职高数学知识点总结

职高数学概念与公式初中基础知识：1. 相反数、绝对值、分数的运算；2. 因式分解：提公因式：xy-3x=y-3x十字相乘法 如：)2)(13(2532-+=--x x x x 配方法 如：825)41(23222-+=-+x x x 公式法：x+y 2=x 2+2xy+y 2 x-y 2=x 2-2xy+y 2 x 2-y 2=x-yx+y3. 一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程组的解法： （1） 代入法 （2） 消元法6.完全平方和差公式：222)(2b a b ab a +=++ 222)(2b a b ab a -=+-7.平方差公式：))((22b a b a b a -+=-8.立方和差公式：))((2233b ab a b a b a +-+=+ ))((2233b ab a b a b a ++-=-第一章 集合1. 构成集合的元素必须满足三要素：确定性、互异性、无序性.2. 集合的三种表示方法：列举法、描述法、图像法文氏图.注：∆描述法 },|取值范围元素性质元素｛⋯∈⋯=x x x ；另重点类型如：｝｛]3,1(,13|y 2-∈+-=x x x y 3. 常用数集：N 自然数集、Z 整数集、Q 有理数集、R 实数集、*N 正整数集、+Z 正整数集4. 元素与集合、集合与集合之间的关系： （1） 元素与集合是“∈”与“∉”的关系.（2） 集合与集合是“⊆” “”“=”“⊆/”的关系.注：1空集是任何集合的子集,任何非空集合的真子集.做题时多考虑φ是否满足题意 2一个集合含有n 个元素,则它的子集有n 2个,真子集有12-n 个,非空真子集有22-n 个.5. 集合的基本运算用描述法表示的集合的运算尽量用画数轴的方法1}|{B x A x x B A ∈∈=且 ：A 与B 的公共元素相同元素组成的集合2}|{B x A x x B A ∈∈=或 ：A 与B 的所有元素组成的集合相同元素只写一次. 3A C U ：U 中元素去掉A 中元素剩下的元素组成的集合. 注：B C A C B A C U U U =)( B C A C B A C U U U =)(6. 逻辑联结词：且∧、或∨非⌝如果……那么……⇒ 量词：存在∃ 任意∀ 真值表：q p ∧：其中一个为假则为假,全部为真才为真； q p ∨：其中一个为真则为真,全部为假才为假； p ⌝：与p 的真假相反.同为真时“且”为真,同为假时“或”为假,真的“非”为假,假的“非”为真；真“推”假为假,假“推”真假均为真.7. 命题的非1是→不是都是→不都是至少有一个不是2∃……,使得p 成立→对于∀……,都有p ⌝成立. 对于∀……,都有p 成立→∃……,使得p ⌝成立 3q p q p ⌝∨⌝=∧⌝)( q p q p ⌝∧⌝=∨⌝)(8. 充分必要条件∆p 是q 的……条件 p 是条件,q 是结论p q ==⇒<=≠=充分不必要→ 的充分不必要条件是q p 充分条件 p q =≠⇒<===不充分必要 → 的必要不充分条件是q p 必要条件 p q ==⇒⇐==充分必要→ 的充分必要条件是q p 充要条件 p q =≠⇒⇐≠=不充分不必要→ 件的既不充分也不必要条是q p 第二章 不等式1. 不等式的基本性质：注：1比较两个实数的大小一般用比较差的方法；另外还可以用平方法、倒数法如：2008200920092010--与倒数法等.2不等式两边同时乘以负数要变号3同向的不等式可以相加不能相减,同正的同向不等式可以相乘.2. 重要的不等式：∆均值定理1ab b a 222≥+,当且仅当b a =时,等号成立.2),(2+∈≥+R b a ab b a ,当且仅当b a =时,等号成立.3),,(3+∈≥++R c b a abc c b a ,当且仅当c b a ==时,等号成立. 注：2ba +算术平均数≥ab 几何平均数 3. 一元一次不等式的解法 4. 一元二次不等式的解法 （1） 保证二次项系数为正（2） 分解因式十字相乘法、提取公因式、求根公式法,目的是求根： （3） 定解：口诀大于两根之外,大于大的,小于小的；小于两根之间注：若00<∆=∆或,用配方的方法确定不等式的解集.5. 