3.1.1倾斜角与斜率

锐角
y
如图，当α为锐角时，
y2
y1
ห้องสมุดไป่ตู้
P2 (x2, y2 )
Q(x2, y1)
P1(x1, y1)
P2P1Q,
且x1 x2, y1 y2
o x1
x2 x
在RtP2P1Q中
k
tan
tan P2P1Q
QP2 P1Q
y2 x2
y1 x1
钝角
如图，当α为钝角时，
180 ,
y
且x1 x2, y1 y2
y1
P1(x1, y1)
o
x
k y2 y1 x2 x1
思考？
3 、已知直线上两点 A(a1, a2 ) 、B(b1,b2 ) ，运
用上述公式计算直线AB的斜率时，与A、B的 顺序有关吗？
kAB
b2 b1
a2 a1
kBA
a2 a1
b2 b1
答：与A、B两点的顺序无关。
直线的斜率公式：
的倾斜角是什么角？
解：
y.
B
.A
直线AB的斜率
k AB
22 84
0
.
.
. . o.
.
.
.
x
直线BC的斜率
kBC
22 0 (8)
4 8
1 2
C
直线CA的斜率
kCA
2 (2) 40
4 4
1
∵ kAB 0 ∴直线AB的倾斜角为零度角。
∵ kBC 0 ∴直线BC的倾斜角为钝角。
∵ kCA 0 ∴直线CA的倾斜角为锐角
综上所述，我们得到经过两点 P1(x1, y1), P2 (x2, y2 ) (x1 x2 )的直线的斜率公式：
k y2 y1 (或k y1 y2 )
x2 x1
x1 x2
P2 P1
P1 P2
例题分析
例1 如图，已知A(4,2)、B(-8,2)、C(0,-2)，求
直线AB、BC、CA的斜率，并判断这 些直线
条直线的斜率。斜率通常用k表示，即：
k tan
倾斜角是90 °的直线没有斜率。
注意：
1、确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素 为：直线上的一个定点以及它的倾斜角，二者缺一不 可.
2、所有直线都有倾斜角，但不是所有直线都有斜率.
3、倾斜角是从几何角度刻画直线的倾斜程度；而斜 率是从代数角度刻画直线的倾斜程度，斜率的绝对值 越大，直线的倾斜程度也越大.
例2：菱形OBCD的顶点O与坐标原点重合，一边在x 轴的正半轴上。已知∠BOD=600
求菱形各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率。 y
D C
O
B
x
例3： 已 知 直 线 的 倾 斜 角 为， 斜 率 为k， 求 (1)、 设300 600， 求k的 取 值 范 围. (2)、 设1200 1350， 求k的 取 值 范 围. (3)、 设450 1500， 求k的 取 值 范 围. (4)、 设k 3,求的 取 值 范 围. (5)、 设k 3,求的 取 值 范 围. (6)、 设 1 k 1,求的 取 值 范 围.
y
l
p
o x
y
ly
p
o x
o p x
y
p
l
o
x
l
规定：当直线和x轴平行或重合时，它的倾斜角为0°
直线的倾斜角的取值范围为： 0o 180o 播放
练习：下列图中标出的直线的倾斜角对不对？如 果不对，违背了定义中的哪一条？
y
o
（1）
y
x
o
（2）
y
x o
（3）
y
x
o
x
（4）
问题引入
日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？
k >0
k不存在
k<0
k=0
播放
练习: 判断正误： ①直线的倾斜角为α，则直线的斜率为 tan（ ）
②平行于x轴的直线的倾斜角是0或π。 （ ）
③两直线的倾斜角相等,它们的斜率也相等（ ）
④因为平行于y轴的直线的斜率不存在，所以平
行于y轴的直线的倾斜角不存在
（）
⑤直线的倾斜角越大,则直线的斜率越大 ( )
例2：过点P(0,2)的直线l与线段AB相交，若A(2,3) , B(3,2).求直线l的斜率的范围.
练习：过点P(1,2)的直线l与线段AB相交，若A(-2,-3) B(3,0), 求直线l斜率的范围.
例3：求经过A( m,3), B(1,2)两点的直线的斜率, 并指出
tan tan(180 )
y2
P2 (x2, y2 )
tan
y1
P1(x1, y1)
Q(x2, y1)
o x x2
x1
在RtP2QP1中
tan P2Q y2 y1 P1Q x1 x2
k tan y2 y1 y2 y1
x1 x2 x2 x1
0
k tan 0 0
坡度（比）
升高量 前进量
升
高 tan
量
前进量
描述直线倾斜程度的量——直线的斜率
定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这
条直线的斜率。斜率通常用k表示，即：
k tan 倾斜角是90 °的直线没有斜率。
例如：直线 l的倾斜角为 45,则斜率为：k tan 45 1
直线l的倾斜角为120 ,则斜率为：k tan120 3
对于平面直角坐标系内的一条直线 l 你
认为它的位置由哪些条件确定呢？
yl
两点确定一条直线
o
x
过一点能不能确定一条直线？
如图，在直角坐标系中， 过点P的不同直线的区别在哪里？
y
l2
l3
oP
l1
倾斜程度不同 x
当直线 l 与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴
正向与直线向上方向之间所成的 角叫做直线的 倾斜角。
例题分析
例1 直线 l1、 l２、 l３的斜率分别是k1、 k２、 k３，试比较斜率的大小
y
l1
l２
l３
O
X
k1 k3 k2
当 在内 [0o,180o)变化时，斜率k如何变化？
y
l
p
ox
y p
o x
l
ly
o p x
y
p
l
o
x
0°＜ ＜ 90° = 90° 90°＜ ＜180° = 0°
当直线 l 与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴
正向与直线向上方向之间所成的 角叫做直线的 倾斜角。
y
l
p
o x
y
ly
p
o x
o p x
y
p
l
o
x
l
规定：当直线和x轴平行或重合时，它的倾斜角为0°
直线的倾斜角的取值范围为： 0o 180o 播放
描述直线倾斜程度的量——直线的斜率
定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这
1、当直线平行于x轴，或与x轴重合时， 上述公式还适用吗？为什么？
y
P1(x1, y1)
P2 (x2, y2 )
x1 o x2 x
k y2 y1 x2 x1
思考？
90, tan90(不存在)
k不存在
2、当直线平行于y轴，或与y轴重合时， 上述公式还适用吗？为什么？
y
y2
P2 (x2, y2 )