高中数学人教A版《空间向量基本定理》PPT精品系列1
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空间向量基本定理(18张PPT)高中数学人教A版选择性必修第一册
如裸本是面例1OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上， 点P在线段AN上，且 ,用OA,OB,OC表示OP
课本12页练习题1.已知向量{a,b,c} 是空间的一个基底，从a,b,c 中选哪一个向量， 一定可以与向量p=a+b,q=a—b 构成空间的另一个基底?2.已知O,A,B,C 为空间的四个点，且向量OA,OB,O 不构成空间的一个基底，那么点0,A,B,C 是否共面?3.如图，已知平行六面体 OABC-O'A'B℃', 点 G 是侧面BB'℃'℃的中心，且OA=a,OC=b,O0=c.(1){a,b,c} 是否构成空间的一个基底?(2)如果{a,b,c} 构成空间的一个基底，那么用它表示下列向 (第3题)
H
我们用它们表示MN,AC, 则 9
=0所以MN⊥AC₁
AC₁=AB+BC+CC₁=a+b+c.
如谬本正方例&-A'B'CD的棱长为1,E,F,G 分别为 C'D',A'D',D'D的中点.(1)求证： EF//AC;(2) 求 CE 与 AG 所成角的余弦值.
3.如图，已知正方体ABCD-A'B℃'D',CD '和DC'相交于点O, 连接AO, 求证AO⊥CD'.
( 第 2 题 )
( 第 3 题 )
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年
授课老师：
时间：2024年9月1日
小试牛刀1. 思考辨析(正确的打“ √ ”,错误的打“×”)(1)若{0 A,OB,OC}不能构成空间的一个基底，则0,A,B,C 四 点 共 面.( √ )(2)若{a,b,c}为空间的一个基底，则a,b,c全不是零向量. ( √ )(3)只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一组基底. ( × )2.已知{a,b,c} 是空间的一个基底，则可以和向量p=a+b,q=a—b构成基底的向量是( D )A.a B.b C.a+2b D.a+2c
课本12页练习题1.已知向量{a,b,c} 是空间的一个基底，从a,b,c 中选哪一个向量， 一定可以与向量p=a+b,q=a—b 构成空间的另一个基底?2.已知O,A,B,C 为空间的四个点，且向量OA,OB,O 不构成空间的一个基底，那么点0,A,B,C 是否共面?3.如图，已知平行六面体 OABC-O'A'B℃', 点 G 是侧面BB'℃'℃的中心，且OA=a,OC=b,O0=c.(1){a,b,c} 是否构成空间的一个基底?(2)如果{a,b,c} 构成空间的一个基底，那么用它表示下列向 (第3题)
H
我们用它们表示MN,AC, 则 9
=0所以MN⊥AC₁
AC₁=AB+BC+CC₁=a+b+c.
如谬本正方例&-A'B'CD的棱长为1,E,F,G 分别为 C'D',A'D',D'D的中点.(1)求证： EF//AC;(2) 求 CE 与 AG 所成角的余弦值.
3.如图，已知正方体ABCD-A'B℃'D',CD '和DC'相交于点O, 连接AO, 求证AO⊥CD'.
( 第 2 题 )
( 第 3 题 )
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年
授课老师：
时间：2024年9月1日
小试牛刀1. 思考辨析(正确的打“ √ ”,错误的打“×”)(1)若{0 A,OB,OC}不能构成空间的一个基底，则0,A,B,C 四 点 共 面.( √ )(2)若{a,b,c}为空间的一个基底，则a,b,c全不是零向量. ( √ )(3)只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一组基底. ( × )2.已知{a,b,c} 是空间的一个基底，则可以和向量p=a+b,q=a—b构成基底的向量是( D )A.a B.b C.a+2b D.a+2c
1.2空间向量基本定理 人教A版(2019版)高中数学选择性必修一(共16张PPT)
示.
5
基本练习
若向量MA,MB,MC的起点M 和终点A,B,C 互不重合且无三点共线，则能 使向量MA,MB,MC成为空间一组基底的关系是
B.MA=MB+MC
c.OM=OA+OB+0c
D.MA=2MB-MC
解析 对于A,由结论OM=xOA+yOB+zOC(x+y+z=1)→M,A,B,C 四
点共面知,MA ,MB,MC共面；对于B,D, 易知MA ,MB,MC共面，故只有C
MN,AC, 则
AC₁=AB+BC+CC₁=à+b+亡，
所以MN。
·(a+b+c)
所以MNLAC₁.
U
典型讲评
例3如图，正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为1,E,F,G分别为 C'D',A'D',D'D的中点. (1)求证：EF/IAC;(2)求CE 与AG 所成角的余弦值.
(1)证明：设DA=i,Dc= 了，DD²=k, 则信，了，k)构成空间的一个单位正交基
注：如果三个向量a,b,c不共面，那么所有空间向量组 成的集合就是{PP = xa+yb+zC,x,y,z∈ R},这个 集合可以看做是由向量a,b,c生成的.