绝对值不等式的解法若0>a ,则⎩⎨⎧-<>⇔><<-⇔<ax a x a x ax a a x 或||||6. 分式不等式的解法：与二次不等式的解法相同.注：分母不能为0.第三章 函数1. 映射:一般地,设B A 、是两个集合,如果按照某种对应法则f ,对于集合A 中的任何一个元素,在集合B 中都有惟一的元素和它对应,这样的对应叫做从集合A 到集合B 的映射,记作：B A f →:.注：理解原象与象及其应用. 1A 中每一个元素必有惟一的象；2对于A 中的不同的元素,在B 中可以有相同的象； 3允许B 中元素没有原象.2. 函数:（1） 定义：函数是由一个非空数集到时另一个非空数集的映射. （2） 函数的表示方法：列表法、图像法、解析式法.注：在解函数题时可以画出图像,运用数形结合的方法可以使大部分题目变得更简单.3. 函数的三要素：定义域、值域、对应法则（1） ∆定义域的求法：使函数的解析式有意义的x 的取值范围主要依据：① 分母不能为0②偶次根式的被开方式≥0 ③特殊函数定义域0,0≠=x x yR x a a a y x ∈≠>=),10(,且 0),10(,log >≠>=x a a x y a 且)(,2,tan Z k k x x y ∈+≠=ππ（2） ∆值域的求法：y 的取值范围① 正比例函数：kx y = 和 一次函数：b kx y +=的值域为R② 二次函数：c bx ax y ++=2的值域求法：配方法.如果x 的取值范围不是R 则还需画图像③ 反比例函数：xy 1=的值域为}0|{≠y y ④ d cx b ax y ++=的值域为}|{c ay y ≠⑤ cbx ax nmx y +++=2的值域求法：判别式法⑥ 另求值域的方法：换元法、反函数法、不等式法、数形结合法、函数的单调性等等.（3） 解析式求法：在求函数解析式时可用换元法、构造法、待定系数法等.4. 函数图像的变换 （1） 平移)()(a x f y a x f y -=→=个单位向右平移 )()(a x f y a x f y +=→=个单位向左平移a x f y a x f y +=→=)()(个单位向上平移 a x f y a x f y -=→=)()(个单位向下平移（2） 翻折)()(x f y x x f y -=→=上、下对折轴沿 |)(|)(x f y x x f y =→=下方翻折到上方轴上方图像保留)||()(x f y y x f y =→=右边翻折到左边轴右边图像保留5. 函数的奇偶性: （1） 定义域原点对称（2） 若)()(x f x f -=-→奇 若)()(x f x f =-→偶注：①若奇函数在0=x 处有意义,则0)0(=f ②常值函数a x f =)(0≠a 为偶函数 ③0)(=x f 既是奇函数又是偶函数6. ∆函数的单调性:对于],[21b a x x ∈∀、且21x x <,若⎩⎨⎧><上为减函数在称上为增函数在称],[)(),()(],[)(),()(2121b a x f x f x f b a x f x f x f 增函数：x 值越大,函数值越大；x 值越小,函数值越小.减函数：x 值越大,函数值反而越小；x 值越小,函数值反而越大. 复合函数的单调性：))(()(x g f x h =)(x f 与)(x g 同增或同减时复合函数)(x h 为增函数；)(x f 与)(x g 相异时一增一减复合函数)(x h 为减函数.注：奇偶性和单调性同时出现时可用画图的方法判断.7. 二次函数:1二次函数的三种解析式: ①一般式：c bx ax x f ++=2)(0≠a②∆顶点式：h k x a x f +-=2)()( 0≠a ,其中),(h k 为顶点③两根式：))(()(21x x x x a x f --= 0≠a ,其中21x x 、是0)(=x f 的两根 2图像与性质:∆ 二次函数的图像是一条抛物线,有如下特征与性质：① 开口 →>0a 开口向上 →<0a 开口向下② ∆对称轴：ab x 2-= ③ ∆顶点坐标：)44,2(2ab ac a b -- ④ ∆与x 轴的交点：⎪⎩⎪⎨⎧→<∆→=∆→>∆无交点交点有有两交点0100⑤ 一元二次方程根与系数的关系：韦达定理∆⎪⎩⎪⎨⎧=⋅-=+a cx x a b x x 2121⑥ c bx ax x f ++=2)(为偶函数的充要条件为0=b ⑦ 二次函数二次函数恒大小于0⇔>0)(x f ⎩⎨⎧⇔<∆>轴上方图像位于x a 00轴下方图像位于x a x f ⇔⎩⎨⎧<∆<⇔<00)(⑧ 若二次函数对任意x 都有)()(x t f x t f +=-,则其对称轴是t x =. ⑨ 若二次函数0)(=x f 的两根21x x 、ⅰ. 