人教A版(2019)必修第一册3.3 幂函数 学案
2019人教A版数学必修一 《幂函数》导学案
2019人教A 版数学必修一 《幂函数》导学案一、建构数学：1．幂函数的概念：一般地，我们把形如 的函数称为幂函数，其中 是自变量， 是常数；注意：幂函数与指数函数的区别． 2.幂函数的性质：（1）幂函数的图象都过点 ；（2）当0α>时，幂函数在[0,)+∞上 ；当0α<时，幂函数在(0,)+∞上二、数学运用：例1：讨论下列函数的定义域、奇偶性:（1）y x =； （2）2y x =； （3）3y x =； (4)12y x =； （5）1y x -=；（6）2y x -=.问题一：在同一坐标系内画出幂函数（１）、（２）、（3）、（4）的图象，观察图象 ，你能找出这些函数的共同特性吗？问题一：在同一坐标系内画出幂函数（5）、（6）的图象，观察图象 ，你能找出这两个函数的共同特性吗？例2：比较下列各组数中两个值的大小：（1）11225.23,5.24；（2）110.26,0.27--；（3） 112221.7,0.7,0.7。
反思：（1）怎样求出幂函数的定义域和判断幂函数的奇偶性？ （2）怎样画出幂函数的图象？①画出幂函数在第一象限的图象，其规律如下：②根据幂函数的奇偶性作出其它象限内的函数图象。
三、课堂练习：1.求下列幂函数的定义域，并判断它们的奇偶性.①4y x =; ②14y x =;③3y x -=; ④23y x =; ⑤4 5y x -=; ⑥32y x-=.2.画出函数13y x =的图象，并指出其单调区间.四：课堂小结第二十一课时 幂函数(学案)1、下列函数中是幂函数的是_________________________（1）2x y = （2）23x x y += （3）x y =（4）1x 3y 2+= （5）2x 2y = （6）0x y = 2、下列函数中定义域是(0,)+∞的是 A 2y x -=; B 32y x = ; C 12y x-=; D 13y x-=.3.函数2y x -=的单调递减区间为 。
幂函数 教学设计-高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
《幂函数》教学设计一、教学目标1、了解幂函数概念，借助对具体幂函数图像与性质的探索，体会研究一类函数的基本方法；2、通过作图、观察、归纳具体幂函数的性质，培养学生的抽象概括能力及识图能力，体会从特殊到一般、数形结合的数学思想方法，提高学生的数学观察和表达能力，发展数学抽象、直观想象、逻辑推理的核心素养；3、通过师生、生生间的交流、讨论，培养学生合作、交流、探究的意识品质，让学生在探索、解决问题中获得学习的成就感及自我价值的体现；二、教学重难点1、重点：探索5个具体幂函数的图像与性质，体会研究函数的一般思路；2、难点：将函数图像的感性认识上升到理性认识，归纳概括出共性；三、教学过程(一）新课导入播放一段函数图像舞蹈视频，激发学生热情，快速引入本节课题。
（二）自主学习，构建概念阅读教材P89页五个实际问题，若统一用x表示自变量，请你把它们写成y 关于x的函数解析式？教师活动：y=x,y=x2,y=x3,y=x 12,y=x−1思考问题：观察以上5个具体函数解析式，从形式上看有什么共同的结构特征？【归纳幂函数概念】：一般地，形如y=xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数问题1：在视频中涉及的幂函数有哪些？请你在列举出一些幂函数。
（三）自主探索，归纳性质为了深入了解幂函数，结合初中一次函数、二次函数的学习经历，你认为我们应该从哪些方面入手？思路1：借助图象---研究性质（顺应初中的研究思路）思路2：从解析式角度研究性质----作图象探究一：探索y=x,y=x2,y=x3,y=x 12,y=x−15个具体幂函数的图象与性质1、在平面直角坐标系中画出函数y=x3、y=x 12与的图像；2、看图像完成表格内容；3、小组之间交流讨论，整体分析这五个具体幂函数的图像的共性与差异；（1）图像均经过（1,1）；（2）图像均经过第一象限；（3）y=x，y=x−1，y=x3是奇函数，y=x2是偶函数；（4）在（0,+∞)上y=x，y=x2，y=x3，y=x 1 2单调递增，y=x−1单调递减探究二：根据5个具体幂函数的性质，你能猜想出一般幂函数具有哪些性质？猜想1：幂函数的图像均经过（1,1）；猜想2：幂函数的图像均经过第一象限；猜想3：当α是奇数时，幂函数是奇函数，当α是偶数时，幂函数是偶函数；猜想4：在（0,+∞)上，当α>0时，幂函数单调递增，当α<0时，幂函数单调递减；...师生活动：利用几何画板动态展示当指数变化时，观察幂函数图像的变化规律，直观验证猜想的正确性。
人教A版(2019)必修第一册3.3 幂函数 教案
【新教材】3.3幂函数（人教A 版）幂函数是在继一次函数、反比例函数、二次函数之后，又学习了单调性、最值、奇偶性的基础上，借助实例，总结出幂函数的概念，再借助图像研究幂函数的性质.课程目标1、理解幂函数的概念，会画幂函数y =x ，y =x 2，y =x 3，y =x －1，y =x 的图象； 2、结合这几个幂函数的图象，理解幂函数图象的变化情况和性质； 3、通过观察、总结幂函数的性质，培养学生概括抽象和识图能力． 数学学科素养1.数学抽象：用数学语言表示函数幂函数；2.逻辑推理：常见幂函数的性质；3.数学运算：利用幂函数的概念求参数；4.数据分析：比较幂函数大小；5.数学建模：在具体问题情境中，运用数形结合思想，利用幂函数性质、图像特点解决实际问题。
重点：常见幂函数的概念、图象和性质； 难点：幂函数的单调性及比较两个幂值的大小．教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
一、 情景导入学生阅读课本89页五个实例，求解析式？观察五个解析式有什么共同特征？问题1：如果张红购买了每千克1元的蔬菜w 千克，那么她需要付的钱数p =w 元，这里p 是w 的函数. 问题2：如果正方形的边长为a ，那么正方形的面积S =a 2，这里S 是a 的函数.21问题3：如果正方体的边长为a ，那么正方体的体积V =a 3，这里V 是a 的函数. 问题4：如果正方形场地的面积为S ，那么正方形的边长a =S ，这里a 是S 的函数.问题5：如果某人t s 内骑车行进了1 km ，那么他骑车的平均速度v =t －1km/s ，这里v 是t 的函数. 要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探. 二、 预习课本，引入新课阅读课本89-90页，思考并完成以下问题 1. 幂函数是如何定义的？ 2. 幂函数的解析式具有什么特点？3. 常见幂函数的图象是什么？它具有哪些性质？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
《幂函数》教学设计
