第三章_第四节_隐函数及由参数方程所确定的函数的导数
(完整版)同济大学高等数学上第七版教学大纲(64学时)
福建警察学院《高等数学一》课程教学大纲课程名称：高等数学一课程编号：学分：4适用对象：一、课程的地位、教学目标和基本要求(一)课程地位高等数学是各专业必修的一门重要的基础理论课程，它具有高度的抽象性、严密的逻辑性和应用的广泛性，对培养和提高学生的思维素质、创新能力、科学精神、治学态度以及用数学解决实际问题的能力都有着非常重要的作用。
高等数学课程不仅仅是学习后继课程必不可少的基础，也是培养理性思维的重要载体，在培养学生数学素养、创新意识、创新精神和能力方面将会发挥其独特作用。
（二）教学目标通过本课程的学习，逐步培养学生使其具有数学运算能力、抽象思维能力、空间想象能力、科学创新能力，尤其具有综合运用数学知识、数学方法结合所学专业知识去分析和解决实际问题的能力，一是为后继课程提供必需的基础数学知识；二是传授数学思想，培养学生的创新意识，逐步提高学生的数学素养、数学思维能力和应用数学的能力。
（三）基本要求1、基本知识、基本理论方面：掌握理解极限和连续的基本概念及其应用；熟悉导数与微分的基本公式与运算法则；掌握中值定理及导数的应用；掌握不定积分的概念和积分方法；掌握定积分的概念与性质；掌握定积分在几何上的应用。
2、能力、技能培养方面：掌握一元微积分的基本概念、基本理论、基本运算技能和常用的数学方法，培养学生利用微积分解决实际问题的能力。
二、教学内容与要求第一章函数与极限【教学目的】通过本章学习1、理解函数的概念，了解函数的几种特性（有界性），掌握复合函数的概念及其分解，掌握基本初等函数的性质及其图形，理解初等函数的概念。
2、理解数列极限的概念、掌握数列极限的证明方法、了解收敛数列的性质。
3、理解函数极限和单侧极限的概念，掌握函数极限的证明方法、理解极限存在与左、右极限之间的关系，了解函数极限的性质。
4、理解无穷小和无穷大的概念、掌握无穷大和无穷小的证明方法。
5、掌握极限运算法则。
6、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。
3.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数
d y ψ ′( t ) ψ ′( t ) dx , 即 , = 所以 dy = ϕ ′( t ) d x ϕ ′( t ) dy dy dt 或者 = . 参数方程的求导公式. 参数方程的求导公式. dx dx dt
14
3.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数
相关变化率
π x = a ( t − sin t ) 在t = 处的切线方程 . 例 求摆线 2 y = a (1 − cos t ) dy dy dt a sin t = = 解 dx a − a cos t y dx a a dt sin t a a , = 2πa x πa O 1 − cos t π sin dy 2 = 1. 当 t = π 时, x = a ( π − 1), 所以 π = 2 dx t = 2 1 − cos π y = a. 2 2 π 所求切线方程为 y − a = x − a ( − 1) 2 π 即 y = x + a ( 2 − ). 2 15
隐函数 设函数y=f (x)由方程 xy + 2 ln x = y 4所确定, 设函数 由方程 所确定 则曲线y=f (x)在点 则曲线 在点(1,1)处的切线方程是 x − y = 0). 处的切线方程是( 在点 处的切线方程是 解 将方程两边求微分 得 将方程两边求微分, 2 ydx + xdy + dx = 4 y 3dy x dy =1 再将点(1,1)代入上方程 得 代入上方程, 再将点 代入上方程 d x ( 1 ,1 ) 切线方程为 即
隐函数求导法则
利用函数的微分法则 将方程两边求微分. 利用函数的微分法则, 将方程两边求微分 函数的微分法则
求由方程 xy − e x + e y = 0所确定的隐函数 y 例
第4节--隐函数及由参数方程确定的函数的导数--相关变化率
第四节 隐函数及由参数方程确定的函数的导数 相关变化率 教学目的： 熟悉隐函数的概念;掌握隐函数的求导法则；掌握由参数方程所确定的函数的求导方法.教学重点：隐函数的导数;由参数方程所确定的函数的导;相关变化率;对数求导法 教学难点：隐函数和参数方程确定的函数的二阶导数的求法，幂指函数的求导法教学内容：一、隐函数的导数显函数: 形如y f (x )的函数称为显函数. 例如y sin x , y ln x +e x . 隐函数: 由方程F (x , y )0所确定的函数称为隐函数.例如, 方程x y 3 10确定的隐函数为y 31x y -=. 如果在方程F (x , y )0中, 当x 取某区间内的任一值时, 相应地总有满足这方程的唯一的y 值存在, 那么就说方程F (x , y )0在该区间内确定了一个隐函数.把一个隐函数化成显函数, 叫做隐函数的显化. 隐函数的显化有时是有困难的, 甚至是不可能的. 但在实际问题中, 有时需要计算隐函数的导数, 因此, 我们希望有一种方法, 不管隐函数能否显化, 都能直接由方程算出它所确定的隐函数的导数来.例1．求由方程e y xy e 0 所确定的隐函数y 的导数.