高中数学选修2-3优质课件：1.3.1 二项式定理
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1.3.1 二项式定理 课件(人教A选修2-3)
(2)求展开式中的常数项．
解：(1)x2＋2
1
10
x
的展开式的第
5
项为
T5＝C410·(x2)6·21 x4＝C410·124·x12· 1x4＝1805x10.
(2)设第 k＋1 项为常数项，
则
Tk
＋
1
＝
C
k 10
2．相关概念
(1)公式右边的多项式叫做(a＋b)n 的二项展开式． (2)各项的系数 Ckn(k∈{0，1，2，…，n}) 叫做二项式系数． (3)展开式中的 Cknan－kbk 叫做二项展开式的通项，记作 Tk＋1 ， 它表示展开式的第 k＋1 项．
(4)在二项式定理中，如果设 a＝1，b＝x，则得到公式 (1＋x)n＝ C0n＋C1nx＋C2nx2＋…＋Cknxk＋…＋Cnnxn.
()
A．10
B．－10
C．40
D．－40
解析：二项式(2x2－1x)5 展开式的第 r＋1 项为 Tr＋1＝Cr5(2x2)5
－r(－1x)r＝Cr5·25－r×(－1)rx10－3r，当 r＝3 时，含有 x，其系数
为 C35·22×(－1)3＝－40. 答案：D
4．已知二项式x2＋21 x10. (1)求展开式中的第 5 项；
＋C44·( 1x)4 ＝81x2＋108x＋54＋1x2＋x12.
法二：(3 x＋ 1x)4＝3x＋ x2 14 ＝x12(81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1) ＝81x2＋108x＋54＋1x2＋x12. (2)原式＝C05(x－1)5＋C15(x－1)4＋C25(x－1)3＋C35(x－1)2 ＋C45(x－1)＋C55(x－1)0－1 ＝[(x－1)＋1]5－1＝x5－1.
高中数学选修2-3优质课件2：1.3.1 二项式定理
? ②为什么含an-kbk的项的系数是C
k n
an-kbk是从n个(a+b)中取k个b, n-k个a
到an-kbk ,因此, 该项的系数为C nk.
相乘得到的,有C
k n
种情况可以得
.
概念理解
二项式定理：
(a b)n Cn0an Cn1an1b Cn2an2b2 Cnkankbk Cnnbn
240x 160
60 x
12 x2
1 x3
第三项
第三项的系数
典例分析
例2、化简: (x 1)4 4(x 1)3 6( x 1)2 4( x 1) 1
原式 C40 ( x 1)4 C41( x 1)3 C42 ( x 1)2 C43( x 1) C44
= [( x 1) 1]4 = x4
第一章 计数原理
§1.3.1二项式定理
高中数学选修2-3·精品课件
情景导入
1664年冬，牛顿研读沃利斯博士的《无穷算术》…
(a b)2 a2 2ab b2 (a b)3 a3 3a2b 3ab2 b3 (a b)4 a4 4a3b 6a2b2 4ab3 b4
? (a b)n
课堂练习
1. 在(x-1)(x-2)(x-3)(x-4) (x-5)的展开式中含x4项的系数是 (A )
A. -15 B. 85
C. -120
D. 274
2. 求(x+2y+z)6的展开式中含xy2z3项的系数.
探究发现
猜想：
(a b)n Cn0an Cn1an1b Cn2an2b2
证明思路： ①为什么每一项都是an-kbk的形式？
Cnk ank bk Cnnbn
1.3.1二项式定理1-人教A版高中数学选修2-3课件
a4
C
1 4
a
3b
C
2 4
a
2b2
C
3 4
ab3
C
4 4
b
4
猜想 (a b)n ?
探究3：请分析(a+b)n的展开过程，证明猜想.
(a b)n (a b)(ab )(ab)
n
①项： a n a n1b … ankbk … bn
②系数：
C
0 n
C
1 n
C
k n
C
n n
分析a nk b k
k个(a b)中选b n个(a b)相乘 n k个(a b)中选a
b
C
k n
a
nk
b
k
C
n n
b
n
(n
N*)
①项数： 共有n＋1项
②次数：各项的次数都等于n， 字母a按降幂排列，次数由n递减到0, 字母b按升幂排列，次数由0递增到n.
