拓展提升1.对特称命题否定的两个步骤(1)改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词．(2)否定性质：原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等． 2．特称命题否定后的真假判断特称命题的否定是全称命题，其真假性与特称命题相反；要说明一个特称命题是真命题，只需要找到一个实例即可．【跟踪训练2】 写出下列特称命题的否定，并判断真假： (1)p ：有的一元二次方程有实数根； (2)p ：∃x 0∈R ，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋π2＝sin x 0.解 (1)綈p ：所有的一元二次方程都没有实数根，这是假命题． (2)綈p ：∀x ∈R ，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2≠sin x ，这是假命题，如sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋π2＝sin π4.探究3 求参数的取值范围例3 已知命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋2x ＋1≠0，q ：∃x ∈R ，ax 2＋ax ＋1≤0.若(綈p )∧(綈q )为真命题，求实数a 的取值范围．[解] ∵(綈p )∧(綈q )为真命题，∴綈p 与綈q 都是真命题，从而p 与q 都是假命题．∴“关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0有解”与“ax 2＋ax ＋1>0对一切x ∈R 恒成立”都是真命题．由关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0有解，得a ＝0或⎩⎨⎧a ≠0，4－4a ≥0，即a ＝0或a ≤1且a ≠0，∴a ≤1.由ax 2＋ax ＋1>0对一切x ∈R 恒成立，得a ＝0或⎩⎨⎧a >0，a 2－4a <0，即a ＝0或0<a <4，∴0≤a <4.由⎩⎨⎧a ≤1，0≤a <4得0≤a ≤1， 故实数a 的取值范围是[0,1]． [解法探究] 此题有没有其他解法呢？解 ∵p ：∀x ∈R ，ax 2＋2x ＋1≠0，q ：∃x ∈R ，ax 2＋ax ＋1≤0，∴綈p ：∃x ∈R ，ax 2＋2x ＋1＝0，綈q ：∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1>0，由(綈p )∧(綈q )为真命题知，綈p 与綈q 都是真命题．由綈p 为真命题得a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，4－4a ≥0，故a ≤1.由綈q 为真命题得a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a 2－4a <0，故0≤a <4.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，0≤a <4，解得0≤a ≤1. 故实数a 的取值范围是[0,1]． 拓展提升含有一个量词的命题与参数范围的求解策略(1)对于全称命题“∀x ∈M ，a >f (x )(或a <f (x ))”为真的问题，实质就是不等式恒成立问题，通常转化为求函数f (x )的最大值(或最小值)，即a >f (x )max (或a <f (x )min )．(2)对于特称命题“∃x 0∈M ，a >f (x 0)(或a <f (x 0))”为真的问题，实质就是不等式能成立问题，通常转化为求函数f (x )的最小值(或最大值)，即a >f (x )min (或a <f (x )max )．(3)若全称命题为假命题，通常转化为其否定命题——特称命题为真命题解决，同理，若特称命题为假命题，通常转化为其否定命题——全称命题为真命题解决．【跟踪训练3】已知函数f(x)＝x2－mx＋1，命题p：“对任意x∈R，都有f(x)>0”．命题q：“存在x∈R，使x2＋m2<9”．若命题“非p”与“q”均为真命题，求实数m的取值范围．解由于命题p：“对任意x∈R，都有f(x)>0”，所以非p：“不等式f(x)≤0在实数集上有解”，故Δ＝m2－4≥0，得m≤－2或m≥2.又命题q：“存在x∈R，使x2＋m2<9”，即不等式x2<9－m2在实数集上有解，故9－m2>0，所以－3<m<3.因为命题“非p”与“q”均为真命题，所以m的取值范围为(－3，－2]∪[2,3)．1.对含有全称量词的命题进行否定需两步操作：第一步，将全称量词改写成存在量词，即将“任意”改为“存在”；第二步，将结论加以否定.2.对含有存在量词的命题进行否定需两步操作：第一步，将存在量词改写成全称量词；第二步，将结论加以否定．含有存在量词的命题的否定是含有全称量词的命题．注意命题中可能省略了全称或存在意义的量词，要注意判断.3.全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，因此在书写时，要注意量词以及形式的变化，熟练掌握常见词语的否定形式.1．命题“∃x0∈R,3x0≤0”的否定是()A．∀x∈R,3x≤0 B．∃x0∈R, 3x0≥0C．∃x0∈R,3x0>0 D．∀x∈R,3x>0答案 D解析特称命题的否定是全称命题，一方面要改量词即“∃”改为“∀”；另一方面要否定结论即“≤”改为“>”．故选D.2．全称命题“所有能被5整除的整数都是奇数”的否定是()A．所有能被5整除的整数都不是奇数B．所有奇数都不能被5整除C．存在一个能被5整除的整数不是奇数D．存在一个奇数，不能被5整除答案 C解析全称命题的否定是特称命题，而A，B是全称命题，所以A，B错误．因为“所有能被5整除的整数”的否定是“存在一个能被5整除的整数”，所以D 错误，C正确，故选C.3．对下列命题的否定，其中说法错误的是()A．p：∀x≥3，x2－2x－3≥0；綈p：∃x≥3，x2－2x－3<0B．p：存在一个四边形的四个顶点不共圆；綈p：每一个四边形的四个顶点共圆C．p：有的三角形为正三角形；綈p：所有的三角形不都是正三角形D．p：∃x∈R，x2＋2x＋2≤0；綈p：∀x∈R，x2＋2x＋2>0答案 C解析若p：有的三角形为正三角形，则綈p：所有的三角形都不是正三角形，故C错误．4．命题“平行四边形对边相等”的否定是________．答案存在一个平行四边形，它的对边不相等解析对全称命题进行否定，即将全称量词改为特称量词再对结论进行否定．5．写出下列命题的否定，并判断真假．(1)p：矩形是平行四边形；(2)q：∀x≥0，x2>0；(3)r：存在一个三角形，它的内角和大于180°；(4)t：某些梯形的对角线互相平分．解(1)綈p：存在一个矩形不是平行四边形，假命题．(2)綈q：∃x≥0，x2≤0，真命题．(3)綈r：所有三角形的内角和都小于等于180°，真命题．(4)綈t：每一个梯形的对角线都不互相平分，真命题．A 级：基础巩固练一、选择题1．命题“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ≥x 2”的否定形式是( ) A ．∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n <x 2 B ．∀x ∈R ，∀n ∈N *，使得n <x 2 C ．∃x ∈R ，∃n ∈N *，使得n <x 2 D ．∃x ∈R ，∀n ∈N *，使得n <x 2 答案 D解析 根据含有量词的命题的否定的概念可知，选D. 2．命题p ：“有些三角形是等腰三角形”，则綈p 是( ) A ．有些三角形不是等腰三角形 B ．所有三角形是等边三角形 C ．所有三角形不是等腰三角形 D ．所有三角形是等腰三角形 答案 C解析 特称命题的否定为全称命题，改变量词再否定结论．故选C. 3．命题“∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1”的否定是( ) A ．∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －1 B ．∀x ∉(0，＋∞)，ln x ＝x －1 C ．∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0≠x 0－1 D ．∃x 0∉(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1 答案 A解析 特称命题的否定为全称命题，所以∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1的否定是∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －1.故选A.4．已知命题p ：∃x ∈R,2x >3x ；命题q ：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan x >sin x ，则下列是真命题的是( )A ．(綈p )∧qB ．(綈p )∨(綈q )C ．p ∧(綈q )D ．p ∨(綈q ) 答案 D 解析 当x ＝－1时，2－1>3－1，所以p 为真命题；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，tan x －sin x＝sin x(1－cos x)cos x>0，所以q为真命题，所以p∨(綈q)是真命题．故选D.5．有四个关于三角函数的命题：p1：∃x∈R，sin x＋cos x＝2；p2：∃x∈R，sin2x＝sin x；p3：∀x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，1＋cos2x2＝cos x；p4：∀x∈(0，π)，sin x<tan x.其中真命题是()A．p1，p4B．p2，p4C．p2，p3D．