解: 把方程两边的每一项对x 求导数得(e y )¢(xy )¢(e )¢(0)¢,即 e y y ¢y xy ¢0,从而 ye x y y +-='(x e y 0). 例2．求由方程y 5+2y -x -3x 7=0 所确定的隐函数yf (x )在x =0处的导数y |x 0.解: 把方程两边分别对x 求导数得5y ×y 2y 121x 60,由此得 2521146++='y x y . 因为当x =0时, 从原方程得y =0, 所以21|25211|0460=++='==x x y x y . 例3. 求椭圆191622=+y x 在)323 ,2(处的切线方程. 解: 把椭圆方程的两边分别对x 求导, 得0928='⋅+y y x . 从而 yx y 169-='. 当x 2时, 323=y , 代入上式得所求切线的斜率42=x 所求的切线方程为 )2(43323--=-x y , 即03843=-+y x . 解: 把椭圆方程的两边分别对x 求导, 得0928='⋅+y y x . 将x 2, 323=y , 代入上式得 03141='⋅+y , 于是 k y |x 243-=. 所求的切线方程为)2(43323--=-x y , 即03843=-+y x . 例4．求由方程0sin 21=+-y y x 所确定的隐函数y 的二阶导数.解: 方程两边对x 求导, 得0cos 211=⋅+-dx dy y dx dy , 于是 ydx dy cos 22-=. 上式两边再对x 求导, 得3222)cos 2(sin 4)cos 2(sin 2y y y dx dyy dx y d --=-⋅-=. 隐函数求导方法小结：（1）方程两端同时对x 求导数，注意把y 当作复合函数求导的中间变量来看待.（2）从求导后的方程中解出y '来.（3）隐函数求导允许其结果中含有y .但求某一点的导数时不但要把x 值代进去，还要把对应的y 值代进去.对数求导法: 这种方法是先在y f (x )的两边取对数, 然后再求出y 的导数. 设y f (x ), 两边取对数, 得ln y ln f (x ),两边对x 求导, 得y y f (x )×[ln f (x )]. 对数求导法适用于求幂指函数y [u (x )]v (x )的导数及多因子之积和商的导数.例5．求y x sin x (x >0)的导数.解法一: 两边取对数, 得ln y sin x ln x ,上式两边对x 求导, 得 xx x x y y 1sin ln cos 1⋅+⋅=', 于是 )1sin ln (cos xx x x y y ⋅+⋅=' )sin ln (cos sin xx x x x x +⋅=. 解法二 这种幂指函数的导数也可按下面的方法求:y x sin x e sin x ·ln x ,)sin ln (cos )ln (sin sin ln sin xx x x x x x e y x x x +⋅='⋅='⋅. 例6. 求函数)4)(3()2)(1(----=x x x x y 的导数. 解: 先在两边取对数(假定x >4), 得ln y 21=[ln(x 1)ln(x 2)ln(x 3)ln(x 4)],上式两边对x 求导, 得)41312111(211-----+-='x x x x y y , 于是 )41312111(2-----+-='x x x x y y . 当x <1时, )4)(3()2)(1(x x x x y ----=; 当2<x <3时, )4)(3()2)(1(x x x x y ----=; 用同样方法可得与上面相同的结果.注 严格来说, 本题应分x 4, x 1, 2x3三种情况讨论, 但结果都是一样的.二、由参数方程所确定的函数的导数 设y 与x 的函数关系是由参数方程⎩⎨⎧==)()(t y t x ψϕ确定的. 则称此函数关系所表达的函数为由参数方程所确定的函数.在实际问题中, 需要计算由参数方程所确定的函数的导数. 但从参数方程中消去参数t 有时会有困难. 因此, 我们希望有一种方法能直接由参数方程算出它所确定的函数的导数.设x (t )具有单调连续反函数t (x ), 且此反函数能与函数y (t )构成复合函数y [(x ) ], 若x (t )和y (t )都可导, 则)()(1t t dtdx dt dy dx dt dt dy dx dy ϕψ''=⋅=⋅=,即 )()(t t dx dy ϕψ''=或dt dx dt dy dx dy =. 若x (t )和y (t )都可导, 则)()(t t dx dy ϕψ''=. 例7. 求椭圆⎩⎨⎧==t b y t a x sin cos 在相应于4 π=t 点处的切线方程. 解: t ab t a t b t a t b dx dy cot sin cos )cos ()sin (-=-=''=. 所求切线的斜率为ab dx dyt -==4π. 切点的坐标为224 cos 0a a x ==π, 224sin 0b b y ==π. 切线方程为)22(22a x a b b y --=-, 即 bx ay 2-ab 0.例8．抛射体运动轨迹的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧-==22121gt t v y t v x , 求抛射体在时刻t 的运动速度的大小和方向. yv 2t g t 2解: 先求速度的大小.