由参数方程确定的函数的性质及应用
10 由参数方程确定的函数的导数、高阶导数
6
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二、高阶导数
1、高阶导数的定义
问题:变速直线运动的加速度 问题:变速直线运动的加速度.
设 s = f (t ), 则瞬时速度为 v ( t ) = f ′( t )
Q 加速度 a是速度 v对时间 t的变化率
∴ a ( t ) = v ′( t ) = [ f ′( t )]′ .
一 地 函 f ( x)的 −1 导 的 数 为 般 , 数 n 阶 数 导 称
数 n 导 , 作 函 f ( x)的 阶 数 记
dn y dn f ( x) f (n) ( x), y(n) , . 或 n n dx dx 二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数 高阶导数. 二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数
(4) ( x α ) ( n ) = α(α − 1) L (α − n + 1) x α − n
(n)
(5) (ln x )
14
= ( −1)
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n −1
( n − 1)! xn
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1 (n) n n! ( ) = ( −1) n + 1 x x
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1 (5) , 求y . 2 x −1 1 1 1 1 解Qy= 2 ) = ( − x −1 2 x −1 x +1
例6 设 y =
∴y
(5)
1 − 5! − 5! ] = [ − 6 6 2 ( x − 1) ( x + 1) 1 1 ] = 60[ − 6 6 ( x + 1) ( x − 1)
15
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由参数方程确定的函数的求导方法
一、概述从高中开始学习数学，我们就被教导如何求解代数函数的导数。
但是在高等数学领域，我们还需要学会如何求解由参数方程确定的函数的导数。
参数方程在描述曲线、曲面等几何图形时具有独特的优势，因此求解由参数方程确定的函数的导数是十分重要的。
二、参数方程的定义参数方程是由参数对确定的函数，其自变量和因变量均为参数。
常见的参数方程形式可表示为$x=f(t)$，$y=g(t)$，其中$x$和$y$分别是$t$的函数。
参数方程的优点在于能够将几何问题转化为代数问题，简化问题的求解过程。
三、从参数方程求导的基本方法1. 链式法则当我们需要求解由参数方程确定的函数的导数时，可以利用链式法则。
设有参数方程$x=f(t)$，$y=g(t)$，需求解函数$y$关于$x$的导数$\frac{dy}{dx}$。
根据链式法则，我们有$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$。
通过对参数$t$的求导，我们可以得到$y$关于$x$的导数。
2. 极限定义法我们也可以利用极限定义法来求解由参数方程确定的函数的导数。
设有参数方程$x=f(t)$，$y=g(t)$，需求解函数$y$关于$x$的导数$\frac{dy}{dx}$。
我们可以将$\frac{dy}{dx}$表示为$\lim_{\Delta t\to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}$，其中$\Delta t$趋近于$0$。
通过极限的定义，我们可以求得函数$y$关于$x$的导数。
四、实例分析为了更好地理解从参数方程求导的方法，我们通过实例来进行分析。
假设有参数方程$x=2t$，$y=t^2$，我们需要求解函数$y$关于$x$的导数。
根据链式法则，我们有$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$，代入参数方程得$\frac{dy}{dx}=\frac{2t}{2}=\frac{t}{1}=t$。
3.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数
d y ψ ′( t ) ψ ′( t ) dx , 即 , = 所以 dy = ϕ ′( t ) d x ϕ ′( t ) dy dy dt 或者 = . 参数方程的求导公式. 参数方程的求导公式. dx dx dt
14
3.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数
相关变化率
π x = a ( t − sin t ) 在t = 处的切线方程 . 例 求摆线 2 y = a (1 − cos t ) dy dy dt a sin t = = 解 dx a − a cos t y dx a a dt sin t a a , = 2πa x πa O 1 − cos t π sin dy 2 = 1. 当 t = π 时, x = a ( π − 1), 所以 π = 2 dx t = 2 1 − cos π y = a. 2 2 π 所求切线方程为 y − a = x − a ( − 1) 2 π 即 y = x + a ( 2 − ). 2 15
隐函数 设函数y=f (x)由方程 xy + 2 ln x = y 4所确定, 设函数 由方程 所确定 则曲线y=f (x)在点 则曲线 在点(1,1)处的切线方程是 x − y = 0). 处的切线方程是( 在点 处的切线方程是 解 将方程两边求微分 得 将方程两边求微分, 2 ydx + xdy + dx = 4 y 3dy x dy =1 再将点(1,1)代入上方程 得 代入上方程, 再将点 代入上方程 d x ( 1 ,1 ) 切线方程为 即
隐函数求导法则
利用函数的微分法则 将方程两边求微分. 利用函数的微分法则, 将方程两边求微分 函数的微分法则
求由方程 xy − e x + e y = 0所确定的隐函数 y 例
高等数学3-4隐函数的导数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率
例如
x 2t,
y
t
2
,
t x 消去参数 t 2
得 , 此参数方程确定的函数y t 2 ( x )2 ,
即 y y( x) x2 .
