24.2(2)比例线段(精备)

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24.2（2）比例线段（黄金分割）

标题:24.2比例线段（2）关键词:比例中项、黄金分割描述:教学目标1.会运用同高(或等高)的两个三角形的面积之比等于对应底边的比,进行三角形的面积比与线段比的转化.2.在比例线段性质的证明与运用过程中,体会方程思想的作用.3.会找出一条线段的黄金分割点，找出一个图形中的黄金分割点.4.经历黄金分割点的探索过程，从中体会转化、分类讨论的思想方法.教学重点及难点黄金分割的意义.熟练并灵活运用黄金分割的意义解题.学科:初中九年级>数学第一学期>24.2（2）语种:汉语媒体格式:教学设计.doc课件.ppt学习者:学生资源类型:文本类、课件类素材教育类型:初中教育>初中九年级作者:方忠平单位:上海市风华初级中学地址:共和新路2800号（200072）Email:********************24.2比例线段（2）上海市风华初级中学方忠平41教学内容分析本课主要是两个部分.第一部分是线段的比例中项问题；第二部分是黄金分割及黄金数的有关知识.教学目标1. 会运用同高(或等高)的两个三角形的面积之比等于对应底边的比,进行三角形的面积比与线段比的转化.2. 在比例线段性质的证明与运用过程中,体会方程思想的作用.3. 会找出一条线段的黄金分割点，找出一个图形中的黄金分割点.4.经历黄金分割点的探索过程，从中体会转化、分类讨论的思想方法.教学重点及难点重点：黄金分割的意义.难点：熟练并灵活运用黄金分割的意义解题．教学用具准备投影仪、笔记本，预习本教学流程设计教学过程一、情景引入1．观察（1）请同学们欣赏一段芭蕾舞表演，对学生视觉上形成美的冲击.师:“芭蕾舞在跳法上和其他舞种有什么区别吗？” 生:“要掂起脚尖.”师:“你们想知道这是为什么吗？”让学生有了强烈的求知欲.（2）展示四个国家的国旗.中华人民共和国朝鲜新西兰新加坡2．思考师：请问这四面国旗中有共同图案吗？若有，请指出来.师：为什么都会选择五角星这个图案呢？除了政治因素外，还有一个非常重要的原因就是：五角星是一个非常完美的图案. 古希腊数学家毕达哥拉斯有一句名言：“凡是美的东西，都具有共同的特征，这就是部分与部分以及部分与整体之间的协调一致.”下面就让我们从数学的角度来探究五角星中部分与部分以及部分与整体之间存在着怎样的一种关系.[说明] 通过创设情境“四个国家的国旗中都有五角星这个图案”，就会使同学们认识到五角星这个图案不一般，也就会非常想知道五角星中部分与部分以及部分与整体之间到底蕴涵着怎样的一种关系.有了探究的欲望，就会很乐意完成下面的做一做. 3．讨论度量点C 到点A 、B 的距离，计算和的值，你发现了什么？AB AC ACBC [说明」（通过学生亲自动手操作、计算，最终发现了＝，即部AB AC ACBC 分与部分之比等于部分与整体之比，符合毕达哥拉斯的审美观点，很自然地就引出了黄金分割的概念.）二、学习新课1．概念辨析例题1如图，线段AB 的长度是，点P 为线段AB 上的一点，l ，求线段AP 的长.ABAPAP PB如果点P 把线段AB 分割成AP 和PB （AP>PB ）两段，其中AP 是AB 和PB 的比例中项，那么称这种分割为黄金分割，点P 称为线段AB温组形，组部每作教育下简合的黄金分割点AP 与AB 的比值为，近似值为0.618，这个比值215 称做黄金分割数（简称黄金数）.师：下面就让我们来解决刚才的问题，若由黄金分割点来看，理想身材的黄金分割点是肚脐，即一个人的上半身的长度与下半身的长度的比值或下半身的长度与整个身高的比值越接近0.618，就会越给別人有一种美的感觉.但是很可惜，一般人的这个比值大约只有0.58到0.60左右（腿长的人会有较高的比值），由此可见，芭蕾舞演员掂起脚尖跳舞是为了提高这个比值，增加美感.现实生活中这样的例子也很多，比如：女性穿高跟鞋，会让人体看起来更美些.黄金分割是古希腊数学家毕达哥拉斯发现的，古希腊人把它广泛应用于艺术创作当中，其中最经典的作品就是雕像——维纳斯女神，她的上半身和下半身的比率正是0.618.[说明]当学生了解了黄金分割的概念之后，再来解决芭蕾舞演员跳舞要掂起脚尖的问题，并欣赏雕像-----维纳斯女神，能使学生感受到黄金分割的美学价值.2．例题分析问题一（1）线段AB 有没有除点P 以外的黄金分割点呢？（2）点D 应满足怎样的条件？（3）在五角星中点D 是线段AB 的黄金分割点吗？（4）你还发现了什么？[说明]（这四个问题是有层次性的，问题（1）的结论是显然的，但学生得到的方法却是多样的，有的是凭直觉，有的是利用轴对称得到的，有的是采用旋转方法得到的；问题（2）进一步强化了黄金分割的概念；有了问题1的铺垫，问题（3）、（4）的结论很容易得出，这时学生就真正体会到了五角星确实是一个完美的图形，进一步感受到了黄金分割的美.）问题二师：下面我们再来了解黄金分割在现实生活中的应用.请同学们观察两幅照片，哪一更具有美感呢？师：你们知道这是为什么吗？因为绝对的对称会给人单调、静止、缺乏活力的感觉，为了打破这种感觉，我们在构图的时候，就需要灵活地运用黄金分割来构图，把画面的上下左右用黄金分割来做出4条线，人们发现4条线交汇的4个点是人们的视觉最敏感的地方，被反复证明的是当被摄主体处于或发布在这4个点附近最容易得到“眼球”，在摄影理论里把这4个点称为“趣味中心”.[说明]学生选择图（2）完全是一种直觉，并不明白其中的原因，当把上述道理讲给学生听时，他们对黄金分割的美学价值有更深的认识.问题三师：下面再来看看黄金分割在建筑上的应用.（展示巴黎埃斐尔铁塔、上海东方明珠电视塔、古埃及金字塔三幅图片，讲述其中蕴涵的黄金分割比例，体会黄金分割在建筑上的应用价值和人文价值.）问题四师：同学们已经了解到线段的黄金分割是完美的分割，事实上现实生活中还有另外一种有趣的黄金分割现象.请同学们在下面十个矩形（请若干个同学来找出他认为最合乎美的矩形，最后大部分同学将目标锁定在第①、⑤、⑧和⑩这四个矩形上，此时告诉他们这四个矩形分别是5×8，8×13，13×21，21×34的矩形，请他们用计算器算出这四个矩形的宽与长的比值（结果保留3个有效数字），结果分别是：0.625，0.615，0.619，0.618，这时同学们惊奇地发现这四个矩形的宽与长的比值均接近于黄金比，从而引出黄金矩形的概念.[说明]黄金矩形的概念并不是直接告诉学生的，而是通过亲身经历这么一个活动过程，自己感悟到合乎美的矩形和黄金分割的内在联系.）矩形的宽与长的比为黄金比，这样的矩形称之为黄金矩形.师：古希腊人已经发现黄金矩形是最合乎美的矩形，他们将建筑物的门、窗的轮廓都设计成黄金矩形的形状，其中最著名的就是巴特农神庙.如果把巴特农神庙的轮廓抽象为矩形ABCD ，以矩形ABCD 的宽为边在其内部作正方形AEFD ，那么我们可以惊奇的发现，，点E 是AB 的黄金分割点吗？矩形ABCD 的宽与长的比是BCABBE BC =黄金比吗？[说明]这里涉及到比例变形的一些技巧，要给学生时间进行充分的交流.最终发现巴特农神庙的轮廓为黄金矩形，展示了黄金分割的文化价值.师：黄金矩形之所以称为黄金矩形，并不仅仅因为它的宽与长的比等于黄金比，更重要的是：由上述方法作图后得到的新的矩形BCFE 也为黄金矩形（原因留给同学们课后思考）.巴特农神庙之所以神奇，并不仅仅因为它的的轮廓恰好为黄金矩形，它有更深层次的美.[说明]动画演示巴特农神庙在构造上不断符合黄金矩形的神奇现象. 通过动画演示巴特农神庙在构造上不断符合黄金矩形的神奇现象，同学们已经被巴特农神庙中所蕴涵的建筑艺术所折服，使学生再一次感受到了黄金分割和黄金矩形的美学价值.3．问题拓展例题2已知：如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，求证：.AOD BOC S S ∆∆=OACOOB DO =证略尝试：（1）作顶角为的等腰三角形ABC;036（2）分别量出底边BC 与腰AB 的长度;（3）作的平分线，交AC 于点D ，量出的底边CD 的长度.B ∠BCD ∆最后，分别求出与的底边与腰的长度的比值（精确ABC ∆BCD ∆到0.001）问：比值是多少？所以我们把顶角为的三角形称为黄金三角形.它具有如下的o 36性质：（1）;618.0≈ABBC（2）设BD 是的底角的平分线，则也是黄金三角形，ABC ∆BCD ∆且点D 是线段AC 的黄金分割点;（3）如再作的平分线，交BD 于点E ，则也是黄金三C ∠CDE ∆角形，如此继续下去，可得到一串黄金三角形.巩固练习已知点C 是线段AB 的黄金分割点AC ＝，且AC ＞BC ，求555-线段AB 与BC 的长.课堂小结1、今天我们共同研究了什么数学知识？2、和以往的数学知识相比，今天的内容有什么不同？作业布置书后练习1、2、3，练习册24.2（2）教学设计说明本节课的研究对象是“黄金分割”，我采用从“美学”——“数学”的逻辑顺序去阐述这个课题，能够极大的提高学生探究的兴趣.并且引用了四个生活中的例子，使学生在不断享受“美”的过程中掌握知识，体验数学的社会功能.。

沪教版(上海)九年级上册数学24.2：比例线段(2)导学案

学生编号学生姓名授课教师辅导学科数学所属年级九年级教材版本沪教版课题名称比例线段2课时进度授课时间月日教学目标如下重点难点如下24．2 比例线段（2）学习目标1、掌握黄金分割的含义；2、会找出一条线段的黄金分割点，找出一个图形中的黄金分割点；3、会运用同高（或等高）的两个三角形的面积之比等于对应底边的比,进行三角形的面积比与线段比的转化。

学习重点黄金分割的意义。

学习难点熟练并灵活运用黄金分割的意义解题。

学习过程一、学前准备已知a=2,b=4,c=6 ；若a，b，c，x 是成比例线段，则x= ；若a，x，b，c 是成比例线段，则x=小明的身高为 1.6m ，测得他的影长为1m，在同一时刻，旗杆的影长为5m，则旗杆的实际高度是若线段a、b、c满足a：b＝b： c ，则称线段 b 是线段 a 与 c 的实数b是 3 和8的比例中项，则b ＝已知线段a＝6cm，b＝24cm，那么线段 a 和、探究活动阅读材料：展示四个国家的国旗。