速度的水平分量与铅直分量分别为x ¢(t )v 1, y ¢(t )v 2gt ,所以抛射体在时刻t 的运动速度的大小为22)]([)]([t y t x v '+'=2221)(gt v v -+=. 再求速度的方向,设是切线的倾角, 则轨道的切线方向为12)()(tan v gt v t x t y dx dy -=''==α. 已知x(t ), y (t ), 如何求二阶导数y ? 由x(t ), )()(t t dx dy ϕψ''=, dxdt t t dt d dx dy dx d dx y d ))()(()(22ϕψ''== )(1)()()()()(2t t t t t t ϕϕϕψϕψ'⋅''''-'''=)()()()()(3t t t t t ϕϕψϕψ''''-'''=. 例9．计算由摆线的参数方程⎩⎨⎧-=-=)cos 1()sin (t a y t t a x 所确定 的函数y f (x )的二阶导数.解: )()(t x t y dx dy ''=)cos 1(sin ])sin ([])cos 1([t a t a t t a t a -='-'-= 2cot cos 1sin t t t =-=(t 2n , n 为整数). dxdt t dt d dx dy dx d dx y d ⋅==)2(cot )(22 22)cos 1(1)cos 1(12sin 21t a t a t --=-⋅-= (t 2n , n 为整数).三、相关变化率设xx (t )及y y (t )都是可导函数 而变量x 与y 间存在某种关系 从而变化率dt dx 与dtdy 间也存在一定关系 这两个相互依赖的变化率称为相关变化率 相关变化率问题就是研究这两个变化率之间的关系 以便从其中一个变化率求出另一个变化率例10一气球从离开观察员500f 处离地面铅直上升 其速度为140m/min(分) 当气球高度为500m 时 观察员视线的仰角增加率是多少？解 设气球上升t (秒)后 其高度为h 观察员视线的仰角为 则500tan h=α其中及h 都是时间t 的函数 上式两边对t 求导 得dt dhdt d ⋅=⋅5001sec 2αα已知140=dt dh (米/秒) 又当h 500(米)时 tan1 sec2 2 代入上式得 14050012⋅=dt d α所以 14.050070==dt d α(弧度/秒) 即观察员视线的仰角增加率是每秒0 14弧度小结：本节讲述了隐函数和参数方程确定的函数的求导方法，利用取对数的方法解决了幂指函数的求导问题.思考：对幂指数函数()()(()0)v x y u x u x => 你有几种求导方法？作业：见习题册 （注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。
经济数学微积分 第二版第三章 第四节隐函数及由参数方程所确定的函数的导数
( x 1)3 x 1 1 1 2 y [ 1] 2 x x 1 3( x 1) x 4 ( x 4) e
例5 设 y x sin x ( x 0), 求y.
解
( t ) ( t ) ( t ) ( t ) 1 2 (t ) ( t )
d 2 y ψ ( t ) ( t ) ( t ) ( t ) 即 . 2 3 dx (t )
例6
x a( t sin t ) π 求摆线 在t 处的切线 2 y a(1 cos t )
dx 2
2
3. y
x sin x 1 e x .
2 d 四、 求下列参数方程所确定的函数的二阶导数 y ： dx 2
x a cos t 1． ； y b sin t x f ( t ) 2． 设 f ( t )存在且不为零 . y tf ( t ) f ( t ) x ln(1 t 2 ) 五、 求由参数方程 所确定的函数的 y t arctan t d3y 三阶导数 3 . dx 1 3 六、设 f ( x )满足 f ( x ) 2 f ( ) ，求 f ( x ) . x x
七、 在中午 12 点整甲船的 6km/h 的速率向东行驶， 乙船在甲船之北 16km，以 8km/h 的速率向南行 驶，问下午 1 点整两船相距的速率为多少？ 八、 水注入深 8m， 上顶直径 8 m 的正圆锥形容器中， 其速率为每分钟 4 立方米，当水深为 5 m 时， 其表面上升的速率为多少？
由复合函数及反函数的求导法则得
dy dy dt d y 1 ( t ) dx dt dx d t d x ( t ) dt
隐函数及由参数方程所确定的函数的导数
一、隐函数的求导法则 二、对数求导法则 三、参数方程求导法则
一、隐函数的导数
1.显函数与隐函数 y f ( x) 形式称为显函数.
由方程所确定的函数 y y( x)称为隐函数.
F(x, y) 0
y f ( x) 隐函数的显化
2.隐函数求导法则:
解 等式两边取对数得 ln y sin x ln x
上式两边对x求导得
1 y cos x ln x sin x 1
y
x
y y(cos x ln x sin x 1 ) x
xsin x (cos x ln x sin x ) x
三、由参数方程所确定的函数的导数
若参数方程
若方程 F(x, y) 0确定的是y关于x的函数，
则要求y关于x的导数的步骤如下：
（1）将方程 F(x, y) 0两端关于x求导，其中y
视为x 的函数.
