28.2解直角三角形(1)

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人教版九年级数学下册：28.2解直角三角形的应用(教案)

（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解锐角三角函数的基本概念。锐角三角函数是指在直角三角形中，锐角的正弦、余弦和正切值。它们是解决直角三角形问题的关键，广泛应用于工程测量、建筑设计等领域。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具ห้องสมุดไป่ตู้的案例。这个案例展示了如何利用锐角三角函数测量建筑物的高度，以及它如何帮助我们解决问题。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“解直角三角形在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
-正弦、余弦、正切函数的定义及图形表示；
-锐角三角函数在解直角三角形中的应用，特别是如何根据已知信息求解未知边或角；
-实际问题中的直角三角形求解，如测量物体高度、计算角度等。
举例：在求解直角三角形的问题中，重点在于让学生掌握如何使用正弦、余弦、正切函数，以及如何将实际问题转化为数学模型。
2.教学难点
4.在课堂总结环节，学生对本节课的知识点掌握程度较好，但仍有个别学生存在疑问。我意识到，在课后需要关注这部分学生的辅导，确保他们能够跟上教学进度。
5.本次教学中，我尽量采用生动形象的语言和丰富的教学手段，以提高学生的学习兴趣。但从学生的反馈来看，仍有改进空间。在今后的教学中，我将尝试更多有趣的教学方法，激发学生的学习热情。
人教版九年级数学下册：28.2解直角三角形的应用（教案）
一、教学内容
人教版九年级数学下册：28.2解直角三角形的应用。本节课我们将围绕以下内容进行教学：

人教版九年级下册28.2.1解直角三角形(教案)

3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调勾股定理和三角函数这两个重点。对于难点部分，如三角函数值的变化规律，我会通过举例和图示来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与解直角三角形相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如测量教室中某一物体的高度，演示勾股定理的基本原理。
4.培养学生的空间观念和几何直观，让学生在实际操作中感受直角三角形的边角关系，提高几何图形的认知和运用能力。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解并掌握锐角三角函数的定义和性质，包括正弦、余弦、正切函数在直角三角形中的应用；
-学会运用勾股定理和三角函数解决直角三角形中边长和角度的求解问题；
-能够将解直角三角形的知识应用于实际问题，建立数学模型并解决问题。
c.难点应用：勾股定理在非标准直角三角形中的应用。教师应通过多种类型的题目，如斜边和一直角边长度未知的情况，指导学生如何灵活运用勾股定理求解。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《解直角三角形》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要测量物体高度或距离的情况？”（如测量树的高度）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索解直角三角形的奥秘。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了解直角三角形的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对勾股定理和三角函数的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。

28.2解直角三角形(第1课时)-教学设计

28.2解直角三角形教学设计第1课时一、教学任务分析二、教学流程安排三、教学过程设计教学程序及教学内容师生行为设计意图活动一：复习引入1．在三角形中共有几个元素？2．直角三角形ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 、∠A 、∠B 这五个元素间有哪些等量关系呢？ (1)边角之间关系a bA b aA c bA c a A ====cot ;tan ;cos ;sin b aB abB c aB c b B ====cot ;tan ;cos ;sin(2)三边之间关系a 2 +b 2 =c 2 (勾股定理)(3)锐角之间关系∠A+∠B=90°．3．通过课本中“比萨斜塔”倾斜的问题，引出结直角三角形。

教师引导学生进行锐角三角形相关知识回顾与复习。

要求学生了解解直角三角形的依据，通过复习，使学生便于应用。

活动二：探究新知通过课本中“比萨斜塔”倾斜的问题，引出结直角三角形，详见书本P85页. 进行探究1：（1）在直角三角形中，除直角外的5个元素之间有哪些关系？（2）知道5个元素中的几个，就可以求其余元素？思考与提问：我们已掌握Rt △ABC 的边角关系、三边关系、角角关系，利用这些关系，在知道其中的两个元素(至少有一个是边)后，就可求出其余的元素．这样的导语既可以使学生大概了解解直角三角形的概念，同时又陷入思考，为什么两个已知元素中必有一条边呢？例题1在△ABC 中，∠C 为直角，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，且b=2， a=6，解这个三角形．解 ∵tanA=a b =62=3 ∴ 60B ∠=∴ 9030A B ∠=-∠=∴C=2b=22详见P86-88页，例2，例3，例4；教师提问，学生互动； (1)三边之间关系a 2 +b 2 =c 2 (勾股定理)(2)锐角之间关系∠A+∠B=90°．（3）边角之间的关系如果用α∠表示直角三角形的一个锐角，那上述式子就可以写成.引导学生思考分析完成后，让学生独立完成教师组织学生比较各种方法中哪些较好，选一种板演。