2
4
问题: 消参数困难或无法消去参数时如何求导?
9/18
对
x
y
x(t ) y(t )
t It ,
若 x x(t) 在上 It单调、可导且x(t) 恒不为零
确定
y
y( x)的求导法:
dy dx
dt dx
y(t ) x(t )
dt
10/18
例6
求摆线
x a(t sint)
y
a(1
cos
t
)
在 t
2
时的切线方程。
解 dy y(t) a sint sint , dx x(t) a a cost 1 cost
dy dx
t 2
sin 2
1 cos
y x0
y 1
1 4
;
视 y y( x)、y y( x)，将方程 (1) 两边再对 x 求导, 得
12x2 2 y xy 12 y2( y)2 4 y3 y 0,
代入 x 0、y 1 及
y
x0 y 1
1 4
得
y
x0 y 1
1. 16
5/18
二、对数求导法
——利用隐函数求导法求显函数导数的方法。 对数求导法：
直角坐标系中
y
r(
)
sin
,
其中
为参数
例 3.4.10
求对数螺旋
)
处的切线方程。
（用极坐标表示）
解
隐函数导数和由参数方程确定的函数的导数
dy dt
1
dx
(t ) (t )
dt
dy 即 dy dt
dx dx dt
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例5求摆线
x y
a(t sin t) a(1 cost)
在t
2
处的切线方程
dy
解
dy dx
dt dx
a 1 cost a t sin t
a sin t a a cos t
sin t 1 cos t
所求切线的斜率为 k dy
dx
x2
3 4
于是所求的切线方程为
y 3 3 3 ( x 2) 即
2
4
3x 4y8 3 0
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小结
❖ 1、隐函数的求导方法：将Y看成复合函数用 复合函数求导法则直接对方程两边求导.
❖ 2、参数方程的求导公式
作业
dy
dy dx
dt dx
dt
P69 1(2) 2(1) 3(1) 5(3)
y x
1
3t 2t
2
2 2
1
t 1
t 1
曲线在t=1处对应的点为 (0,0)，
所求的切线方程为 y x 即 x y 0
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练习：1.求由方程
x
y
1 sin 2
y
所0 确定的隐函数的导数
dy dx
解：方程两边分别对x求导，得
1 dy 1 cos y dy 0
dx 2
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第三节 隐函数导数和由参数方程 确定的函数的导数
一、隐函数的导数、对数求导法 二、由参数方程确定的函数的导数
1.4.4 由参数方程所确定的函数的求导法则
作业 习题1.4 习题 P59-61 A 组 13 (1) 、(3) ， 14
湘潭大学数学与计算科学学院
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17
所求切线方程为
y − a = x − a ( − 1) 2
即
y = x + a (2 −
π
π
2
).
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湘潭大学数学与计算科学学院
x = t 2 + 2t, (0 < ε < 1). 例2 设由方程 2 t − y + ε sin y = 1,
确定函数 y = y( x), 求 方程组两边对t求导 求导, 解 方程组两边对 求导, 得
d 2 y ψ′′(t )ϕ′(t ) −ψ′(t )ϕ′′(t ) . 即 = 2 3 dx ϕ′ (t )
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二、典型例题
x = a( t − sin t ) π 在t = 处的切线方程 . 例1 求 摆 线 2 y = a(1 − cos t )
x = ϕ (t), y =ψ (t),
(α < t < β )
确定的函数 y = f ( x ) ,可采用下述方法来求它的导数： 可采用下述方法来求它的导数：
首先根据微分形式不变性可得 首先根据微分形式不变性可得 dx = ϕ ′ ( t ) dt , dy = ψ ′ ( t ) dt , 然后根据导数是微商， 然后根据导数是微商，可得 根据导数是微商
例3
设
, 求
求导, 解 方程组两边同时对 t 求导, 得
高等数学 2-6隐函数的导数、由参数方程所确定的函数的导数、相关变化率
上式两边对 x求导得
y′ 1 1 2 = + − −1 y x + 1 3( x − 1) x + 4
∴ y′ =
( x + 1)3 x − 1 1 1 2 [ + − − 1] 2 x ( x + 4) e x + 1 3( x − 1) x + 4
sin x ( x > 0), 求y′. 例 5设 y = x
三、由参数方程所确定的函数的导数
x = ϕ (t ) 若参数方程 确定 y与x间的函数关系, 称此为 y = ψ (t ) 由参数方程所确定的函数.