故{a,b,c}叫做空间的一个基底.
a,b,c 都叫做基向量
4
学习新知
特别提示：对于基底{a,b,c},除了应知道a,b,c不共面， 还应明确：
1.2空间向量的基本定理
复习引入
共线向量定理：
对空间任意两个向量abb≠0),a1/b
的
充要条件是存在实数λ,使a=λb.
5
基本练习
若向量MA,MB,MC的起点M 和终点A,B,C 互不重合且无三点共线，则能 使向量MA,MB,MC成为空间一组基底的关系是
B.MA=MB+MC
c.OM=OA+OB+0c
D.MA=2MB-MC
解析 对于A,由结论OM=xOA+yOB+zOC(x+y+z=1)→M,A,B,C 四
点共面知,MA ,MB,MC共面；对于B,D, 易知MA ,MB,MC共面，故只有C
MN,AC, 则
AC₁=AB+BC+CC₁=à+b+亡，
所以MN。
·(a+b+c)
所以MNLAC₁.
U
典型讲评
例3如图，正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为1,E,F,G分别为 C'D',A'D',D'D的中点. (1)求证：EF/IAC;(2)求CE 与AG 所成角的余弦值.
(1)证明：设DA=i,Dc= 了，DD²=k, 则信，了，k)构成空间的一个单位正交基
注：如果三个向量a,b,c不共面，那么所有空间向量组 成的集合就是{PP = xa+yb+zC,x,y,z∈ R},这个 集合可以看做是由向量a,b,c生成的.
故{a,b,c}叫做空间的一个基底.
a,b,c 都叫做基向量
4
学习新知
特别提示：对于基底{a,b,c},除了应知道a,b,c不共面， 还应明确：
1.2空间向量的基本定理
复习引入
共线向量定理：
对空间任意两个向量abb≠0),a1/b
的
充要条件是存在实数λ,使a=λb.
空间向量基本定理(课件)高二数学(人教A版2019选择性必修第一册)
第一章 空间向量与立体几何
1.2空间向量基本定理
高中数学/人教A版/选修一
c
O
p
P
b
a
Q
1.2空间向量基本定理
思维篇
素养篇
知识篇
回顾：
平面向量基本定理
如果a,b是平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向
量p，有且只有一对实数x、y，使p=xa+yb .
p
b
O
a
类似地，任意一个空间向量能否用三个不共线的向量a,b,c来表示呢？
方 1.先根据数据凭直观找边界点，确定动点P的轨迹类型；
法 2.再依据类型求轨迹测度.
数学模型
等和线
等和面
Q
P
上图中A、B分别为线段OC、OD中点.
P、Q分别为直线AB、CD上的动点，则
(1) OP xOA yOB
x+y=?；
(2) OQ xOA yOB
x+y=？
(先找特殊位置，然后给出一般化的结论)
思
想
问
题
之
是六面体AC'内部(含表面)一动点,满足条件：
=x+ + ’,
2
3
则点P轨迹的体积为
解
基
底
思
想
答
+
数
形
结
合
方
法
总
结
且0≤x+y+z≤3
.
1
1
=x+y( )+z( ’),
2
1
1
以， ， ’为基底,
2
1.2空间向量基本定理
高中数学/人教A版/选修一
c
O
p
P
b
a
Q
1.2空间向量基本定理
思维篇
素养篇
知识篇
回顾：
平面向量基本定理
如果a,b是平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向
量p，有且只有一对实数x、y，使p=xa+yb .
p
b
O
a
类似地，任意一个空间向量能否用三个不共线的向量a,b,c来表示呢？
方 1.先根据数据凭直观找边界点，确定动点P的轨迹类型；
法 2.再依据类型求轨迹测度.
数学模型
等和线
等和面
Q
P
上图中A、B分别为线段OC、OD中点.
P、Q分别为直线AB、CD上的动点，则
(1) OP xOA yOB
x+y=?；
(2) OQ xOA yOB
x+y=？
(先找特殊位置，然后给出一般化的结论)
思
想
问
题
之
是六面体AC'内部(含表面)一动点,满足条件：
=x+ + ’,
2
3
则点P轨迹的体积为
解
基
底
思
想
答
+
数
形
结
合
方
法
总
结
且0≤x+y+z≤3
.
1
1
=x+y( )+z( ’),
2
1
1
以， ， ’为基底,
2
数学人教A版(2019)选择性必修第一册1.2空间向量基本定理(共22张ppt)
O
M
Q
A
B
P
N
1
2
OP OM MP OA MN
2
3
1
2
OA (ON - OM)
2
3
1
2
1
OA (ON - OA)
2
3
2
1
2
1
C OA (OB OC)
6
3 2
1
1
1
OA OB OC;
6
3
3
O
M
Q
P
A
C
N
B
1
1
OQ OM MQ OA MN
b
A
C
a B
p
P
复习平面向量基本定理
如果两向量 ， 不共线，那么对平面任一向量a ，
均存在有序实数组{ ， }，使得a= + .
当 ⊥ 时，这种分解叫做平面向量的正交分解.
平面向量的正交分解及坐标表示
y
a
a xi y j
i (1, 0), j (0,1), 0 (0, 0).
