2012年北约自主招生考试数学真题
2012华约自主招生考试数学试题
2012年华约自主招生考试数学试题一、选择题1. 在锐角三角形ABC 中，已知A B C >>，则cos B 取值范围是（ ）A 、⎛ ⎝⎭B 、12⎛ ⎝⎭C 、()0,1D 、⎫⎪⎪⎝⎭2. 红蓝两色车、马、炮棋子各一枚，将这6枚棋子排成一列，其中每对同色的棋子中，均为红棋在前，蓝棋在后，满足这种条件的不同排列方式共有（ ）A 、36B 、60C 、90D 、1203. 正四棱锥S -ABCD 中，侧棱底面所成的角为α，侧面与底面所成的二面角为β，侧棱SB 与底面正方形ABCD 对角线所成角为γ，相邻两侧面所成二面角为θ，则四个角大小顺序为（ ）A 、α<β<θ<γB 、α<β<γ<θC 、α<γ<β<θD 、β<α<γ<θ4. 向量e α≠，1e =，若对t R ∀∈，te e αα-≥+，则（ ）A 、e α⊥B 、()e αα⊥+C 、()e e α⊥+D 、()()e e αα+⊥-5. 若C ω∈，11ωω-+的实数部为0，求复数11ω+在复平面内对应的点的轨迹（ ） A 、一条直线 B 、一条线段 C 、一个圆 D 、一段圆弧6. 椭圆长轴长是4，左顶点在圆22(4)(1)4x y -+-=上，左准线为y 轴，则此椭圆的离心率的范围是（ ）A 、11,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦B 、11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C 、11,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦D 、13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦7. 已知三棱锥S -ABC 中，底面ABC 是正三角形，点A 在侧面SBC 的射影H 是SBC 的垂心，二面角H -AB -C 为30度，且SA =2，则此三棱锥体积为（ ）A 、12BCD 、348. 已知锐角ABC ∆，BE AC ⊥于E ，CD AB ⊥于D ，25BC =，7CE =，15BD =，BECD H =，连接DE ，以DE 为直径画圆，该圆与AC 交于另一点F ，AF 的长度为（ ）A 、8B 、9C 、10D 、119. 数列{}n a 的通项公式是22lg 13n a n n ⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭，n S 是数列的前n 项和，则lim n n S →∞=（ ） A 、0B 、lg 32C 、lg2D 、lg310. 已知610i x -≤≤（1,2,,10i =），10150i i x ==∑，当1021i i x =∑取得最大值时，在i x 这10个数中等于6-的共有（ ）个A 、1B 、2C 、3D 、4二、解答题 11. 三角形ABC 中，22sin 1cos22A B C +=+， （1）求角C 大小； （2）22222c b a =-，求cos2cos2A B -的值．12. 点P 在y 轴上的投影为H ，若()2,0A -，()2,0B ，22AP BP PH ⋅=．（1）求点P 的轨迹；（2）过B 的直线在x 轴下方交P 点轨迹于M 、N 两点，MN 的中点为R ，求过R 与()0,2Q -的直线斜率的取值范围．13. 系统内每个元件正常工作的概率为p ，若有超过一半的元件正常工作，则系统正常工作．（1）某系统配置21k -有个元件，k 为整数，求系统正常工作的概率k P ，并讨论k P 的单调性；（2）现为改善（1）中性能，拟增加两个元件，试讨论增加两个元件后，能否提高系统可靠性． 14. 已知2()12!!n n x x f x x n =++++（n N *∈），求证：当n 为偶数时，()0n f x =无解；当n 为奇数时，()0n f x =有唯一解且2n n x x +<．15. 乒乓球队有n 个队员，在一次双打集训中，任意两名队员作为队友，恰好只搭档过一次双打比赛，求n的所有可能值并每个给一种比赛方案．16.。
“北约”自主招生数学试题及解答(2010-2012)
2010年“北约”自主招生数学试题及解答1．（仅文科做）02απ<<，求证：sin tan ααα<<． 【解析】 不妨设()sin f x x x =-，则(0)0f =，且当02x π<<时，()1cos 0f x x '=->．于是()f x 在02x π<<上单调增．∴()(0)0f x f >=．即有sin x x >． 同理可证()tan 0g x x x =->．(0)0g =，当02x π<<时，21()10cos g x x '=->．于是()g x 在02x π<<上单调增。
∴在02x π<<上有()(0)0g x g >=。
即tan x x >。
注记：也可用三角函数线的方法求解．2．AB 为边长为1的正五边形边上的点．证明：AB（25分） 【解析】 以正五边形一条边上的中点为原点，此边所在的直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．⑴当,A B 中有一点位于P 点时，知另一点位于1R 或者2R 时有最大值为1PR ；当有一点位于O 点时，1max AB OP PR =<；⑵当,A B 均不在y 轴上时，知,A B 必在y 轴的异侧方可能取到最大值（否则取A 点关于y 轴的对称点A '，有AB A B '<）．不妨设A 位于线段2OR 上（由正五边形的中心对称性，知这样的假设是合理的），则使AB 最大的B 点必位于线段PQ 上．且当B 从P 向Q 移动时，AB 先减小后增大，于是max AB AP AQ =或；对于线段PQ 上任意一点B ，都有2BR BA ≥．于是22max AB R P R Q == 由⑴，⑵知2max AB R P =．不妨设为x ．下面研究正五边形对角线的长．IHG F E 1111x x-1如右图．做EFG ∠的角平分线FH 交EG 于H ． 易知5EFH HFG GFI IGF FGH π∠=∠=∠=∠=∠=． 于是四边形HGIF 为平行四边形．∴1HG =． 由角平分线定理知111EFEH x FG x HG ===-．解得x =3．AB 为21y x =-上在y 轴两侧的点，求过AB 的切线与x 轴围成面积的最小值．（25分）【解析】 不妨设过A 点的切线交x 轴于点C ，过B 点的切线交x 轴于点D ，直线AC 与直线BD 相交于点E ．如图．设1122(,),(,)B x y A x y ，且有222211121,1,0y x y x x x =-=->>．由于2y x '=-，于是AC 的方程为2222x x y y =--；① BD 的方程为1122x x y y =--． ②联立,AC BD 的方程，解得121221(,1)2()y y E x x x x ---． 