09-13 概率大题答案

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九年级数学概率统计练习题及答案

九年级数学概率统计练习题及答案

九年级数学概率统计练习题及答案一、选择题1. 下列各项中,属于概率的是:A. 李明抽到红球的可能性是10%B. 今天下雨的可能性是80%C. 买彩票中奖的可能性是1/1000000D. 扔一次骰子掷出的点数是4的可能性是1/62. 某班级有30个学生,其中有18个男生和12个女生。

从班级中随机选取一个学生,男生和女生被选到的概率相等。

那么,被选到的学生是男生的概率是多少?A. 2/3B. 1/3C. 3/5D. 1/23. 一副扑克牌中有52张牌,其中红心牌有13张。

从扑克牌中随机抽一张牌,抽到红心牌的概率是多少?A. 1/4B. 1/2C. 1/13D. 1/52二、填空题1. 从数字1、2、3、4、5中任意抽取一个数,抽到奇数的概率是_________。

2. 一组数据:10、12、14、16、18中,大于15的数的概率是_________。

3. 一枚硬币抛掷,正面向上的概率是_________。

三、计算题1. 某班级有40个学生,其中有18个男生和22个女生。

从班级中随机选取两个学生,分别计算:a) 选出的两个学生都是男生的概率是多少?b) 选出的两个学生一个是男生一个是女生的概率是多少?2. 一副扑克牌中有52张牌,其中黑色牌有26张。

从扑克牌中随机抽取两张牌,并将它们放回,再抽取一张牌。

计算:a) 三次抽取都是黑色牌的概率是多少?b) 三次抽取中至少有一张黑色牌的概率是多少?四、解答题1. 一组数据:5、7、9、11、13,从中随机抽取一个数。

计算抽取奇数的概率。

答案解析:一、选择题1. D2. A3. A二、填空题1. 3/52. 3/53. 1/2三、计算题1.a) 18/40 × 17/39 = 9/20 × 17/39 = 153/780b) 18/40 × 22/39 + 22/40 × 18/39 = 396/780 = 2/5 2.a) 26/52 × 26/52 × 26/52 = 27/64b) 1 - (26/52 × 26/52 × 26/52) = 37/64四、解答题1. 3/5通过以上习题,希望能够帮助同学们加深对数学概率统计的理解和掌握。

新高考一轮复习人教版 二项分布与正态分布 作业

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11.3 二项分布与正态分布基础篇 固本夯基考点一 条件概率、相互独立事件及二项分布、全概率公式1.(2022届长沙长郡中学月考,7)某电视台的夏日水上闯关节目一共有三关,第一关与第二关的过关率分别为23,34,只有通过前一关才能进入下一关,每一关都有两次闯关机会,且通过每关相互独立.一选手参加该节目,则该选手能进人第三关的概率为( ) A.12B.56C.89D.1516答案 B2.(2022届武汉部分学校质检,5)在一次试验中,随机事件A,B 满足P(A)=P(B)=23,则( ) A.事件A,B 一定互斥 B.事件A,B 一定不互斥 C.事件A,B 一定互相独立 D.事件A,B 一定不互相独立 答案 B3.(2021新高考Ⅰ,8,5分)有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回地随机取两次,每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”,丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”,丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”,则( ) A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立 C.乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立 答案 B4.(2018课标Ⅲ,8,5分)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,各成员的支付方式相互独立.设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数,DX=2.4,P(X=4)<P(X=6),则p=( ) A.0.7 B.0.6 C.0.4 D.0.3 答案 B5.(2021辽宁丹东质检,2)10张奖券中有4张“中奖”奖券,甲乙两人先后参加抽奖活动,每人从中不放回地抽取一张奖券,甲先抽,乙后抽,在甲中奖的条件下,乙没有中奖的概率为( ) A.35B.23C.34D.4156.(2021江苏徐州第三次调研,2)清明节前夕,某校团委决定举办“缅怀革命先烈,致敬时代英雄”主题演讲比赛,经过初赛,共10人进入决赛,其中高一年级2人,高二年级3人,高三年级5人,现采取抽签的方式决定演讲顺序,则在高二年级3人相邻的前提下,高一年级2人不相邻的概率为( ) A.112 B.13 C.12 D.34答案 D7.(多选)(2021福建厦门外国语学校月考,12)甲罐中有4个红球,3个白球和3个黑球;乙罐中有5个红球,3个白球和2个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐,分别以A 1,A 2和A 3表示由甲罐取出的球是红球,白球和黑球的事件;再从乙罐中随机取出一球,以M 表示由乙罐取出的球是红球的事件,下列结论正确的为( ) A.P(M)=12B.P(M|A 1)=611 C.事件M 与事件A 1不相互独立 D.A 1,A 2,A 3是两两互斥的事件 答案 BCD8.(2022届山东济宁一中开学考试,14)已知随机变量ξ~B (6,13),则P(ξ=4)= ,D(ξ)= .(用数字作答) 答案20243;439.(2022届山东潍坊10月段考,15)一项过关游戏规则规定:在第n 关要抛掷一颗质地均匀的骰子n 次,如果这n 次抛掷所出现的点数之和大于2n,则算过关.甲同学参加了该游戏,他连过前两关的概率是 .答案5910.(2020天津,13,5分)已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13.假定两球是否落入盒子互不影响,则甲、乙两球都落入盒子的概率为 ;甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为 . 答案16;2311.(2019课标Ⅰ,15,5分)甲、乙两队进行篮球决赛,采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时,该队获胜,决赛结束).根据前期比赛成绩,甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6,客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立,则甲队以4∶1获胜的概率是 .12.(2022届江苏苏州调研,19)某学校实行自主招生,参加自主招生的学生从8个试题中随机挑选出4个进行作答,至少答对3个才能通过初试.已知甲、乙两人参加初试,在这8个试题中甲能答对6个,乙能答对每个试题的概率为34,且甲、乙两人是否答对每个试题互不影响. (1)试通过计算,分析甲、乙两人谁通过自主招生初试的可能性更大;(2)若答对一题得5分,答错或不答得0分,记乙答题的得分为Y,求Y 的分布列及数学期望和方差. 解析 (1)∵在8个试题中甲能答对6个,∴甲通过自主招生初试的概率P 1=C 63C 21C 84+C 64C 84=1114,又∵乙能答对每个试题的概率为34, ∴乙通过自主招生初试的概率P 2=C 43(34)314+C 44(34)4=189256,∵P 1>P 2,∴甲通过自主招生初试的可能性更大.(2)由题意可知,乙答对题的个数X 的可能取值为0,1,2,3,4,X~B (4,34), P(X=k)=C 4k (34)k (14)4−k(k=0,1,2,3,4)且Y=5X, 故Y 的分布列为∴E(Y)=E(5X)=5E(X)=5×4×34=15, D(Y)=D(5X)=52D(X)=25×4×34×(1−34)=754. 13. (2022届山东潍坊阶段测,20)智能体温计测温方便、快捷,已经逐渐代替水银体温计应用于日常体温测量.调查发现,使用水银体温计测温结果与人体的真实体温基本一致,而使用智能体温计测量体温可能会产生误差.对同一人而言,如果用智能体温计与水银体温计测温结果相同,我们认为智能体温计“测温准确”;否则,我们认为智能体温计“测温失误”.现在某社区随机抽取了20人用两种体温计测量体温,数据如下:(1)试估计用智能体温计测量该社区1人“测温准确”的概率;(2)从该社区中任意抽查3人用智能体温计测量体温,设随机变量X 为使用智能体温计“测温准确”的人数,求X 的分布列与数学期望.解析 (1)题表20人的体温数据中,用智能体温计与水银体温计测温结果相同的序号是01,04,06,07,09,12,13,14,16,18,19,20,共有12个, 由此估计所求概率为1220=35. (2)随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3.由(1)可知,用智能体温计测量该社区1人“测温准确”的概率为35. 所以P(X=0)=C 30(35)0(1−35)3=8125, P(X=1)=C 31(35)1(1−35)2=36125, P(X=2)=C 32(35)2(1−35)1=54125, P(X=3)=C 33(35)3(1−35)0=27125, 所以X 的分布列为故X 的数学期望E(X)=0×8125+1×36125+2×54125+3×27125=225125=95. 14.(2019课标Ⅱ,18,12分)11分制乒乓球比赛,每赢一球得1分,当某局打成10∶10平后,每球交换发球权,先多得2分的一方获胜,该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛,假设甲发球时甲得分的概率为0.5,乙发球时甲得分的概率为0.4,各球的结果相互独立.在某局双方10∶10平后,甲先发球,两人又打了X 个球该局比赛结束. (1)求P(X=2);(2)求事件“X=4且甲获胜”的概率.解析 (1)X=2就是10∶10平后,两人又打了2个球该局比赛结束,则这2个球均由甲得分,或者均由乙得分.因此P(X=2)=0.5×0.4+(1-0.5)×(1-0.4)=0.5.(2)X=4且甲获胜,就是10∶10平后,两人又打了4个球该局比赛结束,且这4个球的得分情况为:前两球是甲、乙各得1分,后两球均为甲得分.因此所求概率为[0.5×(1-0.4)+(1-0.5)×0.4]×0.5×0.4=0.1.考点二 正态分布1.(2022届河北邢台9月联考,6)已知随机变量ξ服从正态分布N(3,4),若P(ξ>2c+1)=P(ξ<2c-1),则c 的值为( )A.32 B.2 C.1 D.12答案 A2.(2021广东深圳一模,5)已知随机变量ξ~N(μ,σ2),有下列四个命题: 甲:P(ξ<a-1)>P(ξ>a+2). 乙:P(ξ>a)=0.5. 丙:P(ξ≤a)=0.5.丁:P(a<ξ<a+1)<P(a+1<ξ<a+2).如果只有一个假命题,则该命题为( ) A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 答案 D3.(2020广东深圳七中月考,5)某班有60名学生,一次考试后数学成绩符合ξ~N(110,σ2),若P(100≤ξ≤110)=0.35,则估计该班学生数学成绩在120分以上的人数为( ) A.10 B.9 C.8 D.7 答案 B4.(2021江苏七市第二次调研,13)已知随机变量X~N(2,σ2),P(X>0)=0.9,则P(2<X ≤4)= . 答案 0.45.(2021广东韶关一模,20)在一次大范围的随机知识问卷调查中,通过随机抽样,得到参加问卷调查的100人的得分统计结果如下表所示:(1)由频数分布表可以大致认为,此次问卷调查的得分ξ~N(μ,196),μ近似为这100人得分的平均值(同一组中的数据用该组区间的左端点值作代表). ①求μ的值;②若P(ξ>2a-5)=P(ξ<a+3),求a 的值;(2)在(1)的条件下,为此次参加问卷调查的市民制订如下奖励方案:①得分不低于μ的可以获赠2次随机话费,得分低于μ的可以获赠1次随机话费; ②每次获赠的随机话费和对应的概率为:现有市民甲参加此次问卷调查,记X(单位:元)为该市民参加问卷调查获赠的话费,求X 的分布列与数学期望.解析 (1)①由题意得30×2+40×13+50×21+60×25+70×24+80×11+90×4100=60.5,∴μ=60.5.②由题意得2a-5+a+3=2×60.5,解得a=41.(2)由题意知P(ξ<μ)=P(ξ≥μ)=12,获赠话费X(单位:元)的可能取值为20,40,50,70,100, P(X=20)=12×34=38,P(X=40)=12×34×34=932,P(X=50)=12×14=18,P(X=70)=12×34×14+12×14×34=316,P(X=100)=12×14×14=132,∴X 的分布列为∴E(X)=20×38+40×932+50×18+70×316+100×132=1654. 综合篇 知能转换考法一 条件概率的求法1.(2021广东二模,3)2020年12月4日是第七个“国家宪法日”.某中学开展主题为“学习宪法知识,弘扬宪法精神”的知识竞赛活动.甲同学答对第一道题的概率为23,连续答对两道题的概率为12.用事件A 表示“甲同学答对第一道题”,事件B 表示“甲同学答对第二道题”,则P(B|A)=( ) A.13B.12C.23D.34答案 D2.(2022届全国学业质量检测,9)某公司为方便员工停车,租了6个停车位,编号如图所示,公司规定:每个车位只能停一辆车,每个员工只允许占用一个停车位,记事件A 为“员工小王的车停在编号为奇数的车位上”,事件B 为“员工小李的车停在编号为偶数的车位上”,则P(A|B)=( ) A.16B.310 C.12 D.35答案 D3.(多选)(2021江苏海安高级中学月考,7)已知A ,B 分别为随机事件A,B 的对立事件,P(A)>0,P(B)>0,则下列说法正确的是( ) A.P(B|A)+P(B |A)=P(A) B.P(B|A)+P(B |A)=1C.若A,B 独立,则P(A|B)=P(A)D.若A,B 互斥,则P(A|B)=P(B|A) 答案 BCD考法二 n 重伯努利试验及二项分布问题的求解方法1.(2021广东深圳外国语学校月考,5)某同学进行3分投篮训练,若该同学投中的概率为12,他连续投篮n 次至少得到3分的概率大于0.9,那么n 的最小值是( ) A.3 B.4 C.5 D.6 答案 B2.(2020辽宁葫芦岛兴城高级中学模拟)一个袋中有大小、形状相同的小球,其中红球1个、黑球2个,现随机等可能取出小球,当有放回依次取出两个小球时,记取出的红球数为ξ1;当无放回依次取出两个小球时,记取出的红球数为ξ2,则 ( ) A.E(ξ1)<E(ξ2),D(ξ1)<D(ξ2) B.E(ξ1)=E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2) C.E(ξ1)=E(ξ2),D(ξ1)<D(ξ2) D.E(ξ1)>E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2) 答案 B3.(多选)(2022届山东济宁一中开学考,11)某单位举行建党100周年党史知识竞赛,在必答题环节共设置了5道题,每道题答对得20分,答错扣10分(每道题都必须回答,但相互不影响).设某选手每道题答对的概率均为23,其必答题环节的总得分为X,则( ) A.该选手恰好答对2道题的概率为49B.E(X)=50C.D(X)=1003D.P(X>60)=112243答案 BD4.(2017课标Ⅱ,13,5分)一批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取100次,X 表示抽到的二等品件数,则DX= . 答案 1.965.(2022届山东济宁一中开学考试,21)由于抵抗力差的人感染新冠肺炎的可能性相对更高,特别是老年人群体,因此某社区在疫情控制后,及时给老年人免费体检,通过体检发现“高血糖,高血脂,高血压”,即“三高”老人较多.为此社区根据医生的建议为每位老人提供了一份详细的健康安排表,还特地建设了一个老年人活动中心,老年人每天可以到该活动中心去活动,以增强体质.通过统计每周到活动中心运动的老年人的活动时间,得到了以下频率分布直方图.(1)从到活动中心参加活动的老年人中任意选取5人.①若将频率视为概率,求至少有3人每周活动时间在[8,9)(单位:h)的概率;②若抽取的5人中每周活动时间在[8,11](单位:h)的人数为2人,从5人中选出3人进行健康情况调查,记3人中每周活动时间在[8,11](单位:h)的人数为ξ,求ξ的分布列和期望;(2)将某人的每周活动时间量与所有老年人的每周平均活动时间量比较,当超出所有老年人的每周平均活动时间量不少于0.74h 时,称该老年人为“活动爱好者”,从参加活动的老年人中随机抽取10人,且抽到k 人为“活动爱好者”的可能性最大,试求k 的值.(每组数据以区间的中点值为代表)解析 (1)由题图可知,从到活动中心参加活动的老年人中任意选取1人,每周活动时间在[8,9)(单位:h)的概率为25.①记“至少有3人每周活动时间在[8,9)(单位:h)”为事件A, 则P(A)=C 53·(25)3·(1−25)2+C 54·(25)4·(1−25)+C 55(25)5=9923 125.②随机变量ξ所有可能的取值为0,1,2,P(ξ=0)=C 33C 53=110,P(ξ=1)=C 32C 21C 53=35,P(ξ=2)=C 31C 22C 3=310,则ξ的分布列如下:故E(ξ)=0×110+1×35+2×310=65. (2)老年人的每周活动时间的平均值为6.5×0.06+7.5×0.35+8.5×0.4+9.5×0.15+10.5×0.04=8.26(h),则老年人中“活动爱好者”的活动时间为[9,11](单位:h),参加活动的老年人中为“活动爱好者”的概率为p=0.19,若从参加活动的老年人中随机抽取10人,且抽到X 人为“活动爱好者”,则X~B(10,0.19), 若k 人的可能性最大,则P(X=k)=C 10k p k(1-p)10-k,k=0,1,2,3, (10)由题意有{P(X =k)≥P(X =k −1),P(X =k)≥P(X =k +1),即{C 10k (0.19)k (0.81)10−k ≥C 10k−1(0.19)k−1(0.81)11−k ,C 10k (0.19)k (0.81)10−k ≥C 10k+1(0.19)k+1(0.81)9−k , 解得1.09≤k ≤2.09,由k ∈N *,得k=2.6.(2022届广东汕头金山中学期中,19)如图,李先生家住H 小区,他工作在C 科技园区,从家开车到公司上班路上有L 1、L 2两条路线,L 1路线上有A 1、A 2、A 3三个路口,各路口遇到红灯的概率均为12;L 2路线上有B 1、B 2两个路口,各路口遇到红灯的概率依次为34,35.(1)若走L 1路线,求最多遇到1次红灯的概率; (2)若走L 2路线,求遇到红灯次数X 的数学期望;(3)按照“平均遇到红灯次数最少”的要求,请你帮助李先生从上述两条路线中选择一条较好的上班路线,并说明理由.解析 (1)设“走L 1路线最多遇到1次红灯”为事件A,则P(A)=C 30×(12)3+C 31×12×(1−12)2=12, 所以走L 1路线,最多遇到1次红灯的概率为12. (2)依题意,X 的可能取值为0,1,2. P(X=0)=(1−34)×(1−35)=110,P(X=1)=34×(1−35)+(1−34)×35=920,P(X=2)=34×35=920. 随机变量X 的分布列为所以E(X)=0×110+1×920+2×920=2720. (3)设选择L 1路线遇到红灯次数为Y,随机变量Y 服从二项分布Y~B (3,12),所以E(Y)=3×12=32. 因为E(X)<E(Y),所以选择L 2路线上班较好.7.(2019天津,16,13分)设甲、乙两位同学上学期间,每天7:30之前到校的概率均为23.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响,且任一同学每天到校情况相互独立.(1)用X 表示甲同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数,求随机变量X 的分布列和数学期望;(2)设M 为事件“上学期间的三天中,甲同学在7:30之前到校的天数比乙同学在7:30之前到校的天数恰好多2”,求事件M 发生的概率.解析 (1)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立,且每天7:30之前到校的概率均为23,故X~B (3,23),从而P(X=k)=C 3k ·(23)k (13)3−k ,k=0,1,2,3. 所以,随机变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望E(X)=3×23=2.(2)设乙同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数为Y,则Y~B (3,23),且M={X=3,Y=1}∪{X=2,Y=0}. 由题意知事件{X=3,Y=1}与{X=2,Y=0}互斥,且事件{X=3}与{Y=1},事件{X=2}与{Y=0}均相互独立, 从而由(1)知P(M)=P({X=3,Y=1}∪{X=2,Y=0})=P(X=3,Y=1)+P(X=2,Y=0)=P(X=3)P(Y=1)+P(X=2)P(Y=0)=827×29+49×127=20243. 8.(2018课标Ⅰ,20,12分)某工厂的某种产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验,如检验出不合格品,则更换为合格品.检验时,先从这箱产品中任取20件作检验,再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验.设每件产品为不合格品的概率都为p(0<p<1),且各件产品是不是不合格品相互独立.(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p),求f(p)的最大值点p 0.(2)现对一箱产品检验了20件,结果恰有2件不合格品,以(1)中确定的p 0作为p 的值.已知每件产品的检验费用为2元,若有不合格品进入用户手中,则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用. (i)若不对该箱余下的产品作检验,这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X,求EX; (ii)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据,是否该对这箱余下的所有产品作检验? 解析 (1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)=C 202p 2(1-p)18.因此f'(p)=C 202[2p(1-p)18-18p 2(1-p)17]=2C 202p(1-p)17(1-10p).令f'(p)=0,得p=0.1,当p ∈(0,0.1)时,f'(p)>0; 当p ∈(0.1,1)时,f'(p)<0. 所以f(p)的最大值点为p 0=0.1. (2)由(1)知,p=0.1,(i)令Y 表示余下的180件产品中的不合格品件数,依题意知Y~B(180,0.1),X=20×2+25Y,即X=40+25Y, 所以EX=E(40+25Y)=40+25EY=490.(ii)如果对余下的产品作检验,则这一箱产品所需要的检验费为400元. 由于EX>400,故应该对余下的产品作检验.考法三 正态分布问题的求解方法1.(2022届江苏苏州调研,3)已知随机变量ξ服从正态分布N(0,1),如果P(ξ≤1)=0.84,则P(-1<ξ≤0)=( )A.0.34B.0.68C.0.15D.0.07 答案 A2.(2022届江苏徐州期中,5)某单位招聘员工,先对应聘者的简历进行评分,评分达标者进入面试环节,现有1000人应聘,他们的简历评分X 服从正态分布N(60,102),若80分及以上为达标,则估计进入面试环节的人数为( )(附:若随机变量X~N(μ,σ2),则P(μ-σ<X<μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ<X<μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ<X<μ+3σ)≈0.9973)A.12B.23C.46D.159 答案 B3.(多选)(2022届湖南湘潭9月模拟,10)已知随机变量X 服从正态分布N(0,22),则( ) A.X 的数学期望为E(X)=0 B.X 的方差为D(X)=2 C.P(X>0)=12D.P(X>2)=12 答案 AC4.(2022届河北9月开学摸底联考,7)含有海藻碘浓缩液的海藻碘盐,是新一代的碘盐产品.海藻中的碘80%为无机碘,10%~20%为有机碘,海藻碘盐兼备无机碘和有机碘的优点.某超市销售的袋装海藻碘食用盐的质量X(单位:克)服从正态分布N(400,4),某顾客购买了4袋海藻碘食用盐,则至少有2袋的质量超过400克的概率为( ) A.1116 B.34 C.58 D.516答案 A5.(2022届(新高考)第一次月考,19)数学建模是高中数学核心素养的一个组成部分,数学建模能力是应用意识和创新意识的重要表现.为全面推动数学建模活动的开展,某学校举行了一次数学建模竞赛活动,已知该竞赛共有60名学生参加,他们成绩的频率分布直方图如图.(1)为了对数据进行分析,将60分以下的成绩定为不合格,60分以上(含60分)的成绩定为合格.为科学评估该校学生数学建模水平,决定利用分层随机抽样的方法从这60名学生中选取10人,然后从这10人中抽取4人参加座谈会.记ξ为抽取的4人中,成绩不合格的人数,求ξ的分布列和数学期望;(2)已知这60名学生的数学建模竞赛成绩X 服从正态分布N(μ,σ2),其中μ可用样本平均数近似代替,σ2可用样本方差近似代替(每组数据以区间的中点值作代表),若成绩在46分以上的学生均能得到奖励,本次数学建模竞赛满分为100分,试估计此次竞赛受到奖励的人数.(结果根据四舍五入保留到整数位)若随机变量X~N(μ,σ2),则P(μ-σ<X ≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ<X ≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ<X ≤μ+3σ)≈0.9973.解析 (1)由题中频率分布直方图和分层随机抽样的方法,可知抽取的10人中合格的人数为(0.01+0.02)×20×10=6,不合格的人数为10-6=4. 因此,ξ的可能值为0,1,2,3,4,P(ξ=0)=C 64C 104=114,P(ξ=1)=C 41C 63C 104=821,P(ξ=2)=C 42C 62C 104=37,P(ξ=3)=C 43C 61C 104=435,P(ξ=4)=C 44C 104=1210.故ξ的分布列为所以ξ的数学期望E(ξ)=0×114+1×821+2×37+3×435+4×1210=85. (2)由题意可知,μ=(30×0.005+50×0.015+70×0.02+90×0.01)×20=64,σ2=(30-64)2×0.1+(50-64)2×0.3+(70-64)2×0.4+(90-64)2×0.2=324,所以σ=18.由X 服从正态分布N(μ,σ2),得P(64-18<X ≤64+18)=P(46<X ≤82)≈0.6827,则P(X>82)=12(1-0.6827)=0.15865,P(X>46)=0.6827+0.15865=0.84135,60×0.84135≈50,所以估计此次竞赛受到奖励的人数为50.6.(2022届辽宁渤海大学附中考试,20)随着我国国民消费水平的不断提升,进口水果受到了人们的喜爱,世界各地鲜果纷纷从空中、海上汇聚中国:泰国的榴莲、山竹、椰青,厄瓜多尔的香蕉,智利的车厘子等水果走进了千家万户.某种水果按照果径大小可分为五个等级:特等、一等、二等、三等和等外.某水果进口商从采购的一批水果中随机抽取500个,利用水果的等级分类标准得到的数据如下:(1)若将样本频率视为概率,从这批水果中随机抽取6个,求恰好有3个水果是二等级别的概率; (2)若水果进口商进口时将特等级别与一等级别的水果标注为优级水果,则用分层随机抽样的方法从这500个水果中抽取10个,再从抽取的10个水果中随机抽取3个,Y 表示抽取的优级水果的数量,求Y 的分布列及数学期望E(Y).解析 (1)设从500个水果中随机抽取一个,抽到二等级别水果的事件为A,则P(A)=250500=12, 随机抽取6个,设抽到二等级别水果的个数为X,则X~B (6,12), 所以恰好抽到3个二等级别水果的概率为P(X=3)=C 63(12)3(12)3=516.(2)用分层随机抽样的方法从500个水果中抽取10个, 其中优级水果有3个,非优级水果有7个. 则Y 所有可能的取值为0,1,2,3.P(Y=0)=C 73C 103=724,P(Y=1)=C 72C 31C 103=2140,P(Y=2)=C 71C 32C 103=740,P(Y=3)=C 33C 103=1120.所以Y 的分布列为所以E(Y)=0×724+1×2140+2×740+3×1120=910.7.(2017课标Ⅰ,19,12分)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位:cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线在正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ,σ2).(1)假设生产状态正常,记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件数,求P(X≥1)及X的数学期望;(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.(i)试说明上述监控生产过程方法的合理性;(ii)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸:9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.9 5经计算得x=116∑i=116x i=9.97,s=√116∑i=116(x i−x)2=√116(∑i=116x i2−16x2)≈0.212,其中x i为抽取的第i个零件的尺寸,i=1,2, (16)用样本平均数x作为μ的估计值μ^,用样本标准差s作为σ的估计值σ^,利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查.剔除(μ^-3σ^,μ^+3σ^)之外的数据,用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01).附:若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-3σ<Z<μ+3σ)=0.9974.0.997416≈0.9592,√0.008≈0.09.解析(1)抽取的一个零件的尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之内的概率为0.9974,从而零件的尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的概率为0.0026,故X~B(16,0.0026).因此P(X≥1)=1-P(X=0)=1-0.997416≈0.0408.X的数学期望为EX=16×0.0026=0.0416.(2)(i)如果生产状态正常,一个零件尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的概率只有0.0026,一天内抽取的16个零件中,出现尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件的概率只有0.0408,发生的概率很小.因此一旦发生这种情况,就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查,可见上述监控生产过程的方法是合理的.(ii)由x =9.97,s ≈0.212,得μ的估计值为μ^=9.97,σ的估计值为σ^=0.212,由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在(μ^-3σ^,μ^+3σ^)之外,因此需对当天的生产过程进行检查. 剔除(μ^-3σ^,μ^+3σ^)之外的数据9.22,剩下数据的平均数为115×(16×9.97-9.22)=10.02,因此μ的估计值为10.02.∑i=116x i 2=16×0.2122+16×9.972≈1591.134,剔除(μ^-3σ^,μ^+3σ^)之外的数据9.22,剩下数据的样本方差为115×(1591.134-9.222-15×10.022)≈0.008, 因此σ的估计值为√0.008≈0.09.。

