2019届高三数学一轮复习课件(文数) 第七章不等式及推理与证明7-4
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人教A版高考总复习一轮文科数学精品课件 第7章不等式、推理与证明 第4节 直接证明与间接证明 (2)
+2ak+1+1=akak+2+ak+ak+2+1,
即12 q2k+2a1qk=a1qk-1·
a1qk+1+a1qk-1+a1qk+1,
∵a1≠0,
∴2qk=qk-1+qk+1.∵q≠0,∴q2-2q+1=0,∴q=1,这与已知矛盾.
∴假设不成立,故{an+1}不是等比数列.
突破技巧反证法证明问题的一般步骤
(2)a2b+b2a≤2.
证明:(1)(a+b)(a3+b3)=a4+ab3+ba3+b4≥a4+2 3 ·3 +b4
=a4+2a2b2+b4=(a2+b2)2=4,当且仅当a=b=1时取等号.
(2)由题意可知,2=a2+b2≥2ab>0,
∴0<ab≤1(当且仅当a=b=1时取等号).①
个方程有实根.
本 课 结 束
由基本不等式易得
+ 2
2
≤
2 + 2
,∴(a+b)2≤2(a2+b2)=4,
2
∴0<a+b≤2(当且仅当a=b=1时取等号).②
①×②可得a2b+b2a≤2.
解题心得1.综合法是“由因导果”的证明方法,它是一种从已知到未知(从题
设到结论)的逻辑推理方法,即从题设中的已知条件或已证的真实判断(命
2.证明较复杂的问题时,可以采用两头凑的办法,即通过分析法找出某个结
论等价(或充分)的中间结论,然后通过综合法由条件证明这个中间结论,从
即12 q2k+2a1qk=a1qk-1·
a1qk+1+a1qk-1+a1qk+1,
∵a1≠0,
∴2qk=qk-1+qk+1.∵q≠0,∴q2-2q+1=0,∴q=1,这与已知矛盾.
∴假设不成立,故{an+1}不是等比数列.
突破技巧反证法证明问题的一般步骤
(2)a2b+b2a≤2.
证明:(1)(a+b)(a3+b3)=a4+ab3+ba3+b4≥a4+2 3 ·3 +b4
=a4+2a2b2+b4=(a2+b2)2=4,当且仅当a=b=1时取等号.
(2)由题意可知,2=a2+b2≥2ab>0,
∴0<ab≤1(当且仅当a=b=1时取等号).①
个方程有实根.
本 课 结 束
由基本不等式易得
+ 2
2
≤
2 + 2
,∴(a+b)2≤2(a2+b2)=4,
2
∴0<a+b≤2(当且仅当a=b=1时取等号).②
①×②可得a2b+b2a≤2.
解题心得1.综合法是“由因导果”的证明方法,它是一种从已知到未知(从题
设到结论)的逻辑推理方法,即从题设中的已知条件或已证的真实判断(命
2.证明较复杂的问题时,可以采用两头凑的办法,即通过分析法找出某个结
论等价(或充分)的中间结论,然后通过综合法由条件证明这个中间结论,从
2019届高考数学(文科)一轮复习课件(人教A版)第七章 不等式、推理与证明 7.2
������+������ 2 ,要弄清它们的作用、使用 2
条件及内在联系,两个公式也体现了 ab 和 a+b 的转化关系.
3.在利用不等式求最值时,一定要尽量避免多次使用基本不等式. 若必须多次使用,则一定要保证它们等号成立的条件一致.
-11考点1 考点2 考点3
考点 1
利用基本不等式证明不等式
-13考点1 考点2 考点3
(2)∵a+b=1,
1 1 1 1 1 ∴������ + ������ + ������������=2 ������ + ������
.
∵a+b=1,a>0,b>0,
������+������ ������+������ ������ ������ + =2+ + ������ ������ ������ ������ 1 ≥2+2=4 当且仅当������ = ������ = 2 时,等号成立 1 1 1 ∴������ + ������ + ������������≥8 1 当且仅当������ = ������ = 2 时,等号成立 .