若两根21x x 、一正一负,则⎩⎨⎧<≥∆021x xⅱ. 若两根21x x 、同正同负⎪⎩⎪⎨⎧>>+≥∆0002121x x x x 若同正，则 ⎪⎩⎪⎨⎧><+≥∆0002121x x x x 若同负，则ⅲ.若两根21x x 、位于),(b a 内,则利用画图像的办法.则若,0>a ⎪⎩⎪⎨⎧>>≥∆0)(0)(0b f a f 则若,0<a ⎪⎩⎪⎨⎧<<≥∆0)(0)(0b f a f注：若二次函数0)(=x f 的两根21x x 、；1x 位于),(b a 内,2x 位于),(d c 内,同样利用画图像的办法.8. 反函数:1函数)(x f y =有反函数的条件y x 与是一一对应的关系2求)(x f y =的反函数的一般步骤：①确定原函数的值域,也就是反函数的定义域 ②由原函数的解析式,求出⋯=x③将y x ,对换得到反函数的解析式,并注明其定义域.（3） ∆原函数与反函数之间的关系 ① 原函数的定义域是反函数的值域原函数的值域是反函数的定义域② 二者的图像直线x y =对称③ 原函数过点),(b a ,则反函数必过点),(a b ④ 原函数与反函数的单调性一致第四章 指数函数与对数函数1. 指数幂的性质与运算:1根式的性质：①n 为任意正整数,n n a )(a =②当n 为奇数时,a a n n =；当n 为偶数时,||a a n n = ③零的任何正整数次方根为零；负数没有偶次方根. 2 零次幂：10=a )0(≠a（3） 负数指数幂：n n aa 1=- ),0(*N n a ∈≠ （4） 分数指数幂：n m nm a a= )1,,0(>∈>+n N n m a 且（5） 实数指数幂的运算法则：),,0(R n m a ∈>①n m n m a a a +=⋅ ②mn n m a a =)( ③n n n b a b a ⋅=⋅)(2. 幂运算时,注意将小数指数、根式都统一化为分数指数；一般将每个数都化为最小的一个数的n 次方.3. ∆幂函数⎩⎨⎧∞+=<∞+=>=）上单调递减，在（时，当）上单调递增，在（时，当0000aa ax y a x y a x y 4. 指数与对数的互化b N N a a b =⇔=log )10(≠>a a 且 、 )0(>N① 对数基本性质：① 1log =a a ②01log =a ③N a N a =log ④N a N a =log∆⑤互为倒数与a b b a log log ab a b b a b a log 1log 1log log =⇔=⋅⇔ ∆⑥b mnb a n a m log log =5. 对数的基本运算：∆N M N M a a a log log )(log +=⋅ N M NMa a a log log log -= 6. ∆换底公式：aNN b b a log log log =)10(≠>b b 且 7. ∆指数函数、对数函数的图像和性质指数函数对数函数定 义)1,0(的常数≠>=a a a y x)1,0(log 的常数≠>=a a x y a图像性质1 0,>∈y R x 2∆ 图像经过)1,0(点 3∆为减函数为增函数；xx a y a a y a =<<=>,10,11 0,>∈y R x2 ∆图像经过)0,1(点3∆上为减函数在上为增函数；在),0(log ,10),0(log ,1+∞=<<+∞=>x y a x y a a a8.∆利用幂函数、指数函数、对数函数的单调性比较两个数的大小,将其变为同底、同幂次或用换底公式或是利用中间值0,1来过渡.9.指数方程和对数方程（1）指数式和对数式互化（2）同底法（3）换元法（4）取对数法注：∆解完方程要记得验证根是否是增根,是否失根.