1、2、3、4、5、1、b 的比例中项c ＝cm。

新西兰人民共和国朝鲜这四面国旗中的共同图案是。

为什么都会选择这个图案呢？除了政治因素外，还有一个非常重要的原因就是：它本身是一个非常完美的图案。

古希腊数学家毕达哥拉斯有一句名言：“凡是美的东西，都具有共同的特征，这就是部分与部分以及部分与整体之1）2）间的协调一致。

”下面就让我们从数学的角度来探究此图案中部分与部分以及部分与整体之间存在着怎样的一种关系。

2、自主探究·解决问题五角星是我们常见的图形。

在右图中，度量点C到点A，B的距离，AC和BC相等吗？AB AC操作要求：请用直尺测量线段长度，再求比值。

B3、师生探究·合作交流BC AC如图，在线段 AB 上，点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC ，如果，那么称线段 AB 被点 C 黄金分割AC ABl 的代数式表示），即可找出上述的线段关系。

(课件)24.2相似图形的性质(成比例线段)

a 3 ，那么 a b 3．已知 b 2 b
a 各等于多少？ ab
、
习题和24.2
3．判断下列各组线段是否是成比例线段：（1） 2厘米，3厘米，4厘米，1厘米；（2） 1．5厘米，2．5厘米，4．5厘米，6．5厘米；（3） 1．1厘米，2．2厘米，3．3厘米，4．4厘米；（4） 1厘米，2厘米，2厘米，4厘米．
∴ ad＝bc，在等式两边同加上ac， ∴ ad＋ac＝bc＋ac， ∴ ac－ad＝ac－bc， ∴ a（c－d）＝（a－b）c，两边同除以（a－b）（c－d）， a c ∴ ab cd
．
a b ， 2．已知：线段a、b、c满足关系式 b c 且b＝4，那么ac＝______．
之间有关系_______________
图 24.2.1
像这样，对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比等于另外两条线段的 a c 比，如 b d （或a∶b＝c∶d），那么，
这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．此时也称这四条线段成比例．
例1判断下列线段a、b、c、d是否是成比例线段：
a c ab cd ；例2 证明：（1）如果，那么 b d b d
a c 证明（1）∵ b d
在等式两边同加上1， a c ∴ 1 1 b d
∴
ab cd b ． d
（2）
a c （2） ∵ b d
a c a c 如果，那么 a b c d b d
（1）a＝4，b＝6，c＝5，d＝10； 5 1 a 4 2 c 解（1） ∵ b 6 3 d 10 2
a c ， ∴ bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱd
，
，
∴ 线段a、b、c、d不是成比例线段．

24.2.1比例线段学案

24.2.1《成比例线段》教学案一、课时学习目标：1、了解比例线段的概念。

知道与“线段的比”的区别与联系。

2、了解比例的基本性质，会进行简单的变形。

二、课前复习导学：1、什么是相似图形？2、问：这两张图形有什么联系？它们是图形，它们的形状，不相同，是相似形。

为什么有些图形是相似的，而有的图形看起来相像又不会相似呢？相似的两个图形有什么主要特征呢？为了探究相似图形的特征，本节课先学习线段的成比例。

三、课堂学习研讨1、由上面的格点图可知，B A AB ''＝_________，C B BC ''＝________，这样B A AB ''与C B BC ''之间有关系_______________．2、概括：像这样，对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度的比等于另外两条线段的比，如dc b a =（或a ∶b ＝c ∶d ），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．此时也称这四条线段成比例．3、问题1判断下列线段a 、b 、c 、d 是否是成比例线段：（1）a ＝4，b ＝6，c ＝5，d ＝10；（2）a ＝2，b ＝5，c ＝152，d ＝35．解：（1）∵=ba ＝，=dc ＝，∴b adc ∴线段a,b,c,d 成比例线段。

（2）∵=b a＝，=dc ＝，∴badc ∴线段a,b,c,d 成比例线段。

图24.2.14、练习：判断下列线段是否是成比例线段：（1）a ＝2cm ，b ＝4cm ，c ＝3m ，d ＝6m ；（2）a ＝0．8，b ＝3，c ＝1，d ＝2．4．5、新结论：对于成比例线段我们有下面的结论：如果dc b a =，那么ad ＝bc ．如果ad ＝bc （a 、b 、c 、d 都不等于0），那么dc ba =．以上结论称为比例的基本性质．6、思考：请试着证明这两个结论。