关闭
30
������
≥4×2 900 =240,当且仅当 x=
900 ������
,即 x=30 时等号成立 .
解析
答案
-10知识梳理 双基自测 自测点评
1.应用基本不等式求最值要注意:“一正、二定、三相等”,可能 忽略某个条件,就会出错.
2.对于公式 a+b≥2 ������������,ab≤
思考利用基本不等式证明不等式的方法技巧有哪些?
-12考点1 考点2 考点3
高中数学一轮复习课件：第七章 不等式、推理与证明(必修5、选修1-2)7-4
2．数列 2,5,11,20，x,47，…中的 x 等于( ) A．28 B．32 C．33 D．27
[解析] 从第 2 项起每一项与前一项的差构成公差为 3 的等 差数列，所以 x＝20＋12＝32.故选 B.
[答案] B
3．(选修 1－2P30 练习 T1 改编)已知数列{an}中，a1＝1，n≥2 时，an＝an－1＋2n－1，依次计算 a2，a3，a4 后，猜想 an 的表达式 是( )
[对点训练] 1．(2019·山东日照模拟)对于实数 x，[x]表示不超过 x 的最大 整数，观察下列等式： [ 1 ]＋[ 2 ]＋[ 3 ]＝3； [ 4 ]＋[ 5 ]＋[ 6 ]＋[ 7 ]＋[ 8 ]＝10； [ 9 ]＋[ 10 ]＋[ 11 ]＋[ 12 ]＋[ 13 ]＋[ 14 ]＋[ 15 ] ＝21； … 按照此规律第 n 个等式的等号右边的结果为________．
主干知识梳理 Z
主干梳理 精要归纳
1．合情推理
[知识梳理]
2.演绎推理 (1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论， 我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到 特殊 的推理． (2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括： ①大前提——已知的一般原理； ②小前提——所研究的特殊情况； ③结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断．
[解析] 根据题图(1)所示的分形规律，可知 1 个白圈分形为 2
个白圈 1 个黑圈，1 个黑圈分形为 1 个白圈 2 个黑圈，把题图(2)
中的树形图的第 1 行记为(1,0)，第 2 行记为(2,1)，第 3 行记为(5,4)，
第 4 行的白圈数为 2×5＋4＝14，黑圈数为 5＋2×4＝13，所以第
高考数学(理)一轮总复习课件：第七章 不等式及推理与证明 7-4
5 【解析】 x∈(0， )时，t∈(－5，0)． 4 1 1 y＝t＋ ＋3，y′＝1－ 2. t t 令y′＝0，得t＝－1.t∈(－5，－1)时，y′>0. t∈(－1，0)时，y′＜0.∴t＝－1时，ymax＝1. 【答案】 1
微专题3：常数代换法求最值 8 1 (1)已知正数x，y满足 ＋ ＝1，则 x y ①xy的最小值为________； ②x＋2y的最小值为________．
(3)a2＋b2≥2|ab|.
1 (4)x＋ ≥2. x
利用基本不等式求最大、最小值问题 (1)如果 x，y∈(0，＋∞)，且 xy＝p(定值)，
x＝y 时，x＋ y 有最小值_____． 那么当______
(2)如果 x，y∈(0，＋∞)，且 x＋y＝S(定值)，
x＝y 时，xy 有最大值_____． 那么当______
答案 解析 D ∵x＋4y＝40，且 x>0， y>0，
) B．10 D．2
∴x＋4y≥2 x· 4y＝4 xy.(当且仅当 x＝4y 时取“＝ ”)， ∴4 xy ≤40.∴xy≤100. ∴lgx＋lgy＝lgxy≤lg100＝2.