（2）解上式关于 y 的方程，得出 y 的表达式，
在表达式中允许保留y
例1 求由方程 xy e x e y 0所确定的隐函数
y的导数 dy , dy dx dx
解 等式两边取对数得
ln y ln( x 1) 1 ln( x 1) 2 ln( x 4) x 3
上式两边对 x求导得
y 1 1 2 1 y x 1 3( x 1) x 4
y
( x 1)3 x ( x 4)2 e x
1[
1 x
1
1 3( x
1)
x
2
4
1]
例5 设 y xsin x ( x 0), 求y.
y a x a( 1)
2
即 y x a(2 )
高等数学 第三章 第4节 隐函数及由参数方程确定的函数的导数(中央财经大学)
例
d y 设 x + x y + y = 4, 求 . 2 dx
2 2
2
解
对方程两边关于 x 求导:
2 x + y + x y′ + 2 y y ′ = 0
故 2x + y y′ = − x + 2y
想想如何求二阶导数？
解
(
)
1 2 1+ t 2 d y = 2 = = 2 2t 2 ′ 4t dx (ln(1 + t ) ) 1 + t 2
⎛ t ⎞′ ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠
⎛ 1 + t 2 ⎞′ 2t 2 − 1 − t 2 ⎜ 3 ⎜ 4t ⎟ ⎟ 2 t 4 −1 d y 4t ⎝ ⎠ = = = 3 3 ′ 2t 8t dx (ln(1 + t 2 ) ) 1+ t 2
故
1 (1 − x)(1 − 2 x)(1 + x ) y′ = 3 3 (1 + 5 x)(1 + 8 x)(1 + x 4 )
⎧ −1 −2 2x 5 8 4 x3 ⎫ − − − ⎨1 − x + 1 − 2 x + 2 1 + 5x 1 + 8 x 4⎬ 1+ x 1+ x ⎭ ⎩
2
四、 隐函数及参数方程 确定的函数的高阶导数
F ( x, f (x) ) ≡ 0
对上式两边关于 x 求导：
d F ( x , y) = 0 dx
然后, 从这个式子中解出 y ′, 就得到隐函数的导数.
例
求由方程 F ( x , y ) = xy − e x + e y = 0 ( x ≥ 0 ) 所确定的隐函数的导数 y′, 并求 y′
第三章第四节隐函数的导数
d y (b sin t ) b cos t b k cot t d x (a cos t ) a sin t a
2 b 2 b 故 k t , x0 a cos a, y0 b sin 4 2 4 4 2 a
所求切线方程为：y ( x
y(t ) x(t ) y(t ) x(t ) 记 y x x y 3 3 ( x(t )) x
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Байду номын сангаас
注意 : 已知
?
对谁求导?
x a(t sin t ) 所确定的函数y ( x)的二阶导数. 例5 计算由摆线的参数方程 y a(1 cos t )
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例1. 求由方程 x3 y 3 6 xy确定的隐函数的导数. 解 方程两边对 x 求导
3x 2 3 y 2 y 6( y xy)
2 y x2 y 2 y 2x
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例2. 求由方程 在 x = 0 处的导数
确定的隐函数
有时像(3)这样的显函数用对数求导法求导很方便 .
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例6 求
的导数 .
解 两边取对数 , 化为隐式
两边对 x 求导
1 sin x y cos x ln x y x sin x sin x y x (cos x ln x ) x
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d y d dy dt 1 1 dt 1 2 dx dt dx dx f (t ) dx dx dt
第四节隐函数的导数、由参数方程确定的函数的导数
但并不是所有的隐函数都能被显化，如 y x ln y
由隐函数的显化我们可以看到，所谓方程F(x, y)=0 确定一个函数 y=f (x) 就是将此函数代入方程，则方
程F (x, y)= F (x, f(x))≡0成为恒等式。
例如，将函数 y 1 x2 代入方程 x2 y2 1 0
第四节 隐函数的导数、 由参数方程确定的函数的导数
一、隐函数的导数 二、对数求导法 三、由参数方程确定的函数的导数
一、隐函数的导数
若由方程
可确定y是x的函数, 则称此
函数为隐函数.
由
表示的函数，称为显函数。
例如,
可确定y是x的函数 ,
可确定显函数
（隐函数的显化）
对于不能显化或不易显化隐函数如何求导？
再设函数 x (t), y (t)都可导, 且(t) 0,
由复合函数及反函数的求导法则得
dy dx
dy dt
dt dx
dy dt
1 dx
(t) (t)
dt
dy
即
dy dx
dt dx
t t
dt
例1 设
求
解：
例2 已知摆线方程
求在
但有时会遇到因变量与自变量的对应规则是用一
个方程 F (x, y)=0 表示的函数，这种函数称为隐函数。
如，
x2 y2 1 0
x2 xy y2 4
一般的，如果变量 x 和 y 满足方程 F (x, y)=0， 在一定条件下，当 x 在某区间内任取一值时，相应 的总有满足该方程的唯一的 y 值存在，那么就说方 程 F (x, y)=0 在该区间内确定了一个隐函数。
第四节隐函数的导数、由参数方程确定的函数的导数-文档资料
对数求导法适用于多个函数相乘或幂指函数 求导。
例6 y = x x (x > 0), 求 y . 解 两边取对数, 得 lny = xlnx. 上式两边同时对
x 求导, 把 y 看成 x 的函数, 得,
1 y ln x 1, y
于是 y = y (1 + lnx) = x x (1 + lnx).