普通高中教科书数学必修第一册（人教A版2019）3.3幂函数一、教学目标：（一）了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式.（二）通过具体实例，会画y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y=x12的图象，描述它们的变化规律，总结掌握幂函数的性质.（三）能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小.二、教学重难点重点：幂函数的概念、图象和性质．难点：利用幂函数的性质解决有关问题.三、教学用具：ppt、geogebra软件四、教学过程：（一）情境导入前面学习了函数的概念，利用函数概念和对函数的观察，研究了函数的一些性质.本节我们利用这些知识研究一类新的函数.先看几个实例. 1．如果张红以1元/kg的价格购买了某种蔬菜wkg，那么她需要支付 p=w元，这里p是w的函数;2．如果正方形的边长为x,那么正方形的面积y=x2,这里y是x的函数; 3．如果立方体的棱长为b，那么立方体的体积V=b3,这里V是b的函数; 4．如果一个正方形场地的面积为S，那么正方形场地的边长c=√S,这里c是S的函数;5．如果某人t s内骑车行进了1km，那么他骑车的平均速度v=1km/s,t 即v=t−1,这里v是t的函数.（二）探究活动1：请观察1—5中的函数解析式，讨论它们有何共同特征.1.p=w;2.y=x2;3.V=b3;,即v=t−1.4.c=√S，即c=s12;5.v=1t实际上，这些函数的解析式都有幂的形式，而且都是以幂的底数为自，-1；它们都是形如y=xα的变量；幂的指数都是常数，分别是1,2,3，12函数.【设计意图】将实际问题转化为数学问题，引导学生经历从实例中用函数思维方式抽象出幂函数的形式，进而引出新知识的定义和形式. （三）概念新知幂函数的定义：一般地，函数y=xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数.1.练习：（1）下列函数哪些是幂函数（）①y＝x3②y=(1)x③y＝4x2④y＝x5＋12⑤y＝(x－1)2 ⑥y＝x ⑦y=2x（2）若f(x)＝(m2－4m－4)x m是幂函数，则m＝_____.结论：底数只能是自变量x，指数只能是常数,幂的系数只能是1, 解析式只能是一项；判断一个函数是不是幂函数的依据是该函数是否为y=xα(α为常数)的形式；反过来，若一个函数为幂函数，那么它也一定具有这个形式．在我们解决某些问题的时候这个结论有奇效.【设计意图】通过引导学生从函数的思维方式归纳出幂函数的定义，然后再通过练习和思考，学生进一步理解幂函数的定义.（四）探究活动2（数到形），−1时的图象与性质.现对于幂函数，我们只研究α=1，2，3，12请同学们尝试在同一坐标系中画出这五个函数的大致图象.（取点要具有代表性）老师用geogebra软件进行展示【设计意图】通过课前预习的网络作业让学生先独立画出三个幂函数的图像，然后课堂上在同一直角坐标系中通过描点法画出另外两个幂函数，在画的过程中体会图像的变化趋势，掌握幂函数的特征.（五）探究活动3（形到数）结合幂函数图像和解析式，将你发现的结论填写在下表.【设计意图】由形到数，发现并归纳5个常见幂函数的图像性质. （六）性质探究探究活动4：观察α=1,2,3，1/2 ，-1时幂函数的图形，填写以下研究报告1.特殊幂函数的性质(1) y＝x，y＝x2，y＝x3，y=x12，y＝x－1主要分布在第象限，第象限无图像.(2)函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y=x12和y＝x－1的图像都通过点；(3)函数y＝x，y＝x3，y＝x－1是，函数y＝x2是；(4)在区间(0,＋∞)上,函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y=x12,函数y＝x－1；（5）在第一象限内，函数y＝x－1的图像向上与y轴，向右与x轴.2.一般幂函数的性质：(1)第一象限均有图像，第四象限均无图像(2)幂函数图像都过点(1,1)；α>0，函数过（0,0）(3)α为偶数时，幂函数是偶函数;α为奇数时，幂函数是奇函数.(4)当α>0时,幂函数在区间(0，+∞)上单调递增；当α<0时，幂函数在区间(0，＋∞)上单调递减（5）一般地，幂函数的图像在直线x=1的右侧，指数大的在上，指数小的在下（指大图高），在y轴与直线x=1之间正好相反（指大图低）.【设计意图】引导学生通过观察函数的图像，分析归纳出五个函数图像各自性质的基础上，再归纳幂函数的共性和差异性，进而得出幂函数的基本性质.（七）应用提升例1．在下列四个图形中，y ＝x－12的大致图像是( )例2 比较下列各组数的大小.(1) (2) （3）（八）当堂检测1.下列函数是幂函数的是（ ）A .y =5x 2B .y =x 5−1 C .y =x 8D.y =（x +1）22.若 f (x )＝(m 2－2m －2)x m是幂函数，且在第一象限为增函数，则m ＝（ ）A .−1 B. 3 C. -1或3 D.13.已知幂函数y =f(x)的图像经过点（4， 12 ），则 f (2)=（ ）A .14B.4C.√22D.√24.下列正确的是( )A.(1.5)3<(1.4)3B. (0.1)0.3>(0.2)0.3C. (11.5)−3<(11.6)−3D. (0.6)3<(0.6)0.5111.5 1.4--，1.23，1.330.53 ，0.50.55.若（3-2m）12＞（m+1）12，求实数m的取值范围.五．归纳总结1.幂函数概念：一般地，函数y=xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．2.幂函数性质：(1)幂函数图象都过点(1,1).(2)α为偶数时，幂函数是偶函数。
幂函数(单元课时教学设计)-高中数学人教A版2019必修第一册
《幂函数》单元课时教学设计一、内容和及其解析（一）内容幂函数的定义，y=x,y=x2,y=x3,y=x12,y=x−1五个幂函数的图象与性质.（二）内容解析1.内容的本质：幂函数是一类重要的基本初等函数，很多函数都是由幂函数及其他基本的初等函数经过运算、复合得到的.幂函数是学生进入高中后学习的第一类具体的基本初等函数.学生已学习过正比例函数（y=x）、反比例函数（y= x−1）、二次函数（y=x2）等都是学生很熟悉的.因此幂函数的学习是在学生已有的函数学习经验上的拓展，主要是在归纳五个具体函数共性基础上的数学抽象.2.蕴含的思想和方法：通过具体实例抽象出幂函数的定义体现了抽象与概括的思想；五个具体函数性质的研究渗透着分类讨论和数形结合思想.3.知识的上下位关系：“幂函数”的内容安排在“函数的概念与性质”一章的第3节，是在学习完一般函数的概念以及函数的基本性质后，选取一类简单的基本初等函数进行研究，使学生明确一类具体函数的研究内容（背景——概念——表示——图象和性质——应用），并体会如何在一般函数的概念及基本性质的指导下展开研究.因此幂函数的学习即是对前面所学内容的巩固，也为后面指数函数、对数函数的学习打下基础.4.育人价值：借助对一类函数的研究，使学生理解研究一类函数的内容、基本思路（定义、表示——图象和性质——应用）和方法.围绕函数概念这个核心，从相互联系的观点出发，利用函数与数、代数式、方程、不等式等之间的联系，通过类比、归纳和概括，引导学生从不同角度理解函数概念，发展学生的逻辑推理、数学抽象素养.5.教学重点：幂函数的概念、图象与性质.二、目标和目标解析（一）目标,y=x2,y=√x,y=x3的图象，理解它们的通过具体实例，结合y=x,y=1x变化规律，了解幂函数.（二）目标解析达成上述目标的标志是：能从自变量、函数值及函数解析式的结构等角度归纳共性，抽象出幂函数的一般形式；会利用幂函数的定义识别给出的函数是否为幂函数；会画出五个幂函数的草图，并利用图象得到它们的定义域、值域、单调性、奇偶性等性质；能利用幂函数的性质解决一些简单的问题，如比较大小等.结合对幂函数的研究，体会从“定义、表示——图象与性质——应用”的研究具体函数的方法.三、教学问题诊断分析教学问题1：学生在初中已经学习过一些具体的函数，但缺乏研究一类函数的内容和方法的认识。
2020-2021高中数学人教版第一册学案：3.3 幂函数含解析
2020-2021学年高中数学新教材人教A版必修第一册学案：3.3 幂函数含解析3。