人教版数学九年级下册第28章28.2-解直角三角形及其应用

课堂小结
解直角三角形
依据
勾股定理两锐角互余锐角的三角函数
解法：只要知道五个元素中的两个元素（至少有一个是边），就可以求出余下的三个未知元素
对接中考
对接中考
H
对接中考
A
B
C
对接中考
A
B
C D
对接中考
B
CD
A
对接中考
B
C D
A
课后作业请完成课本后习题第1题.
12 、能者上，庸者下，平者让。谁砸企业的牌子，企业就砸谁的饭碗。 19 、生活中的许多事，并不是我们不能做到，而是我们不相信能够做到。 5 、当你手中抓住一件东西不放时，你只能拥有一件东西，如果你肯放手，你就有机会选择更多。（） 1 、生活是一面镜子。你对它笑，它就对你笑;你对它哭，它也对你哭。 17 、再长的路，一步步也能走完，再短的路，不迈开双脚也无法到达。 17 、忍耐力较诸脑力，尤胜一筹。 15 、如果你不给自己烦恼，别人也永远不可能给你烦恼。因为你自己的内心，你放不下。 19 、你不能左右天气，但可以改变心情。你不能改变容貌，但可以掌握自己。你不能预见明天，但可以珍惜今天。 7 、如果我们投一辈子石块，即使闭着眼睛，也肯定有一次击中成功。 1 、生活是一面镜子。你对它笑，它就对你笑;你对它哭，它也对你哭。 19 、经营信为本，买卖礼当先。心态决定成败，有志者事竟成。 10 、人生有顺境也有逆境，输什么也不能输了心情;人生有进有退，输什么也不要输掉自己。 7 、成功在于好的心态与坚持，心态决定状态，心胸决定格局，眼界决定境界。 7 、喜欢一个人不是回复他每条动态，而是研究下面可疑的评论。 13 、用冷静的目光去看待人世间的一切，才能活得坦荡，活得超然。 6 、人的一生要面临许多选择，而每次选择都会带来一阵阵剧痛，而这种剧痛叫做成长。 12 、天下没有免费的午餐，一切成功都要靠自己的努力去争取。机会需要把握，也需要创造。 6 、大部分人往往对已经失去的机遇捶胸顿足，却对眼前的机遇熟视无睹。 16 、并不是先有了勇气才敢于说话，而是在说话的同时培养了勇气。 13 、不要在你的智慧中夹杂着傲慢，不要使你的谦虚心缺乏智慧。 12 、你希望别人怎样对待自己，你首先应该怎样来对待别人。

28.2.1核心素养【教学设计】《解直角三角形》(人教)

《解直角三角形》教学模式介绍：数学的核心素养包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析．这些数学学科素养既相对独立，又互相交融，是一个有机的整体．核心素养下的教学设计是利用设计好的核心问题在课堂中培养学生的数学核心素质，重视学生在学习活动中的主体地位，让学生在积极参与学习活动的过程中得到发展．教师创设情境设计问题，或通过富有启发性的讲授，或引导学生独立思考、自主探索、合作交流，组织学生操作实验、观察现象、提出猜想、推理论证等，有效地启发学生思考，使学生成为学习的主体，学会学习．课堂教学中，要注重让学生理解和掌握数学的基础知识和基本技能，让学生感悟数学思想，积累数学活动经验，在学习数学和应用数学的过程中，发展数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等数学学科核心素养，让学生能与他人建立良好关系，有效地管理自己的学习、生活，能够发掘自身潜力，战胜学习数学中的困难，让学生能够适应未来社会、进行终身学习，实现全面发展．设计思路说明：1.解直角三角形的关键是找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作辅助线构造直角三角形（作某边上的高是常用的辅助线）；2.一些解直角三角形的问题往往与其他知识联系，所以在复习时要形成知识结构，要把解直角三角形作为一种工具，能在解决各种数学问题时合理运用.教材分析本节主要学习解直角三角形及其在实际问题中的应用。

我们知道，在直角三角形中，勾股定理反映了三边之间的关系，三角形的内角和定理反映了三个角之间的关系，而锐角三角函数反映了边与角之间的关系。

本节利用锐角三角函数，结合勾股定理、三角形内角和定理等知识解直角三角形.通过本节的学习，学生应全面掌握直角三角形中各个元素之间的关系，并能利用这些关系解直角三角形。

教学目标知识与技能：1、使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．2、通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．3、渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．过程与方法：通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．情感态度与价值观：渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．重点难点1．重点：直角三角形的解法．2．难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用．课前准备:多媒体课件教学过程：一、复习旧知、引入新课【引入】我们一起来解决关于比萨斜塔问题。

28.2.1解直角三角形课件(共16张PPT)

c b 20 34.9. sin B sin 35
A
c
b = 20
35°
B
aC
你还有其他方法求出c吗？
【针对练】
如图，从点C测得树的顶角为33º，BC＝20米，则树高AB＝ ________米（用计算器计算，结果精确到0.1米）
【解析】由tanC AB，得
BC
AB=BC·tanC=20×tan33°=13.0 【答案】13.0
C
6
B
AB 2AC 2 2.
合作探究达成目标
【例2】如图，在Rt△ABC中，∠B＝35°，b=20，解这
个直角三角形（精确到0.1）
【解析】A 90-B 90-35 55.
tan B b a
a b 20 28.6 tan B tan 35
sin B b c
B的邻边斜边

a c
tan
A

A的对边 A的邻边

a b
tan
B

B的对边 B的邻边

b a
合作探究达成目标
【例1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC 2, BC 6
解这个直角三角形.
【解析】
tan A BC AC
6 2
3,
A
2
A 60.
B 90 A 30.
总结梳理内化目标
1.解直角三角形的关键是找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作辅助线构造直角三角形（作某边上的高是常用的辅助线）．
2.一些解直角三角形的问题往往与其他知识联系，所以在复习时要形成知识结构，要把解直角三角形作为一种工具，能在解决各种数学问题时合理运用.

