26.1.2 反比例函数的图象和性质(第1课时)
人教版九年级数学下册课件：26.1.2 第1课时 反比例函数的图象和性质
y6 x
2 1
－5－4－3－2－1O －1 －2 －3
1 2 3 4 5 6x
－5－4－3－2－1O －1 －2 －3
－4
－4
－5
－5
－6
y 12 x
1 2 3 4 5 6x
获取新知 观察这两个函数图象，回答问题： (1) 每个函数图象分别位于哪些象限？
(2) 在每一个象限内，随着x的增大，y 如何 变化？你能由它们的解析式说明理由吗？
结论1：一般地，当k>0时，反比例函数 y k 的图象是双曲线， x
(1)双曲线的两支分别位于第一、第三象限;
(2)在每一个象限内, y随x的增大而减小. (从左向右看是下降的)
y
y 减
小
O x 增大 x
回顾以上研究过程，你能用类似的方法研究函数 y k (k 0) 的图象和性质吗？
x
y
y 增 大
2 1.5 1.2 1 …
y
12 x
…
－2
－2.4
－3
－4 －6
6 4 3 2.4 2 …
描点：以表中各组对应值作为点的坐标， 在直角坐标系内描绘出相应的点．
连线：用光滑的曲线顺次连接各点，即
可得 y 6 与y 12 的图象．
x
x
y
y
6
6
5
5
4
用光滑曲线连结时要 4
3
自左向右顺次连结 3
2 1
x 的增大而减小
x 的增大而增大
y
y
ox
o x
x 增大 O
x
结论2：一般地，当k<0时，反比例函数 y k 的图象是双曲线， x
(1)双曲线的两支分别位于第二、第四象限;
26.1.2_反比例函数的图象和性质(1)2PPT课件
口答：
1、函数
的图象在第__一__、__三__象限,
在每一象限内，y 随x 的增大而____减__小___.
2、 函数
的图象在第__二_、__四___象限,
在每一象限内，y 随x 的增大而____增__大___.
3、函数
,当x>0时,图象在第_一___象限,
y随x 的增大而___减__小____.
第二十六章 反比例函数
26.1.2 反比例函数的图象和性质
万泉中学 徐 辉
已知一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是 猜想
反比例函数 y k (k≠0)的图象是什么呢？ x
学习目标：
1.学会用描点法画反比例函数的图象。 2.结合图象能得到反比例函数的性质。
例1
画出反比例函数 y =
6 x
和y=
能力提升
函数y=kx-k 与y k k 0 在同一条直角坐标系
x
中的 图象可能是 D :
y
y
y
y
ox (A)
ox (B)
ox (C)
ox (D)
写在最后
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The
More You Know, The More Powerful You Will Be
谢谢大家
荣幸这一路，与你同行
It'S An Honor To Walk With You All The Way
演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
x
-1
-2
-3
-4 -5
26.1.2反比例函数的图象与性质
在求解反比例函数相关问题时，要确保 $x$ 的取值范围使得函数有意义（即 $x neq 0$ ）。
在实际应用中，要注意理解反比例关系背后 的实际意义，避免盲目套用公式。
拓展延伸：反比例函数在其他领域应用
经济学中的应用
在经济学中，反比例函数可以表 示某些经济变量之间的关系，如 价格与需求量之间的反比关系。
04
感谢您的观看
THANKS
06
函数图像在第二象限和第四象限内分别位于 $x$ 轴和 $y$ 轴的两侧，且无限接近于坐标轴。
02
反比例函数图象特征
图象形状与位置
图象形状
反比例函数的图象为双曲线，两 支分别位于第一、三象限或第二 、四象限。
图象位置
当$k > 0$时，图象位于第一、三 象限；当$k < 0$时，图象位于第 二、四象限。
表达式
反比例函数的一般表达式为 $y = frac{k}{x}$，其中 $k$ 是比例系数， 且 $k neq 0$。
自变量取值范围
自变量 $x$ 的取值范围
在反比例函数中，自变量 $x$ 不能取值为 0，即 $x neq 0$。
函数定义域
反比例函数的定义域为 $x in R$ 且 $x neq 0$。
偶函数性质
反比例函数不是偶函数，即不满足$f(-x)=f(x)$，图像不关于 y轴对称。
周期性考察
无周期性
反比例函数不具有周期性，即不存在 一个正数T，使得对于定义域内的任 意x，都有$f(x+T)=f(x)$成立。
图像特征
反比例函数的图像是双曲线，两支分 别位于第一、三象限和第二、四象限 ，且无限接近坐标轴但永不相交。
渐近线与交点情况
渐近线
人教版九年级下册26.1.2《反比例函数的图象和性质》教案