《概率论与数理统计 经管类》第四版 (吴赣昌 著) 课后习题答案 中国人民大学出版社

《概率论与数理统计 经管类》第四版 (吴赣昌 著) 课后习题答案 中国人民大学出版社

点。
解: Ω = { (正,正),(正,反),(反,正),(反,反) }
A = { (正,正),(正,反) }; B = { (正,正),(反,反) }
C = { (正,正),(正,反),(反,正) }
2. 在掷两颗骰子的试验中,事件 A, B,C, D 分别表示“点数之和为偶数”,“点数
之和小于 5”,“点数相等”,“至少有一颗骰子的点数为 3”。试写出样本空间及事
即[1 − P(A)]P( AB) = P(A)[P(B) − P( AB)] ∴ P(AB) = P( A)P(B) ,故 A与 B 独立。 5. 设事件 A 与 B 相互独立,两个事件只有 A 发生的概率与只有 B 发生的概率都 是 1 ,求 P(A) 和 P(B). 4 解:∵ P(AB) = P(AB) = 1 ,又∵ A与 B 独立
n 9 9
网 c 11. 设一批产品共 100 件,其中 98 件正品,2 件次品,从中任意抽取 3 件(分三
案 . 种情况:一次拿 3 件;每次拿 1 件,取后放回拿 3 次;每次拿 1 件,取后不放回拿 3
p 次),试求:
答 sh (1) 取出的 3 件中恰有 1 件是次品的概率;
后 k (2) 取出的 3 件中至少有 1 件是次品的概率。
解:
令 A = “两件中至少有一件不合格”, B = “两件都不合格”
C42
P(B |
A) =
P( AB) P( A)
= P(B) 1− P(A)
=
1

C120 C62
C120
=1 5
n 3. 为了防止意外,在矿内同时装有两种报警系统 I 和 II。两种报警系统单独使用
网 c 时,系统 I 和 II 有效的概率分别 0.92 和 0.93,在系统 I 失灵的条件下,系统 II 仍有效

概率论与数理统计答案(汇总版)

概率论与数理统计答案(汇总版)

概率论与数理统计答案(汇总版)篇一:概率论与数理统计教程答案(徐建豪版)习题1、写出下列随机试验的样本空间.(1)生产产品直到有4件正品为正,记录生产产品的总件数.(2)在单位园中任取一点记录其坐标.(3)同时掷三颗骰子,记录出现的点数之和.解:(1)??{4,5,6,7,8?}(2)??{()x2?y2?1}(3)??{3,4,5,6,7,8,9,10,?,18}2、同时掷两颗骰子,x、y分别表示第一、二两颗骰子出现的点数,设事件A表示“两颗骰子出现点数之和为奇数”,B表示“点数之差为零”,C表示“点数之积不超过20”,用样本的集合表示事件B?A,BC,B?C.解:B?A?{(),(),(),(),(),()}BC?{(),(),(),()}B?C?{(),(),(),(),(),(),(),(),(),()}3、设某人向靶子射击3次,用Ai表示“第i次射击击中靶子”(i?1,2,3),试用语言描述下列事件.(1)A1?A2 (2)(A1?A2)A3 (3)A1A2?A2A2解:(1)第1,2次都没有中靶(2)第三次中靶且第1,2中至少有一次中靶(3)第二次中靶4.设某人向一把子射击三次,用Ai表示“第i次射击击中靶子”(i=1,2,3),使用符号及其运算的形式表示以下事件:(1)“至少有一次击中靶子”可表示为;(2)“恰有一次击中靶子”可表示为;(3)“至少有两次击中靶子”可表示为;(4)“三次全部击中靶子”可表示为;(5)“三次均未击中靶子”可表示为;(6)“只在最后一次击中靶子”可表示为 . 解:(1)A1?A2?A3;(2) A123?1A23?12A3;(3)A1A2?A1A3?A2A3; (4) A1A2A3; (5) 123(6) 12A35.证明下列各题(1)A?B?A (2)A?B?(A?B)?(AB)?(B?A)证明:(1)右边=A(??B)?A?AB=A且??B??A?B=左边(2)右边=(AB)?(AB)?(BA)=A或??B??A?B习题1.设A、B、C三事件,P(A)?P(B)?P(C)?14P(AC)?P(BC)?18,P(AB)?0,求A、B、C至少有一个发生的概率.解:?P(AB)?0?P(ABC)?0P(A?B?C).?P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(BC)?P(AC)?P(ABC) =3?11 4?2?8?122.已知p()? ,P(B)? , P(B)?,求(1)P(AB)(2)P(A?B),(3)P(A?B), (4)P(AB).解:(1)?A?B,?AB?A?P(AB)?P(A)?(2)?A?B,?A?B?B?P(A?B)?P(B)?3.设P(A)=(A?B)= 互斥,求P(B).解:?A,B互斥,P(A?B)?P(A)?P(B), ,故P(B)?P(A?B)?P(A)4.设A、B是两事件且P(A)=,P(B)?(1)在什么条件下P(AB)取到最大值,最大值是多少?(2)在什么条件下P(AB)取到最小值,最小值是多少?解:由加法公式P(AB)?P(A)?P(B)?P(A?B)=?P(A?B)(1)由于当A?B时A?B?B,P(A?B)达到最小,即P(A?B)?P(B)?,则此时P(AB)取到最大值,最大值为(2)当P(A?B)达到最大,即P(A?B)?P(?)?1,则此时P(AB)取到最小值,最小值为5.设P(A)?P(B)?P(C)?1115,P(AB)?P(BC)?P(AC)?,P(??)?, 4816求P(A?B?C). 解:P(ABC)?1?P(ABC)?1?P(??)?1?151?, 1616P(A?B?C).?P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(BC)?P(AC)?P(ABC) =3?1117?3 481616习题1.从一副扑克牌(52张)中任取3张(不重复)求取出的3张牌中至少有2张花色相同的概率.解:设事件A={3张中至少有2张花色相同} 则A={3张中花色各不相同}3111C4C13C13C13P(A)?1?P(A)?1?? 3C52只铆钉随机地取来用在10个部件上,其中有3个铆钉强度太弱,每个部件用3只铆钉,若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上,则这个部件强度就太弱,问发生一个部件强度太弱的概率.3解法一随机试验是从50只铆钉随机地取3个,共有C50种取法,而发生“某3C31一个部件强度太弱”这一事件只有C这一种取法,其概率为3?,而10C501960033个部件发生“强度太弱”这一事件是等可能的,故所求的概率为p??pi?i?110101 ?1960019603解法二样本空间的样本点的总数为C50,而发生“一个部件强度太弱”这13一事件必须将3只强度太弱的铆钉同时取来,并都装在一个部件上,共有C10C3种情况,故发生“一个部件强度太弱”的概率为13C10C31 p??31960C503.从1至9的9个整数中有放回地随机取3次,每次取一个数,求取出的3个数之积能被10整除的概率.解法一设A表示“取出的3个数之积能被10整除”,, A1表示“取出的3个数中含有数字5”, A2表示“取出的3个数中含有数字偶数”P(A)?P(A1A2)?1?P(A1A2)?1?P(A1?A2)?1?P(A1)?P(A2)?P(A1A2)?8??5??4??11???9??9??9?解法二设Ak为“第k次取得数字,Bk为“第k次取得偶数”,5”k?1,2,3。