九上自主练习册

第二十四章相似三角形24.1 放缩与相似形一、课前练习在现实生活中,我们经常见到形状相同的图形.如国旗上大小不同的五角星,还有不同尺寸同底版的相片等.瞧,两张大小不等的万里长城图片是多么相像!这些形状相同的图形之间,在数量关系和位置关系上有什么规律吗?地图上的比例尺是怎么得到的?怎么才能按要求放大或缩小一张美丽的图片呢?二、阅读理解1.阅读教材P2～4.2.填空:(1) 称为相似的图形或者相似形;(2)全等形（填“是”或“不是”）相似形.3.全等形和相似形的关系是4.阅读中遇到的问题有三、新课探索1.如下图，我们把这种形状相同的图形叫做相似图形(similar figures),或者说成相似形.你还能再举出一些相似图形的例子吗?2.如图,△A1B1C1是△ABC通过放大后得到的图形,这两个三角形是相似形.探究：相似三角形有哪些性质？3.如图,四边形ABCD与四边形A2B2C2D2也是相似形.考察四边形ABCD与四边形A2B2C2D2的角和边,能否得到“它们的角对应相等,边的长度对应成比例”的结论?4.如图，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′是相似的图形，点A与点A′，点B与点B′，点C 与点C′，点D与点D′分别是对应顶点．已知BC＝3，CD＝2.4，A′B′＝2.2，B′C′＝2，∠B ＝70°,∠C＝110°，∠D＝90°，求：边AB、C′D′的长和∠A′的度数.四、课内练习1.如图,从放大镜里看到的三角尺和原来的三角尺相似吗?“所有的三角形都相似”对吗?2.如图,图形a—f中,哪些是与图形(1)或(2)相似的.3.在下列方格图中,分别画出△ABC和四边形ABCD的一个相似图形:4.已知四边形ABCD与四边形A'B'C'D'是相似的图形,并且点A与点A',点B与点B',点C与点C',点D与点D'分别是对应顶点,其中AB,BC,CD,DA的长分别是12厘米,16厘米,16厘米,20厘米,A'B'的长为9厘米,求B'C',C'D',D'A'的长.5.在比例尺为1∶10000000的地图上,量得甲、乙两地的距离是30cm,求两地的实际距离.24.2(1)比例线段一、课前练习1.如图：屋架跨度的一半OP长为5米,高度OQ为2.25米,现要在屋顶上开一个天窗,其高度AC为1.2米,AB在水平位置,你能求出AB的长度吗?2.根据下列条件,求a 与b 的比值：(1)a =10,b=8; (2)a =0.36,b=0.8;(3)a =5千克,b=250千克; (4)a =30厘米,b=2米.二、阅读理解1.阅读教材P6～7.2.填空: (1) 称为两条线段的比;(2)在四条线段a, b ,c, d 中，如果，那么这四条线段a, b ,c, d 叫做成比例线段，简称比例线段.(3)若a cb d=，则根据合比性质，可得 . (4)若a c b d==k ，则根据等比性质，可得 . 3.将比例式a c b d =化成等积式为，此答案是否唯一？ 4.将等积式ad ＝bc 化成比例式为，此答案是否唯一？5.阅读中遇到的问题有三、新课探索1.思考：四个数a,b,c,d,若21,k dc k b a ==，请问在什么情况下，就说这四个数成比例？2.如图，DE 是△ABC 的中位线，线段DE 与BC 的比可以记作DE BC （或DE ：BC ），可得12DE BC =. 根据DE 是△ABC 的中位线的条件,你能找出成比例线段吗?3.比例线段除了具有上述性质以外,还有其他性质吗?思考：如果线段d c b a ,,,满足d c b a =，那么dd c b b a d d c b b a -=-+=+,是否成立？4.已知：如图，AD AE DB EC =.求证：(1)AB AC DB EC =；(2)AB AC AD AE=.四、课内练习1.已知点B 在线段AC 上,BC=2AB.则 (1)AB BC = ; (2)AC AB = ; (3)BC AC= ;(填比值).2.已知:如图,线段BD 与CE 相交于点A,CEAE DB AD =, 求证：(1)AD AE AB AC =; (2)AB AD AC AE =.3.已知x:y=5:2,求(x+y):y 的值.4.已知,36345a b c a b c ==++=，求,,a b c 的值.5.如图,表示我国台湾省几个城市的位置关系,问基隆市在高雄市的哪一个方向?到高雄市的实际距离是多少?24.2(2)比例线段一、课前练习1.已知(x+y):y=11:4，求(1)x:y; (2)yx y x 32--的值.2.已知:如图, 点C 是线段AB 上的一点,且57=CB AB .则AC CB = ，=ACCB .3.已知:如图, 点D 、E 分别是△ABC 的边AB 、AC 上的点,且32==EC AE DB AD ,则 (1)AD AB = ; (2)AE AC= ; (3)DB AD = ; (4)EC AC= .(填比值)4.(1)如图(1)，点D 是BC 边的中点，则=∆∆ACDABD S S ___________. (2)如图(2)，点D 是BC 边上一点，且DC:BD=1:2，则=∆∆ABD ADC S S . (3)如图(2)，若,23=∆∆ABD ABC S S 则BD BC = .上述过程体现了一个怎样的转化过程?三角形的面积之比可转化为之比;反之,线段之比也可转化为之比.二、阅读理解1.阅读教材P8～10.2.填空:(1)在比例式PB AP AP AB=中，两个内项都是线段AP ，这时线段AP 称为线段和线段的比例中项.(2)如果点P 把线段AB 分割成AP 和PB(AP>PB)两段，其中AP 是AB 和PB 的比例中项，那么称这种分割为，点P 称为线段AB 的 .(3)黄金分割数是，在应用时常取其近似值 .(4)一条线段的黄金分割点有个.3.阅读中遇到的问题有三、新课探索1.如图,在梯形ABCD 中,AB//CD,对角线AC,BD 相交于点O,则图中哪几对三角形的面积相等? 若AD,BC 延长相交于点P,则图中还有面积相等的三角形吗?2.思考:你能利用上述面积之比与线段之比可转化的思想方法,证明OACO OB DO =吗?3.如图,点P 是线段AB 上的一个动点,则点P 在运动过程中,线段AP,PB,AB 之间有怎样的一个数量关系?若AB 的长度是l ,点P 在AB 上运动,当较长的线段(AP)与较短的线段(PB)及原线段(AB)之间有如下的比例关系ABAP AP PB =时,求线段AP 的长.解:设AP 的长为x,4.如图是著名画家达芬奇(Davinci)的名画《蒙娜丽莎》.画面中脸部被围在矩形ABCD 内，图中四边形BCEF 为正方形.量一量点F 到点A,B 的距离. 由测量得：FA BF ≈ ；BF AB≈ . 可得 .四、课内练习1.求线段a,b的比例中项：(1)a b= (2)a b==已知数a=4,b=9,再配上一个数,使其中一个数是另两个数的比例中项,那么这个数可以是(写出所有可能).2.已知线段MN的长为2厘米,点P是线段MN的黄金分割点,则较长线段MP的长是_____厘米,较短线段PN的长是_______厘米.3.已知:如图,AD,BE是△ABC的两条高.求证：BC BE AC AD=.24.3(1) 三角形一边的平行线一、课前练习1. 判断题:正确的在括号内打“√”，错误的打“×”.(1) 6是8与4.5的比例中项（）(2) 8与4.5的比例中项是6 （）2. 求下列各组数的比例中项:(1) 6,18; (2) 3-22,3+22.3.(1)如图, 点D 是△ABC 的边BC 上一点．若BD:DC=3:2，则ADCABD S S ∆∆＝，ABCADC S S ∆∆= . (2)如图，若53=∆∆ABC ABD S S ，则BD:BC= . 由上述练习,获得的一个转化思想是二、阅读理解1.阅读教材P10～13.2.填空:(1)同高（或等高）的两个三角形的面积之比与相等.(2)同底（或等底）的两个三角形的面积之比与相等.(3)平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的成比例.3.阅读中遇到的问题有三、新课探索1.三角形的中位线所在的直线与第三边所在的直线平行.如图,DE 是△ABC 的中位线, 即1,1AD AE DB EC==，可知DE//BC. 问：如果DE//BC ，1AD DB =，那么AE EC 是否等于1？（即AD DB 是否等于AE EC ）2. 已知：如图，DE ∥BC ，AD DB =1，那么ECAE =1.即AD AE DB EC =.此时点D 把线段AB 分成AD 、DB 两条线段, 点E 把AC 分成AE 、EC 两条线段. 在AD,DB,AB,AE,EC,AC 这六条线段中,除ECAE DB AD =外,还有成比例的线段吗?3. 已知：如图,DE ∥BC,试证明：ECAE DB AD =.4.已知：△ABC ，若直线l 平行于BC ，且与边AB ，AC 所在的直线分别相交于点D 、E ，上述结论是否成立？以证明ECAE DB AD =为例. 根据题意,除前面研究的点D 、E 分别在AB,AC 边上这种情况外,还可能出现哪几种情况?请分别画出图形.5. 已知：如图,DE ∥BC,试证明ECAE DB AD =.6. 已知：如图, DE∥BC,AB=15,AC=10,BD=6,求AE.四、课内练习1.如图,在△ABC中,DE∥BC.(1)已知AD=6,BD=8,AE=4,求CE、AC的长;(2) 已知AE:AC=2:5,AB=10,求BD的长.2.如图,点D、E分别在△ABC的边CA、BA的延长线上,且DE∥BC.(1) 已知AB=18,AD=5,AE=9,求AC的长;(2) 已知AB=18,CD=15,AE=9,求AC的长.3.已知:如图,在平行四边形ABCD中,F是AD上一点,CF交BA的延长线于点E.求证：AE AF AB FD.24.3(2) 三角形一边的平行线一、课前练习1.已知:如图,EF ∥BC,FG ∥CD.求证:AD AGAB AE2.如图DE ∥BC,写出成比例的式子.二、阅读理解1.阅读教材P14～15.2.填空:(1)平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的与原三角形的对应成比例.此定理与上一节所学定理的不同之处在于 .(2)三角形的重心到的距离，等于它到的距离的两倍.(3)如果延长线段AB 到点C ，使得BC ＝12AB ，那么BC AC ＝，AB AC＝ . (4)三角形的三条中线相交于一点(填“一定”、“不一定”或“一定不”)，这一点叫做三角形的 .3.阅读中遇到的问题有三、新课探索1. 已知：如图,DE ∥BC.(1)当点D 是AB 中点时,=BC DE __ __(填比值).(2)当点D 是AB 的三等分点(即31=AB AD )时, 猜想=BC DE _ _(填比值).2.已知：如图，DE ∥BC ，31=AB AD .求证：13DE BC =.3. 已知：如图，点D 、E 分别在△ABC 的边AB 、AC 上，DE ∥BC.求证:ACAE AB AD BC DE ==.4. 已知：如图，线段BD 与CE 相交于点A ，ED ∥BC ，2BC=3ED ，AC=8，求：AE 的长.5.已知:如图，BE 、CF 是△ABC 的中线，交于点G ．求证:21==GC GF GB GE想一想：如果△ABC 的另一条中线AD 与BE 相交于点G ’，那么这个交点G ’与交点G 是否为同一个点？四、课内练习1. 已知：如图, 点D 、E 分别是△ABC 的边AB 、AC 上的点,且DE ∥BC.(1)如果DE=2,BC=6,BD=8.求AD 的长.(2)如果53 BD AD ,求BCDE 的值.2. 如图小明的身高是1.6米,他在路灯下的影长为2米,小明距路灯灯杆的底部3米,则路灯灯炮距地面的高度是米.3.已知：AD 、BE 是△ABC 的中线，AD 、BE 相交于点F ，AD=5，则AF=____ ，DF=______. 若S △ABF ＝4，则S △ABC ＝ .4.已知：在Rt △ABC 中，∠C=90°，中线AD 、BE 相交于点M ，AC=8，BC=6.(1)则CM=______.(2)过点M 作MH ∥BC ，交AB 于点H ，则MH=_______.24.3(3) 三角形一边的平行线一、课前练习1.如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥AB ，那么线段AD 、DB 、BF 、FC 是否成比例？若成比例，请证明；若不成比例，请说明理由.二、阅读理解1.阅读教材P16～17.2.填空:(1)如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线三角形的第三边.(2)如果一条直线截三角形的两边的延长线(这两边的延长线在第三边的同侧)所得的对应线段成比例，那么这条直线三角形的第三边.(3)如图，点D 、E 分别在△ABC 的边AB 、AC 上.如果DE AD BC AB，那么能否得到DE ∥BC ，为什么？3.阅读中遇到的问题有三、新课探索1. 已知：如图,点D 、E 分别在 ABC 的边AB,AC(或边AB,AC 的延长线,或边AB,AC 的反向延长线)上,且DE ∥BC.则由三角形一边的平行线的性质定理可得比例式:2. 已知：如图(1),在△ABC 中,点D 、E 分别在AB,AC 上,如果ECAE DB AD =,那么DE ∥BC 吗？若成立，试证明之；若不成立，试说明理由.3.已知:如图,点D 、F 在△ABC 的边AB 上, 点E 在边AC 上,且DE ∥BC,AF AD AD AB=. 求证:EF ∥DC.四、课内练习1. 在△ABC 中,点D 、E 分别在AB,AC 上,根据下列给定的条件,试判断DE 与BC 是否平行.(1)AD=3cm,DB=4cm,AE=1.8cm,CE=2.4cm; ( )(2)AD=6cm,DB=9cm,AE=4cm,AC=10cm; ( )(3)AD=8cm,AC=16cm,AE=6cm,AB=12cm; ( )(4)AB=2BD,AC=2CE. ( )若DE=6cm,BC=12cm,AD=8cm,AB=16cm.能否判断DE与BC平行?2.已知:如图,点A1、B1、C1分别在射线OA、OB、OC上,且AB∥A1B1,BC∥B1C1.求证:AC∥A1C1.24.3(4) 三角形一边的平行线一、课前练习1.已知：如图,DE∥FG∥BC,已知AF=27,DF=15,BF=9,AG=18.则EG=_ _,GC=____.由计算结果,你认为DF、FB、EG、GC这四条线段是否成比例？想一想是在什么条件下,能得出这个结论的.二、阅读理解1.阅读教材P18～20.2.填空:(1)两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段 .(2)两条直线被三条平行的直线所截，如果在一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段 .3.阅读中遇到的问题有三、新课探索1.已知：如图，直线l1∥l2∥l3，直线l1、l2、l 3分别截直线l4于点A、B、C，截直线l5于点D、E、F，求证：AB DE BC EF．2.已知:如图，l1∥l2∥l3，AM=3,BM=2,BC=4,DE=7.5，求DM,DF的长.3.已知：线段a、b、c,如何求作一条线段x，使x是a,b,c的第四比例项(即a:b=c:x).下面哪种画法是正确的？4.已知：线段a、b、c(如图),求作：线段x,使a:b=c:x.四、课内练习1.如图, 已知 AD∥BE∥CF,它们依次交直线l1、l2于点A、B、C.和点D、E、F.(1)如果AB=6,BC=10,EF=8,则DE= ;(2)如果DE:EF=3:5,AC=24,则AB=_____,BC=_____.2.如图，直线l1∥l2∥l3，分别交直线l4于点A、B、C，交直线l5于点D、E、F，且l1∥l ∥l3，已知AB＝3,AC＝5，DF＝9，求：DE、EF的长．23.如图,已知线段AB,在线段AB上求作一点C,使AC:CB=1:2.4.已知:线段a ,b,c,求作一条线段x,使x=bac 2.24.4(1) 相似三角形的判定一、课前练习1. 如图，△A 1B 1C 1是△ABC 通过缩小后得到的图形．经过放缩运动后得到的图形与原图形是相似的.因此，可得到两个三角形之间的边和角关系是：角的关系：边的关系：二、阅读理解1.阅读教材P21～23.2.填空:(1)如果两个三角形的三个角，三边，那么这两个三角形叫做相似三角形.(2)已知△ABC ∽△A'B'C'，且AB 与A'B'是对应边.如果AB=6，A'B'＝2，那么△ABC 和△A'B'C'的相似比等于 .(3)两个相似三角形是全等三角形，两个全等三角形是相似三角形.(填“一定”、“不一定”或者“一定不”)(4)如果△ABC 和△A'B'C'的相似比等于△A'B'C'和△ABC 的相似比，那么△ABC 和△A'B'C' .3.阅读中遇到的问题有三、新课探索1.(1)若△A1B1C1∽△AB C，△A2B2C2∽△AB C，则____________;(2)若△A1B1C1∽△AB C，△A2B2C2≌△A1B1C1，则_______ ___.2.如图（1）,点D,E分别在直线AB和AC上, 且DE∥BC,那么△ADE与△ABC相似吗？为什么？在如图(2),(3)的情况下,上述结论是否成立？请用语言叙述这一结论.3.已知:如图,△ABC∽△AED,AG=3,AD=6,AF=2,EF=6,则△AFG与△ABC相似吗?为什么?四、课内练习1.(1) 已知:如图,△ADE∽△ABC,其中点D与点B是对应顶点，请写出对应角和对应边成比例的比例式.(2)已知:如图,△ABC∽△DEC,其中点A与点D是对应顶点，请写出对应角和对应边成比例的比例式.(3) 已知:如图,△ADE ∽△ABC,其中点D 与点B 是对应顶点，请写出对应角和对应边成比例的比例式.2. 已知:如图,E 是平行四边形ABCD 的边BA 的延长线上的一点,CE 交AD 于点F,请找出图中相似的三角形.3. 已知:如图,AB,CD 相交于点O,△AOC ∽△BOD,点A 与点B 对应.(1)如果OC:OD=1:2,AC=5,求BD 的长;(2)如果∠A=35°,∠AOC=100°,求∠D 的度数.24.4(2) 相似三角形的判定一、课前练习1、(1)如图(1)，DE ∥BC ，则△__ _∽△___ ___，=ABAD _ _=__ __; (2)如图(2)，DE ∥BC ，则△_ __∽△____ __，=ABAD _ _=__ __;二、阅读理解1.阅读教材P24～27.2.填空:（以下三个不可重复）(1)如果在两个三角形中，有，即可判定这两个三角形相似.(2)如果在两个三角形中，有，即可判定这两个三角形相似.(3)如果在两个三角形中，有，即可判定这两个三角形相似.3.阅读中遇到的问题有三、新课探索1.已知：在△ABC 与△A 1B 1C 1中,如果∠A=∠A 1,∠B=∠B 1,那么△ABC 与△A 1B 1C 1相似吗？