个方程 F (x, y)=0 表示的函数，这种函数称为隐函数。
如，
x2 y2 1 0
x2 xy y2 4
一般的，如果变量 x 和 y 满足方程 F (x, y)=0， 在一定条件下，当 x 在某区间内任取一值时，相应 的总有满足该方程的唯一的 y 值存在，那么就说方 程 F (x, y)=0 在该区间内确定了一个隐函数。
例3 设 xy ex ey 0 确定了函数 y = y (x), 求 dy .
dx x0
解 方程两边同时对 x 求导, 把 y 看成 x 的函数有
y xy ex ey y 0,
解得
dy ey y dx x ey ,
再由原方程知 x 0 时，y 0. 代入上式，得
dy dx
x0
ey y x ey
上式两边同时对 x 求导, 把 y 看成 x 的函数, 得
1 y cos x ln ln x sin x 1 1 ,
y
ln x x
y
ln
x sin x
cosxlFra bibliotek lnx
sin x x ln x
.
例8 设 x > 1, x 2, 3, 4, y (x 1)(x 2) , 求 y.
(x 3)(x 4)
2sin y y (2 cos y)2
高等数学(上)04-隐函数的导数与由参数方程确定的函数的导数 答案详解
解：方程两边同时对 x 求导有， cos(x y) (1 y) 2yycos x y2 sin x
y cos(x y) y2 sin x 2y cos x cos(x y)
3． ln(x2 y2 ) arctan y x
解：方程两边同时对
x
求导有，
2x 2 yy x2 y2
1
1 y x
2
yx x2
y
y 2x y x 2y
4． ey 6xy x2 1 0
解：方程两边同时对 x 求导有， ey y 6y 6xy 2x 0
y
6y ey
2x 6x
y x
dx
e yln x ln x exln y x
y
七、求下列参数方程所确定的函数 y y(x) 的导数 dy ： dx
1．
x y
t3 3t
3t 1 5 5t3
1
解： dx 3(t2 1) ， dy 15t2 (t2 1)
dt
dt
dy
dy dx
f (t) tf (t) f (t)
f (t)
t
d2 dx
y
2
1 f (t)
注：计算参数方程二阶导前先对一阶导化简
则该曲线在 (1, 1) 点的切线斜率为1 由两曲线在该点相切，有 2 a 1 a 1，从而 b 1
五、求下列函数的导数：
1． y x x
解：法一（对数求导法）： ln y x ln x
1 y l nx y 2x
经济数学微积分隐函数及由参数方程所确定的函数的导数
f ( x ) u( x )v ( x ) ( u( x ) 0)
ln f ( x ) v( x ) ln u( x )
d 1 d 又 ln f ( x ) f ( x) dx f ( x ) dx
d f ( x ) f ( x ) ln f ( x ) dx
代入 x 0, y 1, y x 0
y 1
1 得 y 4
x0 y 1
1 . 16
★ 对数求导法
( x 1)3 x 1 , 观察函数 y 2 x ( x 4) e y x sin x .
方法: 先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导 方法求出导数. ——对数求导法 适用范围:
f ( x ) u( x )
v( x)
v ( x )u( x ) [v ( x ) ln u( x ) ] u( x )
※二、由参数方程所确定的函数的导数 (differentiation of functions represented parametrically)
x (t ) 若参数方程 确定 y与x间的函数关系 , y (t ) 称此为由参数方程所确定的函数. x 2t , x 例如 消去参数 t t 2 y t , 2 2 x 2 x 1 2 yt ( ) y x 2 4 2
y 1 1 2 1 y x 1 3( x 1) x 4
( x 1)3 x 1 1 1 2 y [ 1] 2 x x 1 3( x 1) x 4 ( x 4) e
例5 设 y x sin x ( x 0), 求y.
解
方程 .
解
dy a sin t sin t dy dt dx dx a a cos t 1 cos t dt π sin dy 2 1. π dx t π 2 1 cos 2
2-4-隐函数的导数和由参数方程确定的函数的导数-初等函数的导数
1 t2
例8
求星形线
x y
acos3t, asin3t,
(a 0,0 t 2π) 在t π 4
处的切线方程.
解 dx 3acos2tsint, dy 3asin2tcost,所以
dt
dt
dy dx
3asin 2tcost 3acos2tsint
tant
于是，在t
π 处的切线斜率为k 4
x y
(t), (t),
(t T ) 所 确
定，如果函数 x (t) 具有单调连续反函数t 1(x) ，那
么由参数方程所确定的函数可以看成是由函数y (x) ，
t 1(x) 复 合 而 成 的 函 数 y ( 1(x)) . 因 此 ， 当
x (t), y (t) 都可导且(t) 0 时，利用复合函数求导
例如 方程 x y3 1 0表示一个隐函数，因为当变量 x 在(, )取值时，变量 y 有确定的值与之对应.
当 x 0时， y 1；当 x 1时， y 3 2 等等，符合函数 定义的概念，与前面我们所遇到的函数，例如
y tan x, y ln(x 1 x2 ), y arcsin(x 1) 1 x2 等，不同 之处是：这些函数等号左端是因变量的符号，而右端是含有 自变量的式子，当自变量取定义域内任一值时，由这式子能 确定对应的函数值，用这种方式表达的函数叫做显函数.