(易错题)高中数学必修第二册第五单元《概率》检测(有答案解析)

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一、选择题1.下列命题:①对立事件一定是互斥事件;②若A ,B 为两个随机事件,则P(A ∪B)=P(A)+P(B);③若事件A ,B ,C 彼此互斥,则P(A)+P(B)+P(C)=1;④若事件A ,B 满足P(A)+P(B)=1,则A 与B 是对立事件. 其中正确命题的个数是( ) A .1B .2C .3D .42.某次战役中,狙击手A 受命射击敌机,若要击落敌机,需命中机首2次或命中机中3次或命中机尾1次,已知A 每次射击,命中机首、机中、机尾的概率分别为0.2、0.4、0.1,未命中敌机的概率为0.3,且各次射击相互独立.若A 至多射击两次,则他能击落敌机的概率为( ) A .0.23B .0.2C .0.16D .0.13.下列命题正确的是( )A .用事件A 发生的频率()n f A 估计概率()P A ,重复试验次数n 越大,估计的就越精确.B .若事件A 与事件B 相互独立,则事件A 与事件B 相互独立.C .事件A 与事件B 同时发生的概率一定比A 与B 中恰有一个发生的概率小.D .抛掷一枚均匀的硬币,如前两次都是反面,那么第三次出现正面的可能性就比反面大. 4.随机抛掷一枚质地均匀的骰子,记正面向上的点数为a ,则函数()224f x x ax =++至多有一个零点的概率为( ) A .13B .12C .23D .565.在如图所示的电路中,5个格子表示保险匣,格子中所示数据表示通电时保险丝被熔断的概率,则当开关合上时,电路畅通的概率是( )A .2936B .551720C .2972D .291446.某城市有连接8个小区A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 和市中心O 的整齐方格形道路网,每个小方格均为正方形,如图所示,某人从道路网中随机地选择一条最短路径,由小区A 前往小区H ,则他经过市中心O 的概率是( )A.13B.23C.14D.347.如图茎叶图表示的是甲.乙两人在5次综合测评中的成绩,其中乙中的两个数字被污损,且已知甲,乙两人在5次综合测评中的成绩中位数相等,则乙的平均成绩低于甲的概率为()A.29B.15C.310D.138.袋中装有白球3个,黑球4个,从中任取3个,下列各对事件中互为对立事件的是()A.恰有1个白球和全是白球B.至少有1个白球和全是黑球C.至少有1个白球和至少有2个白球D.至少有1个白球和至少有1个黑球9.从1,2,3,4,5这5个数中任取两数,其中:①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数;②至少有一个是奇数和两个都是奇数;③至少有一个是奇数和两个都是偶数;④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数.上述事件中,是对立事件的是()A.①B.②④C.③D.①③10.甲、乙两名同学相约学习某种技能,该技能需要通过两项考核才能拿到证书,每项考核结果互不影响.已知甲同学通过第一项考核的概率是45,通过第二项考核的概率是12;乙同学拿到该技能证书的概率是13,那么甲、乙两人至少有一人拿到该技能证书的概率是()A.1315B.1115C.23D.3511.《易经》是中国传统文化中的精髓,如图是易经八卦图(含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦),每一卦由三根线组成(表示一根阳线,表示一根阴线),现有3人各自随机的从八卦中任取两卦,恰有2人两卦的六根线中有四根阳线和两根阴线的概率为()A.297 2744B.992744C.67521952D.2252195212.如图所示,1,2,3表示三个开关,若在某段时间内它们每个正常工作的概率都是0.9,那么此系统的可靠性是()A.0.999 B.0.981 C.0.980 D.0.72913.自新型冠状病毒爆发以来,全国各地医护人员勇当“逆行者”支援湖北.重庆第一批共派出甲、乙、丙、丁4支医疗队分成三组奔赴三个地方,每组至少一支医疗队,则甲、乙分在同一组的概率为()A.13B.12C.29D.16二、解答题14.在新高考中我市采用了“3+1+2”模式,对化学、生物、地理和政治等四门选考科目,制定了计算转换T分(即记入高考总分的分数)的“等级转换赋分规则”(详见附1和附2),具体的转换步骤为:①原始分Y等级转换;②原始分等级内等比例转换赋分.我校高二年级在期末考试后,政治、化学两选考科目的原始分分布如表:等级A B C D E比例约15%约35%约35%约13%约2%政治学科各等级对应的原始分区间[81,98][72,80][66,71][63,65][60,62]化学学科各等级对应的原始分区间[90,100][77,89][69,76][66,68][63,65]政治:64,72,66,92,78,66,82,65,76,67,74,80,70,69,84,75,68,71,60,79化学:72,79,86,75,83,89,64,98,73,67,79,84,77,94,71,81,74,69,91,70并根据上述数据制作了如下的茎叶图:(1)茎叶图中各序号位置应填写的数字分别是:①应填___________,②应填___________,③应填___________,④应填___________,⑤应填___________,⑥应填___________.(2)甲同学选考政治学科,其原始分为82分,乙同学选考化学学科,其原始分为91分.基于新高考实测的转换赋分模拟,试分别探究这两位同学的转换分,并从公平性的角度谈谈你对新高考这种“等级转换赋分法”的看法.(3)若从我校政治、化学学科等级为A 的学生中,随机挑选2人次(两科都选,且两科成绩都为A 等的学生,可有两次被选机会),试估计这2人次挑选,其转换分都不少于91分的概率.附1:等级转换的等级人数占比与各等级的转换分赋分区间. 等级A B C D E 原始分从高到低排序的等级人数占比约15% 约35%约35%约13% 约2% 转换分T 的赋分区间[86,100][71,85] [56,70][41,55][30,40]附2:计算转换分T 的等比例转换赋分公式:2211Y Y T TY Y T T --=--(其中:Y 1,Y 2别表示原始分Y 对应等级的原始分区间下限和上限;T 1,T 2分别表示原始分对应等级的转换分赋分区间下限和上限.T 的计算结果按四舍五入取整).15.2020年是全面建成小康社会目标实现之年,是全面打赢脱贫攻坚战收官之年.为帮助某村巩固扶贫成果,该村的结对帮扶共建企业在该村建立了一座精米加工厂,并对粮食原料进行深加工,研发出一种新产品,已知该产品的质量以某项指标值()60100k k ≤<为衡量标准,质量指标的等级划分如表: 质量指标值k 90100k ≤< 8090k ≤<7080k ≤<6070k ≤<产品等级ABCD件产品的指标值,得到如下的产品质量指标值的频率分布直方图;设M =频率组距,当[)()10,101068,k n n n n N∈+≤≤∈时,满足52200nM-=.(1)试估计样本质量指标值k的中位数m;(2)从样本质量指标值不小于80的产品中采用分层抽样的方法抽取7件产品,然后从这7件产品中任取2件产品,求至少有1件A级品的概率.16.有四个编有1、2、3、4的四个不同的盒子,有编有1、2、3、4的四个不同的小球,现把四个小球逐个随机放入四个盒子里.(1)小球全部放入盒子中有多少种不同的放法?(2)在(1)的条件下求恰有一个盒子没放球的概率?(3)若没有一个盒子空着,但球的编号与盒子编号不全相同,有多少种投放方法?17.某医院首批援鄂人员中有2名医生,3名护士和1名管理人员.采用抽签的方式,从这六名援鄂人员中随机选取两人在总结表彰大会上发言.(Ⅰ)写出发言人员所有可能的结果构成的样本空间;(Ⅱ)求选中1名医生和1名护士发言的概率;(Ⅲ)求至少选中1名护士发言的概率.18.2018年2月9~25日,第23届冬奥会在韩国平昌举行,4年后,第24届冬奥会将在中国北京和张家口举行,为了宣传冬奥会,某大学在平昌冬奥会开幕后的第二天,从全校学生中随机抽取了120名学生,对是否收看奥运会开幕式进行了问卷调查,统计数据如下:收看没收看男生6020女生2020(1)根据上表说明,能否有99%的把握认为,收看开幕式与性别有关?(2)现从参与收看了开幕式的学生中,采用分层抽样的方法选取8人,参加2022年北京冬奥会志愿者宣传活动.①问男、女学生各选取多少人?②若从这8人中随机选取2人到校广播站宣传冬奥会,求恰好选到一名男生为主播一名女生为副播的概率P .附:22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++,其中n a b c d =+++.20()P K k ≥ 0.1000.050 0.025 0.010 0.005 0k2.7063.8415.0246.6357.87919.某校从高一年级的一次月考成绩中随机抽取了50名学生的成绩,这50名学生的成绩都在[50,100]内,按成绩分为[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]五组,得到如图所示的频率分布直方图.(1)求图中的a 值;(2)根据频率分布直方图估计该校高一年级本次考试成绩的中位数;(3)用分层抽样的方法从成绩在[80,100]内的学生中抽取6人,再从这6人中随机抽取2名学生进行调查,求月考成绩在[90,100]内至少有1名学生被抽到的概率.20.随着科学技术的飞速发展,手机的功能逐渐强大,很大程度上代替了电脑电视.为了了解某高校学生平均每天使用手机的时间与性别是否有关,某调查小组随机抽取了30名男生,20名女生进行为期一周的跟踪调查,调查结果如表所示:平均每天使用手机超过3小时 平均每天使用手机不超过3小时 合计 男生 25 5 30 女生 10 10 20 合计351550(1)能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学生使用手机的时间长短与性别有关?(2)在这20名女生中,调查小组发现共有15人使用国产手机,在未使用国产手机的人中,平均每天使用手机不超过3小时的共有2人.从未使用国产手机的人中任意选取3人,求至多有一人使用手机不超过3小时的概率.()20P K k ≥ 0.500 0.400 0.250 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0k0.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.635参考公式:()()()()()22n ad bc K a c b d a b c d -=++++(n a b c d =+++).21.为了检测某种零件的一条生产线的生产过程,从生产线上随机抽取一批零件,根据其尺寸的数据得到如图所示的频率分布直方图.若尺寸落在区间(2x s -,2x s +)之外,则认为该零件属“不合格”的零件,其中x ,s ,分别为样本平均数和样本标准差,计算可得:15s ≈(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).(1)若一个零件的尺寸是97cm ,试判断该零件是否属于“不合格”的零件;(2)工厂利用分层抽样的方法从样本的前3组中抽出6个零件,标上记号,并从这6个零件中再抽取2个,求再次抽取的2个零件中恰有1个尺寸不超过50cm 的概率. 22.为普及抗疫知识、弘扬抗疫精神,某学校组织防疫知识竞赛.比赛共分为两轮,每位参赛选手均须参加两轮比赛,若其在两轮比赛中均胜出,则视为赢得比赛.已知在第一轮比赛中,选手甲、乙胜出的概率分别为35,34;在第二轮比赛中,甲、乙胜出的概率分别为23,25.甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响. (1)从甲、乙两人中选取1人参加比赛,派谁参赛赢得比赛的概率更大? (2)若甲、乙两人均参加比赛,求两人中至少有一人赢得比赛的概率.23.某组织在某市征集志愿者参加志愿活动,现随机抽出60名男生和40名女生共100人进行调查,统计出100名市民中愿意参加志愿活动和不愿意参加志愿活动的男女生比例情况,具体数据如图所示.(1)完成下列22⨯列联表,并判断是否有99%的把握认为愿意参与志愿活动与性别有关?愿意 不愿意 总计男生 女生 总计(2)现用分层抽样的方法从愿意参加志愿活动的市民中选取7名志愿者,再从中抽取2人作为队长,求抽取的2人至少有一名女生的概率. 参考数据及公式:()20P K k ≥ 0.1 0.05 0.025 0.010k2.7063.8415.0246.635()()()()()()22n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++.24.树立和践行“绿水青山就是金山银山,坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心,已形成了全民自觉参与,造福百姓的良性循环.据此,某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查,大量的统计数据表明,参与调查者中关注此问题的约占80%.现从参与调查的人群中随机选出200人,并将这200人按年龄分组:第1组[)15,25,第2组[)25,35,第3组[)35,45,第4组[)45,55,第5组[)55,65,得到的频率分布直方图如图所示:(1)求出样本的平均数(同一组数据用该区间的中点值作代表);(2)现在要从年龄较小的第1,2组中用分层抽样的方法抽取5人,再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查,求第2组中抽到2人的概率.25.北京市政府为做好APEC 会议接待服务工作,对可能遭受污染的某海产品在进入餐饮区前必须进行两轮检测,只有两轮都合格才能进行销售,否则不能销售.已知该海产品第一轮检测不合格的概率为16,第二轮检测不合格的概率为110,两轮检测是否合格相互没有影响.(1)求该海产品不能销售的概率.(2)如果该海产品可以销售,则每件产品可获利40元;如果该海产品不能销售,则每件产品亏损80元(即获利-80元).已知一箱中有该海产品4件,记一箱该海产品获利X 元,求X 的分布列,并求出数学期望()E X .26.某企业员工500人参加“学雷锋”志愿活动,按年龄分组:第1组[)25,30,第2组[)30,35,第3组[)35,40,第4组[)40,45,第5组[]45,50,得到的频率分布直方图如图所示. 区间 [)25,30 [)30,35 [)35,40 [)40,45 []45,50人数5050a150b(1)上表是年龄的频数分布表,求正整数,a b 的值;(2)现在要从年龄较小的第1,2,3组中用分层抽样的方法抽取6人,年龄在第1,2,3组的人数分别是多少?(3)在(2)的前提下,从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动,求至少有1人年龄在第3组的概率.参考答案【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.A解析:A【分析】根据互斥之间和对立事件的概念,及互斥事件和对立事件的关系和概率的计算,即可作出判断,得到答案.【详解】由题意①中,根据对立事件与互斥事件的关系,可得是正确;②中,当A与B是互斥事件时,才有P(A∪B)=P(A)+P(B),对于任意两个事件A,B满足P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB),所以是不正确的;③也不正确.P(A)+P(B)+P(C)不一定等于1,还可能小于1;④也不正确.例如:袋中有大小相同的红、黄、黑、绿4个球,从袋中任摸一个球,设事件A={摸到红球或黄球},事件B={摸到黄球或黑球},显然事件A与B不互斥,但P(A)+P(B)=+=1.【点睛】本题主要考查了互斥事件和对立事件的基本概念、互斥事件与对立时间的关系及其应用,其中熟记互斥事件和对立事件的概念和关系是解答的关键,着重考查了推理与论证能力,属于基础题.2.A解析:A【解析】A每次射击,命中机首、机中、机尾的概率分别为0.20.40.1、、,未命中敌机的概率为0.3,且各次射击相互独立,若A射击一次就击落敌机,则他击中利敌机的机尾,故概率为0.1;若A射击2次就击落敌机,则他2次都击中利敌机的机首,概率为0.20.20.04⨯=;或者A第一次没有击中机尾、且第二次击中了机尾,概率为0.90.1?0.09⨯=,若A至多射击两次,则他能击落敌机的概率为0.1?0.04?0.09?0.23++= ,故选A.3.B解析:B【分析】根据概率的定义,事件的独立性概念判断各选项.【详解】在相同的条件下做大量重复试验,一个事件A出现的次数和总的试验次数n之比,称为事件A在这n次试验中出现的频率.当试验次数n很大时,频率将稳定在一个常数附近. n越大,频率偏离这个常数较大的可能性越小.这个常数称为这个事件的概率,并不是说n越大,估计的精度越精确,A错;事件A与事件B相互独立,即A是否发生与B是否发生无关,∴事件A是否发生与事件B是否发生也无关,它们相互独立,B正确;抛一枚骰子,出现的点数不大于5记为事件A,出现的点为不小于2记为事件B,则事件A与事件B同时发生是指点数为2,3,4,5,概率为4263=,而事件A与B中恰有一个发生是指点为1或6,概率为212633=<.C 错; 抛掷一枚均匀的硬币,如前两次都是反面,那么第三次出现正面的可能性与出现反面的可能性还是一样.D 错. 故选:B . 【点睛】本题考查概率的定义,考查事件的独立性.掌握概念的定义是解题关键.4.A解析:A 【分析】由函数()f x 至多有一个零点,求得22a -≤≤,得到a 的取值有1,2,共2个可能结果,结合古典概型及概率的计算公式,即可求解. 【详解】由题意,抛掷一枚质地的均匀的骰子,正面向上的点数包含6个可能结果,又由函数()224f x x ax =++至多有一个零点,则24160a ∆=-≤,解得22a -≤≤,又因为a 为正整数,故a 的取值有1,2,共2个可能结果, 所以函数()224f x x ax =++至多有一个零点的概率为13. 故选:A . 【点睛】本题主要考查的是古典概型及其概率计算公式,解题时准确找出试验包含的基本事件的个数,求得函数至多一个零点所包含的的个数,利用古典概型及其概率的计算公式求解是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,属于基础题.5.A解析:A 【分析】先求出A 至B 畅通的概率,再求出B 至C 畅通的概率,再利用独立事件的概率求法求出电路通畅的概率. 【详解】当开关合上时,电路畅通即表示A 至B 畅通且B 至C 畅通,A 至B 畅通的概率1111511114236P ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-⨯--⨯-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦, B 至C 畅通的概率2112915630P =-⨯=, 所以电路畅通的概率125292963036P PP =⨯==, 故选:A. 【点睛】本题考查求独立事件的概率,需要学生有一定的计算分析能力,属于中档题.6.B解析:B 【分析】列举出所有的基本事件,记“此人经过市中心O ”为事件M ,确定事件M 所包含的基本事件,然后利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率. 【详解】此人从小区A 前往H 的所有最短路径为:A B C E H →→→→,A B O E H →→→→,A B O G H →→→→,A D O E H →→→→,A D O G H →→→→,A D F G H →→→→,共6条.记“此人经过市中心O ”为事件M ,则M 包含的基本事件为:A B O E H →→→→,A B O G H →→→→,A D O E H →→→→,A D O G H →→→→,共4条.()4263P M ∴==,即他经过市中心的概率为23. 故选:B. 【点睛】本题考查概率的应用,是中等题.解题时要认真审题,仔细解答,注意列举法的灵活运用.7.A解析:A 【解析】 【分析】根据茎叶图分别求出甲、乙的中位数,平均数,得到模糊成绩的值,利用古典概型求解即可 【详解】由题意可得:甲的成绩为:84、86、91、98、98;中位数为91,平均数为4575; 乙的成绩为:86,88,90+x ,90+y ,99 (x ≤y ); ∵甲,乙中位数相同;∴90+x =91⇒x =1; 乙的平均数为4545y+; ∵乙的平均成绩低于甲; ∴1≤y <3;⇒y =1或2. ∴乙的平均成绩低于甲的概率p 29=; 故选:A . 【点睛】本题考查了茎叶图,以及中位数、平均数的性质及古典概型,考查了学生的计算能力,属于基础题.8.B解析:B【分析】从白球3个,黑球4个中任取3个,共有四种可能,全是白球,两白一黑,一白两黑和全是黑球,进而可分析四个事件的关系;【详解】从白球3个,黑球4个中任取3个,共有四种可能,全是白球,两白一黑,一白两黑和全是黑球,故①恰有1个白球和全是白球,是互斥事件,但不是对立事件,②至少有1个白球和全是黑球是对立事件;③至少有1个白球和至少有2个白球不是互斥事件,④至少有1个白球和至少有1个黑球不是互斥事件,故选B.【点睛】本题考查互斥事件和对立事件的关系,对于题目中出现的两个事件,观察两个事件之间的关系,这是解决概率问题一定要分析的问题,本题是一个基础题.9.C解析:C【解析】【分析】依照对立事件的概念,依次判断即可.【详解】∵在①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数中,这两个事件是同一个事件,在②至少有一个是奇数和两个都是奇数中,至少有一个是奇数包括两个都是奇数,在③至少有一个是奇数和两个都是偶数中,至少有一个是奇数包括有一个奇数和有两个奇数,同两个都是偶数是对立事件,在④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数中,都包含一奇数和一个偶数的结果,∴只有第三所包含的事件是对立事件故选C.【点睛】本题主要考查对立事件的概念,意在考查学生的数学抽象能力.10.D解析:D【分析】由已知先求得甲取得证书的概率,再求得甲,乙两人都取不到证书的概率,由对立事件的概率公式可得选项.【详解】由已知得甲拿到该技能证书的概率为412525⨯=,则甲,乙两人都没有拿到证书的概率为:21211535⎛⎫⎛⎫-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 所以甲、乙两人至少有一人拿到该技能证书的概率是23155-=, 故选:D. 【点睛】方法点睛:在解决含有“至少”,“至多”等一类问题的概率问题时,正面求解时情况较复杂,可以求其对立事件的概率,再用1减去所求的对立事件的概率,就是所求的概率.11.A解析:A 【分析】求出3人每个人任取2卦的方法总数,确定3人中哪一个人的两卦中六根线不是4阳2阴,并求出方法数,另外2人分别取两卦且满足题意的方法,相乘可得基本事件的个数,从而可得概率. 【详解】8卦可分为四类:1阳3阴共3个,3阳1阴共3个,3阳共1个,3阴共1个,3人各取2卦的法为222388828C C C =,2卦的六根线中有四根阳线和两根阴线的方法数为21336C C +=,因此3人中恰有2人两卦的六根线中有四根阳线和两根阴线方法为123338(6)662311C C ⨯-⨯⨯=⨯⨯,∴所求概率为3332311297282744P ⨯⨯==. 故选:A . 【点睛】方法点睛:本题考查古典概型,解题关键是求茁基本事件的个数.解题步骤:第一步分清8卦中阳线和阴线的条件,同类(相同阴线和阳线)的个数,第二步求出任取两卦时,两卦的六根线中有四根阳线和两根阴线方法,第三步用分步乘法原理求出3人中恰有2人两卦的六根线中有四根阳线和两根阴线方法数.这样条理清晰,不易出错.12.B解析:B 【分析】求出开关1、2均正常工作的概率及开关3正常工作的概率,由相互独立事件概率公式、对立事件的概率公式即可得解. 【详解】由题意,开关1、2在某段时间内均正常工作的概率10.90.90.81P =⨯=, 开关3正常工作的概率20.9P =,故该系统正常工作的概率()()()()12111110.8110.90.981P P P =---=--⨯-=,所以该系统的可靠性为0.981.故选:B.13.D解析:D【分析】列出所有分成三组的情况,共有6种,进而可得概率.【详解】4支队伍分成三组,有(甲乙、丙、丁),(甲丙、乙、丁),(甲丁、乙、丙),(乙丙、甲、丁),(乙丁、甲、丙),(丙丁、甲、乙),共6种情况,而甲乙在一组共1种情况,∴16P=.故选: D.【点睛】本题考查了古典概型,考查了计算能力,属于一般题目.二、解答题14.(1)①6,②7,③8,④9,⑤8,⑥9;(2)甲乙两位同学的转换分都为87分,看法答案见解析;(3)1 5 .【分析】(1)根据已知数据与茎叶图的关系得出答案.(2)根据高考实测的转换赋分模拟公式及结果得出答案.(3)列举法写出所有基本事件,然后按概率公式计算.【详解】解:(1)由题意知①6②7③8④9⑤8⑥9(2)甲同学选考政治学科可以的等级A,根据等比例转换赋分公式:9882100 828186TT--=--得T=87乙同学选考化学学科可以的等级A,根据等比例转换赋分公式:10091100 919086TT--=--得T=87故甲乙两位同学的转换分都为87分.从公平性的角度谈谈你对新高考这种“等级转换赋分法”的看法:一,从茎叶图可得甲乙同学原始分都排第三,转换后都是87分,因此高考这种“等级转换赋分法”具有公平性与合理性.二,甲同学与乙同学原始分差9分,但转换后都是87分,高考这种“等级转换赋分法”对尖子生不利.(3)政治学科等级为A的学生有82,84,92根据等比例转换赋分公式:87,88,95该校化学学科等级为A 的学生有91,94,98根据等比例转换赋分公式:87,92,97 设转换分都不少于91分为M法一:(列举法)所有基本事件:(82,84)(82,92)(82,91)(82,94))(82,98)(84,92)(84,91)(84,94)(84,98)(92,91)(92,94)(92,98)(91,94) (91,98)(94,98)共15个基本事件,时间M 包含3个基本事件 所以P (M )=31155= 法二:政治学科等级为A 的学生有82,84,92三人,转换分不少于91分有1人;政治学科等级为A 的学生有91,94,98三人,转换分不少于91分有2人.由古典概型23261()5C P M C ==.【点睛】思路点睛:此题是概率统计综合题,需要理清题目信息,正确理解相关概念. 15.(1)85m =;(2)57. 【分析】(1)计算出各产品等级的频率,利用中位数左边的矩形面积之和为0.5可求得m 的值; (2)计算得出7件产品中A 级品共3件,分别记为1A 、2A 、3A ,B 级品共4件,分别记为1B 、2B 、3B 、4B ,列举出所有的基本事件,并确定事件“所抽的2件产品中至少有1件A 级品”所包含的基本事件数,利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】(1)当6n =时,[)60,70k ∈,1100M =,频率为11100.1100p =⨯=; 当7n =时,[)70,80k ∈,150M =,频率为21100.250p =⨯=; 当8n =时,[)80,90k ∈,125M =,频率为31100.425p =⨯=. 各产品等级的频率如下表所示:0.10.20.50.10.20.4+<<++,80,90m ∴∈,所以,800.10.20.40.510m -++⨯=,解得85m =; (2)所抽取的7件产品中,A 级品的数量为0.3730.30.4⨯=+,分别记为1A 、2A 、3A ,B 级品的数量为4,分别记为1B 、2B 、3B 、4B ,从这7件产品中任取2件产品,所有的基本事件有:12A A 、13A A 、11A B 、12A B 、13A B 、14A B 、23A A 、21A B 、22A B 、23A B 、24A B 、31A B 、32A B 、33A B 、34A B 、12B B 、13B B 、14B B 、23B B 、24B B 、34B B ,共21个基本事件,其中,事件“所抽的2件产品中至少有1件A 级品”包含15个基本事件, 因此,所求事件的概率为155217P ==. 【点睛】方法点睛:求解古典概型概率的方法如下: (1)列举法; (2)列表法; (3)数状图法; (4)排列组合数的应用. 16.(1)256种;(2)916;(3)23种. 【分析】(1)用分步乘法计数原理计算,考虑每个球的放法可得;(2)选取2球放在一起作为一个球,共3个球放到3个盒子中,用排列求得放法后由古典概型概率公式可计算出概率;(3)4个球的全排列数减去编号全相同的排法1即可得. 【详解】(1)每个球都有4种方法,故有4444256⨯⨯⨯=种(2)从4个小球中选两个作为一个元素,同另外两个元素在三个位置全排列,故共有2344144C A =种不同的放法.概率为:144925616= (3)每个盒子不空,共有4424A =,24123-=种.【点睛】关键点点睛:本题考查计数原理,古典概型,排列的应用.难点是事件“4个盒子中恰有一个盒子没放球”,解题关键是确定完成这件事的方法,4个球放到3个盒子中,其中有一个盒子中必有2个球,由此可选取2个球放在一起作为一个球,4个球看作3个球放入4个盒子中的3个中,用排列知识可求解. 17.(Ⅰ)样本空间见解析;(Ⅱ)25;(Ⅲ)45. 【分析】(Ⅰ)给6名医护人员进行编号,使用列举法得出样本空间;(Ⅱ)列举出符合条件的基本事件,根据古典概型的概率公式计算概率; (Ⅲ)列举出对立事件的基本事件,根据对立事件概率公式计算概率. 【详解】。