第五章数列中项公式 三个数c b a 、、成等差数列,则有22ca b c a b +=⇔+= 三个数c b a 、、成等比数列,则有ac b =2前n 项和公式 d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=qqa a q q a S n n n --=--=11)1(111≠q其 它n n a n S )12(12-=-如：477a S =∆等差数列的连续n 项之和仍成等差数列 ∆等比数列的连续n 项之和仍成等比数列1. 已知前n 项和n S 的解析式,求通项n a ：⎩⎨⎧-=-11n n n S S S a )2()1(≥=n n第六章 三角函数1. 弧度和角度的互换：π=o 180弧度,1801π=o 弧度01745.0≈弧度,1弧度'1857)180(o o ≈=π2. 扇形弧长公式和面积公式∆r ||⋅=α扇L ,∆2||2121r Lr S ⋅==α扇 记忆法：与ah S ABC 21=∆类似 注：如果是角度制的可转化为弧度制来计算.3. 任意三角函数的定义：斜边对边=αsin ααsin 1csc =−−→←倒数 记忆法：S 、C 互为倒数 斜边邻边=αcos ααcos 1sec =−−→←倒数 记忆法：C 、S 互为倒数 邻边对边=αtan ααtan 1cot =−−→←倒数 4. 特殊三角函数值:α000=0306=π0454=π0603=π0902=π一象限5. 三角函数的符号判定:（1） 口诀：一全二正弦,三切四余弦.三角函数中为正的,其余的为负 （2） 图像记忆法 6. ∆ 三角函数基本公式:ααααcot 1cos sin tan ==可用于化简、证明等 1cos sin 22=+αα 1.可用于已知αsin 求αcos ；或者反过来运用. 2.注意1的运用αα22sec tan 1=+ 可用于已知αcos 或αsin 求αtan 或者反过来运用7. 诱导公式:（1） 口诀：奇变偶不变,符号看象限.解释：指)(2Z k k ∈+⋅απ,若k 为奇数,则函数名要改变,若k 为偶数函数名不变.（2） 分类记忆 ① 去掉偶数倍π即πk 2② 将剩下的写成（四象限）（三象限）、（二象限）、（一象限）、ααπαπα-+-再看象限定正负号函数名称不变；或写成（二象限）（一象限）、απαπ+2-2,再看象限定正负号要变函数名称③ ∆要特别注意以上公式中互余、互补公式及运用；做题时首先观察两角之间是否是互余或互补的关系.8. 已知三角函数值求角α（1） 确定角α所在的象限（2） 求出函数值的绝对值对应的锐角'α （3） 写出满足条件的π2~0的角 （4） 加上周期同终边的角的集合 9. ∆和角、倍角公式:βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± 注意正负号相同βαβαβαsin sin cos cos )cos( =± 注意正负号相反βαβαβαtan tan 1tan tan )tan( ±=± ⇔ )tan tan 1)(tan(tan tan βαβαβα ±=±αααcos sin 22sin =, ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=ααα2tan 1tan 22tan -=, αααααααcos 1cos 1cos 1sin sin cos 12tan +-±=+=-=10.三角函数的图像与性质函数图像性质定义域值域 同期奇偶性单调性x y sin =R x ∈]1,1[-π2=T 奇↑+-]22,22[ππππk k↓++]232,22[ππππk kxy cos =R x ∈]1,1[-π2=T 偶↑-]2,2[πππk k↓+]2,2[πππk kx y tan =Zk k x ∈+≠2ππ Rπ=T 奇 ↑+-)2,2(ππππk k11.