2 6
将 B 点坐标 x 1, y 4 3
2 代入上式，得yB
2 6
则所求切线方程分别为
y 4 2 2 (x 1)
3
6
及
y 4 2 2 (x 1)
3
6
注意 本题点 A 在上半椭圆上，点 B 在下半椭圆上，
隐函数及参数方程所确定的函数的求导法
谢谢聆听
一、隐函数的导数
把一个隐函数化成显函数，叫作隐函数的显化．例如， 从方程3x＋y2＋5=0解出y=± √ -5-3x，就把隐函数化成显函 数．隐函数的显化有时是有困难的，甚至是不可能的．例如， ey=y＋x在x的一定变化范围内虽然也能确定一个隐函数y=f （x），却无法将它显化.因此有必要介绍隐函数的求导方法.
设y=f（x）是由F（x，y）=0所确定的隐函数，则F（x， f（x））=0．由于此式左端是将y=f（x）代入F（x，y）所 得到的复合函数，因此，根据链式法则将等式两边对x求导， 便可得到所求的导数．
我们通过几个例子来说明这种方法．
一、隐函数的导数
【例1】
求方程xy-ex＋ey=0所确定的隐函数y=f（x）的导数 ． 解 方程两端同时对x求导，并注意到y是x的函数，得
下面举几个例子.
一、隐函数的导数
【例4】
求函数y=xx（x>0）的导数． 解 这是幂指函数，求导数时，既不能用幂函数的导数 公式，也不能用指数函数的导数公式. 对等式两边取对数，得
lny=xlnx， 两边对x求导，得
一、隐函数的导数
【例5】
二、由参数方程所确定的函数的导数
函数关系除了用显式和隐式表示外，还可以用参数 方程来表示．
一般的，如果参数方程x=φ（t）， 确定y与x之间的函数关系，则称此函数关系所表示的函 数为由参数方程所确定的函数．
对于参数方程所确定的函数的求导，通常不需要由 参数方程消去参数t化为y与x之间的直接函数关系后再求 导．
二、由参数方程所确定的函数的导数
如果函数φ（t）和ψ（t）都可导，φ′（t）≠0且x=φ（t） 存在反函数t=φ-1（x），则y为x的复合函数．根据复合函数求 导法则，得
隐函数及由参数方程所确定的函数的导数
导数
一、 隐函数的导数
函数y=fx表示变量y与x之间的对应关系，这种对应关系 有不同的表达方式.例如，y=sin x,y=1+x等，其特点是因变 量y和含有自变量x的式子分别位于等号的两边，称此类函数 为显函数.而有些函数，因变量y与自变量x之间的关系以方程 F(x,y)=0的形式出现，这样的函数称为隐函数，如ex+y－ xy=0，2x－y+1=0等.
二、 由参数方程确定的函数的导数
(3-1) 确定了y与x之间的函数关系，则称此函数为由参数方程 (3-1)确定的函数. 在实际问题中，有时我们需要计算由参数方程(3-1)所确 定的函数的导数，然而从参数方程(3-1)中消去参数t有时会有 一定的困难.因此，我们希望有一种方法能直接由参数方程算 出它所确定的函数的导数来.下面就来讨论由参数方程(3-1)所 确定的函数的求导方法.
而且φ′(t)≠0.于是根据复合函数求导法则，则
二、 由参数方程确定的函数的导数
(3-2)
二、 由参数方程确定的函数的导数
【例42】
二、 由参数方程确定的函数的导数
【例43】
二、 由参数方程确定的函数的导数
【例44】
三、 相关变化率
设x=x(t)及y=y(t)都是可导函数,如果变量x 与y之间存在某种关系, 之间也存在一定关系,这样两个相互依赖的变化 率称为相关变化率.
(1,2)
于
y=x+1.
y－2=x－1
一、 隐函数的导数
【例40】
求函数y=2xx 的导数.
【例41】
一、 隐函数的导数
一、 隐函数的导数
注
本例如果直接用复合函数求导法则求这个函数的 导数是很复杂的，而使用对数求导法可使运算级别降低， 从而比较方便.对数求导法适宜于多个函数的乘积、乘 方、开方及幂指函数的求导.
第三节 隐函数的导数和由参数方程确定的函数的导数
练 习 题
一、 填空题： 1、 设 x 3 2 x 2 y 5 xy 2 5 y 1 0 确定了 y 是 x 的函 d2y dy 数，则 =________， 2 ________. dx (1,1) dx 2、 曲线 x 3 y 3 xy 7 在点（1，2）处的切线方程是 ___________. x t cos t 3、 曲线 在 t 处的法线方程________. 2 y t sin t x e t cos t dy dy 4、 已知 ,则 =______； =______. t dx dx t y e sin t
由复合函数及反函数的求导法则得
dy dy dt dy 1 ( t ) dx dt dx dt dx ( t ) dt
dy dy dt ( t ) 即 dx dx ( t ) dt
例1
x a cos 3 t 求由方程 3 所确定的函数 y a sin t y y( x ) 的一阶导数 .