3 幂函数【素养目标】1．通过具体实例，理解幂的概念．（数学抽象)2．会画简单幂函数的图象，并能根据图象得出这些函数的性质．(直观想象)3．理解常见幂函数的基本性质．(逻辑推理）【学法解读】以五种常见的幂函数为载体，学生应自己动手在同一个平面直角坐标系下画出这五种幂函数的图象,通过观察比较研究其图象和性质,进而研究一般幂函数的图象和性质．必备知识·探新知基础知识知识点1幂函数的概念函数__y＝xα__叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．思考1:幂函数的解析式有什么特征？提示:①系数为1；②底数x为自变量;③幂指数为常数．知识点2幂函数的图象及性质(1)五个幂函数的图象：(2）幂函数的性质：幂函数y＝x y＝x2y＝x3y＝x错误!y＝x－1定义域R R R[0,＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞）值域R［0，＋∞）R ［0，＋∞）｛y｜y∈R且y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性__增__x∈(0,＋∞）增;x∈(－∞,0) 减__增____增__x∈(0，＋∞）减;x∈(－∞，0)减公共点都经过点（1,1）α同特征？提示:图象都是从左向右逐渐上升．基础自测1．下列函数为幂函数的是(D）A．y＝2x4B．y＝2x3－1C．y＝错误!D．y＝x2[解析]y＝2x4中，x4的系数为2,故A不是幂函数；y＝2x3－1不是xα的形式,故B不是幂函数；y＝错误!＝2x－1，x－1的系数为2，故C不是幂函数，故只有D是幂函数．2．(2019·安徽太和中学高一期中测试)已知幂函数f（x）的图象过点（2,22)，则f（4)的值为(B)A．4 B．8C．2错误!D．错误![解析］设f(x）＝xα，∴2错误!＝2α，∴α＝错误!。
∴f（x)＝x错误!.∴f(4)＝4错误!＝（22）错误!＝23＝8.3．若f(x)＝mxα＋(2n－4)是幂函数,则m＋n等于（C)A．1 B．2C．3 D．4[解析]由题意，得错误!，∴错误!∴m＋n＝3。
人教A版(2019)高中数学必修第一册3.3幂函数教案
3.3 幂函数
教学目标：
1.知识与技能：了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式；利用动态几何画板（GeoGebra）,从五个幂函数图形出发，掌握它们的性质；利用幂函数的性质，会比较两个指数幂的大小。
2.过程与方法：通过观察、总结幂函数的性质，培养学生概括抽象和识图能力；是学生进一步体会数形结合的思想。
3.情感态度与价值观：通过生活实例引出幂函数的概念，使学生体会到数学在实际生活中的应用，激发学生的学习兴趣；利用信息技术，了解幂函数的变化规律，使学生认识到信息技术在数学认知过程中的作用，从而激发学生的学习欲望。
教学重点：常见幂函数的图象及性质。
教学难点：幂函数综合性质的考查。
教学过程：
数形结合认知升级总结展示
性质展示
画图，展示导
学案完成情况
老师展示批
改成果，引导
学生指出错
误，共同完善
成果。
展示成果课件展示
性质展示
几何画板。
2019-2020学年高一数学人教A版必修第一册教案：3.3 幂函数
第三章函数的概念与性质3.3 幂函数教学设计一、教学目标1.能正确区分幂函数与指数函数通过具体实例了解幂函数的图象和性质，并能进行简单的应用2.学会以y = x ,y =,y =,y =,y=x-1五个常见的幂函数为载体，研究一般幂函数的图象和性质3.会运用幂函数的图象和性质比较实数的大小，体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性二、教学重难点1.教学重点从y = x ,y =,y =,y =,y=x-1五个具体的幂函数中认识幂函数的概念和性质2.教学难点从y = x ,y =,y =,y =,y=x-1五个具体的幂函数中认识幂函数的概念和性质三、教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图1.新课导入前面学习了函数的概念，利用函数概念和对函数图象的观察，研究了函数的一些性质。
本节课就用这些知识研究一类新的函数。
阅读课本P89的实例(1)~(5)，思考下列问题：1．它们的对应法则分别是什么？2．以上问题中的函数有什么共同特征？1．（1）乘以1；（2）求平方；（3）求立方；（4）开方；（5）取倒数（或求－1次方）．2．上述问题中涉及到的函数，都是形如的函数，其中x是自变量，是常数．生：独立思考完成实例．师：引导学生分析归纳概括得出结论．师生：共同分析这种新函数的特征．通过数学知识的内部发现问题,锻炼学生归纳概括能力。
2.探索新知定义：一般地，函数叫做幂函数。
其中x是自变量，是常数。
思考一下：幂函数有哪些特征呢？1.的系数为1.2.的底数是自变量3.的指数是常数对于幂函数，我们只研究=1，2，3，，-1时的图象与性质。
请你试着在坐标系中画出函数y = x ,y =,y =,y =,y=x-1的图象。
观察图象，总结填写下表这些函数图象有公共点吗？通过图表我们得到：（1）函数y = x ,y =,y =,y =,y=x-1的图象都通过点(1,1)生：思考归纳幂函数特征。
生：利用所学知识和方法尝试作出五个具体幂函数的图象，观察所图象，体会幂函数的变化规律．师：引导学生观察图象，归纳概括幂函数的的性质及图象变化规律．生：观察图象，分组讨论，探究幂函数的性质和图象的变化规律，并展示各自的结论进行交流评析，并填表生：图象都过点（1，1）培养学生自主学习能力。
高一数学人教A版必修第一册教案3.3幂函数(1)
第三章函数的概念与性质3.4 函数的应用（一）教学设计一、教学目标1.会用一次函数、二次函数、幂函数解决实际问题。
2.体会利用函数模型解决实际问题的过程与方法。
二、教学重难点1.教学重点函数模型的应用2.教学难点分段函数，模型的应用三、教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图我们学习过的一次函数、二次函数、幂函数等都与现实世界有紧密联系。
本节课我们就通过一些实例来感受他们的广泛应用。
阅读课本P93例1，总结归纳解决实际应用问题的步骤。
解决实际应用问题的四大步骤：(1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型;(2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识,建立相应的数学模型;(3)求模:求解数学模型,得出数学结论;(4)还原:将数学问题还原为实际问题阅读课本P94例2，体会分段函数在实际问题中的应用。
建立函数模型的注意事项：(1)通过实际问题抽象函数模型时,有时需要用待定系数法、归纳法等方法确定函数关系式。
(2)确定的函数关系式不一定符合实际情况,还需要进行检验。
(3)要熟知各类函数模型的增长或减少的变化情况,如一次函数模型是恒增或恒减的,二次函数模型是先增后减或先减后增等。
学生根据例题归纳总结，互相交流。
锻炼学生自我总结能力，从实际问题中体会数学知识的应用性。
1.若用模型y=ax2描述汽车紧急刹车后滑行的距离y(单位:m)与刹车时的速率x(单位:km/h)的关系,而某种型号的汽车在速率为60km/h时,紧急刹车后滑行的距离为20m在限速为100km/h的高速公路上,一辆这种型号的车紧急刹车后滑行的距离为50m,那么这辆车是否超学生解答：由20=602a 得a=由50=x2得x=30因为30<100,所速行驶?司要为客户设计一幅周长为l (单位:m)的矩形广告牌,如何设计这个广告牌以使广告牌的面积最大?3.某公司生产某种产品的固定成本为150万元,而每件产品的可变成本为2500元,每件产品的售价为3500元.若该公司所生产的产品全部销售出去,则(1)设总成本为y1(单位:万元),单位成本为y2(单:万元),销售总收入为y3单位:万元),总利润为y4(单位:万元),分别求出它们关于总产量x(单位:件)的函数解析式;(2)根据所求函数的图象,对这个公司的经济效益做出简单分析解:(1)由题意,得y1=150+0.25x,y2=x,y3=035xy4=0.35x-(150+0.25x)=0.1x-150. (2)画出y4由图象可知,当x<1500时,该公司亏损; 当x=1500时,公司不赔不赚;当x>1500时,公司赢利。