（2）反比例函数图象的绘制方法：以坐标轴为基准，选取不同的x值，计算对应的y值，连接点形成图象；
（3）反比例函数的性质：
①对称性：反比例函数图象关于原点对称；
②单调性：在第一、三象限内，反比例函数为增函数；在第二、四象限内，反比例函数为减函数；
人教版九年级下册26.1.2《反比例函数的图象和性质》教案
一、教学内容
人教版九年级下册26.1.2《反比例函数的图象和性质》教案：
1.理解反比例函数的定义及表达式；
2.学习反比例函数图象的绘制方法；
3.掌握反比例函数的性质，包括对称性、单调性及极值等；
4.能够运用反比例函数的性质解决实际问题。
教学内容：
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调反比例函数的定义和图象性质这两个重点。对于难点部分，我会通过图象绘制和实际案例来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与反比例函数相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如测量物体在不同速度下的运动距离，以演示反比例函数的基本原理。
其次，在新课讲授环节，我发现理论介绍部分，学生们对反比例函数的定义和表达式掌握得还不错，但在案例分析部分，有些学生对于如何将实际问题转化为反比例函数模型感到困惑。针对这个问题，我打算在今后的教学中，多安排一些实际案例的分析，让学生有更多的机会练习和掌握这一方法。
此外，实践活动环节，学生们在分组讨论和实验操作过程中，积极参与，表现出了很高的热情。但我也注意到，有些小组在讨论过程中，对于反比例函数在实际生活中的应用还不够深入。为了提高讨论效果，我计划在今后的教学中，加强对学生的引导，鼓励他们提出更多有创意的想法，并与其他小组进行交流。
人教版数学九年级下册26.1.2反比例函数的图象和性质(教案)
-理解反比例函数图象的双曲线形状及其与函数表达式的关系，这是学生空间想象能力的挑战。
-掌握反比例函数性质中的斜率变化规律，特别是当x > 0和x < 0时，y值变化的区别。
-在实际问题中识别反比例函数模型，并将问题转化为数学表达式进行求解。
举例：针对斜率变化规律，可以设计具体的问题情境，如“当一辆车以恒定速度行驶，行驶时间与路程之间的关系是什么？”通过实际例子帮助学生理解反比例函数斜率的意义。
在学生小组讨论环节，我发现有些学生参与度不高，可能是因为他们对讨论主题不够感兴趣或者不知道如何表达自己的观点。为了提高学生的参与度，我计划在下次讨论中，提供一些更具启发性的问题和案例，鼓励学生大胆发表自己的看法。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《反比例函数的图象和性质》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过物品的价格与数量成反比的情况？”（例如，买水果时，单价固定，总价与重量成反比。）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索反比例函数的奥秘。
人教版数学九年级下册26.1.2反比例函数的图象和性质（教案）
一、教学内容
人教版数学九年级下册26.1.2反比例函数的图象和性质。本节课我们将学习以下内容：
1.反比例函数的定义：y = k/x（k≠0）
2.反比例函数图象的特点：双曲线，两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限。
3.反比例函数的性质：
五、教学反思
在今天的教学中，我发现学生们对反比例函数的概念和图象性质的理解有一定难度。在讲解过程中，我尽量用简单易懂的语言和生动的例子来阐述，希望他们能够更好地掌握这些知识点。
26.1.2反比例函数的图象和性质
1.（2018•香坊区）对于反比例函数y 2
不正确的是（ ）
x
C
A．点（﹣2，﹣1）在它的图象上
B．它的图象在第一、三象限
C．当x＞0时，y随x的增大而增大
D．当x＜0时，y随x的增大而减小
，下列说法
课堂检测
基础巩固题
2.（2018•上海）已知反比例函数y k 1 （k是常数，k≠1） 的图象有一支在第二象限，那么k的取x值范围是 k＜1
－5
解析式说明理由吗？
－6
探究新知
(3) 对于反比例函数y k (k＞0)，考虑问题(1)(2)， x
你能得出同样的结论吗？
y
O
x
探究新知
归纳： 反比例函数 y k (k＞0) 的图象和性质： x
y
（1）由两条曲线组成，且分别位
于第一、三象限，它们与 x 轴、y
轴都不相交；
O
x （2）在每个象限内，y 随 x 的增
若 x1＞ x2，则 y1与y2的大小关系为 （ ） C
A. y1 > y2 B. y1 = y2 C. y1 < y2 D. 无法确定
解析：因为8＞0，且 A，B 两点均在该函数图象的第一 象限部分，根据 x1＞x2，可知y1，y2的大小关系.