2 2 v v x v 2 v0 2v0 gt0 sin g 2 t02 y
四、相关变化率
设 x x ( t ) 及 y y( t ) 都是可导函数 , 而变量 x dx 与 y 之间存在某种关系, 从而它们的变化率 dt dy 与 之间也存在一定关系 , 这样两个相互依赖 dt 的变化率称为 相关变化率 .
3
5、 设 xy e x y ,则
dy =________. dx
d2y 二、求下列方程所确定的隐函数 y 的二阶导数 2 ： dx 1、 y 1 xe y ； 2、 y tan( x y ) ； y 3、 x y x ( x 0， y 0) . 三、用对数求导法则求下列函数的导数： x2 1、 y x ； x 2( 3 x ) 4 2、 y ； 5 ( x 1)
隐函数及由参数方程所确定的函数
院 数 理 系
y x x ln y x ln x 1 y ln x 1 y x x (ln x 1) y
2021/4/22
用性质 用对数
11
高
等 数
y u(x)x y u(x)x ln（u x） x（u x）x1u（ x）
学 电 子
u(x)x[ln u(x) x u(x)] u(x)
武
汉 科
对于幂指函数或连乘除形式函数的求导,先取对数再取
技
学 院
导数,比用通常方法计算简单.
数
理
系
2021/4/22
3
高
等 例3 求幂指数函数 y = uv(u>0) 的导数，其中u, v是x的函
数 学
数,且都在点x处可导.
电 分析: 先取对数
子 教
ln y v ln u (ln y v ln u) 1 y vln u v u
y (x) (x)[(x) (x) (x) (x) ln (x)]
1
2 (x) (x)
6
高 等 例6 试用比较简单的方法求下列函数的导数
数
学
1,y x(x 1)(x 2); 2, y 3(1 2x)3; 3, y 5x2 3x x ;
电
x
子 教 案
4, y ln a bx ; a bx
子 教
设函数的参数式为x=φ(t), y=ψ(t),
dy (t ) dx (t )
案
则它们的二阶导数
d 2 y d [ (t) ] d [ (t) ] dt dx 2 dx (t) dt (t) dx
武
汉 科
(t) (t) (t) (t) 1
技
[ (t)]2
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(1)式两端对x求导，整理得：
2 x y x y 0； dy 2y . dx x
2
即 非 技 术 工 人 的 变 化为 量
dy 2y dx x
当x 16, y 32时，可得
dy 4 dx
因此厂长要增加一个技术工人并要使产量不变, 就要相应地减少约4名非技术工人.
第四节
隐函数及由参数方程 所确定的函数的导数
一、隐函数的导数
二、由参数方程所确定的 函数的导数 三、小结 思考题
一、隐函数的导数
(differentiation of functions represented implicitly)
定义: 由方程F ( x, y ) 0所确定的函数 y y ( x)
七、 在中午十二点正甲船的 6 公里/ 小时的速率向 东行驶，乙船在甲船之北 16 公里，以 8 公里/ 小 时的速率向南行驶， 问下午一点正两船相距的速 率为多少？ 八、水注入深 8 米， 上顶直径 8 米的正圆锥形容器中， 其速率为每分钟 4 立方米，当水深为 5 米时，其 表面上升的速率为多少？
x 0
.
解 方程两边对x求导, dy x y dy y x e e 0 dx dx
dy e x y 解得 , y dx x e
dy dx
x0
由原方程知 x 0, y 0,
1.
ex y xey
x0 y0
例2 设曲线C的方程为 x 3 y 3 xy , 求过C上称为隐函数 .
y f ( x ) 形式称为显函数 .
F ( x, y) 0 y f ( x)
隐函数的显化
问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导? 隐函数求导法则: 用复合函数求导法则直接对方程两边求导.
例1 求由方程 xy e x e y 0所确定的隐函数
dy dy y的导数 , dx dx
3 3 ( , ) 2 2
例3 设 x 4 xy y 4 1, 求y在点(0,1)处的值 . 解 方程两边对x求导得
4 x 3 y xy 4 y 3 y 0
代入 x 0, y 1得
y
x0 y 1
(1)
1 ; 4
将方程(1)两边再对x求导得
12 x 2 2 y xy 12 y 2 ( y)2 4 y 3 y 0
练 习 题
一、 填空题： 1. 设 x 3 2 x 2 y 5 xy 2 5 y 1 0确定了 y 是 x 的函 dy d2y 数，则 =________， 2 ________. dx (1,1 ) dx 2. 曲线 x 3 y 3 xy 7 在点（1，2）处的切线方程 是___________. x t cos t 3. 曲线 在 t 处的法线方程________. 2 y t sin t x e t cos t dy dy 4. 已知 ,则 =______； =______. t dx t dx y e sin t 3 dy x y 5. 设 xy e ,则 =________. dx
等式两边取对数得 ln y sin x ln x
上式两边对x求导得
1 1 y cos x ln x sin x y x
1 y y(cos x ln x sin x ) x sin x sin x x (cos x ln x ) x
一般地
代入 x 0, y 1, y x 0
y 1
1 得 y 4
x0 y 1
1 . 16
★ 对数求导法
( x 1)3 x 1 , 观察函数 y 2 x ( x 4) e y x sin x .