3.3幂函数-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第一册讲义
新教材必修第一册3.3：幂函数课标解读：1. 幂函数的概念.（了解）2. 幂函数的图像.（理解）3. 幂函数的性质.（理解） 学习指导：1.5个具体幂函数中，x y =（正比例函数），2x y =（二次函数），1-x y =（反比例函数）是初中所学知识，很容易画出图像，画3x y =与21x y =的图像可利用描点法作图，取点时注意点的代表性.2.先准确把握幂函数的图像在第一象限的特征（与幂指数α的关系），再通过研究幂函数的定义域，利用对称性即可作出幂函数的图像，进而研究性质，这时学习本节的有效途径。
知识导图：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧奇偶性单调性值域定义域幂函数的性质幂函数的图像幂函数的概念幂函数知识点1：幂函数的概念 1.幂函数的定义一般地，函数αx y =叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数. 2.幂函数的特征 （1）αx 的系数为1； （2）αx 的底数是自变量；（3）αx 的指数为常数.只有同时满足这三个条件的函数才是幂函数，对于形如6,2,)2(+===αααx y x y x y 等的函数都不是幂函数. 例1-1：在函数1,2,3,1224=+===y x x y x y xy 中，幂函数的个数为（ ）. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 答案：B知识点2：幂函数的图像与性质 1.五个具体幂函数的图像当1213,2,1-=，，α时，我们得到五个幂函数）（）即（x x x y x x x y x y x y x y 1,,,,11212132======--，在同一平面直角坐标系中，通过描点得到五个幂函数的图像.如图所示：2.五个具体幂函数的性质观察图像，可以得到五个幂函数的性质如下：函数 x y =2x y =3x y =21x y =1-x y =定义域 R RR ),0[+∞ ),0()0,(+∞⋃-∞值域 R ),0[+∞R ),0[+∞ ),0()0,(+∞⋃-∞奇偶性奇函数偶函数奇函数既不是奇函数也不是偶函数奇函数例2-2：已知}1,21,3,2,1{-∈a ，则使函数αx y =的定义域为R 且函数αx y =为奇函数的所有α的值为（ ）A. -1,3B. -1,1C. 1,3D. -1,1,3 答案：C例2-3：下列函数是偶函数，且在]0,(-∞上单调递增的是（ ） A.1-=x y B.2x y = C.3x y = D. ⎩⎨⎧<≥-=0,0,x x x x y 答案：D重难拓展知识点3：一般幂函数的图像和性质 1.幂函数的图像观察五个具体幂函数在第一象限内的图像可知，幂函数αx y =的图像在第一象限内具有如下特征：在平面直角坐标系中，直线x y y ==,1将直线1=x 的右侧部分分为（I ）（II ）（III ）三个区域，如图所示.⇔+∞∈),1(ααx y =的图像经过区域（I ）；⇔∈)1,0(ααx y =的图像经过区域（II ）；⇔-∞∈)0,(ααx y =的图像经过区域（III ）.在直线1=x 的右侧，从x 轴向上，幂函数αx y =的指数α由小到大递增，即“指大图高”“指小图低”利用幂函数在第一象限内的图像特征，可以做出幂函数的图像，其步骤一般是：先利用上述特征，由给定的幂函数，做出幂函数在第一象限内的图像；再研究其定义域，看当0≤x 时函数是否有意义；若函数在)0,(-∞上有意义，则研究函数的奇偶性，利用奇函数（或偶函数）图像的对称性，作出y 轴左侧的图像，从而得到幂函数的图像。
人教版(新教材)高中数学必修1(第一册)学案：3.3 幂函数
3．3 幂函数学习目标 1.了解幂函数的概念.2.掌握y ＝x α⎝⎛⎭⎫α＝－1，12，1，2，3的图象与性质.3.理解和掌握幂函数在第一象限的分类特征，能运用数形结合的方法处理幂函数的有关问题．知识点一 幂函数的概念一般地，函数y ＝x α叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数． 知识点二 五个幂函数的图象与性质1．在同一平面直角坐标系内函数(1)y ＝x ；(2)y ＝12x ；(3)y ＝x 2；(4)y ＝x －1；(5)y ＝x 3的图象如图．2．五个幂函数的性质y ＝x y ＝x 2 y ＝x 3 12y x =y ＝x －1 定义域RRR『0，＋∞) {x |x ≠0}值域 R 『0，＋∞)R 『0，＋∞) {y |y ≠0} 奇偶性 奇 偶奇 非奇非偶 奇单调性增在『0，＋∞)上增， 在(－∞，0』上减增增在(0，＋∞)上减， 在(－∞，0)上减知识点三 一般幂函数的图象特征1．所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)．2．当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间『0，＋∞)上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸． 3．当α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数．4．幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y ＝x 对称．5．在第一象限，作直线x ＝a (a >1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列． 预习小测 自我检验1．下列函数中不是幂函数的是________． ①y ＝x 0； ②y ＝x 3； ③y ＝2x ； ④y ＝x －1.『答 案』 ③2．设α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，1，12，3，则使函数y ＝x α的定义域为R 且为奇函数的所有α的值为________．『答 案』 1,3『解 析』 当幂函数为奇函数时，α＝－1,1,3， 又函数的定义域为R ， 所以α≠－1，所以α＝1,3.3．当x ∈(0,1)时，x 2________x 3.(填“>”“＝”或“<”) 『答 案』 >4．已知幂函数f (x )＝x α图象过点⎝⎛⎭⎫2，22，则f (4)＝________. 『答 案』 12一、幂函数的概念 例1 (1)下列函数：①y ＝x 3；②y ＝⎝⎛⎭⎫12x；③y ＝4x 2；④y ＝x 5＋1；⑤y ＝(x －1)2；⑥y ＝x ；⑦y ＝a x (a >1)．其中幂函数的个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4 『答 案』 B『解 析』 幂函数有①⑥两个． (2)已知222()2223m y m m x n －＝＋－＋－是幂函数，求m ，n 的值．考点 幂函数的概念题点 由幂函数定义求参数值解 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －2＝1，2n －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝－3，n ＝32或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝32.所以m ＝－3或1，n ＝32.反思感悟 判断函数为幂函数的方法 (1)自变量x 前的系数为1. (2)底数为自变量x . (3)指数为常数．