p3，p4答案 C解析∵sin x＋cos x＝2sin⎝⎛⎭⎪⎫x＋π4≤2，∴p1为假命题；又当x∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π时，sin x>tan x，∴p4为假命题，p2，p3显然正确．6．已知a>0，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若x0满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列选项的命题中为假命题的是()A．∃x∈R，f(x)≤f(x0) B．∃x∈R，f(x)≥f(x0)C．∀x∈R，f(x)≤f(x0) D．∀x∈R，f(x)≥f(x0)答案 C解析由题意知：x0＝－b2a为函数f(x)图象的对称轴方程，所以f(x0)为函数的最小值，即对所有的实数x，都有f(x)≥f(x0)，因此∀x∈R，f(x)≤f(x0)是假命题．二、填空题7．命题p：∀x∈R，x2＋x＋1≠0，则命题綈p为__________．答案∃x0∈R，x20＋x0＋1＝0解析全称命题的否定为特称命题，改变量词再否定结论．8．由命题“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，求得实数m的取值范围是(a，＋∞)，则实数a＝________.答案 1解析因为命题“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，所以其否定“∀x∈R，x2＋2x＋m>0”是真命题，等价于方程x2＋2x＋m＝0无实根，所以Δ＝4－4m<0，解得m>1，又因为m的取值范围是(a，＋∞)，所以实数a＝1.9．已知函数f (x )＝x 2，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －m ，若对∀x 1∈[－1，3]，∃x 2∈[0,2]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞解析 由题意知f (x )∈[0,9]，g (x )min ≤f (x )min ＝0.因为g (x )在[0,2]上单调递减，所以g (x )min ＝g (2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122－m ≤0，解得m ≥14.三、解答题10．写出下列含有一个量词的命题p 的否定綈p ，并判断它们的真假： (1)p ：关于x 的方程ax ＝b 都有实数根； (2)p ：有些正整数没有1和它本身以外的约数； (3)对任意实数x 1，x 2，若x 1<x 2，则tan x 1<tan x 2； (4)∃T 0∈R ，使|sin(x ＋T 0)|＝|sin x |.解 (1)綈p ：有些关于x 的方程ax ＝b 无实数根，如0x ＝1，所以p 为假命题，綈p 为真命题．(2)綈p ：任意正整数都有1和它本身以外的约数，如2只有1和它本身这两个约数，所以p 为真命题，綈p 为假命题．(3)綈p ：存在实数x 1，x 2，若x 1<x 2，则tan x 1≥tan x 2.原命题中若x 1＝0，x 2＝π，有tan x 1＝tan x 2，故为假命题，所以綈p 为真命题． (4)綈p ：∀T ∈R ，有|sin(x ＋T )|≠|sin x |.原命题为真命题，如T 0＝2k π(k ∈Z )，所以綈p 为假命题．B 级：能力提升练1．已知函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1在区间[－1,1]上至少存在一个实数c ，使得f (c )>0.求实数p 的取值范围．解 “在区间[－1,1]上至少存在一个实数c ，使得f (c )>0”的否定是“在[－1,1]上的所有实数x ，都有f (x )≤0恒成立”．又由二次函数的图象特征可知，⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)≤0，f (1)≤0，数学•选修1－1即⎩⎪⎨⎪⎧4＋2(p －2)－2p 2－p ＋1≤0，4－2(p －2)－2p 2－p ＋1≤0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ p ≥1或p ≤－12，p ≥32或p ≤－3，∴p ≥32或p ≤－3.故原命题中p 的取值范围是－3<p <32.2．已知定义在(－∞，3]上的单调递减函数f (x )，使得f (a 2－sin x )≤f (a ＋1＋cos 2x )对∀x ∈R 均成立，求a 的取值范围．解 由单调性得3≥a 2－sin x ≥a ＋1＋cos 2x 对任意的x ∈R 均成立，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2≤3＋sin x ，a 2－a ≥sin x ＋cos 2x ＋1对任意的x ∈R 均成立． 设g (x )＝3＋sin x (x ∈(－∞，3])，h (x )＝sin x ＋cos 2x ＋1(x ∈(－∞，3])，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2≤g (x )min ，a 2－a ≥h (x )max ， 又由函数的单调性可知，g (x )min ＝2，h (x )＝－sin 2x ＋sin x ＋2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －122＋94，h (x )max ＝94， 故有⎩⎨⎧ a 2≤2，a 2－a ≥94，解得－2≤a ≤12－102.故a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，12－102.。
人教A版高中数学高二版选修1-1 1.4.2含一个量词的命题的否定教案
1.4.2 含一个量词的命题的否定教学目标分析：知识目标：（1）掌握对含有一个量词的命题进行否定的方法，要正确掌握量词否定的各种形式；（2）明确全称命题的否定是存在命题，存在命题的否定是全称命题.过程与方法：使学生体会从具体到一般的认知过程，培养学生抽象、概括的能力．情感目标：通过学生的举例，培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质，在练习过程中进行辩证唯物主义思想教育．重难点分析：重点：全称量词与存在量词命题间的转化；难点：隐蔽性否定命题的确定；互动探究：一、课堂探究：1、复习引入：（1）判断下列命题是否为全称命题：①有一个实数α，tan α无意义；②任何一条直线都有斜率；（2）判断以下命题的真假： ①21,04x R x x ∀∈-+≥；②2,3x Q x ∃∈=数学命题中出现“全部”、“所有”、“一切”、“任何”、“任意”、“每一个”等与“存在着”、“有”、“有些”、“某个”、“至少有一个”等的词语，在逻辑中分别称为全称量词与存在性量词（用符号分别记为“ ∀”与“∃”来表示）；由这样的量词构成的命题分别称为全称命题与特称命题。
在全称命题与特称命题的逻辑关系中，,p q p q ∨∧都容易判断，但它们的否定形式是我们困惑的症结所在。
探究一、写出下列命题的否定：（1）所有的矩形都是平行四边形；（2）每一个素数都是奇数；（3）2,210x R x x ∀∈-+≥.这些命题和它们的否定在形式上有什么变化?2、含有一个量词的全称命题的否定：一般地，对于一个含有一个量词的全称命题的否定有下面的结论：全称命题p ：,()x M p x ∀∈，它的否定p ⌝：00,()x M p x ∃∈⌝说明：全称命题的否定是特称命题.探究二、写出下列命题的否定：（1）有些实数的绝对值是正数；（2）某些平行四边形是菱形；（3）200,10x R x ∃∈+<. 这些命题和它们的否定在形式上有什么变化?3、含有一个量词的特称命题的否定：一般地，对于一个含有一个量词的特称命题的否定有下面的结论：特称命题p ：00,()x M p x ∃∈，它的否定p ⌝：,()x M p x ∀∈⌝.说明：特称命题的否定是全称命题.4、关键量词的否定：（1）p ：所有能被3整除的数都是奇数；（2）p ：每一个平行四边形的四个顶点共圆；（3）p ：对任意x Z ∈，2x 的个位数字不等于3.（4）p ：所有的正方形都是矩形.变式：命题“对任意的32,10x R x x ∈-+≤”的否定是（ ）.A. 不存在32,10x R x x ∈-+≤B. 存在32,10x R x x ∈-+≤C. 存在32,10x R x x ∈-+>D. 对任意的32,10x R x x ∈-+>例2、写出下列特称命题的否定：（1）p ：2000,220x R x x ∃∈++≤； （2）p ：有的三角形是等边三角形；（3）p ：有一个素数含有三个正因数.（4）p ：至少有一个实数x ，使310x +=.变式：对下列命题的否定说法错误的是（ ）.A. p ：能被3整除的数是奇数；p ⌝：存在一个能被3整除的数不是奇数B. p ：每个四边形的四个顶点共圆；p ⌝：存在一个四边形的四个顶点不共圆C. p ：有的三角形为正三角形；p ⌝：所有的三角形不都是正三角形D. p ：2,220x R x x ∃∈++≤；p ⌝：2,220x R x x ∀∈++>小结：全称命题的否定变成特称命题.例3、命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是( )．A ．所有不能被2整除的整数都是偶数B ．所有能被2整除的整数都不是偶数C ．存在一个不能被2整除的整数是偶数D ．存在一个能被2整除的整数不是偶数答案：原命题是全称命题，则其否定是特称命题，故选D.变式：下列命题正确的个数是（ ）.①“在三角形ABC 中，若sin sin A B >，则A B >”的否命题是真命题；②命题:23p x y ≠≠或，命题:5q x y +≠，则p 是q 的必要不充分条件；③“32,10x R x x ∀∈-+≤”的否定是“32,10x R x x ∃∈-+>”.A.0B.1C.2D.3答案：D.