正弦型函数)sin(ϕω+=x A y )0,0(>>ωA1定义域R ,值域],[A A - 2周期：ωπ2=T3注意平移的问题：一要注意函数名称是否相同,二要注意将x 的系数提出来,再看是怎样平移的.4x b x a y cos sin +=类型, x b x a y cos sin += )sin(22ϕ++=x b a12.正弦定理:R CcB b A a 2sin sin sin === R 为ABC ∆的外接圆半径 其他形式：1A R a sin 2= B R b sin 2= C R c sin 2=注意理解记忆,可只记一个 2C B A c b a sin :sin :sin ::=13.余弦定理:A bc c b a cos 2222-+= ⇒ bca cb A 2cos 222-+=14. 三角形面积公式B ac A bc C ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆ 15.三角函数的应用中,注意同次、同角、同边的原则,以及三角形本身边、角的关系.如两边之各大于第三边、三内角和为0180,第一个内角都在),0(π之间等.第七章 平面向量1. 向量的概念（1） 定义：既有大小又有方向的量.（2） 向量的表示：书写时一定要加箭头 另起点为A,终点为B 的向量表示为AB . （3） 向量的模长度：||||a AB 或 （4） 零向量：长度为0,方向任意.单位向量：长度为1的向量.向量相等：大小相等,方向相同的两个向量. 反负向量：大小相等,方向相反的两个向量.2. 向量的运算 （1） 图形法则三角形法则 平形四边形法则2计算法则加法：AC BC AB =+ 减法：CA AC AB =-3运算律：加法交换律、结合律 注：乘法内积不具有结合律3. 数乘向量：a λ 1模为：||||a λ 2方向：λ为正与a 相同；λ为负与a 相反.4. AB 的坐标：终点B 的坐标减去起点A 的坐标. ),(A B A B y y x x AB --=5. ∆向量共线平行：∃惟一实数λ,使得b a λ=. 可证平行、三点共线问题等6. 平面向量分解定理：如果21,e e 是同一平面上的两个不共线的向量,那么对该平面上的任一向量a ,都存在惟一的一对实数21,a a ,使得2211e a e a a +=.向量a 在基21,e e 下的坐标为),(21a a .7. 中点坐标公式：M 为AB 的中点,则)(21OB OA OM +=8. ∆注意ABC ∆中,1重心三条中线交点、外心外接圆圆心：三边垂直平分线交点、内心内切圆圆心：三角平分线交点、垂心三高线的交点的含义 2若D 为BC 边的中点,则)(21AC AB AD += 坐标：两点坐标相加除以2 3若O 为ABC ∆的重心,则0=++CO BO AO ; 重心坐标：三点坐标相加除以39. 向量的内积数量积:（1） 向量之间的夹角：图像上起点在同一位置；范围],0[π. （2） 内积公式：><=⋅b a b a b a ,cos |||| 10.向量内积的性质：1||||,cos b a b a >=< 夹角公式 2a ⊥b 0=⋅⇔b a3a a a a ==⋅||||2或 长度公式11.向量的直角坐标运算：1),(A B A B y y x x AB --=2设),(),,(2121b b b a a a ==,则),(2211b a b a b a ±±=±),(21a a a λλλ= 2211b a b a b a +=⋅ 向量的内积等于横坐标之积加纵坐标之积12.向量平行、垂直的充要条件设),(),,(2121b b b a a a ==,则a ∥b 2121b b a a =⇔相对应坐标比值相等 a ⊥b ⇔=⋅⇔0b a 02211=+b a b a 两个向量垂直则它们的内积为013.长度公式:（1） 向量长度公式：设),(21a a a =,则2221||a a a +=（2） 两点间距离公式：设点),(),,(2211y x B y x A 则212212)()(||y y x x AB -+-= 14.中点坐标公式：设线段AB 中点为M ,且),(),,(),,(2211y x M y x B y x A ,则⎪⎩⎪⎨⎧+=+=222121y y y x x x 中点坐标等于两端点坐标相加除以2 第八章 平面解析几何1. 