③二项式系数:
C
k n
(k {0,1,2,, n})
④二项展开式的通项:
Tk 1
C
k n
a
n
k
b
k
概念理解
(a
b)n
C
0 n
a
作业：P37 4
Cnk
③展开式：
(a b)n
C
0 n
a
n
C
1 n
a
n1
b
C
k n
a
n
k
b
k
C
n n
b
n
(n
N*)
定理的证明
(a+b)n是n个(a+b)相乘，每个(a+b)在相乘时有两种 选择，选a或b. 而且每个(a+b)中的a或b选定后才能 得到展开式的一项。
高二数学,人教A版选修2-3,二项式定理 课件
1.3 二项式定理 1．3.1 二项式定理
1．能用计数原理证明二项式定理．
2．掌握二项式定理和二项展开式的通项公式．
3．能解决与二项式定理有关的简单问题．
[ 问题 1] [提示1]
我们在初中学习了 (a ＋ b)2 ＝ a2 ＋ 2ab ＋ b2 ，试用 (a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3，(a＋b)4＝a4＋4a3b
1．在(x－ 3)10的展开式中，x6的系数是( A．－27C6 10 C．－9C6 10 B．27C6 10 D．9C6 10
)
4 4 6 解析： x6的系数为C4 · ( － 3) ＝ 9· C ＝ 9· C 10 10 10.
答案： D
2．二项式 x－
1 8 的展开式中的第6项为( x 1 B．28x2 1 D．56x2
方法二：
x－ 2
1
1 4 2x－14 4 ＝ ＝ (2 x － 1) 2 2 x 16x x
1 ＝16x2(16x4－32x3＋24x2－8x＋1) 3 1 1 ＝x －2x＋2－2x＋16x2.
2
[规律方法]
熟记二项式(a＋b)n的展开式，是解决此类问
对二项展开式的几点认识 (1)二项展开式的特点 ①项数：n＋1项； ②指数：字母a，b的指数和为n，字母a的指数由n递减到 0，同时，字母b的指数由0递增到n； ③二项式系数：下标为n，上标由0递增到n. (2)易错点
r n r r ①通项Tr＋1＝Cn a b 指的是第r＋1项，不是第r项；
－
②某项的二项式系数与该项的系数不是一个概念．
5 2
(2)方法一： 3
1 4 x＋ x
1 1 3 2 2 1 2 3 4 x) · ＋C4(3 x) ＋C4(3 x)· ＋ C 4 x x x
1．能用计数原理证明二项式定理．
2．掌握二项式定理和二项展开式的通项公式．
3．能解决与二项式定理有关的简单问题．
[ 问题 1] [提示1]
我们在初中学习了 (a ＋ b)2 ＝ a2 ＋ 2ab ＋ b2 ，试用 (a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3，(a＋b)4＝a4＋4a3b
1．在(x－ 3)10的展开式中，x6的系数是( A．－27C6 10 C．－9C6 10 B．27C6 10 D．9C6 10
)
4 4 6 解析： x6的系数为C4 · ( － 3) ＝ 9· C ＝ 9· C 10 10 10.
答案： D
2．二项式 x－
1 8 的展开式中的第6项为( x 1 B．28x2 1 D．56x2
方法二：
x－ 2
1
1 4 2x－14 4 ＝ ＝ (2 x － 1) 2 2 x 16x x
1 ＝16x2(16x4－32x3＋24x2－8x＋1) 3 1 1 ＝x －2x＋2－2x＋16x2.