跟踪训练1 (1)已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝⎛⎭⎫12，22，则k ＋α等于( )A.12B ．1C.32D ．2 『答 案』 C『解 析』 由幂函数的定义知k ＝1. 又f ⎝⎛⎭⎫12＝22，所以⎝⎛⎭⎫12α＝22， 解得α＝12，从而k ＋α＝32.(2)已知f (x )＝ax 2a ＋1－b ＋1是幂函数，则a ＋b 等于( ) A ．2B ．1C.12D ．0『答 案』 A『解 析』 因为f (x )＝ax 2a ＋1－b ＋1是幂函数， 所以a ＝1，－b ＋1＝0， 即a ＝1，b ＝1，则a ＋b ＝2. 二、幂函数的图象及应用例2 (1)已知幂函数f (x )＝x α的图象过点P ⎝⎛⎭⎫2，14，试画出f (x )的图象并指出该函数的定义域与单调区间．解 因为f (x )＝x α的图象过点P ⎝⎛⎭⎫2，14， 所以f (2)＝14，即2α＝14，得α＝－2，即f (x )＝x －2， f (x )的图象如图所示，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，单调减区间为(0，＋∞)，单调增区间为(－∞，0)． (2)下列关于函数y ＝x α与y ＝αx ⎝⎛⎭⎫α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，2，3的图象正确的是( )『答 案』 C反思感悟 (1)幂函数图象的画法①确定幂函数在第一象限内的图象：先根据α的取值，确定幂函数y ＝x α在第一象限内的图象．②确定幂函数在其他象限内的图象：根据幂函数的定义域及奇偶性确定幂函数f (x )在其他象限内的图象．(2)解决与幂函数有关的综合性问题的方法首先要考虑幂函数的概念，对于幂函数y ＝x α(α∈R )，由于α的取值不同，所以相应幂函数的单调性和奇偶性也不同．同时，注意分类讨论思想的应用．跟踪训练2 (1)如图所示，C 1，C 2，C 3为幂函数y ＝x α在第一象限内的图象，则『解 析』式中的指数α依次可以取( )A.43，－2，34 B ．－2，34，43C ．－2，43，34D.34，43，－2 『答 案』 C(2)在同一坐标系内，函数y ＝x a (a ≠0)和y ＝ax －1a的图象可能是( )考点 幂函数的图象题点 幂函数有关的知图选式问题 『答 案』 C『解 析』 选项A 中，幂函数的指数a <0，则直线y ＝ax －1a 应为减函数，A 错误；选项B 中，幂函数的指数a >1，则直线y ＝ax －1a应为增函数，B 错误；选项D 中，幂函数的指数a <0，则－1a >0，直线y ＝ax －1a 在y 轴上的截距为正，D 错误．三、比较幂值的大小例3 比较下列各组数的大小． (1)⎝⎛⎭⎫250.5与⎝⎛⎭⎫130.5； (2)⎝⎛⎭⎫－23－1与⎝⎛⎭⎫－35－1； (3)1332⎛⎫⎪⎝⎭与1413⎛⎫⎪⎝⎭. 解 (1)因为幂函数y ＝x 0.5在(0，＋∞)上是单调递增的， 又25>13，所以⎝⎛⎭⎫250.5>⎝⎛⎭⎫130.5.(2)因为幂函数y ＝x －1在(－∞，0)上是单调递减的， 又－23<－35，所以⎝⎛⎭⎫－23－1>⎝⎛⎭⎫－35－1. (3)因为13y x =在(0，＋∞)上是单调递增的，所以1133321⎛⎫⎪>⎝⎭＝1，又14y x =在(0，＋∞)上是单调递增的，所以1144131⎛⎫ ⎪<⎝⎭＝1，所以13143213⎛⎫>⎛⎫⎝⎪⎪⎭⎝⎭. 反思感悟 此类题在构建函数模型时要注意幂函数的特点：指数不变．比较大小的问题主要是利用函数的单调性，特别是要善于应用“搭桥”法进行分组，常数0和1是常用的中间量． 跟踪训练3 比较下列各组数的大小： (1)523-和523.1-；(2)254.1，233.8-和()351.9-. 解 (1)函数y ＝52x -在(0，＋∞)上为减函数，又3<3.1，所以525233.1-->.(2)5252114.1>＝；2323011;3.8--<<=()351.90,-<所以()2235353.81.1.9 4.-<-<幂函数性质的应用典例 已知幂函数y ＝x 3m －9 (m ∈N *)的图象关于y 轴对称且在(0，＋∞)上单调递减，求满足()()33312m m a a --<-+的a 的取值范围．考点 幂函数的性质题点 利用幂函数的性质解不等式解 因为函数在(0，＋∞)上单调递减，所以3m －9<0，解得m <3.又因为m ∈N *，所以m ＝1,2. 因为函数的图象关于y 轴对称， 所以3m －9为偶数，故m ＝1. 则原不等式可化为()()113332.1a a ---+<因为13y x-=在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减，所以a ＋1>3－2a >0或3－2a <a ＋1<0或a ＋1<0<3－2a ， 解得23<a <32或a <－1.故a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪a <－1或23<a <32. 『素养提升』 通过具体事例抽象出幂函数的概念和性质，并应用单调性求解，所以，本典例体现了数学中数学抽象与直观想象的核心素养．1．以下结论正确的是( )A ．当α＝0时，函数y ＝x α的图象是一条直线B ．幂函数的图象都经过(0,0)，(1,1)两点C ．若幂函数y ＝x α的图象关于原点对称，则y ＝x α在定义域内y 随x 的增大而增大D ．幂函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限 考点 幂函数的综合问题 题点 幂函数的综合问题 『答 案』 D2．下列不等式成立的是( ) A.12121312--⎛⎫> ⎪⎝⎭⎛⎫⎪⎝⎭B.23233423⎛⎫<⎛⎫⎝⎪⎪⎭⎝⎭ C.⎝⎛⎭⎫232>⎝⎛⎭⎫322 D ．7878819-⎛⎫< ⎪⎝⎭『答 案』 A 3．函数y ＝x－3在区间『－4，－2』上的最小值是________．『答 案』 －18『解 析』 因为函数y ＝x －3＝1x 3在(－∞，0)上单调递减，所以当x ＝－2时，y min ＝(－2)－3＝1(－2)3＝－18.4．若幂函数()22231()m m f x m m x －－＝－－在(0，＋∞)上是减函数，则实数m ＝________.『答 案』 2『解 析』 令m 2－m －1＝1，得m ＝2或m ＝－1. 当m ＝2时，m 2－2m －3＝－3符合要求． 当m ＝－1时，m 2－2m －3＝0不符合要求． 故m ＝2.5．先分析函数23y x =的性质，再画出其图象． 解 2323y x x ==，定义域为R ，在『0，＋∞)上是上凸的增函数，且是偶函数，故其图象如下：1．知识清单： (1)幂函数的定义． (2)几个常见幂函数的图象． (3)幂函数的性质． 2．方法归纳：(1)运用待定系数法求幂函数的『解 析』式．(2)根据幂函数的图象研究幂函数的性质即数形结合思想．3．常见误区：对幂函数形式的判断易出错，只有形如y ＝x α(α为常数)为幂函数，其它形式都不是幂函数．。
2019-2020新课程同步人教A版高中数学必修第一册新学案课件：3.3 幂 函 数
2
解：(1)f(x)＝x 3
＝3
x2，定义域为实数集
R
.
(2)因为 f(－x)＝3 －x2＝3 x2＝f(x)，且定义域关于坐标原点
2
对称，所以函数 f(x)＝x 3 是偶函数．
(3)因为函数为偶函数，则作出它在第一象限
的图象关于 y 轴的对称图象，即得函数 f(x)
2
＝x 3 的图象，如图所示．
2
，y＝x-
2 3
为(－∞，0)上的增函数，从而
B
成立，D 不成立．
答案：D
第二十页，编辑于星期日：点 二十九分。
2．比较下列各题中两个幂的值的大小：
(1)1.1
-
1 2
，0.9
-
1 2
；
(2)3
-
3 4
，12
3 4
.