曲线C 上的点与方程0),(=y x F 之间的关系： （1） 曲线C 上点的坐标都是方程0),(=y x F 的解；（2） 以方程0),(=y x F 的解),(y x 为坐标的点都在曲线C 上.则曲线C 叫做方程0),(=y x F 的曲线,方程0),(=y x F 叫做曲线C 的方程.2. ∆求曲线方程的方法及步骤 （1） 设动点的坐标为),(y x（2） 写出动点在曲线上的充要条件； （3） 用y x ,的关系式表示这个条件列出的方程 （4） 化简方程不需要的全部约掉 3. 两曲线的交点：联立方程组求解即可. 4. 直线（1） 倾斜角α：一条直线l 向上的方向与x 轴的正方向所成的最小正角叫这条直线的倾斜角.其范围是),0[π（2） 斜率：①倾斜角为090的直线没有斜率；②αtan =k 倾斜角的正切注：当倾斜角α增大时,斜率k 也随着增大；当倾斜角α减小时,斜率k 也随着减小 ③已知直线l 的方向向量为),(21v v v ,则12v v k l =④经过两点),(),,(222111y x P y x P 的直线的斜率1212x x y y K --= )(21x x ≠⑤直线0=++C By Ax 的斜率BA K -= （3） 直线的方程 ① 两点式：121121x x x x y y y y --=--② ∆斜截式：b kx y += ③ ∆点斜式：)(00x x k y y -=- ④ 截距式：1=+bya x 轴上的截距在为轴上的截距，在为y lb x l a ⑤ ∆一般式：0=++C By Ax 其中直线l 的一个方向向量为),(A B -注：Ⅰ若直线l 方程为0543=++y x ,则与l 平行的直线可设为043=++C y x ；与l 垂直的直线可设为034=+-C y x .（4） 两条直线的位置关系① 斜截式：111:b x k y l +=与222:b x k y l +=1l ∥2l ⇔2121b b k k ≠=且1l 与2l 重合⇔2121b b k k ==且, 1l ⊥2l ⇔121-=⋅k k ,1l 与2l 相交⇔21k k ≠② 一般式：0:1111=++C x B x A l 与0:2222=++C x B x A l1l ∥2l ⇔222121C C B B A A ≠= 1l 与2l 重合⇔222121C C B B A A == 1l ⊥2l ⇔02121=+B B A A1l 与2l 相交⇔2121B B A A ≠ （5） 两直线的夹角公式① 定义：两直线相交有四个角,其中不大于2π的那个角. ② 范围：]2,0[π③ 斜截式：111:b x k y l +=与222:b x k y l +=|1|tan 2121k k k k +-=θ 可只记这个公式,如果是一般式方程可化成斜截式来解一般式：0:1111=++C x B x A l 与0:2222=++C x B x A l 222221212121||cos BA BA B B A A +++=θ6点到直线的距离①∆点),(00y x P 到直线0=++C By Ax 的距离：2200||BA C By Ax d +++=③ 两平行线01=++C By Ax 和02=++C By Ax 的距离：2221||BA C C d +-=5. 圆的方程（1） 标准方程：222)()(r b y a x =-+-0>r 其中圆心),(b a ,半径r . （2） 一般方程：022=++++F Ey Dx y x 0422>-+F E D圆心2,2ED -- 半径：2422FE D r -+=3参数方程：222)()(r b y a x =-+-的参数方程为⎩⎨⎧+=+=b r y ar x θθcos cos ))2,0[(πθ∈4直线和圆的位置关系：主要用几何法,利用圆心到直线的距离d 和半径r 比较.相交⇔<r d ；相切⇔=r d ；相离⇔>r d（6） 圆1O 与圆2O 的位置关系：利用两圆心的距离d 与两半径之和21r r +及两半径之差21r r -比较,再画个图像来判定.