2016学年江西省宜春市奉新一中高一下学期期末数学试卷及参考答案

2015-2016学年江西省宜春市奉新一中高一（下）期末数学试卷一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）已知a＞b＞0，那么下列不等式成立的是（）A．﹣a＞﹣b B．a+c＜b+c C．（﹣a）2＞（﹣b）2D．2．（5分）在△ABC中，sinA：sinB：sinC=4：3：2，则cosA的值是（）A．﹣ B．C．﹣ D．3．（5分）不等式＞2的解集是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）B．（﹣∞，﹣1）C．（﹣1，+∞）D．（﹣1，0）4．（5分）在2﹣与2+之间插入一个数，使这三个数成等比数列，则这个数为（）A．±B．±1 C．1 D．5．（5分）下列命题中错误的是（）A．若α⊥β，a⊂α，则a⊥βB．若m∥n，n⊥β，m⊂α，则α⊥βC．若α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l，则l⊥γD．若α⊥β，α∩β=AB，a∥α，a⊥AB，则a⊥β6．（5分）设变量x，y满足约束条件：，则z=x﹣3y的最小值（）A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣87．（5分）直线l过点M（﹣1，2）且与以P（﹣2，﹣3），Q（4，0）为端点的线段PQ相交，则l的斜率的取值范围是（）A．[﹣，5]B．[﹣，0）∪（0，5]C．[﹣，）∪（，5] D．（﹣∞，﹣]∪[5，+∞）8．（5分）已知数列{a n}的前n项和S n，且S n=n2+n，数列{b n}满足b n=（n ∈N*），T n是数列{b n}的前n项和，则T9等于（）A．B．C．D．9．（5分）如图是一个空间几何体的三视图，根据图中尺寸（单位：cm），可知几何体的表面积是（）A．B．C． D．10．（5分）已知数列{a n}，若点（n，a n）（n∈N+）在经过点（5，3）的定直线l上，则数列{a n}的前9项和S9=（）A．9 B．10 C．18 D．2711．（5分）正四棱锥（底面为正方形，顶点在底面上的射影是底面的中心）S﹣ABCD的底面边长为2，高为2，E为边BC的中点，动点P在表面上运动，并且总保持PE⊥AC，则动点P的轨迹的周长为（）A．B．C．D．12．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A，B，C成等差数列，且b=1，则△ABC面积的最大值为（）A．B．C．D．1二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）直线l1：3x+4y﹣7=0与直线l2：6x+8y+1=0间的距离为．14．（5分）已知A（3，0），B（0，4），动点P（x，y）在线段AB上移动，则xy的最大值等于．15．（5分）在△ABC中，∠A=60°，AC=1，△ABC的面积为，则BC的长为．16．（5分）棱长为a正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别是棱A1B1，B1C1的中点，点P是棱AB上一点，且AP=，过点P，M，N的平面与直线CD交于一点Q，则PQ的长为．三、解答题：（本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.17．（10分）已知直线l的方程为3x+4y﹣12=0，求直线l'的方程，使得：（1）l'与l平行，且过点（﹣1，3）；（2）l'与l垂直，且l'与两轴围成的三角形面积为4．18．（12分）已知函数，在△ABC中，，且△ABC的面积为，（1）求C的值；（2）求sinA+sinB的值．19．（12分）如图，在四凌锥S﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，SA ⊥CD，AB⊥平面SAD，M是SC的中点，且SA=AB=BC=2，AD=1．（1）求证：DM∥平面SAB；（2）求四棱锥S﹣ABCD的体积．20．（12分）已知数列{a n}的首项为a1=，且2a n+1=a n（n∈N+）．（1）求{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b n=，求{b n}的前n项和T n．21．（12分）某工厂生产一种仪器的元件，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，根据经验知道，其次品率P与日产量x（万件）之间大体满足关系：．