28.2.1 解直角三角形教案

28．2.1 解直角三角形本节是在学习锐角三角函数之后，结合已学过的三角形内角和定理和勾股定理，研究解直角三角形的问题，既能加深对锐角三角函数概念的理解，又为后续解决与其相关的实际问题打下基础．解直角三角形是结合三角形内角和定理、勾股定理等知识，利用锐角三角函数对直角三角形的三条边以及两锐角这五个要素进行求解，在解直角三角形时注意借助相应的直角三角形来寻找已知元素与未知元素的关系式．【情景导入】要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角α一般要满足50°≤α≤75°(见教材第85页第10题图)，现有一架长6 m 的梯子．(1)使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙(精确到0.1 m)?(2)当梯子底端距离墙面2.4 m 时，梯子与地面所成的角α等于多少(精确到1°)？这时人是否能够安全使用这架梯子？【说明与建议】说明：用来源于学生身边的问题吸引他们的注意力，激发他们的好奇心，体会解直角三角形来源于生活，并服务于生活，诱发学生对新知识的渴求．建议：教师引导学生思考，为本节课学习解直角三角形做好铺垫．【归纳导入】在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝20°，c ＝10 cm. (1)根据“直角三角形两锐角互余”得∠B ＝70°． (2)由sinA ＝ac ，得a ＝c ·sinA ＝10sin20°cm.(3)由cosA ＝bc，得b ＝c ·cosA ＝10cos20°cm.通过以上填空，Rt △ABC 的三条边长及三个角全部知道了，这种由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形．【说明与建议】说明：通过解答此题说明已知直角三角形的一个锐角，可以求出另一个锐角，选择恰当的边角关系，还可以求出其他的边长．建议：让学生先自主探究，然后交流解题的方法并比较从中选择最合适的方法．命题角度1 在直角三角形中解直角三角形这类题目一般已知一边一角或两边求其他元素．注意以下知识和技巧的总结及运用：理论依据：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c. (1)三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2. (2)锐角之间的关系：∠A ＋∠B ＝90°.(3)边角之间的关系：sinA ＝a c ＝cosB ，cosA ＝b c ＝sinB ，tanA ＝a b ＝1tanB .(4)面积公式：S △ABC ＝12ab ＝12ch(h 为斜边上的高)．提示：当所求的元素既可用乘法又可用除法求解时，一般用乘法，不用除法；既可用已知数据又可用中间数据求解时，最好用已知数据．技巧方法：1.(宜昌中考)如图，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则cos ∠ABC 的值为(B) A.23B.22C.43D.2232．(巴中中考)如图，点A ，B ，C 在边长为1的正方形网格格点上，下列结论错误的是(A)A ．sinB ＝13B ．sinC ＝255C ．tanB ＝12D ．sin 2B ＋sin 2C ＝1命题角度2 构造直角三角形再解直角三角形这类问题一般和三角形或圆的相关知识结合命题，题目没有直接告诉是直角三角形，通过条件或添加辅助线，可以证明或构造直角三角形，再根据解直角三角形的方法解答问题．3．(黑龙江中考)如图，在△ABC 中，sinB ＝13，tanC ＝2，AB ＝3，则AC 的长为(B)A. 2B.52C. 5D ．24．如图，点A ，B 是以CD 为直径的⊙O 上的两点，分别在直径的两侧，其中点A 是CDB ︵的中点．若tan ∠ACB ＝2，AC ＝5，则BC 的长为(D)A. 5B ．2 5C ．1D ．2命题角度3 分类讨论解不定三角形在解直角三角形问题时，如遇到直角或者某个锐角不确定时，特别是在没有给出图形的情况下，要注意分类讨论，防止漏解．5．(内江中考)已知，在△ABC 中，∠A ＝45°，AB ＝42，BC ＝5，则△ABC 的面积为2或14．双直角三角形所谓“双直角三角形”是指一条直角边重合，另一条直角边共线的两个直角三角形．其位置关系有两种：如图1，公共直角边为AD ，则AD ＝BC ·tan α·tan βtan β－tan α，我们把它叫做公式1.图1 图2 如图2，公共直角边为AD ，则AD ＝BC ·tan α·tan βtan β＋tan α，我们把它叫做公式2.课题28.2.1 解直角三角形授课人素养目标1.了解解直角三角形的意义和条件．2．帮助学生理解直角三角形中五个元素(直角除外)的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形.3.发展学生的数学应用意识，提高归纳能力，感受解直角三角形的策略.教学重点解直角三角形的意义以及一般方法.教学难点选择恰当的边角关系解直角三角形.授课类型新授课课时教学步骤师生活动设计意图回顾如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，那么除直角∠C外的两个锐角和三条边之间有如下关系：两锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°.三边之间的关系：a2＋b2＝c2.边角之间的关系：sinA＝ac，cosA＝bc，tanA＝ab.回顾以前所学内容，为本节课的教学内容做好准备.活动一：创设情境、导入新课【课堂引入】意大利比萨斜塔在落成时就已倾斜，其塔顶中心点为B，塔身中心线与垂直中心线的夹角为∠A，过点B向垂直中心线引垂线，垂足为C，如图．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5.2 m，AB＝54.5 m，求∠A的度数．师生活动：教师呈现问题并引导学生结合图形，观察已知条件和所求角之间的关系，分析得到通过求∠A的正弦来求∠A的度数.通过实际问题，激发学生的学习兴趣，把实际问题转化为数学问题，并一般化：已知直角三角形斜边和直角边，求它的锐角的度数，通过求解的过程，初步体会解直角三角形的内涵，引入课题.活动二：实践探究、交流新知【探究新知】1．