若相似，请证明.2. 已知：在△ABC 与△A 1B 1C 1中，如果∠A=∠A 1，1111C A AC B A AB ，那么△ABC 与△A 1B 1C 1相似吗？若相似，请证明.3. 已知：在△ABC 与△A 1B 1C 1中，如果1111C A BC B A AB =11C A AC ，那么△ABC 与△A 1B 1C 1相似吗？若相似，请证明.四、课内练习1.已知：在△ABC 和△DEF 中,根据下列条件,能否判定这两个三角形相似?为什么?(1) ∠A=75゜,∠B=45゜；∠D=75゜,∠E=60゜；（）(2) ∠B=50゜,AB=12,AC=9；∠D=50゜,DE=8,DF=6；（）(3) AB=12,BC=15,AC=24；DE=32,EF=16,DF=20. （）24.4(3) 相似三角形的判定一、课前练习1.请根据题中给定的条件，写出相似的三角形，然后再写出对应边成比例的式子.(1)如图(1)，∠AED ＝∠C.(2)如图(2)，∠ACE ＝∠B.(3)如图(3)，∠D＝∠B.(4)如图(4)，∠B＝∠D（不再添加其它字母）.2.(1)有一个角是70゜的两个等腰三角形相似吗?(2)有一个角是110゜的两个等腰三角形相似吗?(3)顶角相等的两个等腰三角形相似吗?3.根据下列条件能否判定△ABC与△DEF相似?为什么?(1) ∠B=40゜,∠C=65゜, （）∠D=75゜,∠F=40゜;(2) ∠A=40゜,AB=20,AC=15, （）∠D=40゜,DE=4,EF=3;(3) ∠B=72゜,AB=18,BC=15, （）∠F=72゜,EF=10,DF=12;(4) AB=12,BC=15,AC=24, （）DE=40,EF=20,FD=25.二、新课探索1.根据下列条件，请说一说分别根据哪条判定定理可说明两个三角形相似.并加以证明.(1)如图(1)，若∠ADE＝∠ACB，则△ADE∽△ACB.(2)如图(2)，若OA＝1，OB＝1.5，OC＝3，OD=2，则△AOD∽△BOC.(3)如图(3)，D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，则△DEF∽△ABC.2.已知：如图，点D、E分别在AB、AC上，且AD＝2，AE=3，AC=4，DB=4.试判断△ADE与△ACB是否相似？为什么？三、课内练习1.根据下列各题的条件,分别说出图中相似的三角形:(1)如图,AD∥BC,AC、BD交于点O.(2)如图,∠BAD=∠C.(3)如图,∠B=∠C.(4)如图,四边形ABCD,AC、BD交于点O,AO=3,BO=4.5,CO=6,DO=4.2.已知：如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90゜，DE过点C，BD⊥DE，点D为垂足，AE ⊥DE，点E为垂足.求证：△ACE∽△CBD.(请根据题意先画出图形,然后证明)24.4(4) 相似三角形的判定一、课前练习1.如图,DE∥BC,∠1=∠2,则图中哪几对三角形相似?二、新课探索1.已知:如图, 点D、E分别是ABC的边AB,AC上的点,且∠AED=∠B.求证:AE·AC=AD·AB.2.(1) 已知:如图,再添加一个怎样的条件,则△ADC与△ABC相似?图中共有几个三角形？在一般情况下△ADC与△CDB会相似吗？(2) 已知:如图，在△ABC中，若CD⊥AB，再添加一个条件，使△ADC与△CDB相似.3. 已知:如图，直角三角形ABC中，CD是斜边上的高.求证：△ACD∽△CBD∽△ABC.4.已知:如图,点D是△ABC的边AB上的一点,且AD=4,BD=5,AC=6.求证:△ACD∽△ABC.5.在边长为1个单位的方格纸上,有格点(顶点在小方格的顶点上)三角形ABC与三角形FED.请问这两个三角形是否相似?若相似,请证明你的结论;若不相似,请说明理由.三、课内练习1.如图,在正方形的网格上有六个斜三角形,①△ABC;②△BCD;③△BDE;④△BFG;⑤△FGH;⑥△EFK;其中②～⑥中与△ABC相似的是 ( )(A) ②③④ (B) ③④⑤ (C) ④⑤⑥ (D) ②③⑥2.已知:如图，AD AEAB AC，∠1=∠2，则图中有哪几对三角形相似?请证明你的结论.3.一个三角形框架模型的边长分别为20厘米,30厘米,40厘米,木工要以一根长60厘米的木条为一边,做一个与模型相似的三角形.木工应该怎样选择其它两条边的长,才能使制作的三角形与模型三角形相似？三角形边长的选取方法可以有哪些？4. 如图是一个零件的剖面图,已知零件的外径为25毫米,为求出它的厚度x,需先求出内孔的直径AB,但不能直接量出AB.现用一个交叉卡钳(AC 和BD 的长相等)去量,若31==OB OD OA OC ,且量得CD 长为7毫米.求零件的厚度x.24.4（5）相似三角形的判定一、课前练习1.(1) 已知:如图, 点D 、E 是△ABC 的边AB,AC 上的点(DE 不平行于BC),请问再添加一个什么条件,可使△ADE ∽△ACB.(2) 已知:如图, 点D是△ABC的边AB上的一点,请问再添加一个什么条件,可使△ADC∽△ACB.2.在△ABC中，CD⊥AB，当△ABC是怎样的三角形时，△ADC与△CDB相似3. (1) 已知:如图(1),若DE∥BC,DC,BE交于点O,则图中哪几对三角形相似?(2) 已知:如图(2),四边形ABCD的对角线AC,BD交于点O,若∠1=∠2,则图中哪几对三角形相似?二、阅读理解1.阅读教材P21～28.2.两个三角形相似需具备的条件是：1）2）3）4）3.阅读中遇到的问题有三、新课探索1.已知:如图,在△ABC中,CD平分∠ACB,DB=DC,AD=4,DB=5.求AC,BC的长.2. 已知:如图,在△ABC中,AB=8,AC=6,点D是AB边上一点,且AD=3,点E是AC边上一点.请问:当AE为多少时,以A,D,E三点为顶点的三角形与三角形ABC相似?3.已知:△ABC中,∠BAC=900,点M是斜边BC的中点,DM⊥BC,交BA的延长线于点D,交AC于点E.求证:MA2=ME·MD.四、课内练习1.已知:如图,在△ABC中,高BD,CE交于点H,则图中哪几对三角形相似?2. （1）已知:如图(1),AB=AC,点D、E分别在边BC、AC上,且∠ADE=∠B,则图中哪几对三角形相似?(2) 已知:如图(2),点B、D、E在一直线上,∠1=∠2=∠3.AC交BE于点O,则图中哪几对三角形相似?说说你的理由.3. 已知:如图,DA⊥AB,A为垂足,CB⊥AB,B为垂足,AD=2,BC=6,AB=7,点P是AB上的一个动点,问是否存在一点P,使以P、A、D为顶点的三角形与以P、B、C为顶点的三角形相似?若存在,请求出PA的长;若不存在,请说明理由．4. 已知:如图,等腰三角形ABC的顶角∠A=36゜,BD是∠ABC的平分线.(1) 请找出图中相似的三角形;(2) 求证:BC是CD,CA的比例中项.点D是AC的黄金分割点吗?BC= AC.24.4（6）相似三角形的判定一、课前练习在△ABC和△A1B1C1中,根据下列条件,能否判定这两个三角形相似?为什么?(1) ∠A=40°, AB=8, AC=6; ∠A1=40°, A1B1=4, A1C1=3.(2) ∠B=45°, AB=12, AC=9; ∠B1=45°, A1B1=8, A1C1=6.(3) ∠C=90°, AB=10, BC=8; ∠C1=90°, A1B1=5, B1C1=4，则能判定△ABC和△A1B1C1相似吗？二、阅读理解1.阅读教材P28～29.2.判定两个直角三角形相似有哪些方法3.阅读中遇到的问题有三、新课探索1.（1）已知:如图，在△ABC和△A1B1C1中,AB=10,BC=8,∠C=90゜,A1B1=5,B1C1=4,∠C1=90゜,则能判定△ABC和△A1B1C1相似吗?说说你的看法?（2）已知:在Rt △ABC 与Rt △A 1B 1C 1中,∠C=∠C 1=900,且1111C B BC B A AB .求证:Rt △ABC ∽Rt △A 1B 1C 1.2 . 已知:如图,在四边形ABCD 中,∠BAC=∠ADC=900,AD=a ,BC=b,AC=ab .求证:DC ⊥BC.四、课内练习1. 在Rt △ABC 和Rt △DEF 中,∠C=∠F=900.依据下列各组条件判定这两个三角形是否相似,并说明理由.(1) ∠A=550,∠D=350; (2) AC=9,BC=12,DF=6,EF=8;(3) AC=3,BC=4,DF=6,DE=8; (4) AB=10,AC=8,DE=15,EF=9.2. 已知:如图,在Rt △ABC 中,∠C=900,点D 在BC 上,且AC BC DA AB =.求证:∠B=∠DAC.3. 已知:如图,在Rt △ABC 与Rt △A 1B 1C 1中,∠BAC=∠B 1A 1C 1=900,AD ⊥BC,A 1D 1⊥B 1C 1,垂足分别为点D 、D 1,且1111D A AD B A AB =.求证:△ABC ∽△A 1B 1C 1.24.4（7）相似三角形的判定一、课前练习1.如图,在△ABC 中,∠BAC=1200, △ADE 是等边三角形,请找出图中相似的三角形.2.(1)你现在知道距今2500多年前,古希腊数学家是怎样测出埃及大金字塔的高度吗？(2)如果在某一时刻,如图测得木杆EF 长2m,它的影子FD 为3m,测得OA 长201m,你会求出金字塔的高度BO 吗?二、阅读理解1.阅读教材P30～31.2.判定两个三角形相似的方法有：3.阅读中遇到的问题有三、新课探索1.已知:如图,在△ABC 与 △A 1B 1C 1中, AD ⊥BC,A 1D 1⊥B 1C 1,垂足D,D 1分别在边BC, B 1C 1上,且111111C A AC D A AD B A AB ==,求证：△ABC ∽△A 1B 1C 1.2.已知:如图,点A 1、B 1、C 1分别在射线PM,PN,PT 上,AB ∥A 1B 1，BC ∥B 1C 1.求证: △ABC ∽△A 1B 1C 1.四、课内练习1.已知:如图,AC AE AB AD BC DE==.求证: △ADB ∽△AEC.2. 已知:在 ABC 中,AB=AC,延长AB 到点E,使BE=AB,点D 是AB 的中点.求证:CE DC 21=.3.已知:如图,AB ⊥BC,DC ⊥BC,点B 、C 为垂足, 点E 是BC 上一点,且AE ⊥DE, 点F 是BC 上一点,且∠FDC=∠ADE.则图中哪几对三角形相似？请证明BE=FC.24.5（1）相似三角形的性质一、课前练习1.(1) 如图(1),DE ∥BC,AD:DB=1:2,BC=9,则DE=_____. (2) 如图(2),∠1=∠B,AD:AC=2:3,DC=8,则BC=_____.二、阅读理解1.阅读教材P32～33.2.填空:(1)相似三角形的对应角_____,对应边________;(2)相似三角形的比、的比、的比都等于相似比.3.阅读中遇到的问题有三、新课探索1. 猜想：相似三角形的对应高的比,对应中线的比,对应角平分线的比,分别与相似比有什么关系?已知:△ABC ∽△A 1B 1C 1.(1)如图(1),AD,A 1D 1分别是△ABC,△A 1B 1C 1对应角的平分线.则=11D A AD.(2) 如图(2),AE,A 1E 1分别是△ABC,△A 1B 1C 1的边BC,B 1C 1上的高.则=11E A AE.(3) 如图(3),AF,A 1F 1分别是△ABC,△A 1B 1C 1的边BC,B 1C 1上的中线.则=11F A AF.2.已知:如图,在△ABC 与△A 1B 1C 1中,∠C=∠C 1,AD 、BE 是△ABC 的高,A 1D 1、B 1E 1是△A 1B 1C 1的高,点D 、E 、D 1、E 1分别在边BC 、AC 、B 1C 1、A 1C 1上,且1111D A ADB A AB =,求证：1111E B BE D A AD =.四、课内练习1.(1)已知△ABC ∽△A 1B 1C 1,相似比k=23,BE 、B 1E 1分别是它们对应边上的中线,BE=6,则B 1E 1=___.(2)已知△ABC ∽△A 1B 1C 1,对应边AC=12, A 1C 1=9,AD 、A 1D 1分别是对应角∠BAC 、∠B 1A 1C 1 的平分线,A 1D 1=6,则AD=___.3.抢答如图:∠1=∠B,CD=2,AC=3,∠ACB 的平分线交AD 于点E,交AB 于点F,则CE:CF=________(填比值).24.5（2）相似三角形的性质一、课前练习1. 已知△ABC ∽△A 1B 1C 1,且相似比k=2,AC 与A 1C 1为对应边,AC 边上的中线长为9,则A 1C 1边上的中线长为_____.2. 如图, 点 E 、D 分别是AB,AC 上的点,∠ADE=∠B,AG ⊥BC 于点G,AF ⊥DE 于点F,若AD=3, AB=5,则AFAG_____.二、阅读理解1.阅读教材P34～36.2.填空:(1)相似三角形的对应角_____,对应边________;(2)相似三角形的比、的比、的比、的比都等于相似比. 相似三角形面积的比等于3.阅读中遇到的问题有三、新课探索1.（1）思考在10倍的放大镜下看到的三角形与原三角形相比,三角形的边长、周长、角、面积,哪些被放大了10倍?操作与探索任意画两个相似的三角形,同桌合作探索: (1) 这两个三角形的周长的比与相似比有什么关系? (2) 这两个三角形的面积的比与相似比有什么关系?填空：相似三角形的周长的比等于相似三角形的面积的比等于2.（1）已知:如图,△ABC ∽△A 1B 1C 1,且相似比为k. 求证:k C A C B B A ACBC AB =++++111111.（2）已知:如图,△ABC ∽△A 1B 1C 1,且相似比为k. 求证:2111k S S C B A ABC=∆∆.3.已知：△ABC ∽△A 1B 1C 1,顶点A 、B 、C 分别与A 1、B 1、C 1对应，它们的周长分别为48和60，且AB=12，B 1C 1=25,求BC 、A 1B 1的长.4. 已知：如图,点D 、E 分别在△ABC 的边AB 、AC 上,DE ∥BC,DE=6,BC=9,S △ADE =16.求S △ABC 的值.5.如图是某市部分街道图,比例尺为1:10000.请估计三条道路围成的三角形地块ABC的实际周长和面积.四、课内练习1.已知两个三角形相似,根据下列数填表:2. (1) 如果把一个三角形的三边长扩大为原来的100倍,那么这个三角形的面积扩大为原来的_______倍;(2) 如果把一个三角形的面积扩大为原来的100倍,那么这个三角形的边长扩大为原来的______倍.3.若△ABC∽△A′B′C′,它们的周长分别为60cm和72cm,且AB=15cm, B′C′=24cm,那么BC=___cm, AC=___cm, A′B′=___cm, A′C′=___cm.4. 如图,在等边三角形ABC中,点D、E分别在AB,AC边上,且DE∥BC,如果BC=8cm,AD:DB=1:3,那么△ADE的周长等于___ cm,△ADE的面积等于____cm2.5.已知:点D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AD的中点.求证:S△ABC=4S△DEF.24.5（3）相似三角形的性质一、课前练习1.(1) 两个相似三角形的相似比是1:16,则周长比是_____,面积比是_______;(2) 两个相似三角形的周长比是1:9,则相似比是_____;(3) 两个相似三角形的面积比是1:5,则相似比是_______.2. 已知△ABC∽△A′B′C′,AB=9,A′B′=12.(1) 若△ABC的周长是24,则△A′B′C′的周长为___;(2) 若S△ABC=27,则S△A′B′C′=____.3. 已知△ABC∽△A′B′C′,AB=9,A′B′=12.(1) 若两个三角形的周长之差为8,求这两个三角形的周长.(2) 若两个三角形的面积之和为100,求这两个三角形的面积.二、阅读理解1.阅读教材P36～38.2.填空:(1)相似三角形的对应角_____,对应边________;(2)相似三角形的比、的比、的比、的比都等于相似比.相似三角形面积的比等于3.阅读中遇到的问题有三、新课探索1.已知:如图,在△ABC中,∠ACB＝90°,CD是边AB上的高.求证:(1) AC2=AD·AB; (2) CD2=AD·BD.2. 已知：如图,点D 、E 分别在△ABC 的边AB 和AC 上,DE ∥BC, DB AD =21,四边形DBCE 的面积等于16.求△ABC 的面积.四、课内练习1.如图,△ABC 中,∠ACB=90°,CD 是AB 边上的高. (1) 已知BD=4,CD=6,则 AD=______; (2) 已知BD=9,BC=15,则 AB=______; (3) 已知AB=13,CD=6,则 AD=_____ .2. 已知：如图,AB ∥DC,AC ∥DE,若S △ABC =9,S △DCE =4,则S △ACD =____.3. (洞孔成像)如图,AB ∥A ′B ′,根据图中尺寸,可知物象A ′B ′的长是物AB 的长的31.你能说出其中的道理吗?4. 已知：如图,梯形ABCD 中,AD ∥BC,∠ACD=∠B. 求证：CBADBA CD =22.24.5（4）相似三角形的性质一、课前练习1. 已知:△ABC ∽△A ′B ′C ′,且相似比k=23,则（1）=∆∆的周长的周长ABC C B A '''________, （2）=∆∆ABCC B A S S '''________. 2. 已知:如图,AB ∥CD,且AB:DC=2:5,AC 与BD 交于点O,则（1）=∆∆COD S S AOB________,（2）=∆∆COD S S AOD ________,（3）=∆∆ADCABC S S________.3. 已知:如图,点D 是△ABC 的边AB 上一点, AD=4,BD=5,AC=6,则（1）=∆∆的周长的周长ACB ADC ________, （2）=∆∆ACB ADC S S ________.二、阅读理解1.阅读教材P38～39.2.填空:(1)相似三角形的对应角_____,对应边________;(2)相似三角形的比、的比、的比、的比都等于相似比.相似三角形面积的比等于3.阅读中遇到的问题有三、新课探索1. 已知：如图,在△ABC中,AB=AC=10,BC=16,点P、D分别在边BC、AC上,BP=12,∠APD=∠B.求CD的长.2.(1)已知：如图,正方形DEFG的边EF在△ABC的边BC上,顶点D、G分别在AB、AC上.已知△ABC的边BC长为60cm,高AH为40cm,求正方形DEFG的边长.(2)若将正方形DEFG改为矩形,且矩形的两条邻边之比为2:3,求矩形的边长.请根据题意画出符合要求的图形.(3)如果改变△ABC的形状,但保持边BC与高AH的长不变,正方形DEFG的边EF在直线BC上,顶点D、G分别在AB,AC上,正方形DEFG的边长会变化吗?为什么?(请画出图形,加以说明.)。