（注：次品率=次品数/生产量，如P=0.1表示每生产10件产品，有1件为次品，其余为合格品）．已知每生产1万件合格的元件可以盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元，故厂方希望定出合适的日产量．（1）试将生产这种仪器的元件每天的盈利额T（万元）表示为日产量x（万件）的函数；（2）当日产量x为多少时，可获得最大利润？22．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=n﹣5a n﹣85，n∈N+．（1）求a n．（参（2）求数列{S n}的通项公式，并求出n为何值时，S n取得最小值？并说明理由．考数据：lg 2≈0.3，lg 3≈0.48）．2015-2016学年江西省宜春市奉新一中高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）已知a＞b＞0，那么下列不等式成立的是（）A．﹣a＞﹣b B．a+c＜b+c C．（﹣a）2＞（﹣b）2D．【解答】解：∵a＞b＞0，∴﹣a＜﹣b＜0，∴（﹣a）2＞（﹣b）2，故选：C．2．（5分）在△ABC中，sinA：sinB：sinC=4：3：2，则cosA的值是（）A．﹣ B．C．﹣ D．【解答】解：在△ABC中，sinA：sinB：sinC=4：3：2，利用正弦定理化简得：a：b：c=4：3：2，设a=4k，b=3k，c=2k，∴cosA===﹣．故选：A．3．（5分）不等式＞2的解集是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）B．（﹣∞，﹣1）C．（﹣1，+∞）D．（﹣1，0）【解答】解：由题意，可得＞0，即有x（x+1）＜0，∴﹣1＜x＜0，∴不等式＞2的解集是（﹣1，0），故选：D．4．（5分）在2﹣与2+之间插入一个数，使这三个数成等比数列，则这个数为（）A．±B．±1 C．1 D．【解答】解：∵在2﹣与2+之间插入一个数，使这三个数成等比数列，∴这个数为：=±1．故选：B．5．（5分）下列命题中错误的是（）A．若α⊥β，a⊂α，则a⊥βB．若m∥n，n⊥β，m⊂α，则α⊥βC．若α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l，则l⊥γD．若α⊥β，α∩β=AB，a∥α，a⊥AB，则a⊥β【解答】解：若α⊥β，α∩β=l，当a⊂α，但a与l不垂直时，a与β不垂直，故A错误；若m∥n，n⊥β，则m⊥β，又由m⊂α，则α⊥β，故B正确；若α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l，则l⊥γ，故C正确；若α⊥β，α∩β=AB，a⊥AB，由面面垂直的性质定理可得a⊥β故选：A．6．（5分）设变量x，y满足约束条件：，则z=x﹣3y的最小值（）A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣8【解答】解：根据题意，画出可行域与目标函数线如图所示，由图可知目标函数在点（﹣2，2）取最小值﹣8故选：D．7．（5分）直线l过点M（﹣1，2）且与以P（﹣2，﹣3），Q（4，0）为端点的线段PQ相交，则l的斜率的取值范围是（）A．[﹣，5]B．[﹣，0）∪（0，5]C．[﹣，）∪（，5] D．（﹣∞，﹣]∪[5，+∞）【解答】解：如图所示：M（﹣1，2），P（﹣2，﹣3），Q（4，0），由题意得，所求直线l的斜率k满足k PM≤k或k≤k MQ，即k PM≥=5，k MQ≤=﹣，∴k∈（﹣∞，﹣]∪[5，+∞），故选：D．8．（5分）已知数列{a n}的前n项和S n，且S n=n2+n，数列{b n}满足b n=（n ∈N*），T n是数列{b n}的前n项和，则T9等于（）A．B．C．D．【解答】解：当n=1时，a1=S1=1+1=2．∵S n=n2+n，可得当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=n2+n﹣[（n﹣1）2+（n﹣1）]=2n．当n=1时，上式也成立．∴．∴==．∴T n==．∴．故选：D．9．（5分）如图是一个空间几何体的三视图，根据图中尺寸（单位：cm），可知几何体的表面积是（）A．B．C． D．【解答】解：由题意可知三视图复原的几何体是放倒的正三棱柱，正三角形的边长为：2，正三棱柱的高为3，所以正三棱柱的表面积为：2×+3×2×3=18+2cm2．故选：A．10．（5分）已知数列{a n}，若点（n，a n）（n∈N+）在经过点（5，3）的定直线l上，则数列{a n}的前9项和S9=（）A．