4．若 x＋2y＝4，则 2x＋4 y 的最小值是( A．4 C．2 2
1．判断下面结论是否正确(打“√”或“×”)． 1 (1)函数 y＝x＋ x的最小值是 2. 4 π (2)函数 f(x)＝cosx＋ cosx，x∈(0，2)的最小值等于 4. x y (3)“x>0 且 y>0”是“ y＋x≥2”的充要条件．
1 (4)若 a>0，则 a ＋a2的最小值为 2 a.
1 当且仅当 5－4x＝ ，即 x＝1 时，上式等号成立． 5－4x 故当 x＝1 时， ymax＝1. ③当 x≥2 时， y＝4x－2＋ 1 为增函数， 4x－5
微专题3：常数代换法求最值 8 1 (1)已知正数x，y满足 ＋ ＝1，则 x y ①xy的最小值为________； ②x＋2y的最小值为________．
(3)a2＋b2≥2|ab|.
1 (4)x＋ ≥2. x
利用基本不等式求最大、最小值问题 (1)如果 x，y∈(0，＋∞)，且 xy＝p(定值)，
x＝y 时，x＋ y 有最小值_____． 那么当______
(2)如果 x，y∈(0，＋∞)，且 x＋y＝S(定值)，
x＝y 时，xy 有最大值_____． 那么当______
答案 解析 D ∵x＋4y＝40，且 x>0， y>0，
) B．10 D．2
∴x＋4y≥2 x· 4y＝4 xy.(当且仅当 x＝4y 时取“＝ ”)， ∴4 xy ≤40.∴xy≤100. ∴lgx＋lgy＝lgxy≤lg100＝2.
4．若 x＋2y＝4，则 2x＋4 y 的最小值是( A．4 C．2 2
1．判断下面结论是否正确(打“√”或“×”)． 1 (1)函数 y＝x＋ x的最小值是 2. 4 π (2)函数 f(x)＝cosx＋ cosx，x∈(0，2)的最小值等于 4. x y (3)“x>0 且 y>0”是“ y＋x≥2”的充要条件．
1 (4)若 a>0，则 a ＋a2的最小值为 2 a.
1 当且仅当 5－4x＝ ，即 x＝1 时，上式等号成立． 5－4x 故当 x＝1 时， ymax＝1. ③当 x≥2 时， y＝4x－2＋ 1 为增函数， 4x－5
(福建专用)2019高考数学一轮复习-第七章 不等式、推理与证明 7.2 基本不等式及其应用课件 理
考点1
考点2
考点3
(2)∵a+b=1,
1
1
1
∴ + + =2
1
+
1
.
∵a+b=1,a>0,b>0,
1
1
+
1
1
∴ + =
1
+
+
1
=2+ + ≥2+2=4,当且仅当 a=b=2时,等号成立.
1
∴ + + ≥8,当且仅当 a=b=2时,等号成立.
考点1
意等号能否取到.
考点1
考点2
考点3
对点训练 1 已知 a>0,b>0,a+b=1,求证: 1 +
1
1+
=2+ .
+
证明: (方法一)∵a>0,b>0,a+b=1,∴1+ =1+
1
1
1
≥9.
同理,1+ =2+ .
1
1
∴ 1+
1+ = 2+
当且仅当 = ,
1
即 a=b=2时,等号成立.
2 = 22 ,
1
4 = ,
即
2 =
2 =
2
2
2
,
时取等号.
4
(2)因为 x>2,所以 x-2>0.
1
1
1
高三数学一轮复习 第七章 不等式、推理与证明 7.2 基本不等式及其应用
∴ 1 + 1 1 + 1 = 2 + ������ 2 + ������
������
������
������
������
=5+2
������ + ������
������ ������
≥5+4=9,
当且仅当������
������
=
������������ ,
即 a=b=12时,等号成立.