解直角三角形的定义问题：将比萨斜塔问题推广为一般的数学问题该如何求解？师生活动：已知直角三角形的斜边和一条直角边，求它的锐角的度数，利用锐角的正弦(或余弦)的概念直接求解．问题：在活动一所述的Rt△ABC中，你还能求出其他未知的边和角吗？师生活动：学生思考并说明求解思路，教师把问题一般化，给出解直角三角形的内涵：一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形．2．解直角三角形的方法问题：回想一下，刚才解直角三角形的过程中，用到了哪些知识？你能梳理一下直角三角形各个元素之间的关系吗？师生活动：如图，引导学生结合图形，梳理五个元素(直角除外)之间的关系，学生展示：(1)三边之间的关系：a2＋b2＝c2(勾股定理)．(2)两锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°.(3)边角之间的关系：sinA＝ac，cosA＝bc，tanA＝ab，sinB＝ba，cosB＝ac，tanB＝ba.问题：从上述问题来看，在直角三角形中，知道斜边和一条直角边这两个元素，可以求出其余的三个元素．一般地，已知五个元素(直角除外)中的任意两个元素，可以求其余元素吗？教师给出结论：在直角三角形中，知道除直角外的五个元素中的两个元素(至1.有条理地梳理直角三角形除直角外的五个元素之间的关系，明确各自的作用，便于应用．2．在讨论解直角三角形的方法过程中，明确解直角三角形的条件，培养学生的逻辑思维能力.少有一个是边)，就可以求出其余三个未知元素.活动三：开放训练、体现应用【典型例题】例1(教材第73页例1)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝6，解这个直角三角形．解：AB＝22，∠B＝30°，∠A＝60°.师生活动：学生在教师的引导下，思考如何求出所有未知元素．先让学生找出所有未知元素：∠A，∠B和AB，然后让学生逐一说明求每一个未知元素的方法和依据，教师引导学生选择简便的解题途径．最后给出简洁、规范的解题步骤．例2(教材第73页例2)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，b＝20，解这个直角三角形(结果保留小数点后一位)．解：∠A＝90°－∠B＝90°－35°＝55°.∵tanB＝ba，∴a＝btanB＝20tan35°≈28.6.∵sinB＝bc，∴c＝bsinB＝20sin35°≈34.9.师生活动：由学生代表参照例1的解题思路，分析本题的解题思路；然后由学生独立完成，再小组交流；最后由学生代表展示解题步骤．对于求c，如果学生采取不同方法，让他们展示不同方法；如果学生没有采取不同方法，教师注意引导他们思考其他解法．【变式训练】1．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝3，BC＝2，tanA＝43，则CD的值为(D)1.通过解特殊的直角三角形，训练学生解直角三角形的思路和方法，提高学生分析和解决问题的能力．2．进一步训练解一般直角三角形的思路和方法，并体会从计算简便的角度选用适当的关系式求解．3．变式训练拓展学生思维，同时增强学生对所学知识的灵活应用能力.A ．2 B.45 C.43 D.65提示：延长AD ，BC ，两线交于点O ，得到两个直角三角形，解直角三角形即可． 2．在△ABC 中，若AB ＝10，AC ＝15，∠BAC ＝150°，则△ABC 的面积为(A) A ．37.5 B ．75 C ．100 D ．150提示：过点C 作CD ⊥AB ，交BA 的延长线于点D.在Rt △ADC 中利用特殊角求出高CD ，再计算三角形的面积．3．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，b ＝3，S △ABC ＝923，解这个直角三角形．解：如图：∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，b ＝3，S △ABC ＝923，∴12ab ＝92 3. ∴a ＝3 3.∴tanA ＝a b ＝333＝ 3.∴∠A ＝60°.∴∠B ＝180°－∠A －∠C ＝180°－60°－90°＝30°. ∴c ＝2b ＝6. 活动四：课堂检测【课堂检测】1．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝4，sinA ＝12，则BC 的长为(A)A ．2B ．3 C. 3 D ．2 3通过设置课堂检测，进一步巩固所学新知，同时检测学习效果，做到“堂堂清”.2．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝40°，BC ＝3，则AC ＝(C) A ．3sin40° B ．3sin50° C ．3tan40° D ．3tan50°3．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，斜边中线是3 cm ，sinA ＝13，则S △ABC ＝(D)A. 2 cm 2B ．2 2 cm 2C ．3 2 cm 2D ．4 2 cm 2提示：由中线长可以求出斜边，解直角三角形求出两直角边，再计算三角形面积．4．如图，在△ABC 中，BD ⊥AC 于点D ，AB ＝6，AC ＝53，∠A ＝30°.(1)求BD 和AD 的长． (2)求tanC 的值．解：(1)∵BD ⊥AC ， ∴∠ADB ＝90°.在Rt △ADB 中，AB ＝6，∠A ＝30°， ∴BD ＝12AB ＝3.∴AD ＝BDtanA＝3BD ＝3 3. (2)CD ＝AC －AD ＝53－33＝23，在Rt △BCD 中，tanC ＝BD CD ＝323＝32.学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解. 课堂小结1.课堂总结：(1)什么叫解直角三角形？(2)两个直角三角形全等要具备什么条件？为什么在直角三角形中，已知一边和一个锐角或两边就能解直角三角形呢？教学说明：教师提问并引导学生总结归纳解直角三角形的定义以及直角三角形五元素之间的关系． 2．布置作业：教材第77页习题28.2第1题.引导学生从知识和方法两个方面总结自己的收获，理清解直角三角形的目的、条件、依据、方法，提升综合运用知识的能力.。