总共五种：相离、外切、内切、相交、内含（7） 圆的切线方程：① 过圆122=+y x 上一点),(00y x P 的圆的切线方程：200r y y x x =+② 过圆222)()(r b y a x =-+-外一点),(00y x P 的圆的切线方程：肯定有两条,设切线的斜率为k ,写出切线方程点斜式,再利用圆心到直线的距离等于半径列出方程解出k .6. 圆锥曲线的定义：动点到定点焦点的距离和到定直线准线的距离之比为常数e 离心率的点的轨迹.当10<<e 时,为椭圆；当1>e 时,为双曲线；当1=e 时为抛物线.7. 椭圆几何定义动点与两定点焦点的距离之和等于常数a 2a PF PF 2||||21=+标准方程12222=+b y a x 焦点在x 轴上 12222=+a y b x 焦点在y 轴上 图像c b a ,,的关系222c b a += 注意：通常题目会隐藏这个条件对称轴与对称中心 x 轴：长轴长a 2；y 轴：短轴长b 2；)0,0(O顶点坐标 )0,(a ± ),0(b ±焦点坐标 )0,(c ± 焦距c 2 注：要特别注意焦点在哪个轴上准线方程ca x 2±=离心率 1122<-==ab ac e曲线范围 b y b a x a ≤≤-≤≤-,渐近线无中心在),(00y x 的方程1)()(220220=-+-by y a x x 中心),('00y x O 8. 双曲线几何定义动点与两定点焦点的距离之差的绝对值等于常数a 2a PF PF 2||||||21=-标准方程12222=-b y a x 焦点在x 轴上 12222=-b x a y 焦点在y 轴上 图像c b a ,,的关系222b a c += 注意：通常题目会隐藏这个条件对称轴与对称中心 x 轴：实轴长a 2；y 轴：虚轴长b 2；)0,0(O顶点坐标 )0,(a ± 焦点坐标)0,(c ± 焦距c 2 注：要特别注意焦点在哪个轴上 准线方程 ca x 2±= 离心率1122>+==a b a c e 曲线范围a x a x ≥-≤和,R y ∈ 渐近线x a b y ±=焦点在x 轴上 x b a y ±=焦点在y 轴上 中心在),(00y x 的方程 1)()(220220=---by y a x x 中心),('00y x O 注：1.等轴双曲线：1实轴长和虚轴长相等⇒b a =2离心率2=e 3渐近线x y ±=2.1以mx y ±=为渐近线的双曲线方程可设为λ=-+))((mx y mx y )0(≠λ∆2与双曲线12222=-b y a x 有相同渐近线的双曲线可设为：λ=-2222by a x 9. 抛物线几何定义 到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹d MF =||d 为抛物线上一点M 到准线的距离焦点位置x 轴正半轴 x 轴负半轴 y 轴正半轴 y 轴负半轴图像标准方程px y 22=)0(>p px y 22-=)0(>p py x 22=)0(>p py x 22-=)0(>p焦点)0,2(p F )0,2(p F - )2,0(p F )2,0(p F -注：1p 的几何意义表示焦点到准线的距离.2∆ 掌握焦点在哪个轴上的判断方法3∆AB 是抛物线px y 22=)0(>p 的焦点弦,),(11y x A ,),(22y x B ,则①弦长p x x AB ++=21||②4221p x x =；221p y y -= 第九章 立体几何1. 空间的基本要素：点、线、面2. 平面的基本性质（1） 三个公理：① 如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上的所有的点都在这个平面内.② 如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们的所有公共点组成的集合是过该点的一条直线.③ 经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面.（2） 三个推论：① 经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面.② 经过两条相交直线,有且只有一个平面.③ 经过两条平行直线,有且只有一个平面.3. 