2
[规律方法]
熟记二项式(a＋b)n的展开式，是解决此类问
对二项展开式的几点认识 (1)二项展开式的特点 ①项数：n＋1项； ②指数：字母a，b的指数和为n，字母a的指数由n递减到 0，同时，字母b的指数由0递增到n； ③二项式系数：下标为n，上标由0递增到n. (2)易错点
r n r r ①通项Tr＋1＝Cn a b 指的是第r＋1项，不是第r项；
－
②某项的二项式系数与该项的系数不是一个概念．
5 2
(2)方法一： 3
1 4 x＋ x
1 1 3 2 2 1 2 3 4 x) · ＋C4(3 x) ＋C4(3 x)· ＋ C 4 x x x
人教B版高中数学(选修2-3)1-3《二项式定理》ppt课件
代入， 令m (12 – r )+ nr = 0，将 n =﹣2m 代入，解得 r = 4 ， ﹣
故T5 为常数项，且系数最大。 为常数项，且系数最大。
T5的系数 ≥ T4的系数 ∴ T5的系数 ≥ T6的系数 4 3 C12 a 8 b 4 ≥ C12 a 9 b 3 即 4 8 4 5 C12 a b ≥ C12 a 7 b 5 8 a 9 解得 ≤ ≤ 5 b 4
相等且同时取得最大值
2 n r n n n n
(3)各二项式系数的和 各二项式系数的和
C + C + C +L + C +L + C = 2
0 n
例1.
在 (2x − 3y )
10
展开式中
1024 1
(1)求二项式系数的和 求二项式系数的和; 求二项式系数的和 (2)各项系数的和 各项系数的和; 各项系数的和
T4 = − C a b
3 4 7
3
系数最小
T =Cab
4 7 3 5
4
系数最大
三、例题讲解： 例题讲解：
3
(1 − x )(1 + x) 的展开式中， x 5 的系数 的展开式中， 例 1 ⑴在
10
是多少？ 是多少？
解：⑴原式= 原式
(1 + x) − x (1 + x) 3 10 5 10 可知 x 的系数是 (1 + x) 的第六项系数与 − x (1 + x)
3、特例： 特例： n 1 2 2 r r n n （1 + x） = 1 + Cn x + Cn x + L + Cn x + L + Cn x
1.3.1二项式定理课件-高二数学人教A版选修2-3
2 x
6
的展开式的常数项是
240
2.
1
1 x
10的展开式中含
1 x3 项的系数是
120
五、课堂小结
思想共鸣 经验共享
你
1.二项式定理
学
到
了
a b n Cn0an Cn1an1b Cnk ankbk Cnnbn n N *
什
么
2.二项展开式的通项
Tk1 Cnk ankbk，k 0,1, 2,…, n
C
0 3
a
3
C
1a
3
2b
C 32ab 2
C
3 3
b
3
思想共鸣 经验共享
请同学们类比 (a+b)2 ，(a+b)3的展开式的特
征及方法，你能直接写出 (a+b)4 的展开式
吗？
第 二
（ （ a a+ b ) b4 ） = 2( a + Cb ) 20( a a+ 2 b ) ( Ca + 21ab （ b) a + Cb 2) 2b2
恰有1个括号取b的情况有C21种，则ab前的系数为C21
恰有2个括号取b的情况有C22 种，则b2前的系数为C22
(a+b)2 = C20 a2 + C21 ab+ C22 b2 = a2 +2ab+b2
对(a+b)3展开式的分析：
(a b)3 (a b)(a b)(a b)
项的形式： a 3 a 2b ab2 b3
探
（a b）3= C 4 0 Ca 4 30+ aC 3 4 1 a 3 Cb + 31aC 24 2 ba 2 b 2 C+ 3C 2a4 3 a bb 23 + C C4 4 3b 3b4 3
高中数学 1.3.1《二项式定理》课件 新人教A版选修2-3
1 5 1、求(2 x − ) 的展开式 x 2、求（ + 2 x) 7的展开式第4项的系数 1 1 7 3、求（x − ) 的展开式中x 3的系数 x
破解疑惑： 破解疑惑： 今天是星期五,再过2 天后是星期几, 今天是星期五,再过22007 天后是星期几, 你知道吗？ 你知道吗？
解： = 8670 × 2 22011 = 2(7 +1)670
0 1 669 670 = 2(C670767010 + C670766911 + ...+ C670 711669 + C670 701670)
发现被7整除余 ，故相当过2天后是星期几是一样的 天后是星期几是一样的。 发现被 整除余2，故相当过 天后是星期几是一样的。 整除余 故是周日
拓 展 提 高 (x2+3x+2)5展开式中 的系数为 展开式中x的系数为 _____. 方法1 方法 (x2+3x+2)5=[(x2+2)+3x]5
在展开式中只有 C 1 (x 2 + 2)4 ⋅ 3x才存在 x的项 , 5 其系数为 5C 4 2 4 ⋅ 3 = 240 4
方法2 方法 (x2+3x+2)5=[x(x+3)+2]5
在展开式中只有 C 1 x(x + 3) ⋅ 2 4 才存在 x的项 , 5 其系数为 C 1 ⋅ 3 ⋅ 2 4 = 240 5
1 x
)10 的展开式中是否包含常数项? 的展开式中是否包含常数项?