沪教版(上海)初中数学九年级第一学期 24.2 比例线段-黄金分割课件

比例的等比性质：
如果
a
,b
c d
k
(b,
d

0)
那么
ac a c _b___d___b____d_.
k
a k b a kb
c k d c kd
a c kb kd k bc bd
例1 在梯形ABCD中，对角线AC与BD相交于点
O，SAOD
SBOC ，求证：
DO OB
CO OA
想一想：将条件 SAOD SBOC 换成DC//AB，其它条件不变，能证明原来的结论正确吗？
AC AD
1.如图，在△ ABC中，点D、E分别在AB、AC
上，且 AD AE
DB EC
.已知S △ ADE=1，S △ DBC=12，
求S △ ABC.
H
3.已知四条线段长分别为1厘米， 2 厘米，2厘米，
x厘米，它们是成比例线段，则x=
厘米.
例2 如图，线段AB的长度为l，点P是线段AB上一点， PB AP (线段AP是PB、AB的比例中项）,
我们做过调查，如果市场上有的电视频主要有两种，一种是宽:长为3∶4的，另一种是 9∶16的.这两个比值都很接近0.618，也就是因为黄金矩形是最美的.
画家们发现，按 0.618∶1来设计腿长与身高的比例，画出的人体身材最优美，
现今的女性，腰身以下的长度平均只占身高的 0.58，因此古希腊维纳斯女塑像及太阳神阿波罗的形象都通过故意延长双腿，使之与身高的比值为0.618，
B P1
∵点P1称为AB的黄金分割点（点P1靠近B）
P1B AP1 5 1 0.618 (黄金数) AP1 AB 2
∵点P2称为AB的黄金分割点（点P2靠近B）

242(1)比例线段

24.2比例线段一、教学目标：1.理解两条线段的比、比例线段的概念.2.掌握比例线段的基本性质.3.理解比例的合比性质、等比性质.4.培养学生学习数学、应用数学的能力.二、教学重、难点：重点：理解比例线段的概念.掌握比例线段的基本性质.难点：比例的合比性质、等比性质的理解.三、课前预习1.比例的基本性质：如果那么,dc b a = ； 2.比例的合比性质：=+=bb a dc b a ，那么如果；=-b b a 。

比例的等比性质：如果=++==db c a ,那么k d c b a= = 3.下列各组线段成比例的是（）。

A. 1cm ，3cm ，2cm ，4cmB. 1cm ，20cm ，5cm ，25cmC. 4cm cm 2cm 6,3，cmD. 4cm ，8cm ，6cm ，12cm四、新授新课探索一（1）思考四个数a,b,c,d,若21,k dc k b a ==，请问在什么情况下，就说这四个数成比例？k1=k2时,就说这四个数成比例.如果两个数的比值与另两个数的比值相等,就说这四个数成比例.通常我们把a,b,c,d 四个实数成比例表示成a:b=c:d,或dc b a =。