解：(1)因为
y＝x
-
1 2
为(0，＋∞)上的减函数，又
1.1＞0.9，
所以
-1
1.1 2
数为
()
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：因为 y＝x12＝x－2，所以是幂函数；y＝2x3 由于出现
系数 2，因此不是幂函数；y＝x2＋x 是两项和的形式，不
是幂函数；y＝1＝x0(x≠0)，可以看出，常数函数 y＝1 的
图象比幂函数 y＝x0 的图象多了一个点(0,1)，所以常数函
数 y＝1 不是幂函数． 答案：B
的形式相符合．在第一象限内，x＝1 的右侧部分的图象，
图象由下至上，幂指数增大，所以 a＞b＞c＞d.故选 B.
答案：B
第十七页，编辑于星期日：点 二十九分。
题型三 利用幂函数性质比较大小
高一数学必修第一册2019(A版)_《幂函数》教学设计二
《幂函数》教学设计教学设计【活动1】出示教材中的5个具体实例，思考问题，概括出幂函数的定义. 1.它们的对应关系分别是什么？提示：分别为：乘1；求平方；求立方；求算术平方根；求-1次幂. 2.以上问题中的函数有什么共同特征？提示：上面问题涉及的函数，均是以自变量为底数的幂的形式，幂的指数都是常数，自变量前的系数都是1，幂前的系数也为1.综上，形如：y x α=，其中x 是自变量，α是常数.设计意图：引导学生从具体的实例中进行总结，提高学生的参与程度，符合学生的认知规律.提高学生观察、概括归纳能力，较自然地引出幂函数的一般特征，提升数学抽象素养.【师生互动】教师提问题，让学生讨论、总结.小组展示成果，教师点评，并板书幂函数的定义.【活动2】定义判断，概念深化.设计意图：加深学生对幂函数定义的理解.【师生互动】师：判断下列函数是否是幂函数：（1）4y x =；（2）2y x -=；（3）2xy =；（4）13y x =；（5）22y x =；（6）31y x =+.生：（1）是；（2）是；（3）不是；（4）是；（5）不是；（6）不是. 【活动3】幂函数性质的探究. 1.5个幂函数的图象：2.教材第90页表3.3-1：3.幂函数的性质：（1）所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都过点(1,1).（2）0α>时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0,)+∞上是增函数（从左往右看，函数图象逐渐上升）.特别地，当1α>时，(0,1)x∈，y xα=的图象都在y x=图象的下方，形状向下凸.α越大，下凸的程度越大（视学生情况进行说明）.当01α<<时，(0,1)x∈，y xα=的图象都在y x=的图象上方，形状向上凸，α越小，上凸的程度越大（视学生情况进行说明）.（3）0α<时，幂函数的图象在区间(0,)+∞上是减函数.在第一象限内，当x向原点靠近时，图象在y轴的右方无限逼近y轴正半轴，当x慢慢地变大时，图象在x轴上方并无限逼近x轴的正半轴.【师生互动】教师让学生在同一坐标系中画5个幂函数的图象；利用计算机辅助画图并展示，让学生对比找出自己所作图象的不足；让学生概括幂函数的性质.学生画图象；对照教师所作图象找不足；探究幂函数的性质并完成教材第90页表3.3-1.【活动4】新知应用.例1 证明幂函数()f x=.证明：函数的定义域是[0,)+∞.1x∀，2[0,)x∈+∞，且12x x<，有()()12f x f x-===因为120x x -<0>，所以12(())f x f x <，即幂函数()f x =[0,)+∞上是增函数.小结：以上是用作差法证明函数的单调性，还可以用作商法证明函数的单调性.例2 利用幂函数的性质，比较下列各组中两个值的大小：（1 （2）3(0.9)-，3(0.8)-；（3）13.2-，1π-.分析：分别考查幂函数12y x =，3y x =，1y x -=，利用它们的单调性即可比较大小.解：（1）因为幂函数12()f x x ==在[0,)+∞上是增函数，且0 2.68 2.7<<，所以(2.68)(2.7)f f <（2）因为幂函数3()g x x =在(,)-∞+∞上是增函数，且0.90.8-<-， 所以(0.9)(0.8)g g -<-，即33(0.9)(0.8)-<-；（3）因为幂函数11()h x x x-==在(,0)-∞上是减函数，且 3.20π-<-<，所以()( 3.2)h h π-<-，即113.2π<--. 课堂练习1.下列函数中，是幂函数的是（ ） A.12y x =- B.23y x = C.1y x=D.2x y = 2.幂函数28()()m m f x ax m -=∈Z 的图象与x 轴和y 轴均无交点，并且图象关于原点对称，求a 和m .课堂练习答案： 1.C2.1a =，1m =，3，5，7.【师生互动】教师引导学生寻找例题的解题思路，并让学生板演，其他学生在草稿纸上完成.教师巡视学生答题情况，并适时给予指导和点评.课堂练习部分采用学生抢答的方式进行，教师记录答案，学生进行补充，教师最后点评.【活动5】小结及布置作业.【师生互动】教师让学生充分讨论并发表自己的意见，师生共同交流、总结： （1）我们今天学习了哪一类基本函数，它的定义是怎样描述的？（2）你能根据函数图象说出有关幂函数的性质吗？（3）作业：教材第91页练习第1，2，3题.板书设计3.3 幂函数1.幂函数的定义=叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数一般地，函数y xα2.幂函数的图象3.幂函数的性质4.例题例1例2课堂练习5.小结6.作业教学研讨学生在理解幂函数的呈现形式时容易出错.本案例在总结、归纳幂函数的定义时较清晰、具体地指出了幂函数的特点，同时还安排了一些习题来加深学生对幂函数定义和呈现形式的理解，较好地突破了易错点和重点.案例中习题涉及对幂函数的性质（单调性）和概念的考查，但没有涉及解析式和图象，比如已知幂函数过某点求其解析式、分段函数与幂函数的综合题等.这些问题教师可视情况酌情补充.。
幂函数教学设计-高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
教材：人教 A 版高中数学必修第一册课题：3.3幂函数一、课时教学内容幂函数：掌握幂函数定义，探究五个特殊的幂函数图象与性质。
内容解析：幂函数是一类重要的基本初等函数，很多函数都是由幂函数及其它基本的初等函数经过 运算、复合得到的。
幂函数是学生进入高中后学习的第一类具体的基本初等函数。
学生已经 学习正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数。
y = x - 1，y = x ，y = x2等都是学生很熟悉的。
因此，幂函数的学习是在学生已有的函数学习经验上的拓展。
主要是在归纳五 个具体函数共性基础上的数学抽象。
幂函数的内容安排在函数的概念与性质一章的第三节，是在学习完一般函数的概念，以 及函数的基本性质后。
选取一类简单的基本初等函数进行研究。
使学生明确一类具体函数的 研究内容（定义、表示-图象与性质-应用），并体会如何在一般函数的概念及基本性质的指 导下展开研究。
因此幂函数的学习。
既是对前面所学内容的巩固。
也是为后面指数函数、对 数函数的学习打下基础。
二、课时教学目标1y = x , y = x 2, y = x3, y = x 2, y = x- 1，五1. 通过具体实例，了解幂函数的定义，会画 个幂函数的图象，理解它们的性质。
达到数学抽象核心素养学业质量水平二的层次。
2. 通过对幂函数的研究，体会研究一类函数的基本内容与方法。
达到数学建模核心素 养学业质量水平三的层次。
三、教学重点与难点1. 教学重点：对幂函数概念的掌握、对幂函数图象与性质的探究。
2. 教学难点：观察五个幂函数的解析式的共性，抽象幂函数概念；观察函数图象的内容 和方法。
四、教学方法与手段1．采用师生互动的方式，在教师的引导下，学生通过思考、交流、讨论，理解幂函数 的定义和性质，体验自主探索、合作交流的学习方式，充分发挥学生的积极性与主动性.2．利用智慧课堂教学，借助数学软件 GeoGebra 教学。
五、教学过程设计（一）单元教学（预计2分钟）函数函数的概念及其表示函数的基本性质？函数的概念函数的表示单调性最值奇偶性【设计意图：通过复习回顾前面所学内容，构建知识体系，为本节课从原有知识体系中生长出新的知识做铺垫。
人教A版高中数学第一册(必修1)学案3：3.3 幂函数