2
3
1
1
OA (ON - OM)
2
3
1
1
1
OA (ON - OA)
2
3
2
1
1 1
OA (OB OC)
3
3 2
1
1
1
OA OB OC.
3
6
6
课本P12页1-3题
例2 如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，
AD＝4，AA1＝5，∠DAB＝60°，∠BAA1＝60°，
M
Q
A
B
P
N
1
2
OP OM MP OA MN
2
3
1
2
OA (ON - OM)
2
3
1
2
1
OA (ON - OA)
2
3
2
1
2
1
C OA (OB OC)
6
3 2
1
1
1
OA OB OC;
6
3
3
O
M
Q
P
A
C
N
B
1
1
OQ OM MQ OA MN
b
A
C
a B
p
P
复习平面向量基本定理
如果两向量 ， 不共线，那么对平面任一向量a ，
均存在有序实数组{ ， }，使得a= + .
当 ⊥ 时，这种分解叫做平面向量的正交分解.
平面向量的正交分解及坐标表示
y
a
a xi y j
i (1, 0), j (0,1), 0 (0, 0).
2
3
1
1
OA (ON - OM)
2
3
1
1
1
OA (ON - OA)
2
3
2
1
1 1
OA (OB OC)
3
3 2
1
1
1
OA OB OC.
3
6
6
课本P12页1-3题
例2 如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，
AD＝4，AA1＝5，∠DAB＝60°，∠BAA1＝60°，
人教A版高中数学选择性必修第一册《空间向量基本定理》名师课件
A1B1的中点,在如图所示的空间直角坐标系中,求 、 的坐标．
解析
因为 ＝－ ＝－( ＋ )＝－[ ＋ (＋ )]
＝－ － － .
又| |＝4,||＝4,||＝2,所以 ＝(－2,－1,－4)．
因为 ＝ － ＝ －( ＋ )＝ － － .
形法则,结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简,最后求出结果.
变式训练
2、如图所示,已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1,设 ＝a, ＝b, ＝c, P是CA1的
中点,M是CD1的中点.用基底{a,b,c}表示以下向量：(1) ；(2) .
解析
如图,在平行六面体ABCDA1B1C1D1中连接AC,AD1.
一的线性表示．
素养提炼
2．空间向量坐标表示注意点
(1)空间向量的坐标顺序必须与基底中的基向量对应,即若基底为
{e1,e2,e3},b＝λe1＋μe2＋ke3,则b的坐标为(λ,μ,k)．
(2)点的坐标反应了点在空间直角坐标系中的位置,而向量的坐标
实质上是该向量在标准正交基底下的分解式的一种简化表示,它
又||＝2,||＝4,| |＝4,
所以 ＝(－4,2,－4)．
方法归纳
用坐标表示空间向量的方法步骤
素养提炼
1．对空间向量基本定理的理解
(1)一个基底是指一个向量组,一个基向量是指基底中的某一个向量,二
者是相关联的不同概念．
(2)向量基本定理揭示了向量间的线性关系,即任一向量都可由基向量惟
方法归纳
(1)判断一组向量能否作为空间的一个基底,实质是判断这三个向量
是否是共面向量,若不是共面向量,就可以作为一个基底.
空间向量基本定理(PPT)
（二）空间向量基本定理
【探究1】空间中怎样的向量能构成基底？
1.不同基底下,同一向量的表达式也
【提示】空间任意三个“不共面”的向量都可以作为空间向量的一个基底．
有可能不同.
2.由于零向量与任意一个非零向量
【探究2】基底与基向量的概念有什么不同？
【提示】一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，
)
(3)已知A,B,M,N是空间四点,若 , , 不能构成空间的一个基底,则A,B,M,N共面.(
(4)若{a,b,c}是空间的一个基底,且存在实数x,y,z使得xa+yb+zc=0,则有x=y=z=0.(
)
)
答案: (1)× (2)√ (3)√ (4)√
【做一做1】(教材P12练习1改编)已知向量{a，b，c}是空间的一个基底，则可以和向量p＝a＋b，
(2)正交分解：把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解．
（三）典型例题
1.基底的判断
例1.设 Ԧ = Ԧ + , Ԧ = + ,
Ԧ = Ԧ + ，且
Ԧ
,
Ԧ , Ԧ 是空间的一个基底，给出下列向量组：① ,
Ԧ , Ԧ ，②
,
Ԧ ,
Ԧ Ԧ ，③ ,
（2）∵ ’ = −Ԧ + ，∴
Ԧ
’ = 2 Ԧ ， =
∵’ ∙ = −Ԧ + Ԧ ∙ +
1
Ԧ
2
1
=2 Ԧ2
=
1
2
Ԧ
5
2
2，∴cos
Ԧ ，
’, =
1
2
2
1.2空间向量基本定理(教学课件)高二数学(人教A版2019选择性必修第一册)
⋅1
|||1 |
=
= 1 + = −k
1 1 1
1
Ԧi+ Ԧj− k ⋅ −k− Ԧj
2 2 2
3
2 10
3× 3
所以， 与1 所成角的余弦值为
30
15
=
1
− Ԧj.