2022版高考数学大一轮复习第11章概率第2讲古典概型与几何概型2

2022版高考数学大一轮复习第11章概率第2讲古典概型与几何概型2

第十一章概率第二讲古典概型与几何概型1。

[2021长春市第一次质量监测]张老师居住的一条街上,行驶着甲、乙两路公交车,这两路公交车的数目相同,并且都是每隔十分钟就到达车站一辆(即停即走)。

张老师每天早晨都是在6:00到6:10之间到达车站乘车到学校,这两条公交线路对他是一样的,都可以到达学校,甲路公交车的到站时间是6:09,6:19,6:29,6:39,…,乙路公交车的到站时间是6:00,6:10,6:20,6:30,…,则张老师乘坐上甲路公交车的概率是() A.10%B。

50%C。

60%D。

90%2。

[2021安徽省示范高中联考]在以正五边形ABCDE的顶点为顶点的三角形中,任取一个,是钝角三角形的概率()A。

12B.13C。

14D.233。

[2021石家庄质检]北京冬奥会将于2022年2月4日到2022年2月20日在北京和张家口举行.申奥成功后,中国邮政陆续发行多款邮票,图案包括冬奥会会徽“冬梦”、冬残奥会会徽“飞跃”、冬奥会吉祥物“冰墩墩”、冬残奥会吉祥物“雪容融”、多种冰上运动等.现从2枚会徽邮票、2枚吉祥物邮票、1枚冰上运动邮票共5枚邮票中任取3枚,则恰有1枚吉祥物邮票的概率为()A.310B.12C。

35D。

7104。

[2021晋南高中联考]把分别写有1,2,3,4的四张卡片全部分给甲、乙、丙三个人,每人至少一张,且若分得的卡片超过一张,则必须是连号,那么2,3连号的概率为 ( )A.23B .13C 。

35D 。

145。

[2021贵阳四校第一次联考][条件创新]在区间[-2,2]内随机取一个数x ,则事件“y ={2x ,x ≤0,x +1,x >0,且y ∈[12,2]”发生的概率为( )A.78B 。

58C 。

38D 。

126。

[2021广东珠海模拟][与音乐结合]现有8位同学参加音乐节演出活动,每位同学都会拉小提琴或吹长笛,已知5人会拉小提琴,5人会吹长笛,现从这8人中随机选一人上场演出,恰好选中两种乐器都会演奏的同学的概率是 ( )A.14B 。

考研数学三(概率论与数理统计)历年真题试卷汇编5(题后含答案及解析)

考研数学三(概率论与数理统计)历年真题试卷汇编5(题后含答案及解析)

考研数学三(概率论与数理统计)历年真题试卷汇编5(题后含答案及解析)题型有:1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。

