上海大学附中_学年高一数学上学期12月段考试卷(含解析)

2015-2016学年上海大学附中高一（上）12月段考数学试卷一.填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每题填对得3分，否则一律得零分.1．若f（x）=，则f（x）•g（x）= ．2．对于x，y∈R，xy=0是x2+y2=0的条件．3．集合A={y|y=﹣x2﹣3}，B={y|y=x2+2x﹣4}，则A∩B=．4．函数f（x）=x+（a＞0）在（0，3]上单调递减，则实数a的取值范围是．5．已知f（x）=|x+1|+|x﹣a|为偶函数，则a= ．6．函数的值域是．7．若函数f（x）=ax+b（a≠0）有一个零点是1，则g（x）=bx2﹣ax的零点是．8．已知函数f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的奇函数，当x∈（﹣∞，0）时，f（x）=﹣x2+x，则当x∈（0，+∞）时，f（x）．9．已知函数f（x）=在区间[0，2]上单调递减，则a的取值范围是．10．若函数y=f（x）的值域是，则函数y=f（x）﹣2的最小值是．11．若不等式m2﹣2km≥0对所有k∈[﹣1，1]恒成立，则实数m的取值范围是．12．对于函数f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=x0，则称x0是f（x）的一个不动点，已知f（x）=x2+ax+4在[1，3]恒有两个不同的不动点，则实数a的取值范围．二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，选对得4分，否则一律得零分.13．如果a＜0，b＞0，那么，下列不等式中正确的是（）A．B．C．a2＜b2D．|a|＞|b|14．下列函数中，与y=x﹣1为同一函数的是（）A．y=B．y=C．y=D．15．设函数f（x）的定义域为R，有下列三个命题：①若存在常数M，使得对任意x∈R，有f（x）≤M，则M是函数f（x）的最大值；②若存在x0∈R，使得对任意x∈R，且x≠x0，有f（x）＜f（x0），则f（x0）是函数f（x）的最大值；③若存在x0∈R，使得对任意x∈R，有f（x）≤f（x0），则f（x0）是函数f（x）的最大值．这些命题中，真命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．316．已知x0是函数f（x）=2x+的一个零点．若x1∈（1，x0），x2∈（x0，+∞），则（）A．f（x1）＜0，f（x2）＜0 B．f（x1）＜0，f（x2）＞0 C．f（x1）＞0，f（x2）＜0 D．f（x1）＞0，f（x2）＞0三、解答题（本大题满分48分）本大题有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤.（6+8+10+10+14）17．已知关于x的方程有非负根，求实数a的取值范围．18．若集合A=，若B⊆A，求实数m的取值范围．19．已知幂函数（m∈Z）的图象关于y轴对称，且g（2）＜g（3）（1）求m的值和函数g（x）的解析式；（2）函数f（x）=ag（x）+a2x+3（a∈R）在区间[﹣2，﹣1]上是单调递增函数，求实数a 的取值范围．20．设函数f（x）=2x﹣1﹣1．（1）分别作出y=f（|x|）和y=|f（x）|的图象，（2）求实数a的取值范围，使得方程f（|x|）=a与|f（x）|=a都有且仅有两个实数解．21．对于函数f1（x），f2（x），h（x），如果存在实数a，b使得h（x）=a•f1（x）+b•f2（x），那么称h（x）为f1（x），f2（x）的生成函数．（1）函数f1（x）=x2﹣x，f2（x）=x2+x+1，h（x）=x2﹣x+1，h（x）是否为f1（x），f2（x）的生成函数？说明理由；（2）设f1（x）=1﹣x，f2（x）=，当a=b=1时生成函数h（x），求h（x）的对称中心（不必证明）；（3）设f1（x）=x，（x≥2），取a=2，b＞0，生成函数h（x），若函数h（x）的最小值是5，求实数b的值．2015-2016学年上海大学附中高一（上）12月段考数学试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每题填对得3分，否则一律得零分.1．若f（x）=，则f（x）•g（x）=．【考点】函数解析式的求解及常用方法．【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】先求出函数的定义域，然后根据函数表达式进行化简求解即可．