3
1
2 −1×22
×2
2
6
2 10
3× 3
=
30
15
小结
空间向量基本定理
a，b，Ԧc不共面，则对∀，∃唯一有
2
2
− × 4 × 60° − × 4 − × 4 × 5 × 60° = 0.
2
2
2
所以 ⊥ 1 .
例题讲解
例3.如图，正方体ABCD − A’ B’ C ’ D’ 的棱长为1，E，F，G分别为C ’ D’ ，A’ D’ ，D’ D的中点.
(1)求证：EF//AC；
(2)求CE与AG所成角的余弦值.
Ԧ
}表示向量，.
Ԧ
解: = + =
= +
1
2
1
2
1
+ 1
2
= +
1
2
A
+ + 1
1
2
A1
+ 1
1
2
= + + 1
1
2
1
2
B1
1
2
= Ԧ + + Ԧ
= 1 +
=
1
2 1 1
B
= + 1 +
数学人教A版选择性必修第一册1.2空间向量基本定理共15张ppt
M
A1
B1
由已知,{ AB , AD, AA1 }可构成空间的一个基底,
把 MN 和 AC1分别用基底表示 ,
然后计算 MN AC1即可 .
证明：设 AB a , AD b, AA1 c这三个向
量不共面,{a , b, c }构成空间的一个基底,
D
A
N
C
B
C1
典例分析
解 我们用它们表示 MN , AC1 , 则
3．正方体上一个顶点出发的三条棱上的单位向
量 e1 , e2 , e3 .可以作为空间的一个基底吗？
知识梳理
知识点一
空间向量基本定理
(1)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c
不共面 ，那么对任意一
个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x,y,z)，使得p＝ xa＋yb＋zc .
(2)基底：如果三个向量a，b，c不共面，那么所有空间向量组成的集合
2
1
AG AD DG i k
2
1
1
j k i k
CE AG
2
2 2
cos CE , AG
5
5
5
CE AG
2
2
2
故CE 与AG所成角的余弦值为 .
5
D
A
C
E
F
G
B
D
A
C
B
课堂小结
空间向量基本定理及其应用
学
习 目
标
1.了解空间向量基本定理及其意义．(数学抽
象)
2.掌握空间向量的正交分解．(直观想象)
1.2 空间向量基本定理(共26张PPT)
（2）求异面直线 AB1 与 BC1 所成角的余弦值．
解：（1） BC
1
BB1 B1C1 BB1 A1C1 A1 B1 a c b
a b a b cos BAA1 11 cos60
a c b
BC1
2
1
1
a cb c ，
，同理可得
―
→
→
―
→
―
跟踪训练 1.如图所示，在平行六面体 ABCD-A′B′C′D′中，AB＝a，AD＝b，AA′
＝c，P 是 CA′的中点，M 是 CD′的中点，N 是 C′D′的中点，点 Q 在 CA′上，
且 CQ∶QA′＝4∶1，用基底{a，b，c}表示以下向量.
―
→
→
―
→
―
→
―
(1)AP；(2)AM；(3)AN；(4)AQ.
AB1 BC1
AB1 BC1
2
2
a c a b b a c b b 1，
1
2 3
6
6
．
异面直线 AB1 与 BC1 所成角的余弦值为 6 ．
6
课堂小结
1．利用向量的线性运算和空间向量基本定理表示向量是向量应用的基
础．
2．利用共线向量定理、共面向量定理可以证明一些平行、共面问题；利
5.若{a,b,c}是空间的一个基底,试判断{a+b,b+c,c+a}能否作为空间的一个基底.
解:假设a+b,b+c,c+a共面,则存在实数λ,μ,使得a+b=λ(b+c)+μ(c+a),
即a+b=μa+λb+(λ+μ)c.
解：（1） BC
1
BB1 B1C1 BB1 A1C1 A1 B1 a c b
a b a b cos BAA1 11 cos60
a c b
BC1
2
1
1
a cb c ，
，同理可得
―
→
→
―
→
―
跟踪训练 1.如图所示，在平行六面体 ABCD-A′B′C′D′中，AB＝a，AD＝b，AA′
＝c，P 是 CA′的中点，M 是 CD′的中点，N 是 C′D′的中点，点 Q 在 CA′上，
且 CQ∶QA′＝4∶1，用基底{a，b，c}表示以下向量.
―
→
→
―
→
―
→
―
(1)AP；(2)AM；(3)AN；(4)AQ.
AB1 BC1
AB1 BC1
2
2
a c a b b a c b b 1，
1
2 3
6
6
．
异面直线 AB1 与 BC1 所成角的余弦值为 6 ．
6
课堂小结
1．利用向量的线性运算和空间向量基本定理表示向量是向量应用的基
础．
2．利用共线向量定理、共面向量定理可以证明一些平行、共面问题；利
5.若{a,b,c}是空间的一个基底,试判断{a+b,b+c,c+a}能否作为空间的一个基底.
解:假设a+b,b+c,c+a共面,则存在实数λ,μ,使得a+b=λ(b+c)+μ(c+a),
即a+b=μa+λb+(λ+μ)c.