1.(03年)将一枚硬币独立地掷两次,引进事件:A1={掷第一次出现正面},A2={掷第二次出现正面},A3={正、反面各出现一次},A4={正面出现两次},则事件【】A.A1,A2,A3相互独立.B.A2,A3,A4相互独立.C.A1,A2,A3两两独立.D.A2,A3,A4两两独立.正确答案:C 涉及知识点:概率论与数理统计2.(07年)某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为p(0<P<1),则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为【】A.3p(1-p)2.B.6p(1-p)2.C.3p2(1-p)2.D.6p2(1-p)2.正确答案:C解析:P{第4次射击恰好第2次命中目标}=P{前3次射击恰中1枪,第4次射击命中目标} =P{前3次射击恰中1枪}.P{第4次射击命中目标}=C31p(1-p)2.P=3p2(1-p)2 知识模块:概率论与数理统计3.(09年)设事件A与事件B互不相容,则【】A.P()=0.B.P(AB)=P(A)P(B).C.P(A)=1-P(B).D.P()-1.正确答案:D 涉及知识点:概率论与数理统计4.(14年)设随机事件A与B相互独立,且P(B)=0.5,P(A-B)=0.3,则P(B-A)=【】A.0.1B.0.2C.0.3D.0.4正确答案:B解析:∵A与B独立,∴P(AB)=P(A)P(B).故0.3=P(A-B)=P(A)-P(AB)=P(A)-P(A)P(B) =P(A)[1-P(B)]=P(A)(1-0.5)=0.5(P(A) 得P(A)==06,P(B-A)=P(B)-P(AB)=P(B)-P(A)P(B)=0.5-0.6×0.5=0.2.知识模块:概率论与数理统计5.(15年)若A,B为任意两个随机事件,则【】A.P(AB)≤P(A)P(B).B.P(AB)≥P(A)P(B).C.P(AB)≤.D.P(AB)≥.正确答案:C解析:由ABA,ABB得P(AB)≤P(A),P(AB)≤P(B),两式相加即得:P(AB)≤.知识模块:概率论与数理统计6.(16年)设A,B为两个随机事件,且0<P(A)<1,0<P(B)<1,如果P(A|B)=1,则【】A.P()=1.B.P(A|)=0.C.P(A∪B)=1.D.P(B|A)=1.正确答案:A解析:由1=P(A|B)=,有P(B)=P(AB) 于是知识模块:概率论与数理统计7.(90年)设随机变量X和Y相互独立,其概率分布为则下列式子正确的是:【】A.X-YB.P{X-Y}=0C.P{X-Y}=D.P{X=Y}=1正确答案:C解析:P(X=Y)=P(X=-1,Y=-1)+P(X=1,Y=1) =P(X=-1)P(Y =-1)+P(X=1)P(Y=1) =知识模块:概率论与数理统计8.(93年)设随机变量X的密度函数为φ(χ),且φ(-χ)-φ(χ),F(χ)为X的分布函数,则对任意实数a,有【】A.F(-a)=1-∫0aφ(χ)dχB.F(-a)=-∫0aφ(χ)dχC.F(-a)=F(a)D.F(-a)=2F(a)-1正确答案:B解析:由概率密度的性质和已知,可得故选B.知识模块:概率论与数理统计9.(95年)设随机变量X~N(μ,σ2),则随着σ的增大,概率P(|X-μ|<σ) 【】A.单调增大.B.单调减小.C.保持不变.D.增减不定.正确答案:C解析:由已知X~N(μ,σ),得~N(0,1) 故P{|X-μ|<σ}==(1)Ф-Ф(-1) 故选C.知识模块:概率论与数理统计填空题10.(89年)设随机变量X的分布函数为则A=_______,P{|X|<}=_______.正确答案:1;解析:∵分布函数是右连续的,故得1=Asin ∴A=1 这时,F(χ)在(-∞,+∞)上都连续,于是知识模块:概率论与数理统计11.(91年)设随机变最X的分布函数为则X的概率分布为_______.正确答案:解析:F(χ)为一阶梯状函数,则X可能取的值为F(χ)的跳跃点:-1,1,3.P(X=-1)=F(-1)-F(-1-0)=0.4 P(X=1)=F(1)-F(1-0)=0.8-0.4=0.4 P(X=3)=F(3)-F(3-0)=1-0.8=0.2 知识模块:概率论与数理统计12.(94年)设随机变量X的概率密度为以Y表示对X的三次独立重复观察中事件{X≤}出现的次数P{Y=2}=_______.正确答案:解析:由题意,Y~B(3,p).其中p=故知识模块:概率论与数理统计13.(00年)设随机变量X的概率密度为若k使得P{X≥k}=,则k的取值范围是_______.正确答案:[1,3]解析:∵P(X≥k)=∫k+∞f(χ)dχ.可见:若k≤0,则P(X≥k)=1 若0<k<1,则P(X≥k)=若k>6,则P(X≥k)=0 若3<k≤6,则P(X ≥k)=若1≤k≤3,则P(X≥k)=综上,可知K∈[1,3].知识模块:概率论与数理统计14.(05年)从数1,2,3,4中任取一个数,记为X,再从1,…,X中任取一个数,记为Y,则P(Y=2}=_______.正确答案:解析:由题意,X的概率分布为而P(Y=2|X=1)=0,P(Y=2|X=2)=,P(Y=2|X=3)=,P(Y=2|X=4)=,故由全概率公式得知识模块:概率论与数理统计15.(05年)设二维随机变量(X,Y)的概率分布为若随机事件{X=0}与{X+Y=1}相互独立,则a=_______,b=_______.正确答案:0.4;0.1.解析:由题意知0.4+a+b+0.1=1,∴a+b=0.5 而P{X=0}=0.4+a,P{X+Y=1}=P{X=0,Y=1}+P{X=1,Y=0}=a+b=0.5,P{X =0,X+Y=1}=P{X=0,Y=1}=a 由P{X=0,X+Y=1)=P{X=0)P{X +Y=1} ∴a=(0.4+a)0.5,得a=0.4,从而b=0.1.知识模块:概率论与数理统计16.(06年)设随机变量X与Y相互独立,且均服从区间[0,3]上的均匀分布,则P{max(X,Y)≤1}=_______.正确答案:解析:由题意知X与Y的概率密度均为:则P(X≤1}=P{Y≤1}=∫-∞1f(χ)dχ=故P{max(X,Y)≤1}=P{X≤1,y≤1}=P{X≤1}P{y≤1}=知识模块:概率论与数理统计17.(99年)设随机变量Xij(i=1,2,…,n;n≥2)独立同分布,Eij=2,则行列式Y=的数学期望EY=_______.正确答案:0解析:由n阶行列式的定义知Y=,P1,…,Pn为(1,…,n)的排列,τ(p1p2…pn)为排列p1p2…pn的逆序数.而Xij(i,j=1,2,…,n)独立同分布且EXij=2,故知识模块:概率论与数理统计解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

概率论与数理统计习题及答案9537405

概率论与数理统计习题及答案9537405

第一章 概率论的基本概念1. 设C B A ,,为三个随机事件,用C B A ,,的运算表示下列事件: (1)、C B A ,,都发生; (2)、B A ,发生, C 不发生;(3)、C B A ,,都不发生;(4)、B A ,中至少有一个发生而C 不发生; (5)、C B A ,,中至少有一个发生; (6)、C B A ,,中至多有一个发生; (7)、C B A ,,中至多有两个发生; (8)、C B A ,,中恰有两个发生。

2. 设C B A ,,为三个随机事件, 已知:3.0)(=A P ,8.0)(=B P ,6.0)(=C P ,2.0)(=AB P ,0)(=AC P ,6.0)(=BC P 。

试求)(B A P ⋃,)(B A P ,)(C B A P ⋃⋃。

3. 将一颗骰子投掷两次, 依次记录所得点数, 试求: (1)、两次点数相同的概率;(2)、两次点数之差的绝对值为1的概率; (3)、两次点数的乘积小于等于12的概率。

4. 设一袋中有编号为1, 2, 3, ⋅ ⋅ ⋅, 9的球共9只, 某人从中任取3只球, 试求:(1)、取到1号球的概率; (2)、最小号码为5的概率;(3)、所取3只球的号码从小到大排序,中间号码恰为5的概率; (4)、2号球或3号球中至少有一只没有取到的概率。

.5. 已知3.0)(=A P ,4.0)(=B P ,2.0)(=AB P ,试求:(1) )|(A B P ; (2))|(B A P ; (3))|(B A B P ⋃; (4))|(B A B A P ⋃⋃。

6. 设有甲、乙、丙三个小朋友, 甲得病的概率是0.05, 在甲得病的条件下乙得病的概率是0.40, 在甲、乙两人均得病的条件下丙得病的条件概率是0.80, 试求甲、乙、丙三人均得病的概率。

7. 设某人按如下原则决定某日的活动: 如该天下雨则以0.2的概率外出购物,以0.8的概率去探访朋友; 如该天不下雨,则以0.9的概率外出购物,以0.1的概率去探访朋友。

概率论答案

概率论答案

习题二答案1.随机变量的分布函数、分布律、密度函数有何联系与区别? 答:随机变量的分布刻画了随机变量的取值规律,不管是连续型、离散型或既不是连续型,也不是离散型随机变量都可用分布函数来描述其取值的规律;而分布律只用来描述离散型随机变量的取值规律;密度函数只能来描述连续型随机变量的取值规律。

它们的联系在于当知道了X 的分布律,可通过求概率P {X ≤x }(x 取任意的值)求得X 的分布函数F (x );仅之亦然。

当知道了连续型随机变量的密度函数f (x ),可通过积分F (x )=∫dt x−∞ (−∞≤x ≥+∞) ,求得分布函数F (x ), 可通过对F (x )求导,即dy dx F (x )=f (x )(对一切f (x )的连续点处)求得密度函数f (x )。

2. 同时掷两枚骰子,求两枚骰子的点数之和X 的概率分布,并计算P{X ≤3}和P{X>13}.解:由题意X 的正概率点为2,3,…12 P {X =k }=6−|k−7|36 , k=2,3, (12)P {X ≤3}=P {X =2}=P {X =3}=136+236=112P {X >12}=P {∅}=03. 某产品共17件,其中有次品3件,现从中任取5件,求抽得次品数X 的概率分布,并计算P{1≤X<2} 解:P {X =k }=C 3k C 145−k C 175 , P {1≤X <2}=C 31C 144C 1754. 一汽车沿一街道行驶,需要通过三个均设有红绿信号灯的路口,每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立,且红绿两种信号显示的时间相等,以X 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数,求X 的概率分布解:X 的可能取值为0,1,2,3 A i (i=1,2,3)表示事件“汽车在第i 个路口首次遇到红灯”;A 1,A 2,A 3 相互独立,且P (A i )=P (A i ̅)=12,i=1,2,3对于m =0,1,2,3 ,有P {X =0}=P {A i }=12 P {X =1}=P {A 1̅̅̅A 2}=12P {X =2}=P {A 1̅̅̅ A 2̅̅̅A 3}=123 P {X =3}=P {A 1̅̅̅ A 2̅̅̅ A 3̅̅̅}=1235.设随机变量X 的概率密度为:f (x )={13 x ∈[0,1]29x ∈[3,6]0 其他 若k 使得P {X ≥k }=23, 求k 的取值范围。