两条直线的位置关系：（1） 相交：有且只有一个公共点,记作“A b a = ”（2） 平行：.a 过直线外一点有且只有一条直线与该直线平行..b 平行于同一条直线的两条直线平行（3） 异面：① 定义：不同在任何一个平面内的两条直线② 异面直线的夹角：对于两条异面直线,平移一条与另一条相交所成的不大于2π的角.注意在找异面直线之间的夹角时可作其中一条的平行线,让它们相交.③ 异面直线间的距离：与两异面直线都垂直相交的直线为其公垂线；夹在两异面直线间的部分为公垂线段；公垂线段的长度为异面直线间的距离.4. 直线和平面的位置关系：（1） 直线在平面内：α⊆l（2） 直线与平面相交：A l =α（3） 直线与平面平行① 定义：没有公共点,记作：l ∥α② 判定：如果平面外一条直线与平面内一条直线平行,则该直线与平面平行. ③ 性质：如果一条直线与一平面平行,且过直线的另一平面与该平面相交,则该直线与交线平行.5. 两个平面的位置关系（1） 相交：l =βα（2） 平行：① 定义：没有公共点,记作：“α∥β”② 判定：如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面都平行,则两平面平行 ③ 性质：.a 两个平行平面与第三个平面都相交,则交线互相平行.b 平行于同一平面的两个平面平行.c 夹在两平行平面间的平行线段相等.d 两条直线被三个平行平面所截得的对应线段成比例6. 直线与平面所成的角：（1） 定义：直线与它在平面内的射影所成的角（2） 范围：]2,0[π 重要定理：21cos cos cos θθθ⋅=7. 直线与平面垂直（1） 判定：如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线,则该直线与平面垂直（2） 性质：① 如果一条直线垂直于一平面,则它垂直于该平面内任何直线；② 垂直于同一平面的两直线平行；③ 垂直于同一直线的两平面平行.8. ∆三垂线定理及逆定理：① 三垂线定理：如果平面内一条直线和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和斜线垂直.② 三垂线逆定理：如果平面内一条直线和这个平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线的射影垂直.9. 两个平面垂直（1） 判定定理：如果一个平面经过另一个平面的垂线,则两个平面互相垂直.（2） 性质定理：如果两个平面垂直,则一个平面内垂直于它们的交线的直线与另一个平面垂直.10.二面角（1） 定义：过二面角βα--l 的棱上一点O ,分别在两半平面内引棱l 的垂线OB OA 、,则AOB ∠为二面角的平面角（2） 范围：],0[π（3） 二面角的平面角构造：① 按定义,在棱上取一点O ,分别在两半平面内引棱的垂线OB OA 、,则AOB ∠即是 ② 作一平面与二面角的棱垂直,与两半平面分别交于OB OA 、,AOB ∠即是 ③ ∆由三垂线逆定理,在一平面内找一点A ,分别作AO ⊥棱l 于O ,AB 垂直于另一平面于点B ,连结OB ,则AOB ∠即是第十章 排列、组合与二项式定理1.分类用加法：n m m m N +⋯⋯++=21 分步用乘法：n m m m N ⋯⋯=212.有序为排列：)!(!)1()2)(1(m n n m n n n n P m n -=+-⋯⋯--= 无序为组合：)!(!!!)1()2)(1(m n m n m m n n n n P P C m mm n mn -=+-⋯⋯--== 阶乘：123)2)(1(!⨯⨯⨯⋯⋯--==n n n n P n n规定：1!0= 10=nC 3.组合数的两个性质：1m n n m n C C -= 211-++=m n m n m n C C C4.二项式定理：n n n n n n r r n r n n n n n n b a C b a C b a C b a C b a C b a 011111100)(+⋯⋯++⋯⋯++=+----∆通项：r r n r nr b a C T -+=1,其中r n C 叫做第1+r 项的二项式系数.。