对于①，令0y =，得222(,0)2y C x -；对于②，令0y =，得112(,0)2y D x -． 于是221212121222112222y y x x CD x x x x --++=-=-． 121(1)2ECD S CD x x ∆=-．不妨设10x a =>，20x b -=>，则 2222111111()(1)(22)44ECD a b S ab a b a b ab a b a b∆++=++=+++++1111()(2)(2)44a b ab ab ab ab=+++⋅++≥ ③0s >，则有331111111(2)(.....)223399ECD S s s s s s s s s ∆=++=++++++ 6个 9个1243691616111116)]8()29s s s ⋅⋅[⋅(⋅()=⋅≥3218)3=⋅(= ④又由当12x a x b s ==-==时，③，④处的等号均可取到．∴min ()ECD S ∆ 注记：不妨设311()(2)2g s s s s=++，事实上，其最小值也可用导函数的方法求解． 由2211()(32)2g s s s '=+-知当2103s <<时()0g s '<；当213s <时()0g s '>．则()g s 在(0,上单调减，在)+∞上单调增．于是当s =时()g s 取得最小值． 4．向量OA 与OB 已知夹角，1OA =，2OB =，(1)OP t OA =-，OQ tOB =，01t ≤≤．PQ在0t 时取得最小值，问当0105t <<时，夹角的取值范围．（25分） 【解析】 不妨设OA ，OB 夹角为α，则1,2OP t OQ t =-=，令 222()(1)42(1)2cos g t PQ t t t t α==-+-⋅-⋅2(54cos )(24cos )1t t αα=++--+． 其对称轴为12cos 54cos t αα+=+．而12()54x f x x +=+在5(,)4-+∞上单调增，故12cos 1154cos 3αα+-+≤≤． 当12cos 1054cos 3αα++≤≤时，012cos 1(0,)54cos 5t αα+=∈+，解得223αππ<<． 当12cos 1054cos αα+-<+≤时，()g t 在[0,1]上单调增，于是00t =．不合题意． 于是夹角的范围为2[,]23ππ．5．（仅理科做）存不存在02x π<<，使得sin ,cos ,tan ,cot x x x x 为等差数列．（25分） 【解析】 不存在；否则有(cos sin )(cos sin )cos sin cot tan sin cos x x x x x x x x x x-+-=-=， 则cos sin 0x x -=或者cos sin 1sin cos x x x x+=．若cos sin 0x x -=，有4x π=．而此时1,122不成等差数列；若cos sin 1sin cos x x x x+=，有2(sin cos )12sin cos x x x x =+．解得有sin cos 1x x =． 而11sin cos sin 2(0,]22x x x =∈，矛盾！2011年“北约”自主招生数学试题及解答2012年“北约”自主招生数学试题及解答《自主招生》三大系列《全国重点高校自主招生备考指南·高一、高二基础版》从从高高一一开开始始行行动动起起来来！！⊙专为高一、高二学生设计，细致分析自主招生关键信息，深入讲解自主招生备考方略。
2012自主招生试题汇总.doc
试题汇总一：复旦大学千分考，一张卷子200道选择题，3 小时答完，答对一题加5 分，答错一题扣2 分。
简单来说，理论上一个考生最高能得1000 分，最少能被扣到-200 分。
部分题目汇总：1. “五月渡泸，深入不毛”中的“不毛”是什么意思？2. 以下哪个不是《西游记》的情节？（选项有：诸葛亮七擒孟获、猪八戒大战二郎神、鲁智深倒拔垂杨柳等）3. 以下四部著作中，从文学知识的角度来看，哪一部与其他三部不同？（A、水浒传B、红楼梦C、西游记D、聊斋志异）4. 此“时无声胜有声”出自哪篇文章？5. 《阿Q 正传》、《狂人日记》、《祝福》、《药》四篇小说的写作时间顺序？6. 《社戏》、《藤野先生》、《从百草园到三味书屋》等是否都出自《朝花夕拾》？7. 区分一段文学作品原句中的成语结构，属于并列式、层进式、联动式、递进式等中的哪一种？8. 以下哪些是盛唐山水诗人？（选项有：王维、谢灵运等）9. 现代诗歌（选项有：艾青《大堰河》、戴望舒《雨巷》、舒婷《致橡树》等）10. 哪位古人首次将文体区分为阳刚美和阴柔美？（选项有：王夫之等）11. 想象的基本形式是什么？12. 和“而不同”的特征是什么性？13. 2012 ！的末尾有几个零？14. 把一张十元钱破成1 元、5 角、1 角的零钱，共有多少种方法？15. Z5+Z-1=0 ，求Z 的值。
16. 任取1 个正整数，它的3 次方的十位与个位数均是1，概率是多少？17. 已知直线4x+3y=6 和直线4x+3y=1 ，求另一条直线和这两条直线的交点，距离等于根号2，同时这条直线必须经过（2 ，0）。
18. 上海出租车在3 公里以内收费14 元，超过3 公里10 公里以内每公里2.4 元，请选出支付的车费与路程之间函数关系。
（给出了一个相应算法的程序框图，框图中间挖了两个空，要求选择正确的程序语句使得算法能够根据行使的里程输出对应价格）19. 已知x0=0 ，x1=1 ，xn+1=（xn+xn-1），求数列xn 的极限。
北大真题集
北约”的数学题型为5道解答题，各20分，总分为100分，内容上每年都会考一到两题的平面几何，这个知识点是上海学生在初中就学过的，但在全国高考中是作为考核内容的。
此外，三角形和解析几何等也都是“北约”每年的考核重点，难度略高于本市实验性示范性高中平时做的题目。
“2012年“北约”自主招生选拔联合考试数学真题及答案北大联合自招，基本题型包括在阅读文本中选择正确或最好的表达形式、文言综合阅读、现代文学作品阅读、写作等几个部分。
文学作品阅读的选材广泛，因为作品时代差异和作家风格不同，对考生有很强的挑战性，王振宇老师建议：一要把握常见基础题型。
比如理解句子含义，分析段落内涵这类常见题目的答题技巧;二是以读促写，以写悟读，将阅读与写作有效结合起来，提高自我独立阅读能力、培养多角度、个性化思维素养。
三有良好阅读习惯，北约类试题文本阅读都是千字文，卷面试题量大、解题时间有限，考生应积极进行快速阅读训练，迅速理清作者的思想、意图、感受，体验作品的思想境界和作者对人、事、物的感情倾向等能力尤其重要。
关于写作，考生可看一下过去三年北约的作文题目：(北京大学2011)鲁迅曾说：“无尽的远方，无数的人们，都与我有关。
”你认为这是怎样的一种关联?你自己与“无尽的远方，无数的人们”是以什么方式相关联?试结合上述问题，以《无尽的远方，与无数的人们》为题写一篇作文。
(北京大学2010)今年是北京大学中文系林庚教授诞辰100周年，有人评价林庚“建安风骨，盛唐气象，少年精神，布衣情怀”。