二、课堂练习：教材第26页练习第1、2题1、写出下列命题的否定：（1）,n Z n Q ∀∈∈；（2）任意素数都是奇数；（3）每个指数函数都是单调函数.2、写出下列命题的否定：(1) 有些三角形是直角三角形；（2）有些梯形是等腰梯形；（3）存在一个实数，它的绝对值不是正数.反思：全称命题的否定变成特称命题.反思总结：1、 本节课你学到了哪些知识点？2、 本节课你学到了哪些思想方法？3、 本节课有哪些注意事项？课外作业：（一）教材第26页习题1.4 A 组第3题，B 组第1题1、写出下列命题的否定：(1)32,x N x x ∀∈>；(2) 所有可以被5整除的整数，末位数字都是0；(3) 2000,10x R x x ∃∈-+≤； (4) 存在一个四边形，它的对角线互相垂直.2、判断下列命题的真假，写出下列命题的否定：（1）每条直线在y 轴上都有截矩；（2）每个二次函数都与x 轴相交；（3）存在一个三角形，它的内角和小于180︒；（4）存在一个四边形没有外接圆.（二）补充3、命题“对任意的x R ∈，3210x x -+≤”的否定是（ ）A ．不存在x R ∈，3210x x -+≤B ．存在x R ∈，3210x x -+≤C ．存在x R ∈，3210x x -+>D ．对任意的x R ∈，3210x x -+>答案：C4、命题“若12<x ，则11<<-x ”的逆否命题是（ ）A ．若12≥x ，则1≥x 或1-≤x B.若11<<-x ，则12<xC.若1>x 或1-<x ，则12>xD.若1≥x 或1-≤x ，则12≥x答案:D5、已知命题:p x ∀∈R ，sin 1x ≤，则（ ）A.:p x R ⌝∃∈，sin 1x ≥B.:p x R ⌝∀∈，sin 1x ≥C.:p x R ⌝∃∈，sin 1x >D.:p x R ⌝∀∈，sin 1x >6、写出下列命题的否定：（1）若24x >，则2x >；（2）若0,m ≥则20x x m +-=有实数根；（3）可以被5整除的整数，末位是0；（4）被8整除的数能被4整除；（5）若一个四边形是正方形，则它的四条边相等.7、已知:,sin cos p x R x x m ⌝∃∈+≤为真命题，2:,10q x R x mx ∀∈++>为真命题，求实数m 的取值范围.2m ≤<.课后反思：。
高中数学人教版A版选修1-1学案：1.4.3含有一个量词的命题的否定
1.4.3含有一个量词的命题的否定[学习目标]1.通过探究数学中一些实例，归纳总结出含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律.2.通过例题和习题的学习，能够根据含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，正确地对含有一个量词的命题进行否定.知识点一全称命题的否定全称命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定綈p：∃x0∈M，綈p(x0).知识点二特称命题的否定特称命题p：∃x0∈M，p(x0)，它的否定綈p：∀x∈M，綈p(x).知识点三全称命题与特称命题的关系全称命题的否定是特称命题.特称命题的否定是全称命题.思考(1)用自然语言描述的全称命题的否定形式惟一吗？(2)对省略量词的命题怎样否定？答案(1)不惟一，如“所有的菱形都是平行四边形”，它的否定是“并不是所有的菱形都是平行四边形”，也可以是“有些菱形不是平行四边形”.(2)对于含有一个量词的命题，容易知道它是全称命题或特称命题.一般地，省略了量词的命题是全称命题，可加上“所有的”或“对任意”，它的否定是特称命题.反之，亦然.题型一全称命题的否定例1写出下列全称命题的否定：(1)任何一个平行四边形的对边都平行；(2)数列：1,2,3,4,5中的每一项都是偶数；(3)∀a，b∈R，方程ax＝b都有惟一解；(4)可以被5整除的整数，末位是0.解(1)其否定为：存在一个平行四边形，它的对边不都平行.(2)其否定为：数列：1,2,3,4,5中至少有一项不是偶数.(3)其否定为：∃a，b∈R，使方程ax＝b的解不惟一或不存在.(4)其否定为：存在被5整除的整数，末位不是0.反思与感悟全称命题的否定是特称命题，对省略全称量词的全称命题可补上量词后进行否定. 跟踪训练1写出下列全称命题的否定：(1)p：每一个四边形的四个顶点共圆；(2)p：所有自然数的平方都是正数；(3)p：任何实数x都是方程5x－12＝0的根；(4)p：对任意实数x，x2＋1≥0.解(1)綈p：存在一个四边形，它的四个顶点不共圆.(2)綈p：有些自然数的平方不是正数.(3)綈p：存在实数x0不是方程5x0－12＝0的根.(4)綈p：存在实数x0，使得x20＋1<0.题型二特称命题的否定例2写出下列特称命题的否定，并判断其否定的真假.(1)p：∃x0>1，使x20－2x0－3＝0；(2)p：有些素数是奇数；(3)p：有些平行四边形不是矩形.解(1) 綈p：∀x>1，x2－2x－3≠0.(假).(2) 綈p：所有的素数都不是奇数.(假).(3) 綈p：所有的平行四边形都是矩形.(假).反思与感悟特称命题的否定是全称命题，写命题的否定时要分别改变其中的量词和判断词.即p：∃x0∈M，p(x0)成立⇒綈p：∀x∈M，綈p(x)成立.跟踪训练2写出下列特称命题的否定，并判断其否定的真假.(1)有些实数的绝对值是正数；(2)某些平行四边形是菱形；(3)∃x 0，y 0∈Z ，使得2x 0＋y 0＝3.解(1)命题的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，即“所有实数的绝对值都不是正数”.它为假命题.(2)命题的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，即“每一个平行四边形都不是菱形”.由于菱形是平行四边形，因此命题的否定是假命题.(3)命题的否定是“∀x ，y ∈Z ，2x ＋y ≠3”.当x ＝0，y ＝3时，2x ＋y ＝3，因此命题的否定是假命题.题型三特称命题、全称命题的综合应用例3已知函数f (x )＝x 2－2x ＋5.(1)是否存在实数m ，使不等式m ＋f (x )>0对于任意x ∈R 恒成立，并说明理由；(2)若存在一个实数x 0，使不等式m －f (x 0)>0成立，求实数m 的取值范围.解(1)不等式m ＋f (x )>0可化为m >－f (x )，即m >－x 2＋2x －5＝－(x －1)2－4.要使m >－(x －1)2－4对于任意x ∈R 恒成立，只需m >－4即可.故存在实数m ，使不等式m ＋f (x )>0对于任意x ∈R 恒成立，此时，只需m >－4.(2)不等式m －f (x 0)>0可化为m >f (x 0)，若存在一个实数x 0，使不等式m >f (x 0)成立，只需m >f (x )min . 又f (x )＝(x －1)2＋4，∴f (x )min ＝4，∴m >4.∴所求实数m 的取值范围是(4，＋∞).反思与感悟对于涉及是否存在的问题，通常总是假设存在，然后推出矛盾，或找出存在符合条件的元素.一般地，对任意的实数x ，a >f (x )恒成立，只需a >f (x )max ；若存在一个实数x 0，使a >f (x 0)成立，只需a >f (x )min .跟踪训练3已知f (x )＝3ax 2＋6x －1(a ∈R ).(1)当a ＝－3时，求证：对任意x ∈R ，都有f (x )≤0；(2)如果对任意x ∈R ，不等式f (x )≤4x 恒成立，求实数a 的取值范围.(1)证明当a ＝－3时，f (x )＝－9x 2＋6x －1，∵Δ＝36－4×(－9)×(－1)＝0，∴对任意x ∈R ，都有f (x )≤0.(2)解∵f (x )≤4x 恒成立，∴3ax 2＋2x －1≤0恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a <0，Δ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a <0，4＋12a ≤0， 解得a ≤－13，即实数a 的取值范围是(－∞，－13].含有一个量词的命题的否定例4写出下列命题的否定，并判断其真假.(1)正方形都是菱形；(2)∃x 0∈R ，x 20－4x 0－3＞0.分析(1)是省略了全称量词的全称命题，其否定是特称命题.(2)是特称命题，其否定是全称命题.解(1)有的正方形不是菱形.假命题.(2)∀x ∈R ，x 2－4x －3≤0恒成立.假命题.解后反思含有一个量词的命题在否定时，往往只改变前面的量词，而将后面的否定忽略，这种错误应当避免.1.命题p ：“存在实数m ，使方程x 2＋mx ＋1＝0有实数根”，则“綈p ”形式的命题是()A.存在实数m ，使方程x 2＋mx ＋1＝0无实数根B.不存在实数m ，使方程x 2＋mx ＋1＝0无实数根C.对任意的实数m ，方程x 2＋mx ＋1＝0无实数根D.至多有一个实数m ，使方程x 2＋mx ＋1＝0有实数根答案C解析命题p 是特称命题，其否定形式为全称命题，即綈p ：对任意的实数m ，方程x 2＋mx ＋1＝0无实数根.2.设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集.若命题p ：∀x ∈A,2x ∈B ，则()A.綈p ：∀x ∈A,2x ∈BB.綈p ：∀x ∉A,2x ∉BC.綈p ：∃x ∉A,2x ∈BD.綈p ：∃x ∈A,2x ∉B答案D解析命题p：∀x∈A,2x∈B是一个全称命题，其命题的否定綈p应为∃x∈A,2x∉B，选D.3.对下列命题的否定说法错误的是()A.p：能被2整除的数是偶数；綈p：存在一个能被2整除的数不是偶数B.p：有些矩形是正方形；綈p：所有的矩形都不是正方形C.p：有的三角形为正三角形；綈p：所有的三角形不都是正三角形D.p：∃n∈N,2n≤100；綈p：∀n∈N,2n>100.答案C解析“有的三角形为正三角形”为特称命题，其否定为全称命题：“所有的三角形都不是正三角形”，故选项C错误.4.命题“∀x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”的否定是()A.∀x∈(－∞，0)，x3＋x<0B.∀x∈(－∞，0)，x3＋x≥0C.∃x0∈[0，＋∞)，x30＋x0<0D.∃x0∈[0，＋∞)，x30＋x0≥0答案C解析全称命题的否定是特称命题.全称命题：∀x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0的否定是特称命题：∃x0∈[0，＋∞)，x30＋x0<0.5.命题“零向量与任意向量共线”的否定为__________________________.答案有的向量与零向量不共线解析命题“零向量与任意向量共线”即“任意向量与零向量共线”，是全称命题，其否定为特称命题“有的向量与零向量不共线”.1.对含有一个量词的命题的否定要注意以下问题：(1)确定命题类型，是全称命题还是特称命题.(2)改变量词：把全称量词改为恰当的存在量词；把存在量词改为恰当的全称量词.(3)否定结论：原命题中的“是”“有”“存在”“成立”等分别改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等.(4)无量词的全称命题要先补回量词再否定.2.通常对于“至多”“至少”的命题，应采用逆向思维的方法处理，先考虑命题的否定，求出相应的集合，再求集合的补集，可避免繁杂的运算.。