专题09 概率(专题测试)--解析版

专题09 概率(专题测试)--解析版

专题09 概率(专题测试) 【基础题】 1.(2021·全国高一单元测试)从数字1,2,3,4中任取三个不同的数字,则所抽取的三个数字之和能被6整除的概率为( ) A .12 B .15 C .14 D .25【答案】C【分析】利用列举法,结合古典概型概率计算公式,计算出所求概率.【详解】从数字1,2,3,4中任取三个不同的数字,方法有:123,124,134,234++++++++共4种, 其中所抽取的三个数字之和能被6整除的有:1236++=共1种,故所求概率为14. 故选:C2.(2021·全国高三专题练习(文))在新冠疫情的冲击下,全球经济受到重创,右图是各国公布的2020年第二季度国内生产值(GDP )同比增长率,现从这5个国家中任取2个国家,则这2个国家中第二季度GDP 同比增长率至少有1个低于15%-的概率为( )A .310B .12C .35D .710 【答案】D【分析】利用列举法求解即可【详解】令中国、澳大利亚、印度、英国、美国的2020年第二季度国内生产值(GDP )同比增长率分别为A ,B ,C ,D ,E ,其中C ,D 都低于15%-,则从这5个国家中任取2个国家有:AB ,AC ,AD ,AE ,BC ,BD ,BE ,CD ,CE ,DE 共10种,其中至少有1个低于15%-有AC ,AD ,BC ,BD ,CD ,CE ,DE 共7种,所以所求概率为710.故选:D.3.(2020·广西玉林市·北流市实验中学高二期中(理))从1,2,3,4,5这五个数中任取两个不同的数,则这两个数都是奇数的概率是( )A .0.1B .0.2C .0.3D .0.6【答案】C【分析】根据题中条件,列举出总的基本事件,以及满足条件的基本事件,基本事件的个数比即为所求概率.【详解】从1,2,3,4,5这五个数中任取两个数,包含的基本事件有:()1,2,()1,3,()1,4,()1,5,()2,3,()2,4,()2,5,()3,4,()3,5,()4,5,共10个;则这两个数都是奇数包含的基本事件有:()1,3,()1,5,()3,5,共3个;所以这两个数都是奇数的概率是310P =.故选:C. 4.(2021·全国高一课时练习)把分别写有1,2,3,4的四张卡片全部分给甲、乙、丙三个人,每人至少一张,且若分得的卡片超过一张,则必须是连号,那么2,3连号的概率为( )A .23B .13C .35D .14【答案】B【分析】根据列举法,列举出总的基本事件,以及满足条件的基本事件,基本事件个数之比即为所求概率.【详解】分三类情况,第一类1,2连号,则甲、乙、丙三个人拿到的卡片可能为()12,3,4,()12,4,3,()3,12,4,()4,12,3,()3,4,12,()4,3,12,有6种分法;第二类2,3连号,则甲、乙、丙三个人拿到的卡片可能为()1,23,4,()4,23,1,()23,1,4,()23,4,1,()1,4,23,()4,1,23,有6种分法;第三类3,4连号,则甲、乙、丙三个人拿到的卡片可能为()1,2,34,()2,1,34,()34,1,2,()34,2,1,()1,34,2,()2,34,1,有6种分法;共有18种分法,则2,3连号的概率为61183P ==.故选:B . 【点睛】本题主要考查求古典概型的概率,属于基础题型.5.(2021·浙江高一单元测试)从一批产品中随机抽取3件产品进行质量检测,记“3件产品都是次品”为事件A ,“3件产品都不是次品”为事件B ,“3件产品不都是次品”为事件C ,则下列说法正确的是( ) A .任意两个事件均互斥B .任意两个事件均不互斥C .事件A 与事件C 对立D .事件A 与事件B 对立【答案】C【分析】根据互斥事件和对立事件的概念可得选项.【详解】由题意知:事件C 包括三种情况,一是有两个次品一个正品,二是有一个次品两个正品,三是三件都是正品,没有次品.由此知: A 与C 是互斥事件,并且是对立事件; B 与C 是包含关系,不是互斥事件,不是对立事件;A 与B 是互斥事件,但不对立事件.故选:C.【点睛】本题考查互斥事件、对立事件的概念和辨析,属于基础题.6.(2021·浙江高一单元测试)设事件A ,B ,已知P (A )=15,P (B )=13,P (A ∪B )=815,则A ,B 之间的关系一定为( )A .两个任意事件B .互斥事件C .非互斥事件D .对立事件【答案】B【分析】由题意先求P (A )+P (B ),然后检验P (A )+P (B )是否与P (A ∪B )相等,从而可判断是否满足互斥关系【详解】因为P (A )+P (B )=1185315+==P (A ∪B ),所以A ,B 之间的关系一定为互斥事件.故选:B 【点睛】此题考查了互斥事件的概率公式的简单应用,属于基础题7.(2020·全国高一单元测试)对于总数N 的一批零件,抽取一个容量为30的样本.若每个零件被抽到的可能性均为25%,则N =( )A .120B .150C .200D .240 【答案】A【分析】根据每个个体被抽到的概率及样本容量,即可求得总体个数.【详解】∵对于总数为N 的一批零件,抽取一个容量为30的样本,每个零件被抽到的可能性均为25%, ∴3025%N=,解得120N =.故选:A. 【点睛】本题考查了样本容量与抽样概率的关系,属于基础题.8.(2021·全国高一课时练习)若A ,B 为对立事件,则下列式子中成立的是( )A .()()1P A PB +< B .()()1P A P B +>C .()()0P A P B +=D .()()1P A P B +=【答案】D【分析】根据事件的对立关系,结合概率的加法公式即可求解.【详解】若事件A 与事件B 是对立事件,则A B 为必然事件,再由概率的加法公式得()()1P A P B +=.故选:D.【点睛】此题考查对立事件的概率关系,关键在于弄清对立事件的特点及性质.9.(2020·全国高一课时练习)某射手在一次射击中,射中10环,9环,8环的概率分别是0.20, 0.30, 0.10.则此射手在一次射击中不够8环的概率为A .0.30B .0.40C .0.60D .0.90【答案】B【分析】先求出此射手在一次射击中大于等于8环的概率,即可求出结果.【详解】记“此射手在一次射击中大于等于8环”为事件A ,由题意可得()0.200.300.100.60P A =++=,所以,此射手在一次射击中不够8环的概率为()10.40P P A =-=.故选B【点睛】本题主要考查对立事件,熟记对立事件的性质即可,属于基础题型.10.(多选题)(2020·全国高一)中国篮球职业联赛(CBA )中,某男篮球运动员在最近几次参加的比赛中的得分情况如下表:记该运动员在一次投篮中,投中两分球为事件A ,投中三分球为事件B ,没投中为事件C ,用频率估计概率的方法,得到的下述结论中,正确的是( )A .()0.55P A =B .()0.18P B =C .()0.27P C =D .()0.55P B C += 【答案】ABC【分析】求出各事件的概率,并结合对立事件的概率公式可判断出各选项的正误.【详解】由题意可知,()550.55100P A ==,()180.18100P B ==, 事件A B +与事件C 为对立事件,且事件A 、B 、C 互斥,()()()()110.27P C P A B P A P B ∴=-+=--=,()()()0.45P B C P B P C +=+=.故选:ABC.【点睛】本题考查事件的概率,涉及互斥事件和对立事件概率公式的应用,考查计算能力,属于基础题. 11.(2021·浙江高一单元测试)某校参加夏令营的同学有3名男同学,,A B C 和3名女同学,,X Y Z ,其所属年级情况如下表:现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同)(1)用表中字母写出这个试验的样本空间;(2)设M 为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”,写出事件M 的样本点,并求事件M 发生的概率.【答案】(1)答案见解析;(2)答案见解析;25. 【分析】(1)根据样本空间的概念写出即可;(2)利用列举法写出样本点,然后根据古典概型的概率公式求出概率即可得.【详解】(1)这个试验的样本空间为: {}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{},,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A B A C A X A Y A Z B C B X B Y B Z C X C Y C Z X Y X Z Y Z . (2)选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能结果为;{},A Y ,{},A Z ,{},B X ,{},B Z ,{},C X ,{},C Y 共6种,因此事件M 发生的概率()62155P M ==. 【点睛】本题考查了样本空间的概念,考查了用列举法求古典概型的概率,属于基础题.12.(2021·全国高一课时练习)5张奖券中有2张是中奖的,先由甲抽1张,然后由乙抽1张,抽后不放回,求:(1)甲中奖的概率()P A ; (2)甲、乙都中奖的概率()P B ;(3)只有乙中奖的概率(C)P ; (4)乙中奖的概率()P D .【答案】(1)25;(2)110;(3)310;(4)25 【分析】(1)写出所有的基本事件,找出甲中奖的基本事件有8种,所以可求甲中奖的概率为25; (2)写出所有的基本事件,找出甲、乙都中奖的基本事件,然后可得概率;(3)写出所有的基本事件,找出只有乙中奖的基本事件,然后可得概率;(4)写出所有的基本事件,找出乙中奖的基本事件,然后可得概率.【详解】将5张奖券编号为1,2,3,4,5,其中4,5为中奖奖券,用(,)x y 表示甲抽到号码x ,乙抽到号码y ,则所有可能的结果为(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,3),(2,4),(2,5),(3,1),(3,2),(3,4), (3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),共20种.(1)甲中奖包含8个基本事件:(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4), 82()205P A ∴==. (2)甲、乙都中奖包含2个基本事件:(4,5),(5,4), 21()2010P B ∴==. (3)只有乙中奖包含6个基本事件:(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4), (3,5), ∴63()2010P C ==. (4)乙中奖包含8个基本事件:(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4), (3,5),(4,5),(5,4), ∴82()205P D ==. 【点睛】本题主要考查古典概率的求解,列出基本事件空间和各类事件所包含的基本事件是求解的关键,注意抽取方式的不同对结果的影响,侧重考查数学运算的核心素养.【提升题】13.(2021·全国高一单元测试)齐王与田忌赛马,田忌的上等马优于齐王的中等马,劣于齐王的上等马,田忌的中等马优于齐王的下等马,劣于齐王的中等马,田忌的下等马劣于齐王的下等马.某天,齐王与田忌赛马,双方约定:比赛三局,每局各出一匹,每匹马赛一次,赢得两局者为胜,则田忌获胜概率为( ).A .112B .16C .14D .13【答案】B【分析】设齐王的三匹马分别为123,,a a a ,田忌的三匹马分别为123,,b b b ,列举所有比赛的情况,利用古典概型的概率公式计算即可得出结果.【详解】设齐王的三匹马分别为123,,a a a ,田忌的三匹马分别为123,,b b b ,所有比赛的情况::11()a b ,、22(,)a b 、33(,)a b ,齐王获胜三局;11()a b ,、23(,)a b 、32(,)a b ,齐王获胜两局;12(,)a b 、21(,)a b 、33(,)a b ,齐王获胜两局;12(,)a b 、23(,)a b 、31(,)a b ,齐王获胜两局;13(,)a b 、21(,)a b 、32(,)a b ,田忌获胜两局;13(,)a b 、22(,)a b 、31(,)a b ,齐王获胜两局,共6种情况,则田忌胜1种情况,故概率为16P =,故选:B 【点睛】本题考查了古典概型的概率计算问题,考查了理解辨析和数学运算能力,属于中档题目. 14.(2021·全国高一课时练习)抛掷一个质地均匀的骰子的试验,事件A 表示“小于5的偶数点出现”,事件B 表示“不小于5的点数出现”,则一次试验中,事件A 或事件B 至少有一个发生的概率为( ) A .23 B .13 C .12 D .56【答案】A【分析】由古典概型概率公式分别计算出事件A 和事件B 发生的概率,又通过列举可得事件A 和事件B 为互斥事件,进而得出事件A 或事件B 至少有一个发生的概率即为事件A 和事件B 的概率之和.【详解】事件A 表示“小于5的偶数点出现”,事件B 表示“不小于5的点数出现”,∴P (A )2163==,P (B )2163==, 又小于5的偶数点有2和4,不小于5的点数有5和6,所以事件A 和事件B 为互斥事件, 则一次试验中,事件A 或事件B 至少有一个发生的概率为P (A ∪B )=P (A )+P (B )112333=+=, 故选:A .【点睛】本题主要考查古典概型计算公式,以及互斥事件概率加法公式的应用,属于中档题.15.(2021·浙江高一单元测试)洛书,古称龟书,是阴阳五行术数之源.在古代传说中有神龟出于洛水,其甲壳上心有此图象,结构是戴九履一,左三右七,二四为肩,六八为足,以五居中,五方白圈皆阳数,四隅黑点为阴数,其各行各列及对角线点数之和皆为15.如图,则甲壳上所有阴阳数之和__________;若从五个阳数中随机抽取三个数,则能使得这三个数之和等于15概率是__________.【答案】45 15【分析】由洛书上所有数相加即得和,用列举法列出从五个阳数中随机抽取三个数的所有基本事件,求和后知和为15的基本事件的个数,从而可得概率.【详解】甲壳上所有阴阳数之和为12945++=(或15345⨯=),五个阳数是1,3,5,7,9,任取3个数所得基本事件有:135,137,139,157,159,179,357,359,379,579共10个,其中和为15的有159,357共2个,所求概率为21105P ==.故答案为:45;15. 【点睛】本题考查数学文化,考查古典概型,用列举法是解决古典概型的常用方法.通过中国古代数学文化激发学生的学习兴趣,激发学生求知欲和创新意识,拓展学生的思维,培养学生的爱国情怀. 16.(2021·全国高一单元测试)A ,B 是治疗同一种疾病的两种药,用若干试验组进行对比试验,每个试验组由4只小白鼠组成,其中2只服用A ,另2只服用B ,然后观察疗效,若在一个试验组中,服用A 有效的白鼠的只数比服用B 有效的多,就称该试验组为甲类组,设每只小白鼠服用A 有效的概率为23,服用B 有效的概率为12. (1)求一个试验组为甲类组的概率;(2)观察3个试验组,求这3个试验组中至少有一个甲类组的概率.【答案】(1)49;(2)604729. 【分析】(1)由题意知本题是一个独立重复试验,根据所给的两种药物对小白鼠有效的概率,计算出小白鼠有效的只数的概率,对两种药物有效的小白鼠进行比较,得到甲类组的概率.(2)根据对立事件的概率公式计算可得;【详解】(1)设i A 表示事件:一个试验组中,服用A 有效的小鼠有i 只,0i =,1,2,i B 表示事件“一个试验组中,服用B 有效的小鼠有i 只“,0i =,1,2, 依题意有:1124()2339P A =⨯⨯=,2224()339P A =⨯=.0111()224P B =⨯=, 1111()2222P B =⨯⨯=,所求概率为:010212()()()P P B A P B A P B A =++14141444949299=⨯+⨯+⨯= (2)依题意这3个试验组中至少有一个甲类组的对立事件为这3个试验组中没有一个甲类组的.所以概率34604119729P ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭; 【点睛】本题考查相互独立事件的概率公式的应用,以及对立事件的概率计算,属于中档题.【拓展题】(选用)17.(2021·全国高一单元测试)某社区举办《“环保我参与”有奖问答比赛》活动,某场比赛中,甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题.已知甲家庭回答正确这道题的概率是34,甲、丙两个家庭都回答错误的概率是112,乙、丙两个家庭都回答正确的概率是14.若各家庭回答是否正确互不影响. (1)求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率;(2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率.【答案】(1)乙:38;丙:23;(2)2132 . 【分析】(1)记“甲回答对这道题”、“乙回答对这道题”、“丙回答对这道题”分别为事件A 、B 、C ,则()34P A =,且有1()?()121()()4P A P C P B P C ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,由此能求出乙、丙两人各自回答对这道题的概率. (2)首先计算出0个家庭回答正确这道题的概率与1个家庭回答正确这道题的概率,再根据对立事件的概率公式计算可得;【详解】(1)记“甲回答对这道题”、“乙回答对这道题”、“丙回答对这道题”分别为事件A 、B 、C ,则()34P A =,且有1()?()121()()4P A P C P B P C ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩, 即1[1()][1()]121()()4P A P C P B P C ⎧--=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,解得()38P B =, ()23P C =. (2)有0个家庭回答正确的概率为()()()()0151548396P P ABC P A P B P C ===⨯⨯= 有1个家庭回答正确的概率为 ()()()()()()()()()()1P P ABC ABC ABC P A P B P C P A P B P C P A P B P C =++=++351131152748348348324=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯= 所以不少于2个家庭回答正确这道题的概率为01572111962432P P P =--=--= 【点睛】本题主要考查独立重复试验的概率乘法公式,互斥事件和对立事件,体现了分类讨论的数学思想,求出甲、乙、丙三人各自答对这道题的概率,是解题的关键,属于中档题.18.(2021·全国高一单元测试)有一种鱼的身体吸收汞,当这种鱼身体中的汞含量超过其体重的1.00ppm (即百万分之一)时,人食用它,就会对人体产生危害.现从一批该鱼中随机选出30条鱼,检验鱼体中的汞含量与其体重的比值(单位:ppm ),数据统计如下:0.07 0.24 0.39 0.54 0.61 0.66 0.73 0.82 0.82 0.820.87 0.91 0.95 0.98 0.98 1.02 1.02 1.08 1.14 1.201.20 1.26 1.29 1.31 1.37 1.40 1.44 1.58 1.62 1.68(1)求上述数据的中位数、众数、极差,并估计这批鱼该项数据的80%分位数;(2)有A ,B 两个水池,两水池之间有10个完全相同的小孔联通,所有的小孔均在水下,且可以同时通过2条鱼.(ⅰ)将其中汞的含量最低的2条鱼分别放入A 水池和B 水池中,若这2条鱼的游动相互独立,均有13的概率进入另一水池且不再游回,求这两条鱼最终在同一水池的概率;(ⅱ)将其中汞的含量最低的2条鱼都先放入A 水池中,若这2条鱼均会独立地且等可能地从其中任意一个小孔由A 水池进入B 水池且不再游回A 水池,求这两条鱼由不同小孔进入B 水池的概率.【答案】(1)中位数为1;众数为0.82;极差为1.61;估计这批鱼该项数据的80百分位数约为1.34;(2)(ⅰ)49;(ⅱ)910. 【分析】(1)由中位数—排序后处于中间的数,如有两个数取其平均数;众数—出现频率最高的数、极差—最大数与最小数的差;p 百分比位数—数据集中有n 个数:当np 为整数时12np np x x ++,当np 不为整数时[]1np x +;即可求出对应值;(2) (ⅰ)记A :“两鱼最终均在A 水池”; B :“两鱼最终均在B 水池”求出概率,由它们的互斥性即可求得两条鱼最终在同一水池的概率;(ⅱ)记n C :“两鱼同时从第n 个小孔通过”且鱼的游动独立,知1()100n P C =,而10个事件互斥,则“两鱼同时从一个小孔通过”的概率即可求,它与“两条鱼由不同小孔通过”为互斥事件,进而求得其概率【详解】(1)由题意知,数据的中位数为0.98 1.0212+=,数据的众数为0.82, 数据的极差为1.680.07 1.61-=,估计这批鱼该项数据的80百分位数约为1.31 1.37 1.342+= (2)(ⅰ)记“两鱼最终均在A 水池”为事件A ,则212()339P A =⨯= 记“两鱼最终均在B 水池”为事件B ,则212()339P B =⨯= ∵事件A 与事件B 互斥,∴两条鱼最终在同一水池的概率为224()()()999P AB P A P B =+=+= (ⅱ)记“两鱼同时从第一个小孔通过”为事件1C ,“两鱼同时从第二个小孔通过”为事件2C ,依次类推;而两鱼的游动独立 ∴12111()()1010100P C P C ===⨯= 记“两条鱼由不同小孔进入B 水池”为事件C ,则C 与1210...C C C 对立,又由事件1C ,事件2C ,10C 互斥∴121011()(...)1010010P C P C C C ==⨯=即12109()1(...)10P C P C C C =-= 【点睛】本题考查了数据特征值的概念,以及利用条件概率公式,结合互斥事件、独立事件等概念求概率;注意独立事件:多个事件的发生互不相关,且可以同时发生;互斥事件:一个事件发生则另一个事件必不发生,即不能同时发生。

09级概率论与数理统计习题册

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4.设X i ,S 2表示来自总体 N (7,「2B (X 1_ X 2)_(»1 _ 巴)~ N(0,1)第六章样本及抽样分布•、选择题1.设X i ,X2^\\,X n 是来自总体X 的简单随机样本,则X 「X 2,川,X n 必然满足() A.独立但分布不同;B.分布相同但不相互独立;C 独立同分布; D.不能确定2 •下列关于“统计量”的描述中,不正确的是( ).A •统计量为随机变量 B.统计量是样本的函数C.统计量表达式中不含有参数D •估计量是统计量 3下列关于统计学“四大分布”的判断中,错误的是(1A.若 F ~ F(q,n 2),则 ~F(n 2,njB •若 T ~t(n),贝UT 2~ F(1, n)22C .若 X ~ N(0,1),则X ~ x (1)n、(X —)2j二2D .在正态总体下 2~ x (n -1))的容量为n ,的样本均值和样本方差 (i = 1,2),且两总体相互独立,则下列不正确的是(_ 2 2A.令~卩(口 -1小2 -1)C.X1 p ~t(nJS1 / . n1 D.2仇一1金〜x2(n2-1)■、二25.设X1,X2,I山X n是来自总体的样本1 n—,则H/Xi-X)2是()A.样本矩B.二阶C.二阶中心矩D.统计量6X1,X2,IH,X n是来自正态总体N(0,1)的样本,X,S2分别为样本均值与样本方差,则).XY =a(X 1 2X 2)9设X 1,X 2,HI,X n 是来自正态总体 N(0,22)的简单随机样本,若2 2 2b(X 3 X 4 X 5) c(X 6 X 7 X 8 X 9)服从 X 分布,a,b, c 的值分别为(A. X 〜N (0,1)B. nX 〜N (0,1)C.2 2、X i ~ x (n)7.给定一组样本观测值 X 1,X2^|,X 9 且得X i =45〕X 2= 285,则样本方差S 2i =1的观测值为( ).A. 7.5B.60C.2065D.8设X 服从t(n)分布, P{| X |「} =a ,则 P{X ::: -,}为().A.B. 2aC. — ■ aD.A. 8‘12‘16 B . 20'12'16C. 10设随机变量X 和Y 相互独立,且都服从正态分布 丫1,丫2,…,丫9分别是来自两总体的简单随机样本 A. t(9) B. t(8) 3‘3‘3D.2‘3‘4 N(0,32),设 X 1,X 2, ,X g 和 ,则统计量U 二 C. N(0,81) 服从分布是( D. N(0,9)).】、填空题1.在数理统计中, 称为样本.2 .我们通常所说的样本称为简单随机样本,它具有的两个特 占 八、、设随机变量X 1,X 2,…,X n 相互独立且服从相同的分布,EX -',DX 二X i ,则 EX 二 ;DX 二4.(X 1,X 2,…,X 10)是 来自总 体 X ~ N(0,0.32)的 个样本,1.446C) 注:X ~ N(0, ^),n「102P抵X iJ 45.已知样本X i,X2,…,X i6取自正态分布总体N(2,1) , X为样本均值,已知P{X _讣=0.5 , 则,________________ .10.6设总体X~N(〜;「2) , X是样本均值,S n是样本方差,n为样本容量,则常用的随2机变量(n ~12)Sn服从________________ 分布.■.第六章样本及抽样分布答案一、选择题1.( C )2.( C) 注:统计量是指不含有任何未知参数的样本的函数3.( D)对于答案D,由于------- ~ N(0,1),i =1,2,IH,n,且相互独立,根据2分布的定义有CTn、(X i -叮4 2 ~x2( n)5.(D)X~t(n-1)才是正确的S n-12 兰1}=2P{X —12 兰1}—14.(C) 注:~ t(n 1-1)才是正确的=2P 谏-12 2 「5 乞1 2 “5 i;.;—1 =2::」()T9~29由t 分布的定义有999解:' X i ~ N(0,92)= ' X i 9~ N 0,1Y 2y /y9' X i 9---------- 〜t 992 、Y 2 81i 吕填空题1. 与总体同分布,且相互独立的一组随机变量2. 代表性和独立性4. 0.15.26. 2(n-1)7.(A ) S 29 Zi 49 -1X i -X92 — 2X i-9 Xi 49一1285-9 25 =7.58. (A) 9. (B) 解: 由题意可知X iX 3 X 4 X 5~ N(0,12),2X 2 ~ N (0,20), X 7 X 8 X 9 ~ N(0,16),且相互独立,因此2 2 2(X 1 +2X 2 )十。

《概率论与数理统计》习题三答案-设二维随机变量(x,y)之欧阳法创编

《概率论与数理统计》习题三答案-设二维随机变量(x,y)之欧阳法创编

《概率论与数理统计》习题及答案习题三1.将一硬币抛掷三次,以X 表示在三次中出现正面的次数,以Y 表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值.试写出X 和Y 的联合分布律.【解】X 和Y 的联合分布律如表:111222⨯⨯111222⨯⨯=2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球,在其中任取4只球,以X 表示取到黑球的只数,以Y 表示取到红球的只数.求X 和Y 的联合分布律. 【解】X 和Y 的联合分布律如表:223247C 3C 35=313247C 2C 35=1 011232247C C C 6C 35= 21132247C C C 12C 35= 313247C C 2C 35=2P (0黑,2红,2白)=2242271C C /C 35=12132247C C C 6C 35= 223247C C 3C 35=3.设二维随机变量(X ,Y )的联合分布函数为F (x ,y )=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤.,020,20,sin sin 其他ππy x y x 求二维随机变量(X ,Y )在长方形域⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<≤<36,40πππy x 内的概率. 【解】如图πππ{0,}(3.2)463P X Y <≤<≤公式题3图说明:也可先求出密度函数,再求概率。