请从中选择一个四字短语为题，写一篇要求在诗情画意中富含哲理的散文。
(北京大学2009)有腐败分子认为：腐败，是一种人人难免的“普遍本性”，它有助于刺激消费……请你写一篇800字文章、观点,要求至少有5处正确引用古诗文。
从过去三年北约的作文题目我们不难看出，命题者将学生表达能力和感悟能力结合起来，文章要写得有诗情画意，且要富有哲理，这就有一定的难度的。
2012年自主招生考试数学试卷1
2012年高中自主招生考试理综试卷注意事项：1. 本试卷由数学、物理及化学三部分构成，数学1—8页；理化9—12页； 2．分值设置：数学100分，物理40分，化学40分，共180分； 3．考试时间：数学、物理及化学同场考试，时间为150分钟.4．答卷前，务必将自己的姓名、考号用钢笔（圆珠笔）写在每张试卷密封线内相应的位置上.5．考试结束后，考生须将第Ⅰ卷、第Ⅱ卷一并交回．数学部分第Ⅰ卷（选择题 共24分）一、选择题：（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）在下列各小题中，均给出四个答案，其中有且只有一个正确答案，请将正确答案的字母代号填入第Ⅱ卷选择题答题表中相应题号下的方格内，填错或不填均为零分. 1. 下列运算正确的是A ．236(2)8a a -=-B ．3362a a a +=C ．632a a a ÷=D ．3332a a a ⋅= 2. 若某三角形的两边长分别为6和8，则下列长度的线段能作为其第三边的是A ．2B ．10C ．14D ．163．实数aA . 7B . -7C . 2a -15D . 无法确定 4. 如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCO 的顶点A 、C 分别 在y 轴、x 轴上，以AB 为弦的⊙M 与x 轴相切．若点A 的坐标 为（0，4），则圆心M 的坐标为A ．（25，﹣2） B ．（25-，2） C ．（﹣2，25）D ．（2，25-）（第3题图）（第4题图）5. 某水库大坝的横断面是梯形，坝内斜坡的坡度i =1i =1∶1，则两个坡角的和为A ．o 60B ．o 75C ．o 90D ．o 1056．如图，梯形ABCD 中，∠ABC 和∠DCB 的平分线相交于梯形中位线EF 上的一点P ，若EF =3，则梯形ABCD 的周长为 A ．9B ．10.5C ．12D ．157. 如图，函数x y =1和34312+=x y 的图象相交于（－1，1）， （2，2）两点．当21y y <时，x 的取值范围是 A ．x ＞-1 B ．-1＜x ＜2 C ．x ＜2D . x ＜-1或x ＞28．如图，平面直角坐标系中，四边形OABC 是菱形，点C 的坐标为（4,0），∠AOC = 60°，垂直于x 轴的直线l 从y 轴出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，设直线l 与菱形OABC 的两边分别交于点M ，N （点M 在点N 的上方），若△OMN 的 面积为S ，直线l 的运动时间为t 秒（0≤t ≤4）,则能大致反映S 与t 的函数关系的图象是(第6题图)(第7题图)A BCDEF PA ．B ．C ．D ．Ａ ＦＣＤＢＥ （第12题图）2012年高中自主招生考试数 学 试 卷总 分 表选择题答题表第Ⅱ卷 （非选择题 共76分）二、填空题：（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）将结果直接填写在每题的横线上. 9．分解因式：2224xy xy y -+-= .10．将二次函数2x y =的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是 ．11．已知扇形的圆心角为150°，它所对应的弧长为20πcm ，则此扇形的面积是 2cm （结果保留π）． 12．如图，在ABC △中，点D 、E 、F 分别在边AB 、BC 、CA 上，且DE CA ∥，DF BA ∥．下列四种说法： ①四边形AEDF 是平行四边形；②如果90BAC ∠=，那么四边形AEDF 是矩形；③如果AD 平分BAC ∠，那么四边形AEDF 是菱形； ④如果AD BC ⊥且AB AC =，那么四边形AEDF是正方形.其中错误的是 （只填序号）. 13．正方形A 1B 1C 1O ，A 2B 2C 2C 1，A 3B 3C 3C 2，…按如图所示的方式放置．点A 1，A 2，A 3，…和点C 1，C 2，C 3，…分别在直线y kx b =+(k ＞0)和x 轴上，已知点B 1（1，1），B 2（3，2），则直线y kx b =+的解析式为 .B n 的坐标是 ．三、解答题：（本大题共8个小题，满分61分）14.（本题满分5分）化简：22222369x y x y yx y x xy y x y --÷-++++．15.（本题满分6分）已知关于x的一元二次方程x2 + 2（k－1）x + k2－1 = 0有两个不相等的实数根．（1）求实数k的取值范围；（2）0可能是方程的一个根吗？若是，请求出它的另一个根；若不是，请说明理由．16.（本题满分6分）在电视台举办的“超级女生”比赛中，甲、乙、丙三位评委对选手的综合表现，分别给出“淘汰”或“通过”的结论．（1）请用树状图表示出三位评委给出A选手的所有可能的结论；（2）比赛规则设定：三位评委中至少有两位评委给出“通过”的结论，那么这位选手才能进入下一轮比赛．试问：对于选手A，进行下一轮比赛的概率是多少？17.（本题满分6分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，点D是AC的中点，将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连结BE、EC．试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想．EADB C18.（本题满分8分）如图，△ABC 内接于⊙O ，CA =CB ，CD ∥AB 与OA 的延长线交于点D ． （1）求证：CD 是⊙O 的切线； （2）若∠ACB =120°，OA = 4，求CD 的长．19.（本题满分8分）如图，已知菱形OABC 的边长为6，O 点为坐标原点，C 点在x 轴上，D 为BC 边的中点，双曲线y =xk(k >0)经过A 、D 两点. （1）求反比例函数y =xk的解析式； （2）若点P 为x 轴上一点，且满足PD =AD ，求出点P 的坐标.ABC DO20．（本题满分10分）为迎新年，某公司用10台机器生产A、B两种不同的龙年吉祥玩具，每台机器只生产其中一种玩具，每天所需生产原料总数不超过950千克，每天生产的B种玩具不小于A种玩具的件数，每天连续工作10小时.下表是这种机器生产不同玩设生产A种玩具的机器x台，则生产B种玩具的机器有（10-x）台.（1）求x的取值范围.