含有一个量词的命题的否定
1．4.3含有一个量词的命题的否定学习目标 1.理解含有一个量词的命题的否定的意义.2.会对含有一个量词的命题进行否定.3.掌握全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．知识点一全称命题的否定思考尝试写出下面含有一个量词的全称命题的否定，并归纳写全称命题否定的方法．(1)所有矩形都是平行四边形；(2)每一个素数都是奇数；(3)∀x∈R，x2－2x＋1≥0.答案(1)将量词“所有”换为：“存在一个”然后将结论否定，即“不是平行四边形”，所以原命题的否定为：“存在一个矩形不是平行四边形”；用同样的方法可得(2)(3)的否定：(2)存在一个素数不是奇数；(3)∃x0∈R，x20－2x0＋1<0.梳理写全称命题的否定的方法：①更换量词，将全称量词换为存在量词；②将结论否定．对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：全称命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定綈p：∃x0∈M，綈p(x0)．全称命题的否定是特称命题．知识点二特称命题的否定思考尝试写出下面含有一个量词的特称命题的否定，并归纳写特称命题否定的方法．(1)有些实数的绝对值是正数；(2)某些平行四边形是菱形；(3)∃x0∈R，x20＋1<0.答案(1)先将存在量词“有些”改写为全称量词“所有”，然后将结论“实数的绝对值是正数”否定，即“实数的绝对值不是正数，于是得原命题的否定为：“所有实数的绝对值都不是正数”；同理可得(2)(3)的否定：(2)所有平行四边形都不是菱形；(3)∀x∈R，x2＋1≥0.梳理写特称命题的否定的方法：①将存在量词改写为全称量词，②将结论否定．(1)特称命题p：∃x∈M，p(x)，它的否定¬p：∀x∈M，¬p(x)．(2)对含有一个量词的命题进行否定，先对量词进行否定，全称量词变为存在量词，存在量词变为全称量词，然后再否定结论即可.类型一全称命题与特称命题的否定例1写出下列命题的否定，并判断真假．(1)p：不论m取何实数，方程x2＋mx－1＝0必有实数根；(2)p：存在x∈N，x2－2x＋1≤0.解(1)非p：存在一个实数m，使得方程x2＋mx－1＝0没有实数根，因为该方程的判别式Δ＝m2＋4>0恒成立，故非p为假命题．(2)非p：对任意x∈N，x2－2x＋1>0，显然当x＝1时，x2－2x＋1>0不成立，故非p是假命题．反思与感悟(1)全称命题的否定将全称量词变为存在量词，再否定它的结论，全称命题的否定是特称命题．(2)特称命题的否定将存在量词变为全称量词，再否定它的结论，特称命题的否定是全称命题．(3)对全称命题与特称命题的否定要注意以下两点：①对省略全称量词的全称命题要补回全称量词再否定．解题中若遇到省略“所有”“任何”“任意”等量词的简化形式，这时则应先将命题写成完整形式，再依据法则写出其否定形式．对特称命题的否定，在否定判断词时，也要否定存在量词．②要注意命题的否定形式不唯一．跟踪训练1写出下列命题的否定，并判断真假．(1)p：矩形是平行四边形；(2)q：∀x≥0，x2>0；(3)r：存在一个三角形，它的内角和大于180°；(4)t：某些梯形的对角线互相平分．解(1) ¬p：存在一个矩形不是平行四边形，假命题．(2) ¬q：∃x≥0，x2≤0，真命题．(3) ¬r：所有三角形的内角和都小于等于180°，真命题．(4) ¬t：每一个梯形的对角线都不互相平分，真命题．类型二利用全称命题与特称命题求参数取值范围例2已知函数f(x)＝x2－mx＋1，命题p：“对任意x∈R，都有f(x)>0”，命题q：“存在x∈R，使x2＋m2<9”．若命题“非p”与“q”均为真命题，求实数m的取值范围．解由于命题p：“对任意x∈R，都有f(x)>0”，所以非p：“不等式f(x)≤0在实数集上有解”，故Δ＝m2－4≥0，得m≤－2或m≥2.又命题q：“存在x∈R，使x2＋m2<9”，即不等式x 2<9－m 2在实数集上有解，故9－m 2>0，所以－3<m <3.因为命题“非p ”与“q ”均为真命题，所以m 的取值范围为(－3，－2]∪[2,3)．反思与感悟 利用全称命题、特称命题求参数的范围或求值是一类综合性较强、有一定难度的问题，主要考查这两种命题及其否定的定义．全称命题为真，意味着对限定的每一个元素都具有某种性质，使所给语句为真．因此，当给出限定集合中的任一个特殊的元素时，自然应导出“这个特殊元素具有这个性质”． 跟踪训练2 已知f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)，g (x )＝2x －2，若同时满足条件：①∀x ∈R ，f (x )<0或g (x )<0；②∃x ∈(－∞，－4)，f (x )g (x )<0.则m 的取值范围是________． 答案 －4<m <－2 解析 由题意知m ≠0，∴f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)为二次函数， (1)若∀x ∈R ，f (x )<0或g (x )<0， 必须抛物线开口向下，即m <0. f (x )＝0的两根x 1＝2m ，x 2＝－m －3， 则x 1－x 2＝3m ＋3.①当x 1>x 2，即m >－1时，大根x 1＝2m <1，即m <12.②当x 1<x 2，即m <－1时，大根x 2＝－m －3<1，即m >－4.③当x 1＝x 2，即m ＝－1时，x 1＝x 2＝－2<1也满足条件．∴满足条件①的m 的取值范围为－4<m <0.(2)若∃x ∈(－∞，－4)，f (x )g (x )<0， 则满足f (x )＝0的小根小于是－4.①当m >－1时，小根x 2＝－m －3<－4且m <0，无解． ②当m <－1时，小根x 1＝2m <－4且m <0，解得m <－2. ③当m ＝－1时，f (x )＝－(x ＋2)2≤0恒成立， ∴不满足②.∴满足①②的m 的取值范围是－4<m <－2.1．已知a >0且a ≠1，命题“∃x >1，log a x >0”的否定是( ) A ．∃x ≤1，log a x >0 B ．∃x >1，log a x ≤0 C ．∀x ≤1，log a x >0 D ．∀x >1，log a x ≤0答案 D解析 a >0且a ≠1，命题“∃x >1，log a x >0”的否定是“∀x >1，log a x ≤0”．2．已知命题p ：∀x >0，x ＋1x ≥2，则¬ p 为( )A ．∀x >0，x ＋1x <2B ．∀x ≤0，x ＋1x <2C ．∃x ≤0，x ＋1x <2D ．∃x >0，x ＋1x<2答案 D解析 由命题的否定的定义及全称命题的否定为特称命题可得． 3．下列说法不正确的是( )A ．若“p 且q ”为假，则p ，q 至少有一个是假命题B ．命题“∃x ∈R ，x 2－x －1<0”的否定是“∀x ∈R ，x 2－x －1≥0”C ．“φ＝π2”是“y ＝sin(2x ＋φ)为偶函数”的充要条件D ．当α<0时，幂函数y ＝x α在(0，＋∞)上单调递减 答案 C解析 A ：若“p 且q ”为假，则p ，q 至少有一个是假命题，正确；B ：命题“∃x ∈R ，x 2－x －1<0”的否定是“∀x ∈R ，x 2－x －1≥0”，正确；C ：“φ＝π2”是“y ＝sin(2x ＋φ)为偶函数”的充分不必要条件，故C 错误；D ：α<0时，幂函数y ＝x α在(0，＋∞)上单调递减，正确．故选C.4．命题“∃x 0∈R,030≤x”的否定是( ) A ．∀x ∈R,3x ≤0 B ．∃x 0∈R,030≥xC ．∃x 0∈R,030xD ．∀x ∈R,3x >0答案 D解析 命题“∃x 0∈R,030≤x”的否定使“∀x ∈R,3x >0.”5．由命题“∃x ∈R ，x 2＋2x ＋m ≤0”是假命题，求得实数m 的取值范围是(a ，＋∞)，则实数a ＝________. 答案 1解析 由题意得命题“∀x ∈R ，x 2＋2x ＋m >0”是真命题，所以Δ＝4－4m <0，即m >1，故实数m 的取值范围是(1，＋∞)，从而实数a 的值为1.1．对含有全称量词的命题进行否定需两步操作：第一步，将全称量词改写成存在量词，即将“任意”改为“存在”；第二步，将结论加以否定，如本例，将“≥”否定为“<”． 2．对含有存在量词的命题进行否定需两步操作：第一步，将存在量词改写成全称量词；第二步，将结论加以否定．含有存在量词的命题的否定是含有全称量词的命题．注意命题中可能省略了全称或存在意义的量词，要注意判断．3．全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，因此在书写时，要注意量词以及形式的变化，熟练掌握下列常见词语的否定形式：原词语 否定词语 原词语 否定词语 是 不是 至少有一个 一个也没有 都是 不都是 至多有一个 至少有两个 大于 不大于 至少有n 个 至多有(n －1)个 小于 不小于 至多有n 个至少有(n ＋1)个任意的 某个 能 不能 所有的某些等于不等于一、选择题1．