7[1].2与三角形有关的角外角

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A
E
例1 已知:如图,在△ABC中,AD平分 外角∠EAC,∠B= ∠C. 则AD ∥ BC 请说明理由.
∠B=∠C (已知), 1 ∴∠C= ∠EAC(等式性质). 2 ∵ AD平分 ∠EAC(已知). 1 ∴∠DAC= ∠EAC(角平分线的定义). 2 ∴∠DAC=∠C(等量代换). ∴ AD∥BC (内错角相等,两直线平行).
·
∠B=∠C (已知), 1 ∴∠B= ∠EAC(等式性质). 2 ∵ AD平分 ∠EAC(已知). 1 ∴∠DAE= ∠EAC(角平分线的定义). 2 ∴∠DAE=∠B(等量代换). ∴ AD∥BC (同位角相等,两直线平行).
这里是运 用了“同 位角相等, 两直线平 行”得到 了证实.
想一想
一题多解思维灵活
∠1= 95º
A
你选什么 ？
B C D
∠ACD
>
∠A (<、>)； ∠ACD
>
∠B (<、>)
结论：三角形的一个外角大于任何一个与它不相 邻的内角。
探索思考
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A
2 1 B C 能说出你的理由吗? 理由如下:∵∠A+∠B+∠2=1800(三角形内角和等于1800 ) ∠1+∠2=1800(平角的意义), ∴∠1= ∠A+∠B.(等量代换). ∴ ∠1>∠A,∠1>∠B(和大于部分).
115°
60°
65°
B
C
D
想一想：
通过上题的计算，你发现∠ACD， ∠ CAE 与三角形的内角之间有怎样的数量关系呢？ 请你试着用自己的语言说一说．
三角形的一个外角等于与它不相邻 的两个内角的和。
求下列各图中∠1的度数。
1
60° 30° 35°
1
120°
1
45°
50°
∠1= 90º
∠1= 85º
例题欣赏
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D 2
5
例2 已知:如图,在△ABC中, ∠1是它 的一个外角, E为边AC上一点,延长BC到 D,连接DE. 则 ∠1>∠2,请说明理由. 解:∵ ∠1是△ABC的一个外角(已知), E ∴ ∠1>∠3(三角形的一个外角大 4 于和与 它不相邻的任何一个内角). A ∵∠3是△CDE的一个外角 (外角定义).
3
C
1 B
F
∴∠3>∠2(三角形的一个外角大于 和与 它不相邻的任何一个内角).
∴ ∠1>∠2(不等式的性质).
把你所悟到的证 明一个真命题的方 法,步骤,书写格式 以及注意事项内化 为一种方法.
随堂练习
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我能行
已知:如图所示,在△ABC中,外角∠DCA=100°,∠A=45°. A 求:∠B和∠ACB的大小. 解:∵ ∠DCA是△ABC的一个外角(已知), ∠DCA=100°(已知), ∠A=45°(已知), B C D ∴ ∠B=100°-45°=55°.(三角形的一个外角等于和它 不相邻的两个内角的和). 又∵ ∠DCA+∠BCA=180°(平角意义). ∴ ∠ACB=80°(等式的性质).
试一试
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你认识 外角吗?
B
已知:如图所示. 求证:(1)∠BDC>∠A; (2) ∠BDC=∠A+∠B+∠C. 证明(1):∵ ∠BDC是△DCE的一个外角 C (外角的定义),
D
E
A
∴ ∠BDC>∠CED(三角形的一个外角大于和它不相邻 的任何一个外角).
∵ ∠DEC是△ABE的一个外角 (外角的定义),
∴ ∠DEC>∠A(三角形的一个外角大于和它不相邻的 任何一个外角). ∴ ∠BDC>∠A (不等式的性质).
试一试
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B 已知:如图所示. 求证:(1)∠BDC>∠A; D (2) ∠BDC=∠A+∠B+∠C. A 证明(2):∵ ∠BDC是△DCE的一个外角 E (外角的定义), C ∴ ∠BDC =∠C+∠CED(三角形的一个外角等于和它 不相邻的两个内角的和). ∵ ∠DEC是△ABE的一个外角 (外角的定义),
你认识 外角吗?
∴ ∠DEC=∠A+ ∠B(三角形的一个外角等于和它不相 邻的两个外角的和). ∴ ∠BDC=∠A+∠B+∠C (等式的性质).
小结
拓展
回味无穷
1.理解几何命题说理的方法,步骤,格式及注意事项.
2.三角形三个内角的和等于1800. △ABC中,∠A+∠B+∠C=1800.
3.三角形的外角 (1)三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. (2)三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角. 你准备如何提高证明命题的能力呢?
三种语言
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三角形的外角