空间向量基本定理 人教A版(2019)选择性必修第一册高中数学精品课件
例题解析
例 5．在空间四点 O，A，B，C 中，若{O→A，O→B，O→C}是空间的一个基底，则下列说法不正确的是( B ) A．O，A，B，C 四点不共线 B．O，A，B，C 四点共面，但不共线 C．O，A，B，C 四点不共面 D．O，A，B，C 四点中任意三点不共线 选项 A 对应的说法是正确的，若四点共线，则向量O→A，O→B，O→C共面，构不成基底；选项 B 对应的说法是 错误的，若四点共面，则O→A，O→B，O→C共面，构不成基底；选项 C 对应的说法是正确的，若四点共面，则O→A， O→B，O→C构不成基底；选项 D 对应的说法是正确的，若有三点共线，则这四点共面，故向量O→A，O→B， O→C构不成基底．
例题解析
①根据空间基底的定义，三个非零向量 a，b，c 不能构成空间的一个基底，则 a，b，c 共面，故正确． ②由空间基底的定义，若两个非零向量 a，b 与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则 a，b 共线， 故正确． ③对空间任意一点 O 和不共线的三点 A，B，C，若O→P＝2O→A－2O→B－2O→C，由于 2－2－2＝－2≠1，则 P， A，B，C 四点不共面，故错误． ④若 a，b 是两个不共线的向量，且 c＝λa＋μb(λ，μ∈R，λ，μ≠0)，则向量 c 与 a，b 共面，则{a，b， c}不能构成空间的一个基底，故错误． ⑤利用反证法：若{a＋b，b＋c，c＋a}不能构成空间的一个基底，则存在实数 x，y，使得 a＋b＝x(b＋c) ＋y(c＋a)，整理得(1－y)·a＝(x－1)b＋(x＋y)c，则 a，b，c 共面，由于{a，b，c}为空间的一个基底，得出 矛盾，所以{a＋b，b＋c，c＋a}能够成空间的一个基底，故正确．故选 D.
选择性必修一第一章
1.2 空间向量基本定理
第3课空间向量基本定理 课件-高中数学人教A版选择性必修一
第一章 空间向量与立体几何
1.2 空间向量基本定理
• 课程标准：1.了解空间向量基本定理及其意义.2.掌握空间向量的 正交分解．
• 教学重点：把空间三个不共面的向量作为基底表示其他向量．
• 教学难点：运用空间向量基本定理解决立体几何中的平行、垂直、 夹角、距离等问题．
• 核心素养：1.通过学习空间向量基本定理及基底、基向量等概念， 培养数学抽象素养.2.通过应用空间向量基本定理，提升直观想象 和数学运算素养．
(1)求证：CE⊥A′D；
所以C→E＝b＋1c，A′→D＝－c＋1b－1a.
2
22
所以C→E·A′→D＝－1c2＋1b2＝0， 22
→→ 所以CE⊥A′D，即 CE⊥A′D.
考点三 空间向量基本定理的应用 例 3 如图，已知直三棱柱 ABC－A′B′C′中， AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°， D，E 分别为 AB，BB′的中点．
→→ → [解] (1)证明：设CA＝a，CB＝b，CC′＝c，这三
考点三 空间向量基本定理的应用
个向量不共面，{a，b，c}构成空间的一个基底．
例 3 如图，已知直三棱柱 ABC－A′B′C′中， 根据题意，|a|＝|b|＝|c|且 a·b＝b·c＝c·a＝0.
AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°， D，E 分别为 AB，BB′的中点．
所以
→→ cos〈BD1考点二 用基底表示向量 【例2】 如图，四棱锥P-OABC的底面为一矩形，PO⊥平面 OABC，设 O→A ＝a， O→C ＝b， O→P ＝c，E，F分别是PC，PB的中点， 试用a，b，c表示：B→F，B→E，A→E，E→F.
9
[解] 连接BO(图略)，则B→F＝12B→P＝12(B→O＋O→P)＝12(c－b－a)＝ －12a－12b＋12c.
1.2 空间向量基本定理
• 课程标准：1.了解空间向量基本定理及其意义.2.掌握空间向量的 正交分解．
• 教学重点：把空间三个不共面的向量作为基底表示其他向量．
• 教学难点：运用空间向量基本定理解决立体几何中的平行、垂直、 夹角、距离等问题．
• 核心素养：1.通过学习空间向量基本定理及基底、基向量等概念， 培养数学抽象素养.2.通过应用空间向量基本定理，提升直观想象 和数学运算素养．
(1)求证：CE⊥A′D；
所以C→E＝b＋1c，A′→D＝－c＋1b－1a.
2
22
所以C→E·A′→D＝－1c2＋1b2＝0， 22
→→ 所以CE⊥A′D，即 CE⊥A′D.
考点三 空间向量基本定理的应用 例 3 如图，已知直三棱柱 ABC－A′B′C′中， AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°， D，E 分别为 AB，BB′的中点．
→→ → [解] (1)证明：设CA＝a，CB＝b，CC′＝c，这三
考点三 空间向量基本定理的应用
个向量不共面，{a，b，c}构成空间的一个基底．
例 3 如图，已知直三棱柱 ABC－A′B′C′中， 根据题意，|a|＝|b|＝|c|且 a·b＝b·c＝c·a＝0.
AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°， D，E 分别为 AB，BB′的中点．
所以
→→ cos〈BD1考点二 用基底表示向量 【例2】 如图，四棱锥P-OABC的底面为一矩形，PO⊥平面 OABC，设 O→A ＝a， O→C ＝b， O→P ＝c，E，F分别是PC，PB的中点， 试用a，b，c表示：B→F，B→E，A→E，E→F.
9
[解] 连接BO(图略)，则B→F＝12B→P＝12(B→O＋O→P)＝12(c－b－a)＝ －12a－12b＋12c.
空间向量基本定理 课件(共28张PPT)-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
应用空间向量基本定理求夹角、距离
例2：在直三棱柱ABC－A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D，E分别为AB，BB′的中点．(1)求证：CE⊥A′D；(2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值．
应用空间向量基本定理求夹角、距离
G
E
F
例3.
单位正交基底:如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底.
1.2 空间向量基本定理的应用（二）
1.空间向量基本定理
一、回顾旧知
一、回顾旧知
①适当选取基底
向量运算
②用基向量表示相关向量
③将相关向量的问题转化为基向量的问题
转化
向量方法
转化
问题1 用向量解决几何问题的一般步骤是什么？
二、探究旧知
小试牛刀
√
√பைடு நூலகம்
×
D
例1：如图所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．求证：AB1⊥平面A1BD.
例4.
例6.
应用空间向量基本定理证明平行、垂直
应用空间向量基本定理求夹角、距离
利用数量积求夹角或其余弦值的步骤
1．知识清单：(1)利用空间向量基本定理证明平行、垂直． (2)利用空间向量基本定理求夹角、距离．2．方法归纳：数形结合、转化的思想．
应用空间向量基本定理证明平行、垂直
用向量法证明垂直关系的步骤(1)把几何问题转化为向量问题.(2)选择空间的某个基底表示未知向量.(3)结合数量积公式和运算律证明数量积为0.(4)将向量问题回归到几何问题.
例2：在直三棱柱ABC－A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D，E分别为AB，BB′的中点．(1)求证：CE⊥A′D；(2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值．
例2：在直三棱柱ABC－A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D，E分别为AB，BB′的中点．(1)求证：CE⊥A′D；(2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值．
应用空间向量基本定理求夹角、距离
G
E
F
例3.
单位正交基底:如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底.
1.2 空间向量基本定理的应用（二）
1.空间向量基本定理
一、回顾旧知
一、回顾旧知
①适当选取基底
向量运算
②用基向量表示相关向量
③将相关向量的问题转化为基向量的问题
转化
向量方法
转化
问题1 用向量解决几何问题的一般步骤是什么？
二、探究旧知
小试牛刀
√
√பைடு நூலகம்
×
D
例1：如图所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．求证：AB1⊥平面A1BD.
例4.
例6.
应用空间向量基本定理证明平行、垂直
应用空间向量基本定理求夹角、距离
利用数量积求夹角或其余弦值的步骤
1．知识清单：(1)利用空间向量基本定理证明平行、垂直． (2)利用空间向量基本定理求夹角、距离．2．方法归纳：数形结合、转化的思想．
应用空间向量基本定理证明平行、垂直
用向量法证明垂直关系的步骤(1)把几何问题转化为向量问题.(2)选择空间的某个基底表示未知向量.(3)结合数量积公式和运算律证明数量积为0.(4)将向量问题回归到几何问题.
例2：在直三棱柱ABC－A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D，E分别为AB，BB′的中点．(1)求证：CE⊥A′D；(2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值．
人教A版高中数学选择性必修第一册第1章1-2空间向量基本定理课件
思考 对于基底{a，b，c}，三个基向量a，b，c中能否有一个为0? 提示：因为向量0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量 共面，因此三个基向量均不为0．
提醒 空间中任意三个不共面向量都可作为一组基底．
知识点2 空间向量的正交分解 (1)单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量__两__两__垂__直__，且长度都为_1_， 那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示． (2)向量的正交分解 由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解为 三个向量xi，yj，zk，使得a＝xi＋yj＋zk．像这样，把一个空间向量 分解为三个_两__两__垂__直__的向量，叫做把空间向量进行正交分解．
考向3 求两直线的夹角 【例5】 在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝4，AA1 ＝5，∠DAB＝60°，∠BAA1＝60°，∠DAA1＝60°，M，N分别为 D1C1，C1B1的中点．
03
学习效果·课堂评估夯基础
1．设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基
第一章 空间向量与立体几何
1.2 空间向量基本定理
1．了解空间向量基本定理及其意义．(数学抽象) 学习 2．掌握空间向量的正交分解．(直观想象) 任务 3．掌握在简单问题中运用空间三个不共面的向量作为基底表
示其他向量的方法．(逻辑推理、数学运算)
01
必备知识·情境导学探新知
在平面内，任意给定两个不共线的向量a，b，根据平面向量基 本定理，对于该平面内的任意一个向量p，存在唯一的有序实数对(x， y)，使得p＝xa＋yb．特别地，当a，b为直角坐标平面内的向量时， 向量p就与坐标(x，y)建立了一一对应关系，从而将向量运算用坐标 表示，简化了向量运算，为研究问题带来了极大的方便．那么，对 于空间向量，有没有类似平面向量基本定理的结论呢？
数学人教A版(2019)选择性必修第一册1.2空间向量基本定理(共25张ppt)
Ԧ + (Ԧ + )
Ԧ ，
整理得Ԧ + = Ԧ + + ( + )，
Ԧ
假设三向量共面，建立
=1
x,y的方程组，若有解，
则 = 1 ，假设不成立，则不共面，可作为基底.则不可作基底；若无解，
+ =0
则可作基底.