（2）若A种玩具每2件包装成一盒，B种玩具每4件包装成一盒，每天生产的各种玩具恰好包装完．．．．．.A种玩具每盒可获利5元，B种玩具每盒可获利6元.(包装了才能销售)怎样安排机器生产使每天生产玩具获利最大.（3）若用6台机器生产A种玩具，4台机器生产B种玩具，且将A种玩具2件，B种玩具4件混合包装成一盒，这样安排后，每天生产出来的玩具不能成套包装的有多少件？21．（本题满分12分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A 坐标为（2，4），直线2=x 与x 轴相交于点B ，连结OA ，抛物线2x y =从点O 沿OA 方向平移，与直线2=x 交于点P ，顶点M 到A 点时停止移动．（1）求线段OA 所在直线的函数解析式；（2）设抛物线顶点M 的横坐标为m ，①用m 的代数式表示点P 的坐标；②当m 为何值时，线段PB 最短；（3）当线段PB 最短时，相应的抛物线上是否存在点Q ，使△QMA 的面积与△PMA的面积相等，若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．。
2011-2012北约语文数学考题及详解+2013数学考题及详解分解
2011年综合性大学(北约)自主选拔录取联合考试数学试题请注意:文科考生做1至5题,理科考生做3至7题,每题20分,共100分.1.已知平行四边形的其中两条边长为3和5,一条对角线长为6,求另一条对角线的长.2.求过抛物线2221y x x =--和2523y x x =-++的交点的直线方程.3.在等差数列{}n a 中,3713,3,a a =-=数列{}n a 的前n 项和为n S ,求数列{}n S 的最小项,并指出其值为何.4.在ABC ∆中,2a b c +≥,求证:60C ∠≤.5.是否存在四个正实数,使得它们的两两乘积为2,3,5,6,10,16?6.1C 和2C 是平面上两个不重合的固定圆,C 是平面上的一个动圆,C 与12,C C 都相切,则C 的圆心的轨迹是何种曲线?说明理由.7.求()|1||21||20111|f x x x x =-+-++-的最小值.2012年北约自主招生数学试题1、求x 的取值范围使得12)(-+++=x x x x f 是增函数；2、求1210272611=+-+++-+x x x x 的实数根的个数；3、已知0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的4个根组成首项为41的等差数列，求n m -； 4、如果锐角ABC ∆的外接圆的圆心为O ，求O 到三角形三边的距离之比；5、已知点)0,2(),0,2(B A -，若点C 是圆0222=+-y x x 上的动点，求ABC ∆面积的最小值。
6、在2012,,2,1 中取一组数，使得任意两数之和不能被其差整除，最多能取多少个数？7、求使得a x x x x =-3sin sin 2sin 4sin 在),0[π有唯一解的a ；8、求证：若圆内接五边形的每个角都相等，则它为正五边形；9、求证：对于任意的正整数n ，n )21(+必可表示成1-+s s 的形式，其中+∈N s2013“北约”自主招生试题（时间90分钟，满分120分） 一、选择题（每题8分，共48分）1和1 ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 62．66⨯方阵，3个红车，3个黑车，且6个均不在同一行且不在同一列，有（ ）种方法 A. 720 B. 20 C. 518400 D. 14400 3．已知225x y =+，225y x =+，（x y ≠），则32232x x y y -+值为（ ） A. 10- B. 12- C. 14- D. 无法确定 4．在数列{}n a 中，11a =，142n n S a +=+（1n ≥），则2013a 值为（ ） A. 201230192⨯ B. 201330192⨯ C. 201230182⨯ D. 无法确定5．在ABC ∆中，D 为BC 中点，DM 平分ADB ∠交AB 于点M ，DN 平分ADC ∠交AC 于N ，则BM CN +与MN 的关系为（ ）A. BM CN MN +>B. MN CN MN +<C. BM CN MN +=D. 无法确定6．若,,A B C 为三个复数A B C ≠≠，且模全为1，则BC AC ABA B C++++=（ ）A. 12-B. 1C. 2D. 无法确定 二、解答题（每题18分，共72分）7．最多能找多少个两两不相等的正整数使其任意三个数之和为质数，并证明你的结论。
2012自主招生试题及答案
2012自主招生试题及答案第一部分：英语（满分50分，时间45分钟）一、单项填空（共15小题，每小题1分，满分15分）在下列各题的四个选项中，只有一个最符合题目要求。
请你将答案填在答题卡上。
1. —I can’t find my wallet anywhere.— Are you sure you _______ it at home?A. don’t leaveB. didn’t leaveC. haven’t leftD. hadn’t left答案：C2. The new movie _______ by millions of people since it came out.A. had watchedB. have been watchedC. has been watchedD. was watched答案：C3. Your car keys _______ on the table. You should have put them in your pocket.A. had lainB. have lainC. layD. were lain答案：A4. I can’t understand _______ you are trying to say. Could you please explain it again?A. whatB. whichC. whyD. how答案：A5. —Let’s go hiking this weekend, shall we?— _______ Sounds like a great idea!A. No problemB. I’d love toC. Don’t worryD. Take it easy答案：B二、完形填空（共20小题，每小题1分，满分20分）阅读下面短文，掌握其大意，然后从短文后各题所给的四个选项中，选出最佳选项，并将答案填在答题卡上。
“北约”自主招生数学试题及答案(2010-2014)
