第一章1.2-1.2.2第2课时分段函数及映射

第一章 集合与函数概念
1.2 函数及其表示
1.2.2 函数的表示法
第2课时式 分段函数及映射
A 级 基础巩固
一、选择题
1．设f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≥0，1，x <0，则f [f (－1)]＝( ) A ．3 B ．1 C ．0 D ．－1
解析：因为f (x )＝⎩⎨⎧x ＋2，x ≥0，1，x <0，
所以f [f (－1)]＝f (1)＝1＋2＝3.故选A.
答案：A
2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ∈[－1，0]，x 2＋1，x ∈（0，1]，
则函数f (x )的图象是( )
解析：当x ＝－1时，y ＝0，即图象过点(－1，0)，D 错；当x ＝0时，y ＝1，即图象过点(0，1)，C 错；当x ＝1时，y ＝2，即图象过
点(1，2)，B 错．故选A.
答案：A
3．下列集合M 到集合P 的对应f 是映射的是( )
A ．M ＝{－2，0，2}，P ＝ {－4，0，4}，f: M 中数的平方
B ．M ＝{0，1}，P ＝ {－1，0，1}，f ：M 中数的平方根
C ．M ＝Z ，P ＝Q ，f ：M 中数的倒数
D ．M ＝R ，P ＝{x |x >0}，f ：M 中数的平方
解析：根据映射的概念可知选项A 正确．
答案：A
4．(2017·山东卷)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0＜x ＜1，2（x －1），x ≥1.
若f (a )＝f (a ＋1)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝( )
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
解析：若0＜a ＜1，由f (a )＝f (a ＋1)得a ＝2(a ＋1－1)，所以a
＝14，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝f (4)＝2×(4－1)＝6. 若a ≥1，由f (a )＝f (a ＋1)得2(a －1)＝2(a ＋1－1)，无解．综上，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝6. 答案：C
5．已知f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，－1，x ＜0，则不等式x ＋(x ＋2)·f(x ＋2)≤5的解集是( )
A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，32
B.⎣
⎢⎡⎦⎥⎤－2，32 C ．(－∞，2) D ．(－∞，＋∞)
解析：当x ＋2≥0，即x ≥－2时，f (x ＋2)＝1，则x ＋x ＋2≤5，
得－2≤x ≤32
；当x ＋2＜0，即x ＜－2时，f (x ＋2)＝－1，则x －x －2≤5，不等式恒成立．综上可知，x ≤32
，故选A. 答案：A
二、填空题
6．设f ：x →ax －1为从集合A 到B 的映射，若f (2)＝3，则f (3)＝________．
解析：因为f ：x →ax －1为从集合A 到B 的映射，f (2)＝3，所以2a －1＝3，得a ＝2，所以f (3)＝2×3－1＝5.
答案：5
7．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2，x ≤1，
x ＋6x －6，x >1，
则f [f (－2)]＝________． 解析：f (－2)＝(－2)2＝4，f (f (－2))＝f (4)＝4＋64－6＝－12
. 答案：－12
8．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x －1（x ≥0），
1x （x ＜0），
若f (a )＞a ，则实数a 的取值范围是________．
解析：当a ≥0时，f (a )＝12
a －1＞a ，a ＜－2，矛盾； 当a ＜0时，f (a )＝1a ＞a ，a ＜－1.
所以a 的取值范围为(－∞，－1)．
答案：(－∞，－1)
三、解答题
9．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ＋1），－2<x <0，2x ＋1，0≤x <2，x 2－1，x ≥2.
(1)求f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－32的值； (2)若f (a )＝4且a >0，求实数a 的值．
解：(1)由题意得，f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－32 ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋1＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12 ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋1＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12＝2×12＋1＝2. (2)当0<a <2时，由f (a )＝2a ＋1＝4，
得a ＝32
， 当a ≥2时，由f (a )＝a 2－1＝4，得a ＝5或a ＝－5(舍去)．
综上所述，a ＝32
或a ＝ 5. 10．已知映射f ：A →B 中，A ＝B ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R}，对应关系f ：A 中的元素(x ，y )对应到B 中的元素(3x －2y ＋1，4x ＋3y －1)，求：
(1)A 中元素(－1，2)在f 作用下与之对应的B 中的元素；
(2)在映射f 作用下，B 中元素(1，1)对应A 中的元素．
解：(1)因为x ＝－1，y ＝2，
所以3x －2y ＋1＝3×(－1)－2×2＋1＝－6，
4x ＋3y －1＝4×(－1)＋3×2－1＝1.
所以所求的B 中的元素为(－6，1)．
(2)设B 中元素(1，1)对应A 中的元素为(x ，y )，则
⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＋1＝1，4x ＋3y －1＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝417，y ＝617.
所以所求的A 中的元素为⎝ ⎛⎭
⎪⎫417，617. B 级 能力提升
1．设f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧x －2（x ≥10），f （f （x ＋6））（x <10），则f (5)的值为( ) A ．10 B ．11 C ．12 D ．13
解析：f (5)＝f (f (5＋6))＝f (11－2)＝f (f (9＋6))＝f (13)＝13－2＝11. 答案：B
2．若定义运算a ⊗b ＝⎩
⎪⎨⎪⎧b ，a ≥b ，a ，a <b ，则函数f (x )＝x ⊗(2－x )的解析式是______________．
解析：当x <2－x ，即x <1时，f (x )＝x ；
当x ≥2－x ，即x ≥1时，f (x )＝2－x .
所以f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≤1，2－x ，x ≥1.
答案：f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧x ，x <12－x ，x ≥1 3.如图所示，动点P 从边长为1的正方形ABCD 的顶点A 出发，顺次经过顶点B ，C ，D 再回到A .设x 表示P 点的路程，y 表示PA
的长度，求y 关于x 的函数关系式．
解：当P 点从A 运动到B 时，PA ＝x ； 当P 点从B 运动到C 时，
PA ＝AB 2＋BP 2＝12＋（x －1）2＝x 2－2x ＋2； 当P 点从C 运动到D 时，
PA ＝AD 2＋DP 2＝12＋（3－x ）2＝x 2－6x ＋10； 当P 点从D 运动到A 时，PA ＝4－x .
故y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ， 0≤x ≤1，
x 2－2x ＋2，1<x ≤2，x 2
－6x ＋10，2<x ≤3，4－x ， 3<x ≤4.。