探究新知
观 察
当 k =－2，－4，－6时，反比例函数y k
的图象上，并说明理由；
解：分别把点 B，C 的坐标代入反比例函数的解析式， 因为点 B 的坐标不满足该解析式，点C的坐标满足该 解析式，所以点 B 不在该函数的图象上，点C 在该函 数的图象上．
巩固练习
(3) 当 －3< x <－1 时，求 y 的取值范围．
26.1.2反比例函数的图象与性质 课件
2．在每一个象限内，y随x的 增大而增大．
课堂小结
反比例函数y k 的图象是双曲线，它具有以下性质：
x
（1）当 k 0 时，双曲线的两支分别位于 第一、第三象限，在每一个象限内，y随x的增，在每一个象限内，y随x的增 大而增大．
再见
探究问题
你能由它们的解析式说明这些结论吗？
1．函数图象分别位于第一、第三象限；
y k (k 0) x
xy k(k 0)
x 0，y 0
x 0，y 0
点（x，y） 在第一象限
点（x，y） 在第三象限
探究问题
你能由它们的解析式说明这些结论吗？
1．函数图象分别位于第一、第三象限；
y k (k 0) x
提出问题
（2）在每一个象限内，随着x的增大，y如何变化？
图象位于第一、第 三象限，因此需要 分第一、第三象限 分别研究．
对应x轴上的点 从左至右运动．
提出问题
（2）在每一个象限内，随着x的增大，y如何变化？
图象位于第一、第 三象限，因此需要 分第一、第三象限 分别研究．
对应x轴上的点 从左至右运动．
反比例函数的图象与性质
提出问题
画出反比例函数 y 6 与 y 12 的图象，请思考：
x
x
（1）每个函数的图象分别位于哪些象限？
这两个函数的 图象分别位于 第一、第三象 限．
提出问题
（2）在每一个象限内，随着x的增大，y如何变化？
提出问题
（2）在每一个象限内，随着x的增大，y如何变化？
图象位于第一、第 三象限，因此需要 分第一、第三象限 分别研究．
观察图象上对 应点的纵坐标 的变化情况．
提出问题
新人教版26.1.2反比例函数的图像与性质(第1课时)解读
02
题目二
已知反比例函数 $y = frac{3k - 1}{x}$ 的图像上有两点 $(x_1, y_1)$ 和
$(x_2, y_2)$，且当 $x_1 < x_2 < 0$ 时，有 $y_1 < y_2$，求 $k$ 的
取值范围。
03
题目三
已知反比例函数 $y = frac{k}{x}$（$k > 0$）的图像与一次函数 $y =
提高题
给出一些较复杂的反比例函数问题， 如涉及复合函数、不等式等，要求学 生综合运用所学知识进行求解。
THANKS
随着x的无限增大或无限减小，反比例函数的y值将无限趋近 于0，但永远不会等于0。同样地，随着y的无限增大或无限减 小，反比例函数的x值也将无限趋近于0，但永远不会等于0。
04
典型例题解析与思路拓展
绘制反比例函数图像方法指导
列表取值法
通过取定自变量的一系列 值，计算出对应的函数值 ，然后在坐标系中描点并 连线。
例函数的解析式，并判断点 $Q(-2, 1)$ 是否在该函数的图像
上。
提高难度挑战题尝试
01
题目一
已知反比例函数 $y = frac{k}{x}$（$k neq 0$）的图像上有两点
$A(x_1, y_1)$ 和 $B(x_2, y_2)$，且 $x_1 < 0 < x_2$，试比较 $y_1$
和 $y_2$ 的大小。
函数称为反比例函数。
反比例函数的图像
反比例函数的图像是双曲线 ，当 $k > 0$ 时，双曲线的 两支分别位于第一、三象限 ；当 $k < 0$ 时，双曲线的 两支分别位于第二、四象限
。
反比例函数的性质
人教版九下数学26-1-2反比例函数的图像和性质 课时1
1.经历画反比例函数图象的过程，归纳得到反比例函
数的图象特征和性质.
2.会画反比例函数图象，了解和掌握反比例函数的图
象和性质.
3.能够解决反比例函数与一次函数的综合性问题.
课堂导入
2017游泳世锦赛在西班牙布达佩斯的多瑙河体育
中心落下帷幕. 孙杨在此次世锦赛中收获了个人世锦
赛首枚 200 米自由泳金牌.