已知命题p ：∀x ∈R ，sin x ≤1，则¬ p 是( ) A ．∃x ∈R ，sin x ≥1 B ．∃x ∈R ，sin x >1 C ．∀x ∈R ，sin x ≥1 D ．∀x ∈R ，sin x >1答案 B解析 所给命题为全称命题，故其否定为特称命题，∃x ∈R ，sin x >1，故选B. 2．命题“∀n ∈N *，f (n )∈N *且f (n )≤n ”的否定形式是( ) A ．∀n ∈N *，f (n )∉N *且f (n )>n B ．∀n ∈N *，f (n )∉N *或f (n )>n C ．∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *且f (n 0)>n 0 D ．∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *或f (n 0)>n 0 答案 D解析 “f (n )∈N *且f (n )≤n ”的否定为“f (n )∉N *或f (n )>n ”，全称命题的否定为特称命题，故选D.3．已知命题p ：∀x >0，x ＋4x ≥4；命题q ：∃x 0∈(0，＋∞)，0122＝，x 则下列判断正确的是( )A ．p 是假命题B ．q 是真命题C ．p ∧(¬ q )是真命题D ．(¬ p )∧q 是真命题答案 C解析 由基本不等式知命题p 正确；由0122＝x知，x 0＝－1，故命题q 不正确；利用复合命题的判断方法可知应选C.4．已知命题p ：存在a ∈R ，使函数y ＝x 2＋ax 的定义域为实数集R ，命题q ：不等式x －1x －2≤0的解集为{x |1<x <2}，则下列结论正确的是( ) A ．命题“p 且q ”为真命题 B ．命题“p 且(¬ q )”为真命题 C ．命题“(¬ p )且q ”为真命题 D ．命题“(¬ p )且(¬ q )”为真命题 答案 B解析 根据命题p 得x 2＋ax ≥0，因为Δ＝a 2≥0，故∀a ∈R ，都成立，故命题p 为真命题；由命题q 得{ (x －1)(x －2)≤0，x －2≠0，解得1≤x <2，故命题q 为假命题，结合复合命题的真假判断，得到只有B 符合题意，故选B.5．命题“存在x ∈R ，x 3－x 2＋1>0”的否定是( ) A ．不存在x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0 B ．存在x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0 C ．对任意的x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0 D ．对任意的x ∈R ，x 3－x 2＋1>0 答案 C解析 特称命题“存在x ∈R ，x 3－x 2＋1>0”的否定是：把量词“存在”改为“对任意的”并把结论进行否定，即把“>”改为“≤”．故选C.6．有命题m ：“∀x 0∈(0，13)，01031()log 2x x <”，命题n ：“∃x 0∈(0，＋∞)，010031()log 2＝x x x >”． 则在命题p 1：m ∨n ，p 2：m ∧n ，p 3：(¬ m )∨n 和p 4：m ∧(¬ n )中，真命题是( ) A ．p 1，p 2，p 3 B ．p 2，p 3，p 4 C ．p 1，p 3 D ．p 2，p 4答案 A解析 当x ∈(0，13)时，13log 1x >，(12)x <1，∴此时131log ()2x x >恒成立，即命题m 为真命题，作出函数13log ＝，y x y ＝(12)x ，y ＝x 的图象如图，则由图象可知∃x 0∈(0，＋∞)，满足010031log ()2＝，x x x 故命题n 为真命题，则m ∨n ，m ∧n ，(¬ m )∨n 为真命题，m ∧(¬ n )为假命题，故p 1，p 2，p 3为真命题，故选A. 7．下列命题正确的是( )(1)已知命题p ：∃x ∈R,2x ＝1，则¬ p 是：∃x ∈R,2x ≠1；(2)设l ，m 表示不同的直线，α表示平面，若m ∥l ，且m ∥α，则l ∥α；(3)利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a ，则事件“3a －1>0”发生的概率为23；(4)“a >0，b >0”是“a b ＋ba ≥2”的充分不必要条件．A ．(1)(4)B ．(2)(3)C ．(1)(3)D ．(3)(4)答案 D解析 ¬ p 为∀x ∈R,2x ≠1，故(1)错误；若m ∥l ，且m ∥α，则l 可能在α内或l ∥α，故(2)错误；由3a －1>0得，a >13，即事件“3a －1>0”发生的概率为23，故(3)正确；a b ＋ba ≥2⇔ab >0，故(4)正确．所以选D. 二、填空题8．若“∀x ∈[0，π4]，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________．答案 1解析 ∵0≤x ≤π4，∴0≤tan x ≤1，∵“∀x ∈[0，π4]，tan x ≤m ”是真命题，∴m ≥1.∴实数m 的最小值为1.9．已知全集U ＝R ，A ⊆U ，B ⊆U ，如果命题p ：3∈A ∪B ，则命题“¬ p ”是________． 答案3∈(∁U A )∩(∁U B )解析 p ：3∈A 或3∈B ，所以¬ p ：3∉A 且3∉B, 即¬ p ：3∈(∁U A )∩(∁U B )．10．对∀x ∈[－1,2]，使4x －2x ＋1＋2－a <0恒成立，则实数a 的取值范围为________． 答案 (10，＋∞)解析 已知不等式化为22x －2·2x ＋2－a <0，①令t ＝2x ，因为x ∈[－1,2]，所以t ∈[12，4]，则不等式①化为t 2－2t ＋2－a <0，即a >t 2－2t ＋2，原命题等价于∀t ∈[12，4]，a >t 2－2t ＋2恒成立，令y ＝t 2－2t ＋2＝(t －1)2＋1，当t ∈[12，4]时，y max ＝10，所以只需a >10即可，即所求实数a 的取值范围是(10，＋∞)． 三、解答题11．写出下列命题的否定，并判断真假． (1)p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋14≥0；(2)q ：所有的正方形都是矩形； (3)r ：∃x ∈R ，x 2＋2x ＋2≤0.解 (1)非p ：∃x ∈R ，x 2－x ＋14<0，假命题．∵∀x ∈R ，x 2－x ＋14＝(x －12)2≥0，∴非p 是假命题．(2)非q ：有的正方形不是矩形，假命题． (3)非r ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2>0，真命题． ∵∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2＝(x ＋1)2＋1≥1>0， ∴非r 是真命题．12．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋5.(1)是否存在实数m ，使不等式m ＋f (x )>0对于任意x ∈R 恒成立？并求出m 的取值范围； (2)若存在一个实数x 0，使不等式m －f (x 0)>0成立，求实数m 的取值范围． 解 (1)不等式m ＋f (x )>0可化为m >－f (x )，即m >－x 2＋2x －5＝－(x －1)2－4.要使m >－(x －1)2－4对于任意x ∈R 恒成立，只需m >－4即可．故存在实数m 使不等式m ＋f (x )>0对于任意x ∈R 恒成立，此时m >－4. (2)不等式m －f (x 0)>0可化为m >f (x 0)， 若存在实数x 0，使不等式m >f (x 0)成立， 只需m >f (x )min .∵f (x )＝(x －1)2＋4， ∴f (x )min ＝4，∴m >4.∴所求实数m 的取值范围是(4，＋∞)．13．已知函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1在区间[－1,1]上至少存在一个实数c ，使得f (c )>0.求实数p 的取值范围．解 “在区间[－1,1]上至少存在一个实数c ，使得f (c )>0”的否定是“在[－1,1]上的所有实数x ，都有f (x )≤0恒成立”．又由二次函数的图象特征可知，{ f (－1)≤0，f (1)≤0，即{ 4＋2(p －2)－2p 2－p ＋1≤0，4－2(p －2)－2p 2－p ＋1≤0，即⎩⎨⎧p ≥1或p ≤－12，p ≥32或p ≤－3，∴p ≥32或p ≤－3. 故p 的取值范围是－3<p <32.。
1.4.3含有一个量词的命题的否定
想一想：
对给定的命题 p ，如何得到命题 p 的否定 （或非 p） ，它们的真假性之间有何联系？
思考、分析
判断下列命题是全称命题还是特称命题， 你能 写出下列命题的否定吗？ （1）所有的矩形都是平行四边形； （2）每一个素数都是奇数； （3）x∈R, x2－2x＋1≥0。 （4）有些实数的绝对值是正数； （5）某些平行四边形是菱形； 2 （6） x∈R, x ＋1＜0。
命题（4）的否定“不存在一个实数，它的绝 对值是正数” ，也就是说，所有实数的绝对值 都不是正数； 命题（5）的否定是“没有一个平行四边形是 菱形” ，也就是说，每一个平行四边形都不是 菱形；
命题（6）的否定是“不存在 x∈R, x ＋1＜0”， 也就是说，x∈R, x2＋1≥0；
2
发现、归纳
从命题的形式上看， 前三个全称命题的否 定都变成了特称命题。后三个特称命题的否 定都变成了全称命题。
例题分析
2、写出下列命题的非，并判断其真假 2 （1）无论 m 取何实数，方程 x +x-m=0 必有 实数根。 3 （2）至少有一个实数 x，使 x +1=0.
例题分析
2、写出下列命题的非，并判断其真假 2 （1）无论 m 取何实数，方程 x +x-m=0 必有 实数根。 3 （2）至少有一个实数 x，使 x +1=0.