4.设随机变量(X ,Y )的分布密度f (x ,y )=⎩⎨⎧>>+-.,0,0,0,)43(其他y x A y x e求:(1) 常数A ;(2) 随机变量(X ,Y )的分布函数; (3) P {0≤X <1,0≤Y <2}.【解】(1)由-(34)0(,)d d e d d 112x y A f x y x y A x y +∞+∞+∞+∞+-∞-∞===⎰⎰⎰⎰得A =12(2)由定义,有(3) {01,02}P X Y ≤<≤<5.设随机变量(X ,Y )的概率密度为f (x ,y )=⎩⎨⎧<<<<--.,0,42,20),6(其他y x y x k(1) 确定常数k ;(2) 求P {X <1,Y <3}; (3) 求P {X <1.5}; (4) 求P {X +Y ≤4}. 【解】(1)由性质有故18R =(2)13{1,3}(,)d d P X Y f x y y x-∞-∞<<=⎰⎰(3) 11.5{ 1.5}(,)d d a (,)d d x D P X f x y x y f x y x y<<=⎰⎰⎰⎰如图(4)24{4}(,)d d (,)d d X Y D P X Y f x y x y f x y x y+≤+≤=⎰⎰⎰⎰如图b题5图6.设X 和Y 是两个相互独立的随机变量,X 在(0,0.2)上服从均匀分布,Y 的密度函数为f Y (y )=⎩⎨⎧>-.,0,0,55其他y y e求:(1) X 与Y 的联合分布密度;(2)P {Y ≤X }.题6图【解】(1) 因X 在(0,0.2)上服从均匀分布,所以X 的密度函数为而 所以 (2)5()(,)d d 25e d d y y xDP Y X f x y x y x y-≤≤=⎰⎰⎰⎰如图7.设二维随机变量(X ,Y )的联合分布函数为F (x ,y )=⎩⎨⎧>>----.,0,0,0),1)(1(24其他y x y x e e求(X ,Y )的联合分布密度. 【解】(42)28e ,0,0,(,)(,)0,x y x y F x y f x y x y -+⎧>>∂==⎨∂∂⎩其他.8.设二维随机变量(X ,Y )的概率密度为f (x ,y )= 4.8(2),01,0,0,.y x x y x -≤≤≤≤⎧⎨⎩其他求边缘概率密度. 【解】()(,)d X f x f x y y+∞-∞=⎰题8图 题9图9.设二维随机变量(X ,Y )的概率密度为f (x ,y )=⎩⎨⎧<<-.,0,0,其他e y x y求边缘概率密度. 【解】()(,)d X f x f x y y+∞-∞=⎰题10图10.设二维随机变量(X ,Y )的概率密度为f (x ,y )=⎩⎨⎧≤≤.,0,1,22其他y x y cx(1) 试确定常数c ; (2) 求边缘概率密度. 【解】(1)(,)d d (,)d d Df x y x y f x y x y+∞+∞-∞-∞⎰⎰⎰⎰如图得214c =.(2)()(,)d X f x f x y y+∞-∞=⎰11.设随机变量(X ,Y )的概率密度为f (x ,y )=⎩⎨⎧<<<.,0,10,,1其他x x y求条件概率密度f Y |X (y |x ),f X |Y (x |y ).题11图【解】()(,)d X f x f x y y+∞-∞=⎰所以12.袋中有五个号码1,2,3,4,5,从中任取三个,记这三个号码中最小的号码为X ,最大的号码为Y .(1) 求X 与Y 的联合概率分布; (2) X 与Y 是否相互独立?【解】(1) X 与Y 的联合分布律如下表3 4 5{}i P X x =1 3511C 10= 3522C 10= 3533C 10= 610 2 0 3511C 10= 3522C 10= 310 32511C 10=110{}i P Y y =110 310 610(2)因6161{1}{3}{1,3},101010010P X P Y P X Y ===⨯=≠===故X 与Y 不独立13.设二维随机变量(X ,Y )的联合分布律为2 5 80.4 0.80.15 0.30 0.35 0.05 0.12 0.03(1)求关于X 和关于Y 的边缘分布; (2) X 与Y 是否相互独立? 【解】(1)X 和Y 的边缘分布如下表YXXY2 5 8 P {Y=y i } 0.4 0.15 0.30 0.35 0.8 0.80.05 0.12 0.03 0.2{}i P X x =0.20.420.38(2)因{2}{0.4}0.20.8P X P Y ===⨯0.160.15(2,0.4),P X Y =≠===故X 与Y 不独立.14.设X 和Y 是两个相互独立的随机变量,X 在(0,1)上服从均匀分布,Y 的概率密度为f Y (y )=⎪⎩⎪⎨⎧>-.,0,0,212/其他y y e(1)求X 和Y 的联合概率密度;(2) 设含有a 的二次方程为a 2+2Xa +Y =0,试求a 有实根的概率.【解】(1) 因1,01,()0,X x f x <<⎧==⎨⎩其他;21e ,1,()20,yY y f y -⎧>⎪==⎨⎪⎩其他. 故/21e01,0,(,),()()20,.y X Y x y f x y X Y f x f y -⎧<<>⎪=⎨⎪⎩独立其他题14图(2) 方程220aXa Y ++=有实根的条件是故 X 2≥Y ,XY从而方程有实根的概率为:15.设X 和Y 分别表示两个不同电子器件的寿命(以小时计),并设X 和Y 相互独立,且服从同一分布,其概率密度为f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧>.,0,1000,10002其他x x求Z =X /Y 的概率密度.【解】如图,Z 的分布函数(){}{}Z XF z P Z z P z Y =≤=≤(1) 当z ≤0时,()0Z F z =(2) 当0<z <1时,(这时当x =1000时,y =1000z )(如图a)题15图(3) 当z ≥1时,(这时当y =103时,x =103z )(如图b )即11,1,2(),01,20,.Z z z zf z z ⎧-≥⎪⎪⎪=<<⎨⎪⎪⎪⎩其他故21,1,21(),01,20,.Zzzf z z⎧≥⎪⎪⎪=<<⎨⎪⎪⎪⎩其他16.设某种型号的电子管的寿命(以小时计)近似地服从N(160,202)分布.随机地选取4 只,求其中没有一只寿命小于180的概率.【解】设这四只寿命为X i(i=1,2,3,4),则X i~N(160,202),从而17.设X,Y是相互独立的随机变量,其分布律分别为P{X=k}=p(k),k=0,1,2,…,P{Y=r}=q(r),r=0,1,2,….证明随机变量Z=X+Y的分布律为P{Z=i}=∑=-ikkiqkp)()(,i=0,1,2,….【证明】因X和Y所有可能值都是非负整数,所以于是18.设X,Y是相互独立的随机变量,它们都服从参数为n,p的二项分布.证明Z=X+Y服从参数为2n,p的二项分布.【证明】方法一:X+Y可能取值为0,1,2,…,2n.方法二:设μ1,μ2,…,μn;μ1′,μ2′,…,μn′均服从两点分布(参数为p),则X=μ1+μ2+…+μn,Y=μ1′+μ2′+…+μn′,X+Y=μ1+μ2+…+μn+μ1′+μ2′+…+μn′,所以,X+Y服从参数为(2n,p)的二项分布. 19.设随机变量(X,Y)的分布律为(1) 求P{X=2|Y=2},P{Y=3|X=0};(2)求V=max(X,Y)的分布律;(3)求U=min(X,Y)的分布律;(4)求W=X+Y的分布律.【解】(1){2,2} {2|2}{2}P X YP X YP Y== ====(2){}{max(,)}{,}{,}P V i P X Y i P X i Y i P X i Y i =====<+≤=所以V的分布律为(3) {}{min(,)}P U i P X Y i === 于是(4)类似上述过程,有20.雷达的圆形屏幕半径为R ,设目标出现点(X ,Y )在屏幕上服从均匀分布.(1) 求P {Y >0|Y >X };(2) 设M =max{X ,Y },求P {M >0}.题20图【解】因(X ,Y )的联合概率密度为(1){0,}{0|}{}P Y Y X P Y Y X P Y X >>>>=>(2) {0}{max(,)0}1{max(,)0}P M P X Y P X Y >=>=-≤ 21.设平面区域D 由曲线y =1/x 及直线y =0,x =1,x=e 2所围成,二维随机变量(X ,Y )在区域D上服从均匀分布,求(X ,Y )关于X 的边缘概率密度在x =2处的值为多少?题21图【解】区域D 的面积为22e e 0111d ln 2.S x x x===⎰(X ,Y )的联合密度函数为(X ,Y )关于X 的边缘密度函数为 所以1(2).4X f =22.设随机变量X 和Y 相互独立,下表列出了二维随机变量(X ,Y )联合分布律及关于X 和Y 的边缘分布律中的部分数值.试将其余数值填入表中的空白处.【解】因21{}{,}j j i j i P Y y P P X x Y y ======∑,故11121{}{,}{,},P Y y P X x Y y P X x Y y ====+==从而11111{,}.6824P X x Y y ===-=而X 与Y独立,故{}{}{,}i j i i P X x P Y y P X x Y y =====,从而11111{}{,}.624P X x P X x Y y =⨯==== 即:1111{}/.2464P X x ===又1111213{}{,}{,}{,},P X x P X x Y y P X x Y y P X x Y y ====+==+==即1,3111{},4248P X x Y y =++==从而131{,}.12P X x Y y ===同理21{},2P Y y ==223{,}8P X x Y y ===又31{}1jj P Y y ===∑,故3111{}1623P Y y ==--=. 同理23{}.4P X x == 从而 故23.设某班车起点站上客人数X 服从参数为λ(λ>0)的泊松分布,每位乘客在中途下车的概率为p (0<p <1),且中途下车与否相互独立,以Y 表示在中途下车的人数,求:(1)在发车时有n 个乘客的条件下,中途有m 人下车的概率;(2)二维随机变量(X ,Y )的概率分布. 【解】(1){|}C (1),0,0,1,2,m m n mn P Y m X n p p m n n -===-≤≤=.(2) {,}{}{|}P X n Y m P X n P Y m X n ======24.设随机变量X 和Y 独立,其中X 的概率分布为X ~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛7.03.021,而Y 的概率密度为f (y ),求随机变量U =X +Y 的概率密度g (u ).【解】设F (y )是Y 的分布函数,则由全概率公式,知U =X +Y 的分布函数为由于X 和Y 独立,可见 由此,得U 的概率密度为25. 25. 设随机变量X 与Y 相互独立,且均服从区间[0,3]上的均匀分布,求P {max{X ,Y }≤1}.解:因为随即变量服从[0,3]上的均匀分布,于是有因为X ,Y 相互独立,所以 推得1{max{,}1}9P X Y ≤=.26. 设二维随机变量(X ,Y )的概率分布为-1 0 1-1 0 1a 0 0.2 0.1b 0.2 0 0.1 c其中a ,b ,c 为常数,且X 的数学期望E (X )=0.2,P {Y ≤0|X ≤0}=0.5,记Z =X +Y .求:X Y(1)a,b,c的值;(2)Z的概率分布;(3)P{X=Z}.解 (1) 由概率分布的性质知,a+b+c+0.6=1 即a+b+c = 0.4.由()0.2E X=-,可得0.1a c-+=-.再由{0,0}0.1 {00}0.5{0}0.5P X Y a bP Y XP X a b≤≤++≤≤===≤++,得0.3a b+=.解以上关于a,b,c的三个方程得0.2,0.1,0.1a b c===.(2) Z的可能取值为2,1,0,1,2,{2}{1,1}0.2P Z P X Y=-==-=-=,{1}{1,0}{0,1}0.1P Z P X Y P X Y=-==-=+==-=,{0}{1,1}{0,0}{1,1}0.3 P Z P X Y P X Y P X Y===-=+==+==-=,{1}{1,0}{0,1}0.3P Z P X Y P X Y====+===,{2}{1,1}0.1P Z P X Y=====,即Z的概率分布为Z -2 -1 0 1 2P 0.2 0.1 0.3 0.3 0.1(3) {}{0}0.10.20.10.10.20.4P X Z P Y b ====++=++=.。