3.3 幂函数新知初探1．幂函数的概念一般地，函数，其中x 是自变量， 2．幂函数的图象在同一平面直角坐标系中，画出幂函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x12，y ＝x －1的图象如图所示：3．幂函数的性质初试身手1．下列函数中不是幂函数的是()A．y＝B．y＝x3C．y＝3x D．y＝x－12．已知f(x)＝(m＋1)x m2＋2是幂函数，则m＝() A．2B．1 C．3D．03．已知幂函数f(x)＝xα的图象过点，则f(4)＝________.题型探究题型一幂函数的概念『例1』已知y＝(m2＋2m－2)x m 2－1＋2n－3是幂函数，求m，n的值．规律方法判断一个函数是否为幂函数的方法判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，即函数的『解析』式为一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1.跟踪训练1．(1)在函数y＝，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1中，幂函数的个数为()A．0B．1C．2 D．3(2)若函数f(x)是幂函数，且满足f(4)＝3f(2)，则f的值等于________．题型二幂函数的图象及应用『例2』点(，2)与点分别在幂函数f(x)，g(x)的图象上，问当x为何值时，有：(1)f(x)>g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)<g(x)．规律方法解决幂函数图象问题应把握的两个原则(1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0，1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x 轴(简记为指大图低)；在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x 轴(简记为指大图高).(2)依据图象确定幂指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y ＝x－1或y ＝x 12或y ＝x 3)来判断.跟踪训练2.(1)若四个幂函数y ＝x a ，y ＝x b ，y ＝x c ，y ＝x d 在同一坐标系中的图象如图，则a ，b ，c ，d 的大小关系是( ) A ．d >c >b >a B ．a >b >c >d C ．d >c >a >b D ．a >b >d >c(2)函数y ＝x 12－1的图象关于x 轴对称的图象大致是( )A B C D题型三幂函数性质的综合应用 『探究问题』1．幂函数y ＝x α在(0，＋∞)上的单调性与α有什么关系？ 2．2.3－0.2和2.2－0.2可以看作哪一个函数的两个函数值？二者的大小关系如何？『例3』 比较下列各组中幂值的大小：(1)0.213,0.233；(2)1.212，0.9－12，.『思路点拨』 构造幂函数，借助其单调性求解．把本例的各组数据更换如下，再比较其大小关系：(1)0.5与0.5；(2)－1与－1.规律方法比较幂的大小时若指数相同，则利用幂函数的单调性比较大小；若底数、指数均不同，则考虑用中间值法比较大小，这里的中间值可以是“0”或“1”.课堂小结1．判断一个函数是否为幂函数，其关键是判断其是否符合y ＝x α(α为常数)的形式． 2．幂函数的图象是幂函数性质的直观反映，会用类比的思想分析函数y ＝x α(α为常数)同五个函数(y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x －1，y ＝x12)图象与性质的关系．3．幂函数的单调性是比较幂值大小关系的重要依据，要学会用幂函数的图象及性质处理幂值大小的比较问题.当堂检测1．思考辨析(1)幂函数的图象都过点(0,0)，(1,1)．( ) (2)幂函数的图象一定不能出现在第四象限．( ) (3)当幂指数α取1,3，时，幂函数y ＝x α是增函数．( ) (4)当幂指数α＝－1时，幂函数y ＝x α在定义域上是减函数．( )2．幂函数的图象过点(2，)，则该幂函数的『解 析』式是( ) A ．y ＝x －1B ．y ＝x 12C ．y ＝x 2D ．y ＝x 33．函数y ＝x 54的图象是( )A B C D 4．比较下列各组数的大小： (1)3－52与3.1－52；(2)4.125，3.8－23，(－1.9)－35.——★ 参*考*答*案 ★——新知初探1．y ＝x αxα 3．『0，＋∞) 『0，＋∞) {x |x ≠0} {y |y ≠0}初试身手1．C 『『解 析』』只有y ＝3x 不符合幂函数y ＝x α的形式，故选C. 2．D 『『解 析』』由题意可知m ＋1＝1，即m ＝0，∴f (x )＝x 2. 3． 『『解 析』』由f (2)＝可知2α＝，即α＝－，∴f (4)＝4－12＝.题型探究『例1』解：由题意得解得所以m ＝－3，n ＝. 跟踪训练1．(1)B (2) 『『解 析』』(1)∵y ＝＝x －2，∴是幂函数； y ＝2x 2由于出现系数2，因此不是幂函数； y ＝x 2＋x 是两项和的形式，不是幂函数；y ＝1＝x 0(x ≠0)，可以看出，常函数y ＝1的图象比幂函数y ＝x 0的图象多了一个点(0,1)，所以常函数y ＝1不是幂函数．(2)设f (x )＝x α，∵f (4)＝3f (2)，∴4α＝3×2α，解得α＝log 23，∴f ＝log 23＝. 『例2』解：设f (x )＝x α，g (x )＝x β. ∵()α＝2，(－2)β＝－， ∴α＝2，β＝－1，∴f (x )＝x 2，g (x )＝x －1.分别作出它们的图象，如图所示．由图象知，(1)当x ∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f (x )>g (x )；(2)当x ＝1时，f (x )＝g (x )； (3)当x ∈(0,1)时，f (x )<g (x )． 跟踪训练2.(1)B (2)B 『(1)令a ＝2，b ＝，c ＝－，d ＝－1，正好和题目所给的形式相符合． 在第一象限内，x ＝1的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数增大，所以a >b >c >d .故选B.(2)y ＝x 12的图象位于第一象限且为增函数，所以函数图象是上升的，函数y ＝x 12－1的图象可看作由y ＝x 12的图象向下平移一个单位得到的(如选项A 中的图所示)，将y ＝x 12－1的图象关于x 轴对称后即为选项B.』 『探究问题』1．提示：当α>0时，幂函数y ＝x α在(0，＋∞)上单调递增；当α<0时，幂函数y ＝x α在(0，＋∞)上单调递减． 2．提示：2.3－0.2和2.2－0.2可以看作幂函数f (x )＝x－0.2的两个函数值，因为函数f (x )＝x－0.2在(0，＋∞)上单调递减，所以2.3－0.2＜2.2－0.2.『例3』解：∵函数y ＝x 3是增函数，且0.21＜0.23， ∴0.213<0.233. (2)0.9－12＝12，＝1.112.∵1.2>>1.1，且y ＝x 12在『0，＋∞)上单调递增， ∴1.212>12>1.112，即1.212>0.9－12>.解：1)因为幂函数y ＝x 0.5在『0，＋∞)上是单调递增的，又>，所以0.5>0.5.(2)因为幂函数y ＝x－1在(－∞，0)上是单调递减的，又－<－，所以－1>－1.当堂检测1． (1)× (2)√ (3)√ (4)×2．B 『『解 析』』设f (x )＝x α，则2α＝，∴α＝，∴f (x )＝x 12.选B.3．C 『『解 析』』∵函数y ＝x 54是非奇非偶函数，故排除A 、B 选项．又>1，故选C. 4．解：(1)因为函数y ＝x －52在(0，＋∞)上为减函数， 又3<3.1，所以3－52>3.1－52.(2)4.125>125＝1,0<3.8－23<1－23＝1，而(－1.9) －35<0，所以4.125>3.8－23>(－1.9)－35.。
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【新教材】3.3 幂函数（人教A 版）1、理解幂函数的概念，会画幂函数y =x ，y =x 2，y =x 3，y =x －1，y =x 的图象； 2、结合这几个幂函数的图象，理解幂函数图象的变化情况和性质； 3、通过观察、总结幂函数的性质，培养学生概括抽象和识图能力．1.数学抽象：用数学语言表示函数幂函数；2.逻辑推理：常见幂函数的性质；3.数学运算：利用幂函数的概念求参数；4.数据分析：比较幂函数大小；5.数学建模：在具体问题情境中，运用数形结合思想，利用幂函数性质、图像特点解决实际问题。