A.-4
B.-3
C.-2
D.-1
B在 =
xB= 3
3
上
B（3,1）
圆、反比例函数
的中心对称性
C （-3,-1）
2.在同一平面直角坐标系中,函数 =
(k≠0)与 y=-kx+1(k≠0)
的图象可能是( B )
k＞0（＜0）
反比例函数过一、
三（二、四）象限
一次函数过一、二、四
（一、二、三）象限
1-2
-3
-4
-5
-6
12
y
x
1 2 3 4 5 6 x
反比例函数图象的画法：
步骤
方法
一般情况下，以坐标原点 O 为中心，在 O 的
列表 左右两侧各取三对或三对以上互为相反数的数，
并计算对应的函数值，列出表格.
以表格中各对对应值作为点的坐标，在直角坐
描点
标系中描出各点.
按照从左到右的顺序，用平滑的曲线顺次连接
-3
4y 值逐渐减小.
56
k
(3) 对于反比例函数 y (k＞0)，考虑问题(1)(2)，你
x
能得出同样的结论吗？
当 k>0 时，反比例函数
y=
26.1.2反比例函数的图象和性质
随自变量x增大而增大”的是（ B ）
A．①③ B．③④ C．②④ D．②③
课堂检测
26.1 反比例函数/
基础巩固题
1.（2018•香坊区）对于反比例函数 y 2 ，下列说法 x
不正确的是（ C ）
A．点（﹣2，﹣1）在它的图象上
y
y 2 x
y
y 4 x
y y 6
x
O
x
O
x
O
x
探究新知
26.1 反比例函数/
归纳：
反比例函数
yk x
(k＜0) 的图象和性质：
y
（1）由两条曲线组成，且分别位于
第二、四象限，它们与x轴、y轴都
不相交；
O
x （2）在每个象限内，y随x的增大而
增大.
探究新知
26.1 反比例函数/
y
k x
察 的图象，有哪些共同特征？
与 思
y
y 2 x
y
y 4 x
y y 6
x
考
O
x
O
x
O
x
探究新知
26.1 反比例函数/
回顾上面我们利用函数图象，从特殊到一般研究反比
例函数 y k x
(k＞0) 的性质的过程，你能用类似的方法
研究反比例函数
y
k x
(k＜0)的图象和性质吗？
(2) 判断点 B (－1，6)，C(3，2) 是否在这个函数的 图象上，并说明理由；
解：分别把点 B，C 的坐标代入反比例函数的解析式， 因为点 B 的坐标不满足该解析式，点C的坐标满足该 解析式，所以点 B 不在该函数的图象上，点C 在该函 数的图象上．
26.1.2反比例函数的图象与性质(教案)
在今天的教学中，我发现学生们对于反比例函数的概念和图象性质的理解存在一些困难。在讲解反比例函数的定义时，虽然通过生活中的实例引入，但仍有部分学生难以理解k值不为零的条件。这让我意识到，在今后的教学中，我需要更加直观、生动地呈现这些抽象的概念。
在讲授反比例函数图象时，我采用了动态演示和实际操作相结合的方法，让学生们观察双曲线的形成过程。然而，从学生的反馈来看，对于双曲线形状的理解仍然不够深入。我考虑在下一节课中，增加一些实际生活中的双曲线实例，如卫星轨道、电磁场线等，让学生们更加直观地感受双曲线的特点。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了反比例函数的基本概念、图象与性质，以及它在生活中的应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对反比例函数的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解反比例函数的基本概念。反比例函数是形如y = k/x (k ≠ 0)的函数。它在生活中有着广泛的应用，如速度与时间的关系、浓度与体积的关系等。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。以速度与时间的关系为例，探讨反比例函数在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调反比例函数的定义和图象性质这两个重点。对于难点部分，如反比例函数图象的双曲线形状，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与反比例函数相关的实际问题。
九年级数学人教版下册(课件)：26.1.2第1课时 反比例
1. （1）下列图象中是反比例函数图象的是（ ）
（A）
（B）
（C）
答案：C
（D）
（2）如图所示的图象对应的函数解析式为（C ）
A.y 5x
B.y 2x 32. 填空
（1）反比例函数y= 5的图象在第_一__，__三_象限
x
（2）反比例函数y= k 的图象在如图所示，则k_____0； x 在图象的每一支上，y随x的增大而__增__大 __
对于k>0，反比例函数y=k/x，由函数图像，并结合解 析式，我们可以发现： （1）函数图像分别位于第一，三象限 （2）在每一个象限内，y随x的增大而减小
类似的，我们可以用同样的方法研究k<0时函数的性 质
一般地，反比例函数y=k/x的图像是双曲线，它具 有以下性质： （1）当k>0时，双曲线的两支分别位于第一、三 象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小； （2）当k<0时，双曲线的两支分别位于第二、四 象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大.