例题分析
1、判断下列命题是全称命题还是特称命题， 并写出它们的否定： （1）p：所有能被 3 整除的整数都是奇数； （2）p：每一个四边形的四个顶点共圆； （3）p：对x∈Z，x2 个位数字不等于 3； 2 （4）p： x∈R, x ＋2x＋2≤0； （5）p：有的三角形是等边三角形； （6）p：有一个素数含三个正因数。
8含有一个量词的命题的否定
含有一个量词的命题的否定编制： 审核： 2014年10月 班级 ： 姓名 学习目标：1、 了解含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律。
2、 能准确描述含有一个量词的命题的否定，并能用符号语言表示。
重点：了解含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，会正确地对含有一个量词的命题进行否定。
难点：正确地对含有一个量词的命题进行否定。
一、独立自学：（A 级）自学教材第24-25页，解决下面的问题。
1、 全称命题p ：),(,x p M x ∈∀它的否定p ⌝： 。
①请仔细观察全称命题和它的否定在形式上有哪些区别？②全称命题的否定是什么命题？2、 特称命题p ：),(,00x p M x ∈∃它的否定p ⌝： 。
①请仔细观察特称命题和它的否定在形式上有哪些区别？②特称命题的否定是什么命题？二、典例剖析：例1:写出下列全称命题的否定：(1)每一个二次函数的图像图像都开口向上；(2)所有的矩形都是平行四边形；(3)∀x ∈R, x 2＋1≥0；（4）不论m 取何实数，方程022=-+m x x 都有实数根。
例2：写出下列特称命题的否定：（1）有些质数是奇数；（2）5,200=∈∃x Q x ；（3）存在一个四边形不是平行四边形；（4）存在实数c b a ,,，使0>abc 。
变式：写出下列特称命题的否定，并判断真假。
（1） 所有的正方形都是菱形。
（2） 有些平行四边形不是矩形。
（3） 对任意的不相交的直线a,b,都有a 平行b 。
（4） 有些棱柱侧棱垂直于底面。
三、我的总结四、巩固检测：课时作业。
高中数学含有一个量词的命题的否定《导学案》答案
第一章 常用逻辑用语1.4.3 含有一个量词的命题的否定参考答案【典例分析】例1.【解析】选C.所给命题∀2x >1，x>1是全称命题，它的否定是特称命题，为∃20x >1，0x ≤1.例2.选C.命题p 是一个特称命题，﹁p 为：∀x>0，2x -3x+2≤0.例3.【解析】因为命题“∃0x ∈[1，2]，使20x +20x +a ≥0”为真命题，x ∈[1，2]时，2x +2x 的最大值为8，所以a ≥-8时，命题“∃0x ∈[1，2]，使20x +20x +a ≥0”为真命题.所以a 的取值范围：[-8，+∞).【变式拓展】：1.选D.全称命题的否定是特称命题，所以命题“∀x ∈R ，2x ≠x ”的否定是“∃0x ∈R ，20x =0x ”.2.【解析】选D.根据题意可知命题p ：∀x ∈A ，2x ∈B 的否定是﹁p ：∃0x ∈A ，20x ∉B ，故选D.3.选A.已知命题是假命题，则它的否定为真命题，命题的否定为∀x ∈R ，使得2x +(a-1)x+1≥0，根的判别式Δ=(a-1)2-4≤0，解得-1≤a ≤3.4.【解析】否定形式：存在末位数是0或5的整数不能被5整除.答案：存在末位数是0或5的整数不能被5整除5.【解析】其否定为：“所有的四边形都不是平行四边形”.答案：所有的四边形都不是平行四边形6.【解析】其否定为：“∀x ∉M ，﹁p(x)”.答案：∀x ∉M ，﹁p(x)7.【解析】(1)存在0n ∈Z ，使0n ∉Q ，这是假命题.(2)存在等圆，其面积不相等或周长不相等，这是假命题.(3)存在偶数的平方不是正数，这是真命题.四、随堂检测1.【解析】选C.全称命题的否定是特称命题,因此选C.2.【解析】选B.命题p 是一个特称命题,其否定为全称命题, p:∀x ∈R,x 2+1≥0.3.【解析】选A.词语“都不是”的否定是“至少有一个是”.4.【解析】其否定为：“存在一个素数不是奇数”.答案：存在一个素数不是奇数5.【解析】依题意，命题﹁p ：∀x ∈R ，2x +2ax+a>0是真命题，得Δ=2)2(a -4a<0，即a(a-1)<0，解得0<a<1. 答案：(0，1)6.【解析】此命题为全称命题,其否定是特称命题,把“∀”改为“∃”,然后把2x +x+1>0进行否定. 答案:∃0x ∈R, 20x +0x +1≤07.【解析】此命题为特称命题,其否定为全称命题,需要把“∃”改为“∀”,同时把2x -x+1=0进行否定. 答案:∀x ∈R,2x -x+1≠08.【解析】(1)命题的否定是：对任意x ∈R ，都有2x +2x+5≠0，是真命题.(2)命题的否定是：对于任意的平行四边形，它的对角线都不互相垂直，是假命题.(3)命题的否定是：对于任意的三角形，它的内角和小于或等于180°，是真命题.(4)命题的否定是：所有的偶函数都不是单调函数，是真命题.9.【解析】因为⌝p 为真,又⌝p:∃x 0∈R,20x +ax 0+2≥0,而函数f(x)=x 2+ax+2开口向上,所以a ∈R. 答案:a ∈R10.【解析】特称命题：∃x 0∈R ，p(x 0)的否定是：∀x ∈R ，p(x)，即∀x ∈R ，ax 2+2x+1>0恒成立，可得a>0，且Δ=4-4a<0，所以a>1.11.【解析】(1)当x ∈[-1，3]时，函数f(x)=x 2∈[0，9]，所以f(x)的值域为[0，9].(2)对∀x ∈[0，2]，g(x)≥1成立，等价于g(x)在[0，2]上的最小值大于或等于1.而g(x)在[0，2]上单调递减，所以错误!未找到引用源。
高中数学含一个量词的命题的否定学案新人教B版选修
1. 掌握对含有一个量词的命题进行否定的方法，要正确掌握量词否定的各种形式； .探究任务一：含有一个量词的命题的否定问题：1.写出下列命题的否定：（1）所有的矩形都是平行四边形；（2）每一个素数都是奇数；（3）2,210x R x x ∀∈-+≥.这些命题和它们的否定在形式上有什么变化?2.写出下列命题的否定：（1）有些实数的绝对值是正数；（2）某些平行四边形是菱形；（3）200,10x R x ∃∈+<.这些命题和它们的否定在形式上有什么变化?新知：1.一般地，对于一个含有一个量词的全称命题的否定有下面的结论： 全称命题p ：,()x p p x ∀∈，它的否定p ⌝：00,()x M p x ∃∈⌝2. 一般地，对于一个含有一个量词的特称命题的否定有下面的结论： 特称命题p ：00,()x M p x ∃∈，它的否定p ⌝：,()x M p x ∀∈.试试：1.写出下列命题的否定：（1）,n Z n Q ∀∈∈；（2）任意素数都是奇数；（3）每个指数函数都是奇数.2. 写出下列命题的否定：(1) 有些三角形是直角三角形；（2）有些梯形是等腰梯形；（3）存在一个实数，它的绝对值不是正数.反思：全称命题的否定变成特称命题.※ 典型例题例1 写出下列全称命题的否定：（1）p ：所有能被3整除的数都是奇数；_______________________（2）p ：每一个平行四边形的四个顶点共圆；___________________（3）p ：对任意x Z ∈，2x 的个位数字不等于3.____________________ 变式：写出下列全称命题的否定，并判断真假.(1) p ：21,04x R x x ∀∈-+≥_____________________(2) p ：所有的正方形都是矩形.____________________例2 写出下列特称命题的否定：(1) p ：2000,220x R x x ∃∈++≤；____________________(2) p ：有的三角形是等边三角形；________________________(3) p ：有一个素数含有三个正因数.________________________变式：写出下列特称命题的否定，并判断真假.(1) p ：2,220x R x x ∃∈++≤；________________________________(2) p ：至少有一个实数x ，使310x +=.__________________________ 小结：全称命题的否定变成特称命题.写出下列命题的否定：(1) 32,x N x x ∀∈>；______________________ (2) 所有可以被5整除的整数，末位数字都是0；__________________________________________________(3) 2000,10x R x x ∃∈-+≤；_________________________________(4) 存在一个四边形，它的对角线是否垂直._________________练2. 判断下列命题的真假，写出下列命题的否定：（1）每条直线在y 轴上都有截矩；_______________________（2）每个二次函数都与x 轴相交；________________________（3）存在一个三角形，它的内角和小于180︒；_________________.___________________________知识拓展英国数学家布尔(G.BOOL)建立了布尔代数,并创造了一套符号系统，利用符号来表示逻辑中的各种概念.他不建立了一系列的运算法则,利用代数的方法研.你完成本节导学案的情况为（ ）.很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差5分钟 满分：10分）计分：y x =对称”的否定是（ ）.A. 原函数与反函数的图象关于y x =-对称B. 原函数不与反函数的图象关于y x =对称C.存在一个原函数与反函数的图象不关于y x = 对称D. 存在原函数与反函数的图象关于y x =对称2.对下列命题的否定说法错误的是（ ）.A. p ：能被3整除的数是奇数；p ⌝：存在一个能被3整除的数不是奇数B. p ：每个四边形的四个顶点共圆；p ⌝：存在一个四边形的四个顶点不共圆C. p ：有的三角形为正三角形；p ⌝：所有的三角形不都是正三角形D. p ：2,220x R x x ∃∈++≤；p ⌝：2,220x R x x ∀∈++>3.命题“对任意的32,10x R x x ∈-+≤”的否定是（ ）.A. 不存在32,10x R x x ∈-+≤B. 存在32,10x R x x ∈-+≤C. 存在32,10x R x x ∈-+>D. 对任意的32,10x R x x ∈-+>4. 平行四边形对边相等的否定是5. 命题“存在一个三角形没有外接圆”的否定是1. 写出下列命题的否定：（1）若24x >，则2x >；（2）若0,m ≥则20x x m +-=有实数根；（3）可以被5整除的整数，末位是0；（4）被8整除的数能被4整除；（5）若一个四边形是正方形，则它的四条边相等.2. 把下列命题写成含有量词的命题：（1）余弦定理；（2）正弦定理.。