人教版初中数学九年级下册 28.2 解直角三角形课件1 【经典初中数学课件】

∠BCA=900, ∠CAB=300
∴BC=AB·sin∠CAB
=14·sin300=14×1/2=7
∴ ∠1=600
∠2=300
北
600
A
M C
1 2 150
B
东
在Rt⊿BCM中，BC=7 ∠CBM=∠2+150=450, ∴∠M=900- ∠CBM=450 ∴ CM=BC=7
B M C2 M B 2 C 7 2 7 2 72
Bα
Dβ
C
A
（三）练一练
如图所示，一渔船上的渔民在A处看见灯塔M在北偏东
60°方向，这艘渔船以28海里/时的速度向正东航行，半
小时至B处，在B处看见灯塔M在北偏东15°方向，此时灯
塔M与渔船的距离是 (
)
A7. 2海里 B. 1海4 里2 C.7海里 D.14海里
解：作BC⊥AM，垂足为C.
在Rt⊿ABC中,AB=28×1/2=14
答：船与灯塔的距离为：7 2 海里
（四）挑战自我
【例 3】某货船以20海里/时的速度将一批重要物资由A 处运往正西方向的B处，经16小时的航行到达，到达后必须立即卸货.此时，接到气象部门通知，一台风中心正以40海里/时的速度由A向北偏西60°方向移动，距台风中心200海里的圆形区域(包括边界)均会受到影响. (1)问：B处是否会受到台风的影响?请说明理由. (2)为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物?(供选用数据：
回顾与思考
1.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC= a,AC=b,AB=c,
则 sinA＝
，sinB=
，cosA=
，
cosB=
， tanA=
， tanB=

人教版数学九年级下册-28.2.1 解直角三角形-教案

28.2.1解直角三角形（第1课时）教学设计一、教材分析本节课内容是新人教版教材九年级下册，第二十八章《锐角三角函数》的第二节《解直角三角形》第一课时，是在学习了勾股定理、锐角三角函数的基础上进行的。

本节课既是前面所学知识的运用，也是高中继续学习三角函数和解斜三角形的重要预备知识。

教材首先从实际生活比萨斜塔入手，创设问题情境，抽象出数学问题，从而引出解直角三角形的概念，归纳解直角三角形的一般方法。

本节课的学习还蕴涵着深刻的数学思想方法：数学建模和转化化归，在本节教学中有针对性的对学生进行这方面的能力培养。

通过本节课的学习，不仅可以巩固勾股定理和锐角三角函数等相关知识，初步获得解直角三角形的方法和经验，而且还让学生进一步体会数学与实际生活的密切联系。

二、教学目标（一）知识与技能1.理解直角三角形中五个元素的关系，什么是解直角三角形；2.运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．（二）过程与方法目标通过探索讨论发现解直角三角形所需的最简条件，了解体会用化归的思想方法将未知问题转化为已知问题去解决，在解决问题的过程中渗透“数学建模”和“转化”思想。

（三）情感、态度和价值观通过学习解直角三角形的应用，认识到数与形相结合的意义和作用，体验到学好知识能应用于社会实践。

并让学生体验到学习是需要付出努力和劳动的。

三、学情分析九年级学生已经牢固掌握了勾股定理，也刚刚学习过锐角三角函数，但锐角三角函数的运用不一定熟练，综合运用所学知识解决问题，将实际问题抽象为数学问题的能力都有待提高，因此要在本节课进行有意识的培养。

四、教学重难点教学重点：正确运用直角三角形中的边角关系解直角三角形教学难点：选择适当的关系式解直角三角形五、教法与学法1、教学方法：利用多媒体辅助教学，通过观察，引导学生思考、讨论，通过归纳、概括等方法启发、诱导，帮助学生理解内容的本质，从而突破教学难点。