26.1.2 反比例函数的图象和性质
第1课时 反比例函数的图象和性质
情境引入
一次函数 y＝kx＋b（k、b为常数，k≠0） 它的图像是什么？有哪些性质？y=ax2+bx+c呢
本节课我们一起研究反比例函数 y＝ b为常数，k≠0）的图像是怎样的图形？
k x
（k、
观察思考
已知反比例函数 y＝ 6，请你描述一下这个函
x
数图像具有哪些特征？思考下列问题：
（1）x、y所取值的符号有什么关系？这个函数
的图像会在哪几个象限？
（2）x、y的值可以为0吗？这个函数的图像与
x轴、y轴有交点吗？
（3）当x＞0时，随着x的增大，y怎样变化？当 x＜0时，随着x的增大，y怎样变化？这个函数的图 像与x轴、y轴的位置关系有什么特征？
(含答案)九年级数学人教版下册课时练第26章《26.1.2 反比例函数的图象和性质》(1)
答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的！课时练第26章反比例函数26.1.2反比例函数的图象和性质一、单选题1.下列各点中，在反比例函数8y x =图象上的是()A.(1,8)- B.(2,4)- C.(1,7) D.(2,4)2.在平面直角坐标系中，反比例函数2y x =的图象的两支分别在()A ．第一、三象限B ．第一、二象限C ．第二、四象限D ．第三、四象限3.已知反比例函数k y x =的图象经过点(1,2)P -，则这个函数的图象位于()A.第二、三象限B.第一、三象限C.第三、四象限D.第二、四象限4.若函数2m y x +=的图象在其象限内y 的值随x 值的增大而增大，则m 的取值范围是()A.2m ＞- B.2m ＜-C.2m ＞ D.2m ＜5.如图，在同一平面直角坐标系中，反比例函数k y x =与一次函数1y kx =-（k 为常数，且0k >）的图象可能是()A. B.C. D.6.如图，过反比例函数(0)k y x x=>的图象上一点A 作AB x ^轴于点B ，连接AO ，若2AOB S =△，则k 的值为()A.2B.3C.4D.57.如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC 的顶点A ，B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，90ABC Ð=°，CA x ^轴，点C 在函数(0)k y x x =>的图象上.若2AB =，则k 的值为()A.4B.C.28.如图，已知一次函数y ax b =+和反比例函数k y x =的图象相交于()12,A y -，()21,B y 两点，则不等式k ax b x +<的解集为()A.2x <-或01x <<B.2x <-C.01x <<D.20x -<<或1x >9.如图，A ，B 是双曲线k y x=上的两点，过A 点作AC x ^轴，交OB 于D 点，垂足为C .若ADO △的面积为1，D 为OB 的中点，则k 的值为()A.43 B.83 C.3 D.4二、填空题10.反比例函数3m y x+=的图象在第一、三象限,则m 的取值范围是___________.11.已知点()11,m y -，()23,m y -是反比例函数(0)m y m x =<图象上的两点，则1y _________2y （填“>”“=”或“<”）.12.当m =_________时，函数231(3)mm y m x +-=+是反比例函数，此时图象的两个分支分别位于第__________象限.13.如图，反比例函数2y x=的图象经过矩形OABC 的边AB 的中点D ，则矩形OABC 的面积为_______________.三、解答题14.已知反比例函数k y x=（k 为常数，0k ¹）的图象经过点(2,3)A .（1）求这个函数的解析式；（2）判断点(1,6)B -，(3,2)C 是否在这个函数的图象上，并说明理由；（3）当31x -<<-时，求y 的取值范围.15.去学校食堂就餐经常会在一个卖菜窗口前等待.经调查发现，同学们的舒适度指数y 与等待时间x （分）之间存在如下的关系：100y x=.（1）若等待时间5x =，求舒适度指数y 的值；（2）舒适度指数不低于10时，同学们才会感到舒适.函数100(0)y x x=>的图象如图，请根据图象说明，作为食堂的管理员，为了让同学们感到舒适，应该让每个在窗口买菜的同学最多等待多长时间？16.如图，已知反比例函数(0)k y x x =>的图象与一次函数142y x =-+的图象交于A 和(6,)B n 两点.（1）求k 和n 的值；（2）若点(,)C x y 也在反比例函数(0)k y x x=>的图象上，求当26x ££时，函数值y 的取值范围.参考答案1.D2.A3.D4.B5.B6.C7.A8.D9.B10.3m >-11.>12.0；一、三13.414.（1） 反比例函数k y x=（k 为常数，0k ¹）的图象经过点(2,3)A ，32k \=，解得6k =.