【解答】解：要使函数f（x）有意义，则x+1＞0，即x＞﹣1，要使函数g（x）有意义，则，即，即x≥﹣1且x≠2，要使f（x）•g（x）有意义，则，即x＞﹣1且x≠2，即函数的定义域为（﹣1，2）∪（2，+∞），则f（x）•g（x）=•=，故答案为：【点评】本题主要考查函数解析式的求解，注意要求函数的定义域．2．对于x，y∈R，xy=0是x2+y2=0的必要不充分条件条件．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】计算题；方程思想；定义法；简易逻辑．【分析】根据充分必要条件的定义判断即可．【解答】解：由x2+y2=0，解得：x=0且y=0，由xy=0解得：x=0或y=0，故“xy=0”是“x2+y2=0”成立的必要不充分条件，故答案为：必要非不分条件，【点评】本题考查了充分必要条件，是一道基础题．3．集合A={y|y=﹣x2﹣3}，B={y|y=x2+2x﹣4}，则A∩B=[﹣5，﹣3] ．【考点】交集及其运算．【专题】对应思想；定义法；集合．【分析】化简集合A、B，求出A∩B即可．【解答】解：集合A={y|y=﹣x2﹣3}={y|y≤﹣3}=（﹣∞，﹣3]B={y|y=x2+2x﹣4}={y|y=（x+1）2﹣5}={y|y≥﹣5}=[﹣5，+∞）∴A∩B=[﹣5，﹣3]．故答案为：[﹣5，﹣3]．【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．4．函数f（x）=x+（a＞0）在（0，3]上单调递减，则实数a的取值范围是[9，+∞）．【考点】函数单调性的性质．【专题】转化思想；函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】求函数的导数，利用导数研究函数的单调性即可得到结论．【解答】解：函数的导数f′（x）=1﹣，若f（x）=x+（a＞0）在（0，3]上单调递减，则f′（x）=1﹣≤0在（0，3]上恒成立，即a≥x2，∵当0＜x≤3时，0＜x2≤9，∴a≥9，故答案为：[9，+∞）【点评】本题主要考查函数单调性的应用，利用导数和单调性的关系是解决本题的关键．5．已知f（x）=|x+1|+|x﹣a|为偶函数，则a= 1 ．【考点】函数奇偶性的性质．【专题】方程思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】根据函数奇偶性的定义建立方程关系进行求解即可．【解答】解：若f（x）=|x+1|+|x﹣a|为偶函数，则f（﹣x）=f（x），则f（﹣2）=f（2），即1+|﹣2﹣a|=3+|2﹣a|，即|a+2|=2+|a﹣2|，平方得a2+4a+4=4+4|a﹣2|+a2﹣4a+4，即2a﹣1=|a﹣2|，平方得4a2﹣4a+1=a2﹣4a+4，即3a2=3，即a2=1，得a=1或a=﹣1，当a=﹣1时，2a﹣1=|a﹣2|等价为﹣3=3不成立，则a=1，此时f（x）=|x+1|+|x﹣1|，则f（﹣x）=|﹣x+1|+|﹣x﹣1|=|x+1|+|x﹣1|=f（x），满足函数f（x）是偶函数，故答案为：1．【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，根据函数奇偶性的定义建立方程关系是解决本题的关键．6．函数的值域是．【考点】函数的值域．【专题】转化思想；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】利用二次函数与指数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵x2+1≥1，∴0＜≤=，∴函数的值域为：，故答案为：．【点评】本题考查了函数的值域、二次函数与指数函数的单调性、复合函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．若函数f（x）=ax+b（a≠0）有一个零点是1，则g（x）=bx2﹣ax的零点是0和﹣1 ．【考点】函数的零点．【专题】计算题．【分析】由题意可得a+b=0，故g（x）=bx2﹣ax=bx（x+1），令bx（x+1）=0，可得函数的零点．【解答】解：∵函数f（x）=ax+b（a≠0）有一个零点是1，∴a+b=0．故g（x）=bx2﹣ax=bx2 +bx=bx（x+1），令bx（x+1）=0，可得x=0，或 x=﹣1．故g（x）=bx2﹣ax的零点是0和﹣1，故答案为 0和﹣1．