2、学习方法：观察、归纳、概括和讨论的学习方法，使他们不仅理解和掌握本节课的内容，而且进一步培养和提高他们各方面的能力，从而逐步由“学会”向“会学”迈进。

28.2解直角三角形应用(一)教学设计

例2在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且b= 20 =35 ，解这个三角形（精确到0.1）．
解直角三角形的方法很多，灵活多样，学生完全可以自己解决，但例题具有示范作用．因此，此题在处理时，首先，应让学生独立完成，培养其分析问题、解决问题能力，同时渗透数形结合的思想．其次，教师组织学生比较各种方法中哪些较好，选一种板演．
在△ABC中，∠C为直角，AC=6，的平分线AD=4 ，解此直角三角形。
解直角三角形是解实际应用题的基础，因此必须使学生熟练掌握．为此，教材配备了练习针对各种条件，使学生熟练解直角三角形，并培养学生运算能力．
(四)总结与扩展
请学生小结：1在直角三角形中，除直角外还有五个元素，知道两个元素(至少有一个是边)，就可以求出另三个元素．
完成之后引导学生小结“已知一边一角，如何解直角三角形？”
答：先求另外一角，然后选取恰当的函数关系式求另两边．计算时，利用所求的量如不比原始数据简便的话，最好用题中原始数据计算，这样误差小些，也比较可靠，防止第一步错导致一错到底．
例3在Rt△ABC中，a=104.0，b=20.49，解这个三角形．
(三)巩固练习
2解决问题要结合图形。
作业
设计
必做
教科书P92：1、2
选做
练习册
教
学
反
思
态度
价值观
渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．
教学重点
直角三角形的解法．
教学难点
三角函数在解直角三角形中的灵活运用．
教学准备
教师
多媒体课件
学生
“预习课文、学习袋、学习用具”
课堂教学程序设计
设计意图

人教版九年级数学下册：28.2.1《解直角三角形》说课稿3

人教版九年级数学下册： 28.2.1 《解直角三角形》说课稿3一. 教材分析《人教版九年级数学下册》第28章第2节《解直角三角形》是整个初中数学的重要内容之一。

本节课主要介绍了解直角三角形的知识和方法，通过学习，学生能够掌握直角三角形的性质，学会使用锐角三角函数解直角三角形。

教材从实际问题出发，引导学生探索直角三角形的边角关系，培养学生的动手操作能力和解决实际问题的能力。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了初中阶段的基本数学知识，对函数、勾股定理等概念有了一定的了解。

但是，对于如何将实际问题转化为数学问题，以及如何运用所学知识解决实际问题，部分学生还存在一定的困难。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习需求，引导学生将实际问题与数学知识相结合，提高学生解决实际问题的能力。

三. 说教学目标1.知识与技能：让学生掌握直角三角形的性质，学会使用锐角三角函数解直角三角形。

2.过程与方法：通过观察、操作、探索，培养学生解决实际问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作精神。

四. 说教学重难点1.教学重点：直角三角形的性质，锐角三角函数在解直角三角形中的应用。

2.教学难点：如何将实际问题转化为数学问题，以及如何运用所学知识解决实际问题。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法、小组合作学习法等。

2.教学手段：多媒体课件、黑板、几何画板等。

六. 说教学过程1.导入新课：通过展示实际问题，引导学生思考如何解决这些问题，从而引出本节课的主题。

2.自主学习：让学生通过观察、操作、探索，掌握直角三角形的性质，学会使用锐角三角函数解直角三角形。

3.合作交流：学生分组讨论，分享各自的学习心得，解决学习中遇到的问题。

4.教师讲解：针对学生的讨论情况进行讲解，解答学生心中的疑问。

5.巩固练习：布置适量的练习题，让学生巩固所学知识。

6.总结拓展：对本节课的知识进行总结，引导学生思考如何将所学知识应用于实际问题。

人教版九年级数学下册：28.2解直角三角形的应用优秀教学案例

（二）讲授新知
在导入新课后，我开始讲授解直角三角形的相关知识。首先，我讲解直角三角形的定义和性质，让学生理解直角三角形的特殊地位。接着，我引入勾股定理，并通过几何图形和实例讲解勾股定理的应用。最后，我讲解如何利用三角函数解决直角三角形的问题。在讲授过程中，我注重与学生的互动，提问和引导学生思考，确保学生能够理解和掌握解直角三角形的知识。
问题导向是本节课的重要教学策略。在教学过程中，教师应提出一系列与解直角三角形相关的问题，引导学生思考和探索。例如，可以提出“如何利用勾股定理计算直角三角形的边长？”“在实际问题中，如何确定直角三角形的各个角度？”等问题。通过问题导向，激发学生的思维，培养学生解决问题的能力。
（三）小组合作
小组合作是本节课的重要教学组织形式。教师可以将学生分成若干小组，让学生在小组内进行讨论、交流和合作。例如，可以设计一个小组活动，让学生共同解决一个关于直角三角形的实际问题。通过小组合作，培养学生的合作意识和团队精神，提高学生的实践能力。
五、案例亮点
1.贴近生活实际：本案例以实际问题为背景，让学生在解决问题的过程中自然引入解直角三角形的知识和方法。这种贴近生活实际的教学方式能够激发学生的学习兴趣，使学生感受到数学与生活的紧密联系，从而提高学习的积极性和主动性。
2.问题导向：本案例通过提出一系列与解直角三角形相关的问题，引导学生思考和探索。问题导向的教学策略能够激发学生的思维，培养学生解决问题的能力。在解决问题的过程中，学生能够深入理解和掌握解直角三角形的知识和方法。
在教学过程中，我发现许多学生在学习这一章节时，往往对直角三角形的理解不够深入，无法将理论知识与实际问题相结合。因此，我设计了本节教学案例，以帮助学生更好地理解和应用解直角三角形的知识。
本案例以一个实际问题为切入点，让学生在解决问题的过程中，自然而然地引入解直角三角形的概念和方法。通过案例的引导和学生的积极参与，使学生能够掌握解直角三角形的技巧，提高解决问题的能力。同时，本案例还注重培养学生的合作意识和创新精神，使他们在解决实际问题的过程中，能够灵活运用所学知识，提高自己的综合素质。