\所求函数的解析式为6y x=.（2）点B 不在函数的图象上，点C 在函数的图象上.理由如下：分别把点B ，C 的坐标代入6y x=，可知点B 的坐标不满足函数解析式，点C 的坐标满足函数解析式，\点B 不在函数的图象上，点C 在函数的图象上.（3） 当3x =-时，2y =-；当1x =-时，6y =-，又由0k >知，当0x <时，y 随x 的增大而减小，\当31x -<<-时，62y -<<-.15.（1）当5x =时，舒适度指数20y =（2）作为食堂的管理员，为了让同学们感到舒适，应该让每个在窗口买菜的同学最多等待10分钟解析：（1）当5x =时，舒适度指数100100205y x ===.（2）由题意得10y ³，所以010x <£，所以作为食堂的管理员，为了让同学们感到舒适，应该让每个在窗口买菜的同学最多等待10分钟.16.（1）6k =，1n =（2）13y ££解析：（1）把点(6,)B n 代入一次函数142y x =-+中，可得16412n =-´+=，故B 点的坐标为(6,1).又点B 在反比例函数(0)k y x x =>的图象上，所以616k xy ==´=，所以k 的值为6.（2）由（1）知反比例函数的解析式为6y x =，故当2x =时，632y ==；当6x =时，616y ==.又当26x ££时，y 随x 的增大而减小，故当26x ££时，函数值y 的取值范围是13y ££.。
人教版初中数学九年级下册 探究反比例函数的图象和性质-“十市联赛”一等奖
§26．1．2 反比例函数的图象和性质（第1课时）教学设计乌鲁木齐市第二十九中学王英1.内容说明:本节课为新人教版数学九年级下册第二十六章第一节第2课时，教材第4页至第6页的内容．其中内容包括先类比一次函数画＞0的两个反比例函数图象并得出性质；再类比思考＞0时反比例函数的性质，然后设置了一个探究环节，让学生自己研究得出＜0时反比例函数的性质，最后对反比例函数的性质进行归纳．教材第6页的课后练习题，和习题26．1的第3、5、8、9等题目针对反比例函数图象和性质适当的加以巩固，其中第5、8题都是一次函数与反比例函数的综合应用．2．教学目标①进一步熟悉用描点法作反比例函数(0)ky kx=≠图象的主要步骤，会作反比例函数的图象；体会函数三种方式的相互转换，对函数进行认知上的整和；逐步提高从函数图象中获取知识的能力，探索并掌握反比例函数的主要性质．②通过观察反比例函数图象，分析和探究反比例函数的性质，培养学生的探究，归纳及概括能力．在探究过程中渗透分类讨论思想和数形结合的思想．③积极参与探索活动，注意多和同伴交流看法；在动手做图的过程中体会乐趣，养成勤于动手，乐于探索的习惯．3．教学重点、难点本节课的教学重点: 由反比例函数的图象，结合解析式，探究反比例函数的性质；本节课的教学难点: 反比例函数自变量取值范围≠0对函数图象的影响．4．教学过程分析4．3．1复习提问，引入新知开门见山:上节课我们类比正比例函数的概念学习了反比例函数的概念，今天我们将继续研究反比例函数的图象与性质．古人云，温故而知新，让我们一起来回顾一下与本节课相关的知识吧．问题1：你还记得正比例函数的图象与性质吗师生活动：学生开火车填表，完成对正比例函数概念，图象与性质的复习．追问1：正比例函数的图象位置，增减性是有那个量决定的追问2：我们是怎样研究得到这些性质的呢今天我们也将用同样的方法研究反比例函数的图象与性质．师生活动：学生发表见解后，教师活动加强引导，对学生进行及时、正确的评价．追问3:什么是反比例函数追问4：反比例函数的比例系数的取值有哪几种情况设计意图：学生在活动过程中复习回顾相关知识，形成关联，进行类比．4．3．2类比联想，探索交流我们先来研究＞0的反比例函数图象与性质．问题1:反比例函数kyx=当＞0时的图象和性质会是怎样的呢（学生通过解析式可以初步推断出图象所在位置，增减性，但比较抽象，体现出画图的必要性．）问题2：请画出反比例函数6yx=与12yx=的图象．追问1：画函数的图象作图方法及步骤：列表描点连线怎么列怎么描怎么连学生一一回答用描点法画反比例函数的图象之前，回顾画图步骤，①列表．分析函数解析式自变量的取值范围，关注≠0，也就是说自变量取值时不可以为0． 因为＝0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y 值．另外函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的图象更精确．②描点．分析，y 的对应关系，思考得出当＞0时y ＞0，当＜0时y ＜0，也就是说函数图象应该位于一、三象限；并且从对应关系可以看出无论是＞0还是＜0时增大y 反而减小；同时因为≠0，所以图象与坐标轴不相交，只能无限接近轴，y 轴．③连线画出函数图象，强调连出平滑曲线．师生活动：学生画出反比例函数6y x =与12y x =的图象．