分析:取通项来分析, 分析:取通项来分析, 常数项即 x 项.
0
Tr +1 = C ⋅ ( 3 x
r 10
2
)
高中数学选修2-3精品课件：1.3.1 二项式定理
2.二项式系数及通项 (1)(a＋b)n展开式共有 n＋1 项，其中 各项的系数Ckn (k∈{0, 1,2，…，n}) 叫做二项式系数 . (2)(a＋b)n展开式的第 k＋1 项叫做二项展开式的通项，记作 Tk＋1＝ Cknan－kbk .
要点一 二项式定理的正用、逆用 例 1 (1)求(3 x＋ 1x)4 的展开式； 解 方法一 (3 x＋ 1x)4 ＝C04(3 x)4＋C14(3 x)3·1x＋C24(3 x)2·( 1x)2＋C34(3 x)·( 1x)3＋
－1，n为奇数时.
要点二 二项展开式通项的应用 例 2 若( x＋ 1 )n 展开式中前三项系数成等差数列，求：
4 2x (1)展开式中含x的一次项； 解 由已知可得 C0n＋C2n·212＝2C1n·12，即 n2－9n＋8＝0， 解得n＝8，或n＝1(舍去).
Tk＋1＝Ck8(
x)8－k·(
x
(1)求含x2的项的系数；
(2)求展开式中所有的有理项.
解
3
x－ 3 3
n
展开式的通项为Tr1
Cnr
nr
x3
(3)r
r
x3
n2r
Crn (3)r x 3 .
x
第6项为常数项，即r＝5，
n－2r 且 3 ＝0，∴n＝10.
n－2r (1)令 3 ＝2，得
r＝21(n－6)＝2.
故 x2 项的系数为 C210(－3)2＝405.
第一章——
1.3 二项式定理
1.3.1 二项式定理
[学习目标] 1.能用计数原理证明二项式定理. 2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式. 3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
1 预习导学 2 课堂讲义 3 当堂检测
人教A版高中数学选修2-3配套课件：1.3.1 二项式定理
课堂合作探究
KEQIAN YUXI DAOXUE
KETANG HEZUO TANJIU
当堂检测
例 4 试判断 7777-1 能否被 19 整除.
课堂合作探究
KEQIAN YUXI DAOXUE
KETANG HEZUO TANJIU
当堂检测
问题 2:根据问题 1 猜想(a+b)n 的展开式,并简要说明每一项的形成
过程.
提示:(a+b)n=C0 an+C1 an-1b+…+C an-kbk+…+C bn(n∈N*).
因为(a+b)n 由 n 个(a+b)相乘,每个(a+b)中的 a 或 b 都选定后,才能
5,则 a=(
A.-4
).
B.-3
C.-2
D.-1
答案:D
解析:因为(1+x)5 的二项展开式的通项为C5 xr(0≤r≤5,r∈Z),则含 x2
的项为C52 x2+ax·C51 x=(10+5a)x2,所以 10+5a=5,a=-1.
第十六页，编辑于星期日：六点 十五分。
1.3.1
问题导学
二项式定理
KETANG HEZUO TANJIU
预习导引
(2)(x+1)n 的展开式共有 11 项,则 n 等于(
A.9
B.10
C.11
).
D.12
提示:B
(3)
1 7
2的展开式中第
的系数为
提示:21
3 项的二项式系数为
,x 的次数为 5 的项为
-84
,第 6 项
.