其中b,c 称做内项,a,d 称做外项.新课探索一（2）两条线段的长度的比叫做两条线段的比.求两条线段的比时,对这两条线段一定要用同一长度单位来度量.两条线段的比值总是正数.在四条线段中,如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等,那么这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段(proportional segments).根据DE 是△ABC 的中位线的条件,你能找出成比例线段吗?线段DE,BC,AD,AB 是比例线段.新课探索一（3）如果a,b,c,d 是比例线段,即dc b a =（或d c b a ::=），那么线段d a ,是比例外项，线段b 、c 是比例内项，线段d 是a,b,c 的第四比例项。

比例线段有以下基本性质：如果d c b a=，那么bc ad =寻找一下上述变化规律.新课探索二（1）比例线段除了具有上述性质以外,还有其他性质吗?思考如果线段d c b a ,,,满足d c b a =，那么dd c b b a d d c b b a -=-+=+,是否成立？新课探索二（2）比例的合比性质：新课探索二（3）请运用上述设比值为k 的思想方法来说明:比例的等比性质:等比性质可以推广到任意有限多个相等的比的情形.例如:注意在实数范围内,式中的分母不能为零,如b+d ≠0,b1+b2+b3≠0.新课探索三五、课内练习六、本课小结比例线段1.两条线段的长度的比叫做两条线段的比.2.在四条线段中,如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等,那么这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段(proportional segments).如果a,b,c,d 是比例线段,即dc b a = (或a:b=c:d), 那么线段a,d 是比例外项, 线段b,c 是比例内项, 线段d 是a,b,c 的第四比例项.3.比例线段的性质:(1)比例线段的基本性质: 如果dc b a =,那么ad=bc. (可写出有关a,b,c,d 成立的8个比例式.)（2）比例的合比性质：(3) 比例的等比性质:。

24.2.2相似图形的性质学案

24.2.2《相似图形的性质》教学案学习目标：1、探索并掌握相似多边形的性质。

2、解两个多边形相似的判定方法。

复习导学：1、怎样的图形是相似图形？2、什么是成比例线段？3、两个相似的平面图形之间有什么关系呢？为什么有些图形是相似的，而有些不是呢？相似图形有什么主要性质呢？课堂学习研讨：1、学生做一做（课本47--48页）：2、自主探究、猜想（1）动手实验，直观探索图18.2.2中两个四边形是相似形，仔细观察这两个图形，它们的对应边之间是否为比例线段的关系呢？对应角之间又有什么关系？（提示：为了验证你的猜测是否正确，可以用刻度尺和量角器量量看。

）图18.2.2再看看图18.2.3中两个相似的五边形，是否与你观察图18.2.2所得到的结果一样？图18.2.33、交流合作，大胆猜想在独立动手的基础上，进行交流与合作，并大胆地猜想结果。

4、概括总结，确认猜想概括：由此可以得到两个相似多边形的特征：对应边成比例，对应角相等。

实际上这也是我们识别两个多边形是否相似的方法，即如果_________________________________________，那么这两个多边形相似。

提醒：这就是我们判定两个多边形是否相似的判定方法。

想一想：如果两个多边形的边数不同呢？5、范例讲解例：在图18.2.4所示的相似四边形中，求未知边x、y的长度和角度a的大小。

图18.2.4解：由于两个四边形相似，它们的对应边成比例，对应角相等，所以1847y ==解得x ＝， y ＝。

a ＝ 360°－（）＝。

注意:利用相似多边形的性质时,必须分清对应边和对应角.6、思考：（1）两个三角形一定是相似形吗？两个等腰三角形呢？两个等边三角形呢？两个等腰直角三角形呢？（2）所有的菱形都相似吗？所有的矩形呢？所有的正方形呢？课堂达标练习：1．根据下图所示，这两个多边形相似吗？说说你的理由。

（第一题）(第2题)2．如图，正方形的边长a = 10，菱形的边长b = 5，它们相似吗？请说明理由。

比例线段(基础) 知识讲解

比例线段（基础）知识讲解责编：常春芳【学习目标】1、了解相似的图形及相似多边形的概念及性质；2、了解两条线段的比和比例线段的概念并能根据条件写出比例线段；3、会运用比例线段解决简单的实际问题；4、掌握黄金分割的定义并能确定一条线段的黄金分割点.【要点梳理】要点一、相似形1.相似的图形在数学上，我们把形状相同的两个图形说成是相似的图形.要点诠释：(1) 相似的图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；(2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形是全等形.2.相似多边形一般地，两个边数相同的多边形，如果它们的对应角相等，对应边长度的比相等，那么这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比或相似系数. 要点诠释：相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质．要点二、比例线段1. 两条线段的比：用同一个长度单位去度量两条线段a ，b ，得到它们的长度，我们把这两条线段长度的比叫做这两条线段的比.记作a b或a : b . 2．成比例线段：在四条线段,,,a b c d 中，如果其中两条线段a ，b 的比等于另外两条线段c ，d 的比，即(::)a c a b c d b d==或，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．这时，线段,,,a b c d 叫做组成比例的项，线段,a d 叫做比例外项，线段,b c 叫做比例内项. 如果作为比例内项的两条线段是相等的，即,,a b c 之间有::a b b c =，那么线段b 叫做线段,a c 的比例中项.3．比例的性质：（1）基本性质如果a c b d=，那么ad bc =（,b d ≠0）. 反之也成立，即如果ad bc =，那么a cb d =（,b d ≠0）. （2）合比性质如果++==.ac a b cd b d b d，那么（,b d ≠0）（3）等比性质如果1212=nnaa ab b b==…，12++nb b b且…≠0，那么121121++++++nna a a ab b b b=…….要点诠释：（1）两条线段的长度必须用同一长度单位表示，若单位长度不同，先化成同一单位，再求它们的比；（2）两条线段的比，没有长度单位，它与所采用的长度单位无关；（3）两条线段的长度都是正数，所以两条线段的比值总是正数．要点三、黄金分割1.定义：把一条线段分成两部分，使其中较长线段为全线段与较短线段的比例中项这样的线段分割叫做黄金分割，分割点叫做这条线段的黄金分割点，比值512-叫做黄金数. 要点诠释：512-≈0.618.2.作一条线段的黄金分割点：图4－7如图，已知线段AB，按照如下方法作图：（1）经过点B作BD⊥AB，使BD=21AB.（2）连接AD，在DA上截取DE=DB.（3）在AB上截取AC=AE.则点C为线段AB的黄金分割点.要点诠释：一条线段的黄金分割点有两个.【典型例题】类型一、相似形1. 指出下列各组图中，哪些组肯定是相似形__________：(1)两个腰长不等的等腰三角形(2)两个半径不等的圆(3)两个面积不等的矩形(4)两个边长不等的正方形【思路点拨】要注意：（1）相似的图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；（2）如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形．【答案】(2) (4).【解析】(1)等腰三角形的形状不一定相同，因此两个腰长不等的等腰三角形不一定相似；(3)中面积不等的两个矩形，虽然它们的边数相同，对应角相等，但对应边的比不一定相等，所以无法确定它们一定相似；(2)(4)中两个半径不等的圆与两个边长不等的正方形都是形状完全相同的图形，是相似形.【总结升华】识别两个图形是否是相似形，可以从形状来识别，对于多边形，也可以用“对应角相等，对应边的比相等”来识别.举一反三：【变式】如图，左边是一个横放的长方形，右边的图形是把左边的长方形各边放大两倍，并竖立起来以后得到的，这两个图形是相似的吗？【答案】这两个图形是相似的，这两个图形形状是一样，对应线段的比都是1:2，虽然它们的摆放方法、位置不一样，但这并不会影响到它们相似性.类型二、比例线段2. 下列四组线段中，成比例线段的有( )A．3cm、4cm、5cm、6cm B．4cm、8cm、3cm、5cmC．5cm、15cm、2cm、6cm D．8cm、4cm、1cm、3cm【答案】C.【解析】四个选项中只有，故选C.【总结升华】根据成比例线段的定义.举一反三：【变式】判断下列线段a、b、c、d是否是成比例线段：(1)a=4，b=6，c=5，d=10；(2)a=2，b=，c=，d=．【答案】(1) ∵，，∴，∴线段a、b、c、d不是成比例线段．(2) ∵ ，，∴ ，∴ 线段a 、b 、c 、d 是成比例线段．3. （2014•甘肃模拟）若==（abc ≠0），求的值．【思路点拨】先设===k ，可得a=2k ，b=3k ，c=5k ，再把a 、b 、c 的值都代入所求式子计算即可．【答案与解析】解：设===k ，则a=2k ，b=3k ，c=5k ，所以===．【总结升华】解此类题学生容易误认为设k 后，未知数越多更不易解出，实际上分子、分母能产生公因式约去．类型三、黄金分割4.（2015•慈溪市一模）如图，扇子的圆心角为x°，余下扇形的圆心角为y°，x 与y 的比通常按黄金比来设计，这样的扇子外形比较美观，若黄金比取0.6，则x 为（）.A. 144°B. 135°C. 136°D. 108°【答案】B.【解析】由扇子的圆心角为x °，余下扇形的圆心角为y °，黄金比为0.6，根据题意得：x ：y=0.6=3：5，又∵x+y=360，则x=360×=135【总结升华】此题考查了黄金分割，以及比例的性质，解题的关键是根据题意列出x 与y 的关系式.5. 如图所示，矩形ABCD 是黄金矩形（即BC AB ＝215 ≈0.618），如果在其内作正方形CDEF ，得到一个小矩形ABFE ，试问矩形ABFE 是否也是黄金矩形？【思路点拨】（1）矩形的宽与长之比值为215-，则这种矩形叫做黄金矩形．（2）要说明ABFE 是不是黄金矩形只要证明AB AE ＝215-即可．【答案与解析】矩形ABFE 是黄金矩形．理由如下：因为AB AE ＝ABED AB AD AB ED AD -=- ＝21512151)15)(15()15(21152-=-+=-+-+=-- 所以矩形ABFE 也是黄金矩形．【总结升华】判断四边形是否是黄金矩形，要根据实际条件灵活选择判断方法. 举一反三：【变式】以长为2的线段AB 为边作正方形ABCD ，取AB 的中点P ，连接PD ，在BA 的延长线上取点F ，使PF ＝PD ，以AF 为边作正方形AMEF ，点M 在AD 上，如图所示，（1）求AM ，DM 的长，（2）试说明AM 2=AD ·DM（3）根据（2）的结论，你能找出图中的黄金分割点吗？【答案】（1）∵正方形ABCD 的边长是2，P 是AB 中点，∴AD ＝AB ＝2，AP ＝1，∠BAD ＝90°，∴PD ＝522=+AD AP 。