在教学过程中，教师巡视指导学生画图，及时纠错，必要时集体讲解纠错，同时发动学生当小老师，让同学互助．追问2：请类比正比例函数性质的探究方法，探究6y x =与12y x =的性质． 师生活动：学生分组讨论，分别从所在象限和增减性去探讨这两个函数图象的性质．其中增减性的探讨过程中，学生通常会忽视反比例函数图象的不连续性，此时教师不要急于否定学生，也不要害怕学生出错，而应让学生先探讨，出错后教师质疑，让学生自己发现，自己纠错．教师利用几何画板画出多个＞0的反比例函数图象，然后师生一起从所在象限和增减性两个方面总结6y x =与12y x =的性质，从而得出当＞0时反比例函数(0)k y k x =≠的性质，体现出从一般到特殊的思想．（此处可以根据学生情况对图象的对称性也做适当总结）． 问题3：提出质疑，刚才探讨了＞0时反比例函数(0)k y k x =≠的图象与性质，那么＜0时反比例函数的(0)k y k x =≠图象与性质是怎样的呢（仍然让学生先猜测＜0的反比例函数的图象与性质，有了刚才的经验，学生可以猜出形状，位置，但增减性不好猜测，教师可以适时强调画图的重要性．）问题4：请学生画出6y x =-与12y x =-的图象并说一说它的图象与性质．师生活动：有了刚才的经验，学生画图速度会明显提高，并且应该可以直接说出这两个函数的性质． 沿用之前的方法，教师几何画板演示，学生从特殊到一般，总结得出＜0的反比例函数图象与性质．设计意图：问题1，2，3，4的探究类比了前面研究函数的方法，确定＞0和＜0两种情况进行研究．画图过程中，通过先复习再猜测的环节，让学生学习画图的方法以及画图中要注意的问题．然后学生自己动手画图，培养了学生动手画图的能力．学生经历观察、讨论、归纳、总结的过程，培养观察能力和归纳总结能力．问题2通过小组合作学习，让学生得出＜0时反比例函数的性质，培养了学生与他人合作的能力，增强了学生的团队合作意识．问题5：通过刚才的学习请对反比例函数图象的性质进行归纳总结师生活动：师生共同归纳总结①当0k >时，双曲线的两支分别位于第一、三象限，在每个象限内y 随x 值的增大而减小．②当0k <时，双曲线的两支分别位于 第二、四象限，在每个象限内y 随x 值的增大而增4．3．3运用新知拓展训练活学活用1：反比例函数5yx=-的图象大致是（）本题给出四个答案，直接考察学生对图象的识别能力．活学活用2：反比例函数(0)ky kx=≠的图象过点P（-3，2），则它的图象所在象限是（）象限．活学活用3：我校食堂有5吨煤，用y表示可以用的天数，用表示每天的烧煤量，则y关于的函数的图象大致是（）本题给出四个答案，本题目的在于提醒学生在实际问题中要考虑自变量的取值范围．当堂检测1、函数20yx=的图象在第________象限，在每一象限内，y 随的增大而_________．2、函数30-yx=的图象在第________象限，在每一象限内，y 随的增大而_________．3、函数yxπ=，当>0时，图象在第____象限，y随的增大而_________．当堂检测三道题目都是直接考察函数性质的，目的在于帮助学生熟悉反比例函数图象与性质，感受的作用．同时增强学生的自信心．挑战自我1：已知反比例函数4kyx-=，分别根据下列条件求出字母k的取值范围，①函数图象位于第一、三象限；②在第一象限内，y随x的增大而减小挑战自我2：反比例函数21kyx+=-（K为常数）图象位于（）Ａ．第一、二象限Ｂ．第一、三象限Ｃ．第二、四象限Ｄ．第三、四象限挑战自我3：若12＜0，则函数y=1与2kyx=在同一坐标系中的图象大致为（）（本题给出了四个答案，学生判断选择）设计意图：挑战自我是为了让学生灵活的用反比例函数的性质解决问题，学生在研究每一个问题特点时，能够紧扣性质进行分析，达到理解并掌握性质的目的．4．3．4课时小结⑴反比例函数图象是怎样得到的画图时要注意什么问题⑵反比例函数的性质是什么为什么要强调在每一象限内函数的变化规律⑶研究反比例函数性质时，我们是利用什么来研究的怎样分类讨论的⑷本节课你有哪些收获你还有哪些疑问设计意图：总结提升，锻炼学生总结能力、语言表达能力．4．3．5布置作业⑴试用几何画板、Ecel画反比例函数图象；⑵课本8页习题26．1 第3、4、5、8题．设计意图：让学有余力的学生，用多媒体技术画图，感受图象的变化趋势．巩固提高，达成目标．课后反思：本节课，由于时间的问题，初三学生已进入中考复习阶段，所以上课时用的是八年级的学生．八年级的学生刚刚学完函数的概念和函数的图象以及正比例函数相关知识，一次函数还没有学，所以本节课内容对学生来说具有一定难度．但是学生在小学已经接触过正比例关系和反比例关系，所以本节课的设计我都是类比正比例函数来研究的．教学过程中基本能达到预想，但是在第一遍画函数图象时，仍然有部分学生图象画错，或者列表格时数据算错．纠正完之后，学生能很快改正．在总结性质时，学生对增减性的总结仍忽略了图象的不连续性，但纠正之后也能及时改正．练习题完成非常顺利，说明学生掌握反比例函数的图象和性质情况较好．遗憾之处在于性质总结完之后对的作用没有再次总结提升．。