重点：常见幂函数的概念、图象和性质； 难点：幂函数的单调性及比较两个幂值的大小．一、 预习导入阅读课本89-90页，填写。
1．幂函数一般地,函数________叫做幂函数,其中________是自变量, ________是常数. 2、幂函数的性质y= 211．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y ＝x 0(x ≠0)是幂函数． ( )(2)幂函数的图象必过点(0,0)(1,1)． ( ) (3)幂函数的图象都不过第二、四象限． ( ) 2．下列函数中不是幂函数的是( )A ．y ＝xB ．y ＝x 3C ．y ＝2xD ．y ＝x －13．已知f(x)＝(m －1)x22m m＋是幂函数，则m ＝( )A ．2B ．1C ．3D ．04．已知幂函数f(x)＝x α图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，22，则f(4)＝________.题型一 幂函数的概念例1函数f(x)=(m 2-m-5)x m-1是幂函数,且当x ∈(0,+∞)时,f(x)是增函数,试确定m 的值. 跟踪训练一1.如果幂函数y=(m 2-3m+3)x m2−m−2的图象不过原点,求实数m 的取值.题型二 幂函数的图象与性质例2 已知函数y=x a,y=x b,y=x c的图象如图所示,则a,b,c 的大小关系为 ( )A.c<b<aB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b 跟踪训练二1.如图所示,曲线C 1与C 2分别是函数y=x m和y=x n在第一象限内的图象,则下列结论正确的是( )A.n<m<0B.m<n<0C.n>m>0D.m>n>0题型三 利用幂函数的单调性比较大小 例3 比较下列各组中两个数的大小: (1)(25)12与(13)12;(2)(-23)-1与(-35)-1; (3)(12)34与(34)12. 跟踪训练三1. 已知a=243,b=425,c=2513,则( ) A.b<a<c B.a<b<c C.b<c<aD.c<a<b1．在函数①y ＝1x，②y ＝x 2，③y ＝2x ，④y ＝1，⑤y ＝2x 2，⑥y ＝x -12中，是幂函数的是( )A ．①②④⑤B ．③④⑥C ．①②⑥D ．①②④⑤⑥2．已知幂函数f (x )＝kx α(k ∈R ，α∈R)的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，则k ＋α＝( )A.12 B ．1 C.32D ．.23．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( )A ．y ＝x －2B ．y ＝x －1C ．y ＝x 2D.y ＝x 134.如图所示，曲线C 1与C 2分别是函数y ＝x m和y ＝x n在第一象限内的图象，则下列结论正确的是( )A ．n <m <0B ．m <n <0C ．n >m >0D ．m >n >05．如下图所示曲线是幂函数y ＝x α在第一象限内的图象，已知α取±2，±12四个值，则对应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的指数α依次为( )A ．－2，－12，12，2B ．2，12，－12，－2C ．－12，－2,2，12D ．.2，12，－2，－126．已知函数f (x )＝(m 2＋2m )·x m m 21＋－，m 为何值时，函数f (x )是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)幂函数．解：(1)若函数f (x )为正比例函数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＝1，m 2＋2m ≠0，∴m ＝1.(2)若函数f (x )为反比例函数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＝－1，m 2＋2m ≠0，∴m ＝－1.(3)若函数f (x )为幂函数，则m 2＋2m ＝1， ∴m ＝－1± 2. 7．比较下列各组数的大小．(1)3-72和3.2-72；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－2323和⎝ ⎛⎭⎪⎫－π623； (3)4.125和3.8-43.解：(1)函数y ＝x-72在(0，＋∞)上为减函数，又3＜3.2，所以3-72＞3.2-72.(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－2323＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2323，⎝ ⎛⎭⎪⎫－π623＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π623，函数y ＝x 23在(0，＋∞)上为增函数，而23＞π6，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－2323＞⎝ ⎛⎭⎪⎫－π623.(3)4.125＞125＝1,0＜3.8－43＜1－43＝1，所以4.125＞3.8－43.答案小试牛刀1．（1）√ （2）× （3） ×2-3．CA 4．12自主探究 例1【答案】m=3【解析】根据幂函数的定义,得m 2-m-5=1,解得m=3或m=-2. 当m=3时,f(x)=x 2在(0,+∞)上是增函数;当m=-2时,f(x)=x -3在(0,+∞)上是减函数,不符合要求.故m=3. 跟踪训练一1.【答案】m=1或m=2.【解析】 由幂函数的定义得m 2-3m+3=1,解得m=1或m=2; 当m=1时,m 2-m-2=-2,函数为y=x -2,其图象不过原点,满足条件; 当m=2时,m 2-m-2=0,函数为y=x 0,其图象不过原点,满足条件. 综上所述,m=1或m=2. 例2 【答案】A【解析】由幂函数的图象特征,知c<0,a>1,0<b<1.故c<b<a.跟踪训练二 1.【答案】 A【解析】画出直线y=x 0的图象,作出直线x=2,与三个函数图象交于点(2,20),(2,2m),(2,2n).由三个点的位置关系可知,n<m<0.故选A.例3 【答案】见解析【解析】(1)∵幂函数y=x 12在[0,+∞)上是增函数,又25>13,∴(25)12>(13)12.(2)∵幂函数y=x -1在(-∞,0)上是减函数, 又-23<-35,∴(-23)-1>(-35)-1.(3)∵函数y 1=(12)x在定义域内为减函数,且34>12,∴(12)12>(12)34. 又函数y 2=x 12在[0,+∞)上是增函数,且34>12,∴(34)12>(12)12.∴(34)12>(12)34.跟踪训练三 1.【答案】A【解析】 ∵a=243=1613,b=425=1615,c=2513,∴a>b,a<c,∴b<a<c. 当堂检测1-5．CAAAB 6．【答案】见解析【解析】(1)若函数f (x )为正比例函数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＝1，m 2＋2m ≠0，∴m ＝1.(2)若函数f (x )为反比例函数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＝－1，m 2＋2m ≠0，∴m ＝－1.(3)若函数f (x )为幂函数，则m 2＋2m ＝1， ∴m ＝－1± 2.7.【答案】见解析【解析】(1)函数y ＝x-72在(0，＋∞)上为减函数，又3＜3.2，所以3-72＞3.2-72.(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－2323＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2323，⎝ ⎛⎭⎪⎫－π623＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π623，函数y ＝x 23在(0，＋∞)上为增函数，而23＞π6，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－2323＞⎝ ⎛⎭⎪⎫－π623.(3)4.125＞125＝1,0＜3.8－43＜1－43＝1，25＞3.8－43.所以4.1。