【点评】本题主要考查函数的零点的定义，得到 a+b=0，是解题的关键，属于基础题．8．已知函数f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的奇函数，当x∈（﹣∞，0）时，f（x）=﹣x2+x，则当x∈（0，+∞）时，f（x）=x2+x ．【考点】函数奇偶性的性质．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】设x＞0，则﹣x＜0，运用已知解析式和奇函数的定义，即可得到所求的解析式．【解答】解：设x＞0，则﹣x＜0，由于当x∈（﹣∞，0）时，f（x）=﹣x2+x，即有f（﹣x）=﹣x2﹣x，又f（x）为奇函数，则f（﹣x）=﹣f（x），即有﹣f（x）=﹣x2﹣x，即f（x）=x2+x（x＞0）故答案为：x2+x【点评】本题考查函数的奇偶性的运用：求解析式，注意奇偶函数的定义的运用，考查运算能力，属于基础题．9．已知函数f（x）=在区间[0，2]上单调递减，则a的取值范围是（0，1] ．【考点】函数单调性的性质．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】由题意利用函数的单调性的性质可得可得，由此求得a的范围．【解答】解：根据函数f（x）=在区间[0，2]上单调递减，可得，求得0＜a≤1，故答案为：（0，1]．【点评】本题主要考查函数的单调性的性质，函数的定义域，属于基础题．10．若函数y=f（x）的值域是，则函数y=f（x）﹣2的最小值是﹣1 ．【考点】函数的最值及其几何意义．【专题】转化思想；换元法；函数的性质及应用．【分析】设t=，由f（x）的范围，可得t的范围，再由二次函数的最值的求法：配方，即可得到所求最小值．【解答】解：设t=，由≤f（x）≤4，可得≤t≤2，即有y=t2﹣2t=（t﹣1）2﹣1，当t=1∈[，2]时，取得最小值，且为﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查函数的最值的求法，注意运用换元法和二次函数的最值的求法，考查运算能力，属于基础题．11．若不等式m2﹣2km≥0对所有k∈[﹣1，1]恒成立，则实数m的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪{0}∪[2，+∞）．【考点】函数恒成立问题．【专题】函数思想；分类法；函数的性质及应用．【分析】首先题目所给条件是飞不等式恒成立问题，是关于k的不等式恒成立，求m的范围；其次可以将不等式的左兰半部分看作是关于k的一次函数，此时问题转化为在某一区间函数值≥0恒成立，所以我们可以用分离参数法解决此问题．【解答】解：令y=m2﹣2km，则有y≥0对∃k∈[﹣1，1]恒成立，不等式m2﹣2km≥0⇔2km≤m2，依题意关于k的不等式解集为[﹣1，1]，所以分以下几种情况：①当m=0时，不等式为0≤0成立；②当m＞0时，不等式的解为，只需满足条件即可，此时m≥2；③当m＜0时，不等式的解为，只需满足条件即可，此时m≤﹣2；故答案为：（﹣∞，﹣2]∪{0}∪[2，+∞）．【点评】本题变相考察函数恒成立问题，常用方法为分离参数或求导法；应用分离参数法时应注意除数的正负及不等号方向．12．对于函数f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=x0，则称x0是f（x）的一个不动点，已知f（x）=x2+ax+4在[1，3]恒有两个不同的不动点，则实数a的取值范围．【考点】函数与方程的综合运用．【专题】计算题；函数思想；方程思想；转化思想；函数的性质及应用．【分析】不动点实际上就是方程f（x0）=x0的实数根．二次函数f（x）=x2+ax+4有不动点，是指方程x=x2+ax+4有实根．即方程x=x2+ax+4有两个不同实根，然后根据根列出不等式解答即可．【解答】解：根据题意，f（x）=x2+ax+4在[1，3]恒有两个不同的不动点，得x=x2+ax+4在[1，3]有两个实数根，即x2+（a﹣1）x+4=0在[1，3]有两个不同实数根，令g（x）=x2+（a﹣1）x+4．在[1，3]有两个不同交点，∴，即解得：a∈；故答案为：．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、函数与方程的综合运用，解答该题时，借用了一元二次方程的根的判别式与根这一知识点．二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，选对得4分，否则一律得零分.13．