2014年北约自主招生数学试题1.圆心角为60的扇形面积为6π,求它围成的圆锥的表面积.1.【解】设扇形的半径为r ,则由21623r ππ=⨯,得6r =. 于是扇形的弧长为623l ππ=⨯=,其即为圆锥的底面周长,于是圆锥的底面半径为1, 所以底面面积为21ππ⨯=,也所以圆锥的表面积为67S πππ=+=.2.将10个人分成3组,一组4人,两组各3人,有多少种分法.2.【解】由题知所有分组方法有3341074222100C C C N A ==种.3.如果2()lg(2)f x x ax a =-+的值域为R ,求a 的取值范围.3.【解】由题意22u x ax a =-+的值域包含区间(0,)+∞,则22u x ax a =-+与x 有交点, 故2(2)40a a ∆=--≥,解得1a ≥或0a ≤.4.设2()2()()33a b f a f b f ++=,且(1)1,(4)7f f ==,求(2014)f .4.【解】由(1)1,(4)7f f ==得421(4)2(1)(2)()333f f f f +⨯+===; 124(1)2(4)(3)()533f f f f +⨯+===,由数学归纳法可推导得*()21,f n n n N =-∈, 所以(2014)4027f =.5.已知1x y +=-且,x y 都是负数,求1xy xy+的最值.5.【解】由0,0x y <<可知,1||1||||1x y x y x y +=-⇒+=⇒+=,所以2(||||)1||||||44x y xy x y +=⨯≤=,即1(0,]4xy ∈,令1(0,]4t xy =∈,则易知函数1y t t =+在(0,1]上递减,所以其在1(0,]4上递减,于是1xy xy +有最小值117444+=,无最大值.6.已知22()arctan14x f x c x +=+-在11(,)44-上是奇函数,求c .6.【解】奇函数(0)0f =,故arctan2c =-.7.证明tan3是无理数.7.【证明】由三角公式22tan tan tan tan 2,tan()1tan 1tan tan ααβααβααβ+=+=--⋅, 若tan3是有理数,则tan 6,tan12,tan 24为有理数,再由tan 6和tan 24可得tan 30为有理数,这与3tan 30=!因此,tan3是无理数.8.已知实系数二次函数()f x 与()g x 满足3()()0f x g x +=和()()0f x g x -=都有双重实根,如果已知()0f x =有两个不同的实根,求证()0g x =没有实根.8.【证】由题可设2211223()()(),()()()f x g x a x b f x g x a x b +=--=-,其中120,0a a ≠≠, 则22221222112211()[()()],()[()3()]44f x a x b a x bg x a x b a x b =-+-=---, 由()0f x =有两个不同的实根,则必有12,a a 异号,且120a a +≠, 此时22212112211221()[()2()]4f x a a x a b a b x a b a b =+-+++,即2222112212112212124()4()()4()0a b a b a a a b a b a a b b ∆=+-++=-->,所以12b b ≠, 故此时观察2211221()[()3()]4g x a x b a x b =---可知,12,3a a -同号,且1230a a -≠,12b b ≠,故()0g x >恒成立,即证明()0g x =没有实根.9.1213,,,a a a 是等差数列,{|113}i j k M a a a i j k =++≤<<≤,问:7160,,23是否可以同时在M 中,并证明你的结论.9.【解】不可以同时在M 中,下面给予证明.假设7160,,23同时在M 中,设*(113,)k a a kd k k N =+≤≤∈,其中d 为公差,则*{3()|113}{3|636,}M a i j k d i j k a md m m N =+++≤<<≤=+≤≤∈于是存在正整数6,,36x y z ≤≤,使得30,73,21633a xd a yd a zd ⎧⎪+=⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩从而7(),216()3y x d z x d ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩也所以2132y x z x -=-,由于21,32互质,且,y x z x --为整数,则有||21,||32y x z x -≥-≥, 但||36630z x -≤-=,矛盾!假设错误,即证明7160,,23不可以同时在M 中.10.已知12,,,n x x x R +∈,且121n x x x =,求证:12)(2)1)n n x x x +≥.10.【证】(一法:数学归纳法)①当1n =时,111x =≥=右边,不等式成立; ②假设*(1,)n k kk N =≥∈时,不等式12)(2)1)k k x x x +≥成立.那么当1n k =+时,则1211k k x x x x +=,由于这1k +个正数不能同时都大于1,也不能同时都小于1,因此存在两个数,其中一个不大于1,另一个不小于1,不妨设11,01k k x x +≥<≤, 从而111(1)(1)01k k k k k k x x x x x x +++--≤⇒+≥+,所以1212)(2(2)k kx x x x ++ 12112)[22()]kk kk x x xx x x ++=+++11212)(2(2(1)1)(21)k k k k x x x x ++≥+≥= 其中推导上式时利用了1211()1k k k x x x x x -+=及n k =时的假设,故1n k =+时不等式也成综上①②知,不等式对任意正整数n 都成立. (二法)左边展开得12)(2)n x x x+12121212111()(2)()k k nnn n n k i i j i i i n i i j ni i i nx x x x x x x x x ---=≤<≤≤<<<≤=+++++∑∑∑由平均值不等式得1112121212111211()(())k k knn nk k k k C C C k k ki i i nii i n n n i i i ni i i nx x x C x x x C x x x C --≤<<<≤≤<<<≤≥==∑∏故12)(2)n x x x +1122))2)(2)(21)n n n n kknnn n nnC C C C ---≥++++=+,即证. (三法)由平均值不等式有111()n nnk k n ==≥……①;111(n nn k k n ==≥……②①+②得1()nk k n n x =≥,即12)(2)1)n n x x x +≥成立.2013年北约自主招生数学试题与答案（时间90分钟，满分120分）1．和1A. 2B. 3C. 5D. 6解析：显然，多项式23()(2)(1)2f x x x ⎡⎤=---⎣⎦的系数均为有理数，且有两根分别为和1.和1-于5.