概率论和数理统计第二章课后习题答案解析

概率论和数理统计第二章课后习题答案解析

概率论与数理统计课后习题答案第二章1•一袋中有5只乒乓球,编号为1, 2, 3. 4. 5.在其中同时取3只,以X 表示取出的3只 球中的最大号码,写出随机变Sx 的分布律. 【解】X =3,4,5P(X=3)= - =0,1 C ; 3P (X=4) = & = 0.3Cjc-p(X=5) =二= 0.6C :2•设在15只同 类型零件中有2只为次品,在英中取3次,每次任取1只,作不放回抽样, 的次品个数,求:布律;布函数并作图; P{X<-!-},P{1<X<-),P{1<X<-},P{1<X<2).2 2【解】X =0,1,2. 卩住-0)-&-22C :5 35 C ; 35 P(X-2)-C” - * .C ; 35 故X 的分布律为X0 12以X 表示取出 CD (2) (3)X 的分 X 的分当OWxvl时当1W«2时当x>2时,F(X)F(X)22=P (XWx) =P(X=O)=——3534=P (XWx) =P(X=O)+P{X=1)= —F故X的分布函数(X)=P (XWx) =1F(X)n0, x<022 C —,0<%<1 3534—,I<x<2 35x>23•射手向目标独立地进行了 3次射击,每次击中率为,求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数,并求3次射击中至少击中2次的概率.【解】设X表示击中目标的次数•则XP, i, 2, 3.p(X=O) = (0.2)3 =0・008P(X =1) = C;O.8(O.2)2 = 0.096P(X =2) = C^(0.8)'0.2 = 0.384p(x= 3) = (0.8)3 =0.512P _____________分布函数F(X)= <0,0.00&0.104,0.48&%<00<x<ll<x<22 < X <3 x>3P(X >2) = P(X = 2) + P(X = 3) = 0.896 4. (1)设随机变量X的分布律为P(X=.}=Z.(2)当 xvO 时,F(X)=P (XWx) =0苴中kR, r 2.…,人>0为常数,试确企常数G(2)设随机变量X的分布律为p{X=k)=a/N, k=l.2,…,N,试确企常数G【解】(1)由分布律的性质知00 W 1l= EP(X=k) =吃■{2)由分布律的性质知'电PZ氓舒即rt = L5.甲、乙两人投篮,投中的概率分别为“今^$投3次,求:(1)两人投中次数相等的概率;(2)甲比乙投中次数多的概率.【解】分别令X、y表示甲、乙投中次数,则XF (3,),旷b(3, ⑴P(X=3# = 3)=(0・4)3(0・3)3 + C;O・6(O・4)2C;O・7(O・3)2 +C;(O・6)2O・4C;(O・7)2O・3 + (O・6)3(O・7)3= 0320766•设某机场每天有200架飞机在此降落,任一飞机在某一时刻降落的概率设为,且设各飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道,才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于(毎条跑逍只能允许一架飞机降落)【解】设X为某一时刻需立即降落的飞机数,则X~b(200,,设机场需配备W条跑逍,则有P(X >N)<0・012<)0工 C 爲(0.02)气0.98)2叫 <0.01A = np = 200 X 0.02 = 4.* pl 4*P(X >N)= Z ——<0.01jt-.v+i k!査表得WM9.故机场至少应配备9条跑道.7.有一繁忙的汽车站,每天有大量汽车通过,设每辆车在一天的某时段出事故的概率为在某天的该时段内有1000辆汽车通过,问岀事故的次数不小于2的概率是多少(利用泊松泄理) 【解】设X 表示出事故的次数,则X~b (1000> 001)8•已知在五重贝努里试验中成功的次数X 满足P{X= 1)=P{X=2).求概率P{X=4}・ 【解】设在每次试验中成功的概率为p ,则P (x=4)=e (i/-=22_.‘3 3 2439.设事件A 在每一次试验中发生的概率为,当人发生不少于3次时,指示灯发出信号, (1) 进行了 5次独立试验,试求指示灯发出涪号的概率: (2) 进行了 7次独立试验,试求指示灯发出信号的概率. 【解】(1)设X 表示5次独立试验中A 发生的次数,则X-6 (535P(X >3)=工C ;(0・3)气0・7)1 =0.163084-5(2)令y 表示7次独立试验中人发生的次数,则Y-b (7r )P(r > 3) = ^C ;(0.3/ (0・7)M = 0.35293k~3W •某公安局在长度为f 的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X 服从参数为(坨)f 的泊松分布,而与时间间隔超点无关(时间以小时计).(1)求某一天中午12时至下午3时没收到呼救的概率:利用泊松近似所以(2)求某一天中午12时至下午5时至少收到1次呼救的概率.3【解】(1 ) P(X=0) = e"^_5 {2) P(X >1) = 1-P(X =0) = 1-门©”(1 一 P)j, 砖012,3,4分别为随机变量X, y 的概率分布,如果已知试求P{Y^1}. 5 4【解】因为P(X>1) =彳,故P(X<1) = 2.P(X<l) = P(X=0) = (l-p)2故得P (r>l ) = l-P (r = 0) = l-(I-/7/= —^0.802478112•某教科书出版了 2000册,因装订等原因造成错误的概率为,试求在这2000册书中恰有 5册错误的概率.【解】令X 为2000册书中错误的册数,则XF (2000,・利用泊松近似计算,A = np = 2000 X 0,001 = 2efP(X=5). —= 0.00183 I13•进行某种试验,成功的概率为2,失败的概率为丄•以X 表示试验首次成功所需试验的次4 4数.试写出X 的分布律,井计算X 取偶数的概率. 【解】x=12…人…P(X=2) + P(X=4) +…+ P(X=2k) +… =丄・3 + (丄)3色+…+(丄)心3+…4 4 4 4 4 4 34114.有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险•在一年中每个人死亡的概率为,毎个参加保险的人在1月1日须交12元保险费,而在死亡时家属可从保险 P{Y=m}=从而(1)保险公司亏本的概率;(2)保险公司获利分别不少于10000元、20000元的概率. 【解】以“年”为单位来考虑.(1)在1月1日,保险公司总收入为2500X12=30000元・设1年中死亡人数为X,则X~b(250a,则所求概率为P(2000X >30000) = P(X >15) = 1-P(X<14)由于G很大,p很小• A=np=S,故用泊松近似,有M e"^5*P(X >15)3-工 ---------- 0.000069*■0 k!(2) P(保险公司获利不少于10000)=7(30000-2000X > 10000) = P(X < 10)10 e」屮a a 0.986305厶 &丨*•0 K •即保险公司获利不少于10000元的概率在98%以上P (保险公司获利不少于 20000) =P (30000- 2000X > 20000) = P{X < 5)即保险公司获利不少于20000元的概率约为62%15•已知随机变量X的密度函数为f(X)=AQ8*+8.求:(1)人值:(2) P{O<X<1}; (3) F(x).【解】⑴由匸/Wdx = l得Ae-cLv = 2j;Ae-cLv = 2Ap(0 < X < 1) = g £「cU = i (1 一 e j) 当 x<0 时,F(x) = J £ e*dv 当心0时,F(x) =『—e\ x<0216•设某种仪器内装有三只同样的电子管,电子管使用寿命X 的密度函数为啤,x>100, X 0,求:(1) (2)(3) 【解】M=\-¥<100,在开始150小时内没有电子管损坏的概率; 在这段时间内有一只电子管损坏的概率; F (X)•2100 1 P(XMI50) =鳥丁 E 亍 2 8p,=ip(x>i5o)r=(-)^=—(2) =63—(—)"=— 2 ^3 3 9 ⑶当 xclOO 时 F(X)=0 (1) 当 x>100 时 F(x) = J^/(Z)d/ flUO “ =L/㈣+L/(N ft 100 100=^"dr = l --------- J K X)尸 F(x) = ・100 1---- , x>I00 X 0, %<017•在区间[0, o ]上任意投掷一个质点•以X 表示这质点的坐标,设这质点落在[0. g ] 中任意小区间内的概率与这小区间长度成正比例,试求X 的分布函数. 【解】 由题意知X~U [oa ,密度函数为 /W = ' —,0 < X < «a 0, 其他 故当x<0时f(X)=0当 QWxWa 时 F(x)=匸/(Z)dZ =『『厶/ =- 当 x>a 时,F (X)=1%<0F(x) = < Q<x<ax>a5]上服从均匀分布•现对X 进行三次独立观测,求至少有两次的观测P(X>3) = J ;lch- = |,2,1 , 2 , 20 厂C 咛亍%1方19•设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X (以分钟讣)服从指数分布£(-).某顾客在窗口等待服务,若超过10分钟他就离开.他一个月要到银行5次,以y 表示一个月内他未等 到服务而离开窗口的次数,试写出y 的分布律,并求 【解】依题意知X即英密度函数为-e5a该顾客未等到服务而离开的概率为y 即英分布律为P (r = Zc )=C^(e"/(I-e-')'-\A: =0,12,3,4,5P (r>l ) = l-P (y = 0) = l-(l-e--)5=0.5l6720.某人乘汽车去火车站乘火车,有两条路可走.第一条路程较短但交通拥挤,所需时间X 服 从W (40. 102);第二条路程较长,但阻塞少,所需时间X 服从W (50. 42). (1) 若动身时离火车开车只有1小时,问应走哪条路能乘上火车的把握大些(2) 又若离火车开车时间只有45分钟,问应走哪条路赶上火车把握大些 【解】(1)若迫第一条路,X-N (40. 10》则即分布函数故所求概率为0,18•设随机变量X 在[2. 值大于3的概率.2<%<5/w=p'0, 其他x>0 x<0P(X>10) = J :亍= e""若走第二条路,X-N (50. 42),则(X-5060-50------ < I 4P(X<60) = P(X-40 60 —40) ----- < I 1010 = 0(2) = 0.97727故走第二条路乘上火车的把握大些. (2)若 X~N (40, lOJ,则P{X < 45) =45:4O )=①⑴习=】5若 X~N (50, 42〉,则P(X < 45) = P (X-50 45-50) K “= <="25) = 1-0(1.25) = 0.1056 故走第一条路乘上火车的把握大些.21•设X~N (3, 22), Cl) 求 P{2<X<5}» P{ 4<X<10}. P{|X| >2}, P{X>3}; (2)确崔 c 便 P{X>c}=P{X^c}. 【解】(1) P(2<X<5) = P2-3 X-3 5-3)< - < ------ ・2 ) =0(1)-0 ——=0(1)-1 + 0 - V 2丿 V 2= 0.8413-1 + 0.6915 = 0.5328P (-4<X <10) = P =e (1\ .一 —(pI2丿P(l X lA 2)= p(x > 2)+ p(x < -2)p(X<60) = P= 0(2.5) = 0.9938++5=0.6915 + 1- 0.9938 = 0.6977X-3 3-3P(X>3) = P( ------- >——)=1一0(0) = 0・52 2⑵c=322•由某机器生产的螺栓长度(cm ) X-N C 儿规定长度在±内为合格品,求一螺栓为不合格品 的概率.【解】P(IX-10・05l>0」2) = P\=1-0(2) + 0(-2) = 2(1- 0(2)]=0.045623•—工厂生产的电子管寿命X (小时〉服从正态分布N (160,若要求P{120VXW200}允许。

同济大学_概率论与数理统计期中试卷

同济大学_概率论与数理统计期中试卷

P (A )(C )=0(D )P (AB )=P (A )P (B )同济大学09学年第一学期 专业级《概率统计》期中试卷考试形式:(闭卷)题号(型)二四总分得分一、填空题(共30分,每空2分): 1. 事件A,B,C 中至少有一个发生可表示为 表示为.()2. ______________________________________________________ 设P (A )=0.4,P(B)=0.3,P (AB )=0.4,则P \AB )=.3. 一袋中有10个球,其中3个黑球,7个白球.每次从中任取一球,直到第3次才取到黑球的概率 为,至少取3次才能取到黑球的概率为.x <—1Y 二2X +1,则EY 二二、选择题(共10分,每小题2分)1.设事件A,B 互不相容,且P (A )>0,P (B )>0,则有(,三个事件都发生可表示为,都不发生可4.设随机变量X的分布函数F 0=<0.4 0.8—1<x <1,则X 的分布列为5.进行10次独立重复射击,设X 表示命中目标的次数,分布,其数学期望为,方差为.若每次射击命中目标的概率都是0.4,则X 服从6. 设连续型随机变量X 〜e6),(九〉0),则k = 时,P (X >2k }=47. 8.已知随机变量X 〜P (2),则Y =2X —10的数学期望EY =,方差DY =/)「0.25—2<x <2已知随机变量X 的概率密度函数为f 6)=<则X 服从_I 0x <—2,x >2 .分布,设随机变量A )B )2.设F (x )与F (x )分别为任意两个随机变量的分布函数,令F (x )=aF (x )+bF (x ),则下列各组数中能1212使FG 丿成为某随机变量的分布函数的有(31(C )a=,b=-22设随机变量X 的概率密度函数为f (x ),且f (-x )=f (x ),F (x )是X 的分布函数,则对任意实数a,)三、计算题(共50分,每小题10分)1.城乡超市销售一批照相机共10台,其中有3台次品,其余均为正品,某顾客去选购时,超市已售出2台,该顾客从剩下的8台中任意选购一台,求该顾客购到正品的概率。

概率论与数理统计习题答案详解版廖茂新复旦版

概率论与数理统计习题答案详解版廖茂新复旦版

概率论与数理统计习题答案详解版(廖茂新复旦版)1•设A, B, C为三个事件,用A, B, C的运算式表示下列事件: A发生而B与C都不发生;A, B,C至少有一个事件发生;A,B,C至少有两个事件发生;A,B,C恰好有两个事件发生;A,B至少有一个发生而C不发生;A, B,C都不发生.解: (1) A BC或A-B-C 或A- ( BU C).AU BU C.(AB)U( AC)U( BC).(AB C )U( AC B )U( BC A ).(A U B) C.A UB fTC 或ABC .2.对于任意事件A, B, C,证明下列关系式:(1) (A+B) (A+B)(A+B)(A +B)=0 ;(2) AB+A B +A B + AB-AB二AB;(3) A-(B+C)= (A-B)-C.证明:略.B 为两事件,P (A) =0.5,P(B)=0.3,P(AB)=0.1,求:3•设A,A发生但B不发生的概率;A, B都不发生的概率;至少有一个事件不发生的概率.(1)P (A B)二P (A-B)二P (A-AB)二P (A)-P (AB)=0.4;⑵ P(AB)= P(;m B)=1-P(AU B)=1-0.7=0.3;(3) P(A U B )二P(X B ) =1-P(AB)=1-0.1=094.调查某单位得知。

购买空调的占15%,购买电脑占12%,购买DVD的占20%其中购买空调与电脑占6%购买空调与DVD占10%购买电脑和DVD占5%,三种电器都购买占2%。

求下列事件的概率。

(1)至少购买一种电器的;(2)至多购买一种电器的;(3)三种电器都没购买的.解:(1) 0.28, (2) 0.83, (3) 0.725.10把钥匙中有3把能打开门,今任意取两把,求能打开门的概率。

解:8/156.任意将10本书放在书架上。

其中有两套书,一套3本,另一套4 本。

求下列事件的概率。

(1)3本一套放在一起;(2)两套各自放在一起;(3)两套中至少有一套放在一起.解: (1) 1/15, (2) 1/210, (3) 2/217.12名新生中有3名优秀生,将他们随机地平均分配到三个班中去,试求:(1)每班各分配到一名优秀生的概率;(2)3名优秀生分配到同一个班的概率.解12名新生平均分配到三个班的可能分法总数为4 4 4 12!GCG =荷3(1)设A表示“每班各分配到一名优秀生”3名优秀生每一个班分配一名共有3!种分法,而其他9名学生平均分配到3个班共有(3殳种分法’由乘法原理,A包含基本事件数为故有P(A)=静斶=16/55(2)设B表示“ 3名优秀生分到同一班”,故3名优秀生分到同一班共有3种分法,其他9名学生分法总数为。

概率

概率
概率
(一)知识点:
1.随机事件: 决定性现象:
随机现象:
随机试验:
样本点:
样本空间:
随机事件:(简称事件)
必然事件:
不可能事件:
基本事件:
说明:要搞清随机试验、样本空间和随机事件三者之间的关系,即:如
果一个随机试验的样本空间Ω是有限样本空间,那么在这个试验中的每
一个随机事件都可看成Ω的一个子集;反之,Ω的每一个子集都可看成
(1)两球都是白色的概率;(2)两球都是红色的概率;(3))两球 颜色相同的概率; (4)两球颜色不相同的概率。
2.在100件产品中,有95件合格品,5件次品,从中任取3件,计算 :
(1)“都是合格品”的事件A的概率; (2)“都是次品”的事件B概率; (3)“恰有一件是次品”的事件C的概率。
(4)“至少有一件是次品”的事件D的概率。
有一件次品”的概率是 。(结果保留两位小数)
12.某射手射击1次,击中目标的概率是0.9,他射击4次恰好击中3次的概
率为

13. (07年考题)小明射击一次击中10环的概率是0.3,则小明连续射击3次恰
好击中10环2次的概率为

13.某商店销售两种商品,其畅销与否互不影响,已知甲种商品畅销的概率
为0.6, 乙种商品畅销的概率为0.9,则两种商品都畅销的概率
(1)两人均未获奖的概率; (2)恰有一人获奖的概率; (3)至少有一人获奖的概率;
10. (06年考题)现有某种产品10件,已知其中8件正品,2件次品. 求:(1)从中任取2件,恰有1件次品的概率(结果精确到0.01); (2) 从中有放回地任取1件,连取2件恰有1件次品的概率.
11.一个口袋中装有8只黄球和2只红球,现在由甲、乙顺次不放回各摸 1球,求(1)甲摸中红球的概率;(2)甲、乙都摸中红球的概率;

高中物理专题09概率波和不确定性关系练习(含解析)

高中物理专题09概率波和不确定性关系练习(含解析)

高中物理专题09概率波和不确定性关系练习(含解析)课时09 概率波和不确定性关系1.下列关于物质波的说法中正确的是()A.实物粒子与光子一样都具有波粒二象性,所以实物粒子与光子是本质相同的物体B.物质波和光波都不是概率波C.粒子的动量越大,其波动性越易观察D.粒子的动量越小,其波动性越易观察【答案】D【解析】实物粒子虽然与光子具有某些相同的现象,但实物粒子是实物,而光则是传播着的电磁波,其本质不同,故A错误;物质波和光波都是概率波,故B错误;又由可知,p越小,λ越大,波动性越明显,故D正确。

所以D正确,ABC错误。

2.关于光的波粒二象性,以下说法中正确的是()A.光的波动性与机械波,光的粒子性与质点都是等同的B.光子和质子、电子等是一样的粒子C.大量光子易显出粒子性,少量光子易显出波动性D.紫外线、X射线和γ射线中,γ射线的粒子性最强,紫外线的波动性最显著【答案】D【解析】光的波动性与机械波、光的粒子性与质点有本质区别,故A错误;光子实质上是以场的形式存在的一种“粒子”,而电子、质子是实物粒子,故B错误;光是一种概率波,大量光子往往表现出波动性,少量光子则往往表现出粒子性,故C错误;频率越高的光的粒子性越强,频率越低的光的波动性越显著,故D正确。

故D正确,ABC错误。

3.一个光子和一个电子具有相同的波长,则()A.光子具有较大的动量B.光子具有较小的能量C.电子与光子的动量相等D.电子和光子的动量不确定【答案】C【解析】根据λ=可知,相同的波长具有相同的动量.由E k=知二者能量不同.只有C正确.4.在单缝衍射实验中,中央亮纹的光强占从单缝射入的整个光强的95%以上。

假设现在只让一个光子通过单缝,那么该光子()A.一定落在中央亮纹处B.一定落在亮纹处C.一定落在暗纹处D.落在中央亮纹处的可能性最大【答案】D【解析】根据光是概率波的概念,对于一个光子通过单缝落在何处,是不确定的,但由题意知中央亮条纹,故概率最大落在中央亮纹处,也有可能落在暗纹处,但是落在暗纹处的几率很小,综上所述,故ABC错误,D正确。

理学 概率论与数理统计_第三版龙永红完整答案

理学 概率论与数理统计_第三版龙永红完整答案

概率论与数理统计龙永红,第三版,高等教育出版社课后习题详细答案厦门大学 经济学院08经济 周玉龙08金融 王骁 李政宵09金融 孙士慧 许彩灵 唐艺烨联合编写2011年2月16日 第一版注意:若要打印,请不要打印34页之后的内容!只有34页之前的内容才是校对过的!2010年的时候半期考试考到3.1,即34页之前的内容。

目录前言 (3)编写任务记录 (4)练习1‐1 (5)练习1‐2 (6)练习1‐3 (7)练习1‐4 (9)练习1‐5 (12)习题一 (13)练习2‐1 (15)练习2‐2 (17)练习2‐3 (18)练习2‐4 (20)练习2‐5 (23)习题二 (26)练习3‐1 (29)练习3‐2 (35)练习3‐3 (40)练习3‐4 (43)练习3‐5 (48)练习4‐1 (49)练习4‐2 (50)练习4‐3 (51)练习4‐4 (53)练习5‐2 (54)练习5‐3 (55)练习5‐4 (56)练习5‐5 (56)练习5‐6 (58)前言各位学弟学妹们,大家好。

这份答案是我在2010年学习概率统计的时候,和几个好朋友一起编写的。

我在大二上学线性代数的时候,当时找不到习题答案,于是很多不会做的题目,我就直接放弃了,期末线性代数成绩很不理想。

大二下在学概率统计的时候,我决定要把书上的题目都做会,但当时找不到一本参考答案,于是便想到了自己来编写一本答案书。

这样我不仅可以强迫自己把书上的题目都做了,更重要的是,我还可以帮助今后很多的学弟学妹学习概率统计。

于是找到08经济系的周玉龙同学,由他撰写手写初稿答案;我又找了几个愿意加入的朋友,我们一起将手写初稿录入进电脑,他们是09金融的孙士慧、许彩灵、唐艺烨和08金融的李政宵;我再将电子版初稿打印下来,并在上面进行打印错误的校正,再由我将这些错误在电脑中改过来。

最后整理排版,这就是你眼前的这本电子书。

撰写初版答案是辛苦的,将初版手写答案录入电脑更是非常辛苦。

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