-448x5
数学选修2-3 1.3.1二项式定理
填一填
(x+2)8 的展开式中的第 6 项为 ,其二项式系数为 . 5 3 5 5 解析:展开式的第 6 项是 T6=C8 x· 2 =1 792x3,其二项式系数为C8 . 答案:1 792x3 56
-5-
1.3.1 二项式定理
首 页
X 新知导学 Z 重难探究
INZHI DAOXUE
HONGNAN TANJIU
D 当堂检测
ANGTANG JIANCE
探究一
探究二
探究三
探究四
探究一二项式定理
1.简单的二项式展开时可直接利用二项式定理展开;对于形式较复杂 的二项式,在展开之前可以根据二项式的结构特点进行必要的变形,然后再 展开,以使运算得到简化.记准、记熟二项式(a+b)n 的展开式是解答好与二 项式定理有关的问题的前提. 2.逆用二项式定理要注意二项展开式的结构特点.a 的指数是从高到 低,b 的指数是从低到高,a,b 的指数和都相等;如果项的系数是正负相间,则 是(a-b)n 的形式.
3
2x)
20-k
·-
∵系数为有理数,∴40-5k 是 6 的倍数,0≤k≤20,k∈Z,∴k=2,8,14,20.
答案:(1)C (2)A
-13-
1 ������ 2
= -
2 2
������
· ( 2)
3
20-k ������
C20 · x
20-k
=(-1)
k
40-5������ · 2 6 C������
0 C4 · (2
4
解:(1)方法一:直接利用二项式定理展开并化简:
1 4 ������
+
(2)原式 0 5 1 2 3 4 =C5 (x-1)5+C5 (x-1)4+C5 (x-1)3+C5 (x-1)2+C5 (x-1)+C5 -1=[(x-1)+1]5-1=x5-1.
人教A版高中数学选修2-3课件 1.3.1二项式定理课件1
【补偿训练】计算：C1n 3Cn2 9C3n … 3n－1Cnn _______.
【解析】设Sn C1n 3C2n 9C3n … 3n－1Cnn，
则3Sn C1n 3 Cn2 32 C3n 33 … Cnn 3n
C0n
C1n 3
Cn2
32
C3n 33
…
C
n n
3n－1
13
r
4，T4
13
C93 x 4
84x 4，
当r=9时，27
6
r
3，T10
19
C99 x 3
x3.
综上：展开式中的有理项为-84x4与-x3.
【补偿训练】若（x
a x2
）6 展开式的常数项为60，则常数a的值
为________.
【解析】由二项式定理可知 Tr1
C6r x6（r
a x2
）r
C（6r
式系数为________.
【解析】因为 T3
C62 2x 4
1（2 1 ）2
2x
12
C62
2（4
1 2
）2 x
2
60x 2 .
所以二项展开式中第3项的系数为60，第3项的二项式系数为
C62 15.
答案：60 15
【方法技巧】1.求二项展开式特定项的步骤
2.求二项展开式的特定项常见题型及处理措施 (1)求第k项.Tk Ckn1a b . nk1 k1 (2)求常数项.对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次 项). (3)求有理项.对于有理项，一般是根据通项公式所得到的项， 其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并 通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数， 再根据数的整除性来求解.
高中数学(人教选修2-3)配套课件第一章 1.3.1 二项式定理与二项展开式
栏 目 链
接
(2)S＝C40(x－1)4＋C41(x－1)3×21＋C42(x－1)2×22＋C34(x－
1)×23＋C4424＝[(x－1)＋2]4＝(x＋1)4.故选 D.
答案：(1)1＋4x＋x62＋x43＋x14 (2)D
点评：解决这一问题的关键是弄清二项式展开式左右两边的结 构特征，这样我们就能够将一个二项式展开，若一个多项式符合二项 展开式右边的结构特征，我们也能够将它表示成左边的形式．
(1)展开式的第四项的二项式系数为 ＝120.
(2)展开式的第四项的系数为 ·37－323＝－77 760. 点评：根据二项展开式的通项公式，即可求展开式中的特定项．
变式 训练
2．(2013·揭阳一模)若二项式x＋21xn 的展开式中，第 4 项与第
7 项的二项式系数相等，则展开式中 x6 的系数为________(用数字作
基础 梳理
(3)其中各项的系数_____C__rn_(r＝0,1,2，…，n)叫做
_________二__项_式__系__数____．
(4)式中的______________叫做二项展开式的通项，用Tr＋1
表示．
Crnan－rbr
栏
(5)通项是展开式的第________项．
目
链
2．二项式定理的应用．
10－(2)2 40 .