若存在一个次数不超过4的有理系数多项式432()g x ax bx cx dx e =++++，其两根分别为和1,,,,a b c d e 不全为0，则：420(42)(2020a c e ga c eb d b d ++=⎧=++++=⇒⎨+=⎩(1(7)(232(630g a b c d e a b c d a b c =-+----+++++=702320a b c d e a b c d +---=⎧⇒⎨+++=⎩ 即方程组：420(1)20(2)70(3)2320(4)630(5)a c eb d a bcde a b c d a b c ++=⎧⎪+=⎪⎪+---=⎨⎪+++=⎪++=⎪⎩，有非0有理数解. 由（1）+（3）得：110a b c d ++-= （6） 由（6）+（2）得：1130a b c ++= （7） 由（6）+（4）得：13430a b c ++= （8） 由（7）-（5）得：0a =，代入（7）、（8）得：0b c ==，代入（1）、（2）知：0d e ==.于是知0a b c d e =====，与,,,,a b c d e 不全为0矛盾.所以不存在一个次数不超过4的有理系数多项式()g x和1和1为两根的有理系数多项式的次数最小为5.2． 在66⨯的表中停放3辆完全相同的红色车和3辆完全相同的黑色车，每一行每一列只有一辆车，每辆车占一格，共有几种停放方法？ A. 720 B. 20 C. 518400 D. 14400解析：先从6行中选取3行停放红色车，有36C 种选择.最上面一行的红色车位置有6种选择；最上面一行的红色车位置选定后，中间一行的红色车位置有5种选择；上面两行的红色车位置选定后，最下面一行的红色车位置有4种选择。
2012年北约自主招生文科试题及答案
北京大学自主招生数学（文科）解答24. 解法一：（4分）（6分）（6分）（2分）说明1. 直接猜出取中点时取得最小值43，得2分.解答二：建立坐标系，设)0,(a A ，)3,(b b B ，))1(3,(c c C -222CA BC AB ++6126422882222+--+--++=c c bc ca ab c b a （4分）61263215215)2(2222+--++++-=c b bc c b c b a （6分） 4343)43(536)1563(215)2(2222≥+-+-+++-=c c b c b a （6分）当43 =c ，41 =b ，21 =a 时，222CA BC AB ++取到最小值43 (2分)说明1. 原点取在别处（比如某边中点），可相应给分解答三：建立坐标系，设)0,(x A ，))21(3,(y y B -，))21(3,(z z C +222CA BC AB ++2333422882222++-+--++=z y yz xz xy z y x （4分） 4343)41(536)51(215)2(2222≥+++-+++-=z z y z y x （6分）4343)43(536)1563(215)2(2222≥+-+-+++-=c c b c b a （6分）当且仅当41- =z ，41 =y ，0 =x 时，222CA BC AB ++取到最小值43 (2分)25. 证明：内角相等的圆内接五边形必为正五边形。
解法一：证明: 假设圆内接五边形每条边所对应的弧长分别是x ， y ， z ，u ，v . 利用等角对等弧这一结论 我们有x + y + z = y + z + u （5分）同理 x + y + z = y + z + u =z + u + v = u + v + x = v + x + y (10 分)由此可知 x = y = z = u = v (15 分)再利用等弧对等弦，所以圆内接五边形的五条边都相等. (20分)解法二：证明: 假设圆内接五边形每条边所对应的弧长分别是x ， y ， z ，u ，v . 利用等角对等弧这一结论我们有 x + y + z = y + z + u （5分）x = u (10 分)同理 x = y = z = u = v (15 分)再利用等弧对等弦，所以圆内接五边形的五条边都相等. (20分) 解法三：证明: 连接CE∵ ABCE 是圆内接四边形∴ ∠A+∠1=180° ∠B+∠2=180°∵ ∠A=∠B∴ ∠1=∠2 （5分） ∵ ∠1+∠3=∠2+∠4∴ ∠3=∠4 （10分） ∴ DE = CD （15分） 同理 AB=BC= CD =DE = AE 所以圆内接五边形的五条边都相等. (20分)解法四： 连接CE∵ ABCE 是圆内接四边形 ∴ ∠A+∠1=180° ∵ ∠A=108°∴ ∠1= 72° (5分)∴ ∠BOE=2∠1= 144° (10分) 同理 ∠BOD=144°∴ ∠EOD=360°-144°-144°=72° (15分) 同理 ∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE=∠EOA=72°∴ AB=BC=CD=DE=EA∴圆内接五边形的五条边都相等. (20分)解法五：证明: ∵∠BAE=∠ABC ∠1=∠2∴∠3=∠10 (5分)∵∠3=∠4 ∠9=∠10∴∠4=∠9∵∠BCD=∠AED∴∠5=∠8∵∠5=∠6 ∠7=∠8∴∠6=∠7 (或∠6=∠7= 54°) (10分) ∴∠5+∠6=∠7+∠8∴∠COD=∠DOE∴ CD=DE (15分)同理 AB=BC= CD =DE = AE所以圆内接五边形的五条边都相等. (20分)解法六：∵半径相等∴∠1=∠2 ∠3=∠4 ∠5=∠6 ∠7=∠8 ∠9=∠10∵∠1+∠2+∠3+… +∠9+∠10 =540°∴（∠1+∠10）+（∠4+∠5）+∠8=270°∵∠1+∠10=108°∠4+∠5=108°∴∠8= 54°（5分）∴∠9+∠8 = 108°∴∠9= 54°∴∠8=∠9 （10分）∵∠9+∠10=∠7+∠8∴∠AOE=∠DOE∴ AE=DE (15分)同理AB=BC= CD =DE = AE所以圆内接五边形的五条边都相等. (20分)解法七：∵同弧AB所对的角相等∴∠1=∠2 (5分)∵∠BAE=∠ABC AB=AB∴△ABC ≌△ABE (10分)∴ BC=AE (15分)同理AB=BC= CD =DE = AE所以圆内接五边形的五条边都相等. (20分)解法八：∵∠B=∠E∴ AC=AD （5分）∴∠1=∠2∵ ∠1+∠3=∠2+∠4∴ ∠3=∠4 (10分) ∴ A B=AE (15分)同理 AB=BC= CD =DE = AE 所以圆内接五边形的五条边都相等. (20分)解法九：∵ ∠B=∠E ∴ AC=AD （5分） ∴ ∠1=∠2 ∵ ∠1+∠3=∠2+∠4∴ ∠3=∠4 (10分) ∵ ∠B=∠E AC=AD∴ △ABC ≌ △ADE （15分） ∴ BC=AE同理 AB=BC= CD =DE = AE 所以圆内接五边形的五条边都相等. (20分)解法十： 设AB=a, AE= b2 ，BC= b 1,∵ ∠BAE=∠ABC= 108° ∴ AC=BE （5分）设 AC=BE=c 由余弦定理，得在△ABC 中 c 2= a 2+ b 12 －2 a b cos 108° ①在△ABE 中 c 2= a 2 +b 22 －2 a b cos 108° ② （10分） ①-②,得 （b 1－b 2）(b 1+b 2－2 a b cos 108°）= 0 ∵ cos 108°＜0∴ b 1+b 2－ 2 a b cos 108°＞0 （若同学没有这一步，则这道题只得10分） ∴ b 1= b 2 即BC=AE (15分) 同理 AB=BC= CD =DE = AE 所以圆内接五边形的五条边都相等. (20分)解法十一：∵ 圆内接五边形的各内角相等 ∴ AC=BD∴∠A0C=∠BOD (5分) ∴∠A0B+∠B0C=∠COD+∠BOC∴∠A0B =∠COD (10分) ∴ AB=CD (15分)同理 AB=BC= CD =DE = AE 所以圆内接五边形的五条边都相等. (20分)阅卷说明：1、只画图，没有证明，记0分。