方法: 先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导 方法求出导数. --------对数求导法 适用范围:
解
dy a sin t sin t dy dt dx dx a a cos t 1 cos t dt sin dy 2 1. dx t 2 1 cos 2
当 t 时, x a( 1), y a . 2 2
所求切线方程为
y a x a( 1) 2
由复合函数及反函数的求导法则得
dy dy dt dy 1 ( t ) dx dt dx dt dx ( t ) dt
dy dy dt 即 dx dx dt
x ( t ) 若函数 二阶可导, y ( t )
d ( t ) dt d 2 y d dy ) ( ) ( 2 dx dx dt ( t ) dx dx
3、 y
x sin x 1 e x .
d2y 四、 求下列参数方程所确定的函数的二阶导数 2 ： dx x a cos t 1. ； y b sin t x f ( t ) 2. 设 f (t )存在且不为零 . y tf ( t ) f ( t ) x ln( 1 t 2 ) 五、 求由参数方程 所确定的函数的 y t arctan t d3y 三阶导数 3 . dx 1 3 六、设 f ( x )满足 f ( x ) 2 f ( ) ，求 f ( x ) . x x
2
现有16名技术工人和32名非技术工人, 而厂长计划 再雇用一名技术工人. 试求厂长如何调整非技术工 人的人数, 可保持产品产量不变？
解 现在产品产量为f (16,32)=8192件, 保持这
种产量的函数曲线为
2 x y =8192 f ( x, y)=
(1)
对于任一给定值 x 每增加一名技术工人时 y 的
f ( x ) u( x )v ( x ) ( u( x ) 0)
ln f ( x ) v( x ) ln u( x )
d 1 d 又 ln f ( x ) f ( x) dx f ( x ) dx
d f ( x ) f ( x ) ln f ( x ) dx
f ( x ) u( x )
v( x)
v ( x )u( x ) [v ( x ) ln u( x ) ] u( x )
※二、由参数方程所确定的函数的导数 (differentiation of functions represented parametrically)
x (t ) 若参数方程 确定 y与x间的函数关系 , y (t ) 称此为由参数方程所确定的函数. x 2t , x 例如 消去参数 t t 2 y t , 2 2 x 2 x 1 2 yt ( ) y x 2 4 2
※思考题
x (t ) ( t ) 设 ，由 y ( ( t ) 0) x ( t ) y (t ) ( t ) 可知 y ，对吗？ x ( t )
思考题解答
不对．
d dy ( t ) 1 x dt yx y x dx dt dx ( t ) t ( t )
d2y 二、求下列方程所确定的隐函数 y 的二阶导数 2 ： dx 1 、 y 1 xe y ； 2 、 y tan( x y ) ； y 3 、 x y x ( x 0， y 0 ) . 三、用对数求导法则求下列函数的导数： x2 1、 y x ； x 2( 3 x ) 4 2、 y ； ( x 1) 5
3 3 点( , )的切线方程, 并证明曲线C在该点的法 2 2 线通过原点 .
2 2 3 x 3 y y 3 y 3 xy 解 方程两边对x求导,
y x2 y 3 3 2 1. ( , ) y x 22 3 3 所求切线方程为 y ( x ) 即 x y 3 0. 2 2 3 3 法线方程为 y x 即 y x , 显然通过原点. 2 2
即 y x a( 2 ) 2
3 x a cos t 表示的函数的二阶导数. 例8 求由方程 3 y a sin t dy dy dt 3a sin2 t cos t tan t 解 2 dx dx 3a cos t ( sin t ) dt
2 sec t ( tan t ) d y d dy ( ) 2 2 3 3 a cos t sin t dx dx dx (a cos t )
( t ) ( t ) ( t ) ( t ) 1 2 (t ) ( t )
d 2 y ( t ) ( t ) ( t ) ( t ) 即 . 2 3 dx (t )
x a ( t sin t ) 在t 处的切线 例6 求摆线 2 y a (1 cos t ) 方程 .
问题: 消参困难或无法消参如何求导?
x ( t ) 在方程 中, y ( t )
设函数x (t )具有单调连续的反函数t 1 ( x ), y [ ( x )]
1
再设函数x (t ), y (t )都可导, 且 (t ) 0,
2
sec t 3a sin t
4
三、小结
思考题
隐函数求导法则: 直接对方程两边求导; 对数求导法: 对方程两边取对数,按隐函数的求 导法则求导; ※参数方程求导: 实质上是利用复合函数求导法则;
思考题
一工厂有x名技术工人和 y 名非技术工人每天 可生产的产品产量为
f ( x, y ) x y (件)
(2 ln x 1) ； x 2( 3 x ) 4 1 4 5 2. [ ]； 5 2( x 2) 3 x x 1 ( x 1) x 1 1 e 3. x sin x 1 e x [ cot x ]. x 2 x 2(1 e ) b 1 四、1. 2 ； 2. . 3 f ( t ) a sin t 1 t4 1 五、 3 . 六、 2 2 . x 8t 七、-2.8(公里/小时). 16 0.204 (米/分). 八、 25