∴ 1+1
考点1
考点2
考点3
考点 2 利用基本不等式求最值(多考向)
考向一 求不含等式条件的函数最值
例2(1)下列命题正确的是( )
A.函数 y=x+1的最小值为 2
������
B.函数
y=
������2+3 的最小值为
������ 2+2
2
C.函数 y=2-x-���4���(x>0)的最大值为-2
D.函数 y=2-x-4(x>0)的最小值为-2
+
������ ������
≥2+2=4
当且仅当������
= ������
=
1 2
时,等号成立
.
∴1
������
+
1 ������
+
���1���������≥8
当且仅当������
=
������
=
1 2
时,等号成立
.
考点1
考点2
考点3
-15-
解题心得利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一 种情况,要从整体上把握运用基本不等式,对不满足使用基本不等 式条件的可通过“变形”来转换,常见的变形技巧有:拆项,并项,也可 乘上一个数或加上一个数,“1”的代换法等.
2019届高考数学一轮复习 第七章 不等式 推理与证明 7-4 基本不等式及其应用讲义 文
4．已知 a≥0，b≥0，且 a＋b＝2，则( )
A．ab≤12
B．ab≥12
C．a2＋b2≥2 D．a2＋b2≤3
[解析] 由 a＋b＝2 得，ab≤a＋2 b2＝1，排除 A. 当 a＝0，b＝2，ab＝0 排除 B. 又a2＋2 b2≥a＋2 b2，可得 a2＋b2≥2. 再由特殊值，排除 D.
(2)在求所列函数的最值时，若用基本不等式时，等号取不到， 可利用函数单调性求解．
[跟踪演练] (2017·安徽安庆三模)随着社会的发展，汽车逐步成为人们的 代步工具，家庭轿车的持有量逐年上升，交通堵塞现象时有发生， 据调查某段公路在某时段内的车流量 y(千辆/时)与汽车的平均速 度 v(千米/时)之间有函数关系：y＝v2＋89v0＋0v1600(v>0)． (1)在该时段内，当汽车的平均速度 v 为多少时车流量 y 最 大？最大车流量约为多少？(结果保留两位小数) (2)为保证在该时段内车流量至少为 10 千辆/时，则汽车的平 均速度应控制在什么范围内？
利用均值 不等式证明
[证明] 由 a＋b＝1，得1a＋1b＋a1b＝21a＋1b， ∵a＋b＝1，a>0，b>0， ∴1a＋1b＝a＋a b＋a＋b b＝2＋ab＋ba≥2＋2＝4， ∴1a＋1b＋a1b≥8当且仅当a＝b＝12时等号成立.
利用基本不等式证明不等式的技巧 利用基本不等式证明不等式时，首先要观察题中要证明的不 等式的形式，若不能直接使用基本不等式，则考虑利用拆项、配 凑等方法对不等式进行变形，使之达到能使用基本不等式的条 件；若题目中还有已知条件，则首先观察已知条件和所证不等式 之间的联系，当已知条件中含有 1 时，要注意 1 的代换．另外， 解题中要时刻注意等号能否取到．
此时 m＝12x＋34＋5x0≥2 2x·5x0＋34＝443， 当且仅当12x＝5x0，即 x＝10 时，取“＝”． 故销售量至少应达到443万件时，才能使技术革新后的销售收 入等于原销售收入与总投入之和．
2019高三数学(文)一轮复习课件：第七章 不等式 推理与证明 7-4
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
[解析] 由 a>b>0 得，a2＋b2>2ab；但由 a2＋b2>2ab 不能得 a2＋b2 到 a>b>0，故“a>b>0”是“ab< ”的充分不必要条件，故选 2 A.
[答案]
A
2 ． (2017· 山西大学附中模拟 ) 已知 a ， b ∈ R＋ 且 a≠b ， x ＝ a＋ b ，y＝ a＋b，则 x，y 的大小关系是( 2 A．x<y C．x＝y B．x>y D．视 a，b 的值而定 )
第 七 章
不等式
推理与证明
第四节
基本不等式及其应用
高考概览 1.了解基本不等式的证明过程； 2.会用基本不等式解决简单的 最大(小)值问题.