一道2012年自主招生北约联考试题的联想
一道２０１２年自主招生北约联考试题的联想蔡祖才（江苏省常熟市中学，２１５５００） ２０１２年自主招生北约联考试题中有一道三角形试题，题目描述简单，解答就很容易．但这种优美的设问方法，给我们带来很多联想，有利于我们对数学思维的展开．题目 如果锐角△ＡＢＣ的外接圆圆心为Ｏ，求Ｏ到三角形三边的距离比．图１解答 因为△ＡＢＣ为锐角三角形，所以圆心Ｏ在△ＡＢＣ内部，如图１，过Ｏ分别作ＢＣ、ＣＡ、ＡＢ的垂线，垂足分别是Ｄ、Ｅ、Ｆ，设外接圆的半径为Ｒ，根据圆心角与圆周角的定义，可知∠ＤＯＣ＝１２∠ＢＯＣ＝∠Ａ．在Ｒｔ△ＤＯＣ中，ＯＤ＝Ｒｃｏｓ∠ＤＯＣ＝ＲｃｏｓＡ，同理可得，ＯＥ＝ＲｃｏｓＢ，ＯＦ＝ＲｃｏｓＣ．因此，Ｏ到三角形三边的距离比为ＯＤ∶ＯＥ∶ＯＦ＝ｃｏｓ Ａ∶ｃｏｓＢ∶ｃｏｓＣ．锐角三角形外接圆圆心到三边的距离比有这样优美的结论，可以联想，锐角三角形的垂心，重心到三边的距离比也有同样优美的结论．经过探究，我们得到以下结论．结论１ 如果锐角△ＡＢＣ的垂心为Ｈ，则Ｈ到三角形三边的距离比为１ｃｏｓ Ａ∶１ｃｏｓＢ∶１ｃｏｓＣ．图２证明 设△ＡＢＣ的外接圆半径为Ｒ，如图２，三角形ＢＣ、ＣＡ、ＡＢ边上的高分别是ＡＤ、ＢＥ、ＣＦ，因为△ＡＢＣ为锐角三角形，所以垂心Ｈ在△ＡＢＣ内部．在Ｒｔ△ＡＤＣ中，ＤＣ＝ＡＣｃｏｓＣ＝２ＲｓｉｎＢｃｏｓＣ；在Ｒｔ△ＨＤＣ中，∠ＤＨＣ＝∠Ｂ，ＨＤ＝ＤＣｃｏｔ∠ＤＨＣ＝ＤＣｃｏｔ Ｂ＝２ＲｓｉｎＢｃｏｓＣｃｏｔ Ｂ＝２ＲｃｏｓＢｃｏｓＣ，同理可得ＨＥ＝２ＲｃｏｓＣｃｏｓ Ａ，ＨＦ＝２Ｒｃｏｓ ＡｃｏｓＢ，所以ＨＤ∶ＨＥ∶ＨＦ＝ｃｏｓＢｃｏｓＣ∶ｃｏｓＣｃｏｓ Ａ∶ｃｏｓ ＡｃｏｓＢ＝１ｃｏｓ Ａ∶１ｃｏｓＢ∶１ｃｏｓＣ．结论２ 如果锐角△ＡＢＣ的重心为Ｇ，则Ｇ到三角形三边的距离比为１ｓｉｎＡ∶１ｓｉｎＢ∶１ｓｉｎＣ．图３证明 设△ＡＢＣ的外接圆半径为Ｒ，如图３，过Ｇ分别作ＢＣ、ＣＡ、ＡＢ的垂线，垂足分别是Ｄ、Ｅ、Ｆ，ＢＣ的中点为Ｍ，ＢＣ边上的高为ＡＨ，则ＧＤ＝１３ＡＨ＝１３ＡＣｓｉｎＣ＝２Ｒ３ｓｉｎＢｓｉｎＣ．同理可得ＧＥ＝２Ｒ３ｓｉｎＣｓｉｎＡ，ＧＦ＝２Ｒ３ｓｉｎＡｓｉｎＢ，所以ＧＤ∶ＧＥ∶ＧＦ＝ｓｉｎＢｓｉｎＣ∶ｓｉｎＣｓｉｎＡ∶ｓｉｎＡｓｉｎＢ＝１ｓｉｎＡ∶１ｓｉｎＢ∶１ｓｉｎＣ．我们还可以联想，锐角三角形的垂心和内心到三顶点的距离比也有优美的结论．经过探究，我们还可以得到以下的结论．结论３ 如果锐角△ＡＢＣ的垂心为Ｈ，则Ｈ到三角形三顶点的距离比为ｃｏｓ Ａ∶ｃｏｓＢ∶ｃｏｓＣ．图４证明 设△ＡＢＣ的外接圆半径为Ｒ，如图４，三角形ＢＣ、ＣＡ、ＡＢ边上的高分别是ＡＤ、ＢＥ、ＣＦ，因为△ＡＢＣ为锐角三角形，所以垂心Ｈ在△ＡＢＣ内部．在Ｒｔ△ＡＢＥ中，ＡＥ＝ＡＢｃｏｓ Ａ＝２ＲｓｉｎＣｃｏｓ Ａ．９５·辅教导学· 数学通讯———２０１２年第７、８期（上半月）在Ｒｔ△ＡＨＥ中，∠ＡＨＥ＝∠Ｃ，ＡＨ＝ＡＥｓｉｎ∠ＡＨＥ＝２ＲｓｉｎＣｃｏｓ ＡｓｉｎＣ＝２Ｒｃｏｓ Ａ．同理可得ＢＨ＝２ＲｃｏｓＢ，ＣＨ＝２ＲｃｏｓＣ，所以ＡＨ∶ＢＨ∶ＣＨ＝ｃｏｓ Ａ∶ｃｏｓＢ∶ｃｏｓＣ．图５结论４ 如果锐角△ＡＢＣ的内心为Ｉ，则Ｉ到三角形三顶点的距离比为１ｓｉｎＡ２∶１ｓｉｎＢ２∶１ｓｉｎＣ２．证明 设△ＡＢＣ的内切圆半径为ｒ，如图５，过Ｉ作ＡＢ的垂线，垂足为Ｆ，在Ｒｔ△ＡＩＦ中，ＡＩ＝ＩＦｓｉｎ∠ＦＡＩ＝ｒｓｉｎＡ２． 同理可得ＢＩ＝ｒｓｉｎＢ２，ＣＩ＝ｒｓｉｎＣ２，所以ＡＩ∶ＢＩ∶ＣＩ＝１ｓｉｎＡ２∶１ｓｉｎＢ２∶１ｓｉｎＣ２．类似地，若三角形是钝角三角形，也会有类似的结论，请读者自行研究．一道自主招生试题，让我们从锐角三角形的外心类比到垂心、重心，从到三边的距离比类比到三顶点的距离比，这种思维以放射性思考模式为基础，运用了联想，达到了锻炼思维的目的．虽然试题及联想结论简单明了，但结论的优美性和联想思维的价值不言而喻．（收稿日期：２０１２－０３－０１）由一道课本习题引起的思考王业和（安徽省潜山中学，２４６２００） 高中数学必修２（人教版）第１３３面Ｂ组第３题为：已知圆ｘ２＋ｙ２＝４，直线ｌ：ｙ＝ｘ＋ｂ．当ｂ为何值时，圆ｘ２＋ｙ２＝４上恰有３个点到直线ｌ的距离等于１．分析和解 由题设可知圆的半径ｒ＝２，要使圆上恰有３个点到直线ｌ的距离为１，则只需圆心Ｏ到ｌ的距离为１即可，即ｄ＝ｂ１２＋（－１）槡２＝１，解得ｂ＝±槡２．因此，当ｂ＝±槡２时，圆ｘ２＋ｙ２＝４上恰有３个点到直线ｌ的距离等于１．这是一道经典习题，此题的灵魂和核心就是转化为计算圆心Ｏ到直线ｌ的距离问题，这也是解决此类问题的关键所在．若满足于求出问题的答案为止，则甚为可惜．若对此题进行恰当的变式训练，则能更好地使学生解一题会一类，提高学生触类旁通的能力．一、改变点的个数．思考１ 已知圆ｘ２＋ｙ２＝４，直线ｌ：ｙ＝ｘ＋ｂ．分别求ｂ的取值范围，使圆ｘ２＋ｙ２＝４上恰有：（１）４个点到直线ｌ的距离等于１； （２）２个点到直线ｌ的距离等于１；（３）１个点到直线ｌ的距离等于１；（４）没有点到直线ｌ的距离等于１．仿照前面的解答易求得答案为：（２）－槡２＜ｂ＜槡２；（２）槡２＜ｂ＜槡３ ２或－槡３ ２＜ｂ＜－槡２；（３）ｂ＝±槡３ ２；（４）ｂ＜－槡３ ２或ｂ＞槡３ ２．二、改变字母参数．思考２ 已知圆ｘ２＋ｙ２＝ｒ２上恰有两点到直线ｌ：３ｘ－４ｙ＝２５的距离等于１，求ｒ的取值范围．分析和解 此题改变了未知量，需要求的是圆的半径ｒ的取值范围，难度显然增加，但解题的关键还是利用圆心到直线的距离求解．０６数学通讯———２０１２年第７、８期（上半月） ·辅教导学·。
2012年“华约”、“北约”自主招生数学试题分析及应试策略
• （5）对简单数论与组合数学的考查
二、2012年自主招生数学试题的 考试热 点以及其备考方向
• 通过对近几年“北约”、“华约”及“卓越”三 联盟自主招生考试数学试题的分析，今年各联盟 自主招生的有以下几个方面成为热点： • （1）三角与向量。主要考查三角函数的恒等变形、 三角形中的三角函数、三角不等式、三角 函数的 性质 • （2）函数与导数。主要考查函数的三大性质、二 次函、三次函数、极值与最值问题
• (3) 数列与不等式。主要考查等差数列与等比数列、