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则反比例函数的解析式为( D ) A.y=������ ������
B.y=-
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C.y=-
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D.y=-
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2.某反比例函数的图象经过点(-1,6),则下列各点中, 此函数图象也经过的点是( A ) A.(-3,2) B.(3,2) C.(2,3) D.(6,1)
此时水温(℃)与开机后用时(min)成反比例关系,直至水温
降至30 ℃,饮水机关机.饮水机关机后即刻自动开机,重复 上述自动程序.若在水温为30 ℃时,接通电源后,水温 y(℃)和时间t(min)的关系如右图,则在 2~14 min时间段 能使同学们能喝到超过50 ℃的水.
一课一案 创新导学
1.回答“问题导引”中的问题.
由题意可求 y=30+10t,30+10t≥50,t≥2(min), 30+10t=100,t=7.设函数 y= 通过(7,100),代入解得
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k=700,所以 y=
,
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≥50,解得:t≤14,所以 t 的取
解:(1)把点 A 的纵坐标 y=1 代入 y= x-2 中,
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得 x=6.∴点 A 的坐标为(6,1). 把点 A 的坐标(6,1)代入 y= 得 m=6.∴反比
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例函数的解析式为 y= . (2)当 x-2= 时,x1=-2,x2=6,由图象可知:当
一课一案 创新导学
26.1.2
反比例函数的图象和性质
第 1 课 时
一课一案 创新导学
学习目标
1.会用“描点法”画反比例函数的图象. 2.掌握反比例函数的图象与性质.
学习重点
反比例函数的三种表示方法,数形结合思想的应用.
一课一案 创新导学
教室里的饮水机接通电源就进入自动程序:开机加热时每 分钟上升10 ℃,加热到100 ℃后停止加热,水温开始下降,
一课一案 创新导学
3.反比例函数 y= 的图象是双曲线,当 x(x>0)的值不断
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增大时,曲线( C ) A.必与 x 轴相交 C.越来越接近 x 轴
B.必与 y 轴相交 D.越来越接近 y 轴
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4.当 x1>x2>0,P1(x1,y1),P2(x2,y2)是反比例函数 y= 图象 上的两点,根据“分别在第二、四象限中 y 随 x 增大而 增大”,下列判断中正确的是( A ) A.y1>y2 B.y1<y2 C.y1=y2 D.不能确定
值范围为:2≤t≤14.
一课一案 创新导学
2.在说反比例函数性质的时候为什么一定要加“在每个象
限中”?不说行吗?
因为反比例函数并不是连续的,而且不与x轴和y轴 相交,x≠0,y≠0,所以每个象限中的图象是单独存在的, 所以要说“在每个象限中”,不说不行.
一课一案 创新导学
1.点 P(-3,2)是反比例函数 y= (k≠0)的图象上一点,
一课一案 创新导学
如图,一次函数 y= x-2 与反比例函数 y= 的
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图象相交于点 A,且点 A 的纵坐标为 1. (1)求反比例函数的解析式; (2)根据图象写出当 x>0 时,一次函数的值大 于反比例函数的值的 x 的取值范围.
一课一案 创新导学
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x>6 时,一次函数的值大于反比例函数的值.
一课一案 创新导学
一般地,反比例函数 y= 的图象是双曲线,它具有以下的
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性质: (1)当 k>0 时,双曲线的两支分别位于第一、三象限 内,在每个象限内 y 随 x 的增大而减小. (2)当 k<0 时,双曲线的两支分别位于第二、四象限 内,在每个象限内 y 随 x 的增大而增大.