例如
x = 2t , x ⇒ t = 消去参数 t 2 2 y = t ,
x2 1 x ∴ y′ = x ∴ y = t 2 = ( )2 = 2 4 2
7
dy = dx
ห้องสมุดไป่ตู้
t =t0
=
(2) 炮弹在 t 0时刻沿 x, y轴方向的分速度为 dx dt dy vy = dt vx =
t =t 0
= (v0t cos α )′ t =t0 = v0 cos α = (v0t sin α − 1 2 gt )′ t =t0 = v0 sin α − gt 0 2
4000
600
解： 设时刻 t水深为h(t ), 水库内水量为V (t ), 则
V (t ) = 4000 3h 2
6
上式两边对t求导得
Q
dV dh = 8000 3h ⋅ dt dt
dV = 28800米 3 / 小时, ∴当h = 20米时, dt dh ≈ 0.104米 / 小时 dt
五、小结 隐函数求导法则: 直接对方程两边求导; 对数求导法: 对方程两边取对数,按隐函数的求导法则求导; 参数方程求导: 实质上是利用复合函数求导法则; 相关变化率: 通过函数关系确定两个相互依赖的变化率; 解法: 通过建立两者之间 的关系, 用链式求导法求解.
隐函数及由参数方程所确定的函数
院 数 理 系
y x x ln y x ln x 1 y ln x 1 y x x (ln x 1) y
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用性质 用对数
11
高
等 数
y u(x)x y u(x)x ln（u x） x（u x）x1u（ x）
学 电 子
u(x)x[ln u(x) x u(x)] u(x)
武
汉 科
对于幂指函数或连乘除形式函数的求导,先取对数再取
技
学 院
导数,比用通常方法计算简单.
数
理
系
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3
高
等 例3 求幂指数函数 y = uv(u>0) 的导数，其中u, v是x的函
数 学
数,且都在点x处可导.
电 分析: 先取对数
子 教
ln y v ln u (ln y v ln u) 1 y vln u v u
y (x) (x)[(x) (x) (x) (x) ln (x)]
1
2 (x) (x)
6
高 等 例6 试用比较简单的方法求下列函数的导数
数
学
1,y x(x 1)(x 2); 2, y 3(1 2x)3; 3, y 5x2 3x x ;
电
x
子 教 案
4, y ln a bx ; a bx
子 教
设函数的参数式为x=φ(t), y=ψ(t),
dy (t ) dx (t )
案
则它们的二阶导数
d 2 y d [ (t) ] d [ (t) ] dt dx 2 dx (t) dt (t) dx
武
汉 科
(t) (t) (t) (t) 1
技
[ (t)]2
参数方程确定的函数的导数课件
参数方程的一般形式
参数方程的特性
参数方程可以描述曲线、曲面或更复 杂的几何对象。
$x = f(t), y = g(t)$，其中 $t$ 是参数。
参数方程与函数的关系
函数
函数是一种特殊的数学关系，它定义 了在一个集合中每个元素与另一个集 合中唯一元素之间的关系。
参数方程与函数的关系
参数方程可以用来描述函数的几何形 状，而函数的导数则描述了函数在各 个点的切线斜率。
导数的计算方法
通过链式法则和参数变化 率，将参数方程转化为导 数形式，即 dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt)。
具体计算步骤
首先对参数方程求导，得 到 dy/dt 和 dx/dt，然后 代入公式 dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt) 计算导数。
导数的几何意义
导数的几何表示 导数在几何上表示函数图像在该点的切线的斜率，即切线 的倾斜角正切值。
曲线的凹凸性
通过导数的符号变化，可 以判断曲线的凹凸性，进 而研究曲线的弯曲程度和 变化趋势。
极值问题
导数可以用来研究函数的 极值问题，确定函数在哪 些点取得极值，以及极值 的大小和性质。
导数在物理中的应用
速度和加速度
导数可以用来描述物理量的变化 率，例如速度和加速度，进而研
究物体的运动规律。
斜抛运动
参数方程的几何意 义
参数方程的几何意 义
参数方程描述了一个或多个点随参数变化而变化的轨迹，这些轨迹形成曲线或 曲面。
参数方程在几何中的应用
参数方程广泛应用于解析几何、微分几何等领域，用于描述和分析各种几何对象。
02 参数方程确定的函数的 导数
导数的定义
导数的定义
导数是函数在某一点的变化率， 表示函数在该点附近的小范围内
参数方程知识点总结
千里之行，始于足下。
参数方程学问点总结参数方程是描述曲线的一种方法，它使用一个参数变量来表示曲线上的点的位置。
参数方程广泛应用于数学、物理、工程等领域，对于描述简单的几何外形以及曲线运动具有很大的优势。
本文将对参数方程的基本概念、性质、应用以及参数方程与直角坐标系的转化等方面进行总结。
一、参数方程的基本概念参数方程是一种将自变量$t$与变量$x$、$y$相关联的函数表示曲线上点的位置的方法。