吃透教材 夯双基
填一填 记一记 厚积薄发
[知识梳理] a＋b 1．基本不等式 ab≤ 2 (1)基本不等式成立的条件：a，b∈R＋. (2)等号成立的条件：当且仅当
再由特殊值，排除 D.
[答案] C
5 5．设 0<x<2，则函数 y＝4x(5－2x)的最大值为________．
[解析] 5 因为 0<x< ，所以 5－2x>0， 2
所以 y＝4x(5－2x)＝2×2x(5－2x)
2x＋5－2x 2 25 ≤2 ＝ 2 ，当且仅当 2
5 2x＝5－2x，即 x＝ 时等号 4
5 2
.
(2)不等号方向：当在分母中使用基本不等式或式子前有负号 时，注意不等号方向的改变． x 如：①若 x>0，则 y＝ 2 有最 x ＋x＋4 ②函数
4 2 y＝－x ＋x2有最
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【解】
5 ①∵x<4，∴5－4x>0.
1 1 ∴ y ＝4x － 2 ＋ ＝－ 5－4x＋5－4x ＋ 3≤ － 2 ＋ 3 ＝ 1. 当 4x－5
1 且仅当 5－4x＝ ，即 x＝1 时，上式等号成立． 5－4x 故当 x＝1 时，ymax＝1. 5 ②∵x>4，∴4x－5>0. 1 1 y＝4x－2＋ ＝4x－5＋ ＋3≥2＋3＝5. 4x－5 4x－5
【解析】 2 因为 0<x<5，所以 5x>0，2－5x>0，
1 1 5x＋（2－5x） 2 1 则 f(x)＝x(2－5x)＝5·5x·(2－5x)≤5[ ] ＝5， 2 当且仅当 5x＝2－5x， 1 1 即 x＝5时，等号成立，此时 f(x)取得最大值5. 【答案】 1 5
答案 解析
D 2 1 方法一：∵a>0，b>0，且 2a＋b＝ab，∴b＋a ＝1. 2b 2a a· b ＝9，当
2 1 2b 2a 则 a＋2b＝(a＋2b)(b＋a )＝5＋ a ＋ b ≥5＋2 且仅当 b＝3，a＝3 时等号成立，其最小值为 9.
b 方法二：∵a>0，b>0，且 2a＋b＝ab，∴a＝ >0，解得 b－2 b 2 b>2，则 a＋2b＝ ＋2b＝1＋ ＋2(b－2)＋4≥9. b－2 b－2
600 3 600 y＝ x ·6＋4x＝ x ＋4x≥2
3 600 当且仅当 x ＝4x，即 x＝30 时，y 取最小值．
授 人 以 渔
题型一
利用基本不等式求最值(微专题) 微专题1： 拼凑法求最值
1 (1)在下列条件下，求y＝4x－2＋ 的最值． 4x－5 5 ①当x<4时，求最大值； 5 ②当x>4时，求最小值； ③当x≥2时，求最小值．
a4＋4b4＋1 5．(2017· 天津)若 a，b∈R，ab>0，则 的最小值为 ab ________．
答案 解析 4 a4＋4b4＋1 4a2b2＋1 4ab ∵a，b∈R，且 ab>0，∴ ≥ ab ≥ ab ＝4， ab
当且仅当 a2＝2b2，4a2b2＝1，又 ab>0， 8 2 8 2 即 a＝ 2 ，b＝ 2 或 a＝－ 2 ，b＝－ 2 时取等号， ∴原式的最小值为 4. 4 4 4 4
1．判断下面结论是否正确(打“√”或“×”)． 1 (1)函数 y＝x＋x的最小值是 2. π 4 (2)函数 f(x)＝cosx＋cosx，x∈(0， 2 )的最小值等于 4. x y (3)“x>0 且 y>0”是“y＋x≥2”的充要条件． 1 3 (4)若 a>0，则 a ＋a2的最小值为 2 a. a＋b 2 2 (5)不等式 a ＋b ≥2ab 与 2 ≥ ab有相同的成立条件． (6)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a、b、c∈R)．
)
B．8 D．4 2
∵2x＋4y≥2 2x·22y＝2 2x＋2y＝2 24＝8，当且仅当 2x
＝22y，即 x＝2y＝2 时取等号，∴2x＋4y 的最小值为 8.