28.2 解直角三角形课件 (新人教版九年级下)

A
30°
60°
B
12
D
F
解：由点A作BD的垂线
交BD的延长线于点F，垂足为F， ∠AFD=90° 由题意图示可知∠DAF=30°
设DF= x , AD=2x 则在Rt△ADF中，根据勾股定理
60°
B D F 30°
A
AF AD DF
2 2
2x
2
x 2 3x
在Rt△ABF中，
PC sin B PB PC 72.8 72.8 PB 130.23 sin B sin 34 0.559
B
当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，它距离灯塔P大约130.23海里．
气象台发布的卫星云图显示，代号为W的台风在某海岛（设为点O）的南偏东45°方向的B点生成，测得 OB 100 6km ．台风中心从点B以40km/h的速度向正北方向移动，经5h后到达海面上的点C处．因受气旋影响，台风中心从点C开始以30km/h 的速度向北偏西60°方向继续移动．以O为原点建立如图12所示的直角坐标系．（1）台风中心生成点B的坐标为，台风中心转折点C的坐标为；（结果保留根号）（2）已知距台风中心20km的范围内均会受到台风的侵袭．如果某城市（设为A点）位于点O的正北方向且处于台风中心的移动路线上，那么台风从生成到最初侵袭该城要经过多长时间？北
北 30° A
西
O 45°
东
B
南
例1 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东 34°方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远（精确到0.01海里）？

《28.2.2 解直角三角形的应用——测量问题》视频实录+课件+教案+反思+教学素材

解直角三角形的应用（1）--- 测量问题
一、预习导学（二）活动1：如图（1）所示，为了测量一池塘的宽度 DE，在岸边找到一点C，测得CD=30m,在DC的延长线上找一点A，测得AC= 5m，过点A作AB∥DE交EC的延则池塘的宽度DE为（ A ）长线于B，测得AB=4m ，
30m 28m D、 A、 24m B、 26m C、
3、从高出海平面55cm的灯塔处收到一艘帆船的求助信号，从灯塔看帆船的俯角为 210，帆船距灯塔有多远（结果保留三角函数）？
根据题意，请你先画出它的平面示意图 A 解：∵∠B=210，∠C=900 0
21
55
AC tan B BC
55 BC AC tan B 0 tan 21
补：（2）如图： DE∥BC，AD=2,DB=1
A 2 D 3 1 ? B
E
E
√? 30
D
C
CA 5√ 4
图（1） B
4.5 DE=3,则 BC=___ 注：在测量中，相似法 ______ 是一种常用的方法之一.
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（三）活动2： ∠1 ∠2 COA BOA ；俯角是 1、如图（2），仰角是 ____ ____.
在Rt 解： BDA中，
?
AB tanBDA= AD AD AB tan BDA 3 又在Rt CDA 中， AC tan CDA AD AC 3 ta资源请到新世纪教 BC AC 3 3 3( m) 育网AB -
4、如图（7）是某货物站传送货物的平面示 E 意图，为了提高传送过程的安全性，工人师 91 傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45° E 改为30°. 已知原传送带AB长4米. 图（8） 1）求新传送带AC的长度； A 2）如果需要在货物着地点C的左侧留出2米的通道，试判断距离B点4米的货物MNQP N Q ？ 4 是否需要挪走，并说明理由.

28.2解直角三角形(一)

28.2解直角三角形（一）知识点总结：知识点1.解直角三角形的概念：一般地，直角三角形中，除直角外，共有5个元素，即3条边和2个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形。

知识点2.解直角三角形的理论依据：（1）在ABC t R ∆中，∠C=90°ACBcb a（1）两锐角互余：∠A+∠B=90°（2）三边关系——勾股定理：222c b a =+，变式⎪⎩⎪⎨⎧-=+=2222bc a ba c （3）边、角关系——锐角三角函数：a sin =c A =对边斜边 b cos ==c A 邻边斜边 at a n ==b A 对边邻边 b sin ==c B 对边邻边 a cos ==c B 邻边斜边 b tan ==a B 对边斜边（4）直角三角形中的有关定理：①直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。

②直角三角中，300角所对的直角边等于斜边的一半。

③直角三角形中，若有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于300.④直角三角形中，斜边上的高是这条高分斜边所得两条线段的比例中项。

⑤面积公式：ab ch s==22。

知识点3.解决直角三角形的基本类型以及其解法：解直角三角形有四种类型：（1）已知斜边和一个直角边；（2）已知两条直角边（3）已知斜边和一个锐角（4）已知一个直角边和一个锐角应注意以下原则：（1）“先求角后求边，宁乘不除”的原则（2）有“斜”选“弦”，无“斜”选“切”。

（3）尽量使未知元素在分子的位置上，以便利用乘法运算求未知元素。

（4）尽量使用原始数据：以减少误差的积累，也可避免由于中间数据有错而产生新的误差。

知识点4.直角三角形中有斜边高线：在ABC t R ∆中，∠C=90°，AB CD ⊥，则∠1=∠B ，∠2=∠A 。

ACD t R ∆∽CBD Rt ∆∽ABC Rt ∆。

CA D B1 2由相似得对应边成比例，可得到：.AB BD BC ;AB AD AC ;DB AD CD 222⋅=⋅=⋅=由面积公式，得AB CD BC AC ⋅=⋅知识点5. 等腰三角形、斜三角形、梯形等可化为直角三角形的图形。