9 B．10 C．18 D．27【解答】解：∵点（n，a n）（n∈N+）在经过点（5，3）的定直线l上，∴数列{a n}为等差数列，且a5=3，而S9===27，故选：D．11．（5分）正四棱锥（底面为正方形，顶点在底面上的射影是底面的中心）S﹣ABCD的底面边长为2，高为2，E为边BC的中点，动点P在表面上运动，并且总保持PE⊥AC，则动点P的轨迹的周长为（）A．B．C．D．【解答】解：连接AC，BD交于点O，连接SO，则SO⊥平面ABCD由AC⊂平面ABCD，故SO⊥AC取SC中点F和CD中点G，连接GE交AC于H则H为OC的中点，故FH∥SO，则FH⊥AC又由GE∥BD，BD⊥AC得GE⊥AC∵GE∩FH=H，GE，FH⊂平面FGE∴AC⊥平面FGE故当P∈平面FGE时，总有PE⊥AC，故动点P的轨迹即为△FGE的周长又∵正四棱锥S﹣ABCD的底面边长为2，高为2，故SO=2，BD=2则GE=，SB=则FE=FG=故△FGE的周长为故选：D．12．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A，B，C成等差数列，且b=1，则△ABC面积的最大值为（）A．B．C．D．1【解答】解：∵A、B、C成等差数列，A+B+C=π，∴2B=A+C，即B=，∵b=1，cosB=，∴在△ABC中，由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB得：a2+c2﹣ac=1，整理得：1=a2+c2﹣ac≥ac，=acsinB≤，当且仅当a=c时最大值，∴S△ABC则△ABC面积的最大值为．故选：C．二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）直线l1：3x+4y﹣7=0与直线l2：6x+8y+1=0间的距离为．【解答】解：直线l1：3x+4y﹣7=0与直线l2：6x+8y+1=0，化为直线l1：6x+8y﹣14=0，l2：6x+8y+1=0，则l1与l2的距离是=．故答案为：．14．（5分）已知A（3，0），B（0，4），动点P（x，y）在线段AB上移动，则xy的最大值等于3．【解答】解：AB所在直线方程为+=1，∴•≤（+）2=，∴xy≤3，当且仅当=，即x=，y=2时取等号．由题意知，等号成立的条件足备，xy 的最大值等于3故答案为315．（5分）在△ABC中，∠A=60°，AC=1，△ABC的面积为，则BC的长为．【解答】解：由三角形面积公式可知AB•ACsin60°=∴AB=4由余弦定理可知BC==故答案为：16．（5分）棱长为a正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别是棱A1B1，B1C1的中点，点P是棱AB上一点，且AP=，过点P，M，N的平面与直线CD交于一点Q，则PQ的长为．【解答】解：如图，在BC 上取，连接PP 1；则MN ∥PP 1，延长PP 1，则交DC 延长线于Q ； ∴PQ=PP 1+P 1Q=．故答案为：．三、解答题：（本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.17．（10分）已知直线l 的方程为3x +4y ﹣12=0，求直线l'的方程，使得： （1）l'与l 平行，且过点（﹣1，3）；（2）l'与l 垂直，且l'与两轴围成的三角形面积为4． 【解答】解：（1）∵直线l 的方程为3x +4y ﹣12=0 ∴直线l 斜率为﹣ ∵l'与l 平行 ∴直线l'斜率为﹣∴直线l'的方程为y ﹣3=﹣（x +1）即3x +4y ﹣9=0（2）∵l′⊥l ，∴k l′=．设l′在x 轴上截距为b ，则l′在y 轴上截距为﹣b ， 由题意可知，S=|b |•|﹣b |=4，∴b=±．∴直线l′：y=x +，或y=x ﹣．18．（12分）已知函数，在△ABC 中，，且△ABC 的面积为，（1）求C 的值；（2）求sinA+sinB的值．【解答】解：（1）f（x）==由，得，得，∵C∈（0，π），∴∴∴（2）由（1）知，又∵∴∴ab=2由余弦定理得∴a2+b2=5∴a+b=3由正弦定理得…（12分）∴19．（12分）如图，在四凌锥S﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，SA ⊥CD，AB⊥平面SAD，M是SC的中点，且SA=AB=BC=2，AD=1．（1）求证：DM∥平面SAB；（2）求四棱锥S﹣ABCD的体积．