如果a＜0，b＞0，那么，下列不等式中正确的是（）A．B．C．a2＜b2D．|a|＞|b|【考点】不等关系与不等式．【专题】计算题．【分析】根据已知条件分别对A、B、C、D，四个选项利用特殊值代入进行求解．【解答】解：A、如果a＜0，b＞0，那么，∴，故A正确；B、取a=﹣2，b=1，可得＞，故B错误；C、取a=﹣2，b=1，可得a2＞b2，故C错误；D、取a=﹣，b=1，可得|a|＜|b|，故D错误；故选A．【点评】此题考查不等关系与不等式，利用特殊值法进行求解更加简便，此题是一道基础题．14．下列函数中，与y=x﹣1为同一函数的是（）A．y=B．y=C．y=D．【考点】判断两个函数是否为同一函数．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】通过化简函数解析式，或求函数的定义域，判断对应法则和定义域是否都相同，从而判断两函数是否为同一函数．【解答】解：A.，解析式不同，不是同一函数；B.，定义域及对应法则相同，是同一函数，即该选项正确；C．y=x﹣1的定义域为R，的定义域为{x|x≠﹣1}，定义域不同，不是同一函数；D．y=的定义域为[1，+∞），定义域不同，不是同一函数．故选B．【点评】考查函数的三要素：定义域，值域，和对应法则，根据定义域及对应法则即可判断两函数是否为同一函数．15．设函数f（x）的定义域为R，有下列三个命题：①若存在常数M，使得对任意x∈R，有f（x）≤M，则M是函数f（x）的最大值；②若存在x0∈R，使得对任意x∈R，且x≠x0，有f（x）＜f（x0），则f（x0）是函数f（x）的最大值；③若存在x0∈R，使得对任意x∈R，有f（x）≤f（x0），则f（x0）是函数f（x）的最大值．这些命题中，真命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】函数的最值及其几何意义．【专题】综合题；压轴题．【分析】利用函数最大值的定义是存在一个函数值大于其它所有的函数值，则此函数值是函数的最大值判断出各命题的真假．【解答】解：①错．原因：M不一定是函数值，可能“=”不能取到．因为函数最大值的定义是存在一个函数值大于其它所有的函数值，则此函数值是函数的最大值所以②③对故选C【点评】本题考查函数的最大值的定义并利用最值的定义判断命题的真假．16．已知x0是函数f（x）=2x+的一个零点．若x1∈（1，x0），x2∈（x0，+∞），则（）A．f（x1）＜0，f（x2）＜0 B．f（x1）＜0，f（x2）＞0 C．f（x1）＞0，f（x2）＜0 D．f（x1）＞0，f（x2）＞0【考点】函数零点的判定定理．【专题】函数的性质及应用．【分析】因为x0是函数f（x）=2x+的一个零点可得到f（x0）=0，再由函数f（x）的单调性可得到答案．【解答】解：∵x0是函数f（x）=2x+的一个零点∴f（x0）=0∵f（x）=2x+是单调递增函数，且x1∈（1，x0），x2∈（x0，+∞），∴f（x1）＜f（x0）=0＜f（x2）故选B．【点评】本题考查了函数零点的概念和函数单调性的问题，属中档题．三、解答题（本大题满分48分）本大题有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤.（6+8+10+10+14）17．已知关于x的方程有非负根，求实数a的取值范围．【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】转化思想；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】若关于x的方程有非负根，则≥，解得实数a的取值范围．【解答】解：∵关于x的方程有非负根，∴≥，∴≥0，即，解得：【点评】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，指数的运算性质，二次不等式的解法，难度中档．18．若集合A=，若B⊆A，求实数m的取值范围．【考点】集合的包含关系判断及应用．【专题】计算题；集合；不等式．【分析】分别解出集合A，B，即A={x|m﹣2＜x＜m+2}，B={x|﹣2＜x＜1}，再根据B⊆A，列出不等式组求解即可．【解答】解：根据题意，对于集合A，|x﹣m|＜2，解得，m﹣2＜x＜m+2，即A={x|m﹣2＜x＜m+2}，对于集合B，2﹣x﹣x2＞0，解得，﹣2＜x＜1，即B={x|﹣2＜x＜1}，因为，B⊆A，所以，，解得，﹣1≤m≤0，即实数m的取值范围为：[﹣1，0]．