《比例线段(2)》精品教案

4．1比例线段(二)1．了解两条线段的比和比例线段的概念．2．能根据条件写出比例线段；会运用比例线段解决简单的实际问题．3．通过实际问题的解决，培养学生运用数学的意识．重点：比例线段的概念及比例性质的运用．难点：课本例3要求根据具体问题发现等量关系，找出比例式，有一定的隐蔽性，是本节教学的难点．一、新课导入复习引入1．比例的基本性质是__ab＝cd⇔ad＝bc__．2．由ad＝bc可推出哪些比例式__ab＝cd，ac＝bd，ba＝dc，bd＝ac，____ca＝db，cd＝ab，db＝ca，dc＝ba.__3．操场上有一群学生在玩游戏，其中男生与女生的人数比例是3∶2，后来又有6名女学生加入进来，此时女生与男生的人数比为5∶3，求原来各有多少男生和女生【解】设原来有男生3x人，女生2x人，则(2x＋6)∶3x＝5∶315x＝6x＋18解得x＝2所以3x＝6，2x＝4∴原来有6名男同学和4名女同学．说明：引入一个实际问题，引起学生们的关注，让学生去解决感兴趣的问题，为下一个枯燥的几何问题做好铺垫．二、新知学习(一)比一比两条线段的长度的比，叫做这两条线段的比．如图所示，设线段OC＝2，OC′＝4，则线段OC与OC′的比就是2∶4＝12，记为OCOC′＝12.由图，从△ABC到△A′B′C′是一个相似变换，可得ABA′B′＝12，BCB′C′＝12，所以ABA′B′＝BCB′C′.注意：(1)两线段是几何图形，可用它的长度比来确定；(2)度量线段的长度单位有多种，但求比值必须在同一长度单位下，比值一定是正数，比值与采用的长度单位无关．(3)表示方式与用数字的比表示类同，但它也可以表示为AB∶CD.(二)议一议什么是比例线段一般地，四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即ab＝cd，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．例如，上图中，AB，A′B′，BC，B′C是比例线段．(三)做一做1．如图所示，BCAB＝，BC AC ＝． 2．已知线段a ，b ，c ，若a 2＝b 3＝c5，且3a －2b ＋5c ＝25，求a ，b ，c 的值．【解】设a 2＝b 3＝c5＝k(k≠0)．则a ＝2k ，b ＝3k ，c ＝5k ，∵3a －2b ＋5c ＝25， ∴6k －6k ＋25k ＝25. 解得k ＝1.∴a ＝2，b ＝3，c ＝5.说明：通过比一比、议一议、做一做，加深对比例及比例线段的理解，从而提高学生的认知水平．三、新知应用【例1】已知线段a ＝30 mm ，b ＝2 cm ，c ＝45 cm ，d ＝12 mm ，试判断a ，b ，c ，d 是否成比例线段．【分析】判断四条线段是否成比例线段，先要把四条线段的长度单位化为同一单位，然后按从小到大(或从大到小)的顺序排列，再分别计算第一和第二与第三和第四线段的数量比，如果比相等，那么这四条线段成比例，否则不成比例．【解】取mm 作单位，则b ＝20mm ，c ＝8mm ，按从小到大的顺序为c ，d ，b ，a. ∵c ∶d ＝8∶12＝2∶3， b ∶a ＝20∶30＝2∶3， ∴c ∶d ＝b∶a.即四条线段a ，b ，c ，d 成比例线段．说明：判断四条线段(或数)是否成比例，在同一单位下，除了直接计算a∶b 和c∶d 进行判断外，还可以计算ad 和bc ，利用ad ＝bc ⇔a b ＝cd进行判断．【例2】如图，在△ABC 中，AD ，CE 是△ABC 上的高线，找出图中的一组比例线段，并说明理由．【分析】(1)根据比例的基本性质，要判断四条线段是否成比例，只要采取什么方法(看其中两条线段的乘积是否等于另外两条线段的乘积)(2)已知条件中有三角形的高，我们通常可以把高与什么知道联系起来 (3)根据三角形的面积公式，你能得到一个怎样的等式根据所得的等式可以写出怎样的比例式【解】AD AB ＝CEBC .理由如下：∵S △ABC ＝12AB·CE＝12BC·AD，∴AB·CE＝BC·AD，∴AD AB ＝CEBC. 说明：利用面积是比例线段中得到等积式的常用方法之一．四、巩固新知尝试完成下面各题．1．下列各组线段，能成比例线段的是( B ) A ．1 cm ，2 cm ，3 cm ，4 cm B ．3 cm ，6 cm ，4 dm ，8 mm C ．3 cm ，9 cm ， dm ，6 cm D ．2 cm ，5 cm ， dm ，8 cm2．已知a ，b ，c ，d 是成比例线段，其中a ＝3 cm ，b ＝2 cm ，c ＝6 cm ，求线段d 的长度．解：设d＝x cm，则有ab＝cd，即32＝6x.∴3x＝12.解得x＝4.∴d＝4 cm.3．如图，在平行四边形ABCD中AE⊥BC，AF⊥CD，找出图中一组比例线段，并说明理由．解：∵BC·AE＝S▱ABCD ＝CD·AF，∴BCCD＝AFAE.4．有两组线段，每组分别有4条，长度如下：(1)a＝8 cm，b＝cm，c＝dm，d＝10 cm.(2)a＝16 mm，b＝8 mm，c＝5 mm，d＝10 mm.请判断它们是否成比例线段，试说明理由．解：(1)b＝ cm，c＝ dm＝6 cm，a＝8 cm，d＝10 cm. ∵bd＝，ca＝48，bd≠ca，∴这四条线段不成比例．(2)c＝5 mm，b＝8 mm，d＝10 mm，a＝16 mm.∵ac＝80，bd＝80，∴ac＝bd，即ab＝dc，∴这四条线段成比例．五、课堂小结1．两条线段的比及比例线段的概念．2．方程思想的体现．3．比例线段的实际问题中的应用．六、课后作业请完成本资料对应的课后作业部分内容．。

沪教版九年级(上)数学一课一练及单元测试卷和参考答案

16.如图，已知矩形ABCD，AB=1，四边形ABFE是正方形，若矩形ABCD与矩形CDEF相似，则AD的长为。
第16题图
三、解答题
17.若与是相似形，点A与点，点B与点，点C与点分别是对应顶点，，，AB=2, =5,BC=3, =6求的度数与边AC, 的长
18如图所示ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ相似四边形中，求未知边x，y的长度和角的大小
（A） 8 (B) 6 (C) 10 (D) 4
3．如图，已知梯形ABCD中，AB//CD，如果S△ODC: S△OBC=1:2,S△ODC：S△OBA（）
（A）1:2（B）1:3（C）1:4（D）1:6
第3题图第4题图第5题图
4.如图，已知AB⊥BD，ED⊥BD，垂足分别为B、D，AE与BD相交于点C，则下列各式错误的是（）
（A）1:7（B）1:6 (C). 1:5 (D). 1:3
第4题图第5题图第6题图
5.如图，在△ABC中，AD是角平分线，DE//AC，已知AB=12，AC=6,则DE的长（）
（A）3（B）4（C）5（D）6
6.在ABC中，AB//EF∥CD，AB=16，CD=48，则EF的长.为（）
（A）8（B）10 (C). 12 (D). 14
21、在梯形ABCD中，AD∥BC,点E在BD的延长线上，且CE∥AB，AC与BD相交于点O，求证：OB2=OD•OE。
数学九年级上第二十四章相似三角形
24.3 三角形一边的平行线第二课时（1）
一、选择题
1、在△ABC中，DE//BC，DF//AC， ,则等于（）
(A) (B) (C) (D)
24.6 实数与向量相乘第一课时（1）57
24.7向量的线性运算第一课时（1）62

24.2(2)比例线段

PB AP 点P是线段AB上的一点，且 AP AB
求线段AP的长.（用 l 表示）
x l-x
l
A
l
P
.
B
即线段 AP是AB 和PB的比例中项.
问1：由图可知，线段 AB、AP、PB之间有怎样的数量关系？
PB AP 问2：结合已知条件 AP AB
答1：AP+PB=AB，即AP+PB=l 设线段AP的长为x，则线段PB的长为l-x. PB AP 答2：由 AP AB
8
P1
B
线段AP是较长线段还是较短线段不确定，分析：所以要分类讨论. 解：（1）当AP＞PB时， ∴AP=
5 1 2 AB=
（2）当PB＞AP时， ∴AP=
3 5 2 AB=
5 1 ×8= 2
4 5 4 12 4 5
3 5 ×8= 2
A
P1
P2
B
两个一般地一条线段的黄金分割点有两个
1：已知线段MN的长为2厘米，点P 是线段MN的黄金分割点，则较长的线段MP的长是 ( 5 1) 厘米，较短的线段PN的长是 (3 5) 厘米. 2：已知点P是线段AB的黄金分割点，AP＞PB， AB=4厘米，那么线段AP、PB的长度分别是 (2 5 2)厘米和 (6 2 5) 厘米．
短= 3 5 全
5 1 3 5 全= 全 2 2
2
例题1：已知点P是线段AB的黄金分割点，若AB=8,
求较长线段AP和较短线段PB. ？分析：
？ 8
A
P
B
解：∵P是线段AB的黄金分割点，根据题意AP＞PB ∴AP= （或PB=
5 1 2 AB=
PB AB AP 8 (4 5 4) 12 4 5

成比例线段(一)教学设计 (4)

(2)说明：①引导学生根据等式的性质从正、反两方面进行证明．②教师强调，它的作用是将等积式与比例式互化，由于线段的长度都是正数，因此由一个等积式可得到八种比例式．
2．比例基本性质的应用．
应用(1)判断四条线段是否成比例；将已知四条线的长按大小顺序排列，如a＞b＞c＞d．若最长(a)和最短(d)的两条线段长之积等于其余两条线段长(b，c)之积，则这四条线段a，b，C，d成比识
1．四个数a，b，c，d成比例的定义，比例的项、内项及外项的含义．
2．比例的基本性质的内容．
对基础薄弱生特别强调：如果，则，，，……
二、类比联想、定义比例线段的有关概念
1．复习两条线段的比的有关知识．
由此引出比例线段的概念．
2．用类比的方法学习比例线段的概念．
情感目标：在数学探索、应用的过程中，逐步形成积极的思想观点，认识数学来源于实践又反过来作用于实践。
重点
比例线段的概念及基本性质的应用；
难点
应用比例的基本性质进行比例变形．
教学方法设计
新课的导入—启发思维—讨论质疑—引导思路—教给方法—梳理规律—归纳结论，分层教学
教学
活动
安排
复习导入---讨论质疑----运用归纳
3．证明猜想，得出合比和等比性质．
优秀学生指导：考虑还有没有别的证明方法？
薄弱生指导：请模仿合比性质证法一，证明
说明：以后两种情况统称合比性质，即
等比性质
四、例题讲解
五、小结
拓展
链接
作业
布置
必做题
（课内外）
课内作业：书本第8页1、2、3、4；
回家作业：练习册第2、3页.
选做题
（课内外）
补充：
已知

24.2比例线段(2)

24.4 比例线段（2）
复习：
1、比例线段的性质：
① 外项之积等于 ② 合比性 ③ 等比
内项之积
质
性质
2、解决比例计算问题常用方法：设K法
第1页，共8页。
例题讲解：
例1：已知：如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于
点O，
SAOD SBOC
D
C
求证： DO CO
O
OB OA
A
B
结论：同高或等高的三角形面积之比就等于
DB EC
S S 1,
12
ADE
DBC
S S 求：和 EDC
ABC