归纳总结
判断三个空间向量是否能构成一个基底：判断是否共面（若共面，则不
Ԧ
，，
Ԧ
不共面，
Ԧ
由共面向量的充要条件可知，向量=
Ԧ Ԧ + ，Ԧ = Ԧ − 均与，共面，
Ԧ
所以应该选择.
Ԧ
2、已知，，，为空间的四个点，且向量，，不构成空间的
一个基底，那么点，，，是否共面?
解：因为，，不构成空间的一个基底，所以，，共面，
Ԧ
由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序数对(，)，
使得 = Ԧ + ，从而 = + = Ԧ + + ，
Ԧ
又由思考1的方法可证明唯一性ԦFra bibliotekԦ
Ԧ
新知生成
一、空间向量基本定理
如果三个向量，，
Ԧ
不共面，那么对任意一个空间向量
Ԧ
，存在唯一
Ԧ
代替两两垂直的
Ԧ
向量Ԧ，Ԧ，，你能得出类似的结论吗？
过点作 = ，
Ԧ
= ， = ，对于任一空间向量
Ԧ
，作
Ԧ
= ，
Ԧ
过点作直线//交平面于点，则 = + .
又，共线，因此存在唯一的实数，使得
Ԧ
= ，
Ԧ
Ԧ ，
整理得Ԧ + = Ԧ + + ( + )，
Ԧ
假设三向量共面，建立
=1
x,y的方程组，若有解，
则 = 1 ，假设不成立，则不共面，可作为基底.则不可作基底；若无解，
+ =0
则可作基底.
归纳总结
判断三个空间向量是否能构成一个基底：判断是否共面（若共面，则不
Ԧ
，，
Ԧ
不共面，
Ԧ
由共面向量的充要条件可知，向量=
Ԧ Ԧ + ，Ԧ = Ԧ − 均与，共面，
Ԧ
所以应该选择.
Ԧ
2、已知，，，为空间的四个点，且向量，，不构成空间的
一个基底，那么点，，，是否共面?
解：因为，，不构成空间的一个基底，所以，，共面，
Ԧ
由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序数对(，)，
使得 = Ԧ + ，从而 = + = Ԧ + + ，
Ԧ
又由思考1的方法可证明唯一性ԦFra bibliotekԦ
Ԧ
新知生成
一、空间向量基本定理
如果三个向量，，
Ԧ
不共面，那么对任意一个空间向量
Ԧ
，存在唯一
Ԧ
代替两两垂直的
Ԧ
向量Ԧ，Ԧ，，你能得出类似的结论吗？
过点作 = ，
Ԧ
= ， = ，对于任一空间向量
Ԧ
，作
Ԧ
= ，
Ԧ
过点作直线//交平面于点，则 = + .
又，共线，因此存在唯一的实数，使得
Ԧ
= ，
Ԧ
高二数学人教A版课件：空间向量基本定理
PART
ONE
空间向量基本定理
观察右图并回答以下问题，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为4，在AB，AD， AD1上分别取单位向量e1，e2，e3.
：e1，e2，e3共面吗？
空间向量基本定理
空间向量基本定理
空间向量基本定理
基底
空间向量基本定理
单位正交基底
空间向量基本定理
：基底中能否有零向量？ 不能，因为零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面.
用基底表示向量
用基底表示向量
用基底表示向量时， 若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法 则，以及向量数乘的运算律； 若没给定基底，首先选择基底，选择时，要尽量使所选的基向量能方便 地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角是否已知或易求．
用基底表示向量
2 在平行六面体 ABCD－A1B1C1D1 中，设A→B＝a，A→D＝b，A-→A1＝c，E，F 分别是 AD1， BD 的中点． (1)用向量 a，b，c 表示D-→1B，E→F； (2)若D-→1F＝xa＋yb＋zc，求实数 x，y，z 的值．
人教A版2019选修第一册
第 一 章空间向量与立体几何
1.2 空间向量基本定理
学习目标
1.了解空间向量基本定理及其意义； 2.掌握空间向量的正交分解； 3.能够用空间三个不共面的向量作为基底表示其他向量。
01复习回顾
PART
ONE
复习回顾
对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的 λ，使a＝λb
基底与基向量的概念有什么不同？
一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量. 二者是相关联的不同概念 .