设函数$x=f(t)$和$y=g(t)$在区间$I$上有定义，其中$f$和$g$是定义在$I$上的连续函数。
那么由$x=f(t)$和$y=g(t)$确定的点$(x,y)$称为参数方程的一个解。
曲线的参数方程通常表示为 $(x=f(t), y=g(t)), t\\in I$。
二、参数方程与直角坐标系的关系参数方程经常与直角坐标系的方程相关，通过转化可在两者之间进行切换。
设直角坐标系中的方程为$y=f(x)$，通过将$x$和$y$分别表示为$t$的函数，可以得到参数方程。
由于参数方程存在多种表示形式，因此通过不同的参数方程也可以得到相同的直角坐标系的方程。
三、参数方程的性质1. 参数方程是表示曲线上任意一点的方法，因此可以用参数方程来描述简单的几何外形，如椭圆、双曲线等。
2. 参数方程具有较强的机敏性，可以通过对参数的变化来描述曲线的不同性质，如曲线的方向、速度、加速度等。
3. 参数方程能够表示曲线上的无穷多个点，因此对于描述曲线上的点的分布、密度等性质具有很大的优势。
四、参数方程的图形表示与分类第1页/共2页锲而不舍，金石可镂。
1. 参数方程的图形可以通过给定参数的取值范围来确定。
可以通过转变参数的取值范围来对曲线进行缩放、平移等操作。
2. 参数方程可以通过给定参数的函数表达式来确定曲线的外形。
例如，当$x(t) = a\\cos(t)$，$y(t) = b\\sin(t)$时，参数方程描述了一个椭圆外形的曲线。
2.4隐函数及由参数方程确定的函数的导数
x1
2 3
x2
2 3
切点为 2, 4 6 3 9
2, 4 6 3 9
所求切线方程为 y 4 6 和 y 4 6
9
9
练习题
一、 填空题：
1、 设 x 3 2 x 2 y 5 xy 2 5 y 1 0确 定 了 y 是 x 的 函
数 ， 则 dy =________， d 2 y ________.
22
y x2 y2 x
( 3,3 ) 1. 22
所求切线方程为
y 3 ( x 3) 即 x y 3 0.
2
2
法线方程为 y 3 x 3 即 y x, 显然通过原点.
2
2
例4
设
y 2 x ( x y) ln( x
y) ，
求
d2y dx 2
解
两边求导：
y'2 (1 y') ln( x y) ( x
dx 2
对数求导法
观察函数
y
(
x 1)3 x ( x 4)2 e x
1
,
y x sin x .
方法: 先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导
方法求出导数. --------对数求导法
适用范围:
(1)幂指函数y u( x)v( x)的情形.
(2)多个函数相乘: y f1( x) f2 ( x) fn ( x)的情形.
dx
dx
解得
dy dx
ex y xey
,
由原方程知
x
0,
y
0,
dy dx
x0
ex y xey
x0 y0
1.
例2
设 arctan y ln
隐函数及参数方程所确定的函数的求导法
谢谢聆听
一、隐函数的导数
把一个隐函数化成显函数，叫作隐函数的显化．例如， 从方程3x＋y2＋5=0解出y=± √ -5-3x，就把隐函数化成显函 数．隐函数的显化有时是有困难的，甚至是不可能的．例如， ey=y＋x在x的一定变化范围内虽然也能确定一个隐函数y=f （x），却无法将它显化.因此有必要介绍隐函数的求导方法.
设y=f（x）是由F（x，y）=0所确定的隐函数，则F（x， f（x））=0．由于此式左端是将y=f（x）代入F（x，y）所 得到的复合函数，因此，根据链式法则将等式两边对x求导， 便可得到所求的导数．
我们通过几个例子来说明这种方法．
一、隐函数的导数
【例1】
求方程xy-ex＋ey=0所确定的隐函数y=f（x）的导数 ． 解 方程两端同时对x求导，并注意到y是x的函数，得
下面举几个例子.
一、隐函数的导数
【例4】
求函数y=xx（x>0）的导数． 解 这是幂指函数，求导数时，既不能用幂函数的导数 公式，也不能用指数函数的导数公式. 对等式两边取对数，得
lny=xlnx， 两边对x求导，得
一、隐函数的导数
【例5】
二、由参数方程所确定的函数的导数
函数关系除了用显式和隐式表示外，还可以用参数 方程来表示．
一般的，如果参数方程x=φ（t）， 确定y与x之间的函数关系，则称此函数关系所表示的函 数为由参数方程所确定的函数．
对于参数方程所确定的函数的求导，通常不需要由 参数方程消去参数t化为y与x之间的直接函数关系后再求 导．
二、由参数方程所确定的函数的导数
如果函数φ（t）和ψ（t）都可导，φ′（t）≠0且x=φ（t） 存在反函数t=φ-1（x），则y为x的复合函数．根据复合函数求 导法则，得
隐函数及由参数方程所确定函数的导数相关变化率公开课一等奖课件省赛课获奖课件
解 方程两边对x求导得
4 x3 y xy 4 y3 y 0
(1)
代入 x 0, y 1得
y
x0 y1
1; 4
将方程 (1)两边再对x求导得
12 x2 2 y xy 12 y2 ( y)2 4 y3 y 0
代入 x 0,
y 1,
y
x0 y1
1 4
得
y
x0 y1
1. 16
二、对数求导法
例 以每秒10cm3 的速度给气球打气,当气球半径为5cm 气球表面的增加率是多少?