4．(2018· 四川资阳诊断)已知 a>0，b>0，且 2a＋b＝ab，则 a ＋2b 的最小值为( A．5＋2 2 C．5 ) B．8 2 D．9
课前自助餐
基本不等式 a＋b 若 a，b∈R＋，则 2 ≥ ab，当且仅当 a＝b 时取“＝”． 这一定理叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何 平均数．
常用不等式 (1)若 a，b∈R，则 a2＋b2≥2ab，当且仅当 a＝b 时取“＝”．
a2＋b2 a＋b2 (2) 2 ≥ ≥ab. 2
答案 解析
(1)×
(2)× (3)×
(4)×
(5)× (6)√
(1)错误，x<0 时，y≤－2；
(2)错误，cosx 不可能为 2； (3)错误，x<0，y<0 不等式也成立； (4)错误，2 a不是定值； a＋b (5)错误， 对于 a ＋b ≥2ab 只要 a＝b 即可， 而对于 2 ≥ ab
当且仅当 4x－5＝
1 ， 4x－5
3 即 x＝2时上式“＝”成立． 3 即 x＝2时，ymin＝5. ③当 x≥2 时，y＝4x－2＋ 1 为增函数， 4x－5
1 19 ∴ymin＝4×2－2＋ ＝ . 4×2－5 3 【答案】 ①1 ②5 19 ③3
2 (2)已知 0<x<5，则 f(x)＝x(2－5x)的最大值为________．
D．若 x<0，则 2x＋2－x>2 2x·2－x＝2
答案 解析 D ∵x<0， ∴2x∈(0， 1)， 2－x>1.∴2x＋2－x>2 2x·2－x＝2.∴D
正确．而 A，B 首先不满足“一正”，C 应当为“≤”．
3．若 x＋2y＝4，则 2x＋4y 的最小值是( A．4 C．2 2
答案 解析 B
第4课时
基本不等式
…2018 考纲下载… 1．了解基本不等式的证明过程． 2．会用基本不等式解决简单的最值问题． 请注意 基本不等式是不等式中的重要内容，也是历年高考重点考查 之一， 它的应用范围几乎涉及高中数学的所有章节， 且常考常新， 但是它在高考中却不外乎大小判断、求取值范围以及最值等几方 面的应用．
(3)a2＋b2≥2|ab|.
1 (4)x＋x≥2.
利用基本不等式求最大、最小值问题 (1)如果 x，y∈(0，＋∞)，且 xy＝p(定值)， 那么当 x＝y 时，x＋y 有最小值 2 p． (2)如果 x，y∈(0，＋∞)，且 x＋y＝S(定值)， S2 那么当 x＝y 时，xy 有最大值 4 ．
6．(2017· 江苏)某公司一年购买某种货物 600 吨，每次购买 x 吨，运费为 6 万元/次，一年的总存储费用为 4x 万元．要使一年 的总运费与总存储费用之和最小，则 x 的值是________．
答案 解析 30 设 y 为一年的总运费与总存储费用之和，则 3 600 4x＝240. x ·
2 2
需要 a＝b>0 才可以； (6)正确，因为 a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，三 式相加即可．
2．下列不等式证明过程正确的是( b a A．若 a，b∈R，则a＋b≥2 ba a· b＝2
)
B．若 x>0，y>0，则 lgx＋lgy≥2 lgx·lgy 4 C．若 x<0，则 x＋x≥－2 4 x· x＝－4