简单的递推数列、数列的求和、数列求通项、数 列的性质等
• (4)解析几何。主要二次曲线的几何性质、点的轨迹方 程、解析法等 • (5)概率与统计。主要考查离散变量的概率 • (6)简单的初等数论。主要考查数的整除性、奇偶性 • (7)简单的组合数学。主要考查排列、组合、计数、对 应、趣味数学题。
2、“华约” 自主招生数学试题特点
• “华约”自主招生数学试题总的来说比“北约ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 的试题多变，即随意性较大。主要特点如下： • （1）突出能力立意 • （2）三角恒等变换与三角形中的三角函数 • （3）概率统计 • （4）方程与不等式
• （5）函数与导数
3、“卓越同盟” 自主招生数学试题特点
• （1）注重函数与方程的考查 • （2）注重代数恒等变形的考查 • （3）突出数学思想方法的考查 • （4）注重不等式与数列
自主招生试题特点分析
及2012年自主招生备考策略
一、2012年自主招生数学试题特点
1、北约自主招生数学试题的特点
• (1)注重对数学思想方法的考查
• (2)注重数学综合应用能力的考查
• (3)注重逻辑推理能力的考查
• (4) 注重运算能力及数学能力的考查 • (5) 注重对主杆知识的考查 • (6)注重数学应用性问题的考查
2012年＂北约＂高校自主招生数学试题简解与讨论
中学 数学 杂 志
２１ ０２年第 ５期
ｇ磁 缓 Ａ ２的直 径 中靠近 Ａ ： Ｂ Ｂ 一侧 的端 点．
豸 嬲
中， 已知 （ 一ｋ ｘ＋ｍ） 一ｌ （ ｘ＋ｎ ）＝０的 ４个 根组
成首 项为 ｔ 的等 比数 列 ， 中 ｍ， ，，，为 给定 的常 其 ｒ ｋＺｔ ｂ
数， ｌ 求 ｋ—Ｚ ． ” Ｉ
＝ ＋１ ≥ １ 戛 ＋３ ０≤ ≤ １ 宅 ＋３ 一 （ ） 一 （ ） （
＋ ）＝０ ｎ 的４ 个根组成首项为 ｔ 的等差数列 ， 其
中 ｍ，， ，为给定的常数 ， Ｉ ｋｔ 求 ｍ一儿Ｉ ” ． 同法 可解 得 ４根 之和 ４ ＋６ ｔ ｅ＝ａ＋ｂ＋Ｃ＋ｄ＝
时，与 为方程 Ｉ的两根 ， 另两根为方程 １ １
—
Ｃ ， 时 方程的解为 Ｙ ＝ｂ＋ｅｙ ， ２＝ｂ—ｅ其 中 ｅ＝ ，
．
山一 ｄ＿
二
２ 。
：Ａ的实根个数为０ Ａ ＜０ （ ） 的两根 ； ③ｚ： 时 ，与 为方程 Ｉ 或 Ⅱ） （
的两根 ， 另两根为方程 Ⅱ（ Ｉ） 或 的两根． 三种情形
５ ０３ １６ １
吴
康
设 一２ ＋ｍ ＝０的根 为 ａ ｂ 一２ ，， ｘ＋ｎ＝０
的为， 根 成 差 列 ，＋ ＋， 根 ｃ， 组 等 数 ÷１ｅ ２ － ｄ ４ ， ｅ １ ￣
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故 由 韦 达 定 理 ，Ｉ — ｎ Ｉ ａ — ｃ ｍ ＝Ｉ ｂ ｄＩ
2012年自主招生华约数学试题解析
2012 自主招生“北约”数学试卷解析好学网自主招生频道备受关注的2012 年“北约”自主招生考试刚刚落下帷幕，下面笔者针对数学试题作一些简要的评析。
今年“北约”仍然由北大出题，但是阅卷权移交给了考试院。
根据考试院的要求，今年的试题形式上有了一些变化——出现了选择题，但“北约”试题的一贯风格并无本质改变。
函数、方程、解析几何、平面几何、三角函数等领域依然是“北约”考查的重点内容，而像立体几何、复数等内容依然不在“北约”考查的范围之内。
“北约”的考试一向不注重知识点的全面考查，今年也不例外。
从难度上来说，今年的试题比去年的稍难一些，但总体保持稳定。
这和学而思自主招生研究中心之前的预测完全一致。
“北约”的试题一向讲究“顿悟”，一般情况下并不强调非常繁杂的计算，一旦抓住问题的本质，往往就能顺利解答。
比如解答题的第一题：关于x的方程sin 2x⋅sin 4x -sin x⋅sin3x = a在x∈[0,π )时有唯一解，求实数a的值.我们利用和差化积与积化和差公式，可以得到a = sin x⋅sin5x这样一个表达式，接下来构造函数f ( x) = sin x⋅sin5x, x∈R，如果注意到函数f ( x)是关于直线2xπ= 对称的，问题即可迎刃而解。
由于原方程在x∈[0,π )时有唯一解，因此x = 0或2xπ= ，解得a = 0或1。
请大家注意这道题中函数性质与图像的应用。
这样的思想，在学而思自主招生研究中心编写的讲义中是重点强调过的，类型的问题也讲解过很多。
再比如，“数形结合”历来是“北约”考试非常看重的数学思想。
今年的选择题中求函数y = x + 2 + x -1 + x 的递增区间这道题，只要利用绝对值的几何意义，画数轴就能轻松得出答案为(0,+∞)。
还有求关于x的方程x +11-6 x + 2 + x + 27 -10 x + 2 =1的实根的个数这道题，先将原方程变形为x + 2 -3 + x + 2 -5 =1，然后还是利用绝对值的几何意义，即可得出原方程根的个数为0。
2012年北大自主招生试题
2012年综全性大学自主选拔录取联合考试语文、数学（文科）试卷（注意：所有答案，都必须写在答题卡上，答在试卷上者不得分！）语文部分一、选择最好的表达形式（10分）1．公安部的专家来了以后，投入到查案状态，但令人震惊的是，专家的箱子竟在住所______，于是公安人员又得去找重要的箱子。
A．遭遇失窃B．遭窃C．遭遇被窃D．遭盗2．当孙杨游到1400米的时候，______的数据显示当时他只比世界纪录同步成绩慢了2.03秒。
A．即时B．立即C．及时D．及至3．黑犀的前角长而______，后角短而直。
A．弯曲B．曲折C．扭曲D．曲4．天很高，没有云，没有雾，连一丝浮尘也没有。
无遮无掩的太阳，笨重地，迟缓地从东天__西天。
A．滚向B．移向C．爬向D．滑向5．我省热带作物生产的规模很小，管理水平和技术水平不高，______。
A．因此发展潜力还很大B．发展潜力还很大C．因此，还有很大的发展潜力D．所以还有很大发展潜力6．对于一些经济领域的问题，也______。
A．从理论上和政策上作了详细的规定和深刻的说明B．作了理论上和政策上的详细的规定和深刻的说明C．从政策上和理论上作了详细的规定和深刻的说明D．从理论上和政策上进行了详细的规定和深刻的说明7．几年来，他们______，为科学种田提供了依据。
A．对全村的土壤酸碱度作了测量和氮磷钾试验B．对全村的土壤作了酸碱度测量和氮磷钾试验C．对全村的土壤酸碱度进行了测量和氮磷钾试验D．对全村土壤的酸碱度作了测量和氮磷钾试验8．该书补收了过去漏收的一些简文，删去了过去误收的一些简文，______。
A．对一些简文的位置作了调整B．改变了一些简文的位置C．调整了一些简文的位置D．对一些简文的位置进行了改变9．由于树木茂密，______。
直到听见了马蹄声，山头上的敌军才鸣枪报警。
A．我骑兵队伍起初没有被敌军发现B．敌军起初没有把我骑兵队伍发现C．我骑兵队伍起初没有被发现D．敌军起初没有发现我骑兵队伍10．有了这次教训，张老师对同学们的学习比过去抓得紧，对同学们的体育锻炼______。