答案： C
栏 目 链 接
题型一 二项式定理的正用、逆用
例 1 (1)用二项式定理展开1＋1x4＝________；
(2)设 S＝(x－1)4＋4×2(x－1)3＋6×4(x－1)2＋4×8(x－1)＋16，
根据二项式定理得 S＝( )
接
r＋1 例如：(1)(x＋1)4的展开式中常数项是________．
推荐-高中数学人教A版选修2-3课件1.3.1 二项式定理
又 a∈Z,且 0≤a<13,则 a=1.
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(2)∵230-3=(23)10-3=810-3=(7+1)10-3 =C100 ×710+ C110 ×79+…+C190 ×7+C1100 -3 =7×(C100 79+ C110 78+…+C190 )-2. 又余数不能为负数(需转化为正数), ∴230-3 除以 7 的余数为 5.
所以 x3 的系数为(-1)3C93=-84.
x3 是展开式中的第 4 项,所以二项式系数为C93=84.
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探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究三利用二项式定理解决整除和余数问题
【例3】 试判断7777-1能否被19整除.
思维脉络
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1.二项式定理 (a+b)n=C���0��� an+C���1��� an-1b+…+C������������ an-kbk+…+C������������ bn(n∈N*).
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【例2】 导学号78430025已知在
3√x-
2
1 3√������
������
的展开式中,第6项为
福建省厦门市集美区灌口中学高中数学选修2-3 1.3.1 二项式定理 课件
相等，则
(x 5)4 。
cos 4 或 3
44
第五页，编辑于星期日：十九点 二十四分。
典型例题
例4：（1）在 (x 1)(x 1的)8展开式中，x5的系数
是
1。4
（2）在 (1 x)5 (1 x)6 (1 x)7 (1 x)8的展开
式中，含x3的项的系数是 – 121。
（3）在 为
（3）求 (x a)12的展开式中的倒数第4项。
220a9x3
第四页，编辑于星期日：十九点 二十四分。
典型例题 例3：（1）如果在 ( x 1 的)n展开式中，前
24 x
三项系数成等差数列，求展开式中的有理项。
（2）已知
T1
x4 ,T6
35 8
x,T9
1的展开 128x2
式中x2的系数(x与cos 1)5 (的0 展 开式中) x3的系数
第二页，编辑于星期日：十九点 二十四分。
学习探究
1、二项式定理：
(a b)n Cn0an Cn1an1b
2、二项式系数：
Cnr anrbr
Cnnbn
Cn0 , Cn1 , , Cnr , , Cnn
3、二项展开式的通项： 注意：
Tr1 Cnr anrbr
（1）通项公式是表示第r + 1项，而不是第r项；
（6）在 (x 1)(2x 1)(3x 1)
的展开式
(nx 1)
中x的系数为
n(。n 1)
2
第七页，编辑于星期日：十九点 二十四分。
典型例题
补充例题： 已知函数
f (x) ax b c (a 0)
x
的图像在点（1，f (1)）处的切线方程为 y = x – 1。
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是整数的项.解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具
体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解；
③对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非
负整数，求解方式与求有理项一致.
跟踪训练 3 (1)若x－ax9 的展开式中 x3 的系数是－84，则 a＝__1____. 解析 展开式的通项为 Tk＋1＝Ck9x9－k(－a)k1xk＝Ck9·(－a)kx9－2k(0≤k≤9， k∈N). 当9－2k＝3时，解得k＝3，代入得x3的系数，根据题意得C39 (－a)3＝－84， 解得a＝1.
题型探究
类型一 二项式定理的正用、逆用 例 1 (1)求(3 x＋ 1x)4 的展开式.
解答
(2)化简：C0n(x＋1)n－C1n(x＋1)n－1＋C2n(x＋1)n－2－…＋(－1)kCkn(x＋1)n－k＋ …＋(－1)nCnn. 解 原式＝C0n(x＋1)n＋C1n(x＋1)n－1(－1)＋C2n(x＋1)n－2(－1)2＋…＋Ckn (x＋1)n－k(－1)k＋…＋Cnn(－1)n ＝[(x＋1)＋(－1)]n＝xn.