【解答】（1）证明：如图，取SB的中点N，连接AN、MN，∵点M是SC的中点，∴MN∥BC，且BC=2MN，∵底面ABCD是直角梯形，AB垂直于AD，AB⊥BC，BC=2，AD=1，∴AD∥BC，且BC=2AD，∴MN∥AD，且MN=AD，∴四边形MNAD是平行四边形，∴DM∥AN，∵DM⊄面SAB，AN⊂面SAB，∴DM∥平面SAB；（2）解：∵AB⊥底面SAD，SA⊂底面SAD，AD⊂底面SAD，∴AB⊥SA，AB⊥AD，∵SA⊥CD，AB、CD是平面ABCD内的两条相交直线，∴侧棱SA⊥底面ABCD，又在四棱锥S﹣ABCD中，侧棱SA⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥AD，SA=AB=BC=2，AD=1，∴．20．（12分）已知数列{a n}的首项为a1=，且2a n+1=a n（n∈N+）．（1）求{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b n=，求{b n}的前n项和T n．【解答】解（1）由于数列{a n}满足a1=，且2a n+1=a n（n∈N+）．所以数列{a n}是首项为，公比为的等比数列．∴a n=×（）n﹣1=（）n．（2）由已知b n==n•2n．∴T n=1×2+2×22+3×23+…+（n﹣1）•2n﹣1+n•2n．∴2T n=1×22+2×23+…+（n﹣2）•2n﹣1+（n﹣1）•2n+n•2n+1∴相减可得﹣T n=1×2+1×22+1×23+…+1×2n﹣1+1×2n﹣n•2n+1=﹣n•2n+1=2n+1﹣2﹣n•2n+1，∴T n=（n﹣1）•2n+1+2．21．（12分）某工厂生产一种仪器的元件，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，根据经验知道，其次品率P与日产量x（万件）之间大体满足关系：．（注：次品率=次品数/生产量，如P=0.1表示每生产10件产品，有1件为次品，其余为合格品）．已知每生产1万件合格的元件可以盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元，故厂方希望定出合适的日产量．（1）试将生产这种仪器的元件每天的盈利额T（万元）表示为日产量x（万件）的函数；（2）当日产量x为多少时，可获得最大利润？【解答】解：（1）当x≥6时，P=，则T=x×2﹣x×1=0．当1≤x＜6时，P=，则T=（1﹣）x×2﹣（）x×1=．综上所述，日盈利额T（万元）与日产量x（万件）的函数关系为：T=．…（6分）（2）由（1）知，当x≥6时，每天的盈利为0．当1≤x＜6时，T（x）==15﹣2[（6﹣x）+]≤15﹣12=3，∴T≤3．当且仅当x=3时，T=3．综上，当日产量为3万件时，可获得最大利润3万元．…（12分）22．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=n﹣5a n﹣85，n∈N+．（1）求a n．（参（2）求数列{S n}的通项公式，并求出n为何值时，S n取得最小值？并说明理由．考数据：lg 2≈0.3，lg 3≈0.48）．【解答】解：（1）∵S n=n﹣5a n﹣85，∴当n=1时，S1=1﹣5a1﹣85，即a1=1﹣5a1﹣85，解得a1=﹣14；当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（n﹣5a n﹣85）﹣[（n﹣1）﹣5a n﹣1﹣85]=﹣5a n+5a n﹣1+1，整理得6a n=5a n﹣1+1，∴6（a n﹣1）=5（a n﹣1﹣1），∴=．又a1﹣1=﹣15，∴数列{a n﹣1}是以﹣15为首项，为公比的等比数列．∴a n=﹣15×（）n﹣1+1；（2）由（1）知，a n=﹣15×（）n﹣1+1，代入S n=n﹣5a n﹣85得，S n=n﹣5[﹣15×（）n﹣1+1]﹣85=n +75×（）n ﹣1﹣90． 设S k 为最小值，则，即有，即，即，可得，即log ≤k ≤log +1，又log ===，lg2≈0.3，lg3≈0.48，∴log ≈14.75．∴14.75≤k ≤15.75．又∵k ∈N +，∴k=15． 即当n=15时，S n 取得最小值．赠送：初中数学几何模型举例【模型四】 几何最值模型： 图形特征：P ABl运用举例：1. △ABC 中，AB =6，AC =8，BC =10，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为AP 的中点，则MF 的最小值为B2.如图，在边长为6的菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，E 为AB 的中点，F 为AC 上一动点，则EF +BF 的最小值为_________。