【点评】本题主要考查了集合间包含关系的判断和应用，涉及一元二次不等式的解法，属于基础题．19．已知幂函数（m∈Z）的图象关于y轴对称，且g（2）＜g（3）（1）求m的值和函数g（x）的解析式；（2）函数f（x）=ag（x）+a2x+3（a∈R）在区间[﹣2，﹣1]上是单调递增函数，求实数a 的取值范围．【考点】函数与方程的综合运用；函数的单调性及单调区间；幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【专题】计算题；分类讨论；函数思想；方程思想；函数的性质及应用．【分析】（1）利用幂函数的性质可得：﹣m2+m+2＞0，且为偶数．解出即可．（2）化简函数的解析式，利用分类讨论集合函数的单调性求解即可．【解答】解：（1）幂函数（m∈Z）的图象关于y轴对称，函数是偶函数，g（2）＜g（3）函数是增函数， =﹣（m﹣1）2+2是偶数，∴m=1，可得g（x）=x2满足题意．（2）函数f（x）=ag（x）+a2x+3=ax2+a2x+3．当a=0时，舍；当a＞0时⇒a≥4；当a＜0⇒a＜0．∴a∈（﹣∞，0）∪[4，+∞）【点评】本题考查了幂函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．设函数f（x）=2x﹣1﹣1．（1）分别作出y=f（|x|）和y=|f（x）|的图象，（2）求实数a的取值范围，使得方程f（|x|）=a与|f（x）|=a都有且仅有两个实数解．【考点】函数的图象．【专题】数形结合；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】（1）利用函数图象的变换来作图；（2）根据图象与y=a的交点个数判断a的范围．【解答】解：（1）当x≥0时，f（|x|）=2x﹣1﹣1，当x＜0时，f（|x|）=2﹣x﹣1﹣1．作出y=f（|x|）的图象如下，作出y=|f（x）|的图象如下，（2）由y=f（|x|）的图象可知当a＞﹣时，方程f（|x|）=a有且仅有两个实数解；由y=|f（x）|的图象可知当0＜a＜1时，方程|f（x）|=a有且仅有两个实数解．∴当0＜a＜1时，方程f（|x|）=a与|f（x）|=a都有且仅有两个实数解．【点评】本题考查了函数图象的变换及图象与零点的关系，正确画出图象是关键．21．对于函数f1（x），f2（x），h（x），如果存在实数a，b使得h（x）=a•f1（x）+b•f2（x），那么称h（x）为f1（x），f2（x）的生成函数．（1）函数f1（x）=x2﹣x，f2（x）=x2+x+1，h（x）=x2﹣x+1，h（x）是否为f1（x），f2（x）的生成函数？说明理由；（2）设f1（x）=1﹣x，f2（x）=，当a=b=1时生成函数h（x），求h（x）的对称中心（不必证明）；（3）设f1（x）=x，（x≥2），取a=2，b＞0，生成函数h（x），若函数h（x）的最小值是5，求实数b的值．【考点】函数解析式的求解及常用方法；函数的图象．【专题】新定义；分类讨论；构造法；函数的性质及应用．【分析】（1）先假设存在，列出方程，根据方程无解，得出不存在；（2）化简函数式为h（x）=1﹣x+=+1，从而判断函数图象关于点（1，1）中心对称；（3）运用双勾函数的图象和性质，并通过分类讨论确定函数的最值．【解答】解：（1）根据生成函数的定义，设存在a，b使得h（x）=a•f1（x）+b•f2（x），则x2﹣x+1=a（x2﹣x）+b（x2+x+1）=（a+b）x2+（b﹣a）x+b，对比两边的系数可知，，方程无解，所以，h（x）不是f1（x），f2（x）的生成函数；（2）因为a=b=1，所以，h（x）=1﹣x+，而h（x）=1﹣x+=（1﹣x）++=+1，该函数的图象为双曲线，对称中心为（1，1）；（3）根据题意，h（x）=2x+=2（x﹣1）++2（x≥2），根据基本不等式，2（x﹣1）+≥2，当且仅当：x=+1时，取“=”，因此，函数h（x）单调性为，x∈（1， +1）上单调递减，x∈（+1，+∞）上单调递增，故令+1=2，解得b=2，最值情况分类讨论如下：①当b∈（0，2]时，+1≤2，所以，当x≥2时，h（x）单调递增，h（x）min=h（2）=b+4=5，解得b=1，符合题意；②当b∈（2，+∞）时， +1＞2，所以，当x≥2时，h（x）先减后增，h（x）min=h（+1）=2+2=5，解得b=，不合题意；综合以上讨论得，实数b的值为1．【点评】本题主要考查了函数解析式的求法，函数图象对称中心的确定，以及运用函数的单调性确定函数的最值，属于难题．。