解答
类型二 二项展开式通项的应用
命题角度1 二项式系数与项的系数 例 2 已知二项式(3 x－32x)10. (1)求展开式第4项的二项式系数； 解 (3 x－32x)10 的展开式的通项是
Tk＋1＝Ck10(3 x)10－k(－32x)k＝Ck10310－k(－23)k·x10－23k (k＝0,1,2，…，10).
解答
引申探究
将例1(1)改为求(2x－
1 x2
)5的展开式.
解 方法一 (2x－x12)5＝C05(2x)5－C15(2x)4·x12＋C25(2x)3·(x12)2－C35(2x)2·(x12)3＋
C45(2x)·(x12)4－C55·(x12)5＝32x5－80x2＋8x0－4x40＋1x07 －x110.
解
n－2k 令 3 ＝2，得
k＝12(n－6)＝2，
∴所求的系数为 C210(－3)2＝405.
解答
(3)求展开式中所有的有理项.
10－3 2k∈Z， 解 由题意得，0≤k≤10，
k∈Z.
令10－3 2k＝t(t∈Z)，
则 10－2k＝3t，即 k＝5－32t.∵k∈Z，∴t 应为偶数.
令t＝2,0，－2，即k＝2,5,8. ∴第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为405x2，－61 236,295 245x－2.
解析 答案
5.求( x＋ 1 )4 的展开式. x
解
(
x＋ 1x)4＝C04(
x)4＋C14(
x)3 1x＋C24(
x)2·( 1x)2＋C34
x·(
1x)3＋C44(
1 )4 x
＝x2＋4x＋6＋4x＋x12.
12345
解答
规律与方法
1.注意区分项的二项式系数与系数的概念. 2.要牢记 Cknan－kbk 是展开式的第k＋1项，不要误认为是第k项. 3.求解特定项时必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求， 令其为特定值.
解答
(1)求二项展开式的特定项的常见题型
反思与感悟
①求第k项，Tk＝Ckn－1 an－k＋1bk－1；②求含xk的项(或xpyq的项)；③求常数 项；④求有理项.
(2)求二项展开式的特定项的常用方法
①对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；
②对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都
2x)k＝Ck12·2k·x12
3 2
k
，
令 12－32k＝0，得 k＝8.
∴常数项为第9项.
12345
解析 答案
3.已知
x－
a
5
x
的展开式中含
3
x2
的项的系数为
30，则
a
等于
A. 3
B.－ 3
C.6
解析
x－
a
5
x
的展开式通项
5k
k
5 k
Tk＋1＝Ck5 x 2 ·(－1)kak·x 2 ＝(－1)kakCk5 x 2 ，
命题角度2 展开式中的特定项 例 3 已知在3 x－33xn 的展开式中，第 6 项为常数项.
(1)求 n；
nk
k
n2k
解 通项公式为 Tk＋1＝Ckn x 3 (－3)k x 3 ＝Ckn(－3)k x 3 .
∵第6项为常数项，∴当k＝5时，
n－2k 有 3 ＝0，即 n＝10.
解答
(2)求含x2的项的系数；
A.28
B.56
√C.112
解析 由 T2＋1＝C28x8－2·22＝112x6， ∴(x＋2)8的展开式中x6的系数是112.
D.224
12345
解析 答案
2.二项式(x＋ 2 x
A.第7项
)12的展开式中的常数项是 B.第8项
√C.第9项
D.第10项
解析
二项展开式中的通项公式为
Tk＋1＝Ck12·x12－k·(
跟踪训练1 化简：(2x＋1)5－5(2x＋1)4＋10(2x＋1)3－10(2x＋1)2＋ 5(2x＋1)－1. 解 原式＝C05(2x＋1)5－C15(2x＋1)4＋C25(2x＋1)3－C35(2x＋1)2＋C45(2x＋1) －C55(2x＋1)0＝[(2x＋1)－1]5＝(2x)5＝32x5.
解答
(2)求展开式中含x3的项，并指出该项的二项式系数.
