第二章(3,4)

若随机变量 X 的密度函数为：
f(x)
1 2
e

( x )2 2 2
x
其中μ，σ（ σ > 0）为未知参数，则称
X 服从参数为μ，σ的正态分布，记为：
X ~ N ( , 2 )
正态分布密度函数图形
y
1 2
y
1 2
e

( x )2 2 2
F () lim F ( x ) 0;
x x
F () lim F ( x ) 1;
3、右连续性：对任意实数x，
F ( x 0) F ( x)
反之，具有上述三个性质的实函数，必是某
个随机变量的分布函数。故该三个性质是
分布函数的充分必要性质。
由定义知 X 落在区间( a ,b ] 里的概率可 用分布函数来计算：
k: xk x

1
pk
p1 x1
p2 x2
pk xk x
pn
xn x
离散型随机变量的分布函数F( x) 的图像是 呈阶梯状上升的右连续曲线, 在 X 的可能取值 xk 处发生间断, 间断点为第一类跳跃间断点, 在 间断点处有跳跃值 pk P( X xk )
F( x ) P( X x )
例4.长途汽车起点站于每时的10分、25分、55分发车
,设乘客不知发车时间，于每小时的任意时刻随机地到 达车站，求乘客候车时间超过10分钟的概率.
15 45
解：设A—乘客候车时间超过10分钟
X—乘客于某时X分钟到达，则XU(0,60)
P( A) P{10 X 15} P(25 X 45} P{55 X 60}
3.若 X ~ N ( , 2 ),则
F( x ) P{ X x } P { X
1 中损坏的只数为Y ~ B( 3 , ) 3
1 P(Y 1 ) C 3
1 3
1
1 1 3
31
4 9
例2 设随机变量 X 的分布函数为：
0, x 0 2 F( x ) x , 0 x 1 1, x1
(1) 求X取值在区间 (0.3,0.7)的概率；
p P{x 1000}
1 e 1000 2000
x 2000
dx e0.5 0.6065
从而 Y～b(4,0.6065)
所求概率为：
k k 4k C (0.6065) (1 0.6065) P{Y 3} 4 k 3 4
0.4865
3.正态分布
f ( x)
则称 X 服从区间[ a , b ] 上的均匀分布。 记作 X ~ U ( a,b )
x a b
例3 解：
若 X ~ U ( a,b ) ，求 F (x) 。
f ( x) a b
x<a
a xb
x
0 xa f ( t )dt b a 1
x
而且只要有不少于3个元件正常工作，该系统就能正常运行， 求该系统能正常运行1000小时以上的概率为多少？
解： 设Y为系统中寿命超过1000小时的元件数，
则Y～b(4,p), 其中
p P{X 1000}
x 1 2000 e ,x 0 X ~ f ( x) 2000 0 x0
FZ ( x ) P{ Z x } P{ X
P{ X x }
x}

x
1 2
e

( t )2 2 2
dt

令 u
t
或 t u dt du



x
1 2
e
u2 2
du ( x )

lim { F( a ) F( a x )} F( a ) F( a 0 ) x0
用分布函数表示概率
P( a X b ) F( b ) F( a )
P( X a ) F( a ) F( a 0 )
请 填 空
P( a X b ) P( a X b )
k: xk x

pk
§2.4 连续型随机变量的分布
定义 对任意实数 x , 若随机变量 X 的 分布函数可写成：
F( x ) f ( t )dt
x
x
其中 f ( x ) 0 ,则称 X 是连续型随机 变量,称f ( x )为X 的概率密度函数, 简称 为密度函数或概率密度。 记为:
(2) 求X的概率密度。
解: (1) P(0.3<X<0.7） =F(0.7)-F(0.3) = 0.72- 0.32 = 0.4
(2)
dF ( x ) f(x)= dx
2x, 0 x 1 0, 其它
0, x 0 2 F( x ) x , 0 x 1 1, x1
如零件的尺寸；纤维的强度和张力；农作物
的产量，小麦的穗长、株高；测量误差，射
击目标的水平或垂直偏差；信号噪声等等，
都服从或近似服从正态分布。
设X~ N ( , ) ,
2
X的分布函数是
( t )2 2 2
1 F ( x) 2

x

e
dt , x
正态分布由它的两个参数μ和σ唯 一确定， 当μ和σ不同时，是不同的正 态分布。
1
(2) P( X 1700
c = 1000
1500 X 2000 )
P( 1500 X 2000 )
P( X 1700 ,1500 X 2000 )
P( 1500 X 1700 )
P( 1500 X 2000 )
2000 1500

1700 1500
P( a X b ) P( X b ) P( X a )
F( b ) F( a )
a
b
x
P( X a ) 1 P( X a ) 1 F( a )
]
a
x
P( X a ) ?
a-Δx
P( X a )
x 0
a
lim
x
P{ a x X a }
下面我们介绍一种最重要的正态分布
标准正态分布
当 =0 , =1 时 , 称 X 服从标准正态分布
概率密度函数为： 分布函数为： ( x )
x
( x )
1 2 e
t2 2
1 2
e
x2 2
dt
记为： X ~ N ( 0 ,1 )

( x) 的数值可查标准正态分布表（附录）
(2) 计算 P( X 1700
1500 X 2000 );
(3) 已知一设备装有3个这样的电子管, 每个 电子管能否正常工作相互独立, 求在使用 的最初1500小时只有一个损坏的概率。
解： (1 ) 令


f(x )dx

1000
c dx 2 x
c c 1000 x 1000
X ~ f(x)
几何 意义 y

x
f ( t )dt
y = f(x)
x X
x
x
F( x ) P{ X x } f ( t )dt
概率密度 f(x) 的性质
1. f ( x ) 0
2.


f ( t )dt 1
常利用这两个性质检验一个函数能 否作为连续性随机变量的密度函数，或 求其中的未知参数。
3.在 f (x) 的连续点处有 f ( x ) F ( x ) 4. 对连续型随机变量 X 有： 1). P( X a ) F( a ) F( a 0 ) 0
2). P( a X b ) P( a X b )
P( a X b ) P( a X b )
f ( t )dt F( b ) F( a )
a b
3). P{ x X x dx } f ( x )dx
例1 已知某型号电子管的使用寿命 X 为连 续随机变量, 其密度函数为：
c f(x) , 2 x 0 x 1000 其他
(1) 求常数 c ；

15 10 45 1 60 1 1 5 20 5 1 dx dx dx 25 60 55 60 60 60 2
2.指数分布
1 x / ,x 0 e 若X ~ f ( x)＝ 0, x 0
f (x)
0为常数
0
x
则称X服从参数为 的指数分布。 其分布函数为 x
例：
X ~ N ( 0,1 )
பைடு நூலகம்
求P{ X 1 }
查表
P{ X 1 } ( 1) 0.8413
正态分布的几个结论： 1. ( x ) 1 ( x )
-x
0
x
2.（引理）：
若 X ~ N ( , )，则 Z
2
X

: N ( 0,1 ) .
证： Z 的分布函数为：
1000 dx 2 x

1000 dx 2 x
4
51 6
1
24 51
(3) 设A 表示一个电子管的寿命小于1500小时
P(A) P{ 0 X 1500 }

1500 1000
1500
0
f ( x )dx
1000 1 dx 2 x 3