V 4 r 3 , dv 4r 2 dr 10cm 3 / s,
3 dt
dt
A 4r 2 , dA dt
r5
dA dr
dr dt
r5
8r
10 4r 2
r 5 4cm 2 / s.
例1 一汽球从离开观察员500米处离地面铅直
t t0
(v0t cos ) t t0
v0 cos
vy
dy dt
t t0
(v
0
t
sin
1 2
gt
2
)
t t0
v0 sin
gt0
在
t
时刻炮弹的速度为
0
v
v
2 x
v
2 y
v2 0
2v0 gt0
sin
g
2
t2 0
例8
求由方程
x
y
a cos3 a sin3
t t
表示的函数的二阶导数
.
dy
解
dy dx
解 等式两边取对数得 ln y sin x ln x
上式两边对 x求导得
隐函数及由参数方程所确定的函数的微分法
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8
例5
设
y
( x 1)3 x 1 ( x 4)2 e x
,
求dy.
解 等式两边取对数，得
ln y ln( x 1) 1 ln( x 1) 2 ln( x 4) x 3
,
1 2
gt
2
,
求
(1)
炮
弹
在
时
刻t
的
0
运
动
方
向;
(
2)
炮
弹
在
时
刻t
的
0
速
度
大
小.
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13
解
(1)
在
t
时
0
刻
的
运
动
方
向
y
即 轨 迹 在t0时 刻 的 切 线 v0 vy v
方 向, 可 由 切 线 的 斜 率 来
vx
反映 .
o
x
dy
(v0t sin
1 2
gt 2 )
v0
sin
对 方 程
x y
(t (t
)两 )
边
求
微
分, 得
dx (t)dt
dy (t)dt
则
dy (t)dt dx (t)dt
消去dt，得
dy (t) , dx (t)
即
yx
(t) (t )
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数学参数方程知识点总结8篇
数学参数方程知识点总结8篇第1篇示例：数学中的参数方程是一种常用的描述曲线、曲面的方法，它的应用非常广泛，涉及到几何、物理、工程等各个领域。
掌握数学参数方程的知识对于深入理解数学的原理和应用非常重要。
下面将对数学参数方程的相关知识点进行总结。
一、参数方程的定义参数方程是指用一个或多个参数表示的方程。
通常情况下，参数方程用t表示参数。
比如一个二维曲线的参数方程可以表示为x=f(t),y=g(t)，其中f(t)和g(t)分别表示曲线上点的横坐标和纵坐标关于参数t 的函数。
1. 描述曲线的形状参数方程可以用来描述各种不规则曲线，如螺旋线、心形曲线等。
通过选择合适的参数函数，可以绘制出各种形状独特的曲线。
2. 计算曲线的长度对于参数方程表示的曲线，可以利用微积分的知识计算曲线的长度。
通过计算曲线上相邻两点之间的距离，对其进行积分求和，可以得到曲线的长度。
曲线的曲率是描述曲线弯曲程度的一个重要指标。
利用参数方程表示的曲线可以通过求导计算出曲线的曲率，并进一步研究曲线的几何性质。
4. 综合应用在物理学、工程学等领域中，参数方程的应用非常广泛。
比如在物体运动学的研究中，可以用参数方程描述物体在空间中的运动轨迹，从而计算速度、加速度等物理量。
三、参数曲面方程除了参数方程可以描述曲线外，参数方程也可以用来描述曲面。
一个三维曲面的参数方程可以表示为x=f(u,v), y=g(u,v), z=h(u,v)，其中f(u,v)、g(u,v)、h(u,v)分别表示曲面上点的三个坐标关于参数u,v的函数。
四、常见参数曲线1. 抛物线：x=t, y=t^2。
这个参数方程描述了抛物线的形状，t的取值范围可以确定抛物线的长度和位置。
2. 圆弧：x=a\cos t, y=a\sin t。
这个参数方程描述了以原点为圆心、半径为a的圆的圆弧。
五、总结第2篇示例：数学中的参数方程是一种描述曲线或曲面的方法，它利用参数表示曲线或曲面上的点的位置。
参数方程的概念及直线的标准参数方程及应用