人教版高中数学教案-含有一个量词的命题的否定
1. 4.2含有一個量詞的命題的否定課前預習學案一、預習目標（1） 歸納總結出含有一個量詞的命題的含義與它們的否定在形式上的變化規律。
（2）根據全稱量詞和存在量詞的含義，用簡潔、自然的語言表敘含有一個量詞的命題的否定二、預習內容1、明確命題的構成我們現在所涉及的命題一般由四部分組成：一是被判斷物件；二是被判斷物件的結果(或性質)；三是修飾被判斷物件的量詞，分為兩類：一類是————，一般常用“一切”、“所有”、“每一個”、“任意一個”等詞語表達，另一類是————，一般常用“有些”、“存在”、“至少有一個”等詞語表達；四是“判斷詞”，是聯繫被判斷物件與結果(或性質)的肯定詞或否定詞，肯定詞常用“是”、“有”等表示，否定詞常用“不是”、“沒有”等表示．如命題“至少有一個質數不是奇數”中，“質數”為被判斷物件，“奇數”為結果(或性質)，“至少有一個”為量詞，“不是”為否定詞．2﹑掌握常見的關鍵字(量詞與判斷詞)的否定形式 正面詞語 等於 大於 小於 是 都是 能 否定詞語正面詞語 任意的 所有的 至多一個 至少一個至多有n 個 至少有n 個 否定詞語說明：寫命題p 的否定形式，不能一概在關鍵字前加“不”，而要搞清一個命題研究的物件是個體還是全體，如果研究的物件是個體，只須將“是”改成“不是”，將“不是”改成“是”等即可.如果命題研究的物件不是一個個體，就不能簡單地將“是”改在“不是”， 將“不是”改成“是”等，而是要分清命題是全稱命題，還是特稱命題.注：全稱命題“,()x M P x ∀∈”的否定為特稱命題“00,()x M P x ⌝∃∈”特稱命題“00,()x M P x ∃∈”的否定為全稱命題“,()x M P x ∀∈”三、提出疑惑同學們，通過你的自主學習，你還有哪些疑惑，請把它填在下面的表格中疑惑點疑惑內容課內探究學案一、學習目標1．通過生活和數學中的實例，理解對含有一個量詞的命題的否定的意義；2．能正確地對含有一個量詞的命題進行否定；3．進一步提高利用全稱量詞與存在量詞準確、簡潔地敘述數學內容的能力；4．培養對立統一的辯證思想二、學習過程探究一：1、全稱命題的否定1．(2007年山東高考文理科)命題“對任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是（）A．不存在x∈R，x3－x2＋1≤0 B．存在x∈R，x3－x2＋1≤0C．存在x∈R，x3－x2＋1＞0 D．對任意的x∈R，x3－x2＋1＞0探究二：特稱命題的否定3．(2007年海南省調研文理科)已知特稱命題p：∃x∈R，2x＋1≤0，則命題P的否定是（）A．∃x∈R，2x＋1＞0 B．∀x∈R，2x＋1＞0C．∃x∈R，2x＋1≥0 D．∀x∈R，2x＋1≥0（三）反思總結1、書寫命題的否定時一定要抓住決定命題性質的量詞，從對量詞的否定入手，書寫命題的否定2．書寫命題的否定時，一定要注重理解數學符號的意義3．由於全稱量詞的否定是存在量詞，而存在量詞的否定又是全稱量詞；因此，全稱命題的否定一定是特稱命題；特稱命題的否定一定是全稱命題．(四)當堂檢測寫出下列全稱命題與特稱的否定⑴p：所有能被3整除的整數都是奇數；⑵p：每一個四邊形的四個頂點共圓；⑶p：對任意，的個位數字不等於3。
高中数学《含有一个量词的命题的否定》导学案
第一章 常用逻辑用语1.4.3 含有一个量词的命题的否定一、学习目标：1.理解含有一个量词的命题的否定的意义.2.会对含有一个量词的命题进行否定.3.掌握全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题.【重点、难点】1.通过研究，了解含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，会对含有一个量词的命题进行否定.2.正确的对含有一个量词的命题进行否定.二、学习过程含有一个量词的命题的否定(1)对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：全称命题p ：∀x ∈M ，p(x)，它的否定﹁p ：______________.全称命题的否定是_________.(2)对于含有一个量词的特称命题的否定，有下面的结论：特称命题p ：∃0x ∈M ，p(0x )，它的否定﹁p ：_____________.特称命题的否定是_________.【典例分析】例1.命题“∀2x >1，x>1”的否定是( )A.∀2x >1，x ≤1B.∀2x ≤1，x ≤1C.∃20x >1，0x ≤1D.∃20x ≤1，0x ≤1例2.若命题p ：∃0x >0，20x -30x +2>0，则命题﹁p 为( )A.∃0x >0，20x -30x +2≤0B.∃0x ≤0，20x -30x +2≤0C.∀x>0，2x -3x+2≤0D.∀x ≤0，2x -3x+2≤0例3.已知命题“∃0x ∈[1，2]，使20x +20x +a ≥0”为真命题，求a 的取值范围.【变式拓展】：1.命题“∀x ∈R ，2x ≠x ”的否定是( )A.∀x ∉R ，2x ≠xB.∀x ∈R ，2x =xC.∃0x ∉R ，20x ≠0xD.∃0x ∈R ，20x =0x2.设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集.若命题p ：∀x ∈A ，2x ∈B ，则( )A.﹁p ：∀x ∈A ，2x ∉BB.﹁p ：∀x ∉A ，2x ∉BC.﹁p ：∃0x ∉A ，20x ∈BD.﹁p ：∃0x ∈A ，20x ∉B3.若命题“∃0x ∈R ，使得20x +(a-1)0x +1<0”是假命题，则实数a 的取值范围是( )A.[-1，3]B.(-1，3)C.(-∞，-1]∪[3，+∞)D.(-∞，-1)∪(3，+∞)4.命题“末位数字是0或5的整数能被5整除”的否定形式是__________.5.命题：“有的四边形是平行四边形”的否定为______.6.命题：“∃0x ∉M ，p(0x )”的否定为______.7.写出下列命题的否定，并判断其真假.(1)任意n ∈Z ，则n ∈Q.(2)等圆的面积相等，周长相等.(3)偶数的平方是正数.三、总结反思：1.对全称命题否定的两个步骤(1)改变量词:把全称量词换为恰当的存在量词.(2)否定性质:原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等.2.全称命题否定后的真假判断方法全称命题的否定是特称命题,其真假性与全称命题相反;要说明一个全称命题是假命题,只需举一个反例即可.3.对特称命题否定的两个步骤(1)改变量词:把存在量词换为恰当的全称量词.(2)否定性质:原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等.4.特称命题否定后的真假判断特称命题的否定是全称命题,其真假性与特称命题相反;要说明一个特称命题是真命题,只需要找到一个实例即可.5.含有一个量词的命题与参数范围的求解策略(1)对于全称命题“∀x ∈M,a>f(x)(或a<f(x))”为真的问题,实质就是不等式恒成立问题,通常转化为求函数f(x)的最大值(或最小值),即a>max )(x f (或a<min )(x f ).(2)对于特称命题“∃0x ∈M,a>f(0x )(或a<f(0x ))”为真的问题,实质就是不等式能成立问题,通常转化为求函数f(x)的最小值(或最大值),即a>min )(x f (或a<max )(x f ).四、随堂检测1.已知命题p:∀x ∈R,sinx ≤1,则其否定是 ( )A.﹁p:∃0x ∈R,sin 0x ≥1B.﹁p:∀x ∈R,sinx ≥1C.﹁p:∃0x ∈R,sin 0x >1D.﹁p:∀x ∈R,sinx>12.已知命题p:∃x 0∈R,20x 错误!未找到引用源。
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1. 4.2含有一个量词的命题的否定课前预习学案一、预习目标（1） 归纳总结出含有一个量词的命题的含义与它们的否定在形式上的变化规律。