93k
解 设第 k＋1 项含 x3 项，则 Tk＋1＝Ck9( x)9－k－2xk＝(－2)kCk9 x 2 ，
9－3k 所以 2 ＝3，k＝1， 所以第二项为含 x3 的项：T2＝－2C19x3＝－18x3. 二项式系数为 C19＝9.
解答
方法二
(2x
－
1 x2
)5
＝
[
1 x2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(2x3
－
1)]5
＝
－
1 x10
(1
－
2x3)5
＝
－
1 x10
[1
－
C
1 5
(2x3)
＋C
2 5
(2x3)2－C35(2x3)3＋C45(2x3)4－C55(2x3)5]＝－x110＋1x07 －4x04 ＋8x0－80x2＋32x5.
解答
反思与感悟
(1)(a＋b)n的二项展开式有n＋1项，是和的形式，各项的幂指数规律是： ①各项的次数等于n；②字母a按降幂排列，从第一项起，次数由n逐项 减1直到0；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项加1直到n. (2)逆用二项式定理可以化简多项式，体现的是整体思想.注意分析已知 多项式的特点，向二项展开式的形式靠拢.
答案
思考2
上述两个等式的右侧有何特点？ 答案 (a＋b)3的展开式有4项，每项的次数是3；(a＋b)4的展开 式有5项，每一项的次数为4.
答案
思考3
能用类比方法写出(a＋b)n(n∈N*)的展开式吗？ 答案 能，(a＋b)n＝C0nan＋C1nan－1b＋…＋Cknan－kbk＋…＋Cnnbn (n∈N*).
答案
梳理
公式(a＋b)n＝ C0nan＋C1nan－1b＋…＋Cknan－kbk，＋…＋Cnnbn 二项式定理
称为二项式定理
二项式系数
__C_kn_(k_＝__0_,_1_，__…__，__n_) __
通项
二项式定理 的特例
Tk＋1＝___C_kn_a_n－_k_b_k___ (1＋x)n＝ C0n＋C1nx＋C2nx2＋…＋Cknxk＋…＋Cnnxn
跟踪训练2
已知
x－2xn
大162.
展开式中第三项的系数比第二项的系数
(1)求n的值； 解 因为 T3＝C2n(
x)n－2－2x2＝4C2n
x
n6 2
，
T2＝C1n(
x)n－1－2x＝－2C1n
x
n3 2
，
依题意得 4C2n＋2C1n＝162，所以 2C2n＋C1n＝81，
所以n2＝81，n＝9.
第一章 §1.3 二项式定理
1.3.1 二项式定理
学习目标
1.能用计数原理证明二项式定理. 2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式. 3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
内容索引
问题导学 题型探究 当堂训练
问题导学
知识点 二项式定理及其相关概念
思考1
我们在初中学习了(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，试用多项式的乘法推 导(a＋b)3，(a＋b)4的展开式. 答案 (a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3，(a＋b)4＝a4＋4a3b＋6a2b2 ＋4ab3＋b4.
解析 答案
(2)已知n为等差数列－4，－2,0，…的第六项，则(x＋ 2 )n的二项展开式的 x
常数项是__1_6_0__. 解析 由题意得n＝6， ∴Tk＋1＝2kCk6x6－2k，令 6－2k＝0 得 k＝3， ∴常数项为 C3623＝160.
解析 答案
当堂训练
1.(x＋2)8的展开式中x6的系数是
展开式的第 4 项(k＝3)的二项式系数为 C310＝120.
解答
(2)求展开式第4项的系数； 解 展开式的第 4 项的系数为 C31037(－23)3＝－77 760. (3)求第4项. 解 展开式的第 4 项为 T4＝T3＋1＝－77 760 x.
解答
反思与感悟
(1)二项式系数都是组合数 Ckn (k∈{0,1,2，…，n})，它与二项展开式中某 一项的系数不一定相等，要注意区分“二项式系数”与二项式展开式中 “项的系数”这两个概念. (2)第 k＋1 项的系数是此项字母前的数连同符号，而此项的二项式系数 为 Ckn.例如，在(1＋2x)7 的展开式中，第四项是 T4＝C3717－3(2x)3，其二项 式系数是 C37＝35，而第四项的系数是 C3723＝280.