议一议：
同底或等底的两个三角形面积之比等于什么？
第4页，共8页。
回顾：比例中项
定义：如果比例的两个内项（或外项）相同，那么这个相同的项叫做比例中项
即： a b b就是a和c的比例中项 b2 ac bc
试一试：已知线段AB=4, CD=9,线段EF是AB、 CD的比例中项，（1）列出比例式（2）求出EF的长
例2：如图，已知线段AB的长是如l 果
点P是线段AB的黄金分割点，AP是较长
线段求线段AP的长和AP与AB的比值。
添问： PB与AP的比值是
5 1 2。
5 1
AP与AB的比值 2 叫做黄金分割数
5 1
简称：黄金数的倒数是
2叫做
第7页，共8页。
黄金比
想一想：一条线段有几个黄金分割点？两个
探讨：这条线段长度是 l 这两个黄金分割
所对应的底边之比,反之也成立
一题多变：条件 SAOD SBOC 改成DC∥AB
第2页，共8页。
发现规律：平行线三角形面积相等

沪教版数学九年级上学期一课一练及单元测试卷和参考答案

沪教版数学九年级上学期一课一练、单元测试卷和参考答案目录第二十四章相似三角形24.1放缩与相似形（1） 3 24.2 比例线段（1） 6 24.3 三角形一边的平行线第一课时（1） 10 24.3 三角形一边的平行线第二课时（1） 14 24.3 三角形一边的平行线第三课时（1） 19 24.3 三角形一边的平行线第四课时（1） 22 24.4 相似三角形的判定第一课时（1） 25 24.4 相似三角形的判定第二课时（1） 29 24.4 相似三角形的判定第三课时（1） 33 24.4 相似三角形的判定第四课时（1） 37 24.5 相似三角形的性质第一课时（1） 43 24.5 相似三角形的性质第二课时（1） 47 24.5 相似三角形的性质第三课时（1） 52 24.6 实数与向量相乘第一课时（1） 57 24.7向量的线性运算第一课时（1） 62 九年级(上)数学第二十四章相似三角形单元测试卷一 67 第二十五章锐角三角比25.1 锐角三角比的意义（1） 72 25.2 求锐角的三角比的值（1） 75 25.3 解直角三角形（1） 79 25.4 解直角三角形的应用（1） 84九年级(上)数学第二十五章锐角的三角比单元测试卷一 90第二十六章二次函数26.1 二次函数的概念（1） 9426.2 特殊二次函数的图像第一课时（1） 9826.2 特殊二次函数的图像第二课时（1） 10226.2 特殊二次函数的图像第三课时（1） 10626.3二次函数y=ax2+bx+c的图像第一课时（1） 11126.3二次函数y=ax2+bx+c的图像第二课时（1） 11626.3二次函数y=ax2+bx+c的图像第三课时（1） 121九年级(上)数学第二十六章二次函数单元测试卷一 126参考答案 132数学九年级上第二十四章相似三角形24.1放缩与相似形（1）一、选择题1下列各组图形中一定是相似三角形的是（）A. 两个等腰三角形B. 两个直角三角形C. 一个角为30 的等腰三角形D. 两个等边三角形2下列各组图形中一定是相似多边形的是（）A. 两个平行四边形B. 两个正方形C. 两个矩形D. 两个菱形3某两地的实际距离为3000米，画在地图上的距离是15厘米，则在地图上的距离与实际的距离之比是（）A 1:200B 1:2000C 1:20 000D 1:200 0004. 下列不一定是相似形的是（）A. 边数相同的正多边形B. 两个等腰直角三角形C. 两个圆D. 两个等腰三角形5. 下列给出的图形中，是相似形的是（）A. 三角板的内、外三角形B. 两张孪生兄弟的照片C. 行书中的“中”楷书中的“中”D. 同一棵树上摘下的两片树叶6. 下列各组图形中，一定是相似多边形的是（）A. 两个直角三角形B. 两个平行四边形C. 两个矩形D. 两个等边三角形7下列图形中，相似的有（） ①放大镜下的图片与原来图片； ②幻灯的底片与投影在屏幕上的图像③天空中两朵白云的照片 ④用同一张底片洗出的两张大小不同的照片A. 4组B. 3组C. 2组D. 1组8. 对一个图形进行放缩时，下列说法正确的是（）A. 图形中线段的长度与角的大小都保持不变B. 图形中线段的长度与角的大小都会改变C. 图形中线段的长度保持不变，角的大小可以改变D. 图形中线段的长度可以改变，角的大小都保持不变二、填空题9. ABC ∆与'''A B C ∆相似，则它们的对应角，对应边。

比例线段教案(热门8篇)

比例线段教案(热门8篇）（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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比例线段教案8篇

比例线段教案8篇比例线段教案8篇作为一位优秀的人民教师，就不得不需要编写教案，教案是教学蓝图，可以有效提高教学效率。

那么应当如何写教案呢？下面是小编精心整理的比例线段教案，欢迎阅读，希望大家能够喜欢。

比例线段教案1知识结构重难点分析本节的重点是线段的比和比例线段的概念以及比例的性质.以前的平面几何主要研究线段的位置关系和相等关系,从本章开始研究线段及相关图形的比例关系――相似三角形,这些内容的研究都离不开线段的比和比例性质的应用.本节的难点是比例性质及应用,虽然小学时已经接触过比例性质的一些知识,但由于内容比较简单,而且间隔时间较长,学生印象并不深刻,而本节涉及到的比例基本性质变式较多,合分比性质以及等比性质学生又是初次接触,内容不但多,而且轻易混淆,作题不知应用哪条性质,不知如何应用是常有的.教法建议1.生活中比例的例子比比皆是,在新课引入时最好从生活实例引入,可使学生感觉轻松自然,轻易产生爱好,增加学生学习的主动性2.小学时曾学过数的比及相关概念,学习时也可以复习引入,从数的比过渡到线段的比,渗透类比思想3.这一节概念比较多,也比较轻易混淆,教学中可设计不同层次的题组来进行巩固,非凡是要举一些反例,同时要注重对相近概念的比较4.黄金分割的内容要求学生理解,主要体现数学美,可由学生从生活中寻找实例,激发学生的爱好和参与感5.比例性质由于变式多,理解和应用上轻易出现错误,教学时可利用等式性质和分式性质来处理教学设计示例1(第1课时)一、教学目标1.理解线段的比的概念.2.通过与小学知识到比较,初步培养学生“类比”的数学思想.3.通过线段的比的有关计算,培养学习的计算能力.4.通过“引言”及“例1”的教学,激发学生学习爱好,对学生进行热爱爱国主义教育.二、教学设计先学后做,启发引导三、重点及难点1.教学重点两条线段比的概念.2.教学难点正确理解两条线段的比及应用.四、课时安排1课时五、教具学具预备股影仪、胶片、常用画图工具六、教学步骤复习提问找学生回答小学学过的比、比的前项和后项的概念.(两个数相除又叫做两数的比,记作或a:b,其中a叫比的前项,b叫比的后项)讲解新课把学生分成三组,分别以米、厘米、毫米作为长度单位,量一下几何教材的长与宽(令长为a,宽为b).再求出长与宽的比.然后找三名同学把结果写在黑板上.如:等.可以看出,在同一长度单位下,两条线段长度的比就是两条线段的比.一般地:若a、b的长度分别是、n(单位相同),那么就说这两条线段的比是 ,或写成 ,和数的比一样,a叫比的前项,b叫比的后项.关于两条线段比的概念,教学中要揭示它的实质,即表示a是b的倍,这是学生已有的知识,较易理解,也轻易使学生注重到求比时,长度单位要一致.另外,可组织学生举例实际生活中两条线段的比的问题,充分调动学生联系实际和积极思维的能力,对活跃课堂气氛也很有利,但教师需注重尺度.就刚才三组学生做过的练习及问题回答,在教师启发和点拨下,让学生讨论或试述两条线段的比应注重的问题,归纳出:(l)两条线段的比就是它们的长度的比.(2)比与所选线段的长度单位无关,求比时,两条线段的长度单位要一致.(3)两条线段的比值总是正数.(并不都是正数)(4)除了a=b之外, . 与互为倒数.例1 见教材P202.讲解完例1后:(l)提问学生AB是的多少倍, 是AB的多少倍,以加深学生对线段比的逾义的理解.(2)给出:比例尺= ,就例1的图上,若图距是8c的两地,实际距离是多少?另外,还可鼓励学生课后根据地图上的比例尺,测量并计算出你所在省会与首都北京的直线距离,从而丰富了知识,激发了学习爱好.例2 见教材P202.讲解完例2后:(l)可改变线段AB的长度,或给出AC、BC的长度,再求这些比,使学生熟悉这种三角形中边的比与长度无关.(2)常识1:有一锐角是30°的直角三角形中,三边(从小到大)的比为 .常识2:等腰直角三角形三边(从小到大)的比为1:1: .学生把握了这些常识可有两点好处:①知道例2中“ ”以及习题5.l第2题(1)中“边长为4”.(2)中的“对角线AC=a”这些条件实际上都是多余的.②这些题目若改成“填空题”,可避免一些不必要的计算.从而提高做题速度.这样不仅培养了能力,而且在考试中也受益匪浅.因此,今后如碰到和此常识有关的知识要反复渗透,反复给学生强调,让它扎根于学生的下意识中。

沪科版数学九年级上册22.1《比例线段》(第2课时)教学设计

沪科版数学九年级上册22.1《比例线段》（第2课时）教学设计一. 教材分析《比例线段》是沪科版数学九年级上册第22.1节的内容，本节内容是在学生已经掌握了比例的基本概念和线段的性质的基础上进行学习的。

比例线段是指在三角形中，如果一条线段是另外两条线段的比例中项，那么这条线段被称为比例线段。

本节内容主要让学生了解比例线段的定义，学会如何判断一条线段是否为比例线段，并能够运用比例线段解决一些实际问题。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和解决问题的能力，但是对于比例线段这一概念可能还比较陌生。

因此，在教学过程中，教师需要通过生动的例子和实际问题来引导学生理解和掌握比例线段的概念，并能够运用到解决问题中。

三. 教学目标1.让学生理解比例线段的定义，并能够判断一条线段是否为比例线段。

2.培养学生运用比例线段解决实际问题的能力。

3.培养学生合作交流的能力，提高学生的数学素养。

四. 教学重难点1.比例线段的定义。

2.如何判断一条线段是否为比例线段。

3.运用比例线段解决实际问题。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生动的例子和实际问题，引导学生理解和掌握比例线段的概念。

2.合作交流法：学生在小组内合作探讨，共同解决问题，培养学生的合作交流能力。

3.练习法：通过大量的练习题，让学生巩固所学知识，提高解决问题的能力。

六. 教学准备1.准备相关的例题和练习题。

2.准备多媒体教学设备，如投影仪、电脑等。

3.准备黑板和粉笔。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个实际问题引入本节课的内容，如：“在三角形ABC中，AB=6cm，BC=8cm，AC=10cm，请问是否存在一条线段DE，使得DE是三角形ABC的比例线段？”让学生思考并讨论，引出比例线段的概念。

2.呈现（10分钟）教师通过PPT或者黑板，呈现比例线段的定义和判断方法，并用动画或者图形展示比例线段的特点。

让学生直观地理解和掌握比例线段的概念。