（2）根据全称量词和存在量词的含义，用简洁、自然的语言表叙含有一个量词的命题的否定二、预习内容1、明确命题的构成我们现在所涉及的命题一般由四部分组成：一是被判断对象；二是被判断对象的结果(或性质)；三是修饰被判断对象的量词，分为两类：一类是————，一般常用“一切”、“所有”、“每一个”、“任意一个”等词语表达，另一类是————，一般常用“有些”、“存在”、“至少有一个”等词语表达；四是“判断词”，是联系被判断对象与结果(或性质)的肯定词或否定词，肯定词常用“是”、“有”等表示，否定词常用“不是”、“没有”等表示．如命题“至少有一个质数不是奇数”中，“质数”为被判断对象，“奇数”为结果(或性质)，“至少有一个”为量词，“不是”为否定词．2﹑掌握常见的关键词(量词与判断词)的否定形式 正面词语 等于大于 小于 是 都是 能 否定词语正面词语 任意的 所有的 至多一个 至少一个 至多有n 个 至少有n 个否定词语 说明：写命题p 的否定形式，不能一概在关键词前加“不”，而要搞清一个命题研究的对象是个体还是全体，如果研究的对象是个体，只须将“是”改成“不是”，将“不是”改成“是”等即可.如果命题研究的对象不是一个个体，就不能简单地将“是”改在“不是”， 将“不是”改成“是”等，而是要分清命题是全称命题，还是特称命题.注：全称命题“,()x M P x ∀∈”的否定为特称命题“00,()x M P x ⌝∃∈”特称命题“00,()x M P x ∃∈”的否定为全称命题“,()x M P x ∀∈”三、提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点 疑惑内容课内探究学案一、学习目标1．通过生活和数学中的实例，理解对含有一个量词的命题的否定的意义；2．能正确地对含有一个量词的命题进行否定；3．进一步提高利用全称量词与存在量词准确、简洁地叙述数学内容的能力；4．培养对立统一的辩证思想二、学习过程探究一：1、全称命题的否定1．(2007年山东高考文理科)命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是（）A．不存在x∈R，x3－x2＋1≤0 B．存在x∈R，x3－x2＋1≤0C．存在x∈R，x3－x2＋1＞0 D．对任意的x∈R，x3－x2＋1＞0探究二：特称命题的否定3．(2007年海南省调研文理科)已知特称命题p：∃x∈R，2x＋1≤0，则命题P的否定是（）A．∃x∈R，2x＋1＞0B．∀x∈R，2x＋1＞0C．∃x∈R，2x＋1≥0D．∀x∈R，2x＋1≥0（三）反思总结1、书写命题的否定时一定要抓住决定命题性质的量词，从对量词的否定入手，书写命题的否定2．书写命题的否定时，一定要注重理解数学符号的意义3．由于全称量词的否定是存在量词，而存在量词的否定又是全称量词；因此，全称命题的否定一定是特称命题；特称命题的否定一定是全称命题．(四)当堂检测写出下列全称命题与特称的否定⑴p：所有能被3整除的整数都是奇数；⑵p：每一个四边形的四个顶点共圆；⑶p：对任意，的个位数字不等于3。
（4）p：有的三角形是等边三角形；（5）p：有一个素数含有三个正因子（五）课后练习与提高1．命题p：“有一个二次函数的图象与y轴不相交”的否定是（）A．有一个二次函数的图象与y轴相交B．任意一个二次函数的图象与y轴相交C．任意一个二次函数的图象与y轴不相交D．存在一个二次函数的图象与y轴2．命题“原函数与反函数的图象关于直线y＝x对称”的否定是( )A.原函数与反函数的图象关于直线y＝－x对称B.原函数不与反函数的图象关于直线y＝x对称C.存在一个原函数与反函数的图象不关于直线y＝x对称D.存在原函数与反函数的图象关于直线y＝x对称1.4.2含有一个量词的命题的否定教案一、教材分析《简易逻辑》列入高中学习内容以后，不少学生对逻辑联结词非p，即命题p的否定的理解存在一些误区．而对含有一个量词的命题的否定又是全称量词与存在量词的重点内容，也是新课标高考的一个亮点.下面就含有一个量词的命题的否定进行精析.二、教学目标1．通过生活和数学中的实例，理解对含有一个量词的命题的否定的意义；2．能正确地对含有一个量词的命题进行否定；3．进一步提高利用全称量词与存在量词准确、简洁地叙述数学内容的能力；4．培养对立统一的辩证思想三、教学重点难点教学重点：通过探究，了解含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，会正确地对含有一个量词的命题进行否定。
教学难点：正确地对含有一个量词的命题进行否定。
四、学情分析学生已学过初中和高中必修①～⑤的全部内容，已拥有了基本的模块知识和数学框架，对用数学符号表示数学命题并不陌生，课本中许多数学也来自生活，对纯数学命题和生活中数学命题有一定的经验，这些都是学生进一步学习的基础，一些常见的数学思想如转化，形式化思想在各个模块中也有所渗透，这些都为学习全称量词与特称量词提供了有利的保障和支撑.概念的形成过程应该是一个归纳、概括的过程，是一个由特殊到一般，由具体到抽象的过程．教师应该充分认识到，学生知识结构的改变不仅是要教师讲、教师引导，还需要学生的亲身体验，亲自参与，与同伴交流.学生在学习数学符号的过程中会存在一定的困难,这些困难的客观因素在于数学符号的高度抽象性、概括性和复杂行，要把具体的数学命题、生活中的数学命题的共性特征抽象出来，用数学的符号语言统一的概括描述它们的共性特征,对学生比较困难.主观因素在于三个方面：①思维定势的影响，全称命题“)∀”中，变量x和含有变量的命题)(xx∈p(M,xp受函数概念的影响而不能正确理解全称命题；②理解数学符号表述含义的困难，这些困难不仅是对量词概念的理解，还包括命题中所含的其他数学符号的含义。
教师引导学生辨析很有必要．教师引导学生获得对问题本质的认识是一个具有挑战性的教学活动．所以企图在一节课中就实现学生联系各个模块知识灵活运用是不现实的.只有在今后的学习中，不断领悟、反思、运用活动逐步深刻理解并运用它们. 教学中，教师要采取适当的方法，注意启发引导，不要以自己的想法代替学生的想法，把全称命题特称命题的定义告诉学生．注意引导学生积极参与概念形成的关节点处的讨论、交流等活动,引导学生总结判断全称命题与特称命题的思想方法.不要简化概念发生过程的教学，而把中心放在练习强化上．要防止练习中知识的面太大而产生负迁移而影响理解概念的本质.五、教学方法探究法，学案导学六、课前准备（1）学生的学习准备；预习课本。
（2）教师的教学准备；教学设计，课件制作，学生的学习行为分析等；（3）教学环境的设计与布置；多媒体教室；（4）教学用具的设计和准备：投影仪，黑板，及其相关教学软件.七、课时安排：1课时八、教学过程(一)预习检查、总结疑惑检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。
（二）情景导入、展示目标。
（ⅰ）．课题引入（采用多媒体）一、明确命题的构成我们现在所涉及的命题一般由四部分组成：一是被判断对象；二是被判断对象的结果(或性质)；三是修饰被判断对象的量词，分为两类：一类是全称量词，一般常用“一切”、“所有”、“每一个”、“任意一个”等词语表达，另一类是特称量词，一般常用“有些”、“存在”、“至少有一个”等词语表达；四是“判断词”，是联系被判断对象与结果(或性质)的肯定词或否定词，肯定词常用“是”、“有”等表示，否定词常用“不是”、“没有”等表示．如命题“至少有一个质数不是奇数”中，“质数”为被判断对象，“奇数”为结果(或性质)，“至少有一个”为量词，“不是”为否定词．二﹑掌握常见的关键词(量词与判断词)的否定形式正面词语等于大于小于是都是能否定词语不等于不大于不小于不是不都是不能正面词语任意的所有的至多一个至少一个至多有n个至少有n个否定词语某个某些至少有两个一个也没有至少有n＋1个至多有n＋1个说明：写命题p的否定形式，不能一概在关键词前加“不”，而要搞清一个命题研究的对象是个体还是全体，如果研究的对象是个体，只须将“是”改成“不是”，将“不是”改成“是”等即可.如果命题研究的对象不是一个个体，就不能简单地将“是”改在“不是”， 将“不是”改成“是”等，而是要分清命题是全称命题，还是特称命题.注：全称命题“,()x M P x ∀∈”的否定为特称命题“00,()x M P x ⌝∃∈”特称命题“00,()x M P x ∃∈”的否定为全称命题“,()x M P x ∀∈（三）合作探究、精讲点拨。
掌握两种基本题型对全称命题和特称命题的否定，一般要对“量词”和“判断词”同时进行否定，全称与特称互为否定，肯定与否定互为否定．下面就全称命题与特称命题的否定以例作分析探究一：1、全称命题的否定例1命题“对任意的x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0”的否定是（ ）A ．不存在x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0B ．存在x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0C ．存在x ∈R ，x 3－x 2＋1＞0D ．对任意的x ∈R ，x 3－x 2＋1＞0分析：本题是一道对全称命题的否定，因此否定时既要对全称量词“任意”否定，又为对判断词“≤”进行否定，全称量词“任意”的否定为存在量词“存在”等，判断词“≤”的否定为“＞”，所以命题“对任意的x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0”的否定是“存在x ∈R ，x 3－x 2＋1＞0”，故选C .点拨：从本题的解答可以看出，对全称命题的否定，在否定判断词时，还要否定全称量词，变为特称命题.特别要注意的是，由于有的命题的全称量词往往可以省略不写，从而在作命题否定时易将全称命题只否定判断词，而不否定省略了的全称量词，如将命题p “实数的绝对值是正数”否定⌝p 写成“实数的绝对值不是正数”这就错了．很显然，这里的“p ”与“⌝p ”都是假命题，与命题“⌝p ”和命题“p ”之间的真值关系相矛盾．究其原因，命题p 为全称命题，省略了量词“所有”，正确的否定形式是“存在一个实数的绝对值不是正数”．事实上由于实数是一个全称概念，命题p 应为“实数的绝对值（都）是正数”故其否定形式亦可写成“实数的绝对值不都是正数”． 探究二：．特称命题的否定例3(已知特称命题p ：∃x ∈R ，2x ＋1≤0，则命题P 的否定是 （ ）A ．∃x ∈R ，2x ＋1＞0B ．∀x ∈R ，2x ＋1＞0C ．∃x ∈R ，2x ＋1≥0D ．∀x ∈R ，2x ＋1≥0分析：本题是一道对特称命题的否定，因此否定时既要对存在量词“∃”否定，又为对判断词“≤”进行否定，存在量词“∃”的否定为全称量词“∀”等，判断词“≤”的否定为“＞”，所以命题“对任意的x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0”的否定是“∀x ∈R ，2x ＋1＞0”，故选B .点拨：从本题的解答可以看出，对特称命题的否定，在否定判断词时，也要否定存在量词.如分析特称命题“有的三角形是直角三角形”的否定，是把判断词“是”，否定为“不是”，再把存在量词“有的”，否定为“所有的”，即为“所有的三角形是直角三角形”.（四）反思总结，当堂检测。