为什么空间向量基本定理中x，y，z是唯一的？ 平移向量a，b，c，p使它们共起点，如图所示，以p为体对角线， 在a，b，c方向上作平行六面体，易知这个平行六面体是唯一的， 因此p在a，b，c方向上的分解是唯一的，即x，y，z是唯一的．
人教A版选择性1.2空间向量基本定理课件(19张)
问题探究
P O
Q
D1
C1
A1
B1
c
b
D
C
α
A
B
问题探究
问题探究
探究3 空间中怎样的向量能构成基底？
提示：空间任意三个“不共面”的向量都可以作为空间向量的一个基底．因此空 间的基底不唯一
探究4 基底与基向量的概念有什么不同？
提示：基底是指一个向量组，基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的 不同概念．
立体几何
向量
向量的解
立体几何的解
定相同的基底 用基底表示向量
探究5 零向量可作为基向量吗？ 提示：不可以，因为零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面， 所以零向量不能作为基向量。反之，若某一向量能作为基向量,就说明它不是零 向量.
探究6 类比平面向量基本定理，如果空间的一个基底中的三个基向 量两两垂直,那么这个基底叫什么？ 提示：叫做正交基底.
D1 M N C1
A1
B1
D C
A
B
D1 M N C1
A1
B1
D C
A
B
D E C
F
A
B
G
D
C
A
B
D E C
F
A
B
G
D
C
A
B
所以
D E C
F
A
B
GHale Waihona Puke DCAB
课堂小结
1.用平面向量基本定理类比空间向量基本定理（基底、正交基底、正交分解） 2.用基向量解决立体几何中的线线平行，垂直，角的简单问题的通法
M
底．
B
(2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角 形法则及平行四边形法则，
空间向量基本定理课件高二上学期数学人教A版选择性
解析 M→N＝M→A1＋A→1B1＋B→1N ＝13B→A1＋A→B＋13B→1C1＝13(c－a)＋a＋13(b－a)＝13a＋13b＋13c.
精品系列课件-----高中数学选择性必修一
解析：
A' B' Q
D'
N C'
P
M
A
D
B C
精品系列课件-----高中数学选择性必修一
课堂小结
1.选定空间不共面的三个向量作为基向量,并用它们表示 出指定的向量,是用向量解决立体几何问题的基本要求. 2.求解时要结合已知和所求观察图形,联想相关的运算法 则和公式,就近表示所需向量,再对照目标进行调整,直到 符合要求.
而A→G＝23A→D，A→D＝O→D－O→A.
又 D 为 BC 中点，∴O→D＝12(O→B＋O→C)．
∴O→G＝O→A＋23A→D＝O→A＋23(O→D－O→A) ＝O→A＋23×12(O→B＋O→C)－23O→A ＝13(O→A＋O→B＋O→C)＝13(a＋b＋c)．
而G→H＝O→H－O→G， ∵O→H＝23O→D＝23×12(O→B＋O→C)＝13(b＋c)， ∴G→H＝13(b＋c)－13(a＋b＋c)＝－13a. ∴O→G＝13(a＋b＋c), G→H＝－13a.
D．2a＋5c
解： 由于{a，b，c}是空间的一个基底，所以 a，b，c 不共面， 在四个选项中，只有 D 与 p，q 不共面，因此，2a＋5c 与 p，q 能构 成一组基底．故选 D.
精品系列课件-----高中数学选择性必修一
2、如图，空间四边形 OABC 中，G，H 分别是△ABC，△OBC 的 重心，设O→A＝a，O→B＝b，O→C＝c，试用向量 a，b，c 表示向量O→G和G→H.
精品系列课件-----高中数学选择性必修一
解析：
A' B' Q
D'
N C'
P
M
A
D
B C
精品系列课件-----高中数学选择性必修一
课堂小结
1.选定空间不共面的三个向量作为基向量,并用它们表示 出指定的向量,是用向量解决立体几何问题的基本要求. 2.求解时要结合已知和所求观察图形,联想相关的运算法 则和公式,就近表示所需向量,再对照目标进行调整,直到 符合要求.
而A→G＝23A→D，A→D＝O→D－O→A.
又 D 为 BC 中点，∴O→D＝12(O→B＋O→C)．
∴O→G＝O→A＋23A→D＝O→A＋23(O→D－O→A) ＝O→A＋23×12(O→B＋O→C)－23O→A ＝13(O→A＋O→B＋O→C)＝13(a＋b＋c)．
而G→H＝O→H－O→G， ∵O→H＝23O→D＝23×12(O→B＋O→C)＝13(b＋c)， ∴G→H＝13(b＋c)－13(a＋b＋c)＝－13a. ∴O→G＝13(a＋b＋c), G→H＝－13a.
D．2a＋5c
解： 由于{a，b，c}是空间的一个基底，所以 a，b，c 不共面， 在四个选项中，只有 D 与 p，q 不共面，因此，2a＋5c 与 p，q 能构 成一组基底．故选 D.
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2、如图，空间四边形 OABC 中，G，H 分别是△ABC，△OBC 的 重心，设O→A＝a，O→B＝b，O→C＝c，试用向量 a，b，c 表示向量O→G和G→H.
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