三角形的一个外角等于与它不相邻的 两个内角的和. 三角形的一个外角大于与它不相邻的 任何一个内角.
A
△ABC中: ∠1=∠A+∠B; ∠1>∠A,∠1>∠B.
B
2 1 C
D
这个结论以后可以直接运用.
练一练 判断题：
1、三角形的外角和是指三角形所有外角的和。（ 2、三角形的外角和等于它内角和的2倍。（ ） ）
下课了!
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结束寄语
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严格性之于数学家,犹如道德之于人. 由“因”导“果”,执“果”索“因 ”是探索证明思路最基本的方法. 言必有据,因果对应.是初学证明者谨 记和遵循的原则.7.2.2 三角ຫໍສະໝຸດ 的外角回顾与思考☞
三角形的内角
三角形内角的和等于1800. △ABC中,∠A+∠B+∠C=1800. ∠A+∠B+∠C=1800的几种变形: ∠A=1800 –(∠B+∠C). ∠B=1800 –(∠A+∠C). ∠C=1800 –(∠A+∠B). ∠A+∠B=1800-∠C. B 0 ∠B+∠C=180 -∠A. ∠A+∠C=1800-∠B.
3、三角形的一个外角等于两个内角的和。（
）
4、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。 （ ） 5、三角形的一个外角大于任何一个内角。（ ） 6、三角形的一个内角小于任何一个与它不相邻的外角。 （ ）
练一练
B A
1
P
N
3
F
C
2 M E
D
∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝ 360° .
例题欣赏
E
例1 已知:如图6-13,在△ABC中,AD平分外角 ∠EAC,∠B= ∠C. 则AD∥BC.请说明理由. 解:由解法1可得: ∠DAC=∠C (已证),
B
A
· ·C
D
∵ ∠BAC+∠B+∠C =1800 (三角形内角和定理).
∴ ∠BAC+∠B+∠DAC =1800 (等量代换). ∴ AD∥BC (同旁内角互补,两直线平行). 这里是运用了“同旁内角互补,两 直线平行”得到了证实.
随堂练习
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你认识 外角吗?
A 已知:国旗上的正五角星形如图所示. 求:∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数. 分析:设法利用外角把这五个角“凑” H 2 1F B E 到一个三角形中,运用三角形内角和性 质来求解. 解:∵∠1是△BDF的一个外角(外角的意义), ∴ ∠1=∠B+∠D(三角形的一个外 D 角等于和它不相邻的两个内角的和). C 又∵ ∠2是△EHC的一个外角(外角的意义 ), ∴ ∠2=∠C+∠E(三角形的一个外角等于和它不相邻的 两个内角的和). 又∵∠A+∠1+∠2=180°(三角形内角和等于180º ). ∴ ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E =180°(等式性质).
特征: (1). 顶点在三角形的一个顶点上. (2). 一条边是三角形的一边.
(3). 另一条边是三角形某条边的延长线.
实际上三角形的一个外角, 就是三角形一个内角的邻补角
E A
125° 55°
看一看：
图中哪些角是三角形的内角， 哪些角是三角形的外角？
算一算：
若∠ A＝ 55º ， ∠ B=60º , 试求∠ ACB, ∠ACD, ∠CAE 的度数．并说出你的理由．
, 如图. △ABC 中,∠A=70º ∠B=60º ,∠ACD是△ABC的一个外角, 能由∠A , ∠B 求出∠ACD 吗?如果能, ∠ACD 与∠A , ∠B 有什么关系?你能 进一步说明∠ ACD与图中的其它角 有什么关系^? ∠ ACD =∠A+∠B. ∠ACD+∠2=1800 ; ∠ACD >∠A; D ∠ACD >∠B;
· ·
D
C B 解∵ ∠EAC=∠B+∠C (三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和),

例题是运 用了“内 错角相等, 两直线平 行”得到 了证实.

想一想
一题多解思维灵活
E
例1 已知:如图,在△ABC中,AD平分 外角∠EAC,∠B= ∠C. 则AD ∥ BC,请说明理由
A
·D
C B 解∵ ∠EAC=∠B+∠C (三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和),
A
C
这里的结论,以后可以直接运用.
1、三角形三个内角的和等于多少度？
2、在ABC中，
（1）∠C=90°，∠A=30 ° ，则∠B=
（2）∠A=50 ° ，∠B=∠C，则∠B= 3、在△ＡＢＣ中， ∠Ｂ＝ 60° ∠Ｃ＝ 80°
60° ；
65° . 40° ，
∠Ａ：∠Ｂ：∠Ｃ＝２：３：４则∠Ａ＝