解直角三角形教学设计

教学设计（修改稿）时间：年月日星期课题：28.2.解直角三角形（一）第课时一．教学目标1.使学生理解解直角三角形中五个元素的关系，什么是解直角三角形。

2．会运用勾股定理，直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形。

3.通过综合运用勾股定理，直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题，解决问题的能力。

二．教学重点：理解并掌握直角三角形边角之间的关系。

三．教学难点：从条件出发，正确选用适当的边角关系解题。

四．教学方法：引导探究，讨论交流五．教学准备：六．教学过程：教学步骤师生活动设计意图一、复习引入教师提出问题，引起学生思考，然后小组内讨论，回答。

在直角三角形中，共有三条边、三个角（六个元素），你能根据所学的知识谈谈它们之间的关系吗？回顾复习直角三角形中边与边、角与角、边与角之间的关系二、回顾汇总1、在一个三角形中，共有几条边？几个角？（引出“元素”这个词语）2、在RtΔABC中，∠C=90°。

a、b、c、∠A、∠B这些元素间有哪些等量关系呢？教师提出问题，引导提示学生思考总结（引问：边与边、角与角、边与角之间的关系）教师根据学生的回答归纳。

在直角三角形中：1.三边之间关系：a2+b2=c2(勾股定理)2.锐角之间关系：∠A+∠B=90°3.边角之间关系：正弦函数：sinA= cosB=a/c余弦函数：cosA= sinB=b/c回顾复习汇总，为解直角三角形打下基础正切函数：tanA= a/btanB= b/a三、新知探索探究：在RT△ABC中，∠ C=90°（1）若∠A=35°，AB=10，你能求出这个直角三角形中的其他元素吗？（2）若AB=10，BC=5，你能求出这个直角三角形中的其他元素吗？（3）若∠A=35°∠B=55°，你能求出这个直角三角形中的其他元素吗？（4）在直角三角形中知道几个元素就可以求出其他元素？（只讨论方法，不解出结果）1.教师提出问题，引导学生思考分析，并简要讲评。

28.2 解直角三角形(1)

c
B
a
C
A
3. 如图,太阳光与地面成60度角,一棵倾斜的大树 AB与地面成30度角,这时测得大树在地面上的影长为10m,请你求出大树的高.
AB的长
A
太阳光线
30°
60°
B
30
C
D
地面
2.一根4米长的竹竿斜靠在墙上， ①如果竹竿与地面成60°角,那么竹竿下端离墙脚多远？② 如果竹竿上端顺墙下滑到高度2.3米处停止，那么此时竹竿与地面所成锐角的大小是多少？
反思评价
1、楼梯加长了多少
某学校准备改善原有楼梯的安全性能 ,把倾角由原来的450减至300,已知原楼梯的长度为4m,调整后的楼梯会加长多少?楼梯多占多长一段地面?(结果精确到0.01m).
B
A
D
┌ C
如图所示，在高楼前点测得楼顶的仰角为30 楼前进60米到点，又测得仰角为45 度大约为（）
解: ① sin60°=
3 AC=4 ×sin60°=4 × 2 2 3
AC AC AB 4
B′C 2.3 ②sin∠BAC= A′B′ 4
尝试中考
如图，在△ABC中，已知AC=6， ∠ C=75°，∠B=45°， D 求:AB的长；
450
B A
点睛：添加辅助线，“化斜为直”是我们
常用的一种方法。
c c b
（2）知道5个元素中的几个，就可以求其余元素？
已知斜边和一锐角，求直角三角形的其他元素；已知一条直角边和斜边，求直角三角形的其他元素 .
定义：在直角三角形中，除直角外，已知两个元素（其中至少一个是边），求其他元素的过程叫做解直角三角形. 类型：
已知斜边和一直角边；已知斜边和一锐角；

28.2解直角三角形(坡度问题)

——坡度问题
1、会运用解直角三角形有关知识解决与坡角、坡度有关的实际问题；
1.坡度与坡角
h 坡度一般用i来表示，即 i l ,一般写成
(1)坡面的铅直高度h 和水平宽度 l的比叫做坡度
i=1:m,如i=1:5
(2)坡面与水平面的夹角叫坡角 2.坡度与坡角的关系
h i tan l
(2012内江)如图，水利部门为加强防汛工作，决定对某
水库大坝进行加固，大坝的横截面是梯形，已知迎水坡 B 600 ,背水坡面CD的长为 16 3 面AB的长为16米，米，加固后大坝的横截面积为梯形ABED,CE的长为8米。（1）已知需加固的大坝长为150米，求需要填土石方多少立方米？（2）求加固后的大坝背水坡面DE的坡度。

显然，坡度越大，坡角就越大，坡面就越陡.α NhomakorabeaL
h
1、斜坡的坡比是1:1 ，则坡角α=______ 度。 45°
1： 3 。 2、斜坡的坡角是300 ，则坡比是 _______ 3:4 。 3、斜坡长是10米,坡高6米，则坡比是_______
4、传送带和地面所成的斜坡的坡比为1：2，把物体从地面送到离地面3米高的地方，则物体通过的路 3 5 米。程为 _______