参数方程的概念及直线的标准参数方程及应用一、教学内容:1．参数方程的概念及参数方程与普通方程的互化 2．直线的标准参数方程及其应用 二、重点难点:1．参数方程的概念:在xoy 平面上，若曲线C 的任意点的坐标(x, y)都能通过第三变量t 表示出来，即⎩⎨⎧==)()(t g y t f x ，t ∈M,①,这里M 是某个指定的区间，反之，对于每一个t ∈M, 由①确定的点(x,y)都在曲线C 上，那么方程组①才能叫做曲线C 的参数方程. 2．曲线参数方程与普通方程的互化:曲线C 的普通方程和参数方程是曲线C 的两种不同代数形式，以本质上讲它们是互相联系的，一般可以进行互化.曲线的参数方程曲线的普通方程.通常使用代入消参，加减消参，使用三角公式消参。
还常利用万能公式消解决形如2221()(,,,1()1()At x at a A B B at y at ⎧=⎪+⎪⎨⎡⎤-⎪⎣⎦=⎪+⎩其中为非零参数） 的消参问题 · 但特别要注意，（1）互化时，必须使坐标x, y 的取值范围在互化前后保持不变，否则，互化就是不等价的.如曲线y=x 2的一种参数方程是（ ）.A 、⎪⎩⎪⎨⎧==42ty t x B 、⎪⎩⎪⎨⎧==t y t x 2sin sin C 、⎪⎩⎪⎨⎧==t y t x D 、⎪⎩⎪⎨⎧==2t y tx分析:在y=x 2中，x ∈R, y ≥0，在A 、B 、C 中，x,y 的范围都发生了变化，因而与y=x 2不等价，而在D 中，x,y 范围与y=x 2中x,y 的范围相同，且以⎪⎩⎪⎨⎧==2ty tx 代入y=x 2后满足该方程，从而D 是曲线y=x 2的一种参数方程.（2）在求x,y 的取值范围时，常常需用求函数值域的各种方法。
如利用单调性求函数值域，二次函数在有限区间上求值域，三角函数求值域，判别式法求值域等。
3．直线的参数方程过点M 0(x 0,y 0)，且倾斜角为α的直线l 的参数方程的标准形式为⎩⎨⎧α+=α+=.sin ,cos 00t y y t x x其中参数t 的几何意义是:规定l 向上方向为正方向，t 是有向直线l 上，从已知点M 0(x 0, y 0)到点M(x,y)的有向线段M 0M 的数量，且|M 0M|=|t|. 当t>0时，点M 在点M 0的上方 当t=0时，点M 与点M 0重合 当t<0时，点M 在点M 0的下方特别地，若直线l 的倾角α=0时，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧=+=00y y tx x .当t>0时，点M 在点M 0的右侧当t=0时，点M 与点M 2重合当t<0时，点M 在点M 0的左侧 4. 直线的参数方程的应用：由参数t 的几何意义可知，若M 1，M 2为直线l 上两点， t 1, t 2分别为M 1，M 2所对应的参数, 则(1)|M 1M 2|=|t 1-t 2|(2)010212M M M M t t ⋅=(3)若M 3为M 1，M 2的中点，则中点M 3对应的参数为2213t t t +=所以，处理过定点的直线截得的线段长问题，采用直线的参数方程有时比较方便。
第三节 隐函数的导数和由参数方程确定的函数的导数
练 习 题
一、 填空题： 1、 设 x 3 2 x 2 y 5 xy 2 5 y 1 0 确定了 y 是 x 的函 d2y dy 数，则 =________， 2 ________. dx (1,1) dx 2、 曲线 x 3 y 3 xy 7 在点（1，2）处的切线方程是 ___________. x t cos t 3、 曲线 在 t 处的法线方程________. 2 y t sin t x e t cos t dy dy 4、 已知 ,则 =______； =______. t dx dx t y e sin t
由复合函数及反函数的求导法则得
dy dy dt dy 1 ( t ) dx dt dx dt dx ( t ) dt
dy dy dt ( t ) 即 dx dx ( t ) dt
例1
x a cos 3 t 求由方程 3 所确定的函数 y a sin t y y( x ) 的一阶导数 .
2 2 v v x v 2 v0 2v0 gt0 sin g 2 t02 y
四、相关变化率
设 x x ( t ) 及 y y( t ) 都是可导函数 , 而变量 x dx 与 y 之间存在某种关系, 从而它们的变化率 dt dy 与 之间也存在一定关系 , 这样两个相互依赖 dt 的变化率称为 相关变化率 .
3
5、 设 xy e x y ,则
dy =________. dx
d2y 二、求下列方程所确定的隐函数 y 的二阶导数 2 ： dx 1、 y 1 xe y ； 2、 y tan( x y ) ； y 3、 x y x ( x 0， y 0) . 三、用对数求导法则求下列函数的导数： x2 1、 y x ； x 2( 3 x ) 4 2、 y ； 5 ( x 1)
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淮北师范大学2011届学士学位论文由参数方程确定的函数的性质及应用学院、专业数学科学学院数学与应用数学研究方向函数论学生姓名陈涛学号***********指导教师姓名周光辉指导教师职称副教授2011年04 月10日由参数方程确定的函数的性质及应用陈 涛(淮北师范大学数学科学学院，淮北，235000)摘 要本文重点论述了利用极限和导数的基本理论和基本方法，首先阐述了参数的实际意义及参数方程的概念；其次对参数方程确定的函数导数的存在性进行了讨 论，得出了t x '和t y '都存在、t x '和t 'y 中有一个不存在的情况、t x '和t y '都不存在三种情况下导数存在性；给出三个例题分别说明由求参数方程所确定函数极值点应注意的问题及拐点应注意的问题；最后系统的介绍了几种由参数方程确定的函数的导数求法，通过几个典型例题说明了利用复合函数求导法则、利用微分、利用参数、利用公式、利用导数定义五种方法求由参数方程确定的函数的导数.关键词：参数方程,函数,存在性,极值,导数Properties and Applications of the Function Determinedby The Parametric EquationChen Tao(School of Mathematical Sciences ，Huaibei Normal University ，Huaibei ，235000)AbstractThis paper mainly discusses the basic theory and basic method of limit and derivative. First, it illustrates the practical meaning of parameter and the conception of parametric equation. Second, it discusses the existence of derivative of the function determined by the parametric equation, and concludes there are three cases of botht x 'and t y 'exit, neither exits, one exits and the other not. It gives three examples separately to illustrate what should be paid attention in extreme value point and flecnode of the function which determined by parametric equation. Finally, this paper systematically introduced several methods to solve derivative of the function determined by parametric equation, and illustrate how to solve derivative of the function determined by parametric equation by five methods of principle of compound function derivation, differential, parameter, formula and derivative definition through several typical examples.Keywords: Parametric equation, Function, Existence, Extreme value, Derivative目 录引言 ................................................................. 1 一、参数方程概念 .. (1)1. 参数的概念 .................................................... 1 2. 参数的实际定义 ................................................ 1 3. 参数方程的概念 ................................................ 1 二、参数方程确定的函数导数存在 (2)1. t x 和t y 都存在的情况 ........................................... 2 2. t x 和t y 中有一个不存在的情况 ................................... 3 3. t x 和t y 都不存在的情况 ......................................... 3 三、求参数方程所确定函数的极值点、拐点应注意的问题 .................. 3 四、由参数方程确定的函数的导数的求法 (6)1. 用复合函数和反函数求导法则的求法 .............................. 6 2. 利用微分求的求法 .............................................. 8 3. 利用消去参数法的求法 .......................................... 9 4. 利用公式法的求法 ............................................. 10 5. 利用导数定义的求法 ........................................... 12 结束语 .............................................................. 13 参考文献 ............................................................ 14 致 谢 .. (15)引言本文讨论了由参数方程确定的函数的部分性质及应用；利用极限和导数的基本理论和基本方法，对参数方程确定的函数导数的存在性进行了讨论，得到了三种情况下其导数存在性，并对其导数存在的判断和计算方法提供了例析；求由参数方程所确定的函数的高阶导数；讨论了参数方程所表示的曲线关于原点或关于数轴的对称性，给出了对称性的若干充分条件；给出了三个例题说明求参数方程所确定的导数极值点、拐点时应注意的几个问题，通过几个典型例题说明了利用复合函数、利用微分、利用参数、利用公式、利用导数定义五种方法求由参数方程确定的函数的导数.一、参数方程概念1. 参数的概念联系变量x、y之间关系的变量，叫做参变数，简称参数.2. 参数的实际定义一般常用时间、有向线段的数量、旋转角、直线的斜率等作参数,但有的也可以用没有明显意义的变数作参数.用有实际含义的变数作参数,应注意参数的取值范围.3. 参数方程的概念一般地,在取定的坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x ,y 都是某个变数t 的函数()()x f t y g t =⎧⎨=⎩（1） 并且对于t 的每一个允许值,由方程组(1)确定的点(,)P x y 都在这条曲线上,那么方程组(1)叫做这条曲线的参数方程.二、参数方程确定的函数导数存在大部分资料中，讨论参数方程()()x f t yg t (t 为参数)确定的函数()y f x =的导数存在时在假设t x 和t y 都存在的情况下进行的,但这类函数的导数存在的情况实际上很复杂.1. t x 和t y 都存在的情况（1）当t x 和t y 存在且0t x 时，可以按照公式求得t tty y x ，可是当0ty ，但0tx 时0xy .（2）当0t x 但0t y 时，x y ，不存在，但0yx .（3）若0tx 且0ty ，此时的可能情况比较多，但可以利用无穷小阶的比较来进行判断，或者直接根据参数方程确定的函数的导数定义利用0limt yx∆→∆∆，求得：01 0,0,0;x x yy xty y x t t当较为高阶（低阶）无穷小，即反之，02 当0t ，y t较x t 为同阶无穷小，即C x y ，可是当0t，y t较xt 为高阶无穷小，即1x y .2. t x 和t y 中有一个不存在的情况（1）t y 不存在. 10：ty 时，即0yx ；20：0(0)t t y ，0(0)t t y 都存在但00(0)(0)t t t t y y 时，x 根据导数存在的充要条件知道此时y 不存在；（2）t x 不存在. 10：t x 或0ty 时，0xy ；20：0(0)t x t ，0(0)t t x 都存在但00(0)(0)t t t x t x 时，且0ty ，00limlim t t y yx x∆→∆→∆∆≠∆∆（0t 为所求点的导数所对应的参数）,此时根据导数存在的充要条件知x y 不存在.3. t x 和t y 都不存在的情况（1）t x =且ty , 此时可以仿照2.1中(3)的情况进行无穷大阶的比较的讨论得出结果,或直接根据参数方程确定的函数的导数定义利用0limxty求得. （2）t x 且ty ,此时只能直接根据参数方程确定的函数的导数定义利用0limxty求得.三、求参数方程所确定函数的极值点、拐点应注意的问题在求由参数方程所确定函数的极值点和拐点时,会出现以下三例的情形.例1 设函数()y f x =由t tx te y te确定,求函数的极值点.解 2(1)(1)(1)1t t t dy t e t e dx t e t ----==++,令0dy dx=得到t=1,对应唯一驻点x e =. 当1t <(x e =左侧)0y ,1t >(x e =右侧)0y ,所以x e =是函数的极大值点.注意,1t =-(1x e -=-)时y 不存在(函数有定义), 1t <- (1x e -=-左侧)0y,1t >- (1x e -=-右侧) 0y,但1t =-即1x e -=-却不是函数的极值点.考察t x te =在1t =-的性态. 因为211211(1)0,(2)0ttt t t t dxd xt e t e dtdt =-=-=-=-=+==+>,所以1t =-是x =t t e 的唯一极小值点,也是其最小值点.1t =-对应的x =-1e -是函数()y f x =定义区间的左端点,它不是函数的极值点(极值点应为定义区间的内点).例2 求曲线233x t y t t 的拐点.解 22233(1)3(1)(1),24y dy t d t t dx t dx t +-+== 令220yd dx=得1t =±,对应曲线上的点(1,4)和(1,-4)为拐点的可疑点.经判断在1(1)t x =±=左右两侧y ''变号,可知(1,4)和(1,-4)均为曲线的拐点.注意,0(0)t x ==时y ''不存在(函数有定义),在0t =左右两侧y ''变号,但0t =对应的.(0,0)点却不是曲线的拐点,因为20,2|20t dx d xdt dt==>所以0t =是x =2t 的唯一极小值点,也是最小值点,即0t =对应的0x =是函数()y f x =定义区间左端点,所以(0,0)点是曲线的左边界点,而不是拐点.例3 设由2254x t t y t t t 确定了函数()y f x =,求0|x dydx=并求函数的极值点. 解 0x =对应0t =,103tdytdxt 不存在 (1) 由(1)可见0t =时dxdt不存在,但函数()y f x =在0(0)x t ==处的导数仍存在.事实上,由导数定义可得20054|lim lim02x x ttt t dy y dxxtt（2）于是2000006000t t x dy t x dxt t x 0 （3） 由(2)可见0t =是3x t t =+的连续不可导点,不是x 的极值点,对应的0x =是函数()y f x =定义区间的内点.由(3)可见, 0(0)x t ==是()y f x =的唯一极小值点.由以上三例可见,由于参数方程()()x x t yy t 所确定的函数()y f x =与自变量x 的关系是通过参数t 来沟通的,在求解此类问题时应注意:1.使()x t ,()y t '中有一个不存在,y 对x (或x 对y )的导数仍可以存在,只是不能用公式''()()dy y t dx x t =来求,此时可用导数定义求. 2.即使在''()()dy y t dx x t =(或22d y d x)不存在的0t (对应0x )的左右两侧y '(或y '')变号,也不能确定它是函数的极值点(或拐点),需要进一步考察,切勿妄下结论.3.若有0()x t '=0, 0()y t '同时成立,而0()x t ,0()y t 中至少有一个不为0,则点(0()x t ,0()y t )称为曲线的奇异点(见菲赫金哥尔茨《微积分教程》一卷二分册》.四、由参数方程确定的函数的导数的求法1. 用复合函数和反函数求导法则的求法设(),()x t y t ϕψ==皆可导，且()0t ϕ'≠，又()x t ϕ=存在反函数1()t t ϕ-=复合而成的复合函数，因而求参数式函数的导数也可归纳到复合函数求导的问题当中.即'()/'()dydy dt dy dx t dxdt dxdt dtt